МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Теория механизмов и машин» МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ В МАШИНАХ Методическое пособие к лабораторным работам Минск БНТУ 2013 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Теория механизмов и машин» МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ В МАШИНАХ Методическое пособие к лабораторным работам по дисциплине «Колебания в машинах» для студентов машиностроительных специальностей Минск БНТУ 2013 УДК 60.001.11:531.8(076.5) ББК 34.41я73 М74 А в т о р ы : В. В. Кудин, А. М. Авсиевич, Э. И. Астахов, М. В. Кудин, А. А. Сухоцкий Р е ц е н з е н т ы : А. Т. Скойбеда, В. И. Туромша Моделирование колебательных процессов в машинах : учебно-методическое пособие к лабораторным работам по дисциплине «Колебания в машинах» для студентов машино- строительных специальностей / В. В. Кудин [и др.]. – Минск : БНТУ, 2013 – 33 с. ISBN 978-985-525-997-9. Методическое пособие представляет собой математическое и компьютерное моде- лирование собственных и вынужденных колебаний механической системы с одной и двумя степенями свободы. К каждой работе даются краткие теоретические сведения, ма- тематическое моделирование колебательных процессов в машинах, описание лабора- торных установок или моделирования на ЭВМ исследуемых колебаний, порядок выпол- нения лабораторных работ, содержание отчета по работе, контрольные вопросы по теме. Издание предназначено для студентов машиностроительных специальностей вузов по дисциплине «Колебания в машинах», а также может быть использовано на учебных курсах «Теория механизмов и машин», «Динамика машин» и др. УДК 60.001.11:531.8(076.5) ББК 34.41я73 ISBN 978-985-525-997-9 © Белорусский национальный технический университет, 2013 М74 3 СОДЕРЖАНИЕ Лабораторная работа № 5к МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ОДНОМАССОВОЙ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ВНЕШНЕМ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ…………………... 4 Лабораторная работа № 6к МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ………………………………………………………….. 14 Литература…………………………………………………….......... 23 Приложение 1…………………………………………………......... 24 Приложение 2…………………………………………………......... 30 4 Лабораторная работа № 5к МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ОДНОМАССОВОЙ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ВНЕШНЕМ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ Цель работы: моделирование колебаний одномассовой колеба- тельной системы; исследование свободных затухающих и вынуж- денных колебаний механической системы с одной степенью свобо- ды при полигармоническом внешнем воздействии. Расчёт парамет- ров колебательной системы на каждой из выделенных гармоник. Основные теоретические положения Процесс изменения параметра, который характеризуется много- кратным поочерёдным возрастанием и убыванием параметра во времени, называется колебательным процессом, а соответствующий параметр – колеблющейся величиной. Система, способная при определённых условиях совершать ко- лебания, называется колебательной системой. Колебательные про- цессы, происходящие в механических системах, называются меха- ническими колебаниями. Линейные системы с постоянными параметрами являются самы- ми простыми моделями. На рис. 5.1 изображена модель механической колебательной си- стемы с числом свободы, равным 1. Инерциальный элемент 5, например, масса m, движется прямолинейно в идеальных направ- ляющих 4 вдоль оси ОХ. Он соединен с неподвижной стойкой 2 ли- нейной пружиной 3 с коэффициентом жёсткости с и линейным демпфером 1 с коэффициентом сопротивления (демпфирования) b. На колеблющуюся массу m действует некоторая внешняя сила F(t), являющаяся функцией времени. Свободные колебания Колебания, которые совершаются при отсутствии переменного внешнего воздействия и без поступления энергии извне, называют- 5 ся свободными колебаниями. Они происходят за счёт первоначаль- ного накопления энергии, величина которой определяется переме- щением и скоростью, заданными системе в некоторый начальный момент времени. Рис. 5.1. Механическая система с одной степенью свободы Уравнение свободных колебаний 02  qkq , (5.1) где m c a c k  – частота свободных колебаний; с – коэффициент жесткости упругого элемента; a = m – инерциальный коэффициент (масса). Период свободных колебаний kT /2 . Общее решение дифференциального уравнения (5.1) имеет вид ktcktcq sincos 21  , (5.2) где с1, с2 – постоянные интегрирования, определяемые из началь- 6 ных условий: при t = 0, q = q0, 0qq   , тогда k q сqc 0201 ,   . Уравнение (5.2) может быть записано в виде sin( β)q A kt  , (5.3) где 2020 2 2 2 1 )( k q qccA   – амплитуда свободных колебаний;  21 /arctg cc – начальная фаза. Из уравнений (5.2) и (5.3) следует, что свободные колебания яв- ляются гармоническими с амплитудой А и начальной фазой β. Свободные затухающие колебания Свободные затухающие колебания – колебания механической системы, на которую действуют упругие восстанавливающие силы и силы сопротивления. Силы сопротивления представляются как функции первой степени скорости (R = bV = bq ). Затухающие колебания описываются однородным дифференци- альным уравнением второго порядка 0 cqqbqa  или 02 2  qkqnq  , где abn /2  – коэффициент демпфирования, mbn 2/ ; ack / – частота свободных колебаний. При n < k (слабое демпфирование) наблюдается колебательный процесс. 7 При n  k колебательный процесс отсутствует, движение назы- вается апериодическим. Рассмотрим случаи затухающих свободных колебаний (n < k). Частота затухающих колебаний 22* nkk  . Период затухающих колебаний 2 1 * 2 *           k n T k T . Общее решение дифференциального уравнения затухающих ко- лебаний )*sin*cos(* 21 tkCtkCeq nt   (5.4) или )β**sin(**   tkeAq nt , (5.5) где 22 2 002 0 )( * nk nqq qA     – амплитуда затухающих колебаний; 22 0 00arctg* nkq nqq     – начальная фаза. Движение, соответствующее уравнениям (5.4) и (5.5), имеет ко- лебательный характер и представлено на рис. 5.2. Логарифмический декремент колебаний есть натуральный лога- рифм отношения двух последовательных максимумов либо мини- мумов отклонений системы от равновесного положения за полупе- риод колебаний: 2 * lnln 1 2 Tn A A D  . 8 Это позволяет сравнить диссипативные свойства колебательных систем. Рис. 5.2. Затухающие колебания Вынужденные колебания Вынужденными колебаниями механической системы называют- ся колебания, вызванные внешним переменным воздействием. В случае вынужденных механических колебаний дифференци- альное уравнение имеет вид )( 1 2 2 tF m qkqnq   . (5.6) Рассмотрим правую часть уравнения (5.6), которая выражает вы- нужденные колебания системы. Возмущающая сила F(t) во многих областях техники является периодической силой, т. е. силой, любые значения которой повторяются через равные отрезки времени. Наименьшее из значений времени Tв называется периодом внешне- го воздействия, тогда величина в/2 Tp  называется основной частотой возмущающей силы. Периодическая функция F(t), период Tв и частота p могут быть 9 представлены рядом Фурье:     1 0 )sincos()( j jj jptbjptaatF , (5.7) где  в 0в 0 d)( 1 T ttF T a – постоянная составляющая;  в 0в dcos)( 2 T j tjpttF T a ,  в 0в dsin)( 2 T j tjpttF T b – коэффициенты ряда; j = 1, 2, 3, …,  – номер гармоники, кратный основной частоте внешнего воздействия. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет следующий вид:     1 02 )sincos( 1 2 j jj jptbjpta mm a qkqnq  . Общее уравнение *** qqq  , где )*sin*cos(* 21 tkCtkCeq nt   – для случая слабого сопротив- ления (n < k);     1 0 )sincos(** j jj jptВjptAAq , c a mk a A 0 2 0 0  , где ]4)[( 2)( 2222222 222 pjnpjkm njpbapjk A jj j    , ]4)[( 2)( 2222222 222 pjnpjkm njpbbpjk B jj j    – постоянные коэффициен- ты. 10 Если внешнее воздействие (правую часть уравнения (5.7)) пред- ставить в виде     1 0 )sin()( j jjptHjatF , где 22 jjj baH  – амплитуда j-й гармоники внешнего воздей- ствия; )/(arctg jjj ba – начальная фаза j-й гармоники внешнего воздействия, то общее решение дифференциального уравнения вы- нужденных колебаний      1 0 )sin()β*sin( ВВ j jj nt QjptbAtkAeAq , где 22 2 1 CCA  – амплитуда затухающих свободных колебаний;  21 /arctgβ CC – начальная фаза затухающих колебаний; 22 В jjj BAA  – амплитуда вынужденных колебаний j-й гар- моники; )/(arctgВ jjj BAQ  – начальная фаза вынужденных колебаний j-й гармоники. Второе слагаемое с ростом параметра t исчезает (свободные ко- лебания затухают), следовательно, остаются только вынужденные колебания , уравнение которых имеет вид     1 0 )sin( ВВ j jj QjptbAAq 11 Качественные параметры, характеризующие колебательный процесс Коэффициент динамичности j-й гармоники 22 2 2 2 4)1( 1                 k p k n k p jj j , где pj = jp – частота j-й гармоники. Коэффициент виброизоляции на j-й гармонике 22222 224 4)( 4 jj j Rj pnpk pnk K    . Величина силы, передаваемой на основание j-й гармоники: 22222 224 4)( 4 jj jj j pnpk pnkmh R    , где hjm – амплитуда j-й гармоники внешнего воздействия. Коэффициенты динамичности, виброизоляции характеризуют качество виброизолирующих свойств колебательной системы с од- ной степенью свободы. Порядок выполнения работы I. До расчетов на ЭВМ 1. Составить схему динамической модели механической колеба- тельной системы с одной степенью свободы. 2. Выбрать исходные данные (задаются руководителем). 3. Записать дифференциальное уравнение свободных колебаний. 12 4. Определить частоту и период свободных колебаний, постоян- ные интегрирования с1, с2. Вычислить амплитуду свободных коле- баний и начальную фазу. Записать дифференциальное уравнение свободных колебаний со своими числовыми значениями амплиту- ды, частоты и начальной фазы и дать анализ. 5. Определить коэффициент демпфирования колебаний n, часто- ту, период амплитуду и начальную фазу затухающих колебаний. Записать дифференциальное уравнение затухающих колебаний в общем виде и с рассчитанными значениями. Определить логариф- мический декремент колебаний. Произвести анализ. 6. Записать в общем виде диффернциальное уравнение вынужденых колебаний. 7. Расчитать основную частоту р вынуждающей силы F(t), принимая, что в экспериментальном графике значения аргумента есть значения времени t. 8. Записать уравнение периодической функции вынуждающей силы в виде гармоник ряда Фурье и уравнения для расчета коэффи- циентов ряда. II. Расчет на ЭВМ 1. Открыть файл «ЛР5К.xls». Выбрать лист «Свободные и зату- хающие». В поля, помеченные цветом, ввести исходные данные. Распечатать лист (объем распечатки 1 страница). 2. Выбрать лист «Вынужденные колебания». В поля, помечен- ные цветом, ввести численные значения вынуждающей силы со- гласно заданному графику. Распечатать лист (объем распечатки 2 страницы). III. После расчета на ЭВМ 1. Сделать вывод о характере зависимости обобщенной коорди- наты q от времени t для свободных колебаний. 2. Сравнить полученный экспериментальный график q*(t) для затухающих колебаний с графиком на рис. 5.2 и сделать вывод о характере зависимости обобщенной координаты q* от времени t для затухающих колебаний. Определить из графика время затухания tзат. 3. Используя график и таблицу значений q*(t), определить лога- рифмический декремент колебаний, сравнить его с рассчитанным теоретическим значением. 13 4. По результатам расчета и графикам гармоник F(t) сделать за- ключение о достаточности ( j = 3) трех гармоник для описания экс- периментальной зависимости F(t). 5. Проанализировать изменение вынужденных колебаний по гармоникам и суммарной величины. Контрольные вопросы 1. Что называется колебательным процессом? 2. Какие колебания называются свободными? 3. Записать уравнение, частоту и период свободных колебаний. 4. Какие колебания называются затухающими? 5. Что такое коэффициент демпфирования? 6. Дать понятие частоты и периода затухающих колебаний. 7. Логарифмический декремент затухания (определение и фор- мула). 8. Дать понятие апериодического движения 9. Вынужденные колебания (определение). 10. Уравнение вынужденных колебаний. 11. Дать понятие о разложении функции F(t) в ряд Фурье. 12. Записать формулы расчёта амплитуды и начальной фазы вы- нужденных колебаний на j-й гармонике. 13. Записать частотный спектр вынуждающей силы и вынужден- ных колебаний. 14. В каких случаях вынужденные колебания являются периоди- ческими и в каких апериодическими? 14 Лабораторная работа № 6к МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ Цель работы: определение параметров и анализ собственных колебаний механической системы с двумя степенями свободы в фи- зических (реальных) и главных координатах. Основные теоретические положения Колебания механических систем с несколькими степенями сво- боды описываются системой дифференциальных уравнений 2-го порядка, получаемых из уравнений Лагранжа 2-го рода. Для линей- ных механических систем с постоянными параметрами (рис. 6.1) с двумя степенями свободы дифференциальные уравнения свободных колебаний без учета вязкого трения выглядят в общем случае сле- дующим образом [1, 2]:      ,0 ,0 222121222121 212111212111 qcqcqaqa qcqcqaqa   (6.1) где аij – инерционные коэффициенты, определяемые из формулы кинетической энергии системы; сij – коэффициенты жесткости, определяемые из формулы потен- циальной энергии системы; 1q – обобщенные координаты отдельных степеней свободы; 1q – ускорение по 1-м координатам, i = j = 1; 2. Кинетическая энергия системы с двумя степенями свободы  ,2 2 1 2 1 2 1 2 2222112 2 111 2 1 2    j jiij i qaqqaqaqqaТ  (6.2) где iq – обобщенные скорости инерционных элементов ( tqq ii d/d ). 15 а б Рис. 6.1. Схемы колебательных систем: а – с поступательными массами; б – с дисками на упругих валах Потенциальная энергия такой схемы ).2( 2 1 2 1 2 2222112 2 111 2 1 2 1 2 qcqqcqcqqcП jiij ji    (6.3) Для механической системы с двумя подпружиненными поступа- тельными массами m1 и m2 (рис. 6.1, а) 11 yq  , 22 yq  .  2222112 2 1 ymymТ   . (6.4)      222212212121222112 2 2 1 2 1 ycyycyccyycycП  . (6.5) Для системы с двумя дисками (рис. 6.1, б) с осевыми моментами инерции J1 и J2 , закрепленными на упругих валах с угловыми жест- костями c1 и c2: 11 q , 22 q ,  2222112 2 1   JJТ , 16      222212212121222112 2 2 1 2 1  ccccccП . Сравнивая выражение кинетической энергии (6.2) с кинетиче- ской энергией по формуле (6.4), получаем инерционные коэффици- енты ijа для данной схемы, а сравнивая выражение (6.3) потенци- альной энергии с формулами (6.5), получаем коэффициенты жест- кости ijс схемы (рис. 6.1, б). Для схемы на рис. 6.1, а 111 mа  , 02112  aа , 222 mа  . Для схемы на рис. 6.1, б 111 Jа  , 02112  aа , 222 Jа  . Для обеих схем 2111 ccc  , 22112 ccc  , 222 cc  . Решение системы уравнений (6.1) 2-го порядка, как известно, приводит к следующему частотному уравнению 4-й степени [1]:       02 2122211212121122221142122211  cccKaccacaKaaa (6.6) или 024  kkk CKBKA , где Аk, Вk, Сk – коэффициенты уравнения (6.6), которые равны  ,2122211 аааАk   ,2122211 сссСk   .2 121211222211 ассасаВk  Отсюда определяются угловые частоты K собственных колеба- ний системы: k k k k k k А С А В А В K          2 2,1 22 . (6.7) 17 Из уравнений (6.6) и (6.7) угловые частоты K1 и K 2, как положи- тельные действительные числа, могут быть получены при следую- щих ограничениях на параметры системы: 011 а , 022 а , 0 2 122211  aaа , 011 c , 022 c , 0 2 122211  ccc . Соответствующие этим частотам колебания называют главными колебаниями системы. Меньшую из частот K, называют основной частотой, а первое главное колебание этой частоты – основным ко- лебанием. Определив K1 и K2, находят значения коэффициентов распреде- ления µ1 и µ2 , представляющих собой отношение обобщенных ко- ординат q или амплитуд А колебаний и называемых формами глав- ных колебаний: 1 2 1 2 A A q q  ,                    . , 2 22222 2 21212 2 21212 2 21111 2 2 12222 2 11212 2 11212 2 11111 1 Kac Kac Kac Kac Kac Kac Kac Kac (6.8) Из уравнений (6.8) следует, что формы главных колебаний си- стемы не зависят от начальных условий и так же, как и частоты ко- лебаний, определяются только параметрами системы. Тогда уравнения, определяющие первое главное колебание, имеют вид                 ),sin( ,sin 11 1 11 1 2 11 1 1 1 1 tKAq tKAq где β1 – начальная фаза, соответствующая частоте колебаний K1. 18 Аналогично для второго главного колебания                 ),sin( ,sin 22 2 12 2 2 22 2 1 2 1 tKAq tKAq где β2 – начальная фаза, соответствующая частоте колебаний K2. Анализ этих уравнений показывает, что если система совершает одно из главных колебаний, то обе обобщенные координаты изме- няются по гармоническому закону с одинаковой частотой и началь- ной фазой. Это означает, что обе координаты изменяются синхронно. Общее решение системы дифференциальных уравнений получа- ется путем суммирования первого и второго главных колебаний:                    .sin)sin( ,sinsin 22 2 1211 1 112 22 2 111 1 11 tKAtKAq tKАtKAq (6.9) Неизвестные  1 1А ,  2 1А , β1, β2 в уравнениях (6.9) определяются по начальным условиям, т. е. при t = 0: 101 qq  , 202 qq  , 101 qq   , 202 qq   , тогда получим систему                             ,coscos ,sinsin ,coscos ,sinsin 2 2 121 1 1120 2 2 121 1 1120 2 2 11 1 110 2 2 11 1 110 AAq AAq AAq AAq   (6.10) решая которую, определяем  11А ,  2 1А , β1 и β2. Общее колебание, определяемое из (6.9), не является простым гармоническим, т.к. результирующее движение представляет собой сумму двух движений различной частоты K1 и K2. 19 Главные формы колебаний характеризуются разными значения- ми амплитуд, т. е. а) на частоте K1 соответственно  1 1А и    1 11 1 2 АА  ; б) на частоте K 2 соответственно  2 1А и    2 12 2 2 АА  ; в) минимальные размеры l1 и l2 выбираются произвольно. С помощью графиков форм колебаний (рис. 6.2), характеризую- щих изменение амплитуд на частотах K 1 и K 2, определяют наличие и положение узловых точек, в которых значение амплитуд равно нулю. а б Рис. 6.2. Формы собственных колебаний: а – для схемы на рис. 6.1, а; б – для схемы на рис. 6.1, б Главными координатами механической системы называют обобщенные координаты, выбранные таким образом, чтобы выра- жения кинетической и потенциальной энергии содержали лишь квадраты обобщенных скоростей. В этом случае дифференциальные уравнения имеют вид      .0 ,0 2222 1111 са са   20 Эти уравнения независимы и могут быть решены раздельно. Од- нако частоты K 1 и K 2 остаются теми же, что и при выборе произ- вольных (физических) обобщенных координат. В этом случае 211 q , 22112 q . Отсюда главные координаты равны: 21 122 1    qq , 21 211 2    qq . Введение главных координат не упрощает вычислений, но имеет важное теоретическое значение. Уравнения колебаний в главных координатах являются гармоническими с частотами K 1 и K 2:    1111 sin   tKCt ,    2222 sin   tKCt . Моделирование свободных колебаний двухмассовой колебательной системы Моделирование свободных колебаний системы с двумя степеня- ми свободы осуществляется на персональном компьютере с исполь- зованием пакета программ LP6к2012. После загрузки пакета на экране монитора высвечивается застав- ка лабораторной работы № 6к2 с приглашением к работе. После ре- гистрации студента высвечивается окно выбора схемы колебатель- ной системы с поступательными массами или с дисками на упругих валах. Далее для принятой схемы высвечивается окно ввода исход- ных данных. Нажатие кнопки «Расчет» завершает процесс ввода данных и запускает их проверку на предмет получения положи- тельных значений частот K 1 и K 2 главных колебаний. Затем программный блок вычисляет K 1, K 2, 1 , 2 , а также  1 1А ,  2 1А , β1 и β2 по начальным условиям и выдает окно результатов вычислений. На экране монитора строятся графики. 21 Далее предлагается вызвать окно «Графики», на котором в соот- ветствующей вкладке предлагается изучить графики главных форм колебаний, а также  tq1 ,  tq1 ,  tq2 ,  tq2 , фазовые траектории  11 qq ,  22 qq , а также  t1 и  t2 . Завершающий этап моделирования свободных колебаний двух- массовой колебательной системы сводится к распечатке результа- тов расчета свободных колебаний. Порядок выполнения работы I. До расчетов на ЭВМ 1. Составить схему колебательной системы. При этом выбирает- ся одна из схем, заложенных в программном обеспечении LP6к2012 (с линейным перемещением масс либо с угловыми (крутильными) перемещениями). 2. По заданным массам (моментам инерции) и коэффициентам жесткости определить инерционные и жесткостные коэффициенты. 3. Выбрать начальные условия системы при t = 0 ( 10q , 10q , 20q , 20q ). 4. Записать дифференциальные уравнения свободных колебаний. 5. Решая частотное уравнение, определить собственные частоты главных форм колебаний, а затем коэффициенты распределения (K1, K 2, 1 , 2 ). 6. Получить у преподавателя допуск к выполнению расчета на ЭВМ. II. Расчет на ЭВМ 1. Загрузить программний пакет «LP6к2012». Зарегистрироваться. 2. Выбрать соответствующую схему колебательной системы. 3. Ввести исходные данные. 4. Выполнить расчет. 5. Проверить правильность ввода исходных данных. 6. Посмотреть результаты расчетов коэффициентов распределе- ния (K 1, K 2, 1 , 2 ). 7. Посмотреть все построенные графики. 8. Запустить печать результатов. 22 III. Анализ свободных колебаний 1. В компьютерной распечатке на графиках форм главных коле- баний найти и обозначить узловые точки согласно рис. 6.2. 2. Выполнить анализ всех представленных на распечатке графи- ков и сделать выводы по работе. В ходе анализа необходимо: 2.1. Для графиков  tq1 ,  tq1 ,  tq2 ,  tq2 ,  t1  t2 оценить форму колебаний (гармонические или негармонические), для гар- монических графиков определить продолжительность (время) одно- го цикла (периода) колебаний. 2.2. На всех графиках определить амплитуду колебаний. 2.3. Дать оценку характера колебаний (устойчивые или неустой- чивые). Форма протокола и отчет по лабораторной работе приведен в прил. 2. Контрольные вопросы 1. Назовите или нарисуйте механическую колебательную систе- му с двумя и более степенями свободы. 2. Запишите дифференциальные уравнения свободных колеба- ний механической системы с двумя степенями свободы. 3. Запишите выражения кинетической и потенциальной энергий системы с двумя степенями свободы. 4. Как определяются инерционные аij и жескостные сij коэффи- циенты колебательной системы с двумя степенями свободы? 5. Дайте понятие о главных колебаниях, основной частоте. 6. Что такое форма колебаний, узловые точки? 7. Какими являются зависимости обобщенных координат от вре- мени  tq1 ,  tq2 ? 8. Как выражаются амплитуды А главных собственных колеба- ний на частотах K 1 и K 2? 9. Дайте понятие о главных координатах η и их зависимостях η(t). 10. Что такое фазовая плоскость, фазовый портрет колебания? 23 Литература 1. Астахов, Э.И., Кудин, В.В. Колебания в машинах и методы их устранения: учебно–методическое пособие для студентов машино- строительных специальностей. – Минск: БГПА, 1997. – 130 с. 2. Колебания в машинах: Лабораторные работы для студентов специальностей 1–36 01 01 «Технология машиностроения» и 1–36 01 03 «Технологическое оборудование машиностроительного про- изводства» / сост.: Э.И.Астахов, В.В.Кудин, М.В.Кудин. – Минск: БНТУ, 2005 – 99 с. 3. Бидерман, В.Л. Теория механических колебаний: учебник для вузов. – М.: Высш. школа, 1980. – 408 с. 4. Горов, Э.А. Гайдай, С.А., Лушников, С.В. Типовой лабора- торный практикум по теории механизмов и машин: учебное посо- бие для студентов втузов. – М.: Машиностроение, 1990. – 160 с. 5. Лабораторный практикум по теории колебаний/ Г.Н.Бухаринов [и др.] – Л.: Изд–во Ленингр. ун–та, 1965. –79 с. 6. Левитский, Н.И. Колебания в механизмах: учебн. пособие для втузов. –М.: Наука, 1988. – 336 с. 7. Пановко, Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. – 3–е изд., доп. и перераб. – Л.: Машиностроение, Ленингр. отд– ние, 1976. – 320 с. 24 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Белорусский национальный технический университет Кафедра «Теория механизмов и машин» ОТЧЕТ по лабораторной работе № 5к по курсу «Колебания в машинах» «МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ОДНОМАССОВОЙ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ВНЕШНЕМ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ» Студент гр. 103999 _____________ Иванов И. И. Руководитель _____________ Сидоров С. С. 1. Цель работы: ознакомление с основными теоретическими по- ложениями по расчёту параметров одномассовой колебательной системы; исследование свободных затухающих и вынужденных ко- лебаний механической системы с одной степенью свободы при по- лигармоническом внешнем воздействии. Расчёт параметров колеба- тельной системы на каждой из выделенных гармоник. 2. Рисунок – Динамическая модель колебательной системы 3. Исходные данные. m =12 кг, с = 5000 н/м, b=100 Н·с/м, 0q = 0,05 м, 0q 1,2 м/с. График возбуждающей силы в зависимости от времени: t, c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 F, H 0 500 1000 1500 1000 500 100 -200 -400 0 4. Параметры свободных колебаний. Уравнение свободных колебаний: 02  qkq . (1) 25 Частота свободных колебаний, 41,20 12 5000  m c k рад/с. Период свободных колебаний: 308,041,20/1416,32/2  kT с. Общее решение уравнения (1): ktcktcq sincos 21  , (2) или )βsin(  ktAq (3). Постоянные интегрирования 1c и 2с определяем из начальных условий: при t = 0, q = q0, 0qq   , 05,001  qc м, 059,0 41,20 2,10 2  k q с  м. Амплитуда свободных колебаний 077,0059,005,0 2222 2 1  ccA м. Начальная фаза свободных колебаний:     705,0059,0/05,0arctg/arctg 21  cc рад = 40,4 градуса. Уравнения свободных колебаний: ttq 41,20sin059,041,20cos05,0  или )0,70541,20sin(077,0  tq . 5. Параметры затухающих колебаний. Коэффициент демпфирования 17,4242/1002/  mbn с-1. Частота затухающих колебаний: 98,1917,441,20* 2222  nkk рад/с. Период 314,0 98,19 2 * 2 *      k T с. Амплитуда 086,0 17,441,20 )05,017,42,1( 05,0 )( * 22 2 2 22 2 002 0        nk nqq qA  м. Начальная фаза 954,0 17,441,2005,0 05,017,42,1 * 2222 0 00        arctg nkq nqq arctg  рад. Решение уравнение затухающих колебаний: 26 )954,098,19sin(086,0)*sin(** 17,4   tetkeAq tnt – вы- полняется на ЭВМ с построением графика. Логарифмический декремент колебаний 655,0 2 314,0 17,4 2 * ln  T nD . Время затухания tзат ≈ 1,0 с. 6. Параметры вынужденных колебаний. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний )( 1 2 2 tF a qkqnq   . (4) Представление F(t) в виде ряда Фурье:     1 0 )sincos()( j jj jptbjptaatF , где  в 0 0 d)( 1 T ttF T a – постоянная составляющая;  в 0в dcos)( 2 T j tjpttF T a ,  в 0в dsin)( 2 T j tjpttF T b – коэффициен- ты ряда Фурье; вТ – период изменения возмущающей силы )(tF ; j – номер гармоники, кратной основной частоте возмущающей силы. Основная частота возмущающей силы 698,0 09 222 начпослв          ttT p рад/с. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид    3 1 02 )sincos( 1 2 j jj jptbjpta mm a qkqnq  или    3 1 02 )698,0sin698,0cos( 1 41,2034,8 j jj tjbtja mm a qqq  . (5) Коэффициенты для разложения вынуждающей силы в ряд Фурье определяются с помощью ЭВМ: Амплитуды гармоник: 0а = , 1kА = , 2kА = , 3kА = . 27 Начальные фазы : 1 = , 2 = , 3 = . Параметры вынужденных колебаний рассчитаны с помощью ЭВМ. Амплитуды гармоник: 0А = , В1А = , В2А = , В3А = Начальные фазы : 1 = , 2 = , 3 = . Моделирование вынужденных колебаний представлено в виде графиков по каждой гармонике и суммы гармоник. Анализ вынужденных колебаний: …….. Выводы по работе: 1) …. 2) ….. 28 Исходные данные к лабораторной работе 5К 1) параметры колебательной системы: № варианта Масса m , кг Жесткость c , Н/м Коэффициент сопротивления b , Н·с/м Начальная координата 0q , м Начальная скорость 0q , м/с 1 20 4000 135 0,02 0,8 2 15 3000 110 0,01 0,5 3 30 8000 150 0,04 1,4 4 25 10 000 170 0,03 1,1 5 40 11 000 200 0,05 1,5 6 30 10 500 210 0,04 0,9 7 50 10 000 240 0,06 1,7 8 35 9000 220 0,04 1,0 9 60 15 000 270 0,02 1,1 10 45 14 000 245 0,03 1,2 11 80 18 500 350 0,01 1,5 12 65 17 000 320 0,06 1,6 13 100 20 000 450 0,05 1,2 14 85 19 000 425 0,01 0,9 15 75 18 000 390 0,02 1,1 2) Значения возбуждающей силы в зависимости от времени F(t): Вариант № п/п 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 t, c 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 F, H 0 500 1000 1500 1000 500 100 –200 – 400 0 2 t, c 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 F, H 0 1000 2000 1000 0 – 400 – 800 – 600 – 400 0 3 t, c 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 F, H 200 500 700 400 200 100 – 100 – 200 0 200 4 t, c 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 F, H 0 400 900 500 100 0 – 200 – 300 – 100 0 5 t, c 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 F, H 1000 700 500 200 100 0 200 800 1200 1000 6 t, c 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 F, H 500 700 1000 600 200 – 100 100 200 400 500 7 t, c 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 F, H 0 250 450 700 800 750 500 350 100 0 8 t, c 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 F, H 250 800 1000 400 100 200 500 600 400 250 9 t, c 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 F, H 400 600 700 800 600 500 300 200 300 400 10 t, c 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 F, H 800 500 300 200 0 – 100 – 200 200 400 800 29 Вариант № п/п 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 t, c 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 F, H 500 250 0 – 250 0 250 500 500 500 500 12 t, c 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 F, H 200 300 500 500 500 800 800 700 400 200 13 t, c 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 F, H 400 200 200 100 – 100 0 100 100 200 400 14 t, c 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 F, H 100 500 800 1000 900 400 300 200 100 100 15 t, c 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 F, H 0 250 300 400 500 600 450 350 200 0 30 ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Белорусский национальный технический университет Кафедра «Теория механизмов и машин» ОТЧЕТ по лабораторной работе № 6к ИССЛЕДОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ Студент __________ № группы _________дата _________ 1. Цель работы. 2. Схема колебательной системы 3. Исходные данные: Вариант №__ параметры начальные условия 4. Дифференциальные уравнения свободных колебаний      .0 ,0 222121222121 212111212111 qcqcqaqa qcqcqaqa   5. Расчет инерционных и жесткостных коэффициентов колеба- тельной системы. 6. Расчет K1, K 2 главных колебаний системы, а также коэффици- ентов распределения 1 и 2 (формы главных колебаний).       02 2122211212121122221142122211  cccKaccacaKaaa или 024  kkk CKBKA , где Аk, Вk, Сk – коэффициенты уравнения, которые равны:   ...2122211  аааАk   ...2122211  сссСk 31   121211222211 2 ассасаВk Тогда угловые частоты K собственных колебаний системы: ... 22 2 1          k k k k k k А С А В А В K ... 22 2 2,1          k k k k k k А С А В А В K ... ... 2 22222 2 21212 2 21212 2 21111 2 2 12222 2 11212 2 11212 2 11111 1               Kac Kac Kac Kac Kac Kac Kac Kac 7. Анализ результатов, выводы. 8. Компьютерная распечатка (на отдельных листах). Исходные данные для лабораторной работы № 6к 1) колебательная система с поступательными массами: № варианта Параметры системы Начальные условия при 0t m1, кг m2, кг с1, Н/м с2, Н/м ,10q м ,20q м ,10q м/с ,20q м/с 1.1 5 4 60 20 0,001 0,002 0,005 0,004 1.2 8 4 80 40 0,002 0,003 0,006 0,005 1.3 10 6 90 50 0,0015 0,0025 0,005 0,003 1.4 12 5 100 60 0,002 0,0025 0,004 0,002 1.5 15 10 120 80 0,003 0,0015 0,003 0,003 1.6 18 12 140 90 0,0025 0,0015 0,004 0,003 1.7 20 15 150 100 0,001 0,0015 0,005 0,004 1.8 22 14 160 120 0,002 0,002 0,006 0,004 1.9 25 15 180 100 0,003 0,003 0,005 0,006 1.10 30 18 200 120 0,004 0,0025 0,004 0,0025 1.11 32 15 220 100 0,005 0,003 0,002 0,001 1.12 35 20 250 120 0,003 0,001 0,0015 0,002 1.13 38 25 280 150 0,004 0,002 0,001 0,002 1.14 40 28 300 160 0,003 0,002 0,002 0,0015 2) колебательная система с вращательными массами: № ва- ри- анта Параметры системы Начальные условия при 0t J1, 2мкг  J2, 2мкг  с1, рад мH  с2, рад мH  ,10q рад ,20q рад ,10q рад/с ,20q рад/с 2.1 0,4 0,6 160 240 0,005 0 2,5 1,5 2.2 0,5 0,3 180 200 0 0,004 3,0 2,0 2.3 0,6 0,5 200 250 0,003 0,002 4,0 5,0 2.4 0,7 0,4 240 200 0,004 0,005 5,0 6,0 2.5 0,8 0,5 300 280 0,003 0,004 2,0 4,0 2.6 0,5 0,6 260 300 0,002 0,001 2,5 3,0 2.7 0,4 0,5 250 210 0,003 0,005 3,0 2,0 2.8 0,3 0,4 210 250 0,004 0,006 4,0 3,0 2.9 0,7 0,8 200 260 0,005 0,003 5,0 4,0 2.10 0,6 0,6 180 120 0 0,005 6,0 8,0 4 Учебное издание КУДИН Валентин Валентинович АВСИЕВИЧ Андрей Михайлович АСТАХОВ Эдуард Иванович и др. МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ В МАШИНАХ Методическое пособие к лабораторным работам по дисциплине «Колебания в машинах» для студентов машиностроительных специальностей Подписано в печать 05.12.2012. Формат 6084 1/16. Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 1,92. Уч.-изд. л. 1,5. Тираж 150. Заказ 828. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. Пр. Независимости, 65. 220013, г. Минск.