МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Теоретическая механика и мехатроника» А. В. Чигарев МЕХАТРОНИКА И ДИНАМИКА МИНИ-РОБОТОВ Пособие для студентов специальности 1-55 01 03 «Компьютерная мехатроника» Минск БНТУ 2017 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Теоретическая механика и мехатроника» А. В. Чигарев МЕХАТРОНИКА И ДИНАМИКА МИНИ-РОБОТОВ Пособие для студентов специальности 1-55 01 03 «Компьютерная мехатроника» Рекомендовано учебно-методическим объединением по образованию в области машиностроительного оборудования и технологий Минск БНТУ 2017 2 УДК 621(075.8) ББК 31.261я73 Ч-59 Рецензенты: кафедра «Теоретическая и прикладная механика» БГУ (зав. кафедрой – кандидат физико-математических наук, доцент Д. Г. Медведев); доктор технических наук, профессор кафедры высшей математики БГУИР С. Е. Карпович Чигарев, А. В. Мехатроника и динамика мини-роботов: пособие для студентов специальности 1-55 01 03 «Компьютерная мехатроника» / А. В. Чига- рев. – Минск : БНТУ, 2017. – 500 с. ISBN 978-985-583-140-3. Пособие построено по принципу от общего к частному, что обусловливает его структуру. Первая часть дает общие представления о системах по структуре и основ- ным свойствам: надежность, наблюдаемость, идентифицируемость, управляемость. Вторая часть содержит главы, посвященные подсистемам типичной мехатронной сис- темы, в которых реализуются общие свойства, рассмотренные в первой части. Третья часть имеет более прикладной характер, использующий материал первых двух час- тей. Наиболее подробно рассмотрены модели самолетного и геликоптерного типов, а также колесные и шагающие. Пособие предназначено для студентов специальности «Компьютерная мехатро- ника» и других смежных специальностей. УДК 621(075.8) ББК 31.261я73 ISBN 978-985-583-140-3 © Чигарев А. В., 2017 © Белорусский национальный технический университет, 2017 Ч-59 3 Оглавление Часть 1. Мехатроника ............................................................................. 7 Глава 1. Системный подход в мехатронике ......................................... 7 1.1. Системы .................................................................................... 7 1.2. Модели ...................................................................................... 8 1.3. Надежность ............................................................................. 11 1.4. Надежность элементов системы ........................................... 12 1.5. Понятие управляемости и наблюдаемости .......................... 28 1.6. Управляемость, наблюдаемость, идентифицируемость в дискретных системах ................................................................. 37 Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем ........................................................................... 43 2.1. Пространство состояний при анализе и синтезе систем .... 43 2.2. Операционный метод описания динамических систем ...... 47 2.3. Схемы программирования для непрерывных систем ......... 53 2.4. Схемы программирования для дискретных систем ............ 58 2.5. Выбор переменных состояния в модели посадки летательного аппарата .................................................................. 62 2.6. Анализ устойчивости дискретных систем методом переходных состояний .................................................................. 66 Часть 2. Подсистемы мехатронных систем ........................................ 80 Глава 3. Механика ................................................................................ 80 3.1. Модели механических подсистем мехатронной системы ................................................................... 80 3.2. Модели механических подсистем и метод механических цепей ...................................................................... 97 3.3. Передаточные функции пассивных двухполюсников механических цепей .................................................................... 110 Глава 4. Актуаторы ............................................................................. 127 4.1. Модели и схемы преобразования энергии ......................... 129 4.2. Электромагнитные поступательные преобразователи энергии ............................................................ 132 4.3. Вращательные преобразователи энергии ........................... 137 4.4. Некоторые конструкции электродинамических преобразователей в двигателях постоянного тока ................... 139 4 Глава 5. Сенсоры ................................................................................ 157 5.1. Модели и схемы датчиков измерений в мехатронных системах ............................................................. 157 5.2. Некоторые модели подсистем измерений .......................... 169 Глава 6. Автоматы .............................................................................. 179 6.1. Конечные автоматы подсистем управления для мехатронных систем ............................................................ 179 6.2. Анализ автоматов ................................................................. 182 6.3. Синтез автоматов ................................................................. 183 Глава 7. Двоичные и цифровые системы управления ..................... 191 7.1. Двоичные логические связи ................................................ 191 7.2. Алгебра переключательных схем ....................................... 197 7.3. Комбинационные системы управления .............................. 200 7.4. Цифровая электроника и цепи ............................................ 203 7.5. Автоматические системы управления в системах с памятью .................................................................. 240 Часть 3. Динамика мобильных миниатюрных роботов .................. 248 Глава 8. Масштаб, подобие и размерность в моделях динамических систем ......................................................................... 248 8.1. Масштабный фактор. Критерии подобия .......................... 248 8.2. Формулы из теории размерности ........................................ 250 Глава 9. Динамика свободного твердого тела .................................. 256 9.1. Кинематика абсолютно твердого тела ............................... 256 9.2. Основные законы динамики твердого тела (мини-робота) .............................................................................. 268 Глава 10. Динамика и управление беспилотными летательными аппаратами аэропланного и других типов .............. 274 10.1. Основные уравнения динамики беспилотных летательных аппаратов ............................................................... 274 10.2. Задача управления летательными аппаратами с учетом различных факторов. Задачи управления ................. 282 Глава 11. Динамика плоского продольного движения летательного аппарата аэропланного типа ....................................... 291 11.1. Линеаризация уравнения динамики в двумерном случае .................................................................... 291 5 11.2. Частные случаи продольного движения. Передаточные функции и частотные характеристики ............ 303 Глава 12. Управление движением центра масс беспилотного летательного аппарата ........................................................................ 308 12.1. Линейная модель управления высотой полета ............... 308 12.2. Управление высотой полета с учетом случайных возмущений со стороны воздушной среды .............................. 314 12.3. Управление высотой полета низколетящих дронов ....... 321 12.4. Управление боковым движением центра масс беспилотного летательного аппарата ....................................... 325 12.5. Управление скоростью полета центра масс дрона ......... 330 Глава 13. Динамика боковых и угловых движений беспилотного летательного аппарата ............................................... 335 13.1. Линеаризованная математическая модель боковых движений беспилотного летательного аппарата ..................... 335 13.2. Передаточные функции конкретных моделей бокового движения беспилотного летательного аппарата ...................... 342 13.3. Автоматическое управление угловыми движениями летательного аппарата ................................................................ 345 Глава 14. Динамика беспилотного летательного аппарата при учете упругости элементов конструкции .................................. 355 14.1. Балочные модели изгибных колебаний корпуса дрона ............................................................................. 355 14.2. Влияние флуктуаций состояния атмосферы на динамику беспилотного летательного аппарата ................. 363 Глава 15. Аэродинамические характеристики крыльев, деталей корпуса, винтов летательных аппаратов ............................ 368 15.1. Профили крыльев и их аэродинамические характеристики ........................................................................... 368 15.2. Аэродинамические силы и момент .................................. 370 15.3. Аэродинамические коэффициенты и качество профиля .................................................................... 374 15.4. Геометрические и аэродинамические характеристики тел вращения ............................................................................... 378 15.5. Подъемная сила тел вращения в аэродинамике.............. 380 6 Глава 16. Динамика беспилотного летательного аппарата ракетного типа .................................................................................... 387 16.1. Динамика беспилотного летательного аппарата с двумя плоскостями симметрии .............................................. 387 16.2. Динамика осесимметричных беспилотного летательных аппаратов ракетного типа ................................... 390 Глава 17. Кинетика винтов и корпуса геликоптеров ....................... 396 17.1. Кинематика лопасти винта и кинематика вертикального движения вверх ................................................ 396 17.2. Кинематика сечения мультикоптера ............................... 400 17.3. Динамика корпуса мультикоптера .................................. 403 17.4. Сведение винтовой мультисхемы к эквивалентной моносхеме ................................................................................... 411 17.5. Аэродинамика несущего винта геликоптера .................. 414 17.6. Автоматическое управление моновинтовым геликоптером .............................................................................. 419 17.7. Схемы и устройства автопилота геликоптера ................ 428 Глава 18. Автоматическое управление группами дронов ............... 433 18.1. Математическая модель строя как объекта управления .................................................................................. 433 18.2. Синтез автоматических систем управления группой дронов .......................................................................... 442 18.3. Динамика систем автоматического управления группой ................................................................... 450 Глава 19. Динамика колесных миниатюрных роботов ................... 456 19.1. Динамика модели трехколесного миниатюрного робота ................................................................ 456 19.2. Динамика модели четырехколесного миниатюрного робота ................................................................ 464 19.3. Динамика модели двухколесного миниатюрного робота ................................................................ 469 Глава 20. Динамика шагающего миниатюрного робота ................. 479 20.1. Основные уравнения математической модели динамики робота ........................................................................ 479 20.2. Некоторые приближенные модели динамики шагающих мини-роботов .......................................................... 495 7 Часть 1. МЕХАТРОНИКА ГЛАВА 1. СИСТЕМНЫЙ ПОДХОД В МЕХАТРОНИКЕ 1.1. Системы Интенсивное развитие микроэлектроники привело к миниатюри- зации систем датчиков информации в машинах, а также стимули- ровало появление микропроцессоров, мини-компьютеров, предна- значенных для целей оптимизации управления и сервиса. Машины приобрели функции, которые можно назвать «умные», «интеллекту- альные», при этом практически не увеличив материалоемкость. Встра- ивание в машины электронных систем позволило улучшить многие механические свойства, и современные машины представляют собой синтез механики и электроники, требующих для своего описания, про- ектирования, изготовления, эксплуатации системного подхода. Системой называется структура, совокупность элементов с вполне определенными связями между ними. Система отличается от просто множества, конгломерата элемен- тов, в которых связи между элементами не определены. Системы гомогенные состоят из подобных элементов, гетеро- генные – из разных элементов. Мехатронные системы относятся к гетерогенным, так как раз- ные элементы функционируют на разных физических принципах. Система представляет собой определенную структуру из эле- ментов, предназначенную для выполнения определенных функций. Связь между структурой и функциями не взаимоодназначна: напри- мер, функция «летать» может быть реализована с помощью различ- ных структур (самолет, вертолет, птицы и т. д.). Сложность системы характеризуется разнообразием ее реак- ций на внешние воздействия. Реальные системы в порядке возрастания их сложности класси- фицируются следующим образом: 1. Автоматические системы способны лишь детерминированно реагировать на внешние воздействия. Обычно их внутренняя струк- тура элементов предназначена для возврата в равновесное состоя- ние при выводе из него. 8 2. Решающие системы имеют постоянные стохастические кри- терии различения случайных воздействий и постоянные стохасти- ческие реакции на эти воздействия, т. е. им присущ акт решения. Постоянство структуры поддерживается своевременной заменой отказавших элементов. 3. Самоорганизующиеся системы имеют гибкие критерии разли- чения воздействий и гибкие реакции на них в виде приспособления к заранее неизвестным воздействиям. Устойчивость существования таких систем обеспечивается постоянным самовоспроизведением (структурно-информационная устойчивость). Самоорганизующиеся системы, сохраняя свою историю в памя- ти, могут постепенно научиться предвидеть воздействия внешнего мира и заранее готовиться к нейтрализации неблагоприятных и ис- пользованию благоприятных ситуаций. 4. Трансформирующиеся (превращающиеся) системы могут при необходимости менять свою структуру, что ведет к расширению или изменению функций. Простыми считаются системы, не превосходящие по сложности автоматические, а превосходящие – сложными. Большими называются сложные системы со сравнительно слабыми связями между их компонентами (человекомашинные системы). В той или иной степени системы обладают свойствами: 1) открытость – взаимодействие с внешней средой; 2) иерархия структуры; 3) стохастичность поведения; 4) изменчивость во времени. 1.2. Модели Для получения количественного описания какой-либо реальной системы создается модель, которая является упрощенным отраже- нием реальной системы, учитывающей основные элементы струк- туры и соответственно функций. Математически более точно это можно сформулировать следую- щим образом. Пусть реальная система   RtA   описывается числом  RN   пара- метров 9       , 1, ,Rix t x t i N  между которыми существует некоторое число  RL зависимостей:               , , 1, .R R R R Rj jG x t C t L N j L   Реальная система имеет    R RN L степеней свободы (независи- мых параметров, через которые могут быть выражены остальные). Моделью    M tA реальной системы    R tA в общем случае назы- вается абстрактное образование, которое описывается числом    М RN N параметров       , 1, ,Rix t x t i N   связанных между собой зависимостью         , 1, .M M Mi i iG x t C i L  Это означает, что модель имеет    M MN L степеней свободы. Чем ближе         к , к ,R M R MN L LN тем меньше рассогласова- ние между поведением модели и реальной системы. Имеются два подхода в выборе модели    M tA для реальной си- стемы   . R tA 1. Аналитический подход состоит в анализе реальной системы и приближении         к и к .R M R MN N L L 2. Синтетический подход состоит в синтезе оптимальной мо- дели, лучшей в смысле экстремума критерия       M M iV F x t  10 и приближении ее к реальной системе, оптимальной по критерию экстремума        .R R iV F x t  Здесь    и R MF F в общем случае представляют собой функ- ционалы. Введение свойства оптимальности усложняет моделиро- вание системы. Аналитический подход к моделированию использует методы математического программирования (исследования операций). Синтетический подход используется при моделировании потенци- ально эффективных сложных систем. 1.2.1. Оптимальные системы Пусть состояние системы характеризуется величинами и ,U V целью системы является выгодный  ,U V -обмен, где U – расходу- емые ресурсы, V – потребляемые системой ресурсы. Вещественно-энергетические  ,U V -обмены описываются за- конами физики, химии, если внешняя среда индифферентна по от- ношению к системе. Если взаимодействие системы со средой кон- фликтное, то оно описывается теорией игр. Сигнальные  ,U V -обмены в индифферентной ситуации описы- ваются законами теории информации.  ,U V -обмены появляются на уровне решающих систем. Под целью системы понимается получение максимума V за фиксированное количество U или отдача минимума U за фикси- рованное количество .V 1.2.2. Законы сложных систем 1. При возрастании сложности систем у последних появляются качества, которые сохраняются при дальнейшем их усложнении (закон наследования). 11 2. Устойчивость структуры связанных между собой элементов (закон надежности). 3. Помехоустойчивость системы характеризуется правильной ориентацией, поведением системы в окружающей среде, что пред- полагает правильную информированность (закон наблюдаемости и идентифицируемости). 4. Действия системы, направленные на достижение цели с уче- том информации, называются управляемостью системы (закон управляемости). Самоорганизация является накоплением опыта использования всех указанных качеств во времени, переработки и использования в деятельности системы. 1.3. Надежность Главным качеством системы является ее устойчивость, без ко- торой понятие системы теряет смысл. Различаются два вида устойчивости: 1) вещественно-энергетическая; 2) структурно-функциональная. Первый вид устойчивости связан с постоянством вещественного состава и энергетического баланса системы. Второй вид устойчивости связан с постоянством ее реакций на одни и те же внешние воздействия. В зависимости от типа сложности реализуется определенный вид устойчивости. Устойчивость первого вида характерна для автоматических сис- тем: например, машина обладает постоянством структуры при пе- ременном вещественном составе. Вторым видом устойчивости обладают решающие системы, в частности, простейшие живые клетки. Клетка по сравнению с мо- лекулой более хрупкая (менее надежная) по отношению к внешним воздействиям. Для более сложных (многоклеточных) биологических систем ос- новным видом устойчивости является надежность. Клеточный со- став организма является переменным, одни клетки отмирают и уда- ляются, другие возникают. Устойчивой остается лишь структура организма. С ростом сложности надежность биологических систем 12 (организмов) не имеет (если идет нормальный обмен клеток) тен- денции уменьшаться, хотя отдельная клетка менее надежна, чем организм в целом. В качестве искусственной сложной системы с зачатками «обмена веществ» может служить компьютер с частой заменой отдельных элементов. В противоположность биологическим системам у тех- нических систем с ростом сложности надежность уменьшается. Это связано с несовершенством их организации. Целью создания мехатронных систем является проектирование и производство систем, обладающих надежностью типа биологи- ческих систем, т. е. усложнение структуры должно сопровождаться не только усложнением функций, но и ростом надежности, что для традиционных технических систем (машин), как известно, было невозможно. 1.4. Надежность элементов системы Рассмотрим взаимодействующие системы ,A B ( B может быть внешней средой), которые всегда содержат элемент случайности. Обозначим  ,P U V  вероятность достижения системой A своей цели: выгодного  ,U V -обмена с системой ,B которое представля- ет собой случайное событие C так, что    , .P C P U V 1.4.1. Отказ элемента и отказ системы Система    1, ,R nA a a    определяется набором n элементов   1,ia i n и структурой их соединений (взаимодействий). Выход элемента из режима нормального функционирования называется отказом. Отказ в модели происходит мгновенно в слу- чайный или определенный момент времени. Отказы элементов сис- темы – случайные события. Элементы в системе могут иметь последовательное (рис. 1.1), параллельное (рис. 1.2) и смешанное (рис. 1.3) соединение. 13 Рис. 1.1. Схема последовательного соединения Рис. 1.2. Схема параллельного соединения Рис. 1.3. Схема смешанного соединения Отказ в системе последовательно соединенных элементов ведет к отказу всей системы, а в системе с параллельным соединением этого не происходит. На рис. 1.1, 1.2, 1.3 через Х обозначен вход через Y – выход. Че- рез ia   обозначаются звенья (элементарные), каждое из которых имеет вход и выход. Связь между Х и Y представляет собой цепь. 1.4.2. Надежность систем с последовательным соединением элементов Последовательное соединение элементов, по-видимому, является наиболее распространенной моделью и наиболее простой для анализа. 14 Чтобы система с последовательным соединением функционировала, все подсистемы должны работать безотказно. Блок-схема системы с последовательным соединением независимых элементов показана на рис. 1.4. В данном случае обозначим  1 2S nR P E E E   – вероятность события функционирования связи между входом X и выходом Y. Рис. 1.4. Блок-схема системы с последовательным соединением элементов Вследствие принятого допущения о независимости отказов      1 2S nR P E P E P E  или, обозначая   ,i iP E R получим 1 , n S i i R R     (1.1) где правая часть представляет собой произведение вероятностей безотказной работы подсистем; iR – вероятность безотказной работы i-го элемента. Формула (1.1) выражает правило умножения вероятностей. Очень часто структура изделия требует применения именно этого правила для вычисления вероятности безотказной работы. Надежность си- стемы быстро убывает при увеличении числа последовательно со- единенных элементов, причем надежность системы не превышает надежности наименее надежного элемента. Таким образом, для сис- темы с последовательным соединением элементов имеем  min .S iiR R Если требуется обеспечить заданную вероятность безотказной работы системы, то быстрое приближенное вычисление необходи- мой вероятности безотказной работы подсистем производится сле- 15 дующим образом. Пусть q – вероятность отказа подсистемы. То- гда, полагая, что для всех подсистем значения q одинаковы, имеем  1 ;nSR q    (1.2) разлагая (1.2) в бином Ньютона, находим        1 211 . 2 n S n n R n q q q        Полагая, что значение q мало и отбрасывая члены высокого по- рядка, получаем 1 .SR nq  При использовании этой аппроксимации полезно знать, что если 0,1,nq  то получаем результат с точностью до двух десятичных знаков. П р и м е р 1.1 Если требуемая вероятность безотказной работы системы, состо- ящей из 20 элементов, составляет 0,99999,SR  то 0,99999 1 20 ,q  и 0,0000005q  или 0,9999995.R  Такое приближенное значение надежности элемента необходимо для того, чтобы обеспечивалась заданная надежность системы. Приближенное выражение для надежности системы с после- довательным соединением элементов при различных значениях iq имеет вид 1 1 . n S i i R q     16 1.4.3. Надежность систем с параллельным соединением элементов Система с параллельным соединением элементов не выходит из строя, пока не отказали все ее элементы. Блок-схема для анализа надежности системы с параллельным соединением элементов пока- зана на рис. 1.5. Вероятность безотказной работы системы вычисляется сле- дующим образом. Если SQ – вероятность безотказной работы сис- темы, то 1 2 ,S nQ P E E E     где nE и nE – взаимно дополнительные события. Полагая, что все эти события независимы, имеем      1 2 S nQ P E P E P E    или   1 1 . n S i i Q R    Рис. 1.5. Блок-схема системы с параллельным соединением элементов 17 Тогда вероятность безотказной работы системы определяется как дополнение вероятности до единицы и   1 1 1 , n S i i R R     При анализе системы с параллельным соединением элемен- тов подразумевается, что при включении системы включаются все подсистемы и отказы не влияют на надежность подсистем, продолжающих работать. Рассмотренное параллельное соединение называется чисто парал- лельным включением, и, как уже говорилось, оно нетипично. Во мно- гих случаях используются другие способы параллельного соедине- ния. В действительности в системах с параллельным соединением элементов, особенно в механических, чаще используются включения по схеме ненагруженного резерва и параллельное соединение с рас- пределением нагрузки. В системе с ненагруженным резервом ненагруженный элемент не включается, пока не выйдет из строя нагруженный элемент. Этот случай показан на рис. 1.6. Переключатель S   может представлять собой автоматический датчик либо просто условно означать, что оператор заменяет эле- мент A элементом .B Простым примером ненагруженного резерва является запасное колесо автомобиля. Систему с ненагруженным резервом нужно анализировать как динамическую модель. В системе с распределением нагрузки по параллельным элемен- там при появлении отказа увеличивается интенсивность отказов Рис. 1.6. Система с ненагруженным резервом 18 элементов, продолжающих работать. Примером системы с распре- делением нагрузки по параллельным элементам является автомо- бильное колесо в сборе; если какая-либо стопорная гайка ослабля- ется, то остальные гайки должны выдерживать большую нагрузку. Следовательно, с каждым последовательным отказом увеличивает- ся интенсивность отказов. Таким образом, система с распределени- ем нагрузки при параллельном соединении элементов фактически не является статической моделью. Еще одной формой резервирования является система «r из n». В такой системе имеется n параллельно соединенных элементов, однако для того чтобы система продолжала работать безотказно, работоспособность должны сохранять не менее r элементов. При- мером такой формы резервирования являются канаты висячего мо- ста, когда для того, чтобы держать сооружение, необходимо неко- торое минимальное число таких элементов. Вероятность безотказной работы системы «r из n» имеет вид (1 ) , n x n x S x i n R R R x          ! , ! ! n n x x n x       где R – вероятность безотказной работы подсистемы, предполагае- мая одинаковой для всех подсистем. В случае подсистем с неодинаковой надежностью может исполь- зоваться простой перебор всех вариантов. 1.4.4. Надежность сочетания параллельного и последовательного соединений элементов Простые комбинации подсистемы с параллельным и последова- тельным соединениями элементов (рис. 1.7) можно легко проанали- зировать путем последовательного объединения подсистем в группы. Вначале объединим параллельно соединенные элементы подсистем и будем рассматривать последовательное соединение эквивалент- ных элементов. 19 Рис. 1.7. Система с последовательно-параллельным соединением элементов Допустим, что известны показатели надежности этих элементов: 0,9, 0,8, 0,7 и 0,6.A B C DR R R R    Тогда вероятность безотказ- ной работы последовательно соединенных эквивалентных элементов 1 0,1 0,2 0,98;ABR     1 0,3 0,4 0,88.CDR     Таким образом, вероятность безотказной работы системы 0,98 0,88 0,8624.SR    Вторая система показана на рис. 1.8, где подсистемы с последова- тельным соединением элементов соединены параллельно. В данном случае методика преобразования состоит в том, что вначале объеди- няются последовательно соединенные элементы подсистем, а затем рассматриваются параллельно соединенные эквивалентные элементы. Рис. 1.8. Система с параллельно- последовательным соединением элементов 20 Предположим, что в данном случае элементы имеют такую же надежность, как и в предыдущем примере. Таким образом, вероят- ность безотказной работы параллельно соединенных эквивалентных элементов 0,9 0,7 0,63ACR    и 0,8 0,6 0,48.BDR    Следовательно, вероятность безотказной работы системы   1 1 1 1 0,37 0,52 1 0,1924 0,8076.S AC BDR R R          Заметим, что различие в значениях показателя надежности си- стем обусловлено различным соединением подсистем. При рассмотрении комбинаций последовательно и параллельно соединенных элементов применимы прямые методы вычислений, используемые в случае простых систем с последовательным и парал- лельным соединениями элементов. Таким образом, для анализа си- стем с комбинациями последовательных и параллельных соединений элементов основные формулы применяются последовательно. 1.4.5. Анализ надежности сложных систем Конфигурация некоторых изделий или характер сложных отказов могут привести к созданию систем, для описания которых парал- лельное или последовательное соединение элементов не годится. В качестве примера рассмотрим систему, изображенную на рис. 1.9. Рис. 1.9. Конфигурация сложной системы 21 В этой системе отказ подсистемы E сразу нарушает пути ED и .EC Таким образом, это соединение не является параллельным. Может быть предложено несколько способов описания такого слу- чая. Рассматриваемый здесь метод не является простейшим для не- которых конкретных приложений. Однако его всегда можно приме- нить, и он позволяет рассмотреть влияние различных видов отказов на работу системы. Метод состоит в том, что рассматриваются все взаимоисключа- ющие способы появления отказов в системе. Обозначим элементы , и .A B С Определим A как событие, состоящее в том, что элемент A работает безотказно. Введем аналогичные определения для и .B С Пусть      0,95, 0,90 и 0,85.P A P B P C   Затем при допущении независимости отказов вычисляются веро- ятности для каждого способа появления отказов. Так, вероятность  P A B C  равна      .P A P B P C Эти вычисления показаны в таблице. Вычисления вероятностей Число отказавших элементов События, характеризующие состояния системы Вероятность 0 A B C  0,7268 1 A B C  A B C  A B C  0,0382 0,0808 0,1282 2 A B C  A B C  A B C  0,0042 0,0068 0,0142 3 A B C  0,0008 1,0000  Поскольку появления отказов являются взаимно несовместными событиями, эти вероятности можно суммировать. Например, если отказ вызывают только события A B C  , A B C  и ,A B C  22 то вероятность появления отказа равна 0,0808 0,0042 0,0008   0,0858. Этот метод позволяет анализировать и систематизировать влияние на систему каждого способа появления отказа. Очевидным недостатком метода является то, что число способов появления отказов быстро возрастает при увеличении числа эле- ментов. Число способов появления отказов можно легко вычислить. Так, если n – общее число подсистем, а x – число рассматривае- мых отказов, то n x     – число способов появления x отказов. Например, если 5 и 2,n x  то имеем 5 10 2      способов появле- ния отказов, когда выходят из строя два элемента, а общее число различных способов появления отказов 0 2 . n n x n x      Громоздкие вычисления, неизбежные для данного метода, мож- но упростить, используя машинные методы. 1.4.6. Преобразование надежности при проектировании Уровень надежности определяется в процессе проектирования, и на последующих этапах изготовления, сборки и поставки системы невозможно повысить этот заложенный уровень надежности. На эта- пе проектирования определяются также структура системы, а вы- бранная структура системы влияет на уровень надежности и опре- деляет затраты, необходимые для достижения этого уровня. Таким образом, предварительный анализ надежности, а также определение многих других конструктивных параметров необходимо проводить на этапе проектирования. Проектировщики, конструкторы, создавая систему, должны ис- следовать основные методы теории надежности для оценки работо- способности конструкции. После завершения проектирования необ- ходимо провести расчетную и экспериментальную оценку показате- лей надежности изделия. Поэтому важно, чтобы оценка уровня на- 23 дежности и стоимости различных проектов была выполнена прежде, чем сделан окончательный выбор. Рассмотрим некоторые компро- миссные решения, принимаемые при расчете надежности, которые могут оказаться полезными при оценке различных вариантов. 1.4.7. Проектирование надежности систем с последовательным соединением элементов Вследствие характера системы с последовательным соединением элементов надежность зависит как от числа элементов, так и от их уровня надежности. Эта зависимость показана на рис. 1.10. Рис. 1.10. Вероятность безотказной работы системы с последовательным соединением элементов, характеризующихся вероятностью безотказной работы R Как можно видеть, надежность системы с последовательным соеди- нением элементов можно увеличить за счет уменьшения числа после- довательно соединенных элементов и за счет повышения надежности каждого из них. При этом вероятность безотказной работы системы возрастает незначительно. Очевидно также, что с увеличением числа элементов вероятность безотказной работы системы уменьшается. 24 1.4.8. Проектирование надежности систем с параллельным соединением элементов Параллельное соединение элементов обычно рассматривается как способ повышения надежности системы. Однако этот выигрыш не всегда может быть реализован. Прежде всего проектирование системы с параллельным соединением элементов механического типа обычно является исключительно трудным делом. По-видимому, более типичны такие формы резервирования, как обеспечение за- пасными частями (ненагруженный резерв) или использование кон- струкции с распределением нагрузки. Вторая проблема, связанная с параллельным соединением эле- ментов, заключается в следующем. При заданной надежности элемента выигрыш в вероятности безот- казной работы системы вследствие увеличения числа параллельно со- единенных элементов растет все медленнее. На графике, рис. 1.11, пока- зано, что после подключения четвертого параллельного элемента при- рост надежности системы исключительно мал. Таким образом, увели- чение числа параллельно соединенных элементов может оказаться ме- нее выгодным по сравнению с установкой более надежного элемента. Рис. 1.11. Повышение надежности при параллельном соединении m элементов 25 1.4.9. Проектирование надежности систем с раздельным и общим резервированием элементов Допустим, что имеется система, состоящая из n элементов. Мож- но либо ввести резервные элементы и получить блок-схему, изобра- женную на рис. 1.12, либо создать полностью резервированную сис- тему, показанную на рис. 1.13. Рис. 1.12. Раздельное резервирование Рис. 1.13. Общее резервирование Первый способ называется поэлементным или р а з д е л ь н ы м резервированием, а второй – о б щ и м. Задача проектирования 26 состоит в том, как сравнить эти два способа резервирования. При последующем анализе предполагается, что все элементы имеют одинаковую надежность. В случае раздельного резервирования (см. рис. 1.12) вероятность безотказной работы группы параллельно соединенных элементов имеет вид   1 .1 mEQR R   Затем, рассматривая вероятность безотказной работы EQR этих последовательно соединенных эквивалентных элементов, находим вероятность безотказной работы системы:   ,разд 1 .1 nmSR R   На рис. 1.14 приведен график, соответствующий этому уравне- нию для различных уровней надежности элементов. График пока- зывает влияние надежности элементов, их числа, а также числа групп параллельно соединенных элементов на надежность системы. Рис. 1.14. Раздельное резервирование 27 В системе с общим резервированием, изображенной на рис. 1.13, вероятность безотказной работы эквивалентной цепочки элементов имеет вид n EQR R для каждой параллельной цепочки. Таким образом, вероятность без- отказной работы выражается формулой  ,общ 1 1 .mnSR R   График, соответствующий этому уравнению, показан на рис. 1.15. И в этом случае можно наблюдать влияние структуры системы и на- дежности элементов на надежность системы. Рис. 1.15. Общее резервирование Сравнение графиков на рис. 1.14 и рис. 1.15 показывает, что во всех случаях раздельное резервирование обеспечивает более высо- кую надежность. Однако это различие не является существенным, если элементы имеют высокую надежность. По существу, эти гра- 28 фики показывают, что введение резервных элементов обеспечивает более высокую надежность, чем введение резервных систем. Разу- меется, это может относиться и к подсистемам различного уровня в зависимости от возможного разбиения системы, поскольку в неко- торых случаях конструкция или особенности системы делают не- возможным применение всех этих правил. Кроме того, необходимо рассматривать работу системы в целом. Например, если тормозная система автомобиля отказывает при скорости 80 км/ч в условиях интенсивного уличного движения, то мало проку от того, что в ба- гажнике будет полный набор запасных частей. Поэтому эти общие рекомендации нужно применять конкретно. 1.5. Понятие управляемости и наблюдаемости Понятию управляемости сначала дадим математическое описа- ние, что будет способствовать лучшему его пониманию. Пусть ли- нейный многомерный процесс описывается векторным дифферен- циальным уравнением       ,x t = Ax t + Dm t (1.3) где A  – квадратная матрица коэффициентов n-го порядка; x – n -мерный вектор состояния;   D  – матрица управления размера .n r  m – r -мерный вектор, представляющий управляющие воздей- ствия. Из алгебры известно, что матрица A может быть приведена к диагональной форме с помощью матрицы преобразований :T 1 2 1 1 0 0 0 Λ , 0 n T AT                                     29 где i – собственные значения матрицы A линейной системы (1.3), которые предполагаются различными. Применяя подстановку ,x = Tz уравнение (1.3) запишем в канонической форме:      Λ Δ ,z t = z t + m t (1.4) где 11 12 13 1 21 22 23 21 1 2 3 Δ . r r n n n nr T D                          Вектор z в формуле (1.4) будем называть каноническим векто- ром состояния системы. Будем считать, что в предыдущих матрич- ных выражениях собственные значения i расположены в порядке возрастания их модулей, комплексные i – в порядке возрастания их аргументов, векторы-столбцы матрицы T – нормализованы, т. е. они выбраны так, что их евклидова длина равна единице. Запишем выражение (1.4) в развернутой форме, т. е. в виде сис- темы дифференциальных уравнений первого порядка:      1 1 1 1 1 ; r k k k z t z t m t           2 2 2 2 1 ; r k k k z t z t m t             1 ; r j j j jk k k z t z t m t             1 . r n n n nk k k z t z t m t      30 Эти уравнения показывают, что управляющее воздействие km не будет оказывать какого-либо влияния на движение по координате ,jz если   1 0, r jk k k m t    (1.5) т. е. когда 0jk  для 1, 2, , .k r  Запись в форме (1.5) означает, что элементы j-й строки матри- цы Δ все равны нулю. Отсюда следует вывод, что неуправляемыми координатами системы являются все те канонические координаты, которые соответствуют нулевым строкам матрицы Δ. Равенство нулю всех элементов этих строк матрицы Δ делает невозможным управ- ление по соответствующим им координатам. Это означает также, что изменение координат происходит независимо от управляющих воздействий и, следовательно, целиком определяется начальными условиями и внешними возмущениями. Можно сказать, что эти ко- ординаты полностью неуправляемые. Приведенное рассмотрение позволяет дать следующее определе- ние управляемости: процесс, описываемый уравнением (1.4), явля- ется управляемым, если матрица Δ не содержит строк, все элемен- ты которых равны нулю; координаты, соответствующие ненулевым строкам Δ, считаются управляемыми. На основе описанного выше подхода к определению управляе- мости были получены некоторые общие условия управляемости, касающиеся составных систем. Эти условия можно сформулировать следующим образом. 1. Последовательное соединение двух систем. На рис. 1.16 показана составная система, в которой за звеном aP следует зве- но .bP Пусть собственные значения матрицы звена aP равны 1 2, , , ,a a pa    а звена 1 2 , ., ,b b b qbP      Тогда можно показать, что: а) составная система является управляемой, если оба звена иa bP P являются управляемыми; 31 б) если иa bP P – управляемые звенья, то каждая из неуправляе- мых координат составной системы обязана своей неуправляемо- стью звену .aP Рис. 1.16. Составная система при последовательном соединении двух звеньев 2. Параллельное соединение двух звеньев. На рис. 1.17 пока- зана составная система, в которой параллельно соединены два звена . иa bP P Можно показать, что для полной управляемости составного звена необходимо и достаточно, чтобы оба звена иa bP P были управляемыми. 3. Соединение двух звеньев с образованием цепи обратной связи. Рассматриваемая составная цепь показана на рис. 1.18, на котором aP – звено в прямой и bP – звено в обратной цепи контура системы. Составное звено, в котором за звеном aP следует звено ,bP обозначим 1,P и составное звено, в котором за звеном bP сле- дует звено ,aP обозначим 2.P Рис. 1.17. Составная система при параллельном соединении двух звеньев Рис. 1.18. Составная цепь соединения двуз звеньев с образованием цепи обратной связи 32 Тогда можно показать, что: а) для управляемости составной системы необходимо и доста- точно, чтобы последовательная цепь 1P была управляемой; б) составное звено является управляемым, если оба звена иa bP P являются управляемыми; в) если иa bP P – управляемые звенья, то любая неуправляемая координата составной системы является также неуправляемой ко- ординатой цепи 1P и своей неуправляемостью обязана звену .bP 1.5.1. Региональная управляемость Систему или объект принято называть регионально управляе- мыми, если они могут быть переведены из некоторого начального состояния  0tx в окрестность желаемого состояния равновесия  1tx за конечный интервал времени 1 0.t t Заметим, что когда на управляющие воздействия m наложены ограничения, то переход точно в состояние   0x nT  за n периодов прерывания возможен только из ограниченного множества начальных состояний  0 ,x даже если система является полностью управляемой. Понятие региональной управляемости оказывается полезным при синтезе некоторых нелинейных систем, когда ставится задача отыска- ния управления, переводящего систему в окрестность состояния рав- новесия, т. е. рассматривается приближенное решение задачи. 1.5.2. Полная управляемость Систему или объект принято называть полностью управляемы- ми, если они могут быть переведены из некоторого начального со- стояния  0x t в желаемое состояние равновесия  1 x t за конечный интервал времени 1 0.t t Другими словами, система является пол- ностью управляемой, если существует управляющее воздействие   ,tm определенное на конечном интервале времени 0 1,t t t  ко- торое переводит систему из начального состояния  0x t в желаемое состояние равновесия  1 tx за время 1 0t t . 33 Необходимые и достаточные условия полной управляемости для случая дискретных систем можно сформулировать следующим образом. Линейный дискретный процесс n-го порядка является полностью управляемым тогда и только тогда, когда векторы    1 ;s T T   h    2 2 ;s T T   h …………………….    ns nT T   h линейно независимы. Эти векторы возникают в связи со следующими преобразовани- ями от непрерывных систем к дискретным и от аналогового управ- ления к цифровому. Рассмотрим процесс, описываемый уравнением      d ,t A t m t x x в котором  m t – единственное (скалярное) управляющее воздей- ствие. Случай единственного управляющего воздействия рассматрива- ется ради упрощения интерпретации получаемых выражений и мо- жет быть обобщен. Уравнение переходных состояний процесса в дискретной записи имеет вид          1 ,x k T T x kT h T m kT    (1.6) где  T – матрица перехода процесса;     0 d . T T   φh При 0k  из формулы (1.6) находим, что          0 0 .T T h T m  x x (1.7) 34 Предположим теперь, что   0.T x Тогда начальное состояние  0 ,x из которого переход в состояние равновесия можно совер- шить за один период Т, найдем в виде           10 φ 0 0 .x T h T m m s     Если сигнал  0m свободен от ограничений, то система из всех своих начальных состояний  0 ,x лежащих на направлении вектора 1,s может быть переведена в состояние   0T x за один период Т. Если на сигнал  0m наложены ограничения, то область приводи- мых начальных состояний уже не будет содержать целиком линии, совпадающей с 1.s При 1k  из формулы (1.6) находим          2 .T T T T T φx x h m Используя выражение (1.7) и свойства матрицы перехода, получаем                2 2 0 0 .T T T h T m T m T  φ φx x h Предположим, что  2 0.T x Тогда начальное состояние  0 ,x из которого можно достичь состояния равновесия за два периода, найдем в виде       20 0 ,m s m T  1x s где    1 T T  s h и    2 2T T  s h   – линейно независимые векторы. Таким образом, находим, что если сигналы    0 иm m T сво- бодны от ограничений, то система из своих начальных состояний, принадлежащих плоскости, содержащей векторы 1 2и ,s s может быть переведена в состояние  2 0x T  за два периода. Однако если на один из сигналов  0m или  m T или одновременно на оба наложены ограничения, то область приводимых начальных состоя- 35 ний будет включать лишь часть этой плоскости, содержащей базис- ные векторы 1 2и .s s По аналогии с предыдущим при k n получаем          1 10 0 ... 1 ,1m m T m i T m n T       i nx s s s s где     , 1, 2, , ,iT T i n   φis h  – линейно независимые векторы. Векторы is   составляют базис в пространстве состояний про- цесса. Таким образом, заключаем, что если управления    1, 2, ,m iT i n  свободны от ограничений, то любое начальное состояние  0x можно представить в виде линейной комбинации векторов ,is и поэтому из состояния  0x в состояние равновесия   0nT x система может быть переведена самое большее за n пе- риодов, т. е. за время 1 .t nT Однако если на управления  m iT наложены ограничения, то некоторые начальные состояния  0x уже нельзя будет представить в виде ограничения. Следовательно, в этом случае для перевода системы из начального состояния  0x в состояние   0nT x потребуется затратить больше времени. Аналогичным образом можно получить условия управляемости непрерывных систем. Можно показать, что непрерывный во време- ни процесс n-го порядка, описываемый уравнением d ,A x x m является полностью управляемым тогда и только тогда, когда век- торы 1, , , nA A d d d линейно независимы. 1.5.3. Наблюдаемость Запишем выражение типа (1.3) для вектора у выхода линейного многомерного процесса:       ,t B t G t y x m (1.8) 36 где y – p-мерный вектор, представляющий выходные переменные; x – n-мерный вектор входных переменных; B – матрица выхода размера ;p n G – матрица обхода системы размера .p r Пусть матрица выхода B имеет вид 11 12 1 221 22 1 2 ... ... ... ... ... ... ... , n n p p pn b b b bb b B b b b          а матрица обхода G задана в виде 11 12 1 221 22 1 2 ... ... ... ... ... ... ... . n n p p pn g g g gg g G g g g          Тогда, развертывая формулу (1.8), получаем      1 1 1 1 1 ; n r k k j j k j y t b x t g m t           2 2 2 1 1 ; n r k k j j k j y t b x t g m t       (1.9)       1 1 ; n r i ik k ij j k j y t b x t g m t             1 1 . n r p pk k pj j k j y t b x t g m t      37 Координату состояния принято называть наблюдаемой, если она может быть определена или для нее может быть получена оценка по измеримым выходным переменным. Анализ уравнений (1.9) показы- вает, что координата kx может быть определена или для нее может быть найдена оценка по выходным переменным 1 2, , , , , ,i py y y y  если коэффициенты ikb для 1, 2, ,i p  не все равны нулю. Дру- гими словами, kx является наблюдаемой координатой, если элемен- ты k-го столбца матрицы выхода не все равны нулю. Если это усло- вие не соблюдается, то координату kx называют ненаблюдаемой. Таким образом, линейный процесс является наблюдаемым, ес- ли матрица выхода B не содержит столбцов, элементы которых равны нулю. Частным случаем наблюдаемости является идентифицируе- мость системы, когда по известному входу и измеренному (наблю- даемому) выходу можно оценить компоненты матрицы В (парамет- ры системы). 1.6. Управляемость, наблюдаемость, идентифицируемость в дискретных системах Расширим модель системы, добавив модель наблюдения, связы- вающую наблюдение y с состоянием .x Пусть объект описывается уравнениями      1 ;k k k  x Ax Bu (1.10)     ,k ky Cx где x – вектор размерности .n Дадим эквивалентные определения управляемости, наблюдаемо- сти, идентифицируемости. Объект называется управляемым, если можно найти такой (быть может, неограниченный) вектор управления, который из произ- вольного начального состояния переводит систему в произвольное конечное состояние за ограниченное время. Таким образом, необ- 38 ходимо найти условие, при котором можно определить уравнение, которое переводит систему из состояния  0x в заданное состояние  nx пошагово:      1 0 0 ;A B x x u            22 1 1 0 0 1 ;A B A AB B    x x u x u u        10 0 1n nn A A B B n   x x u u или           1 2 0 1 0 | . | 1 n nn A B A B B n                n u u x A x u Поскольку    , 0 иA nx x известны, левая часть уравнения (1.10) определена. Единственное решение u существует только тогда, ко- гда матрица 1 2 |n nA B A B B    имеет ранг .n В этом случае  ,A B называют управляемой парой. Объект называется наблюдаемым, если по измерениям выходно- го сигнала объекта можно определить его состояние. Таким обра- зом, необходимо найти условие, при котором по известным измере- ниям y можно определить состояние  0 :x    0 0 ;Cy x      1 1 0 ;C CA y x x    11 0 ,nn CA  y x 39 или, транспонируя, имеем         ' 10 1 | 1 0 | ' .ny y y n x C A C A C              Так как векторы y известны, единственное решение  0x суще- ствует только тогда, когда матрица ' 1| 'nC A C A C     имеет ранг .n В этом случае  ,A C называется наблюдаемой па- рой. Введение обратной связи может отразиться на наблюдаемости объекта. Объект называется идентифицируемым, если по измерениям ко- ординат состояния объекта можно определить матрицу системы А:    1 0 ;x Ax    22 0 ;x A x    0 ,nx n A x   или            11 2 | 0 0 | 0 .nx x x n A x Ax A x        Так как векторы x известны, единственное решение для А суще- ствует только тогда, когда матрица      10 0 | 0nx Ax A x   имеет ранг .n 40 П р и м е р 1.2 Рассмотрим систему второго порядка      1 ,x k Ax k Bu k      y k Cx k (рис. 1.9), где 11 12 21 22 ; a a A a a        1 0 1 0 , . 0 0 0 0 B C           Линиязадержки Линиязадержки а11 а12 а22 х 1 х 2 а21 (k) (k) х 1(k+1) х 2(k+1) B u1(k) u2(k) C y 1 (k) y 2 (k) Рис. 1.19. Схема системы второго порядка Рассмотрим управляемость системы. Имеем   11 21 0 1 0 , | . 0 0 0 a A B B a      41 Система управляема, если ранг равен 2, т. е. когда 21 0,a  и не- управляема, если 21 0.a  Из рис. 1.20 видно, что когда 21 0,a  от- сутствует управление координатной 2.x Отметим, что все осталь- ные параметры ija могут равняться нулю, но система останется управляемой. Линиязадержки Линиязадержки а11 а12 а22 х 1 х 2 b11=1u1 u2=0 Рис. 1.20. Управляемая система Рассмотрим наблюдаемость. Имеем   11 12 1 0 0 ' | ' ' . 0 0 0 a C A C a      Система наблюдаема, если ранг равен 2, т. е. когда 12 0,a и ненаблюдаема, когда 12 0.a В этом случае выходная координа- та y не содержит информации о 2x (рис. 1.21). Снова отметим, что все остальные параметры могут равняться нулю, но система оста- нется наблюдаемой. 42 Линиязадержки Линиязадержки а11 а21 а22 х1 х2 c11=1 y 1 Рис. 1.21. Наблюдаемая система Рассмотрим идентифицируемость               1 11 1 12 22 21 1 22 2 0 0 0 0 | 0 . 0 0 0 x a x a x x Ax x a x a x           Система идентифицируема, если ранг матрицы равен 2, и не- идентифицируема, если определитель матрицы равен 0. Для этого оба столбца матрицы должны быть линейно зависимы. Различают простейший случай, когда    1 20 0 0,x x  т. е. объект, который находится в состоянии покоя, не может быть идентифицирован, и нетривиальный случай, когда        1 111 122 221 22 0 0 , 0 0 x xa a x xa a               или     12 0 0. 0 x A I x       43 В этом случае нужно найти собственные значения 1 2 и  и со- ответствующие собственные векторы 1 2 и .r r Если   1,0x r  то возбуждается только одна гармоника объекта  1exp ,t а гармоника  2exp t не идентифицируется. Если   2 ,0x r  то может быть идентифицирована одна только гармоника  2exp .t Таким обра- зом, объект идентифицируем только тогда, когда начальное условие  0x  возбуждает все гармоники объекта. Глава 2. МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ При исследовании систем приходится иметь дело с двумя типа- ми задач. К первому типу относятся задачи анализа, когда требует- ся определить характеристики заранее заданной системы; ко вто- рому – задачи синтеза, когда требуется спроектировать систему, обладающую заданными характеристиками. Существуют два основ- ных подхода к анализу и синтезу линейных систем: 1. Схемотехнический подход, который сводится к составлению блок-схемы или структурной схемы и определению передаточных функций отдельных элементов и всей системы. Задача состоит в нахождении схемы регулятора, обеспечивающего получение тре- буемых статических и динамических характеристик системы. 2. Второй подход (символьный) основан на описании поведения системы некоторым количеством дифференциальных уравнений от- носительно переменных состояния с начальными условиями. Пере- менные состояния при таком описании системы аналогичны обоб- щенным координатам в классической механике. Решение задачи при использовании этого подхода обычно начинают с составления схемы системы в переменных состояния. Методы анализа и синтеза систем управления, использующие этот способ описания поведения системы, принято называть методами пространства состояний. 2.1. Пространство состояний при анализе и синтезе систем Методы анализа и синтеза систем, а также обработки информа- ции, использующие теоретико-множественный подход к описанию 44 поведения динамических систем имеют широкое применение в клас- сической механике, теории конечных автоматов, теории дифферен- циальных уравнений, теории управления. Понятие состояния, лежащее в основе описания поведения ди- намических систем, было введено А. М. Тьюрингом в 1936 г. Позд- нее это понятие было использовано К. Э. Шенноном в теории информации. С точки зрения анализа и синтеза систем все переменные, харак- теризующие систему или имеющие к ней отношение, целесообразно разделить на три группы: 1) входные переменные или входные воздействия ,im пред- ставляющие сигналы, генерируемые системами, внешними по от- ношению к исследуемой, и влияющие на поведение системы; 2) выходные переменные или переменные, характеризующие реакцию системы ,iy позволяющие описать некоторые аспекты поведения системы; 3) переменные (координаты) состояния или промежуточ- ные переменные ,hx характеризующие динамическое поведение системы. Схематически система может быть изображена в виде «черного ящика» с некоторым числом входных и выходных каналов, как по- казано на рис. 2.1. Входные каналы на этом рисунке представляют совокупность входных переменных или входных воздействий ;im выходные каналы – совокупность выходных переменных или вы- ходных координат iy системы. Промежуточные переменные или координаты состояния hx отнесены к содержимому «черного ящи- ка» и, таким образом, скрыты от наблюдения (измерения). Величи- ны , иi i hm y x предполагаются функциями времени. Рис. 2.1. Схема «черного ящика» к описанию системы переменными состояния 45 Для удобства оперирования с многомерными величинами сово- купность входных переменных представим в виде вектора входа 1 2 , l m m m         m совокупность выходных переменных – в виде вектора выхода 1 2 p y y y          y и совокупность переменных состояния – в виде вектора состояния 1 2 . n x x x         x Согласно понятию векторного пространства в математике мно- жество всех значений, которые может принять вектор входа m в момент ,t образует пространство входа системы. Аналогично множество всех значений, которые может принять вектор выхода y в момент ,t образует пространство выхода системы, и множество всех значений, которые может принять вектор состояния x в мо- мент ,t образует пространство состояний системы. В любой момент времени t состояние системы является функ- цией начального состояния  0tx и вектора входа  0 , :t tm 46      0 0; , ,t t t t   x F x m (2.1) где F – однозначная вектор-функция своих аргументов. Вектор выхода в момент t является также функцией  0tx и  0 ,t tm и может быть записан в виде      0 0; , .t x t t t   ψy m (2.2) Уравнения (2.1) и (2.2) называют уравнениями состояния систе- мы. Для систем, описываемых дифференциальным уравнениями, урав- нения (2.1) и (2.2) могут быть записаны в следующей общей форме:      ; ;t t t   x F x m (2.3)      ; ,t t t   ψy x m (2.4) где (2.1) – модель состояния; (2.7) – модель измерения системы. Для систем, которые являются конечными автоматами, урав- нения состояния принимают вид      1 ; 1 ;n n n     x F x m      ; .n n n   ψy x m Если система описывается линейными дифференциальными урав- нениями, то уравнения состояния системы сводятся к следующим:          ;t A t t D t t x x m           ,t B t t G t t y x m где  A t – матрица коэффициентов (параметров системы);  D t – матрица управления; 47  B t – матрица выхода;  G t – матрица обхода системы. Для линейной системы со случайными параметрами уравнения состояния могут быть записаны в виде           ,t A t D t x r x r m где матрицы иA D являются функциями вектора случайных пара- метров .r Вывод уравнений состояния, полностью характеризующих сис- тему, является начальным этапом анализа и синтеза систем в теории систем. 2.2. Операционный метод описания динамических систем Линейная система может быть описана совокупностью линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными ко- эффициентами, которую можно представить в следующей вектор- но-матричной канонической форме:    d , d t A t t   (2.5) где A – матрица коэффициентов;  t – вектор-столбец, представляющий собой входные пере- менные im и координаты hx системы: .      m x  Если входные переменные рассматривать совместно с перемен- ными состояния системы, т. е. включить их в число координат сис- темы, то вектор  можно считать вектором состояния системы уве- личенной размерности. 48 П р и м е р 2.1 Рассмотрим систему второго порядка, описываемую уравнением        .х t ax t bx t m t   Чтобы записать это уравнение в векторно-матричной форме, по- ложим 1 2 1 и x x x x   и тогда получим 1 2;x x 2 1 2.x m bx ax   Вначале рассмотрим случай 0.m  Обозначая 1 2 , x x      x 0 1 ,A b a       записывая уравнения в векторном виде, получим d . d A t x x Пусть входное воздействие m имеет вид ступенчатой функции. Тогда 0;m  1 2;x x 2 1 2.x m bx ax   49 Обозначим 1 2 ; m m x x             x  0 0 0 0 0 1 . 1 A b a         Запишем уравнения в векторно-матричном виде: d , d A t   где A – матрица коэффициентов системы увеличенной размерности. В случае входного воздействия произвольной формы систему увеличенной размерности можно по-прежнему описать уравнением в векторном виде, введя в число ее переменных состояния дополни- тельные переменные, характеризующие входное воздействие. Пусть теперь заданы начальные условия для уравнения (2.5), т. е. задан вектор  0 . Применяя к уравнению (2.5) преобразование Лапласа, находим      0p p A p V V или      0 .pI A p  V  Получаем, что изображение по Лапласу  pV вектора состояния  t имеет вид      1 0 ,p pI A   V    (2.6) где I – единичная матрица. 50 Применяя обратное преобразование Лапласа к уравнению (2.6), получаем      11 0 .t L pI A       (2.7) Обозначая     11Ф ,t L pI A   уравнение (2.7) запишем в виде      Ф 0 .t t     (2.8) Матрица  Ф t называется расширенной матрицей перехода системы. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений было из- вестно, что решение уравнения (2.5) имеет вид     0 .A tt e     (2.9) Сравнивая формулы (2.8) и (2.9), находим  Ф ;Att e     11Ф ,t L sI A   что позволяет вычислить  Ф t двумя способами. Обращаясь вновь к описанному выше примеру 1, находим   1 .ppI A b p a       51 Тогда       1 11Ф .p ap pI A b pp p a b           Пусть матрица A имеет действительные и различные собствен- ные значения 2 1 1 4 ; 2 2 a a b    2 2 1 4 , 2 2 a a b    где 2 4 .a b Тогда        1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1Ф . 4 t t t t t t t t a e a e e e t b e e e ea b                        Если собственные значения матрицы A являются комплексными числами, то матрица перехода  Ф t принимает вид   2 2 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 1(cos sin sin 2Ф , sin (cos sin ) 2 at at at at ae t t e t t b ae t e t t                       где 2 0 .4 ab   Определение  Ф t при использовании теоремы разложения Силь- вестра рассматривается в курсе математики. 52 Способ определения переменных состояния с использованием схемы системы в переменных состояния: схема составляется из ин- теграторов, усилителей, суммирующих устройств. Выходы интегра- торов могут быть выбраны в качестве координат (переменных) со- стояния системы. Схема в переменных состояния дает наглядную физическую интерпретацию координат системы и описывает их вза- имную связь. Схему в переменных состояния можно составить не- посредственно по заданному дифференциальному уравнению или по изображению Лапласа. Применяя преобразование Лапласа к обе- им частям дифференциального уравнения примера 2.1, получим            2 0 0 ,p ap b X p M p p a x ax       откуда          1 1 22 1 2 1 2 1 21 0 0 .1 1 1 p ap x p xp M p X p ap bp ap bp ap bp                    Схема системы в переменных состояния, которая непосредствен- но следует из формулы, изображена на рис. 2.2. Рис. 2.2. Схема в переменных состояния для системы второго порядка для примера 2.1 Выход 1x x является суммой трех составляющих, возникаю- щих соответственно за счет      1 2, 0 и 0 .m t x x  Из схемы сис- темы и формулы видно, что составляющая за счет  1 0x  равна 53    1 1 1 1 2 1 0 1 p ap x ap bp         и составляющая за счет  2 0x  равна  2 1 2 0 . 1 x ap bp     2.3. Схемы программирования для непрерывных систем Схемы непрерывных систем в переменных состояния совпадают со схемами этих систем на аналоговых вычислительных машинах. Схема системы в переменных состояния может быть составлена по передаточной функции системы тремя различными способами: 1) прямого программирования; 2) параллельного программирования; 3) последовательного программирования. Для иллюстрации различных методов составления схемы систе- мы в переменных состояния рассмотрим систему с передаточной функцией  W p вида        2 2 3 2 . 7 12 Y p p pW p M p p p p      (2.10) 2.3.1. Прямое программирование Уравнение (2.10) можно записать в виде      1 2 3 1 1 3 2 1 7 12 Y p p p pW p M p p p           или      1 2 33 2 ,Y p p p p E p     (2.11) 54 где    1 2 ,1 7 12 M p E p p p     откуда        1 27 12 .E p M p p E p p E p    (2.12) В схеме системы в переменных состояния, показанной на рис. 2.3, используются уравнения (2.11) и (2.12). Переменными состояния являются 1 2 3, .,x x x Рис. 2.3. Схема в переменных состояния для прямого программирования Дифференциальные уравнения для переменных состояния могут быть найдены из рассмотрения схемы системы. Предполагая, что входное воздействие является ступенчатой функцией, получим 0;m  1 2;x x 2 3;x x 3 2 312 7 .x m x x   55 Отсюда 1 2 3 ; m x x x          0 0 0 0 0 0 1 0 . 0 0 0 1 1 0 12 7 A          Выход  y t является линейной комбинацией переменных со- стояния        1 32 3 .xy t x t x t x t   2.3.2. Параллельное программирование Запишем равенство (2.10) в виде суммы дробно-рациональных функций:         1 2 3 . 6 3 3 2 4 Y s M s s s s     Схема системы в переменных состояния (рис. 2.4) следует из это- го выражения непосредственно. Система дифференциальных уравнений первого порядка имеет вид 0;m  1 ;x m 2 23 ;x m x  3 34 ,x m x  где предполагается, что входное воздействие является ступенчатой функцией. 56 Рис. 2.4. Схема в переменных состояния для параллельного программирования Матрица коэффициентов 0 0 0 0 0 0 0 0 . 1 0 3 0 1 0 0 4 A         Так же, как и ранее, выход  y t является линейной комбинацией координат:        1 2 31 2 3 .6 3 2y t x t x t x t   2.3.3. Последовательное программирование Равенство (2.10) записываем в виде произведения дробно-рацио- нальных функций, откуда непосредственно следует сумма системы в переменных состояния, показанная на рис. 2.5. 57 Рис. 2.5. Схема в переменных состояния для последовательного программирования Система дифференциальных уравнений первого порядка имеет вид 0;m  1 1 2 34 ;x x x x    2 2 33 ;x x x   3 .x m Здесь также предполагается, что входное воздействие является ступенчатой функцией. Матрица коэффициентов 0 0 0 0 0 4 1 1 . 0 0 3 1 1 0 0 0 A         Выход  y t дается линейной комбинацией координат:        1 2 32 2 .y t x t x t x t   Предыдущее рассмотрение иллюстрирует также описание систе- мы различными системами переменных состояния. 58 2.4. Схемы программирования для дискретных систем Для дискретных систем схемы в переменных состояния имеют почти такой же вид, как и схемы моделирования этих систем. По- следние могут быть составлены по передаточной функции дискрет- ной системы тремя различными способами: 1) прямого программирования; 2) параллельного программирования; 3) последовательного программирования. Схема системы в переменных состояния состоит из прерывателей, элементов фиксации и задержки, суммирующих устройств, усилите- лей или потенциометров. Для иллюстрации различных способов составления схемы систе- мы в переменных состояния рассмотрим дискретную систему, харак- теризуемую передаточной функцией   1 21 21 ,1 ap bpD p cp dp         (2.13) структурная схема которой показана на рис. 2.6. Рис. 2.6. Структурная схема простой дискретной системы 2.4.1. Прямое программирование Схема системы в переменных состояния, составленная при исполь- зовании стандартной процедуры, показана на рис. 2.7. Переменные 1 2 иx x характеризуют состояние объекта и представляют собой выхо- ды соответствующих фиксаторов и элементов задержки. 1 2 1 2 1 1 az bz az dz           59 Рис. 2.7. Схема в переменных состояния для прямого программирования Из рассмотрения схемы системы в переменных состояния полу- чаем дифференциальные уравнения состояния 1 0;x  2 0x  и уравнения переходных состояний      1 1 21 ;x nT x n T x nT           2 1 2 ;x nT dx nT cx nT m nT        .m nT r nT  Уравнения переходных состояний описывают изменение коорди- нат системы в моменты квантования и определяют начальные усло- вия для каждого перехода системы в другое состояние. Выходной сигнал  y t является линейной комбинацией координат 1x и 2x и входного воздействия :m            1 2 .y t b d x t a c x t m t     60 2.4.2. Параллельное программирование Для составления схемы системы в переменных состояния мето- дом параллельного программирования запишем передаточную функ- цию в виде суммы дробно-рациональных функций:   1 11 21 1 1 2 1 1 , 1 1 p pD p p p           (2.14) где 1 2 1 2, , ,    – известные функции от , , , .a b c d Схема системы в переменных состояния, которая может быть со- ставлена непосредственно по формуле (2.14), показана на рис. 2.8. Дифференциальные уравнения состояния имеют простой вид: 1 0;x  2 0.x  Рис. 2.8. Схема в переменных состояния для параллельного программирования Уравнения переходных состояний находим в виде      1 1 1 ;x nT x nT m nT         2 2 2 ;x nT x nT m nT       .m nT r nT  61 Выход  y t находим из рассмотрения схемы системы в перемен- ных состояния:        1 1 2 2 2 ,y t x t x t m t     т. е. в виде линейной комбинации координат и входного воздействия. 2.4.3. Последовательное программирование Передаточную функцию (2.13) запишем в виде произведения дроб- но-рациональных функций:         1 1 1 1 1 1 . 1 1 p p D p p p             Схема системы в переменных состояния показана на рис. 2.9. Рис. 2.9. Схема в переменных состояния для последовательного программирования Из рассмотрения этой схемы находим дифференциальные урав- нения состояния 1 0;x  2 0x  и уравнения переходных состояний          1 1 2 ;x nT x nT x nT m nT             2 2 ;x nT x nT m nT       .m nT r nT  62 Выход   ,y t как и ранее, находим в виде линейной комбинации координат и входного воздействия:            1 2 2 .y t x t x t m t         2.5. Выбор переменных состояния в модели посадки летательного аппарата Представление системы ее схемой в переменных состояния не является единственным. Для одной и той же системы можно соста- вить несколько схем, отличающихся природой переменных, выбран- ных в качестве переменных состояния. Различный выбор этих пере- менных обычно приводит к различным конфигурациям схем систе- мы в переменных состояния. Рассмотрим систему уравнений, описывающих посадку дрона. Линеаризованное уравнение короткопериодических колебаний в про- дольном движении дрона запишем в виде          3 2 2 2 20 0 0 0 03 2d d d d2 .d dd d t t t t KT K t t tt t               (2.15) Угол тангажа  и высота h связаны дифференциальным урав- нением      20 2d d ,dd h t h t T V t tt    (2.16) где  h t – высота;  – угол тангажа; V – скорость. Комбинируя уравнения (2.15) и (2.16) и применяя прямое преоб- разование Лапласа, находим передаточную функцию, связывающую отклонение руля высоты  и высоту h: 63     2 2 2 0 0 . 2 11 KVh s p p p p         (2.17) Схема системы в переменных состояния, составленная по фор- муле (2.17), показана на рис. 2.10. В качестве координат системы в этой схеме выбраны переменные 2 3 1 2 3 42 3 d d d; ; ; . d d d h h hx h x x x t t t     Рис. 2.10. Схема в переменных состояния, характеризующая динамику изменения высоты самолета от отклонения руля высоты Дифференциальные уравнения посадки самолета при соответ- ствующем выборе промежуточных переменных могут быть замене- ны следующей системой дифференциальных уравнений первого порядка: 1 2;x x 2 3;x x 3 4;x x 2 4 0 3 0 42 .x x x Km     64 Схема системы в переменных состояния также может быть со- ставлена при использовании этих дифференциальных уравнений. Однако при таком описании дрона в качестве координат системы будут выбраны высота и ее три производные, хотя две из них, и ,/ /2 2 3 3d d d dh t h t не могут быть измерены непосредственно. Возможен другой вариант схемы системы в переменных состоя- ния. В качестве переменных состояния выберем высоту, скорость изменения высоты, угол тангажа и угловую скорость тангажа. Эти переменные могут быть измерены с помощью радиовысотомера и датчиков. Исключая θ из уравнений (2.15) и (2.16), получаем        4 3 22 20 0 04 3 2d d d2 .d d d h t h t h t KV t t t t       (2.18) Из уравнения (2.18) следует, что      20 2d d .dd h t h t T V t tt    (2.19) Дифференцируя уравнение (2.19) по ,t получаем      3 2 0 3 2 d d d . dd d h t t h t T V tt t   (2.20) Дифференцируя выражение (2.20) по ,t находим      4 2 3 0 4 2 3 d d d . d d d h t t h t T V t t t   (2.21) Комбинируя уравнения (2.20) и (2.21), получаем      2 2 20 0 0 0 0 02 2 0 0 d d1 2 1 2 dd t tT T T t T tt T          (2.22)    2 2 20 0 0 0 0 02 0 d1 2 . d h tT T K T t tVT       65 Определим переменные состояния равенствами 1 2 3 4 d d; ; ; d d hx h x x x t t      (2.23) и в нижеследующих уравнениях отклонение руля высоты  заме- ним на .m Тогда из формулы (2.23) имеем 1 2 ,x x из формул (2.19) и (2.23) 2 22 2 23 3,x a x a x  3 4x x и из формул (2.22) и (2.23) 4 42 2 43 3 44 4 0 ,x a x a x a x K m    (2.24) где 2 0 0 0;K K T  22 23 0 0 1 ; ;a a T T V   2 0 0 42 2 00 21 ;a VT VVT     20 43 02 00 21 ;a TT    44 0 0 1 2 .a T    66 Схема в переменных состояния системы (рис. 2.11) может быть составлена по уравнению (2.24). Очевидно, что она существенно отличается от схемы, показанной на рис. 2.10. Рис. 2.11. Другой вариант схемы в переменных состояния, характеризующей динамику изменения высоты самолета Схема рис. 2.11 обладает тем преимуществом, что в ней все пе- ременные состояния допускают непосредственное измерение. При расчете оптимальных систем желательно, чтобы все координаты можно было непосредственно наблюдать и измерять. Поэтому при составлении схемы системы в переменных состояния очень важно в качестве переменных состояния выбирать измеримые (наблюдае- мые) переменные. 2.6. Анализ устойчивости дискретных систем методом переходных состояний Линейную стационарную дискретную систему можно описать со- вокупностью линейных дифференциальных уравнений первого поряд- ка с постоянными коэффициентами, которые могут быть записаны в векторной форме:    d , d A      (2.25) где и 0 .t nT T      Вектор состояния v в качестве своих компонент включает век- тор состояния входа m и вектор состояния x. Уравнение (2.25), 67 характеризующее поведение дискретной системы на интервалах кван- тования, называется дифференциальным уравнением состояния сис- темы. Начальные условия для дифференциального уравнения со- стояния могут быть записаны в векторной форме как    .nT B nT   (2.26) Это уравнение, описывающее изменение переменных состояния системы в моменты квантования, называют уравнением переходных состояний. В этих уравнениях А и В обозначают квадратные мат- рицы, которые могут быть найдены из рассмотрения схемы системы в переменных состояния. Применяя к уравнению (2.25) прямое преобразование Лапласа, получаем      0 .p p A p  V V  Совершая элементарные преобразования, находим        1 0 .p pI A p   V V  (2.27) Применяя к уравнению (2.27) обратное преобразование Лапласа, получаем решение дифференциального уравнения состояния в виде      Ф 0 ,    (2.28) где расширенная матрица перехода дается выражением     11Ф .L pI A    В терминах переменной t уравнение (2.28) принимает вид      Ф .t t hT nT    68 Это уравнение описывает поведение системы на интервале  1 .nT t n T   Следовательно, в момент  1t n T       1 Ф .n T T nT    Учитывая соотношение (2.26), вектор состояния  можно запи- сать в виде      Фt t nT B nT   (2.29) и      1 Ф .n T T B nT   Это уравнение представляет собой рекуррентное соотношение, которое может быть использовано для вычисления последователь- ных значений переменных состояния системы в моменты квантова- ния. Заметим, что в случае непрерывных систем B – единичная мат- рица и .t  Обозначим    Ф t nT B H t nT   и уравнение (2.29) запишем в виде      .t H t nT nT   (2.30) Это уравнение определяет значения координат системы в любой момент времени на интервале  1 .nT t n T   Отсюда в момент  1t n T       1 .n T H T nT   (2.31) 69 Придавая n в формуле (2.31) последовательные значения, полу- чаем следующую систему уравнений:      0, 0 ;n T H T        3, 2 ;n T H T T        2, 3 2 ;n T H T T   …………………………………….      1, 1 ;n k kT H T k T     …………………………………….      1, 1 .n n nT H T n T     Комбинируя эти уравнения и производя упрощения, получаем      0 .nnT H T  (2.32) По определению Z-преобразования  V z от функции време- ни  V nT имеем     0 .n n z nT z     V  (2.33) Комбинируя уравнения (2.32) и (2.33), получаем z-преобразова- ние в виде      1 0 0 . n n z H T z       V  70 Учитывая соотношение     11 1 0 , n n H T z I z H T             выражение z-преобразования для вектора состояния дискретной сис- темы запишем в виде      11 0 .z I z H T    V  (2.34) Применяя обратное z-преобразование к уравнению (2.34), для вектора состояния получим      11 1 0 ,nT Z I z H T       (2.35) что является общим решением уравнения состояния, из которого могут быть определены переменные состояния системы в последо- вательные моменты квантования, если только известны расширен- ная матрица перехода и матрица В и заданы начальные условия. Уравнение (2.35) позволяет систематизировать и унифицировать анализ динамического поведения дискретных систем. Анализ устойчивости системы Пусть матрица  H T разделена на блоки согласно размерностям векторов и :m x        0 , T H T T T       (2.36) где  T – квадратная матрица. 71 Тогда       1 1 01 0 0 1 T I z H T z T T                (2.37)       1 1 1 0 . I z T z T I z T              Так как по определению            0 , 0 , 0 M z V z X z            m x  то уравнение (2.34) можно записать как               11 1 1 11 1 1 1 I z Tz z z I z T T I z T I z T                            M X (2.38)     0 . 0     m x При выводе этого уравнения было использовано равенство (2.37). Отсюда находим z-преобразования для векторов состояния входа и процесса соответственно:      11 0z I z T   M m (2.39) и            1 11 1 1 0 .z z I z T T z I z T         X M x (2.40) 72 Первое слагаемое в правой части z-преобразования (2.39) при- сутствует благодаря вектору M, а второе слагаемое – благодаря не- нулевым начальным условиям. Второе слагаемое равно нулю, если в начальный момент времени система находится в состоянии по- коя. Последовательность дискретных значений переменных состо- яния и переменных состояния процесса можно получить по форму- лам (2.39) и (2.40), применяя к ним обратное z-преобразование. Если система в начальный момент времени находится в состоя- нии покоя, то z-преобразование для вектора состояния процесса принимает вид        11 1 .z z I z T T z    X M Характеристическое уравнение системы имеет вид  1det 0.I z T   (2.41) Для устойчивости системы необходимо, чтобы корни уравнения (2.40) находились в пределах единичной окружности на плоскости z. Учитывая равенство (2.36), выражение (2.30) для вектора состо- яния  t можно записать в виде               0 . t t nT nT t t nT t nT nT                     m m x x Следовательно, в интервале  1nT t n T   вектор состояния процесса определяется выражением           ,t t nT nT t nT nT    x m x (2.42) где значения векторов    и nT nTm x могут быть легко найдены при использовании выражений (2.39) и (2.40). Полагая 0,1, 2,n   73 в уравнении (2.42), находим функции времени для переменных со- стояния процесса. П р и м е р 2.2 С целью иллюстрации описанного выше метода z-преобразования для анализа дискретных систем рассмотрим разомкнутую систему. Схема простой импульсной системы показана на рис. 2.12. Пред- полагается, что входное воздействие имеет вид единичной ступен- чатой функции и период прерывания равен T, с. Требуется опреде- лить реакцию на выходе системы. Рис. 2.12. Простая импульсная система Из рассмотрения схемы системы в переменных состояния, пока- занной на рис. 2.13, следует, что дифференциальные уравнения со- стояния системы имеют вид 1 2 1 2 10; 0; .m m x m x      Рис. 2.13. Схема в переменных состояния для простой импульсной системы Уравнения переходных состояний системы находим в виде    1 1 ;m nT m nT     2 1 ;m nT m nT     1 1 .x nT x nT  74 Матрицы А и В записываются следующим образом: 0 0 0 0 0 0 ; 0 1 1 A        1 0 0 1 0 0 0 0 1 B        Матрицу перехода находим в виде   1 0 0 Ф 0 1 0 . 0 1 t t t e e         Отсюда находим матрицу  :H T     1 0 0 Ф 1 0 0 1 0T T H T T B e e          и   1 0 ; 1 0 T         ;Tt e    1 0 ;Tt e       11 1 1 0 1 ; 1 z z T z             1 11 1 .Tz T z e      75 Так как          1 11 1 11 1 0 ,z z z T T z T              X m то окончательно имеем       1 . 1 T T z e z z z e     X Отметим, что решение этой простой задачи можно получить клас- сическим методом. В данном случае применение обобщенного подхо- да не дает каких-либо преимуществ. Заметим также, что данный при- мер был приведен с целью проиллюстрировать применение рассмот- ренного в настоящем параграфе метода анализа дискретных систем. П р и м е р 2.3 Замкнутая система Требуется найти выход импульсной системы, структурная схема которой приведена на рис. 2.14. Входное воздействие имеет вид единичной ступенчатой функции. Рис. 2.14. Простая импульсная система с обратной связью Схема системы в переменных состояния изображена на рис. 2.15. Из рассмотрения этой схемы находим, что дифференциальные урав- нения состояния системы имеют вид 1 2 1 2 10; 0; .m m x m x      76 Рис. 2.15. Схема в переменных состояния для импульсной системы с обратной связью Уравнения переходных состояний находим в виде    1 1 ;m nT m nT     2 1 ;m nT m nT     1 1 .x nT x nT  Отсюда находим матрицу А и В: 0 0 0 0 0 0 ; 0 1 1 A        1 0 0 1 0 1 . 0 0 1 B        В качестве иллюстрации рассмотрим определение расширенной матрицы перехода другим методом. Обращаясь к схеме системы в переменных состояния, запишем 77    1 11 0 ;m m           2 1 1 2 0 ;m m x m            1 2 10 .x m x    Решение последнего дифференциального уравнения имеет вид        1 2 11 0 0 .x e m e x       Отсюда находим расширенную матрицу перехода:   1 0 0 Ф 0 1 0 . 0 1 e e          Матрицу  H T получаем в виде     1 0 0 Ф 1 0 1 . 1 0 1 2T T H T T B e e            Матрицу  H T разобьем на блоки таким образом, что   1;T    0 1 ; 0 1 2 T T e           1 . 1 T T e        78 Следовательно,       1 111 1 1 2 1 111 ; 1 2 1 0 1 T T z e z z T z e                       11 111 .1z T z        Если  1 0 ,x  то из формул (2.37) и (2.38) следует, что             1 1 2 1 1 2 1 1 1 , 1 2 1 1 T T T T z e z eM z z X z z z e e                        откуда      1 1 . 1 2 1 T T z e X z z z e       Используя классический метод, получаем     1 1 ; 1 Ts T T e eG z Z s s z e               ; 1 zR z z        ;1 G z C z G z         1 , 1 2 1 T T z e R z z z e       что совпадает с результатом, полученным выше. 79 Если начальное условие задано в виде  1 00 ,x c  то при соответствующей подстановке в формулы (2.39) и (2.40) бу- дем иметь       21 1 2 1T M z z X z z z e                1 1 10 0 1 2 1 1 1 1 , 2 11 T T TT z e z e c zz z e ce                           откуда       01 1 . 2 11 2 1 T TT z e c zX z z ez z e         Из изложенного видно, что по удобству и эффективности рас- сматриваемый общий подход превосходит классический в анализе сложных систем, а также в оптимальном синтезе. 80 Часть 2. ПОДСИСТЕМЫ МЕХАТРОННЫХ СИСТЕМ ГЛАВА 3. МЕХАНИКА 3.1. Модели механических подсистем мехатронной системы 3.1.1. Подсистема с жесткими звеньями Механическая подсистема мехатронной системы (рис. 3.1) назы- вается жесткой: – если все звенья абсолютно твердые тела, имеющие массы (рас- пределенные или точечные); – стержни, соединяющие звенья im – масса i-го тела, – невесо- мые линейные, абсолютно жесткие, ijc   (где ijc – жесткость стержня, соединяющего и );i jm m – все гибкие звенья (ремни, цепи) считаются нерастяжимыми; – все жидкие звенья (гидравлические) считаются несжимаемыми; – кинематические пары идеальные (в шарнирах и поступатель- ных парах пренебрегают люфтами, деформациями). Рис. 3.1. Жесткая механическая подсистема Подсистема с упругими связями: – все звенья абсолютно твердые тела, имеющие массы im (рас- пределенные или точечные); 81 – звенья соединяются невесомыми стержнями, обладающими упругими, вязкими ,ij пластическими и другими физико-механи- ческими свойствами, моделируемыми пружинами, вязкими демп- ферами, элементами сухого трения. Указанные свойства позволяют учитывать влияние на динамику системы не только геометрии масс, но и геометрии жесткости, де- формации звеньев и кинематических пар, люфт в шарнирах и т. д., рис. 3.2. Рис. 3.2. Подсистема с вязкоупругими связями Подсистема с распределенными физико-механическими свой- ствами и деформируемыми звеньями: массовые и физико-меха- нические свойства распределены по всей механической подсистеме, причем любой элементарный объем обладает деформирующейся массой, непрерывно распределенной по объему тела (звена). Как следует из рис. 3.3, каждое звено и соединяющие их стержни обладают массой im и физико-механическими свойствами (упру- гость ,ic вязкость, пластичность). 82 Рис. 3.3. Подсистема с распределенными физико-химическими свойствами В механической подсистеме происходит преобразование простей- ших движений актуаторов (выходных звеньев двигателей) в движения исполнительных органов, требующиеся для реализации рабочего про- цесса (движения). Механическая подсистема иерархически может включать уровень механизмов, рассматриваемых как модули. Число входов механической подсистемы (актуаторов) равно чис- лу степеней подвижности подсистемы. Выходными величинами механической подсистемы являются координаты точек рабочих ор- ганов  1, , .nx x x  Механизмы при функционировании преобразуют координаты по функциям положения (конфигураций) :      1 1, , , , , ,, ,n nx q e q q q e e e      (3.1) где e – деформации звеньев. Механизмы соединяются между собой последовательно или па- раллельно. На рис. 3.4 изображены структурные схемы последовательного и параллельного соединений. 83 а б Рис. 3.4 Структурные схемы: а – последоывательное, б – параллельное соединение: ПМ – передаточный механизм; ИМ – исполнительный механизм;  – выходная величина (координата) актуатора (двигателя) На рис. 3.5 изображена функциональная схема механической подсистемы. Рис. 3.5. Функциональная схема механической подсистемы На рис. 3.5: iA – i-й актуатор; МПС – механическая подсистема; РП – рабочий процесс; iu – i-е входное (управляющие) воздействие; iq – выходные координаты актуаторов; 84 Q – обобщенные движущие силы; x – координаты рабочих органов; P – активные силы, возникающие при реализации рабочего процесса. 3.1.2. Математические модели структурно-функциональных частей механической подсистемы Проектирование механической части мехатронной системы (ме- ханики) наиболее точно осуществляется на основе моделей механи- ки сплошных сред, однако аналитически это приводит к необходи- мости решать начальные и краевые задачи для уравнений в частных производных, описывающих системы с распределенными парамет- рами, имеющими бесконечное число степеней свободы. И хотя современные CADFEM-системы автоматизированного проектиро- вания упростили решение таких задач, тем не менее методы ап- проксимации систем с непрерывно распределенными параметрами, системами с сосредоточенными параметрами остаются актуальны, особенно на начальных стадиях проектирования. Переход от моде- ли системы с распределенными параметрами к модели с сосредо- точенными параметрами позволяет существенно сократить число степеней свободы и таким образом построить достаточно простую математическую модель и на ее основе провести аналитическое ис- следование. Например, для большинства машин упругие деформа- ции малы, тогда вместо (3.1) используется приближение вида    ,0),0 .qx q e     Соответственно в первом приближении можно записать  , , ,q f u Q Q q    (3.2) где  – постоянная времени, характеризующая время реакции под- системы на воздействие. 85 В формуле (3.2)  , , .sQ Q Q u q q    В случае когда q – угловая координата, обобщенная сила ,Q M где M – момент. Особенностью моделирования механической подсистемы явля- ется многоступенчатость (иерархичность) этого процесса. На на- чальной ступени (эскизной) допустимо использование жесткой мо- дели, что позволяет сделать выбор двигателя, оценить величины реакций в кинематических парах механизмов. При исследовании процессов, связанных с вибрацией, диссипацией, деформацией, не- обходимо учитывать упругость, вязкость и пластичность звеньев. На стадии конструирования узлов механической подсистемы тре- буется получить законы движения ее звеньев такие, чтобы рабочий процесс выполнялся в соответствии с проектируемыми (идеальными) законами движения, которые называются программными. Реализация программного (идеального) управления поведением (функцией) подсистемы может быть получена за счет точного кон- струирования, изготовления, эксплуатации структурных элементов механической системы, а также за счет управляющих воздействий. На практике действительный закон движения отличается от иде- ального программного за счет неучтенных факторов конструирова- ния, управления, измерения внутренних и внешних параметров. От- клонение (вариация) законов движения реальных систем от програм- мных характеризуется динамическими ошибками. Как правило, действительные значения динамических нагрузок, действующих на звенья машины, существенно отличаются от расчетных. Оценивание величин динамических ошибок и корректировка зна- чений динамических нагрузок являются задачей динамического анали- за, решаемой в ходе расчетов на стадии проектирования и после разра- ботки конструкций функциональных частей системы. Это ведет, как правило, к использованию все более сложных и адекватных моделей. Решение задач синтеза машин базируется на результатах анализа и достигается за счет изменения параметров механической системы двигателей, актуаторов. Электроника позволила достигать улучше- ния динамики машины, расширения диапазона ее возможностей за счет адекватного управления с обратными связями. 86 3.1.3. Влияние геометрии масс твердого тела на его динамику Сопротивление масс системы движению проще всего изучать на основе уравнений Ньютона–Лагранжа при идеальных связях. Поступательное движение центра масс описывается уравнением  2 2 d d ,ecrm F t  а вращательное в главных осях инерции символически можно запи- сать в виде      21 , , 2 g c II q q I q q M M I q q        где  I q – моменты инерции системы, приведенные к выходному звену двигателя или актуатора; q – обобщенные координаты; gM – приведенные моменты движущих сил; cM – приведенные моменты сил сопротивления. Отметим, что в общем случае для мобильных роботов   0I q  . Когда функции положения механических частей машины линейные,   0 const.I q I  В общем случае нелинейности можем записать       ,q MI q I q I q  где  qI q – приведенный момент инерции движущихся звеньев двигателя; MI – приведенный момент инерции звеньев передаточного и исполнительного механизмов. 87 Момент сил сопротивления cM – обобщенная сила, соответствую- щая всем активным силам, действующим на звенья механизмов: 1 d , d k s c s s rM P q   (3.3) где sP – векторы активных сил; sr – радиусы-векторы точек их приложения. Обычно соотношение (3.3) записывается в виде  , ,c cM M q q  а gM – в виде  , , ,g gM M u q q  где управление (регулирование)  u t задается или находится на основе каких-либо критериев. 3.1.4. Влияние учета упругости на динамику механической подсистемы На следующей ступени проектирования на основе динамической модели механической части машины учитывается упругость звень- ев передаточных механизмов. Как правило, массы передаточных звеньев значительно меньше массы двигателей и исполнительных звеньев, что позволяет использовать простейшую двухмассовую мо- дель упругой системы. На рис. 3.5 изображена простейшая модель механического агрегата, учитывающая упругость передаточного механизма. Звенья считаются жесткими, имеющими одну степень подвижности, а передаточный механизм считается безынерцион- ным, вязкоупругим. В качестве обобщенных координат выбираются угол поворота выходного звена двигателя актуатора 0q и угол по- 88 ворота q входного звена исполнительного механизма, приведенный к валу двигателя, т. е. умноженный на передаточное отношение .i Приведенная к валу двигателя деформация передаточного звена определяется по формуле 0 1.e q q  Обозначим момент, возникающий в передаточном звене и при- ложенный к исполнительному звену:    0 1 0 1 ,M ce be c q q b q q         (3.4) где c – коэффициент жесткости, b – коэффициент вязкости. Уравнения движения с учетом вязкоупругости звеньев запишут- ся в виде        20 0 0 0 0 1 0 1 0 d1 ; 2 d g g g I I q q q q M b q q c q q q         (3.5)          21 1 1 1 1 1 0 1 0 1d1 , ,2 d MM cq II q q q q M q q b q q c q q q          где    0 1, g MI q I q  – приведенные моменты инерции;  1 1,cM q q – приведенный момент сил сопротивления. Рассмотрим более сложную динамическую модель, учитываю- щую упругость звеньев. Широко распространенной одномерной моделью является цеп- ная модель, все звенья которой совершают вращательное движение. Пусть цепная система содержит 1n   вращающихся масс, после- довательно соединенных между собой упруговязкими элементами. Система имеет 1n   степеней свободы, определяемых обобщенны- ми координатами – углами поворота 0 1,, , nq q q масс вокруг их собственных осей вращения. 89 Перейдем к новым координатам: , 0,1, , ,s os si q s n    где osi – передаточное отношение звена, связывающего ротор (ну- левая масса) с массой s-го звена. Деформация определяется координатами, характеризующими смещения масс относительно ротора:  0 1, , , ;ne e     0 1, , .s se s n      В частности, для жестких звеньев 0;s    0 1, , .se s n   Уравнения Лагранжа относительно  имеют вид *,A B c M     (3.6) где звездочкой обозначается приведение системы к нулевой массе. Расписывая уравнения (3.6), получим  * * *0 1 , ,; ;T Tc g n nI a e M M a I I      (3.7) * 0 .a Ae Be ce M        3.1.5. Частотный анализ динамики линеаризованных уравнений Ньютона–Лагранжа Работа любой функционирующей машины (робота) сопровожда- ется вибрацией и шумом, которые наиболее точно можно модели- 90 ровать на основе механики деформируемого твердого тела. Уравне- ния, описывающие распространение волн в сплошной деформируе- мой среде, являются уравнениями в частных производных. Приближенное описание динамики сплошного деформируемого твердого тела на основе многомассовой системы может быть прове- дено с помощью лагранжевого формализма. Так как упругие де- формации обычно малы, то линеаризованные уравнения движения представляются в виде (3.7), что для частотного анализа позволяет применять метод интегральных преобразований Лапласа. Это поз- воляет использовать методы анализа и синтеза систем, основанные на теории цепей и передаточных функций. Применяя к уравнениям (3.7) преобразование Лапласа     0 d ,ptp t e t     получим      2 d, .dpAp Bp c M p p t     Передаточная функция     12W p Ap Bp c    (3.8) представляет собой матрицу операторов динамической податливо- сти свободной системы, элементы которой обладают свойствами передаточных функций линейных систем и связывают преобразова- ния Лапласа r-го входа и s-го выхода так, что решение (3.4) с уче- том (3.5) в покомпонентном виде можно записать так:       1 , 1, 2, , . n s rs r r p W p M p s n      (3.9) 91 Так как матрицы , ,A B C   симметричны, то и матрица  W p также симметричная. Компоненты матрицы  rsW p вычисляются по формуле      ,rsrs p W p p   (3.10) где  rs p – алгебраическое дополнение элемента r-й строки и s-го столбца этого определителя;    2detp Ap Bp c    – характеристический определитель системы (3.10). Обычно в машинах диссипация пренебрежимо мала, что позво- ляет в (3.8) положить 0.B  Собственные формы и частоты систе- мы удовлетворяют системе (3.8) при 0, 0.B M  Кинетическая и потенциальная энергии линеаризованной систе- мы имеют вид    1 1, , П , ,2 2T A c       (3.11)     , 1 , 1 , ; , . n n ik i k ik i k i k i k A a c c                 Так как квадратичные формы определенно-положительные, то существует вещественная неособенная замена переменных  1, det 0, ,, , nU U         (3.12) приводящая к сумме квадратов сразу обе квадратичные формы (3.11): 2 2 1 1 1 1, П . 2 2 n n j j j j j T         92 Обобщенные координаты j   называются главными или нор- мальными. Уравнения движения (3.6) в главных координатах запи- шутся в виде несвязанных n-уравнений второго порядка: 0, 1, 2, , .j j j j n       (3.13) Так как все j положительны, то решения (3.13) имеют вид  sin , 1, 2, , ,j j j jc t j n       где j j   – частоты колебаний; ,j jc  – произвольные постоянные. Тогда  представляется в виде   1 sin . n j j j j j c u t       Здесь  1, , nu u u  – вектор амплитуд. Подставляя (3.10) в (3.7) и затем в (3.6), получим   0.c A u   Условие 0u  приводит к уравнению  det 0.c A   (3.14) Уравнение (3.14) определяет собственные частоты ,i i   1, , .i n  Уравнение (3.6) в главных координатах имеет вид  г г г2 ,A p C M   где г г, A С – диагональные матрицы размера    1 1 .n n   93 Запишем гA в виде  г 0 1diag , , , ;nA      , 0, , ;Ts s sa Au s n     0 0 , n r c r I I      0 1diag , , , ,r n      , 0, , .Ts su cu s n     Представим компоненты вектора гМ в виде Г Г 0 .Ts s s g sn nM u M u M u M   Тогда (3.6) записывается в виде 1n  независимых уравнений: 2 0 ;c g nI p M M   (3.15)  2 , 1, 2, , .r r r g rn na p M M r n        Решение системы (3.15) запишем в виде  0 21 ,g n c M M I p     21 , 1, , .r g rn n r r M M r n a p        Подставляя (3.12) в (3.6), получим выражения для  -решения неоднородных уравнений (3.6), (3.7), описывающих динамику сис- 94 темы под действием внутренних сил. Покомпонентное выражение имеет вид 2 2 1 1 n rs s g rc r r u M I p a p           2 2 1 1 1 , 0,1, , . n n r rm m m rc r r u u M s n I p a p             Выражения для компонентов передаточной матрицы запишутся в безразмерном виде:    2 2 2 1 1 , , 0,1, , ; 1 mn rs rs mc m W p r s n I p p         1 1 ; . m rs mr ms mm u u     Для установившегося процесса p j  , тогда динамические по- датливости  rsW j имеют вид    2 2 2 1 1 , , 0,1, , . 1 mn rs rs mc m W j r s n I            Векторы sh ортогональны в матрицах ,А С, причем при любых s m выполняются условия 0, 0.T Ts m s mu Au u cu  Собственные частоты k находятся из уравнения  2det 0.С Ak  (3.16) 95 Выражение (3.16) является условием существования ненулевых амплитуд ,su удовлетворяющих системе  2 0, 0,1, , .sС Ak u s n    Собственные частоты выражаются через собственные формы (формула Рэлея): 2 , T s s h s T s u Сuk u Сu причем считается, что  01, 1,1, ,1 .Tsou h   Применим к (3.9) обратное преобразование Лапласа       d ,s i pts s r s i t p M p e p        получим выражение для  s t в виде       10 d . t s rs r r t W t M        В случае резонанса, что соответствует в (3.16) 1 m mk     совпадению  с одной из собственных частот системы в знаменателе   ,rsW j он становится бесконечным. Это происходит, когда период (частота) действия на систему, совпадает с собственной частотой. В этом случае нормальная форма колебаний находится из урав- нения типа sin ,a t     96 общее решение которого имеет вид    *sin( ) ;t c t t       (3.17)  * cos . 2 at t t    (3.18) Как следует из (3.18) функция  * t растет, а потому линеаризо- ванные уравнения вибрации должны заменяться более точными не- линейными. Учет вязкости (диссипации) в системе также позволяет получать более реалистичные конечные режимы движения. 3.1.6. Антирезонансные частоты Из анализа выражения (3.17) видно, что если закрепить массы в r-й и s-й материальных точках системы, величина  rsW j обра- щается в 0 при совпадении  с одной из собственных частот си- стемы. Эти частоты называются антирезонансными. В отличие от резонансных частот, общих для всех ,rsW антирезонасные частоты для каждой динамической податливости свои. Антирезонасные ча- стоты диагональных элементов матрицы динамических податливо- стей  rrW j располагаются между их резонансными частотами: 1 1 2 ,0 n nk k k k k       где 1k – антирезонасные, а ik – резонансные частоты. При r s расположение антирезонансных частот зависит от пе- ремен знака в ряду чисел 1 1 2 2, , ,or os r s r su u u u u u  (3.19) Если знаки 1, 1, и mr ms m r m su u u u  совпадают, то между 1 и m mk k  имеется антирезонансная частота 1.mk  Если знаки различные, то соответствующая антирезонансная частота отсутствует. 97 Число перемен знака в ряду (3.19) всегда равно .s r Метод передаточных функций позволяет решать задачи синтеза динамических систем с помощью параллельно и последовательно соединяемых звеньев. 3.2. Модели механических подсистем и метод механических цепей Механическую систему можно представить в виде соединения элементов, причем одни элементы можно представить имеющими только инерционные свойства, другие — безынерционными упру- гими элементами, третьи — устройствами с трением. Отдельно представляют элементы, поставляющие энергию в механическую систему и возбуждающие ее движение: активные элементы или источники. Элементы, не имеющие независимых источников сил или кинематических величин, называют пассивными. Механическую систему, представленную в виде активных и пас- сивных элементов, называют механической цепью. Механическая цепь отражает динамические свойства исходной механической си- стемы. Места соединения элементов называют узлами. Соединение двух и более пассивных элементов называют звеном. Место, в ко- тором к системе прикладывается воздействие, называют входом. Выходом называют место, в котором оценивают реакцию системы. Вход (или выход) системы, характеризующийся обобщенными ко- ординатой и силой, называют полюсом. В общем случае вход и вы- ход системы могут быть многополюсными. Любой элемент механи- ческой цепи имеет по крайней мере два полюса. Элемент, имеющий два полюса, называют двухполюсником. Возможны механические цепи, составленные из n-полюсников, однако на практике наиболее распространены цепи из двухполюсников. Для рассмотрения связанных колебаний пространственно-много- мерных механических цепей наиболее удобны общие методы ис- следования линейных систем с конечным числом степеней свободы. Однако при исследовании довольно распространенных простран- ственно-одномерных механических цепей для инженерных целей более удобными оказываются методы, в которых уравнения движе- ния системы находят непосредственно из топологии рассматривае- мой механической цепи на основе законов Кирхгофа. Это позволяет 98 для описания, анализа и синтеза механических цепей применить аппарат теории графов и дать систематический и формализованный подход к исследованию механических цепей. 3.2.1. Двухполюсные элементы и звенья механических цепей Переменные двухполюсника. Двухполюсник можно характери- зовать силами 1 2 и ,F F приложенными к его полюсам 1 и 2, и пара- метрами движения полюсов (рис. 3.6). Рис. 3.6. Двухполюсник Д с полюсами 1 и 2 Для перемещений полюсов 1 2и d d имеем 0 0 1 1 1 10d ( ) ;d x x x x   0 0 2 2 2 20d ( ) ,d x x x x   где ox – единичный вектор оси ;Ox 10 20 1 2, , ,x x x x – исходные и текущие координаты точек 1 и 2. Скорости i и ускорения ia полюсов определяют из выражений 0 0 0 0; , 1, 2.i i i i i i i ix d d x a a x x i              Относительное движение полюсов удобно характеризовать с по- мощью кинематических векторов двухполюсника , иd a (d – 99 относительное перемещение,  – относительная скорость; а – отно- сительное ускорение полюсов; ниже эти векторы обобщенно обо- значаются буквой k ): 0 0 0 d ; ; , i j d i j i j a dx d d e x e a ax a a e               (3.20) где , иd a – кинематические переменные двухполюсника, обобщенно обозначаемые буквой ;k  , ,ke k d a – единичные векторы, направленные от полюса с большим алгебраическим значением кинематической переменной к полюсу с ее меньшим алгебраическим значением. Положительно направленным векторам иd  отвечает сближе- ние полюсов двухполюсника, поэтому при условии, что координа- та ix полюса i меньше координаты j полюса ( ):i jj x x ;i jk k k  , , .k d a  Так, для указанных на рис. 3.7 индексации полюсов и направле- ния оси Ох 1 2; d d d 0 0 1 1 ;F F x Fx F   (3.21) 0 0 2 2 ,F F x Fx F     где F – воспринимаемая двухполюсником сила; F – силовая переменная двухполюсника. 100 Рис. 3.7. Двухполюсники Д с векторами d относительного перемещения полюсов: 1 2 1 2;a б   d d d d Для однозначного толкования уравнений (3.21) примем следую- щее правило задания направлений сил, приложенных к полюсам извне: если эти направления совпадают, то к двухполюснику при- ложены сжимающие силы, если они не совпадают, то приложены растягивающие силы (рис. 3.8). Рис. 3.8. График связи направлений сил, приложенных к полюсам извне, с направлениями воспринимаемой двухполюсником силы F и оси Ox: а – сжимающие силы; б – растягивающие силы Величины   и , ,F k k d a – временные двухполюсника; и ( , , ; 1, 2)i i i i i iF k k d a i   – полюсные переменные. 101 Характер движения полюсов (сближение или удаление) и при- ложенных сил (сжимающие или растягивающие) не зависит от при- нятого положительного направления оси ,Ox поэтому при измене- нии направления оси Ox на обратное аналогично изменяются направления векторов , , , .d a F 3.2.2. Графы механических цепей Анализ сложных линейных механических цепей удобно прово- дить с помощью линейных графов. Линейный граф представляет собой схематический рисунок в виде сетки, элементами которой являются отрезки линий и места их соединений. Отрезки линий вместе с концевыми точками называют ребрами графа, а концевые точки ребра – вершинами. Строго линейным графом называют множество ребер, не имеющих никаких других общих точек, кроме вершин. При анализе механических цепей используют линейные графы цепей (графы цепей) и линейные графы сигналов (гра- фы сигналов, графы потока сигналов) цепей. И те и другие гра- фы являются направленными, так как каждое ребро в них ориен- тировано. Граф цепи несет информацию о соединении элементов цепи и всю информацию о связи переменных этой цепи. 3.2.3. Элементарные пассивные двухполюсники К основным элементарным пассивным двухполюсникам отно- сятся: упругий элемент (УЭ) – упругость, диссипативный эле- мент (ДЭ) – демпфер и инерционный элемент (ИЭ) – масса. От- личительной чертой этих элементов является простота математиче- ских соотношений, связывающих переменные двухполюсника. Упругий элемент (упругость). Упругость – это идеальный меха- нический элемент, относительное перемещение d полюсов которого пропорционально приложенной (воспринимаемой) силе F (рис. 3.9). Для сил 1 2 и ,F F приложенных к полюсам 1 и 2, имеем (см. уравнение (3.21)) 0 0 0 0 1 1 1 2 0 0 2 2 ( ) , , F F x Fx c d d x cdx cd F F F x Fx F              (3.22) 102 где и F D – переменные двухполюсника; c – коэффициент жесткости упругого элемента. Положительному значению переменной d отвечает деформация сжатия УЭ, а отрицательному – деформация растяжения. Рис. 3.9. Схема упругого элемента Из уравнения (3.22) следует, что 1 2( ).F cd c d d   (3.23) Диссипативный элемент (демпфер). Демпфер (рис. 3.10) – это идеальный механический элемент, у которого относительная ско- рость v полюсов пропорциональна приложенной (воспринимаемой) силе F (рис. 3.11). Рис. 10. Упругий элемент с выбранным ассоциированным направлением (AH) и его граф G: , 0; , 0a d F б d F    103 Рис. 3.11. Схема демпфера Для сил 1 2 и F F приложенных к полюсам 1 и 2, с учетом ра- венств (3.52) и (3.53) можно записать: 0 0 0 0 1 1 1 2 0 0 2 2 ( ) ; , F F x Fx b x b x b F F F x Fx F                  (3.24) где b – коэффициент сопротивления диссипативного элемента. Положительному значению переменной двухполюсника v отве- чает сближение полюсов. По аналогии с упругим элементом демп- феру можно придавать ассоциированное направление, так как век- торы и F одинаково направлены, рис. 3.12. Рис. 3.12. Демпфер с выбранным ассоциированным направлением AH и его граф G: , 0; , 0a F б F      104 Из уравнения (3.24) следует, что 1 2( ).F b b      (3.25) Инерционный элемент (масса). Масса – это идеальный меха- нический элемент, у которого относительное ускорение полюсов а пропорционально приложенной (воспринимаемой) силе F в при- нятой системе отсчета. Один полюс массы как двухполюсника жестко связан с принятой системой отсчета (в общем случае не- инерциальной) и имеет ее ускорение (рис. 3.13). Рис. 3.13. Схема инерционного элемента как двухполюсника С принятой системой отсчета связана ось ,Ox ось ' 'O x связана с инерциальной системой отсчета. Для ускорений полюсов можно записать 0 1 1 2 0 0 1 2 1 2 1 2 ; 0; ( ) , a x ax a a x             a a a a a a a где а – относительное ускорение полюсов двухполюсника; 0x – единичный вектор осей и ;x x 1 2,a a – ускорения полюсов в принятой системе отсчета; 1 2,a a  – абсолютные ускорения полюсов (в инерциальной сис- теме отсчета). 105 В принятой системе отсчета в полюсах приложены силы 1 2 и F F (рис. 3.14): 0 0 0 0 1 1 1 2 0 0 2 2 max ( ) ; , F x Fx ma m a a x F x Fx              F F F F (3.26) где m – масса инерционного элемента. Рис. 3.14. Инерционный элемент с выбранным ассоциированным направлением AH и его граф G: , 0; , 0a a F б a F    Из уравнения (3.26) следует 1 2( ).F ma m a a    (3.27) 3.2.4. Элементарные активные двухполюсники Активные двухполюсники являются идеализированными меха- ническими элементами — источниками механической энергии. Их условно делят на источники (возбудители) силы и источники (возбудители) кинематических величин — перемещений, скоро- стей, ускорений. Источник силы. Источник силы есть идеальный механический элемент с нулевым внутренним сопротивлением, который создает 106 в полюсах силы известного вида при произвольных, определяе- мых свойствами возбуждаемой системы, перемещениях полюсов (рис. 3.15). Рис. 3.15. Источник силы и его граф G с выбранным ассоциированным направлением (AH): а – воспринимаемая источником сила 0; 0F б F   Для источника силы в полюсах 1 и 2 имеем 0 0 1 2 0 0 1 1 3 2 ; ; ; , x x F F x F F x                           где 1 2,  – силы, создаваемые источником силы в полюсах 1 и 2; 1 2,F F – силы, воспринимаемые источником силы в полюсах 1 и 2 при взаимодействии с механической системой. Таким образом, источник силы можно характеризовать создава- емой силой  и воспринимаемой силой F (см. рис. 3.15), .F   Воспринимаемая сила положительна ( 0)F  при сжимающих вос- принимаемых силах полюсов (рис. 3.15, а) и отрицательна ( 0)F  при растягивающих силах (рис. 3.15, б). Знаки создаваемых сил противоположны. 107 При изображении механической цепи можно пользоваться со- здаваемыми силами. При составлении графа цепи и написании ди- намических уравнений во избежание ошибок следует использовать воспринимаемые силы. Таким образом, силовой переменной двух- полюсника является воспринимаемая сила .F   На рис. 3.15 показан граф G источника силы с выбранным ассо- циированным направлением AH. Источники кинематических величин. Источник кинематиче- ской величины (перемещения, скорости, ускорения) есть идеальный механический элемент с бесконечным внутренним сопротивлением, который задает определенное относительное движение полюсов при произвольных, определяемых свойствами возбуждаемой систе- мы силах в полюсах (рис. 3.16). Рис. 3.16. Источник кинематической величины и его граф G с выбранным ассоциированным направлением (AH):    , , 0; , , 0a d a б d a     Для источника кинематической величины известен вектор отно- сительного перемещения полюсов d. В зависимости от вида кинема- 108 тической величины, используемой в конкретной решаемой задаче, различают источники перемещения d, скорости  или ускорения а. Для сил в полюсах 1 и 2 имеем 0 2 0 1 ; ,F x FxF F       FF   где 1 2,F F – силы, воспринимаемые источником перемещения в по- люсах 1 и 2; F – сила, воспринимаемая источником перемещения;  – сила, создаваемая источником перемещения: .F  Относительное перемещение полюсов 0 1 2 d ,d d d x   где 1 2,d d – перемещение полюсов в принятой системе отсчета; 0x – единичный вектор оси .Ox В качестве переменных двухполюсника берем силу F и относи- тельное перемещение d, скорость  или ускорение а, в зависимости от решаемой задачи. Соединения двухполюсников. При применении цепей требует- ся рассматривать взаимные соединения элементов, при которых по- люсы двухполюсников соединяются в узлы. Особенно это важно при решении задач, в которых рассматривается движение только нескольких точек или элементов. В этом случае целесообразно упрощать систему, вводя эквивалентные двухполюсные элементы, внутри которых «спрятаны» полюса, не представляющие интереса при исследовании. Существуют два типа соединения элементов: параллельное и последовательное. Двухполюсник, получающийся в результате соединения элементов, называют результирующим или эквивалентным. При параллельном соединении двухполюсников их полюсы объединяются в два узла (рис. 3.17) и у результирующего двухпо- люсника воспринимаемая сила F равна сумме воспринимаемых сил iF отдельных двухполюсников: , 1, 2,..., ,i i F F i n  109 а относительные перемещение d, скорость v и ускорение а полюсов такие же, как и у всех двухполюсников: , , , , 1, 2,..., .i i i id d a a k k i n       На рис. 3.17 показан граф G параллельного соединения двухпо- люсников. Рис. 3.17. Параллельное соединение двухполюсников 1, 2, 3, 4 и его граф G При последовательном соединении двухполюсников их по- люсы соединяются так, что каждый узел принадлежит только двум двухполюсникам (рис. 3.18). У результирующего двухполюсника воспринимаемая сила F равна воспринимаемым силам 1F отдель- ных двухполюсников: , 1, 2, ..., ),iF F i n  а кинематические векторы d, v и a равны сумме кинематических векторов отдельных двухполюсников: ; ; ; , 1, 2, ..., .i i i i i i i i d d a a k k i n          110 На рис. 3.18 показан граф последовательного соединения двух- полюсников с выбранными ассоциированными направлениями. Рис. 3.18. Последовательное соединение двухполюсников 1, 2, 3 и его граф G Звенья механических цепей. Соединения пассивных двухпо- люсников, в том числе последовательно-параллельные и не после- довательно-параллельные (мостовые), образуют пассивные звенья механических цепей. В пассивных звеньях возможны произволь- ные соединения элементов. Соединения активных двухполюсни- ков образуют активные звенья цепи. При соединении активных двухполюсников в звенья необходимо помнить, что источники сил не должны включаться параллельно с источниками кине- матических величин; источники произвольных сил можно со- единять параллельно, но нельзя соединять последовательно, ис- точники произвольно заданных кинематических величии можно соединять последовательно, но нельзя соединять параллельно. 3.3. Передаточные функции пассивных двухполюсников механических цепей Применим преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях к уравнениям (3.23), (3.25) и (3.27) и получим для упруго- сти, демпфера и массы следующие уравнения, связывающие транс- форманты Лапласа силовой и кинематических переменных: 111 2( ) ( ) ( ); c cF p cd p a p p p     (3.28) ( ) ( ) ( ) ( );bF p pbd p b p a p p     (3.29) 2( ) ( ) ( ) ( );F p p md p pm p ma p    (3.30) 2( ) ( ) ( ).a p p p p d p   Основными динамическими характеристиками являются следу- ющие передаточные функции (ПФ) двухполюсника, выражаемые через отношение изображений его переменных: масса   ,M p ме- ханический импеданс   ,Z p жесткость   ,R p восприимчи- вость   ,G p подвижность  Y p и податливость  :A p 1( ) ( ) 1( ) ( ); ( ) ( ) F p Z pM p G p a p p pY p     (3.31) 1( )( ) ( ); ( ) F pZ p Y p p   (3.32) 1( )( ) ( ) ( ); ( ) ( ) F p pR p pZ p A p d p Y p     (3.33) 1( )( ) ( ) ( ); ( ) ( ) a p pG p pY p M p F p Z p     (3.34) 1( )( ) ( ); ( ) pY p Z p F p   (3.35) 1( ) 1 ( )( ) ( ). ( ) ( ) d p Y pA p R p F p pZ p p     (3.36) 112 Динамические характеристики в функции от переменной p на- зывают операторными, например операторный импеданс   ,Z p а в функции от переменной j – комплексными. Так, комплекс- ная (динамическая) жесткость демпфера   .R j j b   Наиболее употребительны импеданс, подвижность, жесткость и восприимчи- вость двухполюсников. В табл. 3.1 представлены операторные пе- редаточные функции элементарных двухполюсников – упругости, демпфера и массы в соответствии с уравнениями (3.28)–(3.30). Таблица 3.1 Операторные передаточные функции элементарных двухполюсников Динамическая характеристика Упругость с Демпфер b Масса m D(p) M(p) 2 c p b p m Z(p) c p b pm R(p) c pb 2p m 1( )D p G(p) 2p c p b 1 m Y(p) p c 1 b 1 pm A(p) 1 c 1 pb 2 1 p m Зависимость между силовой переменной  F p и обобщенной кинематической переменной          , ,k p k p a p p d p   двух- полюсника в соответствии с уравнениями (3.31)–(3.36) имеет вид 113 ( ) ( ) ( );F p D p k p (3.37) 1( ) ( ) ( ),k p D p F p (3.38) где  D p – прямая динамическая характеристика (или прямой динамический параметр при конкретном значении p) двухполюс- ника        , , ;D p M p Z p R p    1D p – обратная динамическая характеристика (или об- ратный динамический параметр) двухполюсника        1 , , .D p G p Y p A p   Поскольку упругость, демпфер и масса имеют ассоциированные переменные двухполюсника, приведение сложных двухполюсников к одному из указанных типов путем использования кинематической пе- ременной одного вида оставляет переменные  F p и  k p ассоции- рованными. Поэтому при анализе цепей можно использовать не ори- гиналы переменных, а их изображения и общую кинематическую пе- ременную   ,k p выбираемую из условий конкретной задачи. Как следует из уравнений (3.37) и (3.38), у результирующего двухполюсника, составленного из параллельно соединенных пас- сивных двухполюсников, прямой динамический параметр равен сум- ме прямых динамических параметров отдельных двухполюсников: 1 1 ( ) ( )( )( ) ( ), ( ) ( ) ( ) i n n i i i i ii F p F pF pD p D p k p k p k p         (3.39) а обратный динамический параметр равен произведению обратных динамических параметров, деленному на сумму их частичных про- изведений:         1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 , ( ) ( ) ( ) n i n nn i i i i i D i p k pD p F p D p D p D p D i p                    (3.40) 114 где 1 n i  – символ произведения;    1 1 n i i D p D i p   – i-e частичное произведение обратных пара- метров. Из уравнений (3.39) и (3.40) следует, что у результирующего двухполюсника, составленного из последовательно соединенных пассивных двухполюсников, обратный динамический параметр ра- вен сумме обратных динамических параметров отдельных двухпо- люсников:        1 11 1 1 ( ) , ( ) ( ) ( ) n i n nii i ii k p k pk pD p Di p F p F p F p            а прямой динамический параметр равен произведению прямых ди- намических параметров, деленному на сумму их частичных произ- ведений:         1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 , ( ) ( ) ( ) n i n nn i i i i Di p F pD p k p D p D i p Di p D p                    где    1 1 n i i D p D p   – i-е частичное произведение прямых пара- метров. 3.3.1. Законы Кирхгофа для линейных механических цепей Изложенные законы являются основными из применяемых к ли- нейным механическим цепям, состоящим из активных и пассивных двухполюсников с постоянными сосредоточенными параметрами, т. е. двухполюсников, параметры которых не зависят от силовых и кинематических переменных. 115 1. Закон сил (правило узлов). Сумма всех сил, действующих на любой узел цепи, равна нулю. В терминах воспринимаемых сил двухполюсников этот закон читается так: для любого узла сум- ма воспринимаемых сил по одну сторону от узла равна сумме вос- принимаемых сил по другую сторону от узла. Поэтому для любого узла сумма воспринимаемых сил rF принадлежащих ему двухпо- люсников, взятая с учетом расположения последних относительно узла, равна нулю (рис. 3.19): 0;r r r a F  0.r r r a F  Рис. 3.19. Цепь из четырех двухполюсников с общим узлом b и ее граф G Причем 1,ra  если rF находится по одну сторону от узла, и 1ra   , если rF находится по другую сторону узла. Так, для узла b цепи, показанной на рис. 3.19, имеем 1 2 3 4 0.F F F F     Такой же результат получаем из графа G цепи, если двухполюс- никам слева и справа от узла задавать одинаковые ассоциированные направления, а коэффициенты ra находить из условия: 1,ra  если 116 стрелка направлена от узла, и 1,ra   если стрелка направлена к узлу. Отсюда следует правило: для получения непротиворечи- вой системы уравнений из графа цепи ассоциированные направ- ления двухполюсников должны быть выбраны одинаковыми. Закон сил является следствием третьего закона Ньютона о ра- венстве действия и противодействия и аналогом закона Кирхгофа для электрических цепей. 2. Закон относительного движения (правило контуров). Сумма относительных перемещений узлов цепи на любом замкнутом контуре, образованном соединением двухполюсников, равна нулю. Сумма кинематических векторов  , , ,r r r r rk k d a  следователь- но, и кинематических переменных rk двухполюсников на любом замкнутом контуре цепи, взятая с учетом расположения двухпо- люсников в контуре, равна нулю (рис. 3.20): 0; 0,r r r r r r b k b k   (3.41) причем 1,rb  если при обходе по контуру r-й двухполюсник про- ходят в направлении (против) оси ,Ox и 1,rb   если двухполюс- ник проходят против (в направлении) оси .Ox Рис. 3.20. Цепь из четырех двухполюсников, образующих контур, и ее граф G 117 Так, для контура, изображенного на рис. 3.20, имеем 1 2 3 4 0;k k k k    (3.42) 1 2 4; ; ; ,a b b c a c d a dk k k k k k k k k k k k        что следует и из графа G цепи, если ассоциированные направления элементов заданы одинаковыми, т. е. в соответствии с указанным выше правилом. Сформулированные выше два закона называют также законами Кирхгофа. (Эти законы справедливы как для ли- нейных, так и для нелинейных систем). Уравнение (3.41) называют узловым, а (3.42) – контурным. Принцип суперпозиции. Для механической цепи, состоящей из линейных двухполюсников и имеющей несколько источников сил или кинематических величин, результат воздействия всех ис- точников может быть получен как сумма результатов воздействия каждого из источников в отдельности, при этом остальные источ- ники должны быть заменены двухполюсниками, имеющими дина- мические параметры заменяемых источников. Прямые динамиче- ские параметры идеального источника силы равны нулю, а обрат- ные – бесконечности. У идеального источника кинематической величины прямые динамические параметры равны бесконечности, а обратные – нулю. В силу конечной отдаваемой мощности реаль- ных источников значения динамических параметров лежат между указанными предельными. Реальный источник силы при отсутствии создаваемой им силы может оказывать сопротивление движению, поэтому его изображают в виде параллельного соединения иде- ального источника силы и некоторого пассивного двухполюсника (рис. 3.21, а). Реальный источник кинематической величины при отсутствии создаваемого им движения может допускать относи- тельное перемещение полюсов, поэтому его изображают в виде по- следовательного соединения идеального источника и некоторого пассивного двухполюсника с конечными динамическими парамет- рами (рис. 3.21, б). 118 а б Рис. 3.21. Эквивалентные схемы неидеальных источников: а – источник силы; б – источник кинематической величины (а, b – полюсы источника; ПД – пассивный двухполюсник) Принцип взаимности. Если в линейной механической цепи, со- стоящей из взаимных элементов, между узлами a и b действует ис- точник силы   ,t при этом кинематическая величина между уз- лами и c d равна   ,k t то при приложении того же источника силы между узлами и c d та же кинематическая величина  k t будет между узлами a и b. Принцип взаимности может быть аналогично сформулирован для источника кинематической величины и созда- ваемых им сил. Принцип взаимности формулируется для линейных систем, со- стоящих из взаимных элементов, которые одинаково передают воз- действия в обоих направлениях. 3.3.2. Обобщения метода передаточных функций цепей для сложных систем Многие технические объекты, например космические аппараты, не удается моделировать одномерными механическими цепями. Матрица передаточных функций (МПФ) является естественным обобщением понятия ПФ. Она связывает два многомерных вектора – вектор возбуждения (например, силу ( ))F p и вектор реакции сис- 119 темы (например, скорость ( )),V p которые принято называть обоб- щенными входом и выходом. Так: ( ) ( ) ( ),p p pV Y F где ( )Y p – матрица операторных подвижностей. Элементы МПФ являются обычными ПФ и могут быть размер- ными или безразмерными величинами. МПФ при силовом возбуждении. В механической системе при силовом возбуждении входной вектор состоит из обобщенных сил (сил и моментов), выходной – из обобщенных перемещений, скоро- стей или ускорений (включая угловые), а также из сил взаимодей- ствия с присоединенными системами или жесткими опорами. Соот- ветствующие передаточные функции называются операторной по- датливостью, операторной подвижностью, операторной воспри- имчивостью, передаточной функцией сил. В многомерном случае получается матрица операторных податливостей и т. д. МПФ при кинематическом возбуждении. В этом случае вход- ной вектор состоит из обобщенных перемещений, скоростей или ускорений, выходной вектор – из сил взаимодействия с присо- единенными системами или с жесткими опорами, а также из ки- нематических величин, аналогичных входным. Соответствующие передаточные функции называются операторной жесткостью, операторным импедансом, операторной массой, передаточной функцией перемещений (скоростей, ускорений). В многомерной системе получается матрица операторных жесткостей и т. д. При замене параметра p на j получают матрицу комплексных жесткостей и т. п. П р и м е р Передаточные функции колебательной системы с одной степе- нью свободы представлены в табл. 3.2. 120 Таблица 3.2 Передаточные функции механических систем Передаточная функция Выражение Операторная жесткость R(p) 2mp bp c  Операторная податливость A(p) 2 1 mp bp c  Операторный импеданс Z(p) cmp b p  Операторная подвижность Y(p) 1 cmp b p   Операторная масса M(p) 2 b cm p p   Операторная восприимчивость G(p) 2 1 b cm p p   Выбор точек возбуждения и измерения. Передаточная мат- рица. МПФ отличаются не только размерностью, но и выбором точек возбуждения и измерения. Можно указать два основных варианта. 1. В каждой из выбранных точек задаются вынуждающие силы и измеряется вибрация (отклик). Выходы и входы здесь совмещены. 121 В табл. 3.2 приведены передаточные функции колебательной си- стемы с одной степенью свободы. В общем случае в каждой из n точек (мест) может быть при- ложено до шести обобщенных сил и измерено до шести обобщен- ных параметров вибрации. Таким образом, матрица передаточных функций может иметь до 6n строк и столбцов. Ее удобно записы- вать в виде блочной матрицы n-го порядка. Отдельные блоки или клетки могут иметь порядок от одного до шести, в зависимости от учета тех или иных координат: 11 12 11 1 2 21 22 2 2 1 2 , n n n nn n nn Y Y YV F V Y Y Y F V FY Y Y                                       11 12 16 21 22 26 61 62 66 ;ik ik Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y              1 1 2 2 6 6 ; ,k i i F V F V F V F V                          , 1, 2,..., .j k n 122 Ввиду того что по принципу взаимности матрица в целом сим- метрична, клетки ,iiY расположенные на главной диагонали, долж- ны быть симметричными, а недиагональные должны удовлетворять условию .Tik kiY Y Во избежание ошибок необходимо строго придерживаться еди- нообразия в выборе положительных направлений сил и перемеще- ний. Оси местной системы координат должны быть согласованы с направлением внешней нормали в данной точке. 2. Все выбранные точки системы делят на две группы – входные и выходные. Оба вектора содержат как силовые, так и кинематиче- ские величины. Такая система обычно является передаточным зве- ном между двумя другими системами, одна из которых является источником колебаний, другая – нагрузкой, воспринимающей виб- рационную энергию. Например, однородный стержень, совершаю- щий изгибные колебания в одной плоскости, имеет на каждом из двух концевых сечений перерезывающую силу, момент, линейное и угловое перемещения – вектор из четырех компонентов. Наиболее распространены модели систем для анализа однона- правленных колебаний. У этих моделей на входе и выходе имеется по одной обобщенной силе и один кинематический параметр. Ино- гда эти модели называют механическими четырехполюсниками по аналогии с электрическими. Матрицу передаточных функций, связывающую входной и вы- ходной векторы передаточного звена, называют передаточной матрицей. В табл. 3.3 приведены комплексные передаточные мат- рицы, а также матрицы импедансов и подвижностей простейших механических систем – массы, пружины, колебательной системы с одной степенью свободы. Все положительные направления и F V выбраны внутрь сис- темы. При использовании матрицы T для вектора скорости 2V часто выбирают направление, совпадающее с 1.V Для этого случая необходимо изменить знаки элементов 12T и 22T матриц T в табл. 3.3. 12 3 Та бл иц а 3 .3 Ма три цы им пед анс ов, по дви жн ост ей и п ере дат оч ны е м атр иц ы пр ост ейш их од но нап рав лен ны х п ере дат оч ны х з вен ьев Ма три ца Пе ред ато чн ое зве но Ма сса Пр уж ин а Де мп фе р Ко леб ате льн ая сис тем а с о дн ой ст епе нью св об од ы Ма три ца им пед анс ов Z – 1 1 1 1 c j        1 1 1 1 b      c c j m b b j j c c b b j j                       Ма три ца по дви жн ост ей Y 1 1 1 1 1 m         – – 1 de t c c b b j j Z c c b j m b j j                                     Пе ред ато чн ая ма три ца T 1 0 1j m          1 0 1 j c          1 0 1 1 b          ( ) 1 1 ( )c j m b j j m c j b c j b                          123 124 3.3.3. Вычисление МПФ при синтезе модулей (звеньев) механических подсистем Согласование координатных осей. Одно из основных приме- нений МПФ – это расчет вибрационных режимов или собственных колебаний сложной подсистемы, исходя из передаточных функций отдельных механических модулей. При этом входы (выходы) разных модулей различным образом соединяются между собой, и для расчетов необходимо согласовать положительные направления координатных осей. В точках после- довательного соединения различных модулей (рис. 3.22, а) оси двух местных систем координат должны быть противоположны. Тогда соответствующие силы и перемещения (скорости ускорения) при со- единении модулей 1 и 2 удовлетворяют условиям 1 2 1 2., F F V V   б Рис. 3.22. Согласование местных систем координат сочленяемых участков: а – при последовательном (встречном) соединении; б – при подключении к третьему участку а 125 В точках параллельного подсоединения различных модулей к одному источнику (рис. 3.22, б) оси должны быть одинаково направлены. Тогда общая сила F и скорость V связаны с 1 2,F F и 1 2,V V следующим образом: 1 2;F F F  1 2.V V V  Параллельное соединение модулей. Пусть имеются две системы с матрицами импедансов и Z Z  одного порядка, параллельно под- ключаемые, например, к некоторому многомерному источнику сил (рис. 3.23). Рис. 3.23. Системы с параллельным соединением входов Имеют место следующие равенства: ' ' ' ' ''; ;F Z V F F F   '' '' '' ' '' ' ''; ; ( ) .F Z V V V V F Z Z V     Для n систем ' '' ( )( ... ) .nF Z Z Z V    Таким образом, при параллельном соединении модулей импе- данс (жесткость, масса) новой системы равен сумме импедансов (жесткостей, масс) отдельных модулей. 126 В частности, при параллельном соединении входов и выходов передаточных звеньев (рис. 3.24) вместо передаточных матриц удобно рассматривать матрицы импедансов ' '' '''' 1 1 1' '' '' '' '' 22 2 2 ; ; F F VV Z Z VF F V                            1 1' '' 2 2 ( ) . F V Z Z F V            Рис. 3.24. Системы с параллельным соединением входов и выходов Последовательное соединение передаточных модулей. Если соединяются последовательно два звена с передаточными матрица- ми T  и T  одного порядка (рис. 3.25), справедливы следующие равенства: ' ' 1 2 ' ' 1 2 F F T V V              ; '' '' 1 2 '' '' 1 2 F F T V V              , откуда ' '' 1 2 ' '' 1 2 F F T T V V               , и, вообще, для n звеньев       ' 1 2 ' 2 2 . n n n FF T T T V V                 127 Рис. 3.25. Последовательное соединение систем Таким образом, при последовательном соединении передаточ- ных звеньев передаточные матрицы перемножаются. Глава 4. АКТУАТОРЫ 4.1. Модели и схемы преобразования энергии Актуаторы как компоненты мехатронных систем выполняют функции передаточных звеньев, которые в цепи функционирования системы находятся между системами регулирования (управления) и рабочей механической частью системы, рис. 4.1. Рис. 4.1. Схема актуатора Микроактуатор – устройство, которое преобразует энергию в управляемое движение. Микроактуаторы имеют размеры от не- скольких квадратных микрометров до одного квадратного сан- тиметра. 128 Основные используемые методы активации в таких устройствах могут быть сведены к следующим: электростатический, магнит- ный, пьезоэлектрический, гидравлический и тепловой. Наи- более перспективными методами считаются пьезоэлектрический и гидравлический. Привод состоит из двигателя, управляющего органа (распреде- лителя) и системы управления, где пунктиром обозначены элемен- ты актуатора. На выходе актуатора электрическая энергия или мощность пре- образуется в механическую. Более подробная схема имеет вид рис. 4.2. Рис. 4.2. Подробная сжема актуатора: ДВ – двигатель; Р – распределитель; СУ – система управления, И – источник первичной энергии; П+ и П– – энергия, подводимая к двигателю и отводимая от него; Пм – механическая энергия, получаемая от двигателя; У  – задающий сигнал; Уо,с – сигнал обратной связи; И – управляющий сигнал (входное воздействие) Согласно рис. 4.2 привод состоит из двигателя, управляющего органа (распределителя) и системы управления. В двигателе (ДВ) пер- вичная (гидравлическая, электрическая, пневматика, электромаг- нитная) энергия преобразуется в механическую энергию движения рабочего органа. В управляющем органе Р (распределителе) определяется интен- сивность подвода и отвода первичной энергии к двигателю и вы- 129 полняются функции регулирования потоков первичной энергии с помощью различных устройств, например в электроприводе пото- ками поступающей к двигателю электрической энергии управляют с помощью тиристорных, транзисторных преобразователей, усили- телей и т. д. В гидропневмоприводах регулирование осуществляют золотниковые, клапанные и другие устройства. В системе управле- ния в соответствии с управляющими программами генерируются входные воздействия И (управляющие сигналы), которые подводят- ся по входу распределительного устройства с целью обеспечения заданного закона динамики двигателя. На вход системы управления подаются: задающие сигналы У согласно требуемому программному зако- ну динамики двигателя; сигналы o,cУ – обратной связи, характеризующие изменение во времени реальных параметров двигателя. Рассогласование у о,сУП У  является основой формирования в системе управления входных воздействий И (управляющих сигна- лов), подаваемых на вход распределителя. Рассмотрим основные типы преобразователей энергии рис. 4.3, а термодинамических (пневмогидропреобразователи) и электромаг- нитных (электрических), рис. 4.3, б. а б Рис. 4.3. Преобразователи энергии 130 Здесь W – работа, тогда мощность d . d WP t  Работа за время 1 2t t t  вычисляется по формуле  2 1 12 d . t t W P t t  Кроме работы на границе термодинамической системы может быть передача тепла 12 ,Q тогда закон баланса (сохранения) энергии записывается в виде 2 1 12 12E E W Q   или d , d E P Q t    где Q – поток тепла через границу системы. Исходя из условия сохранения энергии constE  можем записать вх вых 12 12 12W W Q  или вх вых . P P Q   Коэффициент полезного действия вых вх вх вх вх1 . Р Р Q Q Р Р Р       Основными видами мощностей являются: механическая; электрическая; гидропневматическая; тепловая. 131 В табл. 4.1 даны обозначения перечисленных видов мощностей, которые могут быть преобразованы одна в другую. Таблица 4.1 Обозначения видов мощностей Вид мощности Общие обозначения потенциала Р Общие обозначения притока f Мощность P pf Механическая Поступательная Вращательная Линейная скорость  Угловая скорость  Сила F Момент М trP F  rotP M  Электрическая Напряжение U Ток I elP UI Гидропневмо- течение Давление p Объемная скорость V nP pV  Тепловая Разница температур T Приток тепла kA thP TkA  Электрическая мощность – это мощность на полюсах, выступаю- щая как величина напряжения U между точками зажимов и тока I в проводнике. Идеальный преобразователь электричества описывается через зажимы входные и выходные как четырехполюсные. С математической точки зрения механические, электрические системы могут быть записаны одинаково для инерционных, запа- сающих и безынерционных звеньев, табл. 4.2. Таблица 4.2 Характеристики цепей Электрическая цепь Механическая цепь 1 2 Количество электричества Деформация ЭСД Е Напряжение ij Сила тока I Скорость деформации 2 ije 132 Окончание табл. 4.2 1 2 Емкость С Подаливость ijkeS Сопротивление R Вязкость  Параллельное соединение Последовательное соединение Последовательное соединение Параллельное соединение 4.2. Электромагнитные поступательные преобразователи энергии Все электродинамические преобразователи используют силу Ло- ренца, которая возникает, когда провод с протекающим током находится в магнитном поле, а ток и магнитное поле могут переме- щаться друг относительно друга. В элементарной машине, рис. 4.4, принимается, что в постоян- ном во времени и однородном магнитном поле с плотностью потока 2 ,/В Vs m тесла, в котором перпендикулярно направлению течения провод l может проводить ток .I Независимо от движения провода (скорость  ) в нем возникают в результате движущие заряды Q (скорость w ), сила Лоренца .F QwB (4.1) 133 Рис. 4.4. Элементарный электродинамический преобразователь Из определения тока I следует d d d d d d d d Q Q l QI W t l t l    или d d .Qw I l Тогда из (4.1) следует    d d .F Q wB I d l B  Для значения силы Лоренца получим .F IlB Магнитный поток Ф (, s) определяется поверхностью :S Ф . s BdA  В этом случае ,S ls следовательно, Ф .ВА Вls  134 В результате движения проводника со скоростью s   возника- ет смена потока и в соответствии с принципом индукции индуциро- ванное напряжение indU в петле проводника имеет вид   ind ddФ . d d Bls U Bl t t     (4.2) Баланс напряжения для петли проводника запишем в виде ind .U RI U  (4.3) Из (4.3) вытекает баланс мощности на зажимах вх ,Р UI мощ- ность потерь 2пропР RI и внутренняя эффективная электрическая мощность ind ,elР U I которая должна быть равна мощности меха- нической: вх выхпроп ;elР Р Р Р   2 ind .U I UI RI Bl I F      (4.4) Если проводник без тока движется в магнитном поле, то индуци- рованное напряжение равно внешнему напряжению и устанавлива- ется скорость 0 , которая вычисляется по формуле 0 . U Be   Если проводник испытывает торможение, то 0   и ind .U U Проводник отдает механическую мощность вх,Р которая доби- рает до потерянной мощности потерР на входной стороне преоб- разователя вх.Р Концепция элементарной машины находит непосредственное применение в качестве линейного или динамического напряжения. 135 Вместо петли проводника катушка с n витками обычно движется в магнитном поле. В этом случае индуцированное напряжение ind dФ . d U nBl t    (4.5) Баланс напряжения в уравнении (4.2) должен быть расширен за счет учета падения напряжения на катушке, обусловленного ин- дуктивностью катушки L: ind d d .IU RI L U t    (4.6) На рис. 4.5 изображена схема соединений электродинамического преобразователя. Рис. 4.5. Соединение электродинамического преобразователя Математическая модель четырехполюсника, см. рис. 4.5, пред- полагает, что ,F kl где k – постоянная актуатора. 136 Из условия вхelP Р или indU I F  следует, что ind . 1 U k   (4.7) Сравнивая (4.7) с (4.5), находим постоянную актуатора .k nBl Для движущейся массы m актуатора по закону Ньютона следует .F m  (4.8) Сравнивая (4.7) и (4.8), получаем математическую модель d ; d k I t m   d 1 . d I R kI U t L L L     Вводя для вектора состояния обозначение  , ,Tz I  получим уравнение в пространстве состояния системы 00 d 1d k m U I Ik Rt LL L                               или ,z Az bU  (4.9) где А – матрица системы; b – вектор (матрица) управления системы. Вместо переменных состояний , I можно взять другие, напри- мер  и ,F тогда математическая модель имеет вид 137 d 1 ; d F t m   (4.10) 2d . d F R k kF U t L L L     (4.11) Уравнения (4.10), (4.11) имеют вид (4.9) в пространстве состоя- ний (u, F). 4.3. Вращательные преобразователи энергии Вращательный преобразователь, в принципе, состоит из цилин- дрического статора, в котором находится ротор, отделенный от ста- тора воздушным промежутком. Пусть статор является постоянным магнитом и диаметрально направленным магнитным полем с плотностью потока В, рис. 4.6. Рис. 4.6. Схема статора и ротора На рис. 4.6 прямоугольная петля (рамка) проводника, длина l, ток I, вращается в статоре. 138 В положении, изображенном на рис. 4.6, на каждый проводник действует сила .F IlB Две силы образуют пару сил с плечом 2r. Отсюда момент 2 2 ; 2 .M Fr rlBI ABI A rl    Индуцированное напряжение в обоих проводниках ind 2 2 ,U Bl rlB AB      где  – угловая скорость, рад/с. 60 /2 .n    Баланс напряжения вычисляется по формуле (4.3), а мощность – аналогично (4.4): 2 ind .U I UI RI ABI M      Зависимость между моментом М и током I имеет вид ,M k I где k – постоянная актуатора. С учетом indM U I получим ind . 1 U k   Для вращения ротора с моментом инерции tI получаем .M I  Математическая модель имеет вид d ; d k I t I   d 1 . d kI R I U t L L L     139 В пространстве состояний , k, m выражаются через , , .k I Альтернативное представление получается из уравнений (4.10), (4.11), когда , , ,F k m выражаются через , , , .M k I 4.4. Некоторые конструкции электродинамических преобразователей в двигателях постоянного тока Рассмотрим двигатели постоянного тока, возбуждаемые элект- рическим полем через щетки, тогда в статоре течет ток FI , созда- ющий магнитный поток Ф, который через воздушный просвет про- никает в ротор. Одновременно через витки в роторе течет ток AI и вследствие силы Лоренца вызывает вращающий момент двигателя. На рис. 4.7, а изображена схема двигателя постоянного тока, 4.7, б – схема соединений. Рис. 4.7. Схема двигателя постоянного тока б а 140 Двум типам двигателей соответствуют зависимости между угло- выми скоростями и вращательным моментом, различающиеся прин- ципиально. Для обоих видов машин имеет место соотношение 2 . 60 Ф AU I Rn c    (4.12) Из (4.12) следуют три возможности регулирования оборотов: 1. Регулирование поля: через изменение тока в статоре FI мож- но влиять на моментный поток Ф и через него – на число оборотов. 2. Регулирование сопротивления: через изменение сопротивле- ния R изменять количество оборотов, что связано с потерями. 3. Регулирование напряжения: через изменение напряжения U на зажимах количество оборотов удается изменить без потерь. На рис. 4.8 изображены схемы двигателей постоянного тока (рис. 4.8, а, б) и их характеристики , M  (рис. 4.8, г, д). Рис. 4.8. Последовательный (а) и боковой (б) двигатели постоянного тока а б в г 141 4.4.1. Электродвигатели с вращающимся полем Двигатели с вращающимся полем подразделяют на двигатели синхронные и асинхронные. В двигателях обоих типов статор со- держит одну или несколько катушек переменного или постоянного тока с количеством p пар полюсов, создающих вращающееся поле. Переменное поле существует уже вследствие запитывания. Проти- воположностью этому является двигатель постоянного тока, рото- ром которого может быть магнит с постоянным направлением поля. На рис. 4.9 изображена схема синхронного двигателя с одним по- стоянным магнитом в качестве ротора. Рис. 4.9. Схема синхронного двигателя: а – конструкция; б – характеристика При запитывании синхронного двигателя число оборотов 0n вы- числяется по формуле 0 60 ,fn p  мин–1, (4.13) где f – частота, с–1; p – количество пар полюсов. При 1, 50, p f  с–1 0 3000n  мин–1. б а 142 Из формулы (4.13) следует, что количество оборотов за счет уве- личения пар полюсов может быть изменено большими скачками. Синхронный двигатель с постоянным направлением может раз- вить момент только при числе оборотов, вычисляемых по формуле (4.13), и потому не может начать движение из состояния покоя. Он должен быть запущен с помощью вспомогательного двигателя или асинхронной катушки. Если момент больше кM (критический момент), то, как видно на рис. 4.9, б, двигатель останавливается. Асинхронный двигатель подобно синхронному имеет статор, ко- торый под действием переменного или трехфазного тока создает вращающееся магнитное поле. Если в этом поле находится ротор, который на своих основаниях имеет провода, соединенные взаимно по одному, то в них индуцируется напряжение ind .U Величина indU зависит от разницы числа оборотов 0 60 /n f p вращающегося поля статора и числа оборотов n ротора. Скольжение 0 0 ;n ns n  (4.14) 0 60 ,fn p  характеризует эту разницу. В клеточном роторе провода находятся в состоянии короткого замыкания, что в результате дает трехфазный ток, который, взаимо- действуя с магнитным полем статора, дает момент ротора. Количество оборотов двигателя следует из формулы (4.14)    0 601 1 .fn n s sp    (4.15) Из формулы (4.15) следуют три возможности регулирования числа оборотов: 1. Присоединение пар полюсов p в статоре дает возможность изменять число оборотов скачками. 143 2. Частотное регулирование – дает возможность за счет посте- пенного изменения частоты изменять количество оборотов. 3. Регулирование скольжением – в двигателях с кольцами можно влиять на скольжение за счет последовательно подключенных со- противлений, что однако ведет к потерям. На рис. 4.10, а изображена конструкция асинхронного двига- теля с клеточным ротором, а на рис. 4.10, б – характеристики такого двигателя. Рис. 4.10. Асинхронный двигатель с клеточным ротором: а – конструкция; б – характеристика На рис. 4.10 n nM n – номинальные моменты количества оборо- тов, 3 5 %NS   – номинальное скольжение. 4.4.2. Математические модели электромагнитных преобразователей. Линейные преобразователи Все электромагнитные преобразователи (магниты протяженные, магниты переносные, шаговые двигатели) одинаково используют эффект магнитного сопротивления, в результате сила релуктации действует на тело, которое из-за своих свойств материала изменяет магнитное поле. Свойства материала описываются магнитной проницаемостью 0 ,r    которая складывается из магнитной проницаемости ваку- ума 70 4 10 /Vs Am    и относительной магнитной проницаемости 144 r – безразмерной характеристики материала изменения плотности магнитного потока 2( / )B Vs m в соотношении с напряженностью магнитного поля в вакууме  / :H A m 0 .rB H   Железо имеет 1.r  Рассмотрим идеальный элементарный магнит как простейший электромагнитный преобразователь, рис. 4.11. Ф U I W А А F S, S=U lFе+2S Рис. 4.11. Элементарный магнит с воздушным зазором В воздушном зазоре шириной s однородное магнитное поле с плотностью магнитного потока ,B количество витков катушки равно W, площади полюсов А, длина магнитного поля в железе .Fel Релуктация или магнитное сопротивление ( ( ))/mR A V s анало- гична электрическому сопротивлению  /R V A . В табл. 4.4 приве- дена аналогия между магнитными и электрическими цепями. 145 Таблица 4.4 Аналогия между магнитными и электрическими цепями Магнитная цепь Электрическая цепь Закон Ома ФmV R U RI ( )V A – магнитная напряженность ( )U V – напряжение Ф( )Vs – магнитный поток ( )I A – сила тока /(( ))mR A Vs – магнитное сопро- тивление ( / )R V A – сопротивление /( ))(imi i i lR A Vs A   – сопротивле- ние для материалов с магнитной проницаемостью 0i ir    ( / )ii i i lR V A A   – сопротивление проводника с проводимостью ,i длиной ,il сечением iA Виды соединений Последовательное соединение элементов m mi i R R  i i R R  Параллельное соединение элементов 1 1 im miR R   1 1 i iR R   Законы Кирхгофа Второй закон – правило петли (замкнутый контур) общ i i V V   d ( )H s A   – приток 0i i V  Первый закон – правило узлов общФ Ф d 0i i A B A    0i i I  146 На рис. 4.12 представлены схемы: а – цепи магнитной; б – цепи электрической. Rm Fe VFe Vр Rmp ? =IW Ф R L=L(S) I U а б Рис. 4.12. Магнитная (а) и электрическая (б) цепь В соответствии с табл. 4.4 Fe общ Fe mp Fe 2 ,m m p I SR R R A A      где p – магнитная проницаемость воздуха, причем 0p   . Так как Fe 0 Fe, r mR  пренебрежимо мало. Магнитный при- ток общ .Iw V   Из закона Ома следует общ общ общФ ФА.m mIw V R R     Приближенно общ 0 2 ,m sR A   тогда 0 общ . 2m IwIwB R A s   Магнитная энергия в зазоре 2 2 2 0 0 1 1d d . 2 2 4m V Aw IW BH V B V s      147 Из сравнения энергии катушки с с mW W следует, что индуктив- ность L 2 ;kL s  2 0 . 4 Awk  Сила притяжения магнита F потенциальная и вычисляется по формуле   2 2 2 0 ; W s I AF k B s s        .m cW s W W  Магнитная мощность подсчитывается из баланса входной мощ- ности на зажимах вх ,P UI потерянной мощности 2потP RI и внутренней эффективной мощности d / d ,mP w t которая равна ме- ханической мощности вых .P F  вх пот вых ;mP W P P P    (4.16) 2 2 .IW UI RI F k s       (4.17) Для движущейся массы m по закону Ньютона .F m                                                (4.18) Из формулы (4.16)–(4.18) получим 2 2 2 2 2 d 2 ; d I IIs sI I s t s s s          d , . d I I s s t s     148 Для переменных состояния , ,s I получается нелинейная мате- матическая модель электромагнитного преобразователя 2 2 d d, ; d d s k I t t m s k    1 d 1 . d I R I U s t k k    Линеаризованная модель, описывающая электромагнитный пре- образователь, записывается в виде d d; ; d d slK Ks I s t t m m      (4.19) 0 0 d 2 2 . d I R I U t L L      0 0 ; ;I I I      0 0 ; .s s s U U U    Для вектора состояния , , Tz s I     уравнение (4.19) записыва- ется в виде 0 0 0 1 0 0 d 0 0 d 220 0 ls s s K K U t m m I IR LL                                                    149 или ;z Az bU   2 0 0 0 0 2 ; 2 AwkL s s   0 0 0 ; l IK L s  (4.20) 2 0 0 .s L lK s      Если в качестве переменных состояния взять , , ,s F   то получим d d; ; d d s I F t t m     (4.21) 0 0 0 2 2d 2 . d s l s RK KF R F K s U t L L L        Уравнения (4.20), (4.21) могут быть использованы для решения задач стабилизации и управления мехатронной системой. 4.4.3. Электростатические актуаторы Для плоского конденсатора накопленная энергия U может быть рассчитана по формуле 2 , 2 CVU  где C – емкость; V – напряжение между обкладками конденсатора. Когда пластины конденсатора перемещаются навстречу друг другу, работа, совершаемая силой взаимодействия между ними, 150 может быть рассчитана как изменение U в зависимости от измене- ния расстояния .x Сила рассчитывается по формуле 2 . 2k V CF x   Существует несколько вариантов реализации электростатиче- ских актуаторов на основе плоскопараллельных конденсаторов. Однако для генерации больших сил в такого рода устройства, которые будут совершать полезную работу, необходимо, чтобы при изменении расстояния сильно изменялись емкости. Это и есть руко- водство к действию для получения электростатических гребневых микродвигателей. Гребневые микродвигатели состоят из большого количества встречностержневых штырей. При приложении напряжения появ- ляется сила взаимодействия между штырями, и они начинают дви- гаться. Увеличение емкости пропорционально количеству штырей, таким образом, для генерации больших сил требуется большое ко- личество штырей. Одной из потенциальных проблем такого устрой- ства будет то, что если поперечное расстояние между штырями не- одинаково с обеих сторон (или если устройство поломано), то воз- можно движение штырей под прямым углом к правильному направлению и соединение их друг с другом. Гребневые двигатели особенно распространены среди устройств, полученных микрооб- работкой поверхностей. Двигатели качения названы так по действию раскачивания, по- ложенному в основу их принципа работы. Ротор – это круглый диск. Во время работы расположенные снизу последовательно, друг за другом электроды включают и выключают. Диск последователь- но притягивается к каждому электроду; край диска контактирует с диэлектриком, расположенным над электродами. В такой манере он медленно вращается по кругу, делая один оборот вокруг своей оси по совокупности нескольких изменений напряжения на статоре. Другая конструкция двигателя качения: ротор, находящийся внут- ри статора, формирует ось двигателя. Электрическое поле раска- чивает ротор внутри статора, и трение вращает ротор. Проблемы могут возникнуть, если быстро износится изоляция на электродах 151 статора, произойдет сцепление или слипание с ротором, или ротор и подшипник не круглые. 4.4.4. Магнитные актуаторы Основным компонентом большинства актуаторов этого типа яв- ляется тонкопленочная структура пластины, которая поддерживает электролитический пермаллоевый участок, генерирующий механи- ческую силу и вращающий момент при условии помещения его в магнитное поле. Как структурные пластины, так и поддерживаю- щие балки сделаны из поликристаллических тонких пленок. Когда внешнее магнитное поле равно нулю, структурная пластина парал- лельна плоскости подложки. Когда внешнее магнитное поле внешH приложено нормально к плоскости структурной пластины, внутри пермаллоевого участка возникает вектор намагниченности М, и он впоследствии взаимодействует с внеш .H Взаимодействие создает вра- щающий момент магМ и небольшую силу, воздействующую на сво- бодный конец консольной балки, при этом заставляя ее изгибаться. При приложении внешнего подмагничивания пермаллоевый ма- териал рассматривается как материал, имеющий постоянный плоско- параллельный вектор намагниченности с величиной равной намагни- ченности насыщения нас.М При помещении во внешнее магнитное поле генерируются две компоненты силы. Величина обеих, как 1F (которая действует на верхнюю грань), так и 2F (которая действует на нижнюю грань), рассчитывается следующим образом: 1 нас 1;F М WTH 2 нас 2 ,F М WTH где 1 2 иH H – напряженность магнитного поля на верхней и ниж- ней грани пластины (в текущей конфигурации 1 2H H ). Величины 1 2 иH H линейно зависят от соответствующего рас- стояния до поверхности электромагнитного источника. Пластина вместе с пермаллоевым участком рассматривается как твердое тело, 152 так как она существенно толще консольной балки. Основываясь на этом предположении, систему сил упрощают, перемещая 1F до совмещения с 2.F Результатом является вращающий момент, дей- ствующий против часовой стрелки, и сосредоточенная сила, воздей- ствующая на нижнюю грань структурной пластины. Этот результат можно представить как маг 1 cos ;М F L  2 1.F F F  Вращающий момент всегда стремится уменьшить полную энер- гию в системе актуатора выравниванием вектора намагниченности с силовыми линиями внешнего магнитного поля. 4.4.5. Гидравлические актуаторы Гидравлические микроактуаторы имеют значительный потенци- ал, так как они могут передавать довольно много энергии от внеш- него источника по очень узким трубкам. Этот факт можно исполь- зовать в таких местах, как наконечник катетера смонтированного микрохирургического инструмента. Гидравлические и пневматиче- ские приводы имеют во многих применениях преимущество над ак- туаторами электромагнитными, в первую очередь как преобразовате- ли линейные, имеющие высокую мощность по отношению к их весу. К особенностям гидравлического микроактуатора можно отнести то, что он имеет довольно большие размеры, высокий уровень вы- ходных сил и может иметь крайне низкое трение. 4.4.6. Тепловые актуаторы Тепловые актуаторы используют как линейное или объемное расширение жидкости или газа, так и деформацию формы вслед- ствие биметаллического эффекта, которые имеют место благодаря изменению температуры. Рассмотрим биметаллический актуатор. При нагревании один материал расширяется быстрее, чем другой, и балка изгибается. Нагревание можно производить пропусканием через это устройство электрического тока. 153 4.4.7. Пьезоэлектрические актуаторы В основе теории пьезоэлектрических актуаторов лежит прямой пьезоэлектрический эффект – появление электрических зарядов раз- ного знака на противоположных гранях некоторых кристаллов при их механических деформациях: сжатии, растяжении и т. п., и обрат- ный пьезоэлектрический эффект, состоящий в деформации этих же кристаллов под действием внешнего электрического поля. Определяющие уравнения пьезоэлектрических материалов име- ют вид ;Ejk jklm em ijk iS s T d E  (4.22) ,Ti ijk jk ij jD d T E   (4.23) где jkS – тензор механических деформаций;   Ejklms – упругие постоянные (податливости) при const;E  jkT – тензор механических напряжений;   d – тензор пьезоэлектрических постоянных; iD – вектор электростатической индукции;   Tij – проницаемость при const.T  В одномерном случае выражения (4.22) и (4.23) имеют вид ;ES s T dE  (4.24) ε .TD dT E  (4.25) В случае 0d  пьезоэлектричность отсутствует. Обычно пьезо- электрическим материалам можно приписать декартову систему ко- ординат, так что оси координат соответствуют направлениям поляри- зации. В большинстве случаев применяется управляющее напряже- ние в направлении поляризации. В пьезоэлектрических актуаторах различают два эффекта – доминирующий эффект продольный, для которого направление действия совпадает с направлением поляриза- 154 ции, а также эффект поперечный (трансверсальный) с направлением действия, перпендикулярным направлению поляризации. На рис. 4.13 изображены: а – продольная; б – поперечная схема. а б Рис. 4.13. Пьезоэлектрические актуаторы Если в (4.24) положить 0,T  то получим .S dE Тогда при уменьшающемся внешнем нагружении и напряжении U EI получим для продольного эффекта, рис. 4.13, а: 33 33или ,l d E l d Ul      а для поперечного эффекта, рис. 4.13, б: 31 31 или .s d E s d Us     Если сила F действует в заданном направлении, то из (4.24) для случая рис. 4.13, а получим 33 33 ,ll F d U E as     (4.26) 155 а для случая рис. 4.13, б имеем 31 11 ,s ss F d U E al l     (4.27) причем модули упругости 11 33, E E могут быть определены из (4.23) при 0.Td  Коэффициенты при F в (4.26), (4.27) можно интерпре- тировать как обратные значения жесткости пьезоэлектрического материала при исчезающем электрическом поле 0:E  11 11 ; E alc s  (4.28) 33 33 . E asc s  Из уравнения (4.26) получаем 33 33 33 .F c l c d U   С помощью (4.24), (4.25) можно показать, что идеальный пьезо- электрический преобразователь может быть представлен как слож- ное устройство из конденсатора емкостью С как вход и упругий ме- ханизм с жесткостью С как выход. На рис. 4.14 показан пример зависимости пьезоэлектрического преобразователя, реализующего продольный эффект. Реально пьезоэлектрические преобразователи всегда имеют по- тери. Кроме того, механическая пружина нагружена массой . 2eff mm  Круговая частота вычисляется по формуле 0 , eff c m   где c определяется по формуле (4.28). 156  j l   Рис. 4.14. Пьезоэлектрический преобразователь Амплитуда механической мощности mechPˆ выражаются через мощность электромеханическую eˆlP с коэффициентом :k 2 mech ˆ ˆ ,elP k P где 2ˆ ˆ ; elP Cu  ˆ ˆ; i Cu  d . d ui C t  Современные пьезоэлектрические материалы имеют 0,7.k  Из выражения для силы и скорости 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ,mechP F Fs cs     где  maxsˆ l  является амплитудой перемещения, получаем mech .P 157 Глава 5. СЕНСОРЫ 5.1. Модели и схемы датчиков измерений в мехатронных системах Сенсорами (датчиками) называются элементы мехатронных сис- тем, которые получая входные сигналы о состоянии системы и окружающей среды, в общем случае неэлектрической природы, преобразуют их, как правило, в электрические сигналы – выходные. На рис. 5.1 изображена принципиальная схема прохождения сиг- нала в сенсоре с максимальной степенью расширения структуры. Рис. 5.1. Принципиальная схема прохождения сигнала в сенсоре Рассмотрим сенсор силы, схема которого представлена на рис. 5.1. Сигнал проходит следующие этапы преобразования. 1. Преобразование величины, которую нужно измерить, в одну или несколько промежуточных неэлектрических величин. 2. Преобразование входной или промежуточной величины в пер- воначальную электрическую величину с помощью преобразующих элементов (преобразователей). 158 3. Следующий этап обработки электрического сигнала происходит в элементах обрабатывающей электроники (синтезированный сенсор). 4. Так как измеряемая величина дальше должна быть обработана компьютером, выходной аналоговый сигнал должен быть преобра- зован в цифровой. Это происходит в ADC (аналогово-цифровой пре- образователь Analogue-Digital-Convergence). Сенсоры с синтезированной цифровой частью называются ин- теллектуальными (smartsensor). 5.1.1. Принципы измерения кинематических и динамических величин Основными кинематическими величинами являются: – расстояние ,s угол ; – скорость ,s  угловая скорость   (n – число оборотов); – ускорение ,a s   угловое ускорение . Основными динамическими величинами являются: – сила F; – вращающий момент М; – давление ,Fp A  где A – площадь, на которой действует сила F. В табл. 5.1 представлены измеряемые величины и физические принципы их измерения Таблица 5.1 Измеряемые физические величины Измеряемые величины ,s  ,v  ,a  , ,F M P Потенциометрические R + + Индуктивные L + + Емкостные C + + Ультразвуковые t + Магнитные B + + + Магнитострикционные B, t + Оптические l + + Пьезоэлектрические Q + + Пьезорезистивные R + + + 159 На рис. 5.2, а изображена электрическая схема, замещающая по- тенциометр с присоединенным измерительным устройством, где mR – внутреннее сопротивление измерительного устройства. Рис. 5.2. Схема замещения потенциометра Измеряемый сигнал (напряжение 1U ) получается из закона деле- ния напряжения: 1 2 1 0 1 1 || , || m R RU U R R R R    (5.1) где || обозначает параллельное соединение. 1 1 1 |||| .mm m R RR R R R   Из (5.1) следуют выводы: а) ток, текущий через ,mR  должен оставаться пренебрежимо ма- лым, это означает, что mR должно быть очень большим. При mR   следует 11 1 1 || ;mm m R RR R R R R   a б 160 б) рекомендуется применение операционного усилителя соглас- но рис. 5.2, б; в) напряжение запитывания 0U входит полностью до результата измерения. Температурный дрейф: для сопротивления материала с коэффи- циентом теплоемкости  имеем  0 1 .R R   Тогда      11 11 1 . 1 R U U R R       5.1.2. Индуктивные методы Для сердечника с зазором имеет место зависимость   0 1 , 1 μr m L x L x x   (5.2) где 0L – индуктивность при 0x  (без зазора); r – относительная магнитная проницаемость; mx – величина зазора, при которой величина L находится в центре возможных значений, что означает    01 .2m mL x L L  На рис. 5.3, a изображена катушка. 161 Рис. 5.3. Схема разделения катушки Соотношение (5.2) для  L x нелинейное, поэтому линеаризация соответствует разделению катушки на две взаимно противораспо- ложенные, рис. 5.3, б. На рис. 5.4 изображен пример линеаризации. Для 1r  и 0 1,L  а также при подстановке mx или mx в (5.2)  0,11 .mx  Рис. 5.4. Пример линеаризации a б 162 Выражения для      , , f x g x h x имеют вид   1 ; 1 m f x x x     1 ; 1 m g x x x         2 . m xh x g x f x x    5.1.3. Трансформаторные устройства Трансформаторные устройства используют изменение взаимной индуктивности между катушками. Наибольшее применение в прак- тике нашли устройства, нагруженные дифференцирующим транс- форматором. На рис. 5.5 изображена конструкционная схема сенсора расстоя- ния (пути). Рис. 5.5. Схема сенсора расстояния На рис. 5.6 изображен датчик на основе линейного переменного дифференциального трансформатора с возвратной пружиной. 163 Рис. 5.6. Схема датчика пути В комбинации с пружиной или пневматическим возвратным эле- ментом существует много разных конструкций сенсоров пути и из- мерительных датчиков. Для обработки сигнала наиболее часто применяются колеба- тельные цепи ,LC в которых сенсорные элементы представляют индуктивные части. Согласно закону Томсона 1 1 . 2 f LC   Измеренная величина пути преобразуется сначала в промежу- точную величину – частоту. Измерение частоты может преобразо- ваться в напряжение. 5.1.4. Методы измерений с помощью сенсоров магнитного поля Сенсоры магнитного поля используют отклонение зарядов, пе- ремещающихся в магнитном поле. На электроны действует сила Лоренца F: ,F QwB где Q – электрический заряд; w – вектор скорости перемещения заряда; 164 0 rB H   – плотность магнитного потока; H – напряжение магнитного поля; 0 , r  – магнитные постоянные в вакууме и относительная маг- нитная проницаемость. Пусть в плоскости Oxy через плоскую пластину полупроводни- ка проходит регулирующий ток 0 ,I тогда линии тока отклоняются составляющими магнитного поля zB  перпендикулярно пластине. Рис. 5.7. Прохождение тока через плоскую пластину: а – изгибание эквипотенциальных линий элемента Холла; б – схема плоских пластин полупроводника На рис. 5.7, а изображена конструкция элемента Холла, на рис. 5.7, б конструкция полевой пластины. С точки зрения техники измерений отметим два явления. 1. Изгибание эквипотенциальных линий на угол Холла , при- чем имеет место зависимость tg .zB   На противоположных сторонах пластины создается разница по- тенциалов, которая регистрируется как напряжение Холла н ,U а сен- сор с такой структурой называется сенсором Холла, причем нн 0 ,z RU I B d  (5.3) где нR – материальный коэффициент Холла; d – толщина пластины. a б 165 2. Отклонение линии тока носителя заряда в полупроводнике, что приводит к видимому изменению сопротивления. Имеет место формула  20 1 ,B zR R kB  (5.4) где 0R – величина сопротивления для 0;zB    k  – конструкционная постоянная, величина которой зависит от материала и конструкции. Сенсоры, использующие этот эффект, называются полевыми пластинами. На рис. 5.8, а изображена зависимость (5.3) для сенсора Холла, а на рис. 5.8, б – зависимость (5.4) для полевой пластины. Рис. 5.8. Зависимости напряжения (а) и сопротивления (б) от величины магнитного поля Решающим достоинством сенсора Холла является возможность изготовления элементов с помощью стандартной полупроводнико- вой технологии. Практическое значение для измерения пути или угла имеют потенциометры с полевыми пластинами. Функциони- руют они бесконечно долго и практически без износа. 5.1.5. Емкостные измерительные методы Емкостные путевые сенсоры подобны индуктивным сенсорам. Эффект измерения основан на изменении емкости С пластинчатого конденсатора: 0 точка работы при начальном намагничивании a б 166 0 ,r AC d   где 0 – электрическая постоянная; r – относительная электрическая проницаемость; A – эффективная площадь пластины; d – расстояние до пластины. На рис. 5.9 приведена классификация возможных конфигураций емкостных сенсоров. Отметим, что емкостные сенсоры практически не реагируют на колебания температуры, что позволяет использо- вать их при высоких температурах. Вид изменения Относи- тельное движение Одна пластина Многопластин- чатая структура Одна емкость Дифференциальная структура Изменение площади А Поступа- тельные Враща- тельные Изменения расстояния Поступа- тельные Враща- тельные Изменение электриче- ской прони- цаемости Поступа- тельные Рис. 5.9. Классификация конфигураций емкостных сенсоров 167 5.1.6. Ультразвуковые методы измерений Измерение пути с помощью ультразвука опирается на измерение времени прохождения ультразвукового импульса. В качестве пре- образователя ультразвука применяются пьезоэлектрические эле- менты, которые при приложении напряжения меняют форму (об- ратный эффект). Так как пьезоэлектрический эффект обратимый, то один и тот же элемент используется как для получения, так и для посылки сигнала. В качестве материалов обычно используются пьезоэлектрическая керамика, а также пьезоэлектрические полимеры. На рис. 5.10, а изоб- ражены этапы прохождения импульсов ультразвука во времени. На рис. 5.10, б представлена диаграмма интенсивности излуче- ния звукового поля, из которой видно, что непосредственно перед сенсором возникает область с осциллирующей величиной интен- сивности в зависимости от направления. Расстояние 0r характери- зует ближнее поле Френеля: 2 0 ,4 Dr   где D – диаметр вибрирующего элемента;  – длина волны. В области 0r r (дальнее поле–зона Фраунгофера) интенсив- ность уменьшается как 21 / .r В этой области излученная энергия сконцентрирована в конусе с половиной угла : 0,51arcsin . D       168 ‐30 0 30 ‐40db ‐30db ‐20db  ‐10db  0db Рис. 5.10. Этапы прохождения импульсов амплитуда импульс переданный эхо-импульс цикл передачи время a б 169 На рис. 5.11 изображена схема ультразвукового сенсора. Управ- ляющее устройство на короткое время включает излучение и одно- временно измерение времени. По излучении последовательности колебаний сенсор переходит на прием. Принятый эхо-сигнал про- ходит через усилительное устройство обработки сигнала. Рис. 5.11. Схема ультразвукового сенсора На способы преобразования сигнала и процессы измерения сле- дует обращать внимание при применении ультразвуковых сенсоров. На точность измерения оказывают влияние параметры среды: тем- пература воздуха, скорость ветра, влажность. Важное значение иг- рают выбор частот, используемых сигналов, материалов и геомет- рии рефлектора. 5.2. Некоторые модели подсистем измерений 5.2.1. Магнитострикционные датчики пути Специальные мягкие магнитные материалы изменяют форму под действием внешнего магнитного поля. Этот эффект называется магнитострикция. Принцип измерения расстояния на основе магнитострикционно- го эффекта представлен на рис. 5.12. 170 Рис. 5.12. Схема прибора для измерения расстояния на основе магнитострикционного эффекта Измерительный элемент (волновод) состоит из трубки, изготов- ленной из магнитострикционного материала и внутри которой на- ходится электрический проводник. Кроме простоты и хорошей конструкции достоинством ультра- звуковых сенсоров является возможность применения их в экстре- мальных условиях, например взрывных воздействий. Передатчики абсолютных значений В производстве машин в большом количестве применяются пе- редатчики абсолютных величин (рездольверы) двух типов: – оптические; – индуктивные. Оптические передатчики складываются из стеклянного щита с несколькими соосно размещенными кольцами. Прозрачные при- емные кольца кодируют угол поворота, рис. 5.13. 171 Рис. 5.13. Схема приемных колец # kod # kod 0 0000 8 1100 1 0001 9 1101 2 0011 10 1111 3 0010 11 1110 4 0110 12 1010 5 0111 13 1011 6 0101 14 1001 7 0100 15 1000 Кольца читаются с помощью излучения света через расположе- ние (конфигурацию) световых колец. Количество колец определяет точность передатчика. С помощью n колец можно закодировать 2n состояний. Индуктивный передатчик применяется для определения угла между статором и ротором, а также анализа фазовой разницы меж- ду полем возбуждения (статор) и одним или несколькими индуци- рованными полями (витки катушек ротора). Подключение электро- ники позволяет проводить интерполяцию фазового угла. Инкрементальные методы измерений Все вышерассмотренные методы измерения пути имеют один общий признак. На выходе выдается абсолютное значение, которое является мерой измеряемого пути. В момент измерения сенсор и объект измерения не могут взаимно перемещаться. Инкрементальные методы измерений действуют иначе. По своей сущности они не регистрируют путь или угол между измеритель- ной системой и измеряемым объектом, а измерения проводят по вычислению отдельных отсчетов (в общем случае – электрических импульсов). Наиболее широко используется оптический декодер, конструк- тивная схема которого изображена на рис. 5.14. 172 Рис. 5.14. Схема оптического декодера Конструкция оптического декодера подобна конструкции опти- ческого передатчика, описанного выше, однако вместо n колец ис- пользуется только одно кольцо с равноотстоящими прозрачны- ми\темными проходами для света. Инкрементальные измерительные системы могут быть не только вращательными (круговыми), но и линейными (поступательными). Перечисленные сенсоры далеко не исчерпывают всех измери- тельных систем пути. 5.2.2. Системы измерения скорости Сенсоры скорости используют физическую зависимость между выходной электрической величиной и производной по времени из- меряемой величины ind dФ . d U nBl t    (5.5) Соотношение (5.5) используется в тахогенераторах, которые, в принципе, сконструированы как электродвигатели, но используют 173 противоположные принципы функционирования: если вал вращает- ся с угловой скоростью , то индуцированное напряжение т ,U k  где k – постоянная, зависящая от характера конструкции. Конструкция, состоящая из двигателя, датчика угла, тахогенера- тора называется сервомотором. Для бесконтактного измерения скорости применяются оптиче- ские системы измерения корреляции. Принцип их действия показан на рис. 5.15, где I – интенсивность света, ФКК – функция круговой корреляции. Рис. 5.15. Схема оптической системы измерения корреляции Согласно рис. 5.15      1 2 0 1ФКК d . T R s I t I t s t T     174 5.2.3. Системы измерения ускорения механическими датчиками Измерение ускорения основано на том, что если на массу ,m под- вешенную на пружине жесткости ,c действует ускорение ,a коле- бания устройства описываются соотношением ,mw a c  где w – амплитуда колебаний массы. 5.2.4. Пьезоэлектрические сенсоры ускорения На рис. 5.16 изображена модель возникновения сжимающих на- пряжений (пьезонапряжений). В ненагруженном состоянии пьезокристалл, рассматриваемый макроскопически, является электрически нейтральным, рис. 5.16, а. а б Рис. 5.16. Схема возникновения пьезонапряжений Во время нагружения элементы кристаллической решетки на- гружены дополнительно и отрицательно и перемещены соответ- ственно так, что на внешних поверхностях обнаруживается разница потенциалов. 175 Для измерений необходимо использовать усилитель, который позволяет на выходе усиливать сигнал согласно формуле  вых 1 d ;QU i t tс c    d . d Q i t t  Схема усилителя изображена на рис. 5.17. Рис. 5.17. Схема усилителя 5.2.5. Микромеханические сенсоры ускорения Для регистрации деформации используются два способа. На рис. 18, а изображена схема конструкции тензометра пьезосо- противления (рассмотренного дальше). На рис. 5.18, б изображена конструктивная схема на основе конденсаторов, когда колеблющая- ся масса расположена между двумя неподвижными электродами. а б Рис. 5.18. Схемы регистрации деформации 176 Одноосное измерение силы и момента основано на законе Гу- ка, который в простой форме имеет вид ,F E A   где F – сила; A – площадь сечения; E – модуль Юнга;  – деформация удлинения. 5.2.6. Тензометрические датчики силы и момента Функционирование тензометров основано на физическом явле- нии, когда электрический проводник вследствие изменения длины изменяет свое сопротивление. Имеет место зависимость ,lR A  где  – собственное сопротивление; l – длина проводника; A  – площадь сечения. На рис. 5.19 изображены схемы тензометров: а – волнового; б – полупроводникового кристалла кремния. а б Рис. 5.19. Схемы тензометров 177 Зависимость между измерением   и относительным изменением сопротивления записывается через коэффициент ,k причем для еди- ничного тензометра имеет место связь , 2.R k k R     В обоих устройствах реализуются технологии, основанные на применении кремния. Одностороннее удлинение заделанной балки на расстояние l от точки приложения силы определяется по формуле 2 6 .Fl Ebh   Для измерения моментов применяются датчики изогнутые. Со- стоят они из стержня, рис. 5.20, или трубки, рис. 5.21, на которой прикреплены два или четыре тензометра под углом o45 к оси тензометра. Рис. 5.20. Схемы стержневых датчиков Удлинение стержня, рис. 5.21, а, под действием момента tM 3 , tM Gr    где G – модуль изгиба; r  – радиус цилиндра. 178 а б Рис. 5.21. Схемы трубчатых тензометров Удлинение трубки, рис. 5.21, б, под действием момента tM  4 48 .tM DG D d    179 Глава 6. АВТОМАТЫ 6.1. Конечные автоматы подсистем управления для мехатронных систем Управляющие подсистемы мехатронной системы представляют собой звенья цепи, в которые поступает информация о состоянии системы и окружающей среды, обрабатываются и вырабатываются управляющие (регулирующие) сигналы, поступающие к исполни- тельным органам системы. Обработка сигналов, поступающих на вход звеньев, может происходить чисто функционально, когда вход  X t и выход  Y t связаны зависимостью           или ,Y t F X t Y k F X k  (6.1) где k – дискретный момент времени. Функциональное звено не хранит память о том, что было с сис- темой в момент t  или ( ).k m k  Если выход  Y t зависит не только от  X t в момент времени ,t но и от состояний S системы в прошедшие моменты времени, т. е. на выходе схемы рис. 6.1, а черного ящика (функционального преобразователя), необходимо ввести информацию о некоторой структуре звена, рис. 6.1, б, вклю- чив блок памяти БП и обратную связь. а б Рис. 6.1. Схема функционального проеобразователя Множество входных сигналов  , , ,nX x x  выходных  , , ,nY y y  внутренних состояний  , , kS s s  связывают рекуррентные зависимости вида 180  1 1, , ;i i i is f x s y  (6.2)  1 1, , .i i i iy F x s y  (6.3) Формулы (6.1)–(6.3) представляют математическую запись алго- ритмов вычисления выходных переменных Y   по входным пере- менным X   и называются конечными автоматами без памяти, см. рис. 6.1, а, и с памятью, см. рис. 6.1, б. Конечный автомат – это устройство, работающее в дискретные моменты времени (такты). На вход конечного автомата в каждом такте поступает один из возможных входных сигналов, а на его вы- ходе появляется выходной сигнал, являющийся функцией его теку- щего состояния is и поступившего входного сигнала .ix Внутрен- нее состояние автомата is также меняется. Моменты срабатывания (такты) определяются либо принудительно тактирующими синхро- сигналами, либо асинхронно, наступлением внешнего события – прихода сигнала. Определим конечный автомат абстрактно. Определение: Конечным автоматом Мили называется шес- терка объектов: 0, , , , ,A S X Y s   , где S – конечное непустое множество (состояний); X – конечное непустое множество входных сигналов (входной алфавит); Y – конечное непустое множество выходных сигналов (выход- ной алфавит); 0 s S  – начальное состояние; : S X S    – функция переходов; : S X Y    – функция выходов. Для определения автомата можно использовать табличный спо- соб, задавая функции переходов и выходов в виде таблиц, и диа- граммный в виде графов. Реализация конечного автомата Рассмотрим компоненты реализации конечного автомата КА: программную и аппаратную. 181 Аппаратная реализация (hardwear) требует построения физи- ческих, технических устройств памяти для запоминания текущего состояния автомата. Обычно на практике используют двоичные элементы памяти (триггеры), запоминающие значение только одно- го двоичного разряда. Функциональный блок автомата реализуется как конечный функциональный преобразователь. Таким образом, общий подход к аппаратной реализации конечного автомата таков:  входные и выходные сигналы и внутренние состояния автома- та кодируются двоичными кодами;  по таблицам переходов и выходов составляются кодированные таблицы переходов и выходов – фактически табличное задание отображения F;  по кодированным таблицам переходов и выходов проводится ми- нимизация двоичных функций, и они реализуются в заданном базисе;  решаются схемотехнические вопросы синхронизации – при- вязки моментов выдачи выходного сигнала и изменения состояния внутренней памяти к моментам поступления входных сигналов на вход автомата. Программную реализацию (softwear) можно выполнить на лю- бом языке программирования высокого уровня разными способами. Топология блок-схемы программы повторяет топографию графа переходов конечного автомата. В зависимости от того, какой сигнал пришел на вход, выполняется та или иная функция и происходит переход к новому состоянию. Построив эту программу и добавив активные устройства, реализующие отдельные выходные операции, можно автоматизировать процесс (управления, диагностики и т. д.). Часто как входные, так и выходные сигналы автомата кодируют- ся непроизвольным образом: их кодировка обычно предопределена конкретным применением автомата. В то же время кодирование внутренних состояний автомата на логике его функционирования никак не сказывается (при любом кодировании состояний автомат будет реализовывать то же отображение входных последовательно- стей на выходные). Однако различное кодирование может влиять на надежность устройства, скорость его переключения, простоту реа- лизации логического блока и т. д. Постоянно ведутся исследования по проблеме оптимального кодирования состояний конечного авто- мата при различных критериях оптимальности. 182 Если функции и f F не зависят от ,iy то получаем алгоритм, описывающий автомат Мили:  1 1, ;i i is f x s   1 1, .i i iy F x s  Если к тому же функция F не зависит от ,x то получаем автомат Мура:  1 1, ;i i is f x s   1 .i iy F s  6.2. Анализ автоматов Существуют различные постановки задачи анализа автомата. Например, задана схема автомата и нужно установить, какой опера- тор реализуется на ней. Пусть известны элементы, из которых построена схема, извест- ны ее уравнения, отношения подчиненности выходов входам. Пер- вой задачей анализа является выяснение того, является ли схема логической сетью, т. е. удовлетворяет ли она требованиям пра- вильной организованности. Если установлено, что схема является логической сетью, то возникает задача определения ограниченно- детерминированного оператора (канонических уравнений), который в ней реализуется в целом и на некоторых ее полюсах (входах). Третья задача – минимизация алфавита внутренних состояний (множества S). Последовательным оператором называется соответствие, ука- зывающее для любой конечной последовательности 1 ,, kx x после- довательность значений 1 ,, ky y так, что последовательности 1 (, , )mx x m k  соответствует подпоследовательность 1 2 , ., , my y y Последовательности 1 ,, kx x и 1 ,, ky y называются входными и выходными словами, ,i jx y – буквами входного и выходного алфавитов. 183 Конечный автомат является последовательным оператором. Об- ратное утверждение в общем случае не имеет смысла. Резюмируя, можно сказать, что при постановке и решении зада- чи анализа автомата необходимо: 1) проверить правильность организации схемы в соответствии с законами логических сетей; 2) составить канонические уравнения оператора, который реали- зуется схемой; 3) минимизировать алфавит состояний. 6.3. Синтез автоматов Конечный автомат был определен как математическая модель устройства синхронного действия, перерабатывающего информа- цию в дискретном виде. В то же время реальные системы, в кото- рых происходит процесс преобразования информации, характери- зуются внутренней конструкцией, способом функционирования и выполняемыми операциями. С этой точки зрения конечный авто- мат – это совокупность двух понятий: схемы (логической сети) и оператора (реализуемого схемой). Процесс синтеза автоматов состоит из двух этапов: 1) изучение заданных требований с тем, чтобы выяснить, суще- ствует ли удовлетворяющий или ограниченно-детерминированный оператор и получить его канонические уравнения; 2) построение (синтез) логической сети по полученным канони- ческим уравнениям оптимальной (в смысле принятых критериев) логической сети. При этом должны учитываться сдвиги во времени, которые в ре- альных системах связаны с определенной задержкой реакций. Если решение задачи синтеза проводится, например, путем объ- явления канонических уравнений (таблиц) оператора такой стан- дартной формой его задания, исходя из которой находят решение задачи синтеза, то при таком подходе синтез логической сети мож- но рассматривать как перевод его стандартного языка канонических уравнений на язык логической схемы (язык схемотехники). Тогда анализ логической сети представляет собой перевод с языка схемо- техники на стандартный язык уравнений. 184 Наиболее широко на практике применяются методы оптималь- ного синтеза, основанные на том, что наиболее простая схема (неза- висимо от набора элементов) получается при моделировании мини- мальных форм представления функций алгебры логики (минималь- ных формул), представленных в виде суперпозиции конъюнкции (И), дизъюнкции (ИЛИ) и отрицания (НЕ). Представление информации в конечных автоматах. Для ко- нечных автоматов все многообразие представления входных и вы- ходных цифровых сигналов, посредством которых кодируется ис- ходная информация, можно выразить параллельным и последова- тельным двоичными кодами. При представлении информации параллельным кодом (рис. 6.2) на всех элементах конечного автомата, изображающих цифры соот- ветствующих разрядов, одновременно будут либо высокие потенциа- лы  1 ,U если в этих разрядах единицы, либо низкие  0 ,U если в них – нули. Элементы будут находиться в указанном состоянии до тех пор, пока значение кодируемой информации остается неизменным. U1 U0 Разряды 1 1 0 1 0 1 10   Рис. 6.2. Распределение уровней напряжений, соответствующих параллельному коду При представлении чисел последовательным кодом каждое чис- ло изображается последовательностью импульсов, возбуждаемых в конечном автомате через равные интервалы времени иТ (рис. 6.3). При этом разряд цифры определяется положением импульса во времени относительно начала изображения числа этой последова- тельности. Младшие разряды могут передаваться либо в начале формирования последовательности, либо в ее конце. Наличию им- пульса в нужный интервал времени соответствует цифра 1, а отсут- 185 ствию – 0. Для последовательной передачи кода заданной разрядно- сти требуется некоторый промежуток времени Т, возрастающий с увеличением числа разрядов и уменьшающийся с возрастанием час- тоты следования импульсов. Причем за время передачи кодируемая величина не должна значительно измениться. От степени ее измене- ния зависит погрешность восстановления исходной величины. U 0 1 1 1 1 10 0 0 T0 t T Рис. 6.3. Представление последовательного кода импульсами Разновидности конечных автоматов. Различают конечные ав- томаты без памяти (обычно именуемые комбинационными или ло- гическими устройствами, схемами) и с памятью (цифровые автома- ты). Автомат первого типа формирует выходные сигналы без учета его предыстории работы. Выходные сигналы автомата с памятью определяются его внутренними состояниями. Совместное использование таких автоматов находит широкое применение для построения разнообразных управляющих автоматов. Комбинационные схемы. Выходные сигналы  1 2, , , ,jY y y y   логической схемы (рис. 6.4) в некоторый дискретный момент вре- мени t однозначно определяются значениями входных сигналов  1 2, , , , , .j nX x x x x   Здесь  1, , , , , j j ny L x x x   1, 2, , ;j k  ; ,j qy Y x Y  1, 2, , ;q n  n – число входов. 186   Логическая схема YX Рис. 6.4. Обобщенное представление комбинационной схемы Построение и логическое функционирование комбинационных схем основываются на физической реализации функций бинарной логики, например, на таких элементарных логических операциях, как И, ИЛИ и НЕ с конечным множеством входных сигналов  1, , .nx x Дешифратор и мультиплексор – примеры комбинаци- онных схем. Конечный автомат с памятью (цифровой автомат, последова- тельностный автомат). В отличие от комбинационной схемы такой автомат имеет некоторое число различных внутренних состояний, изменяющихся под воздействием входных сигналов. Внутреннее состояние цифрового автомата определяется совокупностью состо- яний запоминающих элементов. Каждый элемент памяти автомата имеет два устойчивых состояния, одно из которых кодируется циф- рой 1, а другое – 0. Реакция конечного автомата с памятью на входные сигналы мо- жет быть либо однозначной, либо случайной. В первом случае на- зываются детерминированные автоматы, во втором – вероятно- стные, которые в свою очередь подразделяются на автоматы с по- стоянной и переменной структурами. Большая часть цифровых автоматов содержит не только элемен- ты памяти, но и логические схемы (рис. 6.5). При такой органи- зации информация обрабатывается последовательно во времени с запоминанием промежуточных состояний в памяти цифрового автомата. Примером конечного автомата с памятью служат триг- герные системы. 187 Логическая схема 1 Память автомата Логическая схема 2Z X Y Рис. 6.5. Обобщенная структура конечного автомата с памятью В общем случае работа цифрового автомата в некоторый дискрет- ный момент времени 1t    задается его начальным внутренним со- стоянием 0 ,S входными сигналами ,X функциями переходов из од- ного состояния в другое  .S Q и выходов  . .Y G По зависимо- сти выходных сигналов различают автоматы Мура и автоматы Мили. Работа автоматов Мура описывается системой уравнений  1 , ;t t tS Q S X   .t tY G S Значения выходных сигналов таких автоматов зависят только от внутреннего состояния автомата. Поэтому в структуре автоматов Мура входные сигналы непосредственно не поступают на вход вы- ходной логической схемы 2 (см. рис. 6.5). К классу автоматов Мура относятся различные логические схемы, в их числе – триггерные. Работу автомата Мили описывает система уравнений  1 ; ,t t tS Q S X   , .t t tY G S X 188 Из уравнений следует, что внутреннее состояние автомата 1tS  в дискретный момент времени 1t  определяется его состоянием tS в предыдущий дискретный момент времени и значениями входного сигнала tX в этот же момент времени. Значения же выходного сигнала зависят как от состояния автомата, так и от значений вход- ного сигнала. Внутри цифрового автомата можно организовать асинхронный (нетактируемый) либо синхронный (синхронизируемый импульса- ми, подаваемыми от тактового генератора) обмен информацией. В асинхронном автомате значения выходного сигнала изменяются непосредственно после изменения значений входного сигнала. В то же время синхронные автоматы переключаются из одного состоя- ния в другое только в строго фиксированные моменты времени, за- даваемые тактовыми импульсами. Автомат удобно представлять в виде функции Т на графе , ,G V U каждой вершине которого взаимно однозначно соответ- ствует состояние автомата, и если из состояния iS в состояние jS автомат переходит в результате входного воздействия ,a вырабаты- вая при этом выходной символ b , то соответствующие вершины иi j  соединены дугой  , ,i j  взвешенной парой  , .a b Таким образом, областью определения функции Т является граф , ,G V U построенный рассмотренным выше способом, а областью значений – входные, выходные символы и идентификаторы состояний автомата. Реализуемый автоматный оператор Т можно представить в виде соответствующей функции на графе ,G V U (рис. 6.6). S1 S2 S3 (x, a) (y, a)(x, a) (x, b) (y, b) Рис. 6.6. Представление оператора T функцией на графе G 189 Если рассматривать автомат не как устройство, реализующее соот- ветствующую грамматику, а изучать его строение (структуру), то сле- дует представлять этот автомат в виде блок-схемы, изображенной на рис. 6.7, где xM – множество входных терминальных символов, yM – множество нетерминальных символов  , .s s sM M M  Память Комбина- ционная часть Рис. 6.7. Блок-схема автомата Мили Вторая абстракция использует понятие автоматного контура, со- стоящего из операционного и управляющего автоматов. Одной из основных характеристик автомата является объем его памяти. Число внутренних состояний автомата называется объемом памяти автомата. Преобразование информации является результатом выполнения некоторого алгоритма, при этом операционный автомат реализует шаги алгоритма, а управляющий автомат – порядок выполнения шагов. Операционный и управляющий автоматы различаются не только своими назначениями, но и объемами памяти. В операцион- ном автомате происходит преобразование информации, которая за- дана в виде некоторого множества чисел, записанных в регистрах. Практически объем памяти операционного автомата бесконечен. Например, блок регистров, входящий в операционный автомат и состоящий из 22 16-разрядных двоичных регистров, имеет объем памяти 352 1002 10 бит. Объем памяти управляющих автоматов обычно составляет от нескольких десятков до нескольких десятков 190 тысяч бит, т. е. является небольшим по сравнению с объемом памя- ти операционных автоматов. Рассмотрим контур, состоящий из операционного и управляю- щего автоматов (рис. 6.8). Операционный автомат Управляющий автомат 1 2 4 5 3 6 Рис. 6.8. Контур из операционного и управляющего автоматов На вход операционного автомата (канал 1) поступает преобразу- емая информация; с выхода операционного автомата (канал 2) сни- маются результаты преобразований; по каналу 3 поступают управ- ляющие воздействия, соответствующие реализуемому алгоритму; по каналу 4 на вход управляющего автомата поступают признаки, характеризующие преобразуемую информацию; по каналу 5 – сиг- нал, определяющий выполняемое преобразование и его начало; по каналу 6 – сигнал окончания операции. Каналы 1 и 2 называются информационными, каналы 3–6 – управляющими. 191 Глава 7. ДВОИЧНЫЕ И ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ Электронные системы управления обычно являются двоичными или цифровыми. В двоичных системах двухуровневые управляющие сигналы, т. е. командные сигналы переключений, соединяются друг с другом, сохраняются и вновь выводятся уже в форме логических сигналов. Способ связи сигналов между собой описывается алгеброй ре- лейно-контактных систем. В цифровых системах управления несколько двоичных сигналов либо серия двоичных импульсов кодируются в виде чисел, сохра- няются и обрабатываются в таком виде. Способы связи между числами описываются на основе арифме- тических действий, например сложения и умножения. Модулями цифровых управляющих систем являются в большинстве случаев интегральные схемы (ИС), микропроцессоры и микрокомпьютеры. 7.1. Двоичные логические связи В двоичных системах управления требуются конструкционные элементы, с помощью которых можно соединять двоичные сигна- лы, например, сигналы бесконтактных выключателей приближения. Двоичные управляющие системы с очень большим числом сигналь- ных связей в большинстве случаев являются электронными сис- темами управления с двоичными логическими схемами либо осна- щенными микропроцессорами, системами программного управле- ния от ЗУ. Независимо от того, являются ли эти сигналы механическими, пневматическими или электрическими, среди логических операций различают функцию И, функцию ИЛИ и функцию НЕ (отрицание). Для наглядного представления этих связей выбрана форма уравне- ний (переключательных функций) с использованием алгебры ре- лейно-контактных схем и схем сигнализации. Логический элемент И посылает на свой выход сигнал со зна- чением 1, если на одном и на другом входе также имеет место сиг- нал со значением 1, например: логический сигнал, напряжение, дав- ление и т. д. (табл. 7.1). 192 Таблица 7.1 Логическая операция И В таблице значений функций (см. табл. 7.1) представлены все возможные коммутационные состояния для входных сигналов ,a b с указанием относящегося сюда значения функции для выходного сигнала .x Если входы ,a b проводят каждый сигнал со значением 0, то выход x также посылает сигнал со значением 0. Если на входе a имеет место сигнал со значением 0, а на входе b – сигнал со значе- нием 1, то выход x снова проводит сигнал со значением 0. Если, напротив, a проводит сигнал со значением 1, а вход b – сигнал со значением 0, то на выходе опять-таки будет сигнал со значением 0. И только если входные сигналы и a b будут сигналами со значени- ем 1, то и выходной сигнал x также будет сигналом со значением 1. В алгебре релейно-контактных (переключательных схем), име- нуемой также булевой алгеброй, такая функциональная зависи- мость выражается в виде переключательной функции ,x a b  что означает: x равен и .a b В электрической схеме функцию И реализуют на основе после- довательно включенных контактов. Только при замыкании контак- тов и a b на реле поступает электрический ток и включает контакт x (см. табл. 7.1). 193 У электронных схем существует множество форм исполнения – в зависимости от вида используемых полупроводниковых элемен- тов. Например, через резистор R протекает электрический ток (и соответственно на R подается напряжение) только в том случае, если на выводах базы двух транзисторов и a b имеет место управ- ляющее напряжение (см. табл. 7.1). Операция И механического действия может быть реализована, например, с помощью двух коленчатых рычагов (см. табл. 7.1): только когда нажаты установочные кнопки и ,a b длины хода ко- ленчатых рычагов будет достаточно, чтобы отжать болт x вправо (сигнал со значением 1). Пневматическим способом операцию И можно реализовать по- средством включенных друг за другом распределителей, приводи- мых в действие, например, за счет нагружения давлением и пру- жинного возврата (см. табл. 7.1). Оба вентиля закрыты в состоянии покоя, и лишь когда задействованы оба присоединения управляю- щей линии, выход x проводит давление. Обычно в качестве эле- мента И используется регулятор двойного давления (см. табл. 7.1). Логический элемент ИЛИ всегда посылает на свой выход сиг- нал со значением 1, если на одном входе или на другом входе или на обоих входах имеет место сигнал со значением 1. И только когда все входы проводят сигнал со значением 0, на выходе также по- явится сигнал со значением 0 (табл. 7.2). Таблица 7.2 Логическая операция ИЛИ 194 Связь между входными сигналами и выходным сигналом пред- ставлена через таблицу значений функций либо через переключа- тельную функцию ,x a b  что означает: x равно или .a b В электрической схеме функцию ИЛИ реализуют на основе па- раллельно включенных контактов. При замыкании контактов или a b (или обоих сразу) реле производит включение контакта .x При электронной схеме входы сигналов есть выводы без парал- лельно включенных транзисторов. Если на одном или на обоих вы- водах базы имеет место положительное напряжение, то включаются один либо оба транзистора. Тогда выход также проводит сигнал по- ложительного напряжения .x Для механической функции ИЛИ можно задействовать – на выбор – установочные кнопки или a b либо обе кнопки, чтобы от- жать болт x вправо (сигнал со значением 1). Пневматическим способом операцию ИЛИ можно реализовать с помощью двух распределителей. При срабатывании или a b при- соединение x оказывается под давлением. Операция ИЛИ возмож- на и с использованием перекидного клапана. Элемент НЕ (схема отрицания) вызывает изменение полярно- сти сигнала. Из сигнала со значением 1 на входе получается сигнал со значением 0 на выходе, а из сигнала со значением 0 на входе по- лучается сигнал со значением 1 на выходе (см. значения функций в табл. 7.3). Данная переключательная функция имеет вид x a и означает: x не равен .a В электрической схеме изменение полярности сигнала реали- зуют через реле с размыкающим контактом. При включении реле происходит размыкание релейного контакта, при выключении – его замыкание. При электронной схеме транзистор проводит ток, если на вы- воде его базы имеет место положительное напряжение (сигнал со значением 1) (см. табл. 7.3). В результате на резисторе R отмечает- ся падение напряжения, и выход проводит напряжение около 0 В, т. е. имеет место сигнал со значением 0. Если на базе вообще нет напряжения (сигнал со значением 0), транзистор не проводит ток, а на выходе x есть напряжение и, следовательно, имеет место сиг- нал со значением 1. 195 Таблица 7.3 Логическая операция НЕ Механический элемент НЕ меняет регулировочное направле- ние болта на обратное. При отжатии установочной кнопки вправо (сигнал со значением 1) болт x перемещается влево (сигнал со зна- чением 0), а если потянуть установочную кнопку а влево, болт пойдет вправо. Пневматическим способом операцию НЕ можно реализовать с помощью распределителя с расходом в состоянии покоя. Из семейства логических функциональных схем чаще всего находит применение серия SN 74, где логическая функция реализу- ется с использованием нескольких транзисторов. В этом случае говорят о ТТЛ-технике (англ. transistor-transistor-logic – транзи- сторно-транзисторная логика). Переключающее напряжение но- минально составляет 5 В. Для сигнала со значением 0 это напряже- ние может находиться в диапазоне от 0 до 0,4 В, а для сигнала со значением 1 – от 2,4 до 5,5 В. Среди прочих семейств переключа- тельных схем можно назвать: 2I L (англ. integrated injection logic – интегральная инжекционная логика, И2Л), ECL (англ. emitter- coupled logic – эмиттерно-связанная логика, ЭСЛ) и множество семейств MOS (англ. metal-oxide-semiconductor металлоокисный полупроводник – МОП-структура). 196 Сочетание нескольких логических операций Функция И и функция ИЛИ могут быть расширены на несколько входов или снабжены еще и схемой НЕ (НЕ И, НЕ ИЛИ), либо не- сколько логических элементов могут быть вложены друг в друга с образованием единого звена связи (табл. 7.4). Двоичные электронные функциональные схемы обычно содер- жат на одном чипе (кристалле ИС) несколько логических модулей, например сразу четыре элемента НЕ И. Таблица 7.4 Функциональные схемы соединений сигналов (примеры) П р и м е р ы Для приведенных далее заданий определить требуемые логические функции и составить функциональную схему соединений сигналов. З а д а н и е 7.1 Двигатель шпинделя x должен включаться при нажатии сиг- нальной кнопки a (сигнал со значением 1), причем смазочный насос b работает (сигнал со значением 1), а двигатель зажима ин- струмента c не работает (сигнал со значением 0). 197 Р е ш е н и е Логическая функция .x a b c   Условное обозначение на схеме З а д а н и е 7.2 Сигнальная лампа x должна загораться (сигнал со значением 1) при включении регулятора давления масла a (сигнал со значением 1) или срабатывании реле чисел оборотов b двигателя шпинделя (сигнал со значением 1) либо с приведением в действие двигателя зажима инструмента c (сигнал со значением 1), но без одновремен- ной активизации тормозной муфты d (сигнал со значением 0). Р е ш е н и е Логическая функция  .x a b c d    Условное обозначение на схеме 7.2. Алгебра переключательных схем Алгебра переключательных схем (булева алгебра, от Boole – анг- лийский математик, 1815–1864) есть математическое описание отно- шений между двоичными переменными. Существует целый набор правил, объяснить которые легче всего с помощью переключающих контактов и возможного прохождения электрического тока (табл. 7.5). 198 Таблица 7.5 Правила алгебры переключательных схем Перечислим здесь важнейшие законы алгебры переключатель- ных схем (табл. 7.6):  законы коммутативности;  ассоциативные (сочетательные) законы;  распределительные (дистрибутивные) законы;  законы отрицания (теорема Де Моргана – от De Morgan – анг- лийский математик, 1806–1871). Таблица 7.6 Законы алгебры переключательных схем с примерами Закон коммутативности: a b b a a b b a       В пределах одного булева терма И и соответственно одного булева терма ИЛИ возможна перестановка переменных Ассоциативный закон: ( ) ( ) a b c a b c a b c a b c           Переменные одной функции могут объединяться только с использова- нием скобок Дистрибутивный закон: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b c a b a c a b c a b a c             Соединение с выражениями в скоб- ках дает новые выражения в скоб- ках Теорема Де Моргана: a b a b a b a b       Отрицание терма тождественно от- рицанию переменных, если элемент ИЛИ заменяется элементом И, и на- оборот 199 П р и м е р 7.1 Перевести функцию ( ) ( )x a b c d    в функцию, содержащую только термы НЕ И. Р е ш е н и е ( ) ( ) ( ) ( );x a b c d a b c d        ( ) ( ),x x a b c d     рис. 7.1. Рис. 7.1. Решение примера 7.1 П р и м е р 7.2 Перевести функцию ( )x a b c   в термы НЕ И. Р е ш е н и е ( ) ( ) ;x a b c a b c      ( ) ,x x a b c    рис. 7.2. Рис. 7.2. Решение примера 7.2 200 Отрицание переменных получают с помощью логического эле- мента НЕ И: , .b b b c c c    П р и м ер 7.3 Перевести функцию ( ) ( )x a b c d    в функцию, содержащую только термы НЕ И. Р е ш е н и е ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( );x a b c d a b c d a b c d            ( ) ( ) ( ) ( );x x a b c d a b c d         ( ) ( ).x a b c d    В результате отрицания х получают .х Отрицание переменных достигается посредством элемента НЕ ИЛИ со значением 0 (рис. 7.3). Рис. 7.3. Решение примера 7.3 7.3. Комбинационные системы управления Систему, управляющие сигналы которой зависят только от ком- бинации ее входных сигналов, называют комбинационной системой управления. Относящаяся сюда схема может быть смонтирована с использованием элементов И, ИЛИ и НЕ. Для определения нужной 201 схемы в случае неясных условий переключений следует сначала со- ставить полную таблицу значений функций, после чего образовать либо нормальную форму ИЛИ, либо нормальную форму И. Посколь- ку любая переменная на входе может принимать значения 1 и 0, схе- ма с 2-входными переменными располагает – в соответствии с воз- можными двоичными числами – комбинациями в количестве 2n. Полная таблица значений функций содержит все комбинации вход- ных переменных с относящимися к ним выходными переменными. П р и м е р 7.4 Ковочная машина должна обслуживаться тремя, минимум – дву- мя операторами. Для этой цели оборудовано три одинаковых поста управления с кодовыми выключателями , и .a b c Чтобы машина могла включаться по сигналу 1,x  должны быть задействованы минимум два или три кодовых выключателя. Составить полную таблицу значений функций. Р е ш е н и е Три входные переменные , , ,c b a каждая из которых может при- нимать значения 1 или 0, дают 23 = 8 возможных комбинаций (рис. 7.4). Получается, что имеются как раз четыре переключатель- ные функции, отвечающие указанному выше требованию. Рис. 7.4. Полная таблица значений функций с тремя переменными 202 Нормальная форма ИЛИ воспроизводит все логические функции, способные решить поставленную задачу. Она содержит элементы И всех входных переменных для всех строчек таблицы функций, в ко- торых выходной сигнал принимает значение 1. Нормальную форму И получают на основе переключательных функций, которые не решают поставленную задачу. Если с этими функциями произвести логическую операцию НЕ, получим новую функцию, как раз показывающую путь решения данной задачи. На основе такой функции с отрицанием получают элементы И вообще всех имеющихся входных переменных, связанных между собой ло- гическим элементом ИЛИ. Нормальная форма И предпочтительнее нормальной формы ИЛИ, когда выходная переменная в полной таблице значений функций реже имеет значение 0, чем значение 1: тогда она содержит меньше логических связей. П р и м е р 7.5 Составить нормальную форму ИЛИ для таблицы значений функ- ций (см. рис. 7.4) и выполнить функциональную схему. Р е ш е н и е         ,x c b a c b a c b a c b a            рис. 7.5. Рис. 7.5. Функциональная схема для нормальной формы ИЛИ с тремя переменными 203 П р и м е р 7.6 Составить нормальную форму И для таблицы значений функций (рис. 7.6).        .x c b a c b a c b a c b a            Рис. 7.6. Функциональная схема для нормальной формы И с тремя переменными С отрицанием:        ;x x c b a c b a c b a c b a                     .c b a c b a c b a c b a           7.4. Цифровая электроника и цепи 7.4.1. Двоичные устройства на аналоговых элементах Сопротивление электрическому току в среде является одним из ос- новных параметров для большей части электрических схем. К числу первых практических использований переменного сопротивления от- носится микрофон Белла, в котором изменение давления воздуха при- водит к изменению плотности угольного порошка и его сопротивления 204 таким образом, что переменный электрический ток, протекающий че- рез угольный порошок, воспроизводит изменение давления воздуха. Зависимость величины тока, протекающего через резистор, от величи- ны сопротивления резистора определяется законом Ома V = IR, где V – напряжение, а I и R – соответственно ток и сопротивление. Если вместо резистора с сопротивлением R использовать два по- следовательно соединенных резистора с сопротивлениями R1 и R2, то 1 2 1 2 1 2( ) .V IR I R R IR IR V V       Если же к двум последовательно соединенным резисторам при- ложено постоянное напряжение и сопротивление одного из них из- меняется, то напряжение на каждом резисторе изменяется таким об- разом, что величина приложенного напряжения остается постоян- ной (рис. 7.7). Рис. 7.7. Последовательное соединение резисторов Для того чтобы получить более полное представление об изме- нении входного напряжения Uвыx в зависимости от изменения сопро- 205 тивления, рассмотрим несколько случаев. Так, если R1 = R2, то вых 1 . 2 V V Более интересным является случай, когда R1= 99R2, тогда V = I(R1 + R2) = I(100R2), и, следовательно, I = V / 100R2. Таким образом, падение напряжения на сопротивлении R2 опре- деляется произведением IR2 = (V / 100R2) R2= 0,01U. Если же R2 = 99R1, то падение напряжения на сопротивлении R2 составит 0,99V. Отсюда следует, что, если поддерживать величину сопротивления R1 постоянной, а величину сопротивления R2 изме- нять в пределах от первого до четвертого порядка, выходное напря- жение можно получать в пределах 1–99 % величины приложенного напряжения. Большая часть применений линейной электроники связана с использованием небольших напряжений для изменения сопротивления в целях получения больших изменений выходной величины. Все это относится к способам усиления сигналов. В циф- ровой электронике существенным является не изменение выходного напряжения в пределах некоторого диапазона, а тот факт, что оно может становиться приблизительно равным либо приложенному напряжению, либо потенциалу земли. В первом случае говорят, что на выходе высокий уровень, во втором – что он низкий (состояние низкого уровня). Существуют также и другие названия этих состоя- ний: «Включено»/«Выключено», ИСТИНА/ЛОЖЬ, 1/0 и т. д. Поскольку рассматриваемые электронные процессы изучаются в физике твердого тела, то здесь будет приведено лишь краткое опи- сание физических явлений в электронных приборах. Как известно, атомы примесей вводятся в кристаллическую ре- шетку для изменения структуры энергетических зон таким образом, что приложение к кристаллу управляющих потенциалов обеспечи- 206 вает изменение этих зон. Сопротивление электрическому току, про- текающему через кристаллическую решетку, в значительной степе- ни зависит от энергетических зон. Следовательно, изменение струк- туры энергетических зон сильно влияет на величину сопротивления. Так как кристалл кремния покрыт слоем окиси металла, то, соответ- ственно, полупроводниковый прибор называют прибором со струк- турой металл-окисел-полупроводник (МОП-транзистор), рис. 7.8. Приложение к затвору из окиси металла электрического поля обу- словливает изменение сопротивления. Таким образом, полевой тран- зистор со структурой «металл–окисел–полупроводник» (полевой МОП-транзистор) регулирует величину тока в зависимости от вели- чины приложенного электрического поля. Сущность работы поле- вого МОП-транзистора заключается в том, что его затвор управляет величиной тока между истоком и стоком. Физическая структура и схемное обозначение полевого МОП-транзистора даны на рис. 7.8. Рис. 7.8. МОП-транзистор Поскольку полевой МОП-транзистор можно представить в виде переменного сопротивления, управляемого потенциалом зазора, заменим переменное сопротивление R2 резисторной пары полевым МОП-транзистором (рис. 7.9). 207 Рис. 7.9. Полевой МОП-транзистор Так как сопротивление полевого МОП-транзистора изменяется в зависимости от изменения потенциала затвора, то любое сопро- тивление (в пределах диапазона сопротивлений полевого МОП-тран- зистора) можно получить посредством приложения соответствую- щего потенциала к затвору полевого МОП-транзистора. Таким об- разом, постоянное сопротивление нагрузки, изображенное в схеме как сопротивление R, можно также заменить полевым МОП-тран- зистором (см. рис. 7.9). Теперь резисторная пара образована поле- выми МОП-транзисторами, при этом сопротивление верхнего ре- зистора, соответствующее сопротивлению нагрузки Rн, фиксируется подачей постоянного потенциала затвора, а сопротивление нижнего, или переменного, резистора регулируется переменным потенциа- лом затвора. Ограничивая величину Vвх значениями, которые обеспечивают удовлетворение величины сопротивления полевого МОП-транзис- тора RMОП одному из следующих условий: МОП н9R R или МОП н(1/9) ,R R 208 можно получить выходное напряжение Vвых либо больше 0,9Ес, либо меньше 0,1Ес соответственно. Пока мы пренебрегаем переходными значениями между этими уровнями. Выходное напряжение считают высоким (Vвых > 0,9Eс) или низким (Vвых < 0,1Eс), а полупроводнико- вый прибор, схема которого показана на рис. 7.9 справа, является базовым элементом схем на полевых МОП-транзисторах. В больших интегральных схемах (БИС, схемы с большим уров- нем интеграции) в одном (монолитном) кремниевом кристалле раз- мещаются тысячи таких приборов. Технология БИС, в которой ис- пользуются р-канальные МОП-транзисторы, позволяет получать монолитный центральный процессор (ЦП). Соотношения между входными и выходными напряжениями имеют логические анало- гии, что следует из приводимого ниже анализа. Поскольку полупроводниковые приборы выполняются на одном кристалле, в схеме на рис. 7.10 изображена общая подложка. Схема работает таким образом, что низкому входному напряжению соот- ветствует высокое выходное напряжение и, наоборот, высокое вход- ное напряжение обеспечивает низкое напряжение на выходе. Рис. 7.10. Схема с общей подложкой Способность этого физического прибора инвертировать напря- жение имеет логическую аналогию с функцией НЕ, т. е. логическое 209 описание этой зависимости есть ВЫХОД = НЕ (ВХОД). Но одной только схемы НЕ недостаточно для реализации различных других логических операций. Расширим область применения МОП-тран- зисторов, рассмотрев схему с двумя последовательно включенными переменными сопротивлениями RA и RB. Так как нас интересуют только состояния с весьма большим и малым сопротивлениями (по отношению к сопротивлению нагрузки), то очевидно, что сумма обоих сопротивлений мала относительно сопротивления нагрузки только в том случае, когда величины RA и RB незначительны. В схе- ме с двумя полевыми МОП-транзисторами, соединенными последо- вательно с нагрузочным полевым МОП-транзистором (рис. 7.11), выходное напряжение будет низким лишь в том случае, когда вход- ные напряжения VA и VB высокие. Поскольку инверсия сохраняется, логическое выражение, описывающее эту зависимость, имеет вид вых ( И ).A ВK НЕ V V Рис. 7.11. Последовательное соединение двух полевых МОП-транзисторов 210 Это выражение настолько часто употребляется, что сокращенно названо логической функцией NAND (НЕ И). Черта над символами, плюс ( + ) и точка (•) в системе стандарт- ных логических обозначений в электронике соответствуют логиче- скому отрицанию, операциям ИЛИ и И соответственно. В данной си- стеме обозначений выражение для выходного напряжения примет вид ВЫХОД .A B  Символы, соответствующие напряжениям, здесь вообще опуще- ны, поскольку для нас интерес представляют прежде всего логиче- ские соотношения и только затем – уже физические величины. При- бор с цепью общей подложки, реализующий эту логическую функ- цию, показан на рис. 7.12. Так как мы будем рассматривать только полевые МОП-транзисторы на общей подложке, цепь подложки схематически изображать в дальнейшем не будем. Две схемы без цепи подложки показаны на рис. 7.12, при этом под каждой элект- рической схемой дано ее логическое обозначение. Рис. 7.12. Схемы без цепи подложки 211 Из сказанного выше следует, что логическую схему ИЛИ можно построить на двух параллельно включенных полевых МОП-тран- зисторах. Фактически она выполняется в виде инвертора или схемы НЕ ИЛИ, по тем же соображениям, что и схема НЕ. Можно было бы построить логические схемы И и ИЛИ, подав выходное напряжение на вход инвертора, но дополнительные затраты в этом случае, т. е. лишний инвертор, не оправданны. На языке теории множеств соответствующие схемы изображены на рис. 7.13. Рис. 7.13. Схемы множеств на основе теории множеств Причины, обусловившие переход к двоичным системам, весьма разнообразны, но, пожалуй, самым очевидным достоинством таких систем является снижение требований, предъявляемых к выходу дво- ичной схемы по сравнению с выходом аналоговой схемы. Информация в аналоговой схеме представлена в виде величины напряжения (или тока), и любые отклонения от требуемого значения, даже самые ма- лые, приводят к потере информации. С двоичной схемой связан всего лишь 1 бит информации, значение которого определяется тем, в каком из двух возможных состояний находится выход схемы. Рассмотрим проблему передачи фиксированного количества ин- формации, например 20 бит, посредством электронного сигнала. Каждый бит информации позволяет сделать выбор между двумя равновероятными вариантами; поэтому с использованием 20 бит можно представить 220 или 1048576 возможных вариантов. Таким образом, весь диапазон выходного сигнала делят на 220 равных час- тей и, определяя, в какой части этого диапазона находится аналого- вый выходной сигнал, выделяют 20 бит информации. 212 Для диапазона напряжений 0–10 В приращение составляет 10 мкВ, и сконструировать реальную схему с такой точностью в пределах существующих диапазонов изменения рабочих температур и помех очень трудно или, по крайней мере, дорого. Один из вариантов ре- шения проблемы заключается в использовании 20 двоичных схем, каждый выход которой несет 1 бит информации. Хотя это и ведет к увеличению числа используемых схем, зато стоимость каждой такой схемы значительно снижается. Рассмотрим другой пример. Получение 40 бит информации обес- печивается либо аналоговой схемой, способной генерировать и выде- лять напряжение 10 пВ, либо 40 обычными двоичными схемами типа «Включено/Выключено». Очевидно, что при обработке большого количества информации из-за разницы в стоимости предпочтение отдается двоичным схемам. Диаграммы на рис. 7.14 иллюстрируют информационные возможности аналоговой и двоичной схем. Рис. 7.14. Информационные возможности аналоговой и двоичной схем В аналоговой схеме напряжение помех в одно приращение, до- бавленное к выходному сигналу на любом уровне, искажает ин- формацию, тогда как в двоичном устройстве это возможно лишь в определенной области от порога срабатывания. Добавление помех к любому другому значению двоичного выхода не оказывает ника- кого влияния на работу схемы. Даже эту критическую для двоич- ных схем область можно исключить, образовав «запрещенную зо- ну», разделяющую две области, при условии, что (за исключением переходов) уровень выходного напряжения всегда должен быть выше (в состоянии «Включено») или ниже (в состоянии «Выключе- но») этой зоны. Данная зона является запрещенной в следующем смысле. Изготовитель прибора гарантирует, что при выполнении определенных довольно простых требований в процессе его эксплу- 213 атации уровень напряжения включения никогда не станет ниже ми- нимального значения, а уровень напряжения выключения никогда не превысит установленной величины (при отсутствии помех). Большая часть СИС, используемых для сопряжения БИС на МОП- структурах, – биполярные ТТЛ-схемы. Уровни напряжения для это- го семейства приборов показаны на рис. 7.15. Рис. 7.15. Уровни напряжения для приборов СИС: 1 – гарантированный диапазон выходного напряжения для логической 1; 2 – гарантированный запас помехоустойчивости постоянной составляющей для логической 1; 3 – гарантированный запас помехоустойчивости постоянной составляющей для логической 0; 4 – гарантированный диапазон выходного напряжения для логического 0; 5 – допустимый диапазон входного напряжения для логической 1; 6 – для входных сигналов входного напряжения для логического 0 Самые простые вентильные схемы, или просто вентили, извест- ны как схемы И, ИЛИ, НЕ ИЛИ и НЕ И. Название схем связано с их обычным использованием. Вентиль И — схема с N входами и од- ним выходом; при этом на выходе имеет место высокий уровень сигнала в том случае, когда на всех входах также высокий уровень 214 сигналов (т. е. вход 1 И вход 2 И вход 3 И...). Работа такой схемы определяется таблицей истинности, представленной на рис. 7.16 вместе с условным обозначением вентиля. Таблица истинности схемы ИЛИ Обозначение схемы ИЛИ на два входа A B  A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Рис. 7.16. Таблица истинности и обозначение схемы ИЛИ Для простоты на рис. 7.16 дано условное обозначение схемы И только на два входа. Схема названа вентилем (gate), потому что, как видно из таблицы истинности, один входной сигнал можно исполь- зовать для прохождения (gating) через схему другого сигнала. Так как схема полностью симметрична, сигнал на входе А назовем услов- но управляющим сигналом, а сигнал на выходе схемы – сигналом, управляемым сигналом А. Пусть сигнал на входе В – последователь- ность прямоугольных импульсов, а на входе А – последовательность импульсов гораздо большей длительности. Форма выходного сигна- ла в зависимости от формы входных сигналов показана на рис. 7.17. Рис. 7.17. Зависимость формы выходного сигнала от формы входных сигналов Другой основной двоичной логической схемой является вентиль ИЛИ. Вентиль ИЛИ – схема с N входами и одним выходом, на ко- 215 тором устанавливается сигнал высокого уровня в том случае, если хотя бы на одном из входов действует сигнал высокого уровня (т. е. вход 1 ИЛИ вход 2 ИЛИ вход 3 ИЛИ...). Таблица истинности и условное обозначение этого вентиля показаны на рис. 7.18. Таблица истинности схемы ИЛИ Обозначение схемы И на два входа A B  A*B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Рис. 7.18. Таблица истинности и условное обозначение вентиля ИЛИ Форма выходного сигнала при действии на входах таких же сиг- налов, как и в рассмотренном выше случае, показана на рис. 7.19. Рис. 7.19. Форма выходного сигнала при действии аналогичных сигналов Простейшая вентильная схема – инвертор, или схема НЕ, таблица истинности и условное обозначение которой приведены на рис. 7.20. Таблица истинности инвертора Обозначение инвентора А A 0 0 1 0 Рис. 7.20. Таблица истинности и условное обозначение инвертора 216 Использование инверторов в схемах показано на рис. 7.21. Рис. 7.21. Использование инвертора в схемах ИЛИ, И и НЕ Схема ИЛИ с инвертором (см. рис. 7.21 вверху слева) известна как схема НЕ ИЛИ. Другие схемы – вентили И и НЕ И с тремя вхо- дами и с инверторами на некоторых из них (см. рис. 7.21). Исходя из стоимости и эффективности, в качестве базовых схем ТТЛ-се- мейства используют схемы НЕ, НЕ ИЛИ и НЕ И. Еще одной базовой логической схемой является вентиль ИСКЛЮ- ЧАЮЩЕЕ ИЛИ, на выходе которого присутствует сигнал низкого уровня, если на обоих входах сигналы одинакового уровня, и высо- кого – в противном случае. Таблица истинности и условное обозна- чение вентиля ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ показаны на рис. 7.22. Таблица истинности схемы исключающее ИЛИ Обозначение схемы исключающее ИЛИ A B  A  B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Рис. 7.22. Таблица истинности и условное обозначение вентиля ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ Из таблицы истинности видно, что вентиль ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ можно использовать как компаратор для сравнения входных 217 сигналов; на выходе вентиля всегда высокий уровень сигнала при несовпадении последних. Схема ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ, реализо- ванная на рассмотренных выше вентилях, показана на рис. 7.23. Рис. 7.23. Схема ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ Функция сравнения имеет существенное значение при выполне- нии арифметических и логических операций, однако схема ИСКЛЮ- ЧАЮЩЕЕ ИЛИ представляет еще большие возможности. Следую- щая схема идентифицирует сумму S и перенос С. Из рассмотрения всех возможных комбинаций входных сигналов видно, что схема вырабатывает соответствующий сигнал суммы и сигнал переноса. Такая схема получила название полусумматора (рис. 7.24). A B  С S 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 Рис. 7.24. Схема полусумматора Схема носит такое название потому, что в ней производится сложение только первых разрядов чисел. Для сложения двух стар- 218 ших разрядов в такой схеме предусмотрены прием и прибавление переноса из предыдущего разряда. Два полусумматора, включенные так, как показано на рис. 7.25, выдают требуемый результат сложе- ния во всех случаях, что нетрудно проверить по таблице истинно- сти. Такие схемы можно включать в параллель для получения лю- бого числа разрядов. Следовательно, с учетом того, что вычитание, умножение и деление можно производить посредством инвертиро- вания и сложения, мы уже располагаем основными схемами, необ- ходимыми для использования двоичной арифметики. Свз А В Свых Сумма 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 Рис. 7.25. Схема включения двух полусумматоров При рассмотрении простых вентильных схем следует заметить, что согласно теореме де Моргана в курсе дискретной математики функцию НЕ ИЛИ можно выразить через функции И и НЕ, т. е. лю- бую логическую операцию можно свести к двум основным логиче- ским операциям – либо И-НЕ, либо ИЛИ-НЕ (рис. 7.26). 219 Рис. 7.26. Схемы выражения функции НЕ ИЛИ через функции И и НЕ Аппаратные средства на уровне вентильных схем – это интег- ральные схемы с малым уровнем интеграции. Имеются модули по- чти всех используемых логических cхем на два, три и четыре входа. Например, основные интегральные схемы семейства TTL 7400 пока- заны на рис. 7.27. Рис. 7.27. Интегральные схемы семейства TTL 7400 220 Из анализа работы схемы на рис. 7.28 видно, что это вентиль ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ, состоящий из вентилей НЕ И. Рис. 2.28. Вентиль ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ На аналогичных примерах можно показать, что как функция НЕ И, так и функция НЕ ИЛИ являются основными функциями бу- левой алгебры, через которые можно выразить все остальные ло- гические функции. Ниже приведено аналитическое доказательство. Определим функцию НЕ И как f(a, b) = ,a b тогда ( , );a f a a  ( , ), ( , ) ;a b f f a b f a b   ( , ), ( , ) .a b f f a a f b b  Переход от булевой алгебры к логическим схемам достаточно прост. Рассмотрим равенство ( ) ( ),y A B C D A B      схемная реализация которого показана на рис. 7.29. Имеются четы- ре входа для переменных и один выход результата. Из рассмотре- ния схемы сразу нельзя сказать, можно ли ее представить в более 221 простом виде. На основании булевых теорем приведенное выше равенство преобразуем к виду ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .y A B C D A B A B C D A B A B              Рис. 7.29. Схемная реализация перехода от булевой алгебры к логической схеме Таким образом, существует более простой и дешевый путь полу- чения того же выхода – реализация функции НЕ ИЛИ переменных А и В, так как выход не зависит от переменных С и D. В качестве примера использования дискретных логических вен- тилей рассмотрим следующий. П р и м е р 7.7 Я пойду в кино, если идет хороший фильм и есть машина или если телевизор сломан и нет дождя. Построить схему, которая даст от- вет, пойду ли я в кино, при задании соответствующих условий. Условие можно записать в виде логического выражения F(A, В, С, D) = (A·B) + (C·D), где А – демонстрируется хороший фильм; В – есть машина; С – телевизор сломан; D – дождя нет. 222 Схемная реализация этого выражения показана на рис. 7.30. Подсоединив выключатели к входам А, В, С и D и индикаторную лампочку к выходу, самостоятельно получить ответы на вопросы, сформулированные в виде выражения F (ДА, НЕТ, НЕТ, ДА). Рис. 7.30. Схема к примеру 7.7 7.4.2. Цифровые стандартные блоки Самые простые из существующих в настоящее время стандарт- ных блоков – блоки, выполняющие логические операции И,' НЕ И, ИЛИ, НЕ ИЛИ и ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ над одноразрядными двоичными словами, число которых находится в пределах 2–12. Имеются блоки сложения двоичных кодов различной длины, блоки для подсчета двоичных импульсов на входе и выдачи их суммы в двоичном коде, а также счетчики по модулю N, вырабатывающие один выходной импульс на каждые N входных импульсов. Блоки компараторов сравнивают два слова в двоичном коде, находящихся в двух входных портах, и выдают в третий порт ре- зультат сравнения. Блоки умножения умножают два двоичных числа с прибавлением третьего для получения арифметического результа- та в двоичном коде. Существуют стандартные блоки-дешифраторы двоичных n-раз- рядных слов команд для выбора одной из 2n выходных линий и аналогичные функциональные блоки, выбирающие 1 из 2n входных линий. Фиксаторы принимают и хранят n-разрядные слова, предна- значенные для последующего использования. Последовательные регистры получают последовательные данные и хранят их в виде цепочки рециркуляции. Преобразователи принимают n-разрядные 223 последовательные слова, поступающие по входной линии, и выдают их в параллельном коде на n выходов или последовательно на вы- ходную линию. Имеются также стандартные блоки, выполняющие как ту, так и другую функцию. Шифраторы приоритетов выделя- ют сигнал с наивысшим приоритетом из любой комбинации сигна- лов, поступающей по 2n входным линиям, и выдают n-разрядное двоичное слово, идентифицирующее эту линию. К увеличиваю- щемуся числу блоков всех типов относятся так называемые три- стабильные устройства, которые кроме обычных двух состояний «Включено/Выключено» имеют третье состояние, в котором они для остальной части схемы фактически «не существуют». Имеются блоки, преобразующие n-разрядные слова в m-разряд- ные, где т – любое целое число, а также блоки, предназначенные для накопления 16 384 бит данных и случайной выдачи любого из них за один временной цикл. Многие из устройств можно группиро- вать для увеличения либо числа обрабатываемых слов, либо длины последних, либо числа и длины слов одновременно. Одни стандарт- ные блоки предназначены для выдачи последовательности импуль- сов в зависимости от входного слова, другие – для выработки при- знака четности при передаче или контроле на четность принимаемых кодов. Некоторые запоминающие регистры изменяют свое содержи- мое в зависимости от команды в порте управления, а блоки памяти, адресуемые по своему содержимому, делают возможным ассоциа- тивный поиск данных на основе некоторых характеристик самих данных. Многофункциональные блоки, такие как АЛУ и ЦП, выби- рают команды и данные, выполняют команды и выдают результаты. Применяется блок асинхронного приемопередатчика, который в режиме передачи принимает параллельные слова, добавляет к ним признаки начала, четности и конца слова и передает эту информа- цию последовательно в аналогичный блок другой асинхронной си- стемы, работающей в режиме приема. Приемник идентифицирует признак начала слова, принимает последовательное слово, контро- лирует его на четность, отыскивает признак конца слова, исключает дополнительные признаки, затем выдает признак приема слова и само слово в параллельном коде. Другие внутрисистемные блоки принимают до п m-разрядных кодов с одной скоростью и передают их с другой скоростью. Импульсные синхронизаторы предназначе- 224 ны для синхронизации поступающих импульсов с тактовыми им- пульсами системы или с другой командой синхронизации. Блоки сопряжения имеют одинаковые характеристики, что поз- воляет их непосредственно соединять. Есть также блоки сопряже- ния семейств, входы которых имеют характеристики одного семей- ства, а выходы – характеристики другого семейства. 7.4.3. Аналого-цифровые стандартные блоки Кроме чисто цифровых стандартных блоков, которые были опи- саны выше, имеется много различных аналого-цифровых блоков, включающих преобразователи кода во временные интервалы, циф- ро-аналоговые (ЦАП) и аналого-цифровые преобразователи (АЦП) напряжения. По одному или более входу или выходу эти блоки совместимы с одним семейством ИС, по остальным входам и выхо- дам – с цифровыми преобразователями напряжения. Эти устройства можно эффективно использовать для сопряжения цифровых систем с аналоговыми. В качестве наглядного примера таких устройств можно привести светоизлучающий диод, воспроизводящий светящимися точками или линиями буквенный символ. Блок противоположного типа – фотодиодная матрица, выдающая двоичные 0 или 1 в зависимости от интенсивности света на соответствующем фотодиоде. Еще одним подобным устройством является фотоматрица с автоматическим сканированием, состоящая из большого числа рядов элементов, сканирование которых осуществляется аналогично тому, как в те- левидении. Входная величина – интенсивность света, выходная – последовательность импульсов зарядки, амплитуда которых прямо пропорциональна интенсивности света соответствующего фотодио- да. Синхронизация автоматического сканирования матрицы может осуществляться тактовыми импульсами, совместимыми с устрой- ствами соответствующего семейства цифровых блоков. Существует также большое количество различных преобразователей световых величин в код и кода в световые величины, которые можно считать основными стандартными блоками для разработчиков. Цифро-аналоговые преобразователи напряжения преобразуют n-разрядные двоичные коды, поступающие на дискретные входы, в один из 2n возможных уровней напряжения. Аналого-цифровые 225 блоки, наоборот, устанавливают, какому из 2n уровней напряжения соответствует уровень входного напряжения, и выдают n-разряд- ный двоичный код, содержащий эту информацию. Другие блоки реагируют на переходы пороговых значений, из- меняя состояние своего выхода с двоичного 0 на двоичную 1, когда такие переходы имеют место. Нуль-детекторы изменяют состояние своего выхода, если входное напряжение переходит уровень 0. Не- которые пороговые детекторы являются приборами мгновенного действия в том смысле, что в каждый момент времени выход опре- деляет состояние входа, тогда как другие устройства срабатывают только при переходе входным напряжением определенного порого- вого уровня, причем это состояние запоминается до поступления команды СБРОС. Более сложные блоки измеряют непрерывное входное напряже- ние и выдают четырехразрядный двоично-десятичный код для управ- ления дисплеями или другими цифровыми блоками. Таймер, совме- стимый с цифровыми блоками и вырабатывающий импульсы дли- тельностью от микросекунд до часов, является в высшей степени универсальным стандартным блоком. Имеется довольно большое семейство линейных устройств. Так, для сопряжения стандартных цифровых блоков с нерегулируемым источником питания можно использовать прецизионные регуляторы напряжения. К другим линейным устройствам, которые редко ис- пользуются с дискретными системами, относятся усилители мощно- сти, видеоусилители, операционные и дифференциальные усилители. Имеются также детектор ЧМ-сигналов, блок ограничителя, телевизи- онные системы, блок балансного модема для системы связи. Таким образом, использование элементов с переменным сопро- тивлением в схеме делителя напряжения дает возможность полу- чить двустабильный или двоичный схемный элемент. Для простоты из большого разнообразия двустабильных элементов здесь рассмот- рено только использование полевых МОП-транзисторов. На не- скольких простых схемах с этими приборами показано, что зависи- мость выходных напряжений от входных напряжений определялась логическими функциями НЕ, И, ИЛИ и т. д. Затем посредством комбинации различных вентилей были получены схемы компарато- ра (ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ) и сумматора. Эти основные логиче- ские схемы можно использовать как для выполнения логических 226 операций и операций двоичной арифметики в компьютере, так и для конструирования более сложных элементов со средним уровнем интеграции. Выше был рассмотрен перечень некоторых классов компонентов СИС. Что касается основных вентилей, то здесь следует заметить, что логическая интерпретация функции вентиля – дело разработчика. Согласно принятому условию в терминах «положительной логики» считают входной сигнал 5 В высоким уровнем или ИСТИНОЙ, а 0 В – низким уровнем или ЛОЖЬЮ. В этом случае устройства ра- ботают так, как описано выше. Если же для сигналов 0 и 5 В были бы приняты противоположные значения, то пришлось бы использо- вать теорему де Моргана для определения того, что вентиль НЕ И положительной логики становится вентилем ИЛИ отрицательной логики и т. д. В принципе, возможно любое обозначение при усло- вии постоянства его использования. 7.4.4. Запоминающие элементы Схемы, рассмотренные выше, являлись схемами мгновенного срабатывания в том смысле, что выходной сигнал следовал непо- средственно за входным сигналом. Во многих случаях необходимо сохранить информацию о том, что какое-то событие имело место. Вряд ли найдет применение счетчик импульсов, который возвраща- ется в исходное состояние всякий раз после прохождения импульса. Необходима схема, которая могла бы переходить из своего исход- ного устойчивого состояния в другое устойчивое состояние, т. е. двустабильную схему, остающуюся во втором состоянии по проше- ствии события, вызвавшего ее переход в это состояние. Как уже было показано выше, все комбинационные логические схемы можно построить только на вентилях НЕ И; поэтому можно создать запоминающий элемент посредством использования лишь этих вентилей. В основу построения такого элемента положим сле- дующий метод: соединим вентили таким образом, чтобы входной сигнал, поступающий на один из них, как-то воздействовал и на другие вентили. Такое соединение является, вообще говоря, необ- ходимым, так как один вентиль НЕ И не может запоминать инфор- мацию. Поэтому выход одного вентиля НЕ И подсоединим обратно к входу (или входам) других вентилей НЕ И схемы. Проанализиро- 227 вав вопрос о необходимости обратной связи, попытаемся опреде- лить минимально необходимое число таких вентилей. В данном случае интуитивно можно предположить, что двустабильности можно достигнуть, обеспечив симметричность схемы, а для наибо- лее простой двухвентильной схемы обратная связь осуществляется таким образом, что выход одного вентиля НЕ И соединен со входом другого вентиля. Такая схема с перекрестными соединениями пока- зана на рис. 7.31. Рис. 7.31. Схема с перекрестными соединениями Предположим, что на нижний вход схемы действует сигнал, со- ответствующий логической 1, а на выходе Q – логическому 0. Тогда на выходе Q будет сигнал, соответствующий логической 1, и если на вход R также воздействует сигнал, соответствующий логической 1, то схема будет находиться в устойчивом состоянии. Предположим, что вход R управляющий. Рассмотрим, что произойдет со схемой, если на входе R установится низкий уровень. В соответствии с таб- лицей истинности вентиля НЕ И на выходе Q в этом случае устано- вится высокий уровень, который вызовет установку низкого уровня на выходе Q. То что на выходе Q уровень сигнала стал низким, не скажется на уровне выхода Q, который останется высоким. Это со- стояние схемы также устойчивое. Важно, что, когда уровень на 228 входе R становится опять высоким, уровень на выходе Q остается неизменным. Таким образом, схема в целом фиксирует тот факт, что «на вход R поступил 0 в какой-то момент времени в прошлом». Полная симметрия, разумеется, обеспечивает выполнение симмет- ричной операции. Вместо уровня, соответствующего логической 1, на нижнем входе может быть произвольный уровень S. Таблица ис- тинности для такой схемы, получившей название RS-триггера, при- ведена рядом с ее схемным обозначением на рис. 7.32. R S  Q Q 0 0 Неопределенно 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 Не изменяется Рис. 7.32. Схема RS-триггера и таблица истинности Таким образом, посредством простой и недорогой схемы обес- печивается запоминание информации. Подобная элементарная схе- ма называется фиксатором, так как происходящие на любом из ее входов соответствующие изменения переводят схему в другое со- стояние. В настоящее время имеется много других схем для запо- минания информации, но все они работают по принципу элемен- тарного фиксатора. Фиксатор вводит в рассмотренные схемы новый параметр – предысторию. До его ввода состояние выхода любой схемы на вен- тилях зависело от сигналов на ее входах в конкретный момент вре- мени. Теперь же можно строить схемы, сигнал на выходе которых будет зависеть не только от входных, но и от предшествующих сиг- налов. При такой возможности запоминания встает новая проблема. 229 Во всех приведенных выше рассуждениях предполагалось, что, по- добно множеству электронов, основные элементы, по существу, идентичны. Тот факт, что элементы практически никогда не бывают в точности одинаковыми, означает, что одни из них будут изменять состояние быстрее других, и поэтому могут возникнуть непреду- смотренные промежуточные состояния. Ранее эти состояния не ока- зывали никакого влияния из-за их скоротечности, однако сейчас появилась возможность запоминания информации, обусловленной этими (нежелательными) состояниями. Таким образом, проблема проектирования во многих случаях становится труднопреодолимой. Эта особенность большинства комбинационных логических схем получила название проблемы состязаний или гонок. Прежде чем приступить к ее рассмотрению, определим элементарный RS-триг- гер в терминах перекрестных вентилей НЕ ИЛИ (рис. 7.33). R S  nQ 1nQ  0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 Рис. 7.33. Схема элементарного RS-триггера В таблице истинности Qn обозначает состояние выхода триггера до изменения состояния входов, a Qn+1 – состояние выхода триггера после изменения состояния его входов. Как нетрудно видеть, ника- ких изменений не происходит, когда на обоих входах низкий уро- вень. Поступление импульса на вход «Установка» вызывает пере- ход выхода Q в состояние с высоким уровнем, а сигнал, подаваемый по линии «Сброс», возвращает выход Q в исходное состояние, ко- торому соответствует низкий уровень. Если на обоих входах будут одновременно находиться высокие уровни, то с установкой на входе 230 «Сброс» низкого уровня определится состояние схемы, которое до этого не было определено. Произвольным образом за стандартную схему RS-триггера выберем эту схему, а не схему на вентилях НЕ И, рассмотренную ранее. Проблема «состязаний» в комбинационных схемах связана с тем, что сигналы, проходящие через различные логические вентили, могут изменяться от вентиля к вентилю на величину, достаточную для ложного переброса схемы. Предположим, что задержка распростра- нения сигнала в цепи А минимальная, а в цепи В максимальная. Схе- матически такой случай показан на рис. 7.34. Если бы все компонен- ты одной цепи имели значительно меньшую величину времени за- держки прохождения сигнала, чем компоненты другой цепи, ложное срабатывание наверняка имело бы место и было бы зафиксировано. Рис. 7.34. Случай задержки распространения сигнала в цепи Одним из способов устранения этого недостатка является блоки- ровка срабатывания триггера на время максимальной задержки. RS- триггер с такой блокировкой (рис. 7.35) получил название синхронизи- 231 руемого триггера. Синхронизируемый RS-триггер срабатывает от вы- сокого уровня, поступающего по любому из входов «Сброс» или «Установка», если на входе «Синхронизация» также высокий уровень. Рис. 7.35. Синхронизируемый триггер Подобное прохождение сигналов через схему является эффектив- ным способом решения проблемы «состязаний». В системах с такими схемами весь непрерывный временной интервал работы собственно комбинационных логических схем разделен на дискретные времен- ные интервалы, связанные с синхронизируемыми системами. Схемы такого типа называются последовательностными, так как в них вме- сто состязаний имеет место последовательная смена состояний. Си- стема с одним синхронизирующим сигналом называется синхронной последовательностной системой. Если же используется несколько независимых синхронизирующих сигналов, то такая система называ- ется асинхронной последовательностной системой. Скорость пере- дачи информации в последовательностной схеме определяется часто- той генератора синхроимпульсов. Высокочастотные сигналы с узки- ми синхронизирующими импульсами используются для получения максимальной скорости передачи информации. Необходимость в запоминании значительных объемов инфор- мации вызвала создание интегральных схем, состоящих из большо- го числа запоминающих элементов. Основной запоминающий эле- мент в таких схемах называется ячейкой памяти. Ячейки памяти изготовляют с использованием одного, трех, четырех, шести или 232 большего числа транзисторов. Простейшая ячейка памяти – одно- транзисторная схема на полевом МОП-транзисторе (рис. 7.36), ко- торый выполняет функцию вентиля, т. е. когда транзистор включен, схему можно рассматривать как замкнутую цепь с нулевым сопро- тивлением, а когда выключен, – как разомкнутую цепь фактически с бесконечно большим сопротивлением. Рис. 7.36. Однотранзисторная схема на полевом МОП-транзисторе Таким образом, в течение цикла «Запись» конденсатор заряжает- ся до уровня, соответствующего логической 1 или логическому 0, от шины выбора столбца полевого МОП-транзистора, управляемого шиной выбора ряда. Во время цикла «Чтение» заряд конденсатора изменяет потенциал отключенной шины выбора столбца, которая соединена с входом усилителя считывания. Конденсатор должен быть достаточно большой емкости для получения считываемого сигнала требуемой величины и небольших размеров для большей плотности расположения элементов. Во избежание уменьшения за- ряда конденсатора вследствие утечки требуется его периодическая регенерация, а так как процесс чтения связан с разрушением дан- ных, содержимое ячейки необходимо восстанавливать после каждо- го цикла чтения. Ячейки памяти с регенерацией называются дина- мическими в отличие от статических ячеек, в которых не требуется дополнительных синхронизирующих и управляющих схем, связан- ных с этим процессом. 233 Число запоминающих ячеек на кристаллах памяти определяется технологией изготовления кристаллов. Статические ЗУ имеют па- мять 4096 бит, организованную в виде матриц из 32  32 запомина- ющих элементов. Стандартная память динамических ЗУ на кри- сталле включает 16 384 бит. Статические элементы проще использовать в схемах, но при этом увеличиваются потребляемая мощность и размер кристалла. В ди- намических ячейках на полевых МОП-транзисторах для обеспе- чения временного хранения данных в виде заряда используется паразитная емкость. Это делает ненужными элементы нагрузки, но приводит к появлению проблемы утечки заряда. Поскольку время утечки заряда с конденсатора определяется миллисекундами, необ- ходима регенерация, или восстановление, заряда. Для схем регене- рации обычно требуются специальные схемы синхронизации, кото- рые усложняют аппаратуру и увеличивают ее стоимость. Это оправ- данно лишь в том случае, когда стоимость элементов нагрузки больше стоимости дополнительных схем. Так как с каждым разря- дом памяти связаны два элемента нагрузки, значительная экономия имеет место лишь при большом числе разрядов (более 20 000). Таким образом, память объемом 16 кб слов и более следует строить на динамических элементах, в других случаях можно ис- пользовать статические элементы. Многие запоминающие устрой- ства могут работать при пониженных уровнях напряжения, что приводит к уменьшению потребляемой мощности без потери дан- ных. Такой режим работы, называемый режимом хранения, эффек- тивен во многих случаях. Время обращения к МОП-памяти состав- ляет 0,1–2,0 мкс. Время обращения к ТТЛ-памяти гораздо меньше (50–150 нс), но зато больше потребляемая мощность и меньше чис- ло разрядов на один кристалл при большей стоимости. 7.4.5. Счетчики На рис. 7.37 для сравнения приведены выходной сигнал схемы с двумя устойчивыми состояниями, или T-триггера, и входной син- хронизирующий сигнал. Легко заметить, что двум входным син- хронизирующим импульсам соответствует только один выходной импульс. Такое соотношение входного и выходного сигналов – ха- рактерная особенность схем деления на два. 234 Рис. 7.37. Выходной сигнал Т-триггера и входной синхронизирующий сигнал Так как метод деления на два с выделением остатка используется для преобразования десятичных чисел в двоичные, то ясно, что по- следовательное соединение схем деления на два можно использо- вать для выдачи в двоичном виде любого произвольного числа им- пульсов. На рис. 7.38 показаны три схемы деления на два, соеди- ненные последовательно для получения схемы деления на восемь. Здесь применяются JK-триггеры с единичными уровнями на обоих входах. Для иллюстрации счета на временной диаграмме показан выход каждого триггера. Так как для синхронизации общий син- хронизирующий сигнал не используется, то эта схема асинхронная. Поскольку триггеры ТТЛ-типа обычно перебрасываются отрица- тельным фронтом входного сигнала, уровень выходного сигнала каждого каскада изменяется с изменением уровня входного сигнала до нуля. Когда уровень входного синхронизирующего сигнала пер- вого каскада становится низким, уровень выходного сигнала этого каскада делается высоким. Выходной сигнал первого каскада явля- ется входным синхронизирующим сигналом для второго каскада. Однако уровень выходного сигнала второго каскада не изменится до тех пор, пока уровень его входного синхронизирующего сигнала не станет низким. Уровень выходного сигнала первого каскада так- же останется прежним, пока на его вход не поступит следующий 235 синхронизирующий импульс, по заднему фронту которого выход- ной уровень станет высоким. Аналогичным образом при поступле- нии на счетный вход каждого каскада двух импульсов вырабатыва- ется только один выходной импульс. Следовательно, N-каскадная схема делит частоту входных импульсов на 2N. Рис. 7.38. Схемы деления на два Предположим, что схема находится в исходном состоянии, т. е. на выходе каждого каскада низкий уровень. Характерная особен- ность схемы деления на N проявляется в том случае, если просмат- ривать состояния всех ее каскадов перед поступлением первого и каждого последующего входных импульсов. Ниже в табл. 7.8 при- ведены состояния всех выходов QA, QB И QC, просмотренные перед приходом каждого входного синхронизирующего импульса. 236 Таблица 7.8 Состояния выходов ,AQ ,BQ CQ Число входных импульсов CQ BQ AQ 0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 3 0 1 1 4 1 0 0 5 1 0 1 6 1 1 0 7 1 1 1 8 0 0 0 Как видно из таблицы, выходы каскадов подсчитывают двоич- ные импульсы, поступающие на вход такой схемы. Цикл работы счетчика равен 2N. Соединяя выходы последующих каскадов с вхо- дами предшествующих каскадов, можно получить счетчик по лю- бому модулю, а затем его зациклить. Имеются различные конфигу- рации таких счетчиков и делителей частоты. 7.4.6. Сдвиговые регистры Выше была приведена схема двоичного счетчика, ряд триггеров которой соединен таким образом, что выход каскада п связан со счетным входом каскада п + 1. Схему используют для управления дисплеем или другими цифровыми схемами. Рассмотрим, какие еще схемы можно получить посредством последовательного соединения триггеров. Схема на триггерах D-типа, в которой выход каждого предыдущего каскада соединен с входом последующего, показана на рис. 7.39, синхронная, так как использован единый синхронизи- рующий сигнал. Предположим, что первоначально она находится в исходном состоянии (на всех выходах низкий уровень). Анализ работы такой схемы показывает, что сигнал на входе первого каска- 237 да проходит на его выход QA с поступлением первого синхронизи- рующего импульса. С приходом второго синхронизирующего им- пульса эти данные передаются на выход второго каскада QB. Рис. 7.39. Схема на триггерах D-типа Аналогичным образом сдвигается вправо первый разряд данных с приходом каждого последующего синхронизирующего импульса. Так как процесс сдвига всех разрядов одинаков, входные данные записываются в виде выходных сигналов триггеров каскадов таким образом, что их первый разряд оказывается самым крайним справа. Таким образом, для записи п-разрядного слова данных необходимо п синхронизирующих импульсов. Такие схемы временного хранения данных называются регистрами. Регистры, обладающие возможно- стью ввода и вывода данных посредством их последовательного сдвига влево и вправо, получили название сдвиговых регистров. Аналогично другим эффективным модулям имеется большое число сдвиговых регистров на ИС различной конфигурации. Диапа- зон изменения длины регистров – от 4 до 1000 разрядов и более, т. е. возможно более 1000 последовательных разрядов на модуль. Сдвиговые регистры с несколькими разрядами используются для вычислений и временного хранения данных, тогда как сдвиговые регистры с большим числом разрядов – для построения запоми- нающих устройств на ИС. В регистрах небольшой длины выход имеют все разряды, тогда как в длинных регистрах возможен до- ступ только к входу первого и выходу последнего разряда. В приво- димой ниже табл. 7.9 даны состояния четырехразрядного регистра при последовательной записи кода 1101 четырьмя синхронизирую- щими импульсами. 238 Таблица 7.9 Состояния четырехразрядного регистра Состояние Вход данных QA QB Qc QD Начальное состояние Тактовый импульс 1 Тактовый импульс 2 Тактовый импульс 3 Тактовый импульс 4 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0. 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 Способом хранения данных в сдвиговых регистрах с периодиче- ским обращением к каждому разряду памяти является петля рецир- куляции. Выход такого регистра связан с его входом, и данные сдви- гаются по бесконечному циклу. Очевидно, что должен существо- вать способ прерывания рециркуляции для ввода данных в память. Ввод производится по импульсу «Запись», который управляет рабо- той вентиля входной цепи. 7.4.7. Кодирование и стандартные СИС-блоки В предыдущих главах на основе сочетания значений некоторого числа входных двоичных переменных мы получали значения мень- шего числа выходных двоичных переменных, являющихся функ- цией сочетания входных сигналов. Так, например, в соответствии с уравнением Y = АВ + CD четыре двоичные переменные А, В, С и D заменяются одной пере- менной Y, которая определяет истинность или ложность логического отношения между переменными в правой части уравнения. Это од- но из множества возможных отношений, которые могут сущест- вовать между переменными А, В, С и D. В соответствии с двоичной интерпретацией этих четырех переменных мы можем последова- тельно рассмотреть все возможные комбинации их значений, исполь- зуя обычное условие: 1 = ИСТИНА, а 0 = ЛОЖЬ. Таким образом, 239 между «полностью ложным» (А, В, С, D) = (0, 0, 0, 0) и «полностью истинным» (1, 1, 1, 1) входами находится набор всех возможных ком- бинаций переменных. Было отмечено наличие однозначного соот- ветствия между этими состояниями и числами в двоичной системе счисления. Теперь заметим, что для каждой комбинации значений переменных существует возможность построения по крайней мере одного уравнения, принимающего истинное значение только для этой комбинации. Простейшей иллюстрацией является функция И, представленная в табл. 7.10. Таблица 7.10 Функция И Двоичное число Возможная функция И четырех переменных 0000 0001 0010 0011 0y A B C D    1y A B C D    0y A B C D    0y A B C D    Из этой таблицы видно, что для N двоичных разрядов на входе легко получить два разных логических уравнения, которые можно использовать для определения требуемой комбинации значений переменных. Нас интересуют логические схемы, генерирующие множество битов информации на выходе в результате воздействия нескольких битов на входе. Схемы такого рода необходимы для ре- шения задач выбора или адресации устройств. Было рассмотрено одновременное, или параллельное, поступле- ние на схему входных сигналов. Существует множество ситуаций, в которых сигналы поступают на вход в последовательной форме. В этом случае, как и при кодировании параллельных сигналов, с каждой последовательностью входных сигналов можно сопоста- вить некоторый двоичный код. Примером подобного шифратора является двоичный счетчик импульсов. Если допустить, что вентиль на входе открыт в течение восьми временных периодов, в каждый 240 из которых может поступить импульс, то возможные последова- тельности входных сигналов могут быть однозначно определены при помощи восьмиразрядных двоичных чисел. Выходом двоичного счетчика является двоичный код, который содержит информацию о входной комбинации импульсов. Однако такая простейшая схема шифратора отображает входные последо- вательности сигналов D, F и G в одну точку, что приводит к потере информации, содержащейся во входном потоке. Различия в переста- новках можно сохранить за счет введения дополнительных разря- дов, необходимых для хранения этой информации. В то время как для описания входной комбинации из п единиц и 8 – п нулей доста- точно трех разрядов, для сохранения относительного расположения единиц и нулей необходимы восемь разрядов. При соответствую- щем расположении триггеров можно легко записать всю информа- цию последовательности импульсов восемью битами. Это как раз то, что получают в случае сдвигового регистра. Однако необходимо подчеркнуть, что счетчик не сохранит всей информации. В случае аналогового сигнала логические уравнения, приведен- ные вначале, не позволяют различать все 2 – 1 ложных состояния при выдаче неизменяемого сигнала истинного состояния. Потеря информации при использовании любого одного логического урав- нения, связывающего значения нескольких переменных, характерна для многих цифровых систем, о чем необходимо помнить при про- ектировании систем. 7.5. Автоматические системы управления в системах с памятью Здесь речь идет об автоматическом программном управлении с обратной связью, при котором очередной запрограммированный этап работы начинается после завершения предыдущего. Сохранение переключательных сигналов и состояний управления осуществляется с помощью триггеров с двумя устойчивыми состояниями, именуе- мых также «бистабильными мультивибраторами» (англ. flipflop). Они находятся либо в состоянии включения, либо в состоянии выключе- ния и соответственно их выходные сигналы (за исключением корот- кого времени коммутации) имеют значения 1 или 0. 241 Для триггеров также возможны разные формы исполнения: ме- ханические, пневматические, электрические и электронные. Кроме того, они различаются по виду и действию входных сигналов. Триггеры Триггер с раздельным входами (RS-триггер) устанавливается сигналом со значением 1 на входе S, т. е. приводится в коммутаци- онное состояние «включено» (табл. 7.11). Посредством сигнала со значением 1 на входе сброса R триггер возвращается в исходное состояние, т. е. приводится в коммутационное состояние «выклю- чено». Триггер сохраняет соответствующее коммутационное состо- яние, даже если сигналы удаляются от входов. Коммутационное состояние триггера может быть считано на выходе Q. В большин- стве случаев имеется еще выход с отрицанием Q, который прово- дит сигнал, обратный Q. Таблица 7.11 Триггеры с раздельными входами У механического триггера перекидной рычаг посредством пру- жины сжатия всегда приводится в однозначное положение (см. 242 табл. 7.11). При нажатии клавиши S осуществляется установка триг- гера, при нажатии клавиши R – его сброс в исходное положение. Ни в коем случае нельзя нажимать клавиши S и R одновременно. Типич- ным примером такого триггера является обычный тумблер. Пневматический вариант триггера с раздельными входами мо- жет быть реализован на основе 4/2-ходового импульсного вентиля. Под действием короткого импульса давления на присоединение управляющей линии R вентиль приводится в исходное положение b. При воздействии давлением присоединение S вентиль переходит в коммутационное положение а; триггер установлен. Электрическая триггерная схема состоит из двух реле с само- удерживающим контактом (см. табл. 7.11). В самоблокирующем от- ветвлении находится еще размыкающий контакт другого реле. Если посредством клавишного переключателя S устанавливается реле К1, самоудержание реле К2 немедленно прекращается. Если же задей- ствуется клавишный переключатель R, происходит сброс релейного триггера (включается К2) и прерывается самоудержание для К1. Электронные триггерные схемы обычно выполняются в виде интегральных схем (ИС), так что пользователю не обязательно раз- бираться во внутренней структуре схемы. Через входы S и R вклю- чаются два транзистора. Если под действием сигнала положитель- ного напряжения (сигнала со значением 1) на входе S транзистор V1 является токопроводящим, то выход Q проводит сигнал со зна- чением 0. Но тогда через резистор R1 и на управляющий вход тран- зистора V2 тоже поступает сигнал со значением 0, так что этот транзистор уже не проводит ток, и на выходе Q имеет место поло- жительное напряжение (сигнал со значением 1). Через резистор R2 на управляющий вход транзистора V1 подается положительное напряжение, так что V1 остается проводящим. При наличии обрат- ных сигналов S и R коммутационные состояния обоих транзисторов тоже меняются на обратные (проводящие либо непроводящие). Триггер с тактовым управлением (табл. 7.12) при появлении фронта тактового импульса принимает значение входа J или входа K, если таковое равно 1. (Неприсоединенный вход интерпретирует- ся в большинстве случаев как 1). Если на обоих входах присутству- ют сигналы со значением 1, то состояние на выходе Q изменяется с каждыми тактовым сигналом. 243 Таблица 7.12 Триггеры с входом тактовых импульсов В примере механического исполнения триггера в показанном положении рычага верхняя плоская пружина при срабатывании входит в зацепление с выемкой в перекидном рычаге и перекидыва- ет его, в то время как нижняя плоская пружина входит в предусмот- ренное в рычаге углубление и остается там. У перекинутого рычага при новом срабатывании нижняя и верхняя плоские пружины дей- ствуют обратными образом. Такой механизм часто встречается у шариковых ручек. Рис. 7.40. Входной сигнал и выходной сигнал у триггера с входом тактовых импульсов 244 Пневматическая схема (вентили 1–5) этого триггера находит применение в управлении реверсом. При срабатывании сигнального элемента 1 вентиль 3 включается в положение ,a поршневой шток цилиндра выдвигается. Из рабочей линии В посредством перекид- ного клапана 5 осуществляется переключение распределителя в по- ложение б. Повторное короткое срабатывание сигнального элемен- та 1 вновь включает вентиль 3 в положение б, и от рабочей линии А через перекидной клапан 4 вентиль 2 возвращается в положение .a Поршневой шток цилиндра втягивается. Электрическая триггерная схема действует на основе реле по- следовательного включения с двумя коммутационными положе- ниями. С каждым импульсом тока рабочие контакты меняют свое положение. При электронной схеме оба транзистора управляются посред- ством конденсатора. Это означает, что здесь эффективны только импульсы напряжения. Импульсы положительного напряжения (сиг- налы 0  1) попадают через диоды к транзисторам. Транзистор, не проводящий ток, становится при этом проводящим и с выдержкой времени приводит токопроводящий в данный момент транзистор в непроводящее состояние. Нередко триггеры управляются не статическими двоичными сигналами 0 и 1, а на основе изменения состояния сигналов от 1 0 (табл. 7.13). Такой способ управления называется динамиче- ским. Наряду с входами , и R S T имеются и другие управляющие входы. Они могут быть как статическими, так и динамическими. Таблица 7.13 Условные обозначения триггеров на схеме Обозначения статических входов Статический вход для входных сигналов 1 и 0 Статический вход с отрицанием   245 Продолжение табл. 7.13 Маркировка входов Вход R (вход сигнала сброса) Если сигнал принимает на R-входе значение 1, на выходе Q обязательно будет значение 0. Сброс входящего сигнала к значению 0 не вы- зывает никакого изменения состояния Вход S (вход сигнала установки) Если сигнал на входе S принимает значение 1, на выходе Q обязательно будет значение 1. Сброс входного сигнала к значению 0 не вызы- вает никакого изменения состояния Маркировка видов Вход J (вход сигнала установки на «1») Это тоже вход установки, как и вход S, с той лишь разницей, что выходной сигнал принимает дополнительное состояние, если как J, так и K имеют значение 1 Вход K (вход сброса) Это тоже вход сброса, как и вход RS, с той лишь разницей, что выходной сигнал прини- мает дополнительное состояние, если как J, так и K имеют значение 1 Вход G Только в том случае, если входной сигнал на входе С имеет значение 1, будут активны и все прочие входы   Вход С Только в том случае, если входной сигнал на входе С имеет значение 1, будут активны и все прочие входы Условные обозначения для динамических входов Динамический вход, при котором действу- ет изменение входного сигнала от 1 0 Динамический вход, при котором действу- ет только изменение входного сигнала от 1 0 246 Продолжение табл. 7.13 Примеры   Тригер RS-типа (с раздельными входами) Если входные сигналы на S и R имеют разные значения, выходные сигналы также будут раз- личны. Если входные сигналы затем оба при- мут значение 0, выходные сигналы останутся в прежнем состоянии. Если оба входных сиг- нала имеют значение 1, то и оба выходных сигнала также будут со значением 1, но при сбросе входных сигналов на 0 выходные сиг- налы перейдут в разряд неопределенных   Тригер JK-типа Выходные сигналы здесь такие же, как и у RS-триггера, но они всегда различны, даже если одновременно на входах J и K имеет место сигнал со значением 1. В этом случае выходы изменяют свое значение относитель- но предыдущего состояния. Сброс входных сигналов на 0 не вызывает никаких изменений состояния   Триггер JK-типа с тактовым управле- нием JK-триггер с тактовым управлением при по- явлении фронта тактового импульса на С при- нимает значение J-входа, если таковой имеет значение 1. Если на обоих входах присутст- вуют сигналы со значением 1, то состояние на выходе Q меняется с каждым тактовым сиг- налом. Неприсоединенным входам обычно присваивается значение 1   Триггер RS-типа С подготовленным S-входом выходные сигналы идентичны таковым у триггера с раздельными входами. Сигналы на входе SG активны толь- ко при условии, что на G-входе сигнал пере- ходит от 1 0 247 Окончание табл. 7.13 JK-триггер по принципу «главный-под- чиненный» Главный триггер (Master) при каждом измене- нии сигнала 1 0 принимает сигналы уста- новки или соответственно сброса. Подчинен- ный триггер (Slave) получает сигналы уста- новки и сброса от главного триггера при из- менении состояния сигнала на G от 1 0 Триггеры обладают множеством вариантов функций. При функ- ционировании по принципу «главный-подчиненный» (Master-Slave) с положительным фронтом тактового импульса (изменение состоя- ния сигнала от 0 1 ) сигнальная информация принимается через входы J и K в главный триггер. Подчиненный триггер с учетом отри- цательного входа G сначала ни устанавливается, ни сбрасывается. И только с последующим отрицательным фронтом импульса инфор- мация главного триггера передается подчиненному триггеру. Такое исполнение известно также как «триггер с фиксацией состояния». 248 Часть 3. ДИНАМИКА МОБИЛЬНЫХ МИНИАТЮРНЫХ РОБОТОВ Глава 8. МАСШТАБ, ПОДОБИЕ И РАЗМЕРНОСТЬ В МОДЕЛЯХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 8.1. Масштабный фактор. Критерии подобия Характерная особенность мехатронных систем – разнородность (гетерогенность) их структур, характеризующихся разной физиче- ской природой процессов, на основе которых они функционируют. В основном это механические и электродинамические процессы, а также информационно-кибернетические, использующие эффекты микроэлектрооптики. Величины, используемые для описания зако- нов в этих областях, отличаются размерностью, что, на первый взгляд, делает их плохо совместимыми для моделирования. Однако символьный язык математики и диаграммный язык схемотехники, теории графов сделали возможным их единообразное описание как систем, состоящих из элементов (звеньев), объединенных в цепи по определенным правилам логики. Мехатронные системы имеют широкое разнообразие не только по объединяемым в одной конструкции физическим процессам, но и по масштабу конструкций, причем масштабирование имеет выра- женный эффект подобия. Например, миниатюрные роботы типа ан- тропоидов, биороботы, дроны, колесные и гусеничные роботы име- ют ясно выраженные признаки подобия с человеком, животными, самолетами, ракетами, геликоптерами, машинами, танками и т. д. Это выраженное геометрическое подобие может быть экстраполи- ровано в область физического подобия (кинематическое и динами- ческое подобие). Однако если геометрическое подобие достаточно легко определяется и формализуется в геометрии, топологии, то вопросы физического подобия составляют содержание специальных дисциплин, в которых они изучаются. Физическое подобие связано с размерностью, поэтому приведем краткие сведения из разделов теории подобия и размерности. Два явления подобны, если по заданным характеристикам од- ного можно получить характеристики другого простым пересчетом, 249 который аналогичен переходу от одной системы единиц измерения к другой системе. Для осуществления пересчета необходимо знать «переходные масштабы». Численные характеристики для двух различных, но подобных явлений можно рассматривать как численные характеристики одно- го и того же явления, выраженные в двух различных системах еди- ниц измерения. Для всякой совокупности подобных явлений все безразмерные характеристики (безразмерные комбинации из раз- мерных величин) имеют одинаковое численное значение. Обратное заключение также справедливо, т. е. если все безразмерные харак- теристики для двух движений одинаковы, то движения подобны. Пусть явление определяется n параметрами, часть из которых может быть безразмерными, а некоторые являются размерными фи- зическими постоянными. Допустим, что размерности переменных параметров и физических постоянных выражены через k основных единиц измерения  .k n В общем случае из n величин можно составить не более n k независимых безразмерных комбинаций, образованных из определяющих параметров. Следовательно, среди всех безразмерных величин, составленных из характеристик явле- ния, всегда можно указать некоторую базу, т. е. систему безразмер- ных величин, которые определяют собой все остальные величины. Класс явления, определенный постановкой задачи, содержит яв- ления, вообще не подобные между собой. Выделение из него под- класса подобных явлений осуществляется с помощью следующего условия: необходимым и достаточным условием подобия двух явлений будет постоянство численных значений безразмерных комбинаций, образующих базу. Условия о постоянстве базы па- раметров, составленных из заданных величин, определяющих явление, называются критериями подобия. Если условия подобия выполнены, то для фактического расчета всех характеристик в натуре по заданным данным о размерных ха- рактеристик на модели необходимо знать переходные масштабы для всех соответствующих величин. Если явление определяется n параметрами, из которых k имеет независимые размерности, то для k величин с независимыми раз- мерностями переходные масштабы могут быть произвольными и их 250 нужно задать или определить условиями задачи, а при эксперимен- тах – из опытов. Переходные масштабы для всех остальных размер- ных величин можно получить из формул размерности для каждой размерной величины через размерности k независимых, для кото- рых масштабы определены опытом или постановкой задачи. Например, в задаче об установившемся поступательном плоско- параллельном движении тела в несжимаемой вязкой жидкости все безразмерные величины определяются двумя параметрами: углом атаки  и числом Рейнольдса R. Условия физического подобия – критерии подобия – представляются соотношениями dconst и const.pR     При моделировании этого явления результаты опытов с моделью можно переносить на натуру только для одинаковых и .R Первое условие всегда легко осуществить на практике. Труднее удовлетво- рить второму условию ( const),R  особенно в тех случаях, когда обтекаемое тело имеет большие размеры, как, например, крыло са- молета. Если модель меньше натуры, то для сохранения величины числа Рейнольдса необходимо либо увеличивать скорость обтека- ющего потока, что обычно практически неосуществимо, либо суще- ственно изменить плотность и вязкость жидкости. 8.2. Формулы из теории размерности В теории размерности выделяют основные и производные еди- ницы измерения физических величин, связанных между собой опре- деленными соотношениями (физические, геометрические). Если некоторые из этих величин принять за основные и установить для них какие-то единицы измерения, то единицы измерения всех остальных величин будут определенным образом выражаться через единицы измерения основных величин. Принятые для основных величин за единицы измерения будем называть основными или первичными, а все остальные – производными или вторичными. На практике достаточно установить единицы измерения для трех величин, каких именно, – это зависит от конкретных условий той или иной задачи. Так, в физических исследованиях удобно за ос- 251 новные единицы взять единицы длины, времени и массы, а в техни- ке – единицы длины, времени и силы. Но можно было бы взять за основные единицы измерения также единицы скорости, вязкости и плотности и т. п. Выражение производной единицы измерения через основные единицы измерения называется размерностью. При изучении механических явлений достаточно ввести только три независимые основные единицы измерения: для длины, массы (или силы) и времени. Этими единицами можно обойтись также и при изучении тепловых и даже электрических явлений. Из физики известно, что размерности тепловых и электрических величин мож- но выразить через L, M и Т, в электронике за основные величины выгоднее принять силу тока, сопротивление, длину и время (ампер, ом, сантиметр и секунда) и т. д. Более того, при конкретном изучении отдельных специальных классов явлений численные значения количественных характери- стик часто выгодно выражать в виде отношения к задаваемым или наиболее характерным величинам по смыслу рассматриваемых частных задач. В разных случаях эти характерные основные вели- чины могут быть различными. Зависимость единицы измерения производной величины от еди- ниц измерения основных величин может быть представлена в виде формулы. Эта формула называется формулой размерности, и ее можно рассматривать как сжатое определение и характеристику физической природы производной величины. О размерности можно говорить только применительно к опреде- ленной системе единиц измерения. В разных системах единиц из- мерения формула размерности для одной и той же величины может содержать различное число аргументов и может иметь различный вид. Например, в системе единиц измерения CGS формулы размер- ности всех физических величин имеют вид степенного одночлена .l m tL M T Покажем, что такой вид формулы размерности определяется следующим физическим условием: отношение двух численных значений какой-нибудь производной величины не должно зави- сеть от выбора масштабов для основных единиц измерения. 252 Например, будем измерять площадь в квадратных метрах или квад- ратных сантиметрах, отношение двух площадей, измеренных в квад- ратных метрах, будет таким же, как и отношение этих же площадей, измеренных в квадратных сантиметрах. Для основных величин это условие является составной частью определения единицы измере- ния и удовлетворяется само собой. Пусть имеем какую-нибудь размерную производную величину .y Примем сначала, что величина y является геометрической и по- этому зависит только от длин, следовательно:  1 2, , , ,ny f x x x  где 1 2, , , nx x x суть некоторые расстояния. Обозначим через 'y то значение величины ,y которое соответствует значениям аргумен- тов 1 2' , ' , , ' .nx x x Численное значение ,y а также 'y зависит от единицы измерения для расстояний 1 2, , ., nx x x Уменьшим эту единицу или масштаб в  раз. Тогда согласно сформулированному выше условию должны иметь место        1 2 1 21 2 1 2 ' , ' , , ' ' , ' , , '' , , , , , , , n n n n f x x x f x x xy y f x x x f x x x           (8.1) т. е. отношение '/y y должно быть одинаковым при любом значении масштаба . Из равенства (8.1) получаем        1 2 1 21 2 1 2 , , , ' , ' , , ' , , , ' , ' , , ' n n n n f x x x f x x x f x x x f x x x          или           ' . 1 ' 1 y y y y      (8.2) Следовательно, отношение численных значений производной геометрической величины, измеренной в разных масштабах длины, зависит только от отношения масштабов длин. 253 Из соотношения (8.2) легко найти вид функции  .  В самом деле, имеем      1 1 ; 1 y y          2 2 .1 y y     Отсюда получаем    1 12 2 ,          (8.3) так как при 1 1 2 2 2 2 2, , , n nx x x x x x         имеем       1 1 1 2 1 2 1 2 . 1 y y y y              Дифференцируя уравнение (8.3) по 1 и полагая 1 2 ,     получаем     1 d1 d 1 . d d m               Интегрируя, найдем .mC   Так как при 1  имеем 1,  то 1;C  следовательно, .m   Этот вывод справедлив для любой размерной величины, завися- щей от нескольких основных величин, если менять только один 254 масштаб. Можно установить, что если изменяются масштабы , ,   трех основных величин, то функция  будет иметь вид .m n t     Этим доказывается, что формулы размерности физических ве- личин должны иметь вид степенных одночленов. Физические закономерности, устанавливаемые теоретически или непосредственно из опыта, представляют собой функциональные за- висимости между величинами, характеризующими исследуемое яв- ление. Численные значения этих размерных физических величин за- висят от выбора системы единиц измерения, не связанной с суще- ством явления. Поэтому функциональные зависимости, выражающие собой физические факты, которые не зависят от системы единиц из- мерения, должны обладать некоторой специальной структурой. Пусть имеем размерную величину , которая является функци- ей независимых между собой размерных величин 1 2, , , :na a a  1 2 1, , , , , , ;k k na f a a a a a   (8.4) некоторые из этих параметров в рассматриваемом процессе могут быть переменными, другие – постоянными. Выясним структуру функции  1 2, , , nf a a a  в предположе- нии, что эта функция выражает собой некоторый физический закон, независимый от выбора системы единиц измерения. Пусть среди размерных величин 1 2, , , na a a первые k величин ( )k n имеют независимые размерности (число основных единиц измерения должно быть больше или равно ).k Пользуясь относительной системой единиц измерения, соотно- шение (8.5) можно представить в виде  1П 1,1, ,П , ,П .n kf    (8.5) Таким образом, связь между ( 1)-n  размерными величинами 1, , , ,na a a независимая от выбора системы единиц измерения, при- нимает вид соотношения между 1n k  величинами 1П,П , , ,Пn k 255 представляющими собой безразмерные комбинации из ( 1)-n  раз- мерных величин. Этот общий вывод теории размерностей известен под названием П-теоремы. В этой относительной системе единиц измерения численные зна- чения параметров 1, , ,k na a a  определяются формулами 1 2 1 2 П ; kmm m k a a a a 1 2 1 1 1 2 П ; k k pp p k a a a a   ……………………… 1 2 1 2 П . k n n k qq q k a a a a   Чем меньше число параметров, определяющих изучаемую вели- чину, тем больше ограничена функциональная зависимость и тем проще вести исследование. В частности, если число основных еди- ниц измерения равно числу определяющих параметров, которые имеют независимые размерности, то с помощью теории размерно- сти эта зависимость полностью определяется с точностью до посто- янного множителя. В самом деле, если n k , т. е. все размерности независимы, то из параметров 1, , , na a a нельзя образовать без- размерной комбинации, и поэтому функциональная зависимость (8.5) может быть представлена в виде 1 2 1 2 ,n m m m na ca a a  где c есть безразмерная постоянная, а показатели 1 2, , , nm m m определяются с помощью формулы размерности для .a Что же ка- сается безразмерной постоянной ,c то ее можно определить либо опытно, либо теоретически, решая соответствующую математиче- скую задачу. 256 Глава 9. ДИНАМИКА СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА 9.1. Кинематика абсолютно твердого тела Математические модели динамики мини-роботов базируются на теории динамики твердого тела. Модели абсолютно твердого тела используются для тех случаев, когда требуется оценить только вли- яние геометрии масс на динамику робота, а модели деформируемо- го твердого тела – в случаях, когда необходимо учесть и геометрию масс, и геометрию жесткостей конструкции с целью описать де- формируемость реальных тел, их вибрацию, износ, разрушения. Согласно теореме Эйлера из теоретической механики свободное движение твердого тела можно представить в виде поступательного движения некоторой точки 0 тела (полюса) и вращательного движе- ния вокруг полюса, рис. 9.1. Рис. 9.1. Свободное движение твердого тела Система 1 1 1 10 x y z – декартова неподвижная, система Oxyz – декартова, жестко связана с телом так, что свободное движение твердого тела можно рассматривать как преобразование координат произвольной точки M тела:   257    1 1 1, , , , .M x y z M x y z В векторной форме радиусы-векторы точек 1 r и r в системах 1 1 1 10 x y z и 0xyz соответственно связаны соотношением 1 0 .r r r    (9.1) Введем кёнингову систему координат 0 K K KX Y Z , оси которой параллельны осям 1 1 1 10 x y z , а начало 0 испытывает трансляцион- ный перенос относительно тоски 10 , тогда r – радиус вектор точки M в кёнинговой системе координат. Очевидно, что тело испытыва- ет вращение в кёнинговой системе координат, которое, используя формулы аналитической геометрии, можно представить в виде ; r A  11 12 13 21 22 23 31 32 33 , a a a A a a a a a a        где матрица  A A t задает переход от системы координат 0 к 0 K K Kxyz X Y Z и является ортогональной, т. е. сумма квадратов элементов (столбца) равна единице, а сумма произведений соответ- ствующих элементов столбцов (строк) равна нулю: 1 ; 0 ,ij jk ik i k a a i k                                         (9.2) где по повторяющимся индексам идет суммирование. В силу (9.2) из девяти элементов матрицы A независимых будет три, которые могут быть выбраны произвольно. Это могут быть направляющие косинусы углов системы 0xyz относительно 0 K K KX Y Z или, например, углы Эйлера. Рассмотрим отдельно системы координат 0 и 0 ,K K KX Y Z xyz рис. 9.2. 258 Рис. 9.2. Совмещение систем координат 0 и 0K K KX Y Z xyz Координаты плоскости 0 K KX Y и 0xy пересекаются при 0  по линии ,ON которая называется линией узлов. Угол между 0 и 0KZ z называется углом нутации, угол между 0 и 0KX N назы- вается углом прецессии, угол  между 0 и 0N x называется углом собственного вращения. Три угла Эйлера , ,   независимы и задают ориентацию твердого тела (системы 0xyz ) относительно системы 0 ,K K KX Y Z а значит и 1 1 1 10 x y z . Из теоретической механики известно, что вращательное движе- ние твердого тела вокруг точки в каждый момент времени пред- ставляет собой вращение тела вокруг мгновенной оси, проходящей в данный момент времени через эту точку. Ориентация оси меняет- ся во времени и в данный момент может быть определена, напри- мер, через углы Эйлера. Осуществить поворот тела так, чтобы произвольная точка M перешла в любое заданное положение ,P можно с помощью трех последовательных поворотов на угол  вокруг оси 0 ,KZ на угол  – вокруг 0 ,N на угол  – вокруг 0 .z Положительными считаются Р  259 1Y   повороты, которые производятся против часовой стрелки, если смотреть с концов соответствующих осей поворотов. Рассмотрим алгоритм последовательных поворотов. 1. Вращая вокруг тела 0 ,KZ преобразуем систему 0 K K KX Y Z в промежуточную систему координат 1 10 .X Y Z Преобразование сис- темы 0 K KX Y к системе 1 10X Y в плоскости 1 1 0 и 0K KX Y X Y осуще- ствляется с помощью ортогональной матрицы 1,A рис. 9.3: 1 1 1 ; K K K K X X Y A Y Z Z                 1 cos sin 0 sin cos 0 . 0 0 1 A           Рис. 9.3. Преобразование системы 0 K KX Y к системе 1 10X Y Здесь 1M – проекция точки M в плоскости 0 .K KX Y 2. С помощью второго поворота вокруг оси 0N переходим от промежуточной системы 1 10 KX Y Z к промежуточной системе 20 KX Y z с ортогональной матрицей преобразования 2 рис, . 9.4:A 260 1 1 1 2 2 ; K X X Y A Y Z z                 2 1 0 0 0 cos sin . 0 sin cos A           Рис. 9.4. Переход от промежуточной системы 1 10 KX Y Z к системе 20 KX Y z   Здесь 2M – проекция точки M в плоскости 10 .KY Z 3. Третий поворот вокруг оси 0z переводит промежуточную систе- му координат 1 20X Y z в основную с помощью матрицы 3,A рис. 9.5: 1 2 3 ; X x Y A y z z                 3 cos sin 0 sin cos 0 . 0 0 1 A           261 Рис. 9.5. Третий поворот вокруг оси 0z Тогда матрицу A перехода от системы 0xyz к системе 0 K K KX Y Z представим в виде 1 2 3,A A A A а ее элементы имеют вид 11 12 13 21 22 23 31 32 33 cos cos sin sin cos ; cos sin sin cos cos ; sin sin ; sin cos cos sin cos ; sin sin cos cos cos ; cos sin ; sin sin ; cos sin ; cos . a a a a a a a a a                                          (9.3) Как следует из (9.3), при 0,      линия узлов не определена и углы ,  не определены, а определена только их сумма . 262 Следовательно, при движениях твердого тела, когда ось 0z мало отклоняется от 0 ,KZ целесообразно применять другие углы, опре- деляющие ориентацию тела в пространстве. Отметим также, что в силу того, что произведение матриц 1 2 3A A A A некоммутативно, то и конечные повороты твердого тела некоммуникативны. Это означает, что в общем случае ориентация твердого тела (мини-робота), получаемая им в результате двух по- следовательных конечных поворотов, зависит от порядка выполне- ния этих поворотов. Для мини-роботов, перемещающихся в авто- номном режиме, алгоритм подачи управляющих воздействий дол- жен разрабатываться с учетом этого. Отметим некоторые свойства матрицы A , следующие из ее ортогональности: 1. 1 T,A A  индекс T означает транспонирование; 2. TAA E – единичная матрица; 3.  2det 1.A  Если зависимость  A t от времени непрерывная, то знак   1A o   сохраняется в течение движения. 9.1.1. Мгновенное кинематическое состояние твердого тела Рассмотрим свободное движение твердого тела, скорости точек которого характеризуются вектором     1 1 ,V V r t r t   зависящим от радиуса-вектора  1 tr в неподвижной системе коорди- нат времени t . Если в момент времени t     1 const,oV r t V t  263 то тело совершает мгновенное поступательное движение в мо- мент времени t , а при  0 0V t  находится в мгновенном покое. Очевидно, что ускорения     1 1W V r t r t   могут быть разными в момент времени t в разных точках тела. Если в данный момент времени t в теле (мини-роботе) имеются две неподвижные точки, то тело совершает мгновенное вращатель- ное движение вокруг прямой, проходящей через эти точки, называ- емой мгновенная ось вращения. Мгновенная ось вращения меняет свое положение в неподвижной и подвижной системах координат при конечном движении тела. Если в данный момент времени тело (мини-робот) участвует в двух мгновенных движениях: мгновенном поступательном вдоль некоторой оси и мгновенном вращательном вокруг этой оси, то тело (мини-робот) совершает мгновенное винтовое движение, которое является самым общим мгновенным движением свободного твердого тела. 9.1.2. Скорость и ускорение точек твердого тела в общем случае движения Дифференцируя (9.1) по времени t , получим 0 0 ,V V r V r      (9.4) где 0V – скорость полюса 0;  – угловая скорость вращения системы 0xyz вокруг мгновен- ной оси вращения, проходящей через 0 . Формула (9.4) справедлива в силу формулы Эйлера .r r Ускорение произвольной точки M твердого тела (мини-робота) находится дифференцированием по времени t формулы (9.4): 264  0 0 0 , nW V r r W r r W W W                 (9.5) где 0W – ускорение точки 0; W r   – вращательное ускорение; nW – осестремительное ускорение;    – угловое ускорение. 9.1.3. Угловая скорость в подвижной и неподвижной системах координат Вектор мгновенной угловой скорости  , направленный вдоль мгновенной оси вращения, имеет компоненты  , ,x y z    , кото- рые являются проекциями  на оси подвижной системы координат 0xyz . С другой стороны,  можно представить в виде суммы трех угловых скоростей вращения вокруг осей      0 , 0 ,0 :KZ N z    .       (9.6) Записывая (9.6) покомпонентно, получим кинематические формулы Эйлера sin sin cos ;x       sin cos sin ;y       cos .z       9.1.4. Дискретная аппроксимация твердого тела. Геометрия масс твердого тела и эквивалентной системы материальных точек При решении многих конкретных задач удобно заменять сплош- ное твердое тело эквивалентной системой материальных точек, рис. 9.6. 265 Рис. 9.6. Замена сплошного твердого тела эквивалентной системой материальных точек Разбиваем тело на конечные объемы (элементы), массы которых сосредоточим в точках, радиусы-векторы которых обозначим   1 1, ,mr m n  mr – вектор, соединяющий точку 0 и M в системе   1 1 10 , mX Y Z  – вектор OM в системе 0 .xyz Центр масс cr твердого тела вычисляется по формуле     d d , d d V V c V V r m r r r r m r r          (9.7) где   d ; d mr   m – масса тела; V – объем;  – плотность. 266 Проекцируя (9.5) на оси координат, получим три уравнения. Центр масс эквивалентной системы материальных точек вычис- ляется по формуле 1 1 ; n c n m r r m       (9.8) 1 , n m m   где m – масса -го элемента объема; m – масса всей системы. При n  разность между ,cr вычисляемому по формуле (9.8), стремится к ,cr вычисляемому по формуле (9.7). Центр масс с может быть выбран в качестве полюса 0, что будет использовано дальше. Моменты инерции сплошного твердого тела относительно осей , ,x y z вычисляются по формулам      2 2 2 2 2 2d , d , d ,x y z V V V I y z m I x z m I x y m        (9.9) а дискретной системы материальных точек – по формулам  2 2 1 ; n xI m y z      2 2 1 ; n yI m x z     (9.10)  2 2 1 . n zI m x y     267 Центробежные моменты твердого тела вычисляются – по формулам d ; d ; d ,xy xz yz V V V I xy m I xz m I yz m       (9.11) а для дискретной системы материальных точек – по формулам 1 1 1 ; ; . n n n xy xz yzI m x y I m x z I m y z                  (9.12) Величины  , , ,ijI i j x y z зависят от выбора тоски 0 и ориента- ции осей координат , , .x y z При n  формулы (9.10), (9.12) пе- реходят в формулы (9.9), (9.11) соответственно. Компоненты ijI образуют симметричный тензор второго ранга (тензор инерции), который характеризует сопротивление твердого тела вращательным движением: . x xy xz xy y yz xz yz z I I I I I I I I I I              Моменты инерции относительно любых параллельных осей вы- числяются по формуле  2 2 ,u uI I m d d      (9.13) где uI – момент инерции относительно оси ;u I – момент инерции относительно параллельной оси ; ,ud d – расстояния осей ,u  от оси, проходящей через центр масс. 268 9.2. Основные законы динамики твердого тела (мини-робота) В динамике твердого тела основные законы представляют собой уравнения баланса относительно основных динамических величин мехатронной системы, какими являются: 1) векторные величины: импульсы (количество движения), момент количества движения (момент импульса), силы, момен- ты сил; 2) скалярные величины: кинетическая и потенциальная энер- гия, работа, диссипация энергии, энтропия. Предварительно напомним некоторые определения. Количество движения (импульс) твердого тела – вектор ,Q вы- числяется по формуле d d ; d d . V V Q V m V r m r      Импульс дискретной мехатронной системы вычисляется по формуле 1 . n Q m V    Кинетический момент K (момент импульса, момент количества движения) твердого тела (мини-робота) относительно точки A вы- числяется по формуле d ,A A V K Q r  где A – радиус-вектор точек тела относительно точки A . Проекции вектора AK на оси координат называются моментами импульса относительно осей , , :x y z , , ,x y zA A AK K i K K j K K k        (9.14) 269 где , ,i j k  – орты осей координат. Кинетический момент (момент импульса) относительно точки А дискретной системы вычисляется по формуле 1 . n A AK Q   Моменты импульса относительно осей , ,x y z вычисляются по формулам (9.14). При изменении центра A , относительно которого вычисляется кинетический момент, момент относительно нового центра B вы- числяется по формуле ,B AK K BA Q     (9.25) где вектор BA – расстояние между точками и .A B В векторно-матричном виде кинетический момент твердого тела (системы), вращающегося вокруг точки 0, записывается в виде    0 , ω , ω , ω , , ,x y zK I p q r    а в развернутом виде получим ;ox x xy xzK I p I q I r    ;oy xy y yzK I p I q I r    .oz xz yz zK I p I q I r    Закон об изменении импульса (количества движения) в диф- ференциальной форме имеет вид  d d eQ R t  (9.16) 270 и говорит о том, что скорость импульса равна главному вектору  eR внешних сил, приложенных к телу (мини-роботу). Так как cQ mV (где cV – скорость центра масс), то уравнение (9.16) может быть записано в эквивалентном виде  d d .ecVm R t    (9.17) С учетом того, что d / d ,c cV r t уравнение (9.17) записывается в виде закона Ньютона:  2 2 , d / d ,d ec c c c d rm mW R W V t t    где cW – ускорение центра масс. Закон об изменении момента импульса (кинетического момента)  d d eA A K M t  говорит о том, что скорость кинетического момента равна моменту внешних сил относительно центра A . В частности, если A C , то получается  d d .eС С K M t    (9.18) Проецируя (9.18) на оси неподвижной системы координат, полу- чим уравнения для поступательного перемещения твердого тела (мини-робота). Проецируя (9.18) на оси системы координат с центром в точке С, получим уравнения для вращательных движений вокруг координат- ных осей кенинговой системы с началом в точке С. 271 Кинетическая энергия твердого тела и системы материальных точек Кинетическая энергия T элемента массы dm имеет вид 2 21 1d d d d d , 2 2 T V m V x y z   где  – плотность тела; d d dm x y z  – масса элементарного объема. d d d d d .r x y z   Кинетическая энергия твердого тела объема d d dV x y z    вычис- ляется по формуле 2 21 1d d d d . 2 2 T V m V x y z       Соответственно для системы материальных точек кинетическая энергия T имеет вид 2 1 .1 2 n T m V    Согласно формуле Эйлера 0 ,V V r      (9.19) где 0V – скорость относительного движения тоски 0;  – угловая скорость. Выражение для T с учетом (9.19) записывается в виде  22trans rot 0 1 1 . 2 2 nmT T T V m r       272 Компоненты тензора инерции ijI могут быть представлены в виде 1 , 1, 2, 3; n ij k k ij i jI m x x x x k              1 2 3, , , , , ,1,r x y z x x x n          тогда выражение для rotT представляется в виде rot 1 . 2 ij i j T I   Для твердого тела соответственно можно записать  1 2 3, , d .ij k k ij i jI x x x x x x x         В векторно-матричном виде выражение для кинетического мо- мента имеет вид 0 ,K I  а для кинетической энергии вращательного движения  rot 01 .2T K  Таким образом, имеет место точка Кёнинга. Кинетическая энер- гия тела равна сумме кинетической энергии центра масс и кинети- ческой энергии вращения тела (системы) относительно центра масс. Изменение кинетической энергии твердого тела (системы мате- риальных точек) выражается теоремой об изменении кинетической энергии: изменение (дифференциал) кинетической энергии системы равно элементарной работе всех сил системы:    d d d d ,e iT A A A       (9.20) 273 где    d , de iA A  – элементарные работы внешних и внутренних сил соответственно. Для абсолютно твердого тела  d 0.iA  Формула (9.20) определяет изменение кинетической энергии за интервал d ,t а за конечное время  2 1t t изменение T определяет- ся формулой    2 2 1 1 2 1 d d , t t e i t t T T A A     что означает, что изменение кинетической энергии за время  2 1t t равно работе всех сил за то же время. В случае если внешние и внутренние силы являются потенци- альными, например, тело (робот) обладает конечной жесткостью (упругостью) и движется в поле тяжести Земли, тогда потенциаль- ная энергия П не зависит от времени, а элементарные работы сил будут полными дифференциалами:                 d d dП ; d d dП П П П , d dП. ;e e e i i i e i A A A A A               (9.21) Из (9.20) с учетом (9.21) следует  d dП d П d 0,T T E       (9.22) где E – полная энергия тела (системы). Из (9.22) следует закон сохранения энергии П const.E T   Таким образом, законы баланса векторных величин импульса (количества движения) Q и момента импульса (кинетического мо- мента) K дают возможность моделировать динамику мини-роботов в векторной форме. Подход на основе энергетического баланса дает возможность моделировать динамику мини-роботов на основе ска- лярных функций: кинетической и потенциальной энергий, завися- щих от обобщенных координат. 274 Глава 10. ДИНАМИКА И УПРАВЛЕНИЕ БЕСПИЛОТНЫМИ ЛЕТАТЕЛЬНЫМИ АППАРАТАМИ АЭРОПЛАННОГО И ДРУГИХ ТИПОВ 10.1. Основные уравнения динамики беспилотных летательных аппаратов Динамика беспилотных летательных аппаратов (БПЛА) характе- ризуется наличием аэродинамических связей, действующих на дрон в полете. Введем системы координат, рис. 10.1: 0 0 00x y z – неподвижная, начало ее совпадает с центром масс дрона, ось 00y направлена по вертикали, оси 0 00 , 0x z – горизон- тальные их направления фиксированы относительно Земли (кёниго- ва система координат); 1 1 10x y z – связанная система координат с началом в центре масс дрона, оси которой направлены по главным осям инерции ро- бота: ось 10x – продольная ось, 10y – лежит в плоскости симмет- рии, ось 10z – перпендикулярна к плоскости симметрии; 0xyz – скоростная система с началом в центре масс БПЛА, ось 0x направлена по вектору скорости V , ось 0y лежит в плоскости симметрии, ось 0z перпендикулярна к плоскости симметрии. Вектор скорости V относительно связанной системы 1 1 10x y z ха- рактеризуется углом  , называемым углом атаки, и образуется продольной осью и проекцией вектора V на плоскость симметрии. Угол  между V и плоскостью симметрии называется углом скольжения. Выделяются продольное и боковое движение БПЛА. Продольное движение характеризуется вращением вокруг оси 10z и поступа- тельным движением в направлении осей 1 10 и 0 .x y Боковое движе- ние представляет собой вращения вокруг осей 1 10 , 0x y и перемеще- ние в направлении оси 10z . Углы Эйлера в случае ЛМР характеризуют положение связан- ной системы координат 1 1 10x y z по отношению к кёниговой (услов- 275 но неподвижной). Угол 1, образуемый при повороте БПЛА вокруг продольной оси 10x , при котором поперечная ось 10z горизонталь- на, называется углом крена (угол собственного вращения); угол , образуемый проекцией продольной оси на горизонтальную плос- кость и заданным направлением 0 ,x называется углом рыскания (угол прецессии), угол  , образуемый продольной осью БПЛА с горизонтальной плоскостью, называется углом тангажа (угол нутации), см. рис. 10.1. Рис. 10.1. Системы координат для мини-робота самолетного типа Обозначим через  мгновенную угловую скорость вращения сис- темы 1 1 10x y z относительно системы 0 0 00x y z , проекции вектора  на оси системы 1 1 10x y z соответственно  , , .x y z    Пусть в корпусе БПЛА имеется n вращающихся частей (модулей) с фик- сированными осями вращения относительно осей системы коорди- нат 1 1 10x y z , которые определяются направляющими косинусами О 276  , , , 1, .i ix iy izA a a a i n  Вектор угловой скорости i -го вращающегося тела обозначим Ω ,i а проекции его на оси координат 1 1 10x y z – через  Ω ,Ω ,Ω Ω .ix iy iz i Уравнения свободного движения ЛМР в векторной форме име- ют вид d ; d C C Vm V R t           d , d C C C K K M t      где CV V – скорость поступательного перемещения центра масс; R – вектор внешних сил; CM – главный момент всех внешних сил; CK – кинетический момент системы. Проекции вектора d d CK t на оси связанной системы координат 1 1 10x y z имеют вид d d dΩ ; d d d x x i x ix i i K I a I t t t     d d dΩ ; d d d y y i y iy i i K I a I t t t     dΩd d , d d d iz z z iz i i K I a I t t t   277 где , ,x y zI I I – моменты инерции ЛМР; iI – моменты тел, вращающихся в корпусе БПЛА. Совместим оси координат 1 1 10x y z с главными осями инерции БПЛА, тогда в проекциях на главные оси инерции получим d ; d x y x z y Vm V V X t        d ; d y z x x z V m V V Y t        (10.1) d . d z x y y x Vm V V Z t       d dΩ Ω ; d d x i x ix i y z z iz i i i i I a I I a I t t           Ω ;z y y iy i i x i I a I M       d dΩ Ω ; d d y i y iy i z x x ix i i i i I a I I a I t t           (10.2) Ω ;x z z iz i i y i I a I M       dΩd Ω ; d d iz z iz i x y y iy i i i i I a I I a I t t           Ω ,y x x ix i i z i I a I M       278 где , ,X Y Z – проекции вектора сил на оси системы координат 1 1 10 ; x y z , ,x y zМ М М – проекции главного момента оси систем коорди- нат 1 1 10x y z . Выражения для проекций , ,X Y Z имеют вид sin ;x xX P c Sq G    cos cos ;y yY P c Sq G     cos sin ,z zZ P c Sq G     где cx, cy, cz – коэффициенты боковой силы; , ,x y zP P P – компоненты вектора силы тяги. На БПЛА самолетной схемы вектор силы тяги P почти совпада- ет с направлением продольной оси, поэтому приближенно можно положить ; 0.x y zP P P P   На БПЛА других схем вектор силы тяги P может иметь состав- ляющие по всем трем осям. Проекции вектора скорости центра масс cos cos ; sin cos ; sin . x y z V V V V V V           Входящие в уравнения (10.2) проекции главного момента внеш- них сил могут быть представлены в виде трех составляющих: ; ; , x x a x p y y a y p z z a z p M M M M M M M M M        279 где , ,x a y a z aM M M – аэродинамические моменты; , ,x p y p z pM M M – моменты, создаваемые управляющими дви- гателями. Аэродинамические моменты можно представить в виде ; ; . x a x y a y z a z M m qSl M m qSl M m qSl     Преобразуем уравнения (10.1), (10.2), приводя подобные члены, тогда получим d sin ; d d cos cos ; d d cos sin ; d x y z z y x x y z x x z y y z x y y x z z Vm V V P c Sq G t V m V V P c Sq G t Vm V V P c Sq G t                                         (10.11) d ( ) d d ; d d ( ) d d ; d d ( ) d d . d x x z y y z y iz i i z iy i i i xa xp ix i y y x z x z z ix i i x iz i i i ya yp iy i z z y x x y x iy i i y ix i i i za zp iz i J J J a J a J t M M a J t J J J a J a J t M M a J t J J J a J a J t M M a J t                                                   (10.4) 280 Из этих уравнений следует, что продольное движение ЛМР свя- зано с его боковым движением посредством инерционных, аэроди- намических и гироскопических членов. Инерционные члены урав- нений (10.4)      , , z y y z x z x z y x x yJ J J J J J         прене- брежимо малы при малых угловых скоростях и малых разностях моментов инерции. Видно, что возможность разделения продольно- го и бокового движений вытекает из условия 0x  . Когда 0x  и велико, продольное и боковое движения следует рассматривать взаимосвязанными. Аэродинамическая связь продольного и бокового движений обу- словлена зависимостью коэффициентов моментов , ,x y zm m m от па- раметров этих движений. Последний и предпоследний члены в ле- вых частях уравнений (10.4) возникают вследствие гироскопиче- ских эффектов, вызванных вращающимися телами на борту БПЛА. При больших угловых скоростях вращения Ωi и значительных мо- ментах инерции iJ гироскопические члены, обусловливающие пе- рекрестные связи между продольным и боковым движениями, мо- гут быть сравнимыми с другими членами уравнений. Последние члены в правых частях уравнений (10.4), обусловлен- ные изменением кинетического момента вращающихся масс, указы- вают на возможность использования этих явлений для управления угловыми движениями БПЛА. Заметим, что управляющие воздей- ствия существуют до тех пор, пока угловые скорости вращающихся масс возрастают или убывают. Поэтому такое управление возможно только в сочетании с управлением, например, посредством двига- телей, рулей. Уравнения (10.4) в частных случаях могут быть упрощены. Если по каждой из осей ЛМР расположен один маховик, а вращающиеся массы в силовых установках отсутствуют, то, полагая 1 2J J  3 1 2 3, Ω Ω , Ω Ω , Ω Ωx y zJ J     и учитывая, что 1 1,xa  2 1,ya  3 1,za  получим 281 d d ( ) ( ) ; d d d d ( ) ( ) ; d d d d( ) ( ) . d d x x x z y y z y z z y xa xp y y y x z x z z x x z ya yp z z z y x x y x y y x za zp J J J J M M J t t J J J J M M J t t J J J J M M J t t                                            Шесть уравнений движения (10.3) и (10.4) ЛМР как системы твердых тел связывают восемь переменных , , , , , , ,,x y zV        определяющих движение центра масс БПЛА и движение относи- тельно центра масс n переменных  Ω 1, , ,i i n  определяющих движение вращающихся масс по отношению к системе координат, связанной с БПЛА. Три координаты управляющих рулей в н эδ , δ , δ и три составляющие вектора , ,x y zP P P находятся из уравнений движения системы управления, которые будут рассмотрены ниже. Величины Ωi будем принимать известными функциями времени или определим их также из уравнений динамики системы управления. Для определения остальных переменных необходимо составить еще два уравнения. В качестве этих уравнений можно взять соот- ношения между угловыми скоростями , ,x y z   и производными d /d , d /d , d /d :t t t   d d sin ; d d d dcos cos sin ; d d d dcos cos sin . d d x y z t t t t t t                       Если провести линеаризацию уравнений (10.3) и (10.4), то можно убедиться, что даже при малых угловых скоростях, когда инерци- онными связями между продольным и боковым движениями можно пренебречь, остаются аэродинамические и гироскопические связи. 282 10.2. Задача управления летательными аппаратами с учетом различных факторов. Задачи управления Рассмотрим краткие сведения об особенностях управления лета- тельными мини-роботами и общих требованиях к управляемому полету, об информационных характеристиках процессов управле- ния и аппаратуре для получения информации, а также проведем классификацию средств автоматического управления. Движение БПЛА в пространстве определяется начальными усло- виями и действующими на аппарат силами. В пределах атмосферы на аппарат действуют сила тяги, аэродинамические силы и сила тя- жести. При действии на БПЛА указанных сил его движение непре- рывно возмущается, а параметры полета отклоняются от програм- мных (расчетных). Для получения заданного движения БПЛА необ- ходимо управлять действующими на него силами. Любая из возмущающих сил, действующих на БПЛА, может быть использована для управления движением. При создании сис- тем управления к управляющим силам предъявляются следующие требования: 1) широкий диапазон изменения по величине и направлению; 2) простота реализации управляющих органов; 3) малые затраты энергии на управление; 4) малое влияние управляющих органов на аэродинамическое сопротивление. Рассмотрим способы создания управляющих сил и моментов для некоторых типов БПЛА. На дронах типа самолетов и крылатых ра- кет в качестве управляющих сил обычно используются аэродина- мические и газодинамические силы. На рис. 10.2 дана схема аэродрона, на котором в качестве руле- вых органов применены элероны 4 с триммером 5, стабилизатор 6 и руль направления 7 с триммером 8. Подъемная сила у крылатых БПЛА создается, главным образом, крыльями, частью которых являются элероны, поэтому посредством элеронов можно менять направление и отчасти – величину подъемной силы. Устойчивость и управляемость БПЛА обеспечивается горизонтальным (стабили- затор, нередко стабилизатор и руль высоты) и вертикальным (киль 12 и руль направления 7) оперением. 283 Рис. 10.2. Структурная схема расположения органов управления дрона самолетного типа Управление элеронами и стабилизатором (или рулем высоты) осуществляется посредством рычага, отклоняемого соответственно вправо-влево и вперед-назад. Движение ручки через систему тяг и бустерные механизмы (усилители) 9 и 10 передается элеронам 4 и стабилизатору 6. Для управления рулем направления 1 воздей- ствуют на рычаги 2, которые через бустер 11 передают движение рулю. Поскольку контроллер управляет рулевыми органами не не- посредственно, а через бустерные механизмы, то для создания «чувства» управления применяются загрузочные механизмы 3. Управление дроном в вертикальной плоскости осуществляется отклонением стабилизатора (руля высоты) из нейтрального положе- ния вверх или вниз. Если стабилизатор отклонен вверх (вниз), то под действием встречного потока возникает аэродинамическая сила 1cY , создаваемая стабилизатором и направленная вниз (вверх). Момент z сM этой силы поворачивает дрон относительно оси Oz, увеличивая (уменьшая) угол атаки, вследствие чего меняется подъемная сила крыльев. При изменении подъемной силы меняется высота полета, 284 а момент z сM изменяет угол наклона продольной оси дрона (угол тангажа). Другими словами, стабилизатор (руль высоты) служит для управления углом тангажа и высотой полета. Управление дроном в горизонтальной плоскости осуществля- ется элеронами 4 и рулем направления 7. При нейтральном положе- нии элеронов подъемные силы правого и левого крыльев одинако- вы. Если элероны отклоняются (если правый элерон поднимается, то левый – спускается, и наоборот), то подъемная сила крыла с под- нятым элероном уменьшается, а с опущенным – увеличивается. Разность подъемных сил крыльев обусловливает возникновение момента xM относительно оси Ox , называемого моментом крена. Под действием этого момента самолет накреняется (при этом подъ- емные силы остаются перпендикулярными плоскостям крыльев), в результате чего образуются горизонтальные составляющие этих сил, направленные в сторону крена. Под действием горизонтальных составляющих подъемной силы крыльев центр масс дрона будет перемещаться в горизонтальной плоскости в сторону крена. Таким образом, с помощью элеронов можно управлять углом крена и бо- ковым движением центра масс дрона. При отклонении руля направления вправо или влево от нейтрального положения возникает аэродинамический момент yM относительно оси Oy , называемый моментом рыскания. Под дей- ствием этого момента БПЛА поворачивается в горизонтальной плоскости вправо или влево, вокруг вертикальной оси у, т. е. изме- няется угол рыскания БПЛА. Помимо изменения угла рыскания ме- няется также угол скольжения, т. е. угол, образуемый вектором ско- рости с плоскостью симметрии БПЛА. В результате этого возникает боковая сила, пропорциональная углу скольжения, вызывающая боковое движение БПЛА. Следовательно, с помощью руля направ- ления можно управлять углами рыскания и скольжения, а также боковым движением центра масс БПЛА. В простейшем случае БПЛА рассматриваем как абсолютно твердое тело, движение которого характеризуется шестью степенями свободы. Для управления БПЛА в общем случаем необходимо создать управ- ляющие силы и моменты по трем взаимно перпендикулярным осям и изменять их в соответствии с требуемыми законами управления. 285 Формирование управляющих сил и моментов осуществляется в сис- теме управления в соответствии с информацией о движении БПЛА, при этом система управления должна иметь столько каналов управле- ния, сколько степеней свободы имеет управляемый объект. В ряде случаев БПЛА приходится рассматривать как систему твердых тел (такой системой является, например, геликоптер). Чис- ло степеней свободы такого БПЛА возрастает, поэтому система управления усложняется. Задачи управления БПЛА усложняются при необходимости уче- та упругих свойств. В этом случае БПЛА может совершать аэро- упругие колебания, для уменьшения которых создаются специаль- ные замкнутые контуры управления (помимо контуров управления БПЛА как твердым телом). Согласно вышесказанному движение БПЛА нужно рассматри- вать состоящим из движения центра масс и движения вокруг центра масс. Необходимость управления угловыми движениями вызывает- ся тем, что БПЛА должен занимать вполне определенное положе- ние по отношению к вектору скорости центра масс. В частности, продольная ось БПЛА должна совпадать или быть близкой к на- правлению вектора скорости. Управление движением центра масс необходимо для того, чтобы БПЛА совершал полет по заданной траектории, которая в опреде- ленном смысле должна быть оптимальной. Автоматическое удер- жание центра масс БПЛА на заданной траектории осуществляется специальными контурами управления (контуры управления высо- той, боковым отклонением, скоростью полета и т. д.). Для управления угловыми движениями применяются соответ- ствующие контуры управления (контуры крена, рыскания, тангажа). Динамические характеристики (демпфирование, управляемость, устойчивость) БПЛА в ряде случаев (например, при малых скорост- ных напорах) оказываются неудовлетворительными, поэтому воз- никает необходимость их улучшения средствами автоматики. Для этого применяются автоматы устойчивости, демпфирования и другие устройства. Летательный аппарат совершает полеты в переменных внешних условиях (изменение характеристик атмосферы, изменение веса и мо- ментов инерции и т. д.), что приводит к изменению его динамических параметров (демпфирование, постоянные времени, коэффициенты эф- 286 фективности управляющих органов и др.) и к изменению их реакции на внешние возмущения. Для сохранения одинаковой (в общем случае минимально возможной) реакции БПЛА на возмущения в переменных внешних условиях системы управления полетом должны иметь пере- менные параметры, а иногда и переменную структуру, т. е. ЛМР должны быть самонастраивающимися системами. Полет БПЛА должен быть оптимальным, причем оптимальность обычно понимается в широком смысле (например, обеспечиваются минимальный километровый расход топлива энергии, минимальное время достижения цели, максимальная дальность полета и т. д.). Системы управления должны обеспечивать оптимальность режи- мов полета. Когда БПЛА, получая информацию о цели, стремится к встрече с целью, а цель, имея информацию о БПЛА, уклоняется от встречи или противодействует встрече, то возникает характерная игровая задача с двумя участниками игры. Задачу управления полетом можно трактовать как игровую также и в том случае, когда в каче- стве одного игрока выступает система управления, а в качестве вто- рого – погода (возмущения на БПЛА и на систему управления). Очевидно, что задачи систем управления, расположенных на БПЛА и на цели, противоположны. Алгоритмы, решающие задачи поведения, преследования, уклонения, разрабатываются на основе теории игр. Летательные аппараты, особенно мини-роботы, совершают полет группами, образуя, например, строй, который с точки зрения управ- ления им должен рассматриваться как единая динамическая сис- тема. Системы автоматического управления строем являются раз- новидностями систем управления полетом. Автоматизация управления полетом БПЛА должна быть комплекс- ной, т. е. такой, при которой автоматизируется вся последовательность взаимосвязанных функций, таких как сбор информации об этапах и режимах полета, переработка информации и формирование законов управления, исполнение команд и т. д. Комплексирование систем осу- ществляется на базе контроллеров, микропроцессоров, работающих по программам, написанным на основе нейросетевых, генетических, эво- люционных с использованием нечетной логики алгоритма. Все возмущения, действующие на систему «БПЛА–система управления», можно разделить на полезные, которые система долж- на воспроизводить без искажений, и вредные, на которые система 287 должна слабо реагировать. При этом как полезные, так и вредные возмущения могут быть детерминированными и случайными. При управлении движением БПЛА должны быть достигнуты: заданное качество переходного процесса; точность исполнения команд; слабая реакция на внешние возмущения; точное наведение на цели; оптимальность движения (минимальный расход, минимизация времени полета, максимальная дальность и т. д.); безопасность полета. Таким образом, управление полетом должно сводиться к управ- лению параметрами режима полета угловыми и линейными коор- динатами, скоростями и ускорениями, характеризующими движе- ние БПЛА по отношению к цели и к другим аппаратам и т. д. Сле- довательно, для функционирования систем управления необходима информация об указанных параметрах режимов полета. Классификация средств автоматизации летательных аппаратов Из рассмотрения задач, выполняемых системами автоматическо- го управления, следует, что они должны состоять из ряда автомати- ческих устройств. На пилотируемых дронах (геликоптерах) к числу этих устройств относятся автоматы управления, автопилоты, авто- маты тяги и командные системы управления. Автоматы управления (демпферы крена, тангажа и рыскания, автоматы устойчивости) служат для улучшения динамических харак- теристик – управляемости и устойчивости БПЛА. При применении автоматов управления динамика БПЛА становится более точной. Автоматические устройства, воздействующие на управляющие ор- ганы самолета (рули высоты и направления, элероны и т. д.) и обеспе- чивающие автоматическое пилотирование, называются автопилота- ми. Близкими по своим функциям являются автоматы тяги – автомати- ческие устройства, служащие для управления скоростью полета. Командные системы управления служат для обработки разнооб- разной пилотажно-навигационной информации, необходимой для управления на траектории полета, и выдачи ее контроллеру в удоб- ном для управления виде или подачи ее в автопилот. При примене- 288 нии командных систем роль контроллера сводится к отработке сформированных командных сигналов. Совокупность указанных автоматических устройств образует сис- тему автоматического управления (САУ). Эта система может также включать ряд дополнительных устройств, обеспечивающих управ- ление аэроупругими колебаниями ЛМР со средой, управление групповым полетом. Системы автоматического управления дронов должны включать автопилоты и ряд автоматических устройств, обеспечивающих наведение на цель, маневрирование и т. д. Автопилот, включающий каналы управления угловыми движениями и скоростью полета, называют автоматом стабилизации, а автоматическое устройство наведения на цель – системой наведения. При такой трактовке САУ беспилотных БПЛА состоит из автомата стабилизации и системы наведения. Автопилот является одним из важнейших элементов любой САУ. Автопилоты различаются структурными особенностями, за- конами управления, формой сигналов – носителей информации, числом каналов управления и др. Принцип действия автопилота виден из схемы системы управле- ния самолетом, изображенной на рис 10.3. Информация об углах , , ,    и угловых скоростях , ,x y z   (крена, рыскания и тан- гажа) от измерительных систем подается в блок формирования ко- манд системы управления. Вырабатываемые в блоке команды по- ступают на рулевые системы э н сРМ , РМ и РМ , которые изменяют соответственно положение элеронов, руля направления и стабилиза- тора в таком направлении, чтобы устранить изменения угловых коор- динат и скоростей. В блок формирования команд подаются также сигналы обрат- ной связи, пропорциональные углам отклонения рулевых органов э н сδ , δ и δ . В ряде случаев в блок формирования команд подаются сигналы ускорений (перегрузок), предельных значений параметров режима полета и т. д. Если необходимо стабилизировать координаты центра масс БПЛА (высоту полета H и боковое отклонение б ),Z то помимо угловых координат и скоростей измеряют величины 289 0 б 0 бΔ и Δ ,H H H Z Z Z    где 0 б 0 и H Z – требуемые значения высоты и боковой координаты. Рис. 10.3. Функциональная схема системы управления самолетом В этом случае система управления будет работать до тех пор, пока рассогласования бΔ и ΔH Z не будут устранены. Система управления позволяет автоматически выполнять угло- вые маневры. Для этого в блоке формирования команд задаются углы      3 3 3, ,t t t   и  3 t как функции времени и система управления полетом, исполняя команды, обеспечивает выполнение равенств            3 3 3, ,t t t t t t         и    3t t   , т. е. в этом случае система управления работает в режиме слежения. Если сигналы      3 3 3, ,t t t   и  3 t формируются в систе- ме наведения (самонаведения) на основе информации о цели, то сис- тема управления обеспечивает наведение БПЛА на цель (воздуш- 290 ную или наземную). При управлении строем летательных аппаратов сигналы      3 3 3, ,t t t   и  3 t вырабатываются в системе из- мерения дистанции, интервала и превышения. Следует только ука- зать, что при управлении группой в системе управления необходи- мо сформировать еще один канал – канал управления скоростью полета путем изменения тяги двигателей. Из рассмотрения схемы следует, что система автоматического управления полетом БПЛА является многоканальной (число кана- лов равно числу рулевых органов), причем все каналы, замыкаемые через звенья, отображающие динамику и кинематику БПЛА, оказы- ваются связанными между собой. Каждый канал управления, в свою очередь, является многоконтурным. На рис. 10.4 дана структурная схема системы управления полетом. Рис. 10.4. Структурная схема системы управления полетом Основными элементами системы управления являются: – датчики информации δ θИ , И , ИQ соответственно о координа- тах рулевых органов, параметрах, характеризующих динамику ЛМР, и параметрах, характеризующих его кинематику; – блок формирования команд (БФК), включающий вычислитель- ные, преобразовательные, усилительные и другие устройства; – рулевые устройства (РУ). Динамические свойства замкнутой системы, включающей САУ и БПЛА, определяются динамическими свойствами составляющих ее элементов и способами их соединения. Более подробно вопросы динамики и управления летательными аппаратами некоторых типов рассматриваются в следующих главах. 291 Глава 11. ДИНАМИКА ПЛОСКОГО ПРОДОЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА АЭРОПЛАННОГО ТИПА 11.1. Линеаризация уравнения динамики в двумерном случае Рассмотрим плоское движение БПЛА, при котором вектор ско- рости центра масс совпадает с вертикальной плоскостью Oxy . Такое движение называется продольным. Введем следующие обозначения: X – сила лобового сопротив- ления; Y – подъемная сила; G – сила тяжести; θ – угол наклона траектории; m – масса; P – сила тяги, принимаемая совпадающей по направлению с продольной осью БПЛА (рис. 11.1). Рис. 11.1. Продольное движение БПЛА Выберем систему координат 0xy с началом в центре масс БПЛА, направив ось 0x по касательной, а ось 0y – по нормали к траектории. Предположим, что на аппарат по осям 0 и 0x y действуют возмущения в ви ,X Y смысл которых будет в дальнейшем детализирован. Проецируя силы, действующие на БПЛА, на оси координат и Ox Oy соответственно, получим 292 в d cosα sinθ ; d Vm P X G X t     (11.1) в dθ sinα cosθ . d mV P Y G Y t     (11.2) Обозначим через .в, и z z zM J M соответственно суммарный мо- мент аэродинамических сил, действующий относительно попереч- ной оси ,Oz проходящей через центр масс, и направленный пер- пендикулярно плоскости рисунка, момент инерции относительно той же оси Oz и возмущающий момент. Уравнение моментов отно- сительно поперечной оси имеет вид 2 .в2 d J . dz z z J M M t   (11.3) Добавим к этим уравнениям кинематическое уравнение, связы- вающее углы θ, и α (см. рис. 11.1): θ + α.  (11.4) Из этих четырех уравнений движения при заданных силах и момен- тах можно определить величины , θ, и αV  как функции времени. Уравнения (11.1)–(11.4) описывают движение БПЛА в системе координат, связанной с центром масс аппарата. Для определения движения БПЛА по отношению к системе координат, связанной с Землей, к уравнениям (1.1)–(1.4) необходимо добавить кинемати- ческие уравнения d sinθ; d H V t  (11.5) d cosθ, d L V t  (11.6) где и H L – соответственно высота полета и пройденное расстояние. 293 Система дифференциальных уравнений (11.1)–(11.6) является нелинейной математической моделью продольного движения ле- тательного аппарата. Эта система уравнений используется при исследовании динамики полета. При аналитическом исследовании пользуются линеаризованными уравнениями. Для вывода линеаризованных уравнений установим зависи- мость сил и моментов от величин в д, θ, , ω , α, , δ и . δzV H Сила тяги двигателя P зависит от параметров двигателя и внеш- них условий, определяемых скоростью полета ,V давлением нp и температурой нT атмосферы и др. В общем случае можно написать  н н д, , , δ .P P V p T (11.7) Аэродинамические силы и моменты представляются в виде ; ; ,x y z zX c Sq Y c Sq M m bSq   (11.8) где иx yc c – соответственно коэффициенты лобового сопротивле- ния и подъемной силы; S – площадь крыльев; 2ρ 2 Vq  – скоростной напор; zm – коэффициент момента тангажа; b – длина средней аэродинамической хорды крыла. Возмущающие силы в в и X Y и момент в ,zM действующие на БПЛА, обусловлены горизонтальными и вертикальными порывами ветра (характеризуемыми величинами Δ xU и Δ ),yU изменениями веса ΔG , импульсными возмущениями в в в, и ,zX Y M   например, вызванными разрывами вблизи БПЛА и др. Порывы ветра изменяют действующие на БПЛА аэродинамические силы и моменты. Для приближенной оценки реакции БПЛА на указанные возму- щения пренебрегают изменением моментов и изменения аэродина- мических сил вследствие порывов ветра заменяют эквивалентными им ускорениями. Тогда 294 'в в 'в в 'в 1 в dΔ sinθ ; d dΔ cosθ ; d , x y z z UX m G X t U Y m G Y t M Gl M             где 1l – расстояние центра масс сбрасываемого груза до центра масс БПЛА. Для линеаризации уравнений (11.1)–(11.6) предполагается, что невозмущенное движение летательного аппарата характеризуется параметрами 0 0 0 0 0, α , , θ ,,V H удовлетворяющими тем же уравне- ниям. В качестве невозмущенного движения можно взять: 1) горизонтальный полет с постоянной скоростью; 2) полет с заданным наклоном траектории; 3) полет при известном программном изменении некоторых из величин, например, или V H и т. д., рис. 11.2 и 11.3. Рис. 11.2. Графики зависимости коэффициента zm от угла атаки α Рис. 11.3. Графики зависимости коэффициента zm от отклонения руля вσ Пусть в некоторый момент времени вследствие возмущений, действующих на БПЛА, можно записать 295 0 Δ ;V V V  0 α α Δα;   0 Δ ;    0θ θ Δθ;   0 Δ ; ,H H H   где Δ , Δα, Δ , Δθ, ΔV H – малые приращения указанных пара- метров. Из этих выражений видно, что движение БПЛА можно представить состоящим из невозмущенного движения и малых отклонений от него. Разлагая силы , ,X Y P и момент zM в ряды Тейлора по малым приращениям и ограничиваясь линейными членами приращений, получим α 0 0 0 0 0 δ 0 0 0 0 0 д 0 в α 0 0 0 0 0 0 0 0 δ 0 0 0 0 д 0 в 2 α α 0 02 d ( sinα ) α ( cosα ) d cosθ θ ( cosα ) δ cosα ; dΔ ( cosα ) a sinθ Δθ ( sinα ) d ( sinα ) δ sinα ; d d α d dd z V V H H H H V V z z z z Vm P x P X V t G P X H P X mV P Y G P Y t H P Y V P Y J M M M dtt                                     0 δ 0 0 в в 0 0 0 δ ; d cosθ θ sinθ ; θ α, d V z H z z z M V t M H M M H V V t               (11.9) где члены с верхними индексами обозначают частные производные по соответствующим переменным в окрестности невозмущенного движения, которое обозначено нижним индексом «0». 296 Для частных производных, входящих в уравнения (11.9), с учетом выражений (11.8) можно написать     α α α α 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ω ωα α 0 0 0 00 0 α α0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ; ; 1 2 ; ; 2 ; ; ; ; 1 2 ; ; 2 ρ ρ ρ ρ ρ ;ρ z z x z z V M V V x x z z H H H H H x x z z y z z V M y y z z H H H y y z X c Sq M m bSq qX c M c S M m bSq V qX c c S M m bSq Y c Sq M m bSq qY c M c S M m bSq V qY c c S M                      δ δ0 0 0.zm bSq   Здесь α VM  – число Маха, где α – скорость звука. При дальнейших преобразованиях воспользуемся тем, что ; ; ; . H M H H M H H M H x x y y z z H H H C C M C C M m m M V MM a a a            Используемый в формулах параметр ρ является функцией высоты:   1β 13 1 3 гρ ρ 1 ; β ,HH T T H    где 1 3 β ; T   1 г 1β ;β R 297 гβ – градиент температуры; R – газовая постоянная; HT – температура на высоте Н; 3 3 и ρT – температура и плотность атмосферы на уровне моря. После этого находим 0 0 0 0 0 г 0 0 0 0 0 0 0 г 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ; 1 ; . H H Mx x H yH H M y H H M H z z c MX a c Sq R T a c MY a c Sq R T a MM m a bSq a                           В целях сокращения записи введем относительные величины 0 0 a Δ ; ,τ V tt V    где a 0 0 τ ρ m SV  – аэродинамическая постоянная времени БПЛА. Вместо приращений Δ , Δα и Δθ будем писать , α и θ, прида- вая последним величинам смысл тех же приращений. Уравнения (11.9) с учетом введенных обозначений можно пред- ставить в виде 11 12 13 12 д д 1 21 22 23 24 д1 д 2 2 31 0 32 33 34 в в 3 41 42 42 4 ( ) ; ( ) ( ) ; ( ) ( ) ; . p n n n n h n f n p n p n n h n f n n p n p n p n h n f n n n ph f                                    (11.10) 298 Здесь d ; d p t  0 0 11 0 0 0 0 0 0 cosα1 ; 2 α ρ M M x x Pn c M c SV     α12 0 01 ; 2 x yn c c  13 0 1 ; 2 y n c 2 г a 0 0 0 0 0 0 14 0 0 0 10 β τ cosα 2 ; 2 ρ 1 2 M x x H M P c M cn M T SV             2 δ 0 0д 0 0 cosα ;ρ Pn SV  21 0 0 0 1 ; 2 M y yn c M c   α22 0 01 ; 2 y xn c c  23 0 1 ; 2 x n c 2 0 0 0г a 0 0 0 24 0 0 0 10 2β τ sinα ; 2 ρ 1 2 MM y y H c M cM Pn M T SV             299 δ 0 0д1 2 0 0 sinα ;ρ Pn SV  31 0 0 ; M zn M m  α 0 0 a μ ; zmn    α 32 0μ ; zn m  ω 0 33 a μ ; z zmn    0 г a 34 0 0 0 β τ ; 2 M z H Mn m V T   нδв 0μ ; zn m  2 0 ; 2 ρz bm r S   0 0 0 0 2 0 0 cos2 ;ρx x Pc c SV    41 0 42 0sinθ , cosθ ; n n  a 0 Δ ; Hh V   300 0 в 1 2 2 0 0 0 0 Δ sinθ ;ρ ρx G Xf p SV SV     0 в 2 2 2 0 0 0 0 Δ cosθ ; ρ ρy G Yf p SV SV     в1 1 2 2 0 0 0 0 Δ ;ρ ρ zMlGf bSV b SV   4 ; yf   0 Δ ; xx UV  0 Δ ;yy U V   zr – радиус инерции самолета. Система дифференциальных уравнений (11.10) является линейной математической моделью продольного движения летательного аппарата. Входящие в уравнения (11.10) коэффициенты ikn являются из- вестными функциями времени. В короткие промежутки, не превос- ходящие постоянную времени aτ более чем на один порядок, их можно принять постоянными. В табл. 11.1 даны значения этих ко- эффициентов для БПЛА для случая прямолинейного горизонталь- ного полета с постоянной скоростью. Коэффициенты уравнений (11.10) безразмерны, поэтому по ним трудно судить об изменении динамических характеристик БПЛА по режимам полета. 301 Таблица 11.1 Коэффициенты функции времени Коэффициент ЛМР 11 км,H  0,9,M  aτ 3,8 c 15 км,H  2,5,M  aτ 2,5 c 11n 0,024 –0,01 12n –0,11 –0,08 13n 0,2 0,2 14n –0,0004 –0,0004 21n –0,4 –0,68 22n 2,4 2,5 23n 0 0 24n –0,012 –0,013 31n 0 –0,8 0n 0,4 0,7 32n 38 16 33n 2,45 2,2 34n –0,053 –0,055 вn 49 100 дn 0,022 0,02 Для учета влияния режимов полета на динамику самолета рас- смотрим размерные коэффициенты ikn , которые связаны с коэффи- циентами ikn соотношениями   a 1, 2, 3; 1, 2, 3, 4 ;τ ik ik nn i k    д 33 0 вд 33 0 в a a a a ; ; ; ;τ n n n nn n n n         302  33 2 a 1, 2, 4 .τ k k nn k   Поскольку постоянная времени aτ зависит от скорости полета и плотности воздуха (высоты), то все размерные коэффициенты ме- няются по режимам полета. Коэффициенты 12 13 22 0 33, , , ,n n n n n ма- ло зависят от 0 0ρ и ,V поэтому 12 13 22 0 33 0 0, , , , ~ ρ .n n n n n V     Коэффициенты 31 32 в, и n n n обратно пропорциональны плотно- сти 0ρ (поскольку коэффициент μ пропорционален 0 1 ),ρ поэтому, учитывая их связь с размерными коэффициентами, находим 2 31 32 в 0 0, , ~ ρ .n n n V   Коэффициенты 11 14 д 21 24 34, , , , и n n n n n n являются сложными функциями от 0 0ρ и ,V поэтому и соответствующие размерные ко- эффициенты являются сложными функциями тех же параметров. Рассмотрим природу коэффициентов ikn . Коэффициенты 11 22, ,n n 33n характеризуют степень естественного демпфирования движений по каналам , α и ,  причем чем они больше, тем быст- рее затухают движения. Коэффициенты   ikn i k с разными индексами характеризуют перекрестные связи между каналами , α, и .h  Эти связи могут быть слабыми, средними и сильными. Слабые связи, соответст- вующие коэффициентам 14 24 34, и ,n n n учитывающим изменение плотности воздуха с высотой полета, оказывают влияние на движе- ния БПЛА с очень малыми частотами (порядка тысячных долей герца), не имеющими значения для управляемого полета. Средние связи, соответствующие коэффициентам 12 21 13 31, , и n n n n , характе- 303 ризуют взаимное влияние канала скорости полета  и каналов α и . Эти связи существенны в области частот фугоидных колеба- ний и являются причиной появления последних. Сильные связи, характеризуемые коэффициентами 23 32 и ,n n проявляются на всех частотах, в том числе и на частотах короткопериодических колеба- ний, которые обусловлены этими связями. Коэффициент  α32 0~ zn m характеризует продольную статиче- скую устойчивость, причем если 32 0n  (или α 0zm  ), то БПЛА устойчив, в противном случае неустойчив. Эффективность регули- рующих органов характеризуется коэффициентами д д1 в, .,n n n 11.2. Частные случаи продольного движения. Передаточные функции и частотные характеристики При полете с незначительным изменением высоты членами 14 24 34, иn h n h n h в уравнениях (11.10) можно пренебречь. В этом случае вместо системы (11.10) получаем           11 12 13 д д 1 21 22 23 д1 д 2 2 31 0 32 33 в в 3 41 42 42 α δ ; α δ ; α δ ; α .y p n n n n f n p n p n n f n n p n p n p n f n n n ph                                (11.11) Первые три уравнения системы (11.11) могут быть исследованы независимо от последнего уравнения. Если предположить, что ручка управления двигателей и руль высоты фиксированы  д вδ δ 0 ,  а внешние возмущения отсутствуют  1 2 3 0 ,f f f   то получим систему, описывающую собственные движения (коле- бания) ЛМР. Характеристическое уравнение этой системы имеет четыре корня, которые могут быть либо вещественными, либо попарно сопряжен- ными комплексными. Обычно одна пара корней по абсолютной 304 величине значительно больше (более чем на порядок) второй пары. Пара больших корней соответствует так называемому короткопери- одическому движению, т. е. угловому колебанию БПЛА относи- тельно центра масс. При этом изменяются углы атаки и тангажа, а скорость полета неизменна. Пара малых корней характеризует длиннопериодическое (фугоидное) движение, при котором изменя- ются скорость полета и угол тангажа. При фугоидном движении сумма моментов относительно поперечной оси равна нулю. Для рассмотрения короткопериодического движения положим 0,  тогда из системы (11.11) получим      22 220 32 33 в в 3 α ; α δ ; α γ .y p n p f n p n p n p n f ph                В горизонтальном полете эта система сведется к уравнениям      22 220 32 33 в в 3 α ; δ . p n p f n p n p n p n f              (11.12) Из уравнений (1.12), применяя преобразования Лапласа при ну- левых начальных условиях, получим передаточные функции              в 22δ 2 2в 0 0 0 вδα 2 2в 0 0 0 ; 2 ω ω α ,δ 2 ω ω p n p n W p p p d p p p nW p p p d p               (11.13) где 20 32 22 33 0 0 0 22 33ω ; 2 ω .n n n d n n n     Из выражений (11.13) следует, что БПЛА по отношению к углу атаки α является колебательным звеном, тогда как по отношению 305 к углу тангажа  его передаточная функция может быть представ- лена в виде последовательного соединения колебательного, форси- рующего и интегрирующего звеньев (рис. 11.4). Рис. 11.4. Структурная схема динамики ЛМР На рис. 11.5 динамика БПЛА в соответствии с системой уравне- ний (11.12) характеризуется двухканальной структурной схемой с асимметричными перекрестными обратными связями. Поскольку каждый из каналов включен в обратную связь другого канала, это дает ясное представление о динамике системы и позволяет легко находить любую из передаточных функций. Рис. 11.5. Структурная схема динамики БПЛА Для получения частотных характеристик БПЛА положим в выражениях (11.13) ω,p j где ω – относительная частота, связанная с частотой  соотноше- нием аω = τ ω . 306 Тогда амплитудные частотные и фазовые частотные характе- ристики будут определяться выражениями         2 2в 22 22 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 0 0 22 0 2 2 0 0 22 0 ωω ; ω ω ω 4 ω ω 2 ω ω ω ωφ arctg ; 2 ω ω ω n n A d d n d n                           в2 2 2 2 20 0 0 0 0α 2 2 0 ω ; ω ω 4 ω ω 2 ω ωφ arctg .ω ω nA d d        (11.14) Оценим ширину области существенных частот БПЛА, для чего условимся считать существенными такие частоты, при которых ам- плитуда колебаний угла атаки составляет 5 % от амплитуды на ну- левой частоте, рис. 11.6. Из выражения (11.14) получаем наиболь- шую частоту ωm из области существенных частот:  22 20 0 0ω ω 1 2 1 0,11.m d d     Рис. 11.6. Графики зависимости частоты и коэффициента демпфирования от режимов полета а б в 307 Уравнения длиннопериодического движения можно получить из системы (11.11), если учесть равновесие моментов относительно поперечной оси:    11 12 13 д д 121 22 д1 д 2 31 32 в в 3 α δ ; α δ ; α δ . p n n n n f n p n p n f n n n f                   (11.15) Особенности этого движения определяются свойствами характе- ристического уравнения системы (11.15): 2 1 2 0,p A p A   где  311 11 12 13 32 ; nA n n n n    31 2 13 21 22 32 .nA n n n n       Если предположить, что угловые координаты и α стабилизи- рованы быстродействующим автопилотом, то α 0  и вместо системы (11.15) получим  11 д д 1.p n n f     Это выражение, приближенно описывающее движение центра масс БПЛА, будет использовано при рассмотрении автоматов ско- рости полета. 308 Глава 12. УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ ЦЕНТРА МАСС БЕСПИЛОТНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА 12.1. Линейная модель управления высотой полета Движение центра масс БПЛА должно совершаться по програм- мной траектории. Выбор траектории полета обусловливается раз- личными факторами, среди которых основными являются безопас- ность полета, экономичность, тактические соображения и др. При реализации систем управления движением центра масс предусматривается управление высотой полета, боковым отклоне- нием, пройденным расстоянием, горизонтальными, вертикальными и боковыми составляющими скоростей и ускорений. Для формирования контура управления высотой полета необходи- мо получать информацию о высоте с помощью, например, барометри- ческого высотомера, информацию о скорости изменения высоты, по- лучаемую путем дифференцирования сигнала высоты, информацию об угле тангажа, которая необходима для демпфирования движения центра масс, и информацию об угловой скорости тангажа, необходи- мую для демпфирования угловых движений. Схема на рис. 12.1 отра- жает указанную структуру сигналов для статического автопилота. Рис. 12.1. Структурная схема системы управления высотой полета Рассмотрим работу схемы при отклонении высоты полета от за- данной, например, при наборе высоты (рис. 12.2). В горизонтальном установившемся полете (точка 1) между вектором скорости V 309 и продольной осью БПЛА x имеется положительный угол атаки 0α . Пусть в точке 2 автопилотом с помощью привода управления создано рассогласование 3h h h   (где 3h и h – соответственно заданная и фактическая относительные высоты полета), под дей- ствием которого произойдет отклонение руля высоты и продольной оси x кверху, при этом угол атаки получит приращение 0Δα = α α , что приведет к увеличению подъемной силы. Вследствие этого век- тор скорости начнет поворачиваться вверх и траектория полета ис- кривится. В точке 3 уменьшается рассогласование h и возрастает угол тангажа, что приведет к уменьшению угла отклонения руля высоты. При этом уменьшатся угол атаки и приращение подъемной силы, поэтому вектор скорости перестанет поворачиваться. Между точками 3 и 4 имеется такая точка, в которой рассогласование h становится равным углу тангажа, поэтому руль высоты займет нейтральное положение, а угол атаки станет равным значению 0α , которое было в горизонтальном полете. При дальнейшем наборе высоты h продолжает уменьшаться, поэтому под действием сиг- нала угла тангажа руль будет отклонен вниз, а угол атаки станет отрицательным (точка 4). Траектория полета будет искривляться выпуклостью вверх, пока ЛА не перейдет в точке 5 в горизонталь- ный полет. Теперь угол атаки опять будет равен 0α . Рис. 12.2. Схема набора высоты 310 Из изложенного видно, что при автоматическом управлении вы- сотой полета БПЛА совершает сложное движение в вертикальной плоскости. Рассмотрим процессы управления высотой полета БПЛА с помо- щью статического автопилота, схема которого изображена на рис. 12.1. Из схемы следует закон управления автопилота, который имеет вид    в 3.h h hk k p h k k p k h       (12.1) Предположим, что элементы системы управления не имеют динамических погрешностей, что обычно реализуется, поскольку движение центра масс является относительно медленным. Возьмем уравнение БПЛА, полагая скорость полета постоянной, в виде       0 4 3 14 3 2 ; , p b p a ph F p h a h F          (12.2) где  1 1 в 2 2 в 22; ;a c n k a c n k n k        3 в 22 4 в 22; ;h ha n n k k a n n k     4 3 20 в 1 2 3 4; Δ ,hb n k p p a p a p a p a      а величины 1 2 и F F – внешние возмущения, вызванные факторами 2 3, и .yf f  Устойчивость системы (12.2) следует из неравенства   23 1 2 3 1 4 0,a a a a a a   а критический коэффициент усиления hk имеет вид       в 222 в 221 в 1 в .hh h n n k kc n k n k k k k c n k c n k                  (12.3) 311 Из выражения (12.3) видно, что для увеличения коэффициента hk необходимо увеличивать коэффициенты , и .hk k k   Заметим, что управлять высотой полета без информации об угле и угловой скоро- сти тангажа невозможно. Это, в частности, следует из выражения (12.3), если в нем и k k  положить равными 0. При этом сигнал угловой скорости необходим для демпфирования угловых движений, а сигнал угла – для демпфирования движений центра масс. Передаточные числа системы управления высотой полета будем выбирать из условий получения заданного переходного процесса. Для этого требуется, чтобы передаточная функция по управляющему сигналу   44 3 2 1 2 3 4 h aW p p a p a p a p a      (12.4) совпадала со стандартной передаточной функцией   40 4 3 2 2 3 1 2 3 4 Ω ,Ω Ω Ω ΩW p p A p A p A p     (12.5) где 1 2 3, , и ΩA A A – заданные величины. В табл. 12.1 даны значения величин 1 2 3, ,A A A для случаев бли- зости частотных характеристик, стандартных коэффициентов и кратных корней. Что касается частоты Ω, то она определяет время регулирования. Таблица 12.1 Характеристики Рассматриваемый случай 1A 2A 3A Близость частотных характеристик 2,62 3,08 2,62 Стандартные коэффициенты 3,41 4,24 3,41 Кратные корни 4 6 4 312 На рис. 12.3 даны графики переходных процессов для случая крат- ных корней (кривая 1), стандартных коэффициентов (кривая 2) и бли- зости частотных характеристик (кривая 3). Видно, что наиболее приемлемым является переходный процесс при кратных корнях (время регулирования не превышает 30 с). Рис. 12.3. Графики переходного процесса Из сравнения коэффициентов передаточных функций (12.4) и (12.5) получаем выражения для передаточных чисел:        3 24 3 2 22 22 2 1 22 в 22 в 22 2 2 2 1 22 1 22 1 1 в в Ω 1; Ω Ω ; 1 1Ω Ω ; Ω . h hk k A A n n c c nn n n n k A c c n A n k A c n n                П р и м е р 12.1 Требуется найти передаточные числа для дрона с параметрами 1 2 в 22 а5,5, 42, 46, 2,4, τ 2,5 сc c n n     в случае кратных кор- ней  1 3 24, 6A A A   и частоты Ω 4 : 2,32; 0,625; 0,625; 0,23.h hk k k k      313 Размерные передаточные числа по угловым координата будут град град0,625 ; 0,575 .град град/саk k k k        Размерные передаточные числа и h hk k найдем из соотношений н в н в a δ δ δ δτ и h hk V k Vh H ph H     или ' a и .τ h h h h kkk k V V    Если 300 м/с,  то 2,32 град 0,625 град0,003 ; 0,002 . 2,5 300 с 300 м/сh hk k      Найденные передаточные числа и k k  имеют тот же порядок величин, что и значения, полученные при исследовании угловых движений. Это обстоятельство позволяет пользоваться одними и теми же передаточными числами как при управлении угловыми движениями, так и при управлении движением центра масс. Анализ структуры коэффициента  3 в 22 ha n n k k   в переда- точной функции (12.4) показывает, что передаточные числа и hk k  равнозначны. Уменьшение одного из этих передаточных чисел можно компенсировать увеличением другого. Например, переда- точное число hk  можно положить равным нулю, увеличив соответ- ственно передаточное число .k Эквивалентность этих передаточ- ных чисел вытекает из кинематического уравнения ,yph     т. е. угол тангажа с точностью до y   совпадает с производной 314 от сигнала высоты. Учитывая эти обстоятельства в продольных каналах автопилотов сигнал h почти никогда не используется, а соответствующее демпфирование движений центра масс достига- ется за счет сигнала угла тангажа. При использовании астатического автопилота для управления высотой полета закон управления обычно имеет вид   2в 31 .hk k p k p k h hp         (12.6) Отметим, что астатические автопилоты не имеют преимуществ перед статическими автопилотами. 12.2. Управление высотой полета при учете случайных возмущений со стороны воздушной среды Рассмотрим поведение самолета со статическим и астатическим автопилотами в турбулентной атмосфере. Статические характеристи- ки турбулентной атмосферы зададим в виде спектральной плотности   22 22α σω ,α ωS     где 2 – дисперсия скорости порывов ветра. Реакция БПЛА со статическим и астатическим автопилотами бу- дет определяться уравнениями    1 1Δ ;yp h L p  (12.7)    2 2Δ ,yp h L p  (12.8) где    1 2Δ и Δp p – полиномы четвертого и пятого порядков, по- лучаемые в результате совместного решения уравнений законов 315 управления (12.1) и (12.6). Полиномы    1 2 иL p L p в правых час- тях уравнений (12.7) и (12.8) имеют вид     21 22 33 в в ;L p h p n n k p n k        3 22 22 33 в в в .L p h p n n k p n k p n k     & & Для вычисления дисперсии ошибок статической и астатической систем можно воспользоваться соотношениями       2 12ст 10 ω1σ ω dω;ω L j S j     (12.9)       2 22аст 20 ω1σ ω dω.ω L j S j     (12.10) Поскольку непосредственное использование формул (12.9) и (12.10) затруднительно ввиду их громоздкости, то применим кос- венный способ оценки. Для этого заметим, что подынтегральные выражения в формулах (12.9) и (12.10) отличаются множителями         2 2 1 2 1 2 ω ω и ω ,ω L j L j j j  которые рассмотрим применительно к частному случаю кратных корней:       2 4 2 1 1 2 42 21 ω ω ω ;ω Ω L j B B j     (12.11)       2 6 4 2 2 2 3 52 22 . Ω L j B B B j            (12.12) 316 При 0 эти функции принимают значения соответственно 8 2 /ΩB и 102 ,/ΩB а при  обращаются в нуль. Предположим, что параметры систем выбраны так, что частоты Ω у них одинако- вы. Тогда коэффициент 3 вB n k  примерно на порядок больше ко- эффициента 2 вB n k вследствие того, что передаточное число k для астатической системы примерно на столько же больше, чем для статической. В таком случае выражения 82 /ΩB и 102 /ΩB имеют одинаковый порядок величин и, следовательно, функции (12.11) и (12.12) будут практически совпадать. Вследствие этого дисперсии ошибок 2стσ и 2астσ будут иметь один порядок величин. Таким образом, статическая и астатическая системы управле- ния высотой полета при прочих равных условиях в турбулентной атмосфере ведут себя одинаково. При выборе систем управления высотой полета следует отдать предпочтение статической системе как более простой. Рассмотренный случай поведения дрона самолетной схемы с ав- топилотом в турбулентной атмосфере показывает, что для умень- шения дисперсии ошибки выдерживания высоты полета необходи- мо увеличивать передаточные числа автопилота. Если на систему, кроме турбулентных возмущений, действуют помехи на входном управляющем сигнале, то требования к автопилоту будут другими, в частности, большие передаточные числа автопилота могут ока- заться вредными. Предположим, что полет совершается над неровной поверхно- стью, а высота измеряется радиовысотомером (рис. 12.4). Если не- ровности земной поверхности имеют достаточную протяженность, то радиовысотомер будет давать показание н ,h h h   где h – средняя высота, которую необходимо выдерживать посто- янной; нh – высота неровностей. 317 Рис. 12.4. Схема полета над неровной поверхностью Если сравнить показание высотомера h с требуемым значением высоты 3,h то получим сигнал рассогласования на входе в автопи- лот 3 нΔh h h h   (см. рис. 12.4). Следовательно, на величину нh можно смотреть как на помеху, вводимую в систему вместе с по- лезным сигналом 3.h Из схемы (рис. 12.5) видно, что на систему действуют помеха нh и вертикальные порывы ветра .y Поведение системы при этих условиях, как легко получить из второго уравнения (12.2), описыва- ется уравнением      4 3Δ ,н yp h a h h L p    где полином  L p в уравнении (12.8) был обозначен  1 .L p Рис. 12.5. Функциональная схема системы управления 318 Так как по предположению 3h постоянно, найдем только ту часть погрешности *,h которая обусловлена помехами н , и yh  т. е.    * 4 нΔ yp h a h L p   или       * н 1 ,yh W p h W p A p    (12.13) где        4 4; .Δ Δ pLaW p A p p p a    Из уравнения (12.13) следует, что при отсутствии порывов ветра  0y  для уменьшения реакции дрона на неровности нh необхо- димо уменьшать частоту замкнутой системы Ω (или, что то же са- мое, необходимо уменьшать передаточные числа автопилота), т. е. осуществлять фильтрацию помехи нh путем сильного сглаживания. Такое сглаживание ухудшит воспроизведение заданного сигнала управления 3.h Если на дрон действуют порывы ветра, то при ма- лой частоте Ω система будет сильно реагировать на эти порывы. Это значит, что при сильном сглаживании помех нh возрастают помехи от порывов ветра. Уменьшения погрешности от порывов ветра можно достигнуть путем увеличения частоты Ω , но при этом возрастает погрешность от помех н .h Можно выбрать такую час- тоту Ω, при которой погрешность *h будет минимальной. Будем оценивать погрешность *h дисперсией 2σ , которую в предположении, что помехи н и yh  некоррелированы и являются стационарными случайными функциями времени, можно опреде- лить по формуле 319           22 н 0 2 2 0 1σ ω ω dωπ 1 1 ω ω ω dω,π W j S W j A j S          (12.14) где  нS  – спектральная плотность неровностей;  S  – спектральная плотность порывов ветра. Первые сомножители в подынтегральных выражениях являются квадратами частотных характеристик системы для входных сигна- лов соответственно н . и yh  Вид функции  нS  определяется протяженностью неровностей поверхности, скоростью полета, высотой полета и др. Если спектр функции  нS  значительно шире полосы пропускания системы, то в целях упрощения можно принять, что помеха нh является белым шумом. Из выражения (12.14), как и из уравнения (12.13), следует, что при сильном сглаживании   0W j  помехи от неровностей стремятся к нулю, но усиливаются помехи от порывов ветра. Если  ω 1W j  , т. е. если собственная частота системы достаточно велика, то помехи от порывов ветра исчезают, но возрастают помехи от неровностей. Можно подобрать такую частотную характеристику   ,ωW j называе- мую оптимальной, при которой дисперсия 2σ минимальна. Нахождение оптимальной частотной характеристики  W j представляет большую трудность. Для приближенного определения частотной характеристики введем обозначения    221 н 0 1σ ω ω dω;W j S          2 222 0 1σ 1 ω ω ω dω.W j A j S     320 Предположим, что структура автопилота задана, т. е. задан закон управления, и необходимо найти передаточные числа. Меняя, например, передаточные числа автопилота или, что равносильно, частоту замкнутой системы, можно добиться минимизации диспер- сии 2 2 21 2 σ = σ + σ . При возрастании частоты системы дисперсия 21 будет возрас- тать, а дисперсия 22σ – убывать (рис. 12.6). Суммарная дисперсия 2σ будет минимальна в точке пересечения кривых 2 21 2σ и σ . Сле- довательно, параметры автопилота (передаточные числа) необхо- димо выбирать такими, чтобы частота системы Ω соответствовала минимуму 2σ . Рис. 12.6. Графики дисперсии ошибок высоты Следует иметь в виду, что спектральные плотности  н ωS и  ωS помех н и yh  не остаются неизменными в разных усло- виях полета, поэтому частота системы для получения минимума дисперсии должна меняться по условиям полета. Такое изменение частоты (параметров автопилота) может быть достигнуто за счет применения устройств самонастройки. 321 12.3. Управление высотой полета низколетящих дронов Повышенный интерес к полетам на малых и предельно малых вы- сотах обусловлен снижением вероятности пP поражения дрона сред- ствами ПВО (рис. 12.7). Однако при таком полете возрастает вероят- ность сP столкновения самолета с препятствиями. Вероятность до- стижения цели  п1P P   c1 P будет наибольшей при некоторой оптимальной высоте 0.h Анализ показывает, что оптимальная высота полета 0h зависит от рельефа местности и определяется разностью между наименьшими и наибольшими возвышениями. Рис. 12.7. Графики вероятностей столкновения, поражения и выхода на цель Трудности полета на малых высотах при автоматическом пилоти- ровании обусловлены недостатком информации о впереди лежащей местности, быстротечностью процессов, временем реакций приводов на изменяющуюся обстановку и турбулентностью атмосферы. Осо- бого рассмотрения требуют условия полета в городских условиях. Для уменьшения высоты полета и, следовательно, увеличения веро- ятности P достижения цели необходимо иметь измерительные устрой- ства для получения информации о рельефе местности, впереди лежа- щей по курсу, улучшать системы отображения информации о препят- ствиях и автоматизировать управление дроном при облете препятствий. 322 Полет на малой высоте возможен, если известны истинная высо- та над пролетаемой местностью и расстояние до препятствий рель- ефа, расположенных впереди. Измерение истинной высоты полета осуществляется радиовысотомерами малых высот. Эти приборы достаточно совершенны и обладают большой надежностью. Однако выдаваемая ими информация о высоте полета недостаточна для автоматического пилотирования при полетах на малых высотах. Для облета препятствий необходимо измерять не только истинную высоту полета, но и наклонную дальность до препятствий, лежащих впереди. Зная дальность, можно определить так называемую упре- жденную высоту полета, т. е. высоту впереди лежащих препятствий. Измерение наклонной дальности D до препятствий (рис. 12.8) произ- водится с помощью радиодальномера так, что ось антенны дальноме- ра наклоняется на заданный угол μ по отношению к продольной оси или вектору скорости самолета или по отношению к горизонту. Рис. 12.8. Схема работы дальномера Антенны излучают неподвижные или сканирующие по отноше- нию к опорному направлению лучи. В последнем случае измеряется не только дальность до препятствия, но и вырабатывается инфор- мация о рельефе впереди лежащей местности. Автоматическое управление при облете препятствий осуществ- ляется путем стабилизации минимально допустимой наклонной дальности з ,D которая может быть определена по формуле зз ,sin hD   где зh – заданная упрежденная высота (см. рис. 12.8). x 323 Таким образом, стабилизация наклонной дальности сводится к стабилизации упрежденной высоты 3.h При уменьшении наклон- ной дальности ниже допустимого предела дрон должен увеличивать высоту полета с целью облета препятствия. Недостатком этого способа пилотирования является то, что при облете препятствия происходит «выброс» высоты (кривая 1 на рис. 12.9). Для устранения этого недостатка необходимо обеспечить облет препятствия так, чтобы над вершиной препятствия траекто- рия была близка к горизонтальной (кривая 2). Это достигается с по- мощью логического устройства, которое при исчезновении сигнала наклонной дальности обеспечивает сначала стабилизацию угла наклона траектории 3θ , а затем стабилизацию постоянной отрица- тельной перегрузки 3 0,5.n   При отрицательной перегрузке тра- ектория полета начнет снижаться. Снижение траектории будет про- должаться до тех пор, пока луч радиодальномера не коснется впереди лежащей местности. После этого система опять будет ста- билизировать заданную упрежденную высоту 3.h Рис. 12.9. Законы управления облетом препятствий При описанном алгоритме управления система будет поддержи- вать заданную истинную высоту, а после пролета вершины препят- ствия дрон начнет снижаться. После этого картина облета препят- ствий будет такой же, как указано выше. При реализации систем управления необходимо учитывать требования по ограничению перегрузок, о которых говорилось выше. 324 На рис. 12.9 показаны законы управления, необходимые для реа- лизации траектории 2 облета. Видно, что при полете над ровной местностью закон управления имеет вид     3 1 2 3 ,n W p W p D D   где 3n – заданная перегрузка;  1 ;1 TpW p i Tp    2 2 2 1 .2 1W p T p dTp   Этот закон сохраняется и при облете препятствия вплоть до потери луча. Затем необходимо осуществлять стабилизацию угла наклона траектории  3 3 ,n i    где 3 – запомненное значение  в момент потери луча. Стабилизация угла наклона траектории должна сохраняться почти до точки A , которая определяется моментом времени 3t после по- тери луча по формуле 3 3 , Dt V  где 3D – запомненное значение дальности в момент потери луча. После этого необходимо обеспечить закон управления 3 0,5,n   при котором траектория начнет снижаться. При появлении луча опять необходимо переходить на закон управления     3 1 2 3 .n W p W p D D   325 Рассмотренная схема управления должна включать радиолокатор (РЛ) для определения рельефа впереди лежащей местности, радио- высотомер малых высот, логическое устройство (контроллер) и авто- пилот. На рис. 12.10 дана схема такой системы. Сигналы с РЛС по- ступают в контроллер 1, где в соответствии с алгоритмом формиру- ется закон управления, различный на различных этапах облета препятствия. В контроллер может подаваться также сигнал радио- высотомера для формирования управляющего сигнала безопасности на случай отказа РЛС. Рис. 12.10. Схема системы управления при облете препятствий Контроллер получает информацию от радиовысотомера (РВ), авиагоризонта (АГ) и вариометра (Вар), а также от приборов, отоб- ражающих рельеф и препятствия. При создании систем управления полетом на малой высоте основное внимание уделяется безопасности полета. 12.4. Управление боковым движением центра масс беспилотного летательного аппарата Управление боковым движением центра масс дрона производится путем воздействия горизонтальных составляющих боковых сил, со- здаваемых при крене дрона или скольжении. Боковая сила от крена дрона обычно значительно больше силы, возникающей от скольже- ния, что связано с большей эффективностью элеронов по сравнению Контроллер Дрон Автопилот Контроллер 326 с рулем направления. Если учитывать боковое движение со скольже- нием нежелательно, то тогда на большинстве крылатых БПЛА аэро- планной схемы это управление осуществляется путем крена. Учитывая это и пренебрегая скольжением (скольжение обычно устраняется путем воздействия на руль направления), уравнения бокового движения центра масс дрона можно представить в виде 14ψ γ; ψ ,z p n pz      (12.15) где z – координата бокового движения центра масс; z – относительная скорость бокового ветра. Угол крена дрона, необходимый для создания боковой силы, возьмем пропорциональным боковому отклонению центра масс и углу рыскания, т. е.  * *3 .zk z z k     (12.16) Взаимодействие дрона и системы управления показано на рис. 12.11. Рис. 12.11. Структурная схема управления боковым движением дрона Решая совместно уравнения (12.15) и (12.16), получим    2 2 2 32 Ω Ω Ω 2 Ω ,zp d p z z p d      (12.17) где 2 * * 14 14Ω ; 2 Ω .zn k d n k    327 Передаточные числа системы управления определяются из соот- ношений 2 * * 14 14 Ω 2 Ω; .z dk kn n   П р и м е р 12.2 Вычислить передаточные числа дрона, для которого 14 0,1n   , 1d  и Ω 0,5. Тогда * *0,25 2 1 0,52,5; 10. 0,1 0,1z k k      Так как передаточные числа * * и zk k получены в результате пред- положения, что элероны регулируются с большой скоростью (кон- тур управления элеронами является быстродействующим), имеем  3 0,э zk k k z z         откуда * *γ; .z zk k k k k k    Взяв полученное передаточное число канала крена 0,28,k  найдем a град 0,7 0,7 град2,8 ; 0,0009 .град 2,5 300 мzk k М      328 Представление о переходном процессе в системе при выбранных передаточных числах дает кривая на рис. 12.12. Рис. 12.12. График переходного процесса Таким образом, можно создать систему автоматического управ- ления боковым движением центра масс с приемлемыми значениями передаточных чисел. Рассмотрим поведение системы при боковых случайных поры- вах ветра .z Для этого возьмем спектральную плотность этих по- рывов в таком же виде, как и для вертикальных порывов, а именно   22 22 σ ,ω α aS       (12.18) где 2 – дисперсия скорости боковых порывов ветра. Передаточная функция по порывам ветра, как видно из выраже- ния (12.17), имеет вид   2 22 .2 Ω Ω p dW p p d p    329 Будем полагать, что параметры системы (12.17) выбраны из условия кратности корней, тогда выражение для дисперсии ошибки по координате z , вызванной порывами ветра, будет   22 2 2 2 2 22 20 2 σ1 ω 4Ωσ dω.ω αω Ω z a        Вычисление интеграла дает   2 2 2 8Ω 3 . 2Ω Ωz a a        (12.19) Отсюда видно, что для уменьшения дисперсии ошибки необхо- димо увеличивать частоту системы Ω. Дадим количественную оценку величины средней квадратиче- ской погрешности σ .z Для этого вместо дисперсий 2 2σ и σz будем рассматривать размерные величины 2 2σ и σ ,z  причем 2 2 2 2 2 2 2 aσ σ ; σ τ σ .z zV V   Установлено, что коэффициент va лежит в пределах 0,25–1 с. Взяв для примера 0,5 сa  и воспользовавшись заданной выше частотой системы Ω 0,5, после подстановки в выражение (12.19) получим а5,5 .z      Если а 2,5 с  и 5 м/с,  то 30 м,z  т. е. среднее квадра- тическое значение координаты бокового отклонения ,z стабилизи- руемого системой управления, в данном примере может достигать нескольких десятков метров. 330 12.5. Управление скоростью полета центра масс дрона Скорость центра масс дрона в горизонтальном полете определя- ется из уравнения d cosα . d Vm P X t   (12.20) Сила тяги P и сопротивление X зависят от скорости полета. В установившемся режиме полета сила тяги P равна силе сопро- тивления X , т. е. .P X Из этого равенства можно определить ве- личину установившейся скорости полета. В неустановившемся движении величина ускорения d /dV t и характер ее изменения определяются видом функций     и .P V X V Дрон по отношению к скорости полета может быть устойчивым или неустойчивым в зависимости от взаимной зависимости харак- теристик     и P V X V в точке их пересечения. Полагая, что ско- рость 0V соответствует равенству P X и беря линейные члены разложения функций     и P V X V в ряды по малым приращениям 0ΔV V V  , преобразуем уравнение (12.20) к виду d cos 0. d V P Xm V t V V          Если положить приближенно cos 1  , то условие устойчивости самолета по отношению к скорости полета примет вид 0.P X V V     (12.21) При нарушении этого неравенства дрон становится неустойчи- вым по отношению к скорости полета. Из характера пересечения характеристик 0 1 и P X следует, что ап- парат всегда устойчив, так как неравенство (12.21) удовлетворяется. 331 Необходимость управления скоростью полета возникает также при режимах захода на посадку, наведении дронов на цели, при по- лете в строю и др. Для управления скоростью полета можно воздействовать на тягу двигателя и руль высоты. При воздействии на руль высоты меняет- ся угол атаки, что ведет к изменению силы сопротивления. Так как двигатель, используемый в качестве регулирующего фактора при управлении скоростью полета, формирует требуемую тягу с запаздыванием по отношению к приводу управления, то его динамические характеристики будут влиять на динамику контура управления скоростью полета. Поэтому при исследовании процес- сов в контуре управления скоростью полета следует учитывать за- паздывание в передаче сигналов из-за двигателя. Для автоматического регулирования скорости полета могут быть применены статический и астатический регуляторы (рис. 12.13 и 12.14). В качестве чувствительных элементов в регуляторах при- меняются аэрометрические измерители скорости полета, а сигналы ускорений могут быть получены с помощью акселерометров или дифференцирующих устройств. На этих схемах передаточная функ- ция дрона по скорости полета отображена инерционным звеном, а передаточная функция двигателя – звеном  H p , которое в даль- нейшем тоже будем считать инерционным, т. е.   1 , 1 H p p    где д а ;    д – постоянная времени запаздывания двигателя. Рис. 12.13. Структурная схема статического регулирования скорости полета дрона 332 Рис. 12.14. Структурная схема астатического регулирования скорости полета дрона При рассмотрении динамики процессов управления скоростью полета полагаем, что угловые движения самолета стабилизируются быстродействующим автопилотом. В этом случае математическая модель самолета как объекта управления по скорости полета может быть представлена уравнением  11 pδ ,h xp n n p     (12.22) где x – продольные порывы ветра. Уравнения движения автоматов скорости с учетом передаточной функции двигателя, как следует из схем (см. рис. 12.13 и 12.14), можно представить в виде: для статической системы  р 31δ ;1 Vkp        (12.23) для астатической системы   р 1σ , 1 ЗV Vk k p p p               (12.24) где и V Vk k  – передаточные числа; 3 – сигнал заданной скорости полета. 333 Рассмотрим переходные процессы в статическом автомате регулирования скорости полета, для чего решим совместно уравне- ния (12.22) и (12.23). Найдем уравнение замкнутой системы    20 1 2 2 3 0 1 ,xa p a p a a a p p        (12.25) где ' 0 1 11 2 11 2; 1 ; ; .p V p Va a n a n n k a n k        Поскольку для неустойчивых по скорости полета дронов 11 0n  , то условиями устойчивости системы будут 111 0; n   11 0.p Vn n k  Первое условие всегда выполняется, поскольку 11 1.n = Для выполнения второго условия передаточное число Vk должно удо- влетворять условию 11 .V p nk n   Поскольку в коэффициенты 1 0/a a и 2 0/a a в уравнении (12.25) входят только в одно передаточное число Vk , то отсутствует не- определенность в его выборе. Поэтому следует взять достаточно большое значение числа Vk , при котором обеспечивается устойчи- вость системы, но при этом тяга двигателя при работе регулятора меняется в приемлемых пределах. Так, например, если взять 5,5,Vk  чему соответствует собственная частота системы 0 0,5  и время регулирования 30 c,pt  то получим автомат регулирова- ния скорости, при работе которого изменению скорости полета на 1 % будет соответствовать изменение тяги двигателя на 5,5 %. 334 В случае астатического автомата скорости полета, решая сов- местно уравнения (12.22) и (12.24), получаем    3 2 20 1 2 3 3 3 0 1 ,xa p a p a p a a a p p         где 0 ; a   1 111 ; a n   2 11 ; p Va n n k   3 .p Va n k Для устойчивости системы необходимо удовлетворить условиям 11 111 0; 0; p Vn n n k       11 111 0.p pV Vn n n k n k       Отсюда следует, что если 0,Vk  то система структурно неустойчива. Можно выбрать такие передаточные числа и ,V Vk k  при которых переходные процессы будут удовлетворительны. Однако если учесть, что астатический автомат скорости полета более сложен, чем статический, а преимущества его незначительны, то в летатель- ных аппаратах чаще применяют статические автоматы. 335 Глава 13. ДИНАМИКА БОКОВЫХ И УГЛОВЫХ ДВИЖЕНИЙ БЕСПИЛОТНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА 13.1. Линеаризованная математическая модель боковых движений беспилотного летательного аппарата Реализация бокового движения при малых отклонениях возмож- на при следующих условиях: а) исходное невозмущенное движение является продольным; б) можно пренебречь аэродинамическими и гироскопическими связями между продольным и боковым движениями ввиду относи- тельной малости величин связей. Рассмотрим боковое движение в случае малых угловых скоро- стей, когда произведениями и x z y z    можно пренебречь. Пред- положим также, что отсутствуют вращающиеся массы внутри дрона. Тогда уравнения бокового движения имеют вид в в в d sin cos ; d d ; d d ; d d d sin ; d d d dcos cos sin . d d z x y y x z x x x x y y y y x y Vm V V c qS G Z t J M M t J M M t t t t t                               (13.1) В этих уравнениях в в в, и x yM M Z – возмущающие моменты и сила, определяемые следующим образом: 336 ' в 2 вΔ ; x xM Gl M  ' в 3 вΔ ; y yM Pl M  'в в dΔ , d zUZ m Z t   где Δ zU – изменение скорости бокового ветра (за счет порывов); ΔG – изменение веса (за счет сброшенных грузов и др.); ΔP – разность тяг двигателей; 2 3 и l l – плечи моментов; в в в, и х yZ M M   – другие возмущающие силы и моменты. Если предположить, что скорость полета постоянна, а угол скольжения  мал, то первое уравнение системы (13.1) примет вид 0 dβ sin cosα sin γφcos . d x y z mV c qS G t          (13.2) Для полного описания движения центра масс БПЛА необходимо взять кинематическое уравнение вида  d sin ψ β , d z V t   (13.3) где z – координата бокового отклонения от заданной траектории полета. В уравнении (13.3) под знаком синуса вследствие малости опу- щен член 0α γ, учитывающий кинематику поворота вектора путевой скорости при крене самолета. Проведем линеаризацию уравнений, предполагая, что установив- шиеся значения величин н эγ, φ, ψ, β, ω , ω , ω , δ , δx y z равны нулю. Разлагая нелинейные члены в уравнениях (13.1)–(13.3) в ряды и ограничиваясь линейными частями разложений, получим: 337 э н э в э в н э в d cos sin cos ; d d ; d d d ; d dz d0; ( ) ; d d d yx yx z x y x x x x y y x x x x y x y y y x y y y y y y y y y y x y z qS gc Z t m V qSl qSl qSl qSlm m m m M t J J J J qSl qSl qSl qSlm m m m t J J J J qSl m M J tg V V t t t                                                  . cos y     (13.4) Из графиков (рис. 13.1–13.3) коэффициентов , , ,z x y zc m m m вид- но, что соответствующие частные производные могут быть приняты постоянными. Рис. 13.1. График зависимости коэффициента zc от угла скольжения 338 Рис. 13.2. Графики зависимости коэффициентов иz xm m от углов эδ и β( )) (а б соответственно Рис. 13.3. Зависимости коэффициента ym от углов нδ ( ) и β ( )а б Коэффициенты β β иx ym m характеризуют поперечную статиче- скую и путевую устойчивость БПЛА. Поэтому их называют соот- ветственно коэффициентом поперечной статической устойчиво- сти и коэффициентом путевой устойчивости. Если в уравнения (13.4) ввести относительное время a tt   , то после преобразования Лапласа (13.4) получим а а б б 339       11 12 13 14 1 21 22 23 э э 2 31 32 33 н н 3 43 β γ ; ; ; 0. x y x y x y x y p n n n n f n p n n n f n n p n n f n p                                   (13.5) К этим уравнениям следует добавить кинематические уравнения ; cos .z ypz v p        (13.6) В уравнениях (13.5) и (13.6) приняты следующие обозначения: a a a ω τ ω ; ω τ ω ; ;τx x y y zz V    β a 11 12 0 13 0 14 0 τ1 ; sinα ; cosα ; cos ; 2 z gn c n n n V          эωω δβ 21 1 22 1 23 1 1; ; μ ; μ ;yxx x x э xn m n m n m n m        нωω δβ 31 2 32 2 33 2 н 2μ ; μ ; μ ; μ ;yxy y y yn m n m n m n m        43 1 2tg ; μ ; μ ; ;2 2 z z x y UlmV lmVn J J V       g – ускорение силы тяжести. В выражениях для 22 23 32 33, , ,n n n n производные моментов ,x ym m взяты по относительным угловым скоростям вида aω τ ,x  a .y y    340 В характеристиках дронов эти производные даются обычно по относительным угловым скоростям вида ; 2x x l V    2 .y y l V    Для перехода от величин иx y  следует воспользоваться соотношениями a2 ; x x V l    a2 .y y V l    Аналогично имеем: a ; 2 xx x x lm m V    a ; 2 y y x x lm m V    a ; 2 xx y y lm m V    a . 2 y y y y lm m V    341 Для возмущений 1 2 3, и f f f имеем выражения ' 1 1 '2 2 22 0 0 '3 3 32 0 0 Δ ;ρ Δ , ρ zf p f lGf f lSV lPf f lSV         где ' ' '1 2 3, ,f f f – возмущения, вызванные, например, ударными вол- нами вблизи БПЛА, взрывами и т. д; 2l – плечо момента крена; 3l – расстояние между двигателями, имеющими разные тяги. Уравнения (13.5) и (13.6), устанавливающие связь между регу- лируемыми величинами β, γ, φ, ψ, ,x y  и регулирующими факто- рами э нδ и δ и характеризующие динамические свойства БПЛА в боковом движении, описывают линейную математическую модель бокового движения летательного аппарата. В случае горизонтального полета  0  с учетом малости угла ψ из уравнений получаем ω γ; ω ψx y  или в относительной форме ; .x yp p      Уравнения (13.5) принимают вид         11 12 14 13 1 21 22 23 э э 2 31 32 33 н н 3 β ψ ; β ψ δ ; β γ ψ δ . p n n p n n p f n p n p n p n f n n p p n p n f                     (13.7) 342 В табл. 13.1 даны ориентировочные значения коэффициентов ikn уравнений бокового движения легкого самолета для двух режимов полета. Таблица 13.1 Ориентировочные значения коэффициентов ikn Коэффициент БПЛА 6 км,H  0,77,M  a 2,5 c  10 км,H  0,8,M  a 3,8 c  11n 0,156 0,097 12n 0 0 13n –1 –1 14n –0,039 –0,039 21n 15,8 9,5 22n 6,7 4,82 23n 0,43 0,41 31n 5,76 4,3 32n 0,037 0,0058 33n 0,22 0,16 эn 30,7 19 нn 3,18 2,26 13.2. Передаточные функции конкретных моделей бокового движения беспилотного летательного аппарата Рассмотрим частные случаи уравнений бокового движения. Про- стейшим боковым движением БПЛА является движение рыскания без крена, когда в силу большой инерции можно пренебречь движе- нием центра масс под действием боковых сил. При таком движении продольная ось БПЛА совершает колебания относительно вектора 343 скорости, поворот которого не учитывается. Опуская первое и второе уравнения (13.7) и полагая в последнем уравнении 0  , получим  231 33 н н 3β ψ δ .n p n p n f     (13.8) В этом уравнении при указанных выше предположениях угол  есть угол между вектором скорости и продольной осью БПЛА. Сле- довательно, этот угол равен углу скольжения, т. е. ψ = β, и уравне- ние (13.8) принимает вид  2 33 31 н н 3ψ δ .p n p n n f     Передаточная функция будет   н2 33 31 .nW p p n p n    Следующим частным видом бокового движения является плос- кое движение со скольжением при неизменном угле крена. Полагая в уравнениях (13.7) γ 0 и опуская второе уравнение, получим     11 12 33 31 н н 3 β ψ ; ψ β δ . p n p f p n p n n f          (13.9) При выводе этих уравнений предполагается, что угол атаки  близок к нулю, поэтому sin α 0 и cos α 1  . Из уравнений (13.9) получаем выражения для передаточных функций:        β 2 2 0 0 0 н 11ψ 2 2 0 0 0 ; 2 , 2 nW p p d p n p n W p p d p p             (13.10) 344 где 0 0 11 332 , d n n   2 0 31 11 33.n n n   Из выражений (13.10) видно, что БПЛА является нейтральным по отношению к углу рыскания ψ . Рассмотрим случай бокового движения, реализуемого прибли- женно в начальный момент крена БПЛА, при этом пренебрегаем изменением курса  ψ 0 . В этом случае уравнения (13.7) прини- мают вид (третье уравнение опускаем)      11 12 14 1221 22 э э 2 β ψ ; β γ δ . p n n p n f n p n p n f           Отсюда находим выражения для передаточных функций, полагая 1 2 0f f  :           э 11γ э 12 14ψ ;Δ ,Δ n p n W p p n n p n W p p       где   3 ' 2 ' '1 2 3Δ ;p p c p c p c    ' ' ' 1 11 22 2 11 22 12 21 3 21 14; ; .c n n c n n n n c n n      Рассмотрим также случай движения по крену без скольжения. В этом случае из системы (13.7) при пренебрежении моментом рыс- кания находим   142 22 23 э э ψ γ; γ ψ δ . p n p n p n p n       345 13.3. Автоматическое управление угловыми движениями летательного аппарата Вектор скорости центра масс БПЛА как твердого тела в каждый момент времени направлен по касательной к траектории полета. Сле- довательно, для изменения направления траектории полета в про- странстве необходимо менять направления вектора скорости. Вели- чина и направление вектора скорости определяются величиной и направлением вектора тяги двигателя и аэродинамическими харак- теристиками БПЛА. Вектор тяги обычно ориентируется по отноше- нию к корпусу БПЛА, и на большинстве режимов полета его направ- ление остается неизменным или меняется в ограниченных пределах. Аэродинамические характеристики БПЛА (подъемная сила, боковая сила, сила лобового сопротивления и др.) зависят от угло- вого положения вектора тяги по отношению к вектору скорости. Так, например, для изменения подъемной или боковой сил необ- ходимо изменять углы между векторами тяги и скорости полета в вертикальной (угол атаки) или горизонтальной (угол скольжения) плоскостях. Таким образом, вектор тяги на данном режиме полета должен за- нимать определенное положение по отношению к вектору скорости. Поскольку вектор тяги связан с осями БПЛА, то БПЛА должен зани- мать определенное угловое положение по отношению к вектору ско- рости, различное в разных условиях полета. Задание определенных угловых положений, осуществляемое управляющей системой, со- ставляет основную задачу управления угловыми движениями БПЛА. При этом угловые координаты и их производные, характеризу- ющие движение БПЛА по отношению к центру масс, остаются неизменными или меняются по определенным законам. Обычно производится управление углами тангажа, крена, рыскания, атаки, скольжения и их производными. При построении САУ (систем автоматического управления) уг- ловыми движениями БПЛА необходимо изучать динамику пере- ходных процессов, влияние структуры и параметров систем управ- ления на качество процессов, а также рассматривать вопросы синте- за систем управления для получения заданного качества процесса управления. 346 13.3.1. Управление угловой скоростью дрона В системах автоматического управления полетом имеются кон- туры управления угловыми скоростями БПЛА, служащие для фор- мирования демпфирующих моментов и, следовательно, для улучше- ния качества переходного процесса. Для этих же целей применяются самостоятельные системы управления угловыми скоростями, назы- ваемые демпферами. Рассмотрим систему управления угловой скоростью тангажа, представленную структурной схемой на рис. 13.4. В этой схеме закон управления принят в виде  в 3δ ,k    где k – передаточное число; 3 – заданная угловая скорость тангажа, а передаточная функ- ция БПЛА по угловой скорости представлена в прямоугольнике. Рис. 13.4. Схема управления угловой скоростью тангажа Передаточная функция системы, как следует из рис. 13.4, имеет вид    в 222 2 .2 k n p n W p p d p       & (13.20) Здесь 0 0 в2 2 ;d d n k     (13.21) 2 2 0 в 22 ,n n k     347 где 0 0 и d – соответственно собственная частота и коэффициент затухания движений БПЛА. Видно, что передаточная функция системы управления угловой скоростью тангажа равна произведению передаточных функций колебательного и форсирующего звеньев. Для выбора передаточно- го числа k заметим, что наилучшее качество процесса в колеба- тельном звене получается при 0,7 /1,d  причем верхнее значение следует брать при наличии форсирования. Исключая из уравнений (13.12) частоту , получим выражение для :k 0 22 0 в 0 2 1 2 .d nk d d n       (13.13) В табл. 13.2 приведены значения передаточного числа k и соб- ственной частоты 0 для контуров управления угловой скоростью дронов № 1 и 2, параметры которых взяты из табл. 13.2. Таблица 13.2 Значения k и 0 Самолет вn 11n 02d  a , с k k & град/с , с –1 ,р с № 1 49 2,4 5,25 43,9 3,8 0,154 0,585 2,07 3 № 2 24,5 2,6 4,94 15,13 2,1 0,128 0,28 2,3 2,7 Заметим, что относительные значения передаточного числа k и собственной частоты 0 вычислены по формулам (13.12) и (13.13), а размерные – определены из соотношений ' a ,k k    0 a .    Время регулирования в обоих случаях не превышает 3 с. 348 При рассмотрении системы управления угловой скоростью рыс- кания возьмем структурную схему (рис. 13.5), подобную схеме, показанной на рис. 13.4. Рис. 13.5. Схема управления угловой скоростью рыскания Передаточная функция этой системы может быть представлена в виде    н 112 2 ,2d k n p n W p p p       (13.23) где 0 0 н2 2 ; d d k n     2 2 0 н 11.k n n     Поскольку структура передаточной функции (13.14) аналогична структуре передаточной функции (13.11), то передаточное число k можно определить из формулы (13.14), в которой параметры продольного движения дрона следует заменить параметрами боко- вого движения. В табл. 13.3 приведены значения передаточного числа k и соб- ственной частоты 0 для контуров управления угловой скоростью рыскания № 1 и 2; коэффициент относительного затухания 1d  . 349 Таблица 13.3 Значения k и 0 Самолет нn 11n 0 02d  20 aτ , с k k град/с , с –1 ,р с № 1 3,18 0,156 0,376 5,8 2,5 1,37 3,42 1,02 6,15 № 2 22,5 0,26 1,05 54 2,1 0,29 0,61 3,34 1,78 Из сравнения передаточных чисел и k k  видно, что требуемое значение передаточного числа в канале рыскания значительно больше, чем в канале тангажа. Объясняется это малым естествен- ным демпфированием дрона по углу рыскания. При рассмотрении систем управления угловой скоростью танга- жа и рыскания предполагалось, что законы управления реализованы точно. Рассмотрим теперь систему управления угловой скоростью крена, причем будем полагать, что динамические погрешности сер- вопривода значительны. На рис. 13.6 динамика сервопривода отражена внутренним кон- туром, а динамика управления угловой скоростью – внешним кон- туром. Передаточная функция БПЛА по угловой скорости крена взята в виде инерционного звена. Рис. 13.6. Схема управления угловой скоростью крена На рис. 13.7 показана одноконтурная структурная схема, преобра- зованная из схемы, приведенной на рис 13.6. В этой схеме параметры передаточной функции сервопривода определяются выражениями 350 2 ; с ik   12 ; c cd    .kk   Рис. 13.7. Схема преобразования из схемы рис. 13.6 Видно, что чем больше постоянная времени  рулевой машины, тем хуже динамические свойства сервопривода (тем меньше соб- ственная частота с и коэффициент относительного затухания c ).d Передаточная функция системы (см. рис. 13.6 и 13.7) будет   э2 23 c 22 э .2 ωc c n k k p d p p n n k k               (13.15) Из структуры выражения (13.15) видно, что для улучшения каче- ства процесса необходимо увеличивать собственную частоту серво- привода .c В пределе, при достаточно большой частоте ,c ди- намическими погрешностями можно пренебречь, и тогда поведение системы управления угловой скоростью крена будет описываться передаточной функцией типа инерционного звена, для которого увеличение передаточного числа γk приводит к сокращению вре- мени переходного процесса. Улучшение динамических характеристик сервоприводов в сис- темах управления достигается путем включения корректирующих контуров в виде жестких, скоростных или изодромных внутренних обратных связей. 351 13.3.2. Управление ускорением центра масс дрона В ряде случаев системы управления полетом БПЛА включают контуры управления перегрузками, т. е. ускорениями центра масс. Такие контуры управления являются внешними по отношению к контурам управления угловыми скоростями. Поскольку нормальная и боковая перегрузки пропорциональны соответственно углам атаки и скольжения, то контуры управления перегрузкой эквивалентны контурам управления углами α и β . Последние контуры обеспечивают повышение запасов устойчиво- сти продольного и бокового движения. Рассмотрим нормальные и боковые ускорения, которые опреде- ляются скоростью изменения углов наклона траектории в верти- кальной и горизонтальной плоскостях: бθ, θ ,y zJ V J V  &&& & где бθ α; θ ψ β.    Если воспользоваться первыми из уравнений (13.7), то (при условии 2 10 и 0f f  ) получим 22 11; .y zJ n V J Vn     (13.16) Передаточные функции самолета по ускорениям и y zJ J  при входах в эδ и δ можно получить из передаточных функций и соот- ношений (13.16): в 22 2 2в 0 0 0 ;δ 2 yJ n n V p d p      э 11 2 2э 0 0 0 .δ 2 ω ω z n n VJ p d p    & Рассмотрим теперь схему системы стабилизации нормального ускорения (рис. 13.8). Для измерения ускорения иy zJ J  можно 352 применить акселерометры, оси чувствительности которых совпадают соответственно с нормальной Oy и поперечной Oz осями аппарата. Рис. 13.8. Схема системы стабилизации нормального ускорения Запишем закон управления в соответствии со схемой рис. 13.8 в виде  в 0δ .y yk j j   (13.17) Уравнение движения системы будет  2 20 0 0 22 в 22 в 02 .y yp d p kn n V j kn n Vj       Отсюда видно, что при принятом законе управления (13.17) обеспечивается повышение запаса статической устойчивости БПЛА. Такой же эффект будет при введении в закон управления угла ата- ки  вместо нормального ускорения .yj& Демпфирование же БПЛА будет неудовлетворительным. Для получения приемлемого пере- ходного процесса контур управления ускорением необходимо при- менять совместно с контуром управления угловой скоростью. Ска- занное здесь об управлении нормальным ускорением полностью относится и к управлению боковым ускорением. 13.3.4. Управление углом тангажа посредством статического автопилота Рассмотрим статическую систему автоматического управления углом тангажа (рис. 13.9), включающую контур управления угловой 353 скоростью и контур управления углом тангажа. Передаточная функ- ция БПЛА взята в предположении постоянства скорости самолета. На структурной схеме не показаны внешние возмущения 2 3 и ,f f дей- ствующие на БПЛА. Закон управления системы берем в виде  в 3δ ,k k p     (13.18) где 3 – заданное значение угла тангажа. Рис. 13.9. Схема управления углом тангажа Решая уравнение (13.18) совместно с уравнениями (13.17), получим        3 21 2 3 0 3 3 0 32 2 22 2 ,p a p a p a b p a n p n f p n f           где  21 0 0 в 2 0 в 222 ; ;a d n k a n k n k         3 в 22 0 в; .a n n k b n k   Выбор параметров системы управления следует производить из условий неискаженного воспроизведения заданного угла тангажа 3 при слабом реагировании на возмущения 2 3 и f f . Если переда- точные числа и k k  выбрать достаточно большими, то реакция системы на возмущения 2 3 и f f будет слабой. 354 Выбор передаточных чисел и k k  осуществляется в два этапа. Сначала выберем значение передаточного числа k из условия за- данного переходного процесса во внутреннем контуре (см. рис. 13.9), передаточная функция для которого имеет вид  в 22 2 2 ,2 n p n y p d p       где 2 2 0 в 22 0 0 в; 2 2 .n n k d d n k          Затем выберем такое значение передаточного числа k , чтобы коэффициент затухания был оптимальным, например 1.d  Находим 2 2 0 0 0 22 0 02 2 2в 22 22 2 ω ω1 2 1 1 2 ω .dk d n d n d n d n              & Для внешнего замкнутого контура (см. рис. 13.9) можно написать  в 22 3 2 2 3 3 1 2 , n k p n p A p A p          где 3в 1 2 в 2222 ; 1 ; . n kA d A n k n      355 Глава 14. ДИНАМИКА БЕСПИЛОТНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА ПРИ УЧЕТЕ УПРУГОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ 14.1. Балочные модели изгибных колебаний корпуса дрона Ранее в главах 12–13 предполагалось, что БПЛА является абсо- лютно жестким телом. Такое предположение справедливо до тех пор, пока собственные частоты замкнутой системы «автопилот– БПЛА» значительно ниже наименьшей частоты собственных изгиб- ных колебаний корпуса БПЛА. При больших скоростных напорах воздуха могут возникать аэроупругие колебания. Аэроупругие колебания, возникающие в результате взаимодействия упругих и аэродинамических сил, совершаются с частотами, близкими к соб- ственным изгибным колебаниям конструкции (фюзеляжа, крыльев). Изгибные колебания БПЛА могут возбуждаться не только аэро- динамическими силами, но также отклонениями рулей управления. Изгибные колебания, независимо от вызвавшей их причины, не- желательны, а в ряде случаев недопустимы. При их появлении, осо- бенно в управляемом полете, летательный аппарат подвергается сильным возмущениям, которые могут привести к катастрофиче- ской усталости элементов и разрушению конструкции. Когда часто- ты упругих колебаний близки к частотам фильтрации контуров управления, могут возникать неустойчивые режимы. Рассмотрим влияние упругих колебаний БПЛА на его переда- точную функцию в продольном движении. Летальный аппарат, как сложная распределенная система, имеет различные типы свободных колебаний. Для того чтобы это описать, можно рассмотреть различные формы упругих линий фюзеляжа и крыльев (рис. 14.1). На рисунке показаны    1 2φ и φx x – упру- гие линии фюзеляжа; 1 6, ,M M – аэродинамические моменты, действующие на фюзеляж и крылья. Ограничиваясь в дальнейшем рассмотрением упругих колебаний только фюзеляжа, будем пола- гать, что его упругие линии    1 2φ , φ ,x x  подобны упругим ли- ниям балки со свободными концами. 356 Рис. 14.1. Схема действия сил и моментов на упругий летательный аппарат Уравнение изгибных движений балки можно записать в виде            2 2 2 2 2 2 2 .i y y yEI x m x F x xx x t yD x T t x x x t                   (14.1) Граничные условия для балки со свободными концами сводятся к следующим граничным условиям:        2 3 2 3 2 3 2 3 0, 0, , , 0; 0. y t y t y l t y l t x x x x           (14.2) В выражениях (14.1) и (14.2) приняты обозначения: x – текущая координата вдоль продольной оси БПЛА; l – длина БПЛА; t – время;  ,y x t – прогиб в точке x ;  EI x – жесткость на изгиб; mx – закон распределения массы по продольной оси;  F x – коэффициент пропорциональности восстанавливающей аэродинамической силы, направленной нормально к продольной оси; 357  D x – коэффициент аэродинамического демпфирования;  T t – сила, создаваемая управляющим органом нормально к продольной оси;  – угол отклонения управляющего органа (например, руля высоты);  ix x  – дельта-функция, определяемая соотношениями     0 0 при d 1 при , . i i i x i i x x x x x x x x x          Для упрощения задачи предположим, что величины восстанав- ливающей и демпфирующей аэродинамических сил, действующих нормально к продольной оси, зависят только от вращательного эквивалентного жесткого БПЛА, имеющего одинаковую аэродина- мическую форму и обладающего одинаковым распределением масс:         22 ; , R R yyF x F x x x yyD x D x t x t x            (14.3) где  ,Ry x t – длина дуги, описываемой точкой недемпфированной оси в данном плоском вращении, происходящем под действием аэродинамических сил. Для вращательного движения эквивалентного жесткого тела имеем      0, ,Ry x t x x t   (14.4) где 0x – координата центра масс;  – угол поворота тела около центра масс (этот угол в зависи- мости от направления соответствует углу тангажа или рыскания). 358 Используя выражение (14.4), вместо зависимостей (14.3) можем написать            2 ; . yF x F x t x tyD x D x t x t           Учитывая, что масса эквивалентного жесткого тела равна   0m x x x , а коэффициенты демпфирующей и восстанавливаю- щей сил соответственно     и D x F x , дифференциальное уравнение вращательного движения тела запишем в виде         20 2d θ dθ θ δΔ .dd im x x x D x F x T x xtt     Умножим обе части этого уравнения на 0x x и проинтегрируем по x в пределах от 0 до l :            2 2 0 02 0 0 0 0 0 d θ dθd d dd θ d δ . l l l m x x x x D x x x x tt F x x x x T l x            Вводя обозначения            2 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 1d ; d d ; 1 1μ d , μ , l l l I m x x x x D x x x x I F x x x x T l x I I             можем написать 2 0 0 12 d θ dθ + d μ θ = μ δ. dd tt  359 Преобразовав уравнение по Лапласу, получим    12 0 0 μθ δ . d μp pp p   (14.5) Преобразуя уравнение (14.1) и граничные условия (14.2) по Лапласу, найдем                   2 2 2 2 d ,d , d d δ ; y x p EI x p m x y x p x x T p x l pD x F x p             (14.6)         2 3 2 3 2 3 2 3 d 0, d 0, 0; d d d , d , 0. d d y p y p x x y l p y l p x x     (14.7) Подставляя выражение (14.5) в уравнение (14.6), получим            2 2 2 2 2 1 2 0 0 d d d d μ δ . d μi yEI p m x y x x T x x pD x F x p p p                  (14.8) Для решения этого неоднородного уравнения, сначала рассмот- рим решение однородного уравнения    2 2 22 2d d η 0d dEI x p m xx x         при граничных условиях (14.7), в которых следует положить .y   360 Известно, что решение этого уравнения при p j  выражается через собственные функции  , ,k kx j   представляющие собой из- гибные формы упругой линии, где k – собственные частоты, причем     1 φ , ,k k k k A p x j       где         1 1 12 0 0 2 2 μφ d μ .ω k k k T l pD F p pA p N p     Учитывая структуру правой части уравнения (14.8), его решение можно представить в виде           0 0 1 , φ , ,k k k k y x p A p A p x x A p x j         (14.9) где      1 1 12 2 0 0 1 1 ;A p T pd F p N p p d p           (14.10)    10 2 0 0 ;A p p p d p     (14.11)       21 1 0 0 0 d ; d ; d . l l l k k kD D x x F F x x N m x x        (14.12) Подставляя выражения (14.10) – (14.12) в уравнение (14.9), получим 361               1 1 12 2 0 0 1 02 0 0 1 1 12 0 0 2 21 1 1, , . k k k k k y x p T pD F N p p d p x x p d p T l j pD F p d p p N p                            (14.13) На основании выражения (14.13) можно найти искомую переда- точную функцию летательного аппарата, связывающую угол δ от- клонения управляющего руля с углом гθ , измеряемым позицион- ным гироскопом. Предположим, что гироскоп расположен в точке гx x на про- дольной оси. Его показание будет соответствовать местному значе- нию наклона упругой линии, т. е.     гг ,θ | ,x xy x tt x    или в преобразованном по Лапласу виде     ггθ ., |x xy x pp x    (14.14) Подставляя значение  ,y x p из уравнения (14.13) в выражение (14.14), получим         г 1 1 1 2 2 210 0 1 2 21 θ d 1δ d d , d k k k k k k p pD F p xp d p p T xp N                             (14.15) 362 где  1 , .k kT T l j    Известно, что упругое состояние системы довольно точно можно описать одной или двумя гармониками, поэтому вместо бесконеч- ных сумм в выражении (14.15) можно взять несколько членов. Вводя обозначения    1 1 112 2 2 21 1г г dφ dφФ ; Ф , d d k k k kk k pD F T x xp N p Nx x x x              представим уравнение (14.15) в виде      г 1 12 0 0 θ 1 Ф Ф ,p p p d p       (14.16) На рис. 14.2 дана структурная схема, соответствующая переда- точной функции (14.16). Видно, что если    1Ф 0 и Ф 0,p p  т. е. если БПЛА абсолютно жесткий, то связь между  p и  гθ p определяется передаточной функцией 12 0 0 , p d p     характеризу- ющей движение эквивалентного жесткого БПЛА. Рис. 14.2. Структурная схема упругого дрона 363 По известным передаточным функциям    1Ф и Фp p можно найти такое положение для установки гироскопа и акселерометров, при котором влияние нежесткости конструкции будет минимальным. 14.2. Влияние флуктуаций состояния атмосферы на динамику беспилотного летательного аппарата Рассмотрим методы оценки влияния порывов ветра на движение БПЛА. Для этого приведем некоторые количественные характери- стики возмущений атмосферы. Порывы ветра можно описать случайными функциями времени и пространственных координат. Интенсивность и частота порывов ветра – случайные величины, определяемые условиями погоды, а их воздействие на БПЛА зависит от скорости полета. Вероятность встречи БПЛА с порывами ветра различной интенсивности различна, причем наиболее часто встречаются порывы ветра малой интенсив- ности. Порывы ветра большой интенсивности могут быть приняты в пределе за единичные, как скачки скорости ветра. Движущимся БПЛА такой скачок воспринимается как импульс. В ряде случаев более важными являются не единичные порывы ветра, а случайные возмущения, состоящие из нерегулярно череду- ющихся единичных порывов ветра. Такие нерегулярные порывы ветра называются турбулентностью атмосферы. При детальном рассмотрении турбулентности атмосферы помимо составляющих скорости по любому направлению приходится учитывать корреля- цию между вертикальными и горизонтальными составляющими скорости воздуха. Для изучения влияний турбулентности можно рассматривать пространственную картину распределения скоростей частиц воздуха в данный момент времени, полагая скорости зависящими от про- странственных координат. Определив скорости как функции про- странственных координат, получим представление о статистиче- ских характеристиках турбулентности атмосферы. Если рассматривать составляющие скорости как функции време- ни в каждой данной точке пространства, то получим полную карти- ну статистических процессов во всем пространстве. 364 При рассмотрении вопроса о возмущениях, действующих на БПЛА вследствие турбулентности атмосферы, необходимо учитывать, что характер возмущений зависит от скорости полета БПЛА. Продол- жительность воздействия порыва ветра обратно пропорциональна скорости полета. В простейшем случае модель турбулентности атмосферы может быть представлена в виде стационарного случайного процесса, оце- ниваемого спектральной плотностью интенсивности и некоторым распределением, причем характеристики этих процессов обычно определяются на основе экспериментальных исследований. Предположим, что для турбулентности как стационарного слу- чайного процесса, т. е. процесса, средние характеристики которого не изменяются во времени, из множества возможных взята одна вре- менная характеристика  y t , которая может быть, например, харак- теристикой изменения скорости порывов ветра во времени. В этом случае говорят, что  y t является реализацией случайного процесса. Пусть    т , ;0, . y t T t T y t t T          (14.17) Имея реализацию случайного процесса, можно найти корреля- ционную функцию  τR и спектральную плотность  ωS порывов ветра:      т т1τ lim τ dτ;2TR y y tT       (14.18)    τ d .jS R e       (14.19) Следовательно, имея соотношения (14.17)–(14.19) и пользуясь реализациями случайного процесса  y t , можно определить спек- тральные характеристики турбулентной атмосферы. 365 Определим реакцию БПЛА на турбулентные возмущения. Обо- значим спектральную плотность вертикальных порывов ветра, со- ответствующую скорости порывов    , и y t W j  – частотную характеристика БПЛА в продольном движении. Тогда спектральная плотность интенсивности реакции БПЛА  0S  на вертикальные порывы будет       20 .yS S W jm   (14.20) Если воспользоваться соотношением (14.20), то получим выра- жение для дисперсии 2 реакции ЛМР на порывы ветра:     22 0 1 d .yS W jm       На рис. 14.3 дан график спектральной плотности интенсивности вертикальных порывов ветра для скорости полета 100 м/с, постро- енный на основе экспериментальных данных. Этот график не очень удобен для пользования, так как его приходится строить для всех интересующих нас скоростей полета. Если в функции S ввести но- вые независимые переменные Ω ; ,x Vt V   то получим     2 Ω 0 1S Ω lim d , x j x x e x x         где ( )х – скорость порывов ветра. 366 Рис. 14.3. Спектральная плотности интенсивность вертикальных порывов ветра На рис. 14.4 дан график спектральной плотности интенсивности  Ф Ω , пригодный для всех скоростей полета. Рис. 14.4. Спектральная плотность интенсивности  Ф Ω Имеющиеся экспериментальные данные по порывам ветра отно- сятся главным образом к вертикальным порывам. Значительно меньше имеется данных по горизонтальным порывам ветра. Одна- ко, учитывая, что природа горизонтальных и вертикальных порывов S() S() 367 одна и та же, можно полагать, что спектральные плотности порывов в обоих случаях будут иметь один и тот же вид. Разница будет только в величинах ординат характеристик спектральной плотности вследствие разных скоростей горизонтальных и вертикальных порывов ветра. Из графика на рис. 14.4 можно сделать вывод, что спектральная плотность интенсивности убывает обратно пропорционально квад- рату частоты. Поэтому для спектральной плотности предложены аналитические выражения, учитывающие указанную зависимость от частоты. В частности, широко применяется выражение 2 2 2 2 2( ) ,S V        (14.21) где 2 – дисперсия вертикальных или горизонтальных составля- ющих относительной скорости порывов: ;y V    – плотность распределения вероятности порывов;  – круговая частота. Постоянная  прямо пропорциональна скорости полета и рав- на 10,25 11 с . Для определения спектральной плотности порывов по формуле (14.21) необходимо знать среднее квадратическое значение скоро- сти порывов, постоянную  и скорость полета. 368 Глава 15. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КРЫЛЬЕВ, ДЕТАЛЕЙ КОРПУСА, ВИНТОВ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ 15.1. Профили крыльев и их аэродинамические характеристики Геометрические характеристики профиля крыла Крыло – часть летательного аппарата, предназначенная для со- здания аэродинамической подъемной силы. Крылом называют тело, которое создает в потоке жидкости подъемную силу, значительно превышающую силу лобового столк- новения. Крыло самолета имеет форму, симметричную относитель- но некоторой плоскости – плоскости симметрии. Любое сечение крыла плоскостью, параллельной плоскости сим- метрии крыла, называется профилем крыла. В разных сечениях про- филь крыла может быть различным по форме, размеру и ориентации. Типичный профиль крыла изображен на рис. 15.1. Точка А – пе- редняя кромка профиля, В – задняя кромка профиля или точка схода профиля. Линия АВ, соединяющая две наиболее удаленные точки профиля, т. е. переднюю и заднюю кромки профиля, называется хордой профиля b. Хорда делит профиль на две части – верхнюю и нижнюю. Угол между хордой профиля и направлением невозму- щенного потока называется углом атаки ,α если вектор скорости невозмущенного потока параллелен плоскости профиля. В более общем случае угол атаки измеряется между хордой профиля и про- екцией скорости невозмущенного потока на плоскость профиля. Рис. 15.1. Геометрические параметры профиля 369 При изучении геометрических характеристик профиля использу- ется система прямоугольных координат, у которой начало совпада- ет с передней кромкой профиля, ось 0 aX направлена вдоль хорды по направлению к задней кромке, ось 0 aY – вверх. В этой системе координатных осей уравнения верхнего и ниж- него контуров профиля соответственно имеют вид  в 1y f x и  н 2y f x . Толщина профиля в произвольной точке хорды выражается как разность ординат и точек в н и y y . Наибольшая длина перпендику- лярного к хорде отрезка – между верхним и нижним контурами профиля, т. е.  в н max,y y называется максимальной толщиной или просто толщиной профиля и обозначается c (см. рис. 15.1). Отношение максимальной толщины профиля c к длине хорды b носит название относительной толщины профиля: /c b c или в процентах ( / )100 , %.c b c Относительная толщина аэродинамических профилей крыльев и лопастей винтов обычно находится в пределах от 3 до 25 %. Тонкие профили применяются на концах лопастей винтов. Линия, соединяющая середины отрезков в нy y , построенных в разных точках хорды, называется средней линией профиля (пунк- тирная линия на рис. 15.1). В частном случае, когда профиль сим- метричен, средняя линия совпадает с хордой. Наибольшая ордината средней линии называется кривизной профиля ,f а ее отношение к хорде называется относительной кривизной /f b f или в процентах ( / )100 , %.f b f 370 Относительная кривизна современных профилей крыльев и ло- пастей винтов обычно не превышает 2 %. Абсциссы наибольшей толщины профиля и наибольшей кривизны соответственно обозначаются cx и fx (см. рис. 15.1). Отношения этих величин к хорде носят названия относительных абсцисс соответственно толщины и кривизны: П;L T U T    /f fx x b . Значения cx колеблются в пределах 25–30 %. Радиусы кривизны в «головке» и «хвостовике» профиля  гол хв,r r также относятся к хорде, например относительный радиус / ,r r b и часто выражают в процентах от длины хорды. Серии профилей при проектировании дронов можно получить путем деформации какого-либо исходного профиля по заданному закону с сохранением неизменными одного или нескольких пере- численных выше безразмерных параметров. Величины , , , , ,c fb c x x f r являются основными геометриче- скими параметрами профиля, от которых зависят его аэродинами- ческие характеристики. 15.2. Аэродинамические силы и момент Взаимодействие между воздушной средой и движущимся в ней крылом приводит к возникновению непрерывно распределенных по поверхности крыла аэродинамических сил, которые могут быть охарактеризованы величинами нормального n и касательного τ напряжений в каждой точке поверхности крыла. Результирующая сила давления и трения, возникающих при движении летательного аппарата относительно воздушной среды, сила AR  , называется полной аэродинамической силой. Часто под 371 полной аэродинамической силой AR  понимают только результиру- ющую нормальных сил, пренебрегая при этом силами трения. Момент полной аэродинамической силы относительно передней кромки крыла zM называется продольным моментом или аэроди- намическим моментом тангажа. Момент zM считается положи- тельным, если он стремится повернуть крыло в сторону увеличения угла атаки  , и отрицательным – в обратную сторону. Положи- тельный момент называется кабрирующим, а отрицательный – пикирующим. При теоретическом и экспериментальном исследовании силово- го воздействия движущегося тела с окружающей его средой обычно рассматривается не результирующая сила AR , а проекции этой силы на оси той или иной системы координат, которая выбирается в зависимости от условий задачи. В аэродинамике чаще использу- ются две системы координат: скоростная и связанная. В скоростной системе координат ось 0 aX совпадает с направле- нием скорости полета, ось 0 aY перпендикулярна оси 0 aX и лежит в плоскости симметрии летательного аппарата. Ось 0 aZ составляет с осями 0 aX и 0 aY правую систему координат (направлена вдоль правого крыла). При аэродинамических расчетах начало координат обычно сов- мещают с передней кромкой крыла. В связанной системе координат ось 0X направлена вдоль хорды крыла или продольной оси дрона, ось 0Y перпендикулярна оси 0X и лежит в плоскости симметрии летательного аппарата, ось 0Z со- ставляет с осями 0X и 0Y правую систему. В скоростной системе координат проекции силы AR обозначают- ся aX , aY , aZ , а в связанной – , ,X Y Z (рис. 15.2). При рассмотрении плоских течений аэродинамическая сила рас- кладывается на две составляющие aX ,   , :aY X Y 2 2 2 2 или .A A a aR X Y R X Y    (15.1) 372 Рис. 15.2. Составляющие полной аэродинамической силы в скоростной и связанной системах координат В скоростной системе координат проекция силы AR на направ- ление, перпендикулярное скорости невозмущенного потока, назы- вается аэродинамической подъемной силой AY , а проекция силы AR на направление, противоположное движению крыла (дрона), называется лобовым сопротивлением AX . В связанной системе координат силы и Y X называются аэро- динамической нормальной и продольной силами соответственно. Составляющие силы в этих двух системах координат связаны между собой следующими зависимостями (см. рис. 15.2): cos sin ; cos sin A A A A Y Y X X X Y         (15.2) 373 или cos sin ; cos sin . A A Y Y X X X Y         (15.3) Рассмотрим силы, действующие на цилиндрическое крыло бес- конечного размаха, обтекаемое потоком жидкости, в связанной си- стеме координат, начало которой находится на расстоянии cx от передней кромки крыла (рис. 15.3). В качестве характерной длины выделим отрезок крыла длиной l и характерной площади – пло- щадь S lb ( b – длина хорды). Рис. 15.3. К расчету подъемной силы и лобового сопротивления Сила давления, действующая на элемент поверхности крыла d ,l s равна d ,pl s а проекции этой силы на оси и OX OY d cos d d ; sin d d .Y p l s l px aX pl S lp y       Для определения сил иX Y необходимо просуммировать эле- ментарные составляющие по всему контуру профиля. Вдоль оси OX суммирование производим отдельно для верхней и нижней частей профиля, вдоль оси OY – для передней и задней. Тогда для нормальной и продольной сил получим 374  н в d ;B A Y l p p x   в н п з d , y y X l p p y  где п з н в, , ,p p p p – соответственно давление на передней, задней, нижней и верхней частях профиля. Действительная аэродинамическая продольная сила будет боль- ше расчетной на величину равнодействующей сил трения на по- верхности крыла. По величинам и Y X для каждого угла атаки с помощью формул связи (15.3) можно определить подъемную силу aY и силу лобового сопротивления aX . По опытным данным, продольная сила X и толщина профиля малы по сравнению с нормальной силой Y и хордой профиля, по- этому моментом от продольной силы ввиду его малости обычно пренебрегают. Зная элементарный момент от нормальной силы  н вd d d ,zM Yx p p lx x     можно определить и полный момент крыла относительно передней кромки профиля:    н в , d .z A B M l p p x x   15.3. Аэродинамические коэффициенты и качество профиля Общие формулы для определения подъемной силы и силы лобо- вого сопротивления крыла имеют вид ; ,a ya a xaY c qS X c qS  375 где 2 ρ 2 Vq  – скоростной напор или динамическое давление не- возмущенного потока; yac – коэффициент подъемной силы; xac – коэффициент лобового сопротивления; V – скорость потока на бесконечности. Соответственно формулы для нормальной и продольной сил имеют вид ; ,y xY c qS X c qS  (15.4) где cy, cx – коэффициенты нормальной и продольной сил. Если обозначить коэффициент полной аэродинамической силы через RAc , а коэффициент полного момента относительной перед- ней кромки профиля через mc , то ; ,A RA z mR c qS M c qSb  где b – условное плечо момента (обычно хорда профиля). С учетом формул (15.1) и (15.4) получим 2 2 .RA x yc c c  В формулах (15.2) и (15.3) от сил можно перейти к их коэффици- ентам: cos sin ; cos sin ;y ya xa x xa yac c c c c c        (15.5) cos sin ; cos sin .ya y x xa x yac c c c c c        (15.6) Углы атаки, реализуемые в полете, обычно невелики, поэтому можно положить cosα 1, sinα α.  Учитывая, что на практике ко- эффициент сопротивления xac обычно на порядок меньше коэффи- 376 циента подъемной силы ,yac формулы (15.5) и (15.6) можно приве- сти к более простой и чаще употребляемой форме: , α; , α. ya y xa x y y ya x xa ya c c c c c c c c c c       (15.7) Используя выражение (15.7), формулу для определения коэффи- циента нормальной силы профиля представим в виде    1н 0 в 0 н в2 2 2 , 0 d d , ρ b ρ 2 2 2 y A B p p p pY xc b p p x bV V V                    где dd ;xx b  н 0н 2 ; ρ 2 p pp V  в 0в 2 . ρ 2 p pp V  Аналогично для коэффициента mc можно записать  1 н в 0 d .mc p p x x   При малых углах атаки коэффициент подъемной силы  1 н в 0 d .yac p p x  377 Таким образом, по распределению давления на нижней и верх- ней сторонах профиля можно определить его коэффициент подъем- ной силы. Для практической реализации этого метода расчета необ- ходимы экспериментальные исследования с дренированной моделью профиля при условии обтекания, соответствующем бесконечному размаху крыла (плоское обтекание). Чаще аэродинамические коэффициенты определяются весовым ме- тодом, для чего на специальных весах измеряются непосредственно в потоке аэродинамической трубы силы и моменты, действующие на модель крыла, а затем расчетным путем определяются коэффициенты. Для оценки аэродинамических свойств профиля вводится понятие о качестве профиля .K Аэродинамическим качеством профиля называ- ется отношение подъемной силы к силе лобового сопротивления: /a aK Y X или через аэродинамические коэффициенты / .ya xaK c c Эта величина представляет собой тангенс угла наклона полной аэро- динамической силы AR к направлению невозмущенного потока (см. рис. 15.2), т. е. tg .K   Чем меньше лобовое сопротивление при той же подъемной силе, тем больше качество. Безразмерные величины ,, ,xa xa m RAc c c c и K являются основ- ными аэродинамическими коэффициентами профиля крыла. Зависимость аэродинамических коэффициентов от угла атаки профиля, поляры профиля Аэродинамические коэффициенты ,xac ,ya mc c являются незави- симыми друг от друга величинами, а RAc и K определяются через коэффициенты xac и yac по соответствующим формулам. Коэффициент полной аэродинамической силы RAc , а также его компоненты xac и yac , коэффициент момента mc и аэродинамиче- ское качество K зависят от формы профиля, угла атаки, критериев подобия Re, M, степени турбулентности потока и др. Этими коэф- фициентами удобно пользоваться, поскольку для динамически по- добных течений они одинаковы, поэтому же результаты экспери- ментальных исследований приводятся в виде зависимостей для аэро- динамических коэффициентов. 378 15.4. Геометрические и аэродинамические характеристики тел вращения Изучение методов определения аэродинамических характери- стик тел вращения имеет важное значение, поскольку фюзеляжи, наружные и топливные баки, гондолы двигателей, корпуса снарядов и ракет обычно имеют форму тел вращения или близкую к ней. На рис. 15.4 показаны некоторые формы тел вращения. Тело вра- щения обычной формы (рис. 15.4, 5г) можно разделить на перед- нюю (головную или носовую), среднюю (цилиндрическую) и зад- нюю (хвостовую или кормовую) части. Рис. 15.4. Типичные формы тел вращения в аэродинамике 379 Каждая из указанных частей характеризуется своими геометри- ческими параметрами. Носовая часть, как правило, имеет вид конуса, оживального (образованного вращением дуги окружности некоторого радиуса) или параболического тела и характеризуется углом раствора  нос- ка тела и удлинением нос нос мλ ,/l D где носl – расстояние от носка тела до его миделя сечения; мD – диаметр миделя. Под миделем подразумевают сечение, перпендикулярное про- дольной оси тела и имеющее наибольшую площадь. Максимальная площадь у фюзеляжей самолетов располагается примерно на первой трети их длины. Если тело имеет цилиндрическую часть, то ми- дель – площадь поперечного сечения цилиндра, а носl – расстояние от носка тела до его цилиндрической части. В общем случае под диаметром миделя мD подразумевают диаметр круга, эквивалент- ного по площади миделю. Цилиндрическая часть тела вращения также характеризуется удлинением цил цил мλ / .l D Геометрическими параметрами кормовой части тела вращения являются удлинение корм корм мλ /l D и сужение корм дон мη / ,d D где донd – диаметр донного среза (см. рис. 15.4, 5 г). При отсутствии у тел вращения донного среза корм 0.  380 Удлинение тела вращения равно сумме удлинений отдельных его частей: нос цил корм м + λ + λ ,TL D     где TL – полная длина тела вращения. Величина, обратная удлинению, называется относительной толщиной тела вращения: 1 / λ.d  Как и при изучении аэродинамических характеристик крыла, аэродинамические силы, действующие на тело вращения, рассмат- риваются в скоростной или связанной системах координат. В ско- ростной системе координат формулы для определения подъемной силы и силы лобового сопротивления имеют следующий вид: ;a ya MY c qS ,a xa MX c qS где иya xac c – коэффициенты подъемной силы и лобового сопро- тивления тела вращения; 2ρ /2q V – динамическое давление; мS – площадь миделя. Переход к связанной системе координат производится так же, как и для крыла. 15.5. Подъемная сила тел вращения в аэродинамике Подъемную силу тела вращения, обтекаемого потоком под неко- торым углом атаки, можно определить, зная закон распределения давления на поверхности тела. При малых скоростях распределение давления может быть найдено достаточно надежно только экспери- ментальным путем. 381 Как видно из рис. 15.5, эпюра распределения давления по мериди- ональному сечению тела вращения (кривая 2), обтекаемого потоком несжимаемой жидкости, качественно сходна с эпюрой распределения давления по профилю крыла (кривая 1) той же относительной тол- щины и формы при том же угле атаки. Однако разрежение на теле вращения значительно меньше разрежения на крыле, что обусловле- но пространственным характером обтекания тела вращения. Рис. 15.5. Распределение давления по профилю крыла (кривая 1) и меридиональному сечению тела вращения (кривая 2) при малых числах M Обтекание тела вращения можно сравнить с обтеканием крыла очень малого удлинения, у которого, как известно, разрежение на верхней поверхности при прочих равных условиях всегда меньше, чем у крыла большого удлинения, вследствие перетекания воздуха через концевые кромки крыла из области повышенного давления в область пониженного. Так же, как для крыльев малого удлинения, зависимость  αyac f для тела вращения носит в значительной ме- ре нелинейный характер. Таким образом, характер изменения подъ- емной силы и силы лобового сопротивления тела вращения в первом приближении качественно близок характеру изменения α αиX Y крыла как при малых, так и при больших значениях числа 0 .xyz Так как на теле вращения разрежение меньше, чем на крыле, то при одинаковых числах M в случае обтекания тела вращения вли- 382 яние сжимаемости сказывается слабее. Поэтому у тел вращения число крM значительно больше, чем у крыла. Например, профиль крыла толщиной 15 % имеет кр 0,78M  , а тело вращения той же относительной толщины имеет кр 0,95M  . Отмеченные особенности в обтекании тела вращения, несомнен- но, сказываются на величинах подъемной силы и лобового сопро- тивления тела вращения. При расчете траекторий движения летательных аппаратов в ос- новном используется скоростная система координат (рис. 15.6). В этом случае коэффициент подъемной силы тела вращения cos sin .ya y xc c c    Рис. 15.6. Возникновение на теле вращения нормальной силы, обусловленной поперечным обтеканием Коэффициент нормальной силы тела вращения в связанной си- стеме координат yc определяется по формуле нос цил п корм ,y y y y yc c c c c    (15.8) где носyc – коэффициент нормальной силы носовой части тела вращения; цилyc – коэффициент нормальной силы цилиндрической части тела вращения; 383 пyc – коэффициент нормальной силы цилиндрической и кормо- вой частей, обусловленный наличием отрыва потока при больших углах атаки; кормyc – коэффициент нормальной силы кормовой части тела вращения. Экспериментально установлено, что цилиндрическая часть, при- легающая к носовой части тела вращения, также создает нормаль- ную силу. Величина этой силы небольшая, и отдельно ее не выде- ляют, а добавляют к нормальной силе носовой части. В этом случае формула (15.8) принимает вид нос п корм .y y y yc c c c   Формулу для определения коэффициента нормальной силы, отнесенного к площади миделя, согласно линейной теории можно представить и в другом виде: αα,y yc c (15.9) где α / α.y yc c   Как показывают экспериментальные данные, коэффициент yc за- висит не только от угла атаки α, но и от формы тела вращения и прежде всего от формы его носовой части, структуры пограничного слоя, числа ,M удлинения тела вращения λ и ряда других факторов. Производную yc в общем случае можно представить в виде суммы: α α α нос п корм ,y y y yc c c c   где α носyc – производная по углу атаки от коэффициента нормаль- ной силы носовой части (с учетом цилиндрической части); α пyc – производная по углу атаки от коэффициента нормально силы цилиндрической и кормовой части; 384 α кормyc – производная по углу атаки от коэффициента нормаль- ной силы кормовой части. Экспериментально установлено, что производная от коэффици- ента нормальной силы носовой части тела вращения α носyc является функцией удлинения носовой и цилиндрической частей тела вра- щения, а также числа .M Графики для определения α носyc тел вра- щения с конической и оживальной носовыми частями приводятся на рис. 15.7 а и б. Коэффициент нормальной силы цилиндрической и кормовой час- тей тела вращения, обусловленный наличием срыва потока при больших углах атаки, выражается эмпирической формулой 2 2 yn цил0,624λ sin α tg α.xc c Производная αyпc цилиндрической и кормовой частей может быть определена из соотношения α 2 2 2 yn цил 21,872λ tg α 1 sin α , 3x c c      где цилxc – коэффициент сопротивления кругового цилиндра при его поперечном обтекании; цил 0,35xc  при турбулентном пограничном слое; цил 1,2xc  при ламинарном пограничном слое Производная от коэффициента подъемной силы кормовой части тела вращения определяется по эмпирической формуле  α 2 корм корм2 1 .yc     Поправочный коэффициент  зависит от чисел Re, ,M формы кормовой части и учитывает уменьшение коэффициента нормаль- ной силы из-за утолщения и отрыва пограничного слоя в суживаю- щейся кормовой части  0,15 0,20 .   385 Для тела с расширяющейся кормовой частью (рис. 15.7) α кормyc определяется выражением 2 α 21 корм 20,8 1 cos . 57,3y Dc D           Рис. 15.7. График для определения yac тела вращения с конической (a) и оживальной (б) носовыми частями а б 386 Сумма α α нос yn корм, ,y yc c c согласно формуле (15.10) равна .yc Подставляя в формулу (15.9) значение ,yc получим выражение для коэффициента подъемной силы тела вращения:   2 2 2 нос цил корм0,624 α 2 1 .y y xc c c       Учитывая, что для малых углов атаки 2 0,  имеем   2 нос корм2 1 .y yc c      (15.11) Если поперечное сечение тела имеет не круглую, а овальную форму, то расчет ведется по формуле 2 ов м , 4y y Bc c S  где yc – определяется по формуле (15.11); B – ширина миделя; мS – площадь миделя, к которой отнесен коэффициент ов .yc Если в носовой части расположен воздухозаборник, то при рабо- те двигателя на расчетном режиме возникает дополнительная сила, коэффициент которой yc будет вх м 2 ,y Sc S    где вхS – площадь входа в воздухозаборник. 387 y Глава 16. ДИНАМИКА БЕСПИЛОТНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА РАКЕТНОГО ТИПА 16.1. Динамика беспилотного летательного аппарата с двумя плоскостями симметрии Уравнения движения летательных аппаратов с двумя плоскостя- ми симметрии (рис. 16.1) могут быть получены из уравнений дви- жения БПЛА самолетных схем. Рис. 16.1. Беспилотный летательный аппарат с двумя плоскостями симметрии Преимущественное распространение получили плоскокрылые (рис. 16.2) и крестокрылые (рис. 16.2) дроны ракетного типа. В пло- скокрылых ракетах в качестве рулевых органов используются эле- роны 1, руль направления 2 и руль высоты 3. Хвостовое оперение плоскокрылой ракеты крестообразное. В крестокрылых ракетах применяются руль направления 1 и элероны 2, рис. 16.3. Газодинамические рулевые органы реализуются в виде газовых рулей, поворотных, шарнирно закрепленных маршевых двигателей и реактивных микродвигателей. y x z 388 Рис. 16.2. Схема дрона типа крестокрылой ракеты Рис. 16.3. Схема дрона типа крылатой ракеты с одной плоскостью симметрии Уравнение движения БПЛА с двумя плоскостями симметрии по- лучается из уравнений главы 11. Пренебрегая влиянием сил тяжести на динамику БПЛА, с учетом того, что БПЛА имеет две плоскости симметрии, рис. 16.1, получим ; ; ; ; ; ; . y z y z y z y z y z y z y z y z y z J J c c m m c c m m c c m m                      x y z 389 Эти соотношения позволяют установить, что рассмотренное вы- ше плоское движение БПЛА в вертикальной плоскости, описывае- мое уравнениями главы 11, подобно плоскому движению в горизон- тальной плоскости, описываемому уравнениями главы 10. Следова- тельно, имеем      22 220 32 33 в в 3 ; δ ; p n p f n p n p n p n f               (16.1)      22 220 32 33 в в 3 β ψ ; β ψ d . p n p f n p n p n p n f           (16.2) Введем комплексные углы: атаки 1 ;j     ориентации продольной оси 1 ;j     отклонения управляющих поверхностей 1 н в ,δ δ δj   где 1j   . Умножая каждое из уравнений (16.2) на j и складывая с соот- ветствующим уравнением (16.3), получим для БПЛА с двумя плос- костями симметрии уравнения в виде      22 1 1 220 32 1 33 1 в 1 3 ; , p n p F n p n p n p n F                390 где ' ' 2 2 2 3 3 3.F f jf F f jf    Эти уравнения по форме аналогичны исходным уравнениям гла- вы 10. Однако они описывают сложное пространственное движение БПЛА, тогда как каждая из систем (16.1.) и (16.2) описывает плос- кое движение. Применяемый способ преобразования уравнений движения БПЛА имеет то преимущество, что исследование системы четвертого порядка сведено к исследованию системы второго по- рядка. Такое упрощение значительно облегчает решение задачи нахождения уравнений системы управления. Движение по крену, т. е. движение вокруг оси x БПЛА с двумя плоскостями симметрии, отличается от соответствующего движе- ния БПЛА самолетной схемы тем, что его можно принимать прак- тически независимым от движений рыскания и тангажа. Поскольку площади крыльев и оперений относительно малы, то демпфирую- щий момент крена мал при полете в атмосфере с малыми скоростя- ми и уравнение движения по крену можно представить в виде 2 2 d γ , dx x p J M t  где 0 γ d t x t  – угол крена; x pM – момент, создаваемый системой управления движением по крену. 16.2. Динамика осесимметричных беспилотных летательных аппаратов ракетного типа Осесимметричные БПЛА (снаряды) (рис. 16.4) стабилизируются посредством сообщения им угловой скорости вращения вокруг про- дольной оси. Это накладывает особые требования на динамику дви- жения снаряда. При выводе уравнений движения будем полагать, как и выше, что силами тяжести можно пренебречь. Предположим также, что угловые скорости ω и ωy z малы по сравнению с .x 391 Рис. 16.4. Осесимметричный летательный аппарат Аналогично будем принимать 2 2 2 .x y z xV V V V V    При этих предположениях приближенные уравнения движения в форме Эйлера примут вид     . d ; d d ; d d ; d d ; d d ; d d d y z x z z x y y x x x y y x z x z y z z y x x y z Vm X t V m V V Y t Vm V V Z t J M t J J J M t J J J M t                                 (16.3) В дальнейшем первое и четвертое уравнения системы (16.3) не рассматриваются. В осесимметричных снарядах в качестве характерного размера принимается диаметр .d Введем относительные угловые скорости: z x y 392 ; .yzz y dd V V     Напишем линеаризованные выражения для аэродинамических сил и моментов, входящих в правые части уравнений (16.3): 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 3 3 3 3 1 3 3 3 3 1 ; ; ; , z y y xz z y y yМ y p y yxz y z zМ z p y yxz y y y yМ y yp y xz z z z z zМ z zp V dd VY c qd c qd c qd c qd Y V V V V d VdVZ c qd c qd c qd c qd Z V V V V d VdVM m qd m zqd m qd m qd M V V V V V dd VM m qd m zqd m qd m qd M V V V V                                 (16.4) где , и ,yМ zМ yМ zМc c m m – коэффициенты сил и моментов Магнуса; q – скоростной напор; 1 1 1 1, и ,y z y zc c m m – коэффициенты сил и моментов, появляю- щихся вследствие несимметрии несущих поверхностей; , и ,p p yp zpY Z M M – силы и моменты, появляющиеся за счет несовпадения вектора тяги с осью 0x и за счет несовпадения линии действия тяги с центром масс. Очевидно, силы иp pY Z и моменты ,yp zpM M могут быть спе- циально созданы с целью управления снарядом. При этом для управления движением центра масс должны быть созданы силы ,иp pY Z а для управления углами и  – моменты .,yp zpM M Вращающий момент xM можно представить в виде 2 ,z xx x x p dM c qd M V    где x pM – составляющая момента, создаваемого специальными верньерными двигателями или аэродинамическими рулями, служа- щая для сообщения снаряду скорости вращения .x 393 В силу осевой симметрии снаряда можно положить ; ; ; ; ; ; . y yz z y z y z y z y z y z yM zM M yM zM M J J J c c c m m m c c c m m m c c c m m m                          Подставляя значения , , иy zY Z M M из выражений (16.4) в сис- тему (16.3), найдем   2 3 3 2 1 2 3 3 2 1 3 4 4 3 1 d d ; d d d d ; ; d d y y z x z xz z M y p yz z x y y yx M z p yx z y x x y yx M y y p z z V V m V V c qd t V Vc qd c qd c qd Y V V V V Vm V V c qd c qd t V V V c qd c qd Z V V VJ J J m qd m qd t V V V m qd m qd M V V J J t                                                   3 4 4 3 1 . y z x x y x z M z z p V J m qd m qd V V Vm qd m qd M V V              (16.5) Умножим первое и третье уравнения системы (16.5) на j и сло- жим соответственно со вторым и четвертым уравнениями. Вводя обозначения: 394 1 ; z yV V jV  1 ,z yj     получим     2 1 1 1 2 1 1 1 ; , p p p A V B cV N CV p D mV M            (16.6) где φ 1 1M M 11 ; 1 ; ; z y x c c jcc cA j V B jV c m md m md                 φ M; ; 1 ;p p xp x x Z jY m J mmN C V D j V m Jd J J J             1 1 1 ; ; z p y pz y p M jMm jm m M Jd J   3 4 2 2; .m Jm J d d    Выражения (16.6) являются линейными дифференциальными уравнениями второго порядка. Введенные здесь комплексные пере- менные и W  позволили понизить порядок дифференциальных уравнений с четвертого до второго, что упрощает исследование динамики. Проведем исследование устойчивости движения вращающихся снарядов. Для этого рассмотрим характеристическое уравнение сис- темы (16.6):    2Δ 0.p p A D p AD BC      395 Коэффициенты этого уравнения являются комплексными. Корни уравнения будут 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2; ,p j j p j j                (16.7) где φ M 1 1δ ; 2 ;2 2 x xc m JcV md j m J               2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1δ ; ; 2 2 A B A A B B       2 2 2 2 M 1 ;xx c m J cA V md J J m              φ M 1 2 2 1 x M x cJ m cc mB V J m md J m J                           φ2 1 . m cV Jd m        Для устойчивости системы необходимо, чтобы вещественные части корней (16.7) были отрицательны. Это требование сводится к выполнению двух неравенств: 1 2 1 2δ δ 0; 0.       Из этих неравенств при заданных параметрах снаряда можно определить границы устойчивости. 396 Глава 17. КИНЕТИКА ВИНТОВ И КОРПУСА ГЕЛИКОПТЕРОВ 17.1. Кинематика лопасти винта и кинематика вертикального движения вверх Автоматическое управление мультикоптером является сложной и интересной задачей. Гексакоптеры представляют собой разновидность летательных аппаратов вертолетной схемы, оснащенных шестью несущими вин- тами. Полет мультикоптера осуществляется за счет подъемной си- лы, которую создают несущие винты. Как правило, винты располо- жены на крест-накрест пересекающихся балках и вращаются в диа- гонально противоположных направлениях, причем каждый винт приводится в движение отдельным двигателем. Система координат 1 1 1 1О X Y Z , рис. 17.1, жестко связана с корпу- сом летательного аппарата, ось 1Z – одна из осей, на которой вращается винт (лопасть). Рис. 17.1. Схема винтового движения 397 Точка М – точка лопасти, для которой должно выполняться ра- венство 01  mV V ω r, (17.1) где 01V – скорость поступательного движения точки 1О (оси вращения). 1. 1 || .ОV ω Введем систему координат 2 2 2 2О X Y Z , которая враща- ется угловой скоростью ω вокруг оси 1Z так, что 1 2,ОZ ОZ , оси 1 2,ОX ОY перемещаются параллельно самим себе. Тогда движение точки М можно рассматривать как абсолютное относительно системы 1 1 1 1О X Y Z и относительное в системе 2 2 2 2О X Y Z . Уравнение (17.1) тогда имеет вид , m e rV V V где eV – скорость переносного движения; rV – скорость относительного движения точки М. Из рис. 17.1 следует, что tg α ,mr e VV V R    где R – расстояние от точки М до оси вращения. Таким образом, точка М совершает винтовое движение в силу наличия крутки лопасти, что обусловливает поступательно переме- щение оси вращения винта с корпусом гексакоптера. Шаг винта h 0 0 2 ,Vh V T    где 2T   – период вращения точки М. 398 Параметр винта р 0 .ω Vp  Рассмотренное движение называется кинематическим винтом. Если 1 иОV  – переменные, то движение мгновенно винтовое. В этом случае  .p p t 2. 1 .ОV ω Пусть теперь поступательное движение происходит в горизонтальном направлении перпендикулярно оси винта, рис. 17.2. Пусть вектор 1ОV перпендикулярен оси 1 1.О Z Как известно, посту- пательное движение эквивалентно паре вращений, которую построим следующим образом. Вектор 1 .ω ω Вектор 2ω лежит в плоскости П, перпендикулярной 1ОV в точке 3О , и 2 1. ω ω Рис. 17.2. Движение перпендикулярной оси винта Тогда, используя свойства эквивалентности систем векторов, можем записать        1 1 2 1 1 2, ~ , , , но , ~ 0, поэтом .у , ~О ОV ω ω ω ω ω ω ω ωV 399 Это означает, что результирующее движение эквивалентно од- ному вращению вокруг мгновенной оси вращения О3 со скоростью 1 3.ОV ОО ω 3. 1ОV – произвольная. Поступательное движение оси в произ- вольном направлении. Пусть теперь лопасть вращается со скоростью ω и совершает поступательное перемещение в произвольном направлении со ско- ростью 1ОV . Представим 1ОV в виде 1 пар пер ,ОV  V V где пар пер|| ,ωV V перпендикулярна ,ω пер ,ωV тогда, как и в слу- чае «2»,  пер 1 2~ , .ω ωV Соотношения эквивалентности имеют вид           1 пар пер пар 1 2 пар 2 1 , ~ , , ~ , , , ~ , , так как , ~ 0. О ω ω ω ω ω ω ω ω V V V V V Таким образом, движение приводится к мгновенно-винтовому, совершаемому вокруг оси 3 ,О Z отстоящий от 1 1О Z на расстояние d. 1 1 3 1 1 1 3 2, , ;О О Vd О О ОО      ωV x пер 1 1sin 2 sin, .О О V V Vd h       Ось вращения совершает поступательное вверх и вращательное движение. 400 17.2. Кинематика сечения мультикоптера Рассмотрим случай, когда четыре винта расположены в углах квадрата или прямоугольника (квадрокоптер). Винты, расположен- ные на одном диаметре, вращаются в разные стороны. Если имеем шесть винтов в вершинах и правильного шестиугольника (гекса- коптер), – винты вращаются в противоположные стороны. Рассмотрим плоскость, проходящую через диаметр описанного круга. Как показано на рис. 17.3, точка винта совершает движение по спирали, а это значит, что точка оси вращения совершает поступа- тельное перемещение за один поворот на шаг h: 2 ,Vh   где h – шаг винта; V – скорость поступательного движения;  – угловая скорость винта. Рис. 17.3. Схема угловых скоростей 401 Векторы поступательной скорости пары винтов, расположенных на одной балке, направлены в одну сторону, а угловых скоростей – в противоположные. Если скорости равны, то центр масс движется поступательно в направлении V, рис. 17.4. Рис. 17.4. Движение центра масс при равенстве скоростей Если скорости не равны, то в точке Р существует МЦС и в плос- кости пары винтов совершается вращение вокруг точки Р. Скорость в точке С – среднее арифметическое значений скоростей в точках А и В, рис. 17.5: ; a bV V AP BP  . 2 a b c V VV  Рис. 17.5. Схема для определения М 402 При повороте АВ на угол  появляются проекции скоростей ,A BV V точек А, В на горизонталь, т. е. возникает поступательное движение вбок, рис. 17.6:   cos sin ; 2 h A aAV V V          cos sin ; 2 h B BBV V V           cos ;V aAV V    cos .h BBV V  Рис. 17.6. Схема для определения скорости движения вбок Боковое движение линии АВ поступательное, если    .h hВAV V На самом деле АВ совершает не горизонтальное движение, а более сложное. Имеет место ускоренное движение, когда вектор ε имеет то же направление, что и ,ω а в случае замедления – в противоположную сторону, рис. 17.7: 2tg ;a    2 2 .a waAQ     403 Рис. 17.7. Схема для определения угла Движение вращательное, когда геликоптер описывает окруж- ность на месте, рис. 17.8. Рис. 17.8. Схема вращения на месте Уменьшение скорости вращения винтов против часовой стрелки через один приведет к вращению по часовой стрелке в силу третьего закона Ньютона, а по часовой – в противоположном направлении. 17.3. Динамика корпуса мультикоптера Мультикоптер представляет собой твердое тело, к которому симметрично прикреплены двигатели с параллельно расположен- 404 ными винтами. Винты могут отклоняться от вертикального положе- ния с помощью автоматов перекоса, однако в мультикоптерной схеме считаем оси жесткими стержнями. Схематически корпус мультикоптера можно считать сфероидом вращения, у которого по большому диаметру прикреплены двигатели. Центр масс мультико- птера расположен в точке 0, рис. 17.9. Рис. 17.9. Схема сил и скоростей мультикоптера Заменим корпус мультикоптера системой масс, сосредоточенных в точках крепления двигателей, так, что центр масс остается в точ- ке 0. В настоящее время распространены схемы с четным симмет- ричным расположением винтов, жестко скрепленных с корпусом. В общем случае винты могут вращаться с разными угловыми ско- ростями и в разных направлениях, соответственно скорости посту- пательных перемещений всегда параллельны, но по величине могут р 405 различаться. Тяговое усилие винта зависит от его угловой скорости, а направление совпадает с осью вращения и поступательной скоро- стью перемещения. Рассмотрим случай четного 2n m числа симметрично распо- ложенных винтов в углах правильного 2m-угольника, вписанного в окружность. В случае независимых между собой двигателей могут быть записаны уравнения движения. Как известно, по третьему закону Ньютона сила действия равна силе противодействия, поэтому вращение винта, например, по часо- вой стрелке приводит к тому, что геликоптер будет вращаться про- тив часовой стрелки, если на него не наложены связи, например, когда он стоит на земле. Чтобы исключить эффект противовраще- ния, соседние винты должны вращаться в противоположные сторо- ны с одинаковыми угловыми скоростями. В этом случае эффект вращения геликоптера в желаемом направлении осуществляется путем снижения (увеличения) угловых скоростей винтов через один. Движение геликоптера в вертикальном направлении достигается увеличением (подъем) или уменьшением (спуск) угловых скоростей всех винтов одновременно. Зависание (равновесие) осуществляется при равенстве суммы подъемных сил винтов и силы тяжести. Пере- мещение в горизонтальном направлении осуществляется уменьше- нием угловых скоростей вращения винтов в той части мультикоп- тера, куда агрегат должен перемещаться. В случае общего движения по траектории подъема или спуска проекции линейной скорости центра масс на оси 10x и на плоскость 1 10y z будут определять направление и скорость перемещения центра: d , 1, d ,ii i Vm F mg Mg i n t     (17.2) где m – масса всех двигателей; M – масса корпуса. Просуммируем в (17.2) все уравнения: 1 1 d d n n i i i i i m F mg Mg F mg Mg t          406 или 2 1 d . d n i i i rm F mg Mg t    Выполняя обычные преобразования 2 2 1 1 d d / , , d d n i i i i i i i m r m m r m m m t t         получим уравнения для движения центра масс точки 0: 2 2 d d , dd c cr Vm m F mg Mg tt     где cr – координата центра масс в абсолютной системе координат; cV – скорость центра масс. Мультикоптер будет совершать вращательные движения на ме- сте без перенесения центра масс, если будут возникать моменты сил тяги относительно каких-либо осей или точек. Изменение угла нутации будет происходить, если пара двигате- лей, расположенных в плоскости, проходит через точку 0 перпенди- кулярно плоскости главного круга, рис. 17.10. Рис. 17.10. Изменение угла нутации 407 Если силы в точках ,к eA A не равны:     ,к eF A F A что обу- словлено тем, что        , к e к eA A V A V A    , то возникает мо- мент вращения корпуса мультикоптера вокруг оси, проходящей через точку 0 перпендикулярно плоскости чертежа:         0 .e k e kF A R F A R M R F A F A    Считаем, что поворот происходит относительно линии углов. Так как для осесимметричной модели главная ось инерции про- ходит через точку 0 перпендикулярно плоскости большого круга, то будем считать угол  (нутации) углом тангажа. Угол прецессии (крена)  изменяется в зависимости от сил тяги винтов при 0.  В этом случае подъем происходит с вращением мультикоптера во- круг неподвижной вращательной оси за счет моментов сил относи- тельно оси 10 .x Собственное вращение главной оси происходит во- круг вертикальной главной оси перпендикулярно плоскости главного круга. При чисто вертикальном движении собственное вращение по- является в результате бегущего изменения тяги винтов двигателей через один по кругу. Если в плане рис. 17.10 уменьшение тяги бежит против часовой стрелки, то вращение будет в обратном направлении по часовой стрелке, а если – по часовой, то вращение будет против часовой. Это является результатом того, что при уменьшении тяги винта происходит нутация, бегущая по кругу, а в результате получа- ется проекция силы тяги в направлении вращения, рис. 17.11. Рис. 17.11. Нутация, бегущая по кругу 408 Вращательные движения мультикоптера в общем случае требуют знания моментов инерции и центробежных моментов. В силу осе- симметричности большая главная ось инерции проходит вертикаль- но и перпендикулярно плоскости главного круга, две другие главные оси лежат в плоскости большого круга, так как корпус мультикопте- ра имеет симметрию эллипсоида вращения с периодическим повто- рением двух главных значений моментов инерции. Оси проходят ли- бо через пары двигателей, расположенных на главном диаметре, либо через середины сторон правильного многоугольника. Например, для квадрокоптера имеем симметрию через 2  поворотов симметрии. Момент инерции относительно оси 0x 2 2 2 0 1 2 . l x i i i I A m r m R l     Для квадрокоптера 22 ;y z oI I B c m R    24 .x oI m R B c   Для гексакоптера 2 2 0 0 34 3 2 ;yI B c m R m R         2 06 .xI A m R  Момент вращения вокруг осей 0 0 0, ,x y z   cos ,αix i iM F R где i – угол между силой тяги iF и касательной к окружности большого круга в точке iA . Если при наклоне платформы мульти- 409 коптера сила iF проецируется не на касательной вектор , а в плос- кость 0 ,y z то имеем вид, показанный на рис. 17.12. Рис. 17.12. Схема для квадрокоптера А для гексакоптера через π 4 поворотов симметрии – видна, рис. 17.13. Рис. 17.13. Схема для гексакоптера Вращательный момент   cos cos ,ix i i iM F R   410 где i – угол между iF и проекцией iF на плоскость 0 ;y z i – угол между проекцией iF и касательным вектором τ, рис. 17.14. Рис. 17.14. К определению вращательного момента проекцией Для квадрокоптера           1 3 1 3iyM F A R F A R R F A F A    или            1 2 1 222 2.2iyM F A F A R F A F A R    Для гексакоптера            1 3 6 4sin30 sin30iyI F A F A R F A F A R              1 3 6 4 ;2R F A F A F A F A                    5 2 4 3 6 12 2iz R RI R F A F A F A F A F A F A                   5 2 4 3 6 22 2 .R F A F A F A F A F A F A      411 17.4. Сведение винтовой мультисхемы к эквивалентной моносхеме В случае геликоптера мультисхемного типа имеем параллельную систему сил. Силы тяжести, приложенные в центре масс двигателей и в центре масс геликоптера, все время направлены вертикально вниз, силы тяги двигателей, жестко скрепленных с корпусом, все время параллельны и направлены вверх, рис. 17.15, но в общем случае не вертикально. Рис. 17.15. Параллельная система сил для геликоптера мультивинтового типа Здесь iF – сила тяги i-го двигателя, iP – сила тяжести i-го дви- гателя; эР – сила тяжести корпуса без учета двигателей. 412 Центр сил тяжести вычисляется по формуле 2 1 2 1 . m i i m i i P P P P        i o c r r r Очевидно, вектор сr имеет координаты  , 0, 0 ,cxсr т. е. линии выше точки 0 на оси 0.х Центр сил тяги находится по формуле   i i F F   F i F rr и имеет координаты  , 0, 0FxFr , т. е. линии выше точки 0. В момент времени, когда силы тяги становятся неравными, воз- никают моменты сил относительно точки 0 и осей координат:      2 2 2 1 1 1 0, 0, 0. m m m x x i y y i z z i i i i M M F M M F M M F            Таким образом, момент поворота вокруг осей ,x y возникает, когда силы тяги становятся неравными и корпус (плоскость круга) отклоняется на величину угла нутации  . Раскладывая в этом положении векторы тяги iF на составляю- щие || ,iF направленные по вертикальной оси 0 ,x и ,iF горизон- тальной в плоскости 0 00 :y z || , i i iF F F получим, что в этом случае мультигеликоптер будет перемещаться как вертикально, так и горизонтально, если 2 2 0 1 1 . n n i i      i iF P P 413 Отметим, что в общем случае центр системы параллельных сил тяги Fr и центр сил тяжести (центр масс) не совпадают. Поскольку центр сил существует и его можно найти, главный вектор сил тяги, приложенный в точку ,Fr и главный вектор сил тяжести ,сr то си- ловую мультисхему можно заменить эквивалентной моносхемой. Отличие состоит в том, что мультисхема позволяет создавать вра- щение аппарата вокруг главной оси за счет создания бегущего по окружности режима изменения скорости вращения винтов, для мо- носхемы (одновинтовой вертолет), как правило, повороты корпуса по курсу (рысканье) осуществляются за счет хвостового винта. Рас- смотрим модель моногеликоптера с хвостовым винтом. В этом слу- чае главную продольную ось удобнее брать вдоль корпуса вертоле- та по направлению горизонтального полета вперед. Боковое движение эквивалентного монокоптера создается за счет автомата перекоса винта, что должно быть эквивалентно изме- нению угловых скоростей винтов мультикоптера. Рассмотрим пару винтов на балке диаметра окружности, на ко- торой расположены винты, рис. 17.16. В случае чисто вертикально- го движения , ,A B A B ω ω F F движение чисто поступательное. Боковое движение осуществляется изменением скорости в точке А (уменьшение движения влево), увеличение движения – вправо. Рис. 17.16. Схема эквивалентности В случае перекоса винта горизонтальная проекция скорости пе- рекоса в точке С (монокоптера) и изменения угловых скоростей винтов в точках А и В эквивалентны, рис. 17.17:      .h h hBA CV V V  414 Рис. 17.17. Схема эквивалентности с перекосом 17.5. Аэродинамика несущего винта геликоптера В отличие от винта летательного аппарата типа самолета винт вертолета выполняет не только функции движителя для преодоле- ния силы лобового сопротивления, но и уравновешивает в полете вес вертолета. Винт вертолета обеспечивает устойчивость и управ- ляемость полета, а также безопасность аварийного снижения. Несущий винт (система несущих винтов) позволяет в широких пределах изменять вектор тяги как по абсолютной величине, так и по направлению. В широких пределах и достаточно оперативно также меняется момент тяги. Наибольшее распространение получили винты, у которых плос- кость вращения лопастей может менять положение по отношению к оси вала. Последнее достигается за счет шарнирного крепления лопастей несущего винта к втулке и применения специального ме- ханизма, так называемого автомата перекоса. Если рассмотреть силы, действующие на лопасть в плоскости вращения (силы сопротивления и центробежные силы), аналогич- ные рассуждения приводят к выводу, что вертикальный шарнир разгружает лопасть от изгибающих моментов в плоскости враще- ния, рис. 17.18. В этом основное назначение вертикального шарнира. Рис. 17.18. Равновесное положение лопасти 415 Благодаря горизонтальному и вертикальному шарнирам лопасть винта в полете под действием изменяющихся по величине момен- тов сил все время совершает колебательные движения. В конст- рукции винта имеются упоры, ограничивающие поворот лопастей. На рис. 17.19 aY – аэродинамическая сила, цбF – центробежная сила, F – результирующая сила. Рис. 17.19. Схема сил, действующих на моногеликоптер в полете Автомат перекоса управляет углами установки лопастей на рабо- тающем винте в зависимости от их положения, которое характери- зуется углом азимута ψ (рис. 17.20). Если увеличивать углы уста- новки лопастей при значениях ψ, близких к 0, и уменьшать – при ψ, близких к , то вследствие изменения подъемной силы плос- кость вращения лопастей наклоняется вперед, сила тяги винта T создает горизонтальную составляющую P и вертолет начинает пе- ремещаться вперед (рис. 17.19). Если уменьшить углы установки лопастей при значениях ψ, близких к 3 / 2 , и увеличивать – при ψ, близких к π/2 , то вертолет начинает перемещаться вправо. 416 Рис. 17.20. Азимутальное положение лопасти Для получения более равномерной работы несущего винта число лопастей обычно делают больше двух. Лопастям придают прямо- угольную или трапециевидную форму в плане со слабым сужением. Они, как правило, имеют крутку, уменьшающую углы установки по мере приближения к концам лопастей. 17.5.1. Влияние косой обдувки на аэродинамику винта Плоскость вращения лопастей несущего винта вертолета в поле- те составляет некоторый угол с направлением полета. Этот угол называют углом атаки винта. В обычном полете угол атаки отри- цателен. При углах атаки / 2   , соответствующих вертикаль- ному подъему и снижению вертолета, винт вертолета встречает воздух в осевом направлении. При  , отличном от / 2 , винт ра- ботает в режиме косой обдувки. Косая обдувка приводит к тому, что условия работы лопасти винта при изменении угла азимута ψ изменяются. Разложим ско- рость полета V на осевую составляющую sinV  и составляю- щую в плоскости вращения cosα.V Косую обдувку винта можно представить как сумму осевой (со скоростью sinV  ) и поперечной (со скоростью cos ).V  417 17.5.2. Аэродинамические характеристики винта Пусть несущий винт работает под углом атаки  (рис. 17.21). Полную аэродинамическую силу AR , действующую на винт, можно разложить на составляющие в скоростной или связанной системах координат. Рис. 17.21. Проекции равнодействующей аэродинамических сил несущего винта на направления скоростных и связанных осей В связанной системе координат получим перпендикулярную к плоскости вращения составляющую в плоскости вращения винта H – продольную силу винта. В скоростной системе координат aY – подъемная сила винта и aX – пропульсивная сила винта. В соответствии с законами аэродинамического подобия для составляющих сил AR можно написать следующие выражения:  2 21 ρ ω π ; 2T T c R R  2 21 ρ ω π ; 2a ya Y c R R 418  2 21 ρ ; 2H H c R R    2 21 ρ . 2a xa X c R R   Здесь , , и T H ya xac c c c – коэффициенты соответствующих сил – безразмерные величины, зависящие от параметров динамического подобия винтов в условиях косой обдувки. Пользуясь понятием эквивалентного винта, в приближенных рас- четах считают, что аэродинамические коэффициенты винта опреде- ляются помимо основных геометрических параметров (число лопа- стей л ,z коэффициент заполнения σ, относительная толщина про- филя ,c угол установки лопастей φ ) значением поступи , углом атаки , числом Re (Рейнольдса) и числом M (Маха). Выражение для крутящего момента на валу винта  2 3к ,12mk g RRM c   где mkc – коэффициент крутящего момента. Совокупность коэффициентов , и T H mkc c c в связанной системе или , иya xa mkc c c – в скоростной системе координат определяют аэродинамические свойства несущего винта и называются его аэро- динамическими характеристиками. Аэродинамические характеристики одной и другой систем связаны между собой следующими соотношениями: cos sin ; T ya xac c c    cos sin .H xa yac c c    При расчетах летных характеристик моногеликоптеров пользу- ются безразмерными коэффициентами, получаемыми как частное 419 от деления вышеприведенных коэффициентов на коэффициент заполнения  :  22 ;1 ρ 2 Tc Tt R R      22 ;1 ρ 2 Hc Th R R      22 ;1 ρ 2 ya a ya c Yt R R      22 ;1 ρ 2 xa a xa c Xt R R      23 .1 ρ 2 mk k k c Mm R R     Коэффициентом заполнения σ называется отношение суммар- ной площади проекции лопастей на плоскость вращения к площади диска несущего винта. 17.6. Автоматическое управление моновинтовым геликоптером У геликоптеров подъемная сила создается несущими винтами. Вследствие этого геликоптеры могут держаться в воздухе при нуле- вой скорости полета (режим висения). Геликоптеры могут иметь один или несколько несущих винтов. Наибольшее распространение среди макромашин получили одновинтовые геликоптеры. 420 Регулирующими элементами при управлении одновинтовым геликоптером являются: кольцо автомата-перекоса для управления по крену и тангажу; шаг хвостового винта для управления по курсу; шаг несущего винта для управления по высоте полета и сектор газа для управления скоростью полета. При наклоне кольца автомата-перекоса создается циклическое изменение шага лопастей винта, которое приводит к изменению направления аэродинамической силы несущего винта и, следова- тельно, к изменению момента этой силы относительно центра масс геликоптера. Управление курсом геликоптера осуществляется изменением шага хвостового винта. Изменение шага меняет силу тяги хвостово- го винта, что приводит к изменению момента относительно верти- кальной оси геликоптера. Изменение шага несущего винта меняет создаваемую винтом подъемную силу, что приводит к изменению высоты полета. В некоторых случаях возникает необходимость регулирования скорости вращения несущего винта. Для этого следует изменять мощность приводного двигателя. Автопилоты на вертолетах применяются: для стабилизации относительно трех осей в горизонтальном по- лете, при спуске и наборе высоты, при висении и при переходе с одного режима на другой; выполнения маневров; стабилизации высоты полета; стабилизации скорости вращения несущего винта. 17.6.1. Математическая модель моногеликоптера как объекта управления Для получения математической модели геликоптера как объекта управления введем две системы координат: – систему Oxyz с началом в центре масс (ось Ox направим гори- зонтально вперед, ось Oy – вертикально вверх, ось Oz – горизон- тально вправо); 421 – систему 1 1 1Ox y z с началом в центре масс геликоптера и осями 1 1 1, , Ox Oy Oz , жестко связанными соответственно с продольной, нор- мальной и поперечной осями геликоптера (рис. 17.22, 17.23 и 17.24). Рис. 17.22. Схема одновинтового геликоптера (вид сбоку) Рис. 17.23. Схема одновинтового геликоптера (вид спереди) Рис. 17.24. Схема одновинтового геликоптера (вид сверху) 422 При вращении несущего винта создается подъемная сила Т, на- правленная по оси винта и приложенная к его втулке. Движение геликоптера и его пространственное положение зависят от положе- ния силы Т в пространстве и по отношению к фюзеляжу. Сила Т может быть разложена на вертикальную yT и горизонталь- ную T  составляющие, а эта последняя – на продольную xT и попе- речную zT – составляющие. Каждая из сил , и x y zT T T вызывает дви- жение геликоптера соответственно вдоль осей , и x y z , см. рис. 17.22. Если G – сила тяжести вертолета, то при yT G вертолет будет подниматься, а при yT G – опускаться. Висение геликоптера бу- дет при .yT G Для управления высотой полета, очевидно, необхо- димо изменять силу yT (она близка к Т), что достигается изменени- ем шага несущего винта. При наклонении вектора силы Т вперед- назад или вправо-влево с помощью автомата-перекоса меняются со- ставляющие xT и zT и возникают соответственно моменты .иz xM M Возникновение этих моментов обусловлено тем, что сила Т прило- жена к втулке винта и не всегда проходит через центр масс. При выводе дифференциальных уравнений движения геликоптера исходят из того, что геликоптер является системой со многими сте- пенями свободы. Например, геликоптер с четырехлопастным винтом имеет 15 степеней свободы. В общем случае уравнения геликоптера из-за конечного числа лопастей винта имеют периодические коэффи- циенты. Эти обстоятельства затрудняют получение простой матема- тической модели геликоптера как объекта управления. Для упрощения уравнений движения геликоптера обычно пола- гают, что продольное движение его независимо от бокового, хотя боковое движение рассматривается с учетом влияния продольного движения. Для получения уравнений продольного движения гели- коптера введем скоростную систему координат (рис. 17.25), как и в случае дрона аэропланного типа. Тогда уравнения движения в этой системе имеют вид 423 2 д р2 d sin sin cos ; d d cos cos sin ; d d dΩ; ; dd d sin ; , d z z p Vm T X G P t mV T G P t J M J M M tt H V t                             (17.3) где кроме указанных выше P – продольная сила несущего винта; zM – аэродинамический момент относительно поперечной оси геликоптера; , θ и α – углы тангажа, наклона траектории и атаки; H – высота полета; Ω – угловая скорость вращения несущего винта; дM – момент, развиваемый двигателем; рM – реактивный момент несущего винта. Рис. 17.25. К выводу уравнений движения одновинтового геликоптера 424 Линеаризуем эти уравнения, взяв в качестве невозмущенного движения прямолинейный полет, для чего учтем зависимость сил , ,T P X и моментов р д, ,zM M M от параметров:            р р д д р , ,Ω, , ; , , , , ; , ; , , ; , , ; Ω, , z z T T V P P V X X V M M V M M V M M                     (17.4) где  – угол установки (шаг) лопасти несущего винта;  – угол продольного отклонения кольца автомата перекоса относительно фюзеляжа; рδ – угол перемещения сектора газа двигателя. Разлагая характеристики (17.4) в ряды по малым приращениям соответствующих параметров, подставляя полученные выражения в уравнения (17.3) и производя преобразования, получим                     11 12 13 14 1 1 1 p 21 22 23 24 2 2 2 p 2 31 0 32 33 3 3 41 42 44 p p 4 4 , , δ ; , , δ ; , ; δ φ , , ; . n n n n n n f t V n p n p n n n n f t V n n p n p n p n n p f t V n n p n n n f t V ph                                                         (17.5) Здесь a d V Ω Δ; ; ; ; d Ω Hp h t V V         n с соответствующими индексами – постоянные коэффициенты; 1 2 3 4, , ,f f f f – возмущения, зависящие от времени и режимов полета геликоптера. 425 Линеаризованные уравнения продольного движения геликоптера (17.5) представлены в той же форме, что и аналогичные уравнения движения дрона самолетного типа в главе 10. Однако входящие в уравнения (17.5) коэффициенты ikn не равны соответствующим коэффициентам в уравнениях дрона. Эти коэффициенты должны подсчитываться для геликоптера по формулам, включающим харак- теристики (17.4) и их частные производные. Уравнения (17.3) описывают линейную математическую модель продольного движения геликоптера как объекта управления. Они связывают регулируемые величины , , , и αh   с регулирующи- ми факторами p, φ, δ и возмущениями  1, ,4if i   . Из пяти ве- личин , , , и αh   регулируются первые три, при этом использу- ются следующие воздействия регулирующих факторов на регули- руемые величины: p, , .h    Линеаризованные уравнения бокового движения геликоптера приведем без вывода:               11 12 14 13 1 p 21 22 23 2 p 31 32 33 3p , , , , , , ; , , , , , ; , , , , , . n n n n F t V n p n p n p F t V n n p n p n F p p t V                                              (17.6) Эти уравнения представлены в той же форме, что и уравнения бо- кового движения дрона самолетного типа. Следует помнить, что, как и в случае дрона, коэффициенты в левых частях уравнений (17.5) и (17.6) имеют различный смысл. В правых частях уравнений (17.6):  – угол поперечного отклонения кольца автомата-перекоса от- носительно фюзеляжа; рφ – угол установки (шаг) хвостового винта; 1 2 3, и F F F – возмущения, зависящие от времени, режимов поле- та и параметров продольного движения геликоптера. Из уравнений видно, что боковое движение геликоптера не мо- жет быть реализовано независимым от продольного движения. 426 В боковом движении реализуются углы крена  и рыскания  изменением соответственно угла поперечного отклонения кольца автомата-перекоса  и шага хвостового винта pφ , т. е. применяется способ регулирования: pη γ, φ ψ.  Для геликоптеров являются характерными сильные связи между регулируемыми параметрами γ, ψ, , и ω.h Это обстоятельство, как правило, приводит к тому, что в вертолете труднее обеспечить хорошее качество переходного процесса и получить автономное управление отдельными параметрами. 17.6.2. Принципы проектирования автопилота одновинтового геликоптера На геликоптерах применяются трех-, четырех- и пятиканальные автопилоты. Первые обеспечивают управление углами рыскания  , крена  и тангажа  , во-вторых, к этим параметрам добавляется высота h , а в-третьих, – еще скорость вращения несущего винта  . Для управления геликоптером могут применяться статические и астатические автопилоты. В настоящее время преимущественное распространение получили первые автопилоты. В таблице приведены данные о регулируемых параметрах и регулирующих факторах, зако- нах управления, движущих силах и моментах и характере движения вертолета. Астатический закон управления отличается от статическо- го интегральным членом, который записан в шестом столбце. Курсовой угол , входящий в закон управления, измеряется курсовой системой автопилота, а сигналы углов крена  и тангажа  снимаются с авиагоризонта. Для получения сигнала высоты h при- меняют высотный корректор, аналогичный соответствующему при- бору в самолетных автопилотах. Для измерения угловых скоростей крена ,x рыскания y и тангажа z применяется блок демпфи- рующих гироскопов. Угловая скорость вращения несущего винта  измеряется тахогенератором. 42 7 Рег ул ир ую щи е п ара ме тры и рег ул ир ую щи е ф акт ор ы Ка нал авт оп ил ота Рег ули - руе мы й пар ам етр Рег ули - рую щи й фа кто р Ор ган уп рав ле- ни я Зак он уп рав лен ия Си ла и м ом ент ы Дв иж ени е вер тол ета ста тич еск ого авт оп ил ота аст ати чес ког о авт оп ил ота угл о- вое ли ней - ней - но е 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ры ска ни я  р Хв ост о- вой ви нт р y k k       0 d t t    M y  – Кр ена   Ав том ат- пер еко с x k k      0 d t t    M x T z  – – z Та нга жа   Ав том ат- пер еко с z k k       0 d t t    M z T x  – – x Вы сот ы h  Ш аг не- сущ его ви нта h h k h k ph   0 d t h t   T y – y Ск оро сть вра ще ни я  р Се кто р газ а р k k p       0 d t t    M д – – 427 428 Геликоптерные автопилоты обычно работают совместно с элек- тромеханическими рулевыми агрегатами включенными в систему по дифференциальной схеме (рис. 17.26). Рис. 17.26. Схема суммирования сигналов оператора и автопилота Из схемы видно, что на органы управления геликоптера одно- временно может воздействовать как оператор, так и автопилот. При этом автопилот воздействует на рулевой агрегат, представлен- ный на схеме (см. рис. 17.26) прямоугольником с нелинейной характеристикой; этот цилиндр выполняет роль раздвижной тяги в системе управления, подобно тому, как это сделано в демпферах. Суммарное перемещение рулевого агрегата равно алгебраической сумме перемещений от воздействий оператора и автопилота. 17.7. Схемы и устройства автопилота геликоптера Четырехканальный автопилот вертолета предназначен для управ- ления курсовым углом путем воздействия на шаг хвостового винта, углами крена и тангажа путем воздействия на автомат-перекос со- ответственно в поперечном и продольном направлениях и высотой полета путем воздействия на общий шаг несущего винта. В автопилоте реализованы следующие законы управления:       φ 3 3 0 3 0 φ ; ; ; φ . p y x z h k k k k k k k h                            429 Здесь 3 3 3, и    – сигналы центровки; 0 0и   – сигналы компенсационных датчиков, передающих воз- действие оператора на вход каналов крена и тангажа автопилота. Сигналы 0 0и  необходимы для того, чтобы эффективность диспетчерского управления при включенном автопилоте оставалась неизменной. Сигналы центровки служат для компенсации постоян- ных возмущающих моментов. В законе управления высотой полета отсутствует сигнал, пропор- циональный скорости изменения высоты полета, поэтому переходные процессы по высоте полета получаются с колебаниями. Каналы курса и высоты автопилота при дистанционном управлении отключаются. Если max max max maxφ , η , и φp  полные перемещения соответст- вующих регулирующих органов, то отклонения этих органов, вы- зываемые автопилотом, составляют соответственно max max0,2 , 0,2 η ,p p      max max .0,2 , 0,2       Эти ограничения, необходимые для безопасности управления при отказе автопилота, достигаются за счет нелинейности характе- ристики рулевого агрегата. На рис. 17.29–17.29 показаны функциональные схемы включе- ния автопилота и образования контура диспетчерского управления. Видно, что при диспетчерском управлении курсом и высотой поле- та курсовой канал и канал высоты автопилота отключаются, а кана- лы тангажа и крена остаются включенными. При этом, как указано выше, в целях сохранения одинаковой эффективности ручного управления в каналы тангажа и крена подаются сигналы через ком- пенсационные датчики. Рис. 17.27. Функциональная схема канала рыскания автопилота 430 Рис. 17.28. Функциональная схема канала крена (тангажа) автопилота Рис. 17.29. Функциональная схема канала высоты автопилота На рис. 17.30 показаны структурные схемы каналов автопилота, на которых: 1 /k p – передаточная функция контуров согласования (синхронизации); 2k – коэффициент усиления; 3 /k p – передаточ- ные функции гидроагрегатов управления; 5k – коэффициенты уси- ления агрегатов; 4k – коэффициенты усиления обратных связей; 6k – коэффициенты усиления компенсационных датчиков; 1 2иB B – выключатели. Когда автопилот работает в режиме согласования, то выключа- тели 2B замыкаются, а выключатели 1B – размыкаются. Сигналы ручного управления , , и hX X X X   поступают непосредственно на электромеханические рулевые агрегаты и на соответствующие органы управления во всех четырех каналах управления, а сигналы иX X  подаются также в каналы автопилота через компенсаци- онные датчики. 431 Рис. 17.30. Структурные схемы автопилота геликоптера: а – канал рыскания; б – канал крена (тангажа); в – канал высоты Представление о комплекте автопилота дает функциональная схема (рис. 17.31). В этой схеме: КС и ГВ – бортовая курсовая система и гировертикаль, не вхо- дящие в комплект автопилота; СП – сельсины-приемники; КД – компенсационные датчики; 1 2У и У – усилители; ДГ – двигатели-генераторы; ДУС – датчики угловых скоростей геликоптера; РА – рулевые агрегаты, не входящие в комплект автопилота; ПУ – пульт управления, включающий входящие в пунктирный прямоугольник элементы; АУ – агрегат управления; БП – блок питания; КВ – корректор высоты; а б в 432 ИН-4 – индикатор нулевой; БУ – блок усилителей. Рис. 17.31. Функциональная схема автопилота одновинтового геликоптера Двигатели-генераторы ДГ, включенные в схему согласования, служат для обнуления сигналов при включении автопилота. Если геликоптер отклоняется от заданного курсовой системой направления, то хвостовой винт под действием сигналов рулевого агрегата будет создавать силу тяги такого направления, чтобы воз- вратить геликоптер к заданному направлению. Точность выдержи- вания заданного направления определяется в основном точностью курсовой системы. Рассмотрим теперь работу канала автопилота в режиме согласо- вания. Этот режим обеспечивает возможность включения автопило- та при произвольном положении геликоптера. Режим согласования состоит в том, что при включении автопилота сигнал, который может появиться, не поступает на рулевые органы, а обращается в нуль (обнуляется в начале схемы). При работающем автопилоте оператор в любое время может вмешаться в управление геликоптером на пульте управления. При воздействии на рычаги управления можно осуществить изменение 433 управляемых параметров  , , и h   на большие величины. С по- мощью же рычагов центровки можно ввести небольшие поправки к стабилизируемым параметрам , ,   (в пределах 5 ).  При переходе на дистанционное управление углами крена и тан- гажа соответствующие каналы автопилота не отключаются, хотя обнуление может происходить так же, как в случае канала рыска- ния. Компенсация влияния автопилота на дистанционное управле- ние производится подачей в каналы крена и тангажа автопилота компенсационных сигналов. Глава 18. АВТОМАТИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ ГРУППАМИ ДРОНОВ 18.1. Математическая модель строя как объекта управления При групповом применении дронов полет совершается строем. Существуют различные виды строя. Для звена из трех дронов можно указать три строя: клин (рис. 18.1), пеленг (рис. 18.2) и кильватер (це- почка) (рис.18.3). При полете более крупных групп дронов применя- ются комбинированные строи, в частности, звенья в строю «клин», эскадрильи в строю «клин», «пеленг» или «кильватер» (рис. 18.4). Рис. 18.1. Строй дронов типа «клин» Рис. 18.2. Строй дронов типа «пеленг» 434 Рис. 18.3. Строй дронов типа «кильватер» Рис. 18.4. Смешанный строй дронов Для плотных строев дистанция между дронами бывает 3L  , где L – длина дрона, а интервал 3 pl l , где pl – размах крыльев дрона. При полете в плохую погоду, а также ночью строи бывают менее плотными с целью исключения столкновения. В этих случаях дистан- ции значительно возрастают и могут достигать нескольких метров. Полет дронов строем возможен только в случае равенства скоро- стей и ускорений. Если ведомый дрон отстает от ведущего, то для ликвидации отставания ведомый дрон должен иметь запас по ско- рости полета. Этот запас можно получить только при условии, что скорость полета строя меньше максимальной скорости одиночного дрона. Опыт показывает, что запас по скорости должен быть не ме- нее 3 % на одну связь. Если имеются две связи, то запас по скорости полета должен быть не менее 6 %. Движение ведомых дронов в строю будет неравномерным даже при равномерном движении ведущего дрона. Объясняется это труд- ностью автоматического пилотирования и возмущениями, действу- ющими на дроны строя. Ведомые дроны обычно совершают коле- бания, накладываемые на поступательное движение. Обеспечение полета строем в сложных метеоусловиях и ночью производится путем измерения дистанций, интервалов и превы- шений и использования полученных данных для управления по- ложением дронов в строю. В качестве измерительных устройств применяются радиотехнические средства, с помощью которых из- меряются дальности до других самолетов строя и определяются направления на них. Эти средства обеспечивают навигацию. Если 435 измеренные значения дистанций, интервалов и превышений подать в систему управления двигателем и в автопилот, то можно осуще- ствить автоматическое управление строем, при этом команды на выполнение того или иного маневра можно задавать на ведущем дроне. Ведомые дроны будут автоматически повторять эти команды. Динамические свойства строя дронов определяются видом строя, динамическими свойствами дронов, входящих в строй, и действу- ющими на дроны возмущениями. Рассмотрим динамику строя, со- стоящего из однотипных дронов, имеющих одинаковые передаточ- ные функции, но отличающихся скоростями полетов, тягами двига- телей и действующими на каждый дрон возмущениями. Обозначим дистанцию между дронами строя, имеющими скоро- сти 1 и 2 , через 12 , интервал – через 12l (см. рис. 18.1–18.3) и превышение – через 12.h Для трех дронов, летящих строем «пеленг» или «кильватер», мож- но написать следующую систему кинематических уравнений: 12 1 2 23 2 3 λ ; λ ; p p          (18.1)     12 0 1 1 2 2 23 0 2 2 3 3 ψ β ψ β ; ψ β ψ β , pl pl                 (18.2) где ψ и β – углы рыскания и скольжения; 0 – скорость полета строя при установившемся полете. Для строя типа «клин» уравнения принимают вид 12 1 2 13 1 3 ; ; p p            (18.3)     12 0 1 1 2 2 13 0 1 1 3 3 ; . pl pl                     (18.4) 436 Если строй состоит из двух или нескольких ярусов дронов, то небходимо учитывать изменение превышения, т. е.   12 0 1 1 2 2 .ph        (18.5) При выводе этих уравнений предполагалось, что вследствие малости углов:  sin ;    cos 1;   sin ;      cos 1.   Кроме того, при рассмотрении бокового движения (изменение интервала) и движения по вертикали (изменение превышения) ско- рость полета принимается постоянной. Обычно для управления дистанцией используют изменение тяги двигателей, для управления интервалом – крен дрона и для управ- ления превышением – отклонение руля высоты. Поэтому, пользуясь выражениями      0 0ψ э ρ δ ; ρ δ ; , ψ ρ δ V p V B W F W F W F           (18.6) вытекающими из уравнений, подставляя их в уравнения (18.1)– (18.5), найдем       12 1 2 12 23 2 3 23 ρ δ δ ; ρ δ δ ; V p p V V p p V p W F p W F             13 0 ψ э1 э2 ψ12ρ δ δ ;pl W F    (18.7) 437    23 0 ψ э2 э3 ψ23ρ δ δ ;pl W F    (18.8)    12 0 θ в1 в2 θ12ρ δ δ .pl W F   (18.9) Выражения (18.6)–(18.8) являются дифференциальными уравне- ниями строя дронов как объекта управления. Строй дронов является нейтральной системой по отношению к величинам λ, и .l h Такая система не может существовать без системы управления. Кинематические уравнения (18.1)–(18.5) записаны для воздуш- ных скоростей дронов, хотя общая структура уравнений не изме- нится, если вместо воздушных взять путевые скорости. При этом предполагается, что снос всех дронов строя одинаков. При решении задач организации строя безразлично, в каком виде записаны кине- матические уравнения. Однако если полет строя дронов необходи- мо увязать с заданной траекторией в земной системе координат, то необходимо учитывать снос дронов. 18.1.1. Измерения местоположения дронов в группе В качестве устройств для измерения местоположения дронов в строю наибольшее распространение получили радиолокационные системы, обеспечивающие измерение дальности до дрона и направ- ления на него. Система (рис. 18.5) включает индикатор кругового обзора 2, антенну 7, передатчик 5, приемник 4, блок видеочастот 3, кварцевый генератор (часы) 6, усилитель 1 и блок питания. Рис. 18.5. Функциональная схема системы определения местоположения 438 Принцип действия системы состоит в следующем. Передатчик каждого дрона всенаправленно и в строго отведенный ему отрезок времени передает два некодированных импульса. Передача в дан- ный отрезок времени ведется только с одного дрона, по которому все другие дроны строя определяют свои дальности до него. Даль- ности определяются по времени прохождения парного сигнала от передатчика до приемника. В качестве эталона местного времени используются импульсы кварцевых генераторов (часов), настроен- ных по кварцевому генератору ведущего дрона. Направление на передатчик (т. е. на дрон, с которого ведется передача) находится автоматически по положению антенны в момент приема сигнала. Приемная антенна, расположенная на фюзеляже, осуществляет ска- нирование на 360 по азимуту с частотой 80–100 об/мин и по верти- кали на 30; угол раствора луча 6. Система радиолокации обеспечивает контроль местоположения до 12 дронов; точность измерения дистанций и интервалов 5 %; точность измерения направления 2 .  Поскольку система позволяет измерять расстояние между само- летами D и угол  (рис. 18.6), то по этим данным можно опреде- лить дистанцию и интервал: cos ; sin .D l D     (18.10) Рис. 18.6. Геометрические характеристики взаимного расположения дронов в группе 439 Угол  можно выразить через курсы 1 2ψ и ψ , курсовой угол  ведомого самолета и угол сноса βс (по предположению углы сноса всех дронов строя одинаковы): 1 2 сε = ψ ψ + φ + β . (18.11) Следовательно, для получения угла  необходимо измерить кур- совой угол φ (угол между продольной осью ведомого дрона и на- правлением на ведущий дрон) с помощью системы контроля место- положения, угол сноса βс , который получается с допплеровской сис- темы, и курсы дронов 1 2ψ и ψ , получаемые с курсовых систем. 18.1.2. Полет группы дронов при телеуправлении Рассмотрим полет группы дронов при отсутствии на борту при- боров для измерения дистанций и интервалов. В этом случае опера- тор на основании полученной информации оценивает расстояние между ведущим дроном и дронами группы и скорость изменения этого расстояния на основе опыта и зрительной памяти. Закон управления можно представить в виде 0λ = λ ,  где 0λ – заданная дистанция, поддерживаемая оператором;  – постоянная времени, характеризующая быстроту реагиро- вания оператора. Если полет осуществляется строями «пеленг» и «кильватер», то для k -го и  1k  -го дронов можно написать  , 1 0 1λ λ 1, 2, , 1 .k k k k n       Продифференцировав это выражение, получим , 1 1dλ d d d k k k t t    440 или, пользуясь уравнениями (18.1):    11 1, 2, , 1 .k kp k n        Это и есть искомое уравнение движения при телеуправлении дроном в строю. Преобразуем эти уравнения по Лапласу:    .L t V p    Тогда      0 .L t pV p p         11 0 , 1, 2, , 1.k kp V V p k n         Предположим, что скорость первого дрона  1 t в момент вре- мени 0t  известна. Преобразуя ее по Лапласу, получим  1 .V p Для случая четырех дронов строя при нулевых начальных усло- виях      2 3 40 0 0 0      находим                1 1 1 2 3 42 3; ; .1 1 1 V p V p V p V p V p V p p p p         (18.12) Рассмотрим частные случаи. Пусть  1 t – единичная функция, т. е.  1 при 0; .0 при 0.m V t t t       (18.13) Используя соотношение (18.13) и производя обратные преобра- зования Лапласа уравнений (18.12), найдем 441         1 1 2 1 3 12 4 2 ; 1 ; 1 1 ; 11 1 . 3 m m m m t V t V e tt V e t tt V e                                                 (18.14) На рис. 18.7 представлены графики функций, определяемых урав- нениями (18.14). Видно, что чем дальше ведомый дрон отстоит от ве- дущего, тем больше он запазывает в своем движении. Другими слова- ми, если скорость ведущего дрона изменится мгновенно, то ведомые дроны будут отставать (или нагонять). Это отставание не обусловлено замедленным реагированием оператора на изменение скорости. Рис. 18.7. Переходные процессы при полете строем Из уравнений (18.10) видно, что каждый дрон в строю описыва- ется инерционным звеном, причем эти звенья соединены последо- вательно. Сигнал от ведущего дрона передается на последний ведо- мый через все предыдущие ведомые. Это обстоятельство при учете динамики движений самолетов (до сих пор учитывалась только ки- нематика) приводит к появлению колебаний ведомых дронов по 442 отношению к среднему расстоянию между дронами. Такие колеба- ния наблюдаются и в действительности. 18.2. Синтез автоматических систем управления группой дронов Рассмотрим сначала случай строя из двух дронов, когда угол , характеризующий величину интервала, мал. Тогда выражения (18.10) принимают вид λ ,;D l D  (18.15) где в этом случае контур управления интервалом можно рассматри- вать как автономный. Выведем уравнения движения рассматриваемого строя. Прене- брегая углом скольжения, можем написать выражение, связываю- щее углы рыскания 2 и крена : 14 2 a ,n    (18.16) где 14n – постоянный коэффициент; aτ – аэродинамическая постоянная времени. Будем полагать, что движение по крену безынерционно. Сигнал управления возьмем в виде  3 φ з сγ φ β ,k    (18.17) где зφ – заданный курсовой угол ведомого самолета; сβ – угол сноса, полагая, что заданный угол крена 3γ пропорционален сигналу управления. Сигнал управления (18.17) формируется на основе измеренных значений курсового угла φ и угла сноса сβ . Эти сигналы, получае- мые с радиотехнических измерительных систем, могут содержать значительные высокочастотные помехи. Кроме того, сигнал  вы- 443 дается в дискретном виде. Поэтому целесообразно сигнал 3γ про- пускать через сглаживающий фильтр с передаточной функцией типа  ф ф 1 . 1 W р Т р  Движение строя будем характеризовать кинематическим уравне- нием (18.10), которое запишем в виде  00 1 2 ,l l p     (18.18) где 0l – заданный интервал. Преобразуем это уравнение, воспользовавшись вторым выраже- нием (18.15):  0 1 2 р 1 , T       (18.19) где 0 ,DT   0 0 l D   – заданное значение угла  . Легко видеть, что в установившемся режиме 0 з .φ  К уравнениям (18.16), (18.17) и (18.18), описывающим поведение системы управления интервалом между двумя дронами, необходи- мо добавить уравнение (18.11), а также уравнение сигнала рассогла- сования зΔγ = γ γ, (18.20) который отрабатывается или оператором с помощью пульта управ- ления, или автопилотом. Будем полагать, что как оператор, так и автопилот обеспечивают 0,  т. е. зγ = γ. (18.21) 444 Такое предположение возможно, поскольку процессы управле- ния угловыми движениями при управлении интервалом и дистанци- ей можно принять безынерционными. Решая совместно уравнения (18.16)–(18.21), получим   p з с 1 11β ,T T N p      (18.22) где   2 20 0 14 φ 14 φ2 0 0 a a 2dΩ Ω . 2 Ω ; Ωτ τ N p p p n k n k d T       (18.23) Из уравнения (18.22) и из эквивалентной ему структурной схемы (рис. 18.8) видно, что отклонение курса ведущего дрона 1 и угол сноса сβ можно рассматривать как возмущения на строй дронов. При этом введение угла сноса сβ в закон управления позволяет осуществить необходимый доворот дрона с целью привязки строя к заданной траектории полета. Рис. 18.8. Структурная схема системы управления курсовым углом ведомого дрона Из соотношений (18.23) при заданном коэффициенте затухания d (как указывалось выше, 0,7 1)d   получаем передаточное число контура управления: 2 a 14 4 .dk n T  (18.24) 445 Из анализа выражения (18.24) видно, что с уменьшением дистанции между дронами и увеличением скорости полета уменьшается постоян- ная времени 0 ,DT   что приводит к увеличению коэффициента уси- ления k и, следовательно, к ускорению процессов управления. При более точном рассмотрении задачи необходимо учитывать динамику управления углом крена дрона. Для этого вместо предпо- ложения Δ 0  следует положить эδ γ + γ ,i   (18.25) где i – передаточное число. В (18.2)   ,k k p     где k и k – передаточные числа канала крена. Наконец, уравнение дрона можно взять в виде  э э22 .δ n p p n    На рис. 18.9 дана структурная схема системы управления курсо- вым углом ведомого дрона, в которой показано влияние динамики канала крена на процессы управления. Рис. 18.9. Структурная схема системы управления курсовым углом ведомого дрона 446 Управление дистанцией между дронами строя можно осуществ- лять в двух вариантах: можно управлять позиционной дистанцией  или временной дистанцией T   (T – промежуток времени между прохождением одной и той же точки пространства двумя дронами). В том случае когда полет происходит с маневрированием по курсу или по высоте, управление временной дистанцией оказы- вается более приемлемым. Для управления дистанцией необходимо воздействовать на тягу двигателей ведомых дронов автоматически, когда сигнал рассогла- сования подается на автомат тяги. Контур управления дистанцией включает динамику двигателя дрона, устройства для измерения дистанции и скорости полета дро- на, кинематическое соотношения для строя и устройства формиро- вания сигналов закона управления. Пусть динамика изменения тяги двигателя P при изменении сигнала управления рδ описывается уравнением д д 1 ,p k P T p   где дT и дk – постоянная времени и коэффициент усиления двига- теля как объекта управления. Уравнение движения дрона при пренебрежении зависимостью тяги от скорости полета можно представить в виде c c , 1 k P T p    где c T и ck – постоянная времени и коэффициент усиления дрона как объекта управления по скорости полета. Уравнение дистанции (для ведомого и ведущего дронов)  1 21λ ,p    где 1  и 2 – путевые или воздушные скорости. 447 Приборы для измерения скорости и дистанции будем считать безынерционными. Вследствие того что управление дистанцией осуществляется из- менением тяги двигателя, а при изменении тяги непосредственно меняется продольное ускорение дрона, сигнал управления можно представить в виде  с зδ ,i    где сδ – сигнал рассогласования между требуемым 3 и действи- тельным  ускорениями, который может быть подан на автомат дистанции; i – передаточное число. Сигнал 3 для управления временной дистанцией возьмем в виде   3 ф 1 , 1 k W p T p        (18.26) где k – передаточное число;   W p – передаточная функция корректирующего фильтра; фT – постоянная времени сглаживающего фильтра. Постоянная времени двигателя обычно более чем на порядок меньше постоянной времени дрона, поэтому инерцией двигателя можно приближенно пренебречь. Тогда движение системы будет описываться уравнением второго порядка. В таком случае закон управления дистанцией будет  23 0 02dΩ Ω ,p    (18.27) где 0Ω и d – частота колебаний и коэффициент затухания. Полагая p   (равномерное движение ведущего дрона) и при- равнивая выражения (18.26) и (18.27), найдем    2 2 20 ф 0 0 ф 02dΩ 2 Ω Ω Ω .T p d T p k W p p     (18.28) 448 Из (18.28) следует, что передаточная функция  W p имеет вид    p 1 .W p k T  (18.29) Из уравнений (18.28) и (18.29), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ,p находим   ф20 0 ф 0 ф 0 2Ω ; Ω 2 Ω ; . 2 Ω dT k k d T T d T      Выразим частоту системы 0Ω через временную дистанцию λ ,T учитывая ф 0 0 2 Ω .Ω d TkT k    (18.30) Из (18.30) получим 0 ф 2Ω .d T T   Таким образом, частота системы тем больше, чем меньше вре- менная дистанция. Также должно выполняться условие ф.T T  По- стоянная времени сглаживающего фильтра фT выбирается из усло- вия допустимых помех в сигнале управления. Если помехи велики, то постоянная времени фT также должна быть достаточно большой, что ограничивает возможность выдерживания малых временных дистанций. На рис. 18.10 дана структурная схема системы управления вре- менной дистанцией. 449 Рис. 18.10. Структурная схема системы управления временной дистанцией При управлении позиционной дистанцией заданное ускорение 3 в выражении (18.26) можно брать в двух вариантах:   3 0 з 1 2 ф 1 λ λ ; 1 k k T p      (18.31)   0 з 1 ф 3 1 λ λ , 1 k k p T p      (18.32) где 0k и 1k – передаточные числа. Закон управления (18.31) формируется на основе измерения ди- станции  и скорости полета 2 ведомого дрона. На рис. 18.11 да- на структурная схема системы управления позиционной дистанцией для случая измеренных  и 2 при отсутствии сглаживающего фильтра  ф 0T  . Рис. 18.11. Структурная схема системы управления позиционной дистанцией 450 Из структурной схемы получим    2 2 20 0 0 з 0 12 Ω Ω Ω 2 Ω ,p d p p d        (18.33) где 0 12 Ωd k ; 20 0Ω .k Передаточные числа 0k и 1k выбираются из условия получения заданных значений частоты 0Ω и коэффициента затухания .d Системе (18.32) свойственна статическая ошибка, определяемая главным образом членом 0 12 Ω .d  При формировании закона управления (18.31) используется из- меренное значение дистанции , а производная p может быть получена дифференцированием сглаженного сигнала  . Из струк- турной схемы (рис. 18.12) имеем уравнение  2 2 20 0 0 з 12 Ω Ω Ω .p d p p       Рис. 18.12. Структурная схема системы управления позиционной дистанцией В этой системе статическая погрешность возникает только при полете с ускорением, однако эта погрешность незначительна. 18.3. Динамика систем автоматического управления группой При выборе законов управления дистанцией и интервалом пред- полагалось, что измерительные и исполнительные устройства авто- матов строя безынерционны, а динамикой авиадвигателей можно пренебречь. Это позволило сравнительно просто выбрать структуру 451 законов управления и установить необходимые значения переда- точных чисел. Для исследования динамики переходных процессов необходимо учитывать действительные динамические характери- стики элементов, входящих в замкнутый контур управления. Рассмотрим некоторые случаи автоматического управления ди- станцией между четырьмя дронами в строю при условии, что тяга двигателя устанавливается в соответствии с законом управления без запаздывания. Пусть дроны движутся строем «кильватер» и после- дующий дрон ориентируется в строю по предыдущему. Тогда урав- нения строя в соответствии с системой (18.6)–(18.9) будут          12 1 2 12 23 2 3 23 34 3 4 34 ; , ;V p p V p p V p p p W p f p W p f p W p f                    (18.34) где 12 12Vf F и т. д. Уравнение автомата тяги (автомата дистанции) возьмем в виде     3,p 0δ λ λ ,W p k p  (18.35) где      2 ,0 1 2 дд 0 0 1 2 , 1 1 k k p k pW p k k k k p p       (18.36) для статического регулятора и      2д д,0 1 2 0 0 1 2 , 1 1 k kk k p k pW p k k p p p p       (18.37) для астатического регулятора; дk – коэффициент усиления; 0k , 1k , 2k – периодические числа; 1 и 2 – постоянные времени, характеризующие несовершен- ство измерительных и исполнительных устройств автомата дистан- ции, т. е. передачу полезных сигналов через инерционные звенья. 452 Будем полагать, что дистанция λ измеряется, а производные λp и 2λp получаются дифференцированием сигнала λ. Если в структуре закона управления взять сигналы, пропорцио- нальные  и p , тогда, учитывая наличие погрешностей 1τ и 2 в образовании закона управления, а также других динамических погрешностей в замкнутом контуре управления, рассмотрим более общий закон управления (18.35). Заметим, что уравнение (18.35) должно быть записано для двигателей всех дронов строя. Решая совместно уравнения (18.34) и (18.35), найдем     12 12 2 23 12 23 3 2 2 2 34 12 23 34 ; Δ ; Δ ,Δ Δ V V V f W W f f W W f W W f                  (18.38) где ;Vp W W   1 0 д з ).(V pW k k     Из уравнений (18.38) следует, что возмущения, вносимые в систему управления изменением силы тяги ведущего дрона 1p или перена- стройкой регулятора 3λ , передаются через систему как через фильтр, состоящий из одинаковых ячеек. Заметим, что заданная дистанция 3λ может быть установлена и изменена только на ведущем дроне. Уравнения (18.38) являются чрезвычайно сложными и их анали- тическое решение затруднено. На рис. 18.13–18.17 приводятся гра- фики переходных процессов, полученные моделированием этих уравнений. а б Рис. 18.13. Графики переходных процессов в статической системе управления при возмущении перенастройкой (а) и тягой (б) 453 а б Рис. 18.14. Графики переходных процессов в статической системе управления при возмущении перенастройкой (а) и тягой (б) а б Рис. 18.15. Графики переходных процессов в статической системе управления при возмущении перенастройкой (а) и тягой (б) а б Рис. 18.16. Графики переходных процессов в статической системе управления при возмущении перенастройкой (а) и тягой (б) 454 а б Рис. 18.17. Графики переходных процессов в статической системе управления при возмущении перенастройкой (а) и тягой (б) При моделировании уравнений менялись передаточные числа 0k , 1k и 2k закона управления с целью выбора приемлемых зна- чений. Переходные процессы построены для дронов строя, имею- щих 50 с,cT  0,5.ck  Постоянные времени 1 и 2 приняты 1 2 0,2 с.    Графики построены для статической системы (см. рис. 18.13–18.15) с законом управления (18.36) и астатической системы (см. рис. 18.16 и 18.17) с законом управления (18.37). Зна- чения передаточных чисел 0k , 1k и 2k , для которых построены графики, даны в табл. 18.1 (статическая система) и табл. 18.2 (аста- тическая система). Таблица 18.1 Передаточные числа для статической системы Рисунок k0 k1, c k1, c2 Рис. 18.13 2 8 8 Рис. 18.14 1 2 0 Рис. 18.15 1 4 0 Таблица 18.2 Передаточные числа для статической системы Рисунок k0, с–1 k1 k2, c2 Рис. 18.16 1 4 4 Рис. 18.18 0,5 2 2 455 Проанализируем графики, характеризующие переходные про- цессы в системе управления строем дронов. В статической системе управления (см. рис. 18.13–18.15) имеется статическая ошибка, которую можно уменьшить путем увеличения передаточного числа 0k . Процессы в системе при перенастройке автомата на новую дистанцию 3λ и при возмущении тягой 1p ве- дущего дрона могут быть неколебательными (см. рис. 18.13), если передаточное число по позиционному сигналу 0 2k  при значи- тельных передаточных числах по скорости 1 8k  и ускорению 2 8.k  Реализовать такие большие передаточные числа по скорости и ускорению затруднительно из-за помех. В статической системе управления с одной производной (см. рис. 18.14 и 18.15) переходный процесс становится колебатель- ным, причем чем дальше ведомый дрон отстает от ведущего, тем больше колебания. Для устранения колебаний постоянная времени 1 0/T k k должна быть 10 T  c. Астатическая система управления при прочих равных условиях более склонна к колебаниям (см. рис. 18.16 и 18.17), чем статиче- ская, что в общем случае объяснимо. При увеличении передаточно- го числа 0k амплитуда колебаний уменьшается, а частота возраста- ет. Здесь характерным является то, что при возмущении перена- стройкой зλ и изменением тяги ведущего дрона дистанция между ведущим и первым ведомым дронами меняется без колебаний, ди- станция между первым и вторым ведомым дронами изменяется с небольшими колебаниями, но зато дистанция между последую- щими ведомыми дронами меняется с большими колебаниями. Проблема создания систем автоматического управления строем дронов является актуальной, однако она еще не получила полного решения ввиду технических и принципиальных трудностей. 456 Глава 19. ДИНАМИКА КОЛЕСНЫХ МИНИАТЮРНЫХ РОБОТОВ 19.1. Динамика модели трехколесного миниатюрного робота Рассмотрим модель трехколесной платформы робота, изображен- ную на рис. 19.1. Движение рассматривается в плоскости 0XY. Робот со смонтированным на платформе оборудованием моделируется од- нородной прямоугольной пластиной, главные оси инерции которой совпадают с геометрическими главными центральными осями. Рис. 19.1. Модель трехколесного робота Колеса 1 и 2 действительной конструкции заменим эффектив- ным колесом 1z, расположенным в точке А, середине оси. Колесо 3 обозначим колесом 2z. Обобщенными координатами, описывающими движение плат- формы являются Ax , Ay , , , , , где Ax , Ay – координаты точ- ки А, расположенной на оси посередине между двумя колесами, и проходят точках В, С. 457 Поворотное колесо с центром в точке F характеризуется углами  и углом  , вращение рулевого колеса характеризуется углом , , а ведомых колес – углом . Кинематические соотношения для неголономных связей имеют вид 1 cos 0;Ax r    1 sin 0;Ay r    (19.1) 3sin cos( ) 0;Ax l r         3cos sin( ) 0.Ay l r         Уравнения (19.1) выражают условия отсутствия проскальзыва- ния, буксования, бокового смещения колес. При связях (19.1) толь- ко две из введенных координат независимые, таким образом, мо- дель имеет две степени свободы. Уравнения Лагранжа II рода динамики неголономной системы запишем в виде d ( ) , d T T TE E Q J q t q q                (19.2) где – [ , , , , , ]A Aq x y     вектор обобщенных координат; Q – вектор обобщенных сил; ( )J q – реакции связей;  – вектор множителей Лагранжа, которые являются силами трения, лежащими в плоскостях контакта колес с плоскостью. Кинематическая энергия Т имеет вид 6 1 1 ( ), 2 T io i io i E Tr T B T      458 где В – матрица инерции i-й части; ioT – матрица преобразования локальной i-й системы координат к основной Oxyz. Уравнения неголономных связей запишем в виде ( ) 0,J q q  где ( )J q имеет вид 1 0 0 0 cos 0 0 1 0 0 sin 0 ( ) . 1 0 sin cos( 0 0 0 1 cos sin( 0 0 ) ) r r q l r l r J                    (19.3) Вектор обобщенных сил Q определяется соотношениями 6 1 , 1, ..., 6, i i T j j i i r Q q F j            где iF – вектор сил, действующих на i-й член, редуцированных к точке начала i-й системы; ir – вектор виртуального перемещения, являющегося нача- лом i-й системы; i – вектор виртуального вращения i-й части. Зависимость между векторами ir , а также виртуального вра- щения i соответствующими обобщенными перемещениями, вы- текающим из разложения скоростей точек А, В, С, которые опреде- ляют зависимость между соответствующими угловыми скоростями: 1 1 ;h     2 1 .h     459 По выполнению необходимых математических операций, выте- кающих из уравнения Лагранжа II рода, движение анализируемой модели описывает систему дифференцируемых уравнений 2 1 2 3 5 1 2 1 2 3 5 2 1 3 2 1 2 3 5 1 2 1 2 3 5 2 2 4 1 2 1 1 2 1 ( ) ( ) ( cos sin ) ( )( sin cos ) ; ( ) ( ) ( sin cos ) ( )( cos sin ) ; ( )( cos sin ) ( ) A A A A m m m m x m m l m l m l m m m m y m m l m l m l m m x y l m m l                                                        2 2 2 3 5 2 3 5 2 2 1 2 3 5 1 2 1 1 2 1 3 0 3 4 3 3 3 3 4 1 2 1 2 1 ( )( sin cos ) ( ) ( ) s n sin cos ; cos( ) sin( ); ( ) ( ) A A x x x z z z z z x s z z z z z N m l m l m l m l x y I I I I I I h I I h I M M g l l I N f r r I I I I h M N                                                   1 1 2 2 1 2 3 0 cos sin ; ( ) sgn ,x s f N f r r I M M             (19.4) где 1 2 3 5, , ,m m m m – массы соответствующих частей; 3m – масса колеса 3, актуатора 6; 1 2 3 1 2 3 5, , , , , ,x x x z z z zI I I I I I I – моменты инерции соответствую- щих частей осей; 3xI – учитывает момент инерции актуатора 6, определенным относительно оси az ; 1 2 3, ,N N N – силы движения колес; 460 1 2 3f f f f   – коэффициенты трения колес; NM – момент, вращающий колесо 1z; 5M – момент управляющий колесом 2z; 0M – момент сопротивления в паре трения «колесо-дорога», возникающего при повороте колеса 2z; 1 2, ,l l l – соответствующее расстояние, вытекающее из геомет- рии системы; 1 2 3r r r r   – радиусы соответствующих колес. Динамический анализ проведем на основе уравнения ( ) ( , ) ( ) ( ) .TM q q C q q q B q J q       (19.5) Выступающие в (19.5) матрицы М, С, В следуют из уравнения (19.4). Дальше принимаем, что m первых столбцов матрицы ( )J q (19.3) образуют матрицу 1( )J q размером m m . Разложим вектор координат q : 1 2[ , ] , Tq q q где 2, .m n mq R q R   Тогда уравнения связей запишем в виде 1 1 2 2 1de t[ ( ), ( ) 0( )] 0, , q q q JJ q J q       откуда следует 1 12 2( ) ,q J q q  где 1 12 1 2 1 , 0 , cos sin ( ) ( ) ( ) , tg 0 , 0 0co ,s r r J q J q J q r l                   461 Тогда 12 2 ( ) , n m J qq q I         где n mI  – единичная матрица. Векторы скорости и ускорения можно также записать в виде 2 2( ) ;q T q E q  2 2 2 2( ) ( , ) ;q T q E q T q q E q      12( )( ) . 0 m n m J qI T q I       Используя также зависимости, вытекающие из проведенных преобразований, запишем уравнения (19.5) в виде 12 2 12 2 2 1 1( ) ( , ) ( ) ( ) ; TM q q C Jq q B q qq       (19.6) 22 2 22 2 2 2( ) ( , ) ( ) ;M q q C q q q B q     (19.7) 1 12 2( ) ,q J q q  где 12 1 2 22 2 2 1 1 1 ; ; ; , 0 T T T T T T n mm M E T M T E M E T M T E B E T B IE R          12 1 2 22 2 2 2 2 ) 2 ( ) ; ( ) ; ; 0 . T T T T T T T T n n m n m C E T MT T CT E C E T MT T CT E B E T B E R I                Матрица mJ – единичная. Рассмотренные выше методы позволяют решать прямые и об- ратные задачи динамики. 462 В дальнейшем анализе полагаем 1 2 , ] ,[ , , [ , ] , A T T Aq x y q       тогда уравнение (19.7) запишем в виде     2 1 2 3 5 1 2 3 32 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 1 5 1 2 1 3 5 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 1 5 1 2 1 3 5 2 32 1 12 1( ) tg cos 2 ( ) tg 2 ( ) tg cos z z z x x x x z z x x x z z z N rm m m m r I I I I l rI I I I h I m m l m l m l l rI I I I h I m m l m l m l I l M N f                                                   2 2 3 3 0 1 ( sgn ) tg ; cos s rN f N f M M l       (19.8) 3 3 3 02 1tg sgn , cosx x x s r rI I I M M l l            (19.9) уравнения (19.8), а также (19.9) позволяют провести анализ прямых и обратных задач динамики без знания множителей Лагранжа. Уравнения же (19.6) запишем в следующей форме: 2 1 2 3 5 3 5 2 2 2 1 32 ( ) ( cos tgφsin ) ( ) sinβ( tgφcos tg φsin φ )=λ +λ ; cos φ rm m m m r m l m l l r r l l                         (19.10) 2 1 2 3 5 3 5 2 2 2 2 42 ( ) ( sin tg cos ) ( ) cos( tg cos tg sin ) ; cos rm m m m r m l m l l r r l l                                 (19.11) 463  2 2 2 21 2 3 1 2 2 3 3 5 22 0 1 5 1 2 1 3 3 4 5 2 1 ) ( ) cos sgn sin co 2 ( ) s ( ; x s x x x z z r rI m l m l tg I I I I h I m m l m l m l l M M l l l                                 (19.12) 3 3 32 4 3 3 1 sin cos( ) cos cos sin( ). z z NI f r I r                   (19.13) Из системы уравнения (19.10)–(19.13) можно определить множи- тели Лагранжа, т. е. определить, как в течение анализируемого со- стояния изменяются составляющие сил сухого трения, возникаю- щих в плоскостях взаимодействия колес и поверхности. Рис. 19.2. Модель трехколесного робота: вид сверху и сбоку 464 19.2. Динамика модели четырехколесного миниатюрного робота Рассмотрим модель четырехколесного мини-робота, изображен- ного на рис. 19.3. Два передних колеса 3 и 4 и задних 1, 2 заменяем эффективными колесами 2z и 1z соответственно, расположенными посередине осей в точках А и F. В качестве обобщенных координат берем, как и в случае трехколесного робота: , ,, , .,A Ax y     Уравнения неголономных связей, наложенных на робот, имеют вид (19.1). Уравнения Лагранжа II рода записываются в виде (19.2). Определение обобщенных сил Q , кинетической и потенциальной энергии также проводится аналогично случаю трехколесного робо- та. Предположим, что 1 2m m , 3 4m m , 1 2x xI I , 3 4x xI I , 1 2 3 4z z z zI I I I   , 03 04M M – моменты сопротивления при по- вороте рулевых колес 3 и 4. Рис. 19.3. Модель четырехколесного робота 465 Уравнения динамики четырехколесного робота имеют вид 2 1 31 3 5 3 5 2 sin cos ) ; 12( ) (2 )( 2 A m m m x m l m l              (19.14) 2 2 41 3 5 3 5 2 sin cos ) . 12( ) (2 )( 2 A m m m y m l m l              В реальной конструкции колеса 3 и 4 снабжены отдельными приводами (актуаторами) так, что моменты 3 4,M M , прикладывае- мые к ним, различные. Предположим, что мощности двигателей актуаторов равны и имеет место равенство 3 43 4.M M    (19.15) Учитывая зависимости, следующие из кинематики робота: 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 ; ; ;r rh h h l l                2 3 1 1( sin 2 cos )sin ;l l l ll       2 4 1 1( sin 2 cos )sin ;l l l ll        (19.16)   2 3 2 1 1 ; ( sin 2 cos )sin l l l l l           2 4 2 1 1( sin 2 cos )sin l l l l l        и подставляем 3 4,   из (19.16) в (19.15), получим 3 4 3 4 .WM M W  (19.17) 466 В реальной конструкции колёса также управляются независи- мыми двигателями актуаторов. Моменты, управляющие этими ко- лесами обозначаются 35 45,M M . Полагаем, что мощности двигате- лей одинаковые, тогда, пренебрегая потерями энергии при переда- че, получим зависимость 35 453 4.M M   (19.18) С учетом уравнений (19.16) из (19.18) получим соотношение 1 45 35 2 .WM M W  (19.19) Предполагаем, что давление на колеса, взаимодействующие с опор- ной поверхностью, имеет статический характер и определено при предположении, что давление на передние колеса равно давлению на задние (давления на оси). Решая системы уравнений (19.14)– (19.19), можем проводить анализ прямых и обратных задач динами- ки мини-робота. Характеризуя обратные задачи динамики, т. е. зная параметры движения, интерпретируем значениями моментов вращающих и управляющих. Как видно из уравнений (19.14), их решение пред- ставляет трудности, поэтому, как и в случае трехколесного робота, запишем (19.14) в векторно-матричном виде: ( ) ( , () ( ) ) .TM q q C q q q B qq J      (19.20) Вид матриц M, C, B, J вытекает из уравнений (19.14). Проводя аналогично тому, как это было сделано для трехколесного робота, преобразования, отделяющие множители Лагранжа от моментов, запишем уравнение (19.20) в виде 12 2 12 2 2 1 1( ) ( , ) ( ) ( ) ; TM q q C Jq q B q qq       (19.21) 22 2 12 2 2 2( ) ( , ) ( ) ;M q q C q q q B q     467 1 21 2( ) ;qq J q  1 , ;[ , ],A A Tq x y   2 , ][ . Tq    Расписывая уравнения (19.20), (19.21) в координатах аналогично тому, как это было сделано для трехколесного робота, получим для (19.20)          2 1 3 5 1 1 2 2 2 2 2 2 1 3 1 1 5 1 1 3 1 5 2 2 2 21 3 3 1 2 1 3 52 2 2 1 1 3 1 2 2 1 5 1 1 3 cos 2 2 2 sin 2 sin cos 2 (2 2 ) 2 2 2 2 ( ) 2 ( )sin (2 2 ) 2 2 2 2 ( z z x x z z z x z x x z z m m m r I I rI I I h I m l m l l m l l lI I lr w w m m m r l I I I I h I m l m l                                             2 2 2 1 3 2 4 3 3 22 2 2 2 1 1 5 2 32 2 3 1 4 4 4 1 1 2 2 2 2 2 3 30 1 3 4 40 2 1 sin cos sin cos 1( )sin ( ) 1( ) ( )cos ( sgn ) ( sgn ) sin 2 ; ) 2 s z s x l w w w w M N f l w M N f N f N f l w rM M l w M M l w rl m l l I l r l I l l                                   (19.22) 3 3 4 2 1 3 32 4 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 3 3 1 3 2 4 2 2 3 30 1 4 4 3 0 1 2 ( )sin ( ) 2 sin cos ( ) cos 2 ( ) ( sgn ) ( sgn ) . x x z x s s x I lr I l lI I lr l I w w w w w w w w w w M M l w M M l l w l                                (19.23) 468 Для уравнения (19.37) получим соответственно 1 3 5 3 5 2 5 3 15 2 3 1 3 β cos φ β sin φ ( β sin β cos φ φ cos β sin φ) β cos β sin φ + φ sin (2 2 ) cos (2 ) sin 2 2 β cos φ) ) ( (2 ;) ( rm m m r m l m l l m m m r rm l m l l                              (19.24) 1 3 5 3 5 2 1 3 2 4 5 3 5 2 cos sin ( cos cos sin sin ) cos sin si ( n sin ) ; 2 2 ) sin (2 ) cos 2 2 ) ( (2 ) ( rm m m r m l m l l m m m r rm l m l l                                        (19.25)     2 2 2 2 2 1 3 1 1 5 1 1 3 1 5 2 2 3 1 2 3 5 2 2 2 2 2 2 1 3 1 1 1 1 3 2 2 2 2 1 3 2 4 3 30 1 1 2 2 1 4 5 3 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 sin cos 2 cos ( ) ( s (2 ) 2 2 2 ( ) 2 gn ) ( x x z z x x x z x s s I I I h I m l m l l m l r I l w w m l m w w w w M M l l r l rI I I h m l m l l l wI l M m l l                                           2 40 2 3 4 1 1 2 2 11 1 2 sgn ) sin cos ; 2 cos 2 sin cos sin .z zI M l w l l N f N f rI r                 (19.26) Структура уравнений (19.22) и (19.23) с учетом (19.18), (19.19) позволяет анализировать прямые и обратные задачи динамики. Из уравнений (19.24), (19.25), (19.26) определяем значения множи- телей Лагранжа, т. е. составляющие сил сухого трения, действую- щих в плоскостях касания колес 1z и 2z с покрытием, чтобы реали- зовать программное движение мобильного колесного мини-робота: 469   3 5 2 2 2 2 1 2 1 1 3 2 4 2 2 3 30 1 2 2 2 2 2 1 1 3 1 5 2 1 1 1 3 5 2 4 40 2 3 4 1 1 2 2 1 2 3 3 1 (2 ) ( sin cos ) ( ) 2 ( ) ( sgn ) ( sgn ) sin cos ; 2 2 ( ) 2 2 2 2x z x z x xA s s z m l m l l m l I I h I I I l I m l m l x y w w l w w w w M M w l M M w l I l l l N f N f                                                 2 2 2 2 2 1 1 3 3 32 2 1 4 4 4 3 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 3 2 2 1 1 3 1 2 1 2 4 2 2 21 2 3 3 3 cos sin ; sin 12 4 sin cos ( ) 1( ) cos( ) sin( ); 2 ) 2 ) 2 sin ( cos ( z z x x z r r l l l M N f l wl l M N f r r l w l I I I l I l I w l w w w l l w l w w w l l l                                                      2 2 3 30 1 4 40 2 12 1 1 1 12 2 1 1 3 1 4 1 ( sgn ) ( sgn ) ; ( sin 2 cos )sin ; ( sin 2 cos )sin ; ( sin 2 cos )cos ; ( sin 2 cos )cos . s sM M w l M M w l w l l l l w l l l l w l l l w l l l                                  19.3. Динамика модели двухколесного миниатюрного робота Модель двухколесного робота может иметь конструкцию с дву- мя ведущими колесами и опорным колесом, свободно устанавлива- ющимся колесом или без него, если имеется система стабилизации, а также расположенных в одной плоскости (типа велосипеда). Рассмотрим модель, когда два колеса 1 и 2 расположены на одной оси, а третье опорное 3, как в схеме трехколесного робота, рис. 19.4. 470 Рис. 19.4. Схема двухколесного робота Платформа робота 4, как и ранее, см. рис. 19.2, считается одно- родной пластиной, ведущие колеса 1, 2 имеют ось, не меняющую своего положения, опорное саморегулирующееся колесо 3. Колеса 1 и 2 имеют отдельные приводы, углы поворота соответственно 1 2β и β , радиусы 1r и 2r , причем 1 2r r r  , центры ведущих колес обозначены В и С, свободного колеса D, а его радиус 3r , причем 3 1 1 2, ,r r M M – вращающиеся моменты колес 1 и 2. Через S обо- значен центр масс платформы, точка А расположена посередине между точками В и С; Н является точкой, принадлежащей платфор- ме, и движется по заданному пути робота. Точка Е является мгно- венным центром скоростей платформы, угол  – характеризует мгновенный поворот платформы вследствие разности скоростей вращения колес 1 и 2. Проекции вектора скорости точка А связаны между собой соотношением tg ,A Ay x   которое показывает, что на вектор скорости точке А положены ограничения, т. е. связи, которые являются неголономными. Из 471 рис. 19.5 следует представления о векторах в точках , , , ,A B C D H и связях между ними: 3 3cos , sin .H A H Ax x l y y l      (19.27) Рис. 19.5. Схема скоростей характерных точек робота Дифференцируя (19.27), получим 3 3sin , cos .H A H Hx x l y x l            (19.28) Если известны AV – значения скорости точки А, то проекции вектора AV на оси координат cos , sin .A A A Ax V y V     (19.29) 472 Соотношения (19.28) с учетом (19.29) имеют вид 3 3cosβ β sin β, sinβ β cos β.H A H Ax V l y V l      Условие движения точки Н по заданному пути записывается в виде  , 0.H Hf x y  (19.30) Дифференцируя (19.30), получим  , 0.H Hf x y  (19.31) Из (19.29), (19.30) следует      , , .H H H Ht x x t y y t     (19.32) Зная (19.31), можем найти скорость в точке В: .B A BAV V V  Проецируя (19.32) на ось x , получим .B A BAV V V  Так как колеса катятся без проскальзывания, то имеем 1 1 1 1.BV r r    Соответственно скорость точки В относительно А определим из зависимости 4 1 1.BAV l l    (19.33) 473 Выражение (19.33) определяет значение угловой скорости веду- щего колеса 1. Кроме того, имеют место соотношения ;C A CAV V V  ;C A CAV V V  2 2 2 2;CV r r    4 1 1.CAV l l    Угловая скорость ведущего колеса 2 определяется формулой 1 2 2 2 .AV l r r    Из рис. 19.4 видно, что скорость свободного колеса 3 в точке D вычисляется по формуле 2 2 3 3;DV DE д AE r         (19.34) 1 1 .CB VV AE l AE l   (19.35) Из (19.35) с учетом (19.34) получим .AVAE   Тогда имеем      21 23 3 Ar V l    и 1tg . A l AE V     474 Далее в аккумулируемой модели ведущее колесо 1 находится в середине оси ВС, имеет радиус r . Обобщенными координатами, описывающими движения, являются , , , .A Ax y   В предположе- нии, что колесо в точке А взаимодействует с опорной поверхностью без скольжения, обозначая угол вращения  , получим .AV r  (19.36) Кроме того известно, что скорости точек В и С находятся из соотношений 1 1 ; B AV V д r      (19.37) 1 2 2.C AV V д r      Таким образом, из уравнений (19.36), (19.37) получим зависимо- сти между величинами скоростей ведущих колес 1 и 2, заменяемых эффективным колесом 1: 1 1 ;h      2 1 .h      Так как 1 2r r r  , тогда 011 1 2 .llh r r   Необходимо обратить внимание на то, что в то время, когда точ- ка Н перемещается по заданному пути и переходит на другую за- данную траекторию, отсутствует аналитичность функции, описы- вающей границу траекторий. Тогда необходимо описывать движе- ние в переходной области. В той области угловые скорости приводных колес можно соответственно аппроксимировать допол- нительными аналитическими функциями. Пусть точке Н переходит с круговой траектории на прямолиней- ную, тогда угловые скорости приводных колес можно описать зави- симостями 475  1 10 10 1 ;tAV er              2 20 20 1 ,tAV er            где 10 20,   – величины угловых скоростей в начале переходной области,  – постоянная аппроксимации переходных кривых. Введение такой аппроксимации позволяет реализовать движение с гладкими сменами параметров скорости и ускорения. В силу неголономности системы координаты связаны условия- ми, наложенными на скорости: cos 0, sin 0.A Ax r y r          (19.38) Условие (19.38) определяет отсутствие скольжения колеса 1. В векторно-матричном виде (19.38) записывается в классическом виде:   0, , , , ,A AJ q x y      q q (19.39) где якобиан  J q имеет вид   1 0 0 cosβ . 0 1 0 sinβ r J q r      Для рассматриваемой неголономной системы уравнения Лагранжа II рода записываются в виде  d . d T T TE E Q J q t q q                (19.40) 476 Проецируя (19.40) на оси координат, получим                           1 2 4 1 2 1 4 2 2 1 2 1 4 2 1 1 2 4 1 2 1 4 2 2 1 2 1 4 2 2 1 2 1 4 2 1 2 1 2 2 4 2 1 2 1 4 2 cos sin sin cos sin cos cos sin cos sin si s ; n ; co A A A A z m m m x m m l m l m m l m l m m m y m m l m l m m l m l m m l m l x m m l m l y m m l m l I                                                                      4 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2cos sin , ; x x z z z z z z z z I I I I h I I h M M N f N f h I I I I h M M N f N f r r                                (19.41) где 1 2 4,m m m – массы колес 1, 2 и платформы соответственно; 1 2,x xJ J – моменты инерции колес 1, 2, округлены относительно осей 1 2 и ,x x связанных с этими колесами; 1 2,z zJ J – моменты инерции относительно оси вращения этих колес; 4zJ – момент инерции платформы относительно оси 4z , связан- ной с платформой. Считается, что оси системы являются главными центральными осями; силы же 1 2,N N – силы давления на соответствующие колеса; 1 2,f f – коэффициенты трения качения соответствующих колес; 1 2,M M – моменты привода колес; 1 2, ;,l l l 11 1 1h r l – расстояния, указанные на схеме системы; 1 2r r r  – радиусы колес. 477 В уравнениях (19.41) не учитываются масса колеса 3 и сопротив- ление его качению. При решении обратной задачи динамики из уравнений (19.41) можно определить величины моментов приводов и множителей при заданном законе движения. Преобразуем уравнения (19.41) к виду, более удобному для ана- лиза, для чего, как и ранее, запишем систему (19.41) в виде        , TM C B J    λq q q q q q q . (19.42) Представим  1 2 1 2, , , , , T n m n mq q q R q R q R    q тогда условия связей (19.39) запишутся в виде      11 2 1 2 , 0, det 0. q J J J q q           q q Вектор 2q выбираем так, чтобы его размер был равен числу сте- пеней свободы, а  1det 0J q , тогда        12 2 2 2 2, , n m J T T T I             qq q q q q q q q q где    112 1 2 , n mJ J J I   q q – единичная матрица. Уравнения (19.42) можно записать в виде               12 2 12 2 1 1 22 2 2 22 2 2 2 2 2 , , . TM C B J M C B        λ;      q q q q q q q q q q q q q (19.43) 478 Уравнения (19.43) представляют редуцированную форму описа- ния движения с неголономными связями. Полагая  2 ,, T  q рас- писывая уравнения (19.43) в проекциях на оси координат, получим                      2 4 2 1 4 1 2 4 2 1 4 2 2 2 2 1 1 4 2 4 1 1 1 4 2 1 2 1 1 2 2 1 22 1 4 1 4 2 1 sin cos 2 cos sin cos sin 2 sin cos ; 2 2 2 2 ; ; 2 z x z z m l m m r m l m m r m l m l I I I h m l r M M N f N f h m m r I m l r M                                                                   2 1 1 2 2. M N f N f     (19.44) Уравнения Лагранжа II рода описывают динамику двухколесно- го робота, в форме (19.44) позволяют более эффективно анализиро- вать прямые и обратные задачи, находить их решения. 479 Глава 20. ДИНАМИКА ШАГАЮЩЕГО МИНИАТЮРНОГО РОБОТА 20.1. Основные уравнения математической модели динамики робота Мини-робот представляет собой абсолютно твердое тело (плат- форма, корпус), на котором монтируются двигатель, аккумуляторы, сенсоры, актуаторы, конечности, контактирующие с опорной по- верхностью. Будем выделять корпус с жестко закрепленными на нем элементами как единое целое, конечности – как твердые тела (стержни), скрепленные через шарниры с корпусом, и, при необхо- димости учета их влияния на общую динамику робота, движущиеся элементы в корпусе робота (гироскопы, роторы). Геометрия масс описывается координатами центра масс, моментов инерции, цен- тробежных моментов корпуса и геометрии масс каждой ноги соот- ветственно, а также центра масс, моментов инерции и центробеж- ных моментов всего робота. При этом надо иметь в виду конструк- ции корпуса и ног. Если корпус при движении не меняет своей геометрии (экзоске- лет), то центр масс и его геометрические моменты – постоянные величины. В биомеханике – это, например, жуки. Если корпус меняет свою геометрию в процессе ходьбы (эндос- келет), то центр масс и его моменты меняются за счет изменения геометрии. В биомеханике – это, например, позвоночные. Второй случай труднее моделировать математически и техниче- ски, поэтому будем рассматривать первый случай. В простых моде- лях конечности могут представлять собой прямые стержни, криво- линейные стержни, в более сложных – кинематические пары. Для корпуса типа экзоскелета движение состоит из поступательного пе- ремещения центра масс и вращательных движений под действием сил, приложенных со стороны конечностей в точках их крепления. Динамика составных конечностей представляет собой движения манипуляторов, в которых схват и крепление периодически меня- ются местами. При перемещении объектов с помощью ног выделя- ют две основные фазы движения конечности: 1) переносная; 2) опорная. 480 В переносной фазе нога движется как манипулятор с точкой за- крепления на корпусе. В этой фазе конечность представляет собой разомкнутую систему, если выполняет движение по заданной про- грамме ноги манипулятор программного робота. В случае шагающего робота перемещение конечности происходит под контролем сенсор- ных систем, осуществляющих получение информации различными способами и через обратную связь использующими ее для корректи- ровки ходьбы. В простом случае программной ходьбы по плоской по- верхности можно в первом приближении не учитывать наличие обрат- ной связи. В опорной фазе стопа ставится на поверхность (неудержи- вающая связь), закрепляется на ней за счет силы трения и действует как манипулятор, переносящий груз (корпус). Далее процесс повторя- ется. Очевидно, что перемещение с помощью нескольких ног требует скоординированной, синхронной работы нескольких конечностей. Математические модели шагающих роботов получают на основе методов теоретической механики, в частности, уравнений Лагранжа второго рода, применяемых для вывода как уравнений движения корпуса, так и конечностей. В качестве обобщенных координат вы- бираются координаты центра масс корпуса или всей системы, углы Эйлера. В кёнинговой системе координат, связанной с корпусом, положения звеньев, конфигурацию ног можно описать с помощью углов (косинусов углов). В дальнейшем ограничимся моделью дву- звенных конечностей, в которой стопа не учитывается. Пусть робот имеет n двузвенных ног, скрепленных с корпусом. Верхняя часть ноги – бедро – имеет две степени свободы, так как со- единено с корпусом с помощью шарнира с двумя степенями свободы. Нижняя часть ноги – голень имеет одну степень свободы, так как скреплена с бедром посредством одностепенного шарнира. Опорная фаза характеризуется: вначале – ударной постановкой конца голени на поверхность, причем удар является абсолютно неупругим, в конце отрыв ноги (разрыв неудерживающей связи) также носит квазиудар- ный характер. В биомеханике конечности поверхность обладает вяз- коупругими свойствами и резкость ударов носит сглаженный харак- тер. Выражение для Т – кинетической энергии – имеет вид кор 1 , n i i T T T     481 где корT – кинетическая энергия собственного корпуса; iT – кинетическая энергия i-й конечности. Тогда  2 2 2 2корп 0 вр 0 0 вр 1 2 31 1, , ,2 2кT T T T m V T A B C         где кm – масса корпуса; 0V – скорость тоски 0; , ,A B C – главные моменты инерции;  1 2 3, ,   ω – вектор мгновенной угловой скорости корпуса в главных центральных осях корпуса. Для i-й конечности               3 1 2 2 2 21 2 3 , 1 ; 2 1 , 2 ;o врi ij ij ij ij j o ij ij ij вр ij ij ij ij ij ij ij T T T T T T m V T A B C                где ijT – кинетическая энергия j-го звена i-й ноги; k ij – k-я координата вектора  1 2 3, ,ij ij ij ij   ω в главных осях соответствующего звена. Силы, которые действуют на робота, делятся на потенциальные, учитывающие гравитацию, и контактные (реакции) в точках кон- такта конечностей с поверхностью. Потенциальные силы выража- ются через потенциальную энергию П (или потенциал, силовую функцию U) и включаются в функцию Лагранжа L, контактные вза- имодействия входят в обобщенные силы Q и входят в правую часть уравнений Лагранжа. Потенциальная энергия П складывается из потенциальной энер- гии корпуса и ног. Аналогично и потенциалы, так как П :U  482 кор 1 ; n i i U U U     (20.1)  кор 13 23 33 ;x y zU mg a a a          2 13 23 33 1 ,x y zi ij ij ij ij j U g m a r a r a r        где m – масса корпуса; g – ускорение свободного падения;  – координата в неподвижно ориентированной системе коор- динат; ijr – вектор, соединяющий в точки 0 с центром массового звена i-й ноги:  , , ;x y zij ij ijr r rijr  – радиус-вектор из точки 0 до центра масс корпуса:  , , ;x y z   ρ 13 sin ;a    23 cos sin ;a    33 cos cos ,a    рис. 20.1. Рис. 20.1. Модель плоской платформы робота 483 Если в начальный момент вращения система координат подвиж- ная и ориентированно-неподвижная совпадали, то в дальнейшем по неплоской поверхности вращательное движение корпуса робота описывается тремя углами Эйлера. Если ось 0x – главная цен- тральная продольная ось, через оси 0 и 0x z проходит сагиттальная плоскость, в которой угол  между 0 и проекцией 0x на плос- кость и 0 является углом тангажа, угол  вращения вокруг оси 0x является углом крена корпуса при движении робота вдоль 0x и вращения вокруг, угол рыскания  – это угол между осью 0 и проекцией 0x на плоскость 0 . Считаем все конечности иден- тичны, системы координат и обозначений, связанных с i-й ногой, изображены на рис. 20.2. Рис. 20.2. Схема конечности робота Точка iP – точка крепления i -й ноги с корпусом; pir – радиус- вектор точки iP , соединяющий точки 0 с точкой 1 2 3, , ,i i i iP    – углы между бедром (стержнем) и осями 0 ,0 ,0x y z . Считаем, что вертикальная плоскость, в которой находятся стержни ног, перпендикулярна горизонтальной плоскости 0xy и во времени 0 t . 484 Динамика звеньев ног описывается как поступательное движе- ние центра масс звена и вращательное движение вокруг него. Центр масс звеньев для однородного стержня обычно располагается в их геометрических центрах. В общем случае будем считать, что центр масс i-го звена «бедро» находится на расстоянии 1cil от точки креп- ления iP , а центр тяжести i-го звена «голень» – на расстоянии 2cil от шарнира; ijl – длина j-го звена i-й ноги. Вводя функцию П,L T U T    запишем уравнения Лагранжа II рода: d , 1, 6, 3 d ,i i i L L Q i n q q         (20.2) где iq – обобщенные координаты: 1 ,q   2 ,q   3 ,q   4 ,q   5 ,q   6 ,q   ,k ijq   3 ,7,k n , ,1i n 1, 2.j  Уравнения (20.2) содержат 6 3n уравнений относительно  6 3 n k  неизвестных, среди которых 6 3n вторых производ- ных от обобщенных координат и 3k координат опорных реакций, когда число ног, контактирующих в данный момент с поверхно- стью, равно k . В местах контакта могут быть сформулированы 3k условия не- подвижности точки опоры в опорной фазе в виде 0 0, 1, , f lm m k   r r (20.3) где flmr – вектор, соединяющий точку 0 с mi – точкой контакта. Системы уравнений (20.2), (20.3) образуют полную систему уравнений относительно всех неизвестных. Вместо условий (20.3) можно сформулировать условия сохране- ния импульса и момента импульса при постановке конечности на поверхность (связь). Обобщенные силы ,iQ входящие в (20.2), связаны с силами и мо- ментами сил реакций в точках опоры. 485 Обозначим N – главный вектор, M – главный момент сил реак- ции в точках опоры: 1 1 , . k k f i i i i i r     N N M N Используя выражения для элементарных работ сил и моментов и ,N M полученные в теоретической механике, обычным образом находим выражения для обобщенных непотенциальных сил. Для корпуса получим , , , , ,xQ N Q N Q N Q M Q M             cos sin .Q M M      Для опорных конечностей находим  1 1 1 1cos sin ;i i ssi i x i y i iQ M N N L       2 2 1 1c s ;sin oi i cc i ssi i x i y i i z iQ M N N L N L        3 3 1 1sin .cosi i c i si i x i y i i z iQ M N N L N L       Для переносимых конечностей получим 1 1 2 2 3 3,, ,i i i i i iQ M Q M Q M      1 2 2 2sin cos , sin , ss s i i i i i i i iL l l L l      1 2 2 2cos cos , cos . cc c i i i i i i i iL l l L l      Рассмотрим более детально структуру уравнений (20.2), описы- вающих динамику робота. 486 Первые три уравнения описывают поступательное перемещение центра масс корпуса. Уравнения (20.1), (20.2), (20.3) описывают вращательные движения корпуса в кёнинговой системе координат. Остальные уравнения системы (20.2) распадаются на n незави- симых друг от друга групп, для каждой из которых уравнения (20.2) можно записать в виде d , 1, 2, 3. d ijij ij L L Q i j t          (20.4) Левые части содержат вторые производные от обобщенных коор- динат корпуса и i-й ноги, а правые содержат задаваемые управляю- щие моменты, а для опорных конечностей – еще и реакций опоры. Рассмотрим связь между ускорениями корпуса робота и обобщен- ными ускорениями опорной ноги. Используя условия (20.3) неподвиж- ности опорной точки относительно поверхности, запишем его в виде  0 2 * 0,f f f fi i i i     ω ω ω ω ωr r r V (20.5) где fiV – скорость опорной точки относительно корпуса. Проецируя (20.5) на оси координат, получим три линейных урав- нения относительно обобщенных ускорений опорных ног. Угловые ускорения im могут быть найдены из полученной системы в виде   17 11 27 12 1 6 3713 , , , , i i i i c C c q q c                         q q (20.6) где компоненты матрицы  i ljkC c и столбца свободных членов находятся по формулам  1 1 1cos ;sin /i i i ssk xk i yk i ic u u L    487   2 1 1sin cos / ;i i i s i ck xk i yk i i zk i ic u u L u L L       3 1 1sin cos / , ,1,7i i i ss i cck xk i yk i i zk i ic u u L u L L k       где 1 2 3, sin , , , , 1, 6i i ii i i i xk yk zkL l l u u u k   – коэффициенты при ускорениях обобщенных координат корпуса в уравнениях (20.5), спроецированных на оси координат 0xyz ; 7 7 7, , i i i x y zu u u – члены, не зависящие от ускорений. Соотношения (20.6) связывают опорные реакции и ускорения корпуса. Подставляя 1 2 3, ,i i i     из (20.6) в соответствующую груп- пу уравнений (20.4), получим линейные уравнения, выражающие обобщенные силы через ускорения корпуса и реакцию в i -й стопе: 1 1 2 2 33 , j j jj j j j Q d Q D d dQ                       q (20.7) где элементы матрицы  jj mkD d порядка 3×6 зависят только от фазовых координат робота. Разрешая уравнения (20.7) относитель- но опорных реакций, получим 17 27 37 , jj x jj j y jj z kN N K k kN                     q (20.8) где элементы матрицы  l ljpk k и столбец свободных членов 1 7 2 7 3 7, , l l lk k k выражаются через компоненты матрицы D: 488       1 3 2 1 1 1 1 2 3 2 1 1 1 1 3 2 3 1 sin / cos / cos / sin / / , 1, ,7 ; . ;l l ss l s l ssp p l p l l p l l l l ss l s l ss p p l p l l p l l l l c l cc p p l p l k d L d L L d L k d L d L L d L k d L d L L p               (20.9) Посредством 1 7 2 7 3 7, ,l l ld d d обозначены разности 1 1,l ld M 2 2 , l ld M 3 3 l ld M соответственно. Соотношения (20.8) и (20.9) позволяют при известных линейных и угловых ускорениях корпуса и управляющих моментах в шарни- рах ноги найти реакцию поверхности в точке опоры. Проекции угловой скорости на оси 0xyz имеют вид, рис. 20.3: sin , cos sin cos , cos cos sin . x y z                          (20.10) Рис. 20.3. Проекции угловой скорости на оси 0xyz Компоненты вектора ω в главных центральных осях корпуса определяются из соотношения 489 1 2 3 Ω . x y z                   (20.11) Для вычисления проекций ij на главные центральные оси инерции соответствующего звена введем матрицы перехода ijD от системы 0xyz к осям 1 2 3, , ,ij ij ije e e см. рис. 20.3: 1 1 1 1 1 1 2 2 3 cos sin 0 sin sin sin sin cos ; cos sin cos cos sin , если 1; , если 2. i i ij ij i ij i ij ij i ij i ij i ij i i i D j j                                (20.12) Координаты вектора ijω в осях 1 2 3, ,ij ij ije e e даются выражением 1 2 1 3 1 cos , sin ij ijx ij ij y i ij z i ijij D                                      (20.13) где точка над буквой означает дифференцирование по времени. Проекции  1 2 3, ,ij ij ij   находим по формуле 1 1 2 2 3 3 Ω . ij ij ij ij ij ij ij                           (20.14) 490 Для вычисления скорости ij воспользуемся равенством 0 от ,ijij ij   ω r   в котором 0 – скорость точки 0; ijr – вектор, соединяющий точку 0 с центром масс j-го звена i-й ноги. Проекции ijr на оси 0xyz определяются соотношениями     1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 11 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 sin sin sin sin sin sin cos , sin sin cos cos , cos cos ; ; . x p c x p i ix i i i i ix c i i i i i y yp c p iy i i i iyi i c i i i i i z p c z p c i iz i i i iz i i i i r r l r r l l r r l r r l l r r l r r l l                               (20.15) Координаты вектора отij в осях 0xyz получаются дифференци- рованием формул (20.15). Чтобы найти проекции вектора 0 на оси 0xyz , воспользуемся матрицей перехода  ijA a от осей 0 : cos cos cos sin sin sin cos sin cos sin cos cos sin sin sin cos sin . sin sin sin cos cos cos sin sin sin cos cos cos A                                      (20.16) Тогда 0 0 0 0 00 . x y z A                        (20.17) 491 Скорость центра масс корпуса v выражается формулой, анало- гичной (20.14): 0 .  ω ρ  (20.18) Соотношения (20.10)–(20.18), будучи подставлены в (20.7), дадут выражения для коэффициентов кинетической энергии аппарата че- рез обобщенные координаты. Уравнения (20.2) нелинейные и в общем случае аналитически не решаются, поэтому целесообразно вкратце рассмотреть численное определение закона движения для рассмотренной модели робота: B q b, (20.19) где коэффициенты матрицы  k lB b и векторов  1 7 6 7, , ,b b b q определяются из (20.2). Систему (20.19) можно разрешить, выразив ускорения корпуса через фазовые координаты и управления в шарнирах ног. Опишем процедуру численного определения закона движения модели шагающего аппарата. Сначала по конечным формулам вы- числяются все коэффициенты, зависящие от фазовых координат и управлений, необходимые для подсчета элементов матриц B и вектора .b После этого рассчитываются ускорения корпуса. Вычисленная реакция может оказаться направленной внутрь не- сущей поверхности. Тогда соответствующая нога считается неопо- рной, и для нее производится пересчет коэффициентов матрицы lC и 1 7 2 7 3 7, , ,c c c после чего корректируются матрица B и вектор .b При пересчете иB b целесообразно воспользоваться аддитивно- стью членов, зависящих от номера ноги. Вычитаются лишь слагае- мые, имеющие отношение к ноге, оказавшейся неопорной, и добав- ляются новые, полученные в предположении, что эта нога свободна. Такой прием способствует увеличению скорости счета задачи. Описанная ситуация, как правило, возникает в тех случаях, когда алгоритм управления вырабатывает шарнирные моменты, необхо- димые для отделения ноги от поверхности. После подсчета ускоре- ний всех обобщенных координат проводится численное интегриро- вание уравнений движения. 492 Для определения момента времени соприкосновения ноги с по- верхностью происходит вычисление на каждом шаге интегрирова- ния координат стоп неопорных ног и осуществляется проверка условия пересечения их траекторий с поверхностью. Нога считается опорной, если в некоторый момент времени координаты ее стопы удовлетворяют уравнению поверхности. Скорость стопы этой ноги в момент соприкосновения скачком падает до нуля. Математически условие касания стопы ноги с поверхностью означает появление новой связи. При этом скачком меняются обобщенные скорости не только опускаемой ноги, но также корпуса и всех остальных ног. Обозначим через fiV скорость i-й стопы непосредственно перед ударом. Пусть число опустившихся на по- верхность ног равно 1,k k – число опорных ног до удара. Прираще- ния скоростей удовлетворяют следующей системе уравнений 2 26 3 1 1 1 11 1 2 26 3 1 1 ; , n s ij s j is ij s is ij s sij s ij is L Lq Q q q q L Lq Q q                                    (20.20) где , s ijq    – приращения обобщенных скоростей корпуса и ног. Величины 1 и ijQ Q  выражаются через ударные импульсы реакций lp в опорных точках:  1 1 1s s ;co inl l ssl x l y l lQ P P L      2 1 1sin cos ;l l cc l ssl x l y l l z lQ P P L P L      3 1 1sin co .sl l c l sl x l y l l z lQ P P L P L      После подсчета элементов матрицы B и вектора b определяют- ся приращения обобщенных скоростей корпуса, находятся прира- 493 щения обобщенных скоростей ног и ударные импульсы реакций. Если ударный импульс направлен внутрь несущей поверхности, то соответствующая нога считается неопорной, пересчитываются эле- менты матрицы iC и 1 7 2 7 3 7, ,i i ic c c и вносятся поправки в компонен- ты матрицы B и вектора b . Из приведенных формул и рассуждений следует, что удар можно рассчитывать фактически по тем же самым формулам, что и без- ударное движение. Это упрощает задачу программирования модели и экономит время вычислений. Таким образом, задача передвижения аппарата по поверхности при заданных управляющих шарнирных моментах сводится к инте- грированию дифференциальных уравнений (20.2) с учетом (20.3) и пересчету обобщенных скоростей аппарата в отдельные моменты времени в соответствии с (20.20). Рассмотрим случаи вырождения. Они возникают, когда для како- го-нибудь номера i обращаются в нуль знаменатели , ssi iL L соответ- ствующих выражений. Предположим, что 0ssiL  . Тогда точка под- веса ноги и точка опоры расположены на прямой, параллельной оси zP шарнира в точке подвеса. При этом относительное ускорение сто- пы никак не влияет на величину 1i , а реакция опоры не создает мо- мента относительно zP . Вторую производную 1i следует опреде- лять из соответствующего для этой координаты динамического урав- нения Лагранжа, куда не войдут неизвестные компоненты реакций. При фиксированных значениях и 0ssij iQ L  реакции и i ix yN N определяются неоднозначно и позволяют найти лишь сумму 1 1cos .sin i i i x i y iN N N    Проекция на перпендикуляр к плоскости ноги не влияет на дви- жение в данном случае, так как полностью компенсируется реак- цией шарнира даже при отсутствии управляющих моментов. Отно- сительное перемещение стопы в направлении, перпендикулярном плоскости ноги, оказывается невозможным, что, по существу, пред- ставляет собой наложение дополнительной связи на систему. 494 Обратимся к случаю вырождения, соответствующему 0iL  . Он имеет место лишь, когда 3sin 0i  , т. е. 3 0 i  или 3i   . Другими словами, нога либо полностью согнута, либо полностью выпрямлена в колене. Тогда по относительному ускорению стопы величины 2i и 3i однозначно не определяются, и лишь в виде линейной комбинации 2 3. cc c i i i iL L    Аналогично и для реакций pN и zN можно найти линейную комбинацию ,cc i i ssi p z iL N N L представляющую собой проекцию на плоскость, перпендикулярную плоскости ноги, момента силы реакции относительно точки подвеса. Кинематический смысл рассматриваемого выражения состоит в том, что когда звенья ног принадлежат одной прямой, всякое от- носительное возможное перемещение стопы получается с помощью задания всего двух вариаций: 1i и 2i или 3i . Вместе с тем момент любой силы реакции относительно точки подвеса оказыва- ется пропорциональным моменту этой же силы относительно ко- ленного шарнира. Поэтому управляющие шарнирные моменты 2iM  и 3iM  уже не могут быть независимыми, а должны соответствовать характеру отмеченной пропорциональности. При численном моделировании процесса движения на компью- тере следует избегать конфигураций аппарата, в которых существу- ет опасность появления нулевых знаменателей. Как видно из про- веденного анализа, для этого достаточно, чтобы никакая стопа не оказывалась на оси zP шарнира подвеса соответствующей ноги и чтобы никакая нога не могла быть полностью выпрямлена или согнута в колене. 495 20.2. Некоторые приближенные модели динамики шагающих мини-роботов Полученные уравнения динамики шагающего робота сложны не только для аналитических, но и численных исследований, поэтому представляют интерес различные приближения, позволяющие упро- стить решение задачи. В теоретической механике теория возмущений излагается в га- мильтоновой форме, согласно которой функция Гамильтона Н свя- зана с функцией Лагранжа преобразованием Лежандра по перемен- ным  1, :iq i n     1 , , , , ; , , , . n i i i i j j i i i i i i i H q p t p q L q q t L H L H H Lp q q q q p t t                        (20.21) Каноническая форма уравнений движения имеет вид , .i i i i q pH H t p t q         (20.22) В случае если силы, действующие в системе, потенциальные: П,H T  т. е. для натуральной склерономной системы с обычным потенциа- лом сил H полная механическая энергия сохраняется. Если существует функция  , ,i iV t q q такая, что d , di i i V VQ t q q     496 то V называется обобщенным потенциалом и зависит линейно от обобщенных скоростей 1 0 1 1 , , n i i i V V V V A q       где 0 , iV A – функции обобщенных координат и времени. Если система склерономная, 0V не зависит от времени и / 0iA t   , тогда 0 0T V H  остается постоянной, однако const.T V H   Имеет место представление 2 2 1 1 1 0 0 0, , .L T L T V L T V     Согласно классической теории возмущения в теоретической ме- ханике представим H в виде 10 ,H H H    (20.23) где  – безразмерный параметр, причем считается, что при 0  решение системы (20.22) может быть найдено. Канонические сопряженные переменные ,i iq p выбираются так, что 0H зависит только от импульсов :ip  10 0 , , .nH H p p  Переменные ,i iq p в этом случае называют переменные дейст- вия–угол. Невозмущенная система (20.22) записывается в виде  10d dω , , , 0.d di ii ni q H pp p t p t     (20.24) Система (20.24) может быть проинтегрирована  0 10 0 0const, . , ,i i i i n ip p q p p q      497 Если  мало и в (20.23) система считается обобщенно консерва- тивной, тогда    0 1 , ,i i iH H p H q p    а для исследования динамики системы при малых  применяется аппарат, основанный на методе канонических преобразований. Пусть, например, мини-робот имеет экзоскелетную конструкцию (типа жука) так, что основную массу составляет корпус, а масса каждой из ног и всех вместе значительно меньше массы корпуса. Если к тому же скорости движения ног относительно невелики, то импульсы и моменты импульсов конечностей также малы. Пусть решение невозмущенной системы 0 0d d, , 1, , d d i i i i q H p H i n t p t q       (20.25) найдено при помощи уравнения Гамильтона–Якоби 0 d , , 0, d di i S sH q t t q      (20.26) где  1, , , ,n nS S q q t    – полный интеграл уравнения (20.26). Сделаем в уравнениях (20.25) каноническую замену переменных по формулам  d d, 1, ,d di iiS Sp i nt     и, принимая полный интеграл S за производящую функцию  d d, 1, ,d di ii iS Sp i nq     (20.27) 498 перейдем к переменным ,i i  , где роль новых координат играют величины i , а новых импульсов – .i Тогда функция Гамильтона  , ,i i t  в новых переменных имеет вид 0 1 , SH H t     а уравнения для ,i i  имеют вид * * 1 1d d, , 1, , d d i i i i H H i n t t        (20.28) где *1H – это функция 1H , в которой сделана замена переменных. Алгоритм решения задачи: 1) из решения уравнения (20.27) находятся функции    , , , , , ;, , , 1i i j j i i j jq q t p p t i j n       (20.29) 2) находятся решения уравнений (20.28); 3) найденные ,i i  подставляются в (20.29). Рассмотрим еще один подход к упрощению уравнений динамики шагающего мини-робота. Количество движения всего робота представим в виде   1 ; n r o i i э o i m m       ω ρQ V V Q Q (20.30)  ;э r o nm  ωQ V r  от 1 ;, n pc c o i i i i i i i m       ωQ r V r r r 1э от э, , n p i i i i r m m m m m m       ρ r r 499 где pir – радиус-вектор, соединяющий начало координат 0 с точкой крепления i-й ноги; c ir – радиус-вектор от точки крепления i-й ноги до центра масс i-й ноги. Механический смысл выражения (20.30) состоит в том, что им- пульс kQ не зависит от перемещений звеньев ног относительно корпуса и совпадает с количеством движения твердого тела (эффек- тивного корпуса), центр масс которого расположен в точке корпуса с радиусом-вектором э .r Эта точка называется приведенным (эффек- тивным) центром масс робота. Аналогичным образом кинетический момент робота (момент импульса) можно представить в виде эф н ;r I  K K K K (20.31)          э 1 ; n p p n n i i н i n i I m m            ρ ω ρ ωK r r r r r r     н отн э н 1 * , , n p c n c i i i i i I i i i m m I           ρ ρ ωK V r r V r V K K где эK – кинетический момент абсолютно твердого эффективного тела, состоящего из корпуса и скрепленных с ним в точках крепле- ния точечных масс, равных массам ног. Центр масс эффективного тела совпадает с приведенным (эффективным) центром масс. Считая, что    1 ,or   Q Q Q    1 .or   K K K В уравнениях (20.30), (20.31) выделятся две аддитивные части так, что    ,o oQ K не учитывают перемещения ног (медленные движения), тогда для    э ,o o э Q Q K K получаются уравнения 500  э э э э 1 , , n i o i m       ωQ F N Q V r  э э э э э 1 , , n f i i i I       ωK M r r N K где эI – тензор инерции корпуса с закрепленными на нем точечны- ми массами в точках крепления ног и имеющих их массу. Таким образом, в первом приближении модели динамики робота динамика переносимых ног никак не влияет на его динамику. Ко- нечности, контактирующие с поверхностью, создают реакции iN . Учет возмущающих движений, обусловленных членами  1 ,Q  1K зависит от отношения суммарной массы ног к массе робота, отношения расстояния от центра масс ног до точек их крепления к расстоянию от конца ноги оси, параллельной 0z и проходящей через общий центр масс, от отношения максимального ускорения конца ноги к ускорению силы тяжести. Если величины суммарной возмущающей силы и суммарного возмущающего момента – не бо- лее 10–15 % от суммы реакций опоры и суммы модулей их момен- тов относительно центра масс робота, то силами инерции звеньев конечностей можно пренебречь. Использование упрощенной модели в динамике робота позволя- ет упростить алгоритмы управления, идентификации, стабилизации и тем самым повысить скорость обработки информации, выработки управляющих команд, но снижает точность позиционирования кор- пуса и конечностей. 501 Учебное издание ЧИГАРЕВ Анатолий Власович МЕХАТРОНИКА И ДИНАМИКА МИНИ-РОБОТОВ Пособие для студентов специальности 1-55 01 03 «Компьютерная мехатроника» Редактор Т. Н. Микулик Компьютерная верстка Н. А. Школьниковой, Е. А. Беспанской Подписано в печать 18.12.2017.Формат 6084 1/16. Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 29,06. Уч.-изд. л. 22,72. Тираж 100. Заказ 936. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя, распространителя печатных изданий № 1/173 от 12.02.2014. Пр. Независимости, 65. 220013, г. Минск.