Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Экспериментальная и теоретическая физика» ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА Лабораторные работы № 3, 15 М и н с к 2 0 0 9 Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Экспериментальная и теоретическая физика» ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА Лабораторные работы № 3, 15 М и н с к 2 0 0 9 УДК 531.38(076.5) ББК 22.213я7 И 32 Составители: Д.С. Бобученко, Ю.А. Бумай, В.В. Красовский Рецензенты: П.Г. Кужир, И.А. Хорунжий И 32 Изучение законов вращательного движения твердого тела: лабораторные работы № 3, 15 / сост.: Д.С. Бобученко, Ю.А. Бу- май, В.В. Красовский. – Минск: БНТУ, 2009. – 32 с. ISBN 978-985-525-246-8. Издание содержит описание двух лабораторных работ, по- священных изучению законов вращательного движения твер- дого тела. В работах рассмотрены наиболее важные характеристики вращательного движения, основной закон динамики вращатель- ного движения, закон сохранения момента импульса, а также изложена теория гироскопического эффекта. Приведено опи- сание лабораторных установок и заданий. Пособие предназначено для студентов инженерных специ- альностей, изучающих раздел «Механика» дисциплины «Об- щая физика». УДК 531.38(076.5) ББК 22.213я7 ISBN 978-985-525-246-8  БНТУ, 2009 Лабораторная работа № 3 ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА Цель работы: изучение основных характеристик вращатель- ного движения, законов вращательного движения твердого тела. Задача работы: определить момент силы трения. Кинематические и некоторые динамические характеристики вращательного движения Вращательное движение – это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения (рис. 3.1). Абсолютно твердое тело (твердое тело) – это тело, изменением размеров и формы которого можно пренебречь, т.е. расстояния между любыми частями тела остаются неизменными. Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Пусть не-которая точка, движущаяся по окруж- ности радиуса R (см. рис. 3.1), и за проме- жуток времени t переместилась на угол . Элементарные (бесконечно малые) уг- лы поворотов  (или d) можно рас- сматривать как векторы. Модуль вектора Δ равен значению угла поворота, а сам вектор Δ направлен вдоль оси вращения в сторону, определяемую правилом пра- вого винта (т.е. его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения по окружности). Этот век- Рис. 3.1 4 тор не имеет определенных точек приложения: он может от- кладываться из любой точки на оси вращения. Угловой скоро- стью называется векторная величина, равная первой произ- водной угла поворота по времени: ttt d dΔ lim 0Δ       . Вектор  направлен вдоль оси вращения по правилу право- го винта. Линейная скорость точки: ω Δ Δ Δ Δ Δ Δ υ limlimlim 0Δ0Δ0Δ R t R t R t s ttt       . В векторном виде формулу для линейной скорости можно записать как векторное произведение угловой скорости и ра- диуса-вектора точки r относительно любой точки на оси вра- щения:    Rr   . Если вращение равномерное, т.е.  = const, его можно ха- рактеризовать периодом вращения T – временем, за которое точка или тело совершает один полный оборот. Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном вращении за единицу времени называется частотой вращения: n = 1/T. Угловым ускорением называется векторная величина, рав- ная первой производной угловой скорости по времени: td d   . Как видно из определения, направление углового ускоре- ния совпадает с направлением изменения угловой скорости. Поэтому при ускоренном вращении тела вокруг неподвижной 5 оси вектор углового ускорения сонаправлен с вектором угло- вой скорости, при замедленном – эти вектора направлены в разные стороны. Моментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная произведению силы на ее плечо. Плечо си- лы относительно оси – это кратчайшее расстояние от оси вращения до прямой, вдоль которой действует сила (линия действия силы). Моментом M силы F относительно точки О называется векторная величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r, проведенного из точки О в точку приложе- ния силы (точка B), на силу F (рис. 3.2):  FrM , . Рис. 3.2 Модуль вектора момента силы: FdFrM  sin , где  – угол между векторами r и F, d = rsin – плечо силы относи- тельно точки – кратчайшее расстояние между линией дей- ствия силы и точкой О. Вектор M перпендикулярен к плоскости, в которой лежат векторы r и F. Направление вектора M совпадает с направле- 6 нием поступательного движения правого винта при его вра- щении от r к F по кратчайшему расстоянию, как показано на рисунке. Момент силы относительно оси также равен проекции на эту ось вектора момента силы M, определенного относительно произвольной точки на этой оси. Значение момента силы от- носительно оси не зависит от выбора положения точки на оси. Кинетическая энергия вращающего тела. Момент инерции Рассмотрим вращательное движение твердого тела относи- тельно неподвижной и проходящей через него оси. Разобьем это тело на множество элементов – элементарных объемов, – масса каждого из которых равна mi и радиус вращения ri (рис. 3.3). Кинетическая энергия i-го элемента равна 2 2 ii i m E   . (3.1) Кинетические энергии различных эле- ментов будут разными, т.к. различны их линейные скорости. Чтобы рассчитать полную энергию вращательного движе- ния твердого тела, необходимо просум- мировать энергии всех его элементов:    i ii i i m EE 2 2 (3.2) или    i iirmE 2 22 , (3.3) Рис. 3.3 7 т.к. линейная скорость вращения связана с угловой скоростью i = ri. Поскольку угловая скорость  одинакова для всех элемен- тов тела, ее можно вынести за знак суммы:    i iirmE 2 2 2 . (3.4) Величина  2Δ iirmI называется моментом инерции твер- дого тела, а 2Δ iii rmI  – моментом инерции одного элемента (материальной точки), размерами которого можно пренебречь по сравнению с его радиусом вращения. Момент инерции те- ла равен сумме моментов инерции элементов, составляющих это тело:   i ii i i rmII 2 . (3.5) Тогда формула для кинетической энергии вращательного движения твердого тела принимает вид 2 2  I E . (3.6) Момент инерции не зависит от скорости вращения те- ла и характеризует инертность тела при вращательном движении: чем больше I, тем большую энергию надо затра- тить для достижения заданной угловой скорости. Это следует из формулы (3.6). Значение момента инерции определяется не только массой тела, но и ее распределением относительно оси вращения. Для тонкостенного полого цилиндра (толщина ко- торого много меньше его радиуса R) момент инерции, соглас- но (3.5), будет равен 8   i i mRmRI 22 . (3.7) В случае непрерывного распределения массы формула (3.5) сводится к интегралу    VrmrI dd 22 , (3.8) где dm – масса материальной точки тела;  – плотность в определенной точке тела; dV – элементарный объем. Интегрирование производится по всему объему тела. В качестве примера рассчитаем момент инерции сплошно- го цилиндра высотой h относительно его геометрической оси. Для этого разобьем цилиндр на отдельные полые концентриче- ские цилиндры бесконечно ма- лой толщины dr с внутренним радиусом r (рис. 3.4). Так как радиусы точек бес- конечно тонкого цилиндра рав- ны между собой, то его момент инерции можно рассчитать по формуле mrI dd 2 , (3.9) где dm – масса всего элементарного цилиндра. Выразим массу полого элементарного цилиндра через его объем dV и плотность  rrhVm d2dd  . (3.10) Следовательно, момент инерции элементарного цилиндра равен Рис. 3.4 9 rrhI d2d 3 , (3.11) а всего цилиндра   R rrhII 0 3d2d , (3.12) где R – радиус цилиндра. Произведя интегрирование и подставив пределы, получим: 2 4Rh I   . (3.13) Так как hR2 – объем цилиндра, а его масса m = V = hR2, то его момент инерции равен 2 2mR I  . (3.14) Без расчета приведем формулы моментов инерции однород- ного шара относительно оси, проходящей через его центр: 2 5 2 mRI  (3.15) и для однородного стержня относительно перпендикулярной ему оси, проходящей через его центр: 2 12 1 mlI  , (3.16) где l – длина стержня; R – радиус шара; m – массы этих тел. Для расчета момента инерции тела относительно оси, не про- ходящей через его центр масс, нужно воспользоваться теоре- 10 мой Штейнера, которая формулируется следующим образом: момент инерции относительно произвольной оси равен мо- менту инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями: 2 0 mdII  . (3.17) Уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси Для вывода уравнения динамики вращательного движения твердого тела используем теорему о кинетической энергии: работа результирующей всех сил, действующих на тело, идет на приращение кинетической энергии: dA = dEk. Пусть к телу, закрепленному на оси О, в горизонтальной плоскости приложена внешняя сила F (рис. 3.5). Рис. 3.5 Напомним, что элементарной работой dA силы F называ- ется скалярное произведение силы F на бесконечно малое пе- ремещение dl: 11 lFlFA dαcosd)d(d  lF , (3.18) где  – угол между направлением силы и направлением пере- мещения. Отметим, что нормальная составляющая силы Fn (в отличие от тангенциальной Fτ) и сила реакции опоры N работы не со- вершают, т.к. они перпендикулярны направлению перемещения. Элемент dl = rd при небольших углах поворота d (r – ра- диус-вектор элемента тела). Тогда работа этой силы записыва- ется следующим образом:  dcosd FrA . (3.19) Выражение Fr cos является моментом силы (произведение силы F на плечо p = r cos):  cosFrM . (3.20) Тогда работа равна  dd MA . (3.21) Эта работа затрачивается на изменение кинетической энер- гии вращения ) 2 (dd 2  I M . (3.22) Если I = const, то после дифференцирования правой части получим:  dd IM или, т.к. td d  ,    I t IM d d , (3.23) 12 где td ωd β  – угловое ускорение. Выражение (3.23) является уравнением динамики враща- тельного движения твердого тела относительно неподвиж- ной оси, которое лучше из-за причинно-следственных связей представить как I M β . (3.24) Угловое ускорение тела определяется алгебраической сум- мой моментов внешних сил относительно оси вращения, деленной на момент инерции тела относительно этой оси. Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение (табл. 3.1). Таблица 3.1 Поступательное движение Вращательное движение Масса m Момент инерции I Скорость td dr  Угловая скорость td d   Ускорение td d a Угловое ускорение td d   Сила F Момент силы M или zM Основное уравнение динамики: m F a  Основное уравнение динамики: I M β Работа sFA sdd  Работа  dd ZMA Кинетическая энергия 2 υ2m Ek  Кинетическая энергия 2 ω2I Ek  13 Динамика поступательного движения твердого тела полно- стью определяется силой и массой как мерой их инертности. При вращательном движении твердого тела динамика движе- ния определяется не силой как таковой, а ее моментом, инерт- ность – не массой, а ее распределением относительно оси вращения. Тело не приобретает углового ускорения, если сила приложена, но ее момент будет равен нулю. Методика выполнения работы Принципиальная схема лабораторной установки представ- лена на рис. 3.6. Она состоит из диска массой md, закреплен- ных на нем четырех стержней массами m2, и четырех грузов массами m1, расположенных симметрично на стержнях. На диск намотана нить, к которой подвешен груз массой m. Рис. 3.6 Уравнение поступательного движения груза m без учета сил трения согласно второму закону Ньютона: Tga  mm (3.25) 14 или в скалярном виде, т.е. в проекции на направление движения имеет вид: Tmgma  . (3.26) Откуда mamgT  , (3.27) где T – сила натяжения нити. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения (3.24), момент силы T, под действием которой си- стема тел md, m1, m2 совершает вращательное движение, равен произведению момента инерции I этой системы на ее угловое ускорение :  IM или  ITR , (3.28) где R – плечо этой силы равное радиусу диска. Выразим силу натяжения нити из (3.28) R IT   (3.29) и приравняем правые части (3.27) и (3.29) R Imamg   . (3.30) Линейное ускорение связано с угловым следующим соот- ношением: a = R, следовательно IamaRmgR  22 . (3.31) Откуда ускорение груза m без учета сил трения в блоке равно: 15 2 1 mR I g a   . (3.32) Рассмотрим динамику движения системы с учетом сил тре- ния, которые действуют в системе. Они возникают между стержнем, на котором закреплен диск и неподвижной частью установки (внутри подшипников), а также между подвижной частью установки и воздухом. Все эти силы трения мы будем учитывать с помощью момента сил трения. С учетом момента сил трения уравнение динамики враще- ния записывается следующим образом: R а IIMM   тр , (3.33) где a – линейное ускорение при действии сил трения; Mтр – момент сил трения. Вычитая уравнение (3.33) из уравнения (3.28), получим: R а I R a IMMM   тр , R аa IM  тр . (3.34) Ускорение без учета силы трения а можно рассчитать по формуле (3.32). Ускорение груза массой m с учетом сил тре- ния можно рассчитать из формулы для равноускоренного движения, измерив пройденный путь S и время t: 2 2 t S а  . (3.35) Зная значения ускорений (а и а), по формуле (3.34) можно определить момент сил трения. Для расчетов необходимо знать 16 величину момента инерции системы вращающихся тел, которая будет равен сумме моментов инерции диска, стержней и грузов. Момент инерции диска согласно (3.14) равен: 2 2Rm I dd  . (3.36) Момент инерции каждого из стержней (см. рис. 3.6) отно- сительно оси О согласно (3.16) и теореме Штейнера равен 2 2 2 2 2 c2occ ) 2 ( 12 R l mlm l amII  , (3.37) где ac = l/2 + R; R – радиус диска; l – длина стержня; Ioc – момент инерции стержня относительно оси, проходя- щей через центр масс. Аналогично рассчитываются моменты инерции грузов: 2 1 2 1 2 10 3 hmdm l hmII rr  , (3.38) где h – расстояние от центра масс груза до оси вращения О; d – длина груза; I0r – момент инерции груза относительно оси, проходящей через его центр масс. Сложив моменты инерции всех тел, получим формулу для вычисления момента инерции всей системы:                         2 2 1 22 2 2 c 3 4 212 4 2 44 h d mR ll m Rm IIII drd .(3.39) Задания 17 1. По формулам (3.39) и (3.32) рассчитать момент инерции системы I для положения грузов m1 на стержнях h = 0,1 м, а также ускорение a груза m для расстояния S = 0,4 м. 2. Для этого же расстояния измерить время падения груза с заданной высоты S. По формуле (3.35) рассчитать ускорение груза а при присутствии сил трения. 3. По формуле (3.34) рассчитать момент силы трения. 4. Рассчитать погрешность измерений момента силы трения. 5. Повторить пункты 1–4 для положения грузов m1 на стерж- нях h = 0,2 м. 6. Сравнить результаты. Контрольные вопросы 1. Какое движение является вращательным? Что такое ось вращения? 2. Какое тело называется абсолютно твердым? 3. Определение угловой скорости. Направление вектора уг- ловой скорости. Связь линейной и угловой скорости при вра- щательном движении. 4. Дать определение момента силы относительно точки и момента силы относительно оси. 5. Определение момента инерции материальной точки. 6. Как рассчитать момент инерции твердого тела относи- тельно заданной оси? 7. Сформулировать теорему Штейнера. 8. Как рассчитывается кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси? 9. Записать и сформулировать уравнение динамики враща- тельного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Литература 18 1. Савельев, И.В. Курс общей физики: учебное пособие: в 3 т. / И.В. Савельев. – М.: Наука, 1987. – Т.1: Механика. Молеку- лярная физика. – 432 с. 2. Трофимова, Т.И. Курс физики: учебное пособие для ву- зов / Т.И. Трофимова. – М.: Высшая школа, 2003. – 541 с. Лабораторная работа № 15 ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСКОПА Цель работы: изучение законов вращательного движения, изучение движения гироскопа под действием момента сил. Задача работы: вычислить величину момента импульса и момента инерции гироскопа. Основные понятия. Основной закон вращательного движения Моментом импульса L материальной точки относитель- но точки О называется векторное произведение радиуса-век- тора этой точки на вектор ее импульса p:    vrprL m,,  , где r – радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А, рас- положения материальной точки; p = mv – импульс материальной точки. Модуль вектора момента импульса plmvrrpL  αsinαsin , где  - угол между векторами r и p; 19 l – плечо вектора p относительно точки О. Вектор L, согласно определению векторного произведения, перпендикулярен к плоскости, в которой лежат векторы r и p (или v), его направление совпадает с направлением поступа- тельного движения правого винта при его вращении от r к p по кратчайшему расстоянию, как показано на рис. 15.1. Рис. 15.1 Моментом импульса относительно оси называется ска- лярная величина, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки на этой оси. Моментом силы M материальной точки относительно точки О называется векторная величина, определяемая век- торным произведением радиуса-вектора r, проведенного из точки О в точку приложения силы Β, на силу F:  FrM , . Модуль вектора момента силы: FdFrM  sin , где  – угол между векторами r и F; 20 d = rsin – плечо силы – кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О. Вектор M перпендикулярен к плоскости, в которой лежат векторы r и F, его направление совпадает с направлением по- ступательного движения правого винта при его вращении от r к F по кратчайшему расстоянию, как показано на рис. 15.2. Рис. 15.2 Моментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная проекции на эту ось вектора момента силы M. определенного относительно произвольной точки на этой оси. Основной закон динамики вращательного движения Для выяснения назначения приведенных выше понятий рас- смотрим систему из двух материальных точек (частиц) и затем обобщим результат на систему из произвольного числа частиц (т.е. на твердое тело). Пусть на частицы с массами m1, m2, импульсы которых p1 и p2, действуют внешние силы F1 и F2. Частицы также взаимодей- ствуют друг с другом внутренними си-лами f12 и f21 (рис. 15.3). Рис. 15.3 21 Запишем второй закон Ньютона для каждой из частиц, а также вытекающую из третьего закона Ньютона связь между внутренними силами: 112 1 d d Ff p  t , (15.1) 221 2 d d Ff p  t , (15.2) 2112 ff  . (15.3) Умножим векторно уравнение (15.1) на r1, а уравнение (15.2) – на r2 и сложим полученные выражения:        22112121212211 ,,,, d d , d d , FrFrfrfr p r p r             tt . (15.4) Преобразуем левые части уравнения (15.4), учитывая, что                ttt i ii i ii d d ,, d d , d d p rp r pr , i = 1, 2. Векторы t i d dr и t m iii d dr p  параллельны и их векторное произведение равно нулю, поэтому можно записать   ttt i ii i i d d , d d d d , L pr p r       . (15.5) Первые два слагаемых справа в (15.4) равны нулю, т.е.      1221212121 ,,, frrfrfr  , (15.6) поскольку f21 = –f12, а вектор r1–r2 направлен по одной и той же прямой, что и вектор f12. Учитывая (15.5) и (15.6) из (15.4) получим 22 21 21 d d d d MM LL  tt или M L  td d , (15.7) где L = L1 + L2; M = M1 + M2. Обобщая результат на систему из n частиц, мы можем запи- сать L = L1 + L2 + … + Ln =   n i i 1 L ; M = M1 + M2 + … +Mn =   n i i 1 M . Уравнение (15.7) является математической записью основ- ного закона динамики вращательного движения: скорость изменения момента импульса системы равна сумме действу- ющих на нее моментов внешних сил. Этот закон справедлив относительно любой неподвижной или движущейся с посто- янной скоростью точки в инерциальной системе отсчета. От- сюда же следует закон сохранения момента импульса: если момент внешних сил M равен нулю, то момент импульса си- стемы сохраняется (L = const). Момент импульса абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси Рассмотрим вращение абсолютно твердого тела вокруг не- подвижной оси z. Твердое тело можно представить как систе- му из n материальных точек (частиц). При вращении некото- рая рассматриваемая точка тела (обо- значим ее индексом i, причем i = 1…n) движется по окружности посто- янного радиуса Ri с линейной скоро- стью vi вокруг оси z (рис. 15.4). Ее скорость vi и импульс mii пер- пендикулярны радиусу Ri. Поэтому мо- дуль момента импульса частицы тела 23 относительно точки О, расположенной на оси вращения: iiii υrmL  , где ri – радиус-вектор, проведенный от точки О к частице. Используя связь между линейной и угловой скоростью i = = Ri, где Ri – расстояние частицы от оси вращения, получим iiii RrmL ω . Проекция этого вектора на ось вращения z, т.е. момент им- пульса частицы тела относительно оси z, будет равна: ωω)αcos(αcos 2iiiiiiiizi RmRrmLL  . Момент импульса твердого тела относительно оси есть сум- ма моментов импульсов всех частей тела    n i zii n i iiz IRmRmL 1 2 1 2 ωωω . (15.8) Величина Iz, равная сумме произведений масс частиц тела на квадраты их расстояний до оси z, называется моментом инерции тела относительно данной оси:    n i iiz RmI 1 2. Из выражения (15.8) следует, что момент импульса тела не зависит от положения точки О на оси вращения, поэтому го- ворят о моменте импульса тела относительно некоторой оси вращения, а не относительно точки Рис. 15.4 24 Свободные оси и главные оси инерции тела Для того чтобы сохранить фиксированное в пространстве положение оси вращения твердого тела, ее механически за- крепляют, используя обычно подшипники, т.е. воздействуют внешними силами. Однако существуют такие оси вращения тел, которые не изменяют своей ориентации в пространстве без действия на них внешних сил. Эти оси называются свобод- ными. Можно доказать, что у любого тела имеются три вза- имно перпендикулярные оси, проходящие через его центр масс, которые являются свободными. Эти оси называются также глав- ными осями инерции тела. Гироскопы В настоящее время к гироскопам относят широкий класс при- боров, в которых используются более ста различных явлений и физических принципов. В данной лабораторной работе изучает- ся классический гироскоп, в дальнейшем просто гироскоп. Гироскопом (или волчком) называется массивное симмет- ричное тело, вращающееся с большой угловой скоростью во- круг своей оси симметрии. Эту ось мы будем называть осью гироскопа. Она является одной из главных осей инерции (сво- бодной осью). Момент импульса гироскопа в таком случае направлен вдоль оси и равен L = I. Рассмотрим горизонтально ориентированный уравновешен- ный гироскоп (центр тяжести которого находится над точкой опоры). Т.к. момент силы тяжести для него равен нулю, то со- гласно закону сохранения момента импульса L = I = const, т.е. направление его оси вращения не изменяет положения в пространстве. При попытке вызвать поворот оси гироскопа наблюдается явление, называемое гироскопическим эффектом. Суть эф- 25 фекта: под действием силы F, приложенной к оси вращаю- щегося гироскопа, ось гироскопа поворачивается в плоскости, перпендикулярной этой силе. Например, при действии вер- тикальной силы, ось гироскопа поворачивается в горизон- тальной плоскости. На первый взгляд это кажется противо- естественным. Гироскопический эффект объясняется следующим образом (рис. 15.5). Момент M силы F направлен перпендикулярно его оси, т.к. M = [r, F], r – радиус-вектор из центра масс гироско- па в точку приложения силы. Рис. 15.5 За время dt момент импульса гироскопа L получит прира- щение dL = M  dt (в соответствии с основным законом враща- тельного движения), направленное в том же направлении, что и M и станет равным L + dL. Направление L + dL совпадает с новым направлением оси вращения гироскопа. Таким обра- зом, ось гироскопа повернется в плоскости, перпендикуляр- ной силе F на некоторый угол dφ = |dL|/L = M  dt/L, с угловой скоростью L M t    d d . (15.9) 26 Угловая скорость поворота оси гироскопа  называется уг- ловой скоростью прецессии, а такое вращательное движение оси гироскопа прецессией. Из (15.9) следует M =  L. Векторы M, L,  взаимно перпендикулярны, поэтому мож- но записать M = [, L]. Эта формула получена для сручая, когда векторы M, L,  взаимно перпендикулярны, однако можно доказать, что спра- ведлива в общем случае. Отметим, что данные рассуждения и вывод формул спра- ведлив в том случае, когда угловая скорость вращения гиро- скопа  >> . Из формулы (15.9) следует, что скорость прецессии  пря- мо пропорциональна M и обратно пропорциональна моменту импульса гироскопа L. Если время действия силы мало, мо- мент импульса L достаточно велик, то скорость прецессии  будет мала. Поэтому кратковременное действие сил практиче- ски не приводит к изменению ориентации оси вращения гиро- скопа в пространстве. Для ее изменения следует прикладывать силы в течение длительного времени. Практическое применение гироскопов Описанные выше свойства гироскопа нашли разнообразное практическое применение. Одна из областей – нарезное оружие. После вылета из ствола орудия на снаряд действует сила сопро- тивления воздуха, момент которой может опрокинуть снаряд и изменить его ориентацию относительно траектории беспорядоч- ным образом, что отрицательно влияет на дальность полета и точность попадания в цель. Винтовые нарезы в стволе орудия сообщают вылетающему снаряду быстрое вращение вокруг его 27 оси. Снаряд превращается в гироскоп и внешний момент силы сопротивления воздуха вызывает лишь прецессию его оси во- круг направления касательной к траектории снаряда. При этом сохраняется определенная ориентация снаряда в пространстве. Другой важной сферой применения гироскопов являются различные гироскопические приборы: гирогоризонт, гироком- пас и т.д. Уравновешенные гироскопы также применяются для поддержания заданного направления движения самолета (авто- пилот). Для этого крепление гироскопа осуществляют на кар- данной подвеске, которая уменьшает действие внешних мо- ментов сил, возникающих при маневре самолета. Благодаря этому ось гироскопа сохраняет свое направление в простран- стве независимо от движения самолета. При отклонении направления движения самолета от направления, заданного осью гироскопа, возникают автоматические команды, возвра- щающие самолет к заданному направлению. Описанное поведение гироскопа также положено в основу прибора, называемого гироскопическим компасом (гироком- пасом), представляющим собой гироскоп, ось которого может свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости. Под влиянием суточного вращения Земли ось гирокомпаса уста- навливается в такое положение, при котором угол между его осью и осью вращения Земли оказывается минимальным. В этом положении ось гирокомпаса оказывается в меридиональ- ной плоскости, т.е. указывает точно на географический север. Гироскопический компас выгодно отличается от компаса с магнитной стрелкой тем, что в его показания не надо вносить поправки на так называемое магнитное склонение (связанное с несовпадением географического и магнитного полюсов Зем- ли), а также не надо принимать мер для компенсации воздей- ствия магнитных наводок от корпуса и оборудования судна. Описание экспериментальной установки 28 Экспериментальная установка (рис. 15.6) состоит из следую- щих основных узлов: 1. Диск гироскопа. 2. Рычаг с метрической шкалой. 3. Груз, перемещением которого по рычагу 2 задается ве- личина момента силы. 4. Диск с угловой шкалой для определения угла поворота оси гироскопа в горизонтальной плоскости при прецессии. 5. Блок измерений и управления. Рис. 15.6 Задания 1. Определить модуль момента силы тяжести для несколь- ких положений груза z на рычаге гироскопа: 29 pzzmgM  , где m – масса груза; zр – координата груза по метрической шкале рычага, когда гироскоп уравновешен. 2. Для каждого положения груза определить время поворо- та оси гироскопа Δt на заданный угол Δφ и вычислить угло- вую скорость прецессии: t   . 3. Вычислить величину момента импульса гироскопа для каждого из измерений:   M L . 4. Вычислить среднее значение момента импульса гироскопа: N L L N i i  1 , где N – число измерений. 5. Вычислить момент инерции гироскопа по формуле I = = L ( – угловая скорость вращения гироскопа;  = 2,  – число оборотов двигателя в единицу времени) и определить абсолютную и относительную ошибки в определении момента инерции гироскопа. Контрольные вопросы 1. Что такое момент импульса материальной точки относи- тельно точки? 2. Что такое момент силы относительно точки? 30 3. Момент импульса абсолютно твердого тела. 4. Основной закон динамики вращательного движения. 5. Момент инерции твердого тела относительно данной оси. 6. Сформулируйте закон сохранения момента импульса. 7. Что такое гироскоп? 8. Что такое гироскопический эффект? 9. Что называется прецессией гироскопа и при каких усло- виях она наблюдается? 10. Чему равна угловая скорость прецессии? Литература 1. Савельев, И.В. Курс общей физики: учебное пособие: в 3 т. / И.В. Савельев. – М.: Наука, 1987. – Т.1: Механика. Молеку- лярная физика. – 432 с. 2. Трофимова, Т.И. Курс физики: учебное пособие для ву- зов / Т.И. Трофимова. – М.: Высшая школа, 2003. – 541 с. 3. Петровский, И.И. Механика / И.И. Петровский. – Минск: Изд-во БГУ, 1973. – 352 с. 4. Сивухин, Д.В. Механика: учебное пособие для вузов: в 4 т. / Д.В. Сивухин. – М.: Наука, 1989. – Т.1. – 576 с. 31 Содержание Лабораторная работа № 3 Динамика вращательного движения твердого тела. . . . . . . 3 Лабораторная работа № 15 Изучение движения гироскопа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Учебное издание ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА Лабораторные работы № 3, 15 Составители: БОБУЧЕНКО Дмитрий Степанович БУМАЙ Юрий Александрович КРАСОВСКИЙ Василий Васильевич Редактор Е.О. Коржуева Компьютерная верстка Н.А. Школьниковой Подписано в печать 08.12.2009. Формат 60841/16. Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 1,86. Уч.-изд. л. 1,45. Тираж 100. Заказ 1125. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. Проспект Независимости, 65. 220013, Минск.