МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  
РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ 
 
Белорусский национальный  
технический университет 
 
Кафедра «Высшая математика № 2» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Методические указания  
и контрольные задания  
по высшей математике  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Мин с к  
БНТУ  
2 0 1 3  
 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ 
Белорусский национальный технический университет 
 Кафедра «Высшая математика № 2» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Методические указания  
и контрольные задания по высшей математике  
для студентов заочного отделения ФТУГ (I курс)  
специальностей 1-26 02 02 «Менеджмент»  
и 1-25 01 07 «Экономика и управление на предприятии» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
М и н с к 
Б Н Т У 
2 0 1 3  
 УДК 51 (075.4) 
ББК 22.1я7 
М54 
 
 
 
С о с т а в и т е л и:  
Л.И. Бородич, М.В. Кураленко, Д.А. Нифонтова 
 
 
 
Р е ц е н з е н т ы:  
канд. физ.-мат. наук, доцент А.Н. Адриянчик; 
канд. физ.-мат. наук, доцент Е.И. Ловенецкая 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Настоящее издание включает в себя программы, и контрольные задания (25 вариантов) по высшей 
математике по темам «Линейная алгебра», «Аналитическая геометрия», «Введение в анализ», «Диф-
ференциальное исчисление», «Функции многих переменных».  
Авторы постарались кратко и доступно изложить в соответствии с программой весь теоретический 
материал по указанным темам. Основные теоретические положения наглядно проиллюстрированы 
решением большого числа примеров и задач. 
Если в ходе усвоения материала возникнут некоторые вопросы, то их можно задать на консуль-
тациях по высшей математике для студентов-заочников, которые проводятся по субботам на кафедре. 
Студент должен выполнить контрольное задание по номеру варианта, который совпадает с двумя 
последними цифрами зачетной книжки (шифра). Если номер шрифта больше двадцати пяти, то следует 
из него вычесть число двадцать пять. Полученный результат будет номером варианта.  
Авторы искренне надеются, что данные указания помогут студентам самостоятельно выполнить 
контрольную работу по математике и хорошо сдать экзамен. Желаем вам успехов! 
 
 
 
 Белорусский национальный  
технический университет, 2013 
 3
Содержание 
 
П Р О Г Р А М М А ..................................................................................................................................4 
1. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ)...................6 
1.1. Матрицы. Операции над матрицами ..........................................................................................6 
1.2. Определители. Алгебраические дополнения ............................................................................8 
1.3. Ранг матрицы ..............................................................................................................................10 
1.4. Системы линейных уравнений (СЛАУ)...................................................................................11 
2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ .................................................................................................13 
2.1. Векторы. Операции над векторами ..........................................................................................13 
2.2. Действия над векторами, заданными в координатах..............................................................15 
2.3. Прямая .........................................................................................................................................16 
2.3.1. Прямая на плоскости. Различные виды прямой ..............................................................16 
2.3.2. Прямая в пространстве. Различные виды прямой ...........................................................18 
2.4. Плоскость ....................................................................................................................................18 
2.5. Угол между двумя прямыми на плоскости и в пространстве ................................................20 
2.6. Угол между прямой и плоскостью в пространстве.................................................................21 
3. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ...........................................................................22 
3.1. Функция. Предел функции ........................................................................................................22 
3.2. Основные теоремы о пределах .................................................................................................22 
3.3. Замечательные пределы.............................................................................................................24 
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ....................25 
4.1. Основные правила дифференцирования..................................................................................26 
4.2. Таблица производных основных элементарных функций .....................................................27 
4.3. Производные высших порядков ...............................................................................................27 
4.4. Неявная функция и ее дифференцирование ............................................................................28 
4.5. Дифференциал функции ............................................................................................................28 
4.6. Правило Лопиталя......................................................................................................................29 
5. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ................................................................................30 
5.1. Основные понятия......................................................................................................................30 
5.2. Частные производные ................................................................................................................31 
5.3. Полный дифференциал функции нескольких переменных ...................................................32 
5.4. Частные производные высших порядков ................................................................................33 
5.5. Скалярное поле...........................................................................................................................33 
6. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ .................................................................................................35 
6.1. Понятие неопределённого интеграла .......................................................................................35 
6.2. Основные методы интегрирования ..........................................................................................36 
7. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ.......................................................................................................43 
7.1. Вычисление определённого интеграла ....................................................................................43 
7.2. Приложение определённого интеграла....................................................................................44 
7.3 Несобственные интегралы .........................................................................................................45 
7.4. Интегралы с бесконечными пределами (I рода) .....................................................................45 
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ....................................................................46 
Литература..............................................................................................................................................56 
 
 
 4
 
П Р О Г Р А М М А 
 
 
Тема 1. Линейная алгебра 
 
Матрицы. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Транспонирование 
матриц. 
Определитель матрицы. Алгебраические дополнения. Обратная матрица. Правило 
Крамера. Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Ранг матрицы. Методы его 
вычисления. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса. Системы однородных линейных 
уравнений. 
 
Тема 2. Аналитическая геометрия 
 
Векторы. Линейные операции над векторами. Угол между векторами. Скалярное 
произведение векторов. Векторное и смешанное произведение векторов, их геометрический 
смысл. 
Уравнение прямой на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости. Взаимное 
расположение прямой и плоскости. 
Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. 
 
Тема 3. Введение в анализ 
 
Функция. Предел функции. Функция натурального аргумента. Предел числовой 
последовательности. Основные теоремы о пределах. Раскрытие неопределенностей. 
Замечательные пределы. 
Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых 
функций. 
Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация. 
 
Тема 4. Дифференциальное исчисление 
 
Производная, ее геометрический и физический смысл. Понятие о дифференциале. Правила 
дифференцирования. Дифференцирование элементарных функций. Предельный анализ в 
экономике. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой. Производные высших 
порядков. Дифференцирование неявных функций. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. 
Исследование функций на экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции на 
отрезке. Выпуклость и вогнутость. Асимптоты графика функции. Общее исследование функций 
и построение графиков. 
 
Тема 5. Функции многих переменных 
 
Функции многих переменных. Область определения. Предел. Непрерывность. Частные 
производные. 
Дифференцируемость функции многих переменных, полный дифференциал. Производные 
от сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Неявные функции и их 
дифференцирование. 
Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного 
дифференциала, функции двух переменных. Частные производные высших порядков. 
Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции двух переменных. 
 5
Экстремум функции многих переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума. 
Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Производная по направлению. Градиент. 
Метод наименьших квадратов. 
 
Тема 6. Неопределенный интеграл 
 
Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов. 
Замена переменной. Интегрирование по частям. 
Основные методы интегрирования: интегрирование простейших дробей; интегрирование 
рациональных функций; метод рационализации; интегрирование тригонометрических функций; 
интегрирование простейших иррациональностей. 
 
Тема 7. Определенный интеграл. Несобственные интегралы 
 
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл и его 
свойства. Формула Ньютона-Лейбница. 
Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Несобственные 
интегралы. 
Приложения определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур в 
декартовых и полярных координатах. Вычисление объемов и длин дуг. Приближенные методы 
вычисления определенного интеграла. 
 6
 
1. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ) 
1.1. Матрицы. Операции над матрицами 
 
Матрицей А размером m n  называется прямоугольная таблица чисел ija , состоящая из m 
строк и n столбцов. Числа ija  называются элементами матрицы; 1, 2, ..., ; 1, 2, ...,i m j n  . 
Матрица А с элементами ija  обозначается ( ija ) или 
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
... ...
... ...
... ...
... ...
j n
j n
m n
i i ij in
m m mj mn
a a a a
a a a a
A A a a a a
a a a a

         
. 
Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица размера n n : 
2 3 0
4 5 1
3 2 4
     
 
Диагональной матрицей называется квадратная матрица, у которой все элементы вне 
главной диагонали (т.е. с индексами i j ) равны нулю. 200
x
x
    . 
Единичной матрицей Е называется диагональная матрица с единицами на главной 
диагонали: 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
     
. 
Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю:  0 0
0 0
     
Суммой (разностью) матриц ( )m n ijA a   и ( )m n ijB b   одинакового размера называется 
матрица ( )m n ijC c   того же размера, причем, , ,ij ij ijc a b i j   . 
 
Свойства операции сложения матриц: 
Для любых матриц А, В, С одного размера выполняются равенства: 
1. А + В = В + А (коммутативность). 
2. (А + В) + С = А + (В + С) = А + В + С (ассоциативность). 
 
Произведением матрицы А = ( ija ) на число λ называется матрица В = ( ijb ) того же 
размера, что и матрица А, причем ijb  = λ· ija ,  i, j. 
 
Свойства операции умножения матриц на число: 
1. λ · ( ·А) =  (λ · ) ·А (ассоциативность). 
2. λ(А + В) = λА + λВ (дистрибутивность относительно сложения матриц). 
3. (λ + ) ·А =  λ·А +   ·А (дистрибутивность относительно сложения чисел). 
Матрицы m nA   и knB   согласованы, если число столбцов матрицы А равно число строк 
матрицы В. Перемножать можно только согласованные матрицы. 
 
 7
Произведением А · В матриц А и  В (размеров m n , n k  соответственно) называется 
матрица С размером m k  такая, что 1 1 2 2
1
... ... .
n
ij i j i j ik kj in nj ik kj
k
c a b a b a b a b a b

             
 
 
Свойства операции умножения матриц  
 
1.     A B C A B C A B C         (ассоциативность). 
2.   A B C A C B C       (дистрибутивность). 
3. A B B A    (коммутативность отсутствует). 
Транспонированной к матрице А = ( ija ) называется матрица АТ = ( Tija ) такая, что Tija  = 
jia ,  i, j (т.е. все строки АТ равны соответствующим столбцам матрицы А). 
Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие операции: 
1.  Перемена местами двух строк (столбцов). 
2.  Умножение строки (столбца) на число не равное 0. 
3.  Прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов 
другой строки (столбца). 
Матрица В, полученная из матрицы А с помощью элементарных преобразований, 
называется эквивалентной матрице А (обозначается ВА). 
Пример 1.1. Найти , , 3A B A B A   , где 1 3 1
2 0 4
A
     ; 
2 5 3
2 1 1
B
     .  
Решение. 
1 2 3 5 1 3 3 8 4
.
2 2 0 1 4 1 0 1 5
A B C
                    
1 2 3 5 1 ( 3) 1 2 2
.
2 ( 2) 0 1 4 1 4 1 3
A B C
                        
3 1 3 3 3 ( 1) 3 9 3
3 .
3 2 3 0 3 4 6 0 12
A B
                    
 
Пример 1.2. Дана матрица 2 3 0
4 1 2
A
     . Найти А
Т. 
Решение. 
2 4
3 1
0 2
TA
       
. 
Пример 1.3. Даны матрицы 
3 4 5
1 2 3
, 6 0 2
1 0 1
7 1 8
A B
             
.  
Найти произведение A B  и B A  (если возможно). 
Решение. Число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, значит 2 3 3 3 2 3A B C    . 
3 4 5
1 2 3 1 3 2 6 3 7 1 4 2 0 3 1 1 5 2 ( 2) 3 8
6 0 2
1 0 1 1 3 0 6 ( 1) 7 1 4 0 0 ( 1) 1 1 5 0 ( 2) ( 1) 8
7 1 8
36 7 25
.
4 3 3
A B
                                                      
     
 
 8
 
1.2. Определители. Алгебраические дополнения 
 
Для любой квадратной матрицы существует числовая характеристика, которая называется 
определителем и обозначается detA A   . 
Вычисление определителей 
 
1. Определитель второго порядка равен разности произведений элементов, стоящих на 
главной и побочной диагоналях, т.е.  11 12 11 22 21 12
21 22
a a
a a a a
a a
    . Например, 
1 3
1 2 5 3 2 15 13.
5 2
         
2. Для определителей третьего порядка используется правило «треугольников» (или 
правило Саррюса). 
Схематично это правило изображается так: 
 
 
                                         =   – 
 
 
11 12 13
3 3 21 22 23
31 32 33
11 22 33 12 23 31 21 32 13 31 22 13 21 12 33 32 23 11.
a a a
A a a a
a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
  
                 
 
Например,  
 
3 0 4
1 2 5 3 2 1 0 5 ( 5) ( 1) 1 4 ( 5) 2 4 ( 1) 0 1 1 5 3 6 0 4 40 0 15 27.
5 1 1
                             

 
 
3. Для вычисления определителей более высокого порядка сформулируем некоторые 
правила и свойства определителей. 
Минором элемента ija  определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го 
порядка, полученный вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит 
этот элемент. Обозначается Mij. 
Алгебраическим дополнением элемента ija  называется его минор, умноженный на (-1)i+j . 
Обозначается Аij, т.е.  1 i jij ijA M   . 
Теорема разложения. Определитель матрицы равен сумме произведение элементов любой 
строки (столбца) на их алгебраические дополнения. 
Например,  вычислим определитель, разлагая его по элементам второй строки. 
 
2 1 2 2 2 3
21 22 23 21 22 23
2 5 4
1 0 2 1 0 2 1 ( 1) 0 ( 1) 2 ( 1)
3 1 6
5 4 2 5
0 2 ( 30 4) 2(2 15) 34 26 60.
1 6 3 1
A A A M M M                 

             
 
 
 9
Свойства определителей 
1. Если у определителя какая-либо строка (столбец) состоит только из нулей, то 0.A   
2. Если какие-либо 2 строки (столбца) пропорциональны, то такой определитель равен 0. 
3. Если какую-либо строку (столбец) определителя умножить на произвольное число, то и весь 
определитель умножается на это число. 
4. Если две строки (два столбца) поменять местами, то определитель изменит знак. 
5. Если к какой-либо строке (столбцу) определителя прибавить какую-либо другую строку 
(столбец), умноженную на произвольное число, то определитель не изменится. 
6. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей. 
 
Для вычисления определителя порядка выше третьего удобно пользоваться теоремой 
разложения. Можно преобразовать определитель к треугольному виду (все элементы 
определителя ниже или выше главной диагонали равны нулю). Определитель треугольной 
матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. 
 
Пример 1.4. Вычислить определитель  
1 2 3 4
5 6 7 2
1 0 1 2
3 4 5 6
A

  . 
Решение. Применим свойство (5) к третьей строке определителя. Первый столбец сложим 
с третьим, затем первый столбец умножим на 2 и сложим с четвертым столбцом, получим 
1 2 2 6
5 6 12 8
1 0 0 0
3 4 8 12
A

  . 
Разложим этот определитель по элементам 3-ей строки, получим 
3 1
31 32 33 34 31 31( 1) 0 0 0 ( 1) ( 1)
2 2 6 На основании свойства 3 1 1 3
6 12 8 вынесем 2 из первой строки, 2 2 4 3 6 4
4 8 12 2 - со второй, 4 - из третьей 1 2 3
16 1 6 3 1 4 1 3 2 3 1 6 3 2 4 1 3 (
A A A A A M M               
 
       
                     1) 3 16 18 4 18 18 8 9
16 15 240.
        
    
 
Пример 1.5. Вычислить определитель 
1 2 3 4
1 3 3 4
1 1 7 4
1 2 5 2


. 
Решение. Первый столбец умножим на (-2) и прибавим ко второму столбцу. Затем первый 
столбец умножим на (-3) и прибавим к третьему столбцу и, наконец, первый столбец умножим 
на (-4) и прибавим к четвертому столбцу. 
 
1 2 3 4 1 0 0 0
1 3 3 4 1 1 0 0
1 1 4 ( 2) 8.
1 1 7 4 1 3 4 0
1 2 5 2 1 4 2 2
        
  
 
 
 10
1.3. Ранг матрицы 
 
Минором k-го порядка произвольной матрицы А называется определитель, составленный 
из элементов матрицы, расположенных на пересечении каких-либо k строк и k столбцов. 
Например, в матрице 
1 2 3 1
4 5 6 4
7 8 9 7
A
      
 можно указать такие миноры: 
– для 2-го порядка: 1 2
4 5
 минор 11 12
22 22
a a
a a
,  
4 4
7 7  минор 
21 24
31 34
a a
a a
 и т.д.; 
– для 3-го порядка: 
1 2 3 1 3 1 2 3 1
4 5 6 , 4 6 4 , 5 6 4
7 8 9 7 9 7 8 9 7 
. 
Рангом матрицы А называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю. 
Обозначается r(A), rang(A). Например, 3 2 2 , ( ) 1
0 0 0
A r A
     , т.к. все миноры 2-го порядка 
равны нулю. 
Базисным минором матрицы называется всякий отличный от нуля ее минор, порядок 
которого равен рангу матрицы. 
Метод элементарных преобразований. Этот метод основан на следующей теореме. 
Теорема. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. К элементарным 
преобразованиям матрицы относятся: 
1.  Перестановка двух строк (столбцов). 
2.  Умножение какой-либо строки (столбца) на число, отличное от нуля. 
3.  Прибавление к какой-либо строке (столбцу) матрицы другой строки (столбца), 
умноженной на произвольное число. 
Путем элементарных преобразований исходную матрицу можно привести к 
трапециевидной форме: 
12 1 1
22 2 2
... ...
0 ... ...
0 0 ... ...
0 0 ... 0 ... 0
0 0 ... 0 ... 0
n k n
k n
kk kn
b b b b
b b b
b b
        

 , 
где элементы 22, , ...,n kkb b b  отличны от нуля. Тогда ранг полученной матрицы равен k. 
Пример 1.6. Найти ранг матрицы 
2 1 5 6
1 1 3 5
1 5 1 3
      
 методом элементарных преобразований. 
Решение. 
2 1 5 6
1 1 3 5
1 5 1 3
      

1 1 3 5
2 1 5 6
1 5 1 3
      
 
 Умножаем первую строку на (-2) и прибавляем ко второй,затем первую строку умножаем на  (-1) и прибавляем к третьей строке.
     
1 1 3 5
0 3 1 4
0 6 2 8
         
 
 Умножаем вторую строку на (-2)и прибавляем к стретьей строке.
   
1 1 3 5
0 3 1 4 2.
0 0 0 0
Ar
         
 
 11
 
1.4. Системы линейных уравнений (СЛАУ) 
 
Линейной системой m уравнений с n неизвестными 1 2, , ..., nx x x  называется система вида 
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
... ;
... ;
................................................
... .
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
           
 
Числа 11 12, , ..., mna a a  называются коэффициентами системы, 1 2, , ..., mb b b  – ее 
свободные члены. Если все , 1,ib i m  равны нулю, то система однородная, в противном случае 
– неоднородная. 
Линейную систему можно записать в матричной форме: A X B  , где 
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a a
A a a a
a a a
      



 – матрица системы; 
1
2
m
b
b
B
b
       
  – матрица-столбец  свободных 
членов; 
1
2
m
x
x
X
x
       
  – матрица-столбец неизвестных. 
Матрица А/В называется расширенной матрицей системы и имеет вид: 
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
/
n
n
m m mn m
a a a b
A B a a a b
a a a b
      



. 
Решением системы m уравнений с n неизвестными называется совокупность значений 
неизвестных 1 1 2 2, , ..., n nx a x a x a   , при подстановке которых, все уравнения системы 
обращаются в тождества. 
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В противном 
случае она называется несовместной. 
Однородная система линейных уравнений всегда совместна, т.к. имеет нулевой решение. 
 
Решение невырожденных систем линейных уравнений 
 
Система n уравнений с n неизвестными называется невырожденной, если 0A  . 
Правило Крамера. Невырожденная система имеет единственное решение, которое можно 
найти по формулам , 1,iix i n  , где , iA    – определитель, полученный из   заменой 
i-го столбца на столбец свободных членов. 
Пример 1.7. Решить систему линейных уравнений 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 4 17,
2 0,
2 3 5 8.
x x x
x x x
x x x
         
 
 12
Решение. Матрица системы 
3 4 1
2 1 1
2 3 5
A
      
. Определитель 15 8 6 2 9 40 48.           
1 2
17 4 1 3 17 1
0 1 1 85 32 0 8 51 0 96; 2 0 1 0 34 16 0 24 170 144;
8 3 5 2 8 5

                    

 
3
3 4 17
2 1 0 24 0 102 34 0 64 48.
2 3 8

         

 
31 2
1 2 3
96 144 482; 3; 1.
48 48 48
x x x                    
 
Решение произвольных систем линейных уравнений 
 
Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только 
тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы  r(A) =  r(A/B). 
При этом возможны 3 варианта: 1) если ( ) < ( / )r A r A B  – система несовместна; 2) 
( ) = ( / )r A r A B n  (n – число неизвестных), то система имеет единственное решение; 3) если 
( ) = ( / )r A r A B n , то система имеет бесчисленное множество решений. 
Для исследования систем линейных уравнений и нахождения их решений можно 
использовать метод Гаусса. С помощью элементарных преобразований над строками приведем 
расширенную матрицу системы (А/В) к трапециевидной форме. Такой матрице соответствует 
система, которую легко решить, начиная с последнего уравнения. 
Пример 1.8. Исследовать систему уравнений 
1 2 3
1 2 3
1 3
4;
2 3 0;
2 2 16.
x x x
x x x
x x
        
 и в случае совместности 
решить ее. 
Решение. Приведем к трапециевидной форме расширенную матрицу системы. Первую 
строку умножим на (-1) и прибавим ко второй; первую строку умножим на 2 и прибавим к 
третьей. Вторую строку умножим на (-2) и прибавим к третьей. 
1 1 1 4 1 1 1 4 1 1 1 4
1 2 3 0 0 1 2 4 0 1 2 4
2 0 2 16 0 2 4 8 0 0 0 0
                                    
. 
В результате элементарных преобразований над строками получим систему равносильную 
исходной. Выберем в качестве базисного минор, стоящий в первых двух строках и столбцах: 
1 1
1.
0 1
  Тогда 1x  и 2x  – базисные переменные, а 3x  – свободная переменная. Придадим 
свободной переменной произвольное значение 3x C , тогда со второго уравнения 2 32 4x x   
следует, что 2 2 4x C  . Из первого уравнения 1 2 3 4x x x     следует, что 1 2 3 4x x x    . 
Следовательно, 1 2 4 4 8.x C C C         Общее решение системы (-С - 8; 2С + 4; С). 
Для существования нетривиального решения однородной системы линейных уравнений 
необходимо и достаточно, чтобы r(A) = k < n (n – число неизвестных). Тогда общее решение 
однородной системы может быть записано в виде 
1 1 2 2 ... ,n k n kX C E C E C E      
где Ei – матрицы-столбцы, которые называются фундаментальной системой решений. 
 
 13
2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 
 
2.1. Векторы. Операции над векторами 
 
Вектором называется направленный отрезок. Вектор с началом в точке А и концом в точке 
В обозначается AB  (или одной буквой ,a b , …). Длина отрезка АВ называется длиной или 
модулем вектора AB  и обозначается ,AB a . Вектор, длина которого равна нулю, называется 
нулевым вектором и обозначается 0  или просто 0. Вектор, длина которого равна единице, 
называется единичным вектором и обозначается e . 
Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора a , 
называется ортом вектора a  и обозначается oa . Два ненулевых вектора называются 
противоположными, если они имеют одинаковую длину и противоположные направления. 
Вектор, противоположный a , обозначается  - a  (вектор, противоположный AB  будет BA , т.е. 
BA  = - AB ). 
Векторы иa b  называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на 
параллельных прямых, записывают ||a b . Три вектора называют компланарными, если они 
лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. 
Суммой двух векторов иa b  называется вектор c , соединяющий начало вектора a  с 
концом вектора b , отложенного от конца вектора a  (правило треугольника). 
 
 
a  
b  .a b c   
c  
 
Замечание. На векторах иa b  можно построить параллелограмм, в котором одна диагональ 
будет их суммой AC a b  , вторая – разностью BD b a  . Такой способ сложения и 
вычитания векторов называется правилом параллелограмма. 
 
     B  b         C 
a         a b      a  
b a  
   А               D 
b  
Произведением вектора 0a   на число 0   называется вектор a , который имеет 
длину | | | |a   и вектор a  имеет направление вектора a , если 0   и противоположное 
направление, если 0  . 
 
     Углом между векторами a bи  называется 
наименьший угол , на который нужно повернуть 
один вектор, чтобы он совпал по направлению с 
другим вектором. 
b  
   
a  
прa b  
 
 14
Проекцией вектора b  на вектор a  называется число, равное длине | |a , умноженное на 
cos . Обозначается прa b  = | |b · cos . 
Для ненулевых векторов возможны три варианта произведений. 
1. Скалярное произведение –  ,a b a b  . 
2. Векторное произведение – ,a b a b     . 
3. Смешанное произведение трех векторов –  , ,abc a b c . 
Скалярным произведением двух векторов a bи  называется число, равное произведению 
длин этих векторов на косинус угла   между ними, т.е. 
   ,, | | | | cos cos .
| | | |
a b
a b a b a b
a b
          
Таким образом   aba, b = |b|Чпр a = |a|Чпр b . Например,   o 2, | | | | cos 0 | | .a a a a a     
Векторным произведение неколлинеарных векторов a bи  называется вектор 
 ,c c a b    , определяемый условиями: 
1) вектор c  перпендикулярен векторам a bи , т.е. ,c a c b  ; 
2) длина вектора c  равна площади параллелограмма, построенного на векторах иa b  как на 
сторонах, т.е.  sinc a b    ; 
3) векторы , ,a b c  образуют правую тройку, т.е. при наблюдении из конца вектора c  
кратчайший поворот от a bи  виден против часовой стрелки. 
Пример 2.1. Даны два вектора a bи , для которых | | 2, | | 6a b  и угол между ними 
равен 
6
  Найти площадь параллелограмма, построенного на этих векторах 
Решение. | | | | sin 2 6 sin 6
6
S a b a b           (кв.ед.). 
Смешанным произведением трех векторов , ,a b c  называется число, равное скалярному 
произведению ,a b    на вектор c . Обозначается a b c  .   a b c  =  , ,a b c   . 
Геометрически модуль смешанного произведения интерпретируется как число, равное 
объему параллелепипеда, построенного на векторах ,a b  и c  как на ребрах ( a b c  > 0, если 
данные векторы образуют правую тройку, если a b c  < 0– левую). Объем пирамиды равен 
1
6
a b c . 
Два вектора ортогональны, если угол между ними равен 90о. Нулевой вектор ортогонален 
любому вектору. 
Необходимое и достаточное условие ортогональности. Два ненулевых вектора 
ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, т.е. 
 , 0 | | | | cos 0 cos 0 2a b a b            . 
Необходимое и достаточное условие коллинеарности. 1). Два ненулевых вектора a bи  
коллинеарны тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. b a , где   - 
произвольное число, отличное от нуля. 2). Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только 
тогда, когда , 0a b     (площадь параллелограмма равна нулю). 
 15
Необходимое и достаточное условие компланарности векторов. Три ненулевых вектора 
компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю (объем 
параллелепипеда равен нулю). 
 
2.2. Действия над векторами, заданными в координатах 
 
Орты (единичные векторы) , ,i j k  называются базисными (ортонормированными)  
векторами ( | | | | | | 1, , ,i j k i j i k j k      ). 
 
Если , ,i j k  – орты координатных осей прямоугольной системы координат Oxyz, то любой 
вектор a  единственным образом можно представить в виде их суммы (линейной комбинации) с 
коэффициентами , ,x y za a a : x y za a i a j a k       (рис. 1) 
 
     z 
 
 
         , ,x y zM a a a  
      a r  
 
     k 
     0 j   M2  y 
 
      i 
 
       M1     M0 
 
   x 
Рис. 1 
 
1 2
2 2 2
;
.
o o o x y z
x y z
OM OM M M OM OM M M a i a j a k
a a a a
          
    
Здесь , ,x y za a a  - координаты вектора a OM r   ( r  – радиус-вектор точки М). 
Если ( , , )x y zA a a a  и ( , , )x y zB b b b , то координаты вектора AB  вычисляются по формуле 
( , , )x x y y z zAB b a b a b a    . 
Пусть даны два вектора ( , , )x y za a a a  и ( , , )x y zb b b b , тогда: 
1) ( , , )x x y y z za b a b a b a b     ; 
2) ( , , )x x y y z za b a b a b a b     ; 
3) ( , , )x y za a a a    ; 
4) ( , ) x x y y z za b a b a b a b      .  
Следовательно, 
2 2 2 2 2 2
( , )cos
| | | |
x x y y z z
x y z x y z
a b a b a ba b
a b a a a b b b
            . 
 16
5)      , x y z y z z y x z z x x y y x
x y z
i j k
a b a a a a b a b i a b a b j a b a b k
b b b
          ; 
6) .
x y z
x y z
x y z
a a a
a b c b b b
c c c
  
 
Пример 2.2. Даны вершины пирамиды (5; 1; 4), (1; 2; 1), (3; 3; 4), (2; 2; 2)A B C S   . Найти 
длину высоты, опущенной из вершины S на грань АВС. 
 
 
 
                     S 
 
                           h 
                 B 
                      O 
     A                                          C 
 
Решение. Так как объем V пирамиды равен 
осн.
1
3
S h , то 
осн.
3Vh
S
 , где | |h SO  – высота пирамиды, 
Sосн. – площадь основания. 
(1 5; 2 1; 1 4) ( 4; 1; 3),
( 2; 2; 0),
( 3; 1; 6).
AB
AC
AS
      
 
 
 
Находим объем пирамиды 
 
4 1 3
1 1 1 1mod 2 2 0 48 0 6 18 0 12 | 24 | 4 (куб.ед.)
6 6 6 6
3 1 6
V AB AC AS

            

. 
 
Находим площадь основания 
 
2 2 2
осн.
1 1 1 1 1[ , ] mod 4 1 3 6 6 6 ( 6) ( 6) ( 6) 6 3 3 3 (кв.ед.)
2 2 2 2 2
2 2 0
i j k
S AB AC i j k              

Подставляем в формулу 
осн.
3 3 4 4 3
33 3
Vh
S
   . 
 
2.3. Прямая 
 
Нормальным вектором прямой называется любой вектор, перпендикулярный прямой. 
Направляющим вектором прямой называется любой вектор, лежащий на этой прямой или 
на параллельной прямой. 
 
2.3.1. Прямая на плоскости. Различные виды прямой 
 
Каждая прямая на плоскости Oxy определяется линейным уравнением первой степени с 
двумя неизвестными. 
1. Общее уравнение прямой. На плоскости Oxy составим уравнение прямой l, 
проходящей через точку ( , )o o oM x y , с нормальным вектором ( , )n A B  (рис.2). 
 
 17
 
 
               y 
 
                                       ( , )n A B  
 
                    Mo 
                                                                x 
              0              M(x, y) 
 
Рис. 2 
 
     Возьмем произвольную точку M(x, y), 
лежащую на прямой l.  
 ,o o oM M x x y y  . oM M n  (по определению 
нормального вектора).  
     Следовательно, их скалярное произведение 
( , ) 0on M M  . В координатной форме это 
равенство пример вид: 
( ) ( ) 0 0
0, где  = - .
o o o o
o o
A x x B y y Ax By Ax Ay
Ax By C C Ax By
         
    
 
Уравнение 0Ax By C    называется общим уравнением прямой, где А и В не равны 
одновременно нулю ( 2 2 0A B  ). 
Если 0B  , то уравнение можно представить в виде уравнения с угловым коэффициентом 
, где ; ( ,A Cy kx b k b k tg
B B
        где   – угол наклона прямой к оси Ох). 
2. Уравнение прямой, проходящей через точку ( , )o o oM x y , с направляющим вектором 
( , )s m n  
 
 
                 у 
                                                s  
 
                                  М 
                           Мо 
             l 
                                                              х 
               0 
                                Рис. 3 
 
Строим чертеж (рис.3). 
Пусть M(x, y) – произвольная точка прямой l. 
Тогда вектор  ,o o oM M x x y y   коллинеарен 
вектору ( , )s m n . Следовательно, их 
координаты пропорциональны, т.е.  
o ox x y y
m n
  . 
Такое уравнение называется каноническим 
уравнением прямой. 
 
 
Из этого уравнения следует параметрические уравнения прямой 
;
.
oo o
o
x x mtx x y y t
y y ntm n
       
 
 
3. Уравнение прямой, проходящей через две точки 1 1 1 2 2 2( , ), ( , )M x y M x y . В качестве 
направляющего вектора прямой можно взять вектор  1 2 2 1 2 1,s M M x x y y   . Тогда искомое 
уравнение примет вид  
1 1
2 1 2 1
x x y y
x x y y
   . 
 
Пример 2.3. Вершины треугольника находятся в точках (2; 2), (1, 2), ( 1, 0).A B C   Найти 
проекцию точки А на ВС. 
Решение. Строим чертеж (рис.4). Проекция точки А на ВС есть точка пересечения основания 
ВС с высотой АН. Составим уравнение прямой ВС по двум точкам 
 
 18
1 ( 2) 1 2 2( 1) 2( 2) 1 2
1 1 0 ( 2) 2 2
1 0 общее уравнение прямой ВС.
B B
C B C B
x x y y x y x y x y x y
x x y y
x y
                           
    
 
Так как AH CB , следовательно, скалярное произведение  , 0.BC AH    
 
                   у 
 
                                       А(2; 2) 
 
 
С(-1; 0)                                           х 
 
         Н(х; у) 
                            В(1; -2) 
 
                      Рис.4 
 2, 2AH x y   и    1 1; 0 ( 2) 2; 2BC BC      . 
 , 0.BC AH   , следовательно, 
  2 2 2( 2) 0 2 2 0 0x y x y x y              
– общее уравнение АН. 
Для нахождения координат точки Н решим систему  
1; 2 1; 1 1; .
0. . 2 2
x y y
x y
x y x y
                 
Ответ. 1 1; .
2 2
H       
 
2.3.2. Прямая в пространстве. Различные виды прямой 
 
Уравнение прямой l, проходящей через  , ,o o o oM x y z , с направляющим вектором 
( , , )s m n p  в пространстве Oxyz составляются аналогично прямой в пространстве Оху. 
Строим чертеж (рис.5). Пусть M(x, y, z) – произвольная точка прямой l. Тогда вектор 
|| .o o oo
x x y y z zM M s
m n p
      Такие уравнения называются каноническими уравнениями 
прямой. 
 
               z 
                                                       l   
                         M(x, y, z) 
                          Mo(xo ,yo ,zo) 
( , , )s m n p  
                                                         y 
                         0 
      x 
                      Рис.5 
Параметрические уравнения прямой примут 
вид 
 
; ;
;
;
.
o o o o o
o
o
o
o
x x y y z z x x y yt t t
m n p m n
x x mt
z z t y y nt
p
z z pt
         
       
 
 
Уравнение прямой, проходящей через две точки  1 1 1 1, ,M x y z  и  2 2 2 2, ,M x y z  
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z
x x y y z z
      . 
Общее уравнение прямой в пространстве задается как линия пересечения двух плоскостей. 
 
 
2.4. Плоскость 
 
Плоскость в пространстве можно задать разными способами: тремя точками; точкой и 
вектором, перпендикулярным плоскости. В зависимости от этого рассматриваются различные 
виды ее уравнений. 
 19
1. В пространстве Oxyz составим уравнение плоскости p, проходящей через точку 
 , ,o o o oM x y z  перпендикулярно нормальному вектору плоскости  , ,n A B C  (рис.6). 
                                                            z 
 
                                                                                              , ,n A B C  
 
 
                                                                                   Mo                                  M(x, y, z) 
                                                                            p 
 
                                                          O                                                                               y 
 
                                                   х    
 
                                                                                             Рис. 6 
 
Возьмем любую точку M(x, y, z), лежащую на плоскости р. Векторы oM M  и n  
перпендикулярны. Следовательно, скалярное произведение этих векторов равно нулю, т.е. 
( , ) 0oM M n   или в координатной форме 0( ) ( ) ( ) 0.o oA x x B y y C z z       Уравнение 
0Ax By Cz D    , где A, B, C не равны одновременно нулю (A2 + B2 +  C2   0) называется 
общим уравнением плоскости. 
2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки    1 1 1 1 2 2 2 2, , , , , ,M x y z M x y z  
 3 3 3 3, ,M x y z , не лежащие на одной прямой.  
Пусть M(x, y, z) – произвольная точка плоскости, тогда векторы  1 1 1 1; ; ,M M x x y y z z     
 1 2 2 1 2 1 2 1; ;M M x x y y z z      2 3 3 1 3 1 3 1; ;M M x x y y z z     компланарны, а, 
следовательно, их смешанное произведение равно нулю, т.е. 1 1 2 2 3 0M M M M M M  . В 
координатной форме запишется так:  
1 1 1
2 1 2 1 2 1
3 1 3 1 3 1
0
x x y y z z
x x y y z z
x x y y z z
  
   
  
. 
 
Это и есть уравнение плоскости, проходящей через три точки. 
Задачи на прямую и плоскость: пусть даны две непараллельные плоскости, заданные 
общими уравнениями. В этом случае плоскости пересекаются по прямой, определяемой 
общими уравнениями прямой. 
1 1 1 1
2 2 2 2
0;
0.
A x B y C z D
A x B y C z D
       
 
 
Замечание. Одна и та же прямая может быть задана различными системами двух линейных 
уравнений, т.к. через одну прямую можно провести бесчисленное множество 
плоскостей. 
 
Пример 2.4. Общие уравнения прямой 2 3 2 0,
2 2 5 0.
x y z
x y z
         привести к каноническому виду. 
 20
Решение. Для решения этой задачи надо знать какую-либо точку прямой и ее направляющий 
вектор s . Выберем точку на прямой следующим образом: положим z = 0, тогда для определения 
абсциссы x и ординаты y этой точки получим систему уравнений 2 2 0;
2 2 5 0.
x y
x y
       
Решая систему, находим 31,
2
x y   . Итак, на прямой известна точка 3(1; ; 0)
2
 . 
Направляющий вектор прямой находим по формуле 1 2;s n n     ( 1 2;n n  – векторы нормалей 
плоскостей), так как он принадлежит обеим плоскостям и, следовательно, удовлетворяет 
условиям 1 2,s n s n  . 
   1 21; 2; 3 ; 2; 2; 1n n    , 
2 3 1 3 1 2
1 2 3 4 7 6
2 1 2 1 2 2
2 2 1
i j k
s i j k i j k
             
, т.е. s  = (-4; -7; -6). 
Тогда канонические уравнения прямой имеют вид: 
3_1 02
4 7 6
yx z      или 
3
1 2
4 7 6
yx z    – 
искомые уравнения прямой. 
 
2.5. Угол между двумя прямыми на плоскости и в пространстве 
 
Пусть    1 1 1 1 2 2 2 2, , и , ,s m n p s m n p   – направляющие векторы двух прямых в 
пространстве. Угол между двумя прямыми есть угол между их направляющими векторами, 
т.е.  
 
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
cos .s s m m n n p p
s s m n p m n p
          
 
Тогда на плоскости    1 1 1 2 2 2, и ,s m n s m n  :  1 2 1 22 2 2 2
1 1 2 2
cos m m n n
m n m n
    . 
Условие параллельности двух прямых: 1 2||s s , т.е. 1 1 1
2 2 2
m n p
m n p
  . 
Условие перпендикулярности двух прямых:  
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( , ) 0, т.е. 0.s s s s m m n n p p       
Угол между двумя плоскостями есть угол между их нормальными векторами. Пусть 
1 1 1 1 2 2 2 2( , , ) и ( , , )n A B C n A B C   – нормальные векторы двух плоскостей в пространстве, 
тогда   1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
,
cos
n n A A B B C C
n n A B C A B C
         . 
 
Условие параллельности двух плоскостей. 1 2|| ,n n  т.е. 1 1 1
2 2 2
.A B C
A B C
   
 21
Условие перпендикулярности двух плоскостей. 1 2 1 2( , ) 0n n n n   , т.е. 
1 2 1 2 1 2A A B B C C  =0. 
 
2.6. Угол между прямой и плоскостью в пространстве 
 
Пусть прямая l задана каноническими уравнениями o o ox x y y z z
m n p
    , а плоскость p – 
общим уравнением 0Ax By Cz D    .Углом между прямой и плоскостью называется острый 
угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Он является дополнительным до π
2
 к углу 
между векторами    , , и , ,s m n p n A B C   (рис. 7). 
 
                                                           z 
 
                                                                   , ,n A B C                         l 
 
                                                                                π/2-φ              , ,s m n p  
                                                                                             φ                      
                                                                      p 
 
                                                         O                                                                               y 
 
                                                 х 
                                                                                      Рис. 7 
Тогда 
2 2 2 2 2 2
,
sin cos
2
n s A m B n C p
n s A B C m n p
                
  . 
Условие перпендикулярности прямой и плоскости. || ,n s  т.е. A B C
m n p
  . 
Условие параллельности прямой и плоскости. 
( , ) 0 0.n s n s A m B n C p           
 
Пример 2.5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку 1(1; 2; 3)M   и 
перпендикулярной к прямым 5 4 3 2 4 1, .
3 1 2 2 5 4
x y z x y z           
Решение. Искомое уравнение прямой будет  1 2 3 ,x y z
m n p
     где  , ,s m n p  – 
направляющий вектор прямой. Так как искомая прямая перпендикулярна двум заданным 
прямым, то  
1 2,s s s s    3 1 2 0;2 5 4 0.
m n p
m n p
             
Выразим две неизвестные через третью. Первое уравнение умножим на 2 и сложим со 
вторым уравнением, получим 38 3 0
8
m n m n    . Подставим m в любое уравнение (пусть во 
второе), получим  
3 3 172 5 4 0 5 4 0 .
8 4 16
n n p n n p p n           
Тогда искомое уравнение пример вид: 
 22
1 2 3 1 2 3
3 17 6 16 17
8 16
x y z x y z
nn n
          . 
Пример 2.6. Найти величину угла между прямой 3 6 7
1 1 2
x y z      и плоскостью 
4 2 2 3 0.x y z     
Решение.  4 1 2 1 2 2 6 1 πsin .
2 61 1 4 16 4 4 6 24
                 
 
3. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 
 
3.1. Функция. Предел функции 
 
Пусть даны два непустых множества X и Y. Если каждому элементу x X  по определенному 
правилу (закону) поставлен в соответствии единственный элемент y Y , то говорят, что на 
множестве Х определена функция ( )y f x , где х – аргумент или независимая переменная, а у – 
функция или зависимая переменная. Относительно самих х и у говорят, что они находятся в 
функциональной зависимости. 
Множество Х называется областью определения функции и обозначается D(f). Множество 
всех y Y  называется множество значений функции f и обозначается E(f). 
Число А называется пределом функции ( )y f x  в точке 0x  (или при 0x x ), если для 
любого 0  , можно указать такое число ( ) 0   , что для всех х, удовлетворяющих неравенству 
0| |x x   , выполняется неравенство ( )f x A   . Тот факт, что А является пределом функции 
( )y f x  в точке 0x  записывается в виде 
0
lim ( )
x x
f x A  . 
Если функция ( )f x  определена в точке 0x X  и в некоторой ее окрестности существует 
предел функции при 0x x , равный значению функции в этой точке, т.е. 
0
0lim ( ) ( )x x f x f x  , то 
функция ( )f x  называется непрерывной в точке 0x X . Функция непрерывна на множестве Х, 
если она непрерывна в каждой точке этого множества. Всякая элементарная функция 
непрерывна в области определения. Следовательно, для нахождения предела непрерывной 
функции в любой точке области определения, достаточно вычислить значение функции в этой 
точке. Под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу: 
   
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x   . 
Пример 3.1. Найти 221
3 2lim
2 2 4x
x x
x x
 
  . 
Решение.       
22
221
1 3 1 23 2 0lim 0.
2 2 4 42 1 2 1 4x
x x
x x
              
 
3.2. Основные теоремы о пределах 
 
Теорема 1. Предел постоянной равен самой постоянной 
0
lim .
x x
C C

  
Теорема 2. Пусть 
0
lim ( )
x x
f x A

  и 
0
lim ( )
x x
g x B

 , тогда 
1)  
0 0 0
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) .
x x x x x x
f x g x f x g x A B        
2)  
0 0 0
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) .
x x x x x x
f x g x f x g x A B        
 23
3)  
0 0
lim ( ) lim ( ) .
x x x x
c f x c f x c A      
4)  0
0
0
lim ( )( )lim 0 .
( ) lim ( )
x x
x x
x x
f xf x A B
g x g x B



    
Из 2) теоремы 2 следует, что если 
0
lim ( )
x x
f x A

 , то 
 
0
lim ( ) , ;n n
x x
f x A n N     0lim ( ) 0, четноеnnx x f x A A n     
Пример 3.2. Найти предел 221
3 2lim .
2 5x
x x
x x
 
   
Решение. Воспользовавшись теоремами о пределах частного, суммы, произведения, 
получим  
 
2 22
1 1 1 1
2 221
1 1 11
lim 3 2 lim 3lim lim 23 2 1 3 2 6 3lim .
2 5 lim 2lim lim5 1 2 5 4 2lim 2 5
x x x x
x
x x xx
x x x xx x
x x x xx x
   

  
                  
Непосредственное применение теорем о пределах, однако, не всегда приводит к цели. Если 
вычисление пределов приводит к неопределенным выражениям вида 0 , , , 0
0
    , 
необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой ищем, т.е. «раскрыть 
неопределенность». Как это делается покажем на конкретных примерах. 
Пример 3.3. Найти пределы: а) 221
3 2lim
4 5 1x
x x
x x
 
  ; б) 0
1 3 1lim
5x
x
x
  ; в) 225 6 1lim 6 4 2x
x x
x x
 
  ; 
г) 4
81
3 2lim
3 4x
x
x x

  ; д)  2lim 5x x x x   ; е) 31 1 3lim 1 1x x x      . 
Решение. а) При х = 1 числитель и знаменатель обращается в нуль, т.е. получается 
неопределенность вида 0
0
. Преобразуем дробь, разложив числитель и знаменатель на 
множители и сократив на множитель 1 0x   , получим  
2
21 1 1
2 2 23( 1) 3 3 1
3 2 53 3 3lim lim lim .
1 1 14 5 1 34( 1) 4 4 1
4 4 4
x x x
x x x
x x
x x x x x
  
                                           
 
б) Имеем неопределенность вида 0
0
. Избавимся от иррациональности в числителе, умножив 
числитель и знаменатель дроби на сопряженное к числителю выражение 1 3 1x  : 
  
   
   
0 0 0
0 0
1 3 1 1 3 11 3 1 1 3 1lim lim lim
5 5 1 3 1 5 1 3 1
3 3 3lim lim .
105 1 3 1 5 1 3 1
x x x
x x
x xx x
x x x x x
x
x x x
  
 
           
       
 
в) Числитель и знаменатель дроби конечного предела не имеют. Имеем неопределенность 
вида  . Разделим числитель и знаменатель дроби на высшую степень х, т.е. на х
2: 
2 2
2
2
6 155 6 1 5 0 0 5lim lim .4 26 4 2 6 0 0 66
x x
x x x x
x x
x x
 
          
 
 24
г) Имеем неопределенность вида  . Разделим числитель и знаменатель на х
4: 
4 4
81 1
7 8
233 2 3lim lim 3.
13 43 4 1
x x
x x
x x
x x
 
      
 
д) Имеем неопределенность вида  . Умножим и разделим выражение в скобках на 
сопряженное: 
     
2 2
2 2
2
22
2
5 5 5lim 5 lim lim
55
5 5 5lim lim .
255 1 1
x x x
x x
x x x x x x x x xx x x
x x xx x x
x
x x x
x
  
 
           
       
 
е) Неопределенность вида   преобразуется к неопределенности 0
0
 привидением 
функции к общему знаменателю. 
   
   
2
3 2 21 1 1
2
22 21 1 1
1 3 1 3 1 3lim lim lim
1 1 1 (1 ) 1 (1 ) 1
2 ( 1)( 2) ( 2) 3lim lim lim 1.
1 3(1 ) 1 (1 ) 1
x x x
x x x
x x
x x x x x x x x x
x x x x x
x xx x x x x x
  
  
                         
                 
 
 
3.3. Замечательные пределы 
 
При вычислении пределов, содержащих тригонометрические функции, часто используют 
предел 
0
sinlim 1
x
x
x
 , который называют первым замечательным пределом.  Этот предел 
применяется для раскрытия некоторых неопределенностей вида 0
0
. Из данного равенства 
вытекает:  
0 0 0 0 0
0 0 0
tg 0 sin 1 sin 1lim 1; lim lim lim lim 1 1 1;
sin 0 cos cos
arcsin sinarcsin 0 arctglim lim 1; lim 1.
0 00 sin
x x x x x
x y x
x x x x
x x x x x x
x y x yx y x
x yx y x
    
  
                 
                
 
Пример 3.4. Найти пределы: а) 20
1 coslim
3x
x
x
 ;б) 
0
2 arctglim
2 arcsinx
x x
x x

  
Решение. а) 
2
2
2 20 0 0
2sin sin1 cos 0 2 1 1 12 2lim lim lim 1 .
3 0 3 3 4 6 6
2
x x x
x x
x
xx x  
                
 
б) 
0 0
arctg22 arctg 0 2 1 1lim lim .arcsin2 arcsin 0 2 1 32
x x
x
x x x
xx x
x
 
         
 
 25
Предел 1lim 1
x
x
e
x
      называют вторым замечательным пределом. Если в этом равенстве 
положить 1 ( 0
x
    при x  ), получим другую форму записи второго замечательного 
предела   1
0
lim 1 e    . 
Число е называют числом Эйлера. Это иррациональное число (е = 2,718281828… ( 2,72e  ). 
Логарифмы по основанию е называют натуральными логарифмами и обозначают lnx, т.е. 
ln logex x . Второй замечательный предел применяется для раскрытия неопределенностей вида 
1 . 
 
Пример 3.5. Найти пределы: а) 2lim
3
x
x
x
x
    ; б) 0lim 1 3
x
x
tg x

 ; в)   23 4
2
lim 5 2
x
x
x
x   . 
Решение. а) Так как 
212 1lim lim 133 11
x x
x x
x
x
 
    
, имеем неопределенность вида 1 . Для ее 
раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом, выделив предварительно у дробей 
целую часть: 
 
5
3 3 55 532 3 5 5 5lim 1 lim lim 1 lim 1 lim .
3 3 3 3
x
x xx x x x
x
x x x x x
x x e e
x x x x
 
 
    
                                     
 
б)      
tg3
tg31 1 3 333
0 0 0 0
lim 1 tg3 lim 1 tg3 1 lim 1 tg3 lim .
x
xx
xx x tg x
x x x x
x x x e e
   
   
            
        22 2
3 (4 2 )
3 3 1 4
4 24 4
2 2 2
6 ( 2) 6 12
3( 2)( 2) 2 4
2 2
в) lim 5 2 1 lim 1 (4 2 ) lim 1 (4 2 )
lim lim .
x x
x x x
xx x
x x x
x x x
x x x
x x
x x x
e e e e

  
  
      
 
           
   
 
 
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ 
ПЕРЕМЕННОЙ 
 
Определение производной. Пусть функция ( )y f x  определена в некоторой 
окрестности фиксированной точки 0x  и пусть х – произвольная точка этой 
окрестности. Тогда 0x x x    –приращение аргумента (положительное или 
отрицательное) такое, что 0x x   принадлежит окрестности этой точки и 
приращение функции в точке 0x  выразится формулой 0 0 0( ) ( ) ( ).f x f x x f x      
Производной функции ( )y f x  в точке 0x  называется предел отношения 
приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента 
стремится к нулю. Обозначение производной в точке 0x : 
   
0
0
0 0'( ), ' , , .
x x
df x dyy x f x
dx dx 
 Следовательно, по определению 
 26
  0 0 00 0 0( ) ( ) ( )' lim lim .x xf x f x x f xf x x x   
       
 
Таким образом, производная функции в точке 0x x  (если существует) – есть 
определенное число. Если же производная существует в произвольной точке х, то 
она является функцией от х и обозначается:  
 
( )', '( ), , .dy df xy f x
dx dx  
 
Операция нахождения производной от функции f(x) называется 
дифференцированием этой функции. Дифференцируемой называется функция, 
которая имеет производную. 
Геометрический смысл производной. Пусть кривая L является графиком 
функции ( )y f x , а точка  0 0 0, .M x y L  Тогда значение производной функции ( )f x  
при 0x x  равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с 
абсциссой 0x , т.е. 0( ) tgf x k   (k – угловой коэффициент касательной). 
Экономический смысл производной. Пусть ( )t   – объем продукции, 
произведенной за время t . Тогда отношение 
t


  является средней 
производительностью за время t . Производная 
0
'( ) lim
t
t
t 
 
  называется 
производительностью в момент времени t . В экономических моделях наряду с 
отношением y
x

  рассматривают отношение относительных приращений 
/
/
y y
x x

 . 
Эластичностью функции ( )y f x  в точке х называется предел  
 
   
0 0
/lim lim ' .
/x x x
y y y x xE y f x
x x x y y   
        
 
Эластичность ( )xE y  задает приближенный процент прироста функции при 
изменении независимой переменной на 1%. 
 
4.1. Основные правила дифференцирования 
 
Пусть с – постоянная, ( )u x  и ( )v x  – дифференцируемые функции. Тогда 
1. ' 0.c      4. ( ) ' '.c u cu    
2. ( ) ' ' '.u v u v     5.  ' 2' ' 0 .u u v uv vv v
       
3.    ( ) ' ' '.uv u v uv   
 
 27
Если ( )y f u , ( )u u x , где ( )u x  – дифференцируема в точке x, а функция ( )f u  дифферен-
цируема в соответствующей точке ( )u u x , то сложная функция ( ( ))y f u x  дифференцируема 
в точке x  и ее производная '' ( ) '( ).uy f u u x  
 
 
4.2. Таблица производных основных элементарных функций 
 
1.   1' ', .n nu n u u n R     
2.   ' ln ', 0, 1.u ua a a u a a      
3.   ' '.u ue e u   
4.   'log ' , 0, 1.
lna
uu a a
u a
    
5.   'ln ' .uu
u
  
6.  sin ' cos '.u u u   
7.  cos ' sin '.u u u    
 
 8.   2'tg ' .cos
uu
u
  
 9.   2'ctg ' .sin
uu
u
   
10.  
2
'arcsin ' .
1
uu
u
   
11.  
2
'arccos ' .
1
uu
u
    
12.   2'arctg ' .1
uu
u
   
13.   2'arcctg ' .1
uu
u
    
 
Пример 4.1. Применяя правила и формулы дифференцирования, найти производные 
следующих функций: а) 5arctgy x x ; б) 3 42y x  ; в) 2arctg ln 1x x xy e e e   ; г) 
2
4
2arcsin
1
xy
x
  . 
Решение. а) 
5
5 5 4 5 4
2 2
1' ( )'arctg (arctg ) ' 5 arctg 5 arctg .
1 1
xy x x x x x x x x x
x x
        
б) 
'1 2 3
4 4 43 3
4 23
1 4' (2 ) (2 ) (2 ) ' .
3 3 (2 )
xy x x x
x
         
 
в) Запишем данную функцию в виде  21arctg ln 1
2
x x xy e e e   , получим  
2 2
2
2 2 2 2
1 1 1' arctg 2 arctg arctg
1 2 1 1 1
x x
x x x x x x x x x
x x x x
e ey e e e e e e e e e
e e e e
             . 
г)   
   4 2 3 4 4 4
2 4 4 4 42 4 842
4
4 1 2 4 4 1 2 4 11 1 1 4' .
1 1 1 11 2121
1
x x x x x x x x x xy
x x x xx xxx
x
                   
 
 
4.3. Производные высших порядков 
 
Производная ' '( )y f x  функции ( )y f x  является функцией от х и называется первой 
производной (или производной первого порядка) этой функции. 
Второй производной (или производной второго порядка) функции ( )y f x  называется 
производная от ее первой производной и обозначается 
2
2", "( ),
d yy f x
dx
. Таким образом, 
" ( ') 'y y .  
 28
Производная от второй производной, если она существует,  называется производной 
третьего порядка и обозначается 
3
3"', "'( ),
d yy f x
dx
. Итак, "' ( '') 'y y . Аналогично определяются 
производные более высоких порядков. 
Производной n-го порядка (или n-ой производной) функции ( )y f x  называется 
производная от производной (n-1)-го порядка, т.е.    1( ) 'n ny y  . Первые три производные 
обозначаются штрихами, последующие – римскими цифрами или числами в скобках (    4 IVилиy y  
– производная четвертого порядка). 
Пример 4.2. Найти производную четвертого порядка функции kxy e . 
Решение.          2 2 3' ' ; " " ' ; '" " ' ,...; .kx kx kx kx kx kx kx kx n n kxy e ke y e ke k e y ke k e k e y k e          
 
4.4. Неявная функция и ее дифференцирование 
 
Пусть функция ( )y f x  задана уравнением  , 0F x y  , т.е. уравнением, связывающим 
независимую переменную х с функцией у, не разрешенным относительно у. В этом случае 
говорят, что функция ( )y f x  задана неявно. 
Производную от функции  , 0F x y   можно найти дифференцированием по х обеих частей 
этого уравнения с учетом того, что у – функция от х. Полученное после дифференцирования 
уравнение будет содержать , , 'x y y . Разрешая его относительно 'y , найдем производную 'y  
функции ( )y f x , которая в общем случае зависит от х и у. 
Продифференцировав по х первую производную, рассматривая у как функцию от х, получим 
вторую производную от неявной функции, в которую войдут , , ', "x y y y . Подставляя уже 
найденное значение 'y  в выражение второй производной, выразим "y  через х и у. 
Аналогично поступаем для нахождения III IV,y y  и более высоких порядков. 
Пример 4.3. Найти производную второго порядка неявной функции x yy x e   . 
Решение. Найдем первую производную 1 ' (1 ')x yy e y   . Следовательно, 
1 1'
1 1
x y
x y
e x yy
e x y


      , так как 
x ye x y     по условию. Дифференцируем последнее равенство 
по х, получаем 
     
 
 
 2 2
1 ' 1 1 ' 1 2 1 '
" .
1 1
y x y y x y y
y
x y x y
             
Подставим в выражение для "y  значение 'y :  
 
 2 3
12 1
41
" .
1 1
x y
x yx y
y
x y x y
            
 
4.5. Дифференциал функции 
 
С понятием производной теснейшим образом связано фундаментальное понятие 
математического анализа – дифференциал функции. 
Пусть функция ( )y f x  дифференцируема в окрестности точки 0x . Производная этой 
функции в точке 0x  определяется равенством  00lim ' .x y f xx 
   Тогда 
       0 0' , 'y f x x y f x x x xx
           где  x – бесконечно малая функция при 0x  . 
 29
Приращение функции представлена в виде суммы двух слагаемых, первое из которых 
 0'f x x  называется главной частью приращения функции ( )y f x  в точке 0x . 
Дифференциалом функции ( )y f x  в точке 0x  называется главная часть ее приращения, 
линейная относительно x  и обозначается     0 0, 'dy df x dy f x x  . Но дифференциал и 
приращение независимой переменной х равны между собой, т.е. x dx  , поэтому 
 0'dy f x dx . Следовательно, дифференциал функции ( )y f x  в точке 0x  равен 
произведению производной функции в этой точке на дифференциал независимой переменной. 
 
Пример 4.4. Найти дифференциал функции 4cos 5y x  в точке х. 
Решение. Дифференциал в произвольной точке х находится по формуле  'dy f x dx . Для 
нашего примера 3 34cos 5 sin 5 5 20cos 5 sin 5 .dy x x dx x xdx      
 
4.6. Правило Лопиталя 
 
Ранее нами были рассмотрены элементарные способы нахождения предела функции для 
случаев, когда аргумент неограниченно возрастает или стремится к значению, которое не входит 
в область определения функции. Весьма эффективным средством нахождения предела для 
указанных случаев, является способ, основанный на применении производной. Этот способ 
получил название правила Лопиталя. 
Пусть функции ( )f x  и ( )x  непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки 0x  и 
обращаются в нуль в этой точке 0( )f x  = 0( )x =0. Пусть 0'( ) 0x   в окрестности точки 0x . 
Если существует предел   0
'
lim
'x x
f x
x  , то 
 
 
 
 0 0
'0lim lim .
0 'x x x x
f x f x
x x 
       
Полученную формулу сформулируем в виде правила Лопиталя: предел отношения двух 
бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если этот предел существует или 
равен .  
Это правило остается верным и в случае, если  
   
0 0
lim и lim ,
x x x x
f x x      т.е. 
 
 
 
 0 0
'
lim lim .
'x x x x
f x f x
x x 
       
Правило Лопиталя справедливо и в случае, если x  . 
Если частное   
'
'
f x
x  в точке 0x  вновь будет представлять неопределенность вида 
0
0
 или   и  
'( )f x  и '( )x  удовлетворяют условиям, сформулированным для функций  ( )f x  и ( )x , то 
можно снова применять правило Лопиталя и т.д. 
Пример 4.5. Найти пределы: а) 
2
0
1lim
sin
x
x
e
x
 ;  б) 
0
1 coslim
1 cosx
ax
bx

 ;  в) 
2
2
1lim
5 xx
x

 ;  г) 
1
1lim
ln 1x
x
x x
    ;  
д) 
0
lim ctg2
x
x x ; е)  2cos
2
lim tg x
x
x
. 
Решение. а) 
2 2
0 0
1 0 2 2lim lim 2.
sin 0 cos 1
x x
x x
e e
x x 
         
б) 
2 2
2 20 0 0
1 cos 0 sin 0 coslim lim lim .
1 cos 0 sin 0 cosx x x
ax a ax a ax a
bx b bx b bx b  
                 
 30
в) 
2
2 2 2 2 2
1 2 1lim lim lim lim 0.
5 5 ln 5 2 5 ln 5 5 ln 5 2x x x xx x x x
x x x
   
                     
Неопределенности вида 0   и   сводятся к неопределенностям 0
0
 или   путем 
преобразования функции к виду дроби. 
   1 1 1 1
1
11 ln1 1 ln 0 ln 0г) lim lim lim lim1ln 1 1 ln 0 ln 1 0ln
1ln
1lim .1 2ln 1
x x x x
x
x xx x x x x xx
xx x x x x x xx
x
x x
x
x x
x
   

                               
       
  
 
д)  
0 0 0
2
0 1 1lim ctg2 0 lim lim .1tg2 0 22
cos 2
x x x
xx x
x
x
  
         
 
В случае неопределенностей вида 0 01 , , 0   следует воспользоваться логарифмическим 
тождеством ln ( )( ) f xf x e  и свести указанные неопределенности к виду 0
0
 или  . 
е)      2 cos 2lim 2cos ln tg2cos ln tg0 2cos ln tg
2 2 2
lim tg lim lim .
x x
x x
x x x x
x x x
x e e e

  

  
       
Вычислим предел степени. 
  2 2
2 2 2 22
1 1
ln tg costg coslim 2cos ln tg 0 2 lim 2 lim 2 lim 0.1 1 sinsin
cos cos
x x x x
x xx xx x
xx
x x
      
          
 
Тогда  2cos 0
2
lim tg 1.x
x
x e
   
 
5. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 
 
На практике часто приходится рассматривать величины, значения которых зависят от 
нескольких изменяющихся независимо друг от друга переменных. Для изучения таких величин 
вводят понятие функции нескольких переменных. 
 
5.1. Основные понятия 
 
Определение. Переменная u называется функцией n переменных x1, x2,…xn, если каждой 
системе значений (x1, x2,…xn) из области их изменения соответствует одно вполне определённое 
значение величины u и обозначается (  1 2,  ,... nu f x x x ). 
Рассмотрим функцию двух переменных (n = 2). Практически все понятия и теоремы, 
сформулированные для n = 2, легко переносятся на случай n > 2. Рассмотрение функций двух 
переменных позволяет использовать геометрическую иллюстрацию основных понятий. 
Определение. Переменная z называется функцией двух переменных х и у, если каждой 
упорядоченной паре допустимых значений (х, у) соответствует единственное значение z 
(  ,z f x y ; х, у – независимое переменные (аргументы);  z – зависимая переменная (функция)). 
 31
Z 
y
x 
2 225 16 9Z x y  
 
Рис. 8 
Геометрическим изображением функции z = f(x ,y) является некоторая поверхность в 
пространстве, а проекция этой поверхности  на плоскость ХОУ является областью определения 
функции – D(f). Это может быть вся плоскость или её часть, ограниченная линиями. Линии, 
ограничивающие область D, называют её границей. 
Точки, не лежащие на границе, но принадлежащие области, называются внутренними 
точками этой области. 
Область, состоящая только из внутренних точек, называется открытой. Если же в область 
входят точки, принадлежащие границе, она называется замкнутой. 
Е(f) – множество значений функции z = f(x, y). 
Частное значение функции при x = x0, y = y0 - f(x0, y0) – число. Функция z = f(x, y) может быть 
задана таблицей, аналитически, графиком. Чаще используется аналитический способ – 
формулой. 
 
Пример 5.1. Найти область определения функции 2 225 16 9z x y   . 
Решение. Данная функция определена 
лишь для неотрицательных значений 
подкоренного выражения, т.е. для тех зна-
чений (х, у), для которых 25 - 16х2 - 9у2 ≥ 0, 
Значит для всех точек, лежащих на 
эллипсе 
 
2 2
125 25
16 9
x y   и внутри его (рис.8). 
 
 
 
 
 
 
 
5.2. Частные производные 
 
Частные производные первого порядка и их геометрический смысл. Пусть задана 
функция  
 z = f(x; y). Так как х и у – независимые переменные, то одна из них может изменяться, другая 
сохранять своё значение. Дадим независимой переменной х приращение x , сохраняя значение 
y неизменным. Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по х и 
обозначается x z : 
   , ,x z f x x y f x y      
Аналогично получаем частное приращение по y:    , ,y z f x y y f x y      
Полное приращение z определяется равенством:    , ,z f x x y y f x y        
Определение. Если существует предел 
   
0 0
lim limx
x x
f x xy f xyz
x x   
     , 
то он называется частной производной функции z = f(x; y) в точке М(х, у) по переменной  х и 
обозначается одним из символов  ' , , ,x x z fz f x x
    . 
Частная производная по х в точке М0(х0, у0) – число, которое обозначается   
0
0 0, ,   x x Mf x y f  . 
 
 32
Таким образом, частная производная функции  нескольких переменных определяется как 
производная функция одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных 
независимых переменных. Поэтому частные производные функции f(x,y) находят по формулам и 
правилам вычисления производных функций одной переменной. 
 
Пример 5.2. Найти частные производственные функции  5 3xz tg e y   
Решение. 
   4 3 2 3
15
cos
x x
x
y const
z tg e y e
x e y
      ,     4 3 22 3
15 3
cos
x
x
x const
z tg e y y
y e y
       
Итак, все формулы и правила нахождения производной функции одного переменного без 
изменений переносятся на функции нескольких переменных. 
 
5.3. Полный дифференциал функции нескольких переменных 
 
Если полное приращение Δz функции  ;z f x y в точке М(x;y) можно представить в виде: 
   ; ;z x y z x yz x y x y
x y
            , 
где; ( , ) 0, ( , ) 0x y x y        при 0,   0x y    , то функция z = f(x; y), называется 
дифференцируемой в точке M(x;y), а выражение    ; ;z x y z x yx y
x y
      называется полным 
дифференциалом функции z = f(x; y) в точке M(x; y).  
Так как ,  x dx y dy    , то полный дифференциал записывают в виде 
 
z zdz dx dy
x y
           (5.1) 
Формула (5.1) справедлива и для функции n переменных (n > 2). 
Например, при n = 3, u = f(x, y, z) имеем 
u u udu dx dy dz
x y z
        
Формула (5.1) может быть записана в виде x ydz d z d z  , где x zd z dxx
  , y
zd z dy
y
   – 
частные дифференциалы функции  z = f(x; y). 
Пример 5.3. Найти дифференциал функции yzu x , x > 0, в произвольной точке M(x; y) и в 
точке M0(2; 1; 4). 
Решение.  
u u udu dx dy dz
x y z
       , 
1yzu yzx
x
  ,  lnyz
u x x z
y
   ,  lnyz
u x x y
z
  . 
Тогда    1 ln lnyz yz yzdu yzx dx x x zdy x x ydz   . 
Заменяя в последнем выражении x,y,z их значениями в точке M0(2,1,4), получим 
 
   2, 1, 4 16 2 4ln 2 ln 2du dx dy dz   . 
 
Теоремы и соответствующие формулы для дифференциалов, установленные для функций 
одной переменной, остаются справедливыми и для функций n переменных. 
 
 33
5.4. Частные производные высших порядков 
Рассмотрим функцию z = f(x; y). Её частные производные первого порядка  ,z x y
x

  и 
 ,z x y
y

  - функции  двух переменных  ,x y D . Эти функции могут иметь частные 
производные, которые называются частными производными второго порядка: 
  2 ''2 , , ,xx xxz z z f x yx x x         ;     
2
" ", ,yx yx
z z z f x y
x y y x
         ; 
 2 " ,xy x yz z z f x yy x x y
            ;   
2
2 " ,yy yy
z z z f x y
y y y
           . 
Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го, …, n-го порядков: 
2 3
2 2
z z
y x x y
        
;   
4 3
2
z z
x y x x x y x
            
;   
n
k n k
z
x y 

  . 
Частная производная второго и более высокого порядка, взятая по различным переменным, 
называется смешанной частной производной. 
Пример 5.4. Показать, что функция  2sinz y ax   удовлетворяют уравнению 2 22 2 2z za y x
   . 
Решение:  
     2sin cos sin 2
x const
z y ax y ax y ax
y 
      ;  
2
2 2cos 2
x const
z y ax
y 
   ; 
      2sin cos sin 2
y const
z y ax y ax a a y ax
x 
        ;  
2 2 2 2
2
2 2 22 cos2
z a z za y ax
x y x
         
Пример 5.5. Найти частные производные второго порядка функции 3 2 3 55z x xy xy y    . 
Решение: 
2
2 2 3
23 5 ;    6
z zx y y x
x x
      , 
2
2 4 3
22 15 5 ; 2 30 20
z zxy xy y x xy y
y y
        , 
2 2
2 22 15 ;     2 15z zy y y y
x y y x
        , получили, что 
2 2z z
x y y x
     . Этот результат не случаен. 
Теорема. Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные 
производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между 
собой. 
 
5.5. Скалярное поле 
 
Рассмотрим функцию u = u(x, y, z), определённую и дифференцируемую в некоторой 
области D. 
Скалярное поле − это всё пространство (или его часть), в каждой точке которого задана 
некоторая скалярная величина u = u(x, y, z). 
Если рассматриваемая величина u = u(x, y) задана в плоской области, то поле называется 
плоским. 
Характеристики скалярного поля u = u(x, y, z): 
1. Множество точек, в которых функция u(x, y, z) (или u(x, y)) принимает постоянное 
значение, называется поверхностью уровня (линией уровня): u(x, y, z) = c, (u(x, y) = c)). 
Пример 5.6. Найти поверхности уровня функции u = x2 + y2  - z2. 
Решение. Приравняем значение функции к постоянной с: x2 + y2 - z2 = с, получим: 
 34
а) если 0c  , поверхностями уровня является семейство двуполостных гиперболоидов 
1
222

c
z
c
y
c
x ; 
б) если 0с   2 2 2x y z c    – семейство однополостных гиперболоидов; 
в) если 0c , 2 2 2 0x y z    – круговой конус второго порядка с вершиной в начале координат. 
2. Производная функции поля u = u(x, y, z) в точке M(x, y, z) по направлению l  равна 
cos cos cosu u u u
x y zl

          
, 
где , , γ – углы, образованные вектором 0l  с координатными осями; 0l  – единичный вектор 
направления l , т.е. 0l  =( cos , cos , cos   ). 
Производная по направлению не зависит от длины вектора l , а только от направления этого 
вектора. 
Частные случаи: а) (1,0,0), u ul l
l x
      ; б) (0,1,0),
u ul j
l y
      ; в) (0,0,1),
u ul k
l z
      ,  
т.е. частные производные выражают скорость изменения функции в направлении осей 
координат. 
Градиент скалярного поля – вектор, координаты которого есть значения частных 
производных функции поля в точке M(x, y, z). 
( ) u u ugrad u M i j k
x y z
        

. 
Это означает, что в области V определено векторное поле – поле градиентов данной функции 
поля. 
Связь производной функции поля u = u(x, y, z) по направлению l  с градиентом этого поля: 
1. 0( , )
u grad u l
l
 

 . 2. cos l
u grad u np grad u
l
    
 
 ,   – угол между векторами grad  u и 0l

. 
3. Производная функции в точке по направлению l  имеет наибольшее значение, если 
направление l  совпадает с направлением градиента данной функции, которое равно модулю 
вектора grad  u 
2 2 2cos 0 ( ' ) ( ' ) ( ' )x y z
u grad u grad u u u u
l
       
 
   . 
Пример 5.7. Найти скорость изменения скалярного поля, заданного функцией 
222 575 xyzzxyyzxu   в направлении вектора   kjia 848  в точке 0M (1,1,1).  
Решение: 1. Найдём значения частных производных в точке 0M (1,1,1) 
0
0
2 2(10 7 5 ) 8
MМ
u xyz y z yz
x
     ,          0
0
2 2(5 14 5 ) 4
M
M
u x z xyz xz
y
      ,  
0
0
2 2(5 7 10 ) 8
M
M
u x y xy xyz
z
                и направляющие косинусы: 
если ),,,( zух аааа  то ,222 zух аааа   cos = , cos , cos .yх zаа аа а а       
Вычислим косинусы углов вектора а  с осями координат:  
 35
8 2cos
364 16 64
   ; 
1cos
3
 ; 2cos
3
  . 
Скорость изменения поля в точке M(x, y, z) равна: cos cos cosu u u u
x y yl
           .  
Тогда в точке 0 (1, 1, 1)M  имеем: 
0
2 1 28 ( 4) 8 12
3 3 3M
u
l
             .  
Пример 5.8. Найти величину и направление градиента поля 3 3 3 3u x y z xyz     в точке 
0 (2, 1, 1)M . Определить, в каких точках grad

 u перпендикулярен оси OZ.  
Решение. 



0 00
2 2 2
0
0
1 .
3 3 ; 3 3 ; 3 3 ;
9; 3; 3; ( ) 9 3 3 .
2 ( ) 81 9 9 3 11.
3 , если ( , ) 0,
M MM
u u ugrad u i j k
x y z
u u ux yz y xz z yx
x y z
u u u grad u M i j k
x y z
grad u M
grad u OZ grad u k k
      
         
            
   
 
   
   

   
2 2 2(0,0,1). ( , ) 3( ), 0, .grad u k z xy z xy z xy     
 
То есть в точках лежащих на поверхности 2 0z xy gradu Z  . 
 
 
6. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ 
 
6.1. Понятие неопределённого интеграла 
 
Функция F(x), определённая в промежутке  ba;  называется первообразной данной функции 
f( х ), если для  bax ;  выполнено равенство: 
   'F x f x  
Для заданной функции  f x  её первообразная определяется неоднозначно. Доказано, что если 
 F x  - первообразная, для  f x , то выражение  F x c , где с – произвольное число, задаёт все 
возможные первообразные для функции  f x . 
Любая непрерывная на отрезке  ,a b  функция  f x  имеет на этом отрезке первообразную 
 F x . Неопределённым интегралом от данной функции  f x  называется множество всех её 
первообразных:      cxFdxxf      xfxF   
где:   – знак неопределённого интеграла,  f x  – подынтегральная функция,  f x dx – 
подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования. 
Нахождение для функции f(x) всех её первообразных называется её интегрированием. 
Интегрирование – действие обратное дифференцированию. 
 
Свойства неопределённого интеграла (НИ) 
 
Из определения НИ непосредственно вытекают его свойства: 
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: 
 36
    'f x dx f x ; 
2. Дифференциал НИ равен подынтегральному выражению: 
    d f x dx f x dx ; 
3.    kf x dx k f x dx  ; 
4.         1 2 1 2f x f x dx f x dx f x dx     ; 
5.      cxFxdF . 
 
Таблица интегралов 
1. dx x c  ; 
2.  1 1
1
n
n xx dx c n
n

    ; 
3. lndx x c
x
  ; 
4. ,
ln
x
x aa dx c
a
      cedxeaa xx;1,0 ; 
5. sin cosxdx x c   ; 
6. 
2cos
dx tgx c
x
  ; 
7. cos sinxdx x c  ; 
 
8. 
2sin
dx ctgx c
x
   ; 
9. 
2 2
1dx xarctg c
a x a a
  , 0;a   
10. 2 2
1 ln
2
dx x a c
x a a x a
   ; 
11. 2 2
1 ln
2
dx a x c
a x a a x
   ; 
12. caxx
ax
dx 
 2222 ln ; 
13. c
a
x
xa
dx 
 arcsin22 . 
 
 
Справедливость этих формул проверяется дифференцированием. 
 
6.2. Основные методы интегрирования  
 
Задача: данный интеграл свести к табличным.  
Непосредственное интегрирование. Знать таблицу интегралов, его основные свойства, 
уметь преобразовывать алгебраические и тригонометрические выражения. 
 
   
3
3 2 23 2
3 3 2 2 3
13
3
8 13 5 7 11 19 8 13
3 6 3 6 3 6 3 6
3 2 2 2 3 23 3 6 6
3 3
a)  3 3 = =
3 6 3 6     = 3 3 3 3 =
11 19 8 13
3 9 18 6 .
11 8 19 13
n
n k
k
x x x x xx x xdx a b a a b ab b dx x
xx x
x x x x dx x x x x c
x x x x x x x x c

             
            
    
 
  
 
 2 22 2 21 cos 1 cos 2 1 cos 1 1 1) cos .1 cos 2 2 2cos 2 cos 2 2
x x x dxб dx x dx dx dx tgx x c
x x x
              
 
Метод подведения функции под знак дифференциала (сознательное понимание 
таблицы). 
 37
Любая формула интегрирования    f x dx F x c   сохраняет свой вид, если в неё вместо 
независимой переменной х, подставить любую дифференцируемую функцию  u u x  
   f u du F u c  . 
Подведение функции под знак дифференциала состоит в том, что под знак дифференциала 
записывают функцию, дифференциал которой равен данному выражению. Подведение функции 
под знак дифференциала применяется для сведения интегралов к табличным, т.е. к виду: 
   f u du F u c   
Применяя метод подведения функции под знак дифференциала, найти интегралы: 


  
 2
2
1
1. 2 .
1
13
1
u u
arctgx arctgx arctgx
e du e c
dxe u arctgx e d arctgx e c
x
du d arctgx dx
x
 
    
  

   


  
     
1
2
3
3 2
1
1 ln 12. 2 ln ln ln .
ln 2 2ln
13 ln
n
n uu du c
n xdx u x x d x c c
x x x
du d x dx
x



 
      
 

   
 
Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен:   dxcbxax BxA2 11   и    

dx
cbxax
BxA
2
22  
Для сведения этих интегралов к табличным надо в числителе дроби выделить 
дифференциал квадратного трёхчлена ax2 + bx + c, т.е. слагаемое (2ax+b)dx. А затем интеграл 
разбить на сумму двух интегралов, каждый из которых – табличный (во втором интеграле 
квадратный трёхчлен представить в виде суммы или разности квадратов). 
Найти интегралы: 
     
 22 2 2 2
2
3 182 6 7 2 6 33 7 32 21. 16
6 25 6 25 2 6 25 3 4
3 1 3ln 6 25 16 .
2 4 4
x x dx d xx dx dx
x x x x x x x
xx x arctg c
                 
     
     
         12 2
2 2 2
2
4 5 2 2 2 4 5 1
2. 2 2 3 2 2
2 3 2 3 4 ( 1)
14 2 3 arcsin .
2
x dx x d x
dx x x x dx
x x x x x
xx x c
                      
      
   
 
 
1
2 2
2 2 2
2 2
1 2(18 6) 6 3 1(2 6) 1 169 33. (9 6 2) (18 6)
9 99 6 2 9 6 2 3 1 1
2 169 6 2 ln 3 1 9 6 2 .
9 9
x d xx dx dx x x x dx
x x x x x
x x x x x c
                 
          
     
 38
Метод подстановки (замена переменной).Этот способ часто полезен в тех случаях, когда 
интеграл  f x dx  не может быть непосредственно преобразован к табличным. Полагая 
( )x t , где t – новая переменная, а функция ( )t  имеет непрерывную производную.  
Тогда ( ) ( ( )),  '( )f x f t dx t dx    и  ( ) ( ( )) '( )f x dx f t t dt     – формула замены 
переменной в неопределенном интеграле. 
Замечание. Иногда целесообразно применить обратную подстановку: ( ),  '( )t x dt x dx   . 
Формула доказывается дифференцированием обеих её частей. Удачная подстановка 
позволяет упростить исходный интеграл, сведя его к табличным. Однако даже в тех случаях, 
когда метод подстановки не приводит исходный интеграл к табличному, он часто позволяет 
упростить подынтегральную функцию и тем самым облегчить вычисление интеграла. 
Найти интегралы: 
 
 
21
 ;    
1. .
1;
x
x
x x
x
dtt e dxdx dt dt arctgt c arctge ct
e e tt t tdt e dx tdx
 
         
  
 
2
22
2 2 2
2
1 ln
1 11 ln 12. 2 2 2 2
ln 1 1 1
ln 1
1 1 1 ln 12 ln 1 ln 2 1 ln ln
2 1 1 ln 1
2 1 ln ln ln 2ln 1 ln 1 .
x t
tx t dt dtdx dx tdt dt dt
x x x t t t
x t
t xt c t x x c
t x
x x x c
 
             
 
                  
      
    
 
Замечание. Чаще метод подстановки применяется при интегрировании иррациональных 
выражений. 
     
4
4 32 7 3 33 6 2 4 4
4
4
1 1 4 1 14 4 4 1 4 1
7 3 7 31 1
x
x x
x x x
x
x
e t t t dte dx t t ee dx t dt t t dt c t e e c
te e t
                            
  
 
Интегрирование по частям. Пусть ( )u u x  и  v v x  – непрерывно дифференцируемые 
функции. Известно, что    ,d uv vdu udv udv d uv vdu     . Интегрируя последнее 
соотношение, получим:  
udv uv vdu    
– формула интегрирования по частям для неопределённого интеграла. 
Применение метода интегрирования по частям целесообразно в том случае, когда интеграл в 
правой части окажется более простым для вычисления, чем исходный интеграл. 
При его применении подынтегральное выражение данного интеграла разбивается на два 
сомножителя   и u dv . При переходе к правой части формулы первый из них дифференцируется 
 dxudu  ; второй интегрируется  V dv  , (если дифференцирование существенно упростит 
один множитель, при условии, что интегрирование не слишком усложнит другой). 
Некоторые классы интегралов, которые удобно брать по частям: 
1.  ,  sin ,  cos  n x n n nx e dx x xdx x xdx u x    
2. ln ,  arcsin ,  arctgn n nx xdx x xdx x xdx   . (За u в этом случае принимаются логарифмическая 
или обратная тригонометрическая функция.) 
 39
3. Круговые или циклические интегралы. sin , cos ,  cos lnx xe xdx a xdx xdx   . (Выбор u и dv 
равносилен.) 
 
Например: 
 22 2
1arctg 11. arctg arctg arctg ln 1 .1
1 2
u x du dx xdxxdx x x x x x cx
xdv dx v x
            
 
Иногда полезно повторить интегрирование по частям. 
2
2 2
2
2
2. cos sin 2 sin
sin coscos cos sin
                 sin 2 cos 2sin .
u x du xdx u x du dx
x xdx x x x xdx
du xdx v xxdx dv v xdx x
x x x x x c
           
   
   
 
Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется отношение 
двух многочленов:   
Pm x
Qn x
. Если m n , то рациональная дробь правильная; если m n  - 
неправильная. 
Если дробь неправильная, надо выделить целую часть, разделить числитель на знаменатель, 
т.е. неправильную дробь представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной 
дроби. 
Пример: 
2 2x x   4 3
4 3 2
1
    2
x x
x x x
     2 2 4x x   
   
3 2
3 2
2 2 1
2 2 4
x x
x x x
      
-
2
2
4 4 1
4 4 8
x x
x x
 
 
 
8 9,x    неправильная дробь 
 4 3 22 21 8 92 4 ;2 2x x xx xx x x x           
 
Простейшие рациональные дроби.  
 
1 1
2 21. ;   2. ;   3. ;
A A M x N
x a ax bx cx a

     2 224. 2k
M x N k
ax bx c
 
 
. 
Квадратный трёхчлен 2ax bx c   не имеет действительных корней. 
Разложение правильной рациональной дроби на простейшие: 
Теорема. Каждая правильная рациональная дробь   
Pm x
Qn x
, (m < n) может быть представлена 
в виде суммы конечного числа простейших дробей.  
Это разложение связано с разложением знаменателя дроби на множители:  
а) Каждому линейному множителю знаменателя (х - а)к соответствует k простейших дробей 
вида (1), (2), числитель которых – неопределённые коэффициенты, а знаменатель – целые 
положительные степени двучлена (х - а), начиная со степени k и кончая первой; 
б) Каждому квадратному множителю  2 kx px q   соответствует k простейших дробей вида 
(3), (4), числитель которых – многочлен первой степени, с неопределёнными коэффициентами, а 
 40
знаменатель – положительные степени трёхчлена  2x px q  , начиная со степени k и кончая 
первой.  
Итак, для интегрирования рациональных дробей надо: 
1. Установить, является ли данная рациональная дробь правильной или неправильной. Если 
она неправильная, выделить целую часть. 
2. Проинтегрировать целую часть и правильную дробь. Для интегрирования правильной 
дроби необходимо: а) Разложить знаменатель дроби на множители. b) Представить дробь в виде 
суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами. c) Найти коэффициенты. d) 
Проинтегрировать простейшие дроби. 
Интегрирование тригонометрических выражений. Так как любое тригонометрическое 
выражение можно записать только через sin x  и cos x , то получим интеграл рационально 
зависящий от sin x  и cos x .  
 sin ,cos .R x x dx          
Этот интеграл всегда сводится к интегралу от рациональной функции относительно новой 
переменной с помощью подстановки 
2
xtg t , тогда 
2
2
2 2 2
2 2
2 12 1 22 2sin ;  cos ;  
1 1 11 1
2 2
x xtg tgt t dtx x dxx xt t ttg tg
        
. 
Например, найдем интеграл 
2
2
2
22sin
sin 1
2
1
xtg t
dx tx
x t
dtdx
t

  
 
 21dt t
 21 t 2 ln ln 2
dt xt tg c
tt
      . 
Универсальная подстановка всегда позволяет вычислить интеграл ( ), однако её используют 
очень редко, так как она часто приводит к интегрированию громоздких рациональных дробей. 
Она используется в тех случаях, когда другие подстановки применять нельзя. 
Частные случаи: 
1) Интеграл вида:    sin cosm nx x dx . 
а) Если один из показателей m или n – целое положительное нечётное число, второй любой то 
подстановка sin x t ,  cos sinxdx d x dt   или  cos ; sinx t xdx dt    быстрее приводит 
к цели. 
Например, 
         
       
225 2 4 1
2
73
2 422
2 4
1 sin sincos 1 2sin sin sin sin sin
sin sin sin
4 22 sin sin sin sin 2 sin sin sin sin sin
5 9
4 2sin 2 sin sin .
5 9
x d xx x xd x x d x
x x x
x d x x d x x x x x x c
x x x c
     
      
      
   
   
 
б) Оба показателя m и n – целые положительные чётные, тогда используют формулы: 
sin 2sin cos
2
xx x  ; 2 21 cos 2 1 cos 2sin ;  cos
2 2
x xx x   . 
 41
Например, 
   244 4 21 1 1 cos 4 1sin cos sin 2 1 2cos 4 cos 4
16 16 2 64
1 1 1 cos8 1 sin 4 1 1sin 4 sin 8
64 2 2 64 2 2 16
1 3 sin 4 1 sin 8 .
64 2 2 16
xx xdx x dx dx x x dx
x xx x dx x x x c
x x x c
        
                 
      
   
  
 
в) Оба показателя чётные целые, но хотя бы один из них отрицательный, тогда используется 
подстановка tgx t  или с помощью тригонометрических преобразований.  
Например,
 
 
   
22 2 3 1
4 2 3
4 44 22
2
          
1 1 1sin .
sin 3 1 311
     
1
tgx t
t dt tdx t t tx dt t t dt c c ctgx ctg x
x tt tt
dtdx
t
 
 

             
 
     
С помощью тригонометрических преобразований: 
    32 2 24 ctgcosec cosec 1 ctg ctg ctgsin 3dx xx xdx x d x x cx            . 
г) Иногда удобно ввести тригонометрическую единицу: 
   
2 2
3 3 3
3
2
sin cos sin
sin cos sin cos cos sin cos
1cos cos 2 ln .
sin 2 2cos
dx x x xdx dxdx
x x x x x x x
dxx d x tgx c
x x

   
     
   
 
 
д) Иногда применяется метод интегрирования по частям.  
Например, 
 
2
3 2
3
3 2
2
                       
cos cos 1cos         -sinxdx
sin 2sin 2 sin
cos 1      sin sin
sin 2sin
cos 1 ln .
2sin 2 2
udv uv vdu
x x dxdx u x du
x x x
xdxdv v x d x
x x
x xc tg
x

 
     
  
  
 
 
  
 
2) Интегралы вида: sin cos ,   ; cos cos ; sin sin ,mx nxdx m n mx nxdx mx nxdx    
преобразуются по формулам: 
   
   
   
1sin cos sin sin ,
2
1cos cos cos cos ,
2
1sin sin cos cos .
2
mx nx m n x m n x
mx nx m n x m n x
mx nx m n x m n x
     
     
     
 
 
Например,  1 1 1sin 3 5 sin 8 sin 2 cos8 cos 2 .
2 16 4
xcox xdx x x dx x x c        
 42
3) Интегралы вида:  ,   ctg ,   , 1n ntg xdx xdx n N n    приводятся к табличным следующим 
образом: выделяется 2 2sec 1tg x x  . Затем интеграл разбивают на сумму двух интегралов 
(первый – степенной, а второй   2ntgx dx ; с ним поступают так же). 
Например, 
     45 3 2 3 3 2
4 2
sec 1 sec 1
4
ln cos .
4 2
tg xtg xdx tg x x dx tg xd tgx tg xdx tgx x dx
tg x tg x x c
       
   
    
 
4)  sec cosecn nxdx xdx  , если n – чётное целое положительное число, тогда 
 2sec xdx d tgx , а  оставшаяся чётная степень sec x  заменяют через  2 2. sec 1tgx x tg x  . 
Например, 
     26 2 2 4 3 52 1sec 1 tg 1 2 .
3 5
xdx tg x d x tg x tg x d tgx tgx tg x tg x c            
 
Интегрирование иррациональных выражений. Алгебраическая функция, не 
являющаяся рациональной называется иррациональной. Не от всякой иррациональной 
функции интеграл выражается через элементарные функции. 
Рассмотрим иррациональные функции интегралы, от которых с помощью подстановок 
приводятся к интегралам от рациональной функции. 
1. Интегрирование простейших иррациональностей. 
a) Интеграл вида , ,...,
m r
n sR x x x dx     сводится к интегралу от рациональной функции 
подстановкой kx t , где k – общий знаменатель дробей m
n
,…, r
s
. 
Например, 
  
 
1
2 34 2 3 22
2 3 3 4
3 3 3 33
4
3 34 4
1 14 4 44 4 ln 1
1 1 1 3 341
4 ln 1 .
3
t tx tx dx t t dt t dtdt t dt t t c t x
t t tdx t dtx
x x c
                   
   
      
 
б)    , ,...,m rn sR x ax b ax b dx      сводится к интегралу от рациональной функции подстановкой 
  kax b t  , где k – общий знаменатель дробных показателей. 
Например, 
   
    
   
6 5 3 36
54 8 5 353 6
43 4 6 66
9 6 3 39
6
3 369 3 9
3 36 3 18 9 9 18 9 .
2 2
t t dt t tx txdx dt
t t tdx t dtx x
t dt t t c t x x x c
         
            
  

 
 
с) , ,...,
m r
n sax b ax bR x dx
cx d cx d
               
  сводится к интегралу от рациональной функции 
подстановкой kax b t
cx d
  , k – общий знаменатель дробных показателей.  
 43
Например, 
 
   
 
22
2
2 22 2 2 2
3
2 3
1 81 4 4 4 8;  ;   
1 161 1
1 1 4 1 4 4 4 .
2 6 6 6
t t t dtx x tdtdx t x dx
x x x t t t
x x x xt dt t c t c c
x x x x
           
                 
 

 
 
 
7. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ 
 
7.1. Вычисление определённого интеграла 
 
а) Формула Ньютона-Лейбнца. 
Теорема. Если f(x) – непрерывна на  ,a b  то 
     b
a
,f x dx F b F a       (7.1) 
где  F x  –  любая  первообразная для функции  f x  на  ;a b . 
Например, вычислим определённый интеграл 
     2 43 24 4 4 4
0 0 0 0
0
1 2 1 ln 2sec 1 ln cos ln 0 ln1
2 2 2 2
tg xtg xdx x tgxdx tgxd tgx tgxdx x
                       

   
. 
 
б) Замена переменной в определённом интеграле. 
Теорема. Если функция  f x  непрерывна на  ;a b , а функция  x t  непрерывно 
дифференцируема на  ;c d  и   ,c a      ,   d b a t b    , то 
      b
a
'
d
c
f x dx f t t dt         (7.2) 
– формула замены переменной в определённом интеграле. 
Например, вычислим определенный интеграл. 
   
   
2 2
4 3 32 2
0 1 1
3
1
2 1             0, t 1, t 1 
1 11 1           4, t 9, t 3  
2 1 11 2 1
                                         
311 ln 1 3 ln 4 1 ln 2 2
11
x t x
tdx tdtx t x dt
t tx
dx tdt
dt t t
t
    
           

                
  
 ln 2.
 
в) Интегрирование по частям в определённом интеграле. 
Теорема. Если функции  u u x  и  v v x  - непрерывно дифференцируемые на  ;a b  то  
b
a
b b
aa
udv uv vdu         (7.3) 
– формула интегрирования по частям в определённом интеграле. 
Например, 
 22 11 1
2
20 00
2
12
0
,   1 11
1 2 2 1,   
1 2
1 1 1 .
2 2 2 2 4 2 8 4 2
u arctgx dv xdx xxxarctgxdx dxarctgxx xdu dx v
x
x arctgx x arctgx
       
           
 
  
 
 
 44
7.2. Приложение определённого интеграла 
 
а) Вычисление площадей плоских фигур. 
 
Площадь криволинейной трапеции, ограничена прямыми  
x = a, x = b, (a < b), осью ox и непрерывной кривой 
   , 0y f x y  .  
 
 
 
 
Вычисляется по формуле 
 b
a
S f x dx        (7.4) 
Пример 7.1. Найти площадь области, ограниченной линиями xy = 4; x+y=5 
 
Решение: Построим область S (рис. 1) и найдём 
абсциссы точек пересечения А, В: 4 ,
5
xy
x y
    
2
1 2
4
1
42
2
1
5 , 5 4 0 1;    4,   
4тогда  5
15 4ln 7 8ln 2 ед .
2 2
y x x x x x
S x dx
x
xx x
       
      
       
  
 
 
 
 
 
Пример 7.2. Найти площадь области, ограниченной линиями 2 2 1; 1y x x y    . 
Решение: Построим область S (рис. 2) и найдём ординаты точек пересечения А, В: 
2 2 1
,
1
y x
x y
   
 
 2 21, 2 1 1, 2 3 0x y y y y y          
1 21,  3.y y     
32 2 33
1
1
1 31
2 2 2 6
y y yS y dy y


                 
16 15 .
3 3
   
 
 
 
 
 
 
 
 45
7.3 Несобственные интегралы 
 
Понятие определённого интеграла дано для конечного отрезка  ;a b  и непрерывной на нём 
функции  f x . Оно теряет смысл, если интервал интегрирования бесконечен или функция в 
интервале интегрирования имеет точки разрыва 2го рода. 
Интеграл называется несобственным, если функция  f x  не ограничена на  ;a b , или 
неограниченна сама область интегрирования. 
 
7.4. Интегралы с бесконечными пределами (I рода) 
 
Если f(x) непрерывна, a x   , то по определению 
 
   lim b
ba a
f x dx f x dx

      (7.5) 
 
Если существует конечный предел в правой части формулы 
(7.5), то несобственный интеграл называется сходящимся, если же этот предел бесконечен, или 
не существует, то – расходящимся и значения не имеет. 
Аналогично определяются интегралы: 
 
   
     
lim ;
lim lim . 
b b
a a
c b
a ba c
f x dx f x dx
f x dx f x dx f x dx


 

 
 
  
 
 
Если оба предела в правой части конечны, то интеграл называется сходящимся, если же хотя 
бы один из них бесконечный или не существует, то – расходящимся.  
Итак, несобственные интегралы с бесконечными пределами – пределы определённых 
интегралов с переменными верхними или нижними пределами при стремлении этих пределов к 
бесконечности. 
Вычислить несобственные интегралы, или установить их расходимость: 
 
  2 2 2ln 1 11 lim lim lim lim 1 1ln ln ln ln ln
b
b b
b b b be e e
e
d xdx dx
x x x x x x b

   
                    
 
интеграл сходится и его значение равно 1. 
 
  44 4 2 33 333 22 3 3 4 ,limlim lima aa a adx x dx x ax             
 
интеграл расходится и значений не имеет. 
 
 00 03 cos lim cos limsin limsinb bb b bxdx xdx x b       . 
 
– предел не существует   интеграл расходится. 
 
 
 
 46
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 
 
Задание 1. Доказать совместность данных систем и решить по формулам Крамера. 
 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 4;
1.1. 3 3 5;
3.
x x x
x x x
x x x
          
   
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 4;
1.2. 2 3 1;
0.
x x x
x x x
x x x
         
 
 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 1;
1.3. 2 7;
2 3.
x x x
x x x
x x x
         
   
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 1;
1.4. 3 2 2;
2 0.
x x x
x x x
x x x
        
 
 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2;
1.5. 2 3 4;
3 13.
x x x
x x x
x x x
          
   
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 1;
1.6. 3 1;
5.
x x x
x x x
x x x
         
 
 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 4 8;
1.7. 2 4 5 11;
2 1.
x x x
x x x
x x x
        
   
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0;
1.8. 3 4 11;
1.
x x x
x x x
x x x
         
 
 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 0;
1.9. 4 4 6;
2 4.
x x x
x x x
x x x
        
   
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6;
1.10. 2 7;
3 2.
x x x
x x x
x x x
          
 
 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3;
1.11. 3 2 7;
2 2.
x x x
x x x
x x x
          
  
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 1;
1.12. 2 6;
3 3 5.
x x x
x x x
x x x
          
 
 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2;
1.13. 0;
2 2 3 7.
x x x
x x x
x x x
        
   
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3;
1.14. 3 2 7;
3 3 10.
x x x
x x x
x x x
         
 
 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 0;
1.15. 2 2 1;
3 2 3 5.
x x x
x x x
x x x
        
   
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 2;
1.16. 3 4 4;
2 2 5.
x x x
x x x
x x x
         
 
 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 3 2;
1.17. 2 3 3;
2 1.
x x x
x x x
x x x
        
  
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2;
1.18. 2 5;
2 3 2 4.
x x x
x x x
x x x
         
 
 
 47
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 5;
1.19. 2 2 0;
2 3 3.
x x x
x x x
x x x
         
  
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 3 2;
1.20. 2 2 0;
2 2 3 6.
x x x
x x x
x x x
         
 
 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 4 7;
1.21. 2 1;
4 1.
x x x
x x x
x x x
           
  
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 1;
1.22. 2 2 4;
2 3 7.
x x x
x x x
x x x
          
 
 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 7;
1.23. 2 1;
5 1.
x x x
x x x
x x x
         
  
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 3;
1.24. 2 2 3;
2 10.
x x x
x x x
x x x
         
 
 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3;
1.25. 3 3 13;
2 2.
x x x
x x x
x x x
         
    
 
Задание 2. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. 
 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 4 1;
2 6 4 8 1;
2.1.
3 3 4 4;
3 3 3 4 0.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
                
 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 3
3 4 1;
2 6 4 8 1;
2.2.
4 9 2 12 1;
5 3.
x x x x
x x x x
x x x x
x x
              
 
 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 8;
2 4 3 1;
2.3.
4 7 18 11 13;
3 2 9.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
                
 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3
1 3 4
4 5 4 15;
2 2 4 3;
2.4.
2 6 6;
3 2 11.
x x x x
x x x x
x x x
x x x
                
 
 
1 2 3 4
1 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 3 2 0;
2 4 0;
2.5.
3 5 2 0;
5 6 2 0.
x x x x
x x x
x x x x
x x x x
              
 
1 2 3 4
1 2 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 0;
2 4 0;
2.6.
2 2 0;
4 10 0.
x x x x
x x x
x x x x
x x x x
              
 
 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 4
1 3 4
3 4 6;
3 2 2 3;
2.7.
3 2 3;
4 0.
x x x x
x x x x
x x x
x x x
               
 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 2 4;
3 4 3 10;
2.8.
5 5 8 16;
5 3 10 18.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
               
 
 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 4 2;
5 8 4 12 4;
2.9.
4 7 5 12 1;
2 3 4 3.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
                   
 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
7;
1;
2.10.
1;
5.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
                
 
 48
 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
7 2 2;
2 3 8 4 1;
2.11.
4 2 19 8;
6 5 11 3 3.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
                
 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 3 4
4;
2 3 1;
2.12.
3 4 2 6 11;
5 4 2 11.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
               
 
 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 3 4
4;
2 3 1;
2.13.
3 4 2 6 11;
5 4 2 11.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
               
 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
7;
1;
2.14.
1;
5.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
                
 
 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1;
3 2 2 2;
2.15.
2 4 3 6 7;
7 5 6 6 6.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
               
 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 4
2;
2 3 4 0;
2.16.
4 2 4;
5 2 6.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
              
 
 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
0;
2 3 4 0;
2.17.
3 2 5 0;
5 8 0.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
               
 
2 3 4
1 2 3 4
2 3 4
1 2 3 4
3;
6 3 3;
2.18.
5 7 4 5;
2 3 5 2 1.
x x x
x x x x
x x x
x x x x
              
 
 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 2 5;
2 2 1;
2.19.
2 4 5 13;
2 3 4 9.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
               
 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 1;
3 2 1;
2.20.
4 1;
4 1.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
               
 
 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 4 3 1;
2 3 3 2 2;
2.21.
4 9 8 3;
6 4 8 4.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
                
 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4
2 3 2;
6 3 3;
2.22.
2 2 2 1;
3.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
               
 
 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 4
10;
2 2 2;
2.23.
3 2 3 2;
2 4 6.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
               
 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
4 5 6 0;
3 2 4 0;
2.24.
2 3 2 0;
4 4 9 0.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
               
 
 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2;
14;
2.25.
2 3 5 4;
2 2 7.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
                 
  
 
 49
Задание 3. Вершины треугольной пирамиды находятся в точках 1 2 3 4, , ,A A A A . Найти, 
используя векторы ( , )a b : а) косинус угла между ребрами 1 2 1 4,A A A A ; б) длину высоты, 
опущенной из вершины 4A  на грань 1 2 3A A A ; в) уравнение ребра 1 4A A ; г) уравнение 
плоскости 1 2 3A A A ; д) уравнение высоты, опущенной из вершины 4A  на плоскость 
1 2 3A A A ; е) угол между ребром 1 4A A  и плоскостью 1 2 3A A A . 
       1 2 3 43.1. 7; 2; 4 , 7; 1; 2 , 3; 3; 1 , 4; 2; 1 .A A A A    
       1 2 3 43.2. 1; 3; 6 , 2; 2; 1 , 1; 0; 1 , 4; 6; 3 .A A A A    
       1 2 3 43.3. 1; 2; 0 , 3; 0; 3 , 5; 2; 6 , 8; 4; 9 .A A A A   
       1 2 3 43.4. 5; 1; 4 , 1; 2; 1 , 3; 3; 4 , 2; 2; 2 .A A A A    
       1 2 3 43.5. 1; 1; 1 , 1; 2; 4 , 2; 0; 6 , 2; 5; 1 .A A A A    
       1 2 3 43.6. 6; 1; 4 , 2; 2; 5 , 7; 1; 3 , 1; 3; 7 .A A A A    
       1 2 3 43.7. 1; 2; 6 , 0; 3; 8 , 5; 1; 4 , 3; 2; 6 .A A A A     
       1 2 3 43.8. 1; 2; 3 , 3; 3; 2 , 2; 3; 1 , 12; 0; 0 .A A A A  
       1 2 3 43.9. 2; 3; 5 , 0; 2; 1 , 2; 2; 3 , 3; 2; 4 .A A A A    
       1 2 3 43.10. 1; 1; 1 , 2; 0; 2 , 2; 2; 2 , 3; 4; 3 .A A A A   
       1 2 3 43.11. 3; 1; 4 , 1; 6; 1 , 1; 1; 6 , 0; 4; 1 .A A A A    
       1 2 3 43.12. 1; 4; 2 , 3; 1; 2 , 5; 2; 4 , 2; 3; 4 .A A A A   
       1 2 3 43.13. 1; 1; 5 , 2; 5; 1 , 1; 4; 3 , 5; 3; 2 .A A A A   
       1 2 3 43.14. 1; 1; 3 , 3; 5; 4 , 3; 2; 4 , 0; 4; 1 .A A A A   
       1 2 3 43.15. 4; 2; 5 , 0; 7; 2 , 0; 2; 5 , 1; 4; 0 .A A A A  
       1 2 3 43.16. 1; 1; 5 , 4; 4; 1 , 1; 2; 0 , 5; 1; 5 .A A A A    
       1 2 3 43.17. 9; 5; 5 , 3; 7; 1 , 5; 7; 8 , 6; 9; 2 .A A A A  
       1 2 3 43.18. 1; 1; 1 , 4; 4; 4 , 3; 5; 5 , 2; 4; 7 .A A A A  
       1 2 3 43.19. 0; 0; 1 , 2; 3; 5 , 6; 2; 3 , 3; 7; 2 .A A A A  
       1 2 3 43.20. 1; 2; 3 , 2; 4; 1 , 7; 6; 3 , 4; 3; 1 .A A A A    
       1 2 3 43.21. 0; 0; 0 , 5; 2; 0 , 2; 5; 0 , 1; 2; 4 .A A A A  
       1 2 3 43.22. 2; 4; 3 , 7; 6; 3 , 4; 9; 3 , 3; 6; 7 .A A A A  
       1 2 3 43.23. 3; 5; 4 , 5; 8; 3 , 1; 9; 9 , 6; 4; 8 .A A A A  
       1 2 3 43.24. 3; 3; 9 , 6; 9; 1 , 1; 7; 3 , 8; 5; 8 .A A A A  
       1 2 3 43.25. 6; 6; 2 , 5; 4; 7 , 2; 4; 7 , 7; 3; 0 .A A A A  
 
Задание 4. Вычислить пределы. 
  
32 3
2 25 0
6 5 cos cos 44.1. ) lim ; б) lim ; в) lim .
2 11 5 8
x
x x x
x x x x xa
x x x x  
          
3 26
6 1
4 5 sin (1 ) 14.2. ) lim ; б) lim ; в) lim 1 .
3 1 21
x
x x x
x x x xa
x xx

  
          
5
23 0
4 3 3 1 cos 2 34.3. ) lim ; б) lim ; в) lim .
9 sin 2
x
x x x
x x xa
x x x x
 
  
         
5 32
25 0
3 14 5 2 34.4. ) lim ; б) lim ; в) lim .
7 10 sin tg5 2 41
x
x x x
x x x xa
x x x x x
 
  
          
 50
 3 3 333 0 127 tg2 sin 74.5. ) lim ; б) lim ; в) lim 7 6 .33
x
x
x x x
x x xa x
xx x

  
    
3 52 2
1 0
2 3 54.6. ) lim ; б) lim ; в) lim .
sin 5 31
x
x x x
x x x x xa
x xx

  
        
504 2
21
4
sin
4 5 1 444.7. ) lim ; б) lim ; в) lim ln .
1 1 41 2 cos
x
x xx
x
x x xa
x xx

 
 
             
  253 2
3 2 20
3 1 cos3 2 34.8. ) lim ; б) lim ; в) lim .
7 5 4 1 1 cos 4 2 3
x
x x x
x x xa
x x x x x  
         
 
  215
2 0 0
2 2 arcsin 54.9. ) lim ; б) lim ; в) lim cos3 .
2 7
x
x x x
x xa x
x x  
 
  
 2 35 03 10 1 cos4.10. ) lim ; б) lim ; в) lim 2 ln(3 ln ).125 cos3 cosx x x
x x xa x x x
x x x  
       
   3 32 2 2 220 1cos 2 cos 24.11. ) lim 9 9 ; б) lim ; в) lim 5 4 .3 x xx x xx xa x x xx        
3 0 0
1 2 1 cos6 ln(1 5 )4.12. ) lim ; б) lim ; в) lim .
3 tg32 3 3x x x
x x xa
x x xx  
   
   
  24 5 13 23 0 181 1 cos4.13. ) lim ; б) lim ; в) lim 3 2 .27
x
x
x x x
x xa x
x x

  
    
4 52
22 0
8 ( 2) arctg10 74.14. ) lim ; б) lim ; в) lim 1 .
3 12 1 cos5
x
x x x
x x xa
x x x

  
        
sin
0 0 0
9 3 1 14.15. ) lim ; б) lim ; в) lim ln 1 2 .
arctg2 2 3
x
x x x
x ea x
x x x  
     
  233 2 23 70 07 5 4 1 sin 34.16. ) lim ; б) lim ; в) lim 1 tg 3 .( 2) xxx x xx x x xa xx xe       
 20 016 4 arcsin104.17. ) lim ; б) lim ; в) lim 3 ln(5 2 ) ln 2 .sin ( 4) 2x x x
x xa x x x
x x x   
      
    22 2 33
4
sin
44.18. ) lim 1 ; б) lim ; в) lim 2 5 .
1 2 cos
x
x
x xx
x
a x x x x x
x


 
         
  12 1 cos221 0 01 2 9 34.19. ) lim ; б) lim ; в) lim 1 sin 3 .1 1 1 cos5 xx x xxa xx x x            
  21525 0 01 3 2 6 2 64.20. ) lim ; б) lim ; в) lim cos6 .5 1 cos 4 xx x x
x x tg xa x
x x x  
  
   
 3 2 82 0 03 cos3 14.21. ) lim ; б) lim ; в) lim 1 5 .5 1 15 1 tg2
x
x
x x x
x x xa x
x x x x

  
      
 
    5 24 5 1 sin5 3 5 24.22. ) lim ; б) lim ; в) lim 3 5 ln 5 ln .4 3x x x
x
x x xa x x x
x x x x   
        
 51
 2 5 2121 0 1
2
2 7 4 cos cos4.23. ) lim ; б) lim ; в) lim 2 .
10 5
x
x
x xx
x x x xa x
x x

 
     
 2 2 43
1 0 3
54.24. ) lim ; б) lim ; в) lim 10 3 .
1 cos31
x
x x x
x x xa x
xx

  
   
4
0
3 1 cos6 1 34.25. ) lim ; б) lim ; в) lim .
sin 5 1 35 3
x
x x x
x x xa
x x xx  
          
 
Задание 5 . Найти производные dy
dx
. 
 
 
   
 
2arcsin 1 2
2
4 2
5
2 22
2
3 2 5
5.1. ) 5 ln tg ; б) sin cos .
sin5.2. ) 3 2 5 ; б) .
2
ln5.3. ) arcsin 1 ; б) 3 0.
1
15.4. ) arccos ln arctg ; б) ln ln 8.
5.5. ) tg 1 ln 4; б) arctg 0
x
xy
a y x y x x y
xa y x x y xe
x
xa y x x y x y
x
a y x x x y y x
x
a y x x x y y


   
    
      
   
       .
 
 
  
2
2
3
2 3 3
3 4
2 2 3
cos5.6. ) ln ; б) acrtg .
sin
5.7. ) ln cos arctg ; б) 3 0.
2
arcsin 45.8. ) ln 1; б) sin 2 0.
cos
5.9. ) sin cos tg ; б) ln .
x x
x
ax ya y y x
ax x
e ea y x y axy
x
xa y x x y xy
x
xa y e x y x y
y

 
      
     
   
 
 
3
2
arccos
2
2 3
2
2 2
2
25.10. ) ; б) arcsin .
3
cos 15.11. ) ln tg ; б) 0.
2sin 2 2
15.12. ) arctg ; б) ln 1 .
1
5.13. ) 2 ln cos ; б) sin 0.
2 4 2 4
5.14. ) 4 arcsin ; б) ln
2
x
y x
x
xa y xy x
yx
x x ya y e e
x x
xa y xy y
x
x xa y tg x x y
xa y x e
 
  
    
  
              
   1.xy
y
 
 
 
2 1
2 cos3
3
2
arcsin 2
5.15. ) 1 ln sin 2 2 ; б) acrtg .
15.16. ) ln tg 5 ; б) sin cos 0.
4 6
5.17. ) 5 ln tg ; б) sin .x
x
x y
y xa y x
x y
a y x x y y x
x x
ya y x e
x
 
   
     
  
 
 52
 
2 2
2
2 2 3
5.18. ) ln arccos ; б) 2 .
15.19. ) ctg 1 arccos ; б) 0.
y y
xy
a x aa y x e x e x
a x a x
a y x e x y
x
     
     
 
 sin 3
2 4 4
5.20. ) 2 arcsin 2 ; б) sin 2 3 0.
15.21. ) ln arccos ; б) 2 0.
xa y x x y x y
a y x y y
x
    
     
 
 
2 2 25.22. ) arctg 1 ; б) cos ( ) .
5.23. ) ln ln cos sin ; б) arctg 0.x x
a y x x x y xy
a y e x e x y x xy
    
    
 
 
3
3 5 7
2
1 2 1 15.24. ) sin sin sin ; б) 1 ln 2 .
3 5 7 2
5.25. ) cos 1 ; б) arctg 0.x
a y x x x x x y
a y e x y x y
     
      
 
   Задание 6. Дана функция  , ,u u x y z , точка 0 0 0( , , )M x y z  и вектор s . Найти в точке М:  
а) производную по направлению u
s

  по направлению вектора s ; б) градиент grad u

. 
 
 
 
   
0
2 2 2
0
2
0
3 5
0
2
0
2 2
6.1. 5 sin ; ; 1; 1; 0 .
2
6.2. ; 2 2 ; 3; 4; 5 .
6.3. ln ; ; 2; 1; 1 .
6.4. sin ; 3 6 2 ; ; ;2 .
2 4
6.5. ln 5 ; 2 3 3 ; 1; 2; 4 .
6.6. 2 1;
xy z zu s j k M
y
u x y z s i j k M
yu x zy s i j k M
z
xu x z y s i j k M
z
u x xy z s i j k M
u x yz x s
   
      
    
         
     
   
 
 02 3 ; 1; 2; 2 .i j k M  
 
 
     
4 2
0
0
2
0
6.7. 3 4 ; 3 4 ; 1; 1; 2 .
6.8. arctg ln ; ; 1; 0; 1 .
6.9. sin ; 2 2 ; ; 1; 2 .
2
u x y z x s i k M
u xyz x y z s i k M
xu z y s i j k M
y
     
     
         

 
   
 
2 2
0
2
0
2
2
0
6.10. ln ; 8 4 8 ; 1; 0; 1 .
6.11. cos 3 ; 3 4 ; ; 1; 2 .
4
6.12. arcsin ; 5 12 ; 1; 2; 1 .
u x x y z y s i j k M
u xy z s i j k M
zu x s i k M
y
      
        
    

 
 0
02
6.13. ln ; 12 5 ; 2; 1; 0 .
6.14. ctg ; 2 ; 1; ; 1 .
4
z
yu e x s j k M
yu yz s i j k M
x

   
        
 
 53
06.15. 2 cos ; 8 4 ; 2; ; 1 .2 2
xz yu s i j k M
z
          
 
2 2
0
2
0
6.16. sin 2 ; 5 ; 3; 1; .
4
6.17. 2 ; 4 2 ; 2; 2; 0 .
u yz x y s i j k M
zu xy y z s i j k M
x
        
      

 
   3 2 2 06.18. ln 5 ; 4 ; 2; 1; 1 .u x y xz y s i j k M       
 
 
 
2 22
0
2
0
2
0
6.19. 5 ; 2 4 ; 1; 1; 1 .
6.20. ; 5 2 ; 2; 2; 1 .
6.21. ; ; 3; 0; 2 .
x
z
xz
y x
u y x s i j k M
u x x z s i j k M
u xe ye z s i j k M
      
    
     
 
 0226.22. ; 4 2 ; 1; 2; 1 .xy yu e s i j k Mz       
 
 
 
2 2
0
0
32 2
0
6.23. ln( ) 2 ; 3 ; 1; 1; 2 .
6.24. ln ; 2 2 ; 4; 1; 2 .
2
6.25. 2 3 ; 2 3 3 ; 4; 2; 1 .
u y x z x y s i j k M
xu xyz s i j k M
z
u y x y z s i j k M
     
      
     
 
 
Задание 7. Найти интегралы 
 
7.1. а) 4 ;tg xdx    б) sin 2 ;x xdx   в) 5 34 22 6 1 .3x x dxx x   
7.2. а) 
2
3
1
1
x xdx
x
 
 ;  б) 3ln ;xdx    в) 
3
2
cos
sin
xdx
x . 
7.3. а) 4 2cos sin ;x xdx   б) 3 336x xdxx ;   в) 2 2xx e dx . 
7.4. а)   
2
2
7 4 20
4 2
x x dx
x x
 
  ;  б) ;3 5cosdx x   в) arctg xdx . 
7.5. а)  2 xx e dx ;   б) 3 ;1dxx     в) 4 3cos sinx xdx . 
7.6. а) 2 ;cos
xdx
x    б)   
2
2
3 6 1
1 4 5
x x dx
x x x
 
   ;  в) 43ctg xdx . 
7.7. а) 
41
1
x dx
x

 ;    б) lnx xdx ;   в) 4sin xdx . 
7.8. а)  33 21 ;x dxx x

    б) sin cosdxx x ;  в) 2 xx dx . 
7.9. а) 4 ln ;x xdx    б) 34 1
dx
x x ;   в) 
5
2
cos
sin
x dx
x . 
7.10. а) 
3
2
cos ;
sin
x dx
x    б) ;xarctgxdx   в)  5 1
dx
x x  . 
 54
7.11. а)  31 dxx x ;  б) cos5 ;x xdx   в) 2 4sin cosx xdx . 
7.12. а) 3 ;ctg xdx    б) 3 25 8 ;4 4x dxx x x    в) arcsin .xdx  
7.13. а)  2 3 ;4 9
x dx
x x

     б) 3 ;ctg xdx    в) 2sec .x xdx  
7.14. а)  21 2sin 3 ;x dx   б) 2ln ;x dxx    в)   
3 3 1 .
1 2
x x dx
x x
 
   
7.15. а) 
3 2
;dx
x x    б) 
sin ;
1 sin
xdx
x    в) 3xx dx . 
7.16. а) 
2
3 2
3 8 ;
4 4
x dx
x x x

    б 2 2 ;1 4x arctg x dxx    в) 3 3sin cos .x xdx  
7.17. а)   2 2 ;1
dx
x x x    б) arccos ;xdx   в) 5cos .xdx  
7.18. а) ln ;x xdx    б) 5 43 8 ;4x x dxx x    в) 
3
4
cos .
sin
x dx
x  
7.19. а)   
2
2
2 7 ;
1 4
x x dx
x x
 
    б)  2 ln 1 ;x x dx   в) 4 .tg xdx  
7.20. а)  24 cos5 ;x dx   б)  2ln 1 ;x dx   в)    
2
2
5
.
1 2
x x dx
x x x
 
    
7.21. а) 3
cos ;
sin
x xdx
x    б)  
2
22
4 12 12 ;
2
x x dx
x x
 
   в) 34 .1
xdx
x   
7.22. а) 2 sin ;x xdx    б)  2 ;1dxx x    в) 4 2cos sin .x xdx  
7.23. а) 4cos ;xdx    б) 2ln ;xdx   в)   21 2
dx
x x  . 
7.24. а) cos ;xe xdx    б) 6cos ;xdx   в)   2
5 .
4 1
dx
x x   
7.25. а) 2 ;4 5
dx
x x   б) 2 ln ;x xdx    в) 7cos .xdx  
 
Задание 8. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость. 
 
8.1. 
0
sin xdxх .  8.2. 
e xх
dx
2
3
)(ln
. 8.3.  1 2 )1( xх
dx
.   8.4. 
2
ln dxх
x
.   
8.5. 

  522 xx
dx
.  8.6.  
0
2)3( dxex x .  8.7. 
 
0
2 642
32 dx
xx
x
. 8.8.  0 2
3
91
dx
x
e xarctg
. 
8.9. 

xdxx 3cos .  8.10. 
  21 x
xdx
. 8.11.  
0
3 dxxe x . 8.12. 
  84 24 xx
xdx
.  8.13. 
2
3ln xх
dx
.  
 55
8.14.  0 2 4х
xdx
. 8.15. 

6 2 56xx
dx
.  8.16. 

1
4x
dx
. 8.17. 

xdxx 2cos . 8.18. 
 
2
2
2
)1)(1(
172 dx
xx
xx
. 
8.19.  1 2 345 xx
dx
. 8.20.  1 21 dxx
arctgx
. 8.21.  
0
2
dxxe x . 8.22. 
2 ln xx
dx
. 
8.23. 2
2 ln ln ln
dx
x x x
 .  8.24.  0 4 x
dx
. 8.25. 

1 2)1( x
xdx
. 
 
 
Задание 9. Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями с помощью определенного 
интеграла. Сделать чертеж. 
 
9.1. 4824;816 22  хуху .    9.14. .;0;ln exyxy   
9.2. 4;1;
16 2
2
 xху
ху .     9.15. 
4
3;
4
;0;sin   xxyxy . 
9.3. 1;4;3 2
2  xхуху .    9.16. 
22 31;2 yxyx  . 
9.4. 0;2;12  ухху .    9.17. 0;cos;1  yxyxy . 
9.5. 5;4  ухху .     9.18. 052;2522  yyx . 
9.6. 01;122  ухху .    9.19. 3;342  xyxxy . 
9.7. 
4
8;4 2
2
 хуух .     9.20. 
22 ;8 хуху  . 
9.8. 0;0;cos1  yxxу .    9.21. 0;4 2  yxxy . 
9.9. 0;0;562  yxxxy .    9.22. 4;;1 2  yxy
x
y . 
9.10. 0;2;2 2  yxyxy .   9.23. 3;ln;ln  xxyxy . 
9.11. 2;;   yeyey xx .     9.24. xxyxy 2;4 22  . 
9.12. 0;1;)1( 2  yyxxy .    9.25. 0,0;25;2 22  yyyxxy . 
9.13. 3;342  xyxxy .    
 
 56
Литература 
 
1. Высшая математика. Общий курс / под ред. С.А. Самоля. – Минск: Вышэйшая шк., 2000. 
2. Высшая математика для экономистов / под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 1998. 
3. Шипачев, В.С.. Высшая математика. / В.С. Шипачев. – М.: Высшая шк., 1985. 
4.Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: учебное пособие в 3 ч./ под ред. 
А.П. Рябушко. – Минск: Вышэйшая шк., 1991. 
 
 
 57
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Учебное издание 
 
Методические указания  
и контрольные задания по высшей математике  
для студентов заочного отделения ФТУГ (I курс)  
специальностей 1-26 02 02 «Менеджмент»  
и 1-25 01 07 «Экономика и управление на предприятии» 
 
С о с т а в и т е л и:  
БОРОДИЧ Лилия Ивановна 
КУРАЛЕНКО Маргарита Владимировна 
НИФОНТОВА Дарья Александровна  
 
Технический редактор О.В. Песенько 
 
Подписано в печать 01.02.2013. Формат 6084 1/16. Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 3,31. Уч.-изд. л. 2,59. Тираж 200. Заказ 868. 
Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический  
университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. Пр. Независимости, 65. 220013, г. Минск.