1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Экспериментальная и теоретическая физика» ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОГО ЗАРЯДА ЭЛЕКТРОНА МЕТОДОМ МАГНЕТРОНА Практикум для специальностей 1-38 01 01 «Механические и электромеханические приборы и аппараты», 1-38 01 02 «Оптико-электронные и лазерные приборы и системы», 1-38 02 01 «Информационно-измерительная техника», 1-38 02 02 «Биотехнические аппараты и системы», 1-38 02 03 «Техническое обеспечение безопасности» Рекомендовано учебно-методическим объединением по образованию в области приборостроения Минск БНТУ 2018 2 УДК 537.8:530.145(076.5)(075.8) ББК 22.33я7 О-62 С о с т а в и т е л и: В. В. Черный, С. А. Манего, В. В. Красовский Р е ц е н з е н т ы: кафедра физики и методики преподавания физики УО «Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка» (заведующий кафедрой, доктор физико-математических наук, профессор В. Р. Соболь); старший преподаватель кафедры ЭТТ УО «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Н. С. Собчук Определение удельного заряда электрона методом магнетрона : практикум для студентов специальностей 1-38 01 01 «Механические и электромеханические приборы и аппараты», 1-38 01 02 «Оптико- электронные и лазерные приборы и системы», 1-38 02 01 «Инфор- мационно-измерительная техника», 1-38 02 02 «Биотехнические аппа- раты и системы», 1-38 02 03 «Техническое обеспечение безопасно- сти» / В. В. Черный, С. А. Манего, В. В. Красовский. – Минск: БНТУ, 2018. – 23 с. ISBN 978-985-583-001-7. Практикум содержит описание (теоретическую часть, схему экспериментальной установки и задание) лабораторной работы, посвященной изучению движения заря- женных частиц в магнитном и электрическом полях. На основании изложенного по методу магнетрона определяется важный параметр электрона – его удельный заряд. Издание предназначено для студентов инженерных специальностей, изучающих раздел «Электричество и магнетизм» курса общей физики. УДК 537.8:530.145(076.5)(075.8) ББК 22.33я7 ISBN 978-985-583-001-7 © Черный В. В., Манего С. А., Красовский В. В., 2018 © Белорусский национальный технический университет, 2018 О-62 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОГО ЗАРЯДА ЭЛЕКТРОНА МЕТОДОМ МАГНЕТРОНА Цели работы: 1. Изучить характер движения заряженных частиц в элек- трических и магнитных полях. 2. Изучить метод магнетрона для определения удельного заряда электрона. Задачи работы: 1. Экспериментально исследовать зависимость тока, про- текающего в электровакуумном диоде от величины индукции магнитного поля. 2. На основании полученной зависимости определить ве- личину критической индукции магнитного поля и удельный заряд электрона. Движение заряженных частиц в электрическом поле В электрическом поле на заряженную частицу, например, электрон, действует сила, пропорциональная величине заряда q и напряженности поля :E .вF qE    Под действием этой силы электрон, имеющий отрицатель- ный заряд, перемещается в направлении, обратном направле- нию вектора E (рис. 1), если начальная скорость была равна нулю. Пусть между плоскопараллельными пластинами приложена некоторая разность потенциалов U. Между пластинами созда- ется однородное электрическое поле, напряженность которого равна 4 ,UE d  где d – расстояние между пластинами. Рис. 1 Рассмотрим траекторию электрона, влетающего в однород- ное электрическое поле с некоторой скоростью 0,v направ- ленной перпендикулярно полю (рис. 2). Рис. 2 Горизонтальная составляющая силы F равна нулю, поэто- му и составляющая xv скорости электрона остается постоян- 5 ной и равной 0.v Следовательно, координата ݔ электрона определяется как 0 ,x v t (1) где t – время движения электрона. В вертикальном направлении под действием силы F элек- трону сообщается некоторое ускорение ,a которое согласно второму закону Ньютона равно .вF qa E m m      Следовательно, за время t электрон приобретает вертикаль- ную составляющую скорости 1 d ,d y qv at Et t m     откуда при движении в поле конденсатора получаем d d .qy Et t m   Изменение координаты у электрона от времени получим, проинтегрировав последнее выражение: 2 0 d .2 tq q ty E t t E m m     (2) Подставим значение t из (1) в (2) и получим уравнение движения электрона ( )y x в виде 2 20 .2 q xy E m v   (3) 6 Выражение (3) представляет собой уравнение параболы. Если длина пластин равна 1,l то время пролета между пла- стинами составит 1 1 0/ .t l v За это время электрон приобрета- ет вертикальную составляющую скорости 11 0 .lqv E m v   Из рис. 2 следует, что тангенс угла отклонения электрона равен 1 1 20 0 tgα .v lq E v m v   При выходе из поля смещение электрона 1y в направлении, перпендикулярном полю, составит 21 1 / 2.y at Подставив значения a и 1,t получим 211 20 .2 qEly mv   Таким образом, смещение электрона, как и любой другой заряженной частицы, в электрическом поле пропорционально напряженности электрического поля и зависит от величины удельного заряда частицы / .q m Движение заряженных частиц в магнитном поле Рассмотрим теперь траекторию электрона, влетающего в однородное магнитное поле со скоростью v (рис. 3). Магнитное поле воздействует на электрон с силой Л,F  ве- личина которой определяется соотношением Лоренца: 7 Рис. 3 Л [ ],F q vB   или в скалярном виде: Л sin ,F qvB  где В – индукция магнитного поля;  – угол между векторами v и .B Направление силы Лоренца определяется по правилу левой руки с учетом знака заряда частицы. Отметим, что сила, действующая на электрон, всегда пер- пендикулярна вектору скорости и, следовательно, является центростремительной силой. В однородном магнитном поле, перпендикулярном скорости, под действием центростремитель- ной силы электрон будет двигаться по окружности радиуса .R Если же электрон движется прямолинейно вдоль силовых ли- ний магнитного поля, т. е.  = 0, то сила Лоренца ЛF равна нулю и электрон проходит магнитное поле, не меняя направ- ления движения. Если вектор скорости перпендикулярен вектору ,B то сила действия магнитного поля на электрон максимальна: Л .F qvB  Так как сила Лоренца является центростремительной силой, то для модулей сил можно записать следующее: 2 .mvqvB R  8 Отсюда следует, что радиус окружности, по которой дви- жется электрон, равен .vR q B m  (4) Как видно, радиус траектории зависит от отношения заряда к массе. Это используют в специальных приборах для опреде- ления удельного заряда ионов (масс) – спектрометрах. Ионы различной массы, описывая дуги различного радиуса, попа- дают в различные точки на фотопластинке. При необходимо- сти выделить нужные ионы вместо фотопластинки помещают непроницаемый экран. В нем имеется щель, расположенная в месте пересечения дуги, описываемой данными ионами, с плоскостью щели. Если зона действия магнитного поля ограничена, а ско- рость электрона достаточно высока, то электрон движется по дуге и вылетает из магнитного поля, изменив направление своего движения (рис. 4). Рис. 4 9 Если отклонение электрона невелико, можно считать, что ускорение его постоянно по величине и направлению и равно Л 0/ / .a F m qv B m   Тогда величина скорости ,v направ- ленной перпендикулярно начальной скорости 0,v будет равна 0 1 11 0 .qv B l qBlv at m v m      Здесь 1l – протяженность зоны действия магнитного поля. Модуль тангенса угла отклонения равен 0 tg .v v   Подставив значение ,v получим формулу для угла от- клонения: 1 0 tg .lq B m v   (5) Таким образом, отклонение в магнитном поле электрона, как и любой заряженной частицы, прямо пропорционально отношению /q m и индукции магнитного поля В и обратно пропорционально скорости 0.v Более сложную траекторию описывает электрон, влетаю- щий в магнитное поле со скоростью v под углом  к вектору ,B отличным от 0° или от 90° (рис. 5). В этом случае скорость электрона имеет нормальную составляющую ,nv направлен- ную перпендикулярно ,B и тангенциальную составляющую ,v направленную параллельно .B  Первая их них изменяется по направлению под действием силы Лоренца, вторая остает- ся постоянной и по модулю, и по направлению (движение по инерции). 10 Рис. 5 Суперпозиция вращательного движения в плоскости, пер- пендикулярной ,B и поступательного движения в направле- нии, параллельном ,B приводит к тому, что в результате электрон движется по цилиндрической спирали (см. рис. 5). Период его обращения равен 2 , n RT v  (6) а циклическая частота 2 .nv T R    (7) Подставим значение R из (4) в (7): .q B m  (8) Из последнего выражения следует, что частота обращения электрона не зависит ни от величины, ни от направления его начальной скорости и определяется только величинами удельного заряда и магнитного поля. Это обстоятельство ис- пользуется для фокусировки электронных пучков в электрон- нолучевых приборах. 11 Действительно, если в магнитном поле попадает пучок электронов, содержащий частицы с различными по модулю и направлению скоростями 1 2 3, ,v v v   (рис. 6, а), вылетающими из одной точки, то все они опишут спираль разного радиуса, но встретятся в одной и той же точке согласно уравнению (7). На рис. 6, б представлены их траектории при наблюдении в направлении магнитного поля. Принцип магнитной фокуси- ровки электронного пучка лежит в основе одного из методов определения / .q m Зная величину В и измерив частоту обра- щения электронов , по формуле (8) легко вычислить значе- ние удельного заряда. а б Рис. 6 В скрещенных электрическом и магнитном полях отклоне- ние электрона зависит от направления векторов E и B и со- отношения их модулей. На рис. 7 электрическое и магнитное поля взаимно перпенди- кулярны и направлены таким образом, что первое из них стре- мится отклонить электрон вверх, а второе – вниз. Направление отклонения зависит от соотношения модулей сил EF  и Л.F  Если модули этих сил равны, т. е. ,qE qvB (9) 12 то электрон не изменит направления своего движения. Рис. 7 Предположим, что под действием магнитного поля элек- трон отклонился на некоторый угол β. Затем приложим элек- трическое поле такой величины, чтобы смещение оказалось равным нулю. Найдем из условия равенства сил (9) скорость v и подставим ее значение в уравнение (5): 2 tg ,q B l m E   откуда 2 tg . q E m B l   Таким образом, зная угол отклонения , вызванный маг- нитным полем ,B протяженность области магнитного поля l и величину электрического поля ,E компенсирующую это от- клонение, можно определить величину удельного заряда элек- трона / .q m Впервые этим методом отношение /q m измерил Дж. Дж. Томсон. Опыты Томсона имели огромное 13 значение в развитии учения об электричестве, так как они явились неопровержимым доказательством дискретности природы электрического заряда. Определение удельного заряда методом магнетрона Определение /q m в скрещенных электрическом и магнит- ном полях может быть выполнено также с помощью двух- электродного прибора – электровакуумного диода, помещен- ного в магнитное поле. Этот метод известен в физике как ме- тод магнетрона. Используемая в диоде конфигурация электрического и магнитного полей идентична конфигурации этих полей в магнетронах. Магнетроны – это приборы, используемые для генерации электромагнитных колебаний в СВЧ-области частот. С этим и связано название метода. Между цилиндрическим анодом A и цилиндрическим ка- тодом K (рис. 8), расположенным вдоль оси симметрии, при- ложена некоторая разность потенциалов ,U создающая элек- трическое поле ,E направленное по радиусу от анода к катоду. В отсутствие магнитного поля (В = 0) электроны движутся прямолинейно от катода к аноду (рис. 9, прямая а). Рис. 8 Рис. 9 В > Bкр г) В = Вкр в) В < Bкр В = 0 а) Анод Катод б) rан 14 Рис. 10 При наложении слабого магнитного поля, направление ко- торого параллельно оси электродов, траектория электронов искривляется под действием силы Лоренца, но они достигают анода (рис. 9, кривая б). При некотором критическом значе- нии индукции магнитного поля крB B (рис. 9, кривая в) тра- ектория электронов искривляется настолько, что в момент до- стижения электронами анода вектор их скорости направлен по касательной к аноду. И, наконец, при более сильном магнит- ном поле крB B (рис. 9, кривая г) радиус кривизны траекто- рии оказывается меньше половины радиуса анода и электроны не попадают на анод, а возвращаются к катоду. При этом ток через диод резко падает (рис. 10). Соответственно, со- гласно (4), радиус анода b и критическая индукция Вкр связаны между собой следую- щим образом: кр .2 b v q B m  (10) Значение Вкр не является постоянной величиной для данно- го прибора и зависит от величины приложенной между анодом и катодом разности потенциалов. Точный расчет траектории движения электронов в магне- троне сложен, так как электрон движется в неоднородном ра- диальном электрическом поле. Однако, если радиус катода много меньше радиуса анода, электрическое поле наиболее сильно только вблизи катода, и электроны набирают основ- 15 ную часть скорости в этой области, а основную часть траекто- рии проходит с примерно постоянной по модулю скоростью. Величину скорости электронов можно определить из усло- вия, что их кинетическая энергия равна работе сил электриче- ского поля на участке между катодом и анодом: 2 .2 mv qU (11) Выразив значение v из (11) и подставив в (10), получим вы- ражение для расчета удельного заряда электрона. 2 2кр 8 .q U m B b  (12) Таким образом, для определения удельного заряда элек- трона методом магнетрона достаточно измерить разность по- тенциалов между анодом и катодом U, критическое значение индукции магнитного поля Bкр и радиус анода b. Более точное решение данной задачи дает несколько отли- чающееся от (12) значение для / :q m 222 2кр 8 , 1 q U m aB b b          (13) где а – радиус катода. 16 Описание установки для определения удельного заряда электрона методом магнетрона Электрическая схема установки приведена на рис. 11. Электровакуумный диод D с цилиндрическим анодом поме- щается внутрь длинного соленоида L, создающего магнитное поле при прохождении тока через него. Между анодом и ка- тодом приложена разность потенциалов, измеряемая вольт- метром V. Анодный ток через диод Ia измеряется миллиам- перметром mA. Катушка соленоида питается от источника постоянного тока Uc. В цепи соленоида имеется также амперметр A для измерения тока через соленоид Ic. Катод лампы питается от источника постоянного тока UH. Рис. 11 Для определения q / m между анодом и катодом прилагает- ся некоторая разность потенциалов Ua, соответствующая 17 исчезновению объемного заряда вблизи катода, и снимается зависимость анодного тока от тока соленоида a c( ).I f I Так как индукция магнитного поля прямо пропорциональна току Iс, протекающему через соленоид, то график зависимо- сти a c( )I f I идентичен графику зависимости a ( ),I f B представленному на рис. 10. При некотором значении магнитной индукции, называемом критическим, В = Вкр, при заданном напряжении Ua ток через диод Ia должен резко спадать до нуля. Это изображено пунк- тирной линией на рис. 10. Данное условие нарушается по нескольким причинам. Во-первых, электроны, испускаемые катодом, обладают не- сколько различающимися начальными скоростями. Поэтому величина критической индукции крB несколько различается для различных электронов. Во-вторых, магнитное поле не является строго однород- ным. Оно несколько уменьшается по мере удаления от центра соленоида вдоль прямой, параллельной оси. Вследствие этого одно и то же значение индукции достигается в различных точках внутри диода при несколько различающихся значениях тока Ic, протекающего через соленоид. Соответственно, критические условия достигаются в раз- личных плоскостях, перпендикулярных оси диода, при не- сколько различающихся значениях Ic. В-третьих, возвращающиеся при крB B на катод электро- ны передают ему свою энергию и увеличивают его темпера- туру. Это приводит к усилению термоэлектронной эмиссии. В результате процесс спада тока Ia замедляется. Поэтому при росте тока через соленоид анодный ток уменьшается не резко, а плавно (сплошная линия на рис. 10). В качестве критического тока кр ,I по которому определяется величина Вкр, принимают значение тока соленоида, соответ- ствующее точке перегиба в зависимости Ia от Ic. 18 Из полученной по экспериментальным данным зависимо- сти a c( )I f I определяется величина критического тока кр ,I соответствующая перегибу на графике. Затем определяется ве- личина Вкр по формуле для магнитного поля соленоида: кр 0 кр ,B k nI  (14) где 0 – магнитная постоянная; n – число витков обмотки соленоида на единицу его длины; крI – ток через обмотку соленоида, при котором наблюда- ется точка перегиба в зависимости тока Ia от тока, протекаю- щего через соленоид; k – коэффициент, учитывающий отличие магнитного поля реального соленоида от поля бесконечного соленоида. Далее по формуле (13) рассчитывается величина удельного заряда электрона. Задание 1. Снять зависимость анодного тока диода Ia от величины тока Ic, протекающего через соленоид при заданном напряже- нии на аноде Ua. 2. Построить график зависимости тока анода от тока, про- текающего через соленоид a c( ).I f I 3. По точкам перегиба кривых определить значение кр ,I соответствующее критическому значению вектора магнитной индукции. 4. По формуле (14) рассчитать значение Вкр для указанного значения Ua. 5. Рассчитать по формуле (13) значение удельного заряда электрона. 19 Контрольные вопросы 1. В каком случае действует сила Лоренца? 2. Какими величинами определяется отклонение электрона в электрическом и магнитном полях? 3. По какой траектории движется электрон, влетающий в магнитное поле? 4. По какой траектории движется электрон в однородном электрическом поле? 5. В чем заключается принцип магнитной фокусировки электронного пучка? 6. В чем заключается метод Томсона для определения удельного заряда электрона? 7. В чем заключается метод магнетрона для определения удельного заряда электрона? Список литература 1. Савельев, И. В. Курс общей физики : в 3 т. / И. В. Саве- льев. – Москва: Наука, 1987. – Т. 2. – С. 208–221. 2. Савельев, И. В. Курс общей физики : в 3 т. / И. В. Саве- льев. – Москва: КНОРУС, 2012. – Т. 2. – С. 240–262. 3. Наркевич, И. И. Физика : учебник / И. И. Наркевич, Э. И. Волмянский, С. И. Лобко. – Минск: Новое знание, 2004. – С. 355–365. 4. Трофимова, Т. И. Курс физики : учебное пособие для вузов / Т. И. Трофимова. – Москва: Высшая школа, 2007. – С. 209–213. 5. Калашников, С. И. Электричество / С. И. Калашников. – Москва: Наука, 1977 – С. 435–451. 6. Руководство к лабораторным занятиям по физике / под ред. Л. А. Гальперина. – Москва: Наука, 1978. – С. 230–239. 7. Физический практикум. Электричество и оптика / А. Г. Белянкин [и др.] / под редакцией В. И. Ивероновой. – Москва: Наука, 1968. – С. 321–324. 20 ПРИЛОЖЕНИЕ ВЫВОД ТОЧНОЙ ФОРМУЛЫ ДЛЯ УДЕЛЬНОГО ЗАРЯДА ЭЛЕКТРОНА, ОПРЕДЕЛЯЕМОГО ПО МЕТОДУ МАГНЕТРОНА Радиальная и угловая составляющие скорости электрона в некоторой точке в полярной системе координат равны соот- ветственно: d ;dr r rv e t   (П1) d ,dv r et    (П2) где r и  – полярные координаты; re  и e – единичные вектора в полярной системе координат. Радиальная и угловая составляющие силы, действующей на частицу, равны соответственно: ;rF e v B       ;rF e v B        (П3) .rF F F     Согласно основному закону динамики вращательного движения d( ) .d J M t     21 Для момента силы Лоренца имеем ,rM rF rF            (П4) так как rF  ║ ,r а F r    и поэтому 0.rF     Подставив в (П4) выражение для rF  и используя известную формулу для двойного векторного произведения, получим        .rvBBrveBvreM rrr   Так как ,B r  то   0,rB  и с учетом (П1) имеем 2d 1 d .d 2 d r rM eBr eB t t     (П5) С учетом (П5) и известного выражения для момента инер- ции 2 ,J mr выражение (П3) принимает вид 2 2d( ) 1 d( ) ,d 2 d mr reB t t   откуда следует: 2 2 const.2 er Br m    (П6) Пусть а – радиус катода. Тогда при r а имеем: 0( ) ,rv a v 0 ( ) 0,v a a    так как ( ) 0a  (электроны вылетают из катода по направлению радиуса). 22 Тогда при r а выражение (П6) принимает вид 2 20 const,2 ea Ba m    откуда следует: 2const .2 e Ba m   Соответственно, выражение (П6) принимает вид 2 22 2 e e aB B m m r    или 2 1 .2 e aB m r            (П7) Согласно закону сохранения энергии 2 22 2 2 2 20 0 0( ) ( ) ,2 2 2 2 2r mv mvmv m meU v v r r             где 0 представляет собой начальное значение кинетической энергии электрона при вылете из катода: 200 .2 mv  C учетом (П1) и (П2) получим 2 2 0( ) .2 meU r r       Пусть b – радиус анода. Тогда при критическом поле kB B выполняется условие ( ) 0rv b  или ( ) 0.r b  23 При учете последнего равенства выражение (П7) для случая r b принимает вид 2 0( ) .2b meU b    (П8) Подставив в (П8) значение  из (П7), получим 222 01 ,2 2 k b eBmb aeU m b                 откуда следует: 0 222 2 8( ) . 1 b k Ue e m aB b b           (П9) Обычно хорошо выполняется неравенство 0bU e  и (П9) принимает вид 222 2 8 , 1 b k Ue m aB b b          где bU – напряжение между анодом и катодом; kB – критическая величина магнитной индукции; a и b – соответственно радиусы катода и анода. 24 Учебное издание ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОГО ЗАРЯДА ЭЛЕКТРОНА МЕТОДОМ МАГНЕТРОНА Практикум для специальностей 1-38 01 01 «Механические и электромеханические приборы и аппараты», 1-38 01 02 «Оптико-электронные и лазерные приборы и системы», 1-38 02 01 «Информационно-измерительная техника», 1-38 02 02 «Биотехнические аппараты и системы», 1-38 02 03 «Техническое обеспечение безопасности» Составители: ЧЕРНЫЙ Владимир Владимирович МАНЕГО Сергей Анатольевич КРАСОВСКИЙ Василий Васильевич Редактор Т. В. Грищенкова Компьютерная верстка Е. А. Беспанской Подписано в печать 20.08.2018. Формат 6084 1/16. Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 1,40. Уч.-изд. л. 1,09. Тираж 100. Заказ 253. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя, распространителя печатных изданий № 1/173 от 12.02.2014. Пр. Независимости, 65. 220013, г. Минск.