МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Экспериментальная и теоретическая физика» ИЗУЧЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ Практикум для студентов специальностей 1-38 01 01 «Механические и электромеханические приборы и аппараты», 1-38 01 02 «Оптико-электронные и лазерные приборы и системы», 1-38 01 04 «Микро- и наносистемная техника», 1-38 02 01 «Информационно-измерительная техника», 1-38 02 02 «Биотехнические аппараты и системы», 1-38 02 03 «Техническое обеспечение безопасности» Рекомендовано учебно-методическим объединением по образованию в области приборостроения Минск БНТУ 2018 2 УДК 53.088(076.5)(075.8) ББК 30.10я7 И39 С о с т а в и т е л и: Д. С. Бобученко, Ю. А. Бумай, В. В. Черный Р е ц е н з е н т ы: кафедра физики Белорусского государственного университета информатики и радиоэлектроники (заведующий кафедрой физики, кандидат физико-математических наук Г. Ф. Смирнова); профессор кафедры «Физика полупроводников и наноэлектроники», доктор физико-математических наук М. Г. Лукашевич Изучение погрешностей измерений : практикум для студентов специальностей 1-38 01 01 «Механические и электромеханические приборы и аппараты», 1-38 01 02 «Оптико-электронные и лазерные приборы и системы», 1-38 01 04 «Микро- и наносистемная техника», 1-38 02 01 «Информационно-измерительная техника», 1-38 02 02 «Биотехнические аппараты и системы», 1-38 02 03 «Техническое обеспечение безопасности» / сост.: Д. С. Бобученко, Ю. А. Бумай, В. В. Черный. ‒ Минск: БНТУ, 2018. ‒ 24 с. ISBN 978-985-550-997-5. Практикум содержит сведения о погрешностях измерений физических величин и их характеристиках. В издании рассмотрены методы обработки данных экспери- мента и методы определения погрешностей физических величин при прямых и кос- венных измерениях. В качестве практического применения рассмотрено определение ускорения свободного падения по методу математического маятника. Издание предназначено для студентов инженерных специальностей, изучающих раздел «Механика и молекулярная физика» курса общей физики. ISBN 978-985-550-997-5 © Бобученко Д. С., Бумай Ю. А., Черный В. В., 2018 © Белорусский национальный технический университет, 2018 И39 3 ИЗУЧЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ Введение Физика – это количественная наука, которая опирается на физические эксперименты. Задача физического эксперимента – измерение физических величин. Поэтому целью физического практикума является выработка навыков правильного прове- дения измерений, умения оценивать погрешности. Физические измерения и погрешности Измерением называется сравнение интересующей нас фи- зической величины с соответствующей однородной величи- ной, принятой за единицу, либо измерение – это совокупность операций по определению отношения измеряемой величины к другой однородной величине, принятой за единицу. По характеру проведения измерений их делят на прямые и косвенные. Под прямыми измерениями понимают такие изме- рения, при которых непосредственно измеряется интересующая нас величина (например, измерение длины предмета линейкой, штангенциркулем или микрометром, силы тока – амперметром и т. д.). Измерения, при которых интересующая нас величина не измеряется непосредственно, а рассчитывается по некоторой формуле на основе результатов прямых измерений, называются косвенными измерениями (например, определение плотности тела). Известно, что плотность определяется по формуле ,m V   (1) где m – масса; V – объем. Измерение массы тела и его объема не представляет суще- ственных трудностей, поэтому, измерив на опыте величины m 4 и V, можно подставить их в (1) и рассчитать интересующее нас значение ρ. Абсолютная и относительная погрешности измерений Истинное значение физической величины является идеа- лизированной величиной (абсолютной истиной), к которой стремимся, повышая качество измерений. Оно может быть получено только в результате бесконечного процесса измере- ний с бесконечным совершенствованием методов и средств измерений. Поэтому определить экспериментально истинное значение физической величины абсолютно точно невозмож- но, так как любая операция измерения связана с рядом ошибок или погрешностей. Причины погрешностей – различные. Их возникновение может быть связано с неточностями изго- товления и регулировки измерительного прибора, обусловлено физическими особенностями исследуемого объекта (напри- мер, при измерении диаметра проволоки неоднородной тол- щины результат случайным образом зависит от выбора участ- ка измерений) и другими причинами случайного характера. Задача экспериментатора заключается в том, чтобы умень- шить их влияние на результат, а также указать, насколько по- лученный результат близок к истинному. Существуют понятия абсолютной и относительной погреш- ности. Под абсолютной погрешностью измерений понимается разница между результатом измерения и истинным значением измеряемой величины: и ,i ix x x   где ∆xi – абсолютная погрешность i-го измерения; xi – результат i-го измерения; xи – истинное значение измеряемой величины. 5 Абсолютная погрешность – величина размерная, она имеет ту же размерность, что и измеряемая величина. В качестве истинного значения физической величины принимают значе- ние, наилучшим образом характеризующее совокупность из- мерений – среднее арифметическое значение измеряемой ве- личины .x Абсолютная погрешность не полностью характеризует точность (качество) произведенных измерений. В самом деле, если измерить с одной и той же абсолютной ошибкой ±1 мм отрезки длиной 1 и 5 мм, то точности измерений будут сильно различаться. Поэтому, наряду с абсолютной погрешностью измерения рассматривается и относительная погрешность. Относительной погрешностью измерений называется отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины: и .x x   Относительная погрешность – величина безразмерная. Она выражается в процентах: 100 %.x x    В приведенном выше примере относительные ошибки рав- ны 0,1 и 20 . Таким образом, относительная ошибка дает информацию о степени неточности измерений. Результат любых физических измерений принято записы- вать, указывая доверительную вероятность α, в виде ,x x x   где x – среднее арифметическое значение измеряемой вели- чины, наиболее близкое к истинному значению; 6 x – абсолютная ошибка измерений. Доверительная вероятность α – это вероятность того, что истинное значение измеряемой величины лежит в интервале , .x x x x      Как доказано в теории ошибок, доверительная вероятность определяет собой долю средних значений х, по- лученных в аналогичных сериях измерений, попадающих в доверительный интервал, т. е. отличающихся от истинного значения не более, чем на .x Погрешности измерений По характеру проявления и причинам появления погреш- ности можно условно разделить на следующие виды: – приборные; – систематические; – случайные; – промахи (грубые ошибки). Промахи обусловлены либо неисправностью прибора, либо нарушением методики или условий эксперимента, либо имеют субъективный характер. Ими являются результаты измерений, резко отличающиеся от других. Для устранения их появления требуется соблюдать аккуратность и тщательность в работе с приборами. Результаты, содержащие промахи, необходимо исключать из рассмотрения (отбрасывать). Приборные погрешности. Если измерительный прибор исправен и отрегулирован, то на нем можно провести измере- ния с ограниченной точностью, определяемой типом прибора. Она указывается в паспорте прибора. В случае, если она неиз- вестна, за приборную погрешность стрелочного прибора при- нимают половину наименьшего деления его шкалы, в прибо- рах с цифровым отсчетом приборную ошибку приравнивают к единице наименьшего разряда шкалы прибора. Систематические погрешности – это ошибки, величина и знак которых постоянны для всей серии измерений, прове- 7 денных одним и тем же методом и с помощью одних и тех же измерительных приборов. При проведении измерений важен не только учет система- тических ошибок, но необходимо также добиваться их исклю- чения. Систематические погрешности условно разделяются на три группы: 1) погрешности, природа которых известна и их величина может быть достаточно точно определена. Такой ошибкой явля- ется, например, изменение измеряемой массы в воздухе, которая зависит от температуры, влажности, давления воздуха и т. д.; 2) погрешности, природа которых известна, но неизвестна сама величина погрешности. К таким погрешностям относятся ошибки, обусловленные измерительным прибором: неисправ- ность самого прибора, несоответствие шкалы нулевому значе- нию, классу точности данного прибора; 3) погрешности, о существовании которых можно не подо- зревать, но величина их зачастую может быть значительной. Такие ошибки возникают чаще всего при сложных измерениях. Простым примером такой ошибки является измерение плот- ности некоторого образца, содержащего внутри полости. Случайные погрешности – это ошибки, которые изменяются случайным образом по знаку и величине при идентичных условиях повторных измерений одной и той же величины. Они обусловлены большим числом случайных причин, дей- ствие которых на каждое измерение различно и заранее не может быть учтено. Случайные погрешности возникают, например, при сотря- сениях фундамента здания, возникновении незначительного движения воздуха, искрении контактного провода трамвая, если глаз исследователя располагается не перпендикулярно шкале и под разными углами к ней и т. п. Хотя исключить случайные погрешности отдельных изме- рений невозможно, математическая теория случайных явле- ний позволяет уменьшить влияние этих погрешностей на 8 окончательный результат измерений и установить разумное значение погрешностей. Для этого производится не одно, а несколько измерений. При усреднении результатов случай- ные ошибки разных знаков частично компенсируют друг друга. Чем больше проведено измерений, тем в большей степени происходит такая компенсация, а среднее значение становится все ближе к истинному значению. Элементарные основы теории погрешностей Измеряемая величина, представляющая собой результат опыта, является, как правило, случайной величиной, т. е. ме- няется от опыта к опыту. В основе теории случайных погреш- ностей лежат два предположения, подтверждаемые опытом при проведении большого числа измерений: 1) большие по абсолютной величине погрешности встре- чаются реже, чем малые, т. е. вероятность появления погреш- ности уменьшается с ее ростом; 2) погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто, т. е. с равной вероятностью. Проведя опыт бесконечно большое число раз, получим ге- неральную совокупность – полный набор всех значений, кото- рые может принимать случайная величина х. В реальных условиях опыт проводится конечное число раз, и таким обра- зом получаем выборку, состоящую из конечного числа значе- ний случайной величины. Это число называется объемом вы- борки. Генеральная совокупность – предельный случай вы- борки с бесконечно большим объемом. Между параметрами выборки и параметрами генеральной совокупности имеется принципиальное различие. Если взять несколько выборок одного и того же объема n, т. е. произве- сти несколько серий измерений по n опытов в каждой серии, то, в силу случайного характера измеряемых величин, парамет- ры выборок будут отличаться друг от друга. Другими словами, параметры серий измерений (например, средние значения 9 результатов измерений x в серии) являются случайными даже при неизменных условиях опыта. Параметры же генеральной совокупности при заданных условиях опыта неизменны. Рассмотрим параметры генеральной совокупности. Важ- нейшим параметром генеральной совокупности является среднее значение x (или математическое ожидание): 1 1lim ,n in ix xn   где xi – результат i-го измерения. Исходя из определения приведенного выше второго пред- положения теории случайных погрешностей, легко доказать, что сумма отклонений результатов измерения от среднего значения равна нулю, т. е. 1 1lim ( ) 0.n in i x xn    Также можно доказать, что сумма квадратов отклонений результатов измерения от среднего значения будет минималь- ной. Поэтому, среднее значение является наилучшим значением, характеризующим всю совокупность результатов измерений. Среднее значение, соответствующее бесконечному числу из- мерений, будем обозначать ,x чтобы отличить его от ,x со- ответствующей серии из n измерений. В отсутствие система- тических и приборных ошибок x совпадает с истинным зна- чением измеряемой величины. Следующим важным параметром является среднеквадра- тичное (стандартное) отклонение σx, характеризующее разброс случайных величин: 2 1 1lim ( ) .nx in i x xn    10 Величину σx называют также среднеквадратичной погрешностью. Дисперсией называется средний квадрат отклонения случайной величины от среднего значения: 2 1 1lim ( ) .nx x in iD x xn     В математической статистике доказывается закон сложения дисперсий, который широко используется при обработке ре- зультатов эксперимента, когда нужно определить погреш- ность результата, обусловленную совокупностью различных независимых величин (например, в случае косвенных измере- ний). Если имеются две независимые величины (x и у), для них можно записать x y x yD D D   и, следовательно, 2 2 2 .x y x y     Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий. В связи с этим, например, результирующая погрешность, учитывающая случайные и приборные погрешности, рассчи- танные для одной и той же доверительной вероятности, опре- деляется по формуле 2 2сл пр .x x x     В эксперименте получаем не генеральные совокупности, а выборки конечного объема n. Основными параметрами 11 совокупности результатов при конечном числе измерений, т. е. выборки, являются: – среднее значение 1 1 ;n i i x x n    – среднеквадратичная ошибка среднего 2 1 1 ( ) .( 1) n ix i x x n n      Это соотношение является фундаментальным в теории по- грешностей; распределение средних значений является значи- тельно более узким по сравнению с распределением отдель- ных измерений. Обработка результатов прямого измерения Алгоритм обработки результатов прямых измерений, строгий с точки зрения теории погрешностей Пусть измерили и получили несколько i = 1, 2, …, m значе- ний случайной величины xi. 1. Исключить промахи, т. е. значения, резко отличающиеся от других. По оставшимся n значениям выполнить следующие пункты. 2. Определить наилучшее (наиболее близкое к истинному) значение измеряемой величины х, как среднее арифметиче- ское из n результатов измерений: х1, х2 ... хi ... хn по формуле 1 1 .n i i x x n    12 3. Вычислить величину отклонения результата i-го измере- ния от среднего значения: .i ix x x   4. Определить среднеквадратичную погрешность среднего значения: 2 1 1 .( 1) n ix i x n n      По выбранной (или заданной) доверительной вероятности α и выполненному числу измерений n по таблице коэффициен- тов Стьюдента (приложение) определить коэффициент Стью- дента ( , ).n  Вычислить величину случайной погрешности сл ( , ) .xx n     5. Определить приборную погрешность, используя пас- портные данные прибора или, при их отсутствии, принять за погрешность половину наименьшего деления шкалы стрелоч- ного прибора или единицу наименьшего разряда цифрового прибора пр.x 6. Вычислить полную погрешность: 2 2сл пр .x x x     Если приборная и случайная погрешности намного отли- чаются друг от друга (обычно более чем в три раза), можно выбрать большую из них, приняв ее за полную погрешность результатов измерения. 13 Расчет погрешностей по данной методике требует много времени, и, поскольку главной целью практикума является изучение физических явлений и законов, то при выполнении лабораторных работ для экономии времени часто будем поль- зоваться приближенной методикой) более простой и менее затратной по времени). Она позволяет оценить погрешность со значительно меньшей доверительной вероятностью. Упрощенный алгоритм оценки погрешностей прямых измерений Пусть измерили и получили несколько i = 1, 2, …, m значе- ний случайной величины xi. 1. Исключить промахи, т. е. значения, резко отличающиеся от других. По оставшимся n значениям выполнить следующие пункты. 2. Определить наилучшее (наиболее близкое к истинному) значение измеряемой величины х, как среднее арифметиче- ское из n результатов измерений: х1, х2, ... хi, ..., хn по формуле 1 1 .n i i x x n    3. Вычислить величину отклонения результата i-го измере- ния от среднего значения: | | .i ix x x   4. Определить среднюю абсолютную погрешность среднего значения: сл 1 1 .n i i x x n     14 5. Определить приборную погрешность, используя пас- портные данные прибора или, при их отсутствии, принять за погрешность половину наименьшего деления шкалы стрелоч- ного прибора или единицу наименьшего разряда цифрового прибора пр.x 6. Сравнить приборную и среднюю абсолютную погреш- ность, выбрать большую из них, приняв за полную погреш- ность результаты измерения. Обработка результатов косвенных измерений Пусть интересующая нас величина y является некоторой функцией других величин a, b, c и далее, так что Y = ƒ(a, b, c, ...), (2) причем величины a, b, c и далее можем измерять путем пря- мых измерений. В этом случае для определения величин Y и ∆Y сначала измеряем все величины, от которых зависит Y (a, b, c, ...) по методике, изложенной в предыдущем пара- графе. В результате чего определяем , , , ...,a b c а также полные погрешности этих величин, которые обозначим как a, b, c, … Среднее (наилучшее) значение косвенно определяемой величины Y находится при подстановке в (2) средних (наилучших) значе- ний , , , ...,a b c полученных в результате прямых измерений: ( , , , ...).Y f a b c Для определения полной абсолютной погрешности ∆Y кос- венно определяемой величины Y сначала рассмотрим, что пусть она зависит от одной прямо измеряемой величины: Y = f(a). 15 Тогда, согласно определению производной, запишем 0 ( ) ( ) ( ) ( )lim . a df f a a f a f a a f a Y da a a a             То есть производная приблизительно равна отношению приращения функции к самому приращению аргумента при малых значениях .a Таким образом, отсюда можно получить .dfY a da    Если физическая величина является функцией нескольких непосредственно измеряемых величин a, b, c и далее (2), то, проводя аналогичные рассуждения для каждого аргумента, получим ...,f f fY a b c a b c             (3) где , ,f f f a b c       – обозначают частные производные от функ- ции f по соответствующим переменным. Частной производ- ной, согласно определению, является величина, например для переменной b, равная 0 ( , , ) ( , , )lim . b f f a b b c f a b c b b       Каждое слагаемое в формуле (3) дает значение погрешно- сти, вносимое погрешностью  соответствующей величины (a, b, c или других) в результирующую погрешность. Поскольку отдельные погрешности, вносимые определенной величиной, должны складываться, они независимы и не могут 16 компенсировать друг друга, то частные производные , ,f f f a b c       необходимо брать по модулю (всегда положитель- ными) и можно записать ...f f fY a b c a b c             (4) Если учесть закон сложения дисперсий независимых вели- чин, получим более точную формулу: 2 2 2( ) ( ) ( ) ...f f fY a b c a b c             (5) Выражение (3) также можно получить другим способом – с помощью полного дифференциала. Запишем полный диффе- ренциал функции (2), как функции многих переменных, в виде ...f f fdY da db dc a b c         (6) Если от бесконечно малых изменений величин dY, da, db, dc, ... в (6) перейти к конечным значениям их изменений (по- грешностям) ∆у, ∆a, ∆b, ∆c, ..., то получим формулу (3). После вычисления абсолютной ошибки ∆Y по формуле (5 или 4) находят относительную ошибку как .Y Y   Если в явном виде функция Y = f(a, b, c, ...) содержит про- изведения и/или частные от деления, возведение в степень, то предпочтителен другой способ, использующий логарифмиро- вание. Он основан на том факте, что дифференциал от нату- 17 рального логарифма дает величину, близкую к относительной ошибке измерений: (ln( )) ,dx xd x x x   и свойствам натурального логарифма ln( ) ln( ) ln( ); ln( ) ln( ) ln( ); ln( ) ln( ).kxxy x y x y x k x y      Например, получим формулу для расчета погрешности для следующей рабочей формулы: . k m abY c  Прологарифмируем ее: ln( ) ln( ) ln( ) ln( ).Y a k b m c   Затем, продифференцируем d d d d .Y a b ck m Y a b c    Теперь заменим дифференциалы на абсолютные погрешно- сти и знак (–) на знак (+), чтобы все погрешности складыва- лись. Таким образом, получим формулу для относительной погрешности: .Y a b ck m Y a b c       18 Более точной формулой согласно теории погрешностей из- мерений будет 2 2 2( ) ( ) ( ) .Y a b ck m Y a b c         Рассчитав относительную погрешность, можно определить абсолютную ошибку: .Y Y   Графическое изображение результатов измерений Перед построением графика нужно определить, какая из двух величин является независимой переменной, т. е. величи- ной, значение которой задает сам экспериментатор, и ту вели- чину, которая некоторым образом зависит от первой. Незави- симую переменную откладывают по горизонтальной оси (X), а ту величину, которую экспериментатор сам определяет – по вертикальной оси (У). Графики строятся на миллиметровой бумаге или бумаге в клеточку, допускающую возможность равномерной оциф- ровки осей. Начинать построение нужно с выбора масштаба. При этом нужно исходить из следующих соображений: 1. Экспериментальные точки не должны сливаться друг с другом, как на рис. 1а. Рис. 1а Рис. 1б Y, ед. у Y, ед. у ед. х ед. х 19 Чтобы избежать слияния точек, нужно увеличить цену деле- ния масштаба, при этом за начало координат необязательно при- нимать нулевые значения измеренных величин, как на рис. 1б. 2. Масштаб должен быть простым, т. е. одному делению масштаба оси должно соответствовать число единиц измерен- ной величины, кратное 10, 100, 0, 1 и т. д. Можно выбирать масштаб, чтобы делению масштаба соответствовало две и пять единиц. Других масштабов следует избегать, потому что при нанесении точек придется производить вычисления. 3. Масштаб наносится по всей длине обеих осей. 4. На осях отмечаются величины, которые на них наносят- ся, и единицы их измерений. После нанесения масштаба можно приступать к построе- нию графика, пользуясь нижеприведенными указаниями. 5. Экспериментальные точки следует отмечать жирными, хорошо заметными точками или фигурами (кругами, тре- угольниками, квадратами и т. п.). 6. Не нужно на осях отмечать цифры, соответствующие координатам наносимых точек. 7. Не следует соединять экспериментальные точки лома- ной линией, как изображено на рис. 2а, скорее всего зависи- мость изображается некоторой плавной кривой, как на рис. 2б, которая проводится как бы по усредненным значениям экспе- риментальных данных. Рис. 2а Рис. 2б Y, ед. у Y, ед. у Х, ед. х Х, ед. х 20 Проведение приближенных вычислений При обработке результатов опыта, как уже было показано, имеем дело с приближенными величинами, т. е. величинами, значения которых определены с точностью до некоторого десятичного знака. Эта точность может быть обусловлена ограниченной точностью прибора или метода измерений, физическими особенностями измеряемого объекта или доста- точным необходимым уровнем точности (например, никому не нужно знать вес автомобиля с точностью до грамма или высоту шкафа с точностью до миллиметра). Поэтому при проведении обработки результатов прямых измерений и при вычислении на их основе косвенно опреде- ляемых величин вычисления следует проводить не точнее, чем это необходимо в данном конкретном случае. Следует иметь в виду, что при проведении арифметических действий над приближенными числами нет смысла оставлять в резуль- тате вычисления больше значащих цифр, чем их было в ис- ходных значениях, над которыми выполнялись действия. Существует общее правило, согласно которому все промежу- точные вычисления проводятся с сохранением такого числа значащих цифр, которое на единицы превосходит наименьшее число значащих цифр в исходных значениях. При этом по- следняя значащая цифра является не вполне точной и при за- писи окончательного результата значение округляется до того наименьшего числа значащих цифр, которое было в исходных значениях. Например: 1,234 + 1,3 ~ 2,5. При округлении руководствуются нижеприведенными пра- вилами. Если за последней сохраняемой цифрой следует цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то никаких изменений в приближенное значение 21 числа, представленного последовательностью предшествую- щих цифр, не вносится. Если за последней сохраняемой цифрой следует 5, 6, 7, 8 или 9, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу. Например: 3,462 ≈ 3,5 3,441 ≈ 3,4. Правила записи окончательного результата измерения При записи окончательных результатов измерений для большей наглядности и удобства работы с полученными ре- зультатами рекомендуется придерживаться следующих правил. 1. Абсолютную погрешность всегда выражают в тех же единицах, что и саму измеряемую величину. 2. Вначале округляют абсолютную погрешность до первой значащей цифры. Если первая значащая цифра 1 или 2, то округление производят до второй значащей цифры. Пример: ∆t = 0,383 °С записывают как ∆t = 0,4 °С, а ∆t = = 0,283 °С – как ∆t = 0,28 °С. 3. Среднее значение измеряемой величины округляют до числа значащих цифр после запятой, что и в абсолютной ошибке (т. е. необходимо, чтобы их последние цифры принад- лежали одному и тому же десятичному разряду). Абсолютную погрешность всегда указывают вместе с найденным значени- ем измеряемой величины, причем приводят также относи- тельную погрешность. Пример: v = (2,75 ± 0,03) м/с; запись неправильна: v = (2,753 ± 0,03) м/с или v = (2,8 ± 0,03) м/с. Следует отметить, что нуль в конце цифры является знача- щей цифрой и его также надо писать. Пример: (17,70 ± 0,04) м; запись неправильна: (15,7 ± 0,04) м. 22 Задание 1. Измерить период колебаний математического маятника Т1 для данной его длины l1. Измерение периода провести пять раз. Измерить периоды колебаний Т2, Т3, Т4 для различных длин маятника l2, l3, l4. 2. Определить средние случайные, приборные и полные погрешности измерений. 3. Из формулы для периода математического маятника определить g: 2 2 4 .lg T  4. Вывести из данной формулы формулу для расчета по- грешностей. 5. Рассчитать погрешность измерений ускорения свободно- го падения. 6. Сравнить относительные погрешности, связанные с из- мерениями l и Т. Оценить погрешность, вносимую в результат приближенным значением числа π. 7. Построить графики зависимости Т(l), полученной на опыте, и теоретической Т(l), рассчитанной по формуле для пе- риода математического маятника. 8. Сделать вывод. Контрольные вопросы 1. Физические измерения. Прямые и косвенные измерения. 2. Абсолютные и относительные ошибки. Их размерности. 3. Виды ошибок. 4. Элементарные основы теории погрешностей. 5. Методика расчета ошибок прямых измерений. 6. Методика расчета ошибок косвенных измерений. 7. Правила записи окончательных измерений. 23 Список литературы 1. Сквайрc, Дж. Практическая физика / Дж. Сквайрc. – Москва: Мир, 1971. – 242 с. 2. Физический практикум. Механика и молекулярная физи- ка / под ред. В. И. Ивероновой. – Москва: Наука, 1967. – 280 с. 3. Тейлор, Дж. Введение в теорию ошибок / Дж. Тейлор. – Москва: Мир. 1985. – 272 с. 4. Светозаров, В. В. Основы статистической обработки ре- зультатов измерений : учебное пособие / В. В. Светозаров. – Москва: МИФИ, 2005. – 40 с. 24 ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица коэффициентов Стьюдента n / α 0,8 0,9 0,95 0,98 0,99 2 3,08 6,31 12,71 31,8 63,7 3 1,89 2,92 4,3 6,96 9,92 4 1,64 2,35 3,18 4,54 5,84 5 1,53 2,13 2,77 3,75 4,6 6 1,48 2,02 2,57 3,36 4,03 7 1,44 1,94 2,45 3,14 4,71 8 1,42 1,9 2,36 3 3,5 9 1,4 1,86 2,31 2,9 3,36 10 1,38 1,83 2,26 2,82 3,25 11 1,37 1,81 2,23 2,76 3,17 12 l,363 1,8 2,2 2,72 3,11 13 1,36 1,78 2,18 2,68 3,06 14 1,35 1,77 2,16 2,65 3,01 15 1,35 1,76 2,14 2,62 2,98 16 1,34 1,75 2,13 2,6 2,95, 17 1,34 1,75 2,12 2,58 2,92 18 1,33 1,74 2,11 2,57 2,9 19 1,33 1,73 2,1 2,55 2,88 25 Учебное издание ИЗУЧЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ Практикум для студентов специальностей 1-38 01 01 «Механические и электромеханические приборы и аппараты», 1-38 01 02 «Оптико-электронные и лазерные приборы и системы», 1-38 01 04 «Микро- и наносистемная техника», 1-38 02 01 «Информационно-измерительная техника», 1-38 02 02 «Биотехнические аппараты и системы», 1-38 02 03 «Техническое обеспечение безопасности» Составители: БОБУЧЕНКО Дмитрий Степанович БУМАЙ Юрий Александрович ЧЕРНЫЙ Владимир Владимирович Редактор Т. В. Грищенкова Компьютерная верстка Е. А. Беспанской Подписано в печать 20.08.2018. Формат 6084 1/16. Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 1,40. Уч.-изд. л. 1,09. Тираж 100. Заказ 247. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя, распространителя печатных изданий № 1/173 от 12.02.2014. Пр. Независимости, 65. 220013, г. Минск.