Машиностроение и машиноведение 3 техника, № 1, 2013 и Наука Science & Technique МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ УДК 621.9.048.7 ОСОБЕННОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕНСИВНОСТИ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ПРИ МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОЦЕССА ОБРАБОТКИ Канд. техн. наук, доц. АВСИЕВИЧ А. М., докт. техн. наук, проф. ДЕВОЙНО О. Г., канд. техн. наук, доц. КОЧЕРОВ А. Л., канд. техн. наук ПИЛИПЧУК А. П. Белорусский национальный технический университет Лазерная обработка – высокоэффективный способ повышения эксплуатационных свойств деталей в современном производстве. Установ- лено, что свойства поверхностного слоя в ос- новном зависят от параметров лазерной обра- ботки, что позволяет рассматривать их в ка- честве факторов технологического процесса. Физические процессы, протекающие при взаи- модействии луча лазера с поверхностью изде- лия, и их влияние на структуру и свойства материалов являются основой для создания упрочняющих технологий, позволяющих ре- шать качественно новые технические задачи. Перспективное направление – формирование упрочненных поверхностей с неравномерным распределением свойств по поверхности детали в соответствии с эпюрой распределения нагру- зок и скоростей в узле трения [1]. Изменение свойств материала на поверхно- сти изделия может быть достигнуто варьирова- нием [2]: величины теплового воздействия на раз- личные участки упрочняемой поверхности; состава и количества материала, вводимо- го в зону лазерной обработки при лазерном ле- гировании и наплавке. Важным этапом разработки новых техноло- гий является математическое моделирование процесса лазерной обработки. Оно выполняется для оценки теплового воздействия на наплавля- емый материал и зону обработки упрочняемой поверхности. Параметры лазерного излучения (ЛИ) – мощность, скорость перемещения и фо- кусировка лазерного луча – используются на этапе математического моделирования для опре- деления температурного поля, температурных градиентов, мгновенных значений скоростей нагрева и охлаждения, что позволяет обосновать режим лазерной обработки. Анализ выполнен- ных работ, посвященных математическому мо- делированию процесса лазерной обработки, свидетельствует о том, что сложность задачи определяется необходимостью учета зависимо- сти теплофизических свойств материалов от температуры, фазовых изменений при плавле- нии-кристаллизации. Перечисленные факторы формируют данную задачу нелинейной, что определяет необходимость использования чис- ленных методов решения задач математической физики. При этом для численной реализации разработанной модели необходимо адекватно представить распределение интенсивности лазер- ного излучения по сечению лазерного пятна [3–5]. Установлено, что изменение распределения ин- тенсивности (или интегральной характеристи- ки – плотности энергии) излучения по площади пятна лазерного воздействия влияет на распре- деление температуры в зоне обработки. Это поз- воляет рассматривать данный параметр как важ- ный фактор повышения эффективности обра- ботки. Сложность математического описания реального распределения интенсивности застав- ляет использовать значительные упрощения, что приводит к снижению точности численных оце- нок. Поэтому задача корректного учета распре- деления энергии по сечению лазерного пятна при моделировании процессов лазерной обра- ботки в настоящее время актуальна. Машиностроение и машиноведение 4 Наука техника, № 1, 2013 и Science & Technique Для представления распределения интен- сивности лазерного излучения по сечению ла- зерного пятна, как правило, используются упро- щенные математические модели, которые ап- проксимируют реальное распределение тепло- вого источника равномерным или гауссовским распределением. Рассмотренные способы упрощения в об- щем случае немонотонного излучения неточно описывают реальный поток мощности, что под- тверждается результатами работ [3, 5]. Поэтому использование равномерного и гауссовского представлений при математическом моделиро- вании не позволяет принять решение о возмож- ности применения данного вида обработки для конкретного изделия. Задачей проводимых исследований является разработка способа математического описания осесимметричного распределения интенсивно- сти излучения лазерных источников энергии непрерывного действия. Предполагается, что в дальнейшем этот способ может быть исполь- зован при математическом моделировании температурного поля на поверхностях загото- вок деталей. Для адекватного представления реального распределения интенсивности по сечению ла- зерного луча требуется использование резуль- татов экспериментальных исследований и их аппроксимации. Учитывая широкое распро- странение в промышленности лазеров непре- рывного действия, было выполнено исследова- ние распределения интенсивности лазерного излучения СО2-установки «Комета-2» с номи- нальной мощностью 1,5 кВт. Для оценки распределения интенсивности поверхностного источника использовали раз- новидность теплового метода [5] – метод про- жигания образцов, основанный на превращении энергии излучения при взаимодействии с по- верхностью образца в тепловую энергию, кото- рая впоследствии нагревает и расплавляет материал. Основным допущением является предположение о том, что вся энергия, посту- пающая на поверхность, используется для ис- парения материала – так называемый предель- ный режим испарения [6]. В рамках данного подхода установлено, что для любого материа- ла скорость роста глубины выемки пропорцио- нальна плотности энергии. Способ позволяет приближенно определять распределение интен- сивности лазерного излучения в результате из- мерения областей разрушения поверхности. Для несфокусированного излучения аперту- рой 40 мм на выходе резонатора установки рас- пределение плотности мощности определяли экспериментально путем кратковременного об- лучения пластины из оргстекла. Образец рас- полагался на расстоянии 0,3 м от выходного окна лазера, что соответствует ближней зоне излучения. Материал образца при взаимодей- ствии с лазерным излучением быстро испаряет- ся, поэтому в каждой точке поверхности глуби- на проплавления пропорциональна количеству реализованной энергии и соответственно плот- ности мощности излучения. Первоначально определяли время облучения. Для пластины из оргстекла толщиной 3 мм оптимальным оказа- лось воздействие несфокусированного излуче- ния в течение 4 с, когда максимальная глубина проплавления составляет 0,1–0,2 мм, а следы течения расплавленного материала отсутству- ют. При увеличении времени воздействия уста- новлена опасность сквозного прожига пласти- ны, а также появления отдельных наплывов, обусловленных растеканием расплавленного материала по поверхности. Измерение глубины проплавления проводи- ли от оси излучения в двух радиальных направ- лениях, перпендикулярных направлению пере- мещения заслонки, где время воздействия излу- чения одинаково. При выбранном оптимальном времени были получены 30 эксперименталь- ных распределений глубины проплавления, что согласно рекомендациям [5] обеспечивает ста- тистическую достоверность результатов экспе- римента. Измерения глубины проплавления проводили индикатором ИЧТ-0,01. Чтобы ис- ключить погрешности измерений, обусловлен- ные короблением и отклонением пластины из оргстекла от плоскостности, ее закрепляли при- хватами к прошлифованной с двух сторон чу- гунной плите. Перемещение плиты относитель- но индикатора осуществляли винтовым меха- низмом, измерения производили с шагом 0,5 мм. Фотография оплавленного образца пред- ставлена на рис. 1. В картине оплавления раз- личимы концентрические окружности, что поз- воляет предположить наличие осевой симмет- рии в распределении интенсивности лазерного Машиностроение и машиноведение 5 техника, № 1, 2013 и Наука Science & Technique излучения и вместо двумерного распределения интенсивности рассматривать одномерное. 1 2 Рис. 1. Фотография экспериментального образца после оплавления: 1 – концентрические выступы и впадины; 2 – следы интерференционных борозд Глубины проплавления для каждой точки в радиальном направлении рассчитывали как средние по результатам экспериментов. Разли- чие глубины проплавления для одних и тех же значений координаты в радиальном направле- нии относительно оси луча составляли не более 17 мкм (10 %). Математическую обработку по- лученных результатов проводили с использо- ванием пакета прикладных математических программ. На рис. 2 представлены результаты исследований, а также кубическая сплайн-ин- терполяция ,K x равномерная xR и гаус- совская xG аппроксимации эксперименталь- ных данных, построенные в предположении dxxGdxxRdxxK . (1) ед.отн,I 2 01 21 см x, 600 200 1200 xK xR xG – –1 х, см Рис. 2. Кубическая сплайн-интерполяция K(x), равномерная R(x) и гауссовская G(x) аппроксимации экспериментального распределения интенсивности лазерного излучения по радиусу пятна нагрева Для оценки ошибки аппроксимации исполь- зовался функционал 1 dxxKdxxHxKH . (2) Ошибки равномерной и гауссовской ап- проксимаций составляют R 24,6 % и G 61,0 % соответственно. Полученные оценки точности аппроксимации подтверждают положение о необходимости поиска новых спо- собов аналитического описания немонотонного осесимметричного распределения интенсивно- сти лазерного излучения. Основной идеей решения сформулирован- ной задачи является аналитическое представле- ние моделей распределения интенсивности из- лучения немонотонного поверхностного источ- ника в виде многообразия сдвигов базисной функции 1 , , , N n n n W x N A F x P (3) где nPxF , – базисная функция разложения; x – аргумент базисной функции, простран- ственная переменная; nP – вектор параметров базисной функции. Строгое обоснование возможности аппрок- симации произвольной функции содержится в работах Н. Винера, Н. Ахиезера [7]. Для удобства дальнейшего использования при решении задачи теплопроводности в каче- стве базисной функции F(х) разложения (1) обосновано использование функции Гаусса, вид которой определяется 2 0 exp,, x qxG , (4) где 0q – максимальное значение интенсивно- сти; – параметр, определяющий ширину пуч- ка; – то же, определяющий положение функ- ции ,,xG на оси x . Выбор гауссовской функции основывается на том, что она удовлетворяет необходимым требованиям к базисной (преобразование Фурье не обращается в нуль на всей прямой), а кроме 2 1 20 60 120 I, о е. Машиностроение и машиноведение 6 Наука техника, № 1, 2013 и Science & Technique того, гауссоида является собственной функцией линейного стационарного уравнения теплопро- водности. Поэтому в ряде случаев решение уравнения теплопроводности можно находить как суперпозицию все тех же гауссовских функций. Кроме того, появляется возможность использования существующих решений урав- нения теплопроводности для нормально-круго- вых источников [8, 9], что, в свою очередь, по- зволяет представлять искомое тепловое поле в виде суперпозиции известных решений. При таком выборе вектор параметров nP бу- дет представлен совокупностью параметров 0 ,jq j, j. Число базисных функций, участвующих в сумме [5], принято равным пяти по числу ло- кальных максимумов в кривой эксперимен- тального распределения интенсивности (рис. 2). Таким образом, общее число параметров моде- ли, подлежащих определению, равно 15. Для определения оптимальных значений [10] пара- метров 0 ,jq ,j j 1, ...,j N введем в рас- смотрение функционал 2 , .N K x W x N dx (5) В этом случае оптимальные параметры мо- гут быть определены путем численного реше- ния системы уравнений: 0 0, 1, ..., ; 0, 1, ..., ; 0, 1, ..., . j j j N j N q N j N N j N (6) Для экспериментального распределения (рис. 2) оптимальные параметры составляют: q0j: 634,25; 493,34; 506,4; 493,03; 634,1; j: 5,76; 12,82; 20,25; 27,67; 34,73; j: 0,09; 0,089; 0,037; 0,089; 0,09. Параметры 0 ,jq ,j j использованы при построении сдвигового представления (3) ре- зультатов экспериментальных исследований. На рис. 3 представлено xW распределение интенсивности лазерного излучения xK ба- зисными функциями 1( ),G x 2 ( ),G x 3( ),G x 4 ( ),G x 5 ( ),G x параметры которых определены в результате решения (6). 2 1 0 1 2 xK xW xG1 xG2 xG3 xG4 xG5 см r, ед.отн,I 1 –2 –1 0 1 2 r, см Рис. 3. 1 – кубическая сплайн-аппроксимация K(x); 2 – сдвиговая аппроксимация W(x); 3 – ее составляющая для интенсивности лазерного излучения G1(x); 4 – то же G2(x); 5 – то же G3(x); 6 – то же G4(x); 7 – то же G5(x) Результаты исследований позволили пред- ставить исходное распределение интенсивности в виде совокупности гауссовых источников, удобном для дальнейшего определения темпе- ратурного поля (рис. 4). При этом точность ап- проксимации, вычисленная по формуле (2), со- ставила 2,2 % при числе сдвигов N = 5. Та- ким образом, установлено, что предлагаемый способ позволяет более точно учесть особенно- сти взаимодействия излучения и обрабатывае- мой поверхности, что, в свою очередь, способ- ствует повышению точности математического моделирования [11]. мм,xммy, ед.отн,I Рис. 4. Сдвиговая аппроксимация для интенсивности лазерного излучения I, . е. 1 1 2 3 4 5 6 7 I, о. е. –20 –10 20 10 0 х, мм –20 –10 20 10 0 у, мм 600 200 Машиностроение и машиноведение 7 техника, № 1, 2013 и Наука Science & Technique В Ы В О Д Ы Известные упрощенные представления (рав- номерное R и гауссово G ) не достаточно точ- но описывают распределение интенсивности лазерного излучения по сечению пятна, что подтверждает представленная в статье ошибка аппроксимации ( [R] 24,6 % и [G] 61,0 %). Отмеченное обстоятельство существенно сни- жает эффективность математического модели- рования процесса лазерной обработки с ис- пользованием результатов упрощенных пред- ставлений. Точность описания распределения интен- сивности лазерного излучения можно повысить в результате определения зависимостей рас- пределения, а затем аппроксимации получен- ных результатов экспериментов в виде супер- позиции базисных функций, что подтверждают результаты исследований (ошибка аппроксима- ции 2,2 %). Перечень принятых обозначений и сокращений: r – радиус пятна нагрева; q(x) – интенсивности лазерного излучения как функция координаты x; x – координата в поперечном направлении отно- сительно оси лазерного луча; – параметр, определяющий ширину пучка (ко- эффициент сосредоточенности); K(x) – кубическая сплайн-интерполяция распре- деления интенсивности лазерного излучения; R(x) – равномерная аппроксимация распределе- ния интенсивности лазерного излучения; G(x) – гауссовcкая аппроксимация распределе- ния интенсивности лазерного излучения; W(x) – сдвиговая аппроксимация распределения интенсивности лазерного излучения; [M] – ошибка распределения M; N – количество базисных функций, аппроксими- рующих экспериментальное распределение; i – параметр, определяющий положение i-й ба- зисной функции; Ai – амплитуда i-й базисной функции. Л И Т Е Р А Т У Р А 1. Повышение долговечности трущихся элементов вращательных кинематических пар механизмов машин на основе моделирования их износа / И. П. Филонов [и др.] // Современные методы проектирования машин: Респ. межведомств. сб. науч. тр. – Вып. 2: в 7 т. / под общ. ред. П. А. Витязя. – Минск, 2004. – Т. 4. – С. 127–132. 2. Девойно, О. Г. Технология формирования износо- стойких поверхностей лазерным легированием / О. Г. Де- войно. – Минск: Технопринт, 2001. – 180 с. 3. Учет немонотонности пространственного распреде- ления лазерного излучения при расчете режимов термиче- ской обработки массивных изделий / А. А. Углов [и др.] // МиТОМ. – 1989. – № 11. – С. 9–13. 4. Снижение трещинообразования при оплавлении покрытий из самофлюсующихся сплавов лазерным лу- чом / В. Н. Чачин [и др.] // Физика и химия обработки материалов. – 1991. – № 1. – С. 125–131. 5. Рэди, Дж. Действие мощного лазерного излучения: пер. с англ. В. А. Баталова и И. К. Красюка. – М.: Мир, 1974. – 470 с. 6. Эндрюс, Дж. Сверление лазером / Дж. Эндрюс, Д. Р. Этси // Математическое моделирование. – М., 1979. – С. 81–93. 7. Ахиезер, Н. И. Лекции по теории аппроксимации / Н. И. Ахиезер. – М.: Наука, 1965. – 407 с. 8. Рыкалин, Н. Н. Расчеты тепловых процессов при сварке / Н. Н. Рыкалин. – М.: ГНТИМЛ, 1951. – 298 с. 9. Пилипчук, А. П. Построение и анализ температур- ного поля при воздействии немонотонного лазерного из- лучения / А. П. Пилипчук // Машиностроение. – 2003. – Вып. 19. – С. 111–116. 10. Кочеров, А. Л. Способ определения оптимальных коэффициентов разложения при сдвиговой аппрокси- мации функций / А. Л. Кочеров // Цифровая обработка информации и управление в чрезвычайных ситуациях: материалы первой междунар. конф.: в 2 т. / Ин-т техн. кибернетики НАН Беларуси. – Минск, 1998. – Т. 1. – С. 124–127. 11. Девойно, О. Г. Моделирование многомодового излучения лазера как этап синтеза технологии оплавления газотермических покрытий / О. Г. Девойно, А. П. Пилип- чук, А. Л. Кочеров // Машиностроение. – 2000. – Вып. 16. Поступила 02.05.2012