Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Сопротивление материалов машиностроительного профиля» МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ Методические указания и задания к контрольным работам М и н с к 2 0 0 9 Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Сопротивление материалов машиностроительного профиля» МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ Методические указания и задания к контрольным работам для студентов технических специальностей заочной формы обучения М и н с к 2 0 0 9 УДК 620.1 (075.4) ББК 30.3я7 М 55 С о с т а в и т е л и: Ч.А. Якубовский, А.Ч. Якубовский Р е ц е н з е н т ы: Ю.В. Василевич, В.А. Сидоров Методические указания по выполнению контрольных работ по курсу «Механика материалов» («Сопротивление материа- лов») предназначены для студентов технических специально- стей заочной формы обучения высших учебных заведений. В издании приведены варианты заданий и даны указания о по- рядке и форме выполнения контрольных работ. Указания содержат необходимую информацию для выполне- ния контрольных работ студентами заочной формы обучения: перечень тем основных разделов курса, достаточных для само- стоятельного изучения; требования к оформлению и методиче- ские указания по выполнению контрольных работ; контрольные задания по каждому из разделов курса; список литературы, ре- комендуемой для изучения курса и выполнения заданий. Использование методических указаний будет способство- вать качественному выполнению студентами заочной формы обучения контрольных работ, а также может быть полезно студентам при самостоятельной подготовке. © БНТУ, 2009 3 В В Е Д Е Н И Е Механика материалов (сопротивление материалов) явля- ется одной из основных дисциплин подготовки инженеров технических специальностей. Правильное решение задач по расчету на прочность, жесткость и устойчивость элементов конструкций, находящихся в различных эксплуатационных условиях, является гарантией надежности и долговечности конструкции в целом. Для успешного самостоятельного освоения курса механики материалов необходимо ознакомиться со всеми изучаемыми разделами курса, составив краткий конспект по каждой теме, подробно разобрать примеры решения задач по основным те- мам, выполнить контрольные задания. Контрольная работа – текущая учебная работа студента заочной формы обучения, предусмотренная учебным планом изучаемой дисциплины и выполняемая самостоятельно. Цель работы – усвоение, систематизация и закрепление учеб- ного материала по изучаемым разделам дисциплины, а также приобретение навыков применения на практике знаний, полу- ченных при самостоятельном изучении предмета. Количество контрольных работ для студентов различных специальностей устанавливается учебным планом. Рекомен- дуемые задачи, входящие в состав каждой из контрольных ра- бот, указаны в таблице. № п/п К ол ич ес тв о ко нт ро ль ны х ра бо т Номера задач, входящих в контрольные работы К. р. № 1 К. р. № 2 К. р. № 3 К. р. № 4 1 4 1(а, б), 2, 3 4(а, б), 5, 6 7, 8, 9, 10 11, 12, 13, 14 2 3 1(а, б), 2, 3, 4(а) 4(б), 5, 6, 7, 8 9, 11, 12, 13 — 3 2 1(б), 2, 3, 4(а, б), 6 7, 9, 10, 11, 12 — — 4 1 1(б), 2, 3, 4(а), 9, 12 — — — 4 В случае изменения учебных планов допускаются дополне- ния и изменения в данной таблице. Кроме того, тематика за- дач в контрольной работе, их количество может регулировать- ся преподавателем. Приступать к выполнению контрольных работ следует по- сле тщательного изучения соответствующего раздела курса механики материалов [1–26]. ТЕМЫ ОСНОВНЫХ РАЗДЕЛОВ КУРСА Основные понятия Задачи и основные гипотезы курса «Механика материалов» («Сопротивление материалов»). Классификация объектов рас- чета. Внешние и внутренние силовые факторы. Метод сече- ний. Понятия о напряжениях и деформациях. Деформации и перемещения. 1. Геометрические характеристики плоских сечений Классификация геометрических характеристик плоских се- чений и их использование в расчетах на прочность и жесткость. Статические моменты. Центр тяжести простого и сложного се- чения. Моменты инерции плоских сечений. Свойство осевых моментов инерции. Характерные особенности симметричных сечений. Моменты инерции относительно параллельно смещен- ных осей. Моменты инерции сложных сечений. Моменты инер- ции относительно наклонных осей. Свойство инвариантности осевых моментов. Главные центральные оси, их положение. Главные моменты инерции. Правильные сечения. Моменты со- противления и радиусы инерции плоских сечений. 2. Напряженно-деформированное состояние в точке Нормальные и касательные напряжения. Главные напряже- ния и главные площадки. Виды напряженного состояния. Ли- 5 нейное напряженное состояние, напряжения на наклонной пло- щадке. Плоское напряженное состояние, напряжения на наклон- ных площадках (прямая и обратная задача). Объемное напря- женное состояние. Деформированное состояние. Обобщенный закон Гука. Относительная объемная деформация. Относитель- ная энергия. Энергия изменения формы и объема. Коэффици- ент поперечной деформации (Пуассона). Модуль продольной упругости (Юнга). Основные теории прочности. Основные механические ха- рактеристики прочности и пластичности материалов. Отличи- тельные особенности сопротивления пластичных и хрупких материалов. Допускаемое напряжение. Коэффициент запаса прочности. Абсолютная и относительная деформация. Полная и остаточная деформация. 3. Простые виды сопротивления Осевое растяжение и сжатие стержней и стержневых си- стем, принципиальные схемы реализации. Внутренний сило- вой фактор, эпюра продольных сил. Напряжения и их распре- деление по сечению. Условие прочности. Деформации, эпюра перемещений растянутого или сжатого стержня. Условие жесткости. Работа осевого растяжения–сжатия. Сдвиг. Закон Гука при сдвиге. Связь модуля сдвига с моду- лем продольной упругости. Кручение стержней круглого сечения, принципиальная схе- ма реализации. Внутренний силовой фактор, эпюра крутящих моментов. Напряжения и их распределение по сечению. Усло- вие прочности. Деформации, эпюра перемещений (углов по- ворота сечений) скрученного стержня. Условие жесткости. Относительный угол закручивания. Работа кручения стержня круглого сечения. Кручение стержней некруглого поперечно- го сечения. 6 Плоский поперечный изгиб балок и рам, принципиальные схемы реализации. Внутренние силовые факторы, эпюры по- перечных сил и изгибающих моментов. Нормальные напря- жения и их распределение по сечению. Условие прочности по нормальным напряжениям. Касательные напряжения и их рас- пределение по сечению. Условие прочности по касательным напряжениям. Главные напряжения. Деформации, эпюра пере- мещений (прогибов и углов поворота сечений) изогнутого стержня. Метод начальных параметров. Силовой метод расче- та деформаций (метод Верещагина). Работа плоского попе- речного изгиба. 4. Статически неопределимые системы Степень статической неопределимости. Метод сил для рас- чета неразрезных балок, статически неопределимых рам и других систем. Основная и эквивалентная системы. Канони- ческие уравнения метода сил. 5. Сложные виды сопротивления Изгиб в двух плоскостях, косой изгиб (в контрольных ра- ботах задача не предусмотрена). Внутренние силовые факто- ры. Положение нейтральной оси. Напряжения и их распреде- ление по сечению. Условие прочности. Деформации и пере- мещения при косом изгибе. Внецентренное растяжение–сжатие. Внутренние силовые факторы. Положение нейтральной оси. Напряжения и их рас- пределение по сечению. Условие прочности. Ядро сечения стержня. Геометрические характеристики поперечного сече- ния стержня в расчетах на прочность. Совместное действие кручения и изгиба. Внутренние сило- вые факторы. Эквивалентный момент и эквивалентное напря- жение. Условие прочности. Расчет валов. 7 Расчет стержней с «ломаной» или разветвленной осью, про- странственных стержней. 6. Устойчивость сжатых стержней Напряжения в расчетах на устойчивость. Условие устойчи- вости. Гибкость длинномерного сжатого стержня. Коэффици- ент условий закрепления стержня. Геометрические характери- стики поперечного сечения стержня в расчетах на устойчи- вость. Критическая сила и критическое напряжение при рас- чете стержня на устойчивость. Формула Эйлера. Формула Ясинского. Запас устойчивости сжатого стержня. 7. Динамическое воздействие на систему Упругие колебания. Собственные и вынужденные колеба- ния. Коэффициент нарастания колебаний. Резонанс. Динами- ческий коэффициент. Динамические напряжения и деформа- ции при упругих колебаниях. Ударные нагрузки. Динамический коэффициент. Динами- ческие напряжения и деформации при ударе. Учет сил инерции (в контрольных работах задача не предусмотрена). 8 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 1. Порядок выбора исходных данных Исходные данные для решения задач выбираются студентом из таблиц, прилагаемых к условию каждой задачи, в соответ- ствии со своим учебным шифром. Шифром считаются три по- следние цифры номера зачетной книжки, указанные после дроби: № ХХХХХХ / ХХХ. Например, номер зачетной книжки – 321321 / 123, тогда шифр – 123. Если номер зачетной книжки после дроби имеет двухзнач- ное число: № ХХХХХХ / ХХ, то для составления шифра следует записать перед этим чис- лом ноль. Например, номер зачетной книжки – 321321 / 23, тогда шифр – 023. Если номер зачетной книжки после дроби имеет однознач- ное число: № ХХХХХХ / Х, то для составления шифра следует записать перед этим чис- лом два ноля. Например, номер зачетной книжки – 321321 / 3, тогда шифр – 003. Таблицы исходных данных состоят из трех частей. Из каж- дой части таблицы (в порядке расположения цифр в шифре) выписываются данные из той строки, номер которой соответ- ствует цифре шифра. Например, учебный шифр студента – 276. В этом случае из первой (левой) части таблицы выписываются данные со строки 2, из второй (средней) части таблицы – со строки 7, из третьей (правой) части – со строки 6. Работы, выполненные не по шифру, возвращаются сту- денту без рассмотрения и не зачитываются. 9 2. Требования к оформлению контрольных работ Каждую контрольную работу следует выполнять в отдель- ной тетради с полями для замечаний рецензента в рукописном варианте (четким, легко читаемым почерком). На титульном листе контрольной работы (на внешней стороне обложки тетради) должны быть указаны следующие сведения: – название дисциплины; – номер контрольной работы; – фамилия, имя, отчество студента; – название факультета; – специальность; – учебный шифр; – точный почтовый адрес студента. Каждую задачу контрольной работы следует начинать с чис- той страницы тетради. После условия задачи необходимо вычертить заданную схе- му в соответствии с исходными данными и указать на ней чис- ловые значения всех размеров и нагрузок с их размерностями. Решение задачи должно сопровождаться кратким текстовым пояснением. Все расчетные формулы необходимо записывать с расшифровкой входящих в них символов. После подстановки в формулу числовых значений символов указывается результат вычислений и его размерность. Промежуточные результаты, используемые в дальнейших расчетах, а также окончательные результаты необходимо выделять (подчеркивать). Расчеты должны сопровождаться графическими построе- ниями (схемами, чертежами, эпюрами), где отражаются все про- водимые вычисления. Например, на всех эпюрах должны быть проставлены числовые значения всех характерных ординат и указана их размерность. Работы, не удовлетворяющие требованиям к оформле- нию, возвращаются студенту без рассмотрения и не зачи- тываются. 10 3. Процедура отчетности Выполненную работу студент сдает на кафедру (лично или почтой), где она регистрируется и передается преподавателю кафедры на рецензию. В 10-дневный срок со дня получения работы она должна быть проверена и отмечена рецензентом как зачтенная или не- зачтенная с соответствующей записью в журнале регистраций контрольных работ, и возвращена студенту. Получив после рецензирования контрольную работу, студент должен исправить все отмеченные ошибки и выполнить все ука- занные преподавателем исправления и дополнения, даже если работа зачтена. Если работа не зачтена, необходимо выполнить на чистых листах этой же тетради исправления и дополнения и представить всю работу целиком на повторную рецензию. Студент с незачтенной контрольной работой считается не выполнившим учебную программу дисциплины и не допускается кафедрой к экзамену. 11 КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Задача 1 Для стержневых конструкций (рис. 1.1 – стальной ступен- чатый стержень; рис. 1.2 – стержневая система) требуется: 1) для ступенчатого стержня: а) построить эпюры внутренних продольных сил и нор- мальных напряжений от действия заданных внешних сил F1 и F2 и собственного веса стержня; б) вычислить перемещение ступеньки стержня, если мо- дуль продольной упругости материала стержня Е = 2⋅105 МПа, а удельный вес материала γ = 7,8∙104 Н/м3; в) установить нижнюю опору без зазора и построить эпюры внутренних продольных сил, нормальных напряжений и пе- ремещений; собственный вес стержня не учитывать; 2) для стержневой системы: а) определить внутренние продольные силы и нормальные напряжения в стальных стержнях 1 и 2 при заданной внешней нагрузке F или q; б) найти величину наибольшей допускаемой нагрузки, если [σ] = 160 МПа; в) определить коэффициенты запаса прочности стержней при найденной допускаемой нагрузке; г) вычислить допускаемую нагрузку по несущей способно- сти, если предел текучести материала стержней σТ = 240 МПа и коэффициент запаса k = 1,5; д) сравнить найденные значения допускаемой нагрузки. Числовые данные для ступенчатого стержня взять из табл. 1.1, для стержневой системы – из табл. 1.2. 12 Таблица 1.1 П ер ва я ци ф ра ш иф ра a, м А, см2 В то ра я ци ф ра ш иф ра b, м F1, кН Т ре ть я ц иф ра ш иф ра (№ с хе м ы ) c, м F2, кН 1 1,2 11 1 1,1 0,5 1 2,1 2,1 2 1,4 12 2 1,2 0,6 2 2,2 2,2 3 1,6 13 3 1,3 0,7 3 2,3 2,3 4 1,8 14 4 1,4 0,8 4 2,4 2,4 5 2,0 15 5 1,5 1,0 5 2,5 2,5 6 2,2 16 6 1,6 1,2 6 2,6 2,6 7 2,4 17 7 1,7 1,4 7 2,7 2,7 8 2,6 18 8 1,8 1,6 8 2,8 2,8 9 2,8 19 9 1,9 1,8 9 2,9 2,9 0 3,0 20 0 2,0 2,0 0 3,0 3,0 Таблица 1.2 П ер ва я ци ф ра ш иф ра F, кН q, кН/м а, м l1, м В то ра я ци ф ра ш иф ра А1, см2 b, м l2, м Т ре ть я ц иф ра ш иф ра (№ с хе м ы ) А2, см2 α1, гра- дус α2, гра- дус 1 20 – 1,0 2,1 1 6 1,1 1,2 1 6 30 60 2 – 10 1,2 2,2 2 7 1,2 1,4 2 7 90 90 3 30 – 1,4 2,3 3 8 1,3 1,6 3 10 80 50 4 – 15 1,6 2,4 4 9 1,4 1,8 4 12 50 80 5 40 – 1,8 2,5 5 10 1,5 2,0 5 14 90 90 6 – 20 2,0 2,6 6 11 1,6 2,2 6 16 60 80 7 50 – 2,2 2,7 7 12 1,7 2,4 7 17 75 60 8 – 25 2,4 2,8 8 13 1,8 2,6 8 18 45 45 9 60 – 2,6 2,9 9 14 1,9 2,8 9 19 70 40 0 – 30 2,8 3,0 0 15 2,0 3,0 0 20 40 70 П р и м е ч а н и е. Нагруженный элемент стержневой системы, под- держиваемый стержнями 1 и 2, считать абсолютно жестким. 13 Ри с. 1 .1 a b c A 2A F 1 F 2 A 3A A 2A A 2A A 2A F 2 F 1 F 2 F 1 F 2 F 1 F 2 F 1 a b c A 2A A 3A A 2A A 3A F 1 F 2 F 2 F 1 A 2A F 2 F 1 F 2 F 1 F 2 F 1 1 2 5 4 3 6 7 0 9 8 14 Рис. 1.2 а b b а 1 2 F q α1 α2 3 α2 α1 1 2 b F q 5 7 9 q b F 1 α1 α2 2 a/2 F 1 2 3 α1 1 α2 2 q F 1 b/2 1 2 q F 3 2 4 q F α1 1 2 α2 6 8 b/2 F q 1 α1 2 α2 q α1 1 F 2 α2 0 q b/2 F 1 α1 2 α2 q 15 Задача 2 Бесконечно малый элемент, выделенный в опасной точке нагруженного тела, находится в плоском напряженном состоя- нии (рис. 2). Требуется: 1) определить аналитически и графически (при помощи кру- говой диаграммы Мора) главные напряжения и направление главных площадок; 2) вычислить максимальные касательные напряжения; 3) показать на чертеже элемента и на круговой диаграмме Мора главные площадки и направление главных напряжений, а также положение площадок с максимальными касательными напряжениями; 4) определить относительные деформации εx, εy, εz; 5) определить относительную объемную деформацию; 6) найти удельную потенциальную энергию деформации; 7) проверить прочность материала в рассматриваемой точ- ке по одной из теорий прочности. Числовые данные взять из табл. 2. Таблица 2 П ер ва я ци ф ра ш иф ра σx, МПа τxy, МПа В то ра я ци ф ра ш иф ра σy, МПа Т ре ть я ци ф ра ш иф ра (№ с хе м ы ) Т ео ри я пр оч но ст и [σр], МПа [σc], МПа Е, МПа µ 1 10 10 1 10 1 III 160 160 2,0·105 0,26 2 20 20 2 20 2 M 40 120 1,0·105 0,23 3 30 30 3 30 3 IV 150 150 2,1·105 0,28 4 40 40 4 40 4 M 35 100 1,1·105 0,24 5 50 50 5 50 5 III 140 140 2,0·105 0,33 6 60 60 6 60 6 IV 150 150 2,1·105 0,32 7 70 50 7 70 7 M 30 120 1,15·105 0,25 8 80 40 8 80 8 III 160 160 2,0·105 0,30 9 90 30 9 90 9 M 25 100 1,20·105 0,26 0 100 20 0 100 0 IV 180 180 2,1·105 0,28 16 Рис. 2 1 2 σx τxy σy τyx σy σx τxy τyx σx τxy σy τyx σy σx τxy τyx 3 4 5 6 σx τxy σy τyx σy σx τxy τyx σx τxy σy τyx σy σx τxy τyx 7 8 σx τxy τyx 9 0 σy τxy τyx 17 Задача 3 Поперечное сечение состоит из прокатных профилей и ли- ста размером b×h (рис. 3). Требуется: 1) определить положение центра тяжести сечения; 2) найти направление главных центральных осей; 3) вычислить моменты инерции и моменты сопротивления относительно этих осей; 4) определить значения главных центральных радиусов инерции; 5) вычертить сечение в удобном масштабе и указать на нем все оси и все размеры. Числовые данные взять из табл. 3. Таблица 3 П ер ва я ци ф ра ш иф ра Д ву та вр b, мм В то ра я ци ф ра ш иф ра Ш ве лл ер h, мм Т ре ть я ци ф ра ш иф ра (№ с хе м ы ) У го ло к ра вн оп ол оч ны й У го ло к не ра вн оп ол оч ны й 1 10 10 1 10 100 1 80×80×8 – 2 12 12 2 12 120 2 – 80×50×6 3 14 14 3 14 140 3 – 90×56×8 4 16 16 4 16 160 4 – – 5 18 18 5 18 180 5 90×90×9 – 6 20 20 6 20 200 6 100×100×10 – 7 22 18 7 22 220 7 125×125×10 – 8 24 16 8 24 240 8 – 100×63×10 9 27 14 9 27 260 9 – 110×70×8 0 30 13 0 30 280 0 – 125×80×10 18 8 2 3 4 5 6 7 9 0 1 Рис. 3 19 Задача 4 Для заданной схемы балки (рис. 4.1) и рамы (рис. 4.2) тре- буется: 1) построить эпюры внутренних силовых факторов; 2) подобрать необходимые размеры поперечного сечения заданной формы при [σ] = 160 МПа (для балок); 3) вычислить наибольшие касательные напряжения (для балок); 4) построить эпюру прогибов, приняв Е = 2·105 МПа (для балок); 5) проверить правильность построения эпюр путем выреза- ния узлов с последующей проверкой выполнения всех трех уравнений равновесия каждого узла (для рам). Числовые данные взять из табл. 4. Таблица 4 П ер ва я ци ф ра ш иф ра а, м F, кН В то ра я ци ф ра ш иф ра b, м m, кН∙м q, кН/м Т ре ть я ци ф ра ш иф ра (№ с хе м ы ) с, м Ф ор м а се че ни я О тн ош ен ие в ы со ты к ш ир ин е h/ b 1 1 10 1 3 40 2 1 1 – 2 2 20 2 2 30 4 2 2 2 3 3 30 3 1 20 6 3 1 – 4 2 40 4 2 10 8 4 2 1 5 1 30 5 3 20 10 5 1 – 6 2 20 6 2 30 12 6 2 – 7 3 10 7 1 40 14 7 3 2,5 8 2 20 8 2 30 16 8 1 – 9 1 30 9 3 20 18 9 2 1 0 2 40 0 2 10 20 0 1 – 20 a Рис. 4.1 F q m 1 2 F q m m F q m 5 F q q m 6 F m q 3 m q F 4 F q m q 7 F q m q 8 F q m 9 F q q m 0 b c a b c 21 a b Рис. 4.2 F q m 1 q m F F m F q F q m F q m q F m q F m F q m q m q F q F m 2 с/ 2 с/ 2 с с a b с с/ 2 с/ 2 3 4 5 6 7 8 9 0 22 Задача 5 Для двух заданных схем нагружения балок (рис. 5, а и 5, б), имеющих форму и размеры поперечных сечений, указанных на рис. 5, в, требуется: 1) определить величину наибольших растягивающих и сжи- мающих напряжений в опасном сечении балки; 2) построить эпюру нормальных напряжений по высоте се- чения; 3) определить величину допускаемой нагрузки на балку; 4) определить допускаемую нагрузку при повороте попереч- ного сечения на 180°; 5) сравнить найденные значения допускаемой нагрузки. Числовые данные взять из табл. 5. Таблица 5 П ер ва я ци ф ра ш иф ра С хе м а ба лк и (р ис . 5 ) F, кН l, м В то ра я ци ф ра ш иф ра α β [σс], МПа Т ре ть я ци ф ра ш иф ра Т ип п оп ер еч но го се че ни я по р ис . 5 , в t, см b, см [σр], МПа 1 а 10 2,0 1 0,7 0,25 80 1 1 4,0 24 30 2 б 20 3,0 2 0,8 0,30 90 2 2 3,0 22 32 3 а 15 1,8 3 0,9 0,35 100 3 3 3,6 20 34 4 б 30 2,8 4 1,0 0,40 110 4 4 3,0 18 36 5 а 20 1,6 5 1,1 0,45 120 5 1 3,2 26 38 6 б 40 2,6 6 1,2 0,50 130 6 2 3,0 24 40 7 а 25 1,4 7 1,1 0,55 140 7 3 3,2 22 42 8 б 50 2,4 8 1,0 0,60 130 8 4 3,4 20 44 9 а 30 1,2 9 0,9 0,65 120 9 1 3,6 28 46 0 б 60 2,2 0 0,8 0,70 110 0 2 3,8 22 48 23 в а F βl l αF б βl l F 1 a= αb b t t 2 a= αb t b 0,5b t t 3 a= αb b t t 4 a= αb t b t 2t a=αb Рис. 5 24 Задача 6 К стальному валу приложены три известных момента М1, М2, М3 и один неизвестный Х (рис. 6). Требуется: 1) определить значение момента Х, при котором угол пово- рота концевого (не защемленного) сечения вала равен нулю; 2) построить эпюру крутящих моментов при найденном зна- чении Х; 3) определить диаметр вала из условия прочности и жест- кости, приняв G = 8·104 МПа; 4) вычислить максимальные касательные напряжения на всех участках вала и построить эпюру τmax; 5) построить эпюру углов закручивания поперечных сечений вала; 6) найти наибольший относительный угол закручивания. Числовые данные взять из табл. 6. Таблица 6 П ер ва я ци ф ра ш иф ра а, м М1, кН∙м [τ], МПа В то ра я ци ф ра ш иф ра b, м М2, кН∙м [θ], градус/м Т ре ть я ци ф ра ш иф ра (№ с хе м ы ) c, м М3, кН∙м 1 1,1 1 50 1 2,0 2 1,0 1 0,5 1,5 2 1,2 2 60 2 1,9 4 1,2 2 0,6 3,0 3 1,3 3 65 3 1,8 6 1,4 3 0,7 4,5 4 1,4 4 70 4 1,7 8 1,6 4 0,8 6,0 5 1,5 5 75 5 1,6 10 1,8 5 0,9 7,5 6 1,6 6 80 6 1,5 12 2,0 6 1,0 9,0 7 1,7 7 85 7 1,4 14 2,2 7 1,1 10,5 8 1,8 8 90 8 1,3 16 2,4 8 1,2 12,0 9 1,9 9 95 9 1,2 18 2,6 9 1,3 13,5 0 2,0 10 100 0 1,0 20 2,8 0 1,4 15,0 25 a Рис. 6 b c a 1 М1 М2 М3 X a b c a 2 3 М1 М2 М3 X 4 М1 М2 М3 X 5 М1 М2 М3 X 6 М1 М2 М3 X 7 М1 М2 М3 X 8 М1 М2 М3 X 9 М1 М2 М3 X 0 М1 М2 М3 X М1 М2 М3 X 26 Задача 7 Короткий стержень заданного поперечного сечения сжима- ется продольной силой F, приложенной в точке, показанной на схеме сечения (рис. 7). Требуется: 1) найти положение нейтральной оси в поперечном сечении стержня; 2) вычислить наибольшие растягивающие и наибольшие сжи- мающие напряжения и построить эпюру напряжений; 3) найти допускаемую нагрузку при заданных размерах се- чения; 4) построить ядро сечения. Числовые данные взять из табл. 7. Таблица 7 П ер ва я ци ф ра ш иф ра b, см F, кН В то ра я ци ф ра ш иф ра [σс], МПа Т оч ка п ри ло ж ен ия си лы Т ре ть я ци ф ра ш иф ра (№ с хе м ы ) h, см [σр], МПа 1 4 100 1 90 1 1 3 22 2 5 120 2 100 2 2 4 24 3 6 140 3 110 1 3 5 26 4 7 160 4 120 2 4 6 28 5 6 180 5 130 1 5 7 30 6 7 200 6 140 2 6 8 32 7 8 220 7 130 1 7 7 34 8 9 240 8 120 2 8 6 36 9 10 260 9 110 1 9 5 38 0 12 280 0 100 2 0 4 40 27 Рис. 7 h b b b 1 2 1 3 1 2 1 2 2 1 2 4 1 2 5 1 2 6 1 2 7 1 2 8 1 2 9 1 2 0 b b b h h h h h h h h h h h h h 28 Задача 8 Для заданной пространственной системы стержней одина- ковой длины l (рис. 8) требуется: 1) построить в аксонометрии эпюры внутренних силовых факторов в общем виде (Q, N, Mи, Mк); 2) для каждого стержня: а) установить вид сопротивления; б) изобразить опасные сечения в рабочем положении (в ак- сонометрии) и показать внутренние усилия (в общем виде); в) вычислить величину внутренних усилий и геометриче- ские характеристики сечений; г) найти положение нейтральной оси в опасных сечениях и построить эпюры нормальных и касательных напряжений в этих сечениях; д) проверить прочность всех стержней и (при необходимо- сти) подобрать размеры сечения стержней, обеспечивающих их прочность, приняв [σ] = 160 МПа, [τ] = 100 МПа. Числовые данные взять из табл. 8. Таблица 8 П ер ва я ци ф ра ш иф ра F, кН l, м В то ра я ци ф ра ш иф ра q, кН/м h, мм Т ре ть я ци ф ра ш иф ра (№ с хе м ы ) h/b 1 0,5∙ql 0,1 1 2 10 1 1,5 2 1,0∙ql 0,2 2 4 12 2 2,0 3 1,5∙ql 0,3 3 6 14 3 3,0 4 2,0∙ql 0,4 4 8 16 4 4,0 5 2,5∙ql 0,5 5 10 18 5 2,0 6 3,0∙ql 0,6 6 8 20 6 1,0 7 2,5∙ql 0,7 7 6 22 7 3,0 8 2,0∙ql 0,8 8 4 24 8 1,5 9 1,5∙ql 0,9 9 2 26 9 2,0 0 1,0∙ql 1,0 0 1 28 0 3,0 29 Рис. 8 у h b х d=h х у F q F q F q q F F q q F F q q F F q F q 1 2 9 0 3 4 5 6 7 8 30 Задача 9 Стальной вал диаметром d (рис. 9), вращающийся со скоро- стью n, от электродвигателя через шкив 1 ременной передачи принимает мощность P, которая затем передается зубчатыми шестернями 2 и 3 в заданном отношении. Требуется: 1) определить моменты, приложенные к шкиву и шестерням; 2) построить эпюру крутящих моментов; 3) определить силы, действующие на шкив и шестерни при Т1 = 2t1, считая радиальные усилия на шестернях Fr = Ft ⋅ tgα, где Ft – окружное усилие, а α = 20° – угол зацепления; 4) определить нагрузки, действующие на вал; 5) определить силы, изгибающие вал в вертикальной и го- ризонтальной плоскостях; 6) построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях; 7) построить суммарную эпюру изгибающих моментов; 8) найти опасное сечение вала и вычислить для него вели- чину эквивалентного момента (по III теории прочности); 9) определить диаметр вала, приняв [σ] = 80 МПа. Числовые данные взять из табл. 9. Таблица 9 П ер ва я ци ф ра ш иф ра Р1, кВт D1, мм а, м В то ра я ци ф ра ш иф ра n, об/мин D2, мм b, м Т ре ть я ци ф ра ш иф ра (№ с хе м ы ) Р2/Р3 D3, мм с, м 1 10 400 0,1 1 500 100 0,1 1 0,5 150 0,1 2 20 450 0,2 2 600 150 0,2 2 1,0 200 0,2 3 30 500 0,3 3 650 200 0,3 3 1,5 250 0,3 4 40 550 0,4 4 700 250 0,4 4 2,0 300 0,4 5 50 600 0,5 5 750 300 0,5 5 2,5 350 0,5 6 60 650 0,6 6 800 350 0,6 6 3,0 300 0,6 7 50 700 0,7 7 850 300 0,7 7 2,5 250 0,7 8 40 600 0,8 8 900 250 0,8 8 2,0 200 0,8 9 30 500 0,9 9 950 200 0,9 9 1,5 150 0,9 0 20 400 1,0 0 1000 150 1,0 0 1,0 100 1,0 31 1 a b c a 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 t1 T1 Ft2 Ft3 Fr2 Fr3 t1 T1 Ft2 Ft3 Fr2 Fr3 30º t1 T1 Ft2 45º t1 T1 Ft2 Ft3 Fr2 Fr3 60º t1 T1 Ft3 Ft2 Fr3 Fr2 Ft3 Fr2 Fr3 2 3 4 5 Рис. 9 32 6 a b c a 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 t1 T1 Ft2 Ft3 Fr2 Fr3 t1 T1 Ft2 Ft3 Fr2 Fr3 30º t1 T1 45º t1 T1 60º t1 T1 Ft3 Ft2 Fr3 Fr2 Ft2 Ft3 Fr2 Fr3 Ft2 Ft3 Fr2 Fr3 7 8 9 0 Рис. 9 (окончание) 33 Задача 10 Статически неопределимая рама находится под действием заданных внешних сил (рис. 10). Требуется: 1) установить степень статической неопределимости рамы и выбрать основную систему; 2) составить канонические уравнения метода сил; 3) построить эпюры изгибающих моментов от единичных сил и заданной нагрузки; 4) найти величины лишних неизвестных; 5) построить окончательные эпюры внутренних силовых фак- торов; 6) проверить правильность построения эпюр: а) статическая проверка – путем вырезания узлов рамы и проверки выполнения всех трех уравнений равновесия узла; б) кинематическая (деформационная) проверка – путем умножения по правилу Верещагина окончательной эпюры М на каждую единичную эпюру. Числовые данные взять из табл. 10. Таблица 10 П ер ва я ци ф ра ш иф ра l, м J1/J2 В то ра я ци ф ра ш иф ра h, м q, кH/м Т ре ть я ци ф ра ш иф ра (№ с хе м ы ) m, кН∙м F, кН 1 2 1,0 1 2 12 1 – 30 2 3 0,75 2 3 10 2 10 – 3 4 0,5 3 4 8 3 20 – 4 5 0,75 4 5 6 4 30 20 5 6 1,0 5 4 4 5 – 10 6 5 1,5 6 3 6 6 30 30 7 4 2,0 7 2 8 7 20 20 8 3 1,0 8 3 10 8 10 10 9 2 0,75 9 4 12 9 – – 0 3 0,5 0 6 4 0 – – П р и м е ч а н и е. Горизонтальные стержни рамы имеют моменты инерции J1, а вертикальные стержни – J2. 34 5 1 Рис. 10 q q l F h l/2 4 F h q m l/2 l/2 h/ 2 F l h q l 6 0 2 9 3 l h l q m 8 m F q l l h F l l h q l/2 m h/ 2 7 l h l F m q l l h q m l/2 h q l/2 l h q l q l l/2 35 Задача 11 Неразрезная балка находится под действием заданных внеш- них сил (рис. 11). Требуется: 1) установить степень статической неопределимости балки и выбрать основную систему; 2) составить канонические уравнения метода сил; 3) построить эпюры изгибающих моментов от единичных силовых факторов и заданной нагрузки; 4) найти величины опорных моментов; 5) построить окончательные эпюры Q и M; 6) проверить правильность построения эпюр (по правилу Верещагина или методу начальных параметров); 7) подобрать двутавровое сечение балки; 8) определить перемещение посередине каждого пролета и на конце консоли и показать изогнутую ось балки. Числовые данные взять из табл. 11. Таблица 11 П ер ва я ци ф ра ш иф ра F, кН q, кН/м m, кН∙м В то ра я ци ф ра ш иф ра И нд ек с на гр уз ки F И нд ек с на гр уз ки q И нд ек с на гр уз ки m Т ре ть я ци ф ра ш иф ра (№ с хе м ы ) а1, м а2, м 1 20 5 10 1 1 3 1 1 1,2 1,0 2 24 10 20 2 2 2 1 2 1,4 1,2 3 26 15 30 3 3 1 1 3 1,6 1,4 4 28 20 40 4 1 1 2 4 1,8 1,6 5 30 15 30 5 2 2 2 5 2,0 1,8 6 32 10 20 6 3 3 2 6 1,8 2,0 7 34 5 10 7 1 3 3 7 1,6 1,8 8 36 10 20 8 2 2 3 8 1,4 1,6 9 38 15 30 9 3 1 3 9 1,2 1,4 0 40 20 40 0 1 2 3 0 1,0 1,2 36 1 2 4 3 5 F1 q1 q2 F2 q3 m1 m2 m3 F3 F1 q1 q2 F2 q3 m1 m2 m3 F3 F1 q1 q2 F2 q3 m1 m2 m3 F3 m1 F2 F1 q1 q2 q3 m2 m3 F3 а1 а1 а1 а1 а2 а2 а2 а2 F1 q1 q2 F2 q3 m1 m2 m3 F3 Рис. 11 37 6 7 8 0 а1 а1 а1 а1 а2 а2 а2 а2 9 F1 q1 q2 F2 q3 m1 m2 m3 F3 F1 q1 q2 F2 q3 m1 m2 m3 F3 F3 F1 F2 m3 m2 m1 q1 q2 q3 F1 q1 q2 F2 q3 m1 m2 m3 F3 F1 q1 q2 F2 q3 m1 m2 m3 F3 Рис. 11 (окончание) 38 Задача 12 Стойка длиной l (рис. 12.1) заданного поперечного сечения (рис. 12.2), выполненная из стали Ст3, сжимается осевой си- лой F. Требуется: 1) найти размеры поперечного сечения стойки из условия устойчивости методом последовательных приближений; 2) определить величину критической силы; 3) вычислить коэффициент запаса устойчивости. Числовые данные взять из табл. 12. Таблица 12 П ер ва я ци ф ра ш иф ра № с хе м ы (р ис . 1 2. 1) F, кН В то ра я ци ф ра ш иф ра l, м Т ре ть я ци ф ра ш иф ра Ф ор м а се че ни я по р ис . 1 2. 2 [σ], МПа 1 1 300 1 3,0 1 0 180 2 2 350 2 3,2 2 9 160 3 3 400 3 3,4 3 8 150 4 4 450 4 3,6 4 7 140 5 5 500 5 3,8 5 6 160 6 1 550 6 4,0 6 5 120 7 2 600 7 4,2 7 4 160 8 3 650 8 4,4 8 3 150 9 4 700 9 4,6 9 2 140 0 5 800 0 4,8 0 1 100 39 F 1 l 2 F l 4 F l 3 l F 5 l F l Рис. 12.1 40 Формы поперечных сечений стоек 1 а 2a 2 3 d 0,6d 4 5 a a 6 7 d 0,7d 0, 4d 8 а 0,2а 2a 9 0 Рис. 12.2 41 Задача 13 На балке (или раме) установлен электродвигатель весом Q (рис. 13). Частота вращения двигателя n. Центробежная сила инерции, возникающая вследствие неуравновешенности вра- щающихся частей двигателя, H. Собственный вес конструк- ции и силы сопротивления не учитывать. Требуется: 1) определить частоту собственных и вынужденных коле- баний системы; 2) вычислить амплитуду вынужденных колебаний, приняв Е = 2∙105 МПа; 3) найти наибольший прогиб под электродвигателем; 4) определить постоянную составляющую напряжений от ве- са Q и динамическую составляющую (амплитудное напряже- ние) от силы H в опасном сечении; 5) установить вид цикла изменения суммарных напряжений в этом сечении, определить основные параметры цикла (σm, σa, σmax, σmin) и изобразить его графически; 6) определить частоту вращения вала электродвигателя, при котором наступает резонанс. Числовые данные взять из табл. 13. Таблица 13 П ер ва я ци ф ра ш иф ра l, м Q, кН В то ра я ци ф ра ш иф ра n, об/мин H, кН Т ре ть я ци ф ра ш иф ра (№ с хе м ы ) № I a, см 1 2,1 15 1 300 2,0 1 20 − 2 2,2 14 2 350 2,2 2 18 − 3 2,3 13 3 400 2,4 3 − 8 4 2,4 12 4 450 2,6 4 − 10 5 2,5 11 5 500 2,8 5 16 − 6 2,6 10 6 550 3,0 6 20 − 7 2,7 9 7 600 3,2 7 − 12 8 2,8 8 8 650 3,4 8 − 14 9 2,9 7 9 700 3,6 9 18 − 0 3,0 6 0 750 3,8 0 − 12 П р и м е ч а н и е. Сечение стержней рам – квадрат со стороной а. 42 0 l/2 l/2 l Q 9 0,75l 0,25l Q 8 l l l Q 0,7l 0,3l 0, 5l l Q 7 6 l 0,2l Q 5 0,7l 0,3l Q 4 l l l/3 l/2 Q 3 Q l/2 l/2 l 2 l l/3 Q 1 l Q Рис. 13 43 Задача 14 На упругую систему с высоты h падает груз весом Q (рис. 14). Материал элементов системы – сталь. Модуль продольной упругости Е = 2·105 МПа. Поддерживающие стержни кругло- го поперечного сечения диаметром d. Требуется: 1) вычислить максимальные напряжения, возникающие в эле- ментах системы (собственный вес элементов упругой системы не учитывать); 2) определить перемещение точки падения груза, вызванное ударом; 3) проверить прочность элементов системы и (при необхо- димости) подобрать размеры сечения элементов, обеспечиваю- щие их прочность, приняв [σ] = 160 МПа. Числовые данные взять из табл. 14. Таблица 14 П ер ва я ци ф ра ш иф ра b, м № I В то ра я ци ф ра ш иф ра c, м Q, кН Т ре ть я ци ф ра ш иф ра (№ с хе м ы ) h, см d, мм a, см 1 1,1 20 1 2,1 2,0 1 4 25 – 2 1,2 22 2 2,2 2,2 2 5 26 – 3 1,3 24 3 2,3 2,4 3 6 27 – 4 1,4 27 4 2,4 2,6 4 7 28 – 5 1,5 30 5 2,5 2,8 5 8 29 – 6 1,6 27 6 2,6 3,0 6 9 30 – 7 1,7 24 7 2,7 2,8 7 10 – 10 8 1,8 22 8 2,8 2,6 8 9 – 12 9 1,9 20 9 2,9 2,4 9 8 – 14 0 2,0 18 0 3,0 2,2 0 6 – 16 П р и м е ч а н и е. Сечение стержней рам – квадрат со стороной a. 44 0 b b c Q h c 9 b b c Q h c 8 b b Q h c 4 c b c b Q h 3 c b c c Q h 7 b 2b c Q h 6 b c Q h b 5 c b c c Q h 1 c b c Q h 2 b c c Q h Рис. 14 45 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Беляев, Н.М. Сопротивление материалов / Н.М. Беляев. – М.: Физматгиз, 1962. – 856 с. 2. Работнов, Ю.Н. Сопротивление материалов / Ю.Н. Работнов. – М.: Физматгиз, 1962. – 456 с. 3. Никифоров, С.Н. Сопротивление материалов / С.Н. Никифоров. – М.: Высшая школа, 1966. – 584 с. 4. Степин, П.А. Сопротивление материалов / П.А. Степин. – М.: Высшая школа, 1968. – 424 с. 5. Феодосьев, В.И. Сопротивление материалов / В.И. Феодосьев. – М.: Наука, 1967. – 552 с. 6. Дарков, А.В. Сопротивление материалов / А.В. Дарков, Г.С. Шпиро. – М.: Высшая школа, 1975. – 742 с. 7. Биргер, И.А. Сопротивление материалов / И.А. Биргер, Р.Р. Мавлютов. – М.: Наука, 1986. – 560 с. 8. Качурин, В.К. Сборник задач по сопротивлению мате- риалов / В.К. Качурин. – М.: Наука, 1970. – 432 с. 9. Любошиц, М.И. Справочник по сопротивлению материа- лов / М.И. Любошиц, Г.М. Ицкович. – Минск: Высшая школа, 1965. – 344 с. 10. Писаренко, Г.С. Справочник по сопротивлению материа- лов / Г.С. Писаренко, А.П. Яковлев, В.В. Матвеев. – Киев: Нау- кова думка, 1975. – 704 с. 11. Винокуров, Е.Ф. Справочник по сопротивлению мате- риалов / Е.Ф. Винокуров, М.К. Балыкин, И.А. Голубев. – Минск: Наука и техника, 1988. – 464 с. 12. Мовнин, М.С. Сопротивление материалов: учебник / М.С. Мовнин, А.Б. Израелит. – Л.: Судостроение, 1971. – 328 с. 13. Дубейковский, Е.Н. Сопротивление материалов: учеб- ное пособие / Е.Н. Дубейковский, Е.С. Саввушкин. – М.: Высшая школа, 1985. – 192 с. 14. Долинский, Ф.В. Краткий курс сопротивления материа- лов: учебное пособие / Ф.В. Долинский, М.Н. Михайлов. – М.: Высшая школа, 1988. – 432 с. 46 15. Ицкович, Г.М. Сопротивление материалов: учебник / Г.М. Ицкович. – М.: Высшая школа, 1986. – 352 с. 16. Бородин, Н.А. Сопротивление материалов: учебное по- собие / Н.А. Бородин. – М.: Дрофа, 2001. – 288 с. 17. Горшков, А.Г. Сопротивление материалов: учебное по- собие / А.Г. Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашилин. – М.: Физматлит, 2002. – 544 с. 18. Старовойтов, Э.И. Сопротивление материалов: учебник / Э.И. Старовойтов. – Гомель: БелГУТ, 2004. – 376 с. 19. Рудицын, М.Н. Расчетно-графические работы по сопротив- лению материалов / М.Н. Рудицын. – Минск: БГУ, 1957. – 230 с. 20. Винокуров, Е.Ф. Расчетно-проектировочные работы по сопротивлению материалов: учебное пособие / Е.Ф. Винокуров, А.Г. Петрович, Л.И. Шевчук. – Минск: Вышэйшая школа, 1987. – 227 с. 21. Методическое пособие для самостоятельной работы и ре- шения задач по сопротивлению материалов для студентов заоч- ной формы обучения механических спецальностей / Г.С. Кры- лов [и др.]. – Минск: БПИ, 1990. – 72 с. 22. Хмелев, А.А. Сопротивление материалов. Лаборатор- ные работы / А.А. Хмелев, В.А. Сидоров. – Минск: УП «Тех- нопринт», 2002. – 206 с. 23. Траймак, Н.С. Механика материалов: учебное пособие / Н.С. Траймак [и др.]. – Минск: УП «Технопринт», 2002. – 194 с. 24. Василевич, Ю.В. Механика материалов: учебное посо- бие / Ю.В. Василевич [и др.]. – Минск: БНТУ, 2005. – 155 с. 25. Якубовский, Ч.А. Механика материалов. Практикум: учебное пособие / Ч.А. Якубовский, А.Ч. Якубовский. – Минск: БНТУ, 2006. – 168 с. 26. Реут, Л.Е. Теория напряженного и деформированного со- стояния с примерами и задачами: учебно-методическое посо- бие по разделу курса «Механика материалов» / Л.Е. Реут. – Минск: БНТУ, 2008. – 107 с. С О Д Е Р Ж А Н И Е Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Темы основных разделов курса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Методические указания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Контрольные задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Задача 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Задача 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Задача 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Задача 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Задача 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Задача 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Задача 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Задача 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Задача 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Задача 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Задача 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Задача 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Задача 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Задача 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Рекомендуемая литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Учебное издание МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ Методические указания и задания к контрольным работам для студентов технических специальностей заочной формы обучения С о с т а в и т е л и: ЯКУБОВСКИЙ Чеслав Андреевич ЯКУБОВСКИЙ Андрей Чеславович Редактор Т.А. Подолякова Компьютерная верстка Н.А. Школьниковой Подписано в печать 29.10.2009. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 2,79. Уч.-изд. л. 2,18. Тираж 150. Заказ 786. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. ЛИ 02330/0494349 от 16.03.2009. Проспект Независимости, 65. 220013, Минск.