Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика № 1» МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Сборник задач М и н с к 2 0 0 9 Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика № 1» МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Сборник задач для аудиторной и самостоятельной работы М и н с к 2 0 0 9 УДК 519.2 (075.8) ББК 22.172я7 М 34 С о с т а в и т е л и : Н.И. Чепелев, А.В. Метельский, Т.И. Чепелева, В.М. Климович Р е ц е н з е н т ы : В.В. Карпук, Е.А. Федосик М 34 Математическая статистика: сборник задач для аудиторной и само- стоятельной работы / сост.: Н.И. Чепелев [и др.]. – Минск: БНТУ, 2009. – 64 с. Настоящий сборник задач предназначен для студентов 2-го курса машиностроительных специальностей. В издание включены теоретические вопросы для подготовки к экзамену, задачи для ауди- торной и самостоятельной работы, типовой расчет по математиче- ской статистике, а также таблицы значений функций, необходимые для решения задач. После условия задач в круглых скобках приведе- ны ответы. Полезно для студентов, изучающих математическую ста- тистику, а также для преподавателей. УДК 519.2 (075.8) ББК 22.172я7 ISBN 978-985-525-148-5 © БНТУ, 2009 3 Теоретические вопросы для подготовки к экзамену 1. Выборочная совокупность. Вариационный ряд. 2. Полигон и гистограмма. 3. Эмпирическая функция распределения и ее свойства. 4. Выборочная средняя и выборочная дисперсия. 5. Оценки параметров распределения. Точечные оценки и требова- ния, предъявляемые к ним. 6. Точечные оценки для математического ожидания и дисперсии. 7. Интервальные оценки. Доверительный интервал. 8. Распределение Стьюдента. 9. Распределение Пирсона. 10. Построение доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной СВ (случайной величины) при известном среднем квадратическом отклонении. 11. Построение доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной СВ при неизвестном среднем квадратическом отклонении. 12. Построение доверительного интервала для среднего квадра- тического отклонения нормально распределенной СВ. 13. Понятие о статистических гипотезах и критериях согласия. 14. Критерий согласия Пирсона 2 . 15. Критерий согласия Колмогорова. 16. Выборочный коэффициент корреляции и его свойства. 17. Уравнение регрессии. Линейная регрессия. Определение коэффициентов линейной регрессии методом наименьших квадратов. 18. Нелинейная регрессия. Определение параметров нелинейной регрессии. З а н я т и е 1 Статистическое распределение. Эмпирическая функция распределения и ее свойства. Полигон и гистограмма. Числовые характеристики выборки 1.1. Краткие теоретические сведения Генеральной совокупностью называется совокупность элементов, объединенных по некоторому признаку, из которых производится выборка. 4 Выборочная совокупность или выборка – совокупность объектов, случайно выбранных для исследования. Под объемом выборки понимается количество объектов, входящих в выборку. Пусть из совокупности извлечена выборка объемом n. Выборочная совокупность, расположенная по возрастанию или убыванию значения признака, называется вариационным рядом, а ее объекты – вариантами. Если значения вариант совпадают или отличаются незначительно, то их можно сгруппировать, придав частоту каждой варианте. В результате получим сгруппированный вариационный ряд. Частостью или относительной частотой варианты называется отношение частоты варианты к объему выборки: n mi i  . Статистическое распределение – такое распределение, по которому каждому возможному значению варианты соответствует частота (относительная частота) ее появления. Статистическое распределе- ние записывается в виде таблицы, в которой в первой строке пере- числены все значения вариант, а во второй – частоты или частости, которые соответствуют вариантам. ix 1x 2x 3x  kx    k i i nm 1 im 1m 2m 3m  km Для построения интервального статистического ряда множество вариант разбивают на полуинтервалы  1; ii aa , т.е. группируют. Рекомендуется число интервалов k определять по формуле nk ln4,11  . Длина интервала k xx minmax  . Для наглядности используются графические изображения вариационных рядов в виде полигона и гистограммы. 5 Полигоном частот или частостей называется ломаная линия, соединяющая точки с координатами    iiii xmx ;или; . Гистограммой частот или частостей называют ступенчатую фигуру, составленную из прямоугольников с основанием Δ и высотой  iim или . Эмпирической функцией распределения называют функцию  xF * , определяющую для каждого значения x относительную частоту события :xX      n m xXxF x* , где xm – число вариант (с учетом их кратностей) меньших x ; n – объем выборки. Эмпирическая функция распределения обладает следующими свойствами. 1. Значения эмпирической функции принадлежат отрезку  1;0 . 2. Эмпирическая функция является неубывающей. 3. Если 1х – наименьшее значение варианты, а kх – наибольшее, то   0* xF при 1xx  и   1 * xF при kxx  . Для описания выборки применяются такие числовые характери- стики, как выборочная средняя, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение. Выборочной средней называется среднее значение варианты, вычисленное по данным выборки:    n i ix n x 1 в 1 или    k i iixm n x 1 в 1 , где im – частота варианты ix . Выборочной дисперсией называется дисперсия, вычисленная по данным выборки:     n i i xx n D 1 2 вв 1 или  2в 1 в 1 xxm n D i k i i    .1 6 Выборочная дисперсия равна разности между средним значением квадрата вариант и квадратом выборочного среднего:  2в 2 в xXD  , где   k i ii mx n X 1 22 1 . Выборочным средним квадратическим отклонением называется корень квадратный из выборочной дисперсии ввσ D . З а д а ч а 1.1.1. По данному распределению выборки найти эмпирическую функцию распределения и построить полигон частот. ix 1 3 5 7 9 im 6 11 23 7 3 Р е ш е н и е Определим объем выборки: .503723116 1   k i imт Определим относительные частоты вариант: n mi i  . ix 1 3 5 7 9 i 0,12 0,22 0,46 0,14 0,06 Запишем эмпирическую функцию распределения:                      9,1 97,94,0 75,80,0 53,34,0 31,12,0 1,0 * x x x x x x xXxF  7 Построим полигон частот. 1 2 3 4 5 6 8 7 9 xi mi 4 8 12 16 20 24 З а д а ч а 1.1.2. Построить гистограмму частостей по данным вы- борки объема 100 и вычислить числовые характеристики выборки. 1 ii хx 1–5 5–9 9–13 13–17 17–21 im 10 20 50 12 8 Р е ш е н и е Вычислим относительные частоты по формуле n mi i  и найдем высоты прямоугольников по формуле h h ii   , где .4h Вычисления сведем в таблицу. 1 ii хx 1–5 5–9 9–13 13–17 17–21 i 0,1 0,2 0,5 0,12 0,08 ih 0,025 0,05 0,125 0,03 0,02 8 Построим гистограмму частостей. 0,14 0,12 0,10 0,08 0,02 0,04 0,06 1 5 17 9 21 13 hi xi Вычислим числовые характеристики выборки:     .22,11 100 1122 15218055021030 100 1 81912155011207103 100 11 1 * в     i k i i mx n х  2в 2 в xXD  . Вычислим вD и в :       .08,127 100 12708 28882700605098090 100 1 836112225501212049109 100 11 1 2*2     k i ii mx n X   1916,122,1108,127 2в D . 092,1в  . 9 1.2. Задачи для аудиторной работы 1.2.1. Даны измерения отклонений от номинала 50 подшипников в мкм: –1,752, –0,291, –0,933, –0,450, 0,512 –1,256, 1,701, 0,634, 0,720, 0,490, 1,531, –0,433, 1,409, 1,730, –0,266, –0,058, 0,248, –0,095, –1,488, –0,361, 0,415, –1,382, 0,129, –0,361, –0,087, –0,329, 0,086, 0,130, –0,244, –0,882, 0,318, –1,087, 0,899, 1,028, –1,304, 0,349, –0,293, –0,883, –0,056, 0,757, –0,059, –0,539, –0,078 0,229, 0,194, –1,084, 0,318, 0,367, –0,992, 0,529. Построить для данной выборки интервальный статистический ряд. 1 ii хx –1,75– (–1,25) –1,25– (–0,75) –0,75– (–0,25) –0,25– 0,25 0,25– 0,75 0,75– 1,25 1,25– 1,75 im 5 8 9 12 9 3 4 1.2.2. Измеряется рост (с точностью до см) 30 наудачу отобранных студентов: 178, 160, 154, 183, 155, 153, 167, 186, 163, 155, 157, 175, 170, 166, 159, 173, 182, 167, 171, 169, 179, 165, 156, 179, 158, 171, 175, 173, 164, 172. Построить интервальный статистический ряд. 1 ii хx 150–156 156–162 162–168 168–174 174–180 180–186 im 4 5 6 7 5 3 1.2.3. По данным выборки, объемом 100, найти эмпирическую функцию и построить полигон частот. 1 ii хx 9–12 12–15 15–18 18–21 21–24 24–27 im 6 12 33 22 19 8 10                                              .24,1 ;2421,95,0 ;2118,73,0 ;1815,51,0 ;1512,18,0 ;129,06,0 ;9,0 * x x x x x x x xF 1.2.4. Найти эмпирическую функцию распределения и построить полигон частостей по следующим данным. ix 1 2 3 4 5 im 4 6 16 26 48                                        .5,1 ;54,52,0 ;43,26,0 ;32,1,0 ;21,04,0 ;1,0 * x x x x x x xF 1.2.5. Построить гистограмму частот по данным выборки. 1 ii хx 2–7 7–12 12–17 17–22 22–27 im 5 10 25 6 4 1.2.6. Построить гистограмму частостей и найти эмпирическую функцию распределения по данным выборки объемом 100. 1 ii хx 154–158 158–162 162–166 166–170 170–174 174–178 178–182 im 10 14 26 28 14 6 2 11                                                   .178,1 ;178174,98,0 ;174170,92,0 ;170166,78,0 ;166162,5,0 ;162158,24,0 ;158154,1,0 ;154,0 * x x x x x x x x xF 1.2.7. Найти числовые характеристики по данным выборки. а) ix 1 3 6 26 im 8 40 10 2  32,4σ;67,18;4 ввв  Dx . б) 1 ii хx 40,1–40,2 40,2–40,3 40,3–40,4 40,4–40,5 40,5–40,6 im 7 24 34 26 9  0105,0σ;011,0;356,40 ввв  Dx . 1.2.8. Для проверки оборудования размельчения руды были слу- чайно отобраны и измерены 50 образцов переработанного минера- ла. Найти выборочное среднее, выборочную дисперсию и выбороч- ное среднее квадратическое отклонение. 0,030; 0,559; 0,407; 2,784; 0,518; 1,185; 1,297; 0,614; 0,171; 0,155; 0,081; 30,02; 3,554; 1,155; 2,664; 1,889; 0,114; 6,038; 7,815; 0,074; 21,370; 0,412; 16,740; 31,820; 0,587; 2,010; 0,558; 0,171; 0,894; 4,545; 0,147; 1,642; 0,827; 0,051; 0,486; 0,889; 0,340; 0,856; 1,581; 1,474; 2,293; 0,063; 1,294; 0,009; 0,114; 1,889; 2,083; 0,138; 2,881; 0,114.  .26,6σ;25,39;67,4 ввв  Dx 12 1.3. Задачи для самостоятельной работы 1.3.1. Составить эмпирическую функцию распределения и построить полигон частостей по данным выборки ix 15 16 17 18 19 im 1 4 5 6 4                                        .19,1 ;1918,8,0 ;1817,5,0 ;1716,25,0 ;1615,05,0 ;15,0 x x x x x x xF 1.3.2. Составить эмпирическую функцию распределения и построить гистограмму частот по данным выборки. 1 ii хx 10–20 20–30 30–40 40–50 50–60 60–70 70–80 im 1 2 7 18 12 8 2                                                   .70,1 ;7060,96,0 ;6050,80,0 ;5040,56,0 ;4030,20,0 ;302006,0 ;2010,02,0 ;10,0 * x x x x x x x x xF 1.3.2. Интервал движения поездов в метро составляет 2 минуты. Приведены значения случайной величины X – время ожидания пассажиром поезда. Составить интервальный вариационный ряд и найти среднее время ожидания. 13 0,000; 0,002; 0,007; 0,025; 0,089; 0,312; 1,068; 1,604; 0,014; 0,045; 1,747; 1,677; 0,341; 0,952; 0,645; 1,297; 1,981; 0,214; 1,452; 0,787; 1,654; 0,838; 0,143; 1,317; 0,618; 1,853; 1,555; 0,653; 1,922; 1,653; 0,617; 0,828; 1,413; 1,030; 1,459; 1,483; 1,769; 1,265; 1,669; 0,635; 0,787; 1,004; 0,941; 0,612; 1,200; 1,692; 1,356; 0,908; 1,245; 1,295.  .022,1в x 1.3.4. Вычислить выборочную дисперсию по данным выборки. ix 340 360 375 380 im 20 50 18 12  .29,167в D 1.3.5. Вычислить числовые характеристики выборки. 1 ii хx 10–20 20–30 30–40 40–50 50–60 im 1 8 10 3 3  .35,10σ;84,107;6,34 ввв  Dx З а н я т и е 2 Точечные оценки неизвестных параметров распределения 2.1. Краткие теоретические сведения Пусть изучается СВ Х с законом распределения, зависящим от одного или нескольких параметров. Требуется по выборке, полученной в результате n испытаний, оценить неизвестный параметр θ . Точечной оценкой неизвестного параметра θ теоретического распределения называется его приближенное значение, зависящее от данных выборки  nxxxx ,...,,,θθ 321 . Точечная оценка должна удовлетворять следующим требованиям: – быть несмещенной, т.е.   θθ М ; 14 – быть состоятельной, т.е. она должна сходиться по вероятности к оцениваемому параметру: для   1εθθlim0ε   P n ; – быть эффективной: если неизвестный параметр имеет несколько оценок, то нужно брать ту, у которой наименьшая дисперсия. Выборочная средняя вx является несмещенной и состоятельной оценкой для математического ожидания генеральной совокупности. Несмещенной и состоятельной оценкой для дисперсии генеральной совокупности является исправленная выборочная дисперсия в 2 и 1 D n n sD   . Исправленным средним квадратическим отклонением называется корень квадратный из исправленной дисперсии: иDs  . Для вычисления вx и вD разработано много методов. Одним из наиболее распространенных является метод произведений. При вы- числении выборочного среднего и выборочной дисперсии поступа- ют следующим образом: – выбираем «ложный нуль» с . В качестве «ложного нуля» берется варианта стоящая посредине вариационного ряда или вари- анта, имеющая максимальную частоту; – переходим к условным вариантам iU по формулам h cx U ii   , где h – шаг разбиения; – вычисляем условные моменты 1-го и 2-го порядков:    k i ii k i ii mU h MmU h M 1 2 1 * 2 * 1 1 ; 1 ; – вычисляем выборочное среднее вx и выборочную дисперсию вD   22*1*2в*1в ; hMMDchMx        . 15 З а д а ч а 2.1.1. Методом произведений вычислить выборочную среднюю и выборочную дисперсию по данным выборки. ix 65 70 75 80 85 im 2 5 25 15 3 Р е ш е н и е В качестве «ложного нуля» возьмем варианту 75, 75с . Перейдем к условным вариантам по формуле h cx U i  1 . Результаты вычислений сведем в таблицу. ix im iU iimU ii mU 2   ii mU 2 1 65 2 –2 –4 8 2 70 5 –1 –5 5 0 75 25 0 0 0 25 80 15 1 15 15 60 85 3 2 6 12 27  50 12 40 114 Результаты вычислений можно проверить равенством   .4012250114 21 1 1 2 11 2       k i k i iiii k i ii k i i mUUmmmU . Равенство выполняется, следовательно, таблица заполнена верно. Вычислим условные моменты: 8,040 50 1 ;24,012 50 1 * 2 * 1  MM . Вычислим выборочную среднюю и выборочную дисперсию:     .56,18250576,08,0 ;2,7675524,0 22* 1 * 2в * 1в         hMMD ChMx 16 2.2. Задачи для аудиторной работы 2.2.1. По данным выборки найти несмещенные оценки для мате- матического ожидания и дисперсии. 1 ii хx 7,8–8,0 8,0–8,2 8,2–8,4 8,4–8,6 8,6–8,8 8,8–9,0 im 5 20 80 95 40 10  042,0;44,8 ив  Dx . 2.2.2. Найти несмещенную оценку для дисперсии по данным выборки. ix 102 104 108 im 2 3 5  .93,6и D 2.2.3. По данным выборки найти несмещенные оценки для математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности. а) Положительные отклонения от номинального размера в партии деталей, мкм: 17; 21; 8; 20; 23; 18; 22; 20; 17; 12; 20; 11; 9; 19; 20; 9; 19; 17; 21; 13; 17; 22; 22; 10; 20; 20; 15; 19; 20; 20; 13; 21; 21; 9; 14; 11; 19; 18; 23; 19.  .7,19;2,17 ив  Dx б) Время реакции, с: 8,5; 7,1; 6,7; 6,2; 2,9; 4,4; 6,0; 5,8; 5,4; 8,2; 6,9; 6,5; 6,1; 3,8; 6,0; 6,0; 5,6; 5,3; 7,7; 6,8; 6,5; 6,1; 4,2; 4,7; 5,6; 5,4; 5,3; 7,4; 6,7; 6,4; 6,1; 4,5; 6,0; 5,8; 5,6; 5,1.  .3,1;9,5 ив  Dx 17 2.2.4. Даны результаты наблюдений за сроком службы 100 однотипных станков до выхода за пределы норм точности. 1 ii хx 20–25 25–30 30–35 35–40 40–45 im 9 24 35 22 10 Найти несмещенную оценку для дисперсии срока службы  .14,30и D 2.2.5. Приведены результаты измерения диаметра втулок, обрабатываемых автоматом. 1 ii хx 20,00–20,04 20,04–20,08 20,08–20,12 20,12–20,16 20,16–20,20 im 8 18 45 20 9 Найти оценки для математического ожидания и дисперсии.  002,0;1016,20 ив  Dx . 2.3. Задачи для самостоятельной работы 2.3.1. Даны отклонения напряжений от номинала (мВ). 1 ii хx 0,00– 0,02 0,02– 0,04 0,04– 0,06 0,06– 0,08 0,08– 0,10 0,10– 0,12 0,12– 0,14 0,14– 0,16 im 9 15 29 35 32 19 8 3 Найти оценки для математического ожидания и дисперсии.  .02,0;05,0 ив  Dx 2.3.2. Даны урожайности ржи на различных участках поля Урожайность, ц/га 9–12 12–15 15–18 18–21 21–24 24–27 Количество участков 6 12 33 22 19 8 Найти оценку для средней урожайности всего поля.  .3,18в x 18 2.3.3. По данным выборки найти оценки для математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности. ix 12 14 16 18 20 22 im 5 15 50 16 10 4  92,4;46,16 ив  Dx . З а н я т и е 3 Интервальные оценки 3.1. Краткие теоретические сведения Пусть  nxx ,....,θθ 1 **  – функция выборки. Это есть случайная величина, называемая статистикой. Интервальной называют оценку, которая определяется случайным интервалом   .θθ,θ,θ *2*1*2*1  В качестве интервальной оценки используются доверительные интервалы. Доверительным интервалом для неизвестного параметра θ называется случайный интервал  *2*1 θ,θ , который с заданной веро- ятностью γ (надежностью) накрывает неизвестный параметр θ . Если исследуемая СВ распределена по нормальному закону с известным средним квадратическим отклонением σ , то довери- тельный интервал для математического ожидания определяется неравенством n txa n tx σσ γвγв  , (3.1) где n t σ δ γ – точность оценки; n – объем выборки; γt – значение аргумента функции Лапласа, при котором   2 γ γ  t . 19 Если среднее квадратическое отклонение неизвестно, то довери- тельный интервал для математического ожидания исследуемой СВ определяется неравенством n s txa n s tx nn ,γв,γв  , (3.2) где иDs  . Значения nt ,γ находят по табл. П5 по заданным n и  . Число n s t n,γδ  называют точностью оценки математического ожидания. Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения исследуемой СВ определяется неравенством 21 σ qsqs  (3.3) Значения 1q и 2q находятся по табл. П6 по заданным γ и n . З а д а ч а 3.1.1. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 99,0γ  неизвестного математического ожидания нормально распределенного признака X , если известно, что 4σ  , а по данным выборки объемом 100 вычислено 4,12в x . Р е ш е н и е Так как известно среднее квадратическое отклонение СВ, то для определения доверительного интервала для математического ожидания воспользуемся неравенством (3.1). Определим значение   58,2495,0 2 99,0 2 γ : γγγ  ttt . Подставим в неравенство (3.1): 10 4 58,24,12 10 4 58,24,12  a ; 432,1308,11  a . З а д а ч а 3.1.2. Для исследования нормально распределенной СВ извлечена выборка объемом 25. 1 ii хx 10–20 20–30 30–40 40–50 50–60 im 1 8 10 3 3 20 Найти с надежностью 95,0γ  доверительные интервалы для математического ожидания и среднего кадратического отклонения исследуемой СВ. Р е ш е н и е По данным выборки методом произведений определим вx и s . * ix im iU iimU ii mU 2   ii mU 2 1 15 1 –2 –2 4 1 25 8 –1 –8 8 0 35 10 0 0 0 10 45 3 1 3 3 12 55 3 2 6 12 27  25 –1 27 50 Проверка: .5050;27)1(22550  08,1 25 27 ;04,0 25 1 * 2 * 1    MM .    .6,10;33,11284,107 24 25 1 ;84,10710004,008,1;6,3410)04,0(35 иви 2 вв     DsD n n D Dx Для определения доверительного интервала для математического ожидания воспользуемся неравенством (3.2):   .98,3822,30 38,46,3438,46,34 5 6,10 064,26,34 5 6,10 064,26,34 064,224;95,0,γ     a a a tt n 21 Для определения доверительного интервала для среднего квадратического отклонения воспользуемся неравенством (3.3): .74,14σ28,8 391,16,10781,06,10 391,1;781,0 21    qq 3.2. Задачи для аудиторной работы 3.2.1. Для определения привеса рыбы за год в одном из рыбхозов проводились выборочные исследования. Разводимые в пруду карпы взвешивались и отпускались обратно. Результаты 100 таких измерений показали, что годовой привес рыбы в среднем составил 200 г, а дисперсия – 320 г. Найти с надеж- ностью 0,95 доверительный интервал для годового привеса рыбы  .  51,20349,196  . 3.2.2. Одним и тем же прибором со средним квадратическим отклонением случайных ошибок измерения 40σ  м проведено пять различных измерений расстояния. Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для оценки истинного расстояния, если среднее всех проведенных измерений 2000в x м.  06,203594,1964  a . 3.2.3. Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность горения ламп в выборке равна 1000 ч. Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для продолжительности горения ламп всей партии, если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения лампы 40σ  ч. )84,100716,992(  a . 3.2.4. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,925 точность оценки математического ожидания нормально распределенной СВ равна 0,2, если среднее квадратическое отклонение 5,1σ  .  179n . 3.2.5. По данным выборки найти доверительный интервал с надежностью 0,99, накрывающий среднее квадратическое отклонение. 22 ix 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 im 2 4 7 6 1  583,0σ077,0  . 3.2.6. Из генеральной совокупности СВ, распределенной по нормальному закону, выбрано 100 значений СВ. Найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения с надежностью 0,95. 1 ii хx 100–120 120–140 140–160 160–180 180–200 im 17 40 32 8 3         82,4σ64,3 42,12778,125 a . 3.2.7. С целью определения средней суммы Q вкладов в банке произведена выборка Сумма, млн руб. 10–30 30–50 50–70 70–90 90–110 110–130 im 1 3 10 30 60 7 Найти границы среднего вклада с надежностью 0,95.  37,9345,86 Q . 3.3. Задачи для самостоятельной работы 3.3.1. Станок-автомат штампует валики. По выборке объемом 100 вычислены выборочная средняя 5,12в x и 1,2s . Найти с надежностью 0,95 доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения. . 44,2σ84,1 92,1208,12         a 3.3.2. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,975 точность оценки математического ожидания а по выборочной средней ,3,0δ  если .2,1σ   .81n 23 3.3.3. Найти с надежностью 0,99 доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения по данным выборки. а) ix 12 14 16 18 20 22 im 5 15 50 16 10 4 . 71,2σ88,1 04,1788,15         a б) 1 ii хx 46–50 50–54 54–58 58–62 62–66 67–70 70–74 74–78 78–82 82–66 im 2 4 6 8 12 30 18 8 7 5 . 86,9σ84,6 25,7099,65         a З а н я т и е 4 Статистическая проверка гипотез. Критерии согласия Пирсона и Колмогорова 4.1. Краткие теоретические сведения Статистической называется гипотеза о предполагаемом виде неизвестного распределения СВ или о значениях параметров известного вида распределения. Нулевая гипотеза 0H – выдвинутая гипотеза. Конкурирующей (альтернативной) называется гипотеза, которая противоречит нулевой гипотезе. При проверке статистической гипотезы могут быть допущены ошибки двух родов. Ошибка первого рода – будет отклонена верная гипотеза. Ошибка второго рода – будет принята неверная гипотеза. Вероятность допустить ошибку первого рода называется уровнем значимости. Для проверки статистической гипотезы используют специальную статистику, которая называется критерием. По рассчитанному значению критерия определяют принимать или отвергать нулевую гипотезу. Критерий согласия – это проверка гипотезы о виде распределения СВ. 24 Основными критериями согласия являются критерии Пирсона 2χ и Колмогорова. При проверке гипотезы с помощью критерия Пирсона поступают следующим образом: – из генеральной совокупности извлекают выборку объемом n ; – по выборке вычисляют вx и в ; – переходят к нормированной СВ по формуле в в    xx U ii ; – находят вероятности попадания в интервал      iiiii UUΡUU   11 ,, ; – вычисляют теоретические частоты ii nPm  ; – вычисляют статистику Пирсона        k i i ii m mm 1 2 2 наблχ ; – из таблицы критических точек распределения Пирсона (табл. П3) по уровню значимости  и числу степеней свободы rk  1 определяют 2крχ , где k – число интервалов в вариационном ряде, r – количество параметров закона распределения, которые оцениваются по выборке (для нормального закона 2r ); – если 2кр 2 набл χχ  , то нет необходимости отвергать нулевую гипотезу, т.е. эмпирические и теоретические частоты согласуются. – если 2кр 2 набл χχ  , то гипотеза отвергается, т.е. расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами существенно; – если исследуется дискретная СВ, распределенная по нормальному закону, то теоретические вероятности определяются по формуле  ii U h p  вσ , где h – шаг,   2/ в 2 π2 1 , σ x i exU    в xxi . 25 З а д а ч а 4.1.1. Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости 05,0 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки. 1 ii хx 3–8 8–13 13–18 18–23 23–28 28–33 33–38 im 6 8 15 40 16 8 7 Р е ш е н и е По данным выборки методом произведений вычислим вx и вD . * ix im iU iimU ii mU 2   ii mU 2 1 5,5 6 –3 –18 54 24 10,5 8 –2 –16 32 8 15,5 15 –1 –15 15 0 20,5 40 0 0 0 40 25,5 16 1 16 16 64 30,5 8 2 16 32 72 35,5 7 3 21 63 112  100 4 212 320 Проверка:     .28,7 ;96,52250016,012,2 ;7,20504,05,20 ;12,2 100 212 ;04,0 100 4 .3202128100320 вв 22* 1 * 2в * 1в * 2 * 1            D hMMD сhMx MM Вычислим вероятности попадания в интервалы. 26 ix вxxi  в в σ xxi          в в σ xxi – – – –0,5 8 –12,7 –1,74 –0,4591 13 –7,7 –1,06 –0,3554 18 –2,7 –0,37 –0,1443 23 2,3 0,32 0,1255 28 7,3 1,00 0,3413 33 12,3 1,69 0,4545    0,5 .0455,04545,05,0 ;1132,03413,04545,0 ;2158,01255,03413,0 ;2698,01443,01255,0 ;2111,03554,01443,0 ;1037,04591,03554,0 ;0409,05,04591,0 7 6 5 4 3 2 1        Р Р Р Р Р Р Р Вычислим 2наблχ . im i ii nm  ii mm   2ii mm    iii mmm  / 2 6 0,0409 4,09 1,91 3,648 0,892 8 0,1037 10,37 –2,37 5,617 0,542 15 0,2111 21,11 –6,11 37,332 1,768 40 0,2698 26,98 13,02 169,520 6,283 16 0,2158 21,58 –5,58 31,136 1,443 8 0,1132 11,32 –3,32 11,022 0,974 7 0,0455 4,55 2,45 6,003 1,319   2 наблχ 13,221 27 Определим число степеней свободы: 42171  rk . По уровню значимости 05,0 и числу степеней свободы 4 найдем критическую точку правосторонней критической области распределения Пирсона (табл. П3):   5,94;05,0χχ 22кр  . Так как 2кр 2 набл χχ  , то гипотеза о нормальном распределении совокупности отвергается. Критерий согласия Колмогорова применяется для проверки гипотезы о законе распределения непрерывной СВ. Для статистической проверки гипотезы с помощью критерия согласия Колмогорова поступают следующим образом: – выбирают из генеральной совокупности выборку; – по выборке составляют эмпирическую функцию распределе- ния  xF * ; – записывают теоретическую функцию распределения  xF ; – вычисляют величину    xFxFD x  *max ; – вычисляют статистику Колмогорова nD , где n – объем выборки. СВ  имеет функцию распределения     0,1 222      xexK i xii , которая называется функцией Колмогорова; – находят по уровню значимости  (табл. П7); – если   , то гипотеза о законе распределения СВ откло- няется, если   , то нет оснований отклонять нулевую гипотезу. Рассмотрим применение критерия Колмогорова на примере. 28 З а д а ч а 4.1.2. Проверить по критерию Колмогорова гипотезу о нормальном распределении СВ по данным выборки при уровне значимости 05,0 . ii xx 1 0–0,5 0,5–1 1–1,5 1,5–2 2–2,5 2,5–3 3–3,5 3,5–4 im 17 11 9 8 2 1 1 1 Р е ш е н и е Вычислим выборочную среднюю вx и исправленное среднее квадратическое отклонение s .     .834,06948,0 ;6948,06809,0 49 50 1 ;6809,004,17625,1 ;7625,1 1 04,175,325,375,2225,2 875,1925,11175,01725,0 50 11 и ви 22 в 2 в 1 22 1 в             Ds D n n D xxD mx n x mx n x n i ii i n i i Тогда теоретическая функция распределения в предположении, что СВ распределена по нормальному закону, имеет вид                  834,0 04,1 2 1 2 1 в x s xx xF , где  x – функция Лапласа. Эмпирическую функцию распределения определим по формуле   n m xF x* , где xm – сумма частот вариант меньших x . 29                            .5,3,1 ;5,30,3,98,0 ;35,2,96,0 ;5,22,94,0 ;25,1,90,0 ;5,11,74,0 ;15,0,56,0 ;5,00,34,0 ;0,0 * x x x х x x x x x xF Вычислим величину    xFxFD  *max . 1056,0D Вычислим статистику Колмогорова: .747,01056,050λ  nD По уровню значимости 05,0 найдем по табл. П7 358,1λα  . Т.к. αλλ  , то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении. ix вxxi  s xxi в         s xxi в           s xx xF ii в 2 1  ixF *    xFxF i * 0 –1,04 –1,25 –0,3944 0,1056 0 0,1056 0,5 –0,55 –0,65 –0,2422 0,2578 0,34 0,0822 1,0 –0,04 –0,05 –0,0199 0,4801 0,56 0,0799 1,5 0,46 0,55 0,2088 0,7088 0,74 0,0312 2,0 0,96 1,15 0,3749 0,8749 0,90 0,0251 2,5 1,46 1,75 0,4599 0,9599 0,94 0,0199 3,0 1,96 2.35 0,4908 0,9906 0,96 0,0306 3,5 2,46 2,95 0,4985 0,9985 0,98 0,0185 4,0 2,96 3,55 0,4999 0,9999 1 0,0001 3 0 31 4.2. Задачи для аудиторной работы 4.2.1. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости  установить случайно или значимо расхождение между теоретиче- скими и эмпирическими частотами, которые вычислены, исходя из гипотезы о нормальном распределении СВ. а) 01,0 im 8 16 40 72 36 18 10 im 6 18 36 76 39 18 7 (случайно) б) 05,0 im 5 10 20 8 7 im 6 14 18 7 5 (случайно) 4.2.2. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 05,0 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распре- делении совокупности с данными выборки. а) 1 ii xx –20–(–10) –10–0 0–10 10–20 20–30 30–40 40–50 im 20 47 80 89 40 16 8 (согласуется) б) ix 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 2,3 im 6 9 26 25 30 26 21 24 20 8 5 (согласуется) 32 4.2.3. Наблюдения за межремонтными интервалами Т (в месяцах) работы зерноуборочного комплекса дали следующие результаты: 0,000; 0,001; 0,003; 0,012; 0,044; 0,156; 0,534; 0,802; 0,007 0,822; 0,873; 0,838; 0,170; 0,476; 0,322; 0,648; 0,991; 0,107; 0,726; 0,393; 0,827 0,419; 0,071; 0,659; 0,309; 0,927; 0,778; 0,327; 0,961; 0,826; 0,308; 0,414; 0,707; 0,515; 0,729; 0,742; 0,884; 0,632; 0,835; 0,318; 0,394; 0,502; 0,471; 0,306; 0,600; 0,846; 0,678; 0,454; 0,623; 0,648. Проверить при уровне значимости 01,0 с помощью критерия Колмогорова гипотезу о показательном распределении совокупности. (согласуется). 4.2.4. Даны результаты измерения 1000 деталей. 1  i i x x 97,25– 98,25 98,259 8,75 98,75– 99,25 99,25– 99,75 99,75– 100,25 100,25– 100,75 100,75– 101,25 101,25– 101,75 101,75– 102,25 102,25– 102,75 im 21 47 87 158 181 201 142 97 41 25 При уровне значимости 05,0 проверить с помощью критерия Колмогорова согласуются ли данные выборки с гипотезой о нормальном распределении. (не согласуются). 4.3. Задачи для самостоятельной работы 4.3.1. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 05,0 установить, случайно или значимо расхождение между эмпирическими  im и теоретическими частотами  im , которые вычислены в предположении, что генеральная совокупность рас- пределена по нормальному закону. im 14 18 32 70 20 36 10 im 10 24 34 80 18 22 12 (значимо). 33 4.3.2. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 05,0 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распре- делении совокупности с данными выборки. 1 ii xx 6–16 16–26 26–36 36–46 46–56 56–66 66–76 76–86 im 8 7 16 35 15 8 6 5 (не согласуется). 4.3.3. При уровне значимости 05,0 с помощью критерия Колмогорова проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении СВ с данными выборки. 1 ii xx –20–(–10) –10–0 0–10 10–20 20–30 30–40 40–50 im 20 47 80 89 40 16 8 (согласуется). З а н я т и е 5 Выборочный коэффициент корреляции и его свойства. Проверка гипотезы о равенстве нулю коэффициента корреляции 5.1. Краткие теоретические сведения Для вычисления выборочного коэффициента корреляции данные представляются в виде корреляционной таблицы. Она имеет следующий вид: в первой строке записаны наблюдаемые значения СВ Х, в первом столбце – наблюдаемые значения СВ Y, на пересечении i-й строки и j-го столбца записывается частота mij появления пары (yi, xj). В по- следнем столбце записывается частота появления варианты yi, в по- следней строке – частота появления варианты xj, на пересечении последней строки и последнего столбца записывается суммарное количество наблюдений. 34 Y X 1 x 2x 3x  kx yn 1y 11m 12m 13m  km1 1yn 2y 21m 22m 23m  km2 2yn                      y 1m 2m 3m  km yn xn 1xn 2xn 3xn  xkn n Основной оценкой тесноты связи между случайными величинами Х и Y служит выборочный коэффициент корреляции rв, который опре- деляется так: , σσ вв в yx yxXY r    где XY – среднее арифметическое произведений значений СВ X, Y. Свойства выборочного коэффициента корреляции аналогичны свойствам коэффициента корреляции между СВ. 1. 11 в  r ; 2. Если переменные Х и Y умножить на одно и то же число, то коэффициент корреляции не изменится. 3. Если 1в r , то корреляционная связь между значениями Х и Y представляет собой линейную функциональную зависимость. Для вычисления выборочного коэффициента корреляции приме- няется формула yx i j ijji n yxnmyx r σσ вв в    . (5.1) Если 0в r , то между наблюдаемыми значениями Х и Y корре- ляционная зависимость отсутствует, чем ближе к единице прибли- жается модуль коэффициента корреляции, тем теснее связь между 35 переменными Х и Y. Т.к. выборочный коэффициент корреляции вычисляется по данным выборки, то в отличие от коэффициента корреляции генеральной совокупности вr является случайной величи- ной. Если 0в r , то возникает вопрос, это объясняется действительно существующей связью между СВ Х и Y или вызвано случайными факторами. Для выяснения этого вопроса проверяется гипотеза Н0 о равенстве нулю коэффициента корреляции r генеральной совокупности. Для того, чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной двумерной нормальной совокупности, вычисляют статистику: 2 в в набл 1 2 r nr Т    По таблице критических точек распределения Стьюдента (табл. П4) по уровню значимости α и числу степеней свободы 2 n находят          , 2 кр tt критическую точку двусторонней критической области. Если крнабл tТ  , нет оснований отвергать нулевую гипотезу, т.е. 0r ; если крнабл tТ  , нулевую гипотезу отвергают, т.е. 0r . Рассмотрим вычисление выборочного коэффициента корреляции и проверку гипотезы о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности на примере. З а д а ч а 5.1.1. По данной корреляционной таблице вычислить выборочный коэффициент корреляции и при уровне значимости 05,0 проверить гипотезу о равенстве нулю коэффициента кор- реляции генеральной совокупности. yi jx 12,5 17,5 22,5 27,5 пy 20,5 1 1 21,5 2 2 22,5 1 2 3 23,5 3 3 6 24,5 8 8 nx 1 3 5 11 20 36 Р е ш е н и е Вычислим компоненты, входящие в формулу (5.1), для вычис- ления rв. 480115,2755,2235,1715,12  iinx ;   468jjny ;   10979;11925 22 jjii nynx ; 1133085,275,2435,275,2335,225,23 25,225,225,175,2225,125,215,125,20   ijji nyх   24 20 4801 в iinx n х ;   4,23 20 4681 в jjny n y ;   5,425,2057625,5961σ 2в2   xnx n iix ;   18,139,156,54795,5481σ 2в2   yny n jjy . Вычислим выборочный коэффициент корреляции: 923,0 18,15,420 4,23242011330 σσ вв в        yx ijji n yxnmyx r . Проверим гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности. 25,10 923,01 18923,0 1 2 22 в в набл        r nr Т . 37 По таблице критических точек распределения Стьюдента (табл. П4) по уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы 182  n найдем   101,218;025,0кр  tt . Так как крнабл tТ  , то гипотеза о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности отвергается, т.е. выбранный коэффициент корреляции значим. 5.2. Задачи для аудиторной работы 5.2.1. Определить тесноту связи и значимость общего веса X (г) растения и веса Y (г) его семян на основании данных. ix 40 50 60 70 80 90 100 iy 20 25 28 30 35 40 45 ( значим;6,17;992,0 наблв  Tr ). 5.2.2. Для исследования влияния объема капиталовложений Х (млрд руб.) на полученную годичную прибыль Y (млрд руб.) была собрана статистика по 20 крупным предприятиям, которая сведена в корреляционную таблицу. Y X 0–10 10–20 20–30 30–40 40–50 1,5–2,5 1 1 2,5–3,5 2 5 2 9 3,5–4,5 3 3 2 8 4,5–5,5 2 2 nx 3 8 5 2 2 20 Вычислить выборочный коэффициент корреляции. (rв = 0,782). 5.2.3. По выборке объема n = 100, извлеченной из двумерной нормальной совокупности (X, Y) вычислить выборочный коэффициент корреляции и при уровне значимости  = 0,05 проверить гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности. 38 Y X 10 15 20 25 30 35 ny 35 5 1 6 45 6 2 8 55 5 40 5 50 65 2 8 7 17 75 4 7 8 19 nx 5 7 9 52 19 8 100 ( 0;03,14;817,0 наблв  rTr ). 5.2.4. Определить тесноту связи между себестоимостью продукции Y (тыс. руб.) и количеством выпускаемой продукции Х (тыс. шт.) по данным 7 предприятий. Х 2 3 4 5 6 7 8 Y 2 1,9 2,2 2,4 2,3 2,5 2,5 Выяснить значимость выборочного коэффициента корреляции при  = 0,05. ( значим;44,5;925,0 наблв  Tr ). 5.2.5. Для выяснения зависимости урожайности сельхозкультур от почвенной влаги были исследованы 20 одинаковых участков земли в пойме реки (Х – расстояние участка от реки; Y – урожайность). Х Y 0,4 0,8 1,0 1,2 1,8 2,0 ny 3,0 2 3 5 3,5 4 2 1 7 4,5 1 2 2 5 5,0 2 1 3 nx 2 7 3 3 4 1 20 Вычислить выборочный коэффициент корреляции. (rв = 0,871). 39 5.3. Задачи для самостоятельной работы 5.3.1. При отладке токарного станка были измерены погреш- ности обработки Х (мкм) для разных диаметров обрабатываемых деталей Y (см). Х 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 Y 3 3 4 4 4 5 5 5 6 8 Найти выборочный коэффициент корреляции между Х и Y и опре- делить его значимость при  = 0,05. ( значим;68,6;921,0 наблв  Tr ). 5.3.2. Для изучения надежности машин был собран статистиче- ский материал зависимости времени непрерывной работы Y (в ме- сяцах) и количества предшествующих ремонтов Х. Y X 0 1 2 3 ny 2–6 1 2 3 6–10 1 3 1 5 10–14 1 2 1 4 14–18 2 1 1 4 18–22 1 3 4 nx 4 7 6 3 20 Вычислить rв и установить тесноту связи при  = 0,05. ( значим;9,5;812,0 наблв  Tr ). 5.3.3. По данным корреляционной таблицы вычислить rв. Y X 5 10 15 20 ny 10 2 2 20 5 4 4 13 30 3 8 3 3 17 40 3 6 6 15 50 2 1 3 nx 10 15 15 10 50 40 З а н я т и е 6 Линейная регрессия. Определение параметров линейной регрессии 6.1. Краткие теоретические сведения Если обе линии регрессии Y на Х и Х на Y являются прямыми, то в этом случае корреляцию называют линейной. Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х имеет вид  ввв σ σ хxrуу x y х  . (6.1) Уравнение прямой регрессии Х на Y имеет вид  ввв σ σ уyrхх y x у  , (6.2) где х, у – значения СВ Х, Y; ух ху , – их выборочные средние. Коэффициент уравнений (6.1), (6.2) можно также определить по формулам, полученным методом наименьших квадратов. Например, если уравнение (6.1) взять в виде baxух  , то параметры а и b линейной регрессии имеют следующий вид: . ; 1 2 1 2 11 2 11 1 2 1 2 111                               n i n i ii n i ii n i i n i i n i i n i n i ii n i i n i i n i ii xxn yxxxy b xxn yxyxn a (6.3) 41 З а д а ч а 6.1.1. Распределение 40 заводов отрасли по количеству слесарей Х и числу станко-смен Y задано корреляционной таблицей. Х Y 10–15 15–20 20–25 25–30 30–35 35–40 ny 0–0,2 4 - - - - - 4 0,2–0,4 2 2 - - - - 4 0,4–0,6 - - 2 - - - 2 0,6–0,8 - 6 - 4 4 - 14 0,8–1,0 - - - - 6 6 12 1,0–1,2 - - - - - 4 4 nx 6 8 2 4 10 10 40 Составить уравнение прямой регрессии Y на Х. Р е ш е н и е По корреляционной таблице   75,26105,37105,32 45,2725,2285,1765,12 40 11 1 в     n i xiinx n x ;  69,041,1129,0147,025,043,044,0 40 11 1 в    n i yiiny n y ; .85,0;25,9σ;29,0σ в  ryx Подставим вычисленные значения в уравнение (6.1):  75,26 29,0 25,9 85,069,0  xyx ;  75,268,2269,0  xyx ; 2,6098,22  xyx . 42 З а д а ч а 6.1.2. При эталонировании медного термометра изучалась зависимость электрического сопротивления Y от температуры Х. Были получены следующие результаты. i 1 2 3 4 5 6 xi 0 10 20 30 40 50 yi 0,533 0,553 0,574 0,596 0,619 0,645 Оценить параметры уравнения регрессии с помощью метода наименьших квадратов и записать уравнение регрессии Y на Х. Р е ш е н и е Сведем результаты вычисления в таблицу. Номер опыта i Исходные данные Расчетные данные xi yi xiyi xi 2 yi 2 1 0 0,533 0 0 0,2841 2 10 0,553 5,53 100 0,3047 3 20 0,574 11,48 400 0,3295 4 30 0,596 17,88 900 0,3552 5 40 0,619 24,75 1600 0,3832 6 50 0,645 32,25 2500 0,4160 n = 6  ix  iy  ii yx  2 ix  2 iy 150 3,519 91,89 5500 2,0727 Параметры линейной регрессии определим по формулам (6.3):   002237,0 15055006 519,315089,916 2    a ;   53067,0 15055006 89,911505500519,3 2    b . Эмпирическое уравнение регрессии Y на Х примет вид xyx 002237,053067,0  . 43 6.2. Задачи для аудиторной работы 6.2.1. Найти выборочное уравнение регрессии Y на Х по данным, приведенным в корреляционной таблице. Y X 5 10 15 20 25 30 35 40 ny 100 2 1 3 120 3 4 3 10 140 5 10 8 23 160 1 6 1 1 9 180 4 1 5 nx 5 5 8 11 8 6 5 2 50  72,11292,0  xух . 6.2.2. Для исследования зависимости годового объема производства Y от основных фондов Х получены статистические данные по 20 предприятиям. Y X 12,5 17,5 22,5 27,5 ny 20–21 1 1 21–22 2 2 22–23 1 2 3 23–24 3 3 6 24–25 8 8 nx 1 3 5 11 20 Составить выборочное уравнение регрессии Y на Х.  хух 2447,0524,17  . 6.2.3. По данным измерениям двух переменных величин найти уравнение линейной регрессии Y на Х. ix 66 70 75 80 82 85 90 92 95 98 iy 60 78 65 87 74 70 78 95 88 90  хyx 8,025,12  . 44 6.2.4. В таблице приводятся данные о распаде 10 г радиоактивного вещества, где t – время (в месяцах), Х – количество (г) оставшегося вещества в момент t. t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Х 8,45 7,67 5,08 3,63 3,46 2,43 1,91 1,17 0,98 0,81 0,76 0,72 Составить уравнение линейной регрессии Х на t. 6.3. Задачи для самостоятельной работы 6.3.1. В таблице приведены данные о связи между ценой на нефть Х (ден. ед.) и индексом нефтяных компаний Y (усл. ед.) Х 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5 Y 1,5 1,5 1,6 1,7 1,9 1,9 Составить уравнение прямой регрессии Y на Х.  677,0189,0  хyх . 6.3.2. Найти выборочные уравнения прямых регрессии Y на Х и Х на Y по данным, приведенным в корреляционной таблице. Х Y 5 10 15 20 25 30 35 40 ny 100 2 1 3 120 3 4 3 10 140 5 10 8 23 160 1 6 1 1 9 180 4 1 5 nx 5 5 8 11 8 6 5 2 50  3,3842,0;9,10092,1  yxxy yx . ТИПОВОЙ РАСЧЕТ В задачах 1–20 дан интервальный статистический ряд распреде- ления частот экспериментальных значений случайной величины Х. Требуется: 1) построить полигон и гистограмму частостей (относительных частот) СВ Х; 45 2) по виду полигона и гистограммы и, исходя из механизма обра- зования СВ, сделать предварительный выбор закона распределения; 3) вычислить выборочную среднюю вx и исправленное среднее квадратическое отклонение s; 4) записать гипотетичную функцию распределения и плотность распределения; 5) найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения при доверительной вероятности 95,0 ; 6) найти теоретические частоты нормального закона распределения и проверить гипотезу о нормальном распределении СВ с помощью критерия Пирсона при уровне значимости 05,0 . 1. Даны результаты испытания стойкости 200 удлиненных сверл диаметра 4 мм (ч). xi стойкость сверла 3–3,2 3,2–3,4 3,4–3,6 3,6–3,8 3,8–4 частота mi 16 50 70 44 20 2. Даны результаты исследования 100 напыленных образцов на прочность напыленного слоя (кг/мм2). xi прочность 2,0–2,2 2,2–2,4 2,4–2,6 2,6–2,8 2,8–3,0 частота mi 7 22 38 23 10 3. Даны результаты исследования на разрыв 100 образцов дюра- люминия (кг/мм2). xi предел прочности (кг/мм2) 42–43 43–44 44–45 45–46 46–47 частота mi 8 25 36 22 9 4. Даны результаты содержания фосфора (6 %) в 100 чугунных образцах. xi содержание фосфора 0,1–0,2 0,2–0,3 0,3–0,4 0,4–0,5 0,5–0,6 частота mi 7 22 38 24 9 46 5. Даны результаты испытания стойкости 100 сверл (ч). xi стойкость (ч) 17,5–22,5 22,5–27,5 27,5–32,5 32,5–37,5 37,5–42,5 частота mi 7 20 44 20 9 6. Приведены данные о среднесуточном пробеге 100 автомобилей автоколонны (сотни км). xi (сотни км) 1,2–1,6 1,6–2,0 2,0–2,4 2,4–2,8 2,8–3,2 частота mi 8 19 47 20 6 7. С автомата, обрабатывающего втулки диаметра d = 40 мм, взята выборка изделий объемом 100. Результаты измерения диаметров втулок приведены в таблице. xi диаметр (мм) 40,00– 40,04 40,04– 40,08 40,08– 40,12 40,12– 40,16 40,16– 40,20 частота mi 8 19 44 20 9 8. В таблице приведены статистические данные о трудоемкости (мин) операции «контроль механического состояния автомобиля после возвращения в гараж». xi трудоем- кость (мин) 3–4 4–5 5–6 6–7 7–8 8–9 частота mi 6 8 33 35 11 7 9. В таблице приведены статистические данные о трудоемкости (мин) операции «ремонт валика водяного насоса автомобиля». xi трудо- емкость (мин) 0–10 10–20 20–30 30–40 40–50 частота mi 17 47 70 46 20 10. Даны результаты испытания стойкости 100 фрез (ч). xi стойкость (ч) 21–26 26–31 31–36 36–41 41–46 частота mi 8 21 43 21 7 47 11. Даны сведения о расходе воды, используемой цехом для технических нужд в течение 100 дней (м3). xi расход (м3) 8–12 12–16 16–20 20–24 24–28 частота mi 7 25 36 22 10 12. Приведены квартальные данные о среднесуточном пробеге 100 автомобилей (км). xi среднесуточный пробег (км) 120–140 140–160 160–180 180–200 200–220 частота mi 9 21 40 18 12 13. Даны значения температуры масла в двигателе автомобиля БелАЗ при средних скоростях. xi температура (град.) 40–45 45–50 50–55 55–60 60–65 частота mi 8 17 46 18 11 14. Даны размеры внутреннего диаметра гайки (мм). xi диаметр (в мм) 10,00– 10,02 10,02– 10,04 10,04– 10,06 10,06– 10,08 10,08– 10,10 частота mi 9 16 47 21 7 15. Даны размеры диаметров 100 отверстий, просверленных одним и тем же сверлом. xi диаметр (мм) 8,02–8,07 8,07–8,12 8,12–8,17 8,17–8,22 8,22–8,27 частота mi 10 19 38 21 12 16. Даны результаты измерения диаметра валика, обработанного одношпиндельным автоматом. xi диаметр (мм) 19,80– 19,85 19,85– 19,90 19,90– 19,95 19,95– 20,00 20,05– 20,10 20,10– 20,15 частота mi 6 15 27 32 14 6 48 17. Даны результаты исследования грануляции партии порошка (мкм). xi грануляция (мкм) 0–40 40–80 80–120 120–160 160–200 частота mi 7 23 35 26 9 18. Даны результаты наблюдений за сроком службы 150 однотипных станков до выхода за пределы норм (месяцы двухсменной работы). xi срок (мес.) 18–20 20–22 22–24 24–26 26–28 частота mi 15 27 61 29 18 19. Даны результаты измерения толщины (см) 100 слюдяных прокладок. xi толщина (см) 0,20–0,26 0,26–0,32 0,32–0,38 0,38–0,44 0,44–0,50 частота mi 13 19 48 12 8 20. Даны диаметры 100 валиков после шлифовки (мм). xi диаметр (мм) 20,0–20,1 20,1–20,2 20,2–20,3 20,3–20,4 20,4–20,5 частота mi 11 23 49 10 7 В задачах 21–40 приводятся результаты наблюдений над СВ Х и Y. Используя эти экспериментальные данные, необходимо: 1) построить корреляционное поле. Подобрать математическую модель регрессионной зависимости Y от X (рекомендуется исполь- зовать модель линейной регрессии); 2) оценить параметры a и в модельного уравнения регрессии (6.1) методом наименьших квадратов; 3) записать эмпирическое уравнение регрессии Y на Х. 21. СВ Х и СВ Y – уровни жидкости в различных цилиндрах одной гидросистемы после контрольных испытаний. xi, см 12,1 11,2 9,8 10,4 9,2 8,5 8,8 7,4 уi, см 10,5 9,3 8,3 9,6 8,6 7,1 6,9 5,8 49 22. СВ X – величина напряжения стального бруса; СВ Y – величина нагрузки при сжатии стального бруса. xi, кН 5 10 20 40 60 уi, МПа 51,33 78,00 144,3 263,6 375,2 23. СВ X – углубление резца; СВ Y – удельная энергия. xi 4 8 10 14 16 20 19 23 уi 41 50 81 104 120 139 154 180 24. СВ X, СВ Y – уровни жидкости в различных цилиндрах одной гидросистемы после контрольных испытаний. xi, см 7,4 6,6 7,0 6,4 6,0 6,5 5,8 5,4 уi, см 5,8 5,2 5,0 5,1 4,6 5,0 4,4 3,9 25. СВ X – электрическое сопротивление молибдена; СВ Y – температура. xi, см 61,97 57,32 52,70 47,92 37,72 32,09 28,09 уi, К 2289 2132 1988 1830 1489 1286 1178 26. СВ X – электровооруженность труда на одного рабочего; СВ Y – выпуск продукции на одного рабочего. xi, кВтч 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 уi, тыс. руб. 4,3 4,8 5,0 5,7 6,5 7,0 7,5 8,1 27. СВ X – температура; СВ Y – сопротивление медного термометра. xi, С 0 10 20 30 40 50 60 70 уi, Ом 0,533 0,552 0,574 0,596 0,619 0,645 0,687 0,690 28. СВ X – масса детали; СВ Y – время, затрачиваемое на закрепление детали на токарном станке. xi, кг 0,7 0,8 1,0 1,2 1,3 1,4 1,5 1,7 уi, с 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 3,0 50 29. СВ X – плотность брикетов из карбонильного железного порошка; СВ Y – предел прочности на стане двух таких брикетов. xi , % 75 76 77 80 82 85 88 90 уi, ГПа 2,1 2,0 2,5 2,4 3,6 4,0 4,1 5,0 30. СВ X – скорость движения автомобиля ЗИЛ-130; СВ Y – длина его тормозного пути. xi, км/ч 10 15 20 25 30 35 40 45 уi, м 1,8 2,7 2,5 4,5 4,4 6,3 6,5 6,5 31. СВ X – скорость движения автомобиля ВАЗ-2301; СВ Y – длина его тормозного пути. xi, км/ч 31 30 42 40 55 48 64 59 уi, м 2,0 2,6 3,9 5,2 7,0 6,2 7,5 8,6 32. СВ X – давление гелия; СВ Y – объем одного моля гелия. xi, Па,10 8 3,0 3,6 4,0 4,5 5,2 5,6 6,0 6,4 уi, 32 м,10 1,98 1,92 1,93 1,81 1,83 1,70 1,73 1,68 33. СВ X – масса груза, подвешенного на эластичном шнуре; СВ Y – удлинение этого шнура. xi, кг 0,05 0,07 0,100 0,125 0,150 0,175 0,200 0,250 уi, см 0,005 0,052 0,012 0,016 0,017 0,025 0,027 0,034 34. СВ X – температура при прессовании болтов из стекловолокнита; СВ Y – предел их прочности. xi, С 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 уi, Па,10 8 10,8 10,2 9,2 8,9 8,3 8,3 8,0 7,3 51 35. СВ X – ударная вязкость инструментальных быстрорежущих сталей; СВ Y – коэффициент их обрабатываемости. xi, 23 м/Дж,10 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 уi, 0,6 0,62 0,64 0,67 0,69 0,73 0,75 0,8 36. СВ X – стаж работы; СВ Y – среднегодовое перевыполнение нормы. xi, год 2 3 4 5 6 7 уi, % 6 6 7 8 9 10 37. СВ X – отклонение размеров валиков от номинала при черновой обработке; СВ Y – при чистовой обработке. xi, мкм –30 –25 –20 –15 –10 –5 0 уi, мкм –8 –4 0 2 4 8 12 38. СВ X – скорость движения автомобиля БелАЗ; СВ Y – темпе- ратура смазочного масла в двигателе этого автомобиля. xi, км/ч 20 25 30 35 40 45 50 55 уi, С 43,5 43,9 44,2 45,0 46,0 46,9 47,5 49,0 39. СВ X – скорость резания; СВ Y – площадь поперечного сечения стружки при обработке. xi, м/мин 25,0 22,7 22,1 19,8 17,0 12,3 10,7 10,0 8,2 уi, мм2 1,1 1,4 1,7 2,1 2,6 4,7 6,1 7,0 10,0 40. СВ X – температура; СВ Y – коэффициент трения в подшипнике. xi, С 60 70 80 90 100 110 120 уi, 0,0148 0,0124 0,0102 0,0085 0,0071 0,0059 0,0051 52 ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица П1 Значения функции 2 2 π2 1 )( x ex   x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0,0 0,3989 3989 3989 3988 3986 3084 3982 3980 3977 3973 0,1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3025 3918 0,2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825 0,3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3697 0,4 3683 3668 3652 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538 0,5 3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352 0,6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144 0,7 3123 3101 3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943 2920 0,8 2897 2874 2850 2827 2804 2780 2756 2732 2709 2685 0,9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444 1,0 0,2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203 1,1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965 1,2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736 1,3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518 1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315 1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127 1,6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957 1,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0846 0833 0818 0804 1,8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669 1,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551 53 Окончание табл. П1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2,0 0,0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449 2,1 0440 0431 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 0363 2,2 0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290 2,3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229 2,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180 2,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139 2,6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110 0107 2,7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081 2,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061 2,9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046 3,0 0,0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034 3,1 0033 0032 0032 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0025 3,2 0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 0018 3,3 0017 0017 0012 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013 3,4 0012 0012 0010 0011 0011 0010 0010 0010 0009 0009 3,5 0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 0006 3,6 0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0004 3,7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 0003 3,8 0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 0002 3,9 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 0001 54 Таблица П2 Значения функции Лапласа    x t dtex 0 2 2 π2 1 )( x )(x x )(x x )(x x )(x 1 2 3 4 5 6 7 8 0,00 0,0000 0,32 0,1255 0,64 0,2389 0,96 0,3315 0,01 0,0040 0,33 0,1293 0,65 0,2422 0,97 0,3340 0,02 0,0080 0734 0,1331 0,66 0,2454 0,98 0,3365 0,03 0,0120 0,35 0,1368 0,67 0,2486 0,99 0,3389 0,04 0,0160 0,36 0,1406 0,68 0,2517 1,00 0,3413 0,05 0,0199 0,37 0,1443 0,69 0,2549 2,01 0,3438 0,06 0,0239 0,38 0,1480 0,70 0,2580 1,02 0,3461 0,07 0,0279 0,39 0,1517 0,71 0,2611 1,03 0,3485 0,08 0,0319 0,40 0,1554 0,72 0,2642 1,04 0,3508 0,09 0,0359 0,41 0,1591 0,73 0,2673 1,05 0,3531 0,10 0,0398 0,42 0,1628 0,74 0,2703 1,06 0,3554 0,11 0,0438 0,43 0,1664 0,75 0,2734 1,07 0,3577 0,12 0,0478 0,44 0,1700 0,76 0,2764 1,08 0,3599 0,13 0,0517 0,45 0,1736 0,77 0,2794 1,09 0,3621 0,14 0,0557 0,46 0,1772 0,78 0,2823 1,10 0,3643 0,15 0,0596 0,47 0,1808 0,79 0,2852 1,11 0,3665 0,16 0,0636 0,48 0,1844 0,80 0,2881 1,12 0,3686 0,17 0,0675 0,49 0,1879 0,81 0,2910 1,13 0,3708 0,18 0,0714 0,50 0,1915 0,82 0,2939 1,14 0,3729 0,19 0,0753 0,51 0,1950 0,83 0,2967 1,15 0,3749 0,20 0,0793 0,52 0,1985 0,84 0,2995 1,16 0,3770 0,21 0,0832 0,53 0,2019 0,85 0,3023 1,17 0,3790 0,22 0,0871 0,54 0,2054 0,86 0,3051 1,18 0,3810 0,23 0,0910 0,55 0,2088 0,87 0,3078 1,19 0,3830 0,24 0,0948 0,56 0,2123 0,88 0,3106 1,20 0,3849 0,25 0,0987 0,57 0,2157 0,89 0,3133 1,21 0,3869 0,26 0,1026 0,58 0,2190 0,90 0,3159 1,22 0,3883 0,27 0,1064 0,59 0,2224 0,91 0,3186 1,23 0,3907 0,28 0,1103 0,6, 0,2257 0,92 0,3212 1,24 0,3925 0,29 0,1141 0,61 0,2291 0,93 0,3238 1,25 0,3944 0,30 0,1179 0,62 0,2324 0,94 0,3264 0,31 0,1217 0,63 0,2357 0,95 0,3289 55 Окончание табл. П2 1 2 3 4 5 6 7 8 1,26 0,3962 1,59 0,4441 1,92 0,4726 2,50 0,4938 1,27 0,3980 1,60 0,4452 1,93 0,4732 2,52 0,4941 1,28 0,3997 1,61 0,4463 1,94 0,4738 1,54 0,4945 1,29 0,4015 1,62 0,4474 1,95 0,4744 2,56 0,4948 1,30 0,4032 1,63 0,4484 1,96 0,4750 2,58 0,4951 1,31 0,4049 1,64 0,4495 1,97 0,4756 2,60 0,4953 1,32 0,4066 1,65 0,4505 1,98 0,4761 2,62 0,4956 1,33 0,4082 1,66 0,4515 1,99 0,4767 2764 0,4959 1,34 0,4099 1,67 0,4525 2,00 0,4772 2,66 0,4961 1,35 0,4115 1,68 0,4535 2,02 0,4783 2,68 0,4963 1,36 0,4131 1,69 0,4545 2,04 0,4793 2,70 0,4965 1,37 0,4147 1,70 0,4554 2,06 0,4803 2,72 0,4967 1,38 0,4162 1,71 0,4564 2,08 0,4812 2,74 0,4969 1,39 0,4177 1,72 0,4573 2,10 0,4821 2,76 0,4971 1,40 0,4192 1,73 0,4582 2,12 0,4830 2,78 0,4973 1,41 0,4207 1,74 0,4591 2,14 0,4838 2,80 0,4974 1,42 0,4222 1,75 0,4599 2,16 0,4846 2,82 0,4976 1,43 0,4236 1,76 0,4608 2,18 0,4854 2,84 0,4977 1,44 0,4251 1,77 0,4616 2,20 0,4861 2,86 0,4979 1,45 0,4265 1,78 0,4625 2,22 0,4868 2,88 0,4980 1,46 0,4279 1,79 0,4633 2,24 0,4875 2,90 0,4981 1,47 0,4292 1,80 0,4641 2,26 0,4881 2,92 0,4982 1,48 0,4306 1,81 0,4649 2,28 0,4887 2,94 0,4984 1,49 0,4319 1,82 0,4656 2,30 0,4893 2,96 0,4985 1,50 0,4332 1,83 0,4664 2,32 0,4898 2,98 0,4986 1,51 0,4345 1,84 0,4671 2,34 0,4904 3,00 0,49865 1,52 0,4357 1,85 0,4678 2,36 0,4909 3,20 0,49931 1,53 0,4370 1,86 0,4686 2,38 0,4913 3,40 0,49966 1,54 0,4382 1,87 0,4693 2,40 0,4918 3,60 0,499841 1,55 0,4394 1,88 0,4699 2,42 0,4922 3,80 0,499928 1,56 0,4406 1,89 0,4706 2,44 0,4927 4,00 0,499968 1,57 0,4418 1,90 0,4713 2,46 0,4931 4,50 0,499997 1,58 0,4429 1,91 0,4719 2,48 0,4934 5,00 0,499997 56 Таблица П3 Значения функции   )( ; 2 ; 22 ; P  \ 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001 1 1,642 2,706 3,841 5,412 6,635 10,827 2 3,219 4,605 5,991 7,824 9,210 13,815 3 4,642 6,251 7,815 9,837 11,345 16,266 4 5,989 7,779 9,488 11,668 13,277 18,467 5 7,289 9,236 11,070 13,388 15,086 20,515 6 8,558 10,645 12,592 15,033 16,812 22,457 7 9,803 12,017 14,067 16,622 18,475 24,322 8 11,030 13,362 15,507 18,168 20,090 26,125 9 12,242 14,684 16,919 19,679 21,666 27,877 10 13,442 15,987 18,307 21,161 23,209 29,588 11 14,631 17,275 19,675 22,618 24,725 31,264 12 15,812 18,549 21,026 24,054 26,217 32,909 13 16,985 19,812 22,362 25,472 27,688 34,528 14 18,151 21,064 23,685 26,683 29,141 36,123 15 19,311 22,307 24,996 28,259 30,578 37,697 16 20,465 23,542 26,296 29,633 32,000 39,252 17 21,615 24,769 27,587 30,995 33,409 40,790 18 22,760 25,989 28,869 32,346 34,805 42,312 19 23,900 27,204 30,144 33,687 36,191 43,820 20 25,038 28,412 31,410 35,020 37,566 45,315 21 26,171 29,615 32,671 36,343 38,932 46,797 22 27,301 30,813 33,924 37,659 40,289 48,268 23 28,429 32,007 35,172 38,968 41,638 49,728 24 29,553 33,196 36,415 40,270 42,980 51,179 25 30,675 34,382 37,652 41,566 44,312 52,620 26 31,795 35,563 38,885 42,856 45,642 54,052 27 32,912 36,741 40,113 44,140 46,963 55,476 28 34,027 37,916 41,337 45,419 48,278 56,893 29 35,139 39,087 42,557 46,693 49,588 58,302 30 36,250 40,256 43,773 47,962 50,892 59,703 57 Таблица П4 Распределение Стьюдента Значения ;t удовлетворяют условию      ; ),()( ; t dttSttP .  \ 0,40 0,30 0,20 0,10 0,05 0,025 0,010 0,005 0,001 0,0005 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 0,325 0,727 1,376 3,078 6,314 12,71 31,82 63,66 318,3 636,6 2 0,289 0,617 1,061 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 22,33 32,60 3 0,277 0,584 0,978 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 10,22 12,94 4 0,271 0,569 0,941 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 7,173 8,610 5 0,267 0,559 0,920 1,476 2,015 2,571 3,365 5,032 5,893 6,859 6 0,265 0,553 0,906 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,208 5,959 7 0,263 0,549 0,896 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,785 5,405 8 0,262 0,546 0,889 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 4,501 5,041 9 0,261 0,543 0,883 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,297 4,781 10 0,260 0,542 0,879 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,144 4,587 11 0,260 0,540 0,876 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,025 4,437 12 0,259 0,539 0,873 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,930 4,318 13 0,259 0,538 0,870 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,852 4,221 14 0,258 0,537 0,868 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,787 4,140 15 0,258 0,536 0,866 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,733 4,073 16 0,258 0,535 0,865 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,686 4,015 17 0,257 0,534 0,863 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,646 3,965 58 Окончание табл. П4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 18 0,257 0,534 0,862 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,611 3,922 19 0,257 0,533 0,861 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,579 3,883 20 0,257 0,533 0,860 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,552 3,850 21 0,257 0,532 0,859 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,527 3,819 22 0,256 0,532 0,858 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,505 3,792 23 0,256 0,532 0,858 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,485 3,767 24 0,256 0,531 0,857 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,467 3,745 25 0,256 0,531 0,856 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,450 3,725 26 0,256 0,531 0,856 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,435 3,707 27 0,256 0,531 0,855 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,421 3,690 28 0,256 0,530 0,855 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,408 3,674 29 0,256 0,530 0,854 1,311 1,699 2,045 2,462 7,756 3,396 3,659 30 0,256 0,530 0,854 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,385 3,646 40 0,255 0,529 0,851 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,307 3,551 50 0,255 0,528 0,849 1,298 1,676 2,009 2,403 2,678 3,262 3,495 60 0,254 0,527 0,848 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,232 3,460 80 0,254 0,527 0,846 1,292 1,664 1,990 2,374 2,639 3,195 3,415 100 0,254 0,526 0,845 1,290 1,660 1,984 2,365 2,626 3,174 3,389 200 0,254 0,525 0,843 1,286 1,653 1,972 2,345 2,601 3,131 3,339 500 0,253 0,525 0,842 1,283 1,648 1,965 2,334 2,586 3,106 3,310  0,253 0,524 0,842 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,090 3,291 59 Таблица П5 Значения функции n s txa n s txt nnn ;γв;γв;γ :  \n 0,95 0,99 0,999 \n 0,95 0,99 0,999 5 2,78 4,60 8,61 20 2,093 2,861 3,883 6 2,57 4,03 6,86 25 2,064 2,797 3,745 7 2,45 3,71 5,96 30 2,045 2,756 3,659 8 2,37 3,50 5,41 35 2,032 2,720 3,600 9 2,31 3,36 5,04 40 2,023 2,708 3,558 10 2,26 3,25 4,78 45 2,016 2,692 3,527 11 2,23 3,17 4,59 50 2,009 2,679 3,502 12 2,20 3,11 4,44 60 2,001 2,662 3,464 13 2,18 3,06 4,32 70 1,996 2,649 3,439 14 2,16 3,01 4,22 80 1,991 2,640 3,418 15 2,15 2,98 4,14 90 1,987 2,633 3,403 16 2,13 2,95 4,07 100 1,984 2,627 3,392 17 2,12 2,92 4,02 120 1,980 2,617 3,374 18 2,11 2,90 3,97  1,960 2,576 3,291 19 2,10 2,88 3,92 60 Таблица П6 Значения коэффициентов 1q и SqSqq 212 ;  0,99 0,98 0,95 0,00 1q 2q 1q 2q 1q 2q 1q 2q 1 0,356 15,0 0,388 79,8 0,446 31,9 0,510 15,9 2 0,434 14,1 0,466 9,97 0,521 6,28 0,578 4,40 3 0,483 6,47 0,514 5,11 0,566 3,73 0,620 2,92 4 0,519 4,39 0,549 3,67 0,599 2,87 0,649 2,37 5 0,546 3,48 0,576 3,00 0,624 2,45 0,672 2,090 6 0,569 2,98 0,597 2,62 0,644 2,202 0,690 1,916 7 0,588 2,66 0,616 2,377 0,661 2,035 0,705 1,797 8 0,604 2,440 0,631 2,205 0,675 1,916 0,718 1,711 9 0,618 2,277 0,644 2,076 0,688 1,826 0,729 1,645 10 0,630 2,154 0,656 1,977 0,699 1,755 0,739 1,593 11 0,641 2,056 0,667 1,898 0,708 1,698 0,748 1,550 12 0,651 1,976 0,676 1,833 0,717 1,651 0,755 1,515 13 0,660 1,910 0,685 1,779 0,725 1,611 0,762 1,485 14 0,669 1,854 0,693 1,733 0,732 1,577 0,769 1,460 15 0,676 1,806 0,700 1,694 0,739 1,548 0,775 1,437 16 0,683 1,764 0,707 1,659 0,745 1,522 0,780 1,418 17 0,690 1,727 0,713 1,629 0,750 1,499 0,785 1,400 18 0,696 1,695 0,719 1,602 0,756 1,479 0,790 1,385 19 0,702 1,668 0,725 1,578 0,760 1,460 0,794 1,370 20 0,707 1,640 0,730 1,556 0,765 1,414 0,798 1,358 21 0,712 1,617 0,734 1,536 0,769 1,429 0,802 1,346 23 0,722 1,576 0,743 1,502 0,777 1,402 0,809 1,326 24 0,726 1,558 0,747 1,487 0,781 1,391 0,812 1,316 25 0,730 1,541 0,751 1,473 0,784 1,380 0,815 1,308 26 0,734 1,526 0,755 1,460 0,788 1,371 0,818 1,300 27 0,737 1,512 0,758 1,448 0,791 1,361 0,820 1,293 29 0,744 1,487 0,765 1,426 0,796 1,344 0,825 1,279 30 0,748 1,475 0,768 1,417 0,799 1,337 0,828 1,274 40 0,774 1,390 0,792 1,344 0,821 1,279 0,847 1,228 50 0,793 1,336 0,810 1,297 0,837 1,243 0,861 1,199 60 0,808 1,299 0,824 1,265 0,849 1,217 0,871 1,179 70 0,820 1,272 0,835 1,241 0,858 1,198 0,879 1,163 80 0,829 1,250 0,844 1,222 0,866 1,183 0,886 1,151 90 0,838 1,233 0,852 1,207 0,873 1,171 0,892 1,141 100 0,845 1,219 0,858 1,195 0,878 1,161 0,897 1,133 200 0,887 1,15 0,897 1,13 0,912 1,11 0,925 1,09 61 Таблица П7 Критические значения распределения Колмогорова  )( αР α 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0,001 α 1,073 1,224 1,358 1,520 1,627 1,950 62 ЛИТЕРАТУРА 1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2003. – 479 с. 2. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 1997. – 400 с. 3. Микулик, Н.А. Теория вероятностей и математическая стати- стика / Н.А. Микулик, А.В. Метельский. – Минск: Пион, 2002. – 192 с. 4. Математика для инженеров: в 2 т. / под научной ред. Н.А. Микулика. – Минск: Элайда, 2006. – Т. 2. 5. Микулик, Н.А. Решение технических задач по теории вероят- ностей и математической статистике / Н.А. Микулик, Г.Н. Рейзина. – Минск: Вышэйшая школа, 1966. 6. Белько, И.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Примеры и задачи / И.В. Белько, Г.Л. Свирид. – Минск: Новое знание, 2002. – 250 с. 63 СОДЕРЖАНИЕ Теоретические вопросы для подготовки к экзамену . . . . . . . . . 3 Занятие 1. Статистическое распределение. Эмпирическая функция распределения и ее свойства. Полигон и гистограм- ма. Числовые характеристики выборки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Занятие 2. Точечные оценки неизвестных параметров распре- деления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Занятие 3. Интервальные оценки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Занятие 4. Статистическая проверка гипотез. Критерии со- гласия Пирсона и Колмогорова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Занятие 5. Выборочный коэффициент корреляции и его свой- ства. Проверка гипотезы о равенстве нулю коэффициента корреляции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Занятие 6. Линейная регрессия. Определение параметров ли- нейной регрессии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ТИПОВОЙ РАСЧЕТ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ПРИЛОЖЕНИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ЛИТЕРАТУРА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 64 Учебное издание МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Сборник задач для аудиторной и самостоятельной работы С о с т а в и т е л и : ЧЕПЕЛЕВ Николай Иосифович МЕТЕЛЬСКИЙ Анатолий Владимирович ЧЕПЕЛЕВА Тереса Иосифовна КЛИМОВИЧ Владимир Макарович Редактор И.Ю. Никитенко Компьютерная верстка Л.А. Адамович Подписано в печать 18.11.2009. Формат 60841/16. Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 3,72.Уч.-изд. л. 2,91. Тираж 500. Заказ 519. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. Проспект Независимости, 65. 220013, Минск.