Министерство образования Республики Беларусь 
 
БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ 
УНИВЕРСИТЕТ 
 
Кафедра «Высшая математика № 1» 
 
 
 
 
 
 
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ  
для проведения текущего и промежуточного контроля  
знаний по математике  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
М и н с к  2 0 0 9  
Министерство образования Республики Беларусь 
БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ  
Кафедра «Высшая математика № 1» 
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ  
для проведения текущего и промежуточного контроля знаний по математике  
для студентов первого курса инженерно-технических специальностей вузов 
 
 
 
М и н с к  2 0 0 9
УДК 51 (075.8) 
ББК 21.1я7 
С о с т а в и т е л и :  
А.Н. Андриянчик, О.Л. Зубко, Е.А. Герасимова 
 
Р е ц е н з е н т ы :  
И.Н. Катковская, А.П. Рябушко 
Данное издание содержит контрольные работы по  высшей математике, которая излагает-
ся студентам первого курса инженерно-технических специальностей вузов. Может быть ис-
пользовано для проведения контрольных работ на практических занятиях, для промежуточ-
ных экзаменов, коллоквиумов, итоговых контрольных работ.  
 
 
 
 
 
 
© БНТУ, 2009
 3 
Содержание 
Контрольная работа «Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии»…………….4 
Контрольная работа «Предел функции. Непрерывность и дифференцируемость  
функции» ............................................................................................................................................9 
Контрольная работа «Неопределенный и определенный интеграл» .........................................14 
Контрольная работа «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных» ...18 
Контрольная работа «Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы» .......................23 
Контрольная работа «Дифференциальные уравнения» ...............................................................28 
 4 
Контрольная работа 
«Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии»  
 
Вариант 1 
 
1. Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности 
решить ее: 
а) методом Крамера 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4,
2 1,
2 1;
x x x
x x x
x x x
  

  
    
 
б) методом Гаусса 
2 3 4
1 2 4
1 3 4
3,
1,
2 4.
x x x
x x x
x x x
  

  
   
 
2. Найти длину вектора 3 5a m n  , если 1, ( , )
4
m n m n

    . 
3. Привести к каноническому виду уравнение прямой 2 3 3 9 0,
2 3 0.
x y z
x y z
   

   
 
4. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4: 1 2 3(0; 0; 0), (3; 2; 1), (1; 4; 0),A A A  
4 (5; 2; 3).A  Требуется найти: 1) уравнение и длину высоты, опущенной из вер-
шины А4 на грань А1А2А3; 2) площадь грани А1А2А3; 3) объем пирамиды. 
5. Построить на плоскости кривую 2 8 2 20 0x x y    , приведя ее уравнение к ка-
ноническому виду. 
 
Вариант 2 
1. Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности 
решить ее: 
а) методом Крамера 
1 2 3
1 3 3
1 3
2 2,
2 0,
3 1;
x x x
x x x
x x
   

  
  
  
б) методом Гаусса 
1 2 3
1 3 4
1 4
2 0,
2 0,
3 0.
x x x
x x x
x x
  

  
  
 
2. Какой угол образуют  единичные векторы m  и n , если векторы 
, 3 6a m n b m n     ортогональны?  
3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку М (–1; 3) и точку пересе-
чения прямых 2 1 0, 3 4 0x y x y      . 
4. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4: 1 2 3(3; 1; 0), (0; 7; 2), ( 1; 0; 5),A A A     
4 (4; 1; 5)A . Требуется найти: 1) уравнение и длину высоты, опущенной из вер-
шины А4 на грань А1А2А3; 2) площадь грани А1А2А3; 3) объем пирамиды. 
5. Построить на плоскости кривую 2 23 4 18 15x y x   , приведя ее уравнение к ка-
ноническому виду, найти фокусы. 
 5 
Вариант 3 
1. Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности 
решить ее: 
а) методом Крамера 
1 2 3
2 3 1
1 3 4
1,
1,
2 0;
x x x
x x x
x x x
  

  
   
 
б) методом Гаусса 
1 2 4
2 3 4
1 3 4
1 4
1,
1,
2 0,
3 5.
x x x
x x x
x x x
x x
  

  

  
  
 
2. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах 
3 4a m n   и 2b m n  , если 1, ( , )
3
m n m n

    . 
3. Привести к каноническому виду уравнение прямой 3 3 6 0,
2 3 0.
x y z
x y z
   

   
 
4. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4: 1 2 3(3; 1; 1), (1; 4; 1), (1; 1; 7),A A A  
4 (3; 4; 1)A  . Требуется найти: 1) уравнение и длину высоты, опущенной из вер-
шины А4 на грань А1А2А3; 2) площадь грани А1А2А3; 3) объем пирамиды. 
5. Построить на плоскости кривую 2 22 2 8 7 0x y x y     , приведя ее уравне-
ние к каноническому виду, найти фокусы. 
 
Вариант 4 
1. Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности 
решить ее: 
а) методом Крамера 
1 2 3
1 2 3
1 3 2
2 1,
2 2,
1;
x x x
x x x
x x x
  

   
    
 
б) методом Гаусса  
1 2 4
1 2 3
1 3 4
2 0,
2 0,
0.
x x x
x x x
x x x
  

  
   
 
2. Найти скалярное произведение векторов ,a b , если 2 , 2a i j k b j k     .  
3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку М (0; 3) и точку пересече-
ния прямых 1 0, 3 4 0x y x y       . 
4. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4: 1 2 3(5; 1; 0), (7; 1; 0), (2; 1; 4),A A A  
4 (5; 5; 3)A . Требуется найти: 1) уравнение и длину высоты, опущенной из вер-
шины А4 на грань А1А2А3; 2) площадь грани А1А2А3; 3) объем пирамиды. 
5. Построить на плоскости кривую 2 8 15 0x x y    , приведя ее уравнение к ка-
ноническому виду. 
 6 
Вариант 5 
1. Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности 
решить ее: 
а) методом Крамера 
2 3 1
1 2 3
1 2 3
2 2 4 2,
3 2,
1;
x x x
x x x
x x x
  

   
   
 
б) методом Гаусса 
2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 4 1,
3 2,
1,
4 4 2 4 0.
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
  

   

    
    
 
2. Зная, что 22, 5, ( , )
3
a b a b

    , определить, при каком значении   взаимно 
перпендикулярны векторы 17p a b    и 3q a b  . 
3. Даны уравнения сторон треугольника 2 1 0, 5 4 17 0, 4 11 0x y x y x y         .  
Составить уравнение прямой, проходящей через одну из вершин треугольника 
параллельно противоположной стороне. 
4. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4: 1 2 3(0; 0; 0), (5; 2; 0), (2; 5; 0),A A A   
4 (1; 2; 4)A . Требуется найти: 1) уравнение и длину высоты, опущенной из вер-
шины А4 на грань А1А2А3; 2) площадь грани А1А2А3; 3) объем пирамиды. 
5. Построить на плоскости кривую 2 2 4 10 20 0x y x y     , приведя ее уравнение к 
каноническому виду, найти фокусы. 
 
Вариант 6 
1. Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности 
решить ее: 
а) методом Крамера 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3,
3 2 0,
1;
x x x
x x x
x x x
   

  
   
  
б) методом Гаусса 
1 3 4
1 2 3
1 2 3
1 2 3 4
2 3,
3 2 0,
1,
6 3 2.
x x x
x x x
x x x
x x x x
   

  

   
    
 
2. При каких значениях   и   векторы 2a i j k     и 5b i j k    коллинеарные?  
3. На прямой 2 11 0x y    найти точку, равноудаленную от двух данных точек 
(1; 1), (3; 0)A B . 
4. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4: 1 2 3(3; 1; 1), (1; 4; 1), (1; 1; 7),A A A  
4 (3; 4; 1)A  . Требуется найти: 1) уравнение и длину высоты, опущенной из вер-
шины А4 на грань А1А2А3; 2) площадь грани А1А2А3; 3) объем пирамиды. 
5. Построить на плоскости кривую 2 25 18 30 9 9 0x y x y     , приведя ее уравнение 
к каноническому виду, найти фокусы. 
 7 
Вариант 7 
1. Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности 
решить ее: 
а) методом Крамера 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 1,
6 4 2 2,
1;
x x x
x x x
x x x
  

  
   
 
б) методом Гаусса 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 2 1,
6 4 2 2,
3 2 2 3 1.
x x x x
x x x x
x x x x
   

   
    
 
2. На векторах (4; 5; 0)AB   и (0; 4; 2)AC   построен треугольник АВС . Вычис-
лить длину его высоты, опущенной из вершины В  на сторону АС. 
3. Найти проекцию точки Р (3; 1; –1) на плоскость 2 3 30 0x y z    . 
4. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4: 1 2 3(3; 1; 0), (1; 2; 1), (0; 1; 7),A A A  
4 ( 3; 4; 1)A   . Требуется найти: 1) уравнение и длину высоты, опущенной из 
вершины А4 на грань А1А2А3; 2) площадь грани А1А2А3; 3) объем пирамиды. 
5. Построить на плоскости кривую 2 25 18 30 9 9 0x y x y     , приведя ее уравнение 
к каноническому виду, найти фокусы. 
 
Вариант 8 
1. Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности 
решить ее: 
а) методом Крамера 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1,
1,
0;
x x x
x x x
x x x
   

   
   
 
б) методом Гаусса 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 0,
5 3 2,
2 1.
x x x x
x x x x
x x x x
   

   
    
 
2. Даны векторы 2 3 , 4 , 4 , 5 5 3 .OA i j k OB i j OC i j k OD i j k              Дока-
зать, что диагонали АС и BD  четырехугольника ABCD взаимно перпендику-
лярны. 
3. Найти точку пересечения прямой 
1 1
1 2 6
x y z 
 

 и плоскости 2 3 1 0x y z    . 
4. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4: 1 2 3( 3; 1; 2), (1; 2; 1), (1; 1; 0),A A A   
4 (2; 4; 1)A  . Требуется найти: 1) уравнение и длину высоты, опущенной из вер-
шины А4 на грань А1А2А3; 2) площадь грани А1А2А3; 3) объем пирамиды. 
5. Построить на плоскости кривую 2 25 18 30 9 9 0x y x y      , приведя ее уравне-
ние к каноническому виду, найти фокусы. 
 8 
Вариант 9 
1. Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности 
решить ее: 
а) методом Крамера 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1,
1,
2 0;
x x x
x x x
x x x
   

  
   
 
б) методом Гаусса 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 1,
2 3 3,
5 4 5 5.
x x x x
x x x x
x x x x
   

   
    
 
2. Выяснить, компланарны ли векторы 2 5 7 , , 2 2 .a i j k b i j k c i j k          
3. Через прямую  
2 1
3 2 1
x y z 
 

 провести плоскость, параллельную прямой 
2 3
1 2 3
x y z 
 

. 
4. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4: 1 2 3(3; 1; 1), (1; 5; 1), (1; 1; 3),A A A   
4 ( 4; 4; 1)A   . Требуется найти: 1) уравнение и длину высоты, опущенной из 
вершины А4 на грань А1А2А3; 2) площадь грани А1А2А3; 3) объем пирамиды. 
5. Построить на плоскости кривую 218 30 9 9 0y x y    , приведя ее уравнение к 
каноническому виду. 
 
Вариант 10 
1. Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности 
решить ее: 
а) методом Крамера 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 1,
1,
2 0;
x x x
x x x
x x x
   

  
   
 
б) методом Гаусса 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2,
3 3 2 5,
9 3 16.
x x x
x x x
x x x
  

  
   
 
2. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 
2 5 7 , , 2 2 .a i j k b i j k c i j k          
3. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат пер-
пендикулярно плоскостям 5 7 0, 3 2 3 0x y z x y z        . 
4. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4: 1 2 3(0; 1; 1), ( 2; 4; 1), (1; 1; 3),A A A   
4 (3; 5; 1)A  . Требуется найти: 1) уравнение и длину высоты, опущенной из вер-
шины А4 на грань А1А2А3; 2) площадь грани А1А2А3; 3) объем пирамиды. 
5. Построить на плоскости кривую 25 18 30 0x y x   , приведя ее уравнение к ка-
ноническому виду. 
 
 9 
Контрольная работа 
«Предел функции. Непрерывность и дифференцируемость функции»  
 
Вариант 1 
1. Найти пределы функций, не используя правило Лопиталя: 
2
2 0
3 2 1 cos8
a) lim ; á) lim .
1 cos4
1
2
x x
x x x
x x 
  


 
2. Исследовать данные функции на непрерывность и указать вид точек разрыва: 
   
2
2
3
1, 1,
3 2 2
a) ; á) , 1 4,
2, 4.
x x
x x
f x f x x
xx x
x x
  

  
   
 
 

 
3. Найти производные функций: 
22 2
2
sin
a) arcsin ; á) 1; â) ( 1) .
25 91 sin
x
x x y
y y x
x
    

 
4. Найти 
2
2
d y
dx
: 
2
2
3
2,
a) cos ; á) 1
1.
3
x t
y x
y t
  

 
 

 
5. Найти пределы функций, используя правило Лопиталя: 
3
1 0
2 1 1 ln
a) lim ; á) lim .
ctg1x x
x x
xx 
 

 
6. Исследовать функцию и построить ее график: 
2
2
1 x
y
x

 . 
Вариант 2 
1. Найти пределы функций, не используя правило Лопиталя: 
2
3 3
2 2 0
( 1) ( 1) 3 2
a) lim ; á) lim .
3 2( 1) ( 1)
x
x x
x x x
xx x 
    
 
    
 
2. Исследовать данные функции на непрерывность и указать вид точек разрыва: 
   
2
1, 3,
1 2
a) ; á) 3 7, 3 4,
1 1
3 , 4.
x x
f x f x x x
x x
x x
  

     
  
 
 
3. Найти производные функций: 
2
2
4 4 2 2 2
2
1 1
a) ln ; á) ; â) sin 2 .
1 1
xxy x y x y y x e x
x
 
   
 
 
4. Найти 
2
2
d y
dx
: 3
2
arcsin ,
a) arctg ; á)
1 .
x t
y x
y t

 
 
 
5. Найти пределы функций, используя правило Лопиталя: 
20
1 cos
a) lim ; á) lim ( arcctg ) ln .
x x
x
x x
x 

  
6. Исследовать функцию и построить ее график: 
3(1 )
x
y
x


. 
 10 
Вариант 3 
1. Найти пределы функций, не используя правило Лопиталя: 
2 2
24 0
2 9 4 ctg2
a) lim ; á) lim .
sin 220x x
x x x x
xx x 
 
 
 
2. Исследовать данные функции на непрерывность и указать вид точек разрыва: 
   
2
2
2
cos , 0,
5 6
a) ; á) 1 , 0 3,
2
5, 3.
x x
x x
f x f x x x
x x
x x
 
 
    
 
 
 
3. Найти производные функций:  
23 2a) sin( cos ( )); á) , 0; â) ln .x x x xy e e e x y a a y x e x       
4. Найти 
2
2
d y
dx
:  
3 4
2
cos ,
a) log 1 ; á)
sin .
x t
y x
y t

  

 
5. Найти пределы функций, используя правило Лопиталя: 
30 0
sin
a) lim ; á) lim arcsin ctg .
x x
x x
x x
x 

  
6. Исследовать функцию и построить ее график: 
3
2 1
x
y
x


. 
 
Вариант 4 
1. Найти пределы функций, не используя правило Лопиталя: 
 
4 2 1
6 3 0
2 3 1
a) lim ; á) lim 1 2 .
4 6 3
x
x x
x x
x
x x 
 

 
 
2. Исследовать данные функции на непрерывность и указать вид точек разрыва: 
   
2
3, 0,
1
a) ; á) , 0 ,
4
sin , .
x
f x f x x x
x
x x


    
   
 
3. Найти производные функций: 
2
1
a) arctg( 1) ; á) (ln ) ; â) sin cos 0.
2 2
x x yxy x y x e y e x
x x

     
 
 
4. Найти 
2
2
d y
dx
:  
2
2
ln ,
a) ; á)
1.
x
x t
y e
y t


 
 
 
5. Найти пределы функций, используя правило Лопиталя: 
3
1
2
0 0
tg3
a) lim ; á) lim .
sin 2
x
x x
x
x e
x 
 
6. Исследовать функцию и построить ее график: 
3
22(1 )
x
y
x


. 
 11 
Вариант 5 
1. Найти пределы функций, не используя правило Лопиталя: 
2
22 0
7 10 1 cos6
a) lim ; á) lim .
1 cos22 9 10x x
x x x
xx x 
  
 
 
2. Исследовать данные функции на непрерывность и указать вид точек разрыва: 
   
, 0,
1
a) ; á) 1 , 0 1,
1
, 1.
xe x
x
f x f x x x
x
x x
 
 
    
  

 
3. Найти производные функций: 
2 3
2
3
1 ( 2) 1
a) ln tg cos ; á) ; â) arctg .
2 3 ( 5)
x x x x
y x y xy
yx
   
    
  
 
4. Найти 
2
2
d y
dx
: 
2 2 ,
a) tg ; á)
ln( 1).
x t t
y x
y t
  
 
 
 
5. Найти пределы функций, используя правило Лопиталя: 
3 2
3 21
2 2 ln
a) lim ; á) lim .
7 6x x
x x x x
x x x 
  
 
 
6. Исследовать функцию и построить ее график: 
24 1x
y
x

 . 
 
Вариант 6 
1. Найти пределы функций, не используя правило Лопиталя: 
6 2
6
2 5 4 2 1
a) lim ; á) lim .
2 14 20
x
x x
x x x
xx x 
   
 
   
 
2. Исследовать данные функции на непрерывность и указать вид точек разрыва: 
   
0, 0,
2
a) ; á) 1, 0 1,
4
2 , 1.
x
x
f x f x x
x
x x

 
   
   
 
3. Найти производные функций: 
2 3 4
23
2 ( 1) 4 2
a) ln ; á) ; â) sin( ) cos( ) 0.
1 ( 3)
x x x x
y y xy xy
x x
   
   
 
 
4. Найти 
2
2
d y
dx
:  
1 ,
a) ln ; á)
1 .
t
t
x e
y x x
y e
  
 
 
 
5. Найти пределы функций, используя правило Лопиталя: 
1
1
ln
a) lim ; á) lim 3 1 .
1
x
x
x x
x
x 
 
 
 
 
 
6. Исследовать функцию и построить ее график: 
3 2
2
x
y
x

 . 
 12 
Вариант 7 
1. Найти пределы функций, не используя правило Лопиталя: 
2
31
2
a) lim ; á) lim .
11
x
x x
x x x
xx 
   
 
  
 
2. Исследовать данные функции на непрерывность и указать вид точек разрыва: 
   
1
1
2
3, 0,
2 1 1
a) ; á) , 0 5,
1
2 1
1, 5.
x
x
x x
f x f x x
x
x x
  

 
   

   
 
3. Найти производные функций: 
2 4 3
23
2 ( 1) 4 2
a) ln ; á) ; â) sin(2 ) cos(3 ) 0.
1 ( 5)
x x x x
y y xy xy
x x 
   
   
 
 
4. Найти 
2
2
d y
dx
: 
2
3
2 ,
a) ( 1) ln 2 ; á)
1 .
t
t
x e
y x x
y e
  
  
 
 
5. Найти пределы функций, используя правило Лопиталя: 
 
1
2 0
ln( 1)
a) lim ; á) lim 3 1 .
2 4
x x
x x
x
x 



 
6. Исследовать функцию и построить ее график: 
2 4
2
x
y
x

 . 
 
Вариант 8 
1. Найти пределы функций, не используя правило Лопиталя: 
2
1
21 0
2
arcsin(1 2 )
a) lim ; á) lim(cos2 ) .
4 1
x
x
x
x
x
x 


 
2. Исследовать данные функции на непрерывность и указать вид точек разрыва: 
   
2
3
2 , 1 1,
1
a) ; á) 1, 1 4,
1
1, 4.
x x
x
f x f x x x
x
x
   

    
  

 
3. Найти производные функций: 
22 2 cos 2 cosa) cos 3 ; á) (sin ) ; â) 5 0.x x xy e x y x y tgy      
4. Найти 
2
2
d y
dx
:  
2
3
1
sin ,
2a) ln ctg4 ; á)
cos .
x t t
y x
y t

 
 
 
 
5. Найти пределы функций, используя правило Лопиталя: 
4
2
a) lim ; á) lim (ln( 3) ln ).
6 1 5x x
x
x x x
x 

 
 
 
6. Исследовать функцию и построить ее график: 
2 9
2
x
y
x

 . 
 
 13 
Вариант 9 
1. Найти пределы функций, не используя правило Лопиталя: 
sin
0 0
sin3 1
a) lim ; á) lim .
2 2
x
x x
x
xx 
 
 
   
 
2. Исследовать данные функции на непрерывность и указать вид точек разрыва: 
   
2
2
tgx, 0,
1
a) ; á) , 0 2,
2( 2)
1, 2.
x
x
f x f x x
x
x



   
 


 
3. Найти производные функций: 
2
2a) sin ctg ; á) ; â) ln .
2 2 1
x
x x x
y y y xy a
x
 
     
 
 
4. Найти 
2
2
d y
dx
:  
23
ln sin ,
a) (1 ) ; á)
ln cos .
x t t
y x
y t t
 
  
 
 
5. Найти пределы функций, используя правило Лопиталя: 
2
20
1 cos 2 1
a) lim ; á) lim .
2 1x x
x x
xx 
 

 
6. Исследовать функцию и построить ее график: 
2 9
2
x
y
x
 
 . 
 
Вариант 10 
1. Найти пределы функций, не используя правило Лопиталя: 
1
ln( 1)
20 0
cos2 cos4
a) lim ; á) lim .
3
xe
x x
x x
x
x

 

 
2. Исследовать данные функции на непрерывность и указать вид точек разрыва: 
   
2
ln , 0 1,
1
a) ; á) 1, 1 3,
( 2)
3, 3.
x x
f x f x x x
x
x
 

    
  
 
3. Найти производные функций: 
 
ln2cos
a) tg ; á) arctg ; â) 2 2 2 .
2 cos2
x x y x yx xy y x
x
      
4. Найти 
2
2
d y
dx
:  
2
25 ln(1 ),a) (4 ) ; á)
arctg .
x t
y x
y t t
  
  
 
 
5. Найти пределы функций, используя правило Лопиталя: 
5
0 0
1 1
a) lim ; á) lim ctg .
2 sin
x
x x
e
x
tg x x 
  
 
 
 
6. Исследовать функцию и построить ее график: 
2 4
2
x
y
x
 
 . 
 14 
Контрольная работа 
«Неопределенный и определенный интеграл»  
 
Вариант 1 
1. Вычислить интегралы: 
а) 
4
1 4
x
x
dx

 ; 
б) 
2 1
xdx
x 
 ; 
в) 2 22 xx dx ; 
г) 
  22
5 4
1 2
x
dx
x x

 
 ; 
д) 3 3sin 2 cos 2x xdx ; 
е) 
/ 9
/12
ctg3xdx


 ;  
ж) 
1
2
0
arcsin
1
x
dx
x
 . 
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линией 4cos , 9sinx t y t  . 
3. Найти длину кривой  4 1 sin    . 
 
Вариант 2 
1. Вычислить интегралы: 
а)  
5
3 1x dx ; 
б) 
2 3x
dx

 ; 
в)   23 2 xx e dx ; 
г) 3tg xdx ; 
д) 
5 2
6 1
x x
dx
x


 ; 
е) 
/12
2
/16
cos 4xdx


 ; 
ж) 
 
2
3
21 4 1
xdx
x 
 . 
2. Найти длину кривой ln sin ,
6 3
y x x
  
   
 
. 
3. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy  фигуры, ограни-
ченной линиями 4, , 1xy y x x   . 
Вариант 3 
1. Вычислить интегралы: 
а) 
2
2
1
xdx
x
 ; 
б) 
2
2sin 2
2 cos 2
xdx
x
 ; 
в) 
3
ln 2x
dx
x
 ; 
г) 
4 5sin 2
dx
x
 ; 
д) 
3
1 2
2
x
dx
x
 

 ; 
е) 
/ 2
1
ln 2
e
xdx ; 
ж) 
0
xxe dx


 . 
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 9, , 5xy y x x   . 
3. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy  фигуры, ограни-
ченной линиями 2 , 4y x x  . 
 15 
Вариант 4 
1. Вычислить интегралы: 
а) 
21
x
x
e dx
e
 ; 
б) 
2
2
(arctg )
1
x dx
x
 ; 
в) 
2
1
3 5
dx
x x 
 ; 
г) 
2
4
sin 2
cos 2
x
dx
x
 ; 
д) 
 
3 2 6
3
2 3
3 1
x x x
dx
x x
 

 ; 
е) 
3
2
1
4x x dx ; 
ж) 
1
2
0
arcsin
1
x
dx
x
 . 
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 2 2, 4 3y x y x   . 
3. Найти длину кривой  5 1 cos    . 
 
Вариант 5 
1. Вычислить интегралы: 
а) sin 2 cos4x xdx ; 
б) 216 x dx ; 
в) 
  
2 1
2 3
x
dx
x x

 
 ; 
г) 2cosx xdx ; 
д) 
 3 3
dx
x x
 ; 
е) 
2
/ 2
sin 2
4 cos
x
dx
x

 
 ; 
ж) 
/ 4
ctg
2
0
4
sin
x dx
x

 . 
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линией 3cos   . 
3. Найти длину кривой xy e  от точки  0; 1  до точки  55; e . 
 
Вариант 6 
1. Вычислить интегралы: 
а) 
 2ln 3x dx
x

 ; 
б) arctgx xdx ; 
в) 
  2
5 2
1 1
x
dx
x x x

 
 ; 
г) cos4 sin6x xdx ; 
д) 
 
3 2 6
3
2
2 1
x x x
dx
x x
 

 ; 
е) 
/ 4
2
0 cos 3
xdx
x

 ; 
ж) 
2 lne
dx
x x

 . 
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линией 4cos3   . 
3. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy  фигуры, ограни-
ченной линиями  2, 2 , 0 0y x y x x x     . 
 16 
Вариант 7 
1. Вычислить интегралы: 
а)  2 3sin 2 1x x dx ; 
б) 
21/
3
3 x dx
x
 ; 
в) 
2
sin
cos
x x
dx
x
 ; 
г) sin 2 sin 4x xdx ; 
д) 
3
2
2
x x
dx
x
 

 ; 
е) 
/ 2
0 3 5cos
dx
x


 ; 
ж) 
1
3
0 2 4
dx
x
 . 
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 4, 1, 4, 0xy y y x    . 
3. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy  фигуры, ограни-
ченной линиями 2 , , 3y x y x x   . 
 
Вариант 8 
1. Вычислить интегралы: 
а) 
3 2
3
4 2 3x x
dx
x
 
 ; 
б) 2 cosxe xdx ; 
в) 
2
3
2 6 3
8
x x
dx
x
 

 ; 
г) 3 5sin 3 cos 3x xdx ; 
д) 
3 42
2
x
dx
x

 ; 
е) 
/ 4
5
0
sin xdx

 ; 
ж) 
2
1
xe xdx


 . 
2. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy  фигуры, ограни-
ченной линиями sin , 0 (0 )y x y x     . 
3. Найти длину кривой 8sin 6cos , 6sin 8cos (0 / 2)x t t y t t t       . 
 
Вариант 9 
1. Вычислить интегралы: 
а)
2ln xdx
x
 ; 
б) 
xe dx
x
 ; 
в)  1 sinx xdx ; 
г) 
3 2
2
2
1
x x
dx
x
 

 ; 
д) 5cos xdx ; 
е) 
/ 3
2
/ 6
tg xdx


 ; 
ж) 
4
2
1 1
xdx
x 
 . 
2. Найти длину кривой  
32 1y x   от точки  0; 1  до точки  6; 125 . 
3. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy  фигуры, ограни-
ченной линиями 2 , 0y x x y   . 
 17 
Вариант 10 
1. Вычислить интегралы: 
а).  2 1x x dx ; 
б) 
2
3 arcsin
1
x x
dx
x


 ; 
в) arcsin xdx ; 
г) 
2
2 1
2
x
dx
x x

 
 ; 
д) 
 2 3
dx
x x 
 ; 
е) 
/ 6
3
0
sin 2xdx

 ; 
ж) 
22
3
1 1
x dx
x 
 . 
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 2 9 , 3y x y x  ; 
3. Вычислить длину кривой 2 25cos , 5sin (0 / 2)x t y t t     . 
 
Вариант 11 
1. Вычислить интегралы: 
а).  2 3 4x x dx ; 
б) 
2
3 arctg
1
x x
dx
x


 ; 
в) arcsinx xdx ; 
г) 
2
2 5
3
x
dx
x x

 
 ; 
д) 
 2 5
dx
x x 
 ; 
е) 
/ 6
3
0
sin 4xdx

 ; 
ж) 
22
3
1 5
x dx
x 
 . 
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 2 9 , 3y x y x   ; 
3. Вычислить длину кривой 2 210cos , 10sin (0 )x t y t t     . 
 
Вариант 12 
1. Вычислить интегралы: 
а).  3 42 6x x dx ; 
б) 
2
7 2arcsin
3 1
x x
dx
x


 ; 
в) ( 2)arctgx xdx ; 
г) 
2
2 5
2 4 2
x
dx
x x

 
 ; 
д) 
 
5
2 4
dx
x x 
 ; 
е) 
/ 6
3
0
cos 2xdx

 ; 
ж) 
22
3
1
3
5 3
x dx
x 
 . 
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 2 4 , 2y x y x   ; 
3. Вычислить длину кривой 4sin 3cos , 3sin 4cos (0 / 2)x t t y t t t       . 
 18 
Контрольная работа 
«Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных»  
 
Вариант 1 
1. а) 
2
arctg
x
z
x y


. Найти ,
z z
x y
 
 
; 
б) 2 2arcsin , ,
x
z x u v y uv
y
    . Найти ,
z z
u v
 
 
; 
в) 
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
   . Найти ,
z z
x y
 
 
. 
2. Найти частные производные второго порядка 2 2ln( )z x y  . 
3. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности 
2 24 2z x y    в точке М (1; 0; 5). 
4. Каково направление наибольшего изменения функции sin cosu x z y z   в 
начале координат? 
5. Исследовать на экстремум функцию 2 2 2z x xy y x y     . 
 
Вариант 2 
1. а) 
2
x
z
y xy x

 
. Найти ,
z z
x y
 
 
; 
б) 2 , sin 2 , cosx yz e x t y t   . Найти 
z
t


; 
в) 
2
1
xy z
zxy
z y
   . Найти ,
z z
x y
 
 
. 
2. Найти частные производные второго порядка xyz e . 
3. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности 
ln lnz x y y x   в точке М (е; е; 2е). 
4. Каково направление наибольшего изменения функции 2 3sin cosu x z y z   в 
начале координат? 
5. Исследовать на экстремум функцию 3 2 3 2z x y x y    . 
 19 
Вариант 3 
1. а) cos( 1) yz x  . Найти ,
z z
x y
 
 
; 
б) 2 2 2 32 , 2 , 3z x xy y x t y t     . Найти 
z
t


; 
в) cosxyzz e x z  . Найти ,
z z
x y
 
 
. 
2. Найти частные производные второго порядка 
cos xy
z
y
 . 
3. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности 
2 2 22 3 6x y z    в точке М (1; 1; 1). 
4. Найти производную функции 2 2z xy x y   в начале координат в направле-
нии, составляющем с осью Оу угол 60 . 
5. Исследовать на экстремум функцию 2 6 3z x y x y x     . 
 
Вариант 4 
1. а) 
2
2
y x
z
x y



. Найти ,
z z
x y
 
 
; 
б) 2 2 21, arctg , ln(1 )z tx y x x t y t      . Найти 
z
t


; 
в) 
2
ln( ) zx xyz y e   . Найти ,
z z
x y
 
 
. 
2. Найти частные производные второго порядка 
1
z
xy
 . 
3. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности 
ln lnz x y y x   в точке М (е; е; 0). 
4. Найти производную функции 2 2z xy x y   в точке М (1; 2) в направлении, 
составляющем с осью Оу угол 30 . 
5. Исследовать на экстремум функцию 2z x y   при условии 2 2 5x y  . 
 20 
Вариант 5 
1. а) 2
2
( 2 )cos
x
z x y
y
  . Найти ,
z z
x y
 
 
; 
б) 2 2ln , 1, arcsinz x y x t y t    . Найти 
z
t


; 
в) 
2
2 2
arctg 1
1
z
z xy
x y
 

. Найти ,
z z
x y
 
 
. 
2. Найти частные производные второго порядка 
2 2
1
z
x y


. 
3. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности 
2 22 4z x y   в точке М (2; 1; 4). 
4. Найти производную функции ln( )z x y   в точке (1; 2), принадлежащей пара-
боле 2 4y x , по направлению этой параболы. 
5. Исследовать на экстремум функцию 
1 1
z
x y
   при условии 
2 2 2
1 1 1
x y a
  . 
 
Вариант 6 
1. а) ln tg
x
z
y
 . Найти ,
z z
x y
 
 
; 
б) 2 2 2 3 2ln( ), , , tu x y z x t y t z e      . Найти 
u
t


; 
в) sin( 2 ) cos( 2 ) zy x z z x y e    . Найти ,
z z
x y
 
 
. 
2. Найти частные производные второго порядка 
1
2 3
z
x y


. 
3. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z xy  в 
точке М (1; 1; 1). 
4. Найти производную функции ln( )z x y   в точке (1; –2), принадлежащей па-
раболе 2 4y x , по направлению этой параболы. 
5. Исследовать на экстремум функцию 
1 1
z
x y
   при условии 2x y  . 
 21 
Вариант 7 
1. а) 
3 3
2 2
x y
z
x y



. Найти ,
z z
x y
 
 
; 
б) cos , ,y
u
z x x y uv
v
   . Найти ,
z z
u v
 
 
; 
в) cos 0xyz z  . Найти ,
z z
x y
 
 
. 
2. Найти частные производные второго порядка 
x
z
y
 . 
3. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности 
2 2z x y xy    в точке М (3; 4; –7). 
4. Дана функция 2 24z x y   . Найти градиент этой функции в точке (2; 1). 
5. Исследовать на экстремум функцию 
4
2
x y
z
 
  при условии 2 2 1x y  . 
 
Вариант 8 
1. а) sin( )z xy . Найти ,
z z
x y
 
 
; 
б) 2 3sin cos , ,z x y y x x t y t    . Найти 
z
t


; 
в) 2 2xyze zxy a  . Найти ,
z z
x y
 
 
. 
2. Найти частные производные второго порядка sinx yz e . 
3. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности 
arctg
y
z
x
  в точке М (1; 1; )
4

. 
4. Даны функции 2 2 , 3 3z x y z x y xy     . Найти угол между градиентами 
этих функций в точке (3; 4). 
5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 2 2 4 8z x xy x y     в за-
мкнутой области, ограниченной линиями 0, 0, 1, 2x y x y    . 
 22 
Вариант 9 
1. а) cos( )z x xy . Найти ,
z z
x y
 
 
; 
б) 2 3sin 2 cos , 5 , 4z x y y x x t y t    . Найти 
z
t


; 
в) 2 2 23 2xyz e zxy a  . Найти ,
z z
x y
 
 
. 
2. Найти частные производные второго порядка 2 sinx yz e . 
3. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности 
1
2arctg
y
z
x

  в точке М (1; 1; 0) . 
4. Даны функции 2 2 , 3 3z x y z x y xy     . Найти угол между градиентами 
этих функций в точке (–3; –4). 
5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 2 3 4 8z x xy x y     в за-
мкнутой области, ограниченной линиями 0, 0, 3, 4x y x y    . 
 
Вариант 10 
1. а) ln ctg
x
z
y
 . Найти ,
z z
x y
 
 
; 
б) 3 3 2 3 2ln( ), 3 , 2 , tu x y z x t y t z e       . Найти 
u
t


; 
в) 2sin( 2 ) cos( 2 ) zy x z z x y e    . Найти ,
z z
x y
 
 
. 
2. Найти частные производные второго порядка 
2
8
2 3
z
x y


. 
3. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности 2z xy  
в точке М (1; –1; 1). 
4. Найти производную функции 2ln( )z x y x    в точке (4; –4), принадлежащей 
параболе 2 4y x , по направлению этой параболы. 
5. Исследовать на экстремум функцию 
1 1
2
z
x y
   при условии 2 3x y  . 
 23 
Контрольная работа 
«Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы»  
Вариант 1 
1. С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной 
линиями 3sin ; sinr a r a    . 
2. Определить массу пирамиды, образованной плоскостями ,x y z a    
0, 0, 0x y z   , если плотность в каждой точке равна аппликате этой точки. 
3. Вычислить 2
L
y dl , где L – дуга кривой lnx y  между точками А (0; 1) и 
В (1; е). 
4. Применяя формулу Грина, вычислить 
2 2( )
c
y dx x y dy   по контуру треуголь-
ника АВС с вершинами А (а; 0), В (а; а), С (0; а). 
5. Используя формулу Остроградского, вычислить 
S
xzdxdy xydydz yzdxdz  , где 
S – внешняя сторона пирамиды, ограниченной плоскостями 0, 0, 0, 2 1x y z x y z      0, 0, 0, 2 1x y z x y z      0, 0, 0, 2 1x y z x y z      
0, 0, 0, 2 1x y z x y z      . 
6. Найти циркуляцию вектора F yi x j   по окружности 2 2( 1) 1x y   . 
 
Вариант 2 
1. С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной 
линиями 2, , 1x xy e y e x   . 
2. Найти массу тела, ограниченного поверхностями 2 22 ,az x y   
2 2 2 23x y z a   , если плотность в каждой точке равна аппликате этой точки. 
3. Вычислить 2
L
x dl , где L – верхняя половина окружности 
2 2 2x y a  . 
4. Выяснить, будет ли интеграл 3 2 2(2 5 ) ( 15 6 )
AB
xy y dx x xy y dy     зависеть от пу-
ти интегрирования и вычислить его по линии АВ, соединяющей точки А (0; 0), 
В (2; 2). 
5. Вычислить 
S
zdxdy xdxdz ydydz  , где S – внешняя сторона треугольника, обра-
зованного пересечением плоскости 1x y z    и координатными плоскостями. 
6. Найти rot a , если 2 2 2 3 3 3 2(3 3 ) 2 ( 3 )a x y z x i x yz j x y z k     . 
 24 
Вариант 3 
1. Изменив порядок интегрирования, записать данное выражение в виде двой-
ного интеграла 
2 1/3(4 )1 4
0 0 1 0
xx
dx dy dx dy

    . Вычислить интеграл.  
2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями 2 26 ,z x y    
2 2z x y  . 
3. Найти массу дуги кривой ln ( 3 2 2)y x x   , если плотность в каждой точке 
равна квадрату ее абсциссы. 
4. Вычислить 2( )
L
ydx y x dy  , где L – дуга параболы 
22y x x  , расположенная 
над осью Ох, пробегаемая по ходу часовой стрелки. 
5. Пользуясь формулой Остроградского, вычислить 
S
xzdxdy xydydz yzdxdz  , где 
S – внешняя сторона поверхности, образуемая плоскостями 0, 0, 0,x y z    
2 1x y z   . 
6. Найти дивергенцию градиента функции 3 3 3 2 2 23u x y z x y z    . 
 
Вариант 4 
1. Найти массу половины круга R с центром в начале координат, лежащей в об-
ласти 0y  , если плотность равна квадрату полярного радиуса.  
2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями 
2
24 , ,
2
x
z y y    
0, 0x z  . 
3. Вычислить (3 5 2)
L
x y z dl   , где L – отрезок прямой между точками А (4; 1; 6) 
и В (5; 3; 8). 
4. Поле образовано силой F yi x j  . Определить работу при перемещении мас-
сы m по контуру, образованному осями координат и эллипсом 
cos , sinx a t y b t  , лежащим в первой четверти. 
5. Найти работу силы 2 ( 3 )F xyi x y j    при перемещении массы m  из точки 
А (0; 4) в точку В (2; 0) по параболе 2( 2)y x  . 
6. Найти div ;u v   , где 2 , 2u xi y j zk v yi z j xk      . 
 25 
Вариант 5 
1. Изменив порядок интегрирования, записать данное выражение в виде двой-
ного интеграла 
21 2
0 0 1 0
y y
dy dx dy dx

    . Вычислить интеграл. 
2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями 2 24 1, 0x y z z    . 
3. Найти массу дуги кривой 2/3 2/3 2/3x y a  , лежащей в первой четверти, если 
плотность в каждой ее точке равна абсциссе этой точке. 
4. Вычислить 2( )
L
ydx y x dy  , где L – дуга параболы 
22y x x  , расположенная 
над осью Ох, пробегаемая по ходу часовой стрелки. 
5. Найти массу полусферы 2 2 2x R y z   , если поверхностная плотность в 
каждой точке пропорциональна квадрату расстояния этой точки до начала ко-
ординат. 
6. Найти циркуляцию векторного поля F yi x j xk    вдоль замкнутого контура, 
полученного от пересечения сферы 2 2 2 2x y z R    координатными плоскостями 
в первом октанте. 
 
Вариант 6 
1. С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной 
линиями 2 2 ,ay x ax y x   . 
2. Найти массу тела, ограниченного поверхностями 2 2,y x y y b   , если плот-
ность в каждой точке пропорциональна ординате этой точки. 
3. Вычислить 
L
xyzdl , где L – дуга кривой 
2 31 8, , (0 1)
2 3
x t y t z t t     . 
4. Найти работу силы ( )F xyi x y j    при перемещении массы m  из начала ко-
ординат в точку А (1; 1) по параболе 2y x . 
5. С помощью формулы Стокса показать, что интеграл 
c
yzdz xzdy xydz   по лю-
бому замкнутому контуру равен нулю. Проверить, вычислив данный интеграл 
по контуру треугольника с вершинами О (0; 0; 0); А (1; 1; 0) и В (1; 1; 1). 
6. Вычислить поток вектора 3 3 3a x i y j z k    через поверхность шара 
2 2 2 2x y z a   . 
 26 
Вариант 7 
1. С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной 
линиями 2 2 24, 4(1 )x y y x     (вне параболы). 
2. Вычислить массу тела, ограниченного поверхностями 2 2 2 4,x y z    
2 2 3x y z  , если плотность в каждой точке равна аппликате точки. 
3. Вычислить 
2 2
L
ds
x y
  по отрезку прямой 
1
2
2
y x   от точки А (0; –2) до точки 
В (4; 0). 
4. Вычислить 
L
xydx  по дуге синусоиды siny x  от точки x    до 0x  . 
5. Найти объем тела, ограниченного заданными поверхностями 
2 1 , 3, 0, 0.x y x y z y z        
6. Вычислить поток вектора ( ) ( )a x y i y x j zk      через поверхность шара еди-
ничного радиуса с центром в начале координат. 
 
Вариант 8 
1. Найти массу фигуры, ограниченной линиями 2, 2y x x y   , если плотность 
ее в каждой точке равна ординате этой точки.  
2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями 2 21 , , 3z x y y x y x      и 
расположенного в первом октанте. 
3. Вычислить 2 2
L
x y dl , где L – кривая (cos sin ),x a t t t   (sin cos ),y a t t t   
0 2t   . 
4. Найти функцию z по ее полному дифференциалу 
2 2
1 1y x
dz dx dy
y xx y
  
       
   
. 
5. Вычислить (непосредственно и с помощью формулы Остроградского) инте-
грал 
S
zdxdy xdydz ydxdz  , где S – внешняя сторона куба, ограниченного плоско-
стями 0, 0, 0, 4, 4, 4x y z x y z      . 
6. Найти div(grad )u , где sin( )u x y z   . 
 27 
Вариант 9 
1. Построить область, площадь которой выражается интегралом 
2
2
1 1
0 1/ 2(1 )
x
x
dx dy


  . 
Вычислить этот интеграл. Изменить порядок интегрирования. 
2. Определить объем тела, ограниченного поверхностями 
2 2 2 0, , 0x y z z h z     . 
3. Вычислить 
2
2
cos
1 cosL
xdl
x
 , где L – дуга кривой sin , 0y x x    . 
4. Доказать, что выражение 2 33 ( 1)y yx e dx x e dy   является полным дифференциа-
лом некоторой функции. Найти эту функцию. 
5. Вычислить 2 2( )
S
x z dzdy , где S – внешняя сторона поверхности 
29x y  , 
отсеченной плоскостями 0, 2.z z   
6. Найти rot ,r a   , где 2 , 2a i j k r xi y j zk      . 
 
Вариант 10 
1. Найти массу фигуры, ограниченной параболой 21y x   и осью Ох, если 
плотность 2 2( , )x y x y  . 
2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями 2 2 2 2, 0, 2z x y z x y x     . 
3. Вычислить 
L
xdl , где L – кривая 
2y x  от точки (1; 1) до точки (2; 4). 
4. Вычислить 2 2 22( ) ( )
c
x y dx x y dy   , применяя формулу Грина, где С – контур 
треугольника с вершинами в точках А (1; 1), В (2; 2), С (1; 3), пробегаемый про-
тив часовой стрелки. 
5. Вычислить 2( )
V
x yz dxdydz , где V – часть конуса 
2 2 2z x y  , ограниченного 
плоскостями , 0z h z  . 
6. Найти rot F , если 2 2 2F y i y j z k   . 
 28 
Контрольная работа 
«Дифференциальные уравнения»  
 
Вариант 1 
1. Решить дифференциальные уравнения: 
а) 'sin lny x y y ; 
б) 3( ln ) 0
y
dx y x dy
x
   ; 
в) 2 ''' ' 0IVy y y   ; 
г) 2" 2 ' (2 3) xy y x e   . 
2. Решить методом Лагранжа дифференциальное уравнение 
1
"
cos2
y y
x
  . 
3. Решить систему дифференциальных уравнений 
' 3 ,
' 3 .
x x y
y x y
 

 
 
 
Вариант 2 
1. Решить дифференциальные уравнения: 
а) 'cos cos
y y
xy y x
x x
  ; 
б)  2 1 ' 4 0x y xy   ; 
в)  
2 22 '' 3 ' 4yy y y  ; 
г) 
4
'
y
y x y
x
  . 
2. Решить методом Лагранжа дифференциальное уравнение 
2
3
" 4 ' 4
xe
y y y
x

   . 
3. Решить систему дифференциальных уравнений 
' 2 1,
' 3 2 .
x y x
y y x
  

 
 
 
Вариант 3 
1. Решить дифференциальные уравнения: 
а)  ' 2 1 tgy y x  ; 
б) 5 1 0
x x
y yxx e dx e dy
y
 
         
 
; 
в) 3 '' 4 0IVy y y   ; 
г) 2" ' 1y y x   . 
2. Решить методом Лагранжа дифференциальное уравнение 
2
" 4 ' 5
cos
xe
y y y
x
   . 
3. Решить систему дифференциальных уравнений 
' 2 4 ,
' 3 3 .t
x x y
y x y e
 

  
 
 29 
Вариант 4 
1. Решить дифференциальные уравнения: 
а)  ' ln lnxy y y x  ; 
б) 2 ' 1 0x y xy   ; 
в)      '' 1, 0 1, ' 0 0x xe y e y y   ; 
г) '' 2 ' 2 1 4siny y y x    . 
2. Решить методом Лагранжа дифференциальное уравнение 
" 2 ' 3 1xy y y e x    . 
3. Решить систему дифференциальных уравнений 
' 4 36 ,
' 2 2 .t
x x y t
y y x e
  

  
 
 
Вариант 5 
1. Решить дифференциальные уравнения: 
а) 
2
'
ln
xe
y
y
 ; 
б)  2ydy y x dx  ; 
в) ''' 2 '' 3 ' 0y y y   ; 
г)4 " 4 ' 3cos2y y y x   . 
2. Решить методом Лагранжа дифференциальное уравнение " tgy y x  . 
3. Решить систему дифференциальных уравнений 
' 2 3 5 ,
' 3 2 8 .t
x x y t
y x y e
  

  
 
 
Вариант 6 
1. Решить дифференциальные уравнения: 
а)  3 sin 1 cos 0x xe ydx e ydy   ; 
б) 
2 22
dx dy
xy x y xy

 
; 
в)    
'
'' cos , 1, ' 2
y
y x x y y
x
        ; 
г) '' 9 4cos3y y x  . 
2. Решить методом Лагранжа дифференциальное уравнение 
2
"
1
x
x
e
y y
e
 

. 
3. Решить систему дифференциальных уравнений 
' 4 3 sin ,
' 2 2cos .
x x y t
y x y t
  

  
 
 30 
Вариант 7 
1. Решить дифференциальные уравнения: 
а) ' ln
y
xy y y
x
  ; 
б)  3 31 y ye xdx e dy  ;  
в) 2 ''' 2 '' 0IVy y y   ; 
г) 2" 4 ' 4 3 cosxy y y e x    . 
2. Решить методом Лагранжа дифференциальное уравнение " 4 2tgy y x  . 
3. Решить систему дифференциальных уравнений 
' cos ,
' sin .
x y t
y x t
 

  
 
 
Вариант 8 
1. Решить дифференциальные уравнения: 
а)    22 1x xy dx x dy   ; 
б) 
2
0
dx xdy
y y
  ; 
в)      
1 5
'' 1 ' 2, 1 , ' 1
2 2
x y y y y     ; 
г)  '' 10 ' 26 2 1 xy y x e    . 
2. Решить методом Лагранжа дифференциальное уравнение 
1
" '
1x
y y
e
 

. 
3. Решить систему дифференциальных уравнений 
' ,
' 3 4 .
x y
y x y
 

 
 
 
Вариант 9 
1. Решить дифференциальные уравнения: 
а) 
2
2
'
1
x
y
x


; 
б) ' cos
x
xy x y
y
  ; 
в)  " ' 1, 0 0, ' 1
2
y y y y
 
    
 
; 
г) 2''' 4 ' sinxy y xe x   . 
2. Решить методом Лагранжа дифференциальное уравнение 
3
2
" '
sin
y y
x
  . 
3. Решить систему дифференциальных уравнений 
' ,
' 3 4 .
x y x
y x y
  

 
 
 
Вариант 10 
1. Решить дифференциальные уравнения: 
а) 
ln
'
x
y
x
 ; 
б) (2 1) (2 1) 0x y dx y x dy      ; 
в) 22 " 1 ( ')yy y  ; 
г) '' 3 ' 2 siny y y x x   . 
2. Решить методом Лагранжа дифференциальное уравнение 
1
" 2 ' 2
sinx
y y y
e x
   . 
3. Решить систему дифференциальных уравнений 
' ,
' .
x y t
y x t
 

 
 
 31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Учебное издание 
 
 
 
 
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ  
 
для проведения текущего и промежуточного контроля знаний по математике  
для студентов первого курса инженерно-технических специальностей вузов 
 
 
С о с т а в и т е л и :  
АНДРИЯНЧИК Анатолий Николаевич 
ЗУБКО Ольга Леонидовна 
ГЕРАСИМОВА Екатерина Александровна 
 
 
 
Ответственный за выпуск Т.А. Подолякова 
Компьютерная верстка О.Л. Зубко 
Подписано в печать 27.02.2009. 
Формат 60841/8. Бумага офсетная. 
Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс. 
Усл. печ. л. 3,60. Уч.-изд. л. 1,41. Тираж 200. Заказ 998. 
Издатель и полиграфическое исполнение: 
Белорусский национальный технический университет. 
ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. 
Проспект Независимости, 65, 220013, Минск.