П.Г. Кужир, Н.П. Юркевич, Г.К. Савчук СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОБЩЕМУ КУРСУ ФИЗИКИ Часть 1. Механика. Статистическая физика и термодинамика Минск БИТУ 2012 Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ П.Г. Кужир, Н.П. Ю ркевич, Г.К. Савчук СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОБЩ ЕМУ КУРСУ ФИЗИКИ В 2 частях Ч а с т ь 1 МЕХАНИКА. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМ ОДИНАМ ИКА 2-е издание, исправленное и дополненное Допущено Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений по техническим специальностям М и н с к Б Н Т У 2 0 12 УДК 53(076.1X075.3) БЩС223*729- Ж Ш ~ Р е ц е н з е н т ы : профессор кафедры общей физики БГУ И.Р. Гулаков, заведующий кафедрой физики БГТУ, профессор И.И. Наркевич Кужир, П.Г. К 89 Сборник задач по общему курсу физики: учебное пособие для высших учебных заведений: в 2 ч. / П.Г. Кужир, Н.П. Юркевич, Г.К. Савчук. - 2-е изд., испр. и доп.-Минск: БНТУ, 2012. - Ч. 1: Механика. Статистическая физика и термодинамика. - 208 с. ISBN 978-985-525-638-1 (Ч. 1). Предназначено для проведения практических занятий по общему курсу физики со студентами дневной формы обучения высших учеб­ ных заведений технического профиля. Представлены краткие сведения из теории, примеры решения за­ дач, а также задачи для самостоятельного решения, которые условно разделены на уровни, соответствующие десятибалльной системе оценки знаний. Все задачи снабжены ответами. Первое издание выпущено в 2009 г. УДК 53(076.1X075.3) ББК 22.3*729 ISBN 978-985-525-638-1 (Ч. 1) © Кужир П.Г., Юркевич Н.П., Савчук Г.К., 2012 ISBN 978-985-525-639-8 © БНТУ, 2012 ПРЕДИСЛОВИЕ Целью данного учебного пособия является оказание помощи преподавателям и студентам в проведении практических заня­ тий по курсу общей физики, закреплении полученных теорети­ ческих знаний и приобретении навыков решения задач студен­ тами инженерно-технического профиля. В пособии представлены более 500 задач по разделам «Меха­ ника», «Статистическая физика и термодинамика» общего курса физики. Для удобства пользования материалом пособия приве­ дены краткие сведения из теории: определения основных поня­ тий и физических величин, формулы с описанием всех входя­ щих в них величин, справочные данные, а также примеры решения задач по каждой теме. Задачи для самостоятельного решения имеют ответы. Особенностью пособия является разделение задач по уровням сложности в соответствии с десятибалльной системой оценки знаний, принятой в настоящее время в высшей школе. Такое представление следует считать условным, поскольку оно было сделано на основе профессионально-субъективного подхода с учетом опыта преподавания курса общей физики для студентов инженерно-технических специальностей БНТУ. Разумеется, что право оценки уровня сложности решения определенной задачи остается за преподавателями, которые будут использовать дан­ ное пособие. При проведении практических занятий обратите внимание на следующие методологические аспекты решения задач. 1. Изучите соответствующий теоретический материал, оз­ накомьтесь с примерами решения задач по заданной теме. 3 2. Прочитайте условие задачи. Особое внимание обратите на поставленный в задаче вопрос, так как решение следует на­ чинать именно с него. 3. Проанализируйте данные, представленные в задаче. Если необходимо, недостающие значения констант, физических свойств тел или веществ найдите в таблицах приложения. 4. Определите физические состояния или процессы, рас­ сматриваемые в задаче, а также законы и закономерности, кото­ рыми они описываются. 5. Сделайте краткую запись условия задачи, в которой должны быть отражены все исходные и искомые данные. 6. Сделайте схематический рисунок. Смысл рисунка за­ ключается в графическом представлении информации, содер­ жащейся в условии задачи в текстовом виде. Если рисунок от­ ражает текстовую информацию достаточно полно, то запись математической модели физического процесса значительно об­ легчается, а следовательно, и само решение задачи. Запишите уравнения, описывающие рассматриваемый физический про­ цесс, которые в совокупности с другими вспомогательными со­ отношениями и будут представлять математическую модель. 7. Векторные уравнения проецируйте на оси выбранной системы координат. 8. Задачу решайте, как правило, в общем виде, т.е. в конеч­ ной формуле искомая величина должна быть выражена через известные исходные данные. Решение задачи в общем виде по­ зволяет проследить логику решения, оценить правильно оно или нет, а также снизить вероятность ошибки при выполнении чи­ слового расчета. Однако если решение становится достаточно громоздким, возможны промежуточные числовые расчеты. 9. Проверьте полученную конечную формулу с точки зре­ ния соответствия размерностей. Если размерности величин, стоящих в формуле слева и справа от знака равенства, не схо­ дятся, решение является неверным. 10. Используйте числовые значения известных величин в основных единицах СИ и подставьте в формулу. Выполните не­ обходимые математические действия и получите результат. 4 11. При вычислениях применяйте правила действия с при­ ближенными числами. Точность вычислений должна соответст­ вовать точности исходных данных задачи. 12. Оцените правдоподобность полученного числово­ го значения. Авторы выражают благодарность рецензентам: профессору кафедры общей физики БГУ, доктору физико-математических наук И.Р. Гулакову и заведующему кафедрой физики БГТУ, профессору, доктору физико-математических наук И.И. Нарке- вичу, полезные замечания и советы которых позволили значи­ тельно повысить качество данного учебного пособия. Благодарим сотрудников кафедры физики БНТУ Г.Е. Жур- бенко, Е.Л. Федорову, Е.К. Соловьеву за помощь при подго­ товке рукописи к печати. Авторы с благодарностью примут конструктивные замечания и пожелания, касающиеся содержания учебного пособия. 5 I. МЕХАНИКА 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ПОСТУПАТЕ ЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА Краткие теоретические сведения Механическое движение -- это изменение положения тел или их частей относительно друг друга в пространстве с течени­ ем времени. Материальная точка - это тело, размерами и формой кото­ рого при заданных условиях можно пренебречь, а всю массу считать сконцентрированной в одной точке. Абсолютно твердое тело - это тело, деформациями которого можно пренебречь. Поступательное движение - это движение, при котором любая прямая, связанная с движущимся абсолютно твердым те­ лом, остается параллельной самой себе. Траектория - это линия, которую описывает материальная точка при своем движении. Положение материальной точки в пространстве определяется радиус-вектором г - вектором, проведенным из начала коор­ динат в точку пространства, в которой находится данная мате­ риальная точка. Перемещение (AF) тела - это вектор, проведенный из на­ чального положения тела в его конечное положение, AF = г., ~ г{. Мгновенная скорость тела - производная от радиус-вектора движущегося тела по времени /: dt Мгновенная скорость характеризует направление и быстроту перемещения тела по траектории. 6 Ускорение тела - производная от скорости по времени или вторая производная от радиус-вектора движущегося тела по времени: _ _ dv _ d 2r dt d t2 При равномерном прямолинейном движении ( v = const) вы­ полняется соотношение А г - vAt . Уравнения движения тела с постоянным ускорением а - const: v = v0 + a t , л - -А г = vat + ------ , 2 где v0 - начальная скорость. В криволинейном движении материальной точки полное ус­ корение а - это векторная сумма тангенциального а, и нор­ мального ап ускорений. Модуль полного ускорения I ? а = л/<2т +а;. , при этом dv a x ~ ~ d t’ ? V “ а „ - у > где R - радиус кривизны в данной точке траектории. Среднее значение модуля скорости тела в промежутке време­ ни от / до t + At i v AS' (v) = — . w A f где AS - путь, пройденный точкой за промежуток времени At. 7 Примеры решения задач Задача 1. Уравнение движения материальной точки имеет вид х = A + B t + C t* , где А = 1,0 м, 5 = 2,0 м/с, С = -0,5 м/с4. Найти координату, проекции скорости и ускорения точки в мо­ мент времени t= 3 с. Следовательно, точка движется в отрицательном направле­ нии оси ОХ ускоренно. Задача 2. С башни в горизонтальном направлении брошено тело с начальной скоростью vo = 10,0 м/с. Пренебрегая сопро­ тивлением воздуха, определить для момента времени t - 2 с по­ сле начала движения: 1) скорость тела; 2) радиус кривизны его траектории. Дано: х — А + B t + C t4 м; А — 1,0 м; В — 2,0 м/с; С = -0,5 м/с4; / = 3 с Проекция мгновенной скорости точки Решение. Координату х точки на­ ходим, подставляя числовые значе­ ния в уравнение движения: .x = 1 + 2 • 3 - 0,5 • 81 = -33,5 м . Найти: х-, ах; vx dx п ^ 3 v = — = В + А С Г . dt Проекция мгновенного ускорения точки В момент времени t = 3 с: = 2,0 - 4 • 0,5 • 27 = -5 2 ,0 м /с ; ах = - 12 • 0,5 • 9 = -54 ,0 м /с 2 . Ответ, х = -33 ,5 м ; v x - 52,0 м /с : а х = -54 ,0 м /с 2 . Дано: vo = 10,0 м/с; / = 2 с; £ = 1 0 м/с2 Найти: v; R Решение. Разложим векторы скорости и ускорения на составляющие по осям ОХ и 0 7 (рис. 1.1): v = v0 + vy ; g = an + а х . Так как проекция скорости vy=-gt, то модуль скорости v = у[щ02 + 9.Я2-2J = 22,0 м/с. Из рис. 1.1 видно, что проекция нормального ускорения а п - g 'co so r . Из треугольника разложения вектора скорости v на составляющие имеем cos а v Тогда а„ = g c o s a = — С другой стороны, а gv0 v~ т Тогда радиус кривизны траектории ■ = Z l = (vp + g " t2T 2 .Д = - а„ 9 10,0 -10,0 Ответ. v = 22,0 м/с; R - 109,0 м. Задача 3. Ускорение материальной точки изменяется по за­ кону а = 3,О/ 2i - 3 ,0 / (м/с2). Найти, на каком расстоянии от начала координат точка будет находиться в момент времени t = 1 с, если при t = 0 v0 = 0; fQ = 0 . Решение. Разложим вектор скорости v : v = v j + vyj . Так как компоненты вектора скорости v связаны с компо­ нентами вектора ускорения соотношениями dv а > ~ ~ 7 ~ > dt то, учитывая, что по условию задачи а = 3 ,0 t 2i - 3 ,0 / , можем записать dv 1 dv — - = 3,0t м /с"; — — = -3 ,0 м/с . dt dt Разделим переменные и проинтегрируем vv = -t- Cj \ vу — -—3,0/ + С-,. Найдем постоянные интегрирования, исходя из начальных условий Vox = 0, Щу= 0 при t = 0, С\ = 0; С2 - 0. Дано: а = 3 ,0/2; - 3 ,0 j м/с2. t = 1 с; v0 = 0; г0 = 0 при t — 0 HaLii: г dv 10 Так как компоненты вектора скорости v связаны с компонен­ тами радиус-вектора F(/) = x(t)i + y ( t ) j соотношениями _ dx _ d y v* " H i ’ Vv ~~dt ’ то получаем два дифференциальных уравнения f - Л (l-i )dt dt Тогда координаты x(t), y(t) получаются интегрированием вы­ ражений (1.1) x(t) = ~ + C3; 3,0t2 „ у ( 0 ~ -----2 + 4 ' Учитывая начальные условия: х = 0, у = 0 при t - 0, находим С з«0,С 4=0. Уравнение движения материальной точки будет иметь в ид , t* г 3,012 - г (/) = — / — 1— у . 4 2 Модуль радиус-вектора г (/) \r(0\ = y p ( t H y 2(t) Подставляя время t - 1 с , получим расстояние г от начала координат до материальной точки: f /4l 2 Г З О г 2 ^ h J + 1 2 J И о | Ответ, г - 1,5 м. И / 3,0 г = 1,5 м. 11 З а д а ч и 4 балла 1.1 Точка движется в плоскости XOY. Проекция скорости на ось ОХ составляет v- = 3,0 м/с, на ось OY - vy = 4,0 м/с. Чему равен модуль скорости v точки? Ответ, v = 5,0 м/с. 1.2 Радиус-вектор точки изменяется по закону г = 4/ + 5tj - S t2к (м). Как изменяются с течением вре­ мени координаты точки х, у, z? Ответ, х = 4 (м) и с тече­ нием времени не изменяется; у = 51 (м) - линейная за­ висимость координаты у от t; z = - St1 (м) - параболическая зависимость координаты г от t. 1.3 Изменение координаты х материальной точки от времени определяется уравнением х = 6г (м). С какой по модулю скоростью движется материальная точка вдоль оси 0X1 Ответ. vx = 3 0 / м/с. 1.4 Модуль скорости тела, движущегося вдоль оси ОХ, изме­ няется по закону v = 3 + 4( (м/с). Чему равна средняя ско­ рость тела в промежутке времени от /; = 5 с до /2 = 10 с? Ответ. = 33 м/с. 1.5 Вектор скорости материальной точки изменяется по зако­ ну v =3г -- 4t L j (м/с). Чему равны проекции скорости на оси ОХ и ОТ? Ответ. vx = 3 м/с; v у - A t1 м/с. 1.6 Модуль скорости точки изменяется с течением времени по закону v = 3(2 м/с. Как изменяется модуль ускорения? Ответ, а = 61 м/с2 - линейная зависимость. 1.7 Траектория движения тела имеет радиус кривизны 10,0 м. Модуль скорости движения тела 5,0 м/с. Чему равно нор- 1 мальное ускорение тела? Ответ. а„ = 2,5 м/с2. 1.8 ’ Тело проходит за 10,0 с путь длиной 2,0 м. Начальная скорость тела равна нулю. Считая движение равноуско- 12 ренным, найти модуль ускорения тела. Ответ, а -- 4,® х х 10'2 м/с2. 1.9 В данной точке траектории нормальное ускорение тела = 3 м/с2, тангенциальное ускорение аг = 4 м/с2. Чему равно полное ускорение тела? Ответ, а - 5 м/с2. 1.10 Полное ускорение тела а= 10,0 м/с2, нормальное ускоре­ ние ап = 4,0 м/с2. Чему равно тангенциальное ускорение тела? Ответ. at = 9,2 м/с2. 5-6 баллов 1.11 Координаты двух точек в зависимости от времени имеют вид х\ = 23,0 + 2,6/ + 1,5/* (м); = 16,0 г 8 ,0 /- 0/75/2 (м). Определить момент времени ;!ь в который скорости этих точек будут одинаковыми. Ответ. t t = 1,2 с. 1.12 Модуль скорости точки изменяется по закону v - 5 + 4 /2 (м/с). Чему равно тангенциальное ускорение точки в момент времени tt = 2 с? Ответ. ят = 1 6 м/с2. 1.13 Тело брошено под углом к горизонту. Максимальная вы­ сота подъема /г = — 5 , где S - дальность полета. Опреде­ лить угол бросания к горизонту. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ответ, а - 45°. 1.14 Тело падает с высоты h ~ 19,60 м с начальной скоростью v0 = 0,0 м/с. Какой путь пройдет тело за первую и послед­ нюю 0,1с своего движения? Ответ. й| = ©,©5 м; /«2 = 1,90 м. 1.15 Мяч, брошенный горизонтально, ударяется о стенку, на­ ходящуюся на расстоянии / :=5,0м от места бросания. Высота места удара мяча о стенку на Ah - 1,0 м меньше высоты h, с которой брошен мяч. С какой начальной ско­ ростью iv брошен мяч? Под каким углом <р мяч подлетает 13 к поверхности стенки? Ответ. v0i- = 11,1 м/с; tgq> = 2,5;ф « 68°. 1.16 Камень, брошенный со скоростью v0 = 10,0 м/с под углом а = 45° к горизонту', упал на землю на расстоянии I от места бросания. С какой высоты h надо бросить камень в горизонтальном направлении, чтобы при той же началь­ ной скорости Vo он упал на то же место? Ответ. И ~ 5,1 м. 1.17 Два автомобиля, выехав одновременно из одного пункта, движутся прямолинейно в одном направлении. Зависимо­ сти пройденных автомобилями путей задаются уравне­ ниями S x = A t + B tJ (м); S 2 = C t 4- D t2 + F t3 (м), соот­ ветственно. Определить скорость первого автомобиля относительно второго. Ответ, и = А - С + 2 t(B - D ) - 3F t2. 1.18 Уравнение движения материальной точки вдоль оси ОХ имеет вид х = A t - B t 2 + С /3(м), где А = 2 м/с, Б = 3 м/с2, С = 4 м/с3. Найти: 1) зависимость модуля скорости v и мо­ дуля ускорения а от времени t; 2) путь, модули скорости и ускорения тела через 2 с после начала движения. Ответ. 1) v = 2 - 6* + 12Г2; а = -6 + 24V, 2) S = 24 м; v =38 м/с; а = 42 м/с2. 1.19 Уравнения движения двух материальных точек имеют вид х х = Axt + Btt 2 + С ,/3; х 2 = A2t + B2t 2 + C2t 3, где Вх = 4,0 м/с2; Сх = -3,0 м/с3; В2 = -2,0 м/с2; С2 = 1,0 м/с3. Определить момент времени t\, для которого ускорения этих точек будут равны. Ответ. tx — 0,5 с. 1.20 Тело, движущееся со скоростью v = 36 км/ч, останавлива­ ется при торможении в течение 2 с. С каким средним ус­ корением двигалось тело, и какое расстояние оно прошло до остановки? Ответ, а - 5 м/с2; S - 10 м. 1.21 При равномерном торможении проекция скорости авто­ мобиля уЛ за 20 с уменьшилась с 72 до 54 км/ч. Получить 14 уравнение изменения проекции скорости vx от времени t и построить ее график. Ответ. vx (t)~ 20 - 0,25/ ( м/с) - линейная зависимость. 1.22 Тело 1 брошено вертикально вверх с тачальной скоро­ стью voi = 20,0 м/с. Тело 2 падает с высоты Н - 5.0 м с на­ чальной скоростью V02 = 0 м/с. Найти расстояние h между телами через промежуток времени At = 0,1 с. Определить время /вс, через которое тела встретятся. Ответ, h — 3,0 м; 4с ~ 0,25 с. 1.23 Два тела движутся навстречу друг другу в вертикальном направлении. Тело 1 свободно падает с высоты Н — 16,0 м, тело 2 начинает двигаться вверх с начальной скоростью Уог- Через время t = 0,5 с расстояние между те­ лами И =10,0 м. Найти модуль начальной скорости v02 второго тела. Ответ. v(n = 12 м/с. 1.24 Первое тело брошено с поверхности Земли вертикально вверх с начальной скоростью v0] = 5,0 м/с . В тот же мо­ мент времени вертикально вниз с той же начальной ско­ ростью из точки, находящейся на максимальной высоте подъема hmm первого тела, брошено второе тело. Опре­ делить: 1) в какой момент времени / тела встретятся; 2) на какой высоте h от поверхности Земли произойдет эта встреча; 3) проекции скоростей первого тела V, и второго тела v2 в момент встречи. Ответ, t - 1,3 10"1 с; h = 5,6 х х 10'1 м; vj = - 3,8 м/с; v2 = 6,3 м/с. 1.25 Тело брошено горизонтально со скоростью v = 15,0 м/с. Найти нормальное и тангенциальное ускорения тела через / = 1 с после начала движения. Ответ. 7-8 баллов а а g 't - 5,4 м/с'1- 15 1.26 Тело брошено со скоростью v0 = 20,0 м/с под углом а = = 30° к горизонту. Определить для момента времени Л = = 1,5 с после начала движения нормальное и тангенци­ альное ускорения. Ответ. а„ - 9,5 м/с2 ; ат = 2,6 м/с2. 1.27 Точка движется в плоскости XOY из положения с коорди­ натами х 0 = у 0 = 0 . Вектор скорости с течением времени изменяется по закону v — a i + b t j , где а и Ъ ~ постоян­ ные. Определить: 1) уравнение траектории точки у(.г); 2) форму траектории. Ответ, у = -----х г ; парабола. 2 а 2 1.28 Материальная точка движется прямолинейно. Уравнение движения имеет вид х = 2,0/ + 0,04/3 (м). Найти скорость и ускорение точки в моменты времени / | = 0 и ^ = 5 с. Ка­ ковы средние значения скорости и ускорения за первые 5 с движения? Ответ, v, = 2,0 м/с; v2 = 5,0 м/с; «1 = 0 м/с2; «: = 1,20 м/с2; (v) = 3,0 м/с; (а) = 0,60 м /с2. 1.29 Точка движется вдоль оси ОХ согласно уравнению / 3 х - 6 ,0 /----- (м). Найти среднюю скорость движения 8 точки в интервале времени от ^ = 2 с до /2 = 6 с, проек­ ции скорости и ускорения точки в момент времени t2 - 6 с. Ответ, (v) = 3,0 м/с; vx = -7,5 м/с; ах = -4,5 м/с2. 1.30 Радиус-вектор материальной точки изменяется со време­ нем по закону г - A ti + B t2j (м). Найти: а) уравнение траектории, изобразить ее графически; б) проекции ско­ рости на оси координат; в) зависимости от времени век­ торов скорости и ускорения, модули этих величин в мо­ мент времени t\ = 1,5 с. Данные: А = 2,0 м/с, В = 6,0 м/с2. Ответ. ;t)y = 1,5л1; б) vv = 2,0 м/с; vy = 12,0/ м/с; в) v = 2,0/ + 1 2 ,Otj ; а = 12,0у ; vx = 18,1 хм/с; а ~ 12,0 м/с2. 16 1.31 Радиус-вектор материальной точки изменяется со време­ нем по закону г = A t2 i + Btj (м). Найти: а) уравнение траектории, изобразить ее графически; б) проекции ско­ рости на оси координат; в) зависимости от времени век­ торов скорости и ускорения, модули этих величин в мо­ мент времени tx - 0,3 с. Данные: А = 36,0 м/с2, В =12,0 м/с. Ответ, а) у = 2^[х ; б) vx = 72,0/ (м/с); V,, = 12,0 м/с; в) v = 12,Ш + 12,0 j ; а = 72,0i ; Vi = = 24,7 м/с; а = 72,0 м/с2. 1.32 Две материальные точки движутся из начала координат в одной и той же системе отсчета со скоростями, изменяю­ щимися с течением времени по следующим законам: v, = 5,0// +2,0/2/+3,0&(м/с); v, = 4,0Г+Щ +2,0г£ (м/с). Най­ ти расстояние между материальными точками в момент времени /] = 1,0 с. Ответ. ri2 = 2,8 м. 1.33 Две материальные точки движутся из начала координат в одной и той же системе отсчета со скоростями, изменяю­ щимися с течением времени по следующим законам: v, = 2,0/г -6 ,0 t2k (м/с); v2 = 4 ,5 /2i - 4,0/у + 2,0 tk (м/с). Найти расстояние между материальными точками в мо­ мент времени /] = 2 с. Ответ. гп = 23,0 м. 1.34 Радиус-вектор материальной точки относительно начала координат изменяется со временем по закону г - 2ti + 6 r j (м). Найти уравнение траектории и проек­ ции скорости на оси координат. Ответ. у = 1,5х2; vx= 2 (м/с); vy = l i t (м/с). 1.35 Проекция ускорения материальной точки изменяется по закону а = -2 ,0 + 20,0/ + 14,0 /2 (м/с2). Какой скорости достигнет материальная точка через /t = 0,5 с после нача­ ла движения из состояния покоя? Какой путь она пройдет за это время? Ответ, v = 2,1 м/с; S - 0,24 м. 17 1.36 Уравнение движения материальной точки вдоль оси ОХ имеет вид х ~ А + Bi + C t2 + D t3 (м), где С = 0,14 м/с2 и D ~ 0,01 м/с3. Через какое время после начала движения ускорение тела будет равно 1,0 м/с2? Ответ, t = 12 с. 1.37 Велосипедист ехал из одного города в другой. Половину пути он проехал со скоростью 12 км/ч. Затем половину оставшегося времени ехал со скоростью 6 км/ч, после чего до конца пути со скоростью 4 км/ч. Чему равна средняя скорость велосипедиста? Ответ. vcp = 1,90 м/с. 1.38 В первой половине пути автобус двигался со скоростью в 8 раз большей, чем во второй. Средняя скорость автобуса на всем пути 16 км/ч. Чему равна скорость автобуса на каждой половине пути? Ответ. Vi = 20 м/с; v2= 2,5 м/с. 9-110 баллов 1.39 Три точки находятся в вершинах равностороннего тре­ угольника, сторона которого равна а. Они начинают од­ новременно двигаться с постоянной по модулю скоро­ стью v, причем первая точка все время держит курс на вторую, вторая - на третью, третья - на первую. Через „ _ 2 а сколько времени они встретятся? Ответ, t = — . 3v 1.40 Две частицы движутся с ускорением g = 9,8 м/с2 в одно­ родном поле тяжести. В начальный момент времени час­ тицы находились в одной точке, имели скорости vi = 3,0 м/с и v2 = 4,0 м/с, направленные горизонтально и в противоположные стороны. Найти расстояние между час­ тицами в момент, когда векторы их скоростей окажутся взаимно перпендикулярными. Ответ. / = fvj + г, = 2,5 м. g 1.41 На реке на расстоянии 1=60 м от берега закреплен на якоре плот. Скорость течения реки у берега равна нулю и 18 возрастает пропорционально расстоянию от берега, так что у плота скорость реки равна 2 м/с. Лодка движется от берега к плоту. Скорость лодки относительно воды 2 м/с. Под каким углом ср должна быть направлена скорость лодки перед отплытием, чтобы без дальнейших корректи­ ровок ее скорости пристать к плоту точно напротив места отплытия? Сколько времени понадобится лодке, чтобы достичь плота? Ответ, ср = 30° от перпендикуляра к бе­ регу против течения реки; t = 35 с. Уравнения движения материальной точки имеют вид х = = -9 + 3/, у = At - t2. Определить векторы скорости, уско­ рения и угол между ними в момент времени t - 2 с. От­ вет. v = 3/ + ( 4 — 2t)j ; а = —2 / ; угол между векторами скорости и ускорения равен 90°. Две частицы движутся с постоянными скоростями v, и v2 по двум взаимно перпендикулярным прямым к точке их пересечения О. В момент t = 0 частицы находились на расстояниях /] и h от точки О, соответственно. Через ка­ кой промежуток времени после этого расстояние между частицами станет наименьшим? Чему оно равно. От- v , / , + М , , }/jV2 —/2v,j 2. КИНЕМАТИКА ВРАЩ АТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ Краткие теоретические сведения Вращательное движение твердого тела - это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры кото­ рых лежат на одной и той же прямой, которая называется осью вращения. Угловая скорость твердого тела - это производная от угла поворота по времени dip со = — . dt Угловое ускорение твердого тела - это производная от уг­ ловой скорости по времени или вторая производная от угла по­ ворота по времени _ d _ d 2q dt d t2 При равномерном вращательном движении вокруг непод­ вижной оси (со = const ) выполняется соотношение ф = со/. Уравнения равнопеременного вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси (г = const): СО = ю 0 ± 8 1 , s t2 <р = ю0/ ± — . Уравнения связи модулей угловых величин с модулями ли­ нейных: dS = Rd% v = &R, a t =zR, an -(ss2R, где dS — путь, пройденный точкой вращающегося тела (длина дуги) при повороте на угол dap за промежуток времени dt; R — расстояние от точки до оси вращения; 20 ах - модуль тангенциального ускорения; а„ - модуль нормального ускорения. Частотой п при равномерном вращении называется число оборотов в единицу времени г = N/L [и] = 1 Гц. Периодом вращения Т называется время одного полного оборота. Угловая скорость тела со, вращающегося равномерно, связана с частотой п и периодом вращения Т соотношением - 2п со = 2 т ш = — . Т Примеры решения задач Задача 1. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону ф = А + B t + C t2 (рад), где Л = 10,0 рад; 5 = 20,0 рад/с; С = -2,0 рад/с“. Расстояние от точки до оси вращения R = 0. i . Найти пол­ ное ускорение материальной точки в момент времени. Дано: ф = А + Bt + C t2 рад; А= 10,0 рад; В = 20,0 рад/с; С = -2,0 рад/с2; R = 0,1 м; / = 4 с Найти: а Решение. Полное ускорение а точки, движущейся по кривой ли­ нии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенци­ ального ускорения а х, направ­ ленного по касательной к траек­ тории, и нормального ускорения 21 ап , направленного к центру кривизны траектории (рис. 2.1), а - a t + ап. Так как векторы ах и ап взаимно перпендикулярны, модуль ускорения а = Vй ' + °1 ■ (2-1) Модули тангенциального и нормального ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами а х = &R; ап = . Подставляя выражения ат и ап в формулу (2.1), находим а - ^ ъ 2К г +со*R2 = i?Ve2 +со4 . (2.2) Угловую скорость ю найдем, взяв первую производную от угла поворота по времени ю = ^ = Я + 2 0 . dt В момент времени f = 4 с модуль угловой скорости ю = (20 + 2 • ( - 2)- 4)р а д /с = 4 р а д / с . Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от уг­ ловой скорости по времени б = — =-■ 2С - - 4 рад/с2, dt F т.е. движение равнозамедленное при / = 4 с . Подставляя значения со, е и R в формулу (2.2), получим a ОДлД-4)2 + 4 4 = 1,7 м/с2 . Ответ, a = 1,7 м/с2. 22 Задача 2. Диск радиусом R = 5 см вращается вокруг непод­ вижной оси так, что зависимость угловой скорости от времени задается уравнением <в = 2 A t + 5B t4 (рад/с), г де А — 2,0 рад/с2; В =1,0 рад/с2. Определить для точек на ободе диска к концу первой секунды после начала движения: 1) модуль полного ус­ корения; 2) число оборотов, сделанных диском. Дано: С) = 2A t + 5B t4 рад/с; А = 2,0 рад/с2; В = 1,0 рад/с2; / = 1с; R = 5 см = 0,05 м Найти: а; N Решение. Модуль полного уско­ рения точек на ободе диска a = J a 2 + а ; . Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения рассчи­ тываются по формулам 2а. = z R ; ап = & R . Тогда a t = zR = R — - = R(2A + 2№ 3); dt a n = ®2R = R {2 A t + 5 B t4) 2 . Полное ускорение a = Ryj(2A + 2QBt3)2 + (2A t + S B t4)4 . Подставляя числовые значения, получаем a = 0,05• V(2 2,0 + 20■ 1,0- Г )2 + (2-2,0-1 -I- 5• 1,0• I4)T = 4,2 м /с2. Если диск совершил N оборотов, то угол поворота диска! Ф = 2 п - N . 23 _ d л ------- = '« • (2-5)е V s Через время t\ угловая скорость точки будет со, = в / , . Тогда со 8 С учетом (2.4) можно записать, что 4 k N с о 2 со? -----------= - f ; 4 n N = - l - . г г е С другой стороны, угловая скорость точки может быть вы­ числена через линейную скорость и радиус окружности v со, = — . 1 R Тогда v 2 4 7 1 ^ = • s R 2 Откуда получаем величину углового ускорения 2 4 п N R (2.6) Подставляя (2.6) в (2.5), окончательно получим для нормаль­ ного ускорения выражение А 2 0,54 -202 / 2 а = -— —^ I— г = ---------—------------- г- * 0,2 м/с . 1 бтс N R 16 -ЗЛ42 -100-0,2 3 Ответ. а„- 0,2 м/с2. 25 З а д а ч и 4 балла 2.1 Вектор угловой скорости на­ правлен так, как показано на рис. 2.2. В. какую сторону вра­ щается материальная точка: по стрелке (а) или по стрелки (б)? Почему? Ответ. По стрелке (а). 2.2 Тело за 2 с совершило поворот на угол 2л. Чему равна угловая скорость? Ответ, со = к рад /с . 2.3 Если за время Юс тело совер­ шило 100 полных оборотов с постоянной угловой скоро­ стью. чему равен период и частота вращения тела? Ответ. Т — О Д с; к = 10 Гц. 2.4 Тело вращается вокруг оси с частотой п - 10 Гц. Чему равен модуль угловой скорости тела? Ответ. <о = 2 0 я р з д /с . 2.5 Тело врашается вокруг своей оси с угловой скоростью о - 21 рад/с. Чему равен модуль углового ускорения тела? Ответ. £ - 2 рад /с2. 2.6 Тело равномерно вращается по окружности радиуса R - 10 м с угловой скоростью со = 3 рад/с. Чему равен мо­ дуль линейной скорости тела? Ответ, v = 30 м/с. 2.7 Тело движется по окружности с угловой скоростью со = 3 + 4/ {рад/с). Чему равен модуль углового ускорения тела? Ответ, е = 4 рад/с2. 2.8 Угловое ускорение точки, движущейся по окружности радиуса R - 10 м, равно е = 5Г рад/с2. Чему равен модуль тангенциального ускорения в момент времени Л = 1 с? Ответ. ах - 50 м/с2, 26 2.9 Тело за Ю с совершило 20 полных оборотов, С каким нормальным ускорением двигалось тело, если радиус ок­ ружности 5 м? Ответ. ап = 789 м/с2. 2.10 Тело движется по окружности радиуса R = 5 м с танген­ циальным ускорением, равным 10 м/с2. Чему равен мо­ дуль углового ускорения тела? Ответ. 8 ::= 2 рад/с"4. 5-6 баллов 2.11 Точка движется по окружности радиусом R = 20 см с по­ стоянным тангенциальным ускорением а т = 5,0 см/с2. Че­ рез какое время t после начала движения модуль центро­ стремительного ускорения а„ точки будет а) равен модулю тангенциальному; б) вдвое больше модуля тан­ генциального. Ответ. Г) = 2 с; j?2 = 2,8 с. 2.12 Точка движется по окружности радиусом R с постоянным тангенциальным ускорением а. = 0,5 м/с2. Через время / = 2,1 с после начала движения модуль нормального ус­ корения точки а„ - 0,6ах. Найти радиус окружности. О т­ вет. R - 3,7 м. 2.13 Колесо радиусом R = 0,10 м вращается с угловым ускоре­ нием е = 3,34 рад/с2. Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды после начала движения: а) угловую скорость 0); б) модуль линейной скорости v; в) модуль тангенциального ускорения ах\ г) модуль нормального ус­ корения а»; д) модуль полного ускорения; а; е) угол а, со­ ставляемый вектором полного ускорения с радиусом ко­ леса. Ответ, а) ю = 3,14 рад/с; 6 ) v = 0,31м/с; в) ат = 0,31 м/с2; г) а„ = 0,99 м/с2; д) а = 1,03 м/с2; е) sin а = 0,30, а = 17°46'. 2.14 Диск вращается вокруг неподв ижной оси так, что зависи­ мость угла поворота радиуса диска от времени задается 27 уравнением

= А{+В^ (рад), где А = 2,0 рад/с; В = 0,2 рад/с3, в момент времени t = 3 с. Ответ. а = 27,4 м/с2. 2.17 Колесо вращается так, что зависимость угла поворота ра­ диуса колеса от времени дается уравнением о = А + Bt + C t2 + D t3 (рад), где В = 1,0 рад/с, С = 1,0 рад/с2, D = 1,0 рад/с3. Найти радиус колеса R, если известно, что к концу второй секунды движения для то­ чек. лежащих на ободе колеса, модуль нормального уско­ рения а„ = 3,46-102 м/с2. Ответ. R = 1,20 м. 2.18 Диск радиусом R = 0,2 м вращается согласно уравнению ф = А + B t + C t3 (рад), где А - 3,0 рад; В = -1,0 рад/с; С = 0,1 рад/с3. Определить модули тангенциального ах,, нормального а„ и полного а ускорение точек на окружно­ сти диска для момента времени / = 1 0 с. Ответ. ах= 1,2 м/с2; ап= 168,2 м/с 2; а = 168,2 м/с2. 2.19 Колесо радиусом R = 0,1м вращается так, что зависи­ мость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением ф — A + Bt + Ct* (рад), где В = 2,0 рад/с; С = 1,0 рад/с3. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти 28 через 2 с после начала движения: 1) угловую скорость; 2) модуль линейной скорости; 3) модуль углового ускоре­ ния; 4) модуль тангенциального ускорения; 5) модуль нормального ускорения. Ответ. «о = 14,0 рад/с; v - 1,4 м/с; е = 12,0 рад/с2; <*т=: 1,2 м/с2; ап — 19,6 м/с2. 7-8 баллов 2.20 Материальная точка движется вдоль осей х и у по зако­ нам: х - 2,0t — t 3 (м); у — t 2 + 2 ,0 /3 (м). Найти модули полного, тангенциального и нормального ускорений точ­ ки в момент времени t- = 0,2 с , а также радиус кривизны траектории в этот момент времени. Ответ, а = 4,6 м/с2; ят = 0,3 м/с2; а„ - 4,6 м/с2; R = 86,7Ю'2 м. 2.21 Колесо вращается с постоянным угловым ускорением s = 3,0 рад/с2. Определить радиус колеса, если через t - 1с после начала движения полное ускорение колеса а = 7,5 м/с2. Ответ. R = 0,8 м. 2.22 Материальная точка движется вдоль осей х н у по законам х = 34,0 - 1 + 2,013 (м); у = 5,01 — t 2(M), Найти модули полного, тангенциального и нормального ускорений точ­ ки в момент времени /, = 0,6 с , а также радиус кривизны траектории в этот момент времени. Ответ, а = 7,5 м/с2; ах — 0,20 м/с1; ап = 7,5 м/с2; R ~ 2,1 м. 2.23 Точка движется вдоль осей х и у по законам х = 2,0/ + 3 ,0Г (м), у — 24,0 - 4,d t3 (м). Найти модуль полного, тангенциального и нормального ускорений точ­ ки в момент времени t = 1 с, а также радиус кривизны траектории в этот момент времени. Ответ, а = 24,7 м/с2; = 23,3 м/с2; а„ = 8,3 м/с2; R — 25,0 м. 2.24 Найти модуль углового ускорения s колеса, если извест­ но, что через время ( = 2 с после начала движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе, сосгавляет 29 угол а = 60° с вектором ее линейной скорости. Ответ, s = 0,43 рад/с2. 2.25 Материальная точка движется по окружности радиуса R =10 см с постоянным тангенциальным ускорением ат=0,4см /с2. Через какие промежутки времени вектор полного ускорения образует с вектором скорости v угол равный 60° и 80°? Какова длина пути, пройденного точ­ кой за эти промежутки времени? Ответ. А ^ = 6,6 с; Si = 8,7-10 ' м; i\t2 = 12 с; S2 = 2,9-Ю1 м. 2.26 Диск радиусом R = 0,1 м вращается вокруг своей оси. За­ висимость утла поворота диска от времени задается урав­ нением ф ~ 2,0 + 4,0г’ рад. Определить угол поворота <р, при котором вектор полного ускорения составляет с ра­ диусом диска угол 45°. Ответ, ср = 2,7 рад. 2.27 [очка движется по окружности радиусом R = 0,02 м. За­ висимость пройденного точкой пути от времени дается уравнением S = C t3 (см), где С =0,1 см/с3. Найти нор­ мальное и тангенциальное ускорения точки в момент, ко­ гда модуль линейной скорости точки v = 0,3 м/с. Ответ. а„~ 4,50 мУс2; ях-= 0,06 м/с2. 9—10 баллов 2.28 Точка движется по окружности так, что зависимость пройденного точкой пути от времени дается уравнением S = А + Bt + C t2 (м), где В = -2,0 м/с и С ~ 1,0 м/с2. Най­ ти модули линейной скорости точки, ее тангенциального, нормального и полного ускорения через t\ = 3 с после на­ чале движения, если известно, что нормальное ускорение точки при ,?2 " 2 с будет а п2 = 0,5 м / с 2 . Ответ. v\~ 4 м/с; а„\ = 2 м/с2; ах\ = 2 м/с2; = 2,8 м/с2. 2.29 Колесо радиусом R — 5 см вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравне­ 30 нием ф = А + Bt + C t2 + D t:' (рад), где D = 1,0 рад/с3. Найти для точек, лежащих ка ободе колеса, изменение модуля тангенциального ускорения Дat за каждую секун­ ду движения. Ответ. Д«т= 0,3 м/с2. 2.30 Зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе диска, от времени определяется уравнением v - 0,31 + + 0,1Г (м/с). Диск имеет радиус R ~ 10 см. Определить момент времени, для которого вектор полного ускорения образует с радиусом колеса угол а = 4°. Ответ. / = 2 с. 2.31 Точка движется по окружности радиусом R - 15 см и с постоянным по модулю тангенциальным ускорением ах. К концу четвертого оборота после начала движения ли­ нейная скорость точки v = 15,0 м/с. Определить модуль нормального ускорения точки а„ через / = 16 с после на­ чала движения. Ответ. а„= 1,5 м/с2. 2.32 Два тела начинают двигаться из одной точки окружности друг за другом с разницей во времени At - 2 с. Через ка­ кое минимальное время тела снова окажутся в одной точ­ ке? Период обращения первого тела Т\ = 70 с, второго Т2 = 65 с. Ответ, t — 26 с. 2.33 Тело, привязанное к нера.стяжимой нити, равномерно вращается в вертикальной плоскости по окружности, центр которой находится на высоте h от поверхности Земли. Нить обрывается в нижней точке траектории. При какой длине нити проекция перемещения тела на гори­ зонтальное направление максимальна? Ответ. / = 2/ЗЛ. 2.34 Гладкий диск радиусом R вращается в горизонтальной плоскости. От диска отрывается тело и скользит по его поверхности. На каком расстоянии от оси вращения ото­ рвалось тело, если за время его скольжения диск повер­ нулся на угол 90°? Ответ. г - . ■\1жг +4 31 3. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ Краткие теоретические сведения Сила - количественная мера взаимодействия тел. Первый закол Ньютона: существуют такие системы отсче­ та, относительно которых тело движется равномерно прямоли­ нейно или сохраняет состояние покоя, если действие сил на не­ го равно нулю или скомпенсировано. Импульс материальной точки - это векторная величина Полный импульс системы тел равен векторной сумме им­ пульсов p t всех тел, образующих систему: где m j,v i - масса и скорость i-го тела, соответственно. Второй закон Ньютона: скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех сил, действующих на тело: где N - число действующих на тело сил. Третий закон Ньютона: силы, с которыми два тела взаимо­ действуют друг с другом, равны по модулю и противоположны по направлению. Силы в механике: а) сила упругости (закон Гука) где к — коэффициент упругости (в случае пружины - жесткость); Ах = х - Хо - абсолютная деформация удлинения (сжатия) тела; Хо - начальная длина тела; х — конечная длина тела. р = mv 11 п F = -к А х 32 Нормальным напряжением а называется величина разная отношению модуля нормальной составляющей силы F. к пло­ щади поверхности S, на которую действует сила: Связь нормального напряжения а с относительной деформа­ цией растяжения (сжатия) тела е а = Е е , , _ £ ^ * о _ О ? Х(, где Е - модуль Юнга. Связь тангенциального напряжения х с деформацией сдвига у t « G y, где G - модуль сдвига; б) сила тяжести Р = m g : в) сила гравитационного взаимодействии (закон всемир­ ного тяготения) . т м ^F - G г ' где G - гравитационная постоянная; т1 и т 2 - массы взаимодействующих тел; г - расстояние между телами (тела рассматриваются как ма­ териальные точки); г) сила трения (скольжения) F = \x -N , где |х - коэффициент трения; N - сила реакции опоры. Параллельным соединением дву'х пружин с жесткостями к\ и кг называется такое соединение, при котором абсолютные де­ формации пружин одинаковы: Дх] = Дх2. 33 Последовательным соед инением двух пружин с жесткостя­ ми к\ и к2 называется такое соединение, при котором абсолют­ ные деформации пружин различны: Дх| f Дхл- Общая жесткость А: системы, состоящей из двух пружин с же­ сткостями к\ и к2: 1) при параллельном соединении к = к\ + к2; 2) при последовательном соединении I - i - 4 — к к х к2 Примеры решения задач Задача 1. На гладком горизонтальном столе лежит брусок массой М = 2,0 кг, на котором находится брусок массой т - = 1,0 кг. Оба бруска соединены нитью, перекинутой через неве­ сомый блок. Какую силу F нужно приложить к нижнему бруску, чтобы он начал двигаться от блока с постоянным ус­ корением а = g/2? Коэффи­ циент трения между бру­ сками ijl~0,5. Трением между нижним бруском и столом пренебречь. 34 Дано: М= 2,0 кг; т= 1,0 кг; а ~ g/2\ g = 9.8 м/с2; Ц = 0,5 Найти: F Решение. Горизонтальные си­ лы, действующие на оба бруска, показаны на рис. 3.1. По третьему закон;/ Ньютона сила трения F ^ , действующая на брусок массой т, равна по ве­ личине и противоположна по на­ правлению силе трения Frp , действующей на брусок массой М со стороны бруска массой т: F - F - F тр1 тр2 т р ' Ускорения брусков одинаковы, так как они связаны нерастя­ жимой нитью «1 = 02 — а. Запишем второй закон Ньютона для брусков массой М и т в проекциях на ось X, соответственно: ip -- та = - Т + Fтр Сила трения, действующая на брусок т\ F,ip (3.1) (3.2) (3.3) Решая совместно уравнения (3.1)—(3.3), получим величину искомой силы: F = а(М + т)+ 2mg\x, ; F= 9,8 : 2(1,0 + 2,0) + 2 ■ 1,0 • 9,8 • 0,5 = 24,5 Н. Ответ. F= 24,5 Н. Задача 2. Два одинаковых шарика связаны невесомой нитью, перекинутой через невесомый блок, причем один из шариков погружен в сосуд с жидкостью (рис. 3.2). С какой установив­ шейся скоростью v будут двигаться шарики, если известно, что установившаяся скорость падения одиночного шарика в той же 35 жидкости равна v0? Сила сопротивления жидкости пропорцио­ нальна скорости. Плотность жидкости рж, плотность материала шариков р. Дано: v0; Р*: Р Наши: v Решение. При сво­ бодном падении шарика в сосуде на него действуют си­ ла Архимеда Fa , сила сопротивления движению Fc0 и сила тяжести m g (рис. 3.2, а). Если шарик движется с неизмен­ ной (установившейся) скоростью, то векторная сумма сил, дей­ ствующих на шарик: Fa + F c0+ m g = 0. Сила сопротивления пропорциональна скорости, поэтому ее модуль Fco = с v0, (3.4) где с - коэффициент пропорциональности. Сила Архимеда определяется по формуле Fa= p-A(gV, (3.5) где рж - плотность жидкости; V- объем шарика, погруженного в жидкость. Av0+ p * g K = p gV, (3.6) где р = m/V - плотность материала шарика. 36 Из (3.6) следует, что коэффициент пропорциональности С = ( р - Р ж ) — ■ V0 (3.7) При установившемся движении связанных шариков вектор­ ные суммы сил, действующих на левый и правый шарики, будут (рис. 3.2, б) Т + m g = О, FA+ f + Fc + m g =- 0 . (3.8) (3.9) Тогда в проекциях на ось OY уравнения (3..8)-(3.9) с учетом (3.4), (3.5) и (3.7) молено переписать как p V g = T , (зло) r + p „ ^ = pKg + ( p - p „ ) ^ (3.11) Решая совместно уравнения (3.10) и (3.11), находим величину установившейся скорости v = v0p*/(p-p*)- Ответ: v = УоРж /'(р - р ж). Задача 3. Тормозная система развивает силу тяги, пропор- с - const. Пренебрегая трением, определить через какое время от Iмомента начала торможения авто­ F •• 1 vo мобиль массой m остановится. 1 — Найти тормозной путь. К моменту торможения автомобиль имел ско­ 'П .mg X рость Vq. Рис. 3.3 37 Дано: F = -ct; с - const; Vo; m Найти: t.OCT) -^CCT Решение. На автомобиль дейст­ вуют три силы: сила тяжести m g, сила реакции опоры N и сила тя­ ги тормозной системы F = - c t i , где i - единичный орт направле­ ния оси О Х(щ с. 3.3). Согласно второму закону Ньютона, векторная сумма всех сил, действующих на автомобиль, равна скорости изменения импульса автомооиля: d v (t) т- dt ■ m g + N + F . В проекциях на ось ОХ имеем dv(t) dt т - —c t . Разделим переменные и проинтегрируем данное выражение с учетом начальных условий v = v0 при k = 0. Получим уравнение изменения скорости автомобиля с течением времени t лCt 2 т (3.12) В момент остановки скорость автомобиля v = 0 м/с. Тогда время движения автомобиля до остановки tocr может быть най­ дено из уравнения 0 = v 0 ~ ~ ~ ~ ■ 2т Отсюда находим, что время до остановки определяется по формуле lm vn 1 (3.13) Величину тормозного пути х00Х получаем интегрированием выражения (3.12) для скорости, полагая, что д-0= 0 при t0= 0: 38 Ч Ч f c t 2 \ *о с т = = I j v0 - — J d t ; ( 3 . 1 4 ) *0 А) ^ л: = v / - С^ остост 0* ост гот Подставляя в (3.14) выражение для времени остановки (3.13), получим 2 [2m v0 *о с т = T V 0 /2 »1УЛ 2 2m vft З а д а ч и 4 балла 3.1 Если система отсчета К' движется относительно инерци- альной системы отсчета К с ускорением а, является ли система К' инерциальной? Почему? 3.2 На тело массой m = 2 кг действует сила F = 10 Н. С каким ускорением движется тело? Ответ, а - 5 м/с. 3.3 При движении тела массой m ~ 1 кг модуль его скорости с течением времени t изменяется по закону v = 2 + 5/ (м/с). Чему равен модуль скорости изменения импульса тела? dp 2 Ответ. — = 5 кг-м/с . dt 3.4 Объясните, почему в соревнованиях по перетягиванию каната возможно выиграть, ведь натяжение каната остает­ ся во всех сечениях одинаковы м? 39 3.5 Если на закрепленною пружину жесткостью к = 400 НУм подействовать силой F = 80 Н, насколько удлинится пру­ жина? Ответ. Ах = 0,2 м. 3.6 Если нормальное напряжение в теле, вызванное относи­ тельной деформацией е = 0,01, составляет 108 Па, чему равен модуль Юнга материала тела? Ответ. Е = Ю10 Па. 3.7 Материал тела имеет модуль сдвига G - 1,00-108 Па. Чему равна деформация сдвига, если тангенциальное напряже­ ние в теле 1,00-10б Па? Ответ, у = 0,01. 3.8 От каких характеристик зависит коэффициент трения по­ коя, трения скольжения и трения качения? 3.9 При действии силы F = 1 0 H на тело некоторой массы, лежащее на шероховатой поверхности стола, тело остает­ ся в покое. Чему равна сила трения покоя? Объясните от­ вет. Ответ. Fn, = 10 Н. 3.10 В чем заключаются основные отличия силы тяжести от веса тела? 3.11 Тело массой т = 1 кг поднимают на подвесе вверх с уско­ рением сг:=1 м/с2. С какой силой тело действует на под­ вес? Ответ. F — 11 Н. 3.12 Какими типами взаимодействия обусловлены: а) сила трения; б) сила упругости; в) сила тяготения? 5-6 баллов 3.13 Два тела массами т\ = 4,0 кг и т2 = 2,0 кг движутся пря­ молинейно. Модули скоростей обоих тел изменяются с течением времени / по следующим законам: Vj ~ 0,8 — 0.5/ / +0,5/ (м/с); v2 = 0,25 + 3/ +1,5/2 + 0,8/3 (м/с). 40 В какой момент времени t\ значения равнодействующих сил, действующих на эти тела, окажутся одинаковыми? Ответ. t\ = 1,88 с. 3.14 Автомобиль массой т = 1020 кг, двигаясь равнозамедлен­ но, остановился через время t - 5,0 с, пройдя путь S = 25,0 м. Найти начальную скорость v0 автомобиля и си­ лу торможения F. Ответ. F = 2,04 кН; v()= 10 м/с. 3.15 Вагон массой т = 20 т движется равнозамедленно вдоль направления ОХ. Проекции начальной скорости v'o.v= 54 км/ч, а ускорения а х = -0,3 м/с2. Какая сила тор­ можения F действует на вагон? Через какое время t вагон остановится? Какое расстояние S вагон пройдет до оста­ новки? Ответ. F - 6 кН; (= 50 с; S = 375 м. 3.16 Тело движется прямолинейно под действием постоянной силы 15,0Н. Зависимость координаты тела от времени имеет вид х = 10,0 - 5,0^ + 2,0?‘ (м). Найти массу тела. Ответ, т = 3,75 кг. 3.17 Камень, пущенный по поверхности льда со скоростью v0 = 2 м/с, прошел до полной остановки расстояние S = 20,4 м. Найти коэффициент трения камня о лед, счи­ тая его постоянным. Ответ, ц = 0,01. 3.18 Шайба, пущенная по поверхности льда с начальной скоро­ стью v0 =20 м/с, остановилась через t = 40 с. Найти коэф­ фициент трения шайбы о лед. Ответ, ц = 0,05. 3.19 Тело массой 0,5 кг движется прямолинейно, причем урав­ нение движения имеет х = A - B t + C t2 — D t3 (м), где С = 5м/с2 и D = 1 м/с3. Найти силу, действующую на тело в конце первой секунды. Ответ. Г = 2 И. 3.20 Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол а = 45°. Пройдя расстояние S = 36,4 см, тело приобретает скорость v = 2 м/с. Чему равен коэффи­ циент трения тела о плоскость? Ответ, ц = 0,2. 41 3.21 Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 45°. Зависимость пройденного телом расстояния S от времени t дается уравнением S = Ct2, где С= 1,73 м/с2. Найти коэффициент 'фения тела о плос­ кость. Ответ, ц = 0,5. 3.22 Тело массой т движется в плоскости ХОУ по закону х := АсоъШ, у = Bsin&t, где А, В и <о - постоянные. Опреде­ лить модуль силы, действующей на тело. Ответ. F = + у 2 . 7-8 баллов 3.23 Аэростат, масса которого вместе с балластом т = 140 кг, равномерно опускается. Если сбросить балласт массой т\ = 24,9 кг, аэростат начнет равномерно подниматься с той же скоростью. Найти подъемную силу аэростата. От­ вет. F = 1250 Н. 3.24 Найти радиус кривизны моста, если автомобиль, движу­ щийся со скоростью 19,6 м/с, оказался в состоянии неве­ сомости на его середине. Ответ. R = 39,2 м. 3.25 Каким должен быть минимальный коэффициент трения, чтобы автомобиль, движущийся со скоростью 60 км/ч, смог сделать поворот с радиусом кривизны 200 м? Ответ. (I = 0,14. 3.26 Материальная точка массой 50 г, прикрепленная к пру­ жине длиной 30 см, вращается в горизонтальной плоско­ сти. Конец пружины закреплен в центре вращения. При какой частоте вращения пружина удлинится на 5 см, если жесткость пружины 300 Н/м? Ответ, и = 4,7 Гц. 3.27 Какая сила действует в поперечном сечении однородного стержня длины 1 на расстоянии х от того конца, к которо­ му вдоль стержня приложена сила F? Стержень находится 42 на гладкой горизонтальной поверхности. Ответ. 3.28 Парашютист массой тл = 80 кг падает при открытом па­ рашюте с установившейся скоростью v( = 5 м/с. Какой бу­ дет установившаяся скорость, если на том же парашюте спускается мальчик пъ = 40 кг? Сила сопротивления воз­ духа пропорциональна квадрату' скорости. Ответ. 3.29 На обледеневшем участке дороги коэффициент трения между колесами и дорогой в 10 раз меньше, чем на не об­ леденевшем. Во сколько раз нужно уменьшить скорость автомобиля, чтобы тормозной путь на обледеневшем уча- 3.30 Груз массой ш = 200г, привязанный к нити длиной / = 40 см, вращается в горизонтальной плоскости с посто­ янной скоростью так, что нить описывает коническую по­ верхность. При этом угол отклонения нити от вертикали а = 37° (cos 37° = 0,7986). Найти угловую скорость &> вращения груза и силу натяжения нити. Ответ. стке дороги остался прежним? Ответ. В V10 раз. cos а 3.31 Дана система блоков (рис. 3.4). Мас­ сы грузов тх = 200 г, тг = 500 г. Най­ ти: 1) силу натяжения нити; 2) уско­ рения, с которыми движутся грузы. Ответ. Г - 2,26 Н; щ = 1,5 м/с2; я2 - 0,75 м/с2. Рис. 3.4 43 3.32 Железнодорожный вагон тормозится, его скорость равно­ мерно изменяется за время At = 3,3 с от V; = 47,5 км/ч до V2 = 30 км/ч. При каком предельном значении коэффици­ ента трения между чемоданом и полкой чемодан при тор­ можении начинает скользить по полке? Ответ. При р, < 0,15 чемодан нач нет скользить. 3.33 Канат лежит на столе так, что часть его свешивается со стола, и начинает скользить тогда, когда длина свеши­ вающейся части составляет 25 % всей его длины. Чему ра­ вен коэффициент трения каната о стол? Ответ, р = 0,33. 3.34 Груз массой 2 т необходимо поднять на гору с уклоном 1 м на каждые 25 м пути. Во время подъема груза действу­ ет сила трения, равная 0,1 его силы тяжести. Найти силу тяги, развиваемую двигателем подъемного механизма, ес­ ли груз перемещают с постоянной скоростью. Ответ. F - 2 ,8 кН. 3.35 Найти силу тяги, развиваемую двигателем автомобиля, движущегося в гору с ускорением 1 м/с‘. Уклон горы ра­ вен 1 м на каждые 25 м пути. Масса автомобиля 1 т. Ко­ эффициент трения 0,1. Ответ. F — 2,4 кН. 3.36 Тело лежит на наклонной плоскости, составляющей с го­ ризонтом угол 4°. При каком предельном значении коэф­ фициента трения тело начнет скользить по наклонной плоскости? С каким ускорени­ ем будет скользить тело по плоскости, если коэффициент трения 0,03? Сколько времени потребуется для прохождения при этих условиях 100 м пути? Какую скорость будет иметь тело в конце этих 100 м? Ответ. 1) й п Ред = 0,07; 2) а = 0,39 м/с2; 3) t = 22,6 с; 4) v = 8,8 м/с. 44 3.37 Невесомый блок укреплен на конце стола (рис. 3.5). Гири А и В равной массы 1Щ ~ т2 = 1 кг соединены нитью и пе­ рекинуты через блок. Коэффициент трения гири В о стол ц=0,1. Найти: 1) ускорение, с которым движутся гири; 2) натяжение нити. Трением в блоке пренебречь. Ответ. а = 4,4 м/с2; Ti = Г2 = 5,4 Н. 3.38 На тело массой т ~ 10,0 кг, на­ ходящееся на наклонной плос­ кости с а = 20°, действует гори­ зонтально направленная сила F - 8,0 Н (рис. 3.6). Пренебрегая трением, определить: 1) ускоре­ ние тела; 2) силу, с которой тело давит на плоскость. Ответ. а = 4,1 м/с2;/» = 89,4 Н. 3.39 Частица массой т движется под действием силы F = F0 coso)/, где F0 и со - постоянные. Силой тяжести пренебречь. Определить положение частицы, т.е. выра­ зить ее радиус-вектор г как функцию времени, если в на­ чальный момент времени t - 0; г(0) = 0; v(o) = 0 . От- F вет. ? ( /)= (l-COS(Df) X---- 2-—. т со 9-10 баллов 3.40 С каким минимальным ус­ корением следует переме­ щать в горизонтальном на­ правлении брусок А, чтобы тела 1 и 2 не двигались от­ носительно него (рис. 3.7)? Массы тел одинаковы, ко­ 45 эффициент трения между бруском и телами равен р. Мас­ сы блока и нити пренебрежимо малы, трения в блоке нет. 3.41 Ответ. a mjn = g a - n ) (1 + ц) 3,42 Ыа наклонную плоскость, со­ ставляющую угол а с гори­ зонтом, поместили два бруска 1 и 2 (рис. 3.8). Массы бру­ сков равны т\ и тг, коэффи­ циенты трения между плос­ костью и этими брусками pi и Р2, соответственно, причем Ц! > (,i2. Найти силу взаимодействия между брусками в 17 (Й1 ~ ^ 2)WjW2gcosa процессе движения. Ответ, t = ------------------------------ . т х + т 2 На тележке массой т\ = 20,0 кг, которая может свободно пере­ мещается вдоль гори­ зонтальных рельсов, лежит брусок массой « 2 ~ 5,0 кг (рис. 3.9). Коэффициент трения между бруском и те­ ГП2 1 mi 1 . Г Г " ....... П ' Рис. 3.9 лежкой ц = 0,2. Брусок тянут с силой F , направленной параллельно рельсам. Найти ускорение бруска и тележки, если модуль силы изменяется по закону F — c t{ Н), где с = 4,0 Н/с. Построить графики зависимости пройденных ускорений от времени. Ответ. При 0 < t < 3,1 с ct № т г л с / 2= 0,5 м/с ; приа 1 = « 2 = т t > 3,1 с а 7 1 + т г _ ct «1 = ш, 46 3.43 На наклонную плоскость с углом наклона к горизонту а = = 35” положена доска массой т2 = 2 кг, а на доску — бру­ сок массой !П] = ] кг. Между бруском и доской коэффици­ ент трения Ц] = 0,1, а между доской и плоскостью - ц2 = 0,2. Определить: 1) ускорение бруска; 2) ускорение доски; 3) коэффициент трения ц3, при котором доска не будет двигаться. Ответ. ах = 4,82 м/с2; я2 = 3,62 м/с2; Цз> 0,5; а, = g ( s i n a - ц, cos а ) ; “ i = g sin а + Цч V / \ /и, \ т и г cos а - \х2 т х + т г V /и, \ ^ cos а / т , М’з / / \ \т х sin а + Ц, ч cos a , т г ) у (m, + /и,)cos а 3.44 Четырьмя натяну­ тыми нитями груз закреплен на те­ лежке (рис. ЗЛО). Сила натяжения горизонтальных нитей соответст- _____________________ венно равны Т\ и Т2 , вертикальных Г3 и Г4. С каким уско­ рением тележка движется по горизонтальной плоскости? Т - Т Ответ, а = з —----- -. Т . - Т , 3.45 Два тела массами тх и пь связаны нитью, выдерживающей си­ лу натяжения Г. К телам приложены 47 силы, модули которых изменяются по законам F, = ct (Н) и F = 2ct (Н), где с - постоянный коэффициент, t - время 2 действия силы (рис. 3.11). Определить, в какой момент Т{т. + т . ) времени нить порвется. Ответ, t = -- . с(2т1 + m j 4. МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ. РАБОТА. МОЩНОСТЬ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ Краткие теоретические сведения Систему взаимодействующих тел называют замкнутой, если на нее извне не действуют внешние силы. Для замкнутой систе­ мы выполняется закон сохранения импульса: полный вектор импульса замкнутой системы есть величина постоянная: П р = 2 = const • i=i Закон сохранения импульса для двух тел, взаимодействую­ щих по тиру упругого удара, имеет вид m ivl + m2v2 - тхщ + т2и2, где Vj и v2 - скорости до упругого удара; щ и й 2 - скорости тех же тел после упругого удара. Закон сохранения импульса для двух тел, взаимодействую­ щих по тиру неупругого удара, имеет вид m,v, + m2v2 = (тг + т 2)й , где й - скорости тел после неупругого удара. Работа, совершаемая силой F при элементарном перемеще­ нии dr : 48 dA - Fdr = FdS • cos a , где dS = I dr I - элементарный путь; a - угол между векторами F и dr . Работа переменной силы F на пути S s А = j F ■ c o s a d S . о Изменение полной энергии системы равно работе, совер­ шенной внешними и внутренними силами, приложенными к системе: W2 ~ W X = Авнеш + Атугр. Кинетическая энергия тела массой т, движущегося посту­ пательно со скоростью v: ш пп’2 т Р 1w = ------- или w = . 2 к 2т Работа А, совершаемая результирующей силой, определяется как мера изменения кинетической энергии тела: A = WK ~ W K . К| K j Мощность - это физическая величина, равная работе, со­ вершаемой в единицу времени: p = dA dt Консервативными называются силы, работа которых не за­ висит от траектории движения тела, а определяется только на­ чальным и конечным положением тела в пространстве. Если на систему материальных точек действуют консерва­ тивные силы, то вводят понятие потенциальной энергии. Рабо­ та А (2, совершаемая консервативными силами, определяется по­ тенциальными энергиями начальной и конечной конфигураций системы: 4 = W - W n ,12 П, П2 9 где Wn - потенциальная энергия системы в начальной (1) и ко­ нечной (2) конфигурациях системы. 49 Потенциальная энергия: а) упругодеформированной пружины W. 1 2 где к -• жесткость пружины; Лх — абсолютная деформация пружины; б) гравитационного взаимодействия W = 0 т хт г г где G - гравитационная постоянная; OTj и т2- массы взаимодействующих тел; г — расстояние между телами (тела рассматриваются как ма­ териальные точки); в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести Wa = m g h , где g - ускорение свободного падения; h - высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии h « R, где R - радиус Земли). Связь силы F , действующей в точке с координатами х, у, z потенциального силового поля, с потенциальной энергий W„(x, у, z) F = —gradj^n (х, y , z ) ~ = ' 6 w *(x, y , z ) j + dW „(x ,y ,z) - + 8Wn{ x ,y , z ) ^ ~ \ дх ду> dz Закон сохранения полной механической энергии: полная механическая энергия замкнутой системы, в которой действуют только консервативные силы, с течением времени не изменяется W = Wn + WK = c o n s t. 50 Примеры решения задач Задача 1. На горизон­ тальных рельсах стоит платформа с песком общей массой тх = 5,0-103 кг. В песок попадает снаряд мас­ сой т2 - 5,0 кг. В момент попадания скорость снаря­ да v = 4,0-102 м/с. Направ­ ление скорости снаряда сверху вниз под углом а = 37с горизонту (рис. 4.1, а). Найти модуль скорости платформы в на­ правлении ОХ, если снаряд застревает в песке. Дано: Решение. На систему «платфор- nt] = 5,0-10' кг: ма-снаряд» действуют следующие т2= 5,0 кг; внешние силы: сила тяжести, сила v = 4,0-10" м/с; нормальной реакции рельсов, си- а = 37° I ла трения. Учитывая, что силы тяжести и сила реакции рельсов действуют только в вертикальном направлении, и, считая силу тре­ ния пренебрежимо малой, можно заключить, что проекция вектора импульса системы на горизонтальное направление остается по­ стоянной. Тогда по закону сохранения импульса для неупругого взаимодействия в направлении оси ОХ имеем m2Vcosa = (т х+тг)и, Найти: и 51 где и — скорость платформы с песком после попадания в нее снаряда (рис. 4.1, б). Отсюда m ,v c o saи = -----------------. тх + т2 5,0 ■ 4,0 • 102 cos 37‘и = 5,0 -103 +5,0 Ответ, и — 0,32 м/с. 0.32м/с • Задача 2. Тело массой т\ - 1,0 кг ударяется о неподвижное тело массой т2 = 4,0 кг. Счмтая удар центральным и абсолютно упругим, найти, какую долю кинетической энергии передает первое тело второму при ударе. Дано: тп\ = 1 ,0 кг; тг — 4,0 кг Найти: W -к'2 W .к1 Решение. Закон сохранения энергии для абсолютно упругого удара тел (рис. 4.2) будет иметь вид m , V,2 от- v ___L - f . ______ L.... 2 где Vi, v2, щ, иг - скорости тел соответст­ венно до и после удара. 0 - v 2 = 0 О —\ —-ч ^ 2 A j - О ^ О m i W т , т . т _ X Рис. 4.2 Так как удар центральный и абсолютно упругий, выполняет­ ся закон сохранения импульса: m xv} + m 2v2 = т.Г^ + т2й2. 52 Кинетическая энергия второго тела до удара была равна нулю. После удара изменение энергии второго тела A Wk2 = WKl, где W& - кинетическая энергия второго тела после удара. Так как г\ = 0 , то = (4 1) 2 2 2 Закон сохранения импульса в проекции на ось ОХ, парал­ лельную скорости движения первого тела, запишем так: m1v1 = пцщ + т2и2. (4.2) Решая систему уравнений (4.1), (4.2), найдем 2 w,Vj и2 — ■ тл + т2 Кинетическая энергия второго тела после удара т 2и2 _ 2m2m \v \ W =■П к2 2 (т ; + т 2 ) 2 Определим часть энергии, которую передаст первое тело при ударе: Wk2 4т}т 2 К , (тх + т2 ) 2 0,6 . Wk2 4 -1,0 -4,0 K i (1,0 + 4,0 У W Ответ. —— = 0,6 w„, Задача 3. Тело массой 1,0 кг под действием силы движется прямолинейно. Зависимость модуля перемещения тела от вре­ мени задана уравнением г — 211 + 4/ +1 (м). Определить работу 53 силы за 1 0 с от начала ее действия и зависимость кинетической энергии от времени. Дано: т = 1,0 кг; г = 2 t 2 + A t + 1 ; Д /= 10 с Н айти: A, WK Решение. Работа, совершаемая силой: (4.3) По второму закону Ньютона сила, действующая на тело: F = та или F = т d 2r dt 2 ' (4.4) Мгновенное ускорение определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по време­ ни. В соответствии с этим dr v = — = At + 4 ; dt а = d ' r H t2 = 4 м /с ' Тогда из (4.4) и (4.6) имеем d 2r F = m — r = 4m d t2 (4.5) (4.6) (4.7) (4.8) Из выражения (4.5) находим dr - (At + A )d t . Подставив (4.7) и (4.8) в (4.3) вычисления А, получим А - f 4m(4t + 4 ) d t . По этой формуле вычислим работу, совершаемую силой за 1 0 с с начала ее действия: 54 10 16/" А = |(l 6mt +16 m)dt = m ----- +161 0 _ ^ = 1,0 • (8 • 100 +16 • 10) = 960 Д ж . Кинетическая энергия тела m v2 WK= - ~ . (4 .9 ) Подставляя ( 4 .3 ) в формулу ( 4 .9 ) , имеем w k = = т (ш2 + т + $). Ответ. А = 960 Дж; WK = /я (8*2 +16/ + в ). З а д а ч и 4 балла 4.1 С какими свойствами пространства и времени связаны законы сохранения энергии и импульса? 4.2 Частица под действием силы F = 2 Н совершила переме­ щение г - 10 м. Вектор силы и вектор перемещения на­ правлены друг по отношению к другу под углом 60°. Найти работу силы F. Ответ. А = 10 Дж. 4.3 Тело движется вдоль оси ОХ под действием силы F = = х + 3 (Н). Какую работу совершила сила при перемеще­ нии тела из положения с координатой jc, = 0 м в положе­ ние с координатой й = 4 м . Ответ. А = 20 Дж. 4.4 Тело массой 1 кг под действием силы изменило скорость от 10 м/с до 20 м/с. Найти совершенную силой работу. Ответ. А = 150 Дж. 4.5 Тело массой 1 кг брошено под углом 60° к горизонту со скоростью 10 м/с. Чему равна кинетическая энергия тела в верхней точке траектории? Ответ. WK = 12,5 Дж. 55 4.6 При каком условии силовое поле можно считать потенци­ альным? 4.7 Потенциальная энергия частицы в силовом поле имеет вид Wn = Зх (Дж), где х - координата тела при перемеще­ нии его вдоль оси ОХ. Найти проекцию силы на ось ОХ, действующую на тело со стороны поля. Ответ. Fx — -3 Н. 4.8 Два тела движутся по двум взаимно перпендикулярным направлениям вдоль осей ОХ и OY. Импульсы тел равны p i = 3/ (кг-м)/с, р 2 = 4 j (кг-м)/с. Чему равен модуль суммарного импульса частиц? Ответ, р — 5 (кг- м)/с. 4.9 За время 60 с двигатель совершил работу равную 120 Дж. Чему равна мощность двигателя? Ответ. Р - 2 Вт. 4.10 Кинетическая энергия тела, движущегося вдоль оси ОХ, равна 20 Дж. При ударе о стенку 10 % кинетической энер­ гии превратилось в тепло. Найти кинетическую энергию тела после удара. Ответ. WK = 18 Дж. 5-6 баллов 4.11 Насос мощностью N используют для откачки нефти с глубины h. Определите массу жидкости, поднятой за вре- _ qiVr мя t, если КПД насоса г\. Ответ. т -------- . gh 4.12 Граната, летящая со скоростью 10,0 м/с, разорвалась на два осколка. Больший осколок, масса которого составляет 60 % массы всей гранаты, продолжал двигаться со скоро­ стью 25,0 м/с. Найти проекцию скорости меньшего ос­ колка на направление движения гранаты. Ответ. их = -12,5 м/с. 4.13 Тело соскальзывает без наличия начальной скорости по гладкой наклонной плоскости длиной Si = 90 см, состав­ ляющей угол а = 30° с горизонтом, и, пройдя по горизон­ 56 т&льной плоскости расстояние S2 = 40 см, останавливает­ ся. Найдите коэффициент трения ц. на горизонтальном участке пути движения тела. Ответ. fi = 1 Д. 4.14 Человек массой 60 кг, бегущий со скоростью 8 км/ч, до­ гоняет тележку массой 80 кг, движущуюся со скоростью 2,9 км/ч, и вскакивает на неё. Найти: 1) с какой скоростью будет двигаться тележка? 2 ) с какой скоростью будет дви­ гаться телеиска, если человек бежал ей навстречу? Ответ. щ = 1,4 м/с; и2 = 0,5 м/с. 4.15 Снаряд массой 100 кг, летящий горизонтально вдоль же­ лезнодорожного пути со скорость 500 м/с, попадает в ва­ гон с песком массой Ю т и застревает в нём. Какую ско­ рость получит вагон, если: 1 ) вагон стоял неподвижно; 2 ) вагон двигался со скоростью 36 км/ч в том же направ­ лении, что и снаряд; 3) вагон двигался со скоростью 36 км/ч в направлении, противоположном движению сна­ ряда? Ответ. « 1 = 5 м/с; иг = 15 м/с; щ = -5 м/с. 4.16 Тело массой 1 кг, движущееся горизонтально со скоро­ стью 1,0 м/с, встречает второе тело массой 0,5 кг и неуп­ руго сталкивается с ним. Какую скорость получит тело, если: 1 ) второе тело было неподвижно; 2 ) второе тело двигалось со скоростью 0,5 м/с в том же направлении, что и первое тело; 3) второе тело двигалось со скоростью 0,5 м/с в направлении, противоположном направлению движения первого тела. Ответ, щ = 0,7 м/с; иг = 0,3 м/с; и3 = 0,5 м/с. 4.17 Пружина жёсткостью к = 500 Н/м сжата силой F — 1,0 х х 102 Н. Определите работу Л внешней силы, дополни­ тельно сжимающей пружину ещё на Ах = 2,0 см. Ответ. А = 2,1 Дж. 4.18 Из пружинного пистолета с пружиной жёсткостью к - = 150 Н/м был произведён выстрел пулей массой т. - = 8,0 г. Определить скорость v пули при вылете её из пис­ толета, если пружина была сжата на Ах = 4 см. Ответ, v = 5,5 м/с. 57 4.19 Налетев на пружинный буфер, вагон массой т - 16 т , двигавшийся со скоростью v = 0 ,6 м/с, остановился, сжав пружину на Ах = 8,0 см. Найти общую жёсткость к пру­ жины буфера. Ответ, к = 900 к Н/м. 4.20 Какую нужно совершить работу А, чтоб пружину жёстко­ стью к — 800 Н/м, сжатую на Дх| = 6,0 см, дополнительно сжать на Ах2 - 8,0 см? Ответ. А - 6,4 Дж. 4.21 Конькобежец массой 70,0 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой 3,0 кг со скорость 8,0 м/с. Найти расстояние, на которое откатится при этом конькобежец, если известно, что ко­ эффициент трения коньков о лёд 0,02. Ответ. S = 03 м. 4.22 Определить работу растяжения двух соединенных после­ довательно пружин жёсткостями к\ = 400 Н/м и к2 = = 400 Н/м, если первая пружина при этом растянулась на Аде = 2,0 см. Ответ. А — 0,16 Дж. 4.23 Две пружины жёсткостью кх = 0,5 кН/м и к2 - 1,0 кН/м скреплены параллельно. Определить потенциальную энергию W данной системы при абсолютной деформации Ах = 4,0 см. Ответ. W — 1,2 Дж. 4.24 Определить работу растяжения двух соединённых после­ довательно пружин, жесткость которых к\ = 400 Н/м и кг — 250 Н/м, если первая пружина при этом растянулась на Ах = 2,0 см. Ответ. А = 208 мДж. 7-8 баллов 4.25 Материальная точка массой т = 3,0 кг движется прямо­ линейно под действием силы так, что координата точки со временем изменяется по закону х = 5 + 8 / + 2t2 (м). Ка­ кая работа А совершается за первые 4 с? Какая мощность Р развивается при движении точки в момент t = 2с? От­ вет. А = 768 Дж; Р = 192 Вт. 58 4.26 Материальная точка массой т - 1,0 ь:г под действием консервативной силы переместилась из точки с координа­ той Х\ = 1,0 м в точку с координатой х2 = 1,5 м. Состав­ ляющая силы Fx вдоль оси ОХ изменяет ся в зависимости YYi от координаты х по закону Fx = 1,5 — + 4.x (Н). Найти X работу-, производимую силой, по перемещению матери­ альной точки. Ответ. А = 3 Дж. 4.27 Потенциальная энергия частицы в силовом поле изменя­ ется по закону Wn = - х 2 + 2,0у 2 - 4,0(Дж). Найти работу, совершаемую над частицей силами поля при переходе из точки с координатами (6 ,0 ; 2,5; 0) в точку с координатами (4,0; 2,0; 0). Найти выражение для силы, действующей на частицу, и модули этой силы в начальной и конечной точках. Ответ. А = -15,5 Дж; F = 2дd —4 y j ; Fi = 15,6 Н; Fi — 11,3 Н;. 4.28 Потенциальная энергия частицы в силовом поле изменя- J Лется по закону' Wn = х~ + 1,2у-——-(Дж). Найти работу, со- вершаемую над частицей силами поля при переходе из точки с координатами (1,2; 0,8; 1,5) в точку с координата­ ми (1,0; 1,2; 1,4). Найти модули силы, действующей на частицу, в начальной и конечной точках. Ответ. А = = 5,5 10 2 Дж; Fi — 2,3 Н; F2 = 2,6 Н. 4.29 Шар массой т\ = 3,0 кг движется со скорость v-, = 2,0 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой т2 = 5,0 кг. Какая работа будет совершена при деформации шаров? Удар считать абсолютно неупругим, центральным. Ответ. А = 3,8 Дж. 4.30 Из орудия, не имеющего противооткатного устройства, производилась стрельба в горизонтальном направлении. Когда орудие было неподвижно закреплено, снаряд выле­ тел со скорость Vj = 600 м/с, а когда орудию дали возмож­ ность свободно откатываться назад, снаряд вылетел со 59 скорость V2 =580 м/с. С какой скорость откатилось при этом орудие? Ответ, v = 40 м/с. 4.31 Шар массой ти движущийся горизонтально с некоторой скорость vb столкнулся с неподвижным шаром массой т2. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный, Какую долю своей кинетической энергии первый шар пе- J^ / fit редал второму? Ответ. —- = -------- — . Wx (тх + т г) 4.32 Из шахты глубиной h = 600 м поднимают клеть массой т\ = 3,0 т на канате, каждый метр которого имеет массу m = 1,5 кг. Какая работа А совершается при поднятии кле­ ти на поверхность земли? Каков КПД подъёмного устрой­ ства? Ответ. А — 2,07*107 Дж; ц = 0,87. 4.33 Если на верхний конец вертикально расположенной спи­ ральной пружины положить груз, пружина сожмётся на Ахо = 3 мм. На сколько сожмёт пружину тот же груз, упавший на конец пружины с высоты h - 8,0 см? Ответ. Дх = 2,5*10'3 м. 4.34 Тело массой пг - 2 , 5 кг движется вниз по наклонной плос­ кости, составляющей угол а = 30° с горизонтом. На отрез­ ке пути S = 0,5 м на него действует постоянная сила F в направлении движения. Изменение кинетической энергии тела на этом отрезке пути AWK - 9,98 Дж, коэффициент трения ц = 0,07. Найти модуль силы, действующей на те­ ло. Ответ. F = 9,2 Н. 4.35 Два движущихся друг за другом тела ударяются неупруго. Скорость первого тела до удара V] = 2,0 м/с, скорость вто­ рого тела v2 — ~ 3,6 м/с. Общая скорость тел после удара равна V. Кинетическая энергия первого тела до удара была меньше кинетической энергии второго тела в п = 0,679 раз. Найти модуль скорости v тел после удара. Ответ, v = = 2,6 м/с. 4.36 Снаряд, выпущенный со скоростью v0 = 1 00,0 м/с под уг­ лом а = 45° к горизонту, разорвался в верхней точке тра­ 60 ектории на два одинаковых осколка. Один осколок упал на землю под местом разрыва снаряда со скоростью v, = = 97,0 м/с. С какой скоростью упал на землю второй ос­ колок? Сопротивления воздуха нет. 4.37 Между двумя шариками с массами tn\ и пь находится сжатая пружина. Если один из шариков (например, мас­ сой т2) удерживать на месте, а другой освободить, то он отлетает со скоростью vG. С какой скоростью будет дви­ гаться шарик массой ти если оба шарика освободить од­ новременно? Деформации пружины в обоих случаях оди- 4.38 По небольшому куску мягкого железа, лежащему на на­ ковальне массой пх\ = 300 кг, ударяет молот массой пь = = 8 кг. Определить КПД rj удара, если удар неупругий. Полезной считать энергию, затраченную на деформацию куска железа. Ответ, г) = 0,97. 4.39 Молот массой т — 5,0 кг. двигаясь со скоростью v = = 4,0 м/с, ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни с изделием М = 95 кг. Счи­ тая удар абсолютно неупругим, определить энергию, рас­ ходуемую на ковку (деформацию) изделия. Чему равен КПД процесса ковки при данных условиях? Ответ. Л = 38Дж;т1 = 0,95. 4.40 Статический прогиб сетки под действием силы тяжести спортсмена x0 = 15 см. Спортсмен с высоты h - 12 м па­ дает на упругую сетку. Пренебрегая массой сетки, опре­ делить, во сколько раз наибольшая сила давления спорт­ смена на сетку больше его силы тяжести. Ответ. В 14 раз. Ответ. v2 = д/v,2 +4vocosza = 171,0 м/с. 9-10 баллов наковы. Ответ, v, = v0 61 4.41 Шайба 1, скользящая по шероховатой горизонтальной поверхности, испытала соударение с покоившейся шай­ бой 2. После столкновения шайба 1 отскочила под пря­ мым углом к направлению своего первоначального дви­ жения и прошла до остановки путь S] = 1 ,5м ,а шайба 2 - путь S2 = 4 м . Найти скорость шайбы 1 непосредственно перед столкновением, если её масса в т| = 1,5 раза меньше массы шайбы 2, а коэффициент трения |Л = 0,17. Ответ. v ~yj2ng(r\2S 2 - S t) = 5,0 м/с . 4.42 Сначала тело поднимают из шахты глубиной h\ = RJ2, где R - радиус Земли, на поверхность Земли, а затем ещё на высоту h2 == h\ от поверхности Земли. В каком случае ра­ бота по подъёму тела больше? Ответ. А х > А г. 4.43 Потенциальная энергия частицы в центральном силовом поле задана как функция расстояния г от центра поля до А В некоторой точки: W (r) = ~ -------, где А = 6-10'6 Дж м2; г ' г В ~ 3 1 0'4 Дж м2. Определить, при каких значениях г по­ тенциальная энергия и сила, действующая на частицу, имеют экстремальное значение. Какую минимальную скорость надо сообщить частице массой 0 ,2 г, находящей­ ся в положении равновесия, чтобы она могла удалиться от центра поля на расстояние R - 1 0 см, или выйти за преде­ лы действия поля. Ответ. Потенциальная энергия и си­ ла имеют экстремальные (минимальные) значения при г равном 0,04 м и 0,06 м, соответственно. Для пе­ рехода частицы в точку, находящуюся на расстоянии г - R - 0,10 м минимальная скорость частицы должна составлять 3,7 м/с, а для перехода частицы на беско­ нечность - 6,2 м/с. 62 5. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА Краткие теоретические сведения Момент импульса материальной точки относительно центра вращения L = [г, wv], где niv — вектор импульса точки; г - радиус-вектор точки. Момент инерции материальной точки относительно оси вращения / = mR2, где т - масса точки; R - расстояние точки до оси. Момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции материальных точек, составляющих это тело, I = £ т , Х ? . 1=1 Моменты инерции некоторых однородных тел вращения от­ носительно их геометрических осей вращения: • тонкостенный цилиндр I = mR2; r mR2 • СПЛОШНОЙ ЦИЛИНДР 1 — ; г 2 m R ' • шар 1 = — -— . Момент инерции однородного тонкого стержня длиной / относительно оси, проходящей через середину стержня перпен­ дикулярно его длине, 63 J _ m ~ ~ u ~ ' Теорема Штейнера. Момент инерции I тела относительно любой оси вращения и момент инерции / 0 тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, связаны соотношением / = / 0 + m d2, где т — масса тела; d - расстояние между осями. Вектор момента импульса твердого тела относительно центра вращения равен произведению момента инерции тела на вектор его угловой скорости: L = /со. Момент импульса системы тел есть векторная сумма момен­ тов импульсов всех тел системы: Закон сохранения момента импульса относительно точки О: если результирующий момент внешних сил, приложенных к системе, равен нулю ( М = 0 ), то вектор момента импульса сис­ темы есть величина постоянная, т.е. L = c o n s t. Проекция на ось Z момента импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси Z: L z = / 2со, где о - угловая скорость тела. Закон сохранения момента импульса системы тел, вращаю­ щихся вокруг неподвижной оси Z: У , /_/о, = const, i где I zi- момент инерции г-го тела системы относительно оси вращения Z; 64 со,- - угловая скорость вращения /-го тела системы вокруг не­ подвижной оси Z. Примеры решения задач Задача 1. Платформа в виде сплошного диска радиусом R = 1,5 м и массой mi = 180 кг вращается вокруг вертикальной оси с частотой п = 10 мин-1. В центре платформы стоит человек массой т2 = 60 кг. Какую линейную скорость v относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы? Человека рассматривать как материальную точку. Решение. Согласно условию задачи, момент внешних сил относительно оси вращения Z, совпадающей с геометрической осью платформы, можно считать равным нулю. При этом условии проекция Lz момента импульса системы платформа - человек остается постоянной: L z = I , га = const, (5.1) где I, - момент инерции платформы с человеком: относительно o chZ; со - угловая скорость платформы. Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы. Поэтому в начальном состоя­ нии L = / , + 12, а в конечном состоянии С учетом этого равенство (5.1) примет вид Дано: R= 1,5 м; mi = 180 кг; « = 1 0 мин“'= 1 /6 с-1; щ = 60 кг Найти: v 65 (Л + / 2)<о = ( / ; + / ' К , (5.2) где значения моментов инерции 1\ и /> платформы и человека соответственно относятся к начальному состоянию системы, и Г2 - к конечному. Момент инерции платформы относительно оси Z при перехо­ де человека не изменяется: Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материальную точку, его момент инерции h в начальном состоянии можно считать равным нулю. В конечном состоянии момент инерции человека: Г, m 2R ' Подставим в формулу (5.2) выражения моментов инерции, начальной угловой скорости вращения платформы с человеком (ад = 2%п) и конечной угловой скорости ( со' = ^ , где v - ско­ рость человека относительно пола) ( I m}R 2 + 0 2 тш = Откуда 2nnRmx (тх + 1т2) ’ v = ■ 2 -3,14— 1,5 • 180 ____6_______ 180 + 2-60 = 1 ,0 м /с . Ответ, v = 1,0 м/с. Зад ача 2. Деревянный стержень массой М - 6,0 кг и длиной / = 2 ,0 может свободно вращаться в вертикальной плоскости, относительно оси проходящей через точку О, и перпендикуляр- 66 ной плоскости рис. 5.1. В нижний конец неподвижного стержня попадает пуля массой т = 0 ,0 1 кг, летевшая со скоростью vo= 10" м/с, и застревает в нем. Скорость пули направлена пер­ пендикулярно стрежню и оси. Определить угловую скорость стержня в момент удара. Моментом инерции пули пренебречь Дано: М~ 6,0 кг; /= 2,0 м; ш = 0,01 кг; Vo~ 10 3 м/с Найти: а> Решение. Для решения зада­ чи применим закон сохране­ ния момента импульса. Свя­ жем систему отсчета с Землей, ось ОХ направим по оси вращения: через точку О перпендикулярно плоскости рис., 5.1. Момент импульса пули относительно оси вращения до удара L n = n iV 0l. Момент импульса стрежня равен нулю, так как до попадания пули он неподвижен. После удара момент импульса стержня L q.j 1(0, 1 2 где 1 = ~ Ш - момент инерции стержня относительно оси j вращения, проходящей через точку О (определяется по теореме Штейнера); ю - угловая скорость стержня после удара. 67 По закону сохранения момента импульса полный момент им­ пульса системы до попадания пули в стержень и после ее опада­ ния должен сохраняться, поэтому m v j ~ Л». Отсюда найдем угловую скорость стержня ю mv0l 3mv0 3 • 0 ,0 1 • 1 0 3 _ . , <й = — — = ------ = ------ --------- = 2,5 рад/с. I M l 6,0-2,0 Ответ, са = 2,5 рад/с. З а д а ч и 4 балла 5.1 Тело вращается с угловой скоростью со = 2 рад/с. Момент инерции тела / = 24 кг-м2. Чему равен момент импульса? Ответ. L - 48 (кг-м2)/с. 5.2 Материальная точка массы т = 1,0 кг движется по окруж­ ности радиуса R - 0.5 м со скоростью v = 2,0 м/с. Чему равен момент импульса материальной точки? Ответ, L = 1,0 (кг м2)/с. 5.3 Две материальные точки массами пц = 1 кг и пь - 2 кг движутся по окружностям радиусами R] = 1 м и R2 ~ 2 м со скоростями Vi = 2 м/с и v2 = 4 м/с. Чему равен полный момент импульса точек? Ответ. L = 18 (кг-м2)/с, 5.4 Чему равенг момент инерции однородного стержня отно­ сительно оси, проходящей через его середину? 5.f5 Момент инерции тела относительно оси, проходящей че­ рез центр масс, равен 25 кг-м". Ось вращения параллельна оси, проходящей через центр масс, и расположена на рас­ стоянии 1 м от нее. Чему равен момент инерции тела от­ носительно оси вращения, если масса тела т = 10 кг. От­ вет. / = 3 5 кг м2. 68 5.6 Система состоит из материальной точки, которая движет­ ся по окружности радиуса R^ = 2 u со скоростью V; = 5 м/с. Если система остается замкнутой, а радиус движения точки под действием поля центральных сил станет R2 = 1 м, с какой скоростью будет двигаться точка? Ответ, vj = 10 м/с. 5.7 Материальная точка движется относительно центра вра­ щения О со скоростью v = 2 м/с. Чему равен момент им­ пульса точки, если расстояние |г| между точкой и цен­ тром вращения равно 5 м, угол между радиус-вектором г и скоростью v равен 30°, а масса точки 3 кг? Ответ. L - 15 (к гм 2)/с. 5.8 Чему равен момент инерции материальной точки массой т ~ 5 кг относительно оси вращения, находящейся на рас­ стоянии 2 м от нее? Ответ. / = 2 0 кг-м2. 5.9 Момент импульса материальной точки 200 (кг-м2)/с, угло­ вая скорость ее вращения со = 4 рад/с. Чему равен момент инерции точки относительно оси вращения? Ответ. / = 5 0 кг-м\ 5.10 Определить момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр, если радиус диска R = 5 м, а его масса т - 2 кг? Ответ. / = 25 кг*м2. 5-6 баллов 5.11 Материальная точка массой т = 200 г движется по ок­ ружности. Момент инерции материальной точки относи­ тельно оси, проходящей через центр окружнос ти перпен­ дикулярно к плоскости, в которой движется точка /= 4,05-10'“ кг-м", момент импульса относительно той же оси L - 0,324 кг-м2/е. Найти радиус окружности, линей­ ную и угловую скорости точки. Ответ, г — 0,45 м; v = = 3,6 м/с; со = 8,0 рад/с. 69 5.12 Материальная точка массой т = 120 г движется по ок­ ружности со скоростью v = 1,82 м/с. Момент импульса материальной точки относительно оси, проходящей через центр окружности перпендикулярно к плоскости, в кото­ рой движется точка, равен L = 3,058-10'2 кг м2/с. Найти радиус окружности, угловую скорость движения точки, момент инерции точки относительно той же оси. Ответ, г = 0,140 iw; to = 13,0 рад/с; I - 2,350-Ю"3 кг*м2. 5.13 Деревянный стержень массой А /= 6 кг и длиной 1 м мо­ жет вращаться в вертикальной плоскости относительно оси, проходящей через точку О (см. рис. 5.1). В нижний конец стержня попадает пуля массой т = 0 ,0 1 кг, летев­ шая со скоростью vo~ 1.0-103 м/с, и застревает в нем. Ско­ рость пули направлена перпендикулярно стрежню и оси. Определить кинетическую энергию стержня после удара. Моментом инерции пули пренебречь. Ответ. WK = 25,0 Дж. 7-8 баллов 5.14 Вывести формулу для момента инерции тонкого кольца радиусом Я и массой т относительно оси симметрии. От­ вет. I — m R1. 5.15 Получить формулу для моментов инерции тонкого стержня массой т и длиной / относительно осей: 1 ) оси, проходящей через центр масс перпендикулярно его дли­ не; 2) оси, проходящей через край стержня. Ответ. 1)/ = — ml1,!) I = . 12 3 5.16 На краю платформы в виде диска, вращающейся по инер­ ции вокруг вертикальной оси с частотой щ = 8 мин-1, сто­ ит человек массой т\ - 70 кг. Когда человек перешел в центр платформы, она стала вращаться с частотой п2~ 10 мин"1. Определить массу т2 платформы. Момент 70 инерции человека рассчитывать, как для материальной точки. Ответ. тг - 560 кг. 5.17 Горизонтальная платформа массой т\ — 150 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр плат­ формы, с частотой п - 8 мин-1. Человек массой т2 — 70 кг стоит при этом на краю платформы. С какой угловой ско­ ростью со начнет вращаться платформа, если человек пе­ рейдет от края платформы к ее центру? Считать платфор­ му круглым однородным диском, а человека - материальной точкой. Ответ. 1*62 рад/с. 5.18 Платформа в виде диска диаметром D = 3,0m и массой т\ = 180 кг может вращаться вокруг вертикальной оси. С какой угловой скоростью coj будет врахцаться платформа, если по ее краю пройдет человек массой т2 - 70 кг со скоростью v= 1,8 м/с относительно платформы? Ответ. а>1 = 0,525 рад/с. 9-10 баллов 5.19 Получить формулу для момента инерции сплошного шара радиусом Г< и массой т относительно оси, проходящей 2 2 через центр шара. Ответ. / = — mR . 5 5.20 На скамье Жуковского сидит человек и держит на вытя­ нутых руках гири массой т = 5 кг каждая. Расстояние от каждой гири до оси скамьи / =: 70 см. Скамья вращается с частотой щ = 1 с-1. Какой станет частота вращения скамьи и какую работу' А произведет человек, если он сожмет руки так, что расстояние от каждой гири до оси умень­ шится до 12 - 20 см? Суммарный момент инерции челове­ ка и скамьи Жуковского относительно оси I - 2,5 кг-м2. Ответ. и2= 2,55 с-1; А = 226,7 Дж. 71 5.21 На скамье Жуковского сидит человек и держит в руках стержень вертикально и параллельно оси скамьи. Скамья с человеком вращается с угловой скоростью © 1 =: 4,0 рад/с. С какой угловой скоростью со2 будет вра­ щаться скамья с человеком, если повернуть стержень так, чтобы он занял горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамьи I = 5,0 кг-м2. Длина стержня I ~ 1,8 м; масса т = 6,0 кг. Считать, что центр м:асс стержня с человеком находится на оси платформы. Ответ. (о2 =:: 3,0 рад/с. 5.22 На краю неподвижной скамьи Жуковского диаметром D = 0,8 м и массой т, = 6,0 кг стоит человек массой т-, = = 60 кг. С какой угловой скоростью со начнет вращаться скамья, если человек поймает летящий на него мяч мас­ сой т = 0,5 кг? Траектория мяча горизонтальна и прохо­ дит на расстоянии г ~ 0,4 м от оси скамьи. Скорость мяча v = 5,0 м/с. Ответ, со = 9,8’10'2 рад/с. 6 , ДИНАМИКА ВРАЩ АТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ Краткие теоретические сведения Кинетическая! энергия тела, вращающегося вокруг не­ подвижной оси Z: 2 WK - —/до" или Wv — 2 2 к (2 / , ) ' При повороте тела относительно оси Z на угол r/ф совершает­ ся элементарная работа 8Л = M 2dcp. Момент силы F относительно центра вращения M = [ r , F ] , 72 где F - радиус-вектор, проведенный из центра вращения в точ­ ку приложения силы. Основное уравнение динамики вращательного движении твердого тела относительно оси вращения X ' / : V dt V где М . - результирующий момент всех внешних сил, прило- } женных к телу; ё - вектор углового ускорения; I , - момент инерции относительно оси вращения Z; ^ М zj - результирующий момент внешних сил, действую- / щих на тело, относительно оси Z. Примеры решения задач Задача 1. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу т = 80 г, перекинута тонкая гибкая нить, к концам кото­ рой подвешены грузы с массами пц := 100 г и т2 = 200 г. Опреде­ лить ускорение, с которым будут двигаться грузы, если их пре­ доставить самим себе. Трением и массой нити пренебречь. Решение. Силы, действующие на каждый груз и на блок, изображе­ ны на рис. 6.1. Направим ось OY вертикально вниз и напишем для каждого груза уравнение движе­ ния (второй закон Ньютона) в проекциях на эту ось. Для первого груза m , g ~ J l = - m , o ; Г, - jn ^ g + m .a ; (6.1) для второго груза т г§> ~ Ti = т 2а i Т2 ~ т 2S ~ Щ а . (6 .2 ) Дано: т = 80 г = 0,08 кг; М) = 10 0 г = 0 ,1 кг; т2 = 2 0 0 г = 0 ,2 кг; g = 9,8 м/с2 Найти: а Под действием моментов сил Г/ и Т2 относительно оси Z, перпендикулярной плоскости чертежа и направленной за чер­ теж, блок приобретает угловое ускорение s. Согласно основному уравнению динамики вращатель­ ного движения, имеем T [ r -T [ r = 1 л , (6.3) Я г 1 2где е = —: I , = —тг г ‘ 2 инерции блока оси Z. Согласно третьему закону Ньютона, с учетом невесомости нити, имеем Т[ —■ —Тх; Т2 -■ —Т2 . Воспользовавшись этим, под­ ставим в уравнение (6.3) вместо 7]' и Т'г выражения для Т\ и Т2 из (6 .1 ) и (6 .2 ): момент относительно Рис. 6.1 {m2g - m 2a ) r - (mxg + m iа) > m r 2a 2 г Откуда а т 2 — тх гпх + т 2 + т/~ (6.4) После подстановки числовых значений в формулу (6.4) получим (0 ,2 -ОД) а 0,2 -ь ОД + ° ’° / 2 •9,8 = 2,9 м /с2. Ответ, а — 2,9 м /с2. Задача 2. Сплошной цилиндр массой 0,5 кг и радиусом 0,02 м вращается под действием тормозящего момента М отно­ сительно оси, совпадающей с осью цилиндра, по закону 74 (р = 12,0 + 8,Ог — 0,5/2 (рад). Определ ить тормозящий момент М и величину силы, создающей момент М. Дано. т = 0,5 к г; г = 0,02 м; <р = 12,0 + 8 ,0/1 - 0,5?2 рад Найти: F; М Следовательно, Решение. Угловое ускорение определяется как вторая произ­ водная от угла поворота по вре­ мени: где со й?2ф ~ dF _ й'ф dt или £ = da> dt угловая скорость. со = 8 .0 - i . Тогда е = - 1 рад/с2. Момент силы относительно оси вращения М ~ [?, F или М = Fr sin а . Сила действует касательно к поверхности, поэтому sin а = 1. Тогда М = Fr , откуда F - —- . г Тормозящий момент можно определить из основного уравне­ ния динамики вращательного движен ия М — / е , где/- момент инерции цилиндра относительно оси вращения. В данном случае ось вращения совпадает с осью цилиндра, поэтому / 1 -тг Тогда 1 М — —т г ’е ; 2 75 М = ~ 0,5 • (0,02) 2 • ( -1 ) = -1 ,0 • 10 ' 4 Н • м . Знак минус у момента М означает, что он оказывает тормо­ зящее действие. Модуль силы F, действующей на цилиндр: \М\ F = -— -; г F = — = 5,0 • 10~3 Н . 0,2:0 Ответ. F = 5,0 10“ 3 Н ; М = -1,0 Ю"4 Н • м . Задача 3. Диск массой 2,0 кг, радиусом 10 см вращается с частотой 600 мин вокруг горизонтальной оси, проходящей че­ рез его центр. Через 20 с под действием постоянного тормозя­ щего момента диск остановился. Считая массу диска равномер­ но распределенной, найти тормозящий момент и число оборотов, которое сделает диск до полной остановки. Дано: т = 2 ,0 кг; R - 10 см = 0,01 м; At ~ 20 с; п - 600 мин' 10 с" Решение. Для определения тор­ мозящего момента М сил, дей­ ствующих на тело, нужно при­ менить основное уравнение динамики вращательного дви­ жения. Запишем его в виде Найти: М N (6 .5 ) где I - момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс; До) — изменение угловой скорости за промежуток времени At. По условию задачи /ко = —со0, 76 где со0 - начальная угловая скорость, так как конечная угловая скорость оз = 0 . Выразим начальную угловую скорость через частоту враще­ ния диска. Тогда со0 = 2ттп и Дю = - 2 кп . Момент инерции диска относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через; его центр масс: 1 = m R 2 2 где т - масса диска; R - его радиус. Тогда формула (6.5) примет вид - nnm R 2 М = —— -------- , (6 .6) At м = гА1!:10:2:0’01..=: -з,н • ю "4 н ■ м. 20 Знак минус в (6 .6) указывает на то, что на диск действует тормозящая сила. Угол поворота за время вращения диска до остановки может быть определен как л е Д /2ф = о>0ДГ----— , (6.7) где е - угловое ускорение. По условию задачи, со = ю0 - г A t ; (0 = 0 ; г At = со0 . Тогда из (6.7) следует, что _____ л, a>0At _ a 0At ф о)0Д? ^ Так как ф = 2 izN ; со0 = 2 п п , то число полных оборотов 77 N J ± ™ = m . 2 Ответ. M — —3,1 -10 4 H • м ; N = 100. З а д а ч и 4 балла 6.1 На тело действует сила F = 10 Н. Найти момент М силы F, если угол между направлением силы и радиус-вектором г , направленным от центра вращения к центру тяжести тела, равен 30°? Модуль |г| = 5 м . Ответ. М - 25 Н-м. 6.2 Тело вращается под действием момента сил М = 3 0 Н м . Если момент инерции тела 7=15 кг-м2, с каким угловым ускорением движется тело? Ответ, s = 2 рад/с2. 6.3 Сила F = 3 Н действует на диск по касательной к ободу диска. Радиус диска R = 2 м. Чему равен момент силы F! Куда он направлен? Ответ. М ~ 6 Н-м. 6.4 Тело, имеющее момент инерции 1 - 5 кг-м2 относительно оси, вращается вокруг нее с угловой скоростью 01 = 10 рад/с. Найти кинетическую энергию тела. Ответ. WK = 250 Дж. 6.5 Какую работу нужно совершить, чтобы повернуть тело относительно оси на угол —, деиствуя постоянным мо­ ментом сил М - 20,0 Н-м. Моменты сил, противодейст­ вующих повороту, не учитывать. Ответ. А ~ 31,4 Дж. 6 .6 На тело действует два противоположно направленных момента сил, равных по модулю М\ = 10 Н-м, М2 = 20 Н-м. 78 С каким угловым ускорением будет вращаться тело, если его момент инерции равен / = 1 0 кг-м2? Ответ, s = = 1 рад/с2. 6.7 Тело вращается с угловой скоростью со = 5 + 41 (рад/с). Момент инерции тела / = 20 кг-м'. Найти приложенный к этому телу момент сил. Отпет. М -= 80 Н-м. 6.8 Через блок массой т = 10 кг и радиусом R = 0,5 м переки­ нута нить, силы натяжения которой с обеих сторон блока равны 7’| = 2 Н , 7’2 = 3 Н. С каким угловым ускорением вращается блок? Блок считать сплошным диском. Ответ. е = 0,4 рад/с2. 6.9 Колесо радиуса R - 1 м и массой т = 2 кг катится без про­ скальзывания со скоростью 10 м/с. Определить кинетиче­ скую энергию колеса? Ответ. WK - - 150 Дж. ')m v 6.10 Может ли кинетическая энергия быть больше, чем ——- ? Почему? Ответ. Может. 5-6 баллов 6.11 Блок, имеющий форму диска массой т = 0,4 кг, вращается под действием силы натяжения нити, к концам которой подвешены грузы массами т\ = 0,3 кг и т2 = 0,7 кг. Опре­ делить силы натяжения Т\ и Т2 нити по обе стороны бло­ ка. Трением и проскальзыванием нити по блоку пренеб­ речь. Ответ. Г, = 3,9 Н; Т2 = 4,6 Н. 6.12 Нить с привязанными к ее концам грузами массами m | = 50,0 г и пг2 ~ 60,0 г перекинута через блок диаметром D = 4,0 см. Определить момент инерции / блока, если под действием силы тяжести грузов он получил угловое уско­ рение е = 1,5 рад/с2. Трением и проскальзыванием нити по блоку пренебречь. Ответ. / = 12,6-10'4 кг-м2. 79 6.13 Сплошной диск массой 0,2 кг вращается вокруг оси, про­ ходящей через его центр масс под действием момента сил М - 0,8-1 (Г2 Н-м. Закон вращения имеет вид (р = 5,0 -1,0/ + 2,0/ 2 (рад). Определить радиус диска. От­ вет. R - 0,14 м. 6.14 Колесо, вращаясь равнозамедленно при торможении, уменьшило за 1 мин частоту вращения с 300 до 180 об/мин. Момент инерции колеса 1 - 2 кг-м2. Найти. 1 ) угловое ускорение колеса; 2 ) тормозящий момент; 3) работу сил торможения; 4) число оборотов, сделанных колесом за данную 1 минуту. Ответ, е = -0,21 рад/с2; М = 0,42 Н-м; А = 631 Дж; N = 240. 6.15 Вентилятор вращается со скоростью, соответствующей частоте 900 об/мин. После выключения вентилятор, вра­ щаясь равнозамедленно, сделал до остановки 75 об. Рабо­ та сил торможения А - 44,4 Дж. Найти: 1) момент инер­ ции вентилятора; 2) момент сил торможения. Ответ. / = 0,01 кг-м2; АГ= 9,4 10"2Н м. 6.16 Маховое колесо, имеющее момент инерции /= 245 кг-м2, равномерно вращается, делая 20 об/с. После того, как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно ос­ тановилось, сделав 1000 об. Найти: I) момент сил трения; 2) время, прошедшее от момента прекращения действия вращающегося момента до остановки колеса. Ответ. Мтр= 308 Н-м; t = 100 с. 6.17 Маховое колесо начинает вращаться с постоянным угло­ вым ускорением s = 0,5 рад/с2 и через t\= 15 с после нача­ ла движения приобретает момент импульса L = 73,5 кг-м2/с. Найти кинетическую энергию колеса че­ рез ti — 20 с после начала вращения. Ответ. WK— 490 Дж. 6.18 Маховик вращается с постоянной скоростью, соответст­ вующей частоте п - 1 0 об/с; его кинетическая энергия W* = 7,85 Дж. За какое время вращающий момент 80 М ~ 50 Н м, приложенный к этому маховику, увеличит угловую скорость маховика в два раза? Ответ, t — 5 мс. 6.19 Человек катит обруч без проскальзывания по горизон­ тальной поверхности со скоростью v = 2,0 м/с. По инер­ ции обруч может вкатиться на горку с углом наклона 30° к горизонту. На какое расстояние S вкатится обруч? От­ вет. S = 0,8 м. 6.20 На какую высоту вкатывается по наклонной плоскости обруч, если у основания линейная скорость точек на об­ руче 5 м/с. Ответ. А = 2,5 м. 6.21 Шар и сплошной цилиндр одинаковой массы, изготов­ ленные из одного и того же материала, катятся без сколь­ жения с одинаковой скоростью. Определить, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра. Ответ. В 1,07 раза. 6.22 Полная кинетическая энергия WK диска, катящегося без проскальзывания по горизонтальной поверхности, равна 24 Дж. Определить кинетическую энергию Щ поступа­ тельного и Wi вращательного движения диска. Ответ. W, = 16 Дж, Wi = 8 Дж. 6.23 К ободу однородного сплошного диска массой т= 10 ,0 кг, насаженного на ось, приложена постоянная касательная сила F = 30,0 Н. Определить кинетическую энергию диска через время t — 4 с после начала действия силы. Ответ. WK- 1,4 кДж. 6.24 Вентилятор вращается с частотой п = 600 об/мин. После выключения он начал вращаться равнозамедлеино и, сде­ лав N = 50 оборотов, остановился. Работа сил торможения А - 31,4 Дж. Определить: 1) момент М сил торможения; 2) момент инерции I вентилятора. Ответ. М = 0,1 Н-м; 1= 16,0 кг-м2. 6.25 К ободу однородного сплошного диска радиусом R = 0,5 м приложена постоянная касательная сила F = 100 Н. При вращении диска на него действует момент 81 сил трения Mw = 2 Н м. Определить массу т диска, если известно, что его угловое ускорение е постоянно и равно 16 рад/с2. Ответ, т — 24 кг. 6.26 Маховик в виде сплошного диска, момент инерции кото­ рого / = 1,5 кг-м2, врадцаясь при торможении равнозамед­ ленно, за время t = 1 мин уменьшил частоту своего вра­ щения с щ = 240,0 об/мин до щ - 120,0 об/мин. Опреде­ лить: угловое ускорение 8 маховика; момент М силы тор­ можения; работу сил торможения А. Ответ, е = =: 0,21 рад/с ; М = 0,32 Н-м; А = 355,0 Дж. 7-8 баллов 6.27 По ободу шкива, надетого на общую ось с маховым коле­ сом, намот ана нить, к концу которой подвешен груз масс- сой т = 1,0 кг (рис. 6.2). На какое расстояние должен опуститься груз, чтобы коле­ со со шкизом получило ско­ рость, соответствующую частоте 60 об/мин? Момент инерции колеса со шкивом 0,42 кг-м2, радиус шкива 10,0 см. Считать радиус махового колеса равным ра­ диусу шкива. Ответ, h - 0,87 м. 6.28 К ободу диска массой т = 5,0 кг, закрепленного на гори­ зонтальной оси, приложена постоянная касательная сила F - 19,6 Н. Какую кинетическую энергию будет иметь диск через At = 5 с после начала действия силы? Ответ. WK = 1,9 кДж. 6.29 На какой угол надо отклонить однородный стержень, подвешенный на горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня, чтобы нижний конец стержня при прохождении им положения равновесия имел ско­ 82 рость 5 м/с? Длина стержня 1м. Ответ. cosa = 0,15; a = 81°20'. 6.30 Диск массой т = 300 г и радиусом г = 10,0 см вращается относительно оси, проходящей через его центр масс, та­ ким образом, что изменение угла поворота происходит по закону ф = 5,0 - t1 + 6,0^ (рад). Найти, какую работу со­ вершает над телом момент внешних сил за промежуток времени от tx = 1 с до t2 = 1,4 с. Ответ. А = 0,6 Дж. 6.31 Сплошной цилиндр массой т = 400 г и радиусом г = = 5,0 см вращается относительно оси, проходящей через его центр масс, таким образом, что изменение угла по­ ворота происходит по закону о = -4 ,Or + 15,0/ + + 10,0 (рад). Найти какую работу совершает над телом момент внешних сил за промежуток времени от t\ — 1 , 2 с до t2 = 1,3 с. Ответ. А = -2,0-10‘3 Дж. 6.32 Некоторое тело катится без скольжения со скоростью v = = 2,5 м/с по горизонтальной плоскости. По инерции оно вкатывается на горку с углом наклона a = 1 0 ° к горизонту и проходит расстояние S= 2,57 м. Определить вид тела (шар, обруч, диск или сплошной цилиндр). Ответ. Ш ар. 6.33 Колесо радиусом R = 30 см и массой т = 3,0 кг скатывает­ ся без проскальзывания по наклонной плоскости длиной / = 5 , 0 м и углом наклона a = 25°. Определить момент инерции колеса, если его скорость v у основания плоско­ сти составила 4,6 м/с. Ответ. / = 0,26 кг м2. 6.34 Какую скорость должен иметь центр масс шара, катяще­ гося без скольжения, чтобы подняться по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 30°, на высо­ ту 2 м, если сила сопротивления равна 0 ,2 силы тяжести, действующей на шар? Ответ, v - 6,26 м/с. 6.35 На однородный сплошной цилиндрический вал (рис. 6.3) радиусом R = 50 см намотана легкая нить, к концу кото­ рой прикреплен груз массой т — 6,40 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ускорением а = 2,00 м/с2. Определить: 83 момент инерции 1 вала; массу вала. Ответ. / = 6,24 кг*м2; т = 50,0 кг. 6.36 На однородный сплошной ци­ линдрический вал радиусом R = 5 см и массой М = 10,0 кг намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой w = 1,0 кг (рис. 6.3). Опреде­ лить: 1) зависимость S(t), со­ гласно которой движется груз; 2) силу натяжения нити Т; 3) за­ висимость ф(/), согласно кото­ рой вращается вал; 4) угловую скорость (о вала через / = 1 с после начала движения; 5) тангенциальное (аг) и нормальное (а„) ускорения точек, находящихся на поверхности вала. Ответ. S = 0 ,8 2 /2 м; Т ~ 8,2 II; ф = 1 6 ,3 /2 рад; <а = 32,6 рад/с; = 1,64 м/с2, а„ = 53,1 м/с2. 9-10 баллов 6.37 На горизонтальном столе расположен цилиндр массой т, на который намотана нить. К свободному концу нити, пе­ реброшенному через легкий блок (см. рис. 6 .2 ) , подвешен груз такой же массы т. Найти ускорение груза и силу трения между цилиндром и столом. Цилиндр считать сплошным телом, которое катится без скольжения. От­ вет. а = (8/11) g; F= (1/11) mg. 6.38 Стержень массой т = 75,0 кг и длиной / = 18,0 см враща­ ется относительно оси, проходящей через его центр масс, таким образом, что изменение угла поворота происходит по закону ф = 2,5 + 6 ,0/3 - 2,0/ (рад). Найти, какую работу Г L г Ш ш Рис ь . 6 . 3 84 совершает над телом момент внешних сил за промежуток времени от t \~ \ ,2 с до (г = 1,4 с. Ответ. А = 54,2 Дж. 6.39 Однородный стержень длиной 85 см подвешен на гори­ зонтальной оси, проходящей через верхний конец стерж­ ня. Какую наименьшую скорость надо сообщить нижнему концу стержня, чтобы он сделал полный оборот вокруг оси? Ответ, v = 7,1 м/с. 6.40 Сплошной однородный диск скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей уг ол а с горизон­ том. Определить линейное ускорение а центра диска. От- 2 . вет. а ~ j> sm а . 6.41 На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 2 0 см, момент инерции которого I ~ 0,15 кг-м2, намо­ тана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m - 0,50 кг. До начала вращения барабана высота h груза над полом составляла 2,3 м. Определить: 1) время опус­ кания груза да пола; 2 ) силу натяжения нити; 3) кинетиче­ скую энергию груза в момент удара о под. О твет, t = 2 с; Г = 4,32 Н; WK= 1,35 Дж. 6.42 Маятник Максвелла пред­ ставляет собой массивный диск радиусом R и массой m, жестко надетый на ось радиу­ сом г. Ось подвешивается на двух нитях, намотанных на нее (рис. 6.4). В свободном состоянии маятник совершает возвратно-поступательное движение в вертикальной плоскости при одновременном вращении диска вокруг оси. Определить: 1) ускорение поступательного движения маятника; 2) силу натяжения нити. Силы сопротивления и момент инерции оси маятника не учитывать. Ответ, 85 А _____. T z = m R l 8 1 + R V ’ 2 Я2 + 2 ,2 / ( 2 г 2) 6.43 Однородный шар радиусом г = 20 см скатывается без скольжения с вершины сферы радиусом R = 50 см. Опре­ делить угловую скорость со шара после отрыва от поверх­ ности сферы. Сопротивление воздуха не учитывать. От- Ю g(R + r ) \7 г2 вет. со = J — ------ -г-----= 10 р а д /с . 7. ГИДРОДИНАМИКА Краткие теоретические сведения Уравнение неразрывности несжимаемой струи Sv = c o n s t, где S - площадь поперечного сечения трубки тока; v - средняя скорость жидкости по сечению S . Уравнение Бернулли для стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости pv2 + pgh + р - const, где v - скорость жидкости; pv2------- динамическое давление жидкости; 2 h - высота, на которой расположено сечение трубки тока; pgh - гидростатическое давление; р - статическое давление жидкости. Сила внутреннего трения между слоями текущей жидкости определяется законом Ньютона для вязкости 86 где rj - динамическая вязкость жидкости; Ду ------ градиент скорости; Ах S - площадь соприкасающихся слоев. Кинематическая вязкость жидкости Число Рейнольдса для потока жидкости в трубе т> dRe = pv — , Л где р - плотность жидкости; v - средняя по сечению трубы скорость жидкости; d - характерный поперечный размер трубы (радиус или диа­ метр). Формула Стокса, определяющая силу внутреннего трения, действующую на медленно движущийся в вязкой среде шарик F - 6щ п>, где г - радиус шарика; v - скорость шарика. Формула Пуазейля для определения объема жидкости, про­ текающей за время t через капиллярную трубку длиной I: _ nR 'Apt где R - радиус трубки; Ар - разность давления на концах: трубки. Лобовое сопротивление где Сх - безразмерный коэффициент сопротивления; р - плотность среды; v - скорость движения тела; S - площадь наибольшего поперечног о сечения тела. Примеры решения задач Задача 1. В горизонтальной трубе переменного сечения течет вода. В трубу впаяны две вертикальные манометрические труб­ ки одинакового сечения (рис.7.1). Разность уровней в маномет­ рических трубках Ah = 8,0 см. Сечения трубы у основания ма­ нометрических трубок Si = 6,0 см2 и S2 ~ 12,0 см2. Пренебрегая вязкостью воды, определить ее массу, протекающую через сече­ ние трубы за единицу времени. Плотность воды р = 1,0 г/см3. Дано: Ah = 8,0 см = 0,080 м; S x = 6,0 1 0 '4 см2 = = 6,0-1 O'4 м2; S2 = 12,0 см2= 12,0-Ю Лг; р = 1 ,0 г/см3 = 10 0 0 кг/м3 Найти: Q Решение. Масса воды, протекающей через сечение за единицу времени, т.е. массовый расход, определяется по выражению „ т pv2S 2At _ 0 = 7 Г = - ^ 7 “ - = Р ^ 2 , (7 .1 ) At At где р - плотность воды; v2 - скорость течения воды в месте сечения S2. Так как воду можно считать несжимаемой, выполняется ус­ ловие неразрывности с груи v , S , = v 2S2. (7.2) 88 Применим уравнение Бернулли для двух горизонтальных се­ чений трубы: pvf pv 2 л + т - = л + - г . где р\ и pi - статические давления в сечениях манометрических трубок; V! и v2 - скорости течения воды в местах сечений .S’, и &. Разность статических давлений Pi ~ P i = PSAh ■ (7-3) Из (7.2), (7.3) получим ( 7 -4 ) Подставим (7.4) в (7.1) и найдем искомый массовый расход воды (2gA / i № i - s , Подставляя данные задачи в (7.5), получим: 0 = 1 ООО-6,0-10 ' 4 • 12,0-10"4 ' 2• 10-8,0-10 (б,0 • 10“4 f - (l 2.0 -10"4 )2 = 0,87 кг/с Ответ. Q = 0,87 кг/с. Задача 2. В бочку льется вода. За единицу времени вливается объем воды равный V, . Чему равен диаметр отверстия d в дне бочки, чтобы вода в ней держалась на постоянном уровне hi 89 Дано: V,\ к g Н айти: d Решение. Вода в бочке 63/дет держаться на постоянном уров­ не, если за равные промежутки времени количества втекающей и вытекающей воды равны. Объем воды, вытекающий в единицу времени из бочки, оп­ ределяется следующим образом: V V, =- t Объем вытекающей воды V= IS. Тогда V = ~ = vS , ( 7 .6 ) (7.7) где S -- %d' площадь поперечного сечения отверстия; V — скорость истечения воды из отверстия; / - длина столбика воды, вытекающей из отверстия за время /(рис. 7.2). Тогда скорость вытекания воды из отверстия определяется из (7.6Н7.7): 4V. v = (7.8) па Уравнение Бернулли с учетом постоянства уровня воды в бочке на высоте h будет иметь вид p v ‘ = Pgh ■ Из (7.9) получим = J l g h . (7.9) (7.Ю) 90 Из (7.8) и (7.10) следует, что диаметр отверстия должен определяться по формуле d = 4К Ответ, d = I— ~ = . ' i n f i g h 4V, Задача 3. Стальной шарик падает с постоянной скоростью в сосуде с глицерином. Считая, что при числе Рейнольдса Re < 0,5 справедлива формула Стокса, определить пре­ дельный диаметр шарика. Плотность стали р5 = 9,00 г/см3, плотность гли­ церина р2 = 1,26 г/см3, динамическая вязкость глицерина г) = 1,48 Па-с. Дано: Re < 0,5; pi = 9,0 г/см3 = = 9,0-103 кг/м3; Р2 = 1,26 г/см3= = 1,26-103кг/м3; т]= 1,48 Па-с; g=9,8 м/с2 Найти: cL Решение. При установив­ шемся движении шарика в жидкости (v = const) сила тя­ жести mg шарика (рис. 7.3) уравновешивается суммой вы­ талкивающей силы ( F a ) и силы внутреннего трения (F), тогда mg = F ^ + F или P i S v = р 2 ^ + 6 7 i p n ' , ( 7 . 1 1 ) где V = —пг~ 4 объем шарика С учетом выражения для объема шарика V из (7.11) получим выражение для скорости v 91 v ,= - ( р | ~ Р ‘ ) g r 2 р 2 W 2 9г) 18г| Значение числа Рейнольдса для шарика можно рассчитать как Re = ^ . Л Предельный диаметр шарика i/max будет определяться макси­ мальным значением числа Remax = 0,5. Поэтому d = з 18ti R e”“ax P2V V ( P l ~ P 2 W В результате получим 18 -1.482 - 0,5 1A_3 rf,ra = з 7-----------m ---------------------=5,9-10 м . m,ix \ (9,0 -1 ,26) • 103 ■ 1,26 • 103 • 9,8 Ответ, (/„ax = 5,9-10'3 м. З а д а ч и 4 балла 7.1 Сечение трубы Si = 0,2 м2. Средняя скорость течения жидкости через сечение S\ равна vj = 10,0 м/с. Если сече­ ние трубы уменьшить в два раза, чему будет равна сред­ няя скорость течения жидкости через него? Ответ. v2 = := 2 0 ,0 м/с. 7.2 Чему равно давление на дне водоема глубиной 50 м? От­ вет. р = 600 кПа. 7.3 Скорость течения струи воды v = 10 м/с. Чему равно ди­ намическое давление воды? Ответ, р - 50 кПа. 92 7.4 Под каким статическим давлением должна находиться вода в трубе, чтобы ее поднять на высоту 10 м? Ответ. р = 1,0-105 Па. 7.5 Чему равен градиент скорости между слоями текущей жидкости, если на расстоянии между слоями Ах = 0,1 м скорость жидкости изменяется от Vi = 0 ,2 м/с до v2 = Av = 0,8 м/с? Ответ. Av 6 ,0 с 1. 7.6 Число Рейнольдса для текущей по круглой трубе жидко­ сти Re = 1000. Чему равна динамическая вязкость жидко­ сти, если ее плотность р = 800,0 кг/м3, средняя скорость течения = 10,0 м/с, диаметр трубы d - 0,1 м? Ответ, ц = 0,8 Пас . 7.7 Определить силу внутреннего трения между двумя со­ прикасающимися слоями жидкости площадью S = 0,01 м2. Динамическая вязкость жидкости Г| = 1,2 Па-с, градиент скорости | Ду / Ах 1 = 5,0 с' 1 .Ответ. F - 6,0-10'2 Н. 7.8 Если капля воды массой 0,01 г падает с установившейся скоростью в воздухе, чему равна сила сопротивления движению капли? Ответ. F = 1,0*10"4 Н. 7.9 Ручеек течет в лесу с холма. Перепад высот холма состав­ ляет 10,0 м. Средняя скорость воды ручейка на верху холма 1,0 м/с. Какова скорость ручейка у подножия хол­ ма? Ответ. v2 = 14,2 м/с. 7.10 Площадь соприкосновения слоев текущей жидкости S = = 1 0 ,0 см2, коэффициент динамической вязкости жидко­ сти г) = 1,0-10~3 Па-с, а возникающая сила трения между слоями F = 0,1 мН. Определить градиент скорости. От- Av , вет. ---- = - 1 0 0 с , Ах 93 5-6 баллов 7.11 По трубе радиусом г - 1,5 см течет углекислый газ (р = 7,5 кг/м3). Определить скорость его течения, если за время t - 2.0 мин через поперечное сечение трубы проте­ кает масса газа т - 950 г. Ответ, v = 0,15 м/с. 7.12 В емкость заливается вода со скоростью 200 см3/с. На дне емкости имеется отверстие площадью поперечного сече­ ния 0,80 см2. Пренебрегая вязкостью воды, определить уровень воды в емкости. Ответ, h = 0,31 м. 7.13 В сосуд заливается вода со скоростью 0,50 л/с. Пренебре­ гая вязкостью воды, определить диаметр отверстия в дне сосуда, при котором вода поддерживалась бы в нем на постоянном уровне h = 0,20 м. Ответ, d - 1,8*ДО'3 м. 7.14 Пренебрегая вязкостью жидкости, определить скорость истечения жидкости из малого отверстия в стенке сосуда, если высота h уровня жидкости над отверстием составля­ ет 1,5 м. Ответ, v = 5,4 м/с. 7.15 В боковой поверхности цилиндрического сосуда, стояще­ го на горизонтальной поверхности, имеется отверстие, поперечное сечение которого значительно меньше попе­ речного сечения самого сосуда. Отверстие расположено на расстоянии h\ = 49,0 см от уровня воды в сосуде, кото­ рый поддерживается постоянным, и на расстоянии h2 = - 25 см от дна сосуда. Пренебрегая вязкостью воды, оп­ ределить расстояние по горизонтали от отверстия до мес­ та, куда попадет струя воды. Ответ, S = 0,70 м. 7.16 Широкий сосуд с небольшим отверстием в дне наполнен ВОДОЙ ПЛОТНОСТЬЮ р! = 1,0'10" кг/м3 и керосином плотно­ стью рг = 0,8-10? Kr/M J. Пренебрегая вязкостью, найти скорость вытекающей воды, если толщина слоя воды кл - ~ 30 см, а слоя керосина h2 = 20 см. Ответ. v = y}2 g(hl +й2р2/р,) = 3м/с. 94 7.17 Шарик всплывает с постоянной скоростью в жидкости, плотность которой в три раза больше плотности материа­ ла шарика. Определить отношение силы трения, дейст­ вующей на всплывающий шарик, к силе тяжести. Ответ. m g 7.18 Изогнутую трубку опус­ тили в поток воды, как показано на рис. 7.4. Скорость потока отно­ сительно трубки v = = 2,5 м/с. Закрытый верхний конец трубки имеет небольшое отвер­ стие и находится на вы­ соте ho = 12,0 см. На ка­ кую высоту h будет подниматься струя во­ ды, вытекающая из от­ верстия? Ответ, h = v 2 / 2 g - hQ = 0,2 м. .......... л в а и ___________ Рис. 7.4 7-8 баллов 7.19 Бак цилиндрической фор­ мы с площадью основания 1 0 ,0 м2 и объемом 10 0 ,0 м3 заполнен водой. Пренеб­ регая вязкостью воды, оп­ ределить время, необхо­ димое для полного опорожнения бака, если на дне бака образовалось круглое отверстие площадью 8,0 см2. Ответ. / = 1,8 - 104 с. 95 7.20 Сосуд в виде п о л у с ф е р ы радиусом R = 10,0 см до краев наполнен зодой (рис. 7.5). На дне сосуда имеется отвер­ стие с площадью поперечного сечения S - 4,0 мм2. Оп­ ределить время, за которое через отверстие выльется столько воды, чтобы ее уровень в сосуде понизился на 5,0 см. Ответ, t — 600 с. 7.21 По горизонтальной трубе переменного сечения (рис. 7.6) течет вода. Площади поперечных сечений трубы на раз­ ных ее участках равны 5, = 10 ,0 см2 и Л;: = ~ 20,0 см2. Разность уровней Ah воды в вертикальных трубках одинакового сечения составляет 2 0 ,0 см. Определить объем во­ ды, проходящей за 1 с через сечение трубы. Ответ. V ~ 2,3-10'3 м \ 7.22 Для измерения ускорения горизонтально движущегося тела используется U-образный манометр. С каким уско­ рением движется тело, если разность уровней жидкости в трубках манометра h — 5,1 см, а расстояние между осями трубок Ъ = 20,0 см? Ответ, а = 2,5 м/с2. 7.23 По суживающемуся трубопроводу (рис. 7.7) протекает вода в количе­ стве Q ~ 27,0 м3/ч. Определить давление в точке 0 2, если в точке Oi давление р\ = 2,50 -105 Па. Диа­ метры трубопровода d\ - 80,0 мм, dz = 40,0 мм, длина а = 10,0 м, угол наклона оси трубопровода к гори­ зонту а =30°. Трением пренеб­ речь. Ответ, т? = 1,84 105 Па. 96 7.24 По трубопрово­ ду, размеры ко­ торого указаны на рис. 7,8, про­ текает вода при температуре t - 20 °С в коли­ честве <2= 133,0 м3/ч. Давление в трубопроводе перед су­ жением pi = 2,00-105 Па. Определите давление и режим течения воды в трубопроводе после сужения. Кинемати­ ческая вязкость воды v = 1,05-10"6 м2/'с при t - 20°С. От­ вет. р = 1,97-105 Па, режим турбулентный, так как Re = 317-103. 7.25 На столе стоит широкий цилиндрический сосуд высотой 50 см, который наполнен водой. Пренебрегая вязкостью, найти, на какой высоте от дна сосуда следует сделать не­ большое отверстие, чтобы струя из него била по поверх­ ности стола на максимальное расстояние /макс от сосуда. Чему равно lXSKCl Ответ, h - 0,25 м; /макс = 0.50 м. 7.26 Какой наибольшей скорости может достичь капля воды радиусом г, свободно падающая в воздухе? Динамическая 2 p g r2 вязкость воздуха Г|. Ответ, v = ----------- . 9 т) 7.27 Смесь свинцовых дробинок (плотность рс = 11,3 г/см3) диаметром 4 мм и 2 мм одновременно опускают в широ­ кий сосуд глубиной h = 1,5 м с глицерином (плотность р = 1,26 г/см3, динамическая вязкость г| = 1,48 Па-с). Опре­ делить, на сколько больше времени потребуется дробин­ кам меньшего размера, чтобы достичь дна сосуда. Ответ. На At = 73 с. 7.28 При движении шарика радиусом гх — 1,2 мм в глицерине (плотность pi = 1,26-103 кг/м1) ламинарное течение жид­ кости наблюдается при скорости шарика, не превышаю­ щей vj = 23 см/с. При какой минимальной скорости v2 ша­ 97 рика радиуса г2 - 5,5 см в воде (плотность р2 = 10 кг/м3) обтекание станет турбулентным? Вязкости глицерина и воды г|1 = 1,39 Па с, П2 = 1-1 мПа-с. Ответ. v2 - = (Vt/'l р 1Л12)/(^2р2Т11> = 5,0 10-6 м/с. 7.29 Свинцовый шарик плотностью р = 11,3-103 кг/м3 равно­ мерно опускается в глицерине плотностью р0 = 1,26 х х 103 кг/м ’, вязкость которого равна т| = 1,48 Па-с. При каком наибольшем диаметре шарика его обтекание еще остается ламинарным? Известно, что переход к турбу­ лентному обтеканию соответствует числу Рейнольдса Re = 0,5. За характерный размер шарика принять его диа­ метр. Ответ, d = f Ч \< 18 Res V¥ ~ с о к о ? % з = 5 ,0 1 0 3 м. 7.30 В широком сосуде, наполненном глицерином (плотность р = 1,26 г/см3, динамическая вязкость ц = 1,48 Па-с), пада­ ет свинцовый шарик: (плотность р =11,3 г/см3). Считая, что при числе Рейнольдса Re < 0,5 выполняется формула Стокса (при вычислении Re в качестве характерного раз­ мера берется диаметр шарика), определить предельный диаметр шарика. Ответ, d = 5,4-103 м. 7.31 Стальной шарик (плотность р = 9 г/см3) диаметром d - ~ 0 ,8 см падает с постоянной скоростью в касторовом масле (плотность р0 = 0,96 г/см3, динамическая вязкость Т| = 0,99 Па-с). Учитывая, что критическое значение числа Рейнольдса ReKp= 0,5, определить характер движения масла, обусловленный падением в нем шарика. Ответ. Re = 2,2 > ReKp , движение турбулентное. 7.32 Пробковый шарик (плотность р = 0,20 г/см3) диаметром d ~ 6 ,0 мм всплывает в сосуде, наполненном касторовым маслом (плотность р = 0,96 г/см3) с постоянной скоростью v = 1,50 см/с. Определить для касторового масла: 1) дина­ мическую вязкость г); 2 ) кинематическую вязкость v. Ответ, г) ~ 0,99 Па-с; v = 1,0-10'3м2/с. 98 7.33 Парашют массой 32 кг в раскрытом состоянии имеет форму полусферы диаметром 12,0 м. Если масса парашю­ тиста 65 кг, какова будет максимальная скорость его дви­ жения на парашюте? Коэффициент лобового сопротивле­ ния Сх = 1,3; плотность воздуха 1,29 кг/м3. Ответ. vmax = = 3,2 м/с. 7.34 Автомобиль с наибольшей площадью сечения в направ­ лении, перпендикулярном скорости S = 2,2 м2 (миделево сечение), коэффициентом лобового сопротивления Сх = = 0,4 и максимальной мощностью Р = 45,0 кВт может на горизонтальных участках дороги развивать скорость до 140 км/ч. При реконструкции автомобиля уменьшают ми­ делево сечение до S- = 2 м2, оставляя Сх прежним. При­ нимая силу сцепления колес автомобиля с поверхностью дороги постоянной, определить, какую максимальную мощность должен иметь автомобиль, чтобы он развил на горизонтальных участках дороги скорость до 160 км/ч. Плотность воздуха принять равной 1,29 кг/м3. Ответ. Р — 58,5 кВт. 7.35 Расход нефти по трубопроводу 0 = 1 6 0 м3/ч. Диаметр трубопровода d ~ 70 мм, кинематическая вязкость v = 2,5-10'4 м2/с. Установить режим течения, а также вы­ числить, при каком максимальном расходе нефти режим течения будет еще ламинарным (критическое число Re = 2300). Ответ. Qmax =114 м3/ч. 9-10 баллов 7.36 Открытый сосуд, имеющий неизмен­ ную по высоте пло­ щадь сечения, стоит на горизонтальной площадке (рис. 7.9). Вода вытекает из не- 99 го через отверстие в боковой стенке, расположенное на высоте, равной половине высоты сосуда. Как изменяется дальнобойность вытекающей струи за время истечения, если высота уровня воды h, площадь сечения сосуда - S, а площадь поперечного сечения отверстия £5? В начальный момент времени сосуд был наполнен до краев. Ответ. S = h - ^ J g h t . Л 7.37 Какую рабо­ ту необходи­ мо совер­ шить, чтобы, действуя по­ стоянной си­ лой на поршень (рис. 7.10), выдавить из горизонтально расположенного цилиндра всю воду за время ft Объем воды в цилиндре равен Vo, площадь сечения отверстия - S, причем S значительно меньше площади поршня, плот­ ность воды р. Трение поршня о стенки и вязкость воды 3 / 2 2пренебрежимо малы. Ответ. А = pV 0 j 2 S t . 7.38 Горизонтально расположенная трубка АВ дли­ ны 1 вращается с постоянной уг­ ловой скоростью со вокруг непод­ вижной верти­ кальной оси О, проходящей через конец А (рис. 7.11). В трубке находится идеальная жидкость. Конец А трубки открыт, а в закрытом конце В имеется очень малое отвер­ стие. Найти, с какой скоростью относительно трубки бу- С^О h о Рис. 7.11 100 дет вытекать жидкость в зависимости от длины ее столба h. Ответ, v = (оИл /-------1 . V h к 21 8. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Краткие теоретические сведения Смещение дг, скорость v и ускорение а при гармоническом колебании определяются уравнениями х = ,4sm (го/ + ф 0), v = х = &А cos (со* + ф0), a = v ~ x = - u r ^ s in (a /1 + ф0 ) = - ш 2х , где А - амплитуда колебания; со - циклическая частота; фс - начальная фаза. Циклическая частота ©, период колебаний Т и частота п связаны соотношениями 2п со = — = 2пп . Т При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода получается гармоническое ко­ лебание того же периода, амплитуда которого А и начальная фа­ за ф0 определяются уравнениями А ~ у Д 2 + А \ + 2АХ Аг со$(ф2 - ф,) , A. sin®, + А, sirxp, tgq>3 = —----- —------------— , А , cos9 , + Аг соэф, где А | и Л2 - амплитуды слагаемых колебаний; Ф, и <р2 - их начальные фазы. 101 Условие гармоничности колебаний: результирующая сила F, действующая на тело при свободном гармоническом колеба­ нии (квазиупругаа сила), всегда пропорциональна смещению х и направлена в сторону, противоположную смещению: F - т а = -m(ss\x = - к х , где к = т<Х)1 - коэффициент квазиупругой силы, численно рав­ ный силе, вызывающей смещение х равное единице. При отсутствии сопротивления среды циклическая частота (О0 свободных гармонических колебаний (собственная частота) и период колебаний Т0 определяются соотношениями Период колебаний математического маятника длиной / Я . i s Период колебаний физического маятника Т0 = 2 п Т0 =2п_ у mgd ’ где I — момент инерции маятника относительно оси качания; d - расстояние от оси до его центра тяжести. Полная энергия материальной точки, совершающей гармо­ нические колебания, постоянна т<л2й А 2 2 Уравнение для смещения х затухающих колебаний при наличии силы сопротивления jFconp, пропорциональной скоро­ сти ( F zmp = — r v , где г - коэффициент сопротивления), имеет вид х = А 0е sm( ®t + ф0), где А ()е ^ - убывающая по времени амплитуда смещения; 102 (3 - коэффициент затухания; со - циклическая частота затухающих колебаний; А о, фй~ начальные амплитуда и фаза (определяется из на­ чальных условий). Значения (3, со выражаются через параметры значения вели­ чин г, т , к формулами где А\ и А2- амплитуды двух последовательны?; колебаний. Амплитуда вынужденных колебаний где /о - отношение амплитуды вынуждающей силы к массе тела; ©о - собственная циклическая частота; со - циклическая частота вынуждающей силы. Резонансная циклическая частота при вынужденных колеба- Логарифмический декремент затухания колебаний X = !п А = /о ниях Юрез • Примеры решения задач Задача 1. Частица массой т ~ 0,01 кг совершает гармониче­ ские колебания с периодом То = 2 с. Полная энергия колеблю- 103 щейся частицы W = 0,1 мДж. Определить амплитуду А колеба­ ний и наибольшее значение силы F , действующей на части- цу. Дано: т = 0,01 кг; 7Ь = 2 с; W - 0,1 мДж Н айти: А ; Fmax Решение. Для определения амплитуды колебаний вос­ пользуемся выражением пол­ ной энергии частицы W m o l А 2, где (о 0 2л Отсюда амплитуда Л - * * - . 2п 2 W т (8 .1) Так как частица совершает гармонические колебания, то си­ ла. действующая на нее, является квазиупругой и, следователь­ но, может быть выражена соотношением F = -к х , где к - коэффициент квазиупругой силы; х - смещение колеблющейся точки. Максимальная сила будет при максимальном смещении max ’ равном амплитуде: ^р-х = Ы ■ Коэффициент к выразим через период колебаний , 4 п 2т к - то)0 = — j - . ■*0 Подставив выражения (8.1) и (8.3) в (8.2), получим л/~2 mW (8.2) (8.3) F = 2л-х m ax Т*■ п 104 А = F, — M i .л/2 • 10' 2 • 10 ~4 = 4,4 -10"3 Н. Ответ. А = 4,5-10 J м; Fmax = 4,4 мН.. Задача 2. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень. Определить длину стержня, если частота его колебаний максимальна, когда точка подвеса находится от центра масс на расстоянии х. где т - масса маятника; / - момент инерции маятника относительно оси, проходя­ щей через точку подвеса. Согласно теореме Штейнера, момент инерции стержня отно­ сительно оси, проходящей через точку подвеса: Дано: х (О = СО max при X Решение. Частота колебаний физического маятника опреде­ ляется формулой Найти: I — + тх . 12 (8.4) Тогда частота колебаний маятника с учетом (8.4) будет (8.5) Найдем максимум функции (8.5) (8.6) Из (8.6) находим 105 / 2 = 12х2 = 0. Тогда длина маятника / = 2л/3х. Ответ. / = 2 \f$x . Задача 3. Тело совершает затухающие колебания частотой 50 Гц. Логарифмический декремент затухания X - 0,01. Опреде­ лить время, за которое амплитуда колебаний тела уменьшится в 20 раз, а также число полных колебаний тела. Дано: п = 50 Гц; Х = 0,01 Найти: !; N Решение. Амплитуда зату­ хающих колебаний тела А - А 0е~* , (8.7) где Ао - амплитуда колебаний тела в начальный момент вре­ мени t - 0; {3 - коэффициент затухания. Логарифмический декримент затухания X = рГ= р /и, где и - частота колебаний; Г - период колебаний. Тогда выражение (8.7) можно записать в виде Ао Из (8.8) найдем время 1 . ( А А = Айе~Хм . (8.8) t ~ — In Хп _0 V / 6 с . Число полных колебаний д/= to = 300. Ответ. / = 6 е; N = 300. 106 З а д а ч и 4 балла 8.1 Смещение х точки, совершающей гармонические колеба- ( i t Ания, определяется уравнением х = 5 sin Ant +■ — (м). Оп- V 2 ) ределить амплитуду, циклическую частоту и начальную 71 фазу колебаний. Ответ. А ~ 5 м; со = 4я; <р0 = — . TL 8.2 Амплитуда колебаний материальной точки А = 0,2 м, циклическая частота со = 3,0 рад/с2. Чему равна макси­ мальная скорость колебаний материальной точки? Ответ. vmax = 0,6 м/с. 8.3 Смещение колеблющейся точки по синусоидальному за­ кону * = 0,1 м, циклическая частота ю = 2,0 рад/с2. Найти ускорение материальной точки. Ответ, а = -0 ,4 м/с2. 8.4 Тело за 10 с совершает 20 полных колебаний. Найти час­ тоту и период колебаний. Ответ, п = 2 Гц; Т= 0,5 с. 8.5 В некоторый момент времени смещение тела от положе­ ния равновесия составляло х = 0,02 м. Циклическая часто­ та синусоидальных колебаний ю = 2 рад/с. Если масса те­ ла m = 0,2 кг, какова величина возвращающей силы, действующей на тело в данный момент времени? Ответ. F = -1 ,6 10'2H. 8.6 Если длина математического маятника / = 0,1 м, чему ра­ вен период колебаний такого маятника. Ответ. Т= 0,6 с. 8.7 Расстояние от оси вращения до центра тяжести физиче­ ского маятника d = 0,4 м. Момент инерции маятника 7= 100 кг-м2, масса маятника m = 1,0 кг. Чему равен пери­ од колебаний маятника? Ответ. Т = 31,4 с. 8.8 Полная энергия колебаний маятника W= 10 Дж. Если ве­ личина максимальной возвращающей силы F , ^ = 2 Н, ка­ 107 кова величина амплитуды колебаний тела? Ответ. А = 10 м. 8.9 Амплитуда колебаний за время t - 5 с уменьшилась в е раз. Чему равен коэффициент затухания (3? Ответ, р = 0,2 с- '. 8.10 Чему равен логарифмический декремент затухания X, ес­ ли коэффициент затухания р == 0,1 сЛ а период колебаний Г = 4 с? Ответ. X = 0,4. 5-6 баллов 8.11 Точка совершает гармонические колебания, уравнение которых х = A sin оз/, где А - 5 см, © = 2 рад/с. Найти момент времени t, когда точка обладала потенциальной энергией Wn = 0,1 мДж и на нее действовала возвращаю­ щая сила F - 5 мН. Ответ, t = 2,7 с. 8.12 Груз подвешен на пружине. Если увеличить массу груза на 0,6 кг, период его колебаний увеличится в два раза. Опре­ делить первоначальную массу груза. Ответ. ш0= ОД кг. 8.13 Два математических маятника, длины которых отличают­ ся на Ы = 16 см, совершают за одно и то же время первый 10 колебаний, второй - 6 колебаний. Определить длины маятников. Ответ. Л = 0,09 м; 12- 0,25 м. 8.14 Период колебаний груза массой т, подвешенного на пру­ жине жесткостью к, равен Т\. Определить период колеба­ ний груза массой 2т, подвешенного на половине пружи­ ны. Ответ. Т2- Tj. 8.15 После смещения вниз на 2 см от положения равновесия груз, подвешенный на пружине, совершает свободные ко­ лебания с периодом 2 с. Определить период колебаний того же груза после начального смещения на 4 см. Ответ. 2 с. 108 8.16 Висящий на пружине груз совершает вертикальные коле­ бания с амплитудой 4 см. Определите полную энергию гармонических колебаний, если для упругого удлинения пружины на 1 см требуется сила 0,1 Н. Ответ. W = = 0,008 Дж. 8.17 Определить период Т колебаний математического маятни­ ка, если амплитуда его колебаний составляет А = 18 см и максимальная скорость vroax= 16 см/с. Ответ. Т=- 7,1 с. 8.18 Написать уравнение гармони­ ческого колебательного дви­ жения, если максимальное ус­ корение точки равно 49,30 см-'с2, период колебаний 2 с и смещение точки от по­ ложения равновесия в началь­ ный момент времени 25 мм. Ответ, х = 0,05sin(n;f + п / 6 ) м. 8.19 Шарик массой m - 60 г колеблется с периодом Т - 2 с. В начальный момент времени смещение шарика х 0 = 4,0 см и он обладает энергией W ~ 0,02 Дж. Записать уравнение гармонического колебания шарика и закон изменения возвращающей силы с течением времени. Ответ. х = 0,26sin(K(7 + 0,0422)) м; F = ~ 0,154sin(jt(/ + 0,0492)) Н. 8.20 Определить период малых продольных колебаний тела массы m в системе, по­ казанной на рис. 8.1, если жесткости пружинок равны к\ и кг. В положении равновесия можно считать, что пру­ жинки не деформированы. Ответ. T = 2 n j m / ( k l + к 2) . £ Г 1 ( 1 m Рис. 8.2 109 8.21 Най ти период малых вертикальных колебаний тела массы т в системе, показанной на рис. 8.2. Жесткости пружинок к\ и к2, а их массы пренебрежимо малы. Ответ. Т = 2 п ф п / к , где к = k ik 2/ ( k 1 + к 2). 7-8 баллов 8.22 Шарик массой m = 1 кг совершает гармонические колеба­ ния в горизонтальном направлении с амплитудой А на пружине жесткостью к - 16 Н/м (рис. 8.3). На расстоянии AI2 от положения рав­ новесия установили массивную стальную плиту, от которой ша­ рик абсолютно упруго отскакивает. Если временем соударений шарика о плиту и си­ лой трения о горизонтальную поверхность пренебречь, 7С чему равен период колебаний шарика? Ответ. Т ~ — с. 8.23 Определить частоту п простых гармонических колебаний диска радиусом - 20 см около горизонтальной оси, про­ ходящей через середину радиуса диска перпендикулярно его плоскости. Ответ, п = 0,92 с"1. 8.24 Шар подвешен за петельку на гвозде, вбитом в стену. Шар совершает малые колебания в вертикальной плоско­ сти. Если размерами петельки пренебречь, каков период колебаний шара? Радиус шара R - 7,0 ем. Трением пре­ небречь. Ответ. Т = 0,628 с. 8.25 Частица совершает гармонические колебания вдоль оси х около положения равновесия х = 0. Циклическая частота колебаний равна со. В некоторый момент времени коор- 110 дината частицы составляет х0, а ее скорость v.xU. Найти ко­ ординату л- и скорость у* частицы через время t после это- Ivq г ■ ( f (О Х,^то момента. Ответ. х = А ~ + х 2 sinj cot + arctg| V V 0* J ) V, = J —f - + x l cocos V CO r / \ ©■*nЫ + arctg V V v 0x J J 8.26 Найти циклическую частоту и амплитуду гармонических колебаний частицы, если на расстояниях х\ и х2 от поло­ жения равновесия ее скорость равна соответственно V] и v2. Ответ. ® = V R ^ ) / k - ^ 2) ; « = - v \) . 8.27 Точка участвует одновременно в двух колебаниях одного направления, которые происходят по законам л*1 = acos(u)i) и х2 = acos(2(ot). Найти максимальную ско­ рость точки. Ответ. vinax = 2,73«со. 8.28 Точка движется в плоскости X Y по закону х - Asin((at), у = = Boos(&t), где А, В, ю - постоянные. Найти: а) уравнение траектории точки у(х) и направление ее движения по этой траектории; б) модуль ускорения а точки в зависимости от модуля ее радиус-вектора г относительно начата коор­ динат. Ответ, х 1 JА г + у 2 / В 2 = 1 , по часовой стрелке; а = - & гг . 8.29 Тело массой m = 0,50 кг висит на резиновом шнуре с ко­ эффициентом упругости к - 50 Н/м. Найти максимальное расстояние, на которое можно оттянуть вниз тело, чтобы его колебания еще носили гармонический характер. Како­ ва при этом энергия колебания тела? Ответ. Aftmax = m g / k = 0,1 м , W = m ' g - j l k = 0,25Дж. 8.30 Физический маятник совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси О с частотой coj = 15,0 рад/с. Если в 111 положения равновесия к нему прикрепить под осью О на расстоянии / = 20 см от нее небольшое тело массой т ~ ~ 50 г, то частота колебаний со2 = 10,0 рад/с. Найти мо­ мент инерции первоначального маятника относительно оси О. Считать, что после прикрепления небольшого тела положение центра масс физического маятника не измени­ лось. Ответ. / = m l 2 ( й | — g f l )/(J ~ (£>1) = 0,8• 10"3 к г м ‘ . 8.31 Получить уравнение траектории, по которой движется материальная точка, участвующая в двух взаимно пер­ пендикулярных колебаниях, описываемых уравнениями х = 2cos(2,5nt + Зл/2) и у - 2cos(2,5^ + л). Ответ. О к­ ружность х 2 + у 2 =•• 4 . 8.32 Получить уравнение траектории, по которой движется материальная точка, участвующая в двух взаимно пер­ пендикулярных колебаниях, описываемых уравнениями х = cos(5tc/ - л/4) и у = 7cos(5%t + 3 л/4). Ответ. Прямая V = ~1х. 9-10 баллов 8.33 Математический маятник совершает колебания в среде, для которой логарифмический декремент затухания Хо - = 1,50. Каким будет значение X, если сопротивление сре­ ды увеличить в п — 2,00 раза? Во сколько раз следует уве­ личить сопротивление среды, чтобы колебания стали не­ возможны? Ответ. X = п Х 0/ д/ l + (l —// ' \ х о/2 п У = 3,3 ; п' - 1 + (2п /Х 0 )2 = 4,3 р аза . 8.34 К невесомой пружине подвесили груз, и она растянулась на Ах = 9,8 см. С каким периодом будет колебаться груз, если ему дать небольшой толчок в вертикальном направ- 112 лении? Логарифмический декремент затухания X = 3,1. Ответ. Т ■ ■г + Х2) ~ = 0,70 с. 8.35 g Частицу сместили из положения равновесия на расстоя­ ние I - 1,0 см и предоставили самой себе. Какой путь пройдет эта частица до полной остановки, если логариф­ мический декремент затухания X = 0,020? Ответ. S « / ( l + £ 'A/2) / ( l - e ~ >'/2) = 2 м . 8.36 8.37 8.38 Найти период малых поперечных колебаний шарика мас­ сой m ~ 40 г, укрепленного на середине натянутой струны длины / = 1,0 м. Силу натяжения струны считать постоян­ ной и равной F — 10 Н. Массой струны пренебречь. От­ вет. Т = п yJntl/F = 0,2 с - Определить период малых колебаний шарика, подвешен­ ного на нерастяжимой нити длиной / = 20 см, если он на­ ходится в жидкости, плотность которой в г) = 3,0 раза меньше плотности шарика. Сопротивление жидкости пренебрежимо мало. Ответ. Т = 2 % J r ] f J g ( 4 - l ) = l , l c . Шарик подвесили на нити длиной / к точке О стенки, составляющей не­ большой угол ос с вертикалью (рис. 8.4). Затем нить с шариком от­ клонили на небольшой угол Р > а и отпустили. Считая удар шарика о стенку абсолютно упругим, найти пе­ риод колебаний такого маятника. Ответ. Т = 2 j [ / g [ n / 2 + a r c s i n ( a / p ) ] . 8.39 Пуля массой т, летящая горизонтально со скоростью v, попадает в подвешенный на невесомой нити шар массой 113 М й застревает в нем. Определить период колебаний ша­ ра, если максимальный угол отклонения нити от вертика­ ли равен о.. Сопротивление воздуха не учитывать. Ответ. _ nm v (т + M ) g s i n \ ^ 9. ВОЛНЫ В УПРУГОЙ СРЕДЕ. ЗВУК Краткие теоретические сведения Скорость v распространения волны, длина волны X, часто­ та п, период Т связаны соотношением V = АП = — . Т Уравнение бегущей волны f S (x , t ) = A sin ®| f - - +Фо V V v / У S (x , t ) = ^ s in ( c o /-b r + 9 0) > где S(x,t) - смещение колеблющейся точки, находящейся на рас­ стоянии х от источника колебаний; со - циклическая частота; о0 - начальная фаза колебаний; А - амплитуда колебаний частиц среды; , 2п к = — - волновое число. % Разность фаз Дер колебаний двух точек среды, расстояние между которыми Ах = х2 - где -\'i, х2 - координаты двух точек среды. Скорость распространения звуковых волн в упругой среде. щ- продольных: v = i — : V Р - поперечных: v где Е - модуль Юнга; G - модуль сдвига; р - плотность среды. Скорость распространения звуковых волн в газах yR T V м ’ с ргде у = -------отношение молярных теплоемкостей газов при по- С, стоянном давлении и при постоянном объеме; R - универсальная газовая постоянная; Т - абсолютная температура; М - молярная масса газа. Частота основного тона струны _ 1 [ F П 2/ V pS ’ где I - длина струны; р - плотность вещества струны; S - площадь поперечного сечения струны; F - сила натяжения струны. Фазовая v и групповая и скорости, а также формула связи между ними ю t/co „ dv v — —; и - — ; и = v — А,— . к dk d'k 115 Уравнение стоячей волны 2тг S (x ,t) = 2 J c o s — х cos со? = 2A cos foe cos со?. Координаты пучностей и узлов при отражении от менее плотной среды д. Х * „ = ± ' т + - ^ , при отражении от более плотной среды х а = ± i u . я 7W + - Ь ; х = ± т ~ , 2 ) 2 у 2 где Л, - длина бегущей волны; /и = 0, 1, 2, . . . Примеры решения задач Задача 1. Плоская синусоидальная волна распространяется со скоростью v = 15 м/с вдоль прямой, совпадающей с положи­ тельным направлением оси л: в среде, не поглощающей энергию. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстоянии .xi = 5 м и л-; = 5,5 м от источника колебаний, колеблются с разностью фаз % Дер = —. Амплитуда волны А — 4 см. Определить: 1) длину вол­ ны; 2) уравнение волны; 3) смещение S\ первой точки в момент времени t = 3 с. 116 Дано: v= 15 м/с; х\ = 5 м; х2 = 5,5 м; А Я <Р= 5 ’ А = 4 см = 0,04 м; t — 3 с Найти: /; S{x,l)\ S\ Решение. Разность фаз коле­ баний двух точек среды 2п Дф = — А х , X где Дх = х 2 - Л', - расстояние между этими точками. Тогда 2 ж ( х 2 - х , ) Я. = - Циклическая 2nv Дф частота 2тг X ю = — , где 1 = —. Следовательно, о = T v X Уравнение плоской синусоидальной волны, распространяю­ щейся вдоль положительного направления оси х: Лх \ 2тг S (x , t ) = Л c o s со) t — =y 4 c o s — (vt — х ) . К v j X Чтобы найти смещение Sy, надо в это уравнение подставить значения t и*). Вычисляя, получим х = 2 ^ 5 - 5 И = 5 м ; п { S ( x , t ) = 0,04 - cos S x = 0,04 • cos 6nt ■ 2n 2n ^ -x m ; 5 ) 6 n - 3 - — 5 5 0,04m. Ответ. Я = 5 м; S { x , #) = 0,04 • cosj 6nt - — Л' v 5 м; 5*] = 0,04 м. Задача 2. Средняя молярная кинетическая энергия поступа­ тельного движения молекул азота 3400 Дж/моль. Найти ско­ рость распространения звука в азоте. 117 Дано: W = 3400 Дж/моль; у =1,4; М - 28 -10'3 кг/моль Найти: v Решение. Скорость распро­ странения звука в газе опреде­ ляется формулой „ М . (9.1) м где R — универсальная газовая постоянная; у = 1,4 - показатель адиабаты для азота; Т - абсолютная температура; М - молярная масса газа. Средняя молярная кинетическая энергия поступательного движения молекул азота W = ^ R T . (9.2) Тогда из (9.2) можно определить абсолютную температуру Т 2 W Т = ----- . (9.3) 3 R Подставляя (9.3) в (9.1), получим , = Ж = № i E = 337M/c. V 3 М v 3-28-10 Ответ, v = 337 м/с. Задача 3. При наложении двух когерентных бегущих волн с длиной волны 12 см возникает стоячая волна. Найти положение узлов и пучностей стоячей волны, если отражение происходит от менее плотной среды. 118 Дало: Я; т - О, 1,2... Решение. Если отражение бе­ гущих волн происходит от менее плотной среды, положе­ ние узлов и пучностей будет определяться выражениями Найти: Ху, хп ( х у = ±| т + (9.4) 2 (9.5) Подставляя в (9.4) и (9.5) значения для т и к , получим положе­ ния узлов ху= 3,9,15 см...; положения пучностей хп - 0,6,12 см... Ответ. Положения узлов ху= 0,03; 0,09; 0,15 м ...; положения пучностей х„= 0; 0,06; 0,12 м ... 9.1 С какой скоростью распространяется волна длиной X = 300 м и периодом Т = 1 0 с в среде? Ответ, v = 30 м/с. 9.2 Уравнение волны имеет вид S = 1 0 s in (4 ^ -0 ,2 x ) м. Чему равна амплитуда колебаний А, циклическая частота, волновое число? Ответ. А = 10 м; е> = 4n; R = 0,2 м-1. 9.3 Найти скорость распространения звука в воздухе при температуре 300 К. Молярная масса воздуха М - = 29 • 10”3 кг/моль, показатель адиабаты у = 1,4. Ответ, v = 357 м/с. З а д а ч и 4 балла 119 9.4 Длина волны А, = 5м, частота колебаний я = 2 Гц. Чему равна скорость распространения волны? Ответ. V— 10 м/с. 9.5 Струна натянута силой F = 10 Н. Плотность материала струны р = 4-103 кг/м3, площадь поперечного сечения струны S ~ 1,0-1СГ* м2, длина струны / = 1 м. Чему равна частота основного тона струны? Ответ, я = 2,5 Гц. 9.6 Найти разность фаз колебаний двух точек среды, находя­ щихся на расстоянии Ах = 0,2 м друг от друга. Длина вол­ ны X - 3 14 м. Ответ. Дф = 0,004 рад. 9.7 Найти смещение точки стоячей волны в момент времени t - 776, если амплитуда колебаний А - 0,1 м, расстояние от источника колебаний х = 2 м, волновое число к = 5тс. Ответ. S(x,i) = 0,1 м. 9.8 Записать уравнение волны, если амплитуда колебаний точки А = 0,05 м, период Т= 2 с, длина волны 6 м. Ответ. S = 0,05 со$(тг/ - я/3 х), 9.9 Чему равно волновое число к для волны с X = 2м? Ответ. к ~ п м '1. 9.10 Записать уравнение стоячей волны, если амплитуда коле­ баний А = 0,1 м, волновое число к = 0,004 м '\ период ко­ лебаний Т= 2 с. Ответ. S - 0,2cos(0,004x)cos(tc0- 5-6 баллов 9.11 Определить длину волны X, если значение волнового чис­ ла к = 0,02512 см -l. Ответ. X = 2,5 м. 9.12 Определить скорость v распространения волн в упругой среде, если разность фаз Дф колебаний двух точек, от­ стоящих друг от друга на Лх = 15 см, равна я/2. Частота колебаний п = 25 Гц. Ответ, v --15 м/с. 120 9.13 Найти разность фаз колебаний двух точек среды, находя­ щихся на расстоянии 10 м и 16 м от источника колебаний. Период колебаний 0,004 с, скорость распространения волны 300 м/с. Ответ. А<р = Юл. 9.14 Найти смещение из положения равновесия точки среды, находящейся на расстоянии от источника Х/12 в момент времени t - T ! 6. Амплитуда колебаний А = 0,050 м. От­ вет. S - 0,025 м. 9.15 Определить скорость распространения волны в упругой среде, если разность фаз колебаний двух точек среды, от­ стоящих друг от друга на расстоянии 20 см, равна л/3. Частота колебаний 50 Гц. Ответ, v = 60 м/с. 9.16 Волны з упругой среде распространяются со скоростью 15 м/с. Чему равно смещение точки, находящейся на рас­ стоянии 3 м от источника колебаний, через 4 с от начала колебаний? Период колебаний 1 с, амплитуда колебаний 2 см. Ответ. S' = 0,61 см. 9.17 Скорость распространения звука в воздухе 340 м/с. Ухо человека имеет наибольшую чувствительность на длине волны 17 см. Чему равна частота этой волны? Ответ. п - 2 кГц. 9.18 Скорость звука в стержне из дюралюминия 5100 м/с. Оп­ ределить модуль Юнга, если плотность дюралюминия 2,7-103 кг/м3. Ответ. Е = 7-Ю10 Па. 9.19 Поперечная волна распространяется вдоль упругого шну­ ра со скоростью v = 10 м/с. Амплитуда колебаний точек шнура А = 5 см, период колебаний Т= 1 с. Записать урав­ нение волны и определить: 1) длину волны; 2) фазу коле­ баний, смещение, скорость и ускорение точки, располо­ женной на расстоянии х = 9 см от источника колебаний в момент времени t = 2,5 с. 121 Ответ, S (x , 0 = 0,05• cos^2« Я = W м; ср = 4,982тс; $ = -0,05 м; S = -0 ,02 м/с ; £ = -1 ,9 7 м/с2. 9.20 Уравнение незатухающих колебаний точек среды имеет вид х = 4 sin(600Ti/) с м . Найти смещение из положения равновесия на расстоянии 75 см от источника колебаний, через 0,01 с после начала колебаний. Скорость распро­ странения колебаний 300 м/с. Ответ. S - 0,04 м. 9.21 Найти отношение скоростей звука в водороде и углеки­ слом газе при одинаковой температуре. Ответ. 1 l= 4,8. 7-8 баллов 9.22 Волна распространяется вдоль прямой со скоростью 50 м/с. Период колебаний 0,05 с. Если расстояние между двумя точками колеблющейся среды 0,5 м, чему равна разность фаз колебаний этих точек? Ответ. Aq> = = 1,25 рад. 9.23 Поперечная волна распространяется вдоль упругого шну­ ра со скоростью 10 м/с. Период колебаний точек шнура 1 с, амплитуда 1,5 см. Определить длину волны, скорость и ускорение точки, отстоящей от источника колебаний на расстоянии 20,0 см, в момент времени 5 с. Ответ, v = 1,2-Ю'2 м/с; а = -8,7-10'2 м/с1; X = 0,10 м. 9.24 Найти показатель преломления звуковых волн на границе раздела «воздух-стекло», если модуль Юнга для стекла 6,900-Ю!0 Па, плотность стекла 2,600-103 кг/м3, темпера­ тура воздуха 20 °С. Ответ. я ср = 0,067. 9.25 Определить длину волны X. если расстояние А/ между первым и четвертым узлами стоячей волны 30 см. Ответ. X - 0,20 м. 122 9.26 Найти положение узлов и пучностей, начертить график стоячей волны, если известно, что расстояние между 2-й и 5-й пучностями 0,75 м, а отражение происходит в точке, расположенной на расстоянии 1,5 м от источника. Отра­ жение происходит от более плотной среды. Ответ. Коор­ динаты пучностей 0,125; 0,375; 0,625; 0,875; 1,125; 1,375 (м); координаты узлов 0; 0,25; 0,50; 0,75; 1,0; 1,25; 1,5 (м). 9.27 Скорость распространения звуковой волны в газе с мо­ лярной массой М = 2,9-10 2 кг/моль при температуре t = 20 °С составляет 343 м/с. Определить отношение мо­ лярных теплоемкостей газа при постоянном давлении и объеме. Ответ, у = 1,4. 9.28 Средняя квадратичная скорость молекул двухатом­ ного газа при некоторых условиях составляет 480 м/с. Определить скорость v распространения звука в газе при тех же условиях. Ответ, v = 328 м/с, 9-10 баллов 9.29 Для определения скорости звука в воздухе использовали трубу с поршнем и звуковой мембраной, закрывающей один из ее торцов. Найти скорость звука, если расстояние между соседними положениями поршня, при которых на­ блюдался резонанс на частоте v = 2,0 кГц, составляет / = 8,5 см. Ответ, v = 340 м/с. 9.30 Определить разность числовых значений фазовой и груп­ повой скоростей для частоты п ~ 800 Гц, если фазовая скорость задается выражением v = а0 / \]п + Ь , где Oq = 24 м/с, b = 100 Гц. Ответ, v = 2,46 м/с. 9.31 Два когерентных источника колеблются в одинаковых фазах с частотой п - 400 Гц. Скорость распространения колебаний в среде v = 1,0 км/с. Определить, при какой 123 наименьшей разности хода будут наблюдаться: 1) макси­ мальное усиление колебаний; 2) максимальное ослабле­ ние колебаний. Ответ. Ахх = 2,5 м; Ах2 - 1,25 м. 9.32 Два когерентных источника посылают поперечные волны в одинаковых фазах. Периоды колебаний Т =0,2 с, ско­ рость распространения волн в среде v = 800 м/с. Опреде­ лить, при какой разности хода в случае наложения волн будут наблюдаться: 1) ослабление колебаний; 2) усиле­ ние колебаний. Ответ. Ajcj = + 80(2m + 1 ) м , где (т = 0, 1 ,2 ,...) ; Ах 2 ~±160/п м, где (т = 0 ,1 , 2 ,...) . 124 И. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 10. М ОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ Краткие теоретические сведения Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов 1 _ 2 — p = -n m 0v ^ = - n E % = пкТ , где п - число молекул в единице объема газа (концентрация); тй - масса одной молекулы газа; р - давление газа на стенку сосуда; v - квадрат средней квадратичной скорости молекул; Е К - средняя кинетическая энергия поступательного движе­ ния одной молекулы газа; Т — абсолютная температура газа; к - постоянная Больцмана. Зависимость средней кинетической энергии поступательного и вращательного движения молекул от температуры гГ пост 'пост t . ' fJZ* „ ■" /с./ * 2 I ; Р 2 где 4юст > * вр число поступательных и вращательных степеней свободы молекул. Скорости молекул: \ЪкТ 13RT средняя квадратичная vKB = I------= | ------- , у m0 V М 125 средняя арифметическая наиболее вероятная [ Ш ~ Щ т \2кТ \2RT V т о V М где — универс&чьная газовая постоянная. Распределение молекул в поле сил тяжести (распределе­ ние Больцмана) N = N 0 e кг = N а е . Распределение молекул по скоростям (распределение Максвелла) dN ( т, 43/2 ^ Лт 2 пкТ 2 кТ 4% v'dv- dv vv« / где dN - число молекул из общего числа N, имеющих при тем­ пературе Т скорости в интервале (v,v + d v) . Распределение молекул по составляющим скоростей dN(vx,vy ,v . ) N / \ 3 / 2 nfefv;-hj+v; ) m o ~ 2кт d v d v d v , X у Z ? \ 2 v J c T j где dN{vх ,v у „ ) - число молекул из общего числа N. имею­ щих скорости с составляющими вдоль координатных осей vv, vn V., лежащих в интервалах ( vv, vT + dvx) , ( v y, v y + dvv), (vz , v_ + dvz). Функция распределения молекул идеального газа по от­ носительным скоростям V л 126 где и = ------ относительная скорость. г> в Функция распределения молекул идеального газа по энергиям теплового движения г т = ^ ( к т у гъ ^ кТ. л/ТС Число молекул, имеющих кинетическую энергию посту­ пательного движения, заключенную в интервале от е до s+ds dN = N f(s)dz. Барометрическая формула, выражающая убывание давле­ ния газов с высотой h над поверхностью Земли: т .ф Mgh р = р йе кТ = р йе RT . V Примеры решения задач Задача 1. В сосуде находятся 1,0-1 (Г7 молей кислорода и 1,0-10'ь г азота. Температура смеси 100 °С. При этом давление в сосуде 1,0-10'3 мм. рт. ст. Найти: 1) объем сосуда, 2) парциаль­ ные давления кислорода и азота, 3) число молекул в 1 см3 этого сосуда. 127 Дано: v0j = 1,0 • 10-7 моль; Р = 133-10'3 Па; = 1,0-10'9 кг; У= 1,0-10 6 м3; Т = 373 К Найти: V, Р 0i , Р щ , п Решение. 1. Объем сосуда опреде­ лим по уравнению Менделеева - Клапейрона, записанного для смеси газов (азота и кислорода): p V = (vQj + v Nj )RT . (10.1) Чтобы найти количество вещест­ ва азота v N2, определим молярную массу азота : кг М щ =2-14-10 =28-10 моль Тогда v N = тпх 10 -9 M N, 28-10 — * 3,57 • 10 моль . Подставив эти значения в (10.1) получим объем сосуда К + « ч ) Д Г _ (ю-7 +3,57-10-*) р 133-10-1 V = - 8,31 • 373 «3,0 1 0 ’ м \ 2. Парциальные давления для кислорода и азота соответст­ венно равны ■\-зVo.XT v o P 10"7 -133-10- ОС1П- з т-гр - — =----- ------- 1----- = — ----------------- г т » 9 8 -1 0 J Па, У (l0 + 3,57- 1(Г^ v N2r t * р 3,57-10-8 ■ 133• 10~3 „р = — 2------------------------------------------------------------------------= -----г--------- — ---- гт -^35 -10 - Па. У К + v N J (l О ” 7 + 3 , 5 7 - 1 0 - * } 3. Концентрацию молекул п найдем из основного уравнения молекулярно-кинетической теории р = пкТ, (10.2) где к - постоянная Больцмана. 128 Из (10.2) п будет 133-10 '3 = 2.6 ■ 1019 м '3. кТ 1,38 1(Г23 -373 Ответ. 3,0 10 3 м3; = 98 10 3 Па ; p Nj = 35 ■ 10 3 П а ; я = 2,6-1019 м”3. Задача 2. Каким должно быть давление воздуха на дне сква­ жины глубиной 8 км, если считать, что масса одного киломоля воздуха 29 кг, температура по всей высоте постоянна и равна 27 °С, а давление воздуха у поверхности Земли равно 1 атм. Дано: Решение. Определим потенциаль- m = 29 кг; ную энергию молекулы воздуха, Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории р = п к Т , следует, что давление газа при постоянной температуре прямо пропорционально концентрации его молекул. Распределение молекул в поле сил тяжести (распределение Больцмана) имеет вид находящегося на дне скважины, от­ носительно поверхности Земли Е. = ~m0g h , Найти: р где то — масса одной молекулы. m М m П1<> N N t vN~ m.gh N = iV0 е кТ = N 0 е кт (10.3) где А: - постоянная Больцмана. 129 С уметом (10.3), из (10.2) получаем, что давление газа на глу­ бине h определяется как niggh mgh 299,8-8-10* р = р о е ЬТ = f>Qq '-’RT' ] атм-е8,3 ^ = 1 а т м - е 0,9! «2,48атм* «ЗД М 05 Па 1 атм « 1,013 ■ 10’ Па. Ответ, р - 3,0-105 Па. Задача 3. Используя функцию распределения молекул иде- X/ ' ^ 2 -1Гального газа по относительным скоростям j(u) = —j=u е , л/ тс V где и ~ — , определить число молекул, скорости которых v Vb меньше 0,002vB, если в объеме газа содержится N — 1,67- 10"4 молекул. Дано: N ~ U v < 0,002 vB Найти: AN(ti) Решение. Число молекул dN(u), от­ носительные скорости которых за­ ключены в интервале от и и до и + du, можно определить, исполь­ зуя распределение Максвелла dN(u) = Nf(u)du = ~ N u2 е '"2 du , (10.4) V7C где N - число молекул в объеме газа. По условию задачи максимальная скорость молекул газа v max = 0 , 0 0 2 v8. Поэтому 130 V = - = P 2 . (10.5) Из (10.5) следует, что относительная скорость и « 1. Следо­ вательно, экспоненту е " можно разложить в ряд и пренебречь членом ?/ в этом разложении 1 . ( 10.6) С учетом (10.6) выражение (10.4) будет иметь вид d N ( u ) ^ - ^ N u 2du. (10.7) УЯ Проинтегрировав (10.7) по и от 0 до wmax, найдем искомое число молекул газа 4 иТ , ДА'" и3 ГМ2Ж = ' - a s . , Vtc q л/я 3 л / Щ ' З Ответ. Л/V = 1,0-1016 молекул газа. З а д а ч и 4 балла 10.1 Чему равна масса водорода в сосуде, если число его мо­ лекул 1,4-1022. Ответ, т = 4,7 -10'5 кг. 10.2 В сосуде объемом 480 см3 при температуре 20 °С и дав­ лении 250 кПа находится идеальный газ. Сколько моле­ кул газа находится в сосуде? Ответ. N = 3 1022. 10.3 При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул кислорода равна 500 м/с? Ответ. Т = 321 К, 131 10.4 Идеальный газ находится при температуре 300 К. Чему равно давление газа, если концентрация молекул п = = 1,0-1023 м'3? Ответ, р = 414 Па. 10.5 Найти среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул двухатомного идеального газа при температуре 500,0 К. Ответ. £ \( =1,7 ■ Ю'20 Дж. 10.6 Чему равна наиболее вероятная скорость молекул водо­ рода при температуре 900 К? Ответ. vh — 2735 м/с. 10.7 Во сколько раз отличаются концентрации молекул воз­ духа, находящихся при температуре 200 К на высотах, разность которых Ah = h - h§~ 1000 м? Ответ, п = = 0,84 раза. 10.8 Чему равно давление воздуха на высоте 500 м над по­ верхностью Земли? Температура воздуха Т - 300 К, дав­ ление на поверхности земли ро - МО5 Па. Молекуляр­ ную массу воздуха считать равной 28-103 кг/моль. Ответ, р = 94-103 Па. 10.9 Средняя квадратичная скорость движения молекул ки­ слорода 460 м/с. Чему равна средняя квадратичная ско­ рость молекул азота при той же температуре? Ответ. vKB = 492 м/с. 10.10 Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекул двухатомного газа при температуре 500 К. Ответ. Ё к = 7-10 '2! Дж. 5 -6 баллов 10.11 Найти число молекул водорода в единице объема сосуда при давлении 2 6 6 , 6 Па, если среднеквадратичная ско­ рость его молекул равна 2 , 4 км/с. Ответ, п = 4,2-1022 м ~3. 10.12 Какое число атомов и молекул содержится в 2 кг паро­ образного йода (12), степень диссоциации которого равна 132 0,5? Молярная масса молекулярного йода равна 254 r /моль. Ответ. N — 7,0-К)24. 10.13 Какое число молекул содержится в комнате объемом 80 м3 при температуре 17 °С и давлении 100 кПа? Чему равна их концентрация? Ответ. N = 2,0 1027; п = = 2,5-1025 м 3. 10.14 В баллоне объемом 3 л находится кислород массой 4 г. Определить массу молекулы кислорода, количество ве­ щества газа и концентрацию его молекул. Ответ, т = = 5,32010 м кг; v = 0,125 моль; п = 2,5101025м \ 10.15 Найти импульс молекулы водорода при температуре 20 °С, считая скорость молекулы равной ее среднеквад­ ратичной скорости. Ответ, р - 6,35-10 24 кгм/с. 10.16 Колба объемом 4 л содержит некоторый газ массой 0,6 г под давлением 200 кПа. Определить среднеквадратич­ ную скорость молекул газа. Ответ. v~KB = 2,0-103 м/с. 10.17 При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул кислорода больше их наиболее вероятной ско­ рости на 100 м/с? Ответ. Т - 381 К. 10.18 Плотность газа при давлении 0,2 МПа и температуре 7 °С 2,41 кг/м3. Какова молярная масса этого газа? Вы­ числить также концентрацию молекул газа и массу од­ ной его молекулы. Ответ. М = 28-10'3 кг/моль; п = 5,171025 м~3; т 0= 4,6510"26 кг. 10.19 В сосуде объемом 2,24 л находится кислород при нор­ мальных условиях. Определить количество вещества, массу газа и концентрацию его молекул в сосуде. От­ вет. v = 0,10 моль; m - ЗДО’Ю'3 кг; и = 2,69 -1025 м“3. 10.20 Среднеквадратичная скорость молекул некоторого газа 450 м/с. Давление газа 50 кПа. Найти плотность газа при этих условиях. Ответ, р = 0,741 кг/м3. 133 10.21 Плотность некоторого газа 8,2-10 5 r/см3 при давлении 100 кПа и температуре 17 °С. Найти молярную массу га­ за и среднеквадратичную скорость его молекул. Ответ. М - 2,0 Ю '3 кг/моль; vKB = 1,910J м/с. 10.22 Среднеквадратичная скорость молекул некоторого газа при температуре 27 °С vw= 500 м/с. Сколько молекул содержится в 3 0 г газа и чему равна кинетическая энер­ гия их поступательного движения? Ответ. N - 2,01-Ю23; WK = 1,25 кДж. 10.23 Определить плотность газа в колбе электрической лампы накаливания, если молекулы газа производят на стенку колбы давление 80 кПа и квадрат средней скорости по­ ступательного движения молекул составляет 2,5-105 м2/с2. Ответ, р = 0,96 кг/м3. 7-8 баллов 10.24 В сосуде вместимостью V= 0,3 л при температуре Т - 290 К находится некоторый газ. На сколько понизит­ ся давление газа в сосуде, если из-за утечки из сосуда выйдет N = 1,0-1019 молекул? Ответ. Ар = 133,4 Па. 10.25 Сколько молекул углекислого газа (СО >) содержится в баллоне объемом 30 л при температуре 27 °С и давлении 5 МПа? Чему равна их среднеквадратичная скорость и кинетическая энергия поступательного движения? От­ вет. N — 3,62 1025; v m = 412 м/с; WK = 225 кДж. 10.26 Сколько молекул водорода находится в сосуде объемом 1,0-10"J м3, если среднеквадратичная скорость движения его молекул 500 м/с, а давление на стенки сосуда 1,0 кПа? Чему равна температура газа и концентрация его молекул? Ответ. N - 3,61021; Т ~ 20 К; п = = 3,6-10м м \ 134 10.27 Найти молярную массу воздуха, считая его смесью, со­ стоящей из 76 % азота, 23 % кислорода и 1 % аргона. Сколько молекул содержится в 1,0 м3 этой смеси при нормальных условиях (Г=273 К, р - i 01325 Па). От­ вет. М « 0,029 кг/моль; N - 2,7-Ю25. 10.28 В баллоне объемом 10 л находится гелий под давлением 1 МПа и температуре 27 °С, После того, как из баллона было взято 10 г гелия, температура в баллоне понизилась до 17 °С. Определить давление гелия, оставшегося в бал­ лоне. Ответ, р = 363 кПа. 10.29 В баллоне находилось 10 кг газа при давлении 10 МПа. Какую массу газа выпустили из баллона, если давление стало 2,5 МПа? Процесс выпуска газа считать изотерми­ ческим. Ответ, т - 7,5 кг. 10.30 Смесь гелия (МНе,= 4,0-10'3 кг/моль) и аргона (Л/аг = 40,0-10'3 кг/моль) находится при температуре 1200 К. Определить среднеквадратичную скорость и среднюю кинетическую энергию поступательного дви­ жения одной молекулы этих газов. Ответ. vKB Ие ^ = = 2735 и/с; vKB Аг = 865 м/с; F = 2,510 м Дж. 10.31 Средняя кинетическая энергия поступательного движе­ ния молекулы кислорода 7,25-10"21 Дж, а кинетическая энергия поступательного и вращательного движений всех молекул этого газа в сосуде составляет 364 Дж. Вы­ числить температуру и массу газа в сосуде. Ответ. Т = = 350 К; m — 1,6-10-3 кг. 10.32 Найти среднеквадратичную скорость молекул азота при температуре 27 °С, а также среднюю кинетическую энергию поступательного и вращательного движения молекулы азота при той же температуре. Вычислить полную кинетическую энергию одной молекулы и пол­ ную кинетическую энергию 0,1 кг этого газа при тех же 135 условиях. Ответ. vKB= 517 м/с; Ё кпоп = 6,2140 21 Дж; Ё кв*яш = 4,14*10~21 Дж; Ё к = 1,04-10-20 Дж; Wk = — 2236 кДж. 10.33 Закрытый сосуд объемом 2 л наполнен воздухом при нормальных условиях ( Т - 273 К, р - 101325 Па). В со­ суд вводится диэтиловый эфир (С2Н5ОС2Н5) при той же температуре. После того, как весь эфир испарился, дав­ ление в сосуде стало равным 0,14 МПа. Какая масса эфира введена в сосуд? Ответ, m — 2,52-10~3 кг. 10.34 В сосуде находится смесь кислорода и водорода. Масса смеси 3,6 г. Массовая доля кислорода составляет 0,6. Найти молярную массу смеси. Определить полное коли­ чество вещества смеси, а также количество вещества ка­ ждого газа в отдельности. Ответ. М = 4,6Ю'3 кг/моль; v = 787,5-10"3 моль; Vi= 67,5-10‘3 м о л ь ; v2= 0,72 моль. 10.35 Определите отношение давления воздуха (М = = 0,029 кг/моль) на высоте 1 км к давлению на дне сква­ жины глубиной 1 км. Воздух у поверхности Земли нахо­ дится при нормальных условиях (Т - 273 К, р = = 101325 Па), а его температура не зависит от высоты. Ответ. ^ = 0,778. Рг 10.36 В баллоне емкостью 2 м3 содержится смесь азота (М2) и оксида азота (N0). Определить массу оксида азота, если масса смеси 14 кг, температура 300 К и давление 0,6-106 Па. Ответ. т2 - 7,83 кг. 10.37 В баллоне объемом 1 л находится азот при нормальных условиях (Т - 273 К, р = 101325 Па). Когда азог нагрели до температуры 1800 К, то часть молекул азота оказа­ лись диссоциированными (распавшимися) на атомы. Степень диссоциации а = 0,3. Определить: 1) количество вещества Vi и концентрацию п\ молекул азота до нагре­ вания; 2 ) количество вещества v2 и концентрацию п2 мо­ 136 лекул молекулярного азота после нагревания; 3) количе­ ство вещества v3 и концентрацию >ъ атомов атомарного азота после нагревания; 4) полное количество вещества v4 и концентрацию щ частиц в сосуде после нагревания. Диссоциацией молекул азота при нормальных ус­ ловиях пренебречь. Ответ. Vi = 44,6-3О 5 моль; v2 = = 31,2-10'3 моль; v3 = 26,8-10‘3 моль: v4= 58,0*10'3 моль; /*1 = 2,7*1025 м~3; пг = 1,9-1025 м'3; пъ = 1,6-10“ м~3; п4 = = 3.5*1025 м Л 10.38 Используя функцию распределения молекул идеального газа по скоростям, найдите формулу наиболее вероятной скорости. Ответ. ve - (2кТ/т0)т . 10.39 Какая часть молекул сернистого ангидрида (S 02) при температуре 200 °С обладает скоростями в пределах 210-220 м/с, 420-430 м/с? Молярная масса серы 0,032 кг/моль. Ответ. AN/N = 1,6 % ; AN/N = 2,8 %. 10.40 Вакуум в рентгеновской трубке составля­ ет 1,0-10"° мм. рт. ст. при температуре 15 °С. Во сколько раз длина свободного пробега электрона в этих условиях больше расстояния между катодом и анодом в трубке, равного 50 мм? Принять, что средняя длина свободного пробега электронов в газе в 5,7 раза больше, чем средняя длина свободного пробега молекул самого газа. Значение эффективного диаметра молекулы воздуха принять рав­ ным 3,0-10“'° м. Ответ, п = 8550. 10.41 Вычислить массу столба воздуха высотой 1000 м и сече­ нием 1,0 м2, если плотность воздуха у поверхности Зем­ ли ро" 1,2 кг/м3, а давление p Q= 1,013-105 Па. Темпера­ туру воздуха считать всюду одинаковой. Ответ, т = = 1,13 Ю 3 кг. 10.42 Найти вероятность того, что при Г - 300 К молекулы азота имеют компоненты скорости вдоль осей х, у, z в интервале (300 ± 0,30) м/с; (400 ± 0,40) м/с; (500 ± ± 0,50) м/с. Ответ. A/Vi/IV = 1,70Ю'П. 137 10.43 Какая часть одноатомных молекул газа, находящегося в тепловом равновесии, имеет кинетическую энергию, от­ личающуюся от ее среднего значения не более, чем на 1,0 %? Ответ. AN/N = 0,9 %. 9-10 баллов 10.44 Представьте себе высокий цилиндр, наполненный газом или жидкостью, плотность которых изменяется с высо­ той р = р(И). Покажите, что зависимость давления от вы­ соты в этом случае описывается дифференциальным уравнением dp/dh = - p(h)g. 10.45 Резервуар объемом 50 л соединен с резервуаром объе­ мом 15 л с помощью короткой трубки, в которой имеется специальный клапан давления, позволяющий газу проса­ чиваться из большого резервуара в малый, если давление в большом превышает давление в меньшем на 880 мм. рт. ст. При / = 17 °С больший резервуар содер­ жит газ при атмосферном давлении, а меньший - полно­ стью откачан. Каково будет давление в последнем, если оба резервуара нагреть до 162 °С. Ответ./? = 26,7*103 П а . 10.46 Найти для газообразного азота при Т = 300 К отношение числа молекул с компонентами скорости вдоль оси х (300 ± 0,31) м/с к числу молекул с компонентами скоро­ сти вдоль той же оси (500 ±0,51) м/с. Ответ. N\/AN2 - = 1,50. 10.47 Найти относительное число молекул газа, скорости ко­ торых отличаются не более, чем на 1,00 % от значения: а) наиболее вероятной скорости; б) средней квадратич­ ной скорости. Ответ. AN/N = 1,66 %; AN /N = 1,85 %. 10.48 Прямоугольная пластинка размером 4 см на 10 см поме­ щена в газ с температурой 300 К при давлении 1 атм. Одна поверхность пласт инки имеет такую же температу­ ру, а половинки другой имеют температуру на 1 °С выше 138 и ниже температуры газа соответственно. Определить вращающий момент, действующий на пластинку со сто­ роны газа, и среднее дополнительное давление. Ответ. М = 1,68-Ю-2 Н м; р = 169 Па. 10.49 Какая доля молекул газа (газ находится в тепловом рав­ новесии), достигающих в единицу времени поверхности сосуда, обладает кинетической энергией: а) большей, чем средняя тепловая; б) в 3 раза большей, чем средняя тепловая? Ответ. (ЛД/iV), = 0,55; (A N /N )i = 0,061. 10.50 Пользуясь уравнением Клапейрона-Менделеева и имея 8 виду, что атмосферное давление изменяется с высотой по закону dp = - pgdH, вывести формулу изменения дав­ ления с выстой с учетом понижения температуры (тем­ пературный градиент d f /d l l = - а, молярная масса воз- р духа равна ц). Ответ. In— = \xglaR-)a{ 1 -аН/Тц). Р» 11. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ Краткие теоретические сведения Первое начало термодинамики в интегральной и диффе­ ренциальной формах соответственно Q = AU+A, bQ = dU + 8А, где О - количество теплоты, сообщенное системе или отданное системой; AU - изменение внутренней энергии системы; А — работа системы против внешних сил. Работа, совершаемая газом: при изменении его объема 139 А = | p d V , где p - давление газа; Vu Уг - начальный и конечный объемы газа. Внутренняя энергия и изменение внутренней энергии идеального газа где v - количество вещества; т - масса газа; М — молярная масса газа; i - число степеней свободы молекулы. Средняя кинетическая энергия поступательного движения, приходящаяся на одну поступательную степень свободы моле­ кулы: Ё = - к Т , 2 где постоянная Больцмана. Средняя энергия молекулы AU = v - - R A T = ^ - ~ R A T , 2 М 2 Е ~ — к Т . 2 Теплоемкость газа массой m dT Удельная теплоемкость газа m clT Молярная теплоемкость газа 140 Связь молярной С и удельной с теплоемкостей газа С — с • М. Молярные теплоемкости идеального газа при постоянном объеме и постоянном давлении / / + 2 С, = ~ R , C p = ~ ~ ± R , Уравнение Майера с р= с г + я Уравнение адиабатного процесса (уравнение Пуассона) имеет вид p V 1- const, T V 1' 1' - const, T~p ]'r- coast, С i + 2 где у = ---- = --------- показатель адиабаты. C v г Уравнение изотермическою процесса p V ~ const. Уравнение политропного процесса pV "= const, С - С где п = — — — - показатель политропы; с » - с » С„ - теплоемкость при данном процессе. Работа газа а) при изобарном процессе A =p(V2-V\) или А - vR(T2 - Т]); б) при изотермическом процессе А = vRT In— или А - vRT ln -^ - ; У г Рг в) в случае адиабатного процесса А = vCv(7i ~Т2) или . RT,m А — - 1 - ' у Л Y - Г 1 - r V l r ~ Л ) у - 1 L У2 )( у - 1 ) М где Г], Г2, F], -- соответственно начальные и конечные темпе­ ратуры и объемы газа; г) при политропном процессе R T А = - ( л - 1 ) 1 - ( E i \ P x J Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины л _ а - б 2л Т - Т А1 х 2 Qi а Тх где А - работа, совершенная рабочим веществом в течение цикла; Qx - количество теплоты, полученной от нагревателя; Qi - количество теплоты, отданное им холодильнику; Г; и Т2 - наибольшая и наименьшая температуры рабочего вещества. Изменение энтропии тела в любом обратимом процессе, пе­ реводящем его из состояния А в состояние В, S . - S . . Ш т где 5Q - элементарное количество теплоты, полученное вещест­ вом при температуре Т. 142 Связь между энтропией и термодинамической вероятностью О (статистическим весом Q) S = k InQ, где к - постоянная Больцмана. Примеры решения задач Задача 1. В закрытом сосуде объемом 10 л находится воздух при давлении 0,1 МПа. Какое количество теплоты надо сооб­ щить воздуху, чтобы повысить давление в сосуде в 5 раз? Дано: 10-10'3 м3; Р \ - 0,1 • 106 Па; Рг = 5р\ Найти: Q Решение. Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты Q = A U + A . Так как объем V газа не изменя­ ется, рассматриваемый процесс яв­ ляется изохорическим (V = const). Следовательно, работа не соверша­ ется, т.е. А - 0. Внутренняя энергия идеального газа пропорциональна тем­ пературе: и = с ут, где С у - теплоемкость при постоянном объеме: С у = ~ v R -, i - число степеней свободы молекулы вещества. Для воздуха / = 5. Выразим начальную температуру Т\ из уравнения состояния идеального газа р Ут, vR Температуру Т2 выразим из закона Гей-Люссака 143 Тогда Q = C v(T2 - T 1) = 1 ( Л - 1 ) p xV = j 4 • 10s • КГ2 = 10000 Дж = = 10,0 кДж. Ответ. Q = 10,0 кДж. Задача 2. Азот (N2), адиабатически расширяясь, совершает работу, равную 480 кДж. Определить конечную температуру газа, если до расширения он имел температуру Ti~ 362 К. Масса азота т = 12 кг. Теплоемкость газа считать постоянной. Дано: Ni, Q - 0; А = 480-103 Дж; Решение. Вычислим работу газа v2 Т\= 362 К; m — 12 кг Учитывая, что адиабатический процесс описывается уравнением вида Найти: 12 p V Y =^C, (11.1) где С = const, из равенства (11.1) получим С Тогда работа d V _ C V 1' 7 ^ _ CF/~y - С К 2И • ( 11-2)V? у - 1 Fi у _ 1 С учетом (11.1) получаем 144 v r - P y r = V r i \ У г У - Р 7 г = У 2 - Рг Подставляем в (11.2) выражение (11.3) 1 у - 1 (Р,К ~ Используя уравнение Менделеева - Клапейрона т М т р ,F , = — RT ‘ М ‘ а также с.,■ = у i > 2 7 получаем выражение для работы да 1 — (Т - Т 2). М у - 1 2 Следовательно, конечная температура газа М у - 1 t2 = t , - a - т R 48-10 -10" -28- 7 1 Г, =362- V- 12-8,31 ■ = 2 5 К Ответ. Т2 — 25 К. (11.3) 145 Задача 3. Воздух массой 1 кг совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. Минимальные (начальные) значения объема и давления газа равны 0,08 м3 и 1,2 МПа. Максималь­ ное давление газа в цикле 1,4 МПа, причем Тз = 423 К. Опреде­ лить: 1) координаты пересечения изохор и изобар; 2) работу А, совершенную газом за один цикл; 3) количество теплоты Q\, по­ лученное газом от нагревателя за цикл; 4) КПД цикла. Считать воздух двухатомным газом, Дано: Vx = 0,08 м3; р\ = 1,2-106 Па; pi = 1,4-106 Па; Тъ= 423 К; m=1 к г ;у М = 0,029 кг/моль Найти: Тг, Т2; V2; Т4: А\ Qi\r1 имеющим молярную массу М - 0,029 кг/моль. Построить график процесса. Решение. 1. Для двухатомных газов число степеней свободы i = 5. количество вещества газа v = тп/М. В нашем случае v = 1/0,029 моль = 34,5 моль. Согласно условию рц = р\ и рг - р ъ Запишем уравнение Менделеева - Клапейрона для состоя­ ния 1: откуда P\V\ = v R T i , Р К vR В результате £ & . 1.2 -10‘-0,08 vR 34,5-8,31 Для изохорного процесса 1-»2 справедлив закон Шарля К = Р± Т г, ’ 146 у 2 = откуда Т т Р> - P*V' Ь4 • Ю6 ■ 0,08 , 9 1 к 2 1 р, vR 34,5-8,31 Для состояния 3, уравнение Менделеева - Клапейрона имеет вид p 2V2=vRT,, из которого следует, что _ V R T3 Pi После вычислений получаем у = 34’5 1 М 1-.4.'!3. = 0,087 м 3. 1,4-106 Для изохорного процесса 3—> 4 закон Шарля имеет вид £ l = £ ± т " т ’13 -*4 откуда следует, что Г<=Гз^ = г Л = Ь ^ ,- ^ = 363К. ! Л ъ Рг 1,4 • 10 2. Для изохорных процессов 1-> 2 и 3-> 4 работа газа равна нулю, т.е. ^ 1 2 = ^ 34= 0, поскольку для них V= const. Для изобар­ ных процессов 2-> 3 и 4-> 1 работа газа соответственно будет А23= p 2(V2 - Vl)> о, ^14=Л(^1-^2)<0. В итоге работа газа за цикл численно равна площади прямо­ угольника 1 -2 -3 -4 (рис. 11.1), т.е. А -А п + А23 + Ам + А$\— (р2 ~p{)(V2- V\). В результате вычислений получаем А = 0,2-10б(0,0866 - 0,08) Дж = 1320 Дж. 147 3. Количество теплоты On, полученное газом при изохорном процессе 1—> 2: Q n - v C v(T2 - Г,) ~ ~ R v (T2 - T t ) - ~ V tv ( p { - р 2) . Вычисления приводят к результату Qi2 = “ -0,08-(1,4' 10б- 1,2-Ю6) Дж = 40000 Дж. Количество теплоты Q2-, полученное газом при изобариче- скок процессе 2->3: О н =v c , m - Тг) = /м'Л - г2) = ^ (v /гг, - г, >. При расчете получаем П Qa = ~ (34,5-8,31-423 - 1,4 • 106-0,08) Дж = 32500 Дж. Учитывая, что Т3 > Т2 > Т4 > Ти то для изохорного процесса 3—» 4 и изобарного процесса 4~>1 соответственно имеем QM = vC \(r ,-Т г)< 0 и e 41 = vC/,( r l-7’,)< 0 . Очевидно, что <2)4 + Й41- - £?2, где - количество теплоты, отданное холодильнику за цикл (02 >0). В результате за цикл газ получает от нагревателя количество теплоты Qi = 012 + Qi-s = (40+32,5) кДж - 72500 Дж. 148 4. Термический КПД г] цикла по определению _ А _ " ~ а ' В результате вычислений получаем 1320 ■ц = ---------= 0,018 или л = 1,8 %. 72500 График процесса имеет вид, показанный на рис. 11.1. Ответ. Тх = 385 К ; Т2 = 391 К; У2 = 0,087 м3; Г4= 363 К ; А = = 1320 Дж; Qi = 72500 Дж; t! = 1,8 %. З а д а ч и 4 балла 11.1 Получить выражения первого начала термодинамики для следующих процессов: а) изохорного; б) изобарного; в) изотермического; г) адиабатного. 149 11.2 Давление идеального газа в зависимости от объема изме­ няется по закону р - av", где а — постоянная величина. Найти работу, совершенную газом, если его объем изме- з з 7нился от Vj = 1 м до V2 = 2 м . Ответ. А = — а Дж. 11.3 Чему равны молекулярные теплоемкости двухатомного газа при постоянном объеме и давлении? Ответ. С, = = 20,8 ДжУ(моль'К); Ср— 29,1 Дж/(моль-К). 11.4 Найти показатель адиабатного одноатомного газа. Ответ. У = 1,7. 11.5 Температура плавления алюминия 660 °С. Найти измене­ ние энтропии при плавлении 0,2 кг алюминия. Удельная теплота плавления алюминия к = 3 22-103 Дж/кг. Ответ. 6 S = 69,0 Дж/К. 11.6 Чему равно изменение внутренней энергии 1 моль иде­ ального двухатомного газа, если его температура повыси­ лась на 10 К. Ответ. Af/= 208 Дж. 11.7 Определить коэффициент полезного действия идеального теплового двигателя, если температура нагревателя Т-, - 500 К, температура холодильника Г2 = 300 К. Ответ. г| = 40 %. 11.8 Чему равно число степеней свободы трехатомной моле­ кулы с жесткими связями между ее атомами? Ответ, i = 6. 11.9 При изотермическом процессе объем газа увеличивается. Отдает или получает газ теплоту от внешнего источника? Почему? Ответ. Газ теплоту получает. 5-6 баллов 11.10 При изобарическом расширении двухатомного газа была совершена работа 156,8Дж. Какое количество теплоты было сообщено газу? Ответ. Q = 548,8 Дж. 150 11.11 Найти полную кинетическую энергию всех молекул двух­ атомного газа, находящегося в сосуде объемом 2 л под давлением 150 кПа. Ответ. fVK = 750 Дж. 11.12 Баллон емкостью 50 л содержит аргон под давлением 200 кПа. Найти давление аргона, если газу сообщили 3 кДж теплоты. Ответ, р - 240 кПа. 11.13 Определить количество теплоты, которое надо сообщить кислороду объемом 50 л при его изохорном нагревании, чтобы давление газа повысилось на 0,5 МПа. Ответ. Q = = 62,5 кДж. 11.14 Трехатомный газ под давлением 240 кПа и температуре 20 °С занимает объем 10 л. Определить теплоемкость это­ го газа при постоянном давлении и при постоянном объе­ ме. Ответ. Ср = 32,8 Дж/К; Cv = 24,6 Дж/К. 11.15 В баллоне находится 10 г азота. Одна треть его молекул распалась на атомы. Определить полное число молекул, находившихся в баллоне, число атомов и молекул после распада, вычислить молярные теплоемкости Ср и Cv этих частиц. Ответ. N = 2,15 1023; /V, = 1,43 1023; N 2 = 1,43 1023; CJ* = 12,47 Дж/К моль; С / = 20,78 Д ж /К моль; С"’ = = 20,78 Дж/К моль; С"' = 29,09 Дж/К-моль. 11.16 При изотермическом расширении 2 кг азота при темпера­ туре 7 °С его объем увеличился в 2 раза. Определить ра­ боту, совершенную газом при расширении, изменение внутренней энергии и количество теплоты, полученных газом в этом процессе. Ответ. А - 115 кДж; АV — 0 Дж; 6 = 1 1 5 к Д ж . 11.17 Двухатомный идеальный газ расширяется изотермически от объема 100 л до объема 300 л. Конечное давление газа равно 200 кПа. Определить изменение внутренней энер­ гии газа, совершенную им при этом работу' и количество полученного газом тепла. Ответ. AU = 0 Дж; А ~ - 65,9 кДж: Q ~ 65,9 кДж. 151 11.18 Объем аргона, находящегося при давлении 80 кПа, увели­ чивается от 1 л до 2 л. Найти изменение внутренней энер­ гии газа в двух случаях: при изобарном и адиабатическом расширении газа. Ответ. AU p - 120 Дж; A V q = ==-44,40 Дж. 11.19 Определит!, молярную массу двухатомного газа и его удельные теплоемкости ср и с„, если известно, что раз­ ность последних 260,0 Дж/(кг-К). Вычислить также мо­ лярные теплоемкости этого газа Ср и Cv. Ответ. М = := 32-10"' кг/моль; ср = 909,4 Дж/(кг-К); с\ = - 649,4 (Дж/кг-К); Ср = 29,1 Дж/(моль-К); С,, = ~ 20,8 Дж/(моль-К). 11.20 Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества v = 1 моль, находится под давлением р 1 = 250 кПа и занимает объем V\ - 10 л . Сначала газ изо- хорически нагревают до температуры Т2 ~ 400 К. Далее, изотермически расширяя, доводят его до первоначального давления р\. После этого путем изобарического сжатия возвращают газ в начальное состояние. Определить тем­ пературу характерных точек цикла. Построить график процесса. Ответ. Тх = 301 К; Т2 = Т3 = 400 К. 7-8 баллов 11.21 Двухатомному газу сообщено 2,093 кДж теплоты. Газ расширяется изобарически. Найти работу расширения га­ за и изменение его внутренней энергии. Ответ. А = ---- 598 Дж; AU= 1495 Дж. 11.22 Идеальный двухатомный газ совершает цикл Карно. Объ­ ем газа в конце изотермического расширения V2 - 12 л, а в конце адиабатического расширения этот объем Уз = 16 л. Найти отношение температуры нагревателя к температуре холодильника и КПД цикла. Нарисовать график процесса. Ответ. Т\1Т% = 1,122; т] = 11 %. 152 11.23 Определить показатель адиабаты идеального газа при температуре 77 °С и давлении 0,4 МПа, если газ занимает объем 300 л и имеет теплоемкость при постоянном объе­ ме 857 Дж/К. Найти также число степеней свободы моле­ кул данного газа. Ответ, у = 1,4; / =5. 11.24 Плотность некоторого двухатомного газа при нормальных условиях 1,43 кг/м3. Найти его удельные теплоемкости ср и cv. Определить среднеквадратичную скорость молекул газа при тех же условиях. Ответ. ср = 909 Дж/(кг-К); cv = 649 ДжУ(кг-К); v~kb = 461 м/с. 11.25 Двухатомный газ, находящийся под давлением 2 МПа и температуре 27 °С, адиабатически сжимается так, что объем уменьшается в 2 раза. Найти температуру и давле­ ние газа после сжатия. Ответ. Т = 396 К ;/> = 5,28 МПа. 11.26 Кислород массой 2 кг занимает объем 1 м3 и находится под давлением 0,2 МПа. Г аз был нагрет сначала изобарно до объема 3 м3, затем изохорно до давления 0,5 МПа. Найти изменение внутренней энергии газа, совершенную им работу, и количество теплоты, переданное газу. Ответ. ДЕ/= 3,25 МДж; А * 0,4 МДж; Q = 3,65 МДж. 11.27 Работа изотермического расширения 10 г некоторого газа, в результате которой его объем удвоился, оказалась рав­ ной 575 Дж. Найти среднеквадратичную скорость моле­ кул газа. Вычислить кинетическую энергию поступатель­ ного движения всех молекул данного газа после расширения. Ответ. v~KB = 500 м/с; WK~ 1,25 кДж. 11.28 Идеальный двухатомный газ, находящийся при темпера­ туре 0 °С, подвергают двум независимым процедурам адиабатического сжатия. В результате первого сжатия объем газа уменьшается в 10 раз. В результате второго сжатия (при прежних начальных условиях) давление газа увеличивается в 10 раз. Определить температуру газа в результате каждого из этих двух процессов. Ответ. Т\ = = 686 К; Гг = 527 К. 11.29 В закрытом сосуде объемом 2 л при нормальных условиях содержатся одинаковые массы азота и аргона. Какое ко­ личество теплоты надо сообщить этой газовой смеси, чтобы нагреть ее до 100 °С? Ответ. Q — 155 Дж. 11.30 Определить удельную теплоемкость cv смеси газов, со­ держащей 5 л водорода и 3 л гелия. Газы находятся при одинаковых условиях. Ответ. cv = 6,42 кДж/(кг-К). 11.31 Определить показатель адиабаты частично диссоцииро­ вавшего на атомы азота, степень диссоциации которого а = 0,4. Ответ, у = 1,52. 11.32 Вычислить число степеней свободы молекул газа, его удельные теплоемкости ср и cv, зная, что молярная масса газа 4 г/моль, а показатель адиабаты для него 1,67. Опреде­ лить также молярные теплоемкости Ср и Cv данного газа. Ответ, i = 3; ср ~ 20,78 Дж/(кг-К); с„ = 12,47 Дж/(моль-К); Ср- 5,20 кДж/(моль-К); Cv = 3,13 кДж/кг-К. 11.33 Идеальный трехатомный газ совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар, причем наибольшее давле­ ние газа в 2 раза больше наименьшего, а наибольший объем в 4 раза больше наименьшего. Определить КПД цикла. Построить график цикла. Ответ, т] = 11 %. 11.34 Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества v = 1 моль и находящийся под давлением Р \ = 0,1 МПа при температуре 27 °С, нагревают изохорно до давления р 2 - 0,2 МПа. После этого газ изотермически расширился до начального давления р х и затем изобари­ чески был сжат до начального объема V\. Построить гра­ фик цикла. Определить температуру, давление и объем для характерных точек цикла. Найти: 1) количество теп­ лоты, полученное газом от нагревателя за цикл; 2) коли­ чество теплоты, отданное газом холодильнику за цикл; 3) работу газа за цикл; 4) термический КПД цикла. От­ вет. Точка 1: (р% = ОДОЮ6 Па, Тх = 300 К, Vx = 24,93 х 154 х 10'3 м3); точка 2: (рг = 0,20Ю 6 Па, Т2 = 600 К, V\ = = 24,93 103 м3); точка 3: (р, = ОДОЮ6 Па, Т3 =600 К, Уз = 49,86 1 0 3 м3); £ , = 9,69 кДж; Q% = -8,73 кДж; А = = 0,96 кДж; г| = 9,9 %. 11.35 Идеальный двухатомный газ совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар, причем наибольшее давле­ ние в 3 раза больше наименьшего, а наибольший объем в 5 раз больше наименьшего. Определить КПД цикла. По­ строить график цикла. Ответ, т] - 17 %. 11.36 Идеальный трехатомный газ, состоящий из жестких мо­ лекул, нагревают изохорно так, что его давление возрас­ тает в 2 раза. После этого газ изотермически расширяется до начального давления, а затем изобарно сжимается до начального объема. Определить КПД цикла. Нарисовать график процесса. Ответ, г) = 8,8 %. 11.37 Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. Воздух (считать его двухатомным газом) при давлении /?1=708кПа и температуре /] = 127 °С занимает объем V, = 2 л. После изотермического расширения воздух занял объем V2 — 5 л; после адиабатического расширения его объем стал F? = 8 л. Найти: 1) координаты пересечения изотерм и адиабат; 2) работу, совершаемую газом на каж­ дом участке цикла; 3) полную работу, совершаемую газом за цикл; 4) КПД цикла; 5) количество теплоты Qu полу­ ченное от нагревателя за один цикл; 6) количество тепло­ ты Q2, отданное холодильнику за цикл. Построить график цикла. Ответ. (210'3 м3, 708 кПа,); (510 '3 м3, 283 кПа); (8-10'3 м3, 147 кПа); (3,21 10‘3 м \ 365 кПа); А х = 1300 Дж; А г = 611 Дж; А 3 = -1070 Дж; А 4 = -611 Дж; А ткдя = = 228 Дж; Т1 = 0,17; g , = 1338 Дж; Q2 = 1110 Дж. 11.38 Наименьший объем двухатомного газа, совершающего цикл Карно, V\ - 153л. Определить наибольший объем Vi, если объемы в конце изотермического расширения и в конце изотермического сжатия К2 = 600 л и F4 = 189 л. Определить, во сколько раз максимальная за цикл темпе­ 155 ратура больше минимальной температуры, а также КПД цикла. Вычислить, во сколько раз максимальное давление за цикл больше, чем давление в трех остальных характер­ ных точках цикла. Построить график процесса. Ответ. F3= 0,741 м3; J max/ r min= 1,088; rj = 8,1%; p mJ p m = 5,27. 11.39 Применяя первое начало термодинамики и уравнение со­ стояния идеального газа, покажите, что разность удель­ ных теплоемкостей ср - cv= R/М, где М - молярная масса. 11.40 Одноатемный газ, содержащий количество рабочего ве­ щества v = 0,1 кмоль, под давлением pi = 100 кПа занимал объем V] - 5 м‘\ Газ сжимался изобарически до объема }r2 = 1 м3, затем сжимался адиабатически и потом расши­ рялся изотермически до начального объема и давления Р\. Построить график процесса. Найти: 1) температуры Т\ и 1\, объем Vi и давление р 3, соответствующие характер­ ным точкам цикла; 2) количество теплоты Q\, полученное от нагревателя за цикл; 3) количество теплоты Q2> пере­ данное газом холодильнику за цикл; 4) работу, совершен­ ную газом за весь цикл; 5) термический КПД цикла. От­ вет. Ti = 601,7 К; Тг = 120,3 К ; V3 = 0,089 м3; р ъ = = 5,62 МПа; Qi = 2,01 МДж; Q2 - I МДж; А — 1.0 МДж; г) = 49,8 %. 9 -1 0 баллов 11.41 Какую максимальную работу может произвести тепловая машина, если в качестве нагревателя используется кусок железа массой m — 100 кг с начальной температурой Го = 1500 К, а в качестве холодильника - вода океана тем­ пературой Г = 285 К? Удельная теплоемкость железа 460 Дж/(кГ'К). Ответ. А = 34 МДж. 11.42 Некоторый газ совершает процесс, в ходе которого давле­ ние р изменяется с объемом V по закону р = р о exp [ - а ( V - V0)] Па, 156 где p где R* - газовая постоянная, определяемая для каждого реально­ го газа отдельно. Для состояний газа, далеких от критического, газовая постоянная может быть принята равной универсальной газовой постоянной R. Связь между постоянными а и Ъ и параметрами Ткр и р кр кри­ тического состояния реального газа 27Т2 R 2 т R* б4Ркр 8 Р Кр Внутренняя энергия одного моля реального газа U = C J ~ ~ . V 'ш где Cv - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме; Ут ~ V/\ - молярный объем; Т - абсолютная температура газа. Примеры решения задач Задача 1. 20 кг азота адиабатически расширяются в вакууме от V\~ 1 м' до V2 = 2 м3. Найти понижение температуры при 159 этом расширении, считая, известной для азота постоянную а, входящую в уравнение Ван-дер-Ваальса. Дано: т = 20 кг; V, = 1 м3; Vt - 2 м 3 Найти: АГ Решение. При адиабатическом расширении газа в пустоту работа не совершается. Поэтому AU = 0, следовательно, внутренняя энер­ гия газа остается постоянной. Внутренняя энергия реального газа для v молей определяется как av К ' Учитывая, что С,, = — R , получаем u = L v R T . 2 V Тогда изменение AU будет определяться как A U = U , - U 2 = j VR(Tl- T 2) + ‘^ av ~v, = 0 . ( 12.1) Выразим из (12.1) АГ: Д Г = 2va <УХ- У 2) m v r v 2 Найдем количество вещества азота v m ~М Молярная масса азота М = 2 -1 4 -КГ3 = 2 8 -КГ3 кг моль Число степеней свободы i молекул азота N2 i = 5 (двухатомный газ). Тогда изменение температуры 160 ± T _ 2ma (У , -У 2) _ 2 -20-0Л 36 0 - 2 ) 5 R M Vx -V2 5-8,31 -2 8 -K T 2 ~ ’ Ответ. А Г* -2,34 K. Задача 2. Углекислый газ массой 6,6 кг при давлении 0,1 МПа занимает объем 3,75 м3. Определите температуру газа, если 1) газ реальный; 2) газ идеальный. Параметры а и Ъ при­ нять соответственно 0,361 (Н-м)/моль2, 4,28-1 (Г5 м3/моль. Газо­ вую постоянную принять равной универсальной газовой посто­ янной. Дано: m = 6,6 кг; V= 3,75 м3; р — 100 Па; а — 0,361 (Н-м4)/моль2; Ъ = 4,28- Ю-5 м3/моль Найти: 77; 77 Решение. Температура реального газа определяется из уравнения Ван-дер-Ваальса av 2 V (F - vb) = vRT -,, (12.2) где v := m/M\ М - молярная масса газа. Из (12.2) получим выражение для температуры реально­ го газа М г ,= - Р + 2 \ / m a u M l V2 т / 2 V - mi? М J _ (pM2F2 + т2а\уМ - Ы>) m R M 2V 2 = t100 • • 10~6 • 3,752 + б,б2 ■ 0,361^3,75 • 44 • 10~3 - 6,6 • 4,28 • 10~5) _ 6,6 ■ 8,31 ■ 4 4 • 10’° ■ 3,75 = 302 К. В случае идеального газа воспользуемся уравнением Менде­ леева - Клапейрона 161 ш p V = -— R T \ М - (12.3) Из (12.3) получим температуру идеального газа Г, M pV _ 4 4 -1 0 '3 -3,75-100 301 К. Rm 8,31-6,6 Ответ. Г, = 302 К; Тг = 301 К. Задача 3. Найти эффективный диаметр молекул азота. Кри­ тические параметры для азота /?кр = 33,9-105 Па; 7'кр = 126,1 К. Дано: /7кр= 33,9-105 Па; Гкр= 126,1 К Найти: d Решение. Определим параметр b из соотношения Г R b = - S — . (12.4) « Л , Величина b связана с объемом одной молекулы V следующим образом: b = 4 VqN \. где Na - постоянная Авогадро, Объем одной молекулы V „ будет (12.5) где d - эффективный диаметр молекулы. Тогда с учетом выражений (12.4) и (12.5) получим 162 3b 2% N . з г крл 3-126 ,1-8,31 16 -3,14 • 33 ,9 ■ 10 ~5 -6,02 -10 23 \ l 6 i z p v N A - 3,5 -10 “l0 м. Ответ. О, если мениск выпуклый; R < 0, если мениск вогнутый. При выпуклом мениске добавочное давление направлено внутрь жидкости. Если мениск вогнут, то жидкость находится под меньшим давлением, чем та же жидкость под плоской по­ верхностью. В случае сферической поверхности радиуса R до­ бавочное давление определяется по формуле 2 а Ар = — . R Приращение свободной энергии поверхностного слоя жид­ кости при изменении его площади на dS dF = adS, Высота поднятия жидкости в капиллярной трубке с ра­ диусом г , 2 а cos 0 п = —---------, Ф g где 6 - краевой угол; г - радиус капилляра; р - плотность жидкости. При полном смачивании 9 = 0; при полном несмачивании 9 = п. Энергия, выделяемая при слиянии нескольких малых капель в одну большую AW=o.AS, где AS - изменение площади поверхности жидкости; а - коэффициент поверхностного натяжения жидкости. 169 Примеры решения задач Задача 1. Давление воздуха внутри мыльного пузыря на А р - 133,3 Г1а больше атмосферного. Найти диаметр d пузыря. Поверхностное натяжение мыльного раствора а = 0,043 Н/м. Дано: А 133,3 Па; а = 0,043 Н/м Найти: d Решение. Добавочное давление внутри мыльного пузыря, вызван­ ное кривизной его поверхности: Ар = 2а v*« 1 1 Я2 / Так как пузырек сферический, то радиусы кривизны взаимно перпендикулярных поверхностей * , = * 2 = T ’ тогда откуда Ар = 8 а Rn = — «0,0026 м . Ар Ответ, d = 0,0026 м. Задача 2. На дне стеклянного сосуда площадью S = 30 см2 имеется круглое отверстие диаметром d = 0,5 мм. В сосуд налита ртуть. Какая масса ртути останется в сосуде? 170 Дано: £ = 30,0-10'4 м2; d = 0,5-10'3 м; а = 487-10'3 Н/м2 Найти: т Решение. Давление ртути на дно сосуда mg и = S Добавочное давление, вызван­ ное кривизной поверхности жид­ кости 4 а Р ~ ~ Г ' Чтобы ртуть осталась в сосуде, необходимо соблюдать усло­ вие р - Ар или m g __ 4 а 1 T ~ ~ d ' тогда 4а5’ 4-487 -1СГ3 -30-10- т g d 10-0,5-10' = 1,1688 « 1 ,2 кг. Ответ, т — 1,2 кг. Задача 3. Лабораторный ртутный термометр погружен в гильзу паропровода до отметки t\ - 120 °С и показывает h - = 360 °С, причем температура высыпающего столба ртути, най­ денная с помощью вспомогательного термометра, 59 °С. Опре­ делить действительную температур;/ пара, принимая во внима­ ние, что термометр градуирован при погружении до отсчитываемого деления. Дано: *1= 120 °С; h = 360 °С; h = 59 °С Найти: / Решение. Определим уменьше­ ние объема ртути по сравнению с условиями, при которых произво­ дилось градуировка термометра A V = V$At = V$(t2 - t x) , (13.1) 171 где h - температура, показываемая термометром; ti - температура отметки погружения столбика термометра в гильзу; V - объем выступающего столбика ртути. Разделим обе части выражения (13.1) на площадь поперечно­ го сечения капилляра, полагая, что она не меняется с изменени­ ем температуры A F V / ч / ч - £ - = ТгР('з - 0 = АР('2 - ' . ) - (13.2)и О Выразив высоту столбика ртути в делениях шкалы термо­ метра, (13.2) можно записать как At = йр(/2 —tt ), где h - высота выступающего столбика, выраженная в градусах шкалы термометра, А/ - поправка на выступающий столбик. Действительная температура пара t ’ = t2 + A t = t2 + Лр(г2 —Г,)= 360 + 59-1 ,8 -К Г 4 (3 6 0 -1 2 0 )» « 3 7 3 ° С. Ответ, t = 373 °С. Задача 4. Невесомое кольцо с внутренним диа­ метром 25 мм и внешним диа­ метром 26 мм подвешено на пружине (рис. 13.1) с коэффи­ циентом упругости 0,01 Н/м и соприкасается с поверхностью жидкости. При опускании по­ верхности жидкости кольцо оторвалось от нее при растяже­ нии пружины на 5,3 мм. Найти коэффициент поверхностного натяжения жидкости. ( Рис. 13.1 172 Дано: d i — 25-10'3 м; к= 0,01 Н/м; d 2 = 26-10'3 м; Дх = 5,3-10'3 м Найти: а Решение. В момент отрыва кольца сила поверхностного натяжения FH = j где v = М Т V rzM (14.7) (14.8) С учетом выражений (14.7) и (14.8), массу азота можно оп­ ределить как 1 1 ш т ' d p т „ m = — • J -----------~ - X - S - t = 3 у п М dx 1 8-8,31-290 3 ’ у з ,14 -2 8 -1 0 '3 1-10”° -50-10"4 -20 = 15,6 мг. 183 Ответ, т = 1,56-10'5 кг. Задача 3. Вычислить диаметр молекулы кислорода, если при температуре 0 °С коэффициент вязкости кислорода составляет tj = 18,8 мкПас. Дано: Т = 273 К; г| = 18,8 10*6 Па-с Найти: d Решение. Значение диаметра d мо­ лекулы кислорода связано со сред­ ней длиной свободного пробега X соотношением кТ Х-- л/2n d 2 откуда d кТ -Ц и р к Значение длины свободного пробега можно определить из выражения для коэффициента вязкости кислорода 1 _ г ~ Зг| Г) = — V А р , или К = — . 3 pv Учитывая, что средняя арифметическая скорость молекул кислорода определяется как v ~ i п м * а плотность кислорода вычисляется из уравнения Менделеева - Клапейрона m р М р = — = V R T для вычисления эффективного диаметра молекулы кислорода получаем следующее выражение 184 f d = \ У Подставляя числовые значения, определяем значение эф­ фективного диаметра молекулы кислорода 14.1 В объеме 2,0 м3 находится 1,0-1023 молекул газа. Эффек­ тивный диаметр молекул составляет 2,0-10 шм. Найта длину свободного пробега молекул газа. Ответ. Я = 1,1 • 10-4 м. 14.2 Найти среднее число столкновений молекул газа, если концентрация п = 2,0-1019, эффективный диаметр 3,0-10’10 м, средняя арифметическая скорость движения молекул 100 м/с. Ответ, ъ = 797. 14.3 Найти массу вещества, переносимого через единичную площадку в единицу времени, если градиент плотности равен 5,0 кг/м4, коэффициент .диффузии D = 4,0-10‘3 м2/с. Ответ, т - 0,020 кг. 14.4 Найти тепловой поток, если известно, что через площад­ ку S - 0,5 м2 за время 10 с проходит количество теплоты равное О = 400 Дж. Ответ, q = 80,0 Дж/м2-с. d _ ( 2-1,38-10 23 ~ 1^ 3 • ЗД4 • 18,8-10~6 Ответ, d = 0,3 нм. З а д а ч и 4 балла 185 14.5 Скорость течения жидкости в зависимости от координаты х изменяется по закону v = ах + Ьх2. Чему равен градиент dv скорости в точке х - О? Ответ. ——~ а. 14.6 Чему равна сила внутреннего трения, действующая на площадку S - 0,1 м2, если коэффициент вязкости 2-10'3 Па с, градиент скорости равен 4 с 1? Ответ. F = = 8,010 4 Н. 14.7 Чему равна кинематическая вязкость жидкости, если ее динамическая вязкость 5 1 0'3 Па с, а плотность 100 кг/м3? Ответ, v = 5-10'5 м2/с. 5-6 баллов 14.8 Определить коэффициенты диффузии и вязкости газа, если плотность газа р = 110 кг/м3, средняя арифметиче­ ская скорость 100 м/с, длина свободного пробега МО 4 м. Ответ. D = ЗЮ ’3 м2/с; г\ = 33 10 3 Па с. 14.9 Температура газа в зависимости от координаты л: имеет вид Т - 100 + Зх. Найти градиент температуры. Объяснить результат. Ответ. dT/dx = 3 К/м. 14.10 Определить коэффициенты диффузии и динамической вязкости гелия, находящегося при температуре -73 °С и давлении 10 кПа. Считать эффективный диаметр молеку­ лы гелия 0,19 нм. Ответ. D - 5,92-10-4 м2/с; 11 = 1,42- 1<Г* Па с. 14.11 Найти массу азота, прошедшего вследствие диффузии через площадку 100 см2 за время 10 с, если градиент плотности в направлении, перпендикулярном к площад­ ке, равен 1,26 кг/м4. Температура азота 27 °С, давление 1,036 кПа. Диаметр молекулы азота считать равным 0,3 нм. Ответ, m = 0,20 vlO'3 кг. 186 14.12 Коэффициент теплопроводности гелия в 8,7 раза больше, чем у аргона (при нормальных условиях). Найти отноше­ ние квадратов эффективных диаметров атомов аргона и d 1 гелия. Ответ. —— = 1,7. < 14.13 При каком давлении отношение коэффициента динамиче­ ской вязкости некоторого газа к его коэффициенту диф­ фузии равно 0,3 кг/м3, а среднеквадратичная скорость мо­ лекул газа составляет 632 м/с? Ответ./» = 39,9 кПа. 14.14 В результате некоторого процесса коэффициент вязкости идеального газа увеличился в два раза, а коэффициент диффузии - в 4 раза. Во сколько раз изменилось давление газа. Ответ. п ~ 2 раза. 14.15 Определите, во сколько раз отличаются коэффициенты динамической вязкости углекислого газа и азота, если оба газа находятся при одинаковой температуре, одном и том же давлении. Эффективные диаметры молекул этих газов считать одинаковыми. Ответ. r\iA\i = 1,25. 14.16 Зная коэффициент вязкости гелия при нормальных усло­ виях (г) = 194’10 7 Па-с), вычислить эффективный диа­ метр его атома. Ответ, d = 0,174 нм. 14.17 Кислород находится при нормальных условиях. Опреде­ лить коэффициенты диффузии и теплопроводности, если эффективный диаметр молекул кислорода 0,36 нм. Ответ. D = 9,15-М-6 м2/с; К = 8,49 мВт/(м-К). 14.18 Для расчета отопительной системы необходимо найти потерю теплоты 1 м2 стены здания в течение суток. Тол­ щина стены d — 50 см, температура стены внутри и нару­ жи здания соответственно t\ = 18 °С и t2 = -30 °С, коэф­ фициент теплопроводности стены К = 0,2 Вт/(м-К). Ответ. Q = 1,66 МДж. 187 7-8 баллов 14.19 Найдите коэффициент динамической вязкости воздуха при температуре 100 °С и нормальном давлении (р - - 1,013-105 Па). Динамическая вязкость воздуха при нор­ мальных условиях (Г = 273 К, р = 1,013-Ю5 Па) 17,2 мкПа-с. Ответ. tj = 20,1 мкПа-с. 14.20 Какой толщины следовало бы сделать деревянную стену здания, чтобы она давала такую же потерю теплоты, как кирпичная стена толщиной й? = 40 см при одинаковой температуре внутри и снаружи здания. Коэффициенты теплопроводности кирпича и дерева соответственно 0,7 Вт/(м-К) и 0,175 Вт/(м-К). Ответ, b = 0,1 м. 14.21 Потолочное перекрытие парового котла состоит из двух слоев тепловой изоляции. Определить температуру Ь на границе между слоями, если температура наружных по­ верхностей перекрытия t\ = 800 °С и t2 = 60 °С, а толщина и теплопроводность каждого слоя соответственно: d\ = 500 мм, К\ =1,3 Вт/(м-К); d2 = 200 мм, К2 = = 0,16 Вт/(м-К). Ответ. Г3= 899 К. 14.22 Анод рентгеновской трубки выполнен в виде медного стержня длиной 250 мм и диаметром 15 мм. Определить раз­ ность температур между горячим и холодным концом стерж­ ня, если считать, что через боковую поверхность стержня тепло не проходит, а холодный конец омывается проточ­ ной водой. Вода нагревается на 3° при расходе 1 кг/мин. Коэффициенты теплопроводности меди 395 Вт/(м-К). Удельная теплоемкость воды 4,19-103Дж/(кг-К). Ответ. Ы = 751 °С. 14.23 При каком давлении средняя длина свободного пробега молекул кислорода равна 125 см, если температура газа 47 °С? Эффективный диаметр молекулы кислорода 0,27 нм. Чему равна теплопроводность кислорода при 188 таких условиях? Ответ. р - 10,95 мПа; К = = 16,35 мВт/(м-К), 14.24 Давление разреженного газа в рентгеновской трубке при температуре 17 °С 130 мкПа. Можно ли считать вакуум в трубке высоким, если расстояние между катодом и ано­ дом трубки составляет 50 мм. Эффективный диаметр мо­ лекул воздуха равен 0,27 нм. Ответ. Я. =95,38 м; вакуум высокий. 14.25 Азот находится под давлением 100 кПа при температуре 290 К. Вычислить коэффициенты диффузии и внутреннего трения, если эффективный диаметр молекул азота равен 0,38 нм. Ответ. D = 9,7410“6м2/с; Т] = 1,13-10"* кг/(м-с). 9-10 баллов 14.26 В воздушном пространстве между пластинами, находя­ щимися на расстоянии 1 мм друг от друга, поддерживает­ ся разность температур АТ = 1 К. Площадь каждой пла­ стины 100 см2. Какое количество теплоты передается за счет теплопроводности от одной пластины к другой за 10 мин? Диаметр молекулы воздуха 0,3 нм. Считать воз­ дух двухатомным газом, имеющим молярную массу 29 г/моль. Ответ. Q = 76,8 Дж. 14.27 Какое количество теплоты теряет помещение за 1 час че­ рез окно за счет теплопроводности воздуха, заключенного между двумя рамами? Площадь каждой рамы 4 м2, рас­ стояние между ними 30 см, Температура помещения 18 °С, температура наружного воздуха -20 °С. Диаметр молекул воздуха 0,3 нм. Температуру воздуха между ра­ мами считать равной среднему арифметическому темпе­ ратур помещения и наружного воздуха. Давление 101,3 кПа. Считать воздух двухатомным газом, имеющим молярную массу 29 г/моль. Ответ. Q ~ 22,3 кДж. 14.28 Пространство между двумя параллельными пластинами площадью 150 см2 каждая, находящимися на расстоянии 189 5 мм друг от друга, заполнено кислородом. Одна пластина поддерживается при температуре 17 °С, а другая - при температуре 27 °С. Определите количество теплоты, прошедшее за 5 мин посредством теплопроводности от одной пластины к другой. Кислород находится при нор­ мальных условиях. Эффективный диаметр молекул ки­ слорода считать равным 0,36 нм. Ответ. Q - 76,43 Дж. 14.29 Акватория Азовского моря составляет 38-103 км2. Найти, во сколько раз мощность теплового потока, передаваемо­ го водой в атмосферу, превышает мощность электростан­ ции в 106 кВт, если море покрыто слоем льда толщиной 200 мм, а температура на нижней и верхней поверхностях льда соответственно 0 °С и -15 °С. Коэффициенты теп­ лопроводности льда 2,5 Вт/(м-К). Ответ, п - 7125 раз. 14.30 Цилиндрический термос с внутренним радиусом г, - 9 см и внешним гг = 10 см наполнен льдом. Высота термоса h = = 20 см. Температура льда t\ = 0 °С, температура наруж­ ного воздуха Ь = 20 °С. При каком предельном давлении р воздуха между стенками термоса теплопроводность К еще будет зависеть от давления? Диаметр молекул возду­ ха 0,3 нм, а температуру воздуха между стенками термоса считать равной средней арифметической температур льда и наружного воздуха. Найти теплопроводность К воздуха, заключенного между стенками термоса, при давлениях р\ = 101,3 кПа и р 2 = 13,3 МПа, если молекулярная масса воздуха 0,029 кг/моль. Какое количество теплоты прохо­ дит за 1 мин. через боковую поверхность термоса сред­ ним радиусом 9,5 см при давлениях р г = 301,3 кПа и р 2 = = 13,3 МПа? Ответ, р - 980 мПа; К\ = 13,1 мВт/(м-К); К 2 = 178 мВт/(м-К); Qx = 188 Дж; Q2 = 2,55 Дж. 190 ЛИТЕРАТУРА 1. Савельев, И.В. Курс общей физики: в 3 т. / И.В. Савельев. - М.: Наука, 1977-1989. - Т. 1-3. 2. Детлаф, А.А. Курс физики: в 3 т. / А.А. Детлаф, Б.М. Явор­ ский. - М.: Высшая школа, 1973-1979. - Т. 1-3. 3. Наркевич, И.И. Физика для втузов: в 3 г. / И.И. Наркевич, Э.И. Волмянский, С.И. Лобко. - Минск.: Вышэйшая школа, 1992-1994.- Т . 1-2. 4. Трофимова, Т.И. Курс физики / Т.И. Трофимова. - М.: Выс­ шая школа, 1985-1990. 5. Зисман, Г.А. Курс общей физики: в 3 т. / Г.А. Зисман, О.М. Тодес. - М.: Наука, 1972-1974. - Т. 1-3; Киев: Д нтро, 1994.- Т . 1-3. 6. Чертов, А.Г. Задачник по физике / А.Г. Чертов, А.А. Воробь­ ев. -М .: Высшая школа, 1981-1988. 7. Волькенш гейн, B.C. Сборник задач по общему курсу физики / B.C. Волькенштейн. - М.: Наука, 1973-1990; СПб: Спец. лит., Лань, 1999. 8. Трофимова, Т.И. Сборник задач по курсу физики / Т.И. Трофимова. - М.: Высшая школа, 1994-1996. 9. Берклеевский курс физики: в 5 т. / Ч. Китель [и др.] - М.; Наука, 1971-1974.- Т . 1-5. 10. Сивухин, Д.В. Общий курс физики: в 5 т. / Д.В. Сивухин. - М.: Наука, 1977-1990. - Т. 1-5. 11. Матвеев, А.Н. Курс общей физики / А.Н. Матвеев. - М.: Высшая школа, 1976-1989. 12. Астахов, А.В. Курс физики: в 3 т. / А.В. Астахов, Ю.М. Широков. - М.: Наука, 1977-1981. - Т. 1-3. 13. Орир, Д. Физика / Д. Орир. - М.: Мир, 1981. - Т. 1-2. 14. Геворкян, Р.Г. Курс физики / Р.Г. Геворкян. - М.: Высшая школа, 1979. 15. Лаврентьев, М.А. Проблемы гидродинамики и их математи­ ческие модели / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - М.: Наука, 1977. 191 16. Киттель, Ч. Статистическая термодинамика / Ч. Киттель. - М.: Наука, 1977. 17. Суханов, А.Д. Фундаментальный курс физики: в 2 т. / А.Д. Суханов. -М .: Агар, 1996-1998.- Т . 1-2. 18. Фундаментальная структура материи / пер. с англ.; под. ред. А.Д. Суханова. - М.: Мир, 1984. 19. Сена, Л.А. Единицы физических величин и их размерности / Л.А. Сена. - М.: Наука, 1977. 20. Зайдель, А.Н. Погрешности измерений физических величин / А.Н. Зайдель. - М.: Наука, 1985. 21. Чертов, А.А. Физические величины / А.А. Чертов. - М.: Высшая школа, 1990. 22. Савельев, И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике / И.В. Савельев. - М.: Наука, 1982. 23. Иродов, И.Е. Задачи по общей физике / И.Е. Иродов. - М.: Наука, 1987. 24. Козел, С.М. Сборник задач по физике / С.М. Козел, Э.И. Рашба, С.А. Славатинский. - М.: Наука, 1987. 192 ПРИЛОЖЕНИЕ ТаблицаП1 Десятичные приставки к названиям единиц Множитель Приставка Наименование Обозначениерусское международное 10ls экса Э Е 10в пета п Р 10й тера т Т 10^ гига г G 106 мега М М 103 кило к к Ю2 (гекто) г h ю 1 (дека) да da 10’1 (деци) д d 10‘‘ (санти) с с МИЛЛИ м ш 10* микро мк И Ю'у нано н п 10'1й пико п Р 10й5 фемто ф f10-1« атто а А 193 Основные единицы СИ и их определения Таблица П2 Величина Единица СИ Наименование Раз­ мер­ ность Наименова­ ние Обозначение русское между­ народ­ ное Длина L метр м ш Масса М килограмм кг кя Время Т секунда с S Сила электрического тока I ампер А А Термодинамическая тем­ пература ® кельвин К К Количество вещества N моль моль mol Сила света J кандела кд cd Метр - единица длины, равная расстоянию, проходимому в вакууме плоской электромагнитной волной за 1/299792458 долей секунды. Килограмм - единица массы, равная массе международного прототипа килограмма. Секунда - единица времени, равная 9192631770 периодов излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133. Ампер - сила тока, проходящего по двум параллельным прямолиней­ ным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположенным в вакууме на рас­ стоянии 1 м один от другого, который вызывает между этими провод­ никами взаимодействие силой 2 -10'7 Н на каждый метр длины. Кельвин - единица термодинамической температуры, равная 1/273,16 части термодинамической температуры тройной точки воды. Моль - единица количества вещества, равная количеству вещества системы, в которой содержится столько же структурных элементов (атомов, молекул, ионов, электронов и других, частиц или специфици­ рованных i-рупп частиц), сколько содержится атомов в углероде мас­ сой 0,012 кг. Кандела - единица силы света, равная силе света в данном направле­ нии от источника, испускающего монохроматическое излучение час­ тоты 540-10 12 Гц (540 ТГц), сила излучения которого в этом направле­ нии составляет 1/638 Вт/ср. 194 Таблица ПЗ Величины физических постоянных Величина Обозна­ чение Значение Атомная единица массы 1 а.е.м. 1,6605655(86)-10‘27 кг Объем моля идеального газа при нормальных условиях (То = 273,15 К, А > = 101325 Па) у - * * 'У 0 Ро м3 0 ,02241383(70) моль Постоянная Авогадро n a 6 ,0 2 2 0 4 5 (3 1)-1023 1 моль Постоянная Больцмана k = R/NA 1,3 80662(44)-10 23 •— Постоянная газовая универсальная R 8,31441(26) Д Ж ' М0ЛЬ Постоянная гравитаци­ онная G 6,6720(41)-10'11 Н '^ кг Ускорение свободного падения g 9,80665 4 - с 195 Таблица П4 Физические свойства элементов Элемент Плот­ ность Р’з103 кг/м3 Молярная теплоем­ кость с Р, Дж/(мольК) Коэффи­ циент ли­ нейного расшире­ ния, а, КГ6 К'1 Теплопро­ водность К , Вт/(м-К) Алюминий 2,70 24,35 22,58 207 Висмут 9,75 25,52 16,6 8 Германий 5,46 28,8 5,8 60,3 Железо 7,87 25,0-26,7 12,1 75 Золото 19,3 25,23 14,0 310 Калий 0,87 29,96 84 100 Кальций 1,55 26,28 22 98 Кремний 2,42 - 2,3 167 Магний 1,74 24,6 - 71 Медь 8,93 24,52 16,6 395 Натрий 0,971 28,12 72 133 Олово (се­ рое) 5,8 25,8 - 65 Ртуть (жидк.) 13,55 27,98 “ 8,45 Свинец 11,34 26,44 28,3 34,9 Серебро 30,5 25,49 19 418 Стронций 2,54 25,11 20,6 - Углерод (алмаз) 3,52 6,12 1,2 - Цинк 6,92 25,4 32 111 196 Таблица П5 Физические свойства сплавов Сплав Плотность р, 103 кг/м3 Коэффициент линейного рас­ ширения, а, Ю-s к-1 Теплопро­ водность К, Вт/(м К) Бронзы 8;7-8,9 16-20 30-110 Дюралюминий 2,79 27 186 Инвар 8,00 X 11 Константан 8,88 15-17 21-22 Латунь 8,4-8 ,7 17-20 80-180 Манганин 8,5 16 36 Стали 7,5-8,00 10-13 40 Таблица П6 Физические свойства минералов и твердых веществ Вещество Плотность р, 103 кг/м3 Коэффициент линейного расширения, а, 10'6К '! Теплопро­ водность к , Вт/(м-К) Алмаз 3,01-3,52 1,5 628 Асбест- 2,0-2,8 - 0,1 Базальт 2,4-3,1 - 2,18 Гипс 2,31-2,33 - 0,18-1,05 Глина 1,8-2,6 8,1 1,05-1,26 Гранит 2,64-2,76 8,3 2,7—3 3 Кварц 2,65 1,46 - Мел 1,9-2,8 - 1,1 Мрамор 2,6-2,84 ^ 3-15 2,7-3,0 Кирпич 1,4-2,2 3-9 1,0-1,3 Лед 0,917 - 2,5 Парафин 0,87-0,91 - 2,5 Пробка 0,22-0,26 - - Резина 1,1-1,2 220 0,146 Стекло 2,4-2,8 6 0,7-1,13 197 Плотность р, температура плавления (ш и удельная теплоемкость с жидкостей при температуре 20 °С и давлении 101,3 кПа Таблица П7 Вещество ’Р’ 310’ кг/м п^л> °С п кДж кг К Анилин 1,026 -6 2,156 Ацетон 0,792 -95 2,18 Бензол 0,897 +5,5 1,72 Вода 0,998 0,0 4,19 Глицерин 1,260 +20 2,43 Спирт метиловый 0,793 -93,9 2,39 Спирт этиловый 0,789 -117 2,51 Эфир этиловый 0,714 - U 6 2,34 Таблица П8 Поверхностное натяжение а, вязкость г,, теплопроводность К жидкостей при давлении 10! ,3 кПа Вещество а, 10'1 К/м Т|, 10' ’ кг/(м с) К, Вт/(м-К) Анилин 40,8 4,40 0,181 Ацетон 23.3 0,324 0,170 Бензол 29,2 0,647 0,153 Вода 72,75 1,0019 0,596 Глицерин 63,4 1495 0,290 Масло касто­ ровое 33,1 986 - Ртуть 487 1,552 8,45 Спирт мети­ ловый 23,0 0,576 0,222 Спирт этило­ вый 22,75 1,20 0,184 Эфир этило­ вый 16,96 0,242 - 198 Таблица П9 Физические свойства газов Г аз, формула, молярная масса М, 10'3 кг/моль Плотность р, кг/м3 (при t = = 0 °С и р = = 101,3 кПа) Критиче­ ская темпе­ ратура 4 d,° C Температура плавления tw, °С (при р = = 101.3 кПа) Азот, N2 28,016 1,2505 -147,1 -210,02. Аммиак, NH3 17,031 0,7714 +132,4 -77,7 Аргон, Аг 39,944 1,7839 -122,4 -189,3 Водород, Н2 2,0158 0,08988 -239,9 -259,2 Вода пар, Н20 18,0156 0,768 +374,2 0,00 Воздух сухой 28.96 1,2928 -140,7 -213 Г елий, Не 4,002 0,1785 -267,9 -272,2 Закись азота, № 0 44,013 1,9775 +36,5 -90 Кислород, 0 2 32,00 1,42896 -118,8 -218,83 Метан, СН4 16,04 0,7168 -82,5 -182,5 Неон, Ne 20,183 0,8999 -228,7 -248,6 Окись азота, N0 30,006 1,3402 -92,9 -167 Окись углерода, СО 28,01 1,2500 -140,2 -205 Углекислый газ с о 2 44,01 1,9768 +31,0 -56,6 (р = 519 кПа, тройная точка) Хлор, СЬ 70,914 3,22 +144 -100,5 199 Таблица П10 Тепловые свойства газов Газ Молярная теп­ лоемкость Ср, Дж/(мольК) (интервал тем­ ператур, °С) у = CpiCv Вязкость ц, 10-7 кг/(м с) Теплопро­ водность К, Вт/(м-К) Азот 29,1 (0-20) 1,404 174 2,43 Аргон 20,9(15) 1,67 222 1,62 Водород 28,8 (10-200) 1,41 88 16,84 Вода пар 34,5(100) 1,324 128 2,35(100°С) Воздух сухой 29,3 (0-100) 1,40 181 2,41 Гелий 21,0 (-180) 1,66 194 14,15 Закись азота 41,7(16-200) 1,32 146 1,51 Кисло­ род 29,1 (13-207) 1,40 200 2,44 Метан 39,8(18-208) 1,31 109 3,02 Окись азота 29,0(13-172) 1,40 188 2,38 Окись углерода 28,5 (26-198) 1,40 177 2,32 Угле­ кислый газ 37,1 (15) 1,30 145 1,45 Хлор 36,8(13-202) 1,36 132 0,72 200 Таблица П11 Упругие свойства материалов при 18°С Материал Модуль Юнга Е, 10!оПа Модуль сдви­ га G, 101С Па Коэффици­ ент Пуассона ц Модуль всесторон­ него сжатия К, 1010.Па Металлы и сплавы Алюминий 7,1 2,6 0,35 7,58 Бронза 9,7-10,2 3,3-3,7 0,34-0,40 11,2 В исмут за 1,2 0,33 3.13 Железо 19-20 7,7-8,? 0,29 16,9 Золото 7,8 2,7 0,44 21,7 Кадмий 4,9 1,9 0,30 4,16 Константан 16,3 6,1 0,32 15,5 Латунь 9,7-10,2 3,5 0,34-0,40 10,7 Медь 10,5-13,0 3,5-4,9 0,34 13,8 Никель 20,4 7,9 0,28 16,1 Олово 5,4 2,0 0,33 5,29 Платина 16,8 6,1 0,37 22,8 Свинец 1,6 0,56 0,44 4,6 Серебро 8,3 3,0 С',37 10,4 Сталь 20-21 7,9-8,9 0,25-0,33 16,8 Титан 11,6 4,4 0,32 10,7 Цинк 9,0 3,6 0,25 6,0 Дюралю­ миний 7,3 2,7 С ,34 Неметаллические материалы Бамбук 3,3 - - - Дуб 1,3 - - - Кварцевое стекло 7,5 3,2 0,17 Стекло 5,1-7,1 3,1 0,17-0,32 3,75 Сосна 0,9 - - - Резина мягкая 0,00015-0,0005 0,00005-0,00015 0,46-0,49 16,8 201 Таблица П 12 Скорость звука в твердых телах (при 20 °С) Вещество Скорость продольных волн Су 103 м/с Скорость по­ перечных волн с± , 103 м/с Скорость про­ дольных волн в тонком стерж­ не с, 103 м/с Алюминий 6,26 3,08 5,08 Бетон 4,25-5,25 - - Вольфрам 5,46 2,62 4,31 Гранит 5,40 - 3,95 Дуб (вдоль волокон) - - 4,05 Железо 5,85 3,23 5,17 Кварц плав­ леный 5,98 3,76 5,76 Латунь 4,43 2,12 3,49 Медь 4,70 2,26 3,71 Никель 5,63 2,96 4,79 Олово 3,32 1,67 2,73 Полистирол 2,35 1,12 - Пробка 0,50 - - Серебро 3,60 1,59 2,64 Сосна (вдоль волокон) - - 3,60 Стекло (крон) 5,66 3,42 5,30 Стекло (флинт) 3,7 6 2,22 3,49 Сталь (инст­ рументаль­ ная) 6,10 5,05 Сталь (не­ ржавеющая) 5,74 3,09 - Цинк 4,17 2,41 3,81 202 Таблица П13 Скорость звука в жидкостях (при 20 °С) и г азах (при 0 °С) Жидкости с, м/с Газы с, м/с Анилин 1656 Азот 334 Ацетон 1192 Аммиак 415 Бензол 12.95 Аргон 319 Вода 1497 Водород 1284 Глицерин 1923 Воздух сухой 332 Керосин 1315 Г елий 965 Ртуть 1451 Кислород 314 Сероуглерод 1158 ^ Метан 430 Скипидар 1225 Неон 433 Спирт этило­ вый 1165 Вода, пар (100 °С) 405 Таблица Л14 Физические свойства воды при различных температурах Темпе­ ратура и °с Плотность Р, 103, 3кг/м Поверхнос­ тное натя­ жение а, 10'3 Н/м Вязкость 11, Ю'' кг/(м с) Удельная те­ плоемкость с, 103 Дж/(кг К) 0 0,9999 75,62 1,788 4,2174 10 0,9997 74,11 1,306 4,1919 20 0,9982 72,58 1,004 ~1 4,1816 30 0,9957 71,03 0,801 4,1782 40 0,9922 Г 69,41 0,553 4,1783 50 1 0,988 i 67,79 0,549 4,1804 60 0,9838 66,04 0,470 4,1841 70 0,9778 64,27 0,406 4,1893 80 0,9766 62,50 0,356 4,1961 90 0,9633 60,68 0,316 1 4,2048 100 - 58,80 0,283 4,2145 (99 °С) 203 Удельная теплота сгорания топлива Таблица П15 Вид топлива МДж/кг Вид топлива МДж/кг Бурый уголь 9,3 Дизельное топливо 42 Древесный уголь 31,5 Бензин 46 Дрова сухие 8,4 Керосин 44 Порох 3,8 Мазут 40 Торф 15 Спирт 27 Таблица П16 Константы Ван-дер-Ваальса Вещество а, (Н- м4)/моль2 b, 10'6 м7моль Азот 0,141 39,2 . Аммиак 0,422 37,2 Аргон 0,136 32,3 Ацетон 1,58 98,5 Бензол 1,85 115 Вода 0,555 30,5 Водород 0,0245 26,6 Гелий 0,0035 23,8 Кислород 0,138 31,8 Ртуть 0,82 16,7 Спирт метиловый 0,95 67 Спирт этиловый 1,22 84 Эфир этиловый 1,75 134 204 ТаблицаП17 Диаметры молекул Вещество Диаметр d, нм Вещество Диаметр d, нм Азот 0,37 Метан 0,444 Аргон 0,36 Неон 0,354 Водород 0,27 Окись углерода 0,370 Гелий 0,215 Ртуть 0,30 Кислород 0,356 Углекислый газ 0,454 Криптон 0,314 Хлор 0,544 205 ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ.................................................................................... 3 I. МЕХАНИКА............................................................ 6 1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА............................................................................ 6 2. КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ...............20 3. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ...............32 4. МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ. РАБОТА. МОЩНОСТЬ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ................................................................................. 48 5. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА..... ........................................................63 6. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ.............. .....72 7. ГИДРОДИНАМИКА......................................................................86 8. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ............................................. 101 9. ВОЛНЫ В УПРУГОЙ СРЕДЕ. ЗВУК........................................114 II. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА................................... 125 10. МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ............................................................... 125 11. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ.............................................. 139 206 12. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ. УРАВНЕНИЕ ВАН-ДЕРВААЛЬСА................................. ..............................158 13. СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ.......................................................168 14. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА............................. ...... .........................179 ЛИТЕРАТУРА................... .............. .................................................. 19! ПРИЛОЖЕНИЕ...................................................................................193 Учебное издание КУЖИР Павел Григорьевич ЮРКЕВИЧ Наталья Петровна САВЧУК Галина Казимировна СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОБЩ ЕМ У КУРСУ ФИЗИКИ Учебное пособие В 2 частях Ч а с т ь 1 М ЕХАНИКА. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМ ОДИНАМ ИКА Технический редактор О.В, Песенько Подписано в печать 29.07.2011. Формат 60x84'Л6- Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс. Уел. печ. л. 12,09. Уч.-изд. л. 9,45. Тираж 500. Заказ 363. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. Проспект Независимости, 65. 220013, Минск.