МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика № 1» Г. И. Лебедева Г. А. Романюк И. М. Мартыненко ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Методическое пособие Минск БНТУ 2013 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика № 1» Г. И. Лебедева Г. А. Романюк И. М. Мартыненко ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Методическое пособие Минск БНТУ 2013 2 УДК 517.53/55(075.8) ББК 22.12я7 Л33 Р е ц е н з е н т ы : А. Д. Корзников, В. П. Грибкова Л33 Лебедева, Г. И. Функции нескольких переменных : методическое пособие / Г. И. Лебедева, Г. А. Романюк, И. М. Мартыненко. – Минск : БНТУ, 2013. – 88 с. ISBN 978-985-550-030-9. Настоящее пособие написано в соответствии с программой дисциплины «Мате- матика» для студентов инженерных специальностей. В нем освещены теоретические вопросы, приведены примеры решения задач, даны задания для аудиторной и до- машней работы. По всем примерам указаны ответы. В конце пособия даны задания по вариантам для самостоятельной работы студентов. УДК 517.53/55(075.8) ББК 22.12я7 ISBN 978-985-550-030-9 © Лебедева Г. И., Романюк Г. А., Мартыненко И. М., 2013 © Белорусский национальный технический университет, 2013 3 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ.................................................................................... 5 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ........................ 6 1.1. Определение функции нескольких переменных............. 6 1.2. Предел функции................................................................. 8 1.3. Непрерывность функции................................................... 9 1.4. Аудиторные задания.......................................................... 12 1.5. Домашние задания............................................................. 13 2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ..................... 14 2.1. Понятие частных производных функций нескольких переменных......................................................................... 14 2.2. Дифференцируемость функции двух переменных......... 18 2.3. Дифференциал функции нескольких переменных......... 21 2.4. Применение дифференциалов в приближенных вычислениях......................................... 23 2.5. Аудиторные задания.......................................................... 25 2.6. Домашние задания............................................................. 27 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ И СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ. ПРИЛОЖЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ......................... 28 3.1. Правила дифференцирования неявных и сложных функций. Приложения частных производных................ 28 3.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.......... 30 3.3. Вектор-градиент. Производная функции по направлению вектора.................................................... 33 3.4. Аудиторные задания.......................................................... 36 3.5. Домашние задания............................................................. 38 4 4. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА...................... 39 4.1. Частные производные высших порядков......................... 39 4.2. Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных.................................... 43 4.3. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.................................................... 46 4.4. Аудиторные задания.......................................................... 49 4.5. Домашние задания............................................................. 51 5. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ЭКСТРЕМУМ. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ В ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ......................................................... 52 5.1. Локальные экстремумы функций нескольких переменных.................................................... 52 5.2. Условный экстремум......................................................... 57 5.3. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области........................................................... 62 5.4. Аудиторные задания.......................................................... 66 5.5. Домашние задания............................................................. 67 6. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ............................... 68 6.1. Суть метода наименьших квадратов................................ 68 6.2. Аудиторные задания.......................................................... 74 6.3. Домашние задания............................................................. 76 ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ.............................................. 77 ЛИТЕРАТУРА............................................................................... 87 5 ВВЕДЕНИЕ «Функции нескольких переменных» являются одним из разделов дисциплины «Высшая математика». Знание теоретической части, умение решать примеры и выбор оптимального решения являются важным для будущих инженеров. Настоящее пособие предназначено для оказания помощи в изу- чении соответствующего раздела, повышения уровня знаний сту- дентов. Пособие разбито на практические занятия. По каждому из них, кроме теоретического освещения вопросов, приведены примеры решения задач, даны задания для аудиторной и домашней работы студентов. По всем примерам указаны ответы. В пособии даны и задания по вариантам для самостоятельной работы студентов. 6 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1.1. Определение функции нескольких переменных Пусть nRD – произвольное множество точек n-мерного про- странства. Определение 1.1. Если правило f каждой точке  1, , nM x x D ставит в соответствие некоторое вполне определенное действитель- ное число    1, , ,nu f M f x x  то говорят, что на множестве D задана числовая функция f от n переменных:    1, , nu f M f x x  . Множество D называется областью определения, а множество  RuE  – множеством значений функции  Mfu  . В случае 2n  имеем функцию 2-х переменных. Ее можно рассматривать как функцию точек плоскости OXY. Частное значение функции  ,z f x y при 0 0,x x y y  обозначают  0 0,f x y или  0 0z f M . Функция 2-х переменных  ,x y может быть задана аналитиче- ским, табличным, графическим и другими способами. Функцию 3-х и более переменных изобразить графически невозможно. Примеры. Найти области определения следующих функций. 1.1. 2 2.z x y  Решение. Областью определения является вся область 2D R . Областью значений является  0; . Графиком функции является параболоид вращения (рис. 1.1). 7 Рис. 1.1 1.2. 2 2 1 1 z x y    . Решение. Для существования функции z необходимо, чтобы вы- полнялось неравенство 2 21 0x y   или 2 2 1x y  . Этому нера- венству удовлетворяет внутренняя часть круга единичного радиуса. Причем граница не входит в область определения. 1.3. .z y x  Решение. Функция существует для всех 0x  , т. е. в правой по- луплоскости (рис. 1.2). Рис. 1.2 8 Функции нескольких переменных могут быть заданы явно     , , , ,z f x y u f x y z  либо неявно уравнением, не разрешенным относительно зависимой переменной   например, , , 0F x y z  . Например, функция z двух переменных x и y, определяемая уравнением 1 1 1 0xyz x y z     , задана неявно. 1.2. Предел функции Рассмотрим последовательность т.    1 1 1 2 2 2, , ,M x y M x y ,    , ,k k k kM x y M плоскости XOY. Говорят, что эта последова- тельность сходится к т.  0 0 0,M x y , если расстояние       2 2 0 0 0ρ ,k k kM M x x y y    стремится к нулю при k , т. е.       2 2 0 0 0lim ρ , lim 0k k k k k M M x x y y        . Либо предел последовательности т.  kM равен 0M : 0lim k k M M   . Пусть функция    ,z f x y f M  определена в некоторой - окрестности т.  0 0 0,M x y , т. е. при условии  0ρ , ε.M M  Определение 1.2 (по Гейне). Число z0 называется пределом функции  ,z f x y в т.  0 0 0,M x y , если для любой сходящейся к  000 , yxM последовательности точек  kM , соответствующая по- следовательность      1 2, , , kf M f M f M значений функции сходится к 0 :z   0 0 lim M M z f M   , если   , : limk k k k k M x y M         0 0 0 0, lim .k k M x y f M f M     9 Обозначается   0 0 lim zMf MM   или   0 0 0lim , . x x y y f x y z    Определение 1.3 (по Коши). Число 0z называется пределом функции  ,z f x y при 00 , yyxx  , (т. е. в т.  0 0 0,M x y ), если для ε 0 ρ 0    : для  т.  ,M x y из -окрестности т. 0M выполняется неравенство   0, <ε.f x y z Эти определения предела функции в точке эквивалентны. Примеры. Вычислить пределы. 1.4.        2 2 3 3 2 2 0 0 0 0 0 0 lim lim lim 0 . x x x y y y x xy y x yx y x xy y x y x y                1.5. x xy y x tg lim 3 0   . Умножим и разделим эту функцию на 0:y  0 0 3 3 tg tg lim lim 3 1 3 x x y y xy xy y x xy         , где 0 3 tg lim 1 x y xy xy   . 1.6. 3 2 21 2 1 2 1 lim 1 4 5x y x y x y        . 1.3. Непрерывность функции Понятие непрерывности функции нескольких переменных опре- деляется с помощью пределов. Определение 1.4. Функция  1, , nu f x x называется непре- рывной в т.  0 0 00 1 2, , , nM x x x , если выполняются следующие три условия: 1)  f M определена в т. 0M и некоторой ее окрестности; 2) существует  Mf MM 0 lim  ; 10 3)     0 0lim M M f M f M   . Если в т. 0M не выполняется хотя бы одно из отмеченных усло- вий, то она является точкой разрыва функции  Mfu  . Для функции  ,z f x y двух независимых переменных точки разрыва могут быть изолированными или образовывать линию. Для функции  , ,u f x y z точки разрыва могут быть либо изолиро- ванными, либо образовывать линию, либо поверхность разрыва. Примеры. Найти точки разрыва. 1.7.   2 2 1 4 z x y    . Данная функция определена на 2R всюду, кроме т.  4, 0M  , которая является точкой разрыва. 1.8. 1 4 z x y    . Данная функция определена для таких значе- ний x, y, при которых 04  yx . Следовательно, прямая xy  4 является линией разрыва. 1.9. 9 2 222   zyx u . Эта функция определена для любых x, y, z таких, что 2 2 2 9.x y z   В данном случае имеем поверхность разрыва, которая является сферой с центром в начале координат и 3.R  Определение 1.5. Функция  Mfu  называется непрерывной на множестве D, если она непрерывна в каждой точке этого мно- жества. Функции нескольких переменных, непрерывные на замкнутых ограниченных множествах, обладают свойствами, аналогичными свойствам функции одной переменной, непрерывной на отрезке. Отметим основные из них. 11 Теорема 1.1. Если функция  Mfz  непрерывна на замкнутом ограниченном множестве nRD , то она ограничена на нем и достигает в некоторых т. 1M и 2M этого множества своих точных верхней и нижней граней:        1 2sup , inff M f M f M f M  . Замечание. Т. 1M и 2M могут определяться неоднозначно. Теорема 1.2. Если функция  Mfz  непрерывна на замкнутом связном ограниченном множестве D, то она принимает на нем все промежуточные значения. Другими словами, если    inf μ supf M f M  , то существует такая т. DM 0 , что   0Mf . В частности, если  1 0,f M  а  2 0,f M  то на множестве D существует по крайней мере одна т. 0M такая, что  0 0.f M  Определение 1.6. Множество называется связным, если любые две его точки могут быть соединены линией, принадлежащей этому множеству. Теорема 1.3. Если функция  Mfz  непрерывна на замкнутом ограниченном множестве D, то она равномерно-непрерывна на этом множестве, т. е. для любого 0 существует   0:   для любых точек 1M и 2M множества D, находящихся на рас- стоянии, меньшем , выполняется неравенство:      21 MfMf . Замечание. Для функций, непрерывных на незамкнутых или не- ограниченных множествах, указанные теоремы могут и не выпол- няться. 12 1.4. Аудиторные задания 1. Найти область определения функции. 1.1. 2 3z x y   . (Ответ: вся плоскость XOY.) 1.2. 2 2 16z x y   . (Ответ: 2 2 16.x y  ) 1.3. 2 2 x y z x y    . (Ответ: 2 2 0.x y  ) 1.4. f xyz . (Ответ: множество точек, для которых 0.xyz  ) 1.5. 2 2 arccos y f x z   . (Ответ: 2 2 1 1 y x z     .) 1.6.   2 2 2 24 9f x y x y     . (Ответ: кольцо  2 24 9x y   .) 1.7. yzxf  . (Ответ: 1) 0, 0; 2) 0, 0.y z y z    ) 2. Найти разрыв функции. 2.1. 1 z x y   . (Ответ: линия .y x  ) 2.2. 4 1 22   yx z . (Ответ: круг 2 2 4 0.x y   ) 2.3. 2 2 2 x u x y z    . (Ответ: конус 2 2 2 0.x y z   ) 2.4. 2 5 x z x y    . (Ответ: линия 5 .y x  ) 2.5. 2 2 x y z x y    . (Ответ: точка  0; 0 .O ) 3. Найти предел функции. 3.1. 1 2 2 lim x y x y x y    . (Ответ: –4.) 13 3.2. 3 1 4 lim 5x y x y   . (Ответ: –2.) 3.3.  2 2 2 2 lim 2 4 5 x y x y     . (Ответ: 19.) 3.4. 0 2 sin lim x y xy x  . (Ответ: 2.) 3.5. 2 2 2 2 lim x y x y x y    . (Ответ: 4.) 3.6. 3 3 3 3 lim x y x y x y    . (Ответ: 27.) 3.7. 2 20 0 lim x y y x y   . (Ответ: не существует.) 3.8. 4 40 0 1 lim x y x y   . (Ответ: .) 1.5. Домашние задания 1. Найти область определения функции. 1.1. 4f x y   . (Ответ: ; .x R y R  ) 1.2. 7   yx yx z . (Ответ: 7.y x  ) 1.3.   22 5 4 z x y    . (Ответ: все точки  , ,x y кроме 0; 4.x y  ) 1.4. 2 2 2 5 4 y z x y z      . (Ответ: 2 2 2 4 0.x y z    ) 14 2. Найти разрыв функции. 2.1. z xy . (Ответ: 0xy  .) 2.2. 2 2 4 8 z x y    . (Ответ: 2 2 8x y  .) 2.3. 1 2 6 z x y    . (Ответ: 2 6 0.x y   ) 3. Найти пределы. 3.1. 3 4 2 lim x y x x y   . (Ответ: 6/7.) 3.2. 0 2 4 lim x y y x y    . (Ответ: –3.) 3.3.  0 2 lim sinx y x xy  . (Ответ: 1/2.) 3.4.   0 5 tg lim x y xy x  . (Ответ: 5.) 2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 2.1. Понятие частных производных функций нескольких переменных Пусть рассматривается функция двух переменных  ,z z x y . Если один из аргументов получит приращение, то будет иметь ме- сто частное приращение функции:    ; ,yz z x y y z x y    . (2.2)    ; ,xz z x x y z x y    , (2.1) 15 Если приращение получат x и y, то имеем полное приращение функции: Геометрически частные и полное приращения функции , ,x yz z z   можно изобразить отрезками 1 1 2 2,A B A B и 3 3A B соот- ветственно (рис. 2.1). Рис. 2.1 Пример 2.1. Найти частные и полное приращения функции 32yxz  в т.  2; 3M , если 0,2, 0,3.x y    Решение. В соответствии с формулами (2.1)–(2.3) имеем:     2 23 2 3 2 3 2 32xz x x y x y x x x x y x y                 2 23 2 2 32 2y x x x x x y x x x            3 23 2 2 0,2 0,2 27 0,84 22,68       ,    ; ,z z x x y y z x y     . (2.3) 16   32 2 3 yz x y y x y          2 32 3 2 33 3x y y y y y y y               2 32 2 2 33 3 4 27 0,3 9 0,3 0,3 35,748x y y y y y            ,       2 3 22 3 2 2z x x y y x y x x x x                 2 33 2 2 33 3y y y y y y x y           22 0,8 0,04 27 8,1 0,8 0,027 4 27         4,84 35,937 108 65,935.    Определение 2.1. Частной производной функции  ,z z x y по переменной x в т.  0 0,M x y называется предел отношения частно- го приращения функции xz к соответствующему приращению аргумента x при условии, что последнее стремится к нулю: 0 lim xx x zz z x x        . Аналогично 0 lim y y y zz z y y        . Частные производные определяют скорость изменения функции в т.  0 0,M x y в направлении изменения независимой переменной. 17 Вычисляются частные производные по тем же правилам, форму- лам и свойствам, что и функции одной переменной, при условии, что остальные переменные остаются постоянными. Пример 2.2. Найти частные производные функции 2xyz  . Решение. Частную производную xz вычисляем как производ- ную показательной функции, считая y постоянной: 2 ln2 .xyxz y    Аналогично 2 ln2 .xyyz x    . Пример 2.3. Найти , , u u u x y z       , если  322cos yxzxyu  . Решение. Имеем:      2 3 2 3 32cos sin 2xu u y z x y z x y xy x          ,      2 3 2 3 2 22cos sin 3u x z x y z x y x y y          ,       2 3 2 3 2 32cos sin sin 2 2u z x y z x y z x y z          . Геометрический смысл частных производных функции двух пе- ременных состоит в том, что они равны тангенсам углов, образо- ванных касательными, проведенными к линиям пересечения по- верхности  ,z z x y с соответствующими плоскостями ( 0 0 0, ,y y x x z z   ). Механический смысл частных производных функции двух пере- менных: они характеризуют скорость изменения функции  ,z z x y в т.  0 0,M x y в направлении соответствующей прямой ( 00 или xxyy  ). 18 2.2. Дифференцируемость функции двух переменных Функция  ,z z x y является дифференцируемой в т.  0 0,M x y , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде α βz A x B y x y         , где  и  – бесконечно малые, т. е. α 0 и β 0 при 0x  и 0y  . Теорема 2.1. Если функция  ,z z x y дифференцируема в т.  0 0,M x y , то она и непрерывна в этой точке. Доказательство. По определению дифференцируемости функ- ции имеем α βz A x B y x y         , где 0 0 0 0 limα 0, limβ 0 x x y y           , А и В – некоторые коэффициенты, не зави- сящие от x и y . Следовательно, 0 0 lim 0 x y z       . Это значит, что функция  ,z z x y непрерывна в т.  0 0,M x y . Теорема 2.2 (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция  ,z z x y дифференцируема в т.  0 0,M x y , то она имеет в этой точке частные производные  0 0,xz x y A  и  0 0, .yz x y B  Доказательство. Пусть  ,z z x y – дифференцируема в т.  0 0,M x y . Ее приращение    0 0 0 0, , α βz A x y x B x y y x y         . 19 Пусть 0.y  Тогда α .xz A x x     Разделим последнее ра- венство на x и возьмем предел при 0:x   0 0 0 lim ,x x x z A z x y x      . То есть в т.  0 0,M x y существует частная производная  0 0,xz x y . Аналогично доказывается существование частной про- изводной  0 0, .yz x y B  Обратное утверждение теорем 2.1 и 2.2 – неверно. Например, функция 22 22 yxz  непрерывна в т.  0, 0O , но не имеет в этой точке частных производных. Производная 2 2 2 2 2 x x z x y    не существует в т.  0, 0O . Аналогично 2 2 2 2 2 y y z x y    также не существует в т.  0, 0O . Теорема 2.3 (достаточное условие дифференцируемости функции). Если функция  yxzz , имеет частные производные в некоторой окрестности т.  00, yxM , непрерывные в этой точке, то  yxz , дифференцируема в т.  00, yxM . Доказательство. Полное приращение функции имеет вид      0 0 0 0 0 0, ; ,z x y z x x y y z x y     . Добавим и вычтем из правой части  0 0, :z x y y     0 0 0 0; ,z z x x y y z x y y         0 0 0 0, , .z x y y z x y   20 По теореме Лагранжа:      0 0 0 0 0, , ξ, ,xz x x y y z x y y z y y x        где 0 0ξx x x   . Аналогично      0 0 0 0 0, , ,ω ,xz x y y z x y z x y     где 0 0ω .y y y   Следовательно,      0 0 0 0, ξ, , ω .x yz x y z y y x z x y        По условию теоремы xz и yz непрерывны в т.  0 0,M x y . Значит,    0 0 0 0 0 lim ξ, ,x x x y z y y z x y         и    0 0 0 0 0 lim ,ω ,y y x y z x z x y       . Из полученных равенств, согласно определению предела, имеем:    0 0 0ξ, , α,x xz y y z x y        0 0 0,ω , β.y yz x z x y   Это значит, что      0 0 0 0 0 0, , , α βx yz x y z x y x z x y y x y          . То есть функция  ,z z x y – дифференцируема в т.  0 0, ,M x y что и требовалось доказать. Функции с непрерывными частными производными называются непрерывно дифференцируемыми. 21 Например, функция 2xyz  дифференцируема в любой т.   2, RyxM  , т. к. ее частные производные 2 ln2xyxz y    и 2 ln2xyyz x    являются непрерывными при любых x и y. 2.3. Дифференциал функции нескольких переменных Пусть  ,z z x y – дифференцируемая в т.  00, yxM функция. Ее полное приращение    0 0 0 0, , α β .x yz z x y x z x y y x y          Дифференциалом рассматриваемой функции является главная линейная часть ее полного приращения. Обозначается    0 0 0 0d , ,x yz z x y x z x y y     . Приращения x и y являются дифференциалами независимых переменных и поэтому равны dx и dy соответственно. Тогда полный дифференциал функции  ,z z x y будет иметь вид Для функции 3-х переменных  , ,u u x y z дифференциал будет равен Чтобы найти дифференциал функции, нужно найти ее частные производные и подставить их в соответствующие формулы (2.4), (2.5). Пример 2.4. Найти дифференциал функции 2z x y x y   . Решение. Частные производные заданной функции равны d d d dx y zu u x u y u z     . (2.5) d d dx yz z x z y   . (2.4) 22 2 1,xz xy   2 1yz x   . Тогда дифференциал заданной функции будет равен    2d 2 1 d 1 dz xy x x y    . Пример 2.5. Найти дифференциал функции cos x z y  . Решение. Находим частные производные d d d dx y zu u x u y u z     : 2 1 sin , sin .x y x x x z z y y y y               Подставляем их в формулу (2.4): 2 1 d sin d sin d . x x x z x y y y y y             Пример 2.6. Найти дифференциал функции 2 22 3 .u x yz xz y z   Решение. Находим частные производные: 2 2 ;xu xyz z   yu  2 2 26 ; 2 3 .zx z yz u x y x y     Подставляем их в формулу (2.5) и получаем дифференциал исходной функции:      2 2 2d 2 2 d 6 d 2 3 du xyz z x x z yz y x y x y z       . 23 2.4. Применение дифференциалов в приближенных вычислениях Если функция  ,z z x y – дифференцируема, то ее полное при- ращение    , ,z z x x y y z x y     . Откуда    , ,z x x y y z x y z    . Поскольку dz z  , то Полученная формула является формулой применения дифферен- циалов в приближенных вычислениях. Чтобы воспользоваться формулой (2.6), нужно: 1) по заданному числу записать функцию  yxzz , ; 2) выделить , ,x x y и y . В качестве x и y берутся целые значе- ния заданного числа, при которых записанная функция легко вы- числяется. Выделенные x и y должны быть достаточно малыми; 3) вычисляем все составляющие формулы (2.6) и определяем приближенное значение заданного числа. Пример 2.7. Вычислить приближенно 2,031,01 . Решение. По заданному числу запишем функцию yxz  . Выделяем , ,x x y и :y 1, 0,01, 2, 0,03.x x y y      Значение функции при выделенных x и y будет равно   22, 2 1 1z   . Частные производные будут равны: 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2, ln 1 ln1 0,y yx yx x y y z y x z x x                т. е.  2,031,01 1 2 0,01 0 0,03 1 0,02 0 1,02.         Пример 2.8. Вычислить приближенно       2 2 2 2,01 1,02 1,99 .       , , d , .x yz x x y y z x y z z x y z x z y            (2.6) 24 Решение. По заданному числу запишем функцию 2 2 2 .f x y z   Выделяем: 2, 0,01,x x   1, 0,02,y y   2, 0,01.z z    Значение функции при выделенных x, y и z будет равно 4 1 4 3.f     Частные производные: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 , 32 x x y z x f x x y z x y z             2 2 2 2 1 2 1 , 3 y x y z y f x y z         2 2 2 2 1 2 2 . 3 z x y z z f x y z         Таким образом, имеем         2 2 2 2 1 2 2,01 1,02 1,99 3 0,01 0,02 0,01 3 3 3             1 1 1 3 0,02 0,02 0,02 3 0,02 3 . 3 3 150         25 2.5. Аудиторные задания 1. Найти частные производные функций. 1.1. 2 22 4 2 5 4.z x y xy x y      (Ответ: 4 2; 8 5.x yz x y z y x       ) 1.2.  sin 2 .z y x y  (Ответ:      yxyyxzyxyz yx  2cos2sin;2cos2 .) 1.3.  yxxz 5cos2  . (Ответ:      yxxzyxxyxxz yx 5sin5;5sin5cos2 22  .) 1.4. x y z x y    . (Ответ:    22 2 ; 2 yx x z yx y z yx      .) 1.5. 22 22 yx yx z    . (Ответ:     2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 ;x y xy xy z z x y x y       .) 1.6. arctg x z y  . (Ответ: 2 2 2 2 2 1 1 1 ; 1 1 x y x z z yx x y y y             .) 1.7. 2 .yz x (Ответ: 2 22 1; ln 2 .y yx yz y x z x x y      ) 1.8. .z xy (Ответ: ; . 2 2 x y y x z z xy xy    ) 2. Вычислить значения частных производных функции в точке. 2.1. yx yx z    ,  0 3; 2 .M (Ответ:    0 04; 6.x yz M z M    ) 2.2. 2 2 ,u x y z    0 1; 2; 2M  . (Ответ: 2 1 1 ; ; . 3 3 6 x y zu u u      ) 26 2.3. , zyu x  0 1; 2; 3 .M (Ответ:      0 0 08; 0; 0.x y zu M u M u M     ) 3. Доказать, что функция  sin 2z y x y  удовлетворяет урав- нению . z z y z x y       4. Доказать, что функция  ln x y zu e e e   удовлетворяет уравнению 1. u u u x y z          5. Найти дифференциал функции. 5.1. 3 .xz y (Ответ: 3 3 1d 3 ln d 3 dx xz y y x xy y  .) 5.2. 32244 53 xyyxyxz  . (Ответ:    4 2 3 3 2 2d 4 6 5 d 4 6 15 d .z x xy y x y x y xy y      ) 5.3. 2 2lnz x y  . (Ответ: 2 2 2 2 d d d x y z x y x y x y     .) 5.4. 2 2 2 2 1 arccos . 1 xy z x y x y      (Ответ: 2 2 1 1 d d d . 1 1 z x y x y     ) 5.5. . xyu z (Ответ: 1 1d ln ln d ln d d . x x xx y x y x yz y z y z x y z x z y y z z    ) 5.6. 2 2 2 4.u x y z    (Ответ: d 2 d 2 d 2 d .z x x y y z z   ) 6. Вычислить приближенно. 6.1. 02,298,1 . (Ответ: 3,976.) 6.2.    22 98,203,1  . (Ответ: 3,153.) 6.3.    22 005,3998,1003,1 . (Ответ: 108,648.) 27 6.4.       2 2 2 2,02 1,03 1,97 .  (Ответ: 3,003.) 6.5.   2,01 1,99 . (Ответ: 3,987.) 6.6.     2 3 1,99 2,03 . (Ответ: 9,41.) 6.7.   2,03 ln 1,98 . (Ответ: 3,963.) 2.6. Домашние задания 1. Найти частные производные функций. 1.1.  2cos .z x y (Ответ:    2 2 22 sin ; sin .x yz xy x y z x x y     ) 1.2.  2 2ln .z x y  (Ответ: 2 2 2 2 2 2 ; .x y x y z z x y x y      ) 1.3. .xyz e (Ответ: ; .xy xyx yz e y z e x     ) 1.4. 2 2 .y xz  (Ответ: 2 22 2 ln2; 2 2 ln2.y x y xx yz y z yx       ) 1.5. 2 2 4 .z x y xy   (Ответ: 2 4 ; 2 4 .x yz x y z y x     ) 2. Найти частные производные функций в точке. 2.1. ,xz y  0 2;1 .M (Ответ: 0; 2.x yz z   ) 2.2. ,z x y  0 1;1 .M (Ответ: 1 1; . 2 x yz z   ) 2.3. y x z 3 ,  0 2; 2 .M (Ответ: 3 3 ln3; ln3. 2 2 x yz z    ) 3. Найти дифференциал функции. 3.1. 2 3 5.z x y   (Ответ: d 2d 3d .z x y  ) 3.2. 2 2 4.z x y y x   (Ответ:    2 2d 2 d 2 d .z xy y x x xy y    ) 28 3.3. 2 2 2.u xyz x y z    (Ответ:      d 2 d 2 d 2 d .u yz x x xz y y xy z z      ) 4. Вычислить приближенно. 4.1.   1,88 1,06 . (Ответ: 1,12.) 4.2.     2 3 1,02 2,03 . (Ответ: 8,68.) 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ И СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ. ПРИЛОЖЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 3.1. Правила дифференцирования неявных и сложных функций. Приложения частных производных Пусть имеется функция  1 2, , , nu x x x , неявно заданная урав- нением  1 2, , , , 0.nF x x x u  Частные производные данной функ- ции определяются по формулам 1 2 1 2 , , , .n xx x u u n u FF Fu u u x F x F x F                Для функции 2-х переменных  , 0F x y  будет .x y Fu x F     Пример 3.1. Найти ,xy если 2 2 5 2 0.x y y x y    Решение. 2 2 2 5 2 5, 2 2, . 2 2 x y x xy F xy F x y y x y             Пример 3.2. Найти ,yx если  cos 0. x yxy e e   Решение.    sin , sin .x yx yF xy y e F xy x e         29 Тогда     sin . sin y y y x x F xy x e x F xy y e              Если  1 2, , , nu F v v v , где  1 1 1 2, , , nv f x x x ,  2 2 1 2, , , ,nv f x x x ,  1 2, , , ,n n nv f x x x то функция u называется сложной функцией независимых переменных 1 2, , , nx x x . Переменные 1 2, , , nv v v называются промежуточны- ми аргументами. Частные производные сложной функции по одной из независи- мых переменных определяются по формулам 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 , , . n n n n n n n n n n vv vu u u u x v x v x v x vv vu u u u x v x v x v x vv vu u u u x v x v x v x                                                          Если рассматривается функция 2-х переменных  ,z z u v , где  ,u u x y ,  ,v v x y , тогда . z z u z v y u y v y               (3.2) , z z u z v x u x v x               (3.1) 30 Пример 3.3. Найти частные производные функции  2 2ln ,z u v  где 2tg 3 , 2 .yxu x v  Решение. В соответствии с записанными формулами (3.1) и (3.2) имеем z z u z v x u x v x               и z z u z v y u y v y               , где 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 , 2 , z u z v u v u vu v u v u v u v              2 2 1 6tg3 2tg3 3 , 0, cos 3 cos 3 u x u x x yx x          2 ln2 , 2 ln2 .yx yx v v y x x y           Следовательно, 2 2 2 2 2 2 6tg3 2 2 ln2 cos 3 yxz u x v y x u v x u v            2 4 2 2tg 3 tg 3 2 yx x x   2 4 2 6tg3 2 2 2 ln2 cos 3 tg 3 2 yx yx yx x y x x           3 4 2 2 12tg 3 tg 3 2 cos 3yx x x x   1 2 4 2 2 ln 2 tg 3 2 yx yx y x         3 1 2 2 4 2 2 12tg 3 2 ln 2 cos 3 , tg 3 2 cos 3 yx yx x y x x x      2 1 2 4 2 4 2 4 2 2tg 3 2 2 2 ln2 0 2 ln2 . tg 3 2 tg 3 2 tg 3 2 yx yx yx yx yx yx z x x x y x x x                3.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности Касательной плоскостью к поверхности G в т. M0 называется плоскость, в которой лежат все касательные к кривым, проведен- ным на поверхности через эту точку. Рассечем поверхность G плос- 31 костями 0x x и 0y y . Линия пересечения L1 поверхности G плоскостью 0xx  будет задаваться системой   0 , , . z z x y x x     Линия пересечения L2 поверхности G плоскостью 0yy  будет задаваться системой   0 , , . z z x y y y     Линии L1 и L2 показаны на рис. 3.1. Рис. 3.1 Линии T1 и T2 являются касательными к линиям L1 и L2 в т.  0 0 0 0, ,M x y z . Они задаются системами:    0 0 0 0 0 , ,y x x z z f x y y y      – для линии L1 32 и    0 0 0 0 0 , ,x y y z z f x y x x      – для линии L2. Уравнение плоскости, проходящей через точку с 0xx  , 0yy  , имеет вид Касательные T1 и T2 получаются сечением двумя плоскостями 0xx  и 0yy  . Следовательно, уравнение касательной T1   0 0 0/ ,z z B C y y x x     . Уравнение касательной T2   0 0 0/ ,z z A C x x y y     , где    0 0 0 0/ , , / ,x yA C f x y B C f x y     . Подставляя эти выражения в (3.3), получаем уравнение плоско- сти , проходящей через касательные T1 и T2: Это уравнение (3.4) – для поверхности, заданной явно. Для неявно заданной поверхности  , , 0F x y z  уравнение каса- тельной плоскости будет иметь вид          0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , , , 0. x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z         (3.5)        0 0 0 0 0 0 0, , 0.x yf x y x x f x y y y z z       (3.4)      0 0 0 0.A x x B y y C z z      (3.3) 33 Нормалью к поверхности G в данной т.  0 0 0 0, ,M x y z является прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касатель- ной плоскости, проведенной в данной точке поверхности. Уравнение нормали имеет вид Пример 3.4. Записать уравнение касательной плоскости и нор- мали к поверхности 2 2 2 0 4 4 9 x y z    в т.  2, 2,1M . Решение. Поверхность задана неявно. Частные производные имеют вид 2 2 2 2 1, 1, . 4 2 4 2 9 9 x y z M M M x x y y z F F F             Уравнение касательной плоскости (3.5)       2 1 2 1 2 1 0 9 x y z      или после преобразований 2 34 . 9 9 x y z   Уравнение касательной плоскости 9 9 2 34.x y z   Уравнение нормали (3.6) 2 2 1 . 1 1 2 / 9 x y z      3.3. Вектор-градиент. Производная функции по направлению вектора Вектор-градиент – это вектор, показывающий направление наискорейшего роста функции. Его координатами являются част- ные производные функции       0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . , , , , , ,x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y z         (3.6) 34 grad . z z z i j x y       Для функции 3-х переменных  , , :f f x y z grad . f f f f i j k x y y          Пример 3.5. Найти вектор-градиент функции 2 22 4 5 .z x y x y    Решение. Частные производные равны 2 4, 4 5. z z x y x y         Следовательно,    grad 2 4 4 5 .z x i y j    Пример 3.6. Найти вектор-градиент функции 2 23 4 2f x y xz z xyz     в т.  1, 2, 3M . Решение. Частные производные заданной функции в т. M равны  2 3 4 2 1 2 3 3 4 2 3 37, M M f xy z yz x                   2 4 1 12 13, 3 2 4 3 6 8 5. M M M M f x xz y f x z xy z                 Тогда  grad 37 13 5 .f M i j k   Производной функции z по направлению вектора MNl   назы- вается предел 35     0 lim , l z N z Mz ll      где l – приращение функции z в направлении .MN Для дифференцируемой функции  ,z z x y cos cosβ, z z z e x y          где  – угол вектора MNl   с осью Ox;  – угол с осью OY. Для функции 3-х переменных  , ,u u x y z cos cosβ cosγ, u u u u x y zl            где  – угол вектора MNl   с осью OZ; cosα,cosβ,cosγ – направляющие косинусы вектора .l MN Они удовлетворяют условию: 2 2 2cos α cos β cos γ 1   . Наибольшее значение u l   равно модулю вектора-градиента: 22 2 max grad . u u u u u x y zl                              Пример 3.7. Найти производную функции 2 2 2 4 2 6 5u x y z xyz x y       в т.  1, 2, 3M и ее наибольшее значение в направлении вектора ,MN где  3, 4, 6N . 36 Решение. Вектор 2 2 3 .MN i j k   Его направляющие косинусы: 2 2 2 3 cosα , cosβ , cosγ . 4 4 9 17 17 17       Частные производные в т. M равны  2 4 2 2 4 2 3 2 24, M M u x yz x             2 4 6 4 12 6 22, M M u y xz y           2 4 6 8 14. M M u z xy z        Следовательно, 2 2 3 48 44 42 134 24 22 14 . 17 17 17 17 17M u l            Наибольшее значение производной функции u по направлению вектора MN в т. M будет равно 22 2 max M u u u u x y zl                              2 2 224 22 14 1256 35 44009.,     3.4. Аудиторные задания 1. Найти частные производные неявной функции. 1.1. 2 4 2.x y y  (Ответ: 32 ; 4 2 .x yF x F y y    ) 1.2. 2 3 . zx y z e   (Ответ: 1; 2; 3 .zx y zF F F e      ) 37 1.3. 2 0.x ye e xy   (Ответ: 2 ; 2 .x yx yF e y F e x     ) 1.4.   2cos 5 0.xy x y x   (Ответ:     2sin 2 5; sin .x yF xy y xy F xy x x          ) 1.5. 2 cos 0.x y y  (Ответ: 22 ; sin .x yF xy F x y    ) 2. Найти xy и yx , если 2 2 2 0.x yx y e e    (Ответ: 22 2 2 ; . 2 2 2 y x y xx y y e x e x y x e y e          ) 3. Найти частные производные сложной функции. 3.1. yxu  , где    φ , ψ .x t y t  (Ответ: 1 ln .y yt t tu y x x x x y         ) 3.2.  2 2cos ,u x y  где , 2 .t tx e y  (Ответ:    2 2 2 2 2 1sin 2 2 sin 2 2 ln2.t t t t t t ttu e e e e           ) 4. Записать уравнения касательной плоскости и нормали к по- верхности в заданной т. М. 4.1.   2 2 2 1, 3, 2, 1 . 27 12 3 x y z M     (Ответ: 3 2 1 2 3 6 18 0; . 2 3 6 x y z x y z            ) 4.2.  2 2 2 9, 1, 2, 2 .x y z M     (Ответ: 1 2 2 2 2 9 0; . 1 2 2 x y z x y z           ) 4.3.   2 2 2 , 3, 2, 1 . 9 4 x y z M    (Ответ: 3 2 1 2 3 6 6 0; . 2 3 6 x y z x y z            ) 4.4.  , 1, 1, 1 .z xy M   (Ответ: 1 0; 1 1 1.x y z x y z          ) 38 5. Найти градиент функции. 5.1. 2 3 5.F x y   (Ответ: 3 3 13 ln 3 .x xdz y ydx xy dy  ) 5.2. 22 4 .F xy y x   (Ответ:    grad 2 4 2 2 .F y i x y j    ) 5.3. .x yF e e xy   (Ответ:    grad .x yF e y i e x j    ) 5.4. cos sin 2 3 .F x y x y    (Ответ:    grad sin 2 cos 3 .F x i y j     ) 5.5. 7 tg ctg .F xy x y   (Ответ: 2 2 1 1 grad 7 7 . cos sin F y i x j x y               ) 6. Найти производные функции u по направлению вектора :l 6.1.  3 2 32 3 , 1, 2, 4 .u x y xz z l    (Ответ: 126 21 . 21 u l     ) 6.2.  3 4 , 1, 2, 3 .u x y z l   (Ответ: 4 14 . 7 u l    ) 6.3.    4 5 4, , 2, 1, 3 , 3, 1, 7 .u x y z l MN M N       (Ответ: 8 17 . 17 u l    ) 6.4.  2 2 3, 1, 2,1 .u x y z l   (Ответ: 6 . 2 u l     ) 6.5.    2 2 4, , 1, 0, 3 , 3,1, 8 .u x y z l MN M N     (Ответ: 5 . 6 u l     ) 3.5. Домашние задания 1. Найти частные производные неявной функции. 1.1. 2 24 6 5 0.x y x y    (Ответ: 2 6; 8 5.x yF x F y     ) 39 1.2. 54 0.x ye x y    (Ответ: 3 53 1; 5 4 ln4 1.x yx yF e F       ) 2. Найти xy и yx , если 2 33 6 2 5 7 0.x y x y     (Ответ:   2 6 2 . 18 5 x x y y      ) 3. Записать уравнение касательной плоскости и нормали к по- верхности 2 2 4 9 x y z   в т.  2, 3, 2 .M (Ответ: 2 3 2 3 2 10; . 1 2 / 3 1 x y z x y z          ) 4. Найти вектор-градиент функции 2 5 .u x y z   (Ответ: grad 2 5 .u i j k   ) 5. Найти производную функции u по направлению вектора :l  2 32 , 1,1,1 .u x y xy z l    (Ответ: 3 3    l u  ). 4. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 4.1. Частные производные высших порядков Рассмотрим функцию    ; , ; .z f x y x y D  Ее частные произ- водные  ;f x y x   и  ;f x y y   называют частными производными первого порядка; они являются функциями аргументов x и y;  ;x y D . Частные производные этих функций называются част- ными производными второго порядка:  2 2 2 ; ,xx x z z z f x y x x x              40   2 ; ,yx yx z z z f x y x y y x                 2 ; ,xy xy z z z f x y y x x y                2 2 2 ; .yy y z z z f x y y y y              Аналогично вводятся понятия частных производных 3-го, 4-го, , n-го порядка, причем и для случая 3-х, 4-х и более переменных. Частная производная 2-го и более высокого порядка, взятая по различным аргументам, называется смешанной частной производ- ной. Так, смешанными производными для  ;f x y являются, например, 2 3 3 2 , , . f f f x y x y x y x           Пример 4.1. Найти частные производные 2 2 3 2 , , f f f x y y x x y          для функции   3; sin .z f x y x y  Решение. 2 33 sin , cos , f f x y x y x y         2 2 23 sin 3 cos , f x y x y x y y          2 3 2cos 3 cos , f x y x y y x x          3 2 2 2 2 3 cos 3 sin . f f x y x y y x y yx y                  41 Заметим, что в этом примере получено 2 2 . f f x y y x        Оказывается, что это равенство не является случайным. Имеет место следующая теорема. Теорема (Шварц). Если частные производные высшего поряд- ка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, от- личающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой. В частности, для  ;z f x y справедливо равенство: Доказательство равенства (4.1). Рассмотрим выражение         ; ; ; ; .A f x x y y f x x y f x y y f x y        Если ввести вспомогательную функцию        φ ; ; ; ,yx f x y y f x y f x y     то    φ φ .A x x x   Так как (по условию) xf  определена, то  φ x дифференцируема на отрезке  ; .x x x  Тогда по теореме Лагранжа: где  ; .x x x x  2 2 . z z x y y x        (4.1)  φ ,A x x   (4.2) 42 Но Так как xyf  определена и непрерывна, то xf  дифференцируема на отрезке  ; .y y y  Тогда еще раз применим к разности (4.3) теорему Лагранжа (по переменной y): где  ; .y y y y  В итоге из (4.2)–(4.4) Запишем теперь выражение А по другому. Переставим слагае- мые в А:          ; ; ; ; .A f x x y y f x y y f x x y f x y        Введем вспомогательную функцию      ψ ; ; ;x f x x y f x y     тогда Снова применяя два раза теорему Лагранжа к функции (4.6), по- лучим тем же путем, что и ранее:    ψ ψ .A y y y   (4.6)  , .xyA x y f x y    (4.5)      ; ; ; ,x x xyf x y y f x y y f x y        (4.4)      φ ; ; .x xx f x y y f x y      (4.3) 43 где    ; ; ; .x x x x y y y y    Из сравнения формул (4.5) и (4.7) следует:    ; ; .xy yxf x y f x y  Перейдем к пределу в последнем равенстве при 0; 0:x y    Ясно, что , , ,x x x x y y y y    при 0, 0.x y    Так как (по условию) yxxy ff  , – непрерывные функции, то равенство (4.8) становится следующего вида:    yxfyxf yxxy ;;  , что означает справедливость равенства (4.1). 4.2. Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных Полный дифференциал du функции от нескольких переменных есть в свою очередь функция тех же переменных. Следовательно, можно найти полный дифференциал этой новой функции. Таким образом получается так называемый дифференциал 2-го порядка 2d u исходной функции u, который будет также функцией тех же переменных. Его полный дифференциал называется дифференциа- лом 3-го порядка 3d u первоначальной функции и т. д. Пусть функция  ;u f x y – функция двух переменных x и y.     0 0 0 0 lim ; lim ; .xy yx x x y y f x y f x y           (4.8)  , ,yxA y x f x y    (4.7) 44 Рассмотрим случай, когда x и y являются независимыми пере- менными. Тогда d ; dx x y y    – величины постоянные. Следова- тельно, Получили формулу дифференциала 2-го порядка для функции 2-х переменных. Для дифференциала 3-го порядка будем иметь         3 3 3 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 ; ; d d 3 d d ; ; 3 d d d . f x y f x y u x x y x x y f x y f x y x y y x y y                  (4.10)    2 ; ;d d d d f x y f x y u x y x y              = /используем линейность полного дифференциала/ =    d ; d ; d d d d f x y f x y x y x y                     2 2 2 d ; d ; d d d f x y f x y x x y x yx           (4.9)    2 2 2 d ; d ; d d d f x y f x y y x y y x y                 2 2 22 2 2 2 d ; d ; d ; d 2 d d d . f x y f x y f x y x x y y x yx y       45 Пример 4.2. Найти дифференциал 2-го порядка для функции 2 5.u x y Решение. Найдем частные производные рассматриваемой функции: 2 2 5 2 4 5 4 2 32 , 5 , 2 , 10 , 20 .x y xyx y u xy u x y u y u xy u x y         Подставляем найденные частные производные 2-го порядка в формулу (4.9): 2 5 2 4 2 3 2d 2 d 20 d d 20 d .u y x xy x y x y y   Пример 4.3. Найти дифференциал 3-го порядка для функции 5 4 3 23 2 5 6.u x y x y x y      Решение. Найдем частные производные 3-го порядка, входящие в формулу (4.10): 2 3 4 2 2 3 2 2 25 9 2, 20 18 , 60 18 ,x x x u x x y u x xy u x y         2 3 3 3 2 34 6 5, 12 6 , 24 ,y y y u y x y u y x u y        2 2 2 236 , 18 , 18 .xyx y xy u xy u x y u x        В соответствии с формулой (4.10) имеем  3 2 2 3 2 2 2 3d 60 18 d 108 d d 54 d d 24 d .u x y x xy x y x x y y y     Рассматривая выражения для 2d u , 3d u , , приходим к следу- ющей символической формуле для дифференциала произвольного порядка :n N d d d . n nu x y f x y          46 Важно, что если dx и dy нельзя считать постоянными, то по- следняя формула уже не будет верна. Например, при 2n имеем      2 2; ;d d d d d d f x y f x y u u x x x x                  2; ;d d d . f x y f x y y y y y            Сумма 1-го и 3-го слагаемых даст выражение, ранее полученное для 2d u . Поэтому в итоге      2 2 22 2 2 2 2 ; ; ; d d 2 d d d f x y f x y f x y u x x y y x yx y              2 2; ;d d , f x y f x y x y x y       т. е. в данном общем случае выражение для 2d u содержит слагае- мые, зависящие от 2d x и 2d y , чего не было ранее в формуле (4.9) при 2.n  4.3. Формула Тейлора для функции нескольких переменных Рассмотрим случай функции  ;z f x y от двух независимых переменных. Введем новую вспомогательную независимую пере- менную t, полагая где , , ,a b h k – числа. ;x a ht y b kt    , (4.11) 47 Тогда      ; ; φf x y f a ht b kt t    – функция одной незави- симой переменной t. Причем По формуле Маклорена с остаточным членом Лагранжа получаем где 10  . Выразим теперь производные  ( )φ 0m и  ( 1)φ θn через функ- цию  ; .f x y Из (4.11) следует, что x и y – линейные функции ар- гумента t; d d ; d dx h t y k t  . Поэтому применяем символическую формулу для определения дифференциала порядка m функции  t :          d φ d d ; ; d . m m m mt x y f x y h k f x y t x y x y                       Откуда        φ ; . m m t h k f x y x y           При 0t будет ;x a ;y b при t будет θ ; θ .x a h y b k    Следовательно,            φ 0 ; ; , mm m x a y b h k f a b h k f x y a b x y                                1 1 φ θ θ ; θ . n n h k f a h b k a b                             ( ) ( 1)φ 0 φ 0 φ 0 φ θ φ 1 φ 0 , 1! 2! ! 1 ! n n n n          (4.13)        φ 0 ; ; φ 1 ; .f a b f a h b k    (4.12) 48 Подставим эти выражения в формулу (4.13), с учетом равенств (4.12) получим формулу Тейлора:      ; ; ;f a h b k f a b h k f a b a b                  (2) ( ) 1 1 ; ; 2! ! n h k f a b h k f a b a b n a b                            ( 1) 1 θ ; θ . 1 ! n h k f a h b k n a b              Заменим ; ; d ; d .a x b y h x k y    Получаем формулу Тейлора в виде Отметим, что правая часть формулы Тейлора (4.14) содержит  ;f x y и ее дифференциалы различных порядков. Пример 4.4. Разложить по формуле Тейлора функцию 5 4f x y  в т.  1; 2M до 2-го порядка включительно. Решение. Формула Тейлора в этом случае будет иметь вид        2d , d , 2! f M f x y f M f M     1 16 17,f M           0 0d ,x yf M f M x x f M y y     4 35 , 4 .x yf x f y          2d ; d ; d ; d ; 2! f x y f x x y y f x y f x y       (4.14)       1d ; d θd ; θd . ! 1 ! n nf x y f x x y y n n       49 Следовательно,          4 3d 5 1 1 4 2 2 5 1 32 2 ,f M x y x y                     2 2 2 22d 1 2 1 2 2 ,xyx y f M f M x f M x y f M y         где 2 2 3 220 , 0, 12 ,xyx y f x f f y           2 22d 20 1 48 2 .f M x y    Тогда разложение (4.14) будет иметь вид           2 2 , 17 5 1 32 2 10 1 24 2 .f x y x y x y         4.4. Аудиторные задания 1. Найти частные производные 2-го порядка. 1.1. 2 2ln .z x y  (Ответ:       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ; ; .xyx y y x xy x y z z z y x x y x y            ) 1.2. 2 2 .z x y xy   (Ответ: 2 22; 1; 2.xyx y z z z      ) 1.3.  cos 2 3 .z x y  (Ответ:      2 24cos 2 3 ; 6cos 2 3 ; 9cos 2 3 .xyx yz x y z x y z x y          ) 1.4. . x y z x y    (Ответ:       2 23 3 3 4 2 2 4 ; ; .xyx y y x y x z z z x y x y x y           ) 1.5. .xyzu e (Ответ:  2 2 2 ; 2 1 ;xyz xyzxyx u y z e u xyz e    2 2 2 2 2 2; .)xyz xyz y z u x z e u x z e   50 2. Найти частные производные 3-го порядка. 2.1. 3 3.z x y  (Ответ: 3 3 2 26; 0.x y x y xy z z z z       ) 2.2. xyzu  (Ответ: 1xyzu . Все остальные частные произ- водные 3-го порядка равны нулю.) 3. Найти дифференциал 2-го порядка. 3.1. 2 2.z x y (Ответ: 2 2 2 2 2d 2 d 8 d d 2 d .z y x xy x y x y   ) 3.2. . x z x y   (Ответ:     32 2 2d 2 d 2 d d 2 d / .z y x y x x y x y x y      ) 3.3. 2 cos .x yz e x  (Ответ:  22 2d cos dx yz e x x     2 2 2 24 d d 2 2 1 d .x y x yye x y e y y     ) 3.4. 3 3 .z x y xy   (Ответ: 2 2 2d 6 d 2d d 6 d .z x x x y y y   ) 3.5. 2 3 5.z x y x y    (Ответ: 2 3 2 2 2 2d 2 d 12 d d 6 d .z y x xy x y x y y   ) 4. Найти дифференциал 3-го порядка. 4.1. 2.x yz e e xy    (Ответ: 3 3 3d d d .x yz e x e y  ) 4.2. 4 22 .z x xy  (Ответ:  3 3 3d 24 d 24 10 d .z x x y y   ) 4.3. 4 3.z x y (Ответ: 3 3 2d 48 d 6d d .z x x x y  ) 4.4. 2 33 4 .z y x  (Ответ: 3 3d 24d .z x ) 5. Разложить по формуле Тейлора функцию 2 22 6 3 5f x xy y x y      в окрестности т.  1; 2 .M  (Ответ:          2 2 , 5 2 1 1 2 2 .f x y x x y y        ) 51 6. Разложить по формуле Маклорена до 4-го порядка включи- тельно функцию     1 2 2 2, 1 .f x y x y   (Ответ:       2 2 2 2 21 1, 1 . 2 8 f x y x y x y     ) 4.5. Домашние задания 1. Найти частные производные 2-го порядка. 1.1. 2 .x yu xyz e   (Ответ: 2 2; ; 2 ; x y x y x y xyx y u e u e u z e          2 ;yzu x  22 ; 0.)xz z u y u   1.2.  2cos .u x y (Ответ:    2 2 2 2 22 sin 4 cos ;xu y x y x y x y         2 4 2 2 3 2cos ; 2 sin 2 cos .)xyyu x x y u x x y x y x y      2. Найти дифференциал 2-го порядка. 2.1. 2 3.z x y (Ответ: 2 3 2 2 2 2d 2 d 12 d d 6 d .z y x xy x y x y y   ) 2.2. cos sin .z x y  (Ответ: 2 2 2d cos d sin d .z x x y y   ) 2.3.  ln .z x y xy   (Ответ:     2 2 2 3 2 1 1 1 1 d d 2 d d 4 4 y z x x y xyxx y x y                       2 2 3 1 1 d .) 4 y y xx y         3. Разложить по формуле Тейлора функцию  , 2xyf x y  в т.  1;1 .M (Ответ:         22, 2 2ln2 1 2ln2 1 ln 2 1f x y x y x               2 1 2ln2 ln2 1 1 ln2 1 .)x y y      52 5. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ЭКСТРЕМУМ. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ В ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ 5.1. Локальные экстремумы функций нескольких переменных Пусть функция  1 2, , , nu f x x x определена в области D пе- ременных 1 2, , , nx x x , а т.  0 01 02 0, , , nM x x x является внут- ренней точкой этой области D. Т. 0M называется точкой (локального) максимума (минимума) функции f, если существует такая -окрестность т. 0M , что для лю- бой т.  1 2, , , nM x x x D выполняется неравенство    0f M f M (соответственно – ). Если же для некоторой указанной -окрестности знак равенства может быть только в т. 0MM  , то соответствующий максимум (минимум) называется собственным или строгим (в противном случае – нестрогим, несобственным). Для обозначения максимумов и минимумов применяется и об- щий термин – экстремум, локальный экстремум. Теорема 5.1 (необходимое условие локального экстремума). Пусть функция  1 2, , , nu f x x x в некоторой т.  0 01 02 0, , , nM x x x имеет экстремум. Тогда, если в этой т. 0M существуют конечные частные производные 1-го порядка, то все эти частные производ- ные равны нулю: 53 0 0 0 1 2 0, 0, ................... 0. M M n M f x f x f x                (5.1) Т. 0M с таким свойством называются стационарными крити- ческими точками функции f. Доказательство. Зафиксируем 2 02 3 03 0, , , n nx x x x x x   , сохраняя 1x переменной величиной. Тогда получаем функцию от одной переменной 1 :x  1 02 03 0, , , , .nu f x x x x Так как по пред- положению в т.  0 01 02 0, , , nM x x x достигается экстремум (пусть это будет максимум для определенности), то отсюда следует, что в некоторой -окрестности точки 1 01x x должно выполняться нера- венство    1 02 03 0 01 02 03 0, , , , , , , ,n nf x x x x f x x x x , и поэтому указанная функция одной переменной в точке 011 xx  достигает максимума. Откуда по необходимому условию экстрему- ма функции одной переменной получаем   1 01 02 03 0 , , , , 0.x nf x x x x  То есть доказано первое из равенств (5.1). Аналогично доказы- ваются и все остальные равенства (5.1). Теорема доказана. 54 Достаточные условия существования экстремума функции 2-х переменных. Рассмотрим функцию 2-х переменных  , .u f x y Для нее справедлива следующая теорема. Теорема 5.2 (достаточное условие экстремума). Пусть т.  0 0 0,M x y является стационарной критической для функции  ,u f x y . Пусть в т. 0M и некоторой ее -окрестности  ,f x y имеет непрерывные частные производные до 2-го поряд- ка включительно. Обозначим    0 0 0 0, , , ,xx xyf x y A f x y B    0 0, .yyf x y C  Тогда Возможны следующие случаи: 1) если  0 0,M  то  ,f x y в т.  0 0 0,M x y имеет экстре- мум, причем максимум, если 0A и минимум, если 0;A 2) если  0 0,M  то  ,f x y в т.  0 0 0,M x y экстремума не имеет; 3) если  0 0,M  то экстремум в т.  0 0 0,M x y может быть, а может и не быть (т. е. требуется дополнительное исследова- ние). Доказательство этого утверждения получается путем анализа формулы Тейлора для функции  ,f x y при 1n . Пример 5.1. Исследовать на экстремум функцию 2 24 8 5 2.z x xy y x y      Решение. Определяем стационарные точки исходной функции из условия: 2. A B AC B B C     (5.2) 55 0, 0. x y z z      В нашем случае 2 4 1 0 2 4 1 4 16 5 0 4 16 5 3 8 3 4 8 2 8 .16 5 4 16 5 1 4 4 x y z x y x y z x y x y y y x y y x y x x                                          Получили одну стационарную т. 1 1 , . 4 8 M       Достаточное условие будем проверять с помощью определителя (5.2): 2 ,AB C   где 2 22; 16;x y A z B z     4 xyzC . Определитель      22 2 16 4 16 0. M A M A B C         Следовательно, экстремум существует. Так как 2 2 0,x A z   то в т. M будет минимум: min 1 3 9 1 15 19 2 . 16 8 8 4 8 16 z        Пример 5.2. Найти экстремум функции 2 33 18 30 4.z x y y x y     56 Решение. По необходимому условию существования экстремума имеем 2 2 2 2 6 18 0 3 3 3 30 0 10 0 x y z xy xy z x y x y                   1,2 2 2 3,42 3 3 3 3 . 9 10 0 11;9 x x y xy y y y yy y                         Получили четыре точки, подозреваемые на экстремум:        1 2 3 41, 3 , 1, 3 , 3,1 , 3, 1 .M M M M    Достаточное условие проверяем с помощью определителя 2 ,AB C   где 2 26 ; 6 ;x y A z y B z y     6 .xyC z x  Определитель будет равен   2 2 26 6 6 36 36 .y y x y x      В т.    1 11, 3 36 9 36 1 0M M      . Следовательно, в этой точке существует экстремум. Так как  1 18 0A M   , в т. 1M будет минимум:   2 3min 1 3 1 3 3 18 1 30 3 4 68.z z M            57 В т.    2 21, 3 36 9 36 1 0M M        тоже существует экс- тремум.   0182 MA . Следовательно, в т. 2M будет макси- мум:           2 3 max 3 1 3 3 18 1 30 3 4 76.z                Для т.  3 3,1M имеем  3 36 1 36 9 0M       в т. 3M экс- тремум не существует. Для т.  4 3,1M будет  4 36 1 36 9 0M       в т. 4M тоже не существует экстремум. 5.2. Условный экстремум Условным экстремумом функции  ,z f x y называется экс- тремум, который достигается при условии, что переменные x и y связаны дополнительным условием (ограничением)  φ , .x y b Исследования на условный экстремум удобно проводить с по- мощью функции Лагранжа: где  – множитель Лагранжа. Он неизвестен и подлежит определе- нию. Если задано n ограничений, то функция Лагранжа имеет вид т. е. функция Лагранжа содержит столько i, сколько задано допол- нительных условий.       1 1 , , λ , λ , λ φ , , m n i i i i F x y f x y x y b     (5.4)       , , λ , λ φ , ,F x y f x y x y b   (5.3) 58 Необходимым условием существования условного экстремума является равенство нулю частных производных 1-го порядка:   φ λ 0, φ λ 0, φ , 0; λ F f x x x F f y y y F x y                       – для функции (5.3) и    1 1 φ λ 0, φ λ 0, φ , 0), для функции 5.4 λ F f x x x F f y y y F x y                            2 2 φ , 0, λ φ , 0. λ m m F x y F x y         Решая полученные системы, определяем точки условного экс- тремума. Достаточное условие проверяется с помощью дифференциала 2-го порядка от функции Лагранжа в точке экстремума:        2 2 2 2 2d d 2 d d d .xyx y F M F M x F M x y F M y     59 Если в рассматриваемой т. M  2d 0F M  , то в этой точке ми- нимум, если  2d 0,F M  то – максимум. Пример 5.3. Найти экстремум функции 2 2 4z x y   при усло- вии, что 2 4x y  . Решение. Геометрически задача сводится к нахождению экстре- мальных значений аппликаты z к поверхности 2 2 4z x y   для точек ее пересечения с плоскостью 2 4x y  . Cоставляем функ- цию Лагранжа, определяемую формулой (5.3):    2 2, 4 λ 2 4 .F x y x y x y      Ее частные производные: 2 2λ, 2 λ, 2 4. λ F F F x y x y x y              Система уравнений необходимого условия примет вид 8 λ 52 2λ 0 λ 4 2 λ 0 . 2 5 2 4 0 λ 8 2λ 4 0 λ 2 5 x x x y y y x y                                    Получили т. 8 4 ; . 5 5 M        Находим частные производные 2-го порядка: 2 2 2 2 2 2 2 2, 2, 0.xyx y F F F F F F x yx y               60 Дифференциал 2-го порядка  2 2 2d 2d 2d 0.F M x y   Следова- тельно, в т. 8 4 ; 5 5 M        будет минимум. Минимальное значение функции: min 64 16 20 4 4 . 25 25 25 5 z        Пример 5.4. Найти экстремум функции yxyxyxz 3210 22  при условии, что 4.x y  Решение. В соответствии с формулой (5.3) функция Лагранжа будет иметь вид    2 2, , λ 10 2 3 λ 4 .F x y x xy y x y x y        Ее частные производные: 2 10 2 λ, 10 2 3 λ, 4. λ F F F x y x y x y x y                  Система уравнений необходимого условия существования условного экстремума будет равна 2 10 λ 2 0, 10 2 λ 3 0, 4 0. x y x y x y              Вычтем из первого уравнения второе: 61 8 8 5 0, 4 0. x y x y         Умножим второе уравнение на 8: 8 8 5, 37 37 27 16 37 , 4 4 . 8 8 32, 16 16 16 x y y y x y x y              Получили т. 27 37 , 16 16 M       . Частные производные 2-го порядка: 2 22, 2, 10.xyx y F F F     Дифференциал 2-го порядка исходной функции z в т. M будет равен  2 2 2d 2d 20d d 2d .F M x x y y   По выражению полученного дифференциала нельзя сделать за- ключение о его знаке. Поэтому обращаемся к ограничению и выра- жаем, например, x: 4 d d .x y x y    Подставляем вместо dx его выражение в дифференциал 2-го по- рядка:       22 2 2d 2 d 20 d d 2d 16d 0.F M y y y y y        Следовательно, в т. 27 37 , 16 16 M       будет максимум. 62 5.3. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области Пусть функция  ,z f x y определена и непрерывна в ограни- ченной замкнутой области D OXY и имеет в ней конечные част- ные производные. Тогда в этой области найдется т.  0 0 0,M x y , в которой функция достигает самое большое (самое малое) из всех значений (теорема Вейерштрасса). Такие значения называются гло- бальными экстремумами функции  ,f x y в области .D Если ука- занная т. 0M лежит внутри области ,D то в ней функция, очевид- но, достигает и локального максимума (минимума), поэтому такая точка должна быть стационарной критической для  , .f x y Однако своего наибольшего (наименьшего) значения функция  ,f x y мо- жет достигать и на границе области (линия Г). Кривая Г может со- стоять из одного или нескольких участков, описываемых уравнени- ями, например,  φy x (или  ψx y ), устанавливающими связь между переменными x и y; при этом  ,z f x y обращается в функцию от одной переменной (x или y). Экстремум этой функции может достигаться только в ее критических точках внутри соответ- ствующего участка линии границы либо в «точках стыковки» участков линий границы. В итоге правило нахождения наибольшего и наименьшего значе- ний указанной функции  ,z f x y в области D будет заключаться в следующем: 1) находятся критические т. 1 2, , , kM M M функции  ,f x y во внутренней части D ; 2) определяются критические т. 1 2, , , lN N N функции одной пе- ременной, получаемые внутри участков линии границы области D ; 3) находятся и сравниваются по величине значения  ,f x y во всех т. 1 2, , , kM M M , 1 2, , , lN N N , а также в т. А, В, , С «сты- ковки» участков линии границы области D ; 63 4) из всех полученных значений функции выбираются наиболь- шее и наименьшее значения. Пример 5.5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции 2 2 10 4 8 3z x y xy x y      в области D, ограниченной линиями 0, 0, 6.x y x y    Решение. Исходная область имеет вид, показанный на рис. 5.1. Рис. 5.1 Найдем стационарные точки рассматриваемой функции, принад- лежащие области D. Имеем 2 10 4 0 5 2 2 10 8 0 5 8 x y z x y x y z y x x y                  1 24 2 125 25 10 .8 1 5 8 8 19125 5 12 y y x y y x y x x                      64 Полученная т. 19 1 , 12 12 M       принадлежит области D. Значение функции в этой точке будет равно   2 2 19 1 19 1 36 152 10 3 5,6804. 12 12 12 12 12 12 z M                     Далее исследуем границу области D. Исследование проводим по всем участкам области. 1. Участок ОА. Уравнение этой стороны: 0x . Подставляем это значение x в исходную функцию: 2 1 8 3.z y y   Получили функцию одной переменной. Найдем ее стационарные точки: 1 2 4 0.z y    Откуда 2y . Найденная т.  1 0, 2M принадлежит стороне AB. Значение функции в этой точке:     21 1 1 2 8 2 3 9.z M z M       Значение функции в граничных точках O и A:    3, 100 80 3 23.z O z A     2. Участок ОВ. Уравнение стороны ОВ: 0y . Подставив вме- сто y его значение в исходную функцию, получим 3422  xxz . 65 Стационарная точка этой функции определяется из условия 2 0,z  т. е. 2 2 4 0, 2z x x     . Полученная т.  2 2, 0M принад- лежит линии ОВ. Значение функции в этой точке    2 2 2 4 8 3 1.z M z M      Значение функции в точке границы    2 100 40 3 63.z B z B     3. Участок АВ. Уравнение этой стороны: 10 .y x  Подставив в исходную функцию это выражение для y, получим       22 2 3 10 10 10 4 8 10 3 100z x x x x x x x            2 2 220 100 10 4 80 8 3 8 84 23.x x x x x x x x            Критические точки полученной функции определяем из условия 03 z : 3 16 84 0.z x     Откуда 844 21 21 , 10 10 19. 16 4 4 x y x       Полученная т. 3 21 19 , 4 4 M       принадлежит области D. Значение функции в этой точке:     2 3 3 3 21 21 8 84 1 23 243,5. 4 4 z M z M               Из всех найденных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее:    наиб. 3 наим. 1243,5; 9.z z M z z M     66 5.4. Аудиторные задания 1. Найти экстремум функции. 1.1. 4 4 2 22 4 2 .z x y x xy y     (Ответ:    min min2, 2 8; 2, 2 8.z z        ) 1.2.   2 2 2 23 .x yz e x y   (Ответ:      1 1max max min1, 0 3 ; 1, 0 3 ; 0, 0 0.z e z e z         ) 1.3. 3 23 51 24 .z x xy x y    (Ответ:    max min4, 1 152; 4,1 152.z z       ) 1.5. 2 26 10 2 6 7.z x xy y x y      (Ответ:  min 1, 0 6.z   ) 1.6. 2 22 4 6 8 16 19.z x xy y x y      (Ответ:  min 1, 1 7.z    ) 1.7. 2 22 4 12 .z x y x y    (Ответ:  min 2, 3 22.z     ) 1.8.   2 21 4 .z x y   (Ответ:  min 1, 0 0.z   ) 2. Найти условный экстремум функции. 2.1. 9 8 6z x y   при условии, что 2 22 25.x y  (Ответ: min 41.z   ) 2.2. 2 2z x y  при условии, что 2 6.x y  (Ответ: 12min z .) 2.3. 8 2 4z x y   при условии, что 2 22 12 0.x y   (Ответ: min max4; 20.z z   ) 2.4. 2 2 5 4 10z x y xy x y      при условии, что 4.x y  (Ответ: min 15 . 4 z  ) 2.5. 5z xy при условии, что 2 100.x y  (Ответ: max 50.z  ) 67 2.6. 2 2z x y  при условии, что 4 17 0.x y   (Ответ: min 17.z  ) 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области D. 3.1. 2 2 5 4 10, : 0, 0, 4.z x y xy x y D x y x y          (Ответ:      наим. наиб.2,1 3; 0, 0 0, 4 10.z z z z z     ) 3.2. 2 2 3 3 7, : 0, 0, 3.z x y xy x y D x y x y          (Ответ:        наим. наиб.1, 1 4; 0, 0 0, 3 3, 0 7.z z z z z z        ) 3.3. 1 2 3 , : 0, 0, 6.z x y D x y x y       (Ответ:    наим. наиб.0, 0 1; 0, 6 19.z z z z    ) 3.4. 2 2 2 2, : 9.z x y D x y    (Ответ:   2 2наим. наиб.0, 0 0; 9 в точках окружности 9.z z z x y     ) 3.5. 2 24 6 2 , : 0, 0, 2 3 6.z x xy y x y D x y x y         (Ответ:    наим. наиб.3, 0 9; 0, 0 0.z z z z     ) 5.5. Домашние задания 1. Найти экстремум функции. 1.1. 3 23 51 24 .z x xy x y    (Ответ:    max min4, 1 152; 4,1 152.z z z z       ) 1.2. 2 33 18 30 .z x y x y    (Ответ:    min max1, 3 72; 1, 3 72.z z z z       ) 1.3. 2 2 1 2 2 . 1 x y z x y      (Ответ:  max 2, 2 3.z z   ) 2. Найти условный экстремум функции. 2.1. 4 2 6z x y   при условии, что 2 24 8.x y  (Ответ: min max4 2 2, 4 2 2.z z    ) 2.2. 2 2 4 4 2z x y xy x y      при условии, что 4.x y  (Ответ: min 2.z   ) 68 2.3. 2 2 8 4 6 7z x y xy x y      при условии, что 4.x y  (Ответ: min 30,5.z  ) 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в обла- сти. 3.1. 2 2 6 7 10, : 0, 0, 8 2 .z x y xy x y D x y y x          (Ответ:    наиб. наим.4, 0 50; 0; 3, 5 2,25.z z z z     ) 3.2. 2 24 2 5 6, : 0, , 4.z x y xy x y D x y x x         (Ответ:    наиб. наим.8, 8 230; 0; 0 6.z z z z    ) 6. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 6.1. Суть метода наименьших квадратов Пусть в процессе эксперимента получены пары значений. xi x1 x2  xn yi y1 y2  yn Требуется установить зависимость вида  y f x . Если зависи- мость не задана, то на плоскости XOY строим исходные точки и со- единяем их отрезками прямых. По форме полученной ломаной ли- нии устанавливаем (приближенно) формулу связи между x и y (ли- нейная, нелинейная). 1. Пусть рассматривается линейная зависимость 0 1 ,y a a x  где 0a и 1a – неизвестные параметры, подлежащие определению. Значения этих параметров ( 0a , 1a ) определяем по методу наименьших квадратов. Суть метода состоит в том, что сумма квад- ратов отклонений расчетных значений от фактических должна быть величиной минимальной: 69 Подставляем в (6.1) исследуемую линейную зависимость:   2 0 1 1 min. n i i i l y a a x      Функция l является функцией 2-х переменных ( 0a и 1a ). Необ- ходимое условие существования экстремума вид       0 1 10 0 1 11 2 1 0, 2 0. n i i i n i i i i l y a a x a l y a a x x a                    Сократим уравнения системы на (–2):     0 1 1 2 0 1 1 0, 0. n i i i n i i i i i y a a x y x a x a x                Известно, что сумма разности равна разности сумм: 0 1 1 1 1 2 0 1 1 1 1 0, 0. n n n i i i i i n n n i i i i i i i y a a x y x a x a x                          2 1 min. n i i l y y     (6.1) 70 Коэффициенты 0a и 1a являются постоянными по отношению к суммам. Следовательно, их можно вынести за знак суммы: Полученная система является системой для определения неизвест- ных параметров 0a и 1a . Решая эту систему, определяем числовые значения 0a и 1a . Подставив найденные числовые значения 0a и 1a в рассматриваемую зависимость, получаем конечный результат. Пример 6.1. По данным эксперимента построить линейную за- висимость 0 1 .y a a x  x 1 2 3 4 5 y 0 1 2 3 5 Решение. Построим исходные точки на плоскости (рис. 6.1). Со- ответствующая ломаная линия близка к отрезку прямой. Рис. 6.1 0 1 1 1 2 0 1 1 1 1 0, 0 n n i i i i n n n i i i i i i i y na a x y x a x a x                      или 0 1 1 1 2 0 1 1 1 1 , . n n i i i i n n n i i i i i i i na a x y a x a x y x                    (6.1) 71 По исходным данным имеем 25, 15, 55, 11. 45.i i i i in x x y y x        Подставляем эти данные в систему (6.2) 0 1 0 1 5 15 11, 15 55 45. a a a a      Умножим первое уравнение на (–3): 0 1 1 10 1 15 45 33 10 12 1,215 55 45 a a a aa a            1 0 11 15 11 15 1,2 1,4. 5 5 a a        Подставляем найденные числовые значения 0a и 1a в функцию y: 1,4 1,2 .y x   Расчетная линия показана на рис. 6.1 пунктиром. Она близко подходит к исходной линии. 2. Рассмотрим параболическую зависимость (нелинейную) 2 0 1 2 .y a a x a x   Функция   2 2 0 1 1 min. n i i i l y a a x      Это функция 3-х переменных ( 0 1 2, ,a a a ). Необходимое условие существования экстремума имеет 72          2 0 1 2 10 2 0 1 2 11 2 2 0 1 2 12 2 1 0, 2 0, 2 0. n i i i i n i i i i i n i i i i i l y a a x a x a l y a a x a x x a l y a a x a x x a                                  Откуда       2 0 1 1 1 2 3 0 1 2 1 2 2 3 4 0 1 2 1 0, 0, 0 n i i i i n i i i i i i n i i i i i i y a a x a x y x a x a x a x y x a x a x a x                         или 2 0 1 2 1 1 1 2 3 0 1 2 1 1 1 1 2 2 3 4 0 1 2 1 1 1 1 0, 0, 0. n n n i i i i i i n n n n i i i i i i i i i n n n n i i i i i i i i i y a a x a x x y a x a x a x y x a x a x a x                                         Окончательно имеем 2 0 1 2 1 1 1 2 3 0 1 2 1 1 1 1 2 3 4 2 0 1 2 1 1 1 1 , , . n n n i i i i i i n n n n i i i i i i i i i n n n n i i i i i i i i i na a x a x y a x a x a x x y a x a x a x y x                                      73 Полученная система является системой для определения коэф- фициентов .ia Пример 6.2. Построить зависимость  y y x по данным. xi 0 1 2 3 4 yi 0 2 4 1 –1 Решение. На плоскости XOY строим данные точки и соответ- ствующую ломаную линию (рис. 6.2). Рис. 6.2 Видно, что зависимость между x и y близка к параболической. По исходным данным имеем 2 45, 10, 30, 354, 6,i i i in x x x y        210, 11.i i i iy x y x   74 Подставляем в расчетную систему: 0 1 2 0 1 2 0 1 2 5 10 30 6, 10 30 100 10, 30 100 354 11. a a a a a a a a a            Решая систему, находим 0 1 2 41 169 17 , , . 35 35 14 a a a    Исходная зависимость 241 169 17 . 35 35 14 y x x    Замечание. Для каждой зависимости получается своя расчетная система или уравнение, т. е. каждый раз в функцию l (6.1) подстав- ляем свою рассматриваемую зависимость. 6.2. Аудиторные задания 1. Найти зависимость .y ax 1.1. xi 1 2 3 4 5 6 yi 0,2 0,5 0,7 1 1,3 1,5 (Ответ: 0,25 .y x ) 1.2. xi 1 2 3 4 5 6 yi 2,2 4,5 6,7 9 11 13,5 (Ответ: 2,23 .y x ) 1.3. xi 10 20 30 40 50 yi –21 –42,5 –64 –85 –106 (Ответ: 2,12 .y x  ) 75 2. Найти зависимость 0 1 .y a a x  2.1. xi 2 4 5 6 8 yi –1 5 8,5 12 18 (Ответ: 7,5 3,2 .y x   ) 2.2. xi 1 1,5 2 2,5 3 yi 2,1 2,2 2,7 2,8 2,85 (Ответ: 1,69 0,42 .y x  ) 2.3. xi 1 2 3 4 5 6 yi 2 4,9 7,9 11,1 14,1 17 (Ответ: 1,081 3,023 .y x   ) 2.4. xi 0,2 0,5 0,7 0,9 1,3 1,5 yi 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 (Ответ: 3,626 0,381 .y x  ) 3. Найти параболическую зависимость 20 1 .y a a x  3.1. xi 1 2 3 4 5 yi 1 6 13 24 37 (Ответ: 21,5 0,3.y x  ) 3.2. xi 1 2 3 4 5 yi 0 –2 –6 –11 –18 (Ответ: 20,75 0,85.y x   ) 76 3.3. xi 1 2 3 4 5 yi –1 –1,5 –2 –3 –4,5 (Ответ: 20,14 0,86.y x   ) 4. Найти зависимость 20 1 2 .y a a x a x   4.1. xi 1 2 3 4 5 yi 2,9 8,9 19,1 33,2 50,8 (Ответ: 21,936 0,394 0,502.y x x   ) 4.2. xi –2 –1 0 1 2 3 yi 6,8 5,7 2,5 1,6 3,1 5,9 (Ответ: 20,684 1,061 2,631.y x x   ) 4.3. xi 1 2 3 4 5 yi 1 4 7 3 1 (Ответ: 227,41 0,033 2,21 .y x x   ) 6.3. Домашние задания 1 Найти зависимость axy  . 1.1. xi 2 4 6 8 10 yi 2,5 5 7,5 10 13 (Ответ: 1,27 .y x ) 1.2. xi 10 20 30 40 50 yi –7,5 –15 –20 –30 –37 (Ответ: 0,73 .y x  ) 77 2. Найти зависимость 0 1 .y a a x  2.1. xi –2 0 1 2 4 yi 0,5 1 1,5 2 3 (Ответ: 1,175 0,425 .y x  ) 2.2. xi –2 –1 0 1 2 3 yi 2,3 2,8 3,6 4 4,7 5 (Ответ: 3,45 0,56 .y x  ) 3. Найти зависимость 2 210 xaxaay  . xi 1 2 3 4 5 yi 7 3 0 2 6 (Ответ: 219 9,3 1,5 .y x x   ) ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ 1. Для данной функции найти: 1) полный дифференциал в т. M при 0,05, 0,03;x y    2) градиент в т. M; 3) производную в т. M в направлении вектора MN ; 4) используя полный дифференциал, вычислить приближенное значение функции в т. P; 5) экстремумы; 6) условные экстремумы, если переменные связаны заданным условием; 7) наименьшее и наибольшее значение функции в заданной об- ласти. 78 2. В таблице приведены значения Y и X. Методом наименьших квадратов найти коэффициенты ia уравнений, полагая, что между этими величинами существует: 1) линейная зависимость вида ;y ax b  2) квадратичная зависимость вида 2 .y ax bx c   Вариант 1 1.  4 .z xy x y   1)  1, 1 ;M  2)  1, 1 ;M  3)    1, 1 ; 2, 3M N ; 4)  1,02; 0,98 ;P  5) 2 5 0;x y   6) в треугольнике: 0, 0, 3.x y x y    2. X 1 3 4 6 7 Y 2 2,5 3 3,5 5 Вариант 2 1.     2 2 2 3 3. 9 4 x y z      1)  2,1M ; 2)  2,1M ; 3)    2,1 ; 2, 3M N ; 4)  1,03;1,01P ; 5) 2 5 0;x y   6) в треугольнике: 0, 0, 4.x y x y    2. X 2 2,5 4 4,5 5 Y 1,5 3 3,5 4 3,5 Вариант 3 1. 3 3 12 .z x y xy   1)  1,1 ;M 2)  1,1M ; 3)    1,1 ; 2, 3 ;M N 4)  0,98;1,01 ;P  5) 2 1 0;x y   6) в треугольнике: 0, 0, 1.x y x y    2. X 2,5 3 3,5 4,5 6 Y 2 4 3,5 4 4,5 79 Вариант 4 1. 2 2 12 3.z x y xy    1)  1, 1 ;M   2)  1, 1 ;M   3)    1, 1 ; 2, 3 ;M N  4)  1,03; 0,98 ;P 6) 2 1 0;x y   7) в треугольнике: 0, 0, 1.x y x y     2. X 1,5 2 2,5 3,5 4 Y 1 2 2,5 3 2,5 Вариант 5 1. 2 24 4 2 5.z x y x y     1)  1, 2 ;M 2)  1, 2 ;M 3)    1, 2 ; 2, 3 ;M N 4)  0,97; 0,98 ;P  5) 5 0;x y   6) в треугольнике: 0, 0, 2.x y x y    2. X 3 3,5 4 4,5 5,5 Y 1 1,5 2 3 3,5 Вариант 6 1. 2 25 4 6 8 1.z x y xy x y      1)  2, 1 ;M  2)  2, 1 ;M  3)    2, 1 ; 2, 3 ;M N 4)  0,95; 1,03 ;P 5) 3 5 0;x y   6) в треугольнике: 0, 0, 1.x y x y    2. X 2 2,5 3 3,5 5 Y 2 3 3,5 4 4 80 Вариант 7 1.   22 28 yxyxz  . 1)  1, 0 ;M 2)  1, 0 ;M 3)    1, 0 ; 2, 3 ;M N 4)  1,01; 0,98 ;P  5) 1 0;x y   6) в треугольнике: 0, 0, 2.x y x y    2. X 3,5 4 5 5,5 6 Y 1 1,5 2 2,5 4 Вариант 8 1. 2 22 4 12 1.z x xy y x y      1)  0, 1 ;M  2)  0, 1 ;M  3)    0, 1 ; 2, 3 ;M N 4)  1,02; 0,98 ;P  5) 3 1 0;x y   6) в треугольнике: 0, 0, 1.x y x y    2. X 2 2,5 3 3,5 5 Y 4 3 2,5 2 1 Вариант 9 1.     2 2 3 2 1. 4 9 x y z      1)  1,1 ;M 2)  1,1 ;M 3)    1,1 ; 2, 3 ;M N 4)  1,05;1,02 ;P 5) 3 0;x y   6) в треугольнике: 0, 0, 2.x y x y    2. X 1 1,5 3 3,5 4 Y 3,5 2 2,5 3 2,5 Вариант 10 1.     2 2 1 2 . 4 y z x     81 1)  1, 2 ;M  2)  1, 2 ;M  3)    1, 2 ; 2, 3 ;M N 4)  0,96; 0,98 ;P  5) 2 1 0;x y   6) в треугольнике: 0, 0, 2.x y x y     2. X 1,5 2 3 3,5 4,5 Y 2 2,5 4 3 3,5 Вариант 11 1. 2 24 3 2 4 4.z x xy y x y      1)  2, 1 ;M  2)  2, 1 ;M  3)    2, 1 ; 2, 3 ;M N 4)  1,02; 1,05 ;P  5) 2 3 6 0;x y   6) в треугольнике: 0, 0, 1.x y x y    2. X 2 2,5 3,5 4 4,5 Y 3 3,5 2,5 2 2,5 Вариант 12 1. 2 22 3 2 6.z xy x y    1)  0, 1 ;M  2)  0, 1 ;M  3)    0, 1 ; 2, 3 ;M N 4)  1,03; 0,95 ;P  5) 0632  yx ; 6) в треугольнике: 0, 0, 2.x y x y     2. X 3 3,5 4 4,5 6 Y 1 1,5 2,5 2 2,5 Вариант 13 1. 2 24 2 4 4 3.z x xy y x y      1)  1, 1 ;M  2)  1, 1 ;M  3)    1, 1 ; 2, 3 ;M N 4)  1,02; 0,98 ;P  5) 3 6 0;x y   6) в треугольнике: 0, 0, 2.x y x y    2. X 2 2,5 3 3,5 4,5 Y 2,5 3 4 3,5 4 82 Вариант 14 1. 2 22 6 5.z x y xy    1)  1, 2 ;M  2)  1, 2 ;M  3)    1, 2 ; 2, 3 ;M N 4)  1,05; 0,98 ;P  5) 2 1 0;x y   6) в треугольнике: 0, 0, 5.x y x y    2. X 2,5 3 3,5 4 5 Y 3 3,5 4 3,5 4,5 Вариант 15 1. 2 23 4 3 6 10.z x y xy x y      1)  2, 1 ;M  2)  2, 1 ;M  3)    2, 1 ; 2, 3 ;M N 4)  1,03; 0,97 ;P  5) 5 0;x y   6) в треугольнике: 0, 0, 1.x y x y     2. X 2 3 4 4,5 5 Y 4 4,5 5 4,5 5,5 Вариант 16 1. 2 23 6 2 3.z x y xy x      1)  1,1 ;M 2)  1,1 ;M 3)    1,1 ; 2, 3 ;M N 4)  1,02; 0,95 ;P  5) 01 yx ; 6) в треугольнике: 0, 0, 2.x y x y    2. X 1 1,5 2 2,5 3 Y 3 3,5 4,5 4 4,5 Вариант 17 1. 2 22 2 3.z xy x y x     1)  3, 1 ;M  2)  3, 1 ;M  3)    3, 1 ; 2, 3 ;M N 4)  1,03; 0,97 ;P  5) 3 6 0;x y   6) в треугольнике: 0, 0, 2.x y x y     83 2. X 1,5 2 2,5 3 3,5 Y 2 2,5 3,5 4 4,5 Вариант 18 1. 2 24 2 4 8 5.z x y xy x y      1)  1, 0 ;M 2)  1, 0 ;M 3)    1, 0 ; 2, 3 ;M N 4)  1,02; 0,95 ;P  5) 2 4 0;x y   6) в треугольнике: 0, 0, 3.x y x y    2. X 1 1,5 2 3 4 Y 3 3,5 4,5 4 5 Вариант 19 1.  2 2 .z xy x y   1)  2, 1 ;M  2)  2, 1 ;M  3)    2, 1 ; 2, 3 ;M N 4)  0,98; 1,02 ;P  5) 2 1 0;x y   6) в треугольнике: 0, 0, 2.x y x y    2. X 3 3,5 4 4,5 5 Y 2 2,5 3 2,5 3 Вариант 20 1. 2 2 6 2 3.z x y xy x      1)  3, 1 ;M  2)  3, 1 ;M  3)    3, 1 ; 2, 3 ;M N 4)  1,05; 0,95 ;P  5) 2 1 0;x y   6) в треугольнике: 0, 0, 1.x y x y     2. X 3,5 4 4,5 6 6,5 Y 1 1,5 2 3 3,5 84 Вариант 21 1.  2 1 .z xy x y   1)  1, 2 ;M 2)  1, 2 ;M 3)    1, 2 ; 2, 3 ;M N 4)  1,01; 0,95 ;P  5) 2 4 0;x y   6) в треугольнике: 0, 0, 1.x y x y    2. X 2 2,5 3 3,5 4 Y 2,5 3 4 3,5 3,5 Вариант 22 1. 2 24 3 2 4 4.z x xy y x y      1)  1, 1 ;M  2)  1, 1 ;M  3)    1, 1 ; 2, 3 ;M N 4)  1,05; 0,96 ;P  5) 3 0;x y   6) в треугольнике: 0, 0, 2.x y x y     2. X 3 3,5 4 4,5 5 Y 2 2,5 3,5 3 4 Вариант 23 1. 2 26 2 4 4 3.z x xy y x y      1)  2, 1 ;M  2)  2, 1 ;M  3)    2, 1 ; 2, 3 ;M N 4)  0,98; 1,02 ;P 5) 033  yx ; 6) в треугольнике: 0, 0, 1.x y x y    2. X 1 1,5 2 2,5 3 Y 2 2,5 3 2,5 3,5 Вариант 24 1. 2 22 4 4 8 5.z x xy y x y      1)  1, 2 ;M  2)  1, 2 ;M  3)    1, 2 ; 2,3 ;M N 4)  1,03; 0,95 ;P  5) 042  yx ; 6) в треугольнике: 0, 0, 1.x y x y    2. X 3,5 4 4,5 5 6 Y 1,5 2 2,5 4 3,5 85 Вариант 25 1. 2 2 6 2 3.z x y xy x      1)  2, 1 ;M  2)  2, 1 ;M  3)    2, 1 ; 2, 3 ;M N 4)  1,02; 0,98 ;P  5) 2 5 0;x y   6) в треугольнике: 0, 0, 3.x y x y    2. X 2 2,5 3 3,5 4 Y 1,2 1,4 1,4 1,6 1,7 Вариант 26 1. 2 22 4 6 8 1.z x y xy x y      1)  1, 1 ;M   2)  1, 1 ;M   3)    1, 1 ; 2, 3 ;M N  4)  1,05; 0,97 ;P  5) 3 0;x y   6) в треугольнике: 0, 0, 2.x y x y     2. X 2 3 3,5 5 6 Y 1,3 1,5 1,8 1,6 1,8 Вариант 27 1.  2 1 .z xy x y   1)  2, 1 ;M  2)  2, 1 ;M  3)    2, 1 ; 2, 3 ;M N 4)  1,01; 0,95 ;P  5) 2 12 0;x y   6) в треугольнике: 0, 0, 1.x y x y     2. X 1 3 4 4,5 5 Y 1,1 1,5 1,6 1,5 1,7 Вариант 28 1. 2 22 4 8 6 1.z x y xy x y      1)  2, 1 ;M  2)  2, 1 ;M  3)    2, 1 ; 2, 3 ;M N 4)  1,03; 0,97 ;P  5) 3 3 0;x y   6) в треугольнике: 0, 0, 2.x y x y    2. X 2 3 3,5 5 6 Y 1,3 1,5 1,8 1,6 1,8 86 Вариант 29 1. 2 24 8 1.z x y xy x y      1)  1, 2 ;M  2)  1, 2 ;M  3)    1, 2 ; 2, 3 ;M N 4)  1,05; 0,96 ;P  5) 3 6 0;x y   6) в треугольнике: 0, 0, 3.x y x y    2. X 2 3 3,5 5 6 Y 1,3 1,5 1,8 1,6 1,8 Вариант 30 1. 2 26 12 6 4 1.z x y xy x y      1)  1, 1 ;M   2)  1, 1 ;M   3)    1, 1 ; 2, 3 ;M N  4)  0,98; 0,97 ;P  5) 1 0;x y   6) в треугольнике: 0, 0, 2.x y x y    2. X 1 1,5 2 2,5 3 Y 1,2 1,5 1,7 1,5 1,8 87 ЛИТЕРАТУРА 1. Кремер, Н. Ш. Высшая математика для экономистов / Н. Ш. Кремер [и др.]. – М. : [Б. м.], 1997. 2. Жевняк, Р. М. Высшая математика : в 4 ч. / Р. М. Жевняк, А. А. Карпук. – Минск : Выш. шк, 1992–1996. 3. Кузнецов, А. В. Сборник задач и упражнений по высшей ма- тематике: общий курс / А. В. Кузнецов [и др.]. – Минск : Выш. шк, 1994. 4. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : в 2 ч. / П. Е. Данко, А. Г. Попов. – М.: Высш. шк, 1974. – Ч 1. 88 Учебное издание ЛЕБЕДЕВА Галина Ивановна РОМАНЮК Георгий Александрович МАРТЫНЕНКО Игнат Михайлович ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Методическое пособие Редактор Т. В. Грищенкова Компьютерная верстка А. Г. Занкевич Подписано в печать 06.02.2013. Формат 6084 1/16. Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 5,12. Уч.-изд. л. 4,0. Тираж 250. Заказ 904. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. Пр. Независимости, 65. 220013, г. Минск.