3 Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика № 1» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания и контрольная работа № 1 для студентов-заочников машиностроительных специальностей М и н с к 2 0 1 0 Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика № 1» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания и контрольная работа № 1 для студентов-заочников машиностроительных специальностей Пятое издание М и н с к 2 0 1 0 УДК 51 (075.8) ББК 22.1я7 В 93 Составители: А.Н. Андриянчик, Н.А. Микулик, В.И. Юринок Рецензент Г.А. Романюк Настоящие методические указания и контрольная работа предна- значены для студентов первого курса заочной формы обучения ма- шиностроительных специальностей БНТУ. Четвертое издание вышло в свет в 2009 году в БНТУ. © БНТУ, 2010 3 В в е д е н и е Настоящее издание является методическим руководством для изучения общего курса высшей математики студентами-заочниками инженерно-технических специальностей. Оно является переработан- ным и дополненным вариантом изданий 1999 и 2002 годов. В посо- бии содержатся общие рекомендации студенту-заочнику по работе над курсом высшей математики, приводятся правила выполнения и оформления контрольных работ, представлена программа курса высшей математики, соответствующая учебным планам для 1-го се- местра; изложены основные понятия, определения, теоремы и т.д. из курса высшей математики, приведены образцы решения типовых примеров и контрольная работа № 1. Определение номеров задач из контрольной работы производит- ся следующим образом: номер первой задачи контрольной работы равен двум последним цифрам номера зачетной книжки студента; номера последующих задач получаются от прибавления к номеру предыдущей задачи числа 20. Если две последние цифры номера зачетной книжки составляют число, большее чем 20, то номер пер- вой задачи будет равен номеру из двух последних цифр минус чис- ло, кратное 20. Например: Номер зачетной книжки Номера задач 301787/148 8, 28, 48 и т.д. 303797/121 14, 34, 54 и т.д. 301797/100 20, 40, 80 и т.д. 303797/106 6, 26, 46 и т.д. 4 1. ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ ПО РАБОТЕ НАД КУРСОМ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Основной формой обучения студента-заочника является само- стоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из сле- дующих этапов: изучение теоретического материала по учебникам, учебным посо- биям, конспектам лекций и т.д.; решение задач и упражнений, выполнение контрольных работ. В помощь заочникам Белорусский национальный технический университет организует чтение установочных лекций и проведение практических занятий. На кафедре высшей математики № 1 каждую субботу с 10.00 до 13.00 проводятся консультации. Кроме того, сту- дент может обращаться к преподавателю с вопросами для получе- ния письменной консультации. Указания студенту по текущей ра- боте даются также в процессе рецензирования контрольных работ. Завершающим этапом изучения отдельных частей курса высшей математики является сдача зачетов и экзаменов в соответствии с учебным планом. Работа с учебником 1. Изучая материал по учебнику, к следующему вопросу следует переходить только после правильного понимания предыдущего, производя самостоятельно на бумаге все вычисления (в том числе и те, которые ради краткости опущены в учебнике) и выполняя имею- щиеся в учебнике чертежи. 2. Особое внимание следует обращать на определение основных понятий. Студент должен подробно разбирать примеры, которые поясняют такие определения, и уметь строить аналогичные приме- ры самостоятельно. 3. Необходимо помнить, что каждая теорема состоит из предпо- ложений и утверждения. Все предположения должны обязательно использоваться в доказательстве. Нужно точно представлять то, в каком месте доказательства использовано каждое предположение теоремы. Полезно составлять схему доказательств теорем. Правиль- 5 ному пониманию многих теорем помогает разбор примеров матема- тических объектов, обладающих и не обладающих свойствами, ука- занными в предположениях и утверждениях теорем. 4. При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется вписывать определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т.д. На полях следует отмечать во- просы, выделенные студентом для получения письменной или уст- ной консультации преподавателя. 5. Процесс письменного оформления работы студента с учебни- ком имеет исключительно важное значение. Записи в конспекте должны быть сделаны чисто, аккуратно и расположены в опреде- ленном порядке. Хорошее внешнее оформление конспекта по изу- ченному материалу приучает студента к необходимому в работе порядку и позволяет ему избежать многочисленных ошибок, кото- рые происходят из-за небрежных, беспорядочных записей. 6. Выводы, полученные в виде формул, рекомендуется в конс- пекте подчеркивать или обводить рамкой (желательно чернилами другого цвета), чтобы при перечитывании конспекта они выделя- лись и лучше запоминались. Опыт показывает, что многим студен- там помогает в работе составление листа, содержащего важнейшие и наиболее часто употребляемые формулы курса. Такой лист не только помогает запомнить формулы, но и может служить постоян- ным справочником для студента. Список рекомендованной литературы приведен в конце методи- ческих указаний. Решение задач 1. Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь. 2. При решении задач нужно обосновать каждый этап решения, ис- ходя из теоретических положений курса. Если студент видит несколь- ко путей решения, то он должен сравнить их и выбрать самый лучший. До начала вычислений полезно составить краткий план решения. 3. Решения задач и примеров следует излагать подробно, вычис- ления располагать в строгом порядке, отделяя вспомогательные вы- числения от основных. Чертежи можно выполнять от руки, но акку- ратно и в соответствии с данными условиями. Если чертеж требует 6 особо тщательного выполнения (например, при графической про- верке решения, полученного путем вычислений), то следует пользо- ваться линейкой, транспортиром, лекалом и указывать масштаб. 4. Решение каждой задачи должно доводиться до ответа, требуе- мого условием, и, по возможности, в общем виде с выводом форму- лы. Затем в полученную формулу подставляют числовые значения (если они даны). В промежуточных вычислениях не следует вво- дить приближенные значения корней, числа π и т.д. 5. Полученный ответ следует проверять способами, вытекающи- ми из существа данной задачи. Если, например, решалась задача с конкретным физическим или геометрическим содержанием, то по- лезно прежде всего проверить размерность полученного ответа. По- лезно также, если возможно, решить задачу несколькими способами и сравнить полученные результаты. 6. Решение задач определенного типа нужно продолжать до при- обретения твердых навыков в их решении. Самопроверка 1. После изучения определенной темы по учебнику и решения достаточного количества соответствующих задач студенту реко- мендуется воспроизвести по памяти определения, выводы формул, формулировки и доказательства теорем. В случае необходимости надо еще раз внимательно разобраться в материале учебника, решить ряд задач. 2. Иногда недостаточность усвоения того или иного вопроса вы- ясняется только при изучении дальнейшего материала. В этом слу- чае надо вернуться назад и повторить плохо усвоенный раздел. 3. Важным критерием усвоения теории является умение решать задачи на пройденный материал. Однако здесь следует предосте- речь студента от весьма распространенной ошибки, заключающейся в том, что благополучное решение задач воспринимается им как признак усвоения теории. Часто правильное решение задачи полу- чается в результате применения механически заученных формул, без понимания существа дела. Можно сказать, что умение решать задачи является необходимым, но не достаточным условием хоро- шего знания теории. 7 Консультации 1. Если в процессе работы над изучением теоретического мате- риала или при решении задач у студента возникают вопросы, раз- решить которые самостоятельно не удается (неясность терминов, формулировок теорем, отдельных задач и др.), то он может обра- титься к преподавателю для получения от него письменной или устной консультации. 2. В своих запросах студент должен точно указать, в чем он ис- пытывает затруднение. Если он не разобрался в теоретических объ- яснениях, или в доказательстве теоремы, или в выводе формулы по учебнику, то нужно указать, какой это учебник, год его издания и страницу, где рассмотрен затрудняющий его вопрос, и что именно его затрудняет. Если студент испытывает затруднение при решении задачи, то следует указать характер этого затруднения, привести предполагаемый план решения. 3. За консультацией следует обращаться и при сомнении в пра- вильности ответов на вопросы для самопроверки. Контрольные работы 1. В процессе изучения курса математики студент должен выпол- нить ряд контрольных работ, главная цель которых – оказать сту- денту помощь в его работе. Рецензии на эти работы позволяют сту- денту судить о степени усвоения им соответствующего раздела кур- са; указывают на имеющиеся у него пробелы, на желательное направление дальнейшей работы; помогают сформулировать вопро- сы для постановки их перед преподавателем. 2. Не следует приступать к выполнению контрольной работы, не решив достаточного количества задач по материалу, соответствую- щему этому заданию. Опыт показывает, что чаще всего неумение решить ту или иную задачу контрольной работы вызывается тем, что студент не выполнил это требование. 3. Контрольная работа должна выполняться самостоятельно. Не- самостоятельно выполненная работа не дает возможности препода- вателю-рецензенту указать студенту на недостатки в его работе, в усвоении им учебного материала. 8 4. Прорецензированные контрольные работы вместе со всеми ис- правлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензен- та, следует сохранять. Без предъявления прорецензированных конт- рольных работ студент не допускается к сдаче зачета или экзамена. Лекции и практические занятия Во время экзаменационных сессий для студентов-заочников ор- ганизуются лекции и практические занятия. Они носят преимуще- ственно обзорный характер. Их цель – обратить внимание на общую схему построения соответствующего раздела курса, подчеркнуть важнейшие места, указать главные практические приложения тео- ретического материала, привести факты из истории науки, обратить внимание студента на место высшей математики в инженерном об- разовании. Кроме того, на этих занятиях могут быть более подроб- но рассмотрены отдельные вопросы программы, отсутствующие или недостаточно полно освещенные в рекомендуемых пособиях. Зачеты и экзамены На экзаменах и зачетах выясняется прежде всего усвоение всех теоретических и практических вопросов программы и умение при- менять полученные знания к решению практических задач. Опреде- ления, теоремы, правила должны формулироваться точно и с пони- манием существа дела; решение задач в простейших случаях долж- но выполняться без ошибок и уверенно; всякая письменная и гра- фическая работа должна быть сделана аккуратно и четко. 2. ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ При выполнении контрольных работ необходимо строго придер- живаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблю- дения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки. 1. Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдель- ной тетради в клетку чернилами любого цвета, кроме красного. Необходимо оставлять поля шириной 4–5 см для замечаний рецен- 9 зента. 2. В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр), название дисциплины, номер контрольной работы, номер варианта; здесь же следует указать название учебного заведения, дату отсыл- ки работы в университет и адрес студента. В конце работы следует поставить дату ее выполнения и подпись студента. 3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в за- дании, строго по положенному варианту. Контрольные работы, со- держащие не все задачи, а также задачи не своего варианта, не зачи- тываются. 4. Решения задач надо располагать в порядке возрастания их но- меров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач. 5. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие. В том случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачи своего варианта, имеют общую формулировку, сле- дует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкрет- ными, взятыми из соответствующего номера. Условие задачи должно быть написано так: Найти работу, произведенную силой )5,2,1( −F  , если ее точка приложения перемещается из точки )1,2,0(1M в точку )2,3,1(2M . Р е ш е н и е __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ Ответ: А = 10. 6. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, кратко и лаконично объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи. Каждую задачу желательно начинать с новой страницы. 7. После получения прорецензированной работы, как не зачтен- ной, так и зачтенной, студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты и выполнить все рекомендации 10 рецензента. Если рецензент предлагает внести в решение задач те или иные ис- правления и дополнения, то в случае не зачтенной контрольной рабо- ты ее следует представить на повторную рецензию в короткий срок. При повторном представлении работы должна обязательно нахо- диться прорецензированная работа и рецензия на нее. Поэтому при выполнении контрольной работы рекомендуется оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех дополнений и исправле- ний в соответствии с указаниями рецензента. 3. ПРОГРАММА 3.1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 1. Системы координат на прямой, плоскости и в пространстве. Про- странства 2R и 3R . Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы и длина вектора. Понятие о векторных диаграммах в науке и технике (диаграммы сил, моментов сил, электрических токов, напряжений и др.). Координаты центра масс. 2. Скалярное произведение векторов и его свойства. Длина век- тора и угол между двумя векторами в координатной форме. Усло- вие ортогональности двух векторов. Механический смысл скаляр- ного произведения. 3. Определители второго и третьего порядков, их свойства. Ал- гебраические дополнения и миноры. Определители n-го порядка. Вы- числение определителя разложением по строке (столбцу). 4. Векторное произведение двух векторов, его свойства. Условие коллинеарности двух векторов. Геометрический смысл определите- ля второго порядка. Простейшие приложения векторного произве- дения в науке и технике: моменты сил, сила, действующая на про- водник с током в магнитном поле, скорость точки вращающегося тела, направление распространения электромагнитных волн. 5. Смешанное произведение векторов. Геометрический смысл оп- ределителя третьего порядка. 6. Уравнения линий на плоскости. Различные формы уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до 11 прямой. 7. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, пара- бола, их геометрические свойства и уравнения. Технические прило- жения геометрических свойств кривых (использование фокальных свойств, математические модели формообразования биологических, технических и других объектов). 8. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между плос- костями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. 9. Уравнение поверхности в пространстве. Цилиндрические по- верхности. Сфера. Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Геомет- рические свойства этих поверхностей, исследование их формы ме- тодом сечений. Технические приложения геометрических свойств поверхностей (использование фокальных свойств, модели строитель- ных конструкций, физические модели элементов и т.п.). 10. Полярные координаты на плоскости. Спираль Архимеда. 11. Цилиндрические и сферические координаты в пространстве. Различные способы задания линий и поверхностей в пространстве. 12. Матрицы, действия с ними. Понятие обратной матрицы. 13. Системы двух и трех линейных уравнений. Матричная запись системы линейных уравнений. Правило Крамера. Система m линей- ных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса. Нахождение об- ратной матрицы методом Гаусса. 14. Пространство nR . Линейные операции над векторами. Различ- ные нормы в nR . Скалярное произведение в nR . 15. Линейные и квадратичные формы в nR . Условие знакоопре- деленности квадратичной формы. 16. Понятие линейного (векторного) пространства. Вектор как эле- мент линейного пространства. Примеры. Линейные операторы. При- меры линейных операторов. Применение линейных операторов для моделирования различных процессов. 3.2. Введение в математический анализ 17. Элементы математической логики: необходимое и достаточ- ное условия. Прямая и обратная теоремы. Символы математической логики, их использование. Бином Ньютона. Формулы сокращенного 12 умножения. 18. Множество действительных чисел. Функция. Область ее определения. Способы задания. Основные элементарные функции, их свойства и графики. 19. Числовые последовательности, их роль в вычислительных про- цессах. Предел числовой последовательности. Стабилизация десятич- ных знаков у членов последовательности, имеющей предел. Суще- ствование предела монотонной ограниченной последовательности. 20. Сложные и обратные функции, их графики. Класс элементар- ных функций. 21. Предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. Пределы монотонных функций. 22. Непрерывность функций в точке. Непрерывность основных эле- ментарных функций. 23. Бесконечно малые в точке функции, их свойства. Сравнение бесконечно малых. Символы о и О. 24. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существова- ние промежуточных значений. 3.3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 25. Понятие функции, дифференцируемой в точке, его геометри- ческий смысл. Дифференциал функции. Общее представление о ме- тодах линеаризации. 26. Производная функции, ее смысл в различных задачах. Пра- вила нахождения производной и дифференциала. 27. Производная сложной и обратной функции. Инвариантность формы дифференциала. Дифференцирование функций, заданных па- раметрически. 28. Точки экстремума функции. Теорема Ферма. 29. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши и их применение. 30. Производные и дифференциалы высших порядков. 31. Правило Лопиталя. 32. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и фор- ме Лагранжа. Представление функций xxxe x ,)1(),1ln(,sin, α++ 13 xc по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора. 3.4. Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения их графиков 33. Условия монотонности функции. Экстремумы функции, необ- ходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке. 34. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. 35. Асимптоты функций. Понятие об асимптотическом разложении. 36. Общая схема исследования функции и построения ее графика. 37. Понятие кривой. Примеры. Уравнение касательной к кривой в данной точке. 38. Кривизна плоской кривой. Радиус и центр кривизны кривой. Понятие об эволюте и эвольвенте. 39. Векторная функция скалярного аргумента. Предел, непрерыв- ность. Производная векторной функции. Ее геометрический и меха- нический смысл. Касательная прямая и нормальная плоскость к кривой. 4. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 4.1. Матрицы Прямоугольная таблица из чисел вида             = mnmm n n aaa aaa aaa A     21 22221 11211 , состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей размеров m × n. Матрица 1−A называется обратной к квадратной матрице А, если 14 EAAAA == −− 11 , где Е – единичная матрица. Для невырожденной матрицы 0det,,,2,1,),( ≠== AnjiaA ij  , где Adet – опреде- литель матрицы А, существует единственная обратная матрица             =− nnnn n n AAA AAA AAA A A     21 22212 12111 1 det 1 , где ijA – алгебраические дополнения элементов ija матрицы А. Если матрица А – вырожденная )0(det =A , то обратной к ней не существует. П р и м е р 4.1. Найти матрицу 1−A , обратную к матрице           − − = 221 432 011 A . Так как 010det ≠−=A , то A – невырожденная и 1−A суще- ствует. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A : 2)86(1 22 43 )1( 1111 −=−=−= +A ; .1,4,4 ,3,2,2 ,7,8,2 333231 232221 131211 =−=−= −=== −==−= AAA AAA AAA Следовательно, 15           −− − =           −− − −− −=− 1,03,07,0 4,02,08,0 4,02,02,0 137 428 422 10 11A . 4.2. Системы линейных уравнений. Матричный метод. Правило Крамера. Метод Гаусса Пусть задана система n линейных уравнений с n неизвестными вида        =+++ =+++ =+++ , ; ; 2211 22222121 11212111 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa     (4.1) или, в матричной форме А Х = В, где .;; 2 1 2 1 21 212221 121211             =             =             = nnnnnn b b b B x x x X aaa aaa aaa A      Рассмотрим некоторые методы решения системы (4.1). Формулы Крамера. Если система (4.1) невырождена, то она имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера: ,,,2,1, nix ii =∆ ∆ = где i∆ – определитель, получаемый из определителя ∆ заменой его i-го столбца на столбец В свободных членов. Матричный метод. Решение невырожденной системы (4.1) можно найти по формуле 16 BAX 1−= . Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса). С помощью элементарных преобразований над строками система m линейных уравнений с n неизвестными может быть приведена к виду            = = =++ =++++ =+++++ + ,0 ;0 ; 1 ;2 222222 111212111 m r rnrnrr nnrr nnrr d d dxcxc dxcxcxc dxcxcxcxc      , (4.2) где .),,,2,1(0 nrricii ≤=≠  Система (4.2) эквивалентна исходной системе. Если хотя бы одно из чисел mr dd ,,1 + отлично от нуля, то система (4.2), а следова- тельно, и исходная система несовместны. Если же === ++ ...21 rr dd ,0== m d то система совместна и из уравнений (4.2) выражают по- следовательно неизвестные 121 ,,,, xxxx rr − через nrr xxx ,,, 21 ++ . П р и м е р 4.2. Методом Гаусса решить систему      =−− −=+− =++ .023 ;2234 ;12532 321 321 321 xxx xxx xxx Р е ш е н и е . Расширенная матрица системы имеет вид 17 . 0213 22341 12532           −− −− Производя элементарные преобразования над строками расши- ренной матрицы, получаем [ ] [ ] [ ] , 101000 561110 22341 6611110 561110 22341 0223 12532 22341 0213 22341 12532 3 21           − − −− →           − − −− → →           −− −− →           −− −− где цифрами [ ] [ ] [ ]3,2,1 обозначены следующие операции: [ ]1 – первую и вторую строки поменяли местами; [ ]2 – ко второй строке прибавили первую, умноженную на (–2); к третьей прибави- ли первую, умноженную на (–3); [ ]3 – к третьей строке прибавили вторую, умноженную на (–1). Этой матрице соответствует система      =− =− −=+− .1010 ;5611 ;2234 3 32 321 x xx xxx Отсюда последовательно находим .1;3422 ;5 11 156;5611;1 10 10 1321 2323 =−+−= = − =+=−= − = xxxx xxxx Ответ: .1,5,1 321 −=== xxx 18 П р и м е р 4.3. Решить систему уравнений      =++ =−− =+− ,6 ;523 ;02 321 321 321 xxx xxx xxx используя формулы Крамера. Р е ш е н и е . Так как определитель данной системы ,07 111 123 112 ≠=−− − =∆ то матрица А невырождена и система имеет единственное решение. Находим определители :,, 321 ∆∆∆ .21 611 523 012 ;35 161 153 102 ;28 116 125 110 321 −=− − =∆=−=∆=−− − =∆ По формулам Крамера находим решение системы: .3 7 21,5 7 35,4 7 28 3 3 2 2 1 1 −= − = ∆ ∆ === ∆ ∆ === ∆ ∆ = xxx 4.3. Скалярное произведение векторов в R3 Скалярным произведением векторов a и b  называется число, обозначаемое ba  или ),( ba  и равное ,cos),( ϕ= baba  где ϕ – угол между a и b  . Свойства скалярного произведения: 19 1. );,(),( abba   = 2. ;),,(),( Rbaba ∈λλ=λ  3. );,(),(),( cbcacba   +=+ 4. .0),( baba  ⊥⇔= Свойство 4 выражает условие ортогональности векторов. Если векторы ),,( 111 zyxa  и ),,( 222 zyxb  представлены своими координатами в ортонормированном базисе kji  ,, , то скалярное про- изведение равно .),( 212121 zzyyxxba ++=  Из этой формулы и определения скалярного произведения следует: .),(),cos( 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 zyxzyx zzyyxx ba baba ++⋅++ ++ == Λ   Учитывая, что ,cosϕ= bbnpa   где ba  пр – проекция вектора b  на вектор a , а ,cosпр ϕ= aab  скалярное произведение векторов ba , можно записать в виде .),( bnpaanpbba ab   == П р и м е р 4.4. Даны векторы .7,33 kjbkjia  +−=+−= Найти ab пp . Р е ш е н и е . Поскольку ,),(пр b baab    = а векторы ba , заданы координатами в ортонормированном базисе, то .1071)1)(3(03),( =⋅+−−+⋅=ba  Поэтому 20 . 5 50 50 10 71 10 пр 22 == + =ab  Механический смысл скалярного произведения: работа А, про- изводимая силой ,F  точка приложения которой перемещается из точки 1M в точку ,2M вычисляется по формуле ).,( 21MMFA  = 4.4. Векторное произведение векторов Упорядоченная тройка некомпланарных векторов cba   ,, назы- вается правой, если при наблюдении из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки; в противном случае тройка называется левой (рис. 4.1). Рис. 4.1: а – тройка ),,( cba  правая; б – тройка ),,( cba  левая Векторным произведением вектора a на вектор b  называется вектор ,c удовлетворяющий условиям: 1) ϕϕ= ,sinbac  – угол между векторами a и b  ; 2) ;, acbc   ⊥⊥ 3) Упорядоченная тройка cba   ,, – правая. c a b  б a b  c a 21 Обозначение: [ ] .,, bacbac  ×== Свойства векторного произведения 1) [ ] [ ];,, abba  −= 2) [ ] [ ] [ ] ;,,,, Rbababa ∈λλ=λ=λ  3) [ ] [ ] [ ];,,, cbcacba  +=+ 4) [ ] baba  ||0, ⇔= – условие коллинеарности векторов. Если векторы ),,(),,,( 222111 zyxbzyxa  заданы своими коорди- натами в ортонормированном базисе kji  ,, , то [ ] ., 222 111 zyx zyx kji ba   = Площадь параллелограмма, построенного на векторах ,,ba  мож- но определить по формуле [ ] .,baS = П р и м е р 4.5. Найти площадь и длину высоты BD треугольни- ка с вершинами в точках А(1, –2, 8), В(0, 0, 4), С(6, 2, 0). Р е ш е н и е . Поскольку площадь S треугольника АВС равна BDACS 2 1 = , то AC SBD 2= . 22 Рис. 4.2 1. Находим координаты векторов ACAB, и длину AC векто- ра AC : ;845;42 kjiACkjiAB  −+=−+−= .105)8(45 222 =−++=AC 2. Находим S: [ ] [ ] [ ] .57;514)14()28(, .1428 845 421,;, 2 1 22 ==−+−= −−= − −−== SACAB kj kji ACABACABS   3. . 3 72 21 14 105 514 ===BD Механический смысл векторного произведения. Пусть точка А твердого тела закреплена, а в его точке В приложена сила F  . Тогда возникает вращательный момент M  (момент силы). По определе- A D C B 23 нию момент силы относительно точки А находится по формуле [ ]FABM  ,= . 4.5. Смешанное произведение векторов Смешанным произведением трех векторов cba   ,, называется чис- ло, получаемое следующим образом: векторное произведение [ ]ba , умножается скалярно на вектор .c Смешанное произведение векторов cba   ,, обозначается ).,,( cba   Таким образом, [ ] ).,,(),,( cbacba  = Если векторы cba   ,, заданы своими координатами в ортонормиро- ванном базисе, то .),,( 333 222 111 zyx zyx zyx cba =  Объем параллелепипеда V, построенного на векторах ,,, cba   можно вычислить по формуле .),,( cbaV   = Для того чтобы три вектора cba   ,, были компланарны, необходимо и достаточно, что- бы .0),,( =cba   П р и м е р 4.6. Вычислить объем треугольной пирамиды с вер- шинами А(0, 0, 1), В(2, 3, 5), С(6, 2, 3), D(3, 7, 2). Р е ш е н и е . Рассмотрим три вектора kjiADkjiACkjiAB  ++=++=++= 73;226;432 (рис. 4.3). Можно показать, что объем пирамиды АВСD равен шестой части объема параллелепипеда, построенного на векторах .,, ADACAB 24 Рис. 4.3 Тогда ),,( 6 1 ADACABV = , а так как ,120 173 226 432 ),,( ==ADACAB то .20120 6 1 ==V 4.6. Прямая на плоскости. Плоскость 1. Прямая на плоскости. В декартовой прямоугольной системе координат Оxy прямая на плоскости может быть задана уравнениями: – общее уравнение прямой Ax + By + C = 0; (4.3) – уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0) перпен- дикулярно нормальному вектору 0),( ≠= BAn : A(x – x0) + B(y – y0) = 0; – уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0) парал- лельно направляющему вектору ),( nmS  (каноническое уравнение прямой): C A B D 25 ;00 n yy m xx − = − – параметрические уравнения прямой );( , ; 0 0 +∞−∞∈    += += t ntyy mtxx ; – уравнение прямой в отрезках .1=+ b y a x Здесь a и b – величины отрезков, отсекаемых на осях координат Ox и Oy (т.е. длины, взятые с соответствующими знаками); – уравнение прямой, проходящей через две данные точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2): ; 12 1 12 1 yy yy xx xx − − = − − – уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку M0(x0, y0): y – y0 = k(x – x0). Расстояние ),( 0 lMρ от точки M0(x0, y0) до прямой l, заданной уравнением (4.3), определяется по формуле 22 00 0 ),( BA CByAx lM + ++ =ρ . (4.4) Две прямые, заданные уравнениями A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + + B2y + C2 = 0, параллельны, если 2 1 2 1 2 1 C C B B A A ≠= , и перпендику- 26 лярны, если A1A2 + B1B2 = 0. П р и м е р 4.7. Составить уравнение прямой на плоскости, про- ходящей через точку М(–1, 2) перпендикулярно вектору, проходя- щему через точки М1(3, 1) и М2(4, –2). Найти расстояние от точки М до прямой, проходящей через точки М1 и М2. Р е ш е н и е . Уравнение прямой запишем в виде: A(x – x0) + B(y – y0) = 0, где x0, y0 – координаты точки М, а А и В – координаты нормального вектора. Так как )3,1(21 −== MMn  , то уравнение имеет вид 1(x + 1) – – 3(y – 2) = 0 или x – 3y + 7 = 0. Для нахождения расстояния от точки М до прямой М1М2 запи- шем уравнение этой прямой в виде , 12 1 12 1 yy yy xx xx − − = − − т.е. 3 1 1 3 − = − yx , или 3x + y – 10 = 0. Подставляя в формулу (4.4) координаты x0 = –1, y0 = 2 точки М, получаем 10 11 13 1021)1(3 ),( 22 = + −⋅+− =ρ lM . 2. Плоскость. Плоскость в прямоугольной системе координат мо- жет быть задана уравнениями: Ax + By + Cz + D = 0 – общее уравнение плоскости. (4.5) Если в уравнении (4.5) отсутствует свободный член D, то плос- кость проходит через начало координат; если в уравнении (4.5) от- сутствует одна из переменных, то плоскость параллельна той оси, название которой не входит в это уравнение; 27 A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 – уравнение плоскости, проходящей через точку М0(x0, y0, z0) перпен- дикулярно нормальному вектору 0),,(  ≠CBAn ; 1=++ c z b y a x – уравнение плоскости в отрезках, где а, b, c – величина отрезков, отсекаемых плоскостью на коорди- натных осях; – уравнение плоскости, проходящей через три данные точки M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3): .0 131313 121212 111 = −−− −−− −−− zzyyxx zzyyxx zzyyxx (4.6) Величина угла φ между двумя плоскостями A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + C2z +D2 = 0 вычисляется по формуле . )( cos 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 21 2,1 CBACBA CCBBAA nn nn ++⋅++ ++ = ⋅ =ϕ   Условие перпендикулярности данных плоскостей запишется в виде 0),( 21 =nn  или .0212121 =++ CCBBAA Условие параллельности рассматриваемых плоскостей имеет вид . 2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A ≠== Расстояние ),( 0 αρ M от точки M0(x0, y0, z0) до плоскости α , за- данной уравнением (4.5), вычисляется по формуле 28 .),( 222 000 0 CBA DCzByAx M ++ +++ =αρ П р и м е р 4.8. Cоставить уравнение плоскости, проходящей че- рез точки М1(1, 0, –1), М2(2, –3, 0), М3(4, 7, 1). Р е ш е н и е . Воспользуемся формулой (4.6): 0 )1(10714 )1(00312 )1(01 = −−−− −−−−− −−−− zyx или .0 273 131 11 =− +− zyx Раскрыв определитель, получаем искомое уравнение плоскости: 13x – y – 16z – 29 = 0. 4.7. Линии второго порядка Линией второго порядка называется множество точек плоскости, координаты x, y которых в прямоугольной системе координат удо- влетворяют уравнению второй степени Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0. (4.7) Уравнение (4.7) называется общим уравнением линии второго порядка (А, В, С не равны нулю одновременно). При помощи преобразования прямоугольной системы координат (параллельного переноса и поворота) всегда можно найти такую но- вую прямоугольную систему координат, в которой уравнение (4.7) имеет один из следующих трех видов (каноническое уравнение): ;12 2 2 2 =+ b y a x (4.8) 29 ;12 2 2 2 =− b y a x (4.9) pyxpxy 2,2 22 == , (4.10) где a, b, p – положительные числа. Уравнение (4.7) может опреде- лять так называемую вырожденную кривую (пустое множество, точ- ку, прямую, пару прямых). При этом линия, приводимая к виду (4.8), (4.9), (4.10), называется соответственно эллипсом, гиперболой или параболой. Эллипс с каноническим уравнением ba b y a x >>=+ ,0,0,12 2 2 2 ba > , имеет форму, изображенную на рис. 4.4. 12 2 2 2 =+ b y a x 1A 2A 2F 0 1F 2B 1B x a b y Рис. 4.4 Точки F2(–с, 0) и F1(с, 0), где ,22 bac −= называются фокуса- ми эллипса. Числа а и b называются полуосями эллипса. Гипербола с каноническим уравнением 0,0,12 2 2 2 >>=− ba b y a x имеет форму, изображенную на рис. 4.5. 30 Рис. 4.5 Гипербола имеет две оси симметрии (координатные оси), с одной из которых (осью абсцисс) она пересекается в двух точках А1(а, 0), А2(–а, 0), называемых вершинами гиперболы. Числа a и b – полуоси гиперболы: а – действительная полуось, b – мнимая. Точки F2(–c, 0) и F1(c, 0), где 22 bac += , называются фокусами гиперболы. Парабола с каноническим уравнением ,0,22 >= ppxy имеет форму, изображенную на рис. 4.6. 2 p Д ир ек тр ис а       0, 2 pF y x pxy 22 = M О x F1 y 12 2 2 2 =− b y a x b a 0 F2 A2 A1 31 Рис. 4.6 Число p называется параметром параболы, точка О – ее верши- ной, а ось Оx – осью параболы, вектор FM – фокальный радиус- вектор точки М. Прямая 2 px −= называется директрисой параболы. П р и м е р 4.9. Упростить уравнение ,013101252 22 =++−+ yxyx пользуясь переносом начала координат. Построить линию, опреде- ляемую этим уравнением. Р е ш е н и е . Выделим полные квадраты по переменным x и y со- ответственно. ( ) ( ) ;0132562 22 =+++− yyxx ( ) ( ) ;013512518962 22 =+−+++−+− yyxx ( ) ( ) ;101532 22 =++− yx ( ) ( ) .1 2 1 5 3 22 = + + − yx Обозначая х – 3 = X, y + 1 = Y, получим каноническое уравнение эллипса .1 25 22 =+ YX Начало новой системы координат – точка О1(3, –1); оси ОX, ОY параллельны осям Оx и Оy соответственно. Большая полуось эллипса 5=a , малая полуось .2=b Изобра- зим кривую на рис. 4.7. 32 x X Y y 2 5 –1 01 0 3 1 2 )1( 5 )3( 22 = + + − yx 1 25 22 =+ YX Рис. 4.7 4.8. Поверхности второго порядка Поверхностью второго порядка называется множество точек про- странства, координаты x, y, z которых в прямоугольной системе ко- ординат удовлетворяют уравнению второй степени: .0222 =+++++++++ RKzHyGxFyzExzDxyCzByAx (4.11) Уравнение (4.11) называется общим уравнением поверхности второго порядка (коэффициенты A, B, C, D, E, F не равны нулю од- новременно). Если поверхность невырожденная, то при помощи преобразования прямоугольных координат (параллельного переноса и поворота) всегда можно найти такую новую систему координат, в которой уравнение (4.11) имеет один из следующих видов (канони- ческое уравнение): 12 2 2 2 2 2 =++ c z b y a x – эллипсоид; (4.12) 12 2 2 2 2 2 =−+ c z b y a x – однополостный гиперболоид; (4.13) 12 2 2 2 2 2 −=−+ c z b y a x – двухполостный гиперболоид; (4.14) 33 02 2 2 2 2 2 =−+ c z b y a x – конус; (4.15) z b y a x =+ 2 2 2 2 – эллиптический параболоид; (4.16) z b y a x =− 2 2 2 2 – гиперболический параболоид; (4.17) 12 2 2 2 =+ b y a x – эллиптический цилиндр; (4.18) 12 2 2 2 =− b y a x – гиперболический цилиндр; (4.19) pxy 22 = – параболический цилиндр. (4.20) В уравнениях (4.12)–(4.20) a, b, c, p положительны. П р и м е р 4.10. Построить тело, ограниченное поверхностями ,4222 =++ zyx .322 zyx =+ Р е ш е н и е . Тело ограничено снизу поверхностью параболоида: tt eyex 32 ; == , а сверху – поверхностью сферы .4222 =++ zyx Тело изображено на рис. 4.8. 34 y 2 –2 x 0 z Рис. 4.8 П р и м е р 4.11. Построить тело, ограниченное поверхностями .3,3),0,0(0,0,1 94 22 −==≥≥===+ yyzxzxzx Р е ш е н и е . Поверхность 1 94 22 =+ yx – эллиптический цилиндр. Он пересечен плоскостями х = 0, z = 0 (координатные плоскости Ozy и Оxy). По оси Оy тело ограничено плоскостями y = 3, y = –3 (рис. 4.9). 35 –3 0 3 y x 3 2 z Рис. 4.9 5. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 5.1. Предел числовой последовательности. Предел функции Число а называется пределом числовой последовательности (хn), если для любого числа ε > 0 существует такой номер N(ε), что при всех n > N выполняется неравенство .ε<− axn Обозначение предела функции axax nn n →= ∞→ ;lim при .∞→n Число А называется пределом функции f(x) в точке x0, если для любого числа ε > 0 существует такое число δ(ε) > 0, что при всех х, удовлетворяющих условию ,, 00 xxxx ≠δ<− выполняется нера- венство .)( ε<− Axf Обозначение предела функции .)(lim 0 Axf xx = → Если функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при 0xx → , то справедливы теоремы о пределах: 1. );(lim)(lim))()((lim 000 xgxfxgxf xxxxxx →→→ ±=± 36 2. );(lim)(lim))()((lim 000 xgxfxgxf xxxxxx →→→ ⋅=⋅ 3. )(lim )(lim )( )(lim 0 0 0 xg xf xg xf xx xx xx → → → = (если 0)(lim 0 ≠ → xg xx ). Решение многих задач основано на следующих замечательных пределах: ( ) ,1lim,11lim;1sinlim /1 00 exe xx x x x x xx =+=      += →∞→→ где е = 2,71828… П р и м е р ы . Найти пределы: 1. .1 1 3 2 1 3 2 lim 3 3 3 2 3 3 3 2 lim 32 32lim −= −      +      = − + = − + ∞→∞→∞→ n n n n n n n n n n n nnn nn n 2. ( )( ) ( )( ) ( ) . 5 2 3 1lim 32 12lim 6 23lim 222 23 2 −= − + = −+ ++ = −− ++ −→−→−→ x xx xx xxx xx xxx xxx 3. . 8 5 128 325 lim 128 325 lim 128 325lim 3 3 33 2 3 3 33 2 3 3 23 23 = −+ +− = −+ +− = −+ +− ∞→∞→∞→ xx xx xx x x x xx x x x xx xx xxx 4. .0 11 lim )11( )11)(11(lim11lim 202 22 0 2 0 = ++ = ++ ++−+ = −+ →→→ x x xx xx x x xxx 37 5. ( ) . 6 1 5 11 5 11 5 1 lim 5 11 25 1 5 1lim 1 = +              −− =      −++− ∞→ − ∞→ n nn n n  6. ( )( ) ( )( ) =++− +− = − −++ =      − − − →→→ 213 2 131 11 21lim 1 31lim 1 3 1 1lim xxx xx x xx xx nnx .1 1 2lim 21 −= ++ + −= → xx x n 7. =     +−−−− ∞→ 3712lim 22 xxxx x = +−+−−      +−+−−     +−−−− = ∞→ 3712 37123712 lim 22 2222 xxxx xxxxxxxx x = +−+−− − = +−+−− −+−−− = ∞→∞→ 3712 45lim 3712 3712lim 2222 22 xxxx x xxxx xxxx xx . 2 5 371121 45 lim 22 = +−+−− − = ∞→ xxxx x x 8. 7 3 7 7 7sin 3 3 3sin lim 7sin 3sinlim 00 = ⋅      ⋅      = →→ x x x x x x xx . 38 9. 3 1 /)sin(arc2 /)(arctg2lim sinarc2 arctg2lim 00 = + − = + − →→ xx xx xx xx xx , так как [ ] 1 sin limarcsinarcsinlim 00 ==== →→ y yyx x x yx и .1 x arctgxlim 0 = →x 10. =       − π − =           → π → =− π =       − π − →π→ 202 2 2 sin1 lim 0; 2 2 2 sin1lim y y yx yx x x yx . 2 1 2 1 2 12 2 2 2 sin 2 2 2 sin2 limcos1lim 020 =⋅⋅=⋅= − = →→ y y y y y y yy 11. =      + +=      + ++ =      + + ∞→∞→∞→ x x x x x x xx x x x 3 21lim 3 23lim 3 5lim ×                 + +=      + += + ∞→ − + ∞→ 2 2 332 2 3 3 21lim 3 21lim x x x x xx .1 3 21lim 232 3 ee xx =⋅=      + +× − − ∞→ 12. ( ) =         +=→→ +==− = − → yaxyx yaya x a xxx x 1lnln0,0 1,11lim 0 ( ) ( ) ,ln1lnlimln1ln lnlim 00 a y ya y ay yy = + ⋅= + = →→ так как 39 ( ) ( ) ( ) .1 ln 1 1limln 1 1ln 1lim 1ln1 1lim /1/100 == + = + = + ∞→ →→ eyyy y y y yyy 5.2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции Сравнение бесконечно малых. Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация Функция )(xα называется бесконечно малой при 0xx → , если 0)(lim 0 =α → x xx . Пусть )(xα и )(xβ – бесконечно малые при 0xx → и существует предел их отношения c x x xx = β α → )( )(lim 0 . Если ,0≠c ∞≠c , то )(xα и )(xβ называются бесконечно малыми одного порядка малости. Обозначение )(β=α O при 0xx → . Если с = 1, то )(xα и )(xβ называются эквивалентными бесконечно малыми (обозначение: )(~)( xx βα при 0xx → ). Если с = 0, то )(xα назы- вается бесконечно малой высшего порядка, чем )(xβ (обозначение ))(()( xox β=α при 0xx → ). При нахождении предела отношения двух бесконечно малых функций каждую из них можно заменить эквивалентной ей беско- нечно малой, т.е. если )(~)(),(~)( 11 xxxx ββαα при 0xx → , то )( )(lim )( )(lim 1 1 00 x x x x xxxx β α = β α →→ . П р и м е р 5.1. Найти )21arcsin( 14lim 2 2 1 x x x − − → . Р е ш е н и е . При 2 1 →x функции xx 21)( −=α и =β )(x )21arcsin( x−= являются эквивалентными бесконечно малыми. По- этому 40 ( ) .2)12(lim 21 )12)(12(lim )21arcsin( 14lim 2 1 2 1 2 2 1 −=+−= − +− = − − →→→ x x xx x x xxx Функция )(xf называется бесконечно большой при 0xx → , ес- ли для любого положительного числа М существует такое число 0>δ , что при всех х, удовлетворяющих условию ,0 δ<− xx 0xx ≠ , выполняется неравенство Mxf >)( . Обозначение ∞= → )(lim 0 xf xx . Функция )(xf называется непрерывной в точке 0x , если: 1) функция )(xf определена в точке 0x и ее окрестности; 2) существует конечный предел функции )(xf в точке 0x ; 3) этот предел равен значению функции в точке 0x , т.е. ).()(lim 0 xfxf xx = → На практике часто используют другое определение непрерывно- сти функции в точке, равносильное данному. Функция )(xf называется непрерывной в точке 0x , если выпол- няются условия: 1) функция )(xf определена в точке 0x и ее окрестности; 2) существуют конечные односторонние пределы )0()(lim 0 00 −= −→ xfxf xx и )0()(lim 0 00 += +→ xfxf xx ; 3) эти пределы равны между собой и равны значению функции в точке 0x . 41 Укажем основные свойства непрерывных функций. 1. Простейшие элементарные функции ( ,cos,sin,,, xxaxC xα xxx,x,xx arcctg,arctgarccosarcsin,ctg,tg ) непрерывны во всех точках, где они определены. 2. Если функции )(xf и )(xg непрерывны в точке 0x , то и функции 0)(( )( )(),()(),()( 0 ≠⋅± xgxg xfxgxfxgxf непрерывны в точке 0x . 3. Если )(xu ϕ= непрерывна в точке 0x , а )(ufy = непрерыв- на в точке )( 00 xu ϕ= , то сложная функция ))(( xfy ϕ= непрерыв- на в точке 0x . 4. Если функция )(xfy = непрерывна на отрезке [ ]ba; и воз- растает (или убывает) на этом отрезке, то обратная функция )(1 yfx −= на соответствующем отрезке оси OY существует и яв- ляется также непрерывной возрастающей (убывающей) функцией. Точка 0x , в которой не выполняется хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, называется точкой разрыва функции. Если в точке 0x существуют конечные односторонние пределы )0()(lim),0()(lim 0 0 0 0 00 +=−= +→−→ xfxfxfxf xxxx , такие что ≠− )0( 0xf )0( 0 +≠ xf , то 0x называется точкой разрыва первого рода. Если хотя бы один из пределов )0(),0( 00 +− xfxf не существует или равен бесконечности, то точка 0x называется точкой разрыва второго рода. Если )0()0( 00 +=− xfxf , но функция в точке 0x не опреде- лена или если )(xf в точке 0x определена, но )(lim)( 0 0 xfxf xx→ ≠ , то 0x называется точкой устранимого разрыва. 42 П р и м е р 5.2. Найти точки разрыва функции x exf x 1)( −= и определить их вид. Р е ш е н и е . Так как функции 1−xe и x непрерывны, то не- прерывным будет и их отношение x ex 1− во всех точках, кроме точки 0=x . При )(0 xfx = не определена, следовательно, раз- рывна. Так как 11lim 0 = − → x ex x (см. п. 5.1 пример 12), то 0=x – точ- ка устранимого разрыва. Если положить 1)0( =f , то функция     = ≠ − =ϕ 0при1 ;0при)1()( x x x e x x будет непрерывной при всех x . П р и м е р 5.3. Установить вид точек разрыва функции      >− <<+ ≤<∞−+ = .3при6 ;30при1 ;0при1 )( 2 xx xx xx xf Р е ш е н и е . Область определения функции )(xf – вся число- вая ось );( ∞+−∞ . Разрывы возможны только в точках 0=x и 3=x , в которых изменяется аналитическое задание функции. Найдем односторонние пределы в точке 0=x и значение функции в этой точке: .1)0(,1)(lim;1)1(lim)(lim 00 2 0000 ===+= +→−→−→ fxfxxf xxx Следовательно, в точке 0=x функция непрерывна. 43 Рассмотрим точку 3=x : .3)6(lim)(lim;4)1(lim)(lim 03030303 =−==+= +→+→−→−→ xxfxxf xxxx Так как эти пределы конечны но не равны между собой, то х = 3 – точка разрыва первого рода. График функции f(x) изображен на рис. 5.1. –3 –2 –1 3 1 2 6 4 5 7 x 8 –4 f(x) 1 2 3 4 Рис. 5.1 П р и м е р 5.4. Установить вид точек разрыва функции .)( 1 1 += xexf Р е ш е н и е . Данная функция непрерывна всюду, кроме точки х = –1, в которой f(x) не определена. Поскольку 0lim)(lim 1 1 0101 == + −−→−−→ x xx exf (т.к. −∞→ +1 1 x при 01−−→x ), +∞== + +−→+−→ 1 1 0101 lim)(lim x xx exf (т.к. +∞→ +1 1 x при 01+−→x ), т.е. правосторонний предел бесконечен, то х = –1 – точка разрыва второго рода. 44 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 6.1. Дифференцирование функций Производной функции y = f(x) в точке х называется предел от- ношения приращения функции к приращению аргумента, когда при- ращение аргумента стремится к нулю: ,lim)(' 0 x yxf x ∆ ∆ = →∆ где ).()( xfxxfy −∆+=∆ Производная обозначается у', y'(x), y'x. Правила дифференцирования функций. Пусть С – постоянная, а u(x) и v(x) – дифференцируемые функции. Тогда C' = 0, ).0('' ,')'(,'')'(,'')'( 2 ' ≠ − =      =+=⋅+=+ v v uvvu v u CuCuuvvuvuvuvu Производная сложной функции y = f(u(x)). Если функция u = u(x) дифференцируема в точке х, а функция y = f(u) дифференцируемая в соответствующей точке u = u(x), то сложная функция y = f(u(x)) дифференцируема в точке х и ее производная равна ).(')(')(' xuufxy u ⋅= Таблица производных. 1. ;0,')'( 1 ≠α⋅α= −αα uuu 2. ;ln')'( auaa uu ⋅⋅= 3. ;')'( uee uu ⋅= 45 4. ; ln ')'(log au uua ⋅ = 5. ;')'(ln u uu = 6. ;'cos)'(sin uuu ⋅= 7. ;'sin)'(cos uuu ⋅−= 8. ( ; cos ')'tg 2 u uu = 9. ; sin ')'(ctg 2 u uu −= 10. ; 1 ')'(arccos)'(arcsin 2u uuu − =−= 11. ; 1 ')'(arcctg)'(arctg 2u uuu + =−= 12. ;'ch)'(sh uuu ⋅= 13. ;'sh)'(ch uuu ⋅= 14. . sh ')'(cth; ch ')'(th 22 u uu u uu −== Функция ),;(),( baxxfy ∈= неявно задана уравнением ),,( yxF если для всех );( bax∈ выполняется равенство .0))(,( =xfxF Для вычисления производной функции, заданной неявно, следу- ет тождество 0))(,( =xfxF продифференцировать по х (рассмат- ривая левую часть как сложную функцию от х), а затем полученное уравнение решить относительно f'(x). П р и м е р 6.1. Найти производную показательно-степенной функции x x y 211       += . 46 Р е ш е н и е . Логарифмируя, а затем дифференцируя левую и правую части, получим ;11ln2ln       += x xy                − + +      += ′ 2 1 11 111ln2 x x x xy y Умножая обе части равенства на у, имеем: . 1 111ln112 2       + −      +⋅      +=′ xxx y x П р и м е р 6.2. Найти производную функции )(xfy = , задан- ной неявно уравнением 0552 222 =−++− yxyxx . Р е ш е н и е . Дифференцируя по х тождество 5)(2 222 ++− xxyxx 05)( =−+ xy , получим 05442 22 =′++′−− yyyxxyx . Выражая y′ из этого равенства, находим: yx xxyy 2 2 41 524 − −− =′ . Дифференциал dy функции )(xfy = равен произведению ее про- изводной на приращение x∆ независимой переменной: xxfdy ∆′= )( или dxxfdy )(′= . При достаточно малых x∆ имеет место приближенная формула dyy ≈∆ , т.е. xxfxfxxf ∆′≈−∆+ )()()( или xxfxfxxf ∆′+≈∆+ )()()( . 47 П р и м е р 6.3. Найти приближенное значение объема шара, ра- диус которого равен 1,02 м. Р е ш е н и е . Воспользуемся формулой 3 3 4)( rrVV π== . Тогда 24 rV π=′ . Полагая 02,0,1 =∆= rr , получим =′+≈ 02,0)1()1()02,1( VVV 43,402,04 3 4 ≈π+π= м3. 6.2. Производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцирование функций, заданных параметрически Производной второго порядка функции )(xfy = называется производная от ее производной )(xfy ′=′ , т.е. )(2 2 ′′==′′ y dx ydy . Аналогично определяются производные более высоких порядков )(,,)( )1()( ′=′′′=′′′ −nn yyyy  . Дифференциалы высших порядков функции )(xfy = (x – неза- висимая переменная) вычисляются по формулам nnn dxyyddxyyd )(,,)( )(22 =′′=  . Если функция )(xyy = задана параметрически соотношениями )(),( tyytxx == , причем 0)( ≠′ tx , то ее первая xy′ и вторая xxy ′′ производные находятся по формулам: 3)( )()(, t tttttt t tt t t tx xxxx t t x x yxxy x x y x yyy x yy ′ ′′′−′′′ = ′ ′       ′ ′ = ′ ′′ =′′=′′ ′ ′ =′ . П р и м е р 6.4. Найти выражение для производной n-го порядка функции x y 1= . 48 Р е ш е н и е . 1 )( 432 !)1(,,!332;2;1 4 +−=−= ⋅ −=′′′=′′−=′ n nn x ny xx y x y x y  . П р и м е р 6.5. Найти производную 2-го порядка от функции )(xyy = , заданной неявно уравнением       =+ x y eyx arctg 22 . Р е ш е н и е . По правилу дифференцирования функции, задан- ной неявно, получаем: 22 arctg 22 )( yx yxye yx yyx x y + −′ = + ′+ . Отсюда, используя равенство 22 arctg yxe x y += , имеем: 2222 yx yxy yx yyx + −′ = + ′+ или yxyyyx −′=′+ . Следовательно, yx yxy − + =′ . Дифференцируя последнее равенство и используя найденное для y′ выражение, получим: . )( )(2 )( )(2 )( 22 )( )()( ))(1())(1( 3 22 222 22 yx yx yx y yx yxx yx yyx yx yy yx yxyxyyyxyx yx yxyyxyy − + = − − − + = − −′ = − ′ + + − ′+−−′−′+− = − +′−−−′+ =′′ 49 П р и м е р 6.6. Найти производную 2-го порядка функции, за- данной параметрически: ).;0(,,ln 2 +∞∈== ttxty Р е ш е н и е . , 2 1,2,1 2tx yytx t y t t xtt =′ ′ =′=′=′ . 2 1 2 1 2 2 1 )( 4 32 tt t t t x yy t t tx xx −= − = ′      = ′ ′′ =′′ П р и м е р 6.7. Найти дифференциалы 1-го, 2-го, …, n-го поряд- ков функции 3)32( −= xy . Р е ш е н и е . ,)32(62)32(3 22 dxxdxxdy −=−= ,))(32(24)(2)32(12 222 dxxdxxyd −=−= .0,,0)(0,)(48 433 ==== yddxdydxyd n 6.3. Приложение теорем Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя 1. Теорема Ролля. Если функция ( )xf непрерывна на отрезке [ ]ba; , дифференцируема на интервале ( )ba; и ( ) ( )bfaf = , то су- ществует хотя бы одна точка ( )ba;∈ξ такая, что ( ) 0=ξ′f . 2. Теорема Лагранжа. Если функция ( )xf непрерывна на от- резке [ ]ba; и дифференцируема на интервале ( )ba; , то существует точка ( )ba;∈ξ такая, что ( ) ( ) ( )( )abfafbf −ξ′=− (формула Ла- гранжа). 50 3. Теорема Коши. Если функции ( )xf и ( )xg непрерывны на отрезке [ ]ba; , дифференцируемы на интервале ( )ba; и ( ) ( )baxxg ;,0 ∈∀≠′ , то существует точка ( )ba;∈ξ такая, что ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ξ′ ξ′ = − − g f agbg afbf (формула Коши). П р и м е р 6.8. Доказать, что уравнение 08153 5 =−+ xx имеет только один действительный корень. Р е ш е н и е . Поскольку функция ( ) =xf 8153 5 −+ xx непре- рывна и на концах отрезка [ ]1;0 принимает значение разных знаков ( ) ( )( )01,00 >< ff , то по первой теореме Больцано–Коши на ин- тервале ( )1;0 уравнение ( ) 0=xf имеет корень. Предположим, от противного, что это уравнение имеет два действительных корня ( ) ( ) 0,, ==== bfafbxax . Тогда по теореме Ролля на интервале ( )ba; существовала бы точка ξ , в которой ( ) 0=ξ′f . Но ( ) 01515 4 ≠+=′ xxf при дей- ствительных x . Полученное противоречие доказывает, что дей- ствительный корень – единственный. П р и м е р 6.9. Используя формулу Лагранжа, доказать неравен- ство 1212 sinsin xxxx −≤− . Р е ш е н и е . Функция ( ) xxf sin= удовлетворяет условиям тео- ремы Лагранжа на любом отрезке [ ] ( ) xxfxx cos;; 21 =′ . Поэтому ( )1212 cossinsin xxxx −⋅ξ=− . Отсюда, учитывая, что 1cos ≤ξ , имеем 121212 cossinsin xxxxxx −≤−ξ=− . П р и м е р 6.10. Написать формулу Коши и найти значение ξ для функций ( ) ( ) xxgxxf cos,sin == на отрезке     π 2 ;0 . 51 Р е ш е н и е . Все условия теоремы Коши выполнены: ( )       π∈≠−=′ 2 ;0,0sin xxxg . Поэтому . 4 ,ctg1; sin cos 0cos 2 cos 0sin 2 sin π −=ξξ=− ξ− ξ = − π − π Правило Лопиталя (раскрытие неопределенностей 0 0 и ∞ ∞ ). Пусть ( )0xU  – окрестность точки 0x с выброшенной точки 0x . Т е о р е м а . Пусть функции ( )xf и ( )xg дифференцируемы на ( )0xU  ; ( ) ( )0,0 xUxxg  ∈≠′ . Если ( ) 0lim 0 = − xf xx и ( ) 0lim 0 =ϕ → x xx (или ( ) ∞= → xf xx 0 lim и ( ) ∞=ϕ → x xx 0 lim ), то ( )( ) ( ) ( )xg xf xg xf xxxx ′ ′ = →→ 00 limlim при условии, что сущест- вует предел отношения производных. З а м е ч а н и я : 1. Аналогичная теорема справедлива и в случае ∞=0x . 2. Если частное ( ) ( )xgxf ′′ / в точке 0x также есть неопределен- ность вида 0 0 или ∞ ∞ и производные ( )xf ′ и ( )xg′ удовлетворяют соответствующим условиям, то можно перейти к отношению вто- рых производных и т.д. 3. Неопределенности вида ∞⋅0 или ∞−∞ алгебраическими пре- образованиями функции приводятся к неопределенности вида 0 0 или ∞ ∞ , и далее применяется правило Лопиталя. 52 4. В случае неопределенности вида 00 , или 0∞ , или ∞1 следует прологарифмировать функцию и предварительно найти предел ее логарифма. П р и м е р 6.11. .1 1 1 3cos32cos2lim 0 0 arcsin 3sin2sinlim 2 00 −= − − =     = − →→ x xx x xx xx П р и м е р 6.12. ==      ∞ ∞ ==      ∞ ∞ = +∞→+∞→+∞→ 3ln3 6lim 3ln3 3lim 3 lim 2 23 xxxxx x x xx .0 3ln3 6lim 3 ==     ∞ ∞ = +∞→ xx П р и м е р 6.13. ( ) ( ) ( ) =    = − +− =∞−∞=      − − →→ 0 0 ln1 1lnlim ln 1 1 1lim 11 xx xx xx xx . 2 1 11ln 1lim 1ln 1lim1ln 11 lim 111 −= ++ − = −+ − = − + − = →→→ xxxx x x x х x xxx П р и м е р 6.14. 2 1 0 sinlim x x x x       → . Здесь неопределенность вида ∞1 . Обозначим 21sin x x xy      = . Логарифмируя и применяя правило Ло- питаля, получим 53 ( ) ( ) =     ==⋅∞=     = →→→ 0 0)/ln(sinlim0sinln1limlnlim 20200 x xx x x x y xxx = − = − ⋅ = →→ 30 2 0 sincoslim 2 1 2 sincos sinlim x xxx x x xxx x x xx 6 1 3 cossincoslim 2 1 20 −= −− = → x xxxx x (здесь дважды использован предел 1sinlim 0 = → x x x ). Поскольку ( ) 6 1lnlim 0 −= → y x , то 6 11 00 2sinlimlim − →→ =     = e x xy x xx . 6.4. Формула Тейлора и ее приложения Если функция ( )xf дифференцируема ( )1+n раз в окрестности ( )0xU  точки 0x , то для любого ( )0xUx  ∈ имеет место формула Тейлора n-го порядка ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +−′′+−′+= 200000 !2!1 xx xfxxxfxfxf ( )( ) ( ) ( ), ! ... 00 xRxxn xf n n n +−++ где ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 10,!1 1 0 00 1 <θ<−⋅ + −θ+ = + + n n n xxn xxxfxR – остаточ- ный член в форме Лагранжа. 54 Приведем разложения некоторых функций по формуле Тейлора при 0=x : ( ) ( ) ( ) 1 32 !1 , !!3!2!1 1 + θ + =++++++= n x nn n x x n exRxR n xxxxe  ; ( ) ( ) ( )xRn xxxxx n n n 2 12 1 53 !12 1 !5!3!1 sin + − −+−+−= − + ; ( ) ( ) ( ) ( )!12cos1 12 2 + θ−= + n xxxR n n n ; ( ) ( ) ( )xRn xxxx n n 12 42 !2 1 !4!2 1cos ++−+++−=  ; ( ) ( ) ( ) ( ) !22cos1 22 1 12 + ⋅θ−= + + + n xxxR n n n ; ( ) ( ) ( )xR n xxxxx n n n +−+−+−=+ +1 32 1 32 1ln  ; ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 11 1 + + θ+⋅+ −= n n n n xn xxR ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xRx n nxxx n n + +−α−αα ++ −αα + α +=+ α ! 11 !2 1 !1 11 2  ; ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 11 1 !1 21 −−α+ θ+ + −α⋅⋅−α−αα = nnn xxn nxR  ; .10 <θ< Остаточный член формулы Тейлора может быть представлен в форме Пеано: ( ) ( )nn xxxR 00 −= при 0xx → . 55 П р и м е р 6.15. Разложить многочлен ( ) 9132 24 ++−= xxxxf по степеням двучлена .2+x Р е ш е н и е . Поскольку ( )xf – многочлен 4-й степени, то ( )( ) 05 =xf и формула Тейлора при 20 −=x имеет вид ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++−′′++−′+−= 22 !2 22 !1 22 xfxffxf ( ) ( ) ( ) ( )43 2 !4 22 !3 2 + − ++ −′′′ + xfxf IV . Подставляя в эту формулу значения ( ) ,92 −=−f ( ) ( ) ,1113442 23 0 −=+−=−′ −=xxxf ( ) ( ) ,444122 22 0 =−=−′′ −=xxf ( ) 48242 20 −==−′′′ −=xxf , ( ) ,242 =− IVf получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .2282222119 43 +++−+++−−= xxxxxf П р и м е р 6.16. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции ( ) xxf 10= в точке .00 =x Р е ш е н и е . Имеем ( ) ( ) ( ) ( ) ;10ln10;10ln10;10ln10;10 32 xxxx xfxfxfxf =′′′=′′=′= ( )( ) ( ) ( ) ( ) ,10ln0,10ln0;10;10ln10 24 =′′=′== fffxf xIV ( ) ( )( ) .10ln10,10ln0 43 ⋅=θ=′′′ θxIV xff По формуле Тейлора получаем ( ) .10, !4 10ln10 !3 10ln !2 10ln10ln110 4 4 3 3 2 2 <θ< ⋅ ++++= θ xxxx x x 56 П р и м е р 6.17. Вывести приближенную формулу 6 sin 3xxx −≈ и оценить ее точность при .05,0 (или )()( 0xfxf < ), то точка 0x называется точкой минимума (максимума) функции )(xfy = . Точки миниму- ма и максимума функции называются ее точками экстремума. Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Если 0x – точка экстремума функции )(xf , то 0)( 0 =′ xf или )(xf ′ не существует ( 0x – критическая точка этой функции). Теорема 2 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция )(xf дифференцируема в некоторой окрестности ;( 0 δ−x )0 δ+x критической точки 0x , за исключением, быть может, самой этой точки. Если при этом в интервалах );( 00 xx δ− и );( 00 δ+xx 59 производная )(xf имеет противоположные знаки, то 0x – точка экст- ремума, причем если 0)( >′ xf при );( 00 xxx δ−∈ и 0)( <′ xf при );( 00 δ+∈ xxx , то 0x – точка максимума. Если же )(xf ′ при );( 00 xx δ− и );( 00 δ+xx сохраняет знак, то точка 0x не является точкой экстремума. Теорема 3 (второе достаточное условие экстремума). Пусть )(xf дважды дифференцируема и 0)( 0 =′ xf . Если 0)( 0 <′′ xf , то 0x – точка максимума функции )(xf , если 0)( 0 >′′ xf , то 0x – точка минимума. Если же 0)( 0 =′′ xf , то требуются дополнитель- ные исследования. Если на интервале (a; b) всякая касательная располагается выше (ниже) дуги кривой, то график дифференцируемой функции на этом интервале называется выпуклым (вогнутым). Если 0)( >′′ xf на интервале (a; b), то график функции является вогнутым на этом интервале; если же 0)( <′′ xf , то график функ- ции – выпуклый на (a; b). Точка ))(,( 00 xfx , при переходе через которую направление вы- пуклости графика функции меняется на противоположное, называ- ется точкой перегиба. Теорема 4 (необходимое условие точки перегиба). Если 0x – абсцисса точки перегиба графика функции )(xfy = , то 0)( 0 =′′ xf или )( 0xf ′′ не существует. Теорема 5 (достаточное условие точки перегиба). Пусть функ- ция )(xf дважды дифференцируема в некоторой окрестности );( 00 δ+δ−∈ xxx точки 0x , в которой 0)( 0 =′′ xf или )( 0xf ′′ не существует. Если при этом в интервалах );( 00 xx δ− и );( 00 δ+xx вторая производная )(xf ′′ имеет противоположные знаки, то ))(;( 00 xfx – точка перегиба. Прямая l называется асимптотой графика функции )(xfy = , ес- ли расстояние от точки М(x, f(x)) графика функции до прямой l 60 стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат. Для существования вертикальной асимптоты х = а необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из односторонних пределов )(lim 0 xf ax ±→ был равен бесконечности. Для существования наклонной асимптоты bkxy += необходи- мо и достаточно существование двух пределов bkxxfk x xf x x x =−= ±∞→ −∞→ +∞→ ))((lim,)(lim или . П р и м е р 7.1. Для функции 4 2 12 x xy −= найти интервалы воз- растания и убывания и точки экстремума. Р е ш е н и е . Находя производную 5 2)1(4 x xy −=′ и приравни- вая ее нулю, получаем 1,1 21 =−= xx и 03 =x (при х = 0 )(xf ′ не существует). Эти точки разбивают область определения функции на интервалы монотонности. Результаты исследования удобно пред- ставить в виде таблицы. х )1;( −−∞ –1 (–1; 0) 0 (0; 1) 1 ( ∞+;1 ) )(xf ′ + 0 – Не сущ. + 0 – )(xf ↑ 1 ↓ Не сущ. ↑ 1 ↓ Следовательно, )0;1()1;( −∪−−∞ – интервалы возрастания функции; );1()0;1( ∞+∪− – интервалы убывания функции; ,1−=x 1=x – точки максимума. Точек минимума нет. 61 П р и м е р 7.2. Для графика функции 3 226 xxy −= найти ин- тервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба. Р е ш е н и е . Находим вторую производную )6( 8 4 xx y − − =′′ . Критическими точками второй производной являются точки =1x 0 и =2x 6 ( в этих точках )(xy ′′ не существует). Они разбивают об- ласть определения функции на три интервала, на которых сохраня- ется направление выпуклости или вогнутости. Результаты исследо- вания удобно представить в виде таблицы. х )0;(−∞ 0 (0; 6) 6 ( ∞+;6 ) )(xf ′′ – Не сущ. – Не сущ. + )(xf ∩ 0 ∩ 0 ∪ Таким образом, )6;0()0;( ∪−∞ – интервалы выпуклости графи- ка функции; );6( ∞+ – интервал вогнутости графика функции; (6, 0) – точка перегиба. П р и м е р 7.3. Найти асимптоты графика функции 2 3 )1(2 − = x xy . Р е ш е н и е . Прямая х = 1 является вертикальной асимптотой, так как ∞= −±→ 2 3 01 )1(2 lim x x x . Наклонную асимптоту ищем в виде bkxy += , , 2 1 )1(2 lim)(lim 2 2 = − == ∞→∞→ x x x xfk xx 62 где =        − − =−= ∞→∞→ x x xxkxfb xx 2 1 )1(2 lim)()((lim 2 3 .1 )1(2 2lim )1(2 )1(lim 2 2 2 23 = − − = − −− = ∞→∞→ x xx x xxx xx Поэтому прямая 1 2 1 += xy – наклонная асимптота. 7.2. Исследование функций и построение их графиков Исследование функций и построение их графиков удобно выпол- нять по следующей схеме. 1. Найти область определения функции. 2. Выяснить, является ли функция четной, нечетной, периодиче- ской. 3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва. 4. Найти асимптоты графика функции. 5. Установить интервалы монотонности функции. Найти точки экстремума функции, вычислить значения функции в этих точках. 6. Определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба. 7. Используя результаты проведенного исследования, построить график функции. При необходимости уточнения отдельных участ- ков кривой можно вычислить координаты нескольких дополни- тельных точек (в частности, координаты точек пересечения графика с осями координат). П р и м е р 7.4. Исследовать функцию 2 3 4 2 х х у − = и построить ее график. Функция определена и непрерывна на всей оси, кроме точек 2±=x . Функция нечетная, так как )()( xyxy −=− , ее график симметри- чен относительно начала координат, поэтому достаточно исследо- 63 вать функцию для 0>x . Прямые х = – 2 и х = 2 являются вер- тикальными асимптотами, поскольку ∞= ±→ y x 2 lim . Найдем наклон- ные асимптоты bkxy += : 2 4 2lim)(lim 2 2 −= − == ∞→∞→ x x x xfk xx ; 0 4 282lim2 4 2lim))((lim 2 33 2 2 = − −+ =        + − =−= ∞→∞→∞→ x xxxx x xkxxfb xxx . Следовательно, xy 2−= – наклонная асимптота. Производная функции 22 22 22 322 )4( )12(2 )4( )2()4(32 x xx x xxxxy − − = − −−− =′ обращается в нуль при 0=x и 32±=x . Вторая производная 32 2 42 24223 )4( )12(16 )4( )2)(4(2)12()4)(424(2 x xx x xxxxxxxy − + = − −−⋅−−−− =′′ обращается в нуль при 0=x . Составим таблицу х 0 (0; 2) 2 (2; 32 ) 32 ( ∞+;32 ) y′ 0 + Не сущ. + 0 – y ′′ 0 + Не сущ. – – – у 0 ↑∪ Не сущ. ↑∪ 36− ∩↓ Следовательно, 32=x – точка максимума, 36)32(max == yy . В силу нечетности имеем: 32−=x – точка минимума 36min −=y . Поскольку 0<′′y при )0;2(−∈x и 0>′′y при )2;0(∈x , то х = 0 – абсцисса точки перегиба, 0(0;0) – точка перегиба. 64 Используя полученные данные, строим график функции (рис. 7.1). Рис. 7.1 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 1 – 20. Решить системы по формулам Крамера, матричным спо- собом и методом Гаусса. 1.      =++ =+− =−+ .83 ,2232 ,22 321 321 321 xxx xxx xxx 2.      =−− =−+ =−+ .637 ,21432 ,6 321 321 321 xxx xxx xxx 3.      =−+ =−+ =++ .043 ,432 ,632 321 321 321 xxx xxx xxx 4.      −=−+ =+− =+− .742 ,1053 ,11532 321 321 321 xxx xxx xxx –1 –2 1 2 0 x y 65 5.      =−− −=+− =++ .023 ,2234 ,12532 321 321 321 xxx xxx xxx 6.      =++ =+ =+ .023 ,1 ,32 321 21 21 xxx xx xx 7.      −=− =++ =−+ .1 ,72 ,1224 32 321 321 xx xxx xxx 8.      =−+ =++ =−+ .2343 ,522 ,432 321 321 321 xxx xxx xxx 9.      −=+ −=−− −=− .2 ,22 ,12 32 321 21 xx xxx xx 10.      =+ −=− =−+ .1 ,643 ,02 31 32 321 xx xx xxx 11.      =+− −=−+− =++ .10543 ,5332 ,82 321 321 321 xxx xxx xxx 12.      −=++ −=++ −=−− .2 ,5343 632 321 321 321 xxx xxx xxx 13.      −=+ −=−+ =− .5 ,22 ,02 32 321 21 xx xxx xx 14.      =++ −=−− =++ .0 ,1342 ,8243 321 321 321 xxx xxx xxx 15.      =++ =+− =−+ .132 ,9232 ,785 321 321 321 xxx xxx xxx 16.      =−+ =−− −=+ .13243 ,52 ,63 321 321 32 xxx xxx xx 17.      =+ =−+ =− .0 ,12 ,02 32 321 21 xx xxx xx 18.      =+− =++ =+− .053 ,21325 ,452 321 321 321 xxx xxx xxx 66 19.      −=− =++ =−+ .3 ,82 ,024 32 321 321 xx xxx xxx 20.      =++ =++ =++ .3432 ,525 ,8243 321 321 321 xxx xxx xxx 21 – 40. Даны вершины треугольника А, В, С. Найти уравнение и длину высоты, опущенной из вершины В. 21. ).1,4(),2,0(),3,1( −− СBA 22. ).0,3(),4,2(),2,0( CBA 23. ).0,5(),4,3(),1,1( −− CBA 24. ).2,3(),0,3(),4,1( −CBA 25. ).1,2(),1,3(),1,1( CBA − 26. ).2,3(),5,1(),1,1( −− CBA 27. ).1,2(),2,1(),4,3( −− CBA 28. ).6,5(),9,8(),6,4( −− CBA 29. ).16,6(),8,6(),4,2( −−− СBA 30. ).3,1(),3,2(),1,2( −− CBA 31. ).1,1(),7,3(),3,1( −CBA 32. ).3,1(),3,2(),1,2( −− CBA 33. ).2,3(),3,2(),1,2( −− CВA 34. ).1,3(),2,5(),0,1( −CBA 35. ).1,1(),1,2(),3,0( CBA −−− 36. ).5,2(),4,1(),2,3( CBA −− 37. ).0,4(),4,2(),2,0( CBA 38. ).1,1(),1,3(),5,1( −−CВA 39. ).1,1(),1,2(),3,2( −−CВA 40. ).1,1(),1,3(),5,1( −−CBA 41 – 60. Найти угол (в градусах) между плоскостью 01632 =+−+ zyx и плоскостью, проходящей через точки М1, М2, М3. 41. ).1,1,2(),4,0,1(),1,2,1( 321 −−−− MMM 42. ).1,1,1(),1,2,0(),4,3,1( 321 −−−− MMM 43. ).1,1,0(),3,1,2(), 2 1,2,1( 321 −−−− MMM 67 44. ).3,0,4(),2,1,4(),3,2,1( 321 MMM −− 45. ).2,2,2(),1,6,0(),3,1,1( 321 −−− MMM 46. ).1,2,3(),0,1,2(),4,1,1( 321 MMM − 47. ).7,2,1(),0,1,1(),3,1,2( 321 −− MMM 48. ).4,1,0(),9,1,1(),10,3,2( 321 −−−−− MMM 49. ).1,1,1(),4,0,0(),3,1,2( 321 MMM 50. ).1,1,1(),2,0,0(),1,0,1( 321 MMM 51. ).3,1,4(),1,0,2(),9,2,2( 321 −−− MMM 52. ).0,0,1(),2,4,4(),1,3,2( 321 MMM −− 53. ).5,0,1(),2,3,2(),5,2,1( 321 −−− MMM 54. ).1,4,0(),10,3,2(),1,2,1( 321 MMM −− 55. ).2,0,15(),1,3,6(),0,2,1( 321 −− MMM 56. ).0,5,2(),2,1,0(),4,3,1( 321 MMM 57. ).7,1,4(),12,2,1(),5,3,2( 321 −−− MMM 58. ).3,0,2(),1,4,2(),3,2,1( 321 −MMM 59. ).2,2,1(),2,4,5(),1,1,1( 321 −−−− MMM 60. ).2,0,2(),1,1,4(),2,1,3( 321 MMM −−− 68 61 – 80. Упростить уравнение кривой и изобразить ее на рисунке. 61. .020282 =+++ yxx 62. .07822 22 =++−+ yxyx 63. .02010422 =+−++ yxyx 64. .0100364094 22 =+−−+ yxyx 65. .01282 2 =+−+ yxx 66. .0109325449 22 =+−−+ yxyx 67. .0111564 22 =−++− yxyx 68. .01849 22 =−+ xyx 69. .3864 22 =+−+ yxyx 70. .05040109 22 =−++ yyx 71. .14122 2 +−= yyx 72. .022 22 =++ xyx 73. .0222 22 =+− xyx 74. .242 xyy =+ 75. .0151843 22 =++− xyx 76. .01582 =++− yxx 77. .09183095 2 =++−+ yxyx 78. .01276454169 22 =−−−− yxyx 79. .0752 =+−− yxx 80. .0784 2 =+−+ yxx 69 81 – 100. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопи- таля. 81. а) 127 6lim 2 2 3 ++ −+ −→ xx xx x ; б) 273 125lim 23 2 −+ ++ ∞→ xx xx x ; в) xx x x sin cos1lim 0 − → ; г) 2 3 1lim + ∞→       − − x x x x . 82. а) 23 62lim 2 2 2 +− −− → xx xx x ; б) 345 128lim 3 34 ++ +− ∞→ xx xx x ; в) 2 cos1lim x x x − ∞→ ; г) x x x x − → − 1 0 )41(lim . 83. а) 253 45lim 2 2 1 ++ −+ −→ xx xx x ; б) 143 1245lim 26 5 +− −+ ∞→ xx xx x ; в) 2 2 0 coscoslim x xx x − → ; г) 2 23 43lim + ∞→       + + x x x x . 84. а) 23 752lim 2 2 1 −− −+ → xx xx x ; б) 122 65lim 4 23 −− −+ ∞→ xx xx x ; в) xx x x tg 2cos1lim 0 − → ; г) x x x x       − + ∞→ 2 3lim . 85. а) 143 23lim 2 2 1 ++ ++ −→ xx xx x ; б) 547 18lim 25 4 ++ +− ∞→ xx xx x ; в) 2 3 0 coscoslim x xx x − → ; г) 3 14 54lim + ∞→       − + x x x x . 86. а) 2 102lim 2 2 2 −− −+ → xx xx x ; б) 15 562lim 2 3 −− −− ∞→ xx xx x ; в) 2 2 0 2 tg lim x x x→ ; г) 2 1 1lim 2 2 x x x x         − + ∞→ . 70 87. а) 1 2 23lim 2 2 − +− → x xx x ; б) 22 33 )1()2( )1()1(lim +++ −−+ ∞→ xx xx x ; в) x x x 4cos1 8cos1lim 0 − − → ; г) x x x x 2 23 23lim       + − ∞→ . 88. а) 20 492lim 2 2 4 −+ +− → xx xx x ; б) 364 132lim 36 24 −+ +− ∞→ xx xx x ; в) x xx x 2sin 2ctglim 23 0→ ; г) x x x 1 0 )21(lim + → . 89. а) 1092 107lim 2 2 2 ++ ++ −→ xx xx x ; б) 364 352lim 36 24 −+ −+ ∞→ xx xx x ; в) x x x 2cos1 6cos1lim 0 − − → ; г) x x x x       + − ∞→ 12 12lim . 90. а) 12 2lim 2 2 1 −− −+ → xx xx x ; б) 5 62 68 454lim xx xx x +− −+ ∞→ ; в) 3 sin lim 2 2 0 x x x→ ; г) 12 2 1lim − ∞→       − + x x x x . 91. а) 6 103lim 3 2 2 −− −− → xx xx x ; б) 132 324lim 26 45 −+ +− ∞→ xx xx x ; в) 20 11 3coscoslim x xx x −− − → ; г) x a x x 1lim 2 0 − → . 92. а) 20113 20lim 2 2 5 −− −+ → xx xx x ; б) 53 135lim 3 2 −+ +− ∞→ xx xx x ; в) xx x x 4tg2 8cos1lim 0 − → ; г) x e x x 1lim 3 0 − → . 71 93. а) 932 2154lim 2 2 3 −− −− → xx xx x ; б) 7424 1511lim 4 25 +− −− ∞→ xx xx x ; в) xxx x 3ctgsinlim 0 ⋅ → ; г) x x x 2ctg2 0 )tg31(lim + → . 94. а) 252 273lim 2 2 2 ++ ++ −→ xx xx x ; б) 143 557lim 34 356 +− +−+ ∞→ xx xxx x ; в) xx x x 2sin3 4cos1lim 0 − → ; г) x ee xx x sin2sin 0 lim − → . 95. а) 1572 152lim 2 2 5 −+ −+ −→ xx xx x ; б) 2 2 241 532lim xx xx x ++ −− ∞→ ; в) 3 3 0 2sinlim x x x→ ; г) ))12ln()12)(ln(2(lim −−++ ∞→ xxx x . 96. а) 12 2lim 2 23 1 +− −+ → xx xxx x ; б) 3 2 631 332lim xx xx x +− +−+ ∞→ ; в) 20 3cos1lim x x x − → ; г). ))1ln()2)(ln(32(lim −−−− ∞→ xxx x . 97. а) 123 32lim 2 2 1 −− −+ → xx xx x ; б) 2 52lim 2 23 −+ −+ ∞→ xx xx x ; в) xx x x 2tg2 4cos1lim 0 − → ; г). ))23ln()13)(ln(12(lim −−++ ∞→ xxx x . 98. а) 1 2lim 3 2 1 + −− −→ x xx x ; б) 1cos cos3coslim 0 − − → x xx x ; в) 1cos cos3coslim 0 − − → x xx x ; г). ))35ln()32)(ln(4(lim xxx x −−−− ∞→ . 99. а) 54 592lim 2 2 5 −− −− → xx xx x ; б) 13 lim 24 3 +− + ∞→ xx xx x ; в) xx xx x 2sin 2sintglim 2 2 0 − → ; г). ))12ln()42)(ln(52(lim +−+− ∞→ xxx x . 72 100. а) 1252 4495lim 2 2 4 −+ −+ −→ xx xx x ; б) 25 123lim 2 3 +− +− ∞→ xx xx x ; в) 2 2 0 2 sin lim x x x→ ; г). ))42ln()32)(ln(2(lim −−++ ∞→ xxx x . 101 – 120. Исследовать данные функции на непрерывность и указать вид точек разрыва; в условии б дополнительно построить график функции. 101. а) 2 )1ln()( x xxf += ; б)       ≥− << ≤<∞−− = .4при3 ;41при2 ;1при1 )( 2 xx x x xx xf 102. а) x xf 1arctg)( = ; б)         π > π << ≤<∞− = . 6 при 2 1 ; 6 0приsin ;0при )( 2 x xx xx xf 103. а) 2 1 3)( −= xxf ; б)      >− ≤<− ≤< = .3при3 ;31при1 ;10приln )( 2 xx xx xx xf 104. а) xe xf −− = 11 1)( ; б)         π≥+ π<< ππ π << = .при2sin ; 4 при 2 ; 4 0приtg )( xx x x xx xf 73 105. а) 12 12)( 1 1 + − = x x xf ; б)      >− ≤< <<∞−+ = .2при6 ;20при3 ;0при1 )( xx x xx xf x 106. а) 2 2 )( − − = x x xf ; б)        >+ ≤<+ ≤< = .2при42 ;21при2 ;10при2 )( 2 x x xx xx xf 107. а) 3 2 23)( xx xxxf − +− = ; б)       >− ≤< ≤<∞−+ = .4при2 ;41при2 ;1при1 )( 2 xx x x xx xf 108. а) 21 2 1 1)( xx xf − − − = ; б)      >+ ≤<− ≤<∞−+ = .4при3 ;43при73 ;3при1 )( xx xx xx xf 109. а) xx xxxf 2 65)( 2 2 − +− = ; б)      >− ≤<− ≤ = .3при5 ;30при1 ;0приcos )( 2 xx xx xx xf 110. а) 34 )3sin()( 2 +− − = xx xxf ; б)         π > π π ≤≤ < = . 4 при 4 ; 4 0приtg ;0при0 )( xx xx x xf 111. а) 24 2)( x xf − = ; б)      π> π<< ≤ = .приsin ;0при ;0при3 )( xx xx x xf 74 112. а) 24 1 )( −= xexf ; б)      >− ≤< ≤− = .2при2 ;21при ;1при1 )( xx xx x xf 113. а) 1 1 )( − − = x x xf ; б)      ≥ <<+ ≤ = .1при ;10при1 ;0при )( xx xx xe xf x 114. а) 4 2)( + + = x xxf ; б)      ≥− << ≤ = .1при2 ;10при1 ;0при0 )( xx x x xf 115. а) 3 1 2)( + − = xxf ; б)      >+ ≤< ≤ = .1при1 ;10при ;0при )( 2 2 xx xx xx xf 116. а) xx xxf 3 2)( 2 + + = ; б)      > ≤< ≤ = .1при ;10при1 ;0при0 )( xx x x xf 117. а) 9 3)( 2 − = x xf ; б)      ≥− << ≤ = .1при1 ;10при ;0приsin )( 2 xx xx xx xf 118. а) xxf − − = 4 1 4)( ; б)      >− ≤< ≤ = .1при1 ;10при1 ;0приcos )( xx x xx xf 119. а) 34 2)( 2 +− + = xx xxf ; б)      >− ≤<− ≤ = .1при2 ;10при2 ;0при0 )( xx x x xf 75 120. а) x xxf − − = 2 )2sin()( ; б)      >− ≤< ≤ = .2при1 ;21при ;1при1 )( 2 xx xx x xf 121 – 140. Найти производные первого и второго порядков от функ- ций, заданных параметрически: 121. .1 3 1;2 32 −=+= tytx 122. .1;arcsin 2tytx −== 123. .3;2 tbyatx ⋅== 124. .sin;cos tytx == 125. .)cos1(;)sin( tayttax −=−= 126. .sin;cos 32 taytax == 127. .1;ln 2 −== tytx 128. .)1ln(;arcsin 2tytx −== 129. .sin;cos tatytatx ⋅=⋅= 130. .;arccos 2ttytx −== 131. .tg; cos 1 ty t x == 132. .)1ln(;arctg 2tytx +== 133. .sin;cos 33 taytax == 76 134. .coscos;sinsin RttRyRttRx +=+= 135. .)1ln(;22 +=+= tyttx 136. .;1 tt etyex α−α +α=+= 137. .cossin;sincos tttytttx −=+= 138. .sin;cos2 tytx == 139. .; 32 ttytx +== 140. .3;2 ett yex == 141 – 160. Написать формулу Тейлора третьего порядка с остаточ- ным членом в форме Лагранжа для заданной функции в точке 0x . 141. .1, 0 2 −=xxe x 142. .0,)( 2 1 0 =+ − xee xx 143. .0,)( 2 0 =+ − xeea a x a x 144. .0),sin1ln( 0 =+ xx 145. .1, 0 −=xe x 146. .0),45ln( 0 =− xx 147. .0,4 0 =x x 148. .0,3 0 =x x 149. .4, 0 =xx 150. .1, 1 0 =xx 151. 1,23 0 2610 =++− xxxx 152. .0, 0 15 =− xe x 153. .0, 8 1 0 =+ x x 154. .3, 2 1 0 −=+ x x 77 155. .0,cos 0 =xxx 156. .0,arcsin 0 =xx 157. .2, 1 0 = − x x x 158. .1,ln 0 3 =xxx 159. .0, 0 sin =xe x 160. .1,ln 0 =xx 161-180. Исследовать функцию и построить ее график. 161. .1 2 2 x xy −= 162. . 1 1 2 2 + − = x xy 163. . 1 2 3 x xy − = 164. . )1( 3x xy + = 165. . 1 2 − = x xy 166. . 1 4 3 3 x xy − = 167. .14 2 x xy += 168. .54 3 x xy += 169. . 1 2 x xy − = 170. . 12 3 − = x xy 171. . 13 4 − = x xy 172. . 1 2 4 x xy − = 173. . )1(2 2 3 x xy + = 174. . 41 42 2 2 x xy − − = 175. . 42 3 − = x xy 176. . 2 23 x xy += 177. .2 2 3 x xy += 178. . )2( 2 3 − = x xy 179. . 4 4 2x xy + = 180. .12 4 x xy += 78 Литература 1. Математика: сборник заданий для аудиторной и самостоя- тельной работы студентов инженерно-технических специальностей втузов: в 2 ч. / А.Н. Андриянчик [и др.]: – Минск: БНТУ, 2005. – Ч. 1. 2. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Р.Ф. Апатенок [и др.]. – Минск: Вышэйшая школа, 1986. 3. Гусак, А.А. Высшая математика: в 2 т. / А.А. Гусак. – Минск: Изд-во БГУ, 1978, 1983. – Т. 1, 2. 4. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 1986. – Ч. 1, 2. 5. Жевняк, Р.М. Высшая математика: в 2 ч. / Р.М. Жевняк, А.А. Карпук. – Минск: Вышэйшая школа, 1984, 1985. – Ч. 1, 2. 6. Клетеник, Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии / Д.В. Клетеник. – М.: Наука, 1986. 7. Кудрявцев, Л.Д. Краткий курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев. – М.: Наука, 1989. 8. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисле- ние для втузов: в 3 т. / Н.С. Пискунов. – М.: Наука, 1985. – Т. 1–3. 9. Сухая, Т.А. Задачи по высшей математике: учебное пособие: в 2 ч. / Т.А. Сухая. – Минск: Вышэйшая школа, 1993. 10. Высшая математика для инженеров / С.А. Минюк [и др.] / под ред. Н.А. Микулика. – Минск: Элайда, 2007. – Т. 1, 2. 11. Индивидуальные задания по высшей математике: в 4 ч. / под ред. А.П. Рябушко. – Минск: Вышэйшая школа, 2004. 79 С о д е р ж а н и е В в е д е н и е. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1. ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ ПО РАБОТЕ НАД КУРСОМ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ. . . 4 2. ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3. ПРОГРАММА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.2. Введение в математический анализ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.4. Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения их графиков. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.1. Матрицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.2. Системы линейных уравнений. Матричный метод. Правило Крамера. Метод Гаусса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.3. Скалярное произведение векторов в 3R . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.4. Векторное произведение векторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.5. Смешанное произведение векторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.6. Прямая на плоскости. Плоскость. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.7. Линии второго порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.8. Поверхности второго порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. . . . . . . . . . . 34 5.1. Предел числовой последовательности. Предел функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых. Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация. . . . . . . . . . 38 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6.1. Дифференцирование функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6.2. Производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцирование функций, заданных параметрически. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.3. Приложение теорем Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.4. Формула Тейлора и ее приложения. . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 7. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЯ ИХ ГРАФИКОВ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 7.1. Исследование функций на экстремум. Выпуклость и вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты. . . . . . 57 7.2. Исследование функций и построение их графиков. . . . . 61 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Л и т е р а т у р а. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Учебное издание ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания и контрольная работа № 1 для студентов-заочников машиностроительных специальностей Составители: АНДРИЯНЧИК Анатолий Николаевич МИКУЛИК Николай Александрович ЮРИНОК Виктор Иванович Редактор Т.Н. Микулик Компьютерная верстка Н.А. Школьниковой Подписано в печать 19.02.2010. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 4,65. Уч.-изд. л. 3,64. Тираж 700. Заказ 145. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. ЛИ 02330/0494349 от 16.03.2009. Проспект Независимости, 65. 220013, Минск.