Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика № 1» А.Н. Андриянчик О.Р. Габасова З.Н. Примичева НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Методическое пособие М и н с к 2 0 0 9 Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика № 1» А.Н. Андриянчик О.Р. Габасова З.Н. Примичева НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Методическое пособие для самостоятельной работы и самоконтроля знаний М и н с к 2 0 0 9 УДК 51 (075.8) ББК 22.1я7 А 65 Рецензент Н.А. Микулик А 65 Андриянчик, А.Н. Неопределенный интеграл: методическое пособие для самостоя- тельной работы и самоконтроля знаний / А.Н. Андриянчик, О.Р. Габа- сова, З.Н. Примичева. – Минск: БНТУ, 2009. – 71 с. ISBN 978-985-525-014-3. В пособии содержится краткая теория, образцы решения основ- ных типовых примеров, задания для самостоятельной работы. К за- дачам, предназначенным для самостоятельной работы, предлагаются ответы, что поможет студенту контролировать правильность решае- мых примеров. Методическое пособие является дополнением к существующим задачникам, будет полезным как для студентов дневной, так и заоч- ной формы обучения и послужит лучшей организации их самостоя- тельной работы. УДК 51 (075.8) ББК 22.1я7 © Андриянчик А.Н., Габасова О.Р., Примичева З.Н., 2009 ISBN 978-985-525-014-3 © БНТУ, 2009 3 С о д е р ж а н и е 1. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов. Непосредственное интегрирование ........................................... 4 2. Интегрирование подстановкой (замена переменной) в неопределенном интеграле ................ 11 3. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле .................................................... 22 4. Интегрирование рациональных функций ....................... 29 5. Интегрирование иррациональных функций .................. 39 6. Интегрирование тригонометрических функций ............ 48 7. Тренировочное задание .................................................... 55 Контрольная работа № 1 ...................................................... 67 Контрольная работа № 2 ...................................................... 69 4 1. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Определение 1. Функция ( )F x называется первообразной функции ( )f x на промежутке ( , )a b , если ( )F x дифференци- руема на ( , )a b и в каждой точке этого промежутка выполня- ется равенство '( ) ( )F x f x . Если ( )F x есть первообразная функции ( )f x на промежут- ке ( , )a b , то множество вида ( )F x C , где С – произвольная постоянная, описывает все первообразные для данной функ- ции ( )f x на промежутке ( , )a b . Определение 2. Совокупность всех первообразных функ- ции ( )f x на промежутке ( , )a b называется неопределенным интегралом от функции ( )f x и обозначается  dxxf )( , то есть CxFdxxf  )()( , где С – произвольная постоянная. С геометрической стороны, неопределенный интеграл – это однопараметрическое семейство кривых ( )y F x C  (C – па- раметр семейства), обладающих следующим свойством: все касательные к кривым в одной и той же точке параллельны между собой. Определение 3. Операция нахождения первообразной функции называется интегрированием этой функции. Поскольку операция интегрирования является обратной для операции дифференцирования, то правильность интегрирования 5 проверяется дифференцированием функции, полученной в ре- зультате интегрирования. Например, если ( ) cos2f x x , то CxxF  2sin 2 1 )( , так как xxCxxF 2cos022cos 2 1 )'2sin 2 1 ()('  . Справедливы следующие свойства неопределенного инте- грала: 1.   CxFxdF )()( ,   CxFdxxF )()(' , где С – произволь- ная постоянная. 2.   )()')(( xfdxxf ,   dxxfdxxfd )())(( . 3.    dxxgdxxfdxxgxf )(β)())(β)(( . 4.   CbaxF a dxbaxf )( 1 )( . Таблица основных неопределенных интегралов: 1.  Cdu0 . 2.   Cudu . 3. .1α, 1α 1α a     C u dxu 4.   0,ln uCu u du . 5.   1,0, ln aaC a a dua u u . 6 6.   Cedue uu . 7.   Cuudu cossin . 8.   Cuudu sincos . 9. ZkkuCu u du  π, 2 π ,tg cos2 . 10. ZkkuCu u du  π,,ctg sin2 . 11.   Cuudu chsh . 12.   Cuudu shch . 13.   Cu u du tg ch2 . 14.   0,cth sh2 uCu u du . 15. 2 2 arcsin arccos , 0, du u u C C a u a a aa u          . 16.    0,arcctg 1 arctg 1 22 aC a u a C a u aua du . 17. auaC au au aau du       ,0,ln 2 1 22 . 7 18. auaC ua ua aua du       ,0,ln 2 1 22 . 19.    auaCauu au du ,0,ln 22 22 , если знак «–», и любое u в случае, когда знак «+». Если первообразная ( )F x функции f(x) является элементар- ной функцией, то говорят, что интеграл  dxxf )( выражается в элементарных функциях. Однако интеграл от элементарной функции может и не быть элементарной функцией. Так, например, интегралы   dxe x 2 (интеграл Пуассона),  dxx 2sin ,  dxx 2cos (интегралы Френеля),   )1,0( ln xx x dx ,  dx x xsin , dx x x  cos хотя и существуют, но не выражаются через элемен- тарные функции. Такие интегралы называются неберущимися. Вычислим некоторые интегралы так называемым методом непосредственного интегрирования. П р и м е р ы 1.1.      dx x xxx dx x xxxx 3/1 2/32 3 2)2)((   dxxdxxdxxdxxxx 3/26/73/53/26/73/5 2)2( . 5 6 13 6 8 3 3/56/133/8 Cxxx  1.2.                 dx xx dx xx xx dx xx x 2222 22 22 2 1 1 1 )1( )1( )1( 21 . 1 arctg 1 2 2 C x xdxx x dx       8 1.3.           dx x dx x x dx x x ) 8 17 1( 8 17)8( 8 9 22 2 2 2 . 22 22 ln 24 17 8 17 2 C x x x x dx dx         1.4.        dx x xxxdx x xxxxx ) 4 3 2( 4 3846 2 23 2 2345 . 2 arctg 2 3 344 32 2 34 2 23 C x x xx x dx xdxdxxdxx      1.5.     . 18ln 18 18)92(32 2 Cdxdxdx x xxxx 1.6.      .arcsin 3 1 13 1 33 22 Cx x dx x dx 1.7.         dx xx dx x xx ) 3 2 3 1 ( 9 323 224 22 = .3ln23ln 3 2 3 22 22 Cxxxx x dx x dx       1.8.        .ctg4 sin 4 ) 2 cos 2 (sin 2 cos 2 sin 2 222 Cx x dx xx dx xx dx 1.9.     xdxdxdxxdx x cos 2 1 2 1 )cos1( 2 1 2 cos2 .sin 2 1 2 1 Cxx  9 1.10.              dx x dx x x dx x x xdx 1 sin 1 sin sin1 sin cos ctg 22 2 2 2 2 .ctg sin2 Cxxdx x dx    1.11.        x dx dx x x dx x x 22 22 cos2 1 cos2 cos1 2cos1 cos1   . 2 1 tg 2 1 2 1 Cxxdx Задания для самостоятельного решения Вычислить интегралы: 1.1.   .)1() 43 dxxxxx 1.2.         . 3 3 dx x x 1.3. dxxxx 3 4 . 1.4. . 14 72 11 dx x xx    1.5.             . 42 1 42 1 22 dx xx 1.6.           . 32 1 32 1 22 dx xx 1.7. . sincos 2cos 22 dx xx x   1.8. . 2cos1 sin23 2 dx x x    10 1.9. . cos ctg23 2 2 dx x x   1.10. . 4 782 2 234 dx x xxxx    О т в е т ы : 1.1. . 3 2 5 2 7 4 4 3 7 3 19 12 2/32/54/73/43/712/19 Cxxxxxx  1.2. .ln9 27 2 27 2 Cxx xx  1.3. . 41 24 24/41 Cx  1.4. . 2ln27 1 7ln7 2 C xx    1.5. .2arcsin 2 1 2 1 ln 2 1 2 Cxxx  1.6. . 32 32 ln 62 1 3 2 arctg 6 1 C x xx     1.7. .tgctg Cxx  1.8. .ctg 2 3 Cxx  1.9. .ctg2tg3 Cxx  1.10. . 2 2 ln 4 5 3 3 2 3 C x x xx x     11 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОДСТАНОВКОЙ (ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ) В НЕОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ При вычислении неопределенных интегралов во многих случаях целесообразно введение новой переменной интегри- рования, что позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного. Такой метод называется методом интегрирования подстановкой (заменой переменной интегри- рования). Теорема 1. Пусть на интервале ( , )a b определена сложная функция ))(( xf  , функция )(xt  непрерывна на этом интер- вале и дифференцируема во всех его внутренних точках. То- гда если существует интеграл dttf )( , то существует интеграл   dxxxf )('))(( , причем справедлива формула   .)()('))(( )(' xtdttfdxxxf Теорема 2. Пусть на интервале ( , )a b определена сложная функция ))(( xf  , )(xt  – непрерывная, строго монотонная на ( , )a b функция, дифференцируемая во всех его внутренних точках. Тогда если существует интеграл   dxxxf )('))(( , то существует интеграл dttf )( , причем имеет место формула )(1 )('))(()( tx dxxxfdttf   . В отдельных случаях вместо введения новой переменной применяется метод подведения функции под знак дифферен- циала, который состоит в том, что под знак дифференциала записывается функция, дифференциал которой равен задан- ному выражению: 12 )()(' xdfdxxf  . Справедливы следующие преобразования дифференциала: 1) ;),( Rbbxddx  2) ;0,),( 1  aRaaxd a dx 3) ;0,,),( 1  aRbabaxd a dx 4) );( 2 1 2xdxdx  5) ;1,),( 1 1 1     nRnxd n dxx nn 6) );(ln 1 xddx x  7) ); 1 ( 1 2 x ddx x  8) );(2 1 xddx x  9) );(cossin xdxdx  10) ;sincos xdxdx 11) );tg( cos 1 2 xddx x  12) );ctg( sin 1 2 xddx x  13) );( xx eddxe  14) );( ln 1 xx ad a dxa  15) );arctg( 1 2 xd x dx   16) );(arcsin 1 2 xd x dx   17) ;cossin2cos 2 1 2sin 22 xdxdxdxdx  18) xdxdx 2sin 2 1 2cos  . 13 Каждая из вышеприведенных формул справедлива на про- межутке, где определена функция, стоящая под знаком диф- ференциала. П р и м е р ы 2.1. Найти неопределенные интегралы методом подведения функции под знак дифференциала и методом подстановки: а)   dxx )32cos( ; б)   42cos tgxx dx ; в)   23 1arcsin xx dx . Р е ш е н и е а) Первый способ:   dxxxdxx )'32( 2 1 )32cos()32cos( .)32sin( 2 1 )32()32cos( 2 1   Cxxdx б) Второй способ: пусть tx 32 , тогда dtdx2 , и, значит, dtdx 2 1  , отсюда    tdtdttdxx cos 2 1 2 1 cos)32cos( CxCt  )32sin( 2 1 sin 2 1 б) Первый способ: 14    dx x x xx dx 442 tg )'tg( tgcos CxC x xdx    4/3 4/3 4/1 )tg( 3 4 4/3 )tg( )tg()tg( . Второй способ: пусть tx tg , тогда dt x dx  2cos , и, значит, .)tg( 3 4 4/3tgcos 4/3 4/3 4/1 442 CxC t dtt t dt xx dx     в) Первый способ:    x xd x dxx xx dx 3323 arcsin )(arcsin arcsin )'(arcsin 1arcsin . )(arcsin2 1 2 )(arcsin )(arcsin)(arcsin 2 2 3 C x C x xdx       Второй способ: пусть tx arcsin , тогда )( 1 2 td x dx   , и, значит,        C t dtt t dt xx dx 2-1arcsin 2 3 322   C x C t  22 arcsin2 1 2 1 . 2.2. Найти неопределенные интегралы методом подведения функции под знак дифференциала. 15 а)    dx x x 1 )1ln(1 . б) dx xx x    2)sin( cos1 . в) dx xx x    53 2 )13( 1 . г)  14x xdx . д)   )2(sin2 x dx . е)  xdxtg . ж)  xdx 3tg . Р е ш е н и е а)    dxxxdx x x ))'1))(ln(1ln(1( 1 )1ln(1    )1ln()1ln()1ln()1ln())1ln(1( xdxxdxdx . 2 )1(ln )1ln( 2 C x x    б)            222 )sin( )sin( )sin( )'sin( )sin( cos1 xx xxd dx xx xx dx xx x . sin 1 C xx    в)             53 3 53 3 53 2 )13( 3 3 1 )13( )'3( 3 1 )13( 1 xx xxd dx xx xx dx xx x       53 3 )13( 13 3 1 xx xxd 3 4 3 4 1 ( 3 1) 1 . 3 4 12( 3 1) x x C C x x          г) .arctg 2 1 12 1 1 )'( 2 1 1 2 4 2 4 2 4 Cx x dx x dxx x xdx        16 д)          .)2(ctg )2(sin )2( )2(sin )'2( )2(sin 222 Cx x xd x dxx x dx е)      .cosln cos cos cos )'(cos cos sin tg Cx x xd dx x x dx x x xdx ж)          dx x x dx x xxdxxxdx 22 23 cos tg 1 cos 1 tgtgtgtg   xxdxdxdxxxxdx tgtgtg)'tg(tgtg   .cosln 2 tg tg 2 Cx x xdx 2.3. Найти неопределенные интегралы методом замены пе- ременной интегрирования. а)   dxхх 1 23 . б)   dx x x 1 3 . в)   4 xx dx . г)   24 1 xx dx . д)   dx x x 7)3( . е)   x x e dxe 1 3 . ж)   dxxa 22 . з)   x xdx cos21 sin . 17 Р е ш е н и е а) Совершим замену переменной 12 x = t, t  0, тогда 12  tx , и, значит, 12   t tdt dx . Отсюда    dttt t tdt ttdxxx )1( )1( )1(1 22 2/12 2/3223     Cttdttdttdttt 352424 3 1 5 1 )( Cxx  2/322/52 )1( 3 1 )1( 5 1 б) Положим tx 1 , тогда 12  tx и tdtdx 2 . Следо- вательно,      dtttdt t t dx x x 32 323 )1(22 )1( 1  2/7357246 )1( 7 2 22 5 6 7 2 )133(2 xCttttdtttt Cxxx  12)1(2)1( 5 6 2/32/5 . в) Сделаем замену переменной 0,4  ttx , тогда dttdxtx 34 4,  , и, значит,             dtt t t dtt tt dtt xx dx 1 1)1( 4 1 4 4 22 2 3 4              Ctt t dt t tdt t t 1ln 2 4) 1 1 1(4) 1 1 1(4 2 .1ln442 44 Cxxx  18 г) Положим t x 1  , тогда dt t dx 2 1  , и, следовательно,            12 1 111 1 1 1 2 22 2 3 24 2 24 t dtt dt t t tt dt t xx dx                 1 1 1 1 2 1 1 )1()1)1(( 2 1 2 2 2 2 22 td t t t tdt                   2/32 2 2 22 1 3 1 1 1 2 1 11 2 1 t t td tdt   . 11 3 1 1 2 3 32 2 C x x x x Ct      д) Сделаем подстановку 3t x  , тогда 3x t  , и, значит, dx dt  . Отсюда          dttdttdt t t dx x x 67 77 3 3 3                 C tt C tt 56 56 5 1 2 1 56 3 . )3(5 1 )3(2 1 66 C xx     е) Заменим 0,1  ttex , тогда 21 tex  , и, значит, tdtdxex 2 . Отсюда          dtt t t dxe e e e dxe x x x x x )2( )1( 11 2223   C t ttdttt ) 53 2 (2)21(2 5 342 . Ceee xxx  53 )1( 5 2 )1( 3 4 12 19 ж) Положим 2/π2/π,,sin  taxatax , тогда tdtadx cos , и, следовательно,     tdtatdtataadxxa 2222222 coscossin    Ct a t a ttd a dt a dtt a 2sin 42 )2(2cos 2 1 22 )2cos1( 2 22222 Cxa x a xa C a xa a xa  22 222 2 arcsin 2 )arcsin2sin( 4 arcsin 2 , где  a x a x a x arcsincosarcsinsin2)arcsin2sin( 22 22 2 212 xa a x a x a x  . з) Пусть ,0,cos21  txt тогда )1( 2 1 cos 2  tx , и, следо- вательно, tdtxdxsin . Значит:        CxCtdt t tdt x xdx cos21 cos21 sin . Задания для самостоятельной работы Вычислить: 2.1. dxxx x x )25 cos 1 ctg( 4 43   . 2.2. dx x x x x x x x e x                2432 2 2 )43arcsin(2 1 2 1)(cos91 . 20 2.3.      x xe xx x x 2 tg 22 cos ctg cos9sin25 2sin ( . dx x x x x ) 3cos 2sin cos3 2sin 42     2.4. dx x x x x x x x x                  )2cos(135 12 13 5 5 4 6 2 22 . 2.5. dxx x x xx tg            4sin 41 2arcctg1 ) 1 ( 2 2 3 2 . 2.6.                   dxexxx x ex e e xx x x x sin2 2 1 2 )cos(sin 11 2 . 2.7. 2 1 2 1 4ln 1 4ln dx x x x x           . 2.8. 3 4 3 sin 2 1 cos 2 ln 2 x dx x x x        . 2.9.    dx x x 11 2 . 2.10.   31 xx dx . 2.11.   24 xx dx . 2.12.  1xe dx . 21 О т в е т ы : 2.1. Cxx  4/54 )15( 25 1 ) 2 π 4 π (tglnsinln . 2.2. Cxxxe x  )1ln()(arctg 2 1 )(tg 3 1 6 1 22343arcsin2 . 2.3.  xxex x 2tg2 cos32tgln9sin16 8 1 . .3coscosln 42 Cxx  2.4.           5 3 arcsin 3 1 35 3 2 )13ln( 6 1 )3(arctg 3 5 22 xxxx .) 4 (ln 10 1 1ln 3 1 563 Cxtgxx    2.5. Cxxx x  8sin 16 1 2 1 )2arcctg( 8 31 cosln 3/4 . 2.6. Cee e xxx x   sin21 2 1 2 arctg 2 . 2.7. 1 1 4ln arcsin(2ln ) 2 x x C    . 2.8. 2/3 3 1 1 3 (ln 2 ) 6cos 2 2cos2 2 x C x x    . 2.9. Cxxxx  11ln414)1()1( 3 2 3 . 22 2.10. C x x    11 11 ln 3 1 3 3 . 2.11. C x x   242 ln 2 1 . 2.12. C e e x x    11 11 ln . 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ В НЕОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ Теорема 1. Если функции )(xu и )(xv дифференцируемы на некотором промежутке и на этом промежутке существует интеграл vdu , то на нем существует и интеграл udv , причем справедлива формула   vduuvudv , называемая формулой интегрирования по частям. Неудачный выбор функций u и v может привести к более сложному интегралу, чем исходный интеграл. П р и м е р . Найти  xdxxsin . Р е ш е н и е Пусть xu sin , xdxdv  . Покажем, что такой выбор функ- ций u и v является неудачным. Действительно, учитывая, что xdxdu cos , 2/2xv  , по формуле интегрирования по частям получим 23    xdx x x x xdxx cos 2 sin 2 sin 22 . При этом   xdx x cos 2 2 сложнее, чем исходный интеграл. Положим теперь xdxdvxu sin,  . Тогда в силу того, что xv cos , имеем    Cxxxxdxxxxdxx sincoscoscossin . Рассмотрим три основных типа интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям. 1. Интегралы вида  dxxfxPn )()( , где )(xPn – многочлен сте- пени   )(,0, xfNnn  – одна из следующих функций: xxex cos,sin, , вычисляются подстановкой dxxfdvxPu n )(),(  . 2. Интегралы вида  dxxfxPn )()( , где )(xf – одна из функ- ций вида xxxxaaxa arcctg,arctg,arccos,arcsin),1,0(log  , вычи- сляются подстановкой dxxPdvxfu n )(),(  . 3. Интегралы вида    ,)sin(ln,sin,cos dxxbxdxebxdxe axax    dxxadxx 22,)cos(ln ,   nxa dx )( 22 , где NnaRba  ,0,, , вычисляются с помощью применения формулы интегрирова- ния по частям дважды, в результате чего получают линейное уравнение относительно исходного интеграла. П р и м е р ы 3.1. Найти   dxexx x32 )26( . 24 Р е ш е н и е Пусть dxedvxxu x32 ,26  , тогда xevdxxdu 3 3 1 ,)62(  . Применяя формулу интегрирования по частям, получим    dxexexxdxexx xxx 33232 )3( 3 2 )26( 3 1 )26( . Применим теперь формулу интегрирования по частям к по- следнему интегралу. Положим dxedvxu x3),3(  , тогда xevdxdu 3 3 1 ,  , и, значит,    ) 3 1 )3( 3 1 ( 3 2 )26( 3 1 )26( 333232 dxeexexxdxexx xxxx   xxxx exxdxeexexx 323332 )26( 3 1 9 2 )3( 9 2 )26( 3 1 .)38609(27 27 2 )3( 9 2 2333 CxxeCeex xxx  3.2. Найти  dx x x 3 2 sin cos . Р е ш е н и е Пусть ,cosxu  x xdx dv 3sin cos  , тогда ,sin xdxdu  v   x xd x xdx 33 sin sin sin cos . Отсюда    C x x x x dx x x dx x x 2 tgln 2 1 sin2 cos sin2 1 sin2 cos sin cos 223 2 . 25 3.3. Найти   2 3 1 x dxx . Р е ш е н и е Пусть 2 2 1 , x xdx dvxu   , тогда     21 ,2 x xdx vxdxdu 1 1 )1( 2 1 2 2 2      x x xd , и, значит,     1121 1 22222 2 3 xxdxxxxx x dxx C x xxxdx     3 )1(2 1)1(1 2/32 2222 . 3.4. Найти   xdxx arctg . Р е ш е н и е Положим xdxdvxu  ,arctg , тогда 2 , 1 2 2 x v x dx du    . Отсюда     xx x dxx xxxdxx arctg 2 1 12 1 arctg 2 1 arctg 2 2 2 2        12 1 2 1 arctg 2 1 1 1)1( 2 1 2 2 2 2 x dx dxxxdx x x .arctg 2 1 2 1 arctg 2 1 2 Cxxxx  3.5. Найти dx x x  1 arcsin . 26 Р е ш е н и е Пусть x dx dvxu   1 ,arcsin , тогда , 2 1 1 1 dx xx du    ,12 1 )1( 1        x x xd x dx v и, значит,    x dx xxdx x x arcsin12 1 arcsin Cxxx  2arcsin12 . 3.6. Найти  dxx)cos(ln . Р е ш е н и е Положим dxdvxu  ),cos(ln , тогда xvdx x xdu  , 1 )sin(ln , и, следовательно,   dxxxxdxx )sin(ln)cos(ln)cos(ln . Пусть теперь dxdvxu  ),sin(ln , тогда  )cos(lnxdu xvdx x  , 1 . Применяя формулу интегрирования по частям к последнему интегралу, получим   dxxxxxxdxx )cos(ln)sin(ln)cos(ln)cos(ln . Отсюда   Cxx x dxx ))sin(ln)(cos(ln 2 )cos(ln . 27 3.7. Найти  bxdxe ax cos и  bxdxe ax sin . Р е ш е н и е Вычислим сначала  bxdxe ax cos . Полагая ,axeu  bxdxdv cos , получим bx b vdxaedu ax sin 1 ,  . Отсюда   bxdxe b a bxe b bxdxe axaxax sinsin 1 cos . Пусть теперь bxdveu ax sin,  , тогда ,dxaedu ax bx b v cos 1  , и, значит,   )coscos 1 (sin 1 cos bxdxe b a bxe bb a bxe b bxdxe axaxaxax  bxdxe b a bxe b a bxe b axaxax coscossin 1 2 2 2 . Обозначая  bxdxeI ax cos , получим линейное уравнение относительно искомого интервала I b a bxe b a bxe b I axax 2 2 2 cossin 1  . Отсюда bxe b a bxe b I b ba axax cossin 1 22 22   , и, значит, Cbxabxb ba e I ax    )cossin( 22 . 28 Аналогично находим и второй интеграл: Cbxbbxa ba e bxdxe ax ax    )cossin(sin 22 . Задания для самостоятельной работы Н а й т и : 3.1.   ;)1ln( dxxx 3.2. ;arcsin xdx 3.3.   dx x x 1 arcsin ; 3.4. ; dxe x 3.5. ; sin cos 2 dx x xx  3.6. ; 23  dxex x 3.7. ; sin 2  xe xdx 3.8. ;3sin)72( 2  xdxx 3.9. ; ln 3 dxx x 3.10. ; cos2  x xdx 3.11. ;1 2  dxx О т в е т ы : 3.1. C xx x x   24 1ln 2 1 22 . 3.2. Cxxx  21arcsin . 3.3. Cxxx  141arcsin2 . 29 3.4. Cxe x  )1(2 . 3.5. C x x x  2 tgln sin . 3.6. Cxxxex  )663( 23 . 3.7. Указание: положить 2 2cos1 sin2 x x   . C xxe x         1 5 2sin22cos 2 . 3.8. Cxxxxx  3cos 27 4 3sin 9 4 3cos)72( 3 1 2 . 3.9. Cx x  ) 2 1 (ln 2 1 2 . 3.10. Cxxx  coslntg . 3.11. Cxxxx  )1ln1( 2 1 22 . 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Рациональной функцией называется функция вида )( )( )( xQ xP xR m n , (4) где 0,,0,,...)( 01 1 10    aniRaaxaxaxaxP inn nn n , 30 0,,0,,...)( 01 1 10    bmiRbbxbxbxbxQ imm mm m – мно- гочлены степеней n и m соответственно. Рациональные функции называются рациональными дро- бями. При n m рациональная дробь (41.) называется пра- вильной, при mn  – неправильной. Если рациональная дробь (4.1) является неправильной, то, разделив числитель на знаменатель, получим равенство )( )( )( )( )( xN xM xS xQ xP s l k m n  , где )( )( xN xM s l – правильная рациональная дробь. Среди правильных рациональных дробей различают четыре типа простейших дробей: 1. ax A  ; 2. Nkk ax A k   ,2, )( ; 3. qpxx NMx   2 ; 4. Nkk qpxx NMx k    ,2, )( 2 , где A, M, N, a, p, q – действительные числа; k – натуральное число, 042  qp . Интегралы от простейших дробей вычисляются следую- щим образом: 1. CaxA ax axd Adx ax A        ln )( . 31 П р и м е р ы 4.1. Cx x xd x dx        4ln5 4 )4( 5 4 5 . 2.         )()( )( )( )( axdaxA ax axd Adx ax A k kk C axk A C k ax A k k           1 1 )( 1 11 )( . 4.2.     )5()5(3 )5( 3 4 4 xdxdx x C x C x        3 3 )5( 1 3 )5( 3 . 3.         dx p q p x NMx dx qpxx NMx 4 ) 2 ( 2 2 2                  2222 2 2 20 4 ,, 2 at Mtdt dt at Mp NMt a p qdtdxt p x           2222 22 22 ) 2 ( )( 2 2 at dtMp N at atdM dt at Mp N    )ln( 2 arctg 2 2 )ln( 2 222 qpxx M C a t a MpN at M C pq px pq MpN       22 4 2 arctg 4 2 . 32 4.3.          dtdxtxdx x x dx xx x ,1 9)1( 53 102 53 22                 9 8 9 )9( 2 3 9 8 9 3 9 83 22 2 222 t dt t td dt tt tdt dt t t C x xxC t t    3 1 arctg 3 8 )102ln( 2 3 3 arctg 3 8 )9ln( 2 3 22 . 4.        dx p q p x NMx dx qpxx NMx k k ) 4 ) 2 (( )( 22 2               dt at Mp NMt a p qdtdxt p x k)( 2 4 ,, 2 22 2 2       kk at dtMpN at tdt M )(2 2 )( 2222 . 4.4.          dtdxtxdx x x dx xx x ,1 )1)1(( 12 )22( 12 2222                1 3 )1( 2 )1( )1( 3 )1( 2 )1( 32 22222 22 2222 t dt t tdt dt t tt t tdt dt t t              22222 2 22 2 )1( 3 1 3 )1( )1( )1( 3 t tdtt t dt t td t dtt                         t t tt td t tdt v dtdutu arctg3 1 1 )1(2 1 )1( )1( 2 1 )1( ,, 2 222 2 22           )1(2 3 arctg3 1 1 ) 12 1 )1(2 (3 2222 t t t t C t dt t t     C t t tCt 1 13 arctg 2 3 arctg 2 3 2 C xx x x     22 43 )1(arctg 2 3 2 . 33 Для интегрирования правильной дроби нужно: 1. Разложить знаменатель дроби на простые множители. 2. Представить дробь в виде суммы простых дробей с не- определенными коэффициентами. 3. Найти коэффициенты. 4. Проинтегрировать простые дроби. 4.5.    dx xxx x 45 25 23 3 . Р е ш е н и е Поскольку степень числителя равна степени знаменателя, то подынтегральная функция является неправильной рацио- нальной дробью. Поэтому сначала выделим целую часть: xxx xx xxx x 45 22025 5 45 25 23 2 23 3      . Тогда                dx xxx xx dx xxx x 45 22025 5 45 25 23 2 23 3       Ixdx xxx xx dx 5 45 22025 5 23 2 , где 2 2 3 2 25 20 2 25 20 2 5 4 ( 1)( 4) x x x x I dx dx x x x x x x            . Пусть 4145 22025 23 2       x C x B x A xxx xx . Найдем значения А, В, С методом неопределенных коэф- фициентов. Приводя к общему знаменателю правую часть по- следнего равенства, получим 34 xxx xxCxxBxxA xxx xx 45 )()4()45( 45 22025 23 222 23 2      . Отсюда )()4()45(22025 2222 xxCxxBxxAxx  . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, составим систему         .24 ,2045 ,25 А СВА СВА Решая ее, находим, что 6 161 , 3 7 , 2 1  CBA . При нахождении неопределенных коэффициентов А, В, С можно использовать метод произвольных значений. Для этого в равенство )()4()45(22025 2222 xxCxxBxxAxx  вместо х последовательно подставим три произвольных зна- чения х = 0, х = 1, х = 4. Получим систему уравнений         .32212 ;73 ;24 С В А Отсюда имеем 6 161 , 3 7 , 2 1  CBA . 35 Значит,               13 7 2 1 )4(6 161 )1(3 7 2 1 x dx x dx dx xxx I Cxxx x dx     4ln 6 161 1ln 3 7 ln 2 1 46 161 , и, следовательно, Cxxxxdx xxx x     4ln6 161 1ln 3 7 ln 2 1 5 45 25 23 3 . 4.6. Найти dx xxx xxx    )134( 1343 22 23 . Р е ш е н и е Поскольку подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, то разложение этой дроби на простей- шие примет вид 134)134( 1343 2222 23      xx DCx x B x A xxx xxx , и, значит, )134( )()134()134( )134( 1343 22 222 22 23      xxx xDCxxxBxxAx xxx xxx . Отсюда, приравнивая числители последнего равенства, имеем 22223 )()134()134(1343 xDCxxxBxxAxxxx  . 36 Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений            .1313 ;4413 ;14 ;3 B BA DBA CА Решая эту систему, находим: A = 0, B = 1, C = 3, D = –2. Значит,              dxxdx xx x x dx xxx xxx 2 2222 23 134 231 )134( 1343                 x dt t t xdtdx tx dx x x 1 9 4312 9)2( 23 22 . 3 2 arctg 3 4 )134ln( 2 3 2 C x xx    4.7. Найти dx xx x    22 3 )1)(1( 3 . Поскольку подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, то, представив ее в виде суммы про- стейших дробей, получим 22222 3 )1(11)1)(1( 3           x EDx x CBx x A xx x . Отсюда )1)(()1)(1)(()1(3 2223  xEDxxxCBxxAx . 37              ;3 ;0 ;02 ;1 ;0 ECA DEBC DBCA BC BА              ;321 ;2121 ;1212 ;1 ; BBB BBBBE BBBBD BC BА 1,2, 2 3 , 2 1 , 2 1  EDCBA .             1ln 2 1 )1( 12 1 2 3 2 1 12 1 222 xdx x x dx x x x dx I            )1ln( 4 1 1ln 2 1 )1( 1 )1( 2 1 3 2 1 2 22 22 222 xxdx x xx x xdx dx x x                1ln 2 1 12 1 ) )1(2 1 (arctg 1 1 arctg 2 3 222 x x dx x xx x x         )1(2 2 arctg 2 1 )1(21 1 arctg 2 5 )1ln( 4 1 222 2 x x Cx x x x xx Cxxx  arctg2)1ln( 4 1 1ln 2 1 2 . Задания для самостоятельной работы Н а й т и : 4.1.    dx xx xx 23 6 24 24 . 4.2.    dx xxx x 1 1 23 4 . 4.3.   22 2 )4()2( xx dxx . 4.4.  13x xdx . 4.5.    dx xx x 86 6 24 3 . 4.6.   2223 xxx dx . 38 4.7.   )1)(1( 22 xx dx . 4.8.    dx xx xxx 4 82295 3 23 . О т в е т ы : 4.1. C x xx  2 arctg 2 8 arctg6 . 4.2. Cx x xx      arctg 1 1 ln 2 )1( 2 2 . 4.3. C xx x x x       86 125 2 4 ln2 2 . 4.4. C x xxx    3 12 arctg 3 1 1ln 6 1 1ln 3 1 2 . 4.5. C x x x x  2 arctg 2 3 4ln 2 arctg 2 3 2ln 2 1 22 . 4.6. C x x x    2 arctg 23 1 2 1 ln 3 1 2 . 4.7. Cx x x    arctg 2 1 1 1 ln 4 1 . 4.8. Cxxxx  2ln42ln3ln25 . 39 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Интегралы вида dx dcx bax dcx bax xR n pp            )(,...,)(, 1 , где R – рациональная функция; ;Nn npp ,...,1 – рациональные числа; a, b, c, d – действительные числа, рационализируются подстановкой mt dcx bax    , где m – общий знаменатель рациональных чисел npp ,...,1 . П р и м е р 5.1. Найти   3 1212 xx dx . Р е ш е н и е Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 равно 6. Поэтому обозначим 612 tx  . Отсюда dttdxtx 56 3),1( 2 1  , и, значит,            dt t ttdt t t dt tt t xx dx ) 1 1 1(3 1 3 3 1212 2 3 23 5 3  323 12 2 3 121ln33 2 3 xxCtttt .112ln3123 66 Cxx  40 П р и м е р 5.2. Найти  4 53 )2()1( xx dx . Р е ш е н и е Так как 44 53 1 2 )2)(1()2()1(    x x xxxx , то подстановка 4 1 2 t x x    . Отсюда 1 3 2, 1 3 1, )1( 12 , 1 2 4 4 424 3 4 4           t t x t x t dtt dx t t x , и, значит,         )2)(1(2 1 )2()1( 4 4 53 xx dx x x xx dx C x x Ctdtdt ttt tt        4424 243 1 2 3 4 3 4 3 4 33)1( )1(12 . Выражение вида pnm bxax )(  , где a, b – действительные числа; 0,0  ba ; m, n, p – рациональные числа; 0,0  pn ; называется дифференциальным биномом. Интегралы от таких функций рационализируются только в следующих трех случаях: p – целое число; n m 1 – целое число; p n m  1 – целое число. В первом случае применяется подстановка ktx  , где k – об- щий знаменатель дробей m и n. Во втором случае – подстановка sn tbxa  , где s – знаменатель дроби p. В третьем случае – подстановка sn tbax  , где s – знаменатель p. 41 Пример 5.3. Найти dxxx 23 )2(  . Р е ш е н и е Так как 2p  – целое число, то 6tx  . Тогда 3235 ,,6 txtxdttdx  , и, значит,   dttttdxxx 523223 6)2()2(   3 41411813107 3 7 3 11 24 3)44(6 xCtttdtttt Cxx  3 76 11 7 3 11 24 . П р и м е р 5.4. Найти dx x x  3 41 . Р е ш е н и е 3 1 , 4 1 , 2 1  pnm . Так как 2 1   n m – целое число, то под- становка 341 tx  . Отсюда dtttdxtx 33243 )1(12,)1(  , и, значит,      dttt t t dx x x 332 23 3 4 )1(12 )1( 1   Cttdtttdttt 473633 3 7 12 )(12)1(12 Cxx  3/443/74 )1(3)1( 7 12 . 42 П р и м е р 5.5. Найти dx x x   6 52)1( . Решение 2 5 ,2,6  pnm . Так как 0 1   p n m – целое число, то подстановка 22 1 tx  . Тогда ,)1( 2/12  tx ,)1( 2/32 dtttdx  1 1 2 2 222   t t txx . Отсюда        dttt t tt dx x x 2/32 2/52 325 6 52 )1( )1( )1()1(           C t t t tt dt t ttdt t t 1 1 ln 2 1 35 ) 1 1 1( 1 35 2 24 2 6        C x x xxx 11 11 ln 2 1 1)1( 3 1 )1( 5 1 2 2 22/322/52 Cxx x x x x x x        2 2/12 3 2/32 5 2/52 1ln )1()1( 3 1)1( 5 1 . Интегралы вида dx cbxax NMx    2 , где M, N, a, b, c – действительные числа, 0a , подстановкой t a b x  2 приводятся к виду 43        dat dt a Mb N dat tdt Mdx cbxax NMx 222 ) 2 ( , в котором a b cd 4 2  , интеграл    dat tdt 2     dat datd a 2 2 )( 2 1 Cdat a  2 1 , Cdatta adat dt    2 2 ln 1 при a > 0 и C d ta adat dt    arcsin 1 2 , если a < 0. П р и м е р 5.6. Найти dx xx x    186 13 2 . Р е ш е н и е Учитывая, что 9)3(186 22  xxx , положим tx 3 , тогда dtdxtx  ,3 , и, значит,           dt t t dt t t dx xx x 9 83 9 1)3(3 186 13 222             93 9 8 9 )9( 2 3 9 8 9 3 2 22 2 22 t t dt t td t dt t tdt .1863ln818639ln8 222 CxxxxxCtt  44 П р и м е р 5.7. Найти    dx xx x 225 118 . Р е ш е н и е Так как 6)1(25 22  xxx , то сделаем замену перемен- ной 1 xt . Тогда dtdxtx  ,1 , и, следовательно,          222 6 8 6 11)1(8 25 118 t tdt dt t t dx xx x          2 22 2 2 68 6 3 6 )6( 4 6 3 t t dt t td t dt C x xxC t    6 1 arcsin3258 6 arcsin3 2 . Для вычисления интегралов вида   dx cbxax xPm 2 )( , где )(xPm – многочлен степени m; a, b, c – действительные числа; 0a ; удобно пользоваться формулой     cbxax dx cbxaxxQdx cbxax xPm 2 2 2 λ)( )( , (5.1) в которой )(xQ – многочлен степени не выше чем m – 1,  – некоторое действительное число, причем коэффициен- ты многочлена )(xQ и число  можно найти методом неопре- деленных коэффициентов. 45 П р и м е р 5.8. Найти dx xx xx    123 239 2 23 . Р е ш е н и е Воспользуемся формулой (5.1). Так как  )()( 3 xPxPm 239 23  xx , то CBxAxxQ  2)( , и, значит, формула (5.1) примет вид      123 λ123)( 123 239 2 22 2 23 xx dx xxCBxAxdx xx xx . Продифференцируем последнее равенство по переменной х, получим    123)2( 123 239 2 2 23 xxBAx xx xx 123 λ 1232 26 )( 22 2      xxxx x CBxAx . Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители, имеем равенство λ)13)(()123)(2(239 2223  xCBxAxxxBAxxx . Отсюда получаем систему            .2 ;0322 ;3343 ;936 CB CBBA BAAB AA 46 Решая систему, находим 3 4 λ, 3 1 , 3 1 ,1  CBA . Следо- вательно,       1233 4 123) 3 1 3 1 ( 123 239 2 22 2 23 xx dx xxxxdx xx xx     3 2 ) 3 1 (3 3 4 123) 3 1 3 1 ( 2 22 x dx xxxx      3 2 ) 3 1 (3 )) 3 1 (3( 33 4 123) 3 1 3 1 ( 2 22 x xd xxxx Cxxxxxxx  123) 3 1 (3ln 33 4 123) 3 1 3 1 ( 222 Интегралы вида   dxaxxR ),( 22 ,   dxxaxR ),( 22 ,   dxxaxR ),( 22 вычисляются при помощи тригонометриче- ских подстановок taxtax t a x tg,sin, cos  . П р и м е р 5.9.       tx dt t t dx t x dx x x tg1 cos sin cos 1 1 2 2 2 Cttgtdt t t dt t t dt t t tt      2 2 2 2 2 cos cos1 cos sin cos sin costg . 47 П р и м е р 5.10.       tdt tx tdtdx tx dxx 2 2 2 cos4 cos24 cos2 sin2 4   Ctt x Cttdtt cossin2 2 arcsin22sin2)2cos1(2 C xxx C xxx    2 4 2 arcsin2 4 1 2 2 2 arcsin2 22 . Задания для самостоятельной работы Найти: 5.1.   dx x x 41 . 5.2.   3 2xx dxx . 5.3.  3 2)1)(1( xx dx . 5.4.   dxxx 41 . 5.5.   3 4 33 1 xx dx . 5.6. dx xx x    54 53 2 . 5.7.   dxxx 14 2 . 5.8.   dxxx 22 9 . 5.9.   22 4 xx dx . О т в е т ы : 5.1. 433 ,1ln( 3 4 xtCtt  . 5.2. C x x xx     1 1 ln362 6 6 . 5.3. Указание: домножить и разделить подынтегральную функцию на 3 1 x . 48 32 1 1 , 3 12 arctg 3 1 1ln 6 1 1ln 3 1 x x tC t ttt      . 5.4. C xx xx xx     24 24 42 1 1 ln 8 1 1 4 1 . 5.5. Cx  3 24/3 )1(2 . 5.6. Cxxxxx  542ln543 22 . 5.7. Cxxxxx x   142ln 2 3 14 2 2 22 . 5.8. 3 arcsin,)4sin 4 1 ( 8 81 x tCtt  . 5.9. C x x    4 4 2 . 6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Рассмотрим интеграл вида  dxxxR )cos,(sin , (6.2) где R – рациональная функция переменных ,sin1 xU  xU cos2  . Указанный интеграл всегда рационализируется так называемой универсальной тригонометрической подстанов- кой  txt x ,ππ, 2 tg , для которой справедливы соотношения 49 22 2 2 1 2 ,arctg2, 1 1 cos, 1 2 sin t dt dxtx t t x t t x        . (6.2) П р и м е р 6.1. Найти   xx dx cos7sin48 . Р е ш е н и е Применим универсальную тригонометрическую подста- новку  txt x ,ππ, 2 tg . Учитывая (6.2), получим          1)4( 2 158 2 cos7sin48 22 t dt tt dt xx dx C x x C t t t td            3 2 tg 5 2 tg ln 14 14 ln 1)4( )4( 2 2 . Однако универсальная подстановка часто приводит к гро- моздким вычислениям. Рассмотрим другие методы, которые значительно быстрее позволяют вычислить интеграл (6.1). Ес- ли )cos,(sin)cos,sin( xxRxxR  , то есть функция )cos,(sin xxR является нечетной относительно xsin , то целесообразно при- менить подстановку tx cos . Если )cos,(sin)cos,(sin xxRxxR  , то есть функция )cos,(sin xxR является нечетной относительно xcos , то реко- мендуется применить подстановку tx sin . Если )cos,(sin)cos,sin( xxRxxR  , то применяется подста- новка  txt x ,ππ, 2 tg . 50 П р и м е р 6.2. Найти dx x xx   2cos sinsin 3 . Р е ш е н и е Учитывая, что x xx xxR 2cos sinsin )cos,(sin 3  , и, значит, )cos,(sin)cos,sin( xxRxxR  , применим подстановку tx cos . Тогда dtxdx sin , и, следовательно,          dt t t dx xx xx dx x xx 12 2 sincos sin)sin1( 2cos sinsin 2 2 22 23            t t dt dtdt t dt t t 2 1 2 14 3 2 1 ) 12 3 1( 2 1 12 42 2 1 2 22 2 C x x xC t t        1cos2 1cos2 ln 24 3 cos 2 1 2 1 2 1 ln 24 3 . П р и м е р 6.3. Найти   xx dx 2cos42sin32 . Р е ш е н и е Так как xx dx xxR 2cos42sin32 )cos,(sin   , и, значит, )cos,(sin)cos,sin( xxRxxR  , то применим подстановку 2/π2/π,tg  xtx . Тогда 222 1 ,arctg, 1 sin, 1 1 cos t dt dxtx t t x t x       . 51 Отсюда         4 13 ) 2 3 ( 2 1 262cos42sin32 222 t dt tt dt xx dx         C t t t td 2 13 2 3 2 13 2 3 ln 13 1 2 1 4 13 ) 2 3 ( ) 2 3 ( 2 1 2 C tgx tgx     1332 1332 ln 13 1 2 1 . Рассмотрим интегралы вида   xdxx nm cossin , где ,m n – рациональные числа. Если m – нечетное число, то применяется подстановка tx cos . Если n – нечетное число, то целесообразна подста- новка tx sin . Если m, n – неотрицательные четные числа, то применяется метод понижения степени с помощью формул xxxxxxx 2sin 2 1 cossin),2cos1( 2 1 cos),2cos1( 2 1 sin 22  . Если m, n – положительные нечетные числа, то рекоменду- ется подстановка tx 2cos . Если m n – четное число, то применяется подстановка 2/π2/π,tg  xtx , или π0,ctg  xtx . Указанные подстановки применяются и к интегралам   Nmxdxxdx mm ,ctg,tg . 52 П р и м е р 6.4. Найти dx x x  4 5 3 sin cos . Р е ш е н и е Так как n = 3 – нечетное число, то положим tx sin , тогда dtxdx cos . Отсюда          dttdttdt t t x xdxx dx x x 4/34/5 4/5 2 4/5 2 4 5 3 1 sin cos)sin1( sin cos Cx x C tt     4 7 4 4/74/1 sin 7 4 sin 4 4/74/1 . П р и м е р 6.5. Найти   xdxx 2cos2sin 64 . Р е ш е н и е Применяя метод понижения степени, получим   xdxxxxdxx 2cos)2cos2(sin2cos2sin 2464   xdxdxxx 4sin 32 1 )4cos1( 2 1 )4sin 2 1 ( 44          xxddxxxdxx 4sin4sin 128 1 )8cos1( 2 1 32 1 4cos4sin 32 1 4 2 4   xxddxxx 4sin4sin 128 1 )8cos8cos21( 128 1 42   dxxx ))16cos1( 2 1 8cos21( 128 1     xdxdxxxd 8cos 64 1 256 3 4sin4sin 128 1 4 53    xxdxdx 4sin4sin 128 1 16cos 256 1 4 Cxxxx  4sin 640 1 16sin 4096 1 8sin 512 1 256 3 5 . Интегралы вида     xdxxxdxxxdxx βsinαsin,βcosαcos,βcosαsin вычисляются непосредственно путем преобразования подын- тегральной функции по формулам     xxx βαsinβαsin 2 1 βxcosαsin  ,  xxxx )βαcos()βαcos( 2 1 βcosαcos  ,  xxxx )βαcos()βαcos( 2 1 βsinαsin  . П р и м е р 6.6. Найти   xdxx 3sincos . Р е ш е н и е Учитывая, что  xxxx 2sin4sin 2 1 cos3sin  , получим     xdxdxxxxdxx 4sin 2 1 2sin4sin 2 1 3sincos   Cxxxdx 2cos 4 1 4cos 8 1 2sin 2 1 . 54 Задания для самостоятельной работы Найти: 6.1.  x dx 4cos . 6.2.  x dx 3sin . 6.3.  xdxxx 3coscos2cos . 6.4.  xdx 6sin . 6.5.   xx dx 22 sin4cos3 . 6.6.  xx dx sincos7 . 6.7.  xx dx 2costg . 6.8.  xdx2tg 5 . О т в е т ы : 6.1. Cxx xx  ctg 3 ctg 5 ctg 35 . 6.2. C x x x  8 2 tg 2 tgln 2 1 2 tg8 1 2 2 . 6.3. Cxxxx  6sin 24 1 2sin 8 1 )4sin 4 1 ( 4 1 . 6.4. Cxxxx  2sin 48 1 4sin 64 3 2sin 4 1 16 5 3 . 6.5. C x g  3 tg2 arct 32 1 . 55 6.6. Cxx  tg2tg 5 2 5 . 6.7. Cxx  2tg1ln 2 1 tgln . 6.8. Cx xx  2cosln 2 1 4 2tg 8 2tg 22 . 7. Тренировочное задание 7.1. Найти неопределенные интегралы с помощью таблицы интегралов и поднесения под знак дифференциала: а) dx x x   32 ; б) 3( 1)x dx x x   ; в) 2 4 dx x x ; г) 5 dx x  ; д) 2x xe dx ; е) 2 2 cos 3cos 2 cos x x dx x    ; ж) 11(2 3)x dx ; з) 5 4 dx x  ; и) dx x xx    1 21 3 2 ; к) 21 9 dx x ; л)  19 2x dx ; м) 21 9 dx x  ; н)   231 x dx ; о) dxx 5sin ; п)  x dx 3sin2 ; р)  12x xdx ; с) dxxx  43 1 ; т)   252 x xdx ; у)  16 2 x dxx . 56 7.2. Указать возможные подстановки для вычисления инте- гралов и найти эти интегралы: а) dx x x   ln1 ; б) dxxe x  sin 2cos ; в) dx x xarctg   2 3 1 ; г) dxxx  3 65 41 ; д)  1xx dx ; е) 2 1 cos x dx x  ; ж) 2 sin cos 4 xdx x   ; з)   x x e dxe 5 . 7.3. Найти интегралы, используя формулу интегрирования по частям: а) dxxx cos 2 ; б) dxxx ln 2 ; в) 3 sin cos x xdx x ; г)  xdxx 2ctg . 7.4. Найти интегралы, используя методы интегрирования выражений, содержащих квадратный трехчлен: а)   782 xx dx ; б) dx xx x    3 32 2 ; в)   241 xx xdx ; г) dxxx  32 2 . 7.5. Найти интегралы, содержащие тригонометрические функции: а) dxxx cos5cos ; б) dx x x  2 2 cos sin ; в) dxxx cossin 6 ; г)  x dx cos . 57 Решение примеров тренировочного задания 7.1. а)       dxxdxxdxxxdx x x 2/12/12/12/1 32)32( 32               2/3 2/12/31 3 4 2/1 3 2/3 2 1 xC xx C a x dxx a a CxxxCx  6 3 4 6 2/1 ; б)      dx xx xxxx dx xx x 133)1( 3             C x xxxdxx xx 2/1 ln36 33 1 12/3 2/3 C x xxx  2 ln36 . в)          dx xx xx xx dx xx dx )1( 1 )1( 22 22 2242 C x x xx dx x dx        1 1 ln 2 11 1 22 ; г) C e C e e dxedxe xxx xxx      12ln 2 2ln )2( )2(2 ; д)    dx xx dx x xx ) cos 2 cos 3 1( cos 2cos3cos 22 2 Cx x x          tg2 24 tgln3 ; 58 е)       Cx x xd x dx 5ln 5 )5( 5 ; ж).  dxx 11)32( [1-й способ – поднесение под знак диф- ференциала:  )]32( 2 1 ,2)32()32( xddxdxdxxxd   )32( 2 1 )32( 11 xdx C x C x xdx       24 )32( 12 )32( 2 1 )32()32( 2 1 121211 ; 11(2 3)x dx  [2-й способ – замена переменной 2 3 ,32   t xtx , 3 1, 2 2 t dx dt dx dt        ] 12 12 11 111 1 1 2 2 2 12 24 t t t dt t dt C C          12(2 3) . 24 x C   Прежде чем перейти к решению последующих примеров, выпишем полезные преобразования дифференциальных выра- жений: 1. ( ). dx d x C  Например,    20,5  xddxxddx ; 2. 1 ( ), 0.dx d kx k k   Например,    ,,3 3 1 xddxxddx   xddx 10 10 1  ; 59 3. 1 ( ), 0.dx d kx b k k    Например,  ,52 2 1  xddx  ,52 2 1  xddx          3 23,25 2 1 x ddxxddx ; 4.   .0, 1 1 1     axd a dxx aa Например,  , 2 1 2xdxdx   , 4 1 43 xddxx   xd x dx 2 ; 5. )(cossin xdxdx  ; 6. )(sincos xdxdx ; з)        )45()45( 4 1 45 )45( 4 1 45 2/1 xdx x xd x dx   CxC x    45 2 1 2/1 45 4 1 2/1 ; и)          dxxdx x x dx x xx 3/1 3/23 2 )1( 1 )1( 1 21 CxC x xdx      3 2 3/2 3/1 )1( 2 3 3/2 )1( )1()1( ; к)         222 )3(1 )3( 3 1 )3(191 x xd x dx x dx CxgC a x g axa dx           )3(arct 3 1 arct 1 22 ; л) 1 2 22 2 9 1 ln 3 1 9 13 1 9 1 9 19 Cxx x dx x dx x dx              . 60 Этот же интеграл можно вычислить иначе: . 9 1 ln 3 1 9 13 1 9 1 9 19 1 2 22 2 Cxx x dx x dx x dx              В том что ответы идентичны, можно убедиться, проверив правильность интегрирования дифференцированием. Дей- ствительно, в первом случае получим:            193 1 3 1 193ln 3 1 2 2 xx Cxx                      192 18 3 193 1 3 1 193 22 2 x x xx xx 19 1 19 319(3 193 1 3 1 22 2 2        xx xx xx . Во втором случае получим 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1/9ln 3 9 3 1/9 x xx x C x x                 2 2 2 2 2 1 ( 1/9 1 1 3 ( 1/9) 1/9 9( 1/9) 9 1 x x x x x x x            . Значит, в обоих случаях интегрирование выполнено верно. 61 м)      22 )3(1 )3( 3 1 91 x xd x dx CxC a x xa dx              )3arcsin( 3 1 arcsin 22 ; н)        1)3( )3( 3 1 )3(1 )3( 3 1 31 222 x xd x xd x dx                 C x x C ax ax aax dx 13 13 ln 32 1 3 1 ln 2 1 22 C x x     13 13 ln 6 1 ; о)   Cxxxdxdx 5cos 5 1 )5(5sin 5 1 5sin ; п) Cx x xd x dx   3ctg 3 1 3sin )3( 3 1 3sin 22 ; р)         )1()1( 2 1 1 )1( 2 1 1 22/12 2 2 2 xdx x xd x xdx ;1 2/1 )1( 2 1 2 2/12 CxC x    с)   4 )( )1(1 4 2/1443 xdxdxxx Cx x    34 2/34 )1( 6 1 2/3 )1( 4 1 ; 62 Второй способ: ),()1(,1,1[1 2424443 tdxdtxtxdxxx   ] 2 ,24,)()1( 3324 tdt dxxtdtdxxdttdxx   ; 6 1 32 1 2 1 2 3 43 2 2 C x C t dtt dtt       т) Cx x xd x xdx        2 2 2 2 52ln 10 1 52 )52( 10 1 52 . Второй способ: ;10 ,)52( ,52[ 52 22 2 dtxdxdtxdtx x xdx    CxCt t dtdt xdx   252ln 10 1 ln 10 1 10 ] 10 ; у) Cxx x xd x dxx      1ln 3 1 1)( )( 3 1 1 63 23 3 6 2 . 7.2. а) ;ln1 ,ln ,ln1[ ln1 x)d()d(tx1txtdx x x 22    CxC t dtttdtt x dx 2tdt   3 3 2 )ln1( 3 2 3 222] ; б) ,)(cos ,cos2sin 22cos2 dxxdtxtxdxe x    )(]2sin ,)sin(cos2 dtexdxdtdxxxdt t CeCedte xtt   2cos ; 63 в)           22 3 1 ,arctg 1 arctg x dx dtxtdx x x C x C t dtt   4 arctg 4 44 3 . г) ),41()(,41,41[41 6363 3 63 65 xdtdxtxtdxxx      dtt dttt dt t dxxdxxdtt 3 22 552 8 1 8 ] 8 ,243 ;)41( 32 1 48 1 3 46 4 CxC t  д)    )(,1,1[ 1 22 tdxtxt xx dx       1 2 )1( 2 ]1,2),1( 22 2 t dt tt tdt txdxtdtxd C x x C t t        11 11 ln 1 1 ln 2 1 2 ; е)         22 , 11 cos x dx dt x t x dx x C x Cttdt   1 sinsincos ; ж)      dtxdxtx x xdx sin,cos 4cos sin 2     Ctt t dt )4ln( 4 2 2 Cxx  )cos4ln(cos 2 ; 64 з)      Ct t dt dxedtet e dxe xx x x ln,5 5 Cex  )5ln( . 7.3. Поскольку   vduuvudv , то получим а)             xx xvxdxdv xdxduxu xdxx sin sin,cos ,2, cos 2 2 2           xvxdxdv dxduxu xdxxxxxdxx cos,sin ,, sin2sin2sin 2   xxxxdxxxxxx cos2sin))cos()cos((2sin 22 Cxxxxxxdx   sin2cos2sincos2 2 ; б)                  3 ln 3 , , 1 ,ln ln 3 3 22 2 xx x dxxvdxxdv dx x duxu xdxx C xxx C xxx dxx xx dx x x   93 ln 33 1 3 ln 3 1 3 ln1 3 3333 2 33 ; в)                xx xd x dx v x xdx dv dxduxu x xdxx 2333 3 cos2 1 cos )(cos cos sin , cos sin ,, cos sin   Cx x x x dx x x tg 2 1 cos2cos2 1 cos2 222 ; 65 г)                       dx x xdxvxdxdv dxduxu xdxx 1 sin 1 ctg,ctg ,, ctg 2 22 2    22 ctg)ctg(ctgctg xxxdxxxxxxxx ;sinln 2 ctg 2 sinln 22 Cx x xxC x x  7.4. а)          9)4(916878 222 x dx xx dx xx dx C x x x x x xd             7 1 ln 6 1 34 34 ln 32 1 9)4( )4( 2 ; б)             dx xx x dx xx x dx xx x 3 32 3 632 3 32 222          4 9 4 9 3 2 2 6 3 )3( 3 6 2 2 2 2 xx dx xx xxd xx dx           22 2 2 2 2 ) 2 3 () 2 3 ( ) 2 3 ( 63ln 4 9 ) 2 3 ( 6 3 )3( x xd xx x dx xx xxd        C x x xxC x x xx 3 ln23ln 2 3 2 3 2 3 2 3 ln 2 3 2 1 63ln 22 C x x C x xxx C x x xx        3 2 222 2 )3(ln )3)(3( ln 3 ln3ln ; 66 в)          )544()14(41 222 xx xdx xx xdx xx xdx                25 )2( ,2 2 )2(5 t dtt dtdxtx tx x xdx           C t t td t dt t tdt 5 arcsin2 5 )5( 2 1 5 2 5 2 2 22 C x xxC t t    5 2 arcsin241 5 arcsin25 22 ; г)   dxxdxxxdxxx 4)1(41232 222   dtdxtxtx ,1,1                   tvdtdv t tdt tdt t dutu dtt , 4 2 42 1 ,4 4 22 2 2         4 4 )44( 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 tt t dtt tt t dtt tt .44ln44 4 4 4 224 2 2 dtttttt t dt dtt     Значит, из последних соотношений получаем уравнение относительно искомого интеграла:   4 2 1 4,4ln4442 22222 ttdttttttdtt или4ln2 2  tt   .321ln2321 2 1 32 222 Cxxxxxxdxxx  67 7.5. а)         xxdxdxxxxxxdxx 6cos 2 1 5cos5cos 2 1 cos5cos . 4sin16 1 6sin 12 1 4sin 4 1 4 1 6sin 6 1 2 1 4cos 2 1 C x xCxxxdx   Здесь была использована формула ))βαcos()βα(cos( 2 1 βcosαcos  . б)     C xtg xxd x dx x x dx x x2 3 )tg(tg coscos sin cos sin 32 22 2 4 ; в)    C x xxdxdxx 7 sin )(sinsincossin 7 66 ; г) 2 2 cos (sin ) 1 sin 1 ln cos cos sin 1 2 sin 1 dx xdx d x x C x x x x          . К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 1 Найти интегралы: В а р и а н т 1 1.   xdxx 33 cossin ; 2.    dx xx xx )1( 3 3 2 ; 3.    dx xx xx 43 5 24 3 . 68 В а р и а н т 2 1.   dx x x 93sin 6sin 4 ; 2.    dx xx x 35 5 7272 172 ; 3.    dx xxx xx )52)(1( 772 2 2 . В а р и а н т 3 1.   dx x x 2tg1 ctg ; 2.    dx xx x 3 33 3 ; 3.    dx xxx x )128)(7( 263 2 . В а р и а н т 4 1.   x dx 2sin2 2 ; 2.    dx xx xx 131 121 3 3 ; 3.    dx xx x 24 6 42 . В а р и а н т 5 1.   xx dx 22 sin4cos3 ; 2.   xx dx 25 )1( ; 3.    dx x x 3 4 )2( 8 . В а р и а н т 6 1.  1sin3 x dx ; 2.   dx xx x 3 24 ; 3.    dx x xxx 3 235 1 2 . 69 К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 2 В а р и а н т 1 1.  3 5)41( x dx ; 2.   dx x xdx 34 3 2 ; 3.   dxxex 21 3 ; 4.   3082 2 xx dx ; 5.  x dxx)ln(ln . В а р и а н т 2 1.   dxx 5 31 ; 2.  xdxe x sincos ; 3.   dx x e xar 2 ctg 1 ; 4.   862 xx dx ; 5.   dxxx )1ln( . В а р и а н т 3 1.   x dx 37 ; 2.   dx x dx 234 2 ; 3.  dx x x 7sin 7ctg 2 ; 4.   232 2 xx dx ; 5.  dxx)sin(ln . В а р и а н т 4 1.   x dx 45 ; 2.   227 2 x dx ; 3.  dx x x 3cos 3sin 4 ; 4.   143 2 xx dx ; 5.  xdxx ln 2 . 70 В а р и а н т 5 1.   dxx )53cos( ; 2.  17 5 2x xdx ; 3.   x xdx sin3 cos ; 4.   2321 xx dx ; 5.  x xdx 2sin . В а р и а н т 6 1.   dxx)25cos( ; 2.   )1(ln)1( 2 xx dx ; 3.   dx x x 2 3 91 3arccos ; 4.   284 xx dx ; 5. dx x x   2 3 cos tg2 . 71 Учебное издание АНДРИЯНЧИК Анатолий Николаевич ГАБАСОВА Ольга Рафаиловна ПРИМИЧЕВА Зоя Николаевна НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Методическое пособие для самостоятельной работы и самоконтроля знаний Редактор Т.Н. Микулик Компьютерная верстка Д.К. Измайлович Подписано в печать 20.04.2009. Формат 60841/16. Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 2,2. Уч.-изд. л. 1,7. Тираж 300. Заказ 1102. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. Проспект Независимости, 65. 220013, Минск.