Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика № 1» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ М и н с к 2 0 0 6 УДК 519.2(075.4) ББК 22.17я7 М 54 Составители: Н.А. Микулкк, А.В. Метельский, Н.И. Ч&'пелев, Т.И. Чепелева, О.Р. Ггбасова, З.Н. Примичева Рецензенты: В.В. Карпук,В.И. Каскевич Настоящие методические указания и контрольн^1е задания пред­ назначены для студентов второго курса машиностроительных спе­ циальностей БНТУ, занимающихгя по заочной фop^vIe обучения. Работа содержит основные понятия из программы по теории ве­ роятностей и математической статистике, типовые примеры и кон­ трольные задания (20 вариантов). С1’удент должен изучить теоретический материал, разобрать приведенные решения типовых примеров, а затем выполнить кон­ трольные задания. Вариант задания совпадает с двумя последними цифрами шифра зачетной книжки. Если номер шифра больше два­ дцати, следует от него отнимать двадцать до тех пс>р, пока ие полу­ чится число, меньшее или равное двадцати. Это и будет номер ва­ рианта. Например, шифр содержит две последние дафры 76, номер варианта будет 76 - 20 - 20 - 20 = 16. Шестнадцат^>1Й вариант зада­ ния содержит задачи с номерами: 16, 36, 56, 76, 90, 116, 136. Если шифр варианта 00, то слудент выполняет 20-й вариант. © БНТУ,2006 ВОПРОСЫ д л я п о д г о т о в к и к ЭКЗАМЕНУ п о ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ 1. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. 2. Классическое, геометрическое и статистическое определения вероятности. 3. Свойства вероятности. 4. Теорема сложения вероятностей. 5. Теорема умножения вероятностей. 6. Формула полной вероятности. 7. Формулы Байеса. 8. Схема повторных независимых испытаний. Формула Бернулли. 9. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. 10. Формула Пуассона. 11. Случайные величины (СВ). Закон распределения СВ. Непре­ рывные и дискретные СВ. 12. Математическое ожидание и его свойства. 13. Дисперсия и ее свойства. 14. Функция распределения и ее свойства. 15. Плотность распределения вероятностей и ее свойства. 16. Биномиальный закон распределения. Математическое ожи­ дание и дисперсия СВ, распределенной по биномиальному закону. 17. Распределение Пуассона. Математическое ожидание и дис­ персия. 18. Равномерный закон распределения. Математическое ожида­ ние и дисперсия. 19. Показательный закон распределения. Математическое ожи­ дание и дисперсия. 20. Нормальный закон распределения. Функция и плотность рас­ пределения. Математическое ожидание и дисперсия. 21. Вероятность попадания нормально распределенной СВ в ин­ тервал. Вероятность отклонения СВ от математического ожидания по модулю. Правило трех сигм. 22. Двумерные СВ. Закон распределения. Условный закон рас­ пределения. 23. Числовые характеристики двумерных СВ. Условное матема­ тическое ожидание и условная дисперсия. 24. Корреляционный момент и его свойства. 25. Коэффициент корреляции и его свойства. 26. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. 27. Теорема Чебышева. 28. Теорема Бернулли. 29. Центральная предельная теорема Ляпунова. 30. Генеральная и выборочная совокупности. Вариационный ряд. 31. Полигон и гистограмма. 32. Эмпирическая функция распределения и ее свойства. 33. Понятия выборки и выборочной функции (статистики). Вы­ борочная средняя и выборочная дисперсия. 34. Оценки параметров распределения. Точечные оценки и тре­ бования, предъявляемые к ним. 35. Точечные оценки для математического ожидания и диспер­ сии генеральной совокупности. 36. Интервальные оценки. Доверительный интервал. 37. Построение доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной СВ при известном среднем квадратическом отклонении. 38. Распределение Стьюдента. 39. Построение доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной СВ при неизвестном среднем квадратическом отклонении. 40. Распределение Пирсона. 41. Построение доверительного интервала для среднего квадра­ тического отклонения нормально распределенной СВ. 42. Понятие о статистических гипотезах и критериях согласия. 43. Критерий согласия Пирсона ). 44. Критерий согласия Колмогорова. 45. Выборочный коэффициент корреляции и его свойства. 46. Уравнение регрессии. Линейная регрессия. Определение ко­ эффициентов линейной регрессии методом наименьших квадратов. 47. Нелинейная регрессия. Определение параметров нелинейной регрессии. 1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая стати­ стика. - М.: Высшая школа, 1997. 2. Микулик, Н.А., Метельский, А.В. Теория вероятностей и ма­ тематическая статистика. - Мн.: Пион, 2002. 3. Фигурин, В.В., Оболонкин, В.В. Теория вероятностей и мате­ матическая статистика. - Мн.; Новое знание, 2000. 4. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории веро­ ятностей и математической статистике. - М.; Высшая школа, 1997. 5. Гусак, А.Д., Бричикова, Е.А. Теория вероятностей: справочное пособие к решению задач. - Мн.: ТетраСистемс, 1999. 6. Микулик, Н.А., Рейзина, Г.Н. Решение технических задач по теории вероятностей и математической статистике. - Мн.: Вышэй- шая школа, 1966. 7. Гайшун, Л.Н., Игнатьева, Г.К., Велько, О.А. Теория вероятно­ стей. - Мн.: МПУ, 2002. 8. Высшая математика для инженеров. В 2 т. Т. 2 / Под ред. Н.А. Микулика. - Мн.: Элайда, 2004. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ 1. Элементы комбинаторики. Пространство элементарных событий. Определения вероятности 1.1. Элементы комбинаторики Пусть дано множество, состояш,ее из п различных элементов: ^ = {сО],со2 ,...,со„}. Перестановкой на множестве из п элементов называется всякое упорядоченное множество, состоящее из этих п элементов. Число перестановок на множестве из п элементов Р„ оп­ ределяется по формуле = п\- Две различные перестановки состоят из одних и тех же элемен­ тов, но отличаются порядком следования элементов. Пример 1.1. Имеются четыре вакантные должности и четыре претендента на эти должности. Сколькими способами можно за­ полнить эти должности? Решение. Д = 4! = 24. Литература Размещением на множестве из п элементов по т элементов на зывается любое упорядоченное подмножество, содержащее т эле­ ментов. Два размещения считаются различными, если они состоят из различных элементов или состоят из одних и тех же элементов но отличаются порядком следования элементов в наборе. Число размещений на множестве из п элементов по т элементов определя­ ется формулой = — —— . { п -т )\ Пример 1.2. Сколькими способами можно рассадить группу из 20 студентов по 3 студента за стол? т 20' Решение. Жп = -------- —^ = 20 • 19 ■ 18 = 6840. (20 -3 ) ! Сочетанием на множестве из п элементов по т элементов назы­ вается всякое неупорядоченное подмножество, содержащее т эле­ ментов. Два различных сочетания отличаются хотя бы одним эле­ ментом. Число сочетаний на множестве из п элементов по т эле­ ментов определяется формулой ^ ------ . т \{ п -т )\ Пример 1.3. В ящике 5 деталей. Сколькими способами из ящика можно взять 3 детали? •J 5! 4-5 Решение. С« = -----= ------ = 10. ^ 3!2! 1 ■ 2 1.2. Классическое определение вероятности Элементарным событием или исходом называется всякая воз­ можная реализация эксперимента. Множество Q = {ш,-} всех эле­ ментарных событий называется пространством элементарных собы­ тий. Любое подмножество пространства элементарных исходов на­ зывается случайным событием. Исход та, благоприятствует собы­ тию А, если появление исхода та, влечет появление события А. Ве­ роятность события характеризует степень объективной возможно­ сти наступления этого события. Вероятностью Р(А) события А на­ зывается отношение числа исходов, благоприятствующих появле­ нию события А, к общему числу равновозможных исходов; пгде п - общее число исходов; т - число исходов, благоприятствую­ щих появлению события А. Пример 1.4. В группе 8 юношей и 5 девушек. Из группы слу­ чайным образом отбирается 5 студентов. Найти вероятность того, что среди них окажутся 4 девушки. Решение. Пусть событие А состоит в том, что из 5 случайно ото­ бранных студентов окажутся 4 девушки. Общее число исходов бу­ дет равно количеству способов, сколькими из 13 студентов можно отобрать по 5 студентов; и = С^з . Благоприятствовать событию А будут те исходы, в которых будут 4 девушки и 1 юноша: m = Cs" • . Тогда Р(Л ) = - = = = 0,031. Ci3 1287 1.3. Геометрическое определение вероятности Пусть указана область Q, из которой наудачу выбирается точка. Вероятность того, что выбранная точка одновременно попадет в область А (А ^ пропорциональна мере области А (длине, площа­ ди, объему); мера Q Понятие геометрической вероятности обобщает классическое определение вероятности на случай опытов с бесконечным числом исходов. Пример 1.5. Случайно поставленная точка принадлежит квадра­ ту со стороной 4. Найти вероятность того, что она попадет в круг, вписанный в этот квадрат. Решение, Пусть событие А состоит в том, что случайно постав­ ленная точка попадет в круг, вписанный в квадрат. Тогда = ^ Н И 2 _ = ^ = 0.785 ^ ‘^ квадрата 4 4 1.4. Статистическое определение вероятности Пусть некоторый эксперимент повторяют п раз, в результате это го событие А наступило т раз. Относительной частотой w(A) события А называется отношение количества испытаний, в которых наступило событие^, к общему числу проведенных испытаний: w(A) = — . п Если число испытаний неограниченно увеличивать, то относи­ тельная частота события «стремится» к вероятности наступления события А. Поэтому при статистическом определении вероятности полагают Р{А) = тп(А). 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей 2. ]. Теорема сложения вероятностей Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления; Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р { А В ) . Если события несовместные, то вероятность суммы событий равна сумме вероятностей: Р ( А ^ + А 2 + А ^ + . . . + А„) = Р(А^) + Р(А2) + Р(А^) + ... + Р(А„). Сумма вероятностей двух противоположных событий равна 1: Р(А) + Р ( А ) ^ 1 . 2.2. Теорема умножения вероятностей В ер о я т н о ст ь произведения двух событий равна произведению в ер оя т н ости одного события на условную вероятность второго со­ бытия при условии, что произошло первое событие: Р{АВ) = Р{А) ■ Pi f i lA) = Р (5 ) • Р{А1В) . Если события Ai, А2 , А^,...,А^ являются независимыми, то ве­ роятность произведения событий равна произведению вероятностей этих событий: Р(Аг А 2 - А , - . . . - А „ ) = Р ( А , ) - Р ( А 2 ) - Р ( А ^ ) - . . . - Р ( А , ) . Пример 2.1. Найти вероятность того, что случайно взятое дву­ значное число будет кратным 2 или 5. Решение. Пусть событие А - случайно взятое число, кратное 2 или 5, Б - число, кратное только двум; С - число, кратное 5. Тогда А = Б + С , где В и С - совместные события. Найдем вероятности этих событий: Р(^В) = - = ~ ^ - = 0,5- Р (С ) = — = 0 ,2; Р { В С ) ^ — = 0, \ . « 90 2 90 90 Р{А) = Р{В + С) = Р(В) + Р{С) - Р(ВС) Р(А) = 0,5+ 0 ,2 -0 ,1 = 0,6. Пример 2.2. Для подготовки к экзамену студентам дано 50 во­ просов. Студент, идя на экзамен, выучил 40 вопросов. Найти веро­ ятность того, что студент сдаст экзамен, если для сдачи необходимо ответить на 2 вопроса из двух, предложенных экзаменатором. Решение. Пусть событие А - студент сдал экзамен; В - студент ответил на ]-й вопрос; С - студент ответил на 2-й вопрос. Тогда = В С , события В и С - зависимые: Р(ВС) = Р(В)Р(С / В ) . Найдем вероятности Р(В) и Р{С / В ) , используя классическое оп­ ределение вероятности: 40 Р (5 ) = — = 0,8; Р {С !В ) = ~ = 0,796 ^ Р(А) = Р{ВС) = 0,8 • 0,796 = 0,637 3. Формула полной вероятности. Формулы Байеса 3.1. Формула полной вероятности События Я ] ,Я 2 ,Я з , . . . ,Я „ образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и их сумма равна достоверному со­ бытию; 1) H^Hj = 0 , если i * j ■, г=1 Пусть событие А может наступить совместно с одним из собы­ тий образующих полную группу, тогда вероят­ ность события А определяется по формуле ? ( л ) = | ; р ( я , ) р ( л / я , ) . (=1 Эта формула называется формулой полной вероятности, а собы­ тия Я ] ,^ 2 , . -гипотезами. Пример 3.1. По линии связи передаются два сигнала^ и В соот­ ветственно с вероятностями 0,4 и 0,6. Из-за помех 1/6 сигналов А искажается и принимается как В, а 1/5 сигналов В искажается и принимается как А. Найти вероятность того, что будет принят сиг­ нал А. Решение. Рассмотрим события: А - принят сигнал А; Н\ - пере­ давался сигнал А\ Hi - передавался сигнал В. События Н\ и Нг обра­ зуют полную группу событий, поэтому 10 Р{А) = Р { Щ) Р{ А 1 Н , ) + Р(Н2 ) Р( А/ Н2) . Р ( Н О - 0 А ; Р ( А / н о - ^ ; о Р (Я 2 ) = 0,6; Р ( А / Н 2 ) = ^ . Р(А) = 0,4 • - + 0,6 • - = 0,333 + 0,120 = 0,453. 6 5 3.2. Формулы Байеса Пусть событие А может наступить при условии появления одно­ го из событий Я | , Я 2 ,Я з , . . . ,Я „ , которые образуют полную груп­ пу событий. Если событие А произошло, то вероятности гипотез определяются по формулам Байеса: Р { Н Л Р { А ! Н Л P ( H j l A ) = ----- / = 1,2 , 3 ............................. п. Р(А) Пример 3.2. Число грузовых автомобилей, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе, как 2:3. Вероятность того, что будет заправляться грузовая автомашина, равна 0 ,1; для легко­ вой машины эта вероятность равна 0,3. К бензоколонке подъехала для заправки автомашина. Найти вероятность того, что это грузовая автомашина. Решение. Пусть событие А - к бензоколонке подъехала для за­ правки автомашина; Н\ - подъехала грузовая автомашина; Нг - подъехала легковая автомашина. Тогда Р { Щ ) Р { А 1 Щ ) ^ Р { Н 2 ) Р { А 1 Н 2 ) = Р (^ /Я 1 ) = 0,1; Р(Я 2) = | ; Р ( ^ /Я 2 ) = 0,3; 11 а д / -4) = ^ o ' ^ 3 0 3 “ 0,04 + 0,18 = 0^22 ■ 4. Схема повторных независимых испытаний (схема Бернулли) 4.1. Формула Бернулли Если производится п независимых испытаний, в результате ко­ торых могут быть только два исхода, А или А , с неизменными ве­ роятностями Р(А) = р, P(A) = q , то такая схема испытаний на­ зывается схемой Бернулли. Если в каждом из п независимых испытаний вероятность появ­ ления события А постоянна (равна р) и отлична от О и 1, то вероят­ ность того, что в л испытаниях событие А произойдет ровно т раз, определяется по формуле Бернулли: = q = \ - p . Пример 4.1. Прибор состоит из четырех узлов. Вероятность без­ отказной работы в течение смены для каждого узла равна 0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность то­ го, что в течение смены откажут ровно два узла. Решение. Из условия задачи п ~ А , т = 2, р = 0,2, q = 0,8 . Используя формулу Бернулли, получим А (2) = C j p \ ^ ^ — ■0,2"-0,8^= ОД54 . 4.2. Локальная и интегральная теоремы Муавра - Лапласа Локальная теорема Муавра ~ Лапласа. Если вероятность появ­ ления события А в каждом из независимых испытаний постоянна 12 (равна р) и отлична от О и 1, а число испытаний п достаточно вели­ ко, то вероятность того, что в п независимых испытаниях событие наступит ровно т раз, приближенно определяется по формуле _ , . ф(х) , . 1 “Т т - п р . где ф ( х ) = ^ = е 2^ X = ■ ^ , q = l - p . ^jnpq л/2л yjripq Функция ф(х) является четной функцией: ф (-х ) = ф (х ). Для функции ф(х) построены таблицы значений, с помощью которых находятся ф(х) по вычисленным значениям х. Пример 4.2. Вероятность того, что автомат выпускает стандарт­ ную деталь, равна 0,9. Какова вероятность того, что из 400 выпу­ щенных автоматом деталей 356 окажутся стандартными? Решение. Из условия задачи/) = 0,9; п = 400; т = 356; q= 1 -р = 0,\. Так как п велико и npq = 400 • 0,9 • 0,1 = 36 > 10, то можно приме­ нить локальную теорему Муавра - Лапласа. 3 5 6 -4 0 0 -0 ,9 = -0 ,6 7 ; V400-0,9-0, l ф (-0,67) = ф(0,67) = 0,3188; ^400(356) = --0 ,3 1 8 8 = 0,053. 6 Интегральная теорема Муавра - Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом из независимых испытаний посто­ янна и отлична от О и 1, а число испытаний велико, то вероятность того, что в п независимых испытаниях событие А появится от т\ до « 2 раз, определяется по формуле Рп{тх,т2)~Ф{,Х2)-Ф{х^) , 13 где Ф(л:) = -Д = — функция Лапласа; у/2п о W, - п р nij - п р 1^ = ■ — ; ^2 =■ 1— ч = ^ - р - ^Jnpq ^n p q Функция Лапласа является нечетной функцией; Ф (-х ) = -Ф (х); Ф(х > 5) « 1/2 . Значения функции Лапласа берут из таблицы по найденным зна­ чениям X. Пример 4.3. Вероятность реализации одной акции некоторой компании равна 0,8, Брокерская фирма предлагает 100 акций этой компании. Какова вероятность того, что будет продано не менее 70 и не более 85 акций? Решение. По условию задачи п = 100, т\ = 70, ГП2 = 85,/? = 0,8. Находим 8 5 -8 0 . . . Х2 = ~ г = = = — = 1’25 . VlOO-0,8-0,2 Поэтому Р,оо (70; 85) = Ф (1,25) - Ф (-2 ,5) = 0,3944 + 0,4938 = 0,8882. 14 4.3. Формула Пуассона Если в схеме Бернулли п велико, а вероятность появления собы­ тия р мала, то вероятность того, что в п испытаниях событие насту­ пит ровно т раз, определяется по формуле P n i ^ ) ~ ----- Г - . =ml Формулу Пуассона обычно применяют, если р < 0,01; и >100 и «р < 10. Пример 4.4. При массовом производстве шестерен вероятность брака равна 0,002. Найти вероятность того, что из 500 выпущенных шестерен будет ровно 2 бракованных. Решение. По условию задачи п = 500 и w = 2, р = 0,002, Х = пр = = 500 • 0,002 = 1 < 10. Для нахождения вероятности воспользуемся формулой Пуассона: 1 ^500(2)— ^ = - = 0,184. 5. Случайные величины 5.1. Понятие случайной величины Случайной величиной (СВ) называется числовая функция X = X (та), заданная на пространстве элементарных исходов Q и такая, что для любого действительного числа х определена вероят­ ность Р { Х <х) . Случайная величина - это величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем не­ известно заранее, какое именно. Различают два вида СВ: дискрет­ ные и непрерывные. Дискретная СВ - это величина, которая при­ нимает счетное или конечное число значений. Непрерывной СВ на интервале (а; й) называют СВ, которая может принять любое значе­ ние из (а; Ь). Чтобы задать СВ, нужно задать закон распределения. Закон распределения дискретной СВ - это соответствие между воз- 15 можными значениями СВ и вероятностями их появления. Закон распределения дискретной СВ записывается в виде таблицы X/ Х\ XI х„ Pi Р\ Рг Рг, г=1 5.2. Функция распределения случайных величин и ее свойства Функцией распределения СВ (интегральной функцией распреде­ ления) называется функция F{x), х е R , равная вероятности того, что СВ X принимает значение меньшее х, т.е. F{x) = Р ( Х < х ) . Свойства функции распределения: 1. 0 < F ( x ) < l . 2. F{x) - неубывающая функция, т.е. Xj < Х2 => ^ (^ i) ^ Р{^2) ■ 3. lim F{x) = О, lim F{x) - 1. х~>~со X->00 4. Р { а < Х О . 2. F \ x ) = p{x) . 16 3. \p{x )dx = \ 4. F ( a < ^ < b ) = ( p ( x ) dx . Чтобы задать закон распределения непрерывной СВ, необходимо задать или плотность распределения, или функцию распределения. Пример 5.1. Партия изделий содержит 10 % нестандартных. Пусть СВ X - число стандартных изделий в партии из 5 изделий. Требуется составить закон распределения СВ и записать функцию распределения. Решение. СВ X может принимать значения = 0; 1; 2; 3; 4; 5. Вероятность P { X = Xj^) найдем по формуле Бернулли: ■ По условию задачи и = 5; р = 0,9; ^ = 0,1. = р ( Х = 0) - С ? = 0,00001, р^ = Р ( Х = 3) = C j р^д^ = 0,0729, р^ = Р ( Х = 4) = р \ = 0,32805, р^ = Р ( Х = 5) = С | р^д^ = 0,59049. Запищем закон распределения СВ. X, 0 1 2 3 4 5 Р' 0,00001 0,00045 0,0081 0,0729 0,32805 0,59049 Найдем функцию распределения. По определению 17 F{x) = P ( X < x ) = Z P i - i\Xj 5 F (x ) = 1 . Окончательно F(x) = 0, если х < 0 . 0,00001, если 0 < X < 1, 0,00046, если 1 < X < 2, 0,00856, если 2 < X < 3, 0,08146, если 3 < X < 4, 0,40951, если 4 < X < 5, 1, если х > 5 . Пример 5.2. Непрерывная СВ задана плотностью распределения Го р{х) = при X < о, сх^ при о < X < 2, О при х > 2 . Требуется найти значение параметра с и записать функцию рас­ пределения. Решение. Значение параметра с определим, используя свойство СО плотности распределения: j р{х) d x - \ . — 00 18 ex' p{x) dx = \Q dx + jcx dx + dx = 3 -00 0 2 3 2 8 = —c = l=i>c = —. Функцию распределения определим из условия д: F { x ) - \ p { x )dx . Для X < О F{x) = |0 й?х: = 1; - 0 0 о ;t о уЗ д л я 0 < х < 2 F( x) = d x d x = — ; - i > 8 о 2 о ;с ^ 3 д л я х > 2 F { x ) = \0 dx + \ - x ^ dx + \0 dx = ^ 2 Значит, F( x ) = -00 о О, X < О, х^ — , 0 < х < 2 , 8 = 1 . 1, X > 2, Пример 5.3. Дана функция распределения СВ F(x) = О, х < 0 , х > 0 . Нужно определить плотность распределения. Решение. Плотность распределения определим из свойства плотности распределения: р{х) = F ' { x ) . р(х) = О, х < 0 , З е ~ ^ \ х > 0 . 19 6. Числовые характеристики случайных величин К числовым характеристикам СВ относятся: математическое ожидание М(Х), дисперсия D(X), среднее квадратическое отклоне­ ние <У(Х), начальные и центральные моменты и др. 6.1. Математическое ожидание и его свойства Дискретная СВ принимает значения Х|, Х2 , . . . , с вероятно­ стями Р\, Р 2 ^--->Рп- Математическим ожиданием СВ называется число М{Х), которое определяется соотношением 1=1 Если непрерывная СВ задана плотностью распределения р{х) , то математическое ожидание определяется интегралом: М ( Х ) = ] х р(х) dx . -0 0 Математическое ожидание характеризует среднее значение СВ. Свойства математического ожидания: 1. М{с) = с, где с = co n s t. 2. М{кХ) = кМ(х ) , где к = const. 3. M { X + Y ) =: M{ X ) + M{ Y) . 4. М { Х ■ 7 ) = М { Х ) ■ M ( Y ) , если СВ Л и У независимы. 6.2. Дисперсия и ее свойства Начальным моментом к-го порядка называется математическое ожидание СВ X*. 20 к ^ к= М { Х ) = Pi дискретных случайных величин. 1=1 СО Vk = \ х ^р(х ) dx для непрерывных случайных величин. -С 50 Центральным моментом к-го порядка называется математиче­ ское ожидание СВ ( X - М{ Х ) ) ^ = М { { Х - М (Х ))* ) = Z ~ для дискретных 1=1 случайных величин, СО )Li^ = \ { x - M { X ) Y p i x ) d x для непрерывных случайных ве- - 0 0 личин. Дисперсией называется центральный момент второго порядка Дисперсия характеризует степень разброса значений СВ относи­ тельно математического ожидания. Дисперсия СВ равна разности математического ожидания квадрата СВ и квадрата математическо­ го ожидания: D{ X) = M [ X ^ ) - { M { X ) f . Свойства дисперсии: 1. D ( X ) > 0 . 2. D { k X ) = D(X) , где = const. 3. D{C) = О, где С = co n st. 4. D ( X + F) = D ( X ) + D{Y) , X , Y - независимые CB. 21 Средним квадратическим отклонением СВ называется корень квадратный из дисперсии СВ: Пример 6.1. Дискретная СВ задана законом распределения. Тре­ буется найти М{Х), D{X), а(Х). X, 0 1 2 3 Pi 0,1 0,3 0,4 0,2 Решение. = 0 '0 , ]+1 -0 ,3 + 2-0,4 + 3-0,2 = 1,7, 1=1 М { Х ^ ) = f x f Pi = 0^ ■ ОД + • 0,3 + 2^ • 0,4 + 3^ • 0,2 = 3,7 1=1 D { X ) = M { X ^ ) - { M { X ) f = 3 ,7 -(1 ,7 )2 =0,81, С5{Х) = ^ D { X ) - = 0,9 . Пример 6.2. Непрерывная СВ задана плотностью распределения р{х) = О, х < 0 , х > \ , Зх^, 0 < х < 1 . Требуется вычислить М{Х), D{X), а{Х). Решение. М ( Х ) - ] х р (х )с к = |3х^ dx = Зх ' о 3 4 00 1 Q - М { Х ^ ) = j x^p(x)dx=^ 13х^ сЬс = — 22 D{ X) = M { X ' ^ ) - { M { X ) f = 1 — ^ = = ^ 5 16 80 80 a ( X ) = , f ^ x j = J ^ = 0,194. 7. Законы распределения случайных величин 7.1. Законы распределения дискретных случайных величин СВ X, которая принимает значения О, 1,2,. . . , п с вероятностями Р { Х = к) — , называется распределенной по биномиаль­ ному закону. Биномиальный закон распределения может быть пред­ ставлен в виде таблицы: X, О 1 Pi 9” п~2^ п Р Ч Для биномиального закона М ( X ) = пр\ D { X ) - npq . Дискретная СВ X называется распределенной по закону Пуассона, если она принимает целые неотрицательные значения О, 1, 2,... с ве­ роятностями, которые определяются по формуле Пуассона: Р { Х = к ) = ^ е ~ ^ , Х ^ п р . к\ Для закона Пуассона М {X) = D{ X) ~ X . Пример 7.1. Производятся 3 независимых испытания, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью 0,4. СВ X - число появлений события А. Требуется составить закон распределения и вычислить числовые характеристики. Решение. СВ X принимает значения О, 1, 2, 3, 4 и распределена по биномиальному закону. Определим вероятности: P ( Z - 0 ) = =0,6^ =0,1296, 23 P { X = l ) ^ C \ p q ^ 0,4 • 0,6^ = 0,3456, P { X = 2) = С | /7^ = 6 ■ 0,16 ■ 0,36 = 0,3456, P { X = 3) = C l p ^ q = 4 - 0,064■ 0,6 = 0,1536 , P ( X = 4) = p'^ = 0A^ =0,0256. Закон распределения имеет вид о 1 0,1296 0,3456 0,3456 0,1536 0,0256 М ( Х ) ^ п р = 4-0,4 = 1,6, D { X ) = npq = 4-0,4-0,6 = 0 ,96, о ( Х ) = ^ D { X ) = = 0,98. Пример 7.2. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Вероятность того, что в течение часа абонент позвонит на станцию, равна 0,01 и постоянна для всех абонентов. Найти вероятность того, что на станцию в течение часа позвонят не более двух абонентов. Решение. По условию задачи п = 400; р = 0,01; т < 2 \ Х = 4. А о о ( w < 2 ) = Р 400( 0) + P 4Q0( 1) + / 400( 2 ) = О! 1! 21 -е-^ = = е ~ \ 1 + 4 + 8 ) = 13 ^ ~ 54,576 = 0,238. 24 7.2. Законы распределения непрерывных случайных величин СВ X называется равномерно распределенной на отрезке [а; Ь], если плотность распределения СВ на этом отрезке постоянна и рав­ на — — , а вне отрезка - равна 0; Ь - а р { х ) ^ О, X <а\ х>Ъ\ \J{b~a), X е\а\Ь Для СВ, распределенной по равномерному закону, справедливы следующие соотношения: F{x) = М { Х ) = О, х - а а + Ь х < а , а < X <Ь, Ь - а 1, х > Ь , D{X) = ф - а У 12 Непрерывная СВ X, принимающая значения с плотностью рас­ пределения р { Х ) = О, х < 0 , X > О, называется распределенной по показательному (экспоненциально­ му) закону с параметром А, > О . Для СВ, распределенной по показа­ тельному закону, справедливы следующие соотношения: F{X) = О, х < 0 , 25 Р(а < X < р) = СВ X называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения имеет вид А- Л, р{х) = , 2а" , а > 0 , где а и а - параметры распределения. Для нормально распределен­ ной СВ справедливы следующие соотношения: F (x ) = ^ + 0 / \ х - а а , М(Х) = а, D{X) = <5\ Вероятность попадания нормально распределенной СВ на отре­ зок а ; |3j вычисляется по формуле / Р(а < Z < р) = Ф Гр-а^ - Ф / \ а ~ а 1 СГ J 1 СГ J Вероятность отклонения нормально распределенной СВ от ее математического ожидания по абсолютной величине определяется по формуле Р { Х - а <б) = 2Ф т Вероятность модуля отклонения относительной частоты та = — п от вероятности наступления события р в серии из п независимых испытаний выражается формулой 26 Р(\тп - р < s) = 2Ф pq Пример 7.3. Автобусы некоторого маршрута ходят строго по расписанию. Интервал движения 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 минут. Решение. Случайная величина X - время прихода пассажира на остановку, распределена равномерно на [0; 5]. Плотность распреде­ ления вероятностей имеет вид О, [о, 5 1/5, х е 0 ,5 ]. Пассажир будет ожидать автобус менее 3 минут, если он подой­ дет к остановке в интервале времени от 2 до 5 минут после отправ­ ления автобуса. Л X Р { 2 < х < 5 ) = j - d x = - о 5 5 5 5 Пример 7.4. Время Т безотказной работы двигателя автомобиля распределено по показательному закону. Известно, что среднее время наработки двигателя на отказ между техническим обслужи­ ванием - 100 часов. Определить вероятность безотказной работы двигателя в течение 80 часов. Решение. По условию задачи математическое ожидание СВ Т равно 1 _2 100 часов. Следовательно, — = 100, А, = 10 . Тогда плотность рас- А- пределения времени безотказной работы двигателя имеет вид p{t) = 0 ,0 к -0,01/ t < О, , t>Q. 27 fo, / < 0 , t> Q функция распределения СВ Т F(t) = P ( T < t ) = определяет вероятность отказа двигателя за время продолжительно­ стью t. Тогда вероятность безотказной работы двигателя за это вре­ мя будет равна R(t) = \~F(T < О = . Функцию R(t) называют функцией надежности. Для нашего случая р = = 0,45 . Пример 7.5. Текущая оценка ценной бумаги представляет собой нормально распределенную СВ со средним значением 100 у.е. и дисперсией 9. Найти вероятность того, что цена актива (ценной бу­ маги) будет находиться в пределах от 91 до 109 у.е. Решение. Так как о = 100, <з = V d = 3, то / п \ Р ( 9 1 < Х < 1 0 9 ) - Р ( |^ - 1 0 0 |< 9 ) = 2 Ф = 2Ф(3) = 0,9973. 8. Математическая статистика 8.1. Выборочный метод. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения Изучение всего набора элементов генеральной совокупности часто оказывается невозможным из-за больших материальных за­ трат или бесконечности генеральной совокупности. В этом случае применяется выборочный метод. Сущность выборочного метода заключается в том, что из генеральной совокупности извлекается 28 выборка. На выборке производят нужные исследования, а получен­ ные результаты распространяют на всю совокупность. Пусть для изучения количественного признака X из генеральной совокупности извлечена выборка Х],Х2 ,ХЗ,,. . ,Х„ объема п. На­ блюдаемые значения х, признака X называют вариантами, а после­ довательность вариант, записанную в возрастающем порядке, - ва­ риационным рядом. Статистическим распределением выборки на­ зывается перечень х, и соответствующих им частот т, или относи­ тельных частот TSi. Графически статистическое распределение выборочной сово­ купности представляется в виде полигона или гистограммы. Поли­ гоном частот выборочной совокупности называется ломаная линия, соединяющая точки с координатами . Гистограммой выборочной совокупности называется фигура, со­ ставленная в декартовой системе координат из прямоугольников, основаниями которых являются частичные интервалы , а nii высоты соответственно равны — ^ , где /г = х- - x ,_i . n-h Эмпирической функцией распределения называется функция F*(x) = — , где «д. - число вариант в выборке, меньших х; и - объ- п ем выборки. Эмпирическая функция распределения при больших п служит оценкой неизвестной функции распределения генеральной совокупности. Эмпирическая функция распределения обладает сле­ дующими свойствами: 1. 0 < F * ( x ) < l . 2. Эмпирическая функция распределения является неубывающей функцией, т.е. F * {Х2 ) > F * (х\) если Х2 >х , . 3. Если X] - наименьшая варианта, а - наибольшая вариан­ та, то F*(x) = О при JJC < Xj и F*(x) = 1 при X > X 29 Статистической оценкой неизвестного параметра генеральной совокупности называется функция от наблюдаемых значений слу­ чайной величины X. Сами наблюдаемые значения (варианты) , . . . , х„ рассматриваются как значения п независимых СВ имеющих тот же закон распределения, что и изучаемая СВ X Поэтому статистические оценки также являются случайными величинами. Статистическая оценка называется точечной, если она определя­ ется одной величиной. Точечная оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру, называется несмещенной, в противном случае - смещенной. Несмещенной оценкой для математического ожидания генераль­ ной совокупности является Хв - выборочная средняя: 8.2. Точечные оценки неизвестных параметров распределения 1 ^ Хв = - Y .X i r r i i . Пы\ Смещенной оценкой для дисперсии генеральной совокупности является выборочная дисперсия D г. несмещенной оценкой для дисперсии генеральной совокупности является исправленная выбо­ рочная дисперсия . 1 ^i=\ л2 «г=1 ------T x i m i \ С 7 .= /0 Г . п - \ 30 Оценка 0 = 0(Х],Х2,...,Х„) параметра 0 называется состоя­ тельной, если она сходится по вероятности к оцениваемому пара­ метру при неограниченном числе испытаний, т.е. для любого сколь угодно малого е > О выполнено предельное равенство lim Р ( 0 - 0 < £) = 1. я—>00 Один и тот же параметр может иметь несколько оценок, которые обладают различными дисперсиями при ограниченном числе опы­ тов. Чем меньше дисперсия оценки, тем меньше вероятность со­ вершить ошибку при оценке параметра. Поэтому в качестве оценки берется оценка, обладающая минимальной дисперсией. Такая оцен­ ка называется эффективной. 8.3. Интервальные оценки неизвестных параметров распределения Статистическая оценка называется интервальной, если она ха­ рактеризуется двумя случайными величинами: началом и концом интервала. В качестве интервальной оценки используются довери­ тельные интервалы. Пусть 0 является статистической оценкой неизвестного парамет­ ра 0. Тогда при некоторых s > О вероятность P ( 0 - s < 0 < 0 + s) = Y близка к единице, т.е. неизвестный пара­ метр 0 с вероятностью у накрывается интервалом (0 - s; 0 + е ) . Ве­ роятность у называется доверительной вероятностью или надежно­ стью оценки. Интервал, который с заданной надежностью накрывает неизвестный параметр, называется доверительным интервалом. Доверительный интерват для неизвестного математического ожидания нормально распределенной СВ при известном среднем квадратическом отклонении а генеральной совокупности определя­ ется неравенством _ а _ а Xg - t —!= < а < х^ + t 31 уЕсли среднее квадратическое отклонение о нормально распреде­ ленной СВ неизвестно, но по результатам выборки вычислены Хд и S, то доверительный интервал для математического ожидания опре­ деляется неравенством где t - значение функции Лапласа Ф ( 0 , при котором Ф(Г) = —. ^ < а <х„ +.t In в 'У,п г- -^ в У,п I— ’ л/« где ty „ находится из прил. 5 по заданным значениям у и и. Доверительный интервал для среднего квадратического откло­ нения а нормально распределенной СВ определяется неравенством s q ^ < a < sq 2 , где qi, q 2 определяются из прил. 6 по заданным у w v - п ~ \ . 8.4. Статистическая проверка гипотезы о нормальном распределении Статистической называют гипотезу о виде неизвестного рас­ пределения или о параметрах известных распределений. Важней­ шим среди законов распределения является нормальный закон рас­ пределения с функцией распределения / \ х - а Нормальный закон распределения является предельным для ряда законов распределения. Поэтому основные методы математической статистики разработаны для нормального закона. Пусть F{x) - функция распределения изучаемой СВ. Обозна­ чим через Но гипотезу о нормальном распределении СВ с функцией 32 , где а и а - конкретные значения параметров . 1 J x - a распределения. Для проверки гипотезы проводят серию из п незави­ симых испытаний. В результате получают выборочную совокуп­ ность х1 ,х 2 , хз , . . . , х„ , по которой делают вывод о правильности гипотезы Но- Так как СВ может принимать бесчисленное множество значений, то выборочная совокупность содержит неполную инфор­ мацию о законе распределения генеральной совокупности. По этой причине при проверке гипотезы Hq может быть допущена ошибка. Вероятность ошибочного отклонения правильной гипотезы Яо на­ зывается уровнем значимости. Обычно при проверке гипотезы уро­ вень значимости а берут равным 0,001; 0,01; 0,05. Одним из методов статистической проверки гипотезы о законе рас­ пределения является критерий согласия Пирсона {у} ) . Пусть стати­ стическое распределение выборки задано в виде последовательности интервалов и соответствующих частот /и,- im^ - сумма частот, которые попадают в г'-й интервал). х,;х,+1 х,;х2 х2;хз хз;х4 к^'-> ^к + \ т\ Ш2 Шъ Щ По результатам выборки вычисляем выборочное среднее Хц и выборочное среднее квадратическое отклонение Og . Предположим (гипотеза Яо), что СВ распределена нормально с параметрами <3 = Хд, а = Ста. Теоретическая функция распределения имеет вид ^ о ( х ) = ^ + Ф ^ Х- Хв ^ Определим теоретические вероятности попадания СВ в интервал ^г+1): 33 Pi = P ( Xi < ^ < ^i+l ) = Ф - Л Xi+l - - Ф V у Вычисляем теоретические частоты от' = npj и Хнабл. (статисти­ ку Пирсона): /=1 Щ Из таблицы критических точек распределения Пирсона (х ) по заданному уровню значимости а и числу степеней свободы v = к - Ъ (А: - число интервалов) определяем критическое значение Хкр • 2 2Если Хнабл < Хкр > ™ оснований отвергать гипотезу Щ о нормальном распределении генеральной совокупности. Если 2 2 Хнабл ^ Хкр > ™ гипотеза Щ отвергается с вероятностью ошибки а. Пример. Дано статистическое распределение срока службы ин­ струмента до выхода за пределы точности (в месяцах). X,- - срок службы в мес. 20-25 25-30 30-35 35-40 40-^5 т , - частота 9 24 35 22 10 Требуется: 1) построить полигон и гистограмму относительных частот (час­ тостей); 2) по виду полигона и гистограммы и исходя из механизма обра­ зования исследуемой СВ сделать предварительный выбор закона распределения; 3) предполагая, что СВ распределена по нормальному закону, найти точечные оценки параметров распределения, записать гипо­ тетичную функцию распределения; 34 4) найти теоретические частоты нормального распределения и проверить гипотезу о нормальном распределении с помощью кри- терия Пирсона (% ) при уровне значимости а = 0,05 ; 5) найти доверительные интервалы для математического ожида­ ния и среднего квадратического отклонения нормально распреде­ ленной СВ при надежности у = 0,95. Решение. Вычислим относительные частоты = — , середины п интервалов х, и высоты прямоугольников гистограммы /з,- = 0,09 0,24 0,35 0,22 0,1 * 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 ^1 h 0,018 0,048 0,07 0,044 0,02 Построим гистограмму и полигон частостей. 35 Так как полигон частостей приближенно представляет кривую Гаусса и срок службы инструмента зависит от большого количества независимых параметров, то можно сделать предположение о нор­ мальном распределении срока службы инструмента. Вычислим то­ чечные оценки параметров распределения. 1 * » = - S = = (22,5 ■ 9 + 27,5 • 24 + 32,5 • 35 + 3 7,5 • 22 + 42,5 • 10) = 32,51. ^/=1 100 (22,5^ • 9 + 27,5^ • 24 + 32,5" • 35 + 37,5^ ■ 22 + 42,5^ ■ 1о)= 1086,75, = . 100 99 1086,75-32,51" =5 , 49 . Запишем гипотетичную функцию распределения: Fi x ) = - + Ф 2 х - а ] 1------- = - - н Ф <т j 2 X - 32,51 5,49 Вычислим теоретические частоты в предположении, что СВ рас­ пределена по нормальному закону: 36 rrii =npi \ р ^ = Ф i^+1 - Ф X, - Х в Вычисления значений функции Лапласа приведены в таблице. № - ^ в Х ,.-Х в ф X,- - Хв — 00 25 — 00 -7,51 - 0 0 -1,38 -0,5 -0,4162 30 -2,51 -0,46 -0,1772 35 2,49 0,45 0,1736 40 7,49 1,36 0,4131 + со + 00 + 00 0,5 Вычислим теоретические частоты. = Р(-оо < X < 25) = -0 ,4162 + 0,5 = 0,0838; Р2 = Р{25 < Х <30) = -0,1772 + 0,4162 = 0,239; ;?з = Р(30 < X < 35) = 0,1772 + 0,1736 = 0,359; = Р(35 < X < 40) = 0,4131 - 0,1736 = 0,239; Ps = Р ( 4 0 < Х < + о о ) = 0 ,5 -0 ,4 1 3 1 = 0,087; Щ = пр^ = 100 ■ 0,0838 = 8,38; гп2 =23,9; /«3 =35,9; =23,9; = 8 ,7 . Проверим гипотезу о нормальном распределении с помощью критерия X ^• Вычислим статистику Пирсона: 37 2 I _ ( 9 - 8 , 3 8 f ^ (2 4 -2 3 ,9 )^ ^ (3 5 -3 5 ,9 )^ ^ ^ m' 8,38 23,9 35,9 0,375. 23,9 8,7 Из таблицы критических точек распределения по уровню значимости а = 0,05 и числу степеней свободы v = к - 3 = 2 най- 2 2 2 дем Хкр ~ 2) = 5,991. Так как % < х^р , то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении СВ. Найдем доверительные интервалы для а и а: S ■^В У^,П f— < <3' < Xg + ty i^ „ = r(0,95; 100) = 1,984 (пршт. 5). Поэтому 31,433 < а < 33,587. S ■ q\ < (У < s ■ q 2 , где q\ =0,878; q 2 =1,161 (прил. 6). Зна­ чит, 4,82 < а < 6,37. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ 1. Для сигнализации о пожаре установлены три независимо ра­ ботающих устройства. Вероятности того, что при пожаре сработает первое, второе и третье устройства, соответственно равны 0,9; 0,7; 0,85. Какова вероятность того, что при пожаре сработает хотя бы одно устройство? 2. Для подготовки к экзамену студент должен изучить 50 теоре­ тических вопросов и научиться решать 30 типов задач. Студент, идя на экзамен, выучил 40 теоретических вопросов и научился решать 25 типов задач. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для сдачи экзамена достаточно ответить на любые два задания из билета, содержащего два теоретических вопроса и задачу. 3. Детали проходят четыре операции обработки. Вероятность полу­ чения брака при первой, второй, третьей и четвертой операциях соот­ 38 ветственно равны 0,005; 0,01; 0,015; 0,02. Найти вероятность того , что после четырех операций будет получена стандартная деталь. 4. У сборщика 10 деталей, из них первого сорта 6, второго - 4. Какова вероятность того, что из 5 одновременно взятых деталей 3 окажутся первого сорта и 2 - второго? 5. Прибор состоит из трех независимо работающих блоков. Ве­ роятности выхода из строя за время Т первого, второго, третьего блоков соответственно равны 0,1; 0,05; 0,01. Каждый блок необхо­ дим для работы прибора в целом. Какова вероятность того, что за время Т прибор выйдет из строя? 6. В ящике 15 деталей, среди которых 12 окрашенных. Сборщик случайным образом извлекает 5 деталей. Какова вероятность того, что среди извлеченных деталей 3 будут окрашенными? 7. В мастерской работают два мотора независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение смены первый мотор не потребует внимания мастера, равна 0,85, а для второго мотора эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что в течение смены только один мотор потребует внимания мастера. 8. Найти вероятность того, что случайно взятое изделие окажется первосортным, если известно, что 4 % всей продукции является браком, а 80 % небракованной продукции удовлетворяют требова­ ниям первого сорта. 9. Устройство содержит три независимо работающих блока. Ве­ роятности отказов блоков соответственно равны 0,15; 0,2; 0,1. Най­ ти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один из блоков. 10. Три исследователя независимо один от другого производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит ошибку при считывании показаний прибора, равна 0,01. Для второго и третьего исследователей эти веро­ ятности равны 0,02 и 0,015. Найти вероятность того, что ошибка бу­ дет допущена при измерении не более чем одним исследователем. П -В контейнере 17 изделий, из них 10 изделий первого сорта, 4 изделия - 2-го сорта и 3 изделия - 3-го сорта. Рабочий случайным образом берет 6 изделий. Какова вероятность того, что среди взятых изделий окажутся 3 изделия - первого сорта, 2 изделия - второго, 1 изделие - третьего? 39 12. В течение года три фирмы имеют возможность обанкротить­ ся независимо друг от друга соответственно с вероятностями 0,02; 0,05; 0,04. Какова вероятность того, что в конце года все фирмы бу­ дут функционировать? 13. На сессии студенту предстоит сдать экзамены по четырем пред­ метам. Студент освоил 90 % вопросов по первому предмету, 80 % - по второму, 75 % - по третьему и 95 % - по четвертому. Какова вероят­ ность того, что студент успешно сдаст сессию? 14. Устройство состоит из четырех элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным об­ разом два элемента. Какова вероятность того, что включенными будут неизношенные элементы? 15. В электрическую цепь включены последовательно три эле­ мента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,2; 0,15; 0,1. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет. 16. Из партии для контроля отбирают 3 изделия. Известно, что в партии содержится 20 изделий, из которых 4 бракованных. Найти вероятность того, что среди отобранных все изделия годные. 17. В фирме 1149 работников, 380 из них имеют высшее образо­ вание, а 412 - среднее специальное образование; у 357 работников - высшее и среднее специальное образование. Чему равна вероят­ ность того, что случайно выбранный работник имеет высшее или среднее образование или то и другое? 18. В ремонтную мастерскую поступило 8 телевизоров, из них 5 нуждается в общей регулировке. Мастер случайным образом берет для ремонта четыре телевизора. Какова вероятность того, что из выбранных телевизоров 3 нуждаются в общей регулировке? 19. Из группы туристов, отправляющихся за границу, 50 % вла­ деют английским языком, 40 % - французским и 10 % - обоими языками. Найти вероятность того, что наугад взятый турист будет нуждаться в переводчике. 20. В читальном зале 10 учебников по теории вероятности, из ко­ торых 4 - в твердом переплете. Библиотекарь берет один за другим два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в мягком переплете. 21. С первого станка на сборку поступает 30 %, со второго - 40 %, с третьего - 30 % общего количества деталей. Среди деталей, 40 изготовленных на первом станке, имеется 2 % брака, на втором - 3 %, на третьем - 1 % брака. Найти вероятность того, что посту­ пившая на сборку деталь стандартная. 22. Изделие проверяется на стандартность одним из двух контро­ леров. Первый контролер проверяет 55 % общего количества изде­ лий, второй - 45 %. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым контролером, равна 0,9; а вторым - 0,85. Стандартное изделие при проверке признано стандартным. Найти вероятность того, что изделие проверял второй контролер. 23. Партия электролампочек на 25 % изготовлена первым заво­ дом, на 35 % - вторым, на 40 % - третьим. Вероятности выпуска брака первым, вторым и третьим заводом соответственно равны 0,01; 0,02; 0,05. Найти вероятность того, что случайно взятая лам­ почка окажется бракованной. 24. На складе находятся детали, изготовленные на двух заводах. Объем продукции первого завода в четьгре раза больше объема про­ дукции второго. Вероятность брака на первом заводе 0,05; на вто­ ром - 0,01. Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что деталь изготовлена первым заводом? 25. Курс доллара повышается в течение квартала с вероятностью 0,9 и понижается с вероятностью 0,1. При повышении курса долла­ ра фирма рассчитывает получить прибыль с вероятностью 0,85; при понижении - с вероятностью 0,3. Найти вероятность того, что фир­ ма получит прибыль. 26. В цехе работает 15 станков. Из них 10 станков марки А, 3 - марки В и 2 - марки С. Вероятности выпуска стандартной детали на этих станках соответственно равны 0,85; 0,8; 0,9. При проверке де­ таль оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она вы­ пущена на станке марки С? 27. Среди студентов факультета - 35 % составляют первокурс­ ники, 30 % студентов учатся на втором курсе, на 3-м и 4-м курсах их соответственно 20 % и 15 %. Среди студентов первого курса сда­ ли сессию на отлично 3 %, среди второкурсников - 4,5 %, среди третьекурсников - 7 %, а среди студентов четвертого курса - 10 %. Наудачу вызванный студент оказался отличником. Какова вероят­ ность того, что он учится на третьем курсе? 28. На сборку поступают детали с 2 автоматов. Первый автомат дает в среднем 2 % брака, второй - 1 %. Найти вероятность попада­ 41 ния на сборку бракованной детали, если с первого авто!мата посту­ пило 5000 деталей, со второго - 3000 деталей. 29. В двух ящиках имеются однотипные детали. В neipeoM ящике 20 деталей, из них две бракованные, во втором - 30, из №их 5 брако­ ванных. Наугад взятая деталь из случайно выбранного яшдика оказа­ лась бракованной. Найти вероятность того, что она взята из первого ящика. 30. Аппаратура в 80 % случаях работает в нормальном режиме и в 20 % - в аварийном. Вероятность сбоя в нормальном режиме рав­ на 0,05; в аварийном - 0,5. Найти вероятность сбоя аппаратуры. 31. На наблюдательной станции установлены три радиолокатора различных конструкций. Вероятность обнаружения цели первым локатором равна 0,86; вторым - 0,7; третьим - 0,9. Оп(сратор слу­ чайным образом включает один из локаторов и обнаруж:ивает цель. Какова вероятность того, что был отключен второй локатор? 32. Вероятность, что выпущенная деталь окажется годной, равна 0,96. Деталь подвергается упрощенной схеме контроля, которая для годных деталей дает положительный результат с вероятнюстью 0,95, а для деталей с отклонениями - с вероятностью 0,08. Какова веро­ ятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, явля­ ется годным? 33. Производятся три независимых выстрела по самолету. Веро­ ятность попадания в самолет при каждом выстреле равна 0,3. Само­ лет сбивается при одном попадании с вероятностью 0,2; при двух попаданиях - 0,5; при трех - 0,9. В результате трех выстрелов само­ лет сбит. Какова вероятность того, что было два попадания? 34. Радиолампа может принадлежать одной из трех партий с ве­ роятностями: 0,25; 0,25; 0,5. Вероятности того, что радиолампа про­ работает гарантийный срок, для первой, второй и третьей партий соответственно равны 0,9; 0,8; 0,85. Найти вероятность того, что наугад взятая электролампа выдержит гарантийный срок. 35. В торговую сеть поступают однотипные изделия, выпущен­ ные тремя фабриками. Первая фабрика выпускает 30 % общего ко­ личества изделий, вторая - 50 %, третья - 20 %. Продукция первой фабрики содержит 0,5 % брака, второй - 2 %, третьей - 1 %. Какова вероятность того, что купленное изделие не будет бракованным? 36. Деталь производится одним из трех автоматов. Производи­ тельность первого автомата в два раза больше производительности 42 второго автомата, а производительность третьего автомата в полто­ ра раза больше производительности второго. Брак первого, второго и третьего автоматов составляет соответственно 1 %, 2 %, 4 %. Ка­ кова вероятность выпуска стандартной детали? 37. Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества. Из высококачественных деталей со­ бирается 40 % общего количества приборов. Вероятности выхода из строя прибора в течение гарантийного срока, собранного из высо­ кокачественных деталей, равна 0,03; собранного из деталей обыч­ ного качества - 0,1. Прибор выдержал гарантийный срок. Какова вероятность того, что прибор собирался из обычных деталей? 38. На трех автоматических линиях изготавливаются однотип­ ные детали. Вследствие разладки станков возможен выпуск брако­ ванной продукции первой линией с вероятностью 0,01; второй - 0,015; третьей - 0,02. Первая линия выпускает 30 % общего количе­ ства деталей, вторая - 20 %, третья - 50 %. Найти вероятность вы­ пуска брака. 39. Партия микросхем содержит 10 % брака. Проверка микро­ схем такова, что с вероятностью 0,98 обнаруживается дефект (если он есть) и с вероятностью 0,03 стандартная микросхема признается бракованной. Какова вероятность того, что на самом деле микро­ схема стандартна? 40. Две из трех независимо работающих ламп отказали. Найти вероятность того, что отказали первая и третья лампы, если вероятности отказа первой, второй и третьей ламп соответственно равны 0,1; 0,3; 0,4. 41. По данным отдела технического контроля, на 100 металличе­ ских брусков, заготовленньгх для обработки, приходится 30 с зазуб­ ринами. Какова вероятность того, что из семи случайно взятых бру­ сков с дефектом окажутся не более двух? 42. Телефонная станция обслуживает 600 абонентов. Вероят­ ность звонка абонента в течение часа равна 0,05. Какова вероят­ ность того, что в течение часа поступят звонки не более чем от трех абонентов? 43. В 30 % случаев страховая компания выплачивает страховку по договору. Найти вероятность того, что по истечении срока деся­ ти договоров компания уплатит страховку в трех случаях. 43 44. Прибор состоит из пяти узлов. Вероятность безотказной ра­ боты каждого узла в течение смены равна 0,8. Причем работа каж­ дого узла необходима для работы прибора в целом. Найти вероят­ ность того, что в течение смены прибор выйдет из строя. 45. Вероятность реализации одной акции некоторой компании равна 0,8, Брокерская контора предлагает 100 акций этой компании. Какова вероятность того, что будет продано не менее 85 акций? 46. Завод отправил потребителю партию из 500 изделий. Вероят­ ность повреждения изделия в пути равна 0,003. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено не более двух изделий. 47. Вероятность отказа прибора при испытании равна 0,15. Како­ ва вероятность того, что из 10 приборов при испытании откажут не более 2 из них? 48. Агрегат состоит из 21 блока. Вероятность того, что за время Т произвольный блок испытывает лишь допустимые деформации, равна 0,8. Найти вероятность того, что за время Т такие деформации испытывают от 18 до 20 блоков. 49. На склад поступают изделия, из которых 80 % оказываются высшего сорта. Найти вероятность того, что из 100 наудачу взятых изделий не менее 80 окалсутся высшего сорта. 50. При установившемся технологическом процессе 70 % всего числа изделий выпускается высшего сорта. Отдел технического контроля испытывает 200 изделий. Найти вероятность того, что число изделий высшего сорта окажется в пределах от 140 до 180. 51. Инженерное сооружение состоит из семи узлов, вероятность разрушения каждого из которых 0,2. Сооружение считается разру­ шенным, если разрушено не менее трех узлов. Какова вероятность разрушения сооружения? 52. Книга из 500 страниц имеет 40 опечаток. Какова вероятность того, что на случайно выбранной странице не более одной опечатки? 53. В магазин вошли десять покупателей. Найти вероятность то­ го, что 4 из них совершат покупки, если вероятность совершить по­ купку для каждого покупателя равна 0,3. 54. Среди 100 изготавливаемых микросхем в среднем одна бра­ кованная. Найти вероятность того, что в партии из 1000 микросхем будет не более двух бракованных. 55. В цехе 80 станков одинаковой мощности, работающих неза­ висимо друг от друга в одинаковом режиме, при котором их привод 44 оказывается включенным в течение 0,8 всего рабочего времени Ка­ кова вероятность того, что в произвольно взятый момент времени окажутся включенными от 60 до 70 станков? 56. При массовом производстве шестерен вероятность брака 0,01. Какова вероятность того, что из 500 шестерен не более трех окажутся бракованными? 57. В ходе аудиторской проверки компании аудитор случайным образом отбирает пять счетов. Найти вероятность того, что он об­ наружит не более одного счета с ошибкой, если ошибки содержат в среднем 3 % счетов. 58. Сборник содержит 400 задач с ответами. В каждом ответе ве­ роятность ошибки 0,01. Какова вероятность того, что в сборнике не более двух задач с ошибочными ответами? 59. Каждое из 8 предприятий отрасли выполняет месячный план с вероятностью 0,9, Найти вероятность того, что месячный план выполняет не менее шести предприятий. 60. При передаче текстовой информации слова кодируются в символы. Вероятность искажения каждого символа при передаче равна 0,009. При искажении двух и более символов слово не подда­ ется дешифровке. Найти вероятность того, что слово, содержащее 10 символов, будет принято правильно. В задачах 61-80 для данной СВ X требуется: 1) составить закон распределения СВ; 2) найти математическое ожидание М{Х) и дисперсию D{X)\ 3) найти функцию распределения Дл). 61. В партии из шести изделий имеются два бракованных. Нау­ дачу взяты три изделия. СВ X - количество стандартных изделий среди трех взятых изделий. 62. Имеются три заготовки для одной и той же детали. Вероят­ ность изготовления стандартной детали из каждой заготовки равна 0,9. СВ X - количество заготовок, оставшихся после изготовления первой стандартной детали. 63. Прибор состоит из трех узлов. Вероятности выхода узлов из строя в течение времени Т соответственно равны 0,1; 0,05; 0,2. СВ X - число отказавших узлов в течение времени Т. 64. Вероятность того, что в течение гарантийного срока телевизор потребует ремонта, равна 0,2. СВ X - число телевизоров, не выдер­ жавших гарантийный срок, из четырех приобретенных телевизоров. 45 65. Охотник, имеющий четыре патрона, стреляет в цель до пер­ вого попадания (или пока не израсходует все патроны). Вероят­ ность попадания при каждом выстреле равна 0,7. СВ X - число из­ расходованных патронов. 66. Стрелок делает три выстрела по мишени. Вероятности попа­ дания в цель при первом, втором и третьем выстрелах соответст­ венно равны 0,6; 0,7; 0,8. СВ X - число попаданий в мишень. 67. В партии 10 % нестандартных деталей. Наудачу взяты четыре детали. СВ X - число нестандартных деталей из 4 взятых. 68. Сигнальное устройство состоит из трех независимо рабо­ тающих элементов, вероятность отказа каждого из которых равна 0,2. СВ X - число отказавших элементов. 69. В партии из 10 изделий содержатся три бракованных. Науда­ чу отобраны два изделия. СВ X - число бракованных изделий среди отобранных. 70. Вероятность изготовления нестандартного изделия при уста­ новившемся технологическом процессе постоянна и равна 0,9. Для проверки качества изделия берутся и проверяются одно за другим 4 изделия. Если обнаруживается бракованное изделие, то бракуют всю партию. СВ X - число изделий, проверяемых ОТК из каждой партии. 71. Вероятность приема каждого из 4 сигналов равна 0,6. СВ X - число принятых сигналов. 72. На пути движения автомобиля 4 светофора. Каждый из них с вероятностью 0,5 либо разрешает, либо запрещает дальнейшее дви­ жение. СВ X - число светофоров, пройденных автомобилем до пер­ вой остановки. 73. На участке имеется 5 однотипных станков, работающих неза­ висимо друг от друга. Коэффициент использования для каждого станка равен 0,8. СВ X -число работающих станков. 74. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,6. В городе 4 библиотеки. СВ X - число биб­ лиотек, которые посетит студент, чтобы взять нужную ему книгу. 75. Два стрелка делают независимо друг от друга по два выстре­ ла по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрел­ ка равна 0,6; для второго - 0,8. СВ X - число попаданий в мишень. 46 76. Из партии в 10 изделий, среди которых 3 бракованных, вы­ браны случайно 3 изделия. СВ X - число бракованных изделий сре­ ди выбранных. 77. Батарея состоит из 4 орудий. Вероятности попадания в цель при одном выстреле для 1, 2, 3 и 4-го орудий соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8; 0,75. СВ X - количество попаданий при одном залпе батареи. 78. Срок службы шестерен коробки передач зависит от следую­ щих факторов: усталости материала в основании зуба, контактных напряжений и жесткости конструкции. Вероятности отказа каждого фактора соответственно равны 0,1; 0,2; 0,15. СВ X - число отказав­ ших факторов в одном испытании. 79. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятности того, что в течение часа 1, 2, 3 и 4-й станки потребуют внимания рабочего, со­ ответственно равны 0,2; 0,1; 0,2; 0,3. СВ X - число станков, потре­ бовавших внимания рабочего, 80. В пятиблочном радиоприемнике (все блоки различные) пере­ горел один блок. Для устранения неисправности наудачу взятый блок заменяется исправным блоком, после чего проверяется работа приемника, СВХ - число замененных блоков. В задачах 81 - 100 дана плотность распределения вероятно­ сти р(х). Требуется: 1) определить значение параметра а\ 2) найти функцию распределения F(x); 3) найти математическое ожидание М(Х) и дисперсию D{X); 4) построить графики р(х) и F(x). 0 , X < 0, 0 , х < 1 , 81, р ( х ) = - а х ^ . 0 < х < Ю , 82. р ( х ) = < а х . 1 < х < 3 , .0’ X > 10. Я х > 3 . 0, х < 0 , ' 0 , х < 0 , 83, р { х ) = < 0 < X < 1, 84. р { х ) = - а х + 1,, 0 < X < 2, , 0 , X > 1. х > 2 . 47 85. р (х ) = 87. р( х ) = 89. р (х ) = О, х < 1 , а(х -1 ) , 1 < X < 4, 86. р{х ) = О, X > 4. О, X < О, 0x ^ + 3 , 0 < х < 3 , 8 8 . /?(х) = - О, х > 3 . п О, X < 2, ах^, 0 < х < 4 , , О, X > 4. О, X < 3, 3 + ох, 3 < X < 5, О, X > 5. О, х < — 71 flfsinx, < х < 0 , 90. р(х) = О, О, X >0. О, х < 0 , 7Г as in 2 x , 0 < х < О, п х > —. 4 9 1 .р (х ) = 93. р(х ) = 95.р(х) = 97. р (х ) = х < 2 , ах^, 2 < х < 3 , 92. р (х ) = О, х > 3 . О, х < 2 , а, 2 < X < 5, 94. р(х) = < О, х > 5 . О, х <1 , а(х + 1)^,1 < X <2, 96 . р (х ) = О, X > 2. О, X < 2, 0x^+2, 2 < X < 5, 98. р( х ) = О, X > 5. О, X < 1, а(2х -1 ) , 1 < X < 2, О, X > 2. О, X < 1, ах^ +1, 1 < X < 2, О, О, ах^ О, х > 2 . х < 0 , О < X < 3, X > 3. О, X < 1, а(Зх + 1), 1 < X < 2, О, х > 2 . 48 о, л:< о, 99. р{х) = ■ пdtsin2x, О <х < ~ , 100.р(х) = О, О, X < 1, а (х -1 )^ 1 < х < 3 , О, X > 3. В задачах 101-120 СВ X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием а и средним квадратическим отклоне­ нием а . Требуется; 1) записать р( х ) , F(x) ; 2) найти Р{а < х < Р ); 3) найти Р( х - а < 6). № за­ дачи а а а Р 5 1 2 3 4 5 6 101 2,8 0,6 2,1 3,0 1,8 102 3,5 1,2 2,2 4,2 2,1 103 1,5 0,5 2,1 3,0 0,9 104 2,8 0,8 2,5 3,5 1,2 105 10 3 6 13 7,5 106 4 1,5 3 7 2,8 107 5 3 3,5 7 5,1 108 3 2 2 6 4,8 109 4,1 3,5 2 7 4,5 110 3,6 5,1 1,5 5,6 8,2 Т п 6,2 4,3 5 10 6,4 112 4,7 2,8 1,2 7,3 4,9 ц ъ 5,6 2,9 3,0 9,1 5,4 49 Окончание таблицы 114 115 2 8,5 9,4 4,7 5,6 5,2 4,2 10,2 12,5 6,3 7,0 116 2,5 4,1 2,7 5,2 5,4 117 7,2 3,5 4,1 10,8 5,5 118 7,8 6,2 3,0 12,9 8,4 119 4,3 5,1 1,6 9,8 9,2 120 10,5 7,1 7,2 15,4 10,1 В задачах 121-140 дан интервальный статистический ряд рас­ пределения частот экспериментальных значений случайной вели­ чины X. Требуется: 1) построить полигон и гистограмму частостей (относительных частот) СВ Х\ 2) по виду полигона и гистограммы и исходя из механизма обра­ зования СВ сделать предварительный выбор закона распределения; 3) вычислить выборочную среднюю и исправленное среднее квадратическое отклонение 4) записать гипотетичную функцию распределения и плотность распределения; 5) найти доверительные интервалы для математического ожида­ ния и среднего квадратического отклонения при доверительной ве­ роятности у = 0,95; 6) найти теоретические частоты нормального закона распределе­ ния и проверить гипотезу о нормальном распределении СВ с помо­ щью критерия Пирсона при уровне значимости а = 0,05 . 121. Даны результаты испытания стойкости 200 удлиненных сверл диаметра 4 мм (в часах). X,- стойкость сверла 3-3,2 3,2-3,4 3,4-3,6 3,6-3,8 3,8-4 частота т. 16 50 70 44 20 50 122. Даны результаты исследования 100 напыленных образцов на прочность напыленного слоя (кг/мм^). д:,- прочность 2,0-2,2 2,2-2,4 2,4-2,6 2,6-2,8 2,8-3,0 частота т. 1 22 38 23 10 123. Даны результаты исследования на разрыв 100 образцов дю­ ралюминия , X ,- предел прочности (кг/мм^) 42-43 43-44 44-45 45-46 46-47 частота т. 8 25 36 22 9 124. Даны результаты содержания фосфора (6 %) в 100 чугунных образцах. X ,- содержание фосфора 0,1-0,2 0,2-0,3 0,3-0,4 0,4-0,5 0,5-0,6 частота т. 7 22 38 24 9 125. Даны результаты испытания стойкости 100 сверл (в часах). д;,- стойкость 17,5-22,5 22,5-27,5 27,5-32,5 32,5-37,5 37,5-42,5 частота т. 7 20 44 20 9 126. Даны данные о среднесуточном пробеге 100 автомобилей автоколонны ( сотни километров). Xi 1,2-1,6 1,6-2,0 2,0-2,4 2,4-2,8 2,8-3,2 частота т. 8 19 А1 20 6 51 127. С автомата, обрабатывающего втулки диаметром rf = 40 + 0,2 мм, взята выборка изделий объемом 100. Результаты измерения диаметров втулок приведены в таблице. х , - диаметр 40,00-40,04 40,04-40,08 40,08-40,12 40,12-40,16 40,16-40,20 частота ш, 8 19 44 20 9 128. В таблице приведены статистические данные о трудоемко­ сти (в минутах) операции «Контроль механического состояния ав­ томобиля после возвращения в гараж». Xi - трудоем­ кость 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 8-9 частота /я, 6 8 33 35 11 7 129. В таблице приведены статистические данные о трудоемкости (в минутах) операции «ремонт валика водяного насоса автомобиля». х, - трудоем­ кость 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 частота т. 17 47 70 46 20 130. Даны результаты испытания стойкости 100 фрез (в часах). Xi - стойкость 21-26 26-31 31-36 36-41 41-46 частота т. 1 8 21 43 21 7 131. Даны сведения о расходе воды, используемой цехом для технических нужд в течение 100 дней (м^). Xi - расход 8-12 12-16 16-20 20-24 24-28 частота /и, 7 25 36 22 10 52 132. Даны квартальные данные о среднесуточном пробеге юо автомобилей (км). X — среднесуточны й пробег 120-140 140-160 160-180 180-200 200 -2 2 0 частота т , 9 21 40 18 12 133. Даны значения температуры масла в двигателе автомобиля БелАЗ при средних скоростях. X , - температура (градус) 40-45 45-50 50-55 55-60 60-65 частота /я, 8 17 46 18 И 134. Даны размеры внутреннего диаметра гайки (мм). Х / - диаметр 10,00-10,02 10,02-10,04 10,04-10,06 10,06-10,08 10,08-10,10 частота т , 9 16 47 21 7 135. Даны размеры диаметров 100 отверстий, просверленных од­ ним и тем же сверлом. X i - диам етр (мм) 8 ,02-8 ,07 8 ,07-8 ,12 8,12-8 ,17 8 ,17-8 ,22 8 ,22 -8 ,27 частота т , 10 19 38 21 12 136. Даны результаты измерения диаметра валика, обработанно­ го одношпиндельным автоматом. а , , - диаметр (мм) 19,80-19,85 19,85-19,90 19,90-19.95 19,95-20,00 20,05-20,10 20,10-20,15 частота т , 6 15 27 32 14 6 53 137. Даны результаты исследования грануляции партии порошка (мкм). дг,- грануляция 0-40 40-80 80-120 120-160 160-200 частота w, 7 23 35 26 9 138. Даны результаты наблюдений за сроком службы 150 одно­ типных станков до выхода за пределы норм (в месяцах двухсменной работы). X, - срок в месяцах 18-20 20-22 22-24 24-26 26-28 частота от, 15 27 61 29 18 139. Даны результаты измерения толщины (см) 100 слюдяных прокладок. X , - толщ ина 0,20-0 ,26 0 .26-0 ,32 0 ,32-0 ,38 0 ,38-0 ,44 0,44 -0 ,50 частота т, 13 19 48 12 8 140. Даны диаметры 100 валиков после шлифовки (мм). Xi - диаметр 20,0-20,1 20,1-20,2 20,2-20,3 20,3-20,4 20,4-20,5 частота гп/ И 23 49 10 7 54 ПРИЛОЖЕНИЯ ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Значения функции ф(х) - X > в " X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ,0 0,3989 3989 3989 3988 3986 3084 3982 3980 3977 3973 0,1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3025 3918 0,2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857. 3847 3836 3825 0,3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3697 0,4 3683 3668 3652 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538 0,5 3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352 0,6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144 0,7 3123 3101 3079 3056 3034 ЗОН 2989 2966 2943 2920 0,8 2897 2874 2850 2827 2804 2780 2756 2732 2709 2685 0,9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444 1,0 0,2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203 1,1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965 1,2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 I78I 1758 1736 1,3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518 1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315 1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127 1,6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957 1,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0846 0833 0818 0804 1,8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669 1,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551 2,0 0,0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449 2,1 0440 0431 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 0363 2,2 0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290 55 Окончанике прил. 1 X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2,3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229 2,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180 2,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139 2,6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 ОНО 0107 2,7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081 2,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061 2,9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046 3,0 0,0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034 3,1 0033 0032 0032 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0025 3,2 0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 0018 3,3 0017 0017 0012 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013 3,4 0012 0012 0010 ООП ООП 0010 0010 0010 0009 0009 3,5 0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 0006 3,6 0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0004 3,7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 0003 3,8 0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 0002 3,9 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 0001 56 ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Значения функции Лапласа Ф (х) = % X Ф(х) X Ф(х) X Ф(х) л: Ф(х) 0,00 0,0000 0,32 0,1255 0,64 0,2389 0,96 0,3315 0,01 0,0040 0,33 0,1293 0,65 0,2422 0,97 0,3340 0,02 0,0080 0734 0,1331 0,66 0,2454 0,98 0,3365 0,03 0,0120 0,35 0,1368 0,67 0,2486 0,99 0,3389 0,04 0,0160 0,36 0,1406 0,68 0,2517 1,00 0,3413 0,05 0,0199 0,37 0,1443 0,69 0,2549 2,01 0,3438 0,06 0,0239 0,38 0,1480 0,70 0,2580 1,02 0,3461 0,07 0,0279 0,39 0,1517 0,71 0,2611 1,03 0,3485 0,08 0,0319 0,40 0,1554 0,72 0,2642 1,04 0,3508 0,09 0,0359 0,41 0,1591 0,73 0,2673 1,05 0,3531 0,10 0,0398 0,42 0,1628 0,74 0,2703 1,06 0,3554 0,11 0,0438 0,43 0,1664 0,75 0,2734 1,07 0,3577 0Л2 0.0478 0,44 0.1700 0,76 0,2764 1.08 0,3599 олз 0,0517 0,45 0.1736 0,77 0,2794 1,09 0,3621 0,14 0.0557 0,46 0,1772 0.78 0,2823 1.10 0.3643 0Л5 0.0596 0,47 0,1808 0.79 0,2852 1,11 0,3665 0Л6 0.0636 0,48 0,1844 0,80 0,2881 1,12 0,3686 0,17 0,0675 0,49 0,1879 0,81 0,2910 1,13 0.3708 0Л8 0,0714 0.50 0,1915 0.82 0,2939 1.14 0.3729 0,19 0.0753 0.51 0,1950 0.83 0,2967 1,15 0,3749 0,20 0,0793 0.52 0,1985 0.84 0,2995 1,16 0,3770 0.21 0,0832 0.53 0,2019 0.85 0,3023 1.17 0,3790 0,22 0,0871 0,54 0,2054 0.86 0,3051 1,18 0,3810 0,23 0,0910 0,55 0,2088 0,87 0,3078 1,19 0,3830 0,24 0,0948 0,56 0,2123 0,88 0.3106 1,20 0,3849 0,25 0,0987 0,57 0,2157 0,89 0,3133 1.21 0,3869 0,26 0,1026 0.58 0,2190 0.90 0.3159 1.22 0,3883 0,27 0,1064 0.59 0,2224 0.91 0.3186 1.23 0,3907 0,28 0,1103 0.6, 0,2257 0.92 0,3212 1.24 0,3925 0,29 0,1141 0.61 0,2291 0.93 0,3238 1,25 0,3944 ^0 ,30 0,1179 0.62 0,2324 0.94 0.3264 ^0,31 0,1217 0.63 0,2357 0,95 0,3289 57 X ф {х ) X Ф(х) X Ф(х) X Ф(х) 1,26 0.3962 1,59 0,4441 1,92 0,4726 2,50 0,4938 1,27^ 0,3980 ^ 1,60 0.4452 1,93 0.4732 2,52 0,4941 0,3997 1,61 0,4463 1,94 0,4738 1,54 1,29 0,4015 1,62 0,4474 1,95 0,4744 2,56 ^0,4948 1,30 0,4032 1,63 0,4484 1,96 0,4750 2,58 i 0,4951 1.31 0,4049 1,64 0,4495 1,97 0,4756 2,60 0,4953 1,32 0,4066 1.65 0,4505 1,98 0,4761 2,62 0,4956 1,33 0,4082 1,66 0,4515 1,99 0,4767 2764 0.4959 1,34 0,4099 1,67 0,4525 2,00 0,4772 2,66 0.4961 1,35 0,4115 1,68 0,4535 2,02 0,4783 2,68 0.4963 1,36 0,4131 1,69 0,4545 2,04 0,4793 2,70 0.4965 1,37 0,4147 1,70 0,4554 2,06 0,4803 2,72 0.4967 1,38 0,4162 1,71 0,4564 2,08 0,4812 2,74 0.4969 1,39 0,4177 1,72 0,4573 2,10 0,4821 2,76 0.4971 1,40 0,4192 1,73 0,4582 2,12 0.4830 2,78 0,4973 1,41 0,4207 1,74 0,4591 2,14 0,4838 2,80 0,4974 1,42 0,4222 1,75 0,4599 2,16 0,4846 2,82 0,4976 1,43 0,4236 1,76 0,4608 2,18 0,4854 2,84 0,4977 1,44 0,4251 1,77 0,4616 2,20 0,4861 2,86 0,4979 1,45 0,4265 1,78 0,4625 2,22 0.4868 2,88 0,4980 1,46 0,4279 1,79 0,4633 2,24 0.4875 2,90 0,4981 1,47 0,4292 1,80 0,4641 2,26 0.4881 2,92 0,4982 1,48 0.4306 1,81 0,4649 2,28 0,4887 2,94 0,4984 1,49 0,4319 1,82 0,4656 2,30 0.4893 2,96 0,4985 1,50 0,4332 1,83 0,4664 2,32 0.4898 2,98 0.4986 1,51 0,4345 1,84 0,4671 2.34 0,4904 3,00 0.49865 1,52 0,4357 1,85 0,4678 2,36 0,4909 3,20 0.49931 1,53 0,4370 1,86 0,4686 2.38 0,4913 3,40 0.49966 1 1,54 0,4382 1,87 0,4693 2,40 0,4918 3,60 0.499841 1,55 0,4394 1,88 0,4699 2,42 0,4922 3,80 0.499928j 1,56 0,4406 1,89 0,4706 2,44 0,4927 4,00 0.499968 1,57 0,4418 1,90 0,4713 2,46 0,4931 4,50 0.499997 1,58 0,4429 1,91 0,4719 2,48 0,4934 5,00 0.499997 58 ПРИЛОЖЕНИЕ 3 Значения функции Xa;v V \ ot 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001 1 1,642 2,706 3,841 5,412 6,635 10,827 7 3,219 4,605 5,991 7,824 9,210 13,815 3 4,642 6,251 7,815 9,837 11,345 16,266 4 5,989 7,779 9,488 11,668 13,277 18,467 5 7,289 9,236 11,070 13,388 15,086 20,515 6 8,558 10,645 12,592 15,033 16,812 22,457 7 9,803 12,017 14,067 16,622 18,475 24,322 8 11,030 13,362 15,507 18,168 20,090 26,125 9 12,242 14,684 16,919 19,679 21,666 27,877 ]0 13,442 15,987 18,307 21,161 23,209 29,588 И 14,631 17,275 19,675 22,618 24,725 31,264 12 15,812 18,549 21,026 24,054 26,217 32,909 13 16,985 19,812 22,362 25,472 27,688 34,528 14 18,151 21,064 23,685 26,683 29,141 36,123 15 19,311 22,307 24,996 28,259 30,578 37,697 16 20,465 23.542 26,296 29,633 32,000 39,252 17 21,615 24,769 27,587 30,995 33,409 40,790 18 ^ 2 ,7 6 0 25,989 28,869 32,346 34,805 42,312 19 Г 23,900 27,204 30,144 33,687 36,191 43,820 20 25,038 28,412 31,410 35,020 37,566 45,315 21 26,171 29,615 32.671 36,343 38,932 46,797 22 ^ 7 ,3 0 ! 30,813 33,924 37,659 40,289 48,268 23 28,429 32,007 35,172 38,968 41,638 49,728 24 29,553 33,196 36,415 40,270 42,980 51,179 25 30,675 34,382 37,652 41,566 44,312 52,620 26 ^ , 7 9 5 35,563 38,885 42,856 45,642 54,052 27 r ^ 9 l F l 36,741 40,113 44,140 46,963 55,476 28 ri4 ,0 2 7 37,916 41,337 45,419 48,278 56,893 35,139 39,087 42,557 46,693 49,588 58,302 36,250 40,256 43,773 47,962 50,892 59,703 59 ПРИЛОЖЕНИЕ 4 Распределение Стьюдента ОО Значения удовлетворяютусловгао P{t > = \S { t ,v )d t = а V \ а 0,40 0,30 0,20 0,10 0,05 0,025 0,010 0,005 0,001 0,0005 1 0,325 0,727 1,376 3,078 6,314 12,71 31,82 63,66 318,3 636,6 2 0,289 0,617 1,061 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 22,33 32,60 3 0,277 0,584 0,978 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 10,22 12,94 4 0,271 0,569 0,941 1,533 2,132 2,776 3.747 4,604 7,173 8,610 5 0,267 0,559 0,920 1,476 2,015 2,571 3,365 5,032 5,893 6,859 6 0,265 0,553 0,906 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,208 5,959 7 0,263 0,549 0,896 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,785 5,405 8 0,262 0,546 0,889 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 4,501 5,041 9 0,261 0,543 0,883 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,297 4,781 10 0,260 0,542 0,879 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,144 4,587 И 0,260 0,540 0,876 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,025 4,437 12 0,259 0,539 0,873 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,930 4,318 13 0,259 0,538 0,870 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,852 4,221 14 0,258 0,537 0,868 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,787 4,140 15 0.258 0,536 0,866 1.341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,733 4,073 16 0,258 0,535 0,865 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,686 4,015 17 0,257 0,534 0,863 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,646 3,965 18 0,257 0,534 0,862 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,611 3.922 19 0,257 0,533 0,861 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,579 3,883 20 0,257 0,533 0,860 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,552 3,850 21 0,257 0,532 0,859 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,527 3,819 22 0,256 0,532 0,858 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,505 3,792 23 0,256 0,532 0,858 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,485 3,767 24 0,256 0,531 0,857 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,467 3,745 25 0,256 0,531 0,856 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,450 3,725 60 Окончание табл. 4 /\0 0,40 0,30 0,20 0,10 0,05 0,025 0,010 0,005 0,001 t),0005 76 0,256 0,531 0,856 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,435 3,707 2 1 7.8 0,256 0,531 0,855 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,421 3,690 0,256 0,530 0,855 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,408 3,674 29 0,256 0,530 0,854 1,311 1,699 2,045 2,462 7,756 3,396 3,659 30 0,256 0,530 0,854 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,385 3,646 40 0,255 0,529 0,851 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,307 3,551 50 0,255 0,528 0,849 1,298 1,676 2,009 2,403 2,678 3,262 3,495 60 0,254 0,527 0,848 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,232 3,460 80 100 0,254 0,527 0,846 1,292 1,664 1,990 2,374 2,639 3,195 3,415 0,254 0,526 0,845 1,290 1,660 1,984 2,365 2,626 3,174 3,389 200 0,254 0,525 0,843 1,286 1,653 1,972 2,345 2,601 3,131 3,339 500 0,253 0,525 0,842 1,283 1,648 1,965 2,334 2,586 3,106 3,310 00 0,253 0,524 0,842 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,090 3,291 61 Значения функции t .^„ : ПРИЛОЖЕНИЕ 5 S<а <х п\у 0,95 0,99 0,999 п\у 0,95 0,99 0,999 5 2,78 4,60 8,61 20 2,093 2,861 3,883 6 2,57 4,03 6,86 25 2,064 2,797 3,745 7 2,45 3,71 5,96 30 2,045 2,756 3,659 8 2,37 3,50 5,41 35 2,032 2,720 3,600 9 2,31 3,36 5,04 40 2,023 2,708 3,558 10 2,26 3,25 4,78 45 2,016 2,692 3,527 И 2,23 3,17 4,59 50 2,009 2,679 3,502 12 2,20 3,11 4,44 60 2,001 2,662 3,464 13 2,18 3,06 4,32 70 1,996 2,649 3,439 14 2,16 3,01 4,22 80 1,991 2,640 3,418 15 2,15 2,98 4,14 90 1,987 2,633 3,403 16 2,13 2,95 4,07 100 1,984 2,627 3,392 17 2,12 2,92 4,02 120 1,980 2,617 3,374 18 2,11 2,90 3,97 00 1,960 2,576 3,291 19 2,10 2,88 3,92 62 П РИ Л О Ж ЕН И Е 6 Значения коэффициентов и q2 , q\S < а < q2S 0,99 0,98 0,95 0,00 Р\ <7l Q-> Q\ Qo ) 0,356 15,0 0,388 79,8 0,446 31,9 0,510 15,9 2 0,434 14,1 0,466 9,97 0,521 6,28 0,578 4,40 3 0,483_j 6,47 0,514 5,11 0,566 3,73 0,620 2,92 4 0,519 4,39 0,549 3,67 0,599 2,87 0,649 1,Ъ1 5 0,546 3,48 0,576 3,00 0,624 2,45 0,672 2,090 в 0,569 2,98 0,597 2,62 0,644 2,202 0,690 1,916 1 0,588^ 2,66 0,616 2,377 0,661 2,035 0,705 1,797 8 0,604 2,440 0,631 2,205 0,675 1,916 0,718 1,711 9 0,618 2,277 0,644 2,076 0,688 1,826 0,729 1,645 10 0,630 2,154 0,656 1,977 0,699 1,755 0,739 1,593 11 0,641 2,056 0,667 1,898 0,708 1,698 0,748 1,550 12 0,651 1,976 0,676 1,833 0,717 1,651 0,755 1,515 13 0,660 1,910 0,685 1,779 0,725 1,611 0,762 1,485 14 0,669 1,854 0,693 1,733 й,1Ъ1 1,577 0,769 1,460 15 0,676 1,806 0,700 1,694 0,739 !,548 0,775 1,437 16 0,683 1,764 0,707 1,659 0,745 1,522 0,780 1,418 17 0,690 1,727 0,713 1,629 0,750 1,499 0,785 1,400 18 0,696 1,695 0,719 1,602 0,756 1,479 0,790 1,385 19 0,702 1,668 0,725 1,578 0,760 1,460 0,794 1,370 20 0,707 1,640 0,730 1,556 0,765 1,414 0,798 1,358 21 0,712 1,617 0,734 1,536 0,769 1,429 0,802 1,346 23 0,722 1,576 0,743 1,502 0,777 1,402 0,809 1,326 24 0,726 1,558 0,747 1,487 0,781 1,391 0,812 1,316 25 0,730 1,541 0,751 1,473 0,784 1,380 0,815 1,308 26 0,734 1,526 0,755 1,460 0,788 1,371 0,818 1,300 27 0,737 1,512 0,758 1,448 0,791 1,361 0,820 1,293 29 0,744 1,487 0,765 1,426 0,796 1,344 0,825 1,279 30 0,748 1,475 0,768 1,417 0,799 1,337 0,828 1,274 40 0,774 1,390 0,792 1,344 0,821 1,279 0,847 1,228 50 0,793 1,336 0,810 1,297 0,837 1,243 0,861 1,199 60 0,808 1,299 0,824 1,265 0,849 1,217 0,871 1,179 70 0,820 1,272 0,835 1,241 0,858 1,198 0,879 1,163 80 0,829 1,250 0,844 1,222 0,866 1,183 0,886 1,151 90 0,838 1,233 0,852 1,207 0,873 1,171 0,892 1,141 100 0,845 1,219 0,858 1,195 0,878 1,161 0,897 1,133 _200 0,887 1.15 0,897 1,13 0,912 1,11 0,925 1,09 63 ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ к ЭКЗАМЕНУ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ. . . 3 Л и т е р а т у р а ................................................................................... 5 ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ 5 1. Элементы комбинаторики. Пространство элементарных событий. Определения вероятности................................................. 5 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей......................... 8 3. Формула полной вероятности. Формулы Байеса....................... 10 4. Схема повторных независимых испытаний (схема Бернулли) 12 5. Случайные величины...................................................................... 15 6. Числовые характеристики случайных величин......................... 20 7. Законы распределения случайных величин................................ 23 8. Математическая статистика......................................................... 28 Контрольные задания.......................................................................... 38 ПРИЛОЖЕНИЯ................................................................................... 55 С о д е р ж а н и е