П. Г. Кужир В. А. Самойлюкович Б. И. Тесевич Контрольные задания и учебные материалы из ик а Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра физики П.Г.Кужир В. А.Самойлюкович Б.И.Тесевич Ф И З И К А Учебно-методическое пособие для студентов-заочников строительного и горно-механического профилей В 3-х частях Ч а с т ь 2 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ Рекомендовано Редакционно-издательским советом Белорусского национального технического университета М и н с к 2 0 0 3 УДК 530.1(075.8) ББК 22.3я7 К 88 Рецензенты: кандидат физ.-мат. наук, доцент Н.Р.Последович, кандидат физ.-мат. наук, профессор И.А.Сатиков Кужир П.Г. К 88 Физика: Учебно-метод. пособие для студ.-заочников строит, и гор- но-мех. профилей. В 3 ч. Ч. 2. Электричество и магнетизм: Контроль­ ные задания и учебные материалы / П.Г.Кужир, В.А.Самойлюкович, Б.И.Тесевич. - Мн.: БИТУ, 2003. - 112 с. ISBN 985-479-039-8. Учебно-методическое пособие содержит учебные материалы и контрольные задания по электричеству и магнетизму. Приведена рабо­ чая программа по соответствующим разделам физики, сформулирова­ ны методические требования, предъявляемые к выполнению и оформ­ лению контрольных работ. Часть 1 данного учебного пособия «Механика, статистическая фи­ зика и термодинамика» вышла в свет в 2002 г. УДК 530.1(075.8) ББК 22.3я7 ISBN 985-479-039-8 © Кужир П.Г., Самойлюкович В.А., Тесевич Б.И., 2003 Предисловие Данное учебно-методическое пособие ставит своей целью ока­ зать помощь студентам-заочникам строительных и горно­ механических специальностей в изучении физики. Знание законов физики предполагает умение применять их при решении конкрет­ ных задач. Как правило, решение задач вызывает наибольшие за­ труднения у студентов-заочников. В соответствии с этим мы пред­ ставили учебный материал таким образом, чтобы помочь студен­ там в самостоятельном решении задач по электричеству и магне­ тизму. В начале каждого раздела помещен краткий перечень формул и законов, необходимых при решении задач данного раздела. Даны методические указания к решению задач, приведены при­ меры решения типовых задач. Представлен набор задач для само­ стоятельного решения, состоящий из десяти вариантов. Задачи по­ добраны таким образом, чтобы уяснить понимание физических за­ конов и развить у студента-заочника умение рассуждать. Предполагается, что, работая с данным учебным пособием, сту- дент-заочник будет привлекать литературу по курсу общей физики, перечень которой указан в конце рабочей программы. В учебно-методическом пособии учтены особенности учебных планов по физике для студентов различных специальностей. Дая этого даны две таблицы вариантов контрольных работ. Таблица i предназначена для студентов, выполняющих одну контрольную работу по электростатике, постоянному току и электромагнетизму. Таблицы 2 и 3 предназначены для студентов, учебным планом ко­ торых предусмотрены две контрольные работы. 3 Рабочая программа курса физики для специальностей строительного и горно­ механического профилей Электричество и магнетизм Предмет классической электродинамики. Электрический заряд и его дискретность. Закон сохранения электрического заряда. Идея близкодействия. Э лектростатика Закон Кулона. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции. Электрический диполь. Поток вектора напряженно­ сти. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме. При­ менение теоремы Гаусса к расчету электростатического поля. Ра­ бота перемещения заряда в электростатическом поле. Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля. По­ тенциальный характер электростатического поля. Потенциал элек­ тростатического поля и его связь с напряженностью. Идеальный проводник в электростатическом поле. Поверхност­ ная плотность заряда. Граничные условия на границе “проводник- вакуум”. Электростатическое поле в полости идеального провод­ ника. Электростатическая защита. Электроемкость уединенного проводника. Взаимная емкость двух проводников. Конденсаторы. Емкость конденсаторов различной геометрической конфигурации. Соединение конденсаторов. Энергия взаимодействия электриче­ ских зарядов. Энергия системы заряженных проводников. Энергия заряженного конденсатора. Плотность энергии электростатическо­ го поля. 4 Электростатическое поле в веществе Электрический диполь во внешнем электростатическом поле. Поляризация диэлектрика. Поляризованность. Электрическое сме­ щение. Диэлектрическая проницаемость. Основные уравнения электростатики диэлектриков. Граничные условия на границе раздела “диэлектрик-диэлектрик” и “проводник-диэлектрик”. Плотность энергии электростатического поля в диэлектрике. Элек- трострикция и пьезоэлектрический эффект. Сегнетоэлектрики. Постоянный электрический ток Условия существования электрического тока. Прово днищ и изоляторы. Законы Ома и Джоуля-Ленца в интегральной и диффе­ ренциальной форме. Сторонние силы. Электродвижущая сила (ЭДС). Источники ЭДС. Закон Ома для замкнутой цепи и для уча­ стка цепи, содержащего источник ЭДС. Законы Кирхгофа. Работа и мощность электрического тока. КПД электрической цепи. Нели­ нейные явления при постоянном токе. Электрический ток в вакууме. Термоэлектронная эмиссия. Электрический ток в газе. Процессы ионизации и рекомбинации. Электропроводность слабоионизированных газов. Понятие о плаз­ ме. Дебаевская длина. Электропроводность плазмы. Области при­ менения плазмы. М агнитное поле постоянных токов Сила Лоренца. Магнитное поле движущегося заряда. Вектор магнитной индукции. Принцип суперпозиции. Закон Био-Савара- Лапласа и его применение к расчету магнитного поля. Магнитное поле прямолинейного проводника с током. Магнитное поле круго­ вого тока. Вихревой характер магнитного поля. Теорема о цирку­ ляции вектора магнитной индукции для магнитного поля в вакууме и ее применение к расчету магнитного поля тороида и длинного соленоида. 5 Движение заряженных частиц в магнитном поле. Принцип действия циклических ускорителей заряженных частиц. Электрон­ ный микроскоп. Эффект Холла. МГД-генератор. Действие магнит­ ного поля на проводник с током. Сила Ампера. Взаимодействие параллельных токов. Определение 1 ампера в СИ. Виток с током в магнитном поле. Момент сил, действующих на виток с током в магнитном поле. Магнитный момент. Энергия витка с током во внешнем магнитном поле. Магнитный поток. Теорема Гаусса для магнитного поля в ва­ кууме. Работа перемещения' проводника с током в магнитном поле. М агнитное поле в веществе Намагничивание вещества. Магнитные моменты атомов. Намаг­ ниченность. Напряженность магнитного поля. Магнитная прони­ цаемость. Основные уравнения магнитостатики в веществе. Гра­ ничные условия на поверхности раздела двух магнетиков. Магнит­ ные цепи. Технические приложения законов магнитостатики. Виды магнетиков. Пара- и диамагнетики. Ферромагнетики. До­ мены. Спиновая природа ферромагнетизма и ее объяснение на ос­ нове квантовых представлений. Точка Кюри. Магнитный гистере­ зис. Ферриты. Магнитострикция ферромагнетиков. Магнитный ме­ тод охлаждения. Применение магнитных материалов. Электромагнитная индукция Явление электромагнитной индукции. Закон электромагнитной индукции. Правило Ленца. Токи Фуко. Скин-эффект. Ускоритель заряженных частиц - бетатрон. Явление самоиндукции. Индуктив­ ность. Токи при включении и отключении источника ЭДС в элек­ трическую цепь. Явление взаимной индукции. Взаимная индуктив­ ность. Энергия магнитного поля. Плотность энергии магнитного поля. Работа перемагничивания ферромагнетика. 6 Уравнения М аксвелла. Электромагнитные волны Фарадеевская и максвелловская трактовки явления электромаг­ нитной индукции. Вихревое электрическое поле. Ток смещения. Система уравнений Максвелла в интегральной и дифференциаль­ ной формах. Инвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований Лоренца. Относительность разделения электро­ магнитного поля на электрическое и магнитное поля. Волновое уравнение для электромагнитного поля. Плоская элек­ тромагнитная волна. Основные свойства электромагнитных волн. Энергия электромагнитной волны. Поток энергии. Плотность пото­ ка энергии. Вектор Умова-Пойнтинга. Излучение диполя. Электромагнитные колебания Колебательный контур. Дифференциальное уравнение колеба­ тельного контура. Свободные электрические колебания в колеба­ тельном контуре. Вынужденные электрические колебания. Элек­ трический резонанс. Переменный ток. Закон Ома для цепи пере­ менного тока. Импеданс. Электроны в кристаллах Элементы зонной теории кристаллов. Зонная структура энерге­ тического спектра электронов. Уровень Ферми, поверхность Ферми. Число электронных состояний в зоне. Заполнение зон: ме­ таллы, полупроводники, диэлектрики. Электропроводность металлов. Носители заряда в металлах. Недостаточность классической электронной теории. Электронный ферми-газ в металле. Носители тока как квазичастицы. Электрон­ ные теплоемкость и теплопроводность. Явление сверхпроводимо­ сти. Понятие о высокотемпературной сверхпроводимости. Тун­ нельный контакт. Эффект Джозефсона и его применение. Кван­ тование магнитного потока. Электропроводность полупроводников. Собственные и примес­ ные полупроводники. Понятие о р -п -переходе. Полупроводнико­ 7 вый диод и транзистор и их вольтамперные характеристики. Фото­ электрические явления в полупроводниках. Контактные явления двух металлов. ТермоЭДС. Термопара. Жидкие кристаллы. Типы жидких кристаллов: нематики, холе­ стерики, смектики. Примеры жидких кристаллов. Фазовые диа­ граммы. Упругие свойства нематиков. Поведение в электрическом и магнитном полях. Дисплеи на жидких кристаллах. Применение жидких кристаллов в технике. Полимеры. 8 Методические указания по выполнению контрольных работ По курсу физики студент-заочник должен выполнить контроль­ ные работы, количество которых определено учебным планом спе­ циальности. При выполнении контрольных работ необходимо со­ блюдать следующие правила: 1. Номера задач, которые студент должен включить в свою контрольную работу, следует определить по таблице вариантов. 2. На титульном листе необходимо указать номер контрольной работы, наименование дисциплины, фамилию и инициалы студен­ та, шифр и домашний адрес. 3. Контрольную работу следует выполнять аккуратно, оставляя поля для замечаний рецензента. 4. Задачу своего варианта переписывать полностью, а заданные физические величины выписывать отдельно; при этом все числен­ ные величины должны быть представлены в одной системе единиц (СИ). 5. Для пояснения решения задачи, где это нужно, сделать чер­ теж. 6. Решение задач и выбор используемых при этом формул сле­ дует сопровождать пояснениями. 7. В пояснениях к задаче необходимо указывать основные за­ коны и формулы, на использовании которых базируется решение данной задачи. 8. При получении расчетной формулы, которая нужна для ре­ шения конкретной задачи, приводить ее вывод. 9. Решение задачи рекомендуется сначала сделать в общем ви­ де (в буквенных обозначениях), давая при этом необходимые пояс­ нения. 10. Вычисления следует проводить путем подстановки заданных числовых значений в расчетную формулу. 9 11. Проверить единицы полученных величин по расчетной формуле, тем самым подтвердив ее правильность. 12. В контрольной работе следует указывать учебники и учеб­ ные пособия, которые использовались при решении задач. 13. Результаты расчета следует округлять. Правила округления следующие: - при сложении и вычитании все слагаемые округляют так, чтобы они не имели значащих цифр в тех разрядах, которые отсут­ ствуют хотя бы в одном из Слагаемых; - при умножении и делении исходные данные и результат ок­ ругляют до такого числа значащих цифр, сколько их содержится в наименее точном числе; - при возведении в степень в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их содержится в числе, возводи­ мом в степень; - при извлечении корня в окончательном результате количест­ во значащих цифр должно быть таким, как в подкоренном выраже­ нии; - в промежуточных вычислениях следует сохранять на одну цифру больше, чем рекомендуют правила, приведенные выше. Значащими цифрами называют все цифры, кроме нуля, и ноль, если он стоит в середине числа или является представителем со­ храненного десятичного разряда. Контрольные работы, представленные без соблюдения указан­ ных правил, а также работы, не относящиеся к требуемому вариан­ ту, засчитываться не будут. При отсылке работы на повторное рецензирование обязательно представлять работу с первой рецензией. 10 Таблица 1. Варианты контрольной работы для специальностей, учебными планами которых предусмотрена по физике одна работа в семестре Варианты Номера задач 1 301 311 321 371 381 401 421 441 461 2 302 312 322 372 382 402 422 442 462 3 303 313 323 373 383 403 423 443 463 4 304 314 324 374 384 404 424 444 464 5 305 315 325 375 385 405 425 445 465 6 306 316 326 376 386 406 426 446 466 7 307 317 327 377 387 407 427 447 467 8 308 318 328 378 388 408 428 448 468 9 309 319 329 379 389 409 429 449 469 0 310 320 330 380 390 410 430 450 470 Таблица 2. Варианты контрольной работы № 1 для специальностей, учебными планами которых предусмотрены по физике две работы в семестре Варианты Номера задач 1 301 311 321 331 341 351 361 371 381 2 302 312 322 332 342 352 362 372 382 3 303 313 323 333 343 353 363 373 383 4 304 314 324 334 344 354 364 374 384 5 305 315 325 335 345 355 365 375 385 6 306 316 326 336 346 356 366 376 386 7 307 317 327 337 347 357 367 377 387 8 308 318 328 338 348 358 368 378 388 9 309 319 329 339 349 359 369 379 389 0 310 320 330 340 350 360 370 380 390 И Таблица 3. Варианты контрольной работы № 2 для специальностей, учебными планами которых предусмотрены по физике две работы в семестре Варианты Номера задач 1 401 411 421 431 441 451 461 471 481 2 402 412 422 432 442 452 462 472 482 3 403 413 423 433 443 453 463 473 483 4 404 414 424 434 444 454 464 474 484 5 405 415 425 435 445 455 465 475 485 6 406 416 426 436 446 456 466 476 486 7 407 417 427 437 447 457 467 477 487 8 408 418 428 438 448 458 468 478 488 9 409 419 429 439 449 459 469 479 489 0 410 420 430 440 450 460 470 480 490 12 Электростатика. Основные определения и формулы В электростатике изучаются взаимодействие и свойства систем электрических зарядов, которые неподвижны относительно вы­ бранной инерциальной системы отсчета. Существует два вида электрических зарядов: положительные и отрицательные. Заряженные тела взаимодействуют: разноименно заряженные тела притягиваются, а одноименно заряженные тела отталкиваются. Заряд электрона е = -1,6-1(Г19 Кл; масса электрона Я1 -2 7т с = 9,И • 1 (Г кг; масса протона т р = 1,672 10 кг . Закон Кулона: сила взаимодействия двух неподвижных точеч­ ных зарядов, находящихся в вакууме, равна F ._ 1 ы ы А 2 54пе0 г где qi и q2 - величины зарядов; г - расстояние между ними,- е0 =8,85 10 12 Ф/м - электрическая постоянная. Сила F направле­ на вдоль прямой, соединяющей заряды. Если заряд q взаимодействует с зарядами qt , q2 ,..., qN , то ре­ зультирующая сила определяется формулой N F = l F , . i-1 где Fj - сила, с которой взаимодействуют заряды q и qi в отсутствие остальных N-1 зарядов. Взаимодействие неподвижных зарядов осуществляется посред­ ством электрического поля. Движущиеся заряды взаимодействуют друг с другом посредством не только электрического, но и магнит­ ного полей. Количественной характеристикой силового воздействия элек­ трического поля на заряженные частицы, является напряженность 13 электрического поля Е . Напряженность электрического поля в данной точке численно равна силе F , действующей на единичный точечный заряд, помещенный в рассматриваемую точку поля, т.е. Электрическое поле называется однородным, если в любой его точке вектор напряженности Е имеет постоянную величину и на­ правление. Модуль напряженности электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом q, в точке, удаленной от него на рас­ стояние г, равен: Е ___! _ . ч_. 4яе0 г2 Напряженность поля в вакууме, создаваемого зарядом q, равно­ мерно распределенным по сферической поверхности радиуса R, равна: а) Е ч — -----\ , если г a R; 4л:е0 г б) Е = 0, если г < R. Напряженность поля в вакууме бесконечно длинной равномерно заряженной нити (цилиндра) радиуса R равна: 'р Е = -------, если г a R, 2ле0г где г - расстояние от центра нити (цилиндра) до точки, где иссле­ дуется электрическое поле; т - линейная плотность заряда, числен­ но равная заряду, приходящемуся на единицу длины нити (цилинд­ ра), т.е. 14 Напряженность однородного электростатического поля в ва­ кууме бесконечной равномерно заряженной плоскости равна Е = ~г~->2е0 где о - поверхностная плотность заряда, численно равная заряду, приходящемуся на единицу площади заряженной поверхности, т.е. о = * * . dS qВ случае равномерной плотности заряда о = —. О Напряженность однородного поля двух бесконечных парал­ лельных равномерно заряженных с поверхностной плотностью за­ ряда +о и - а плоскостей (поле плоского воздушного конденсатора) в точках, расположенных между плоскостями и вне их, соответст­ венно равна: ч Р --S L . внутр »Ел"о б) ЕВ1)еш= 0 . Принцип суперпозиции электрических полей: напряженность Ё поля системы из N неподвижных зарядов равна N где Е; - напряженность поля, созданного зарядом q;. Элементарный поток ёФ вектора напряженности Е через уча­ сток поверхности, имеющей площадь dS, определяется равенством dФ = Ё•dS = E d S co s |ё ,n =En dS, где п - единичный вектор нормали к площадке dS, причем dS = dSn. 15 Поток Ф вектора Е через поверхность S равен: Ф =J* E d S . s Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности сквозь произвольную замк­ нутую поверхность S равен алгебраической сумме охватываемых этой поверхностью электрических зарядов qb q2, ..., qN, деленной на е0: Работа, которая совершается при перемещении электрического заряда q в электростатическом поле, не зависит от формы траекто­ рии, по которой происходит перемещение, а зависит только от на­ чального и конечного положения заряда. Значит, электростатиче­ ские силы являются консервативными. Работа, совершаемая сила­ ми электростатического поля по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2, равна где AWP - изменение потенциальной энергии заряда q при его пе­ ремещении из точки 1 в точку 2; ф] и ср2 - потенциалы поля в точ­ ках поля 1 и 2. Потенциал электростатического поля численно равен потенци­ альной энергии, которой обладал бы единичный положительный заряд, помещенный в данную точку поля, т.е. Циркуляцией вектора напряженности вдоль замкнутого контура L называется интеграл Этот интеграл численно равен работе, которую совершают элек­ тростатические силы при перемещении единичного положительно­ го электрического заряда по замкнутому пути. Так как электриче­ N А = - AWP = Wpl - Wp2 = q (ф5 - ф2), ф = W p / q . L L 16 ские силы консервативны, то работа по замкнутому пути будет рав­ на нулю. Тогда уЁсгё = 0, L а силовое поле, которое удовлетворяет этому условию, называют потенциальным. Потенциальная энергия электростатического взаимодействия системы п точечных зарядов равна: п W p - i y q , ф Г , 1=1 п где ^ - потенциал, создаваемый всеми зарядами, кроме (k*i) 1 qkqi, в точке нахождения i-го заряда, т.е. ф|к = —— — - потенциал, 4 я е 0 rik создаваемый зарядом qk в точке нахождения заряда ф (rik - расстоя­ ние между i-м и k-м зарядами). Потенциальная энергия электростатического взаимодействия двух точечных зарядов qi и q2, находящихся на расстоянии г, равна ду _ 1 Яз Яг р 4ле0 г при условии, что Wp на бесконечности равна нулю. Потенциал поля точечного заряда q на расстоянии г от него ра­ вен 1 qф = ------—. 4 л е 0 г Потенциал поля сферической поверхности радиуса R, по кото­ рой равномерно распределен заряд q, равен: а) для точек, лежащих вне сферы на расстоянии г от ее центра: 17 Ф = - ^ - ^ , г > R; 4ле0 г б) для точек, лежащих на поверхности сферы или внутри нее* Ф = — — г < R. 4яе0 R Потенциал равномерно заряженной нити (цилиндра) радиуса R на расстоянии г > R от центра нити равен т . R 9 = - ------- In — , 2ле0 г а при г < R он равен нулю. Связь потенциала с напряженностью поля - , ( т да> да г скрЕ = -grad ф = - + ^ o x a y o z Для однородного поля Е = (ф) - ф2) /d = - Лф/d, где d - расстояние между эквипотенциальными поверхностями с потенциалами ф| и ф2. Для электростатического поля, обладающего центральной или осевой симметрией, справедливо соотношение dtp dr ’ При внесении проводника в электрическое поле в любой точке внутри проводника напряженность установившегося электрическо­ го поля равна нулю. На поверхности проводника вектор Е направ­ лен по нормали к поверхности. Вблизи поверхности проводника е„ Е = , или ф = - fEdr. j Электрический момент диполя р = | q I * . 18 2 - плечо диполя (вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному). При внесении диэлектрика во внешнее электрическое поле про­ исходит поляризация диэлектрика, состоящая в том, что в любом элементарном объеме AV возникает суммарный дипольный момент молекул, отличный от нуля. Количественной мерой поляризации диэлектрика является век­ тор поляризации (поляризованность) Р : где pj - электрический дипольный момент i-той молекулы; N - общее число молекул в объеме AV. Для изотропного диэлектрика вектор Р пропорционален напря­ женности Ё поля внутри него: Р - X е0 Ё , где К - диэлектрическая восприимчивость диэлектрика. Поверхностная плотность а св связанных зарядов равна проекции вектора Р на внешнюю нормаль к поверхности диэлектрика: Осв ~ Рп* Диэлектрическая проницаемость е диэлектрика показывает, во сколько раз электрическое поле в диэлектрике меньше, чем внеш­ нее электрическое поле. Для изотропного диэлектрика векторы электрического смеще­ ния D и напряженности Е поля связаны формулой D = e0 е Ё , где е - диэлектрическая проницаемость среды, равная £ = 1 + К . Теорема Остроградского-Гаусса для электрического поля в ди­ электрике: поток вектора D через замкнутую поверхность S равен 19 алгебраической сумме заключенных внутри нее свободных заря­ дов, т.е. Отношение заряда q уединенного проводника к его потенциалу Ф называют электроемкостью данного проводника: Электроемкость уединенного шара радиуса R равна С = 4л ее0 R. Взаимная емкость двух близкорасположенных друг от друга проводников, заряженных равными по абсолютной величине, но противоположными по знаку зарядами q, равна с = ^ ------А , Ф1 - Ф 2 и где ф! - ср2 = U - разность потенциалов между двумя заряженными проводниками. Электроемкость плоского конденсатора равна где S - площадь пластины; d - расстояние между пластинами. Емкость С батареи из п конденсаторов, соединенных параллель­ но, равна Емкость С батареи из п конденсаторов, соединенных последова­ тельно, определяется из соотношения S S с - ^ 1 , d П Энергия уединенного заряженного проводника равна 20 W = ic < p 2 =-9-- = - q q ) . 2 2C 2 Объемная плотность энергии электрического поля w (энергия единицы объема пространства, в котором сосредоточено электри­ ческое поле) равна: ее Е2 ED D2w = —5---------------------- 2 2 2ее0 Сила взаимодействия пластин плоского конденсатора р _ q2 ee0SE2 2ee0S 21 Примеры решения задач Пример 1. Два одинаковых малень­ ких шарика подвешены на нитях одинаковой длины так, что их по­ верхности соприкасаются. После сообщения шарикам заряда Q0 = 4-10 7 Кл они оттолкнулись друг от друга и разошлись на угол а = 60°. Найти массу m каждого ша­ рика, если расстояние от центра ша­ рика до точки подвеса L = 0,2 м. Решение: Поскольку шарики одинаковые, то после их расхожде­ ния на каждом шарике останется заряд Q = Q J 2 . ( 1) При этом а = 2р (см. рисунок), т.е. Р = а/2. (2) Обозначим г - смещение каждого шарика от положения равно­ весия. Тогда расстояние между шариками после их расхождения будет равно R = 2г. (3) Из рисунка также следует, что r/L = sin Р, откуда r = Lsinp. (4) Условие равновесия шариков после их расхождения согласно второму закону Ньютона принимает вид Т + mg + F = Т + Т = 0, (5) где Т - сила натяжения нити; mg - сила тяжести шарика; F - си­ ла кулоновского отталкивания одноименно заряженных шариков, причем сила Т' = mg + F = -Т на основании равенства (5). Согласно закону Кулона и с учетом равенств (3), (1) и (4) полу­ чаем: 22 Q2 Q2 Q Q 4to0R2 16ле0г2 64ле0г2 64jte0 L2sin2 p , (6) где г0 = 8,85-КГ12 Ф/м - электрическая постоянная. На основании рисунка mg/F = ctgp, откуда с учетом (6) и (2) следует, что m = FctgP Q0 ctgp QpCtgf g 64KE0gL2sin2p 64л:еа g L2 sin2 ^ Учитывая, что ctg^- = ctg30° =J~3 , s in^ = sin 30° = 0,5 и g = = 9,81 м/с2, получаем искомый результат: m = 64-ЗД4-8,85-10~12 -9,81-0,04-0,25 Ответ: ш = 1,56 г. кг = 1,56 г . Пример 2. В вер­ шинах квадрата закреплены оди­ наковые точечные заряды Qi = Q2 = = Оз = Q4 = Q = = 2,33-10'9 Кл. В центре квадрата помещен отрица­ тельный заряд Q0. Найти этот заряд Qo, если результи­ рующая сила, дей­ ствующая на каж­ дый из зарядов, равна нулю. 23 Решение: Пусть L - сторона квадрата. Поскольку заряд Q0 равно­ удален от зарядов Qb Q2, Q3 и Q4, то равнодействующая сил, при­ ложенных к нему со стороны этих четырех зарядов, равна нулю при любом значении Q0. Так как заряды Qj, Q2, Q3 и Q4 расположены симметрично от­ носительно заряда Qo, то для решения задачи следует рассмотреть условие равновесия любого из зарядов Qi, Q2, Q3 или Q4. Для определенности рассмотрим условие, при котором сумма всех сил, действующих на заряд Qb равна нулю. Согласно второму закону Ньютона F2 +F4 + ^ + Fo «Fa4+F3 + Fo - 0 , (1) где F2,F3 h F4 - кулоновские силы отталкивания, приложенные к первому заряду соответственно со стороны второго, третьего и чет­ вертого зарядов, причем сила F24 = F2 + F4; F0 - сила кулоновского притяжения заряда Qi к заряду Q0; угол а = 45° (см. рисунок). Проецируя уравнение (1) на ось х, получаем: F24 + F3- F o = 0. (2) Согласно закону Кулона Гз Оз Q 2___________ Q . 4ле0 г13 4ж а ( l - J l f ^ЛЕо L Г о l Q o i - Q o ____________Qo . 4 л е о го1 4 л:е 0 2 л е 0 Ь р _ ^2 ______ Ог___________О____ 24 cosa 4яе0 г2 л/2 / 2 2лЯле01? где cos a = л/2 / 2 ; Гу - расстояния между зарядами с номерами i и j, причем согласно рисунку г13 = л/2 L , го1 = ь/л/2 и r12 = L . Подста­ вив вычисленные значения F0, F3 и F24. в формулу (2), приходим к равенству 24 ----------- _|------__------ - + --------- __ о 5 8ле0Ь 2 л/2 tts0 L 2ле0 Ь из которого получаем искомую величину, т.е Q „ = - ^ ( l + 2V2). Подставляя в это выражение исходное значение Q, получаем: О 'J'J . 1 Q~9 Q0 - - (l + 2-1,414)Кл = -2,23 нКл . Ответ: Q0 = 2,23 нКл. Пример 3. Найти модуль силы F, действующей в среде с диэлек­ трической проницаемостью 8 = 6,0 на точечный заряд Q = = 6,72-1 (Г10 Кл, если этот заряд помещен: 1) в поле такого же то­ чечного заряда на расстоянии d = 0,02 м от него; 2) в поле равно­ мерно заряженной бесконечной плоскости с поверхностной плот­ ностью заряда а = 2,0-10 5 Кл/м2; 3) на расстоянии d от равномерно заряженной тонкой нити с линейной плотностью заряда т = = 2,0-10 7 Кл/м; 4) на расстоянии d от поверхности заряженного проводящего шара радиусом R = d и поверхностной плотностью заряда о. Решение: Сила F, действующая на точечный заряд Q в электриче­ ском поле, напряженность которого в заданной точке поля равна Е , согласно определению равна F = QE, поэтому в данной задаче модуль этой силы равен F = QE. (1) 1) Модуль напряженности Е| электрического поля, создаваемо­ го точечным зарядом Q на расстоянии d от него в среде с диэлек­ трической проницаемостью е, равен Е = -Q - . 1 4jiss0d2 25 Тогда согласно (1) модуль силы, действующей на такой же заряд в указанной точке поля, равен Q2Fi= Q E i= ^ J . 4л;ее0а 2) Модуль напряженности Е2 однородного электрического поля равномерно заряженной бесконечной плоскости с поверхностной плотностью заряда а в среде с диэлектрической проницаемостью е равен: Е2 = — . Тогда согласно (1) модуль силы F2, действующей на заряд Q в лю­ бой точке этого поля равен: F2 =QE2 • 2ее0 3) Модуль напряженности Е3 электрического поля бесконечной равномерно заряженной тонкой нити с линейной плотностью заря­ да х на расстоянии d от нити в среде с диэлектрической проницае­ мостью е равен: Е3 = — - — . 2лге0д В соответствии с равенством (1) модуль силы F3, действующей на заряд Q, помещенный в указанную точку поля нити равен: F3 = QE3 = —— — . 2n:e£0d 4) Модуль напряженности Е4 электрического поля заряженного шара на расстоянии г от его центра (г & R, где R - радиус шара), на котором находится заряд Q0, в среде с диэлектрической проницае­ мостью е равен: е 4 = т ^ Т - (2)4jt£Eor 26 По условию задачи г = R + d = 2R. Согласно определению о = QJS, где S = 4яЯ2 - площадь поверхности шара. Отсюда следует, что Q0 =aS = 4nR2o . (3) На основании формул (1), (2) и (3) получаем значение модуля силы, действующей на заряд Q в указанной точке поля шара, т.е. F4 =QE4 =- QQn 4лИ oQ R oQ oQ 4л;ее0г2 4n:ee0(R +d)2 ee0(R + d)2 4ee0 Учитывая исходные данные и значение электрической постоян­ ной е0 = 8,85-10 -12 Ф/м, в результате вычислений получаем сле­ дующие значения: F,« f2 = F3 = F. = (0,672-Ю-9)2 .С.ООС.1П-12 .4-3,14-6-8,8540"^ -4-10-4 -5 H = 127 мкН ; Н = 1,69 мкН ; 0,672-10~9 -2-10~5 2-6-8,85-10”12 0,672-10~9-2-КГ 2 • 3,14 • 6 • 8,85 • 10-12 • 0,02 0,672-КГ9 -2-10 5 Н = 20,2 мкН; 4-6-8,85-10 -12 Н = 63,3 мкН. Ответ: 1) F, = 1,69мкН; 2) F2 = 127мкН; 3) F3 - 20,2мкН; 4) F4 = = 63,3mkH. Пример 4. Электрическое поле создано двумя точечными за­ рядами qj = 3 ,0 * 1 0 Кл и q2 = = -ljO-lO^Kn. Расстояние ме­ жду зарядами г = 0,20 м. Опре­ делить модуль ЕА напряженно­ сти результирующего электри­ ческого поля в точке А, уда­ ленной на расстояние 27 г| - 0,15 м от первого заряда и на расстояние г2 = 0,10 м от второго заряда. Решение: Согласно принципу суперпозиции электрических полей напряженность ЁА электрического поля зарядов qi и q2 в точке А будет равна векторной сумме напряженностей Е,и Ё2 электриче­ ских полей, создаваемых каждым из этих зарядов в точке А, т.е. ЁА = Ё1+Ё2. (1) Модули векторов Е, и Ё2 для точечных зарядов qi и q2 соот­ ветственно равны: £ р _ N2! _ ~Яг /2\ л 2 ’ 2 — . 2 ~ Л 2 ' >4ле0г, 4ле0г2 4лв0г2 Из треугольника напряженностей на основании теоремы коси­ нусов получаем (см. рисунок): Ед = Е2 + Е2-2 Е ,Е 2 cosa . (3) Из треугольника расстояний между зарядами и точкой А на основании той же теоремы справедливо равенство г2 = г,2 + г2 - 2г,r2 c o sa , из которого следует следующее соотношение: 2 2 2 г, + г, - Гcosa - 2 г,г2 С учетом последнего равенства выражение (3) принимает вид Е2 = Е? + Е2 +rl - ! - } = Ef + Е2 + M z f r 2 ..1-'2 г!) г 2 г,г2 г,г2 из которого с учетом (2) получаем искомый результат в виде 28 Подставив исходные данные, после вычислений получаем Е ____ I______ х А 4-ЗД4-8,85-10'12 ,9 10~16 1(Г16 3-10~8-10~8(0,04-0,0225-0,0l) В V 0,154 + ОД4 + (0Д5 • ОД)3 м “ = 16,7 — . м Ответ: ЕА = 16,7 кВ/м. Пример 5. Найти потенциал фА в точке А электрического поля, на­ ходящейся на расстоянии d = 0,09 м от поверхности заряженной проводящей сферы радиусом R = 0,01 м, если поверхностная плот­ ность заряда на сфере о = 1,0-10~7 Кл/м2. Решение: Потенциал сферы, на которой помещен заряд Q, в точке А, расположенной на расстоянии г от центра сферы радиусом R, где г г R, равен Q Фа ~ ~ Г ~ ------’4л:е0г Здесь е0 = 8,85-10~12 Ф/м - электрическая постоянная. В нашей за­ даче г = R + d. Поскольку о = Q/S, где S = 4лИ2 - площадь поверх­ ности сферы, то отсюда следует, что Q = a S = 4 jtR2 а. Подставив полученные соотношения в формулу (1), получаем искомый ре­ зультат в виде 4nR 2o R2o 4 jte0(R + d) e0 (R + d) Выполнив необходимые вычисления, получаем численное зна­ чение потенциала: 10"4 -10~7 8,85-НГ12-ОД Ф а = - — -_т2~ - _ - В = 1 Х З В . Ответ: фА= 11,3 В. Пример 6. Электрон движется по направлению силовой линии электрического поля. В некоторой точке этого поля с потенциалом Ф, = 100 В электрон имел скорость v, = 6,0-106 м/с. Определить по­ тенциал ф2 точки поля, дойдя до которой электрон потеряет поло­ вину своей скорости. Решение: По условию задачи в конечной точке движения скорость электрона будет равна v 2 = v , / 2 . ( 1 ) При перемещении электрона в электрическом поле силы последне­ го совершают работу А = е(фг- ф 2), (2) где е = -1,6-10~19 Кл - заряд электрона. Эта работа равна прираще­ нию кинетической энергии электрона AW, т.е. А = AW = W2 - W, = i ше (v2 - v?), (3) где гае = 9,1-Ю'"31 кг - масса электрона. Подставив (2) в (3), с учетом (1) получаем соотношение 30 A = i m4 4 V' _V' J = _ 8 meV' = е Ф^' ~ Ф2^ из которого находим искомый потенциал ф2 в следующем виде: ф2 =ф, + 3т еуГ 8е Подставив исходные данные, получаем: 3-9,1 • 10~,‘ -36-10 8-(-1,6-10-19) В = 23,2 В . Q, >0 Q2 >0 ф2 = 100 + Ответ: ф2 = 23,2 В. Пример 7. В трех вершинах квадрата со стороной L = 0,10 м закреплены одинако­ вые точечные заряды Q i = Q 2 ~ Q i = Q = = 1,010 9 Кл. Найти модуль напряженно­ сти Е и потенциал ф результирующего электрического поля в четвертой вершине квадрата. Вычислить также потенциаль­ ную энергию Wp электростатического взаимодействия этой систе­ мы зарядов. Решение: В соответствии с условием задачи (см. рисунок) г, == Гз = L; ф = 45°; г2 = Ь/совф = L>/2 . (1) Согласно принципу суперпозиции электрических полей Ё — Ё, + Ё2 + Ё3 = Ё|Э + Ё2, (2) 31 где Е( - напряженность поля, создаваемого зарядом с номером i (i=l, 2, 3) в четвертой вершине квадрата, причем Е,3 =Е, + Ё3. Модули этих векторов с учетом (1) равны: Е - Q> - Е - Q3 - Q ь 3 4яе0г,2 ‘ 4те0 г32 4яе0 L2 E,3= - ^ - = V 2E ,= Q V| T coscp 4яе0 L Е - ° 2 - Q2 . 2 о I 2 ’4яе0г2 8ле0Ь_ где s0 = 8,85-10"12 Ф/м - электрическая постоянная. Согласно рисунку и полученным соотношениям, Е = Ел + Е 0 ( 1 + 2 V2 ).2 т 1^3 “ с ,2 8тсе0 L Подставив исходные данные, получаем: 10-9 R Е = ------------ ------- ------ - ( 1 + 2-1,414) - = 1,72 кВ/м. 8-3,14-8,85-1042-0,0! м Потенциал ф в четвертой вершине квадрата равен алгебраиче­ ской сумме потенциалов, создаваемых в этой точке каждым из трех зарядов, т.е. ф = ф| + ф2 + ф3, где с учетом (1) Qi . Q3 Q ф | = —------------= Ф з _ - - ~4ле0г, 4та0г3 4 tc£0L ф Q 2 ... Q 0 V 2 2 47t£0r2 4га0 Lyfl 8лв0 L В итоге искомый потенциал принимает вид Ф = Q (4 + V2 ). 8яе0 L 32 Подстановка исходных данных приводит к следующему чис­ ленному результату: ф = ------- — — — ------ (4 + 1,414) В = 244 В . 8 - 3,14 • 8,85 • 10~ -0,1 Потенциальную энергию Wp электростатического взаимодейст­ вия заданной системы трех зарядов можно записать в виде 1 чг-< * 1 / * * *\ 1 / * * Wp = — 2 jQ i 9i = 2 \Q' 4,1 + Q2 Ф2 + Q3 Фз) = 2 9 + Ф2 + Фз )> i=l где ф* - потенциал, создаваемый всеми зарядами, кроме заряда с номером i, в точке нахождения заряда с номером к Обозначим Ry - расстояние между зарядами с номерами i и j, причем Ry = Rjj. Оче­ видно, что R|2= R23 = L и R|3 = Ьл/2 (см. рисунок). Тогда Ф* = j=i0*0 Q2 . Q3 _ __Q Ф, =Ф,2 +Ф|з = - — ^ — +47teo R,2 4Л80 К[3 4ns0 L ,+^ ^ Qi , Q3 _ Q , ф2 21 ф23 4ле0 R ,2 4л80 R 23 2пе0 L Qi ^ Qz _ Q f , . V2 В итоге приходим к следующему окончательному соотношению для энергии взаимодействия: W„ Q 2 8 ле0 L (4+V2). Подставляя исходные данные задачи, получаем искомый ре­ зультат: 33 Wp = ----------- —------—------(4 + 1,414) Дж = 0,244 мкДж. Р 8 • ЗД4 • 8,85 • 10 • ОД Ответ: Е = 1,72 кВ/м; ср = 244 В; Wp = 0,244 мкДж. Пример 8. Электрическое поле создано положительно заряженной бесконечно длинной тонкой нитью. Двигаясь под действием сил этого поля от точки, находящейся на расстоянии d, = 0,01 м от ни­ ти, в точку, удаленную от нити на d2 = 0,04 м, а-частица (ядро 2 Не) изменила свою скорость от vj = 2-105 м/с до v2 = 310fi м/с. Найти линейную плотность т заряда нити. Решение. Как известно, а-частица состоит из двух протонов и двух нейтронов, поэтому ее заряд qa = 2е (е = 1,6-10~19 Кл - элементар­ ный заряд), а масса ma = 6,64-10~27 кг. Потенциал электрического поля нити радиусом R на расстоянии г от оси нити (при г г R) равен: ф(0 = ~ ~ — In— .2 ле0 г Изменение AWK„„. кинетической энергии a -частицы равно рабо­ те сил электрического поля нити по перемещению a -частицы из одной точки этого поля в другую, т.е. A W k h h . = | m a (v2 - v,2)= А = qa ( Подставив исходные данные, получаем: f nno I 2-10"12 t] “ 0,02 ------- — с = 64Д мс. V 6,5-10 -3-10 Путь L, пройденный пылинкой за время ti по вертикали, с уче­ том (4) и (6) равен т 1 2 1 d2m d2mgL = —avt1 = — g ------- --------- 2 y 2 qU 2qU В результате расчета получаем: 4 • 10-4 • 2 • 10~12 • 9,81 = — “ ^ ^ 5 M = 2 CM .2-6,5-10 -3-103 Компоненты скорости пылинки в момент t] с учетом (4) и (6) будут равны: f - S - H U md V qU V m (7) Поскольку V = vx + V , TO У : V = / V X + V у = atlУ В результате вычислений получаем: v = 11-64Д-КГ3м/с = 0,702 м/с. Угол ф, который образуют векторы а и v с вертикалью, можно определить из условия (см. рисунок) 38 tg

5 ’10 П •3:10- _ = arctg0,497 = 26,4°. 2-10 -0,02-9,81 Ответ: 1) а = 11 м/с2; 2) ti = 64,1 мс; 3) L = 2 см; 4) v = 0,702 м/с; 5) ф = 26,4°. Пример 11. Первый конденсатор заряжен до разности потенциалов Ui = 300 В, а второй - до разности потенциалов U2 = 100 В. Затем оба конденсатора соединены параллельно одинаковыми обкладка­ ми. Разность потенциалов между обкладками конденсаторов стала равной U = 250 В. Определить: 1) во сколько раз N электроемкость первого конденсатора больше электроемкости второго; 2) во сколь­ ко раз Ni уменьшилась энергия первого конденсатора; 3) во сколь­ ко раз N2 увеличилась энергия второго конденсатора. Решение. Пусть qi и q2 - электри­ ческие заряды на обкладках кон­ денсаторов до их соединения, a Qi и Q2 - заряды на соответствующих конденсаторах после их соедине­ ния (см. рисунок). Согласно закону сохранения электрического заряда в электрически замкнутой системе q2 + qi = Q2 + Qi- (1) По условию задачи Ci = NC2. Поскольку q2 - C2U2, qi = C1U1 = Ur U2 39 = NC2U] и Q2 = C2U, Qi = CiU = NC2U, t o в соответствии с услови­ ем (1) получаем равенство с2и2 + n c 2u , = с2и + n c 2u , из которого следует искомое выражение: N. и - и 2 и , - и Подставив исходные данные, приходим к следующему числен­ ному результату: N - 25° - 100 . 3 . 300 - 250 1 7 Энергия первого конденсатора до соединения W5 = — CjUj, а , 1 2после соединения W, = — C.U . Следовательно, 2 N , . W' ^ U' ' 2 w ; \ и Аналогичные рассуждения для второго конденсатора приводят к соотношениям: W2 = i c 2U2, W2 = - C 2U2, N = i - = ( - i L N 2 2 2 2 2 2 2 W2 [ \ J 2/ Подстановка исходных данных приводит к следующим числен­ ным значениям искомых величин: 1 { 250 J ’ ( 250 \ 2 N2 = ------ =6,25. 2 \ 100 ) Ответ: 1) N = 3; 2) Nj = 1,44; 3) N2 = 6,25. 40 Пример 12. Шар радиусом R| = 0,06 м заряжен до потенциала ф! = 300 В, а шар радиусом R2 = 0,04 м - до потенциала <р2 = 500 В. Определить потенциал ф, а также заряды Qi и Q2 каждого из шаров после того, как их соединили металлическим проводником, элек­ троемкостью которого можно пренебречь. Как изменились заряды на каждом из шаров и их потенциалы? Решение. Электроемкости первого и второго шаров соответствен­ но равны С| = 4 ns0R|, С2 - 4 Л80 R2. (1) Следовательно, на шарах до их соединения находились заряды q, =C, (5)4jte0R2 где q[ и q2 - заряды на шариках после разряда. Соотношение (5) приводит к уравнению 4i/Ri = Чг/^2 • (6) Согласно закону сохранения заряда в электрически замкнутой системе q i + q 2 =q l +q2- (7) Заряды шариков q| и q'2 удовлетворяют системе уравнений (6) и (7), которую нам необходимо решить. Выразим q2 из уравнения (7) с учетом (3), т.е. q'2=qi + q 2 - q J = q i + 4 j t e 0R2 0 и Q2 = -Q закреплены на расстоянии L = 50 см друг от друга. Третий заряд Q3 может пере­ мещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды Qi и Q2. Определить положение заряда Оз, при котором он будет находить­ ся в равновесии. При каком знаке заряда Q3 равновесие будет ус­ тойчивым? 302. Два точечных заряда Qi = -50 нКл и 0 2 = 100 нКл находят­ ся на расстоянии d = 20 см друг от друга. Определить модуль силы, действующей на заряд 0 3 = -10 нКл, который удален от обоих за­ рядов на одинаковое расстояние, равное d. 303. В углах при основании равнобедренного треугольника с боковой стороной г = 8 см расположены заряды Qi и Q2. Опреде­ лить модуль силы, действующей на заряд Оз = 1 нКл, помещенный в вершину треугольника, если угол при вершине а = 120°. Рас­ смотреть два случая: 1) Qi = Q2 = 2 нКл; 2) Q2 = -Qi = 2 нКл. 304. В вершинах правильного треугольника со стороной d = 10 см находятся заряды Qi = 10 мкКл, Q2 = 20 мкКл и Q3 = 30 мкКл. Определить модуль силы, действующей на заряд Qi со стороны двух других зарядов. 305. Три одинаковых точечных заряда Qi = 0 2 = Оз = 2 нКл на­ ходятся в вершинах правильного треугольника со стороной d = 10 см. Определить модуль силы, действующей на один из заря­ дов со стороны двух других. 306. Четыре одинаковых заряда Qi = 0 2 = Q3 = Q4 = 40 нКл на­ ходятся в вершинах квадрата со стороной d = 10 см. Определить модуль силы, действующей на один из зарядов со стороны трех остальных. 307. Три точечных заряда Qi = Q2 = Q3 = 1 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд Q4 нужно поместить в центре треугольника, чтобы указанная система зарядов находилась в равновесии? 308. Два маленьких шарика массой m = 1 г каждый подвешены на нитях, верхние концы которых соединены вместе. Длина каждой 47 нити L = 10 см. Какие одинаковые заряды Q надо сообщить шари­ кам, чтобы нити разошлись на угол а = 60°? 309. Заряды Qi = О2 = Оз = 2 нКл закреплены в вершинах рав­ ностороннего треугольника со стороной d = 20 см. Модуль равно­ действующей силы, действующей на четвертый заряд Q4, поме­ щенный на середине одной из сторон треугольника, равен 0,6 мкН. Определить заряд Q4. 310. Два одинаковых шарика, имеющих одинаковый заряд, под­ вешены на нитях одинаковой длины и опущены в керосин плотно­ стью 0,8 г/см3. Какой должна быть плотность материала шариков, чтобы угол расхождения нитей в воздухе и в керосине был одним и тем же? Диэлектрическая проницаемость керосина е = 2,0. 311. На рисунке АА - равномерно заряженная бесконечная плоскость с поверхностной плотно- А стью заряда 4 нКл/см2, а В - одноименно с ней за­ ряженный шарик массой 1 г, имеющий заряд 1 нКл. Какой угол а с плоскостью АА образует нить, на которой подвешен шарик? Чему равен мо­ дуль силы натяжения нити? 312. На рисунке из предыдущей задачи АА - равномерно заряженная бесконечная плоскость; В- одноименно с ней заряженный шарик массой 40 мг, имеющий заряд 667 пКл. Найти поверхностную плотность заряда на плоско­ сти АА, если модуль силы натяжения нити, на которой висит ша­ рик, равен 0,49 мН. 313. В плоском горизонтально расположенном воздушном кон­ денсаторе заряженная сферическая капля ртути находится в равно­ весии при напряженности электрического поля 60 кВ/м. Заряд кап­ ли 8-10"19 Кл. Найти радиус капли, если плотность ртути равна 13,6 г/см3. Определить также поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора. 314. Точечный заряд Q = 25 нКл находится в поле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом 1 см, равномерно заря­ женным с поверхностной плотностью заряда 0,2 нКл/см2. Опреде­ 48 лить модуль силы, действующей на заряд, который помещен вне цилиндра на расстоянии 9 см от его поверхности. 315. Длинная прямая тонкая проволока несет равномерно рас­ пределенный заряд. Вычислить линейную плотность заряда прово­ локи, если модуль напряженности электрического поля в точке, расположенной на расстоянии 50 см от ее середины, равен 2 В/см. Определить также модуль силы, действующей на заряд Q = 5 нКл, помещенный в этой точке. 316. На металлической сфере радиусом 10 см находится заряд с поверхностной плотностью 0,796 пКл/см2. Определить модуль на­ пряженности электрического поля в следующих точках: 1) на рас­ стоянии 8 см от центра сферы; 2) на поверхности сферы; 3) вне сферы на расстоянии 5 см от ее поверхности. Построить график зависимости модуля напряженности результирующего поля от рас­ стояния. 317. В плоском горизонтально расположенном воздушном кон­ денсаторе, расстояние между пластинами которого равно 3,84 мм, находится заряженная частица с зарядом 4,8-10~1У Кл. Для того что­ бы частица находилась в равновесии, между пластинами конденса­ тора нужно приложить разность потенциалов 40 В. Найти массу частицы и заряд на пластинах конденсатора, если площадь одной пластины равна 100 см2. 318. Пылинка массой 4-10 9 мг удерживается в равновесии меж­ ду горизонтально расположенными обкладками плоского воздуш­ ного конденсатора. Разность потенциалов между обкладками равна 245 В, а зазор между ними 1 см. Определить, во сколько раз вели­ чина заряда пылинки больше элементарного заряда. Вычислить также заряд на пластинах конденсатора, если площадь одной пла­ стины равна 900 см2. 319. Свинцовый шарик диаметром 0,5 см помещен в глицерин. Определить заряд шарика, если в однородном электростатическом поле, направленном вертикально вверх, шарик оказался взвешен­ ным в глицерине. Найти также поверхностную плотность заряда на шарике и силу, действующую на шарик со стороны электростати­ 49 ческого поля. Напряженность поля равна 4 кВ/см; плотность свин­ ца 11,3 г/см3, а плотность глицерина - 1,26 г/см3. 320. Между двумя вертикальными пластинами, находящимися на расстоянии 1 см друг от друга, на изолированной нити висит отрицательно заряженный шарик массой 0,1 г. После подачи на пластины разности потенциалов 1 кВ нить с шариком отклонилась от вертикали на угол 10°. Найти заряд шарика и модуль силы натяжения нити. 321. Две бесконечно длинные разноименно заряженные нити расположены параллельно на расстоянии 10 см друг от друга. Ли­ нейная нлотность заряда одной нити Т] = 100 нКл/см, а другой Т2 = -Т]. Найти модуль напряженности результирующего электри­ ческого поля в точке, удаленной от первой нити на 8 см, а от вто­ рой- на 6 см. 322. Две бесконечно длинные одноименно заряженные нити расположены параллельно на расстоянии 10 см друг от друга. Ли­ нейная плотность заряда на нитях одинакова и равна 100 нКл/см. Найти модуль напряженности результирующего электрического поля в точке, удаленной на 10 см от каждой из нитей. 323. В вершинах квадрата со стороной 100 см расположены одинаковые по величине заряды. В случае, когда два соседних за­ ряда положительные, а два другие - отрицательные, модуль на­ пряженности результирующего электрического поля в центре квадрата равен 36 В/м. Определить величину заряда в вершине квадрата. 324. Электрическое поле создано бесконечной плоскостью, за­ ряженной с поверхностной плотностью заряда 40 п К л / c m 2, и парал­ лельной ей бесконечной тонкой нитью, заряженной с линейной плотностью 1 нКл/см и находящейся на расстоянии г = 10 см от плоскости. В точке, удаленной на одинаковое расстояние г от нити и от плоскости, находится точечный заряд Q = 10 нКл. Найти мо­ дуль результирующей силы, действующей на этот заряд, а также угол, который образует эта сила с заряженной плоскостью. 50 325. В вершинах квадрата со стороной L = 5 см находятся оди­ наковые точечные заряды Q = 2 нКл. Определить модуль напря­ женности результирующего электростатического поля: 1)в сере­ дине одной из сторон квадрата; 2) в центре квадрата. 326. В вершинах прямоугольного треугольника с катетами а = 6 см и Ь = 8см закреплены одинаковые точечные заряды Q, = Q2 = Q3 = 1 нКл. Определить модуль напряженности результи­ рующего электрического поля этой системы зарядов в точке, ле­ жащей на середине гипотенузы треугольника. 327. Электрическое поле создано двумя бесконечными парал­ лельными пластинами, несущими равномерно распределенный по их поверхности заряд с поверхностными плотностями Ох = 0,2 п К л /c m 2 и а2 = -0,5 п К л /c m 2. Определить модуль напряжен­ ности результирующего поля: 1) между пластинами; 2) вне пла­ стин. Построить график зависимости проекции вектора напряжен­ ности результирующего поля на направление, перпендикулярное пластинам. 328. Расстояние между двумя точечными положительными за­ рядами Qi = 9Q и Q2 = Q равно 8 см. На каком расстоянии от пер­ вого заряда находится точка, в которой напряженность результи­ рующего поля этих зарядов равна нулю? Где находилась бы эта точка, если бы Q2 = -Q? 329. Электрическое поле образовано двумя параллельными бес­ конечными заряженными плоскостями с поверхностной плотно­ стью заряда Oi = 40 пКл/см2 и о2 = 10 пКл/см2. Определить напря­ женность электрического поля как в пространстве между плоско­ стями, так и вне его. Построить график зависимости проекции век­ тора напряженности результирующего электрического поля на на­ правление, перпендикулярное этим плоскостям. 330. Две концентрические металлические сферы радиусами Ri = 6 см и R2 = 10 см заряжены соответственно с поверхностными плотностями Ох = 2,21 пКл/см2 и 0 2 = -0,398 пКл/см2. Найти модуль напряженности результирующего электрического поля в следую­ щих точках: 1) на расстоянии 5 см от центра сфер; 2) на расстоянии 51 9 см от центра сфер; 3) на расстоянии 15 см от центра сфер. По­ строить график зависимости модуля напряженности результирую­ щего поля от расстояния. 331. Электрическое поле создается равномерно заряженной сферической поверхностью радиусом 10 см с общим зарядом 15 нКл. Определить разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстояниях г, и г2 от центра сферы, если: 1) Г) = 5 см, г2 = 8 см; 2) г, = 5 см, г2 = 15 см; 3) г, = 15 см, г2 = 25 см. 332. Электрическое поле создается сферой радиусом 5 см, рав­ номерно заряженной с поверхностной плотностью 0,1 пКл/см2. Оп­ ределить разность потенциалов между двумя точками поля, уда­ ленными от внешней поверхности сферы соответственно на L, = 5 см и Ьг = 10 см. 333. Заряд равномерно распределен по бесконечной плоскости с поверхностной плотностью 1 пКл/см2. Определить разность потен­ циалов двух точек электрического поля, одна из которых находится на плоскости, а другая удалена от нее на 10 см. 334. Между пластинами плоского конденсатора находится плотно прилегающая к ним стеклянная пластинка. Конденсатор заряжен до разности потенциалов Ui = 100 В. Какова будет раз­ ность потенциалов U2, если вытащить стеклянную пластинку из конденсатора. Диэлектрическая проницаемость стекла равна 7,0. 335. Две бесконечные параллельные плоскости находятся на расстоянии 1,0 см друг от друга. Плоскости несут равномерно рас­ пределенные по поверхности заряды с плотностями о ^= 20 пКл/см2 и о2= -50 пКл/см2. Найти разность потенциалов между пластина­ ми. 336. Две бесконечные параллельные плоскости находятся на расстоянии 1 см друг от друга. Плоскости несут равномерно рас­ пределенные по поверхности заряды с плотностями Oi = 20 пКл/см2 и а2 = 50 пКл/см2. Найти разность потенциалов между иластинами. 337. Каким будет потенциал проводящего шара радиусом 3 см, если: 1) сообщить ему заряд 1 нКл; 2) если затем окружить его 52 концентрическим проводящим шаром радиусом 4 см, соединенным с землей? 338. Четыре одинаковые сферические капли ртути, заряженные до потенциала 10 В, сливаются в одну сферическую каплю. Чему равен потенциал образовавшейся капли? 339. Определить потенциал, до которого можно зарядить уеди­ ненный металлический шар радиусом 10 см, если напряженность электрического поля, при которой происходит пробой воздуха, равна 3 МВ/м. Какими будут максимальные значения заряда и по­ верхностной плотности заряда на шаре перед пробоем? 340. Полый шар несет на себе равномерно распределенный за­ ряд. Определить радиус шара и его заряд, если потенциал электри­ ческого поля в центре шара равен qpi = 200 В, а в точке, лежащей вне шара на расстоянии г = 40 см от его поверхности, он равен Фг = 40 В. 341. Найти потенциальную энергию электростатического взаи­ модействия системы трех точечных зарядов Qi = 10 нКл, Ог = 20 нКл и Q3 = -30 нКл, расположенных в вершинах равносто­ роннего треугольника со стороной L = 10 см. 342. Какова потенциальная энергия электростатического взаи­ модействия системы четырех одинаковых точечных зарядов Q = 10 нКл, расположенных в вершинах квадрата со стороной L = 10 см? 343. Два одинаковых шарика массой 0,1 г каждый подвешены в общей точке на одинаковых нитях длиной 100 см. Шарикам сооб­ щили некоторый заряд, и нити разошлись на угол 90°. Определить модуль вектора напряженности и потенциал электрического поля в точке подвеса шариков, а также потенциальную энергию электро­ статического взаимодействия шариков после их расхождения. 344. Два точечных заряда Qi = Q2 = -9 нКл находятся в воде на расстоянии г = 8 см друг от друга. Определить модуль напряженно­ сти и потенциал результирующего электрического поля в точке, расположенной на расстоянии Гт = 5 см от обоих зарядов. Диэлек­ трическая проницаемость воды равна 81,0. Вычислить также по­ 53 тенциальную энергию электростатического взаимодействия этих зарядов. 345. Два одинаковых отрицательных точечных заряда находятся в воде на расстоянии 10 см друг от друга. Модуль напряженности результирующего электрического поля в точке, лежащей на рас­ стоянии Ц = 6 см от одного и L2 = 8 см от другого заряда, равна ОД В/см. Определить потенциал поля в этой точке и значения заря­ дов. Вычислить также потенциальную энергию электростатическо­ го взаимодействия этих зарядов. Диэлектрическая проницаемость воды равна 81,0. 346. Найти модучь напряженности и потенциал результирую­ щего электрического поля в точке, лежащей посередине между то­ чечными зарядами qi = 8 нКл и q2 = -6 нКл. Расстояние между за­ рядами 10 см. Вычислить также потенциальную энергию электро­ статического взаимодействия этих зарядов. 347. Два точечных заряда qx = -7,5 нКл и q2 = 14,7 нКл распо­ ложены на расстоянии г = 5 см друг от друга. Найти модуль напря­ женности и потенциал электрического поля в точке, удаленной на 4 см от положительного и на 3 см от отрицательного заряда. Вы­ числить также потенциальную энергию электростатического взаи­ модействия этой системы зарядов. 348. Определить потенциальную энергию электростатического взаимодействия системы четырех точечных зарядов, расположен­ ных в вершинах квадрата со стороной L = 10 см. Заряды одинаковы по модулю Q = 10 нКл, но два из них отрицательные, причем заря­ ды одного знака расположены в противоположных вершинах квад­ рата. 349. В вершинах квадрата со стороной L = 100 см расположены равные одноименные заряды Q. Потенциал созданного ими резуль­ тирующего электрического поля в центре квадрата равен 50 В. Оп­ ределить величину заряда Q. Вычислить также потенциальную энергию электростатического взаимодействия этой системы заря­ дов. 54 350. Определить потенциальную энергию электростатического взаимодействия системы четырех точечных зарядов, расположен­ ных в вершинах квадрата со стороной L = 10 см. Заряды одинаковы по модулю Q = 10 нКл, но два из них отрицательные, причем в противоположных вершинах квадрата расположены заряды разных знаков. 351. Шарик массой 40 мг, имеющий заряд q = 1 нКл, начинает двигаться с начальной скоростью v0 = 10 см/с из бесконечно уда­ ленной точки в направлении жестко закрепленного точечного заря­ да q0 = 1,33 нКл. Найти наименьшее расстояние, на которое эти за­ ряды могут сблизиться. 352. Электрическое поле создано двумя разноименными точеч­ ными зарядами QA = 1 мкКл и QB = -Q a, расстояние между кото­ рыми L = 20 см. Определить работу по перемещению точечного заряда q = 50 нКл из точки 1, лежащей посередине между зарядами Qa и Qb, в точку 2, удаленную от заряда QA на расстояние Ьл/2 , а от заряда QB - на расстояние L. 353. Какой минимальной скоростью должен обладать протон, чтобы он мог достигнуть поверхности заряженной до потенциала Ф = 400 В металлического шара. В начальный момент протон, дви­ жущийся к центру шара, находится на удалении от поверхности шара, в три раза большем его радиуса. 354. Электрическое поле создано отрицательно заряженной ме­ таллической сферой радиусом R. Определить работу внешних сил по перемещению точечного заряда Q = 40 нКл вдоль силовой ли­ нии поля из точки 1, удаленной от поверхности сферы на расстоя­ ние R и имеющей потенциал cpi = -300 В, в точку 2, удаленную от поверхности сферы на расстояние 3R. 355. Какая работа совершается при перемещении точечного за­ ряда Q = 20 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на рас­ стоянии 1см от поверхности проводящего шара радиусом 1 см с поверхностной плотностью заряда 1 нКл/см2. 356. Электрическое поле создано бесконечно длинным равно­ мерно заряженным цилиндром радиусом R = 5 см. Поверхностная 55 плотность заряда на цилиндре 10 пКл/см2. Определить изменение потенциальной энергии однозарядного положительного иона при его перемещении вне цилиндра вдоль силовой линии поля из точ­ ки, удаленной от поверхности цилиндра на расстояние 2R, в точку, удаленную от поверхности цилиндра па расстояние R. 357. Около равномерно заряженной бесконечной плоскости на­ ходится точечный заряд Q = 0,66 нКл. Заряд перемещается вдоль линии напряженности поля на расстояние 2 см; при этом совершав ется работа 5 мкДж. Найти поверхностную плотность заряда н# плоскости. 358. Точечные заряды Qi = 3 мкКл и 0 2 = 20 нКл находятся на расстоянии Г! = 150 см друг от друга. Какую работу надо совер­ шить, чтобы сблизить эти заряды до расстояния г2 = 100 см? 359. Электрическое поле образовано заряженной бесконечно длинной тонкой нитью с линейной плотностью заряда 2 нКл/см. Какой импульс получит изначально покоящийся электрон под дей­ ствием этого поля, приблизившись к нити с расстояния 1 см до рас­ стояния 0,5 см? 360. Электрическое поле создано бесконечной равномерно за­ ряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда 0,2 нКл/см2. В этом поле вдоль прямой, составляющей угол а = 60° с плоскостью, из точки 1 в точку 2, расстояние между которыми L = 20 см, перемещается точечный заряд Q = 10 нКл. Определить работу сил поля по перемещению заряда. 361. Электрическое поле образовано двумя бесконечными па­ раллельными пластинами, находящимися на расстоянии 2 см друг от друга. К пластинам приложена разность потенциалов 120 В. Ка­ кую скорость получит изначально покоящийся электрон под дейст­ вием этого поля, пройдя вдоль линии напряженности расстояние 3 мм? Чему равна поверхностная плотность заряда на пластинах? Влиянием силы тяжести пренебречь. 362. Электрон с начальной скоростью v0 влетает в плоский го­ ризонтально расположенный конденсатор параллельно пластинам на равном расстоянии от них. Разность потенциалов между пласти­ 56 нами конденсатора 300 В; расстояние между пластинами 2 см; дли­ на конденсатора 10 см. Найти максимальное значение v0, при кото­ ром электрон не вылетит из конденсатора. Вычислить также по­ верхностную плотность заряда на обкладках конденсатора. Влия­ нием силы тяжести пренебречь. 363. Электрон с начальной скоростью vQ = 3 Мм/с влетает в од­ нородное электрическое поле напряженностью 1,5 В/см, причем вектор v0 перпендикулярен линиям напряженности электрическо­ го поля. Определить: 1) силу, действующую на электрон; 2) ускорение, приобретаемое электроном; 3) скорость электрона через t] = 0,1 мкс после начала движения в электрическом поле. Влиянием силы тяжести пренебречь. 364. Двигаясь в однородном электрическом поле, электрон по­ лучает ускорение 1014см/с2. Найти: 1) напряженность электриче­ ского поля; 2) скорость vb которую получит электрон за время tj = 1 мкс своего движения без начальной скорости; 3) работу сил электрического поля за это время; 4) разность потенциалов, прой­ денную при этом электроном. Влиянием силы тяжести пренебречь. 365. Бесконечная плоскость заряжена с поверхностной плотно­ стью о = -3,54 пКл/см2. По направлению силовых линий поля, соз­ данного плоскостью, летит электрон. Вычислить напряженность поля плоскости. Определить минимальное расстояние L, на кото­ рое может подлететь к плоскости электрон, если на расстоянии L0 = 5 см от плоскости он имел кинетическую энергию 80 эВ. Влиянием силы тяжести пренебречь. 366. Протон влетает в плоский горизонтально расположенный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью 120 км/с. Напряженность электрического поля внутри конденсатора равна 3 кВ/м; длина конденсатора 10 см. Вычислить поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора. Во сколько раз мо­ дуль скорости протона при вылете из конденсатора будет больше, чем модуль его начальной скорости? Влиянием силы тяжести пре­ небречь. 57 367. Электрон влетает в плоский горизонтально расположенный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью vQ = = 10 Мм/с. Напряженность электрического поля в конденсаторе 10 кВ/м; длина конденсатора 5 см. Вычислить поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора. Найти модуль скоро­ сти электрона на вылете из конденсатора и ее направление по от­ ношению к пластинам конденсатора. Влиянием силы тяжести Пре­ небречь. 368. Протон, начальная скорость которого равна 100 км/с, вле­ тел в однородное электрическое поле напряженностью 300 В/см так, что направление его скорости совпадает с направлением сило­ вых линий поля. Какой путь должен пройти протон, чтобы его ско­ рость удвоилась? Влиянием силы тяжести пренебречь. 369. Электрон движется в плоском горизонтально расположен­ ном конденсаторе параллельно его пластинам со скоростью 36 Мм/с. Напряженность электрического поля внутри конденсатора 3,7 кВ/м; длина пластин конденсатора 20 см. На какое расстояние сместится электрон в вертикальном направлении под действием электрического поля за время его движения в конденсаторе? Како­ ва поверхностная плотность заряда на пластинах конденсатора? Влиянием силы тяжести пренебречь. 370. Первоначально покоящийся электрон, пройдя в плоском конденсаторе путь от одной пластины до другой, приобретает ско­ рость 1 Мм/с. Расстояние между пластинами 5,3 мм. Найти: 1) разность потенциалов между пластинами; 2) напряженность электрического поля внутри конденсатора; 3) поверхностную плотность заряда на пластинах. Влиянием силы тяжести пренеб­ речь. 371. Два металлических шара радиусами R, = 2 см и R2 = 6 см соединены проводником, электроемкостью которого можно пре­ небречь. Шарикам сообщен заряд Q = 1нКл. Найти поверхностную плотность заряда на шарах Oj и о2. 372. На два последовательно соединенных конденсатора с элек­ троемкостями С] = 100 пФ и С2 = 200 пФ подано постоянное на­ 58 пряжение U = 300 В. Вычислить электроемкость системы. Опреде­ лить напряжения на конденсаторах и заряд на их обкладках. 373. Два конденсатора с электроемкостями Ci = 400 пФ и С2 = 500 пФ соединили последовательно и подключили к источни­ ку с ЭДС е = 220 В. Затем источник отсоединили, конденсаторы разъединили и соединили параллельно обкладками, имеющими одноименные заряды. Каким будет напряжение на зажимах полу­ ченной батареи? 374. Два конденсатора с электроемкостями Ст = 3 мкФ и С2 = 6 мкФ соединены между собой и присоединены к батарее с ЭДС, равной 120 В. Определить заряды Qi и Q2 конденсаторов, а также разности потенциалов Ui и U2 между их обкладками, если конденсаторы соединены: 1) параллельно; 2) последовательно. 375. Два плоских конденсатора одинаковой электроемкости С! = = Ст = С соединены в батарею последовательно и подключены к источнику тока с ЭДС, равной е . Во сколько раз увеличится раз­ ность потенциалов между пластинами первого конденсатора, если пространство между пластинами второго конденсатора, не отклю­ чая источника тока, заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью 7,0? 376. Конденсатор электроемкостью С] = 0,6 мкФ был заряжен до разности потенциалов U] = 300 В и соединен параллельно со вторым конденсатором электроемкостью С2 = 0,4 мкФ, заряжен ным до разности потенциалов U2 = 150 В. Найти заряд, перетекший с пластин первого конденсатора на пластины второго. 377. Конденсатор электроемкостью С, = 0,2 мкФ был заряжен до разности потенциалов Ui = 320 В. После того как его соединили параллельно со вторым конденсатором, заряженным до разности потенциалов U2 = 450 В, напряжение на нем уменьшилось до U = 400 В. Вычислить электроемкость С2 второго конденсатора. 378. К плоскому воздушному конденсатору, заряженному до разности потенциалов U = 600 В и отключенному от источника на­ пряжения, присоединили параллельно второй, незаряженный кон­ денсатор таких же размеров и формы, но с диэлектриком между 59 пластинами (фарфор). Определить диэлектрическую проницае­ мость е фарфора, если после присоединения второго конденсатора разность потенциалов уменьшилась до Ui = 100 В. 379. Конденсаторы электро- С2 Ci - I \— Сз - l h С4 емкостями Ci = С2 = 2 мкФ, Сз = 3 мкФ и С4 = 1 мкФ соеди­ нены так, как указано на рисун­ ке. Разность потенциалов на об­ кладках четвертого конденсато­ ра U4 = 100 В. Найти заряды и разности потенциалов на об­ кладках каждого конденсатора, а также общий заряд и разность потенциалов на обкладках батареи конденсаторов. 380. Конденсаторы электро­ емкостями Cj = 0,2 мкФ, Ci Сз 4 1 - С2 ■ l h С4 - 1 Н в С2 = 0,6 мкФ, С3 = 0,3 мкФ и С4 = 0,5 мкФ соединены так, как —а указано на рисунке. Разность потенциалов U между точками А и В равна 320 В. Определить разность потенциалов U, и заряд Qi на пластинах каждого конден­ сатора (i = 1, 2, 3, 4). 381. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 100 см2, а расстояние между ними 5 мм. К пластинам конденсатора приложена разность потенциалов 3 кВ. Какова будет напряжен­ ность поля конденсатора, если, не отключая его от источника на­ пряжения, пластины раздвинуть так, чтобы расстояние между ними стало 5 см? Найти также энергию и плотность энергии электриче­ ского поля конденсатора до и после раздвижения пластин. 382. Шар, погруженный в керосин, имеет потенциал 4,5 кВ и поверхностную плотность заряда 1,13 нКл/см2. Найти радиус, за­ ряд, электроемкость и энергию шара, если диэлектрическая прони­ цаемость керосина равна 2,0. 60 383. Шар 1 радиусом R, = 10 см, заряженный до потенциала Ф = 3 кВ, после отключения от источника напряжения соединяется проволочкой, электроемкостью которой можно пренебречь, с уда­ ленным незаряженным шаром 2, имеющим радиус R2 = 10 см. Най­ ти: 1) первоначальную энергию W, шара 1; 2) энергии W,' и V/', шаров 1 и 2 после соединения; 3) работу А разряда при их соедине­ нии. 384. Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин 100 см2 и зазором 5 мм заряжен до разности потенциалов 900 В. Не отключая от источника напряжения, пластины раздвинули до рас­ стояния I см между ними. Определить напряженность электриче­ ского поля, энергию и объемную плотность энергии конденсатора до и после раздвижения пластин. 385. Конденсатор электроемкостью С] = 3 мкФ был заряжен до разности потенциалов Uj = 40 В. После отключения от источника тока этот конденсатор был соединен параллельно с другим, неза­ ряженным конденсатором электроемкостью С2 = 5 мкФ. Опреде­ лить энергию AW, израсходованную на образование искры в мо­ мент присоединения второго конденсатора. 386. Разность потенциалов между пластинами плоского воз­ душного конденсатора равна 90 В. Площадь каждой пластины 60 см2, ее заряд 1 нКл. Вычислить: 1) чему равна электроемкость конденсатора? 2) на каком расстоянии друг от друга находятся пла­ стины? 3) с какой силой они притягиваются друг к другу? 4) какова плотность энергии электрического поля конденсатора? 387. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 12,5 см2, а расстояние между ними 5 мм. К пластинам конденсатора приложена разность потенциалов 6 кВ. Пластины конденсатора раздвигают таким образом, что расстояние между ними становится равным 1 см. Найти изменение электроемкости конденсатора, на­ пряженности электрического поля и разности потенциалов между его пластинами, заряда на пластинах, а также объемной плотности энергии электрического поля в двух случаях: а) если источник пи­ 61 тания перед раздвижением не отключается; б) если источник пита­ ния перед раздвижением отключается. 388. Найти объемную плотность энергии электрического поля в точке, находящейся: 1) вблизи бесконечной равномерно заряжен­ ной плоскости; 2) на расстоянии 2 см от бесконечной равномерно заряженной тонкой нити; 3) ) на расстоянии 2 см от поверхности заряженного шара радиусом 1 см. Поверхностная плотность заряда на шаре и плоскости равна 1,67 нКл/см2; линейная плотность заря­ да нити 1,67 нКл/см. Диэлектрическая проницаемость среды равна 2,0. 389. Электроемкость плоского конденсатора равна 111 пФ. Ди­ электрик - фарфор, имеющий диэлектрическую проницаемость 5,0. Конденсатор зарядили до разности потенциалов 600 В и отключили от источника напряжения. Какую работу нужно совершить, чтобы вынуть диэлектрик из конденсатора, если трение пренебрежимо мало? D Плоский воздушный конденсатор заряжен до разности потенциа- лов 100 В. Площадь пластин равна 11,3 см2, расстояние между ни­ ми 5 мм. Определить, как изменится электроемкость, энергия и объемная плотность энергии конденсатора, если зазор между пла­ стинами конденсатора заполнить парафином, имеющим диэлек­ трическую проницаемость 2,0. 62 Постоянный ток. Электромагнетизм. Основные определения и формулы Электрический ток - упорядоченное движение электрических зарядов. Условия, необходимые для появления и существования элек­ трического тока в проводящей среде: - наличие в среде свободных носителей тока, т.е. заряженных частиц, способных упорядоченно перемещаться; - существование в данной среде электрического поля или сторонних сил. Сила тока измеряется количеством электричества, проходящим через поперечное сечение проводника в единицу времени: , = dq dt ‘ Электрический ток называется постоянным, если сила тока и его направление не изменяются с течением времени. Для постоянного тока: где q - электрический заряд, переносимый через поперечное сече­ ние проводника за промежуток времени от 0 до t. Направлением электрического тока считается направление упо­ рядоченного движения положительных зарядов. В металлических проводниках ток представляет собой упорядоченное движение от­ рицательных зарядов (электронов), которые движутся в направле­ нии, противоположном направлению тока. Плотность тока j измеряется силой тока, отнесенной к единице площади поперечного сечения проводника, перпендикулярного движению заряженных частиц, т.е. j - — 63 Связь между вектором плотности тока j и элементом силы тока dl = j dS = jdScosa, где dS = n dS; n - единичный вектор нормали к площадке dS, со­ ставляющей с вектором j угол а. Сила тока I через произвольную поверхность S равна: где По - число электронов проводимости в единице объема; е - аб­ солютная величина заряда электрона,* (v) - средняя скорость упо­ рядоченного движения электронов под действием электрического поля. Закон Ома для плотности тока (закон Ома в дифференциальной форме) где у - удельная электрическая проводимость (удельная электро­ проводность), р - удельное сопротивление. Величина е, равная работе А сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда, называется электродвижущей силой (ЭДС), т.е. Напряжением U12 на участке 1-2 называется величина, численно равная работе, совершаемой электростатическими и сторонними силами над единичным положительным зарядом при перемещении из точки 1 в точку 2 электрической цепи dl s S Для металлического проводника j = n 0 e(v ), Р е = A/q. U 12 - (ф ! _ Ф2) + £ i2> 64 где (ф1 - Фг) - разность потенциалов на концах участка цепи 1-2; е12 - ЭДС на участке 1-2. Напряжение на концах участка цепи совпадает с разностью по­ тенциалов только в том случае, если на участке не приложены ЭДС (однородный участок), т.е. Ui2 = ф, - ф2 • Участок, на котором действуют сторонние и электростатические силы, называют неоднородным. Сопротивлением Ri2 участка цепи между сечениями 1 и 2 назы­ вают интеграл Для однородного линейного проводника р = const, S = const, а сопротивление равно: где I - длина проводника. Закон Ома для участка однородной (т.е. не содержащей элек­ тродвижущих сил) цепи где U - разность потенциалов на концах участка; R - его сопротив­ ление. Закон Ома для участка неоднородной (т.е. содержащей электро­ движущую силу) цепи _ Ф1 ~ ф2 + 1^2 R + r где ф! - ф2 - разность потенциалов на концах участка; ei2 - электродвижущая сила (ЭДС), действующая на данном участке; R - сопротивление всей внешней цепи; г - внутреннее сопротивление источника ЭДС. 65 Если цепь замкнута, то при этом ср, = ср2, и получаем закон Ома для замкнутой цепи: I -------- . R + г Следовательно, сила тока в замкнутой цепи пропорциональна электродвижущей силе е, действующей в этой цепи, и обратно пропорциональна ее полному сопротивлению R + г. Правила Кирхгофа для разветвленных цепей: 1) алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в любом узле, равна нулю, т.е. 2 ii = о. Узлом в сложной (разветвленной) цепи называется точка, в ко­ торой сходятся не менее трех проводников. 2) для любого замкнутого контура алгебраическая сумма произ­ ведений сил токов на сопротивления соответствующих участков цепи равна алгебраической сумме всех ЭДС, действующих в этом контуре: 2liR i = 2e i. Для первого правила Кирхгофа токи считаются положительны­ ми, если они входят в узел; выходящие из узла токи считаются от­ рицательными. Для применения второго правила Кирхгофа выби­ рается направление обхода контура. Положительными считаются токи, направление которых совпадают с направлением обхода кон­ тура. ЭДС источника считается положительным, если источник создает ток, направление которого совпадает с направлением обхо­ да контура. В противном случае токи и ЭДС считаются отрица­ тельными. Общее сопротивление п участков при их последовательном со­ единении равно Общее сопротивление п участков при их параллельном соеди­ нении определяется на основании соотношения 66 R t f Ri ' Работа электрических сил на участке цепи, между концами ко­ торого имеется разность потенциалов ср, - ф2, равна А = (ф ,-ф 2) It. Количество теплоты, выделенное на участке цепи сопротивле­ нием R, по которому в течение времени t идет ток силой I, опреде­ ляется соотношением (закон Джоуля-Ленца) , и 2 Q = I Rt = ■— t = IU t. R Если сила тока изменяется со временем, то '2 dQ = R I2 dt; Q = R J I2 d t . Полная работа, совершенная источником электрическою тока за время t, равна А = в 11 = I2 (R + r)t = (е2 t)/(R + г), где 8 - ЭДС источника; R - сопротивление внешней цепи; г - внут­ реннее сопротивление источника. Полезная работа равна 2 U2А = U It = 1 Rt = ----1, R где U - падение напряжения на сопротивлении внешней цепи. Разделив работу А на время t, за которое она совершается, по­ лучим: а) полную мощность источника тока P = eI = I2(R + r) = 82/(R + r); б) полезную мощность, т.е. мощность, потребляемую внешней электрической цепью U2 где U — IR — падение напряжения на сопротивлении R внешней це­ пи. Коэффициент полезного действия источника тока Магнитным полем называется одна из форм электромагнитного поля. Магнитное поле создается движущимися заряженными час­ тицами и токами. CanadF, действующая на элемент длины проводника с током I, помещенного в магнитное поле (сила Ампера), равна dF = I [dl, В], где dl - вектор элемента длины проводника, проведенный в на­ правлении тока; В - вектор магнитной индукции. Магнитное поле называется однородным, если вектор В в лю­ бой его точке постоянен по модулю и по направлению. Если магнитное поле однородно, а проводник длиной 1 прямой, то сила Ампера будет равна F = 1[T,B]. Сила Лоренца - это сила, действующая на электрический заряд q, движущийся со скоростью v в магнитном поле с индукцией В, т.е. F = q [v, В ]. Модуль силы Лоренца F = jqj v Bsin а , где а - угол между векторами v и В. Закон Био - Савара - Лапласа: вектор индукции магнитного по­ ля в вакууме, созданного элементом проводника d l, по которому идет ток 1, равен ,4 I Г.Т - 7 Гн/м магнит- гце г - радиус-вектор, проведенный от элемента d 1 в ту точку, в которой определяется индукция поля; ц0 = 4к ■ 10 ная постоянная. Модуль вектора dB равен I d l-sin dB - А \ dT,r J 4jt г Модуль вектора магнитной индукции в про­ извольной точке А поля, созданного отрезком прямолинейного проводника с током I, равен в = Ь _ 1 ( с°8ф) -соэф2), 4л b где b - расстояние от точки А до проводника; 9 , , 9 2- у глы, образованные радиусом-вектором, проведенным в точку А соответственно из нача­ ла и конца проводника, с направлением тока. 1 Магнитная индукция поля, созданного прямолинейным беско­ нечно длинным проводником с током I, на расстоянии b от него, равна > . - Ы 2лЬ Магнитная индукция в центре дуги окружности длиной L, обте­ каемой током I, равна B =±bLhk В: 4% R2 где R - радиус окружности. Магнитная индукция в центре окружности (L = 27iR), обтекае­ мой током I, равна (V. 2R ' В: 69 Магнитная индукция В на оси окружности радиуса R, обтекае­ мой током I, на расстоянии b от центра окружности в _ HoiR2___ 2 ^ ( я 2 + Ь2) Циркуляция вектора магнитной индукции В вдоль замкнутого контура L равна алгебраической сумме охваченных контуром то­ ков, умноженной на |V _ ( _ Л Л п j§ d T = N где п = - — число витков, приходящихся на единицу длины соле­ ноида. Магнитный момент рт замкнутого плоского контура, обтекае­ мого током I, равен Pm " IS , где S = n S ; S - площадь, ограниченная контуром; п - единичный вектор, по направлению совпадающий с положительным направле­ нием нормали к плоскости контура и связанный с направлением тока в контуре правилом правого винта. Механический вращательный момент М , действующий на замкнутый контур с током в однородном магнитном поле с индук­ цией В , равен. М = [рт ,В ]. Работа сил магнитного поля по перемещению замкнутого кон­ тура с постоянным током I равна А = IАФ , где Дф = ф 2 _ ф 1 _ изменение магнитного потока сквозь поверх­ ность, ограниченную контуром. 71 Намагниченность (вектор намагничения) J равен 1 N AV ы где N - число частиц, содержащихся в бесконечно малом объеме AV; рт магнитный момент i-й частицы. Вектор напряженности Н магнитного поля является линейной комбинацией векторов В и J , т.е. Векторы магнитной индукции В и напряженности Н связаны соотношением В = ц0цН, где р. - магнитная проницаемость среды (для вакуума )л=1 ). Циркуляция вектора напряженности Н вдоль замкнутого кон­ тура L равна алгебраической сумме токов, охваченных контуром, т.е. ( Л j Й d7 = Hdlcos H,d! = £ Ij . L L V J ' Магнитная индукция внутри длинного соленоида с магнитным сердечником В = p0p n l, где п - число витков, приходящихся на единицу длины соленоида; I - сила тока, протекающего по нему; ц - магнитная проницаемость вещества сердечника. Индуктивность длинного соленоида объемом V = SI с магнит­ ным сердечником Ь = ц0цп2У . Энергия W магнитного поля контура индуктивностью L, по ко­ торому течет ток 1, равна 72 w = — . 2 Объемная плотность энергии w магнитного поля (энергия, отне­ сенная к единице объема) равна: unuH2 ВН В2w ■- — — --------------- 2 2 2ц0ц Основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея): при всяком изменении магнитного потока сквозь контур в нем воз­ никает электродвижущая сила индукции, пропорциональная скоро­ сти изменения магнитного потока, т.е. аФ £ ------------ . dt Если замкнутый контур содержит N последовательно соединен­ ных витков, то в законе Фарадея магнитный поток Ф заменяется потокосцеплением контура Ц) = ИФ. Тогда для такого контура dW6 ------ . dt Знак минус в законе электромагнитной индукции соответствует правилу Ленца: при всяком изменении магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную замкнутым контуром, в последнем возникает индукционный ток такого направления, что его собст­ венное магнитное поле противодействует изменению магнитного потока, вызвавшего индукционный ток. Количество электричества, протекающего по контуру сопротив­ лением R при изменении магнитного потока сквозь контур на ве­ личину Дф, равно ДФ q = - R Явлением самоиндукции называется возникновение ЭДС ин­ дукции в цепи в результате изменения в ней силы тока. Полный магнитный поток, сцепленный с контуром, равен VC- L I , 73 где L - индуктивность контура; I - сила тока в контуре. ЭДС самоиндукции для недеформируемого контура, находяще­ гося в неферромагнитной среде (L=const), выражается следующим образом: е ~ i * . е dt ЭДС самоиндукции является причиной возникновения в конту­ ре тока самоиндукции. Сила тока в цепи, обладающей постоянным сопротивлением R и индуктивностью L и содержащей постоянную ЭДС 6 , изменяется: а) при размыкании цепи по закону Rt I “ i0e L ; б) при замыкании цепи по закону _ 5 L \ I = I0 1 -е l \ где I0 = 6 /R. В идеальном LC колебательном контуре (R = 0) могут возникать незатухающие гармонические колебания: а) заряда конденсатора q = qmcos(wt + a ); б) напряжения на конденсаторе U = cos (со0 t + a )= Um cos(w0 1 + a ) ; в) тока в контуре T dq ■ ( t \ i > яI - — = -q m to0 sm (w0 1 + a ) = Im cos c^o0 1 + — + a Собственная циклическая частота ш0 колебаний в контуре - это число полных колебаний за 2л секунд: Юо=7 ^ ‘ 74 Период незатухающих колебаний Т - это время, в течение кото­ рого совершается одно полное колебание. Т = 2я LC - формула Томпсона; гр _ 2 я «о В колебательном контуре в любой момент времени t: а) электрическая энергия а 2 ? / \ с и 2 2 ( \W3(t) = cos2 (w0 1 + а ) = ——^co s 2 (ш0 t + а ); 2С 2 б) магнитная энергия ”1 1WM(t) = - L I2 sin2 (wt + a ) = - L q 2 w2 sin2 (wt+ a); JL ** в) полная энергия Г IJ2 a2 LI2 W -W #(t) + WM( t ) - - ^ - 3 £ - _ * . В реальном колебательном контуре (R * 0), если (З2 < to2 могут возникать затухающие колебания. Коэффициент затухания 3 = — . 2 L Если (З2 г со2, то вместо колебаний происходит апериодический разряд конденсатора. Сопротивление контура, при котором колебательный процесс •переходит в апериодический, называется критическим Затухающие колебания: а) для заряда конденсатора q = qm e~Pt cos(co0 t + a ); б) для напряжения на конденсаторе U = Um e~pt cos (со01 + a ) . 75 Амплитуда заряда qme pt и амплитуда напряжения Ume~pt убывают с течением времени по экспоненциальному закону. Логарифмический декремент затухания Здесь A(t) - амплитуда колебаний в момент времени t; A(t + Т) - амплитуда в момент времени t + Т, т.е. через период затухающих колебаний. Циклическая частота затухающих колебаний Теория Максвелла - последовательная теория единого электро­ магнитного поля, создаваемого произвольной системой зарядов и токов. В этой теории по заданному распределению зарядов и токов можно найти характеристики создаваемых ими электрического и магнитного полей. В основе теории Максвелла лежат уравнения, которые являются обобщением важнейших законов, описывающих электрические и магнитные явления: теоремы Остроградского- Гаусса, закон полного тока, закон электромагнитной индукции. Первое уравнение Максвелла в интегральной форме является обобщением закона электромагнитной индукции Фарадея: Смысл этого уравнения: переменное магнитное поле создает в любой точке пространства вихревое электрическое поле независи­ мо от того, находится в этой точке проводник или нет. Максвелл обобщил закон полного тока, предположив, что ис­ точником магнитного поля являются не только токи, но и перемен­ Период затухающих колебаний т _ 2 п _ 2л (1) 76 ные электрические поля. Количественной характеристикой маг­ нитного действия переменного электрического поля является ток смещения. Плотность тока смещения равна -j а б Jcm « . ■О I Максвелл предположил, что закон полного тока в магнетостати- ке будет справедлив и для переменных магнитных полей, если в правую часть закона полного тока добавить ток смещения. Обоб­ щенное таким образом уравнение является вторым уравнением Максвелла для электромагнитного поля: У В d 1 = I + 1СМ, (2) L где ICM = J j CMdS = J 4 “ ^ - s s Полная система уравнений Максвелла для электромагнитного поля включает r себя еще теорему Остроградского-Гаусса для электрического и магнитного полей: j D d S = q (3) S и у В dS = 0. (4) s Уравнения (1) - (4) представляют собой систему уравнений Максвелла в интегральной форме. Эту систему уравнений допол­ няют уравнениями, характеризующими электрические и магнитные свойства среды. Эти уравнения имеют вид: б = ее0Ё; В = цц0Н, где е0, |_10 - электрическая и магнитная постоянные, а е и ц - диэлектрическая и магнитная проницаемости среды. 77 Примеры решения задач Пример 1. В схеме, изображенной на рисунке, сопротивление R, = 2 Ом, R2 = 4 Ом, R3 = 6 Ом, ЭДС = 10 В, его внутреннее сопротивление г = 0,4 Ом. Определить сопротивление внешней це­ пи R, общий ток в электрической цепи I, токи 11 и 12 через сопротивления R| и R2, показания вольтметра Пц. Решение: Последовательно сопротивле­ нию R| включены два параллельных сопротивления R2 и R3. Сопротивление внешней цепи R = Ri + R 2 з . ( 1 ) Общее сопротивление двух парал­ лельно включенных сопротивлений R2 и R3. R2R3 r 2 + r 3 (2) Подставив (2) в (1), получаем R2R3R = R, + - R2 + R3 R = 2 + 4-6 = 4,4 Ом. 4 + 6 Общий ток I найдем, воспользовавшись законом Ома для замк­ нутой цепи: 8 . 10I 1 = - = 2 А. (3) R + r ' 4,4 + 0,6 В узле В ток I разветвляется на Ь и Ц, т.е. I = Ь + Ь • (4) Падение напряжения на параллельно включенных сопротивле­ ниях R2 и R3 равно I2R-2 = I3R3* (5) Решив совместно уравнения (4) и (5), найдем 78 I3 = — , I2 = I - I 3> 3 R 2 + R 3 I3 = - ^ - = 0,8A, I2 = 1,2 A . 4 + 6 Вольтметр показывает напряжение UB на внешнем участке це­ пи. Оно может быть определено двумя способами: 1) как разность ЭДС источника и напряжения на сопротивле­ нии источника: U B = e - I r ; U B =10-2-0,6 = 8,8В. 2) показание вольтметра равно падению напряжения на внеш­ ней цепи: UB = IR ; UB =2-4,4 = 8,8В. Ответ: I = 2 A; R = 4,4 Ом; 12 = 1,2 А; 13 = 0,8 A; UB = 8,8 В. Пример 2. Потребитель электроэнергии мощностью Pn = 1 ООО Вт находится на расстоянии / = 50 км. Площадь поперечного сечения медных проводов S = 0,443 см2. Каким должно быть напряжение источника, чтобы потери напряжения в линии не превышали 4% от напряжения источника? Удельное сопротивление меди рм =1,7-10“8 Ом м . Решение: Провода линии и потребитель подключены к источнику последовательно, поэтому напряжение источника U будет равно сумме напряжения на линии U„ и напряжения на потребителе Un , а ток в линии всюду одинаков, стало быть U = U„ + U„ . (1) Используя закон Ома и условие, что потери напряжения не должны превышать z = 0,04 , можно записать U, = Rn I (2) и U„ = zU , (3) U„ = U (l-z). (4) 79 Силу тока определим, воспользовавшись формулой для мощно­ сти потребителя: Pn = I-Un = I-U(l-z), откуда I ----- • (5)U (l-z ) Сопротивление двухпроводной линии равно R „ = - В ^ . (6) Используя уравнения (2), (3), (4), (5), найдем напряжение источ­ ника и = РПРМ2/ U = . 10б-1,7-10'8 '2-5 '105 [ 0,04 • (1 - 0,04) • 0,443 • 10" Ответ: U = 100 кВ. = 10-104В = 100 кВ. Пример 3. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 20 Ом на­ растает в течение времени At = 2 с по линейному закону от 10 = 0 до I = 6 А (см. рис.). Определить количество теплоты Qi, выде­ лившееся в этом проводнике за первую секунду, и Q2 - за вто­ рую, а также найти отношение Q2/Q 1. Решение: Закон Джоуля-Ленца в виде Q = I2 Rt справедлив для по­ стоянного тока (I = const). Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон спра­ ведлив для бесконечно малого интервала времени dt и записывает­ ся в виде U 6 з о 1 t,с 80 dQ = I2Rdt. (1) Здесь сила тока I является некоторой функцией времени I = f(t). В данном случае где к - коэффициент пропорциональности, характеризующий ско­ рость изменения силы тока, т.е С учетом (2) формула (1) примет вид dO = k2Rt2dt. (3) Для определения количества теплоты Qb выделившейся за пер­ вую секунду, выражение (3) надо проинтегрировать в пределах от О до ti = 1 с, т.е. о Для определения количества теплоты СЪ, выделившейся за вто­ рую секунду, выражение (3) проинтегрируем в пределах от ti = 1 с до t2 = 2 с, т.е. т.е. за вторую секунду выделилось количество теплоты в 7 раз большее, чем за первую. Ответ: Q, = 60 Дж; 0 2 = 420 Дж; Qz/Qi = 7. Пример 4. Два параллельных бесконечно длинных провода D и С, по которым текут в одном направлении электрические токи силой I = k-t, (2) 81 I = 60 А, расположены на расстоянии d - 10 см друг от друга. Оп­ ределить магнитную индукцию В поля, создаваемого проводника­ ми с током в точке А (см. рис. 1), отстоящей от оси одного провод­ ника на расстоянии Г| = 5 см, от другого - г2 = 12 см. Решение: Для нахождения магнитной индукции В в точке А вос­ пользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Для этого определим направления магнитных индукций В] и В2 полей, соз­ даваемых каждым проводником с током в отдельности, и сложим их геометрически. Направление векторов магнитной индукции, тока, магнитного по­ ля, создаваемого прямолинейным проводником, определяется по правилу буравчика (правилу правого винта, см. рис. 2). Если вра­ щать винт таким образом, чтобы его поступательное перемещение В = В, +В2 / В совпадало с направле­ нием тока в проводнике, то направление враще­ ния рукоятки буравчика совпадает с направлени­ ем линий индукции, а вектор В будет направ­ лен по касательной к линии индукции в на­ правлении вращения. Следовательно, DA 1АВ, иС А 1А В 2. Рис. 1 82 Модуль вектора В может быть найден по теореме косинусов: В = ^ В2 + В2 - 2В ,В 2 c o s ( л - а ) = / ( 1 ) = J В, + Щ + 2 В,В2 cos а где а - угол между векторами В, и В2 . Магнитные индукции В, и В2 выражаются соответственно че­ рез силу тока I и расстояния п и г2 от проводов до точки А В, = ц 01/(2яг,); В2 = и 01/(2тсг2). Подставляя выражения для В] и В2 в формулу (1), получаем ц01 пв = 2 71 г2 + г2 + Г| Гт c o s a (2) 2 Вычислим cosa. Заметив, что a = Z DAC (как углы с соответст­ венно перпендикулярными сторо­ нами), по теореме косинусов запи­ шем d2 = г2 + г2 — 2Г| r2 cos a , где d - расстояние между провода­ ми. Отсюда г1<2 Г> + Го cos a : 2 n r2 1 2 2 - 102 23 2-5-12 40 Подставим в формулу (2) число­ вые значения физических величин и произведем вычисления: 4 • 3,14 • 10-7 'В = •60 1 I 23 2-3,14 ]j (0,05)2 (0,12)2 0,05-0,12 40 3,06-10 4 Тл = 308 мкТл. Тл = 83 Ответ: В = 308 мкТл. Пример 5. Плоский квадратный контур со стороной а= 10 см, по которому течет ток I = 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (В = 1 Тл). Определить работу А, совершаемую Д внешними силами при по- j вороте контура относи­ тельно оси, проходящей д через середину его проти- _ воположных сторон, на угол: 1) ф, = 90°; 2) ф2 = 3°. При повороте контура си­ ла тока в нем поддержива­ ется неизменной. Решение: Работа А внеш­ них сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока I в контуре на АФ изменение магнитного потока, пронизывающего контур, т.е. А = - 1 АФ. Магнитный поток Ф = В S cos а, где В - модуль вектора магнитной индукции; S - площадь контура; а - угол между нормалью к плоскости контура п и вектором маг­ нитной индукции В . В однородном поле контур с током свободно устанавливается таким образом, что плоскость контура перпендикулярно вектору магнитной индукции, поэтому ос 0. Магнитный поток Ф, пронизывающий контур до перемещения, равен Ф = В Scos 0° = В S = В а2, т.к. площадь S квадратной рамки равна 84 S = а2. После поворота на угол a i = 90° магнитный поток через контур Oi = В S cos си = В S cos 90° = 0. Изменение магнитного потока АФ] через контур при его пово­ роте на угол а] равно АФ, = Ф, - Ф; - АФ: = Ф - Фх = В а2. Работа в этом случае Aj = I В а2; А, = 100-1(0,1)2 = 1 Дж. После поворота контура на угол а 2 = 3° магнитный поток через контур Ф2 = В S cos а2 = В a2 cos а 2. Изменение магнитного ДФ2 потока через контур при его пово­ роте на угол а2 равен Дф2 = ф 2 - Ф = В a2 (cos а2 - cos а), -Дф2 = ф - ф2 = В a2 (cos а - cos а 2). Работа в этом случае А2 = IВ a2 (cos а - cos а 2). А2 = 100-1-(ОД)2-(cos 0° - cos 3°) = 1,4-КГ3 Дж = 1,4 мДж. Ответ: А! = 1 Дж; А2 = 1,4 мДж. Пример 6. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциа­ лов U = 600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить радиус R окружности. Решение: Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле будет происходить по окружности только в том случае, когда частица влетит в магнитное поле перпендикулярно линиям магнит­ ной индукции, т.е. v 1 В . Так как сила Лоренца Рл перпендикулярна вектору v , то она сообщит частице (протону) нормальное ускоре­ ние ап; 85 где m - масса протона. На рисунке траектория протона лежит в плоскости чертежа. Силу Лоренца на­ правим перпендикулярно вектору v к центру окружно­ сти (векторы ап и Рлсона- правлены). Используя прави­ ло левой руки, определим на­ правление магнитных сило­ вых линий (направление век­ тора В ). Вектор В перпендикулярен плоскости чертежа и направ­ лен вверх. Перепишем выражение (1) в скалярной форме ( в проекциях на радиус): = ша„ . (2) В скалярной форме F„ = Q vB sina . В нашем случае v l B и \/2 sina = 1, тогда Fn = QvB. Так как нормальное ускорение ап = Fn = man , (1) R то выражение (2) перепишем следующим образом: ,2 QvB = mv R откуда находим радиус окружности: mvR = QB (3) (4) Скорость протона v найдем, воспользовавшись связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энер­ гии протона, т.е a = q u = w k2 - w k1, 86 где U - ускоряющая разность потенциалов, которую прошел про­ тон; WK| и Wk2 - начальная и конечная кинетические энергии про­ тона. Начальная кинетическая энергия протона Wk1 = 0 , конеч­ ная - Wk2 = Ш^ - . Тогда получим QU mV откуда ч = л — - (5)m Подставив (5) в (4), получим R = - J — . (6) В V Q Подставим в формулу (6) числовые значения физических вели­ чин и произведем вычисления: „ 1 Ь - 1 , 6 7 - 1 0 -27 - 6 0 0 1 > 0 1 а - 2 R = — J -----------------------гг------- = 1 , 1 8 - 1 0 м = 1 1 , 8 м м . 0,3 V 1,6-1049 Ответ: R = 11,8 мм. Пример 7. Электрон движется в однородном магнитном поле (В= ЮмТл) по винтовой линии, радиус которой R = 1 см и шаг h = 6 см. Определить период Т обращения электрона и его скорость V. Решение: Электрон будет двигаться по винтовой линии, если он влетает в однородное магнитное поле под некоторым углом ос ф л/2 к линиям магнитной индукции. Разложим, как это показано на рисунке, скорость электрона v на две составляющие: параллельную вектору B (v nap) и перпендикулярную ему (v nn). Скорость vnap в магнитом поле не изменяется и обеспечивает перемещение электрона вдоль силовой 87 пинии Скорость vnn в результате действия силы Лоренца будет изменяться только по направлению ( Fn ± vnn ). В отсутствие параллельной составляющей ( vnap = 0) движение электрона прог исходило бы по окружности в плоскости, перпендикулярной магт нитным силовым линиям. Таким образом, электрон будет участвс ■ вать одновременно в двух движениях: равномерном перемещении со скоростью vnap и; равномерном движении по окружности со ско­ ростью Vjj,,. Период обращения электрона связан с перпендикулярной со­ ставляющей скорости соотношением 0 ) Vт пп Найдем отношение R/vnn. Для этого воспользуемся тем, что сила Лоренца сообщает электрону нормальное ускорение ап Согласно второму закону Ньютона можно написать Рл = man R 88 или H v ™ B - 2 & . (2) Jx г д е v nn * v s i n a . Выразим из (2) соотношение R/Vju, (R/vnn = m/|e|B) и подставим его в формулу (1): т - 2 ф ( 3 > Произведем вычисления: „ 2-ЗД4-9Д-1(Гзг .Т = -------- —----------- = 3,57-1и с = 3,57 не. > 1,6 • 1(Г19-10-НГ3 Модуль скорости v, как это видно из рисунка, можно выразить через vnn и v,iap: V л'^пл "*■ Vnap • Из формулы (2) выразим перпендикулярную составляющую скорости: lelBR ш Параллельную составляющую скорости vnap найдем из следую­ щих соображений. За время, равное периоду обращения Т, элек­ трон пройдет вдоль силовой линии расстояние, равное шагу h винтовой линии, т.е. h = Tvnap, откуда V nap = h/T. Подставив вместо Т выражение (3), получим lelBh Vnap ~ 2гап ' Таким образом, модуль скорости электрона 2 2 [е И Vnap + Vnn = — m 89 1,6 -1 (Г М 0 1(Г (0,0l)2 + 9Д-10"31 \ = 2,46-107 м /с = 24,6 М м /с Ответ: Т = 3,57 не; v = 24,6 Мм/с. 0,06 у 2-3,14 Пример 8. Короткая катушка, содержащая N = 10 витков, равно­ мерно вращается с частотой п = 10 с '1 относительно оси АВ, лежа­ щей в плоскости катушки и перпендикулярной линиям однородно­ го магнитного поля (В = 0,04 Тл). Определить мгновенное значение ЭДС индукции для тех моментов времени, когда плоскость катуш­ ки составляет угол а = 60° с линиями поля, и максимальное значе­ ние ЭДС индукции. Площадь поперечного сечения S катушки рав­ на 100 см2. Решение: Мгновенное значение ЭДС индукции 8, определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея- Максвелла: dT dt ( 1) Потокосцепление ¥ = NO, где N - число витков катушки, про­ низываемых магнитным потоком Ф. Подставив выражение ¥ в формулу (1), получим dФ Е ; = - — • (2) При вращении катушки магнитный поток Ф, пронизывающий катушку в момент времени t, изменяется по закону Ф = В S cos cot, где В - магнитная индукция; S - площадь поперечного сечения ка­ тушки; со - угловая скорость вращения катушки. Подставив в фор­ мулу (2) выражение для магнитного потока Ф и продифференциро­ вав его по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции: В; =NBScosincot. 90 Заметив, что угловая скорость со связана с частотой вращения п катушки соотношением со = 2лп и что угол cot = л/2 - а (см. рису­ нок), получим (учтено, что sin (л/2 - а ) = cos а) Ej = 2 л n N B S c o s a . Произведем вычисления: Bi = 2-3,14-10-103-0,04-10 '2-0,5 = 25,1 В. 8max = 2nnNBS; 8тах = 2*3,14-10-103-0,04-10-2 = 50,2 В. Ответ: 8, = 25,1 В; 8тах = 50,2 В. Пример 9. Квадратная проволочная рамка со стороной а = 5 см и сопротивлением R = 10 мОм находится в однородном магнитном поле (В = 40 мТл). Нормаль к плоскости рамки составляет угол a = 30° с линиями магнитной индукции. Определить заряд Q, кото­ рый пройдет по рамке, если магнитное поле выключить. Решение: При выключе­ нии магнитного поля произойдет изменение магнитного потока. Вследствие этого в рамке возникает ЭДС индук­ ции, определяемая ос­ новным законом элек­ тромагнитной индукции 6Ф 8, = — dt Возникшая ЭДС индук­ ции вызовет в рамке ин­ дукционный ток, мгновенное значение которого можно опреде­ лить, воспользовавшись законом Ома для полной цепи l f = E;/ R , где R - сопротивление рамки. Тогда 91 i,r = - <№ dt Так как мгновенное значение силы индукционного тока I, = dQ/dt, то это выражение можно переписать в виде dQ „ d dOR ----------, откуда dQ -------— . (1) dt dt R Проинтегрировав выражение (1), найдем Q Ф2 . .Ф| - Ф 2J* dQ = - J* dФ или Q = R о Ф1 Заметив, что при выключенном поле (в конечном состоянии) Ф2 = 0, последнее равенство перепишется в виде 0 = Ф 1 т . (2) Найдем магнитный поток Фь По определению магнитного по­ тока Ф1 = BS cosa, где S - площадь рамки. В нашем случае (рамка квадратная) S = а2. Тогда Фг = Ва2со8а. (3) Подставляя (3) в (2), получим п Ва2 Q --------- c o sa . R Произведем вычисления: 0,04 25-10-*./з_ з и , мКл. 0,01 Ответ: Q = 8,67 мКл. Пример 10. Соленоид с сердечником из немагнитного материала содержит N = 1200 витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока I = 4 А магнитный поток Ф = 6 мкВб. Опреде­ 92 лить индуктивность L соленоида и энергию W магнитного поля соленоида. Решение: Индуктивность L связана с потокосцеплением Ч' и силой тока I соотношением Ч* = LI. (1) Потокосцепление, в свою очередь, может быть определено через поток Ф и число витков N (при условии, что витки плотно приле­ гают друг к другу): Ч ^ И Ф . (2) Из формул (1) и (2) находим индуктивность соленоида: Ь = КФ/1. (3) С учетом (3) энергия магнитного поля соленоида равна W = %LI2 = %N®I. Произведем вычисления: L . W 0 W , ц .м ^ мГн; 4 W = i • 1,2 -103- 6 -Ю”6- 4 = 1,44-КГ2 Дж = 14,4 мДж. Ответ: L = 1,8 мГн; W = 14,4 мДж. Пример 11. Колебательный контур состоит из конденсатора емко­ стью С = 1,8 мкФ и катушки индуктивностью L = 0,2 Гн. Опреде­ лить максимальную силу тока Imax в контуре, если максимальная разность потенциалов на обкладках конденсатора Umax = 100 В. Решение: Рассмотрим два способа решения задачи. Первый из них основан на исследовании уравнения свободных электромагнитных колебаний, второй - на законе сохранения энергии. 1-й способ. Если сопротивлением контура пренебречь, то ю = со0, и, следовательно, в этом контуре будут происходить незатухающие колебания. При этом q = qmaxSm(o)t + qp0). 93 Сила тока есть производная заряда по времени, поэтому I = dq/dt = co0qmax cos (w0t + в провод­ нике, если его сопротивление R = 25 Ом. 425. За время t = 8 с при равномерном возрастании тока, в про­ воднике сопротивлением R = 8 Ом выделилось количество теплоты Q = 500 Дж. Определить заряд q, прошедший через проводник, ес­ ли сила тока в начальный момент времени равна нулю. 426. Определить количество теплоты Q, выделившееся за время t = 10с в проводнике сопротивлением R = 10 Ом, если сила тока в нем, равномерно уменьшаясь, изменилась ог 1| = 10 А до Ь = 0. 427. Сила тока в цепи изменяется по закону I = I0 sin cot. Опре­ делить количество теплоты, которое выделится в проводнике со­ противлением R= 10 Ом за время, равное четверти периода, если период Т = 0,02 с, 10 = 4 А . 99 428. Сила тока в проводнике изменяется по закону I = I0cos«t. Найти заряд q, прошедший через поперечное сечение проводника за время t , равное четверти периода Т, если начальная сила тока 10 = 5 А, циклическая частота 1 ООлс 1. 429. Найти количество теплоты, которое выделяется в провод­ нике сопротивлением 5 Ом за промежуток времени от 5 до 10 секунд с момента включения гока, если: а) сила тока постоянна и равна 10 А; б) сила тока меняется со временем по закону I = 6 + 3t (А). 430. Г1о проводу сопротивлением R = 6 Ом протекло количество электричества q = 30 Кл. Определить количество теплоты, выде­ ленное в проводнике, в следующих случаях: а) по проводу проте­ кал постоянный ток в течение t = 24 с; б) сила тока в проводнике равномерно убывала до нуля в течение t = 24 с. 431. На рис. 10а изображены сечения двух прямолинейных бес­ конечно длинных проводников с током. Токи текут в разных на­ правлениях. Расстояние АВ мемеду проводниками равно 10 см, I [ = 20 А, 12 = 30 А. Найти индукцию магнитного поля, вызванного токами I) и 12 в точках Mi и М2. Расстояния MiA = 2 c m и АМ2 = 4 см. h Ь II h 0 — •----- — 0 •—0 — •------------0 М, д М2 в М, д М2 в а) б) Рис. 10 432. На рис. 106 изображены сечения двух прямолинейных бес­ конечно длинных проводников с током. Токи текут в одном на­ правлении. Расстояние АВ между проводниками равно 10 см, 11 = 20 А, 12 = 30 А. Найти индукцию магнитного поля, вызванного токами I] и 12 в точках М, и М2. Расстояния М|А = 2см и АМ2 = 4 см. 100 433. На рис. 11 изображены сечения трех прямолинейных бес­ конечно длинных проводников с током. Расстояния АВ = ВС = 5 см, Ь = Ь = I и Ь = 21. Найти точку на прямой АС, в которой индукция магнитного поля, вызванного токами I,, 12 и 13, равна нулю. Токи I, и Ь текут в одном направлении, ток 13 - в противоположном на­ правлении. I) Ь Ь - © --------- © — ® — А В С Рис. 1 1 434. Два прямолинейных бесконечно длинных проводника рас­ положены перпендикулярно друг другу и находятся в одной плос­ кости (рис. 12). Найти индукцию магнитного поля в точках М| и Nfa если 1| = 2 А и Ь = 3 А. Расстояния AMi = АМ2 = 1 см, BMi - С М 2 = 2см. , 1 М, м 2 ь - Ф - - В Рис. 12 Рис. 13 435. Два прямолинейных бесконечно длинных проводника рас­ положены перпендикулярно друг другу и находятся во взаимно перпендикулярных плоскостях (рис. 13). Найти индукцию магнит­ ного поля в точках М] и М2, если 1д = 2 А и 12 = 3 А. Расстояния AMi = АМ2 = 1 с м и АВ = 2 см. 436. Два прямолинейных бесконечно длинных проводника рас­ положены параллельно на расстоянии 10 см друг от друга. По про- 101 водникам текут токи Ij = 12 = 5 А в противоположных направлени­ ях. Найти числовое значение и направление индукции магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии 10 см от каждого провод­ ника. 437. Вычислить индукцию магнитного поля, создаваемого от­ резком АВ прямолинейного проводника с током, в точке С, распо­ ложенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоя­ нии 5 см от него. По проводнику течет ток 20 А. Отрезок АВ про­ водника виден из точки С под углом 60°. 438. Ток 20 А идет по длинному проводнику, согнутому под прямым углом. Найти индукцию магнитного поля в точке, лежа­ щей на биссектрисе этого угла и отстоящей от вершины угла на расстоянии 10 см. 439. Найти индукцию магнитного поля на оси кругового конту­ ра на расстоянии Зсм от его плоскости. Радиус контура 4 см, сила тока в контуре 2 А. 440. Индукция магнитного поля в центре кругового витка ра­ диусом 11 см равна 80 мкТл. Найти индукцию магнитного поля на оси витка на расстоянии 10 см от его плоскости. 441. Два иона разных масс с одинаковыми зарядами, прошед­ шие одинаковую ускоряющую разность потенциалов, влетели в однородное магнитное поле и стали двигаться по окружностям ра­ диусами Ri = 3 см и R2 = 1,73 см. Определить отношение масс Ио­ нов. 442. Электрон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U = 500 В, попадает в однородное магнитное поле в вакууме и движется по окружности радиуса R = 10 см. Определить модуль магнитной индукции, если скорость электрона перпендикулярна линиям магнитной индукции. 443. Электрон прошел ускоряющую разность потенциалов U = 800 В и, влетев в однородное магнитное поле В = 47 мТл, стал двигаться по винтовой линии с шагом h = 6 см. Определить радиус R винтовой линии. 102 444. Альфа-частица прошла ускоряющую разность потенциалов U = 300 В и, попав в однородное магнитное поле, стала двигаться по винтовой линии радиусом R = 1 см и шагом h = 4 см. Опреде­ лить магнитную индукцию В поля. 445. Заряженная частица прошла ускоряющую разность потен­ циалов U = 100 В и, влетев в однородное магнитное поле (В « 0,1 Тл), стала двигаться по винтовой линии с шагом h = 6,5 см и радиусом R = 1 см. Определить отношение заряда частицы к ее массе. 446. Протон прошел ускоряющую разность потенциалов U = 300 В| и влетел в однородное магнитное поле (В = 20 Тл) под углом а * 30° к линиям магнитной индукции. Определить шаг h и ; радиус R винтовой линии, по которой будет двигаться протон в магнитном поле. < 447. Альфа-частица, пройдя ускоряющуюся разность потенциа­ лов U, стала двигаться в однородном магнитном поле (В = 50 мТл) по винтовой линии с шагом h = 5 см и радиусом R = 1 см. Опреде­ лить ускоряющую разность потенциалов, которую прошла альфа- частица. 448. Частица с зарядом Q = 3,2-10“19 Кл и кинетической энерги­ ей WK = 1 кэВ попала в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,21 Тл и стала двигаться по окружности радиусом 1 м. Опре­ делить период обращения частицы, ее скорость и массу. 449. Альфа-частица, кинетическая энергия которой равна 500 эВ, влетает в однородное магнитное поле, перпендикулярное скорости ее движения. Индукция магнитного поля 0,1 Тл. Найти: 1) силу, действующую на частицу; 2) радиус окружности, по кото­ рой движется частица; 3) период обращения частицы. 450. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 6 кВ, влетает в однородное магнитное поле под углом а = 30° к направ­ лению пОля и начинает двигаться по винтовой линии. Индукция магнитного поля В = 1,3-КГ2 Тл. Найти: 1) радиус витка винтовой линии; 2) шаг винтовой линии. 103 451. Квадратный контур со стороной а = 10 см, в котором течет ток I = 6 А, находится в магнитном поле (В = 0,8 Тл) под углом а = = 60° к линиям индукции. Какую работу А нужно совершить, что­ бы при неизменной силе тока в контуре изменить его форму на ок­ ружность? 452. Плоский контур с током I = 5 А свободно установился в однородном магнитном поле (В = 0,4 Тл). Площадь контура S = = 200 см2. Поддерживая ток в контуре неизменным, его повернули относительно оси, лежащей в плоскости контура, на угол а « 40°. Определить совершенную при этом работу А. 453. Виток, в котором поддерживается постоянная сила тока I = = 60 А, свободно установился в однородном магнитном поле (В = = 20 мТл). Диаметр витка d = 10 см. Какую работу А нужно совер­ шить для того, чтобы повернуть виток относительно оси, совпа­ дающей с диаметром, на угол а = л/3? 454. В однородном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции расположен плоский контур площадью S = 100 см2. Под­ держивая в контуре постоянную силу тока I = 50 А, его перемести­ ли из поля в область пространства, где поле отсутствует. Опреде­ лить магнитную индукцию В поля, если при перемещении контура была совершена работа А = 0,4 Дж. 455. Плоский контур с током I = 50 А расположен в однородном магнитном поле (В = 0,6 Тл) так, что нормаль к контуру перпенди­ кулярна линиям магнитной индукции. Определить работу, совер­ шаемую силами поля при медленном повороте контура вокруг оси, лежащей в плоскости контура, на угол а = 30°. 456. Виток радиусом 5 см с током 1 А помещен в однородное магнитное поле с индукцией 6,28-10 3 Тл так, что нормаль к витку составляет угол 60° с направлением поля. Какую работу совершат силы поля при повороте витка в положение, при котором В пер­ пендикулярно плоскости витка? 457. Прямой проводящий стержень длиной / = 40 см находится в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл. Концы стержня замкнуты гибким проводом, находящимся вне поля. Со- 104 противление всей цепи R = 0,5 Ом. Какая мощность потребуется для равномерного перемещения стержня перпендикулярно линиям ' магнитной индукции со скоростью v = 10 м/с? 458. Плоский проволочный контур площадью S = 500 см2 вра­ щают с угловой скоростью со = 50 рад/с в однородном магнитном ноле с индукцией В = 0,5 Тл. Ось вращения лежит в плоскости кон­ тура и перпендикулярна линиям магнитной индукции. Определить, какая выполняется работа при повороте контура за время t, равное четверти периода его вращения, если в начальном положении угол между нормалью к контуру и вектором магнитной индукции равен нулю. 459. Проводник длиной 50 см, по которому течет ток 1 А, дви­ жется перпендикулярно магнитному полю с индукцией 0,25-10_3 Тл (ц = 1) со скоростью 50 км/ч. Определить работу перемещения проводника за 1 ч движения. 460. Проводник длиной 0,6 м и сопротивлением 0,025 Ом дви­ жется поступательно в плоскости, перпендикулярной магнитному полю с индукцией 0,5 мТл. По проводнику течет ток 4 А. Скорость движения проводника 0,8 м/с. Какая мощность больше: затрачен­ ная на перемещение проводника в магнитном поле или на его на­ гревание? Во сколько раз? 461. В однородном магнитном поле (В = ОД Тл) равномерно с частотой п = 5 с-1 вращается стержень длиной 1 = 50 см так, что плоскость его вращения перпендикулярна линиям индукции маг­ нитного поля, а ось вращения проходит через один из его концов. Определить индуцируемую на концах стержня разность потенциа­ лов U. 462. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,5 Тл вращается с частотой п = 10 с-1 стержень длиной 1 = 20 см. Ось вращения параллельна линиям индукции и проходит через один из концов стержня перпендикулярно его оси. Определить разность потенциалов U на концах стержня. 463. В проволочное кольцо с диаметром d = 20 см и сопротив­ лением R = 10 Ом вставили постоянный магнит. При этом по цепи 105 прошел заряд О = 50 мкКл. Определить индукцию магнитного по­ ля, создаваемую магнитом, в пределах кольца, если предположить, что в этой области поле однородно. 464. Рамка из провода сопротивлением R = 0,04 Ом равномерно вращается в однородном магнитном поле (В = 0,6 Тл). Ось враще­ ния лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индук­ ции. Площадь рамки S = 200 см2. Определить заряд Q, который пройдет по рамке при изменении угла между нормалью к рамке и линиями индукции: 1) от 0° до 45°; 2) от 45° до 90°. 465. Проволочный виток диаметром D = 5 см и сопротивлением R = 0,02 Ом находится в однородном магнитном поле (В = 0,3 Тл). Плоскость витка составляет угол ф = 40° с линиями индукции. Ка­ кой заряд Q протечет по витку при выключении магнитного поля? 466. Рамка, содержащая N = 200 витков тонкого провода, может свободно вращаться относительно оси, лежащей в плоскости рам­ ки. Площадь рамки S = 50 см2. Ось рамки перпендикулярна линиям индукции однородного магнитного поля (В = 0,05 Тл). Определить максимальную ЭДС, которая индуцируется в рамке при ее враще­ нии с частотой п = 40 с-1. 467. На соленоид длиной 20 см и диаметром 4 см надето изоли­ рованное кольцо того же диаметра. По обмотке соленоида течет ток 0,1 А. Диаметр проволоки, из которой сделан соленоид, равен 0,1 мм. Определить ЭДС индукции в кольце, если за 0,01 с ток в его обмотке равномерно снижается до нуля. 468. В однородном магнитном поле, индукция которого равна 0,1 Тл, вращается катушка, состоящая из 200 витков. Ось вращения катушки перпендикулярна ее оси и направлению магнитного поля. Период обращения катушки равен 0,2 с, площадь поперечного се­ чения катушки 4 см2. Найти максимальную ЭДС индукции во вра­ щающейся катушке. 469. На соленоид длиной 20 см и площадью поперечного сече­ ния 30 см2 надет проволочный виток. Соленоид имеет 320 витков, и по нему идет ток в 3 А. Какая средняя ЭДС индуцируется в наде­ 106 том на соленоид витке, когда ток в соленоиде выключается в тече­ ние 0,001 с? 470. Катушка из 100 витков площадью поперечного сечения 15 см2 вращается с частотой 5 Гц в однородном магнитном поле индукцией 0,2 Тл. Ось вращения перпендикулярна оси катушки и линиям индукции поля. Определить максимальную ЭДС индукции в катушке. 471. Соленоид сечением S = 10 см2 содержит N = 103 витков. При силе тока I = 5 А магнитная индукция В поля внутри соленои­ да равна 0,05 Тл. Определить индуктивность L и длину / соленоида. 472. На картонный каркас длиной 1 = 0,8 м и диаметром D = 4 см намотан в один слой провод диаметром d = 0,25 мм так, что витки плотно прилегают друг к другу. Вычислить индуктивность L тако­ го соленоида. 473. Катушка, намотанная на немагнитный цилиндрический каркас, имеет N = 250 витков и индуктивность L, = 36 мГн. Чтобы увеличить индуктивность катушки до L2 = 100 мГн, обмотку ка­ тушки сняли и заменили обмоткой из более тонкой проволоки с таким расчетом, чтобы длина катушки осталась прежней. Сколько витков оказалось в катушке после перемотки? 474. Индуктивность L соленоида, намотанного в один слой на немагнитный каркас, равна 0,5 мГн. Длина 1 соленоида равна 0,6 м, диаметр D = 2 см. Определить отношение числа витков N соленои­ да к его длине 1. 475. Соленоид содержит N = 800 витков. Сечение сердечника (из немагнитного материала) S = 10 см2. По обмотке течет ток, соз­ дающий поле с индукцией В = 8 мТл. Определить среднее значение ЭДС самоиндукции, которая возникает на зажимах соленоида, ес­ ли сила тока уменьшается практически до нуля за время At = 0,8 мс. 476. Соленоид содержит 720 витков. При силе тока 0,5 А маг­ нитный поток равен 0,4 мВб. Определить энергию магнитного поля соленоида и ЭДС самоиндукции при выключении тока за 0,1 с. 107 All. Чему равна объемная плотность энергии магнитного поля в соленоиде без сердечника, имеющего плотную однослойную на­ мотку провода диаметром 0,1 мм, если по нему течет ток 0,1 А? 478. Соленоид без сердечника имеет плотную однослойную на­ мотку провода диаметром 0,1 мм. Найдите энергию магнитного поля соленоида, если его длина 20 см, диаметр 4 см и по нему течет ток 0,1 А. 479. Катушка длиною 20 см и диаметром 3 см имеет 400 вилков. По катушке идет ток силой 2 А. Найти: 1) индуктивность катушки; 2) магнитный поток, пронизывающий площадь ее поперечного се­ чения. 480. Соленоид длиною 50 см и площадью поперечного сечения 2 см2 имеет индуктивность 210-7 Гн. При какой силе тока объемная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида равна КГ3 Дж/м3? 481. Колебательный контур имеет индуктивность L = 1,6 мГн, емкость С = 0,04 мкФ. Максимальное напряжение на конденсаторе Umax = 200 В. Чему равна максимальная сила тока Imax в контуре и максимальны заряд qmax на конденсаторе? Сопротивление контура ничтожно мало. 482. Колебательный контур состоит из катушки без сердечника и плоского конденсатора. Катушка длиной 1 = 50 см и площадью поперечного сечения Sj = 3 см2 имеет 1000 витков. Площадь пла­ стин конденсатора S2 = 75 см2, расстояние между пластинами d = = 5 мм. Диэлектрик - воздух. Определить период колебаний в кон­ туре. 483. Три одинаково заряженных конденсатора емкостью С = = 0,5 мкФ каждый соединяют в батарею и подключают к катушке, активное сопротивление которой R = 20 Ом и индуктивность L = = 0,02 Гн. Во сколько раз будет отличаться периоды затухающих колебаний если конденсаторы один раз соединены параллельно, а второй - последовательно? 484. Уравнение изменения силы тока в колебательном контуре со временем дается в виде I = -0,02 ■ sin 400nt (А). Индуктивность 108 контура 1 Гн. Найти: 1) период колебаний; 2) емкость конденсато­ ра; 3) максимальную разность потенциалов на обкладках конденса­ тора; 4) максимальную энергию магнитного поля; 5) максимальную энергию электрического поля. 485. Заряженный конденсатор емкостью 0,5 мкФ подключили к катушке индуктивностью 5,0 мГн. Через какое время от момента подключения катушки энергия электрического поля конденсатора станет равной энергии магнитного поля катушки? Активным со­ противлением катушки пренебречь. 486. Какое сопротивление может иметь колебательный контур, состоящий из катушки индуктивностью 10 мГн и конденсатора ем­ костью 4,0 мкФ, чтобы в нем могли еще возникнуть электромаг­ нитные колебанил? 487. Определить частоту собственных колебаний в колебатель­ ном контуре, который состоит из конденсатора емкостью 2,0 мкФ и катушки индуктивности длиной I = 0,1 м и радиусом г = 1,0 см, со­ держащей N = 500 витков, если магнитная проницаемость среды, заполняющей катушку, равна 1, а сопротивлением катушки можно пренебречь. 488. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью j' 2,0 мкФ и катушки индуктивностью 0,1 Гн и сопротивлением 10 Ом. Определить логарифмический декремент затухания колеба­ ний. 489. Определить активное сопротивление колебательного кон­ тура, индуктивность которого L= 1,0 Гн, если через t = 0,l с ам­ плитудное значение разности потенциалов на обкладках конденса­ тора уменьшилось в п = 4 раза. Определить частоту собственных колебаний колебательного кон­ тура, содержащего конденсатор емкостью С = 0,5 мкФ, если мак­ симальная разность потенциалов на его обкладках достигает Um = 100 В, а максимальная сила тока в катушке равна 1ш = 50 мА. Активным сопротивлением катушки пренебречь. 109 Информационно-методическое обеспечение Основная литература 1. Трофимова Т.И. Курс физики. - М.: Высшая школа, 1990-2002. 2. Савельев И.В. Курс общей физики: В. 3 т. Т. 2. - М.: Наука, 1988. 3. Савельев И.В. Курс физики: В. 3 т. Т. 2. — М.: Наука, 1989. 4. Савельев И.В. Курс общей физики: В. 5 кн. Кн. 2. - М.: Изд-во «Астрель АСТ», 2002. 5. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. - М.: Высшая шко­ ла, 2001-2002. 6. Наркевич И.И., Волмянский Э.И., Лобко С.И. Физика для вту­ зов. В 2 т. Т. 2. - Мн.: Вышэйшая школа, 1994. 7. Волькенштейн B.C. Сборник задач по общему курсу физики. - М.: Наука, 1973-1990; СЩ: Спец. лит., Лань, 1999. 8. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. - М.: Высшая школа, 1981, 1988. Дополнительная литература 1. Сивухин Д.В. Общий курс физики: В 5 т. Т. 3. - М.: Наука, 1983. 2. Дмитриева В.Ф., Прокофьев В.Л. Основы физики. - М.: Выс­ шая школа, 2001. 3. Сборник задач по курсу общей физики / Г.А. Загуста и др.; Под. ред. М.А. Цедрика. - М.: Просвещение, 1989. 4. Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике. - М.: Наука, 1982, 1988,2001. 5. Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики. - М.: Высшая школа, 1994, 1996,2003. 110 Содержание Предисловие........................................................................................3 Рабочая программа курса физики для специальностей строительного и горно- механического профилей.....................4 Методические указания по выполнению контрольных работ..............................................................................9 Таблица 1. Варианты контрольной работы для специальностей, учебными планами которых предусмотрена по физике одна работа в семестре................................................. 11 Таблица 2. Варианты контрольной работы № 1 для специальностей, учебными планами которых предусмотрены по физике две работы в семестре.................................................. 11 Таблица 3. Варианты контрольной работы № 2 для специальностей, учебными планами которых предусмотрены по физике две работы в семестре................................................. 12 Электростатика. Основные определения и формулы.............. ................................13 Примеры решения задач..................................................................22 Контрольная работа № 1 ................................................................ 47 Постоянный ток. Электромагнетизм. Основные определения и формулы.............................................. 63 Примеры решения задач..................................................................78 Контрольная работа № 2 .................................................................95 Информационно-методическое обеспечение.......................... 110 Учебное издание КУЖИР Павел Григорьевич САМОЙЛЮКОВИЧ Владимир Александрович ТЕСЕВИЧ Борис Иванович Ф И З И К А Учебно-методическое пособие для студентов-заочников строительного и горно-механического профилей В 3-х частях Ч а с т ь 2 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ _______________ Редактор Т.Н.Микулик_______________ Подписано в печать 07.04.2003. Формат 60x84 1/16. Бумага типографская № 2. Печать офсетная. Гарнитура Таймс. Уел, печ. л. 6,5. Уч.-изд. л. 5,1. Тираж 600. Заказ 266. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. Лицензия ЛВ №155 от 30.01.2003.220013, Минск, проспект Ф.Скорины, 65.