Л и т е р а т у р а 1. Taguchi Methods. Case Studies from the U.S. and Europe. – ASI Press, 1989. 2. МС ИСО 9000:2000. Пер. с англ. – Мн.: Госстандарт Республики Беларусь, 2000. 3. Давид Марка, Клемент МакГоуэн. Методология структурного анализа и проек- тирования. Пер. с англ. – М, 1993, – 240 с. 4. INTEGRATION DEFINITION FOR FUNCTION MODELING (IDEF0) // Draft Federal Information Processing Standards Publication. – 1993. December, 2. – 183 p. 5. Р50.1.028-2-001. Методология функционального моделирования. – М.: Гос- стандат РФ, 2001. МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДАННЫХ В ЗАДАЧАХ МЕНЕДЖМЕНТА КАЧЕСТВА П.С.Серенков, кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой СМИС; В.М.Романчак, кандидат физико-математических наук, Белорусский национальный технический университет; Э.М.Короневич, студент группы 113519 кафедры СМИС Менеджмент качества как специфи- ческий вид деятельности предполагает, прежде всего, комплексное решение за- дач планирования, обеспечения, управ- ления и улучшения качества каждого процесса и сети процессов в целом. В соответствии с международными стандартами ИСО семейства 9000 все параметры качества изделия должны задаваться в виде номинального значе- ния с допуском. Это означает, что каж- дый параметр качества должен быть представлен в виде диапазона допусти- мого рассеяния своих значений, кото- рый нормируется соответствующими стандартами и оформляется должным образом. Таким образом, корректиро- вать показатель качества можно двумя путями: 1. Воздействовать на факторы, определяющие его математическое ожидание. 2. Воздействовать на факторы, определяющие его дисперсию. Подавляющее большинство про- цессов можно по степени определенно- сти отнести к категории «черные ящи- ки». Этот класс процессов наиболее сложен с точки зрения менеджмента качества. Все широко рекламируемые, а также малоизвестные методы, техни- ки и подходы для решения проблем ка- чества этих процессов можно объеди- нить под одним названием «статисти- ческое моделирование процессов», т. к. основаны они на принципах теории ве- роятности и математической статисти- ки. «Пищу» для статистического моде- лирования процессов составляют «дан- ные о качестве» – накапливаемые в ко- личественной или качественной форме данные о параметрах качества каждого процесса сети процессов [1] Однако известные методы решения задач моделирования процессов не все- гда могут дать удовлетворительное ре- шение поставленной задачи, предо- ставляя некорректные модели. Анализ 92 некорректной модели искажает картину реального состояния системы, даже ес- ли алгоритм и математический аппарат обработки данной модели будет иде- ален с точки зрения математики. В дан- ной статье обсуждается гипотеза по- строения модели процесса с помощью глобальной рациональной интерполя- ции результатов экспериментов (дан- ных о качестве) и ее использования для решения оптимизационных задач а также автоматизации процессов ме- неджмента качества. Математическую модель данных о качестве можно представить в виде )...,( 21 nxxxf=ϕ , где ϕ – выходной параметр (показа- тель качества, результативность и т.п.), f – функция отклика, x1, x2 …xn – факторы. В настоящее время наиболее рас- пространенным способом описания за- висимости между параметрами опти- мизации и влияющими факторами яв- ляется регрессионная модель [2], суть которой лежит в нахождении коэффи- циентов регрессии при выполнении условия наименьшего значения суммы квадратов разностей действительных и аппроксимированных значений. В ос- новном используется линейная регрес- сия, которая описывается уравнением ∑ = =ϕ m i nii xxxfb 0 21 )...,( , где ϕ – выходной параметр, fi – функция связи, bi – коэффициенты регрессии, x1, x2 …, xn – факторы. Данная модель называется линей- ной, потому что коэффициенты регрес- сии имеют степень, равную единице, функции же связи могут быть различ- ны. На практике наибольшее примене- ние находит линейная регрессия (функ- ция связи выражает линейную зависи- мость выходного параметра от фак- торов): ∑ = =ϕ m i ii xb 0 . (1) Сразу бросается в глаза главный недостаток данного метода описания функции отклика: происходит прибли- жение к заранее выбранной функции, причем выбор данной функции зача- стую не обосновывается априорной информацией. В качестве примера можно привести какой-либо процесс, имеющий параболоид в качестве дей- ствительной функции отклика z=100 – x2 – y2 , причем массив имеющихся данных о качестве симметричен относительно точки экстремума. В таком случае при аппроксимации функции к виду (1) экс- тремум найден не будет, хотя он имеет ярко выраженный характер. С целью минимизации методиче- ских ошибок моделирования такого ро- да, на наш взгляд, необходимо постро- ить функцию связи, проходящую через все точки массива данных о качестве. В качестве решения можно использовать интерполяционные полиномы, однако существует ряд трудностей связанных с применением общеизвестных интерпо- ляционных полиномов: • отсутствие устойчивости интер- поляционных полиномов Лагранжа и Ньютона при увеличении количества узлов интерполяции до 20; 93 • сложность построения функции многих переменных для интерполяции кубическими сплайнами. Рассмотрим методы построения функции отклика, не содержащие недо- статков, описанных выше. 1. Применение аппроксимирую- щего полинома вида ∑ ∑ − −⋅ = i i i ii xtf xtfy tR )( )( )( , где [ ]22 2 )( )( lx lxf + = ; xi – значения факторов в узлах; yi – значения выходного параметра в узлах; l – параметр, отвечающий за сте- пень приближения функции отклика к узлам; t – значение фактора. Чем меньше данный параметр, тем ближе функция к узлам (на рис. 1 при- ведена аппроксимация при l = 0,1). Рис. 1. Аппроксимация массива данных о качестве при помощи первого метода 94 Для многомерных случаев функция будет иметь вид ∑ ∑ −− −−⋅ = i ii i iii ytxtf ytxtfz ttR ),( ),( ),( 21 21 21 , где [ ]222 2 )( ),( lyx lyxf ++ = , т.е. для перехода к большему количе- ству переменных добавляем перемен- ные в исходные функции. 2. Представление функции от- клика в виде интегрального уравне- ния Фредгольма первого рода. Интегральное уравнение Фредголь- ма первого рода имеет вид [3] )()(),( xudsszsxK b a =⋅⋅∫ , где x – переменное значение фактора применительно к нашему случаю; s – значения наблюдаемых факто- ров; )( ,sxK – ядро функции; )(sz – значение некоторой задан- ной функции от фактора; )(xu – значение параметра оптими- зации. Возьмем ядро функции как раз- ностную функцию )( sxK − , имеющую вид 22 1 )( hx xK + = , где h – параметр, определяющий сте- пень влияния узлов в зависимости от удаленности от данной точки. Чем больше данный параметр, тем большее количество узловых точек имеет значимое влияние на любую точ- ку функции отклика, таким образом, чем больше данный параметр, тем бо- лее гладкой будет функция отклика. Составляется матрица (А) значений ядра, в качестве переменных которого выступает разность между узлами фак- торов: A = K(si-sj), где si, и sj – узловые значения факторов (исходные данные о качестве для по- строения модели), а i и j = 1. ..., n. На основании известного вектора значений параметра оптимизации можем определить вектор значений z = {z(s1), z(s2), ..., z(sn)}: z = А-1u, где u = {u(s1), u(s2), ..., u(sn)} – вектор наблюдаемых значений параметра оп- тимизации при факторах s1. Исходя из найденных значений z, составляем функцию отклика (рис. 2): ∑ −⋅= i ii stKszxu )()()( 95 Рис. 2. Аппроксимация массива данных о качестве при помощи второго метода Переход к многомерным случаям осу- ществляется путем добавления соответству- ющего числа переменных. Получается для ядра функции (случай для двух факторов; для большего числа факторов, все аналогично) 222 1 ),( hyx yxK ++ = . A = K(s i- sj) преобразуется в A = = K(xi - xj, y i- yj), где xi, yi – координаты соответствую- щих узловых точек si, а функция откли- ка становится функцией двух перемен- ных (рис. 3): ∑ −−⋅= i iii yyxxKszyxu ),()(),( . Рассмотренные примеры построе- ния функции отклика обеспечивают построение ее математического описа- ния по известным значениям факторов и параметра оптимизации, однако они не гарантируют точности описания рассматриваемого процесса из-за того, что сами данные о качестве могут не обладать достаточной степенью гло- бальности, чтобы накрыть все возмож- ные состояния системы. Рис. 3. Аппроксимация функции двух переменных вторым методом Рекомендации по применению На основании изучения рассмот- ренных методов можно привести ряд рекомендаций по их применению. Аппроксимация полиномом перво- го вида является наиболее простым способом построения функции по из- вестным точкам, причем функция будет приближаться к данным точкам настолько близко, насколько необхо- димо разработчику модели. Основным преимуществом данного полинома яв- ляется то, что при его помощи можно построить функцию отклика по боль- шому количеству наблюдаемых значе- ний, причем чем больше рассматривае- мых значений, тем лучше ведет себя функция отклика, так как полином стремится занять среднее положение в случае, когда параметр качества имеет несколько значений при одном и том же сочетании факторов, т.е. он “выби- рает” статистически наиболее значи- мую точку. Но при небольшом количе- стве точек функция отклика имеет множество локальных экстремумов, что может привести к неправильному ана- лизу данных. Поэтому данный полином лучше всего применять для построения моде-ли по накапливающимся в про- 96 цессе производства данным, число ко- торых может быть велико (тысячи). Полином второго вида в отличие от первого обладает свойством сохранять тенденции, т.е. гладким образом про- должаться. Это хорошо при условии, что точки расположены на достаточном расстоянии друг от друга, и такая ха- рактеристика, как конечная разность (характеризует скорость нарастания функции, т.е. аналог производной), не имеет резких перепадов от больших положительных значений к большим отрицательным. Однако при резких пе- репадах функция начинает осциллиро- вать. При наличии двух и более точек при одном сочетании уровней факторов матрица А становится вырожденной. Таким образом, данный вид полинома наиболее выгодно использовать при построении математической модели в планировании промышленного экспе- римента, когда количество точек не- большое, причем точки обладают до- статочной статистической значимо- стью. Применение таких полиномов для построения модели по накаплива- ющимся в процессе производства дан- ным является невозможным из-за пока- занных недостатков. Однако можно привести алгоритм первоначальной об- работки массива данных о качестве для получения из набора большого числа незначимых данных меньший массив зна-чимых данных, в котором каждой области присваивается значение сред- ней точки. Критерием данной замены является то, что одна точка – это не есть «чистое значение» на сочетание факторов, так как в отклик входят еще и результаты влияния случайных неуправляемых факторов, и погрешность измерения. Поэтому есть смысл перейти к набору данных о качестве, обладающих какой- либо значимостью. Для получения этих данных необходимо разделить массив первоначальных данных на подобласти, а затем определить средние значения факторов и отклика в каждой из этих подобластей. Разделение массива мож- но произвести при помощи аппарата регрессионного анализа: выбирается минимальное количество точек (в по- добласти примем его равным четырем), затем находятся коэффициенты регрес- сии методом наименьших квадратов для функции. Здесь мы рассматриваем случай однофакторного эксперимента 2 12110 xbxbb ++=ϕ , где x1 – значение фактора; b0, b1, b2 – коэффициенты рег- рессии. Если коэффициент регрессии b2 не- значим по критериям, применяемым в полнофакторном эксперименте (это означает, что набор данных аппрокси- мируется прямой линией), то добавля- ем еще одну точку в подобласть и так делаем до тех пор, пока коэффициент b2 не становится значимым. После это- го вводим новую точку, характеризую- щую данную подобласть, координаты которой равны средним значениям факторов и отклика в этой подобласти, далее берем следующую подобласть и проводим ту же процедуру. Таким образом при помощи пред- ставленных алгоритмов и полиномов можно аппроксимировать любой набор данных о качестве и получить функцию отклика, характеризующую исследуе- мую систему. 97 Л и т е р а т у р а 1. Соломахо В.Л., Серенков П.С., Краснопрошин В.В. Модель «сквозного» ме- неджмента качества // Новости. Стандартизация и сертификация. – 2003. – № 5. – С. 65 – 69. 2. Бендат Дж., Пирсон А. Прикладной анализ случайных данных. – М.: Мир, 1969. 3. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1986.