Министерство образования 
Республики Беларусь 
БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ 
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
Кафедра «Высшая математика № 3» 
В.И. Брошевская 
Е Л . Брошевская 
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ 
ИНТЕГРАЛ 
Учебно-методическое пособие 
Минск 
Б И Т У 
2 0 1 1 
Министерство образования Республики Беларусь 
БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ 
УНИВЕРСИТЕТ 
Кафедра «Высшая математика № 3» 
В.И. Брошевская 
Е.Л. Брошевская 
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ 
ИНТЕГРАЛ 
Учебно-методическое пособие 
по дисциплине «Математика» 
для студентов строительных специальностей 
Рекомендовано учебно-методическим объединением 
высших учебных заведений Республики Беларусь 
по образованию в области горнодобывающей промышленности 
Минск 
БИТУ 
2 0 1 1 
УДК 519.644.2(075:^, 
Е 78 
Рецензенты: 
М.В. Дубатовская, Т.Н. Жоровина 
Брошевская, В.И. 
Е 78 Определенный интеграл: учебно-методическое пособие по дисцип-
лине «Математика» для студентов строительных специальностей / 
В.И. Ерошевская, Е.Л. Брошевская. - Минск: БИТУ, 2011. - 119 с. 
ISBN 978-985-525-538-4. 
Учебно-методическое пособие имеет целью помочь студентам 
в их самостоятельной работе при изучении темы «Определенный 
интеграл». 
Первая часть содержит теоретический материал по теме «Опре-
деленный интеграл». Теоретические выкладки снабжены примерами. 
Во второй части содержится набор заданий для каждого практи-
ческого занятия. В соответствии с учебным планом и рабочей учеб-
ной программой по курсу математики подборка заданий разбита на 6 
занятий. 
В третьей части приведен дидактический материал (30 вариан-
тов) для самопроверки усвоения студентами темы «Определенный 
интеграл». 
Автор частей 1 , 3 - Ерошевская E.JL, 2 - Ерошевская В.И. 
УДК 519.644.2(075.8) 
ББК 22.1я7 
ISBN 978-985-525-538-4 © Ерошевская В.И., 
Ерошевская Е.Л., 2011 
© БИТУ, 2011 
1. Определенный интеграл 
1.1. Задачи, приводящие к понятию 
определенного интеграла 
Многие задачи физики, механики, геометрии и других 
отраслей знания приводят к важным понятиям математи-
ческого анализа - понятиям интегральной суммы и опре-
деленного интеграла (ОИ). 
Рассмотрим задачи такого типа. 
Задача 1 (о работе переменной силы на прямолиней-
ном пути). Пусть материальная точка М, двигаясь прямо-
линейно под действием силы F, направленной вдоль оси 
ОХ и имеющей переменную величину F= F(x), где х - абс-
цисса движущейся точки М, прошла путь от точки С до 
точки В в направлении действия этой силы. 
Требуется вычислить работу Л, совершенную силой F. 
Решение. Если сила во время прямолинейного движе-
ния точки М сохраняет постоянное значение, то искомая 
работа А будет, как известно, равна A = F- 5, где S=b -
- a(S> 0), где а и b - абсциссы точек Си В. 
Пусть сила изменяется во времени движения точки М, 
являясь функцией абсциссы точки М, так, что положи-
тельное направление оси ОХ совпадает с направлением 
движения точки М. 
Найдем работуЛ. 
Для этого отрезок [a; b] (a < b) точками a = х0, xvx2,..., 
b = xn (a = x0 < xt < x2 < ••• < xt_t < xt < xi+1 < ••• < xn = 
= b) разобьем на n частичных отрезков: 
[х0;хг], [х1; х2], \х2', лг3],..., [х^^; xj,..., хп]. 
На каждом частичном отрезке возьмем по точке где 
Ki е [xi-l>xi\-
3 
, \ t , , I ' b, ъ 
*Г £ -^i *« A-
Длины частичных отрезков обозначим: 
Ахх, Ахг, ..., А*;,Ахп,где Axt = xt - Xi_t. 
Сила, действующая на отрезке [лг£_х; х[\, меняется от 
точки к точке. Но если длина отрезка Axt — xt — xi_1 дос-
таточно мала, то сила F на этом отрезке изменяется не-
значительно. Ее можно приближенно считать постоянной 
и равной значению функции F(x] в произвольно выбран-
ной точке <;£ £ [х1_х;х£] каждого частичного отрезка: 
F^),F(X2),F(^3) F&) F ( U -
Следовательно, мы можем приближенно найти работу, 
производимую этими силами на частичных отрезках: 
AA^F^-Ax^, 
ААг * F($z) • АХ2; 
AAt « F(£t) • Ахо 
ААп * F($n~) - Ахп. 
Приближенное значение работы А силы F по переме-
щению точки М на всем отрезке [a; b] равно 
п п 
А « ААг + АА2 + - + Mi + - + ААп = ^Г АА{ = ^Г F(Q • Axt. 
i=1 i=1 
Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше 
длина ДХ[. Если каждый отрезок Axt будет уменьшаться, 
то число п частичных отрезков будет увеличиваться. За 
4 
точное значение А искомой работы принимается предел, к 
которому стремится 
п 
i=i 
при неограниченном уменьшении длин Дхс каждого из 
этих отрезков при условии, что наибольшая длина час-
тичных отрезков стремится к нулю: п 
А = Urn V f C g - A x , . (1.1) 
max axi~*0 jL—л 1 
(n^oo) i=l 
Задача 2 (о площади криволинейной трапеции). Пусть 
дана плоская фигура, ограниченная сверху графиком не-
прерывной функцииу = Дх), снизу - осью ОХ (у = 0), сбоку -
прямыми х = а,х = Ь. 
Будем называть такую фигуру криволинейной трапецией. 
Требуется вычислить площадь этой трапеции. 
Решение. Предположим, чтоу=Дх) на [a; b] непрерывна 
и принимает положительные значения. 
yi 
Вычислим искомую площадь. 
Для этого отрезок [a; b] разобьем произвольно на п час-
тичных отрезков: [х0; хг], [хг;х2], [х2; х3],..., [х^-, х£],..., 
5 
[Xn-i.Xn] точками a = x0, хг, x2, .», Xi,..., xn = b (a = x0 < 
< xx < x2 < ••• < < xt < хнг < ••• < xn = b). 
Длины частичных отрезков обозначим: Ахг, Ахг, Ах3, 
..., AXi, ...,Ахп, где Axt = xt-
На каждом частичном отрезке [х^; xt] выберем произ-
вольно точку ..., 
Восстановим в них перпендикуляры до пересечения с 
кривой у =f[x) и вычислим значения функции в выбран-
ных точках: ..., /"(у,. . . , f ($7 l ) . 
Построим п прямоугольников, высоты которых будут 
ftti), f(Xz) Л У / а „ ) и основания Д*!, Дх2, Ах3 
; in ; /StXyi • 
Произведение • Дх£- равно площади прямоуголь-
ника с основанием Ахь и высотой 
Сумма произведений 
= f(£i) • Ахх + /(?2 ) • Дх2 + - + • Дх£ + - + 
п 
i=1 
равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна 
площади 5 криволинейной трапеции: 
71 
t=i 
Эта величина будет тем точнее приближаться к иско-
мой площади 5, чем меньше будут частичные отрезки и, 
следовательно, чем больше будет число п отрезков раз-
биения. За точное значение площади криволинейной тра-
пеции принимается предел 
71 
S= lirn У д у - х Д £ . (1.2) 
(п-»оо) г=1 
6 
1.2. Определенный интеграл 
как предел интегральной суммы Римана 
Существует аналогия между решениями задач № 1 и 2: 
и та, и другая свелась к следующей задаче. 
Пусть отрезок [а; Ь], на котором определена функция 
У~АХ)> разбит произвольно точками деления а = х0, хг, 
OC^j ... f ОСjj ... f X^i — Ь (^CZ —— XQ ^ X^ X2 — i ^ ^ 
< x£+1 < ••• < xn = b) на n частичных отрезков: 
[*o;*iL t-^i' ^ 2]' ^3]' [-"-i-i' -^J' •••' [-"-71-1' ^J ' 
где Дх£ - длина /-го отрезка: Дх£ = xt — хг_1; i = 1, п. 
В каждом частичном отрезке выбрана произвольно 
точка ^ G ...Д£, ...Дп. 
Л = тах{Дх£ } - наибольшая из длин Дхг, Дх2, ..., 
Дх£,..., Дхп (Яназывается диаметром разбиения). 
Требуется найти предел суммы: 
71 
+/(?2 ) • Д*2 + - + / & ) • Дх£ + - + • Дхп, (1.3) 
когда max Дх£ 0. 
Итак, требуется найти 
71 
Иш У я У ' А х , . 
шахДяГ[->0 Z—J 
! = 1 
Определение. Сумму вида (1.3) называют п-й инте-
гральной суммой Римана для функции Дх) по отрезку [а; Ь] 
при выбранном разбиении отрезка [о; b] и выбору точек 
Интегральных сумм Римана можно составить бесконечное 
множество. 
7 
Определение. Если существует конечный предел п-х ин-
тегральных сумм Римана 
не зависящий ни от способа разбиения отрезка [а; Ь] на 
частичные Axt, ни от выбора точки то этот предел на-
зывается определенным интегралом от функцииу = f[x] на 
отрезке [a; b] и обозначается 
Число а называется нижним пределом интегрирова-
ния, Ь - верхним пределом интегрирования, f[x) - подын-
тегральной функцией, Axjdx - подынтегральным выраже-
нием, х - переменной интегрирования, [а; Ь] - отрезком 
(областью) интегрирования. 
Пример. Вычислить f*xdx, как предел интегральной 
п 
b п 
суммы. 
А у Решение. Делим промежуток [0; 4] 
на п равных частей точками: 
И 
о 4 * 
_ 4 . __ 4 _ _ . Xj ™ * li in) ТХ * 1 п 11 11 
Длина каждого частичного от-
резка [х^; xL] равна 
Axt — Xi — Xi__x 
4 4(i - 1) 4 
n 1 n n 
8 
Выберем в качестве точек ^ правые концы частичных 
промежутков [х£_х; х£], т. е. ^ = х£ = - • i и тогда 
/<&) = £•<• 
Составим интегральную сумму 
п п п ^-.4 4 16 i 
i=1 i-1 i-1 
V 1 4 4 V 16 
I 6 . = — ( l + 2 + 3 + - + n). 
Tll 
Выражение в скобках - сумма членов арифметической 
прогрессии. Разность d = 1, аг = 1, ап = п. 
Известно, что сумма п членов арифметической про-
грессии равна: 
аг +ап (1 + п) • п 
Sn = —г п = 2 2 
v^ 16 (1 + п ) - п 8 ( 1 + п) 
L—t п2 2 п 
t=i 
4 71 
Z8 ( l + n) 
/(H£) • Дх£ = lim — - = 8. О t = l 
I 
Итак, JQ4 xdx = 8. 
Определение. Функция у =/[х), для которой существует 
определенный интеграл /^/(x)dx, называется интегри-
руемой на отрезке [а; Ь]. 
Замечание. Интегральная сумма Римана не зависит от 
того, какой буквой обозначен аргумент данной функции. 
Поэтому и ее предел, т. е. определенный интеграл, не за-
висит от обозначения переменной интегрирования. 
и и 
I f(x)dx = I /СО dt. 
Определенный интеграл есть число, равное пределу, к 
которому стремится интегральная сумма, когда диаметр 
разбиения Л стремится к нулю. 
Следовательно, рассматривая равенства (1.1) и (1.2), 
можно записать, что 
ь 
А = J F(x)dx, S = J /(x)dx. 
a a 
Таким образом, с геометрической точки зрения, опре-
деленный интеграл S= f(x)dx от неотрицательной 
функции численно равен площади соответствующей кри-
волинейной трапеции. 
Работа переменной силы F, величина которой есть не-
прерывная функция F- F[x), действующей на отрезке [а; Ь], 
равна определенному интегралу А = F(x)dx. 
В этом состоит физический смысл определенного ин-
теграла. 
Аналогично можно вычислить путь, пройденный точ-
кой вдоль прямолинейного участка, и массу неоднородно-
го стержня. 
Пусть точка движется прямолинейно вдоль числовой 
оси с непрерывно меняющейся скоростью V(t), t0 <t <Т, 
и смещение точки за малый промежуток времени 
Att = tj — приближенно можно считать равным 
• Att, где ^ G [t(:_t; t j , то тогда интегральная сумма 
п 
£ . Atj 
;=г 
10 
представляет собой приближенное значение пути, прой-
денного точкой от момента времени t0 до Т. В пределе при 
Л = max {At J-» 0 получим точное значение этого пути S, т. е. 
п т 
S = • Att = J V(t)dt. (1.4) 
i = 1 to 
Итак, определенный интеграл от переменной скорости 
V{£) по отрезку [t0; Т] дает путь, проходимый материаль-
ной точкой со скоростью K(t) за время Т- t0. 
Пусть прямолинейный неоднородный стержень с 
плотностью у = у(х) занимает на оси ОХ отрезок [а; Ь]. Для 
вычисления массы m разобьем стержень на п элементар-
ных частей Axt. В силу малости Axt стержень на каждом 
таком участке приближенно считаем однородным с плот-
ностью yfo) , где ^ е x j . Тогда масса каждого эле-
ментарного участка стержня ДгП( « y(<^i) * Axt\ 
п п 
m ~ ^Г Am( = ^ у(W * А*;-
t=i (=i 
Точное значение массы получим перейдя к пределу 
71 
711 = 'АХ1' i-1 
В правой части этого равенства стоит под знаком пре-
дела п-я интегральная сумма Римана для непрерывной 
функции у (х ) > 0 по отрезку [а; Ь]. 
Согласно определению определенного интеграла масса 
неоднородного стержня 
ь 
m = f y(x)dx. (1.5) 
а 
11 
1.3. Условия интегрируемости функций 
При определении определенного интеграла мы пред-
полагали, что функция Дх) ограничена на отрезке [а; Ь\. 
Условие ограниченности функции на отрезке [а; Ъ] яв-
ляется необходимым условием интегрируемости функ-
ции. 
Теорема 1. Если j^f(x)dx существует, то функция Дх) 
ограничена на отрезке [а; Ь]. 
Существуют ограниченные функции, которые не ин-
тегрируемы. 
Например, дана функция Дирихле 
[1, если х - рациональное число; 
(0, если х — иррациональное число. 
Можно показать, что ограниченность функции являет-
ся необходимым, но не достаточным условием интегри-
руемости на отрезке [0; 1]. 
Действительно, если при разбиении отрезка [0; 1] на 
частичные отрезки выбрать на каждом из них рациональ-
ную точку ^ £ [Xj-j; х,-], то получим 
п п 
i-l i=1 
Если же выбрать иррациональную точку то 
п п 
i-l i-l 
Следовательно, при разбиении отрезка [0; 1] на частичные 
отрезки интегральная сумма может принимать как значение, 
равное 1, так и значение, равное 0. И поэтому предел инте-
гральной суммы не существует (стремится либо к 1, либо к 0), 
12 
т. е. не существует определенный интеграл, несмотря на то, 
что функция Дирихле ограничена на всей числовой оси. 
Теорема 2 (достаточное условие интегрируемости функ-
ции]. Если функция Дх) непрерывна на отрезке [а; Ь], то она 
интегрируема на этом отрезке, т. е. /(х)dx существует. 
Определенный интеграл существует и для более широ-
кого класса функций, чем класс непрерывных функций. 
Теорема 3. Если функция Дх) ограничена на отрезке 
[а; Ъ] и непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа 
точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом 
отрезке [а-, Ь]. 
1.4. Основные свойства определенного интеграла 
Свойство 1. Определенный интеграл от алгебраической 
суммы конечного числа интегрируемых на [a; b] функций ра-
вен алгебраической сумме определенных интегралов от сла-
гаемых: 
ъ 
I (АО) + /г О) + ••• + fm(x))dx = 
а 
b Ь b 
= I f1(x)dx + Jf2(x)dx + - + I fm(x)dx. 
a a a 
Доказательство. Докажем теорему для двух функций. 
По определению 
Ь п 
I(ЯМ + f2(x))dx = + Ш)) • йх, = 
a i = l 
= (по свойству пределов) = 
13 
ft /t 
(=i i=i 
6 b 
f f1(x)dx + J f2(x)dx. 
a a 
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить 
за знак определенного интеграла: 
ъ ъ 
j с • f(x)dx — с J Дх )dx , Vc £ R. 
а а 
Доказательство. По определению 
ь п 
} с • f{x)dx = lim У cf(Xi) • Дх£ = 
а г=1 
= (постоянный множитель можно выносить за знак суммы 
и за знак предела) = 
п Ь 
= 'AXi = Cf f(x)dx-
i=1 а 
Замечание. Совокупность свойств 1 и 2 называют свойст-
вом линейности: если / г (х ) и/2 (х ) интегрируемы на [а; Ь], 
то любая их линейная комбинация Cx/i(x) + с2/2(х), 
сг,с2 £ R также интегрируема на [а;Ь] и (с-^Сх) + 
+c2/2 (x) )dx = q J^/iOOdx + с2 /^/2(x)dx. 
Свойство 3. При перестановке пределов интегрирова-
ния определенный интеграл меняет знак на противопо-
ложный: 
14 
b a 
j f(x)dx = - 1 fix) dx. 
a b 
rb 
Доказательство. Определенные интегралы ja f(x)dx и 
Jba/(x)dx являются пределами интегральных сумм, раз-
личающихся лишь знаком. Доказательство следует из то-
го, что в интегральных суммах для функции Дх) по отрез-
ку [b; а] все Дх£ меняют знак на противоположный. 
Свойство 4. Если нижний и верхний пределы интегри-
рования равны, то интеграл равен нулю: f(x)dx = О 
Доказательство следует из определения интеграла. 
Так как Axt = 0, i = l7п Sn = 0. J^ f(x)dx = 0. 
Свойство 5. Если подынтегральная функция Дх) s 1, то 
f 1 • dx = Ь — а (длина отрезка [a; b]). 
Доказательство. 
b п п 
J 1 • dx = lim ^ 1 • AXi = ^Г Axt = b - a. 
a i=1 i=l 
Свойство 6 (свойство аддитивности). Для любых чисел 
а, Ь, с справедливо равенство 
ь с ъ 
/ r t x ) d , = / № ) d x + / / W d x . 
а а с 
если все три интеграла существуют. 
Доказательство. Если определенный интеграл суще-
ствует, то согласно определения предел интегральной 
суммы не должен зависеть от способа разбиения отрезка 
[a; b] на части Axt и от выбора точек Поэтому можно 
15 
взять такое разбиение, чтобы одна из точек деления, на-
пример, точка х7П, совпадала с точкой с, т. е. хт - с. 
Тогда 
ь п 
J f(x)dx = lim^/ai)-Axi = 
a i=l 
т п 
(=1 
с и 
J f(x)dx + J f(x)dx. 
Геометрический смысл 
свойства состоит в том, 
что площадь криволи-
нейной трапеции с ос-
нованием [а; Ъ] равна 
сумме площадей криво-
линейных трапеций с 
основаниями [а; с] и 
[аЬ]. 
Свойство 7. Если f[x) > 0 \/хе[а;Ь],то Г f(x) dx > О, 
а < b. 
Доказательство, Так как > 0 и Дх,- > 0, то инте-
гральная сумма 
i=i 
Переходя к пределу, получим: 
п ь 
Hm^Vfo) • = / f(x)dx > 0. 
i=1 a 
16 
Свойство 8 (свойство монотонности). Если функции 
fix) и ф(х) интегрируемы на [о; Л] и удовлетворяют неравен-
ству / ( * ) ^ фС*0 Vx е [а;й], то J^/(x)dx > 
а < b (т. е. неравенство можно почленно интегрировать). 
Доказательство. По условию fix) > ф(х). Так как 
fix) — ф(х) > 0 Vx е [а; Ь], то на основании свойств 1 и 7, 
имеем /аЬ(/(х) - ф (х )^х = /(x)dx - J* ф(x)dx > 0 => 
С f(x)dx ^ С <P(*)d*-
Свойство 9. Модуль определенного интеграла не превос-
ходит интеграла от модуля подынтегральной функции: 
и и 
Jf(x)dx < J|/(x)|dx, а < b. 
Доказательство. Так как 
"1/001 < / ( * ) < l/(*)l Vxe[a;b], 
то почленно интегрируя неравенства по отрезку [а; Ь], по-
лучим: 
ь ь ь 
- j IAx)|dx < I fix)dx < ||/(x)|dx 
или j fix)dx < J | / ( x ) | d x . 
a a 
Свойство 10 (свойство об оценке интеграла). Если т и 
М - наименьшее и наибольшее значения функции fix), 
непрерывной на отрезке [а; Ь], то m(b — а) < /^/(x)dx < 
< М(6 - а), а < Ь. 
17 
Доказательство. По условию функция /"(х) на [а; Ь] не-
прерывная. По свойству непрерывной функции (по теоре-
ме Вейерштрасса) она принимает на этом отрезке все 
промежуточные значения между своими наибольшим и 
наименьшим значениями, т.е.т< / (х ) < М Vx Е [а; Ь]. 
Интегрируя почленно это неравенство, получим: 
и и и 
j mdx < J f(x)dx < j Mdx. 
На основании свойств 2 и 5 имеем: 
ь ь 
j mdx = m(b - a); J Mdx = M(b - a). 
a a 
Следовательно, 
ь 
m{b - a) < J /(x)dx < M(b - a). 
a 
Свойство 11 (теорема о среднем). Если функция /"(х) 
непрерывна на отрезке [а; Ь], то существует такая точка 
с е [а;Ь], что / Ь/00dx = f{c)(b - а), т. е. определенный 
интеграл от непрерывной функции равен произведению 
значения подынтегральной функции в некоторой промежу-
точной точке с отрезка интегрирования [a; b] и длины b - а 
этого отрезка. 
Доказательство. Так как / (х) непрерывна на отрезке 
[a; Ь], то по теореме Вейерштрасса m < / (х ) < М Vx £ [а; Ь]. 
На основании свойства 10 имеем: 
ь 
m(b - a) < J /(x)dx < М(Ь - а). 
18 
Разделив все члены двойного неравенства на b — а > О, 
получим: 
о — а 
Обозначим 
ГЬ f(x)dx 
\ = /(с), где т < f ( c ) < М. 
b — а 
По теореме о промежуточных значениях непрерывной 
на отрезке [a; b] функции выражение ^ — /(с ) мож-
но рассматривать как промежуточное значение функции в 
некоторой точке с £ [а; Ь]. Отсюда: 
ъ 
Jf(x)dx= /(c)-(b-a). 
В 
При /(х) > 0 Vx е [a; b] имеет геометрический смысл: 
значение определенного интеграла равно при некоторой 
с е (a; b) площади прямоугольника с высотой /(с) и ос-
нованием b - а. 
19 
и 
j fix) dx 
Свойство 12 (об определенном интеграле по симмет-
ричному промежутку). 
"О, где fix) - нечетная функция; 
2 fix) dx, где fix) - четная функция. 
Доказательство, Пусть fix) - нечетная функция, т. е. 
/(-*) = - f i x ) . 
По свойству аддитивности (по свойству 6) можно записать: 
а о а 
I fix) dx = I fix)dx+ j fix)dx. 
-a -a 0 
В первом интеграле x заменим на (—х). Если х изменя-
ется от -а до 0, то -х изменяется от а до 0. И получим: 
0 0 о о 
I fix) dx = I f i - x ) d(--x) = - 1 fix) di-x) = I fix) dx = 
—a a a a a 
= (на основании свойства 3) = — j fix) dx . 
0 
a a a 
Итак, j fix) dx = - j fix) dx + J fix) dx = 0. 
-a 0 0 
Пусть fix) - четная функция, т. е. / ( - х ) = fix). 
а 0 а 
j fix) dx = j fix) dx + j fix) dx; 
-a -a 0 
0 0 0 a 
I fix) dx = I fi-x)di~x) = - 1 fix)dx = I fix) dx. 
—a a a 0 a a a a 
Итак, J fix) dx = J fix) dx + j fix) dx = 2 J fix) dx. 
20 
1.5. Определенный интеграл 
с переменным верхним пределом 
гь 
Определенный интеграл )а fix)dx - число и не зависит 
от обозначения переменной: 
ь b 
j fix)dx - I f(t)dt, 
a a 
а зависит от пределов интегрирования. 
Если оставить постоянным нижний предел интегриро-
вания а, а верхний х изменять так, чтобы х б [а; Ь], то ве-
личина интеграла будет изменяться. 
Пусть f(x) непрерывна на [а; Ь], тогда она будет непре-
рывной и на V[a; х], х £ [a; b] и, следовательно, по теореме 
2 п. 1.3 существует интеграл вида /(х) = Jx/(t)dt, кото-
рый называется определенным интегралом с переменным 
верхним пределом и является функцией верхнего предела х. 
С геометрической точки зрения, функция /(х), 
когда fit) > 0, представляет площадь заштрихованной 
криволинейной трапеции. 
В 
Л 
О « х b х 
21 
Теорема Барроу, Производная определенного интегра-
ла от непрерывной функции / (х ) по его переменному 
верхнему пределу существует и равна подынтегральной 
функции, в которой вместо переменной интегрирования 
подставлено значение верхнего предела: 
X 
/' (* ) = ( / / ( O d t ) i = / ( * ) . 
Доказательство. Дадим х G [а; Ъ] приращение Ах так, 
чтобы х + ДхЕ[а ;Ь ] , тогда /(х) получит приращение 
Д/(х): 
яг+Дх 
Д/(х) = /(х 4- Дх) - /(х) = J f(t)dt - | f ( t )d t . 
а а 
Используя свойство аддитивности, получим: 
х х+Ах х х+&х 
Д/(Х) = J A t ) d t + | A O d t _ I f(t)dt = | /(t)dt. 
a x a x 
Применяя теорему о среднем, имеем: 
х+Дх 
AI = J /(0dt = /(с) • гДе с G [х; х + Дх], 
X 
Найдем ^ = t ^ L = / ( с ) . 
Д/(х) 
/ ' ( * ) = Hm — ^ = lim /(с) . Дх->0 Дх Дх->0 
Если Дх 0, то х 4- Дх х, с х и в силу непрерывно-
сти функции f{x) на отрезке [a; b] / (с ) -> / (х ) : 
/ ' (* ) = lim fie) = fix). 
(с->х) 
22 
Итак, / ' ( * ) = / О ) Vx е [а; Ь]. 
Замечание 1. Доказанная теорема является одновремен-
но и теоремой о существовании первообразной функции. 
Теорема. Если функция fix) непрерывна на [а; Ь], то 
для нее существует первообразная на этом отрезке. 
Замечание 2. Из теоремы Барроу следует, что /(х) есть 
одна из первообразных для функции fix). Следовательно, 
любая другая первообразная F (x ) может отличаться от 
/(х) на постоянную: 
J f(x)dx=J fit)dt + c, 
а 
т. е. установлена связь между неопределенным интегра-
лом и определенным интегралом с переменным верхним 
пределом. 
1.6. Основные методы вычисления 
определенного интеграла 
1.6.1. Формула Ньютона-Лейбница 
Теорема. Если функция у = fix) непрерывна на отрез-
ке [а; Ь], то справедлива формула Ньютона-Лейбница 
ь 
f b 
I fix)dx =F ( x )| = Fib) - F(a) . 
a 
Доказательство. Пусть F (x ) - какая-либо первообраз-
ная для непрерывной функции / (х ) на [а; Ь]. 
По теореме Барроу для fix) первообразной является 
К * ) = C / ( t ) d t . 
Так как первообразные /(х) и F (x ) отличаются друг от 
друга постоянным слагаемым, то имеет место равенство: 
23 
л. 
I f(t)dt = F(x) + C Vx E [a; b], С E R. 
a 
Положим, в этом равенстве х = а, тогда 
а 
j f(t)dt = F(a) + С => С = —F(a); 
а 
х 
J f(t)dt = F(x) - F (a ) Vx e [a; Ь]. 
a 
Полагая x = b, получим 
ь 
J f(t)dt = F(b) ~ F(a). 
a 
Обозначая переменную интегрирования через х, имеем: 
ь 
j f(x)dx = F(6) - F(a). 
a 
Разность F(b) — F(a) удобно записать в виде F(x)|b. 
Тогда формула Ньютона-Лейбница принимает сле-
дующий вид: 
ь 
Г ь 
I f(x)dx = F(x)| = F(b) - F(a). 
a 
Например, 
it 
f n I sinx dx = — cosx| = —(cosтг — cos 0) = 2. 
24 
1.6.2. Замена переменной в определенном интеграле 
Дан интеграл f(x)dx. Введем новую переменную t по 
формуле х = ф(0-
Теорема. Если функция /(х ) непрерывна на отрезке 
[а;Ь]; ф(а) = а, ф(Р) = b; ф(t) и ф'(£) непрерывны на от-
резке [а; (3]; f(<p(t)) непрерывна на [а; (3], то 
х = ф ( t ) 
dx = <p'(t)dt 
хЛ - a = а 
х2 = Ъ t2 = Р 
ъ 
j f(x)dx = J/(<p(t))-q>'(t)dt. 
Доказательство. Пусть F (x ) - первообразная для функ-
ции А х ) . 
По теореме Ньютона-Лейбница можно записать 
ь 
Ъ 
A x ) d x = F(x)| = F(b) - F(a). I 
I / ( ф ( 0 ) • = | /(ф(О)йф(О = я ( ф ( 0 ) i £ = 
= F(<pCP)) - F f a ( a ) ) = F(fe) - F(a). 
Правые части последних выражений равны, следова-
тельно, равны и левые. 
Замечание. В определенном интеграле при замене пе-
ременной интегрирования пределы интегрирования ме-
няются. 
Пример. Вычислить 
г 
J ^ d * . 
25 
Решение. 
4 — х2 dx = 
Tt 
6 
x — 2 sin t 
dx = 2 cos t dt 
= 0 tx = 0 
тс 
x2 = l 
TT 
6 
J -/i" - 4 si n212 cos t dt = 4 J cos2 tdt = 
о 
Tt 
6 
TT — Tt л/3 
2 J ( l + cos2t )dt=2t|6 + sin2t|6 + — . 
о 
TC 
6 
0 3 2 
1.6.3. Интегрирование no частям 
в определенном интеграле 
Теорема. Если функции и(х)и v(x) имеют непрерывные 
производные на отрезке [а;Ь], то справедлива формула 
интегрирования по частям в определенном интеграле: 
Jndv = и • v 
и 
ч a J vdu. 
Доказательство. d(w • v) — vdu + udv. 
Проинтегрируем обе части этого равенства в пределах 
от а до Ь. 
J d (и -v)~J vdu + J 
b b 
I udv. 
и - v 4 a J f — J vdu + j udv; 
a a 
26 
и и 
J udv = и • v а~ j vdu. 
Пример, Вычислить 
тс 
2 
/ х cos хdx и = х du = dx 
dv = cosxdx v = sinx 
x • sinx 
Tt 
2 TT 
2 - | sinxdx = xsinx 
0 
о 
J s h 
TT 
2 + COS X 
0 
TT 
II 
2 = — i . 
0 2 
1.7. Несобственные интегралы 
rb 
При определении определенного интеграла Ja /(х)dx 
предполагалось, что отрезок интегрирования [а; 6] коне-
чен и подынтегральная функция Дх) определена и непре-
рывна на отрезке [а; Ь], либо имеет конечное число точек 
разрыва I рода. 
Определение. Интегралы от непрерывных функций, но с 
бесконечными пределами; интегралы с конечным проме-
жутком интегрирования, но от разрывных функций назы-
ваются несобственными. 
Для несобственных интегралов отсутствует понятие ин-
тегральной суммы, так как в случае бесконечного отрезка 
интегрирования его нельзя разбить на п частичных отрез-
ков конечной длины. В случае неограниченной функции 
интегральная сумма не имеет конечного предела. 
27 
1.7.1. Несобственные интегралы 
с бесконечными пределами интегрирования 
(несобственные интегралы 1-го рода) 
Пусть функция / (х ) определена и непрерывна при всех 
значениях х, а < х < оо. Тогда она будет непрерывной на 
любом конечном отрезке [a; ft], а < Ь. При изменении ft 
интеграл изменяется, он является непрерывной функцией 
b:I(b) = £ f ( x ) dx. 
Неограниченно увеличивая верхний предел интегри-
рования (ft -> +00), возможно получить два случая: или 
1(b) при ft -» 4-со имеет предел, или не имеет. 
Определение. Несобственным интегралом от непре-
рывной функции f(x) по бесконечному промежутку 
[а; +оо) называется предел 1(b) при ft +00: 
+ 00 ъ 
I f(x) dx Ш lim I /(x)dx. (1.6) 
J ' £>->+00 J 
a a 
Аналогично определяются несобственные интегралы 
по бесконечным промежуткам (—00; ft]; (—00; -boo): 
ь ь 
(fix)dx^ lim (f(x)dx; (1.7) J a~*~oo J 
a 
+00 
J f(x)dx = j f(x)dx + J f(x)dx,c e ( -00; 00). ( 1 . 8) 
— CO —00 с 
Определение. Несобственные интегралы 1-го рода (1.6), 
(1.7), (1.8) называются сходящимися, если пределы в пра-
вых частях этих формул существуют и конечны. Если пре-
делы не существуют или бесконечны, то (1.6), (1.7), (1.8) 
называются расходящимися. 
28 
Замечание. Несобственный интеграл вида (1.8) будет 
сходящимся тогда и только тогда, когда сходятся оба не-
собственных интеграла в его правой части. 
С геометрической точки зрения сходящийся несобст-
венный интеграл / ™ f(x)dx означает, что фигура, огра-
ниченная кривой у = /"(х) > 0, прямыми х = а,у = 0 име-
ет конечную площадь. 
Пример. 
ъ + 00 
f 
dx г 
— — г = lim I -1 + X2 b-i + co J i 
dx 
- = lim arctgx 
+ Xz b-»+oo 
b TT 
0 = 2' 
У' k 
1 
ь 
0 
~w 
X 
Следовательно, интеграл 
сходится, а геометрически выражает 
площадь фигуры, ограниченной ли-
ниями у -J 1+Х2 , х = 0 и осью ОХ. 
Пример. Установить, при каких значениях 
f dx 
I — сходится и при каких расходится, 
г Решение. 1. Пусть а > 1: 
+ 0° b 
( dx г dx x~a+1 \b 1 I t 
— = hm I — = lim = lim r J x ь-*+°о J xa с о - а + l l l 1 - аь-»+°оха_1 ] 
= ( lim -r——r — Hm — Л = — = —-—. 
1 - а Хь-^+юЬ"-1 b-*+co l a _ 1 / 1 - a a - 1 
Следовательно, 
+ C 
/ 
a 
dx 
x a
 - сходится. 
29 
2. Пусть а < 1: 
+ 00 +СО 
Г dx 1 / 1 \ Г dx - j im _ i - оо => — - расходится. 
J х 1 - а\ь->+ооЬа~1 1 J ха * 
1 
3. Пусть а = 1: 
+ 00 
/ 
1 
dx 
— = lim In х 
X b—>+ со 
Ъ 
н — lim In b — lim In 1 = oo => 1 b^ + oo t>-> + oo 
Итак, 
+ 00 
I 
1 
dx 
F 
+ oo 
f dx 
I расходится. 
i 
сходится при a > 1; 
расходится при a < 1. 
Во многих случаях нет необходимости вычислять не-
собственные интегралы 1-го рода, а достаточно знать, 
сходится он или расходится. 
1.7.2. Признаки сходимости 
несобственных интегралов 1-го рода 
Теорема (1-й признак сравнения]. Если на промежутке 
[a; +оо) определены две непрерывные, неотрицательные 
функции Дх) и ф(х), причем 0 < /(х) < ср(х) и если 
Ja+0° <p(x)dx сходится, то /а+°° /(x)dx также сходится и при этом 
+ оо +0О 
j f(x)dx < J cp(x)dx. 
a a 
Доказательство. По свойству монотонности опреде-
ленного интеграла из неравенства f(x) < ср(х) следует 
30 
j fix)dx < J q>(x)dx. 
a a 
Сходимость /д+°° 9(x)dx означает, что 
ь 
lim j 9 (x )dx = k, 
>-++00 J 
a 
где к - конечное число, следовательно, 
+ 00 +оо 
J fix)dx < к => j f(x)dx сходится. 
a a 
Пример. Сходится ли интеграл 
+ СО 
f d * . 7 
J x2(l + ex) ' 
l 
Решение. 
Г ( Х ) = x 2 ( l + ex)' Ф С Г ) = Ь 
+ 00 
1 1 Г dx 
x 2 ( l -f £*) x2 j x2 
l 
+ 0O 
Г dx 
следовательно, -тг— — сходится. 
J xz{l + ex) 
l 
Теорема (2-й признак сравнения). Если на промежутке 
[а; +оо) определены две непрерывные, неотрицательные 
функции fix) и <р(х), причем 0 < ср(х) < fix), и если 
Ja+°°9(x)dx расходится, то расходится и интеграл 
С fix) dx. 
31 
Г 2 + cos х 
то I —— dx расходится. 
Доказательство. Если f*™ (p(x)dx расходится, то рас-
Х+СО _ , ч . QO 
л f(x)dx, т. к. в противном случае )а ф (х^х 
должен был бы сходится в силу 1-го признака сравнения, Пример. Исследовать на сходимость 
+ 00 
Г 2 + cos х 
1 
Решение. 
2 -I- cos х 1 
f(x) := р — , ф(х) = — , 
Л/Х л]х 
+ СО 
1 2 + cos х Г dx < — / I _ _ расходится (т.к. а < 1), 
Л/Х уХ J л/х 
X 
+ 0Э 
л/х 
1 
Следствие. Если функции f(x),g(x),(p(x) непрерывны 
на [а; +оо) и / (х ) < д (х ) < ф(х) и несобственные интегра-
лы J+°°/(x)dx и /*°°ф(х^х сходятся, то и Ja+°°(g(x)dx 
тоже сходится. 
Теорема (предельный признак сравнения). Если функ-
ции /(х ) и ф(х) непрерывны на [а; +оо), 0 < /(ж) < ф(х) и 
если 
f i x ) 
lim = Л > О, х-* + со ф(х) 
то несобственные интегралы J+°°/(x)dx и j ф ( x ) d x ве-
дут себя одинаково: или оба сходятся, или оба расходятся. 
Пример. Исследовать на сходимость 
+ 00 
Г х dx 
J Vx3 + 5' i 
32 
Решение. 
х 1 
/ ( * ) = —г===== ' ф(* ) = 7=' 
л/х3 + 5 V* 
/ (х ) X • л/'х 
lim — — = lim — = 1 > О 
ДГ-+ + оо ф(х) х-» + оо у^З 5 
+ 00 
И Т . К 
1 
Г dx / 1 \ 
. J — расходится ^а = - < 1 у 
+ 00 
х dx 
то расходится и данный интеграл I Vx3 + 5 
1 
Теорема (признак абсолютной сходимости). Если на 
промежутке [а; +оо) функция у = / ( х ) знакопеременная и 
несобственный интеграл /a+°°|/(x)|dx сходится, то сходит-
сятакжеи f+c°f(x)dx. 
Доказательство. Так как -|/(х)| < / ( х ) < |/(х)| и 
/я+°° — |/(x)|dx и Ja+0°|/(x)|dx сходятся, то на основании 
следствия /а+°° /(x)dx тоже сходится. 
Замечание. Несобственный интеграл /a+°°/(x)dx назы-
вают абсолютно сходящимся, если сходится интеграл 
j ; °° i/(x) idx. 
Пример, Исследовать на сходимость 
+ со 
sinx 
•dx. / X3 
1 
Решение. Исследуем на сходимость интеграл 
+ 00 
sinx / X3 dx. 
33 
™ |sinx| ^ 1 r+co dx r 
Так как — • < - Vx и jx — сходится (a = 3 > 1), то 
на основании 1-го признака сравнения f , + ° ° ^ ~ d x схо-1 х3 дится, следовательно, по признаку абсолютной сходимо-
г+со sin х , -
ста L ——dx абсолютно сходится. j 1 хз 
1.7.3. Несобственные интегралы от неограниченных 
функций (несобственные интегралы 2-го рода) 
Пусть функция / (х ) определена и непрерывна на про-
межутке [a; ft), а в точке х = Ъ / (х ) имеет бесконечный 
разрыв (разрыв 2-го рода). Возьмем £ > 0 и будем считать, 
что функция /(ж) непрерывна на отрезке [а; Ъ — е] и, сле-
довательно, будет существовать 
Ь-г 
I /(х ) dx. (1.9) 
Определение. Несобственным интегралом от функции 
/(х) , непрерывной на промежутке [a; ft), имеющей беско-
нечный разрыв в точке х = 6 (или несобственным инте-
гралом 2-го рода) называется предел интеграла 
fb~E f(x)dx при £ -> 0: 
b b-E 
j f(x)dx = lim J f(x)dx. (1.10) 
a a 
Аналогично определяется несобственный интеграл от 
функции, имеющей бесконечный разрыв на левом конце 
промежутка, т. е, в точке х = а и в некоторой внутренней 
точке х = с отрезка [a; ft]: 
ь ь 
J f(x)dx = lim j f(x)dx, (1.11) 
a a + E 
34 
и с и 
I f(x)dx = j f(x)dx + J / (x )dx = 
а а с 
— (по свойству аддитивности определенного интеграла) = 
с-£ 1 b 
= lim j f(x)dx + lim f f(x)dx. (1.12) 
J e2->0 J 
a c+e2 
Определение. Если пределы в правых частях формул 
(1.10), (1.11), (1.12) существуют и конечны, то соответст-
вующие несобственные интегралы от разрывной функции 
в точках х = Ь,х = а,х = с называются сходящимися и 
расходящимися, если эти пределы не существуют или 
равны бесконечности. 
Геометрическая иллюстрация 
несобственного интеграла 2-го рода 
Сходящийся несобственный интеграл 2-го рода гео-
метрически означает, что фигура,, ограниченная кривой 
У = /00» прямыми х = а,х = b и бесконечно вытянутая в 
направлении оси OY при х b — 0, х а + О, х с ± О, 
имеет конечную площадь. 
Пример. Исследовать на сходимость интеграл 
4 
dx / V 4 - х 
35 
Решение. Функция у = ^=== при х — 4 терпит бесконеч-
ный разрыв: 
м-
I 
dx 
4 - е 4 - е 
Г dx Г _1 
lim . = - lim (4 - х ) 2 d(4 - х ) 
л/4 - х J V4 - х 
о о 
4 - е 
= - lim 2л/4 - х 
Е - + 0 О 
= - l im 2V4 - 4 + г + lim 2V4 - 0 = 4. 
£->0 е->0 
Следовательно, 
/ dx л/4" х сходится. 
Пример. Исследовать на сходимость 
1 
/ dx 
Решение. Подынтегральная функция разрывна на ле-
вом конце отрезка интегрирования, т. е. при х = 0. 
1. Пусть а Ф 1: 
1 ,—а+1 ^ f x d x Г dx х~ 
I — — lim I — = lim — 
J0 Х а s->0 J Ха Е~>0 1 
0 + £ 
а 
1 1 
•lim 
0 + £ 1 - ае ->ох а—1 
1 
О + £ 
1 1 С* 
lim f 1 r \ = ! 1 — ае-»0 \ 8 « -V J-
00 при а > 1, 
1 
при а < 1. 
— а 
2. Пусть а = 1: 
f dx Г 1 
— = lim -
J X Е-^О J 
О 0+е 
dx 
— =Hmln|x| 
х Е-^О 
= l imflnl - lne) = 00. 
О + £ £—>0 
36 
Итак, несобственный интеграл сходится при а < 1 
и расходится при а > 1. (1-13) 
Замечание, Аналогично можно показать, что несобст-
венные интегралы 2- го рода 
ь ь 
Г dx Г dx 
J (b - x ) « И J 
a a 
сходятся при a < 1 и расходятся при а > 1. (1-14) 
1.7.4. Признаки сходимости 
несобственных интегралов 2-го рода 
Теорема (1-й признак сходимости). Если функции /(%) 
и ф(х) определены, непрерывны, неотрицательны на 
промежутке [а; Ь) и в точке х = b эти функции имеют бес-
конечный разрыв, удовлетворятся условию 0 < f ( x ) < 
ф(х) и если сходится несобственный интеграл /а& ф(х)<3х, 
то f(x)dx также сходится. 
Теорема (2-й признак сходимости). Если функции / (х ) 
и ф(х) определены, непрерывны, неотрицательны на проме-
жутке [а; Ь) и в точке х = b эти функции имеют бесконечный 
разрыв, удовлетворяют условию 0 < ф(х) < / (х ) и если 
ф(x)dx расходится, то расходится и интеграл /00dx. 
Теорема (предельный признак сравнения). Если функ-
ции / ( х ) и ф(х) непрерывны, положительны на проме-
жутке [а; Ь) и в точке х = b эти функции имеют бесконеч-
ный разрыв и если существует конечный предел 
/00 
lim = А > 0, 
х->Ь-£ ф(х) 
то несобственные интегралы f^ f(x)dx и /a&ф(x)dx схо-
дятся и расходятся одновременно. 
37 
Теорема (признак абсолютной сходимости). Если 
функция /(х) , знакопеременная на промежутке [а;Ь), 
имеет разрыв в точке х = Ъ, и несобственный интеграл 
/а 1/00 И* сходится, то сходится, и причем абсолютно, ин-
теграл fb f(x~)dx. 
Замечание. Аналогично формулируются признаки схо-
димости несобственных интегралов, имеющих разрыв в 
точке х = а и в точке х = с Е (a; ft). 
Пример. Исследовать на сходимость 
dx 
J Jo sinx 
Решение. Функция f(x) = — - на отрезке [0; 1] имеет 
бесконечный разрыв в точке х = 0. 
В качестве функции ф(х) возьмем ср(х) — 
гг. г 1 dx Так как интеграл JQ — расходится и 
Я * ) v х 1 lim — — = lim — — = 1, 
х->0ф(х) х->о sin х 
Г1 dx 
Jo sinx 
то j ^ также расходится. 
1.8. Две схемы применения 
определенного интеграла 
Первая схема основана на определении интеграла как 
предела интегральной суммы Римана. Рассматриваемая 
величина, как было показано, приближенно представля-
ется в виде интегральной суммы, причем с измельчением 
разбиения это представление становится все более точ-
ным и в пределе переходит в точное. Поэтому искомая ве-
38 
личина равна пределу интегральной суммы, т. е. опреде-
ленному интегралу. Этот прием продемонстрирован при 
нахождении площади криволинейной трапеции в декар-
товой системе координат и при нахождении работы пере-
менной силы на прямолинейном пути. 
Вторая схема применения интегралов состоит в том, 
что составляется соотношение между дифференциалами 
рассматриваемых величин и при помощи интегрирования 
переходим к соотношению самих величин. 
1. На отрезке [a; b] выбираем произвольное значение х 
и рассматриваем переменный отрезок [а;х]. На этом от-
резке искомую величину обозначаем U(x), где х е [а;Ь] -
один из параметров величины U. 
2. При изменении х на Дх функция получает прираще-
ние AU = d U + о(Дх). 
3. Находим дифференциал dU функции U(x): dU = 
= f(x)dx, где / (x ) - функция, которая определяется из усло-
вия задачи (например, из законов физики, механики и т. п.) 
4. Считая, что AU ~ dU при Дх -> 0, находим искомую 
величину путем интегрирования dU\ 
ь 
а 
39 
2. Геометрические приложения 
определенного интеграла 
2.1. Вычисление площадей плоских фигур 
в прямоугольной системе координат 
2.1.1. Из геометрического 
смысла определенного инте-
грала следует, что если криво-
линейная трапеция с основа-
нием [a; ft] ограничена сверху 
графиком непрерывной функ-
ции у ~ fix), где fix) > 0 Vx е 
[а; ft], то ее площадь находится 
по формуле 
5 = | /(x)dx. (2.1) 
Если / (х ) < OVx е [a; ft], то 
на основании свойства опре-
интеграла 
Следова-
тельно, в этом случае площадь 
может быть найдена по фор-
муле 
деленного 
JaV(X)dx < 0, a < ft. 
и 
/ fix)dx (2.2) 
У 
d 
Если криволинейная трапе-
ция ограничена кривой 
* = Ф ( . У ) ( Ф ( У ) > o v y е [c,d]), 
прямыми у = с, у — d, осью OY, 
то ее площадь находится по 
формуле 
S = J ф(y)dy. (2.3) 
Если ф(у) < 0 Vy G [с; d], то 
(2.4) 
Если подынтегральная 
функция f(pc) конечное 
число раз меняет знак на 
отрезке [а; Ь], то чтобы по-
лучить площадь заштри-
хованной фигуры, отрезок 
интегрирования [а;Ь] надо 
разбить на частичные от-
резки, на которых функция 
f(x] сохраняет знак и применить формулы (2.1) и (2.2): 
41 
с и и 
5 = J / ( * ) d* - j fix) dx + | /00 dx. (2-5) 
а с d 
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной 
графиком функции у = sin х, осью ОХ и прямыми 
х = 0, х = 2тг. 
Решение, 
? i = / s i 
sinxdx = — cosx = 1 + 1 = 2; 
5? 
2тт 
J-sin x dx 
2ТТ 
— COS X 
ТГ 
1 - 1 - 1 1 = 2; 
5 = 5 x + 5 2 
Площадь фигуры, огра-
ниченной кривыми 
У=А(х), y=f2ix), пря-
мыми x = a, x = b, причем 
/2 (х) > /L(X), можно рас-
сматривать как разность 
площадей двух криволи-
нейных трапеций: 
ь 
S = j U - / i (x))dx. 
42 
Площадь такой фигуры можно определить по формуле 
у=т 
S = 
и и 
= J f2(x)dx + J /iO)dx 
a a 
b 
= f(f2(x)~ fx CO)d*. (2.6) 
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной 
параболами у = х2 - 6 и у = 4х - х2. 
Решение. 
Оа(0;--6), Ог(2; 4), 
у - х2 - 6, 
у = 4х — х2-, 
А(3; 3), 
з 
?= J ( 4 x -
-1 
— l j Х2 — 3, 
Ух = У2 = 3; 
1; —5), 
х2 — х2 + 6) dx = 
_ 64 
2.1.2. Если криволинейная трапеция ограничена лини-
~ (х — х(£") 
ей, заданной параметрически _ где t е [сс; Э], пря-
мыми х = а,х = b и осью ОХ, причем х (а ) = а,х(Р) = Ь, и 
если сделать в формуле (2.1) замену переменной х = x(t), 
43 
fix) = f(x(t)) = y(t ) , dx = x'it) dt, то ее площадь 5 при 
y ( t ) > 0 находится по формуле 
Р 
5 = j yit)x'it)dt. (2.7) 
Пример. Вычислить площадь плоской фигуры, ограни-
ченной эллипсом; 
глг = a cos t, 
l y = b sin t. 
Решение. Ввиду симметрии эллипса вычислим площадь. 
У4. 
а 
/ 5 = 2 \ у dx — 
х=а cos t 
*Ь : = - а sin1 dt 
y=b sin t 
х г =—а t1=Tu 
x2=a t2=0 
VJ 
= 2 J b s i n t ( - -a sin t) dt = 
о 
IT 
0 
Г Г 1 - cos 2t 
= ~2ab I sin t dt = -2ab I dt 
Tt TT 
= —abt 
0 ab sin 2t + 
Tt 2 
0 
Tt 
Tt ab. 
2.2. Вычисление площадей плоских фигур 
в полярной системе координат 
За базовую фигуру в полярной системе координат при-
нимается криволинейный сектор. 
44 
Определение. Криволинейным сектором называется 
плоская фигура, ограниченная двумя лучами ср = а и 
Ф = (В, выходящими из точки 0 (полюса) и некоторой кри-
вой, заданной в полярной системе координат уравнением 
Р = Р(ф)-
Предполагаем, что функция р = р(ф) непрерывна на 
отрезке [а; (3]. 
Криволинейный сектор будем считать правильной фи-
гурой, если любой луч, выходящий из полюса пересекает 
линию р = р(ф) не более, чем в одной точке. 
Для вычисления площади S криволинейного сектора 
разобьем его лучами ф = ф£ на п элементарных частей с 
площадью ASU i = 1 ,п. Дф£ = ф( — Фг-i-
В силу малости Дф£ площадь каждой части ASt прибли-
женно заменим площадью кругового сектора с централь-
ным углом Дф( и радиусом pt = р(ф£). 
1 , 
ASt « 5сектора = - р (ф£) • Дф£. 
Площадь всего криволинейного сектора 
п 71 
i=i i=1 45 
Переходя к пределу, получим точное значение площади: 
п 
1 V " 1 
5 = й о 2 2 j р2 ^ ' Л ф * ' г д е Я = 
i=l 
Правая часть равенства - это предел /7-й интегральной 
суммы Римана для функции -р2(ср) на отрезке [а; (3]. По 
определению определенного интеграла площадь криво-
линейного сектора вычисляется по формуле 
н 
5 = 2 / p 2^ d ( p l (2.8) 
Пример. Вычислить площадь плоской фигуры, ограни-
ченной лемнискатой Бернулли р2 = a2 cos 2ср. 
Решение. 
, ТГ IT 
р = ау cos 2ф, 0 < 2ср < —, 0 < ф < —. 
В первой четверти полярный угол ф изменяется от 0 до 
-. Используя формулу (2.8), получаем: 
тс 
4 
5 = 4 I I ' 2 cos 2ф с!ф = a2 sin 2ф 
тг 
4 = а2. 
О 
Пример. Вычислить площадь плоской фигуры, ограни-
ченной линиями 
X2 + у2 = 2у, X2 + у2 = 6у, у = X, у = -X. 
46 
Решение. 
х2 + ( у - I ) 2 = 1; х2 + ( у ~ З)2 = 9. 
Построим плоскую фигуру. 
Фигура симметрична относительно оси 0Y. 
Запишем уравнения 
границ в полярных коор-
динатах; 
х2 + у2 = 2у => р = 
= 2 sin ф ; 
х2 + у2 = 6у => р = 
= 6 sin ф; 
у — х, р sin ф = р cos ф, 
Tt 
tgcp = 1, ф 4 ' 
3it 
у = -X, ф 
Найдем площадь фигуры, используя формулу (2.8): 
Tt T t 
2 2 
s = 2 - i / ( p ? - p | ) d < p = /3 2s i „2<pd<,= 
IT 
2 
Tt 
4 
E 
4-
(1 — cos 2ф) dф = 16ф 
Tt 
4 
TT 
2 
^ — 8 sin 2ф 
4 
Tt 
2 
Tt 
4 
4TT + 8. 
2.3. Вычисление длины дуги кривой 
2.3.1. Длина дуги плоской кривой 
в прямоугольной системе координат 
Дана плоская кривая I - график функции у = /(ас), где 
х € [а; 6]; у = /"(х) - непрерывная функция, имеет непре-
рывную производную на [а;Ь]. 
47 
Вычислим длину дуги 
плоской кривой I от точки А 
до В, используя вторую схе-
му (метод дифференциала). 
Возьмем произвольное 
значение* Е [а;Ъ]. 
x l te—£ На переменном отрезке 
[а-,х\ I = 1(х). 
В теме «Кривизна кривой» нами было выведено, что 
dl = V1 + (y i ) 2 dx (2.9) 
(дифференциал дуги в прямоугольной системе коорди-
нат). 
Интегрируя dl в пределах от а до Ъ, получим 
ъ ь 
l = Jdl = J V l + M)2~dx. (2.10) 
Пример. Вычислить длину дуги цепной линии 
у = ~(ех + е~х) между прямыми х = —1, х = 0. 
Решение. Используем формулу (2.10): 
у>(х)=±(е*-е-х); 
,7.x х„х I а-2х 
1 + ( у ' ( * ) ) 2 = 1 + 
2е хе + е ( е х + е - * ) 2 
4 
о о 
1= J V l + ( / ( * ) ) 2 d x = j 
-1 - 1 
е - 1 — е 
ех + е х 
1 е е 
dx = 
2е 
ех — е х 0 
48 
2.3.2. Длина дуги плоской кривой, 
заданной параметрически 
Теорема. Если уравнение кривой АВ задано в парамет-
рической форме 
(х = x(t), 
(У = У(С). 
где x(t), - непрерывные функции с непрерывными про-
изводными на отрезке [а; (3], причем x'(t) 0 Vt е [а; р], то 
длина этой дуги вычисляется по формуле 
Р 
1 = / л/(^)2 + (yt ')2 dt. 
Доказательство. Сделаем в формуле (2.10) замену пе-
ременной, положив х = x(t), dx = x'(t) dt. Так как дуга за-
дана параметрически, то у ' (Х) находим по формуле 
У w = и тогда 
а 
Итак, 
/ V 0 ' ( 0 ) 2 + ( y ' ( t ) ) 2 d t . (2.11) 
.YJ I 
Cj J 
Пример. Вычислить длину дуги 
кардиоиды, определяемой уравне-
ниями 
(х = 2R cos t - R cos 2t, 
( у = 2/? sin t — /? sin 2t, f G L ; 2TrJ' 
49 
Решение. Используем формулу (2.11): 
х ' ( 0 = -2R sin t + 2R sin 2t; 
y'CO = 2/? cost - 2R cos 2t; 
(x ' ( t ) ) 2 + ( y ' ( 0 ) 2 = sin2 t - 8fl2 sin t sin 2t + 
+4Й2 sin2 2t + 4ft2 cos2 t - 8Й2 cos t cos 2t + 
+4Д2 cos2 21 = 4ft2 + 4ft2 - 8ft2 cos t = 
= 8ft2 (1 — cos t) = 16R2 sin2 — ; 
2it 
t 
\16R2 sin2 - dt = J 4Rsin^dt = -8Rcos~ 
о 
= 16ft. 
2тг 
0 
2.3.3. Длина дуги пространственной кривой 
Теорема. Если I — пространственная кривая, заданная 
параметрическими уравнениями 
X = x(t), 
У =У(*0, 
kz = z(t), 
где x(t), y(t ) , z(t) - непрерывные функции с непрерыв-
ными производными на [а; (3], то ее длина вычисляется по 
формуле 
Э 
I = j V (x ' ( t ) ) 2 + ( y ' ( t ) ) 2 + ( 2 ' ( 0 ) 2 d t . (2.12) 
ос 
Пример. Вычислить длину дуги винтовой линии 
i x — a cos t, 
у = a sin t , а = const, b = const, 0 < t < 2tt. 
z = bt, 50 
Решение. Используем формулу 
(2.12): 
x ' ( t ) = —asint, y'(t) — a cost, 
I - Ja2 sin21 + a2 cos2t + b2 dt = 
о 
= 2ть/ a2 + b2. 
x 
2.3.4. Длина дуги плоской кривой, 
заданной уравнением в полярных координатах 
Теорема. Если кривая задана в полярной системе коор-
динат уравнением 
Р = р(ф) Уф е [а; (3], 
где р(ф), р'(ф) непрерывны на [сх; (3], то длина такой кри-
вой вычисляется по формуле 
Р 
Доказательство. Запишем формулы перехода от по-
лярной системы координат к декартовой прямоугольной 
системе координат: 
Эти уравнения можно рассматривать как параметриче-
ские уравнения кривой, где ф — параметр. 
Определим 
a 
И Л И 
х' (ф) = р'(ф) • cos ф ~ р(ф) • sin ф, 
51 
у'(ср) = рг(ф) • sin ф + р(ф) • cos ф. 
И тогда 
( * ' (Ф ) ) 2 + (У ' (Ф) ) 
2 
= (р ' (ф))2 cos2 ф - 2р'(ф) cos ф • р(ф) sin ф 4-
+р 2 (ф) sin2 ф + (р ' (ф))2 sin2 ф 4- 2р'(ф) sin ф • р(ф) cos ф + 
+ р2(ф) cos2 ф = (р' (ф))2 + Р2(ф), 
следовательно, применяя формулу (2.11), получим: 
Р 
Пример. Вычислить длину кардиоиды р = а ( 1 4- созф) 
Решение. 
(2.13) 
а 
Кардиоида симметрична отно-
сительно полярной оси. 
2а Найдем половину длины кар-
р диоиды: 
тс 
О 
р2 = а 2 (1 4- созф)2, р'(ф) = -asincp, 
Р2 + (р')2 - а 2 ( 1 + 2 cos ф 4- cos2 ф 4- sin2 ф) = 
Ф 
= а2 2(1 4- cos ф) = 4а2 cos2 —, 
тс  
~l = 2а cos — <3ф = 4asin— =4а ; I = 8а. 
Ф 
2 О 
о 
52 
2.4. Вычисление объемов тел 
2.4.1. Вычисление объемов тел 
по известным площадям параллельных сечений 
Дано тело, ограниченное замкнутой поверхностью, и 
известна площадь S любого его сечения плоскостью, пер-
пендикулярной к некоторой оси, например, к оси ОХ. 
Положение сечения определяется абсциссой точки его 
пересечения с осью ОХ. С изменением х площадь S сечения 
будет изменяться. 
S = S(Y) зависит от положения секущей плоскости. 
Пусть 5(х) непрерывная функция на отрезке [а; Ь]. 
Для вычисления объема тела разобьем отрезок [о; Ь] на 
п элементарных частей Дх£ точками 
а — х0 хх ^ х2 ^ '" хп_х х71 — Ь, 
ДХ( = xt - Xi_x, i = 1, n, A = шах{Дх£]. 
[a; b] 
Через точки разбиения xt проведем плоскости, перпен-
дикулярные к оси ОХ. Множество плоскостей х = xL разо-
53 
бьет данное тело на п элементарных слоев, толщина каж-
дого из которых равна Дх£. 
На каждом из частичных отрезков [х£_г; х£] выберем 
произвольно точку ^ и найдем значение функции 5(х) в 
этой точке: 5(2;£). 
Так как Дх£ мала, каждый элементарный слой прибли-
женно заменим цилиндром с высотой Дх£ и площадью ос-
нования где Jj£ G [х£_г; х£]. 
Тогда объем элементарного цилиндра ДК£ ~ S(^) • Дх£. 
Объем Квсего тела п п 
v = lL s ( X d 'А х о 
t=i t=i 
Точное значение искомого объема примет вид 
11 
i=1 
и согласно определению определенного интеграла 
п ь 
V = lim ^  S(&) • Дх£ = 1 5 ( х ) dx. 
i=1 a 
Итак, 
ъ 
V = J 5(x) dx, (2.14) 
a 
где 5(x) - площадь известного параллельного сечения. 
Пример. Найти объем части однополостного гипербо-
2 2 2 
лоида ^ + ^ — 1, ограниченного плоскостями z ~ - H 
nz = H. 
Решение. Вычислим площадь сечения гиперболоида 
плоскостью, перпендикулярной оси OZ при постоянном z. 
Площадь эта будет S(z). 
54 
В сечении получаем эллипс, кото-
рый определяется уравнениями 
,2 X2 у2 
la2 b2 
z 
1+-Z, 
z = const. 
Приведем уравнение эллипса к 
каноническому виду: 
х' 
+ • 
а2(1+ф) Ь2(1 + ^г) 
= 1. 
Полуоси эллипса равны: 
° i = e Ьг = Ь + 
Площадь эллипса 5 (z ) = тг^ • bt = uab{l + —). 
Используем формулу (2.9), где переменная интегриро-
вания не х, a z 
и и 
Г Г z2 Н3 
V = I 5 ( z ) dz = I тта6(1 + — ) dz = 2тгab(H + —). 
-н -н 
2.4.2. Вычисление объемов тел вращения 
Рассмотрим тело, полученное вращением вокруг оси ОХ 
криволинейной трапеции, ограниченной кривой у — fix), 
осью ОХ и прямыми х = а,х = Ь. 
В этом случае любое перпендикулярное сечение к оси 
вращения ОХ есть круг с площадью 
5 = nf2(x) = иу2. 
55 
Применяя формулу (2.9), 
получаем для вычисления объ-
ема тела вращения формулу 
ь 
Vox = тс | у2 dx = 
и 
= тг I С/(х)У dx. (2.15) 
Пример. Плоская фигура, ограниченная линиями у = -
и у = 5 - х, вращается вокруг оси ОХ. Вычислить объем 
тела вращения. 
Решение. Построим фигу-
ру. Найдем точки пересече-
4 
ния графиков функций у = -
и у = 5 — х, решив систему 
уравнений 
4 
t 
х 
у — 5-х, 
> у = ? 
X 
= 5 — х, 
х2 - 5х + 4 = О, 
X j = 4 , х 2 = 1 . 
Получили точки: Л(1; 4), 5(4; 1). 
Объем тела вращения найдем как разность объемов: 
ъ 
V = Vi - V2 = Tt J(/i2 (x) - /22(х)) dx = 
•4-
x ) 2 
16 
X 
-) dx = 9TL 
56 
Замечание. 
J 'У 
d Л 
ШШж 
т ш 
О] X 
Если тело образовано 
вращением вокруг оси OY 
криволинейной трапеции, ог-
раниченной осью OY, прямы-
ми у-с, y-d и графиком 
функции х = <р(у), то его объ-
ем вычисляется по формуле 
V, OY 
и и 
= njx2dy = 71 |(ф(у ) ) 2с !у . (2.16) 
Пример. Вычислить объем тела, образованного враще-
нием плоской фигуры, ограниченной линиями 
х2 
у = — ,х - 0,у = 3, вокруг оси 0Y. 
Решение. По формуле (2.16) находим: 
Л 
'OY -/ Зу dy = тс 
Зу2 3 
О 
27тт 
2.5. Вычисление площади поверхности вращения 
Пусть кривая АВ, являясь графиком непрерывной диф-
ференцируемой функции у = fix) > 0, х Е [а; Ь], враща-
ется вокруг оси ОХ. 
57 
Вычислим площадь 5 
поверхности вращения. 
Разобьем отрезок [а;Ь] 
на п элементарных отрез-
ков с длиной частичного 
^ отрезка (Дх£ = хь — 
~Xi-1). 
Через точки деления 
проведем плоскости пер-
пендикулярно оси ОХ. 
Поэтому вся поверхность вращения разобьется на п 
элементарных частей ДSt. В силу малости разбиения пло-
щадь каждой части ДSt приближенно заменим площадью 
боковой поверхности элементарного усеченного конуса, 
образующая которого - Alit а радиусы оснований равны 
Тогда 
Д 5 £ » . M i = 2 п Ш . М . = 
= 2 ir/&)Vl + WO*»2-Ахи 
( ч /O f - l ) + fixt) 
где /C^i) = 2 ' ^ \.xi-i' xi\-
Вся площадь поверхности вращения 
и п 
i=l i=1 
Перейдя к пределу, получим точное значение для пло-
щади поверхности вращения: 
п 
5 = 2тг ЙЗ Z , * V I + • Д**, 
i=l 
58 
т. е. 
о 
Sox = 2nJ A * ) V l + ( / ' ( * ) ) 2 dx . 
Замечание 1. Если кривая задана параметрически 
(х = x(t), 
l y = у (О, te[ti; t2], 
то площадь поверхности вращения 
t 2 
= 2тс | y ( t )V ( x ' ( t ) ) 2 + ( У (О ) 2 dt. 
t i 
Замечание 2. Если кривая задана в полярных координа-
тах уравнением р = р(ф), а < ф < (3, то 
Р 
Sox = 2 n j Р(Ф) • s i n Ф Л/СР(ф))2 + (Р ' (ф))2 dep. 
а 
Замечание 3. Площадь поверхности, образованной вра-
щением вокруг оси ОКдуги ЛЯ кривой х = ф(у): 
d _ _ _ _ _ 
5 о к = 2тг J xd/ или 50К = 2тт J x j l + (х'у)2 dy. 
АВ с 
Пример. Определить площадь поверхности, образо-
х 2 
ванной вращением кривой у = —, отсеченной прямой 
у = 1,5, вокруг оси OY. 
59 
•W = 2тг/о1'5хл/1 + ( 4 ) 2 dy 
1,5 
= 2uf fly = 
0 > 
1,5 
1,5 3 
2 it (2y + 1 ) 2 - 2 
2u J (2у + 1)2 dy = 
1,5 
0 
3. Механические приложения 
определенного интеграла 
3.1. Нахождение пути, пройденного телом 
при прямолинейном движении 
Пусть материальная точка движется прямолинейно с 
некоторой скоростью д = d(t). Найдем путь 5, пройден-
ный ею за промежуток времени от t = а до t = Ъ. 
Решение. Из физического смысла производной извест-
но, что скорость прямолинейного движения 
d5 
= — => dS = d(t)dt. 
dt 
Интегрируя полученное равенство, получим: 
ъ 
5 = j d(t)dt. (3.1) 
а 
Замечание. Эту формулу можно получить, пользуясь 
первой схемой применения определенного интеграла. 
Пример. Тело движется прямолинейно со скоростью 
fl(t) = (312 + 4t + 1) м/с. 
Найти путь, пройденный телом за первые 3 секунды. 
Решение. 
S = fQ3(3t2 +4t + l)dt = (t3 + 212 + t)\30 = 48 (м). 
3.2. Вычисление работы силы, 
произведенной при прямолинейном движении тела 
Для нахождения работы переменной силы, как было 
показано в п 1.1, используя алгоритм, основанный на со-
61 
ставлении интегральной суммы и предельном переходе к 
определенному интегралу, получили формулу 
ь 
Пример. Сила в 60 Н растягивает пружину на 2 см. Пер-
воначальная длина пружины равна 14 см. Какую работу 
нужно совершить, чтобы растянуть ее до 20 см? 
Решение. Согласно закону Гука сила F, необходимая для 
растяжения или сжатия пружины, пропорциональна ве-
личине растяжения или сжатия. 
Пусть х - величина растяжения. 
Тогда F = к ' х, где к - коэффициент пропорционально-
сти, зависящий от свойства пружины. Используя условие, 
находим /с = = 3000 (Н/м). 
Следовательно, F = 3000 • х. Так как пружину требует-
ся растянуть на 0,06 м, то согласно формуле (3.2) 
Пример. Вычислить работу, которую необходимо за-
тратить, чтобы выкачать жидкость, наполняющую полу-
сферический сосуд с радиусом R м. 
Решение. Разбиваем объем полусферического сосуда на 
элементарные объемы малой высоты Axt плоскостями, 
параллельными плоскости основания. Объем элементар-
ного слоя ДVi ^ n-yf • Axt высоты Досчитаем этот слой 
за цилиндр с радиусом основания у{). 
Элементарная сила (сила тяжести) равна весу воды в 
объеме слоя толщиной Ах0 т. е. AFt = 
= у • g • тг • yf - Axt. Работа, затрачиваемая на поднятие 
(3.2) 
а 
0,06 
Ч 
, 0,06 
3000 • xdx = 1500 • ЛГ2 = 5/4 (д ^). 
о 
62 
этой массы воды, находя-
щейся на глубине хь нахо-
дится по формуле 
М^ = у • g • тт • yf • AXi • хи 
где у - плотность жидкости; 
g- ускорение свободно-
го падения. 
Уравнение окружности 
ABC: 
X2 + у2 = R2 yf = R2 - х? , 
следовательно, 
Mt=yg-n-yf •AXi-Xi =yg-n(R2-x?)AXi-Xi. 
п 
А » ^Г AAt. 
i=1 
R 
С R 
А = у - g • it I (R2 - x2)xdx = у • g • Tt —(Дж) . 
о 
3.3. Вычисление силы давления жидкости 
Пусть пластина в виде криволинейной трапеции погру-
жена вертикально в жидкость с плотностью у так, что ее бо-
ковые стороны параллельны поверхности жидкости и нахо-
дятся ниже ее уровня соответственно на расстоянии а и Ь. 
Пусть уравнение кривой ЛЯ имеет вид у = f(x),f(x) непре-
рывная функция на отрезке [а; Ь]. 
Требуется определить силу давления жидкости на пластину. 
Если пластина находится в горизонтальном положении 
на глубине h от поверхности жидкости, то по закону Пас-
каля сила давления Р жидкости на нее будет равна весу 
63 
о 
А 
* столба жидкости, име-
ющего основанием дан-
ную пластину, а высо-
той - глубину h, т. е. 
У 
, P = g-yh'S, [3.3] 
где 9 ~ ускорение свобод-
ного падения; 
В S- площадь пластины; 
х у - плотность жид-
кости. 
Если же пластина погружена в жидкость вертикально, 
то по формуле [3.3] давление жидкости на нее не может 
быть вычислено, так как в этом случае разные точки ле-
жат на разных глубинах. 
При решении задачи будем учитывать, что по закону 
Паскаля давление в жидкости передается одинаково по 
всем направлениям, в том числе и на вертикальную пло-
щадку. 
Для решения задачи разобьем пластину на п частей 
прямыми, параллельными поверхности жидкости, т. е. па-
раллельными оси OY и проходящими через точки 
и получим п малых горизонтальных полосок высотой 
Axt = Xi — х{_х. Каждую полоску приближенно можно счи-
тать прямоугольником. 
Выберем на каждом частичном отрезке произвольным 
образом точку \ Е [ х ^ ; х£], i = 1,п. Тогда площадь i-й го-
ризонтальной полоски приближенно равна /О;;) • Лх£. 
Считая, что все точки i-й полоски находятся на одной глу-
бине h = ^i, значение силы давления на нее можно вычис-
лить по формуле (3.3): 
64 
Просуммируем найденные значения b.Pt и получим 
приближенное значение силы давления жидкости на всю 
пластину: 
п 
i=l 
Так как Pt - интегральная сумма для непрерывной 
функции g- у • х • f{x) на отрезке [a; b], то точное значение 
Р силы давления жидкости на пластину выражается опре-
деленным интегралом: 
ь Р = Иш Pi = g • у J xf(x) dx. (3.4) 
a 
Замечание. Если в жидкость вертикально погружена 
пластина, ограниченная х - а,х = Ь, кривыми у = уг{х), 
у = у2 (х) , то сила давления на эту пластину вычисляется 
по формуле 
ь 
Р = £ • у J х(у2 ( х ) - У! ( х ) ) dx. (3.5) 
65 
Пример. Определить силу давления воды на стенку 
шлюза, доверху заполненного водой, длина которого 30 м, 
а высота - 10 м. 
Решение. По условию у = fix) = 30, а = 0, Ъ — 10, у = 
= 1000 кг/м3. 
Используя формулу (3.4), находим: 
Пример. Определить силу давления масла (плотность 
масла 900 кг/м3) на вертикальную стенку, имеющую фор-
му полукруга с радиусом Я = 5 м, диаметр которого нахо-
дится на поверхности масла. 
Решение. Так как стенка есть полукруг с радиусом R, то 
в данном случае пластинка ограничена линиями 
ю 
х2 10 
30х dx = 9800 • 30 • — = 1,47 • 106 Н. 
о 
Ух = -V/?2 - X2, 
У2 = уJR2 — х2. 
R 0 R 
+х 
Используя формулу (3.5), находим: 
R 
Р =gy (-jR2-x2))x dx 
о 
66 
R 
- 2gy j -JR2 - x2 x dx = 
о 
R 
2 gy(-^)f(R2-x2)ld(R2-x2) — л 
0 
3 2 IR 2 
= -gY'(.R2-x2)2.-^Q--=-gyR3. 
Так как g « 9,8 м/с2, у = 900 кг/м3, Я = 5 м, то Р « 
« 735 ООО Н = 735 кН. 
3.4. Вычисление массы неоднородного 
прямолинейного стержня с плотностью у = у(х), 
занимающего на оси ОХ положение отрезка [а;Ь] 
ь 
т - j у (х ) dx. (3.6) 
а 
Замечание. Масса криволинейного стержня, располо-
женного вдоль кривой у = /(х), х £ [а;Ь], вычисляется по 
формуле 
ь ъ 
т = 
а 
I у (х ) d 1 = 1 у (х ) л/ТТ(/ '00 ) 2 dx. (3.7) 
3.5. Вычисление статических моментов, 
моментов инерции и координат центра тяжести 
плоской кривой 
Определение. Статическим моментом материальной 
точки М(х;у), в которой сосредоточена масса т, относи-
тельно оси ОХ (оси OY) называется величина, численно 
67 
равная произведению массы этой точки на расстояния до 
оси ОХ (оси OY): т-у(т-х). 
Определение. Моментом инерции материальной точки 
М(х;у ) , в которой сосредоточена масса т, относительно 
оси ОХ (оси О К, точки О) называется величина, численно 
равная произведению массы этой точки на квадрат расстоя-
ния до оси ОХ (оси OF, точки 0):т • у2(т • х2, т(х2 + у2))-
Пусть на плоскости XOY задана система материальных 
точек М1(х1;у1),М2(.х2;у2), ->Мп(хп;уп) соответственно с 
массами m1,m2, ...,тп. 
Статические моменты системы материальных точек 
относительно оси ОХ (оси OY) находятся соответственно 
по формулам 
Если массы непрерывно заполняют дугу на плоскости 
XOY плоской материальной кривой, заданной уравнением 
У - /00» где х G [a; b] и имеющей плотность у = у00, то 
статические моменты этой дуги относительно коорди-
натных осей ОХ и OY и моменты инерции находят с помо-
щью интегрирования по следующим формулам: 
а моменты инерции - по формулам 
ь 
j Y(x)f(x)Jl + (f(x))2dx, (3.8) 
а 
Ъ 
(3.9) 
о 
68 
'ОХ I у (х ) f2(x)Jl + (y(x)f dx, (3.10) 
a 
b 
I OY JY(X) -x2jl + (y'(x))z dx. (3.11) 
Пусть точка C(xc;yc ) - центр тяжести кривой. Из курса 
механики известно, что 
Мг Mv 
Ус 
1Х 
т ' " т 
Масса дуги т находится по формуле (3.7): 
ь 
(3.12) 
т = j Y(x)Jl + (f(x))2dx. 
Замечание. Если кривая однородная, то у = const. 
Пример. Найти координаты центра тяжести дуги аст-
роиды х2/з + у2/з — а ! з, лежащей в первой четверти. 
Решение. Координаты центра тяжести дуги вычисляем 
по формулам (3.12). 
Так как кривая симметрична относительно у — х, то 
моменты М о х ,М о у равны, поэтому равны и координаты 
центра тяжести рассматриваемой дуги астроиды. 
У* 
69 
/0axVl + (y^)2dx 
хг = у. = — с jc ra I j 
/о V l + ( X ) 2 d x 
х
2 / з + у 2 / 3 = А 2 / з = > у = ( А 2 / з - Х 2 /З ) 3 / 2 , 
У ' О ) = ~ ( а 2 / з - х 2 / з ) § . 
1 + (у;)2 = а2/з.Н/ 
а а 
/ х л / 1 + (У*)2 dx = аа/з | х2/з dx = |а2 , 
О о 
а а 
J Vl + 0:02dx = J aV3X-|dx = ^ a, 
О о 
3 2 
2 
*С = Ус = V " = -ра. 
|а 5 
70 
Задания для аудиторных занятий 
и задания для внеаудиторной работы 
Занятие № 1 
Определенный интеграл как предел интегральной суммы 
Римана. Основные свойства определенного интеграла. 
Формула Ньютона-Лейбница 
Задания для аудиторных занятий 
Задания 1 уровня 
1. Вычислить интеграл 
8 
j х dx 
о 
как предел интегральной суммы. 
2. Определить знак интеграла 
1 
/ х inxdx. 
1 
3 
не вычисляя его. 
3. Не вычисляя значений интегралов 
1 1 
J х dx и j х2 dx, 
о о 
установить, величина какого из них больше. 
4. Найти среднее значение функции f{x) = 5х + 2 на 
отрезке [-2; 2]. 
5. Оценить интеграл 
71 
/ V ? + x2 dx. 
о 
6. Вычислить интегралы: 
2 
dx 
X +• X3 ' 
a) j е3х+2 dx; б) j 
о 1 
тг тг 
4 2 
Г Г COS X 
в) I sin 5х • cos Зх dx; г) I -г-=—dx. 
у J J sm-5 х TT 
6 
Задания 2 уровня 
1. Вычислить интеграл 
1 
J ех dx 
о 
как предел интегральной суммы. 
2. Определить знак интеграла 
1 
х3 • е х dx, 
-1 
I 
не вычисляя его. 
3. Не вычисляя значений интегралов 
TT ТТ ТЕ Tt 
2 2 2 2 
a) j sin3 х dx и J sin7 x dx; 6) j sin x dx и j x2 dx, 
o o o o 
установить, величина какого из них больше. 
4. Найти среднее значение функции у = tgx на отрезке 
[0;?]. 
72 
5. Оценить интегралы: тс 
2 2 2 г 
Г sinx J _ f x г + 5 
IT О 
4 
6. Вычислить интегралы: 
Tt 
? >3xdx _ r ( x + 3x3 )dx r cos3  Г 1 
i , ! I * T s T ? " : 6 ) X4 + 1 
ft , - 0 
4 2 * 
Г dx f 1 + cos 2x f . 
j Г ) J J — Г " ' Д ) J S m 3 X d X ' 
Задания для внеаудиторной работы 
1. Вычислить интеграл 
/ 
г 
х2 dx 
0 
как предел интегральной суммы. 
2. Определить знак интеграла 
1 
J Ух dx, 
- 2 
не вычисляя его. 
3. Не вычисляя значений интегралов 
1 1 2 2 
a) I е*2 dx и | е dx; б) I . и — ; 
J J J V l T x 2 J * 
0 0 1 1 
установить, величина какого из них больше. 
73 
4. Найти среднее значение функции 
1 
fix) = 
1 + х2 
на отрезке [-1; 1]. 
5. Оценить интегралы: 
тг 
1 2 
a) J е~*2 dx; б) J x-sinxdx. 
о о 
6. Вычислить интегралы: 1 
е 2 
14- In X Г X3 dx Г я: f x -
а ) J ~ T ~ d x 6 ) J — 
1 о 
3x4-2' 
Tt 
3 тг 
dx 
в) [ — 5 — — — — ; г) f si 
J cos2 х • sin4 x J 
in4x dx. 
TT 
6 
Ответы: 
iA 
3 
2. Минус. 
3. а) второй; б) второй. ^ 71 
4 
5. a) i < / < 1; 6) 0 < / < ^ 
6 . a ) § ; 6 )H + 81n^ + ln2; г) fit. 
74 
Занятие № 2 
Замена переменной и интегрирование по частям 
в определенном интеграле 
Задания для аудиторных занятий 
Задания 1 уровня 
Вычислить интегралы: 
9 2 
1) JxVT^ lcdac ; 2) j 
dx 
3) 
x V l 4- х2 
„ 
dx _ Г dx JiS? 4)/r 
0 2. Tt 
+ V2x + 1 
2 2 
J tJ 4-х2 dx; 6 ) J x - s i n x d x ; 
arcsmx 
dx. 
5) 
~2 О 
1 1 
Щ/ 
0 0 
Задания 2 уровня 
Вычислить интегралы: 
1 9 
Г xdx Г Vx dx 
13 2 ) i v ^ T ; 
- 1 4 
In 2 1 
3) J V e ^ T d x ; 4) J л/3 - 2x - x2 dx; 
о -1 
4 3 
Г Vx2 - 4 f 
j — i ? — ^ 6) I x • arctgx dx; 
тс 
7 ¥ 
7) 
Г х • sin ж dx г 
J cos"2~x ; 8 ) I e 3 z ' c°s 4х dx. 
0 о 
Задания для внеаудиторной работы 
Вычислить интегралы: 
J х4 d x ; 2) J - J * 
з 
In 3 
In 2 
тг 
2 
TT 
2 
In 8 
Ve* + 1' 
in з 
4 
i /- dx; 
J Vx+1 о 
3 
5 ) / 2 + cosx ; 6 ) f dx; Tt ./ 
2 u 
TT2 
7) J sinVxdx; 8) f( 
о I 
,3X sin 4x dx; 
о 
Tt 
2 
io ) f 
* s m * J 6 - 5 s i n x + sin2 
4 0 
Ответы: 
С.Л 81 6) —тг; 1) 6; 
2) In-; J 16 
\ 2 7)2; 
3) - In - ; J 2 2 
TC , V2 
4) 21n 3 ; 
_2T1_ 9) -J — In — ; 
b J i v f ' 4 4 2 
10) In-. 
Занятие № 6 
Геометрические приложения определенного интеграла. 
Вычисление площадей плоских фигур. 
Вычисление длин дуг 
Задания для аудиторных занятий 
Задания 1 уровня 
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной гипербо-
лой ху = 4, прямыми х = 1,х = 4 и осью ОХ. 
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной пара-
болой у = 3x2 (x > 0), прямыми у — 1, у = 4 и отрезком 
оси OY. 
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой 
у = 2х + 3 и параболой у = ж2. 
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью ОХ 
и одной аркой циклоиды 
д: = 2(t — sin t), 
у — 2(1 — cos t). 
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой 
р = a • tgф (а > 0) и прямой ф = 
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной улиткой 
Паскаля р = 2 + cos ф. 
7. Найти длину дуги полукубической параболы 
у2 = (х - I ) 3 между точками Л(2; - 1 ) и В(5; - 8 ) . 
8. Найти длину развертки окружности 
х = 2(cost + t • sint), 
у = 2(sin t - t • cos t) 
от t = 0 до t = 2-TT. 
9. Вычислить длину окружности p = 2a sin ф. 
77 
Задания 2 уровня 
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
х 3 
у =• COS Х,у — = 0,х = -тг. 
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
у = х2 - Зх,у = 3 - х,у = -х2 +~,х = 0,х>0. 
8 2 
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной астрои-
дой 
(х = a cos3 t, 
Iу = a sin31. 
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной петлей 
кривой 
t 2 , 
У = g - ( 6 - t ) . 
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией 
р = a sin 2ф. 
6. Вычислить площадь части фигуры, ограниченной 
замкнутой кривой р = a cos 3ф, лежащей внутри круга 
р = | ( а > 0 ) . 
7. Найти длину дуги кривой у = ^ (3 — х)л/х между точ-
ками ее пересечения с осью ОХ. 
8. Найти длину дуги кривой 
х = ес • cos t, 
у — et • sin t 
от t = 0 до t = 1. 
9. Найти длину замкнутой кривой 
р = а • sm4 —. 
78 
Задания для внеаудиторной работы 
1. Река протекает по лугу, образуя кривую у = х — 2х2, 
единица длины 1 км, ось ОХ - линия шоссе. Сколько гек-
таров луга между шоссе и рекой? 
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
у = 2 - х 2 , У3 = * 2 -
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной парабо-
лой у = ~х г + 4х — 3 и касательными к ней в точках 
М(0 ; -3 ) , iV(3; 0). 
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой 
р = asin3cp. 
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардио-
идой 
(х = 3(2 cos t — cos 21), 
(у = 3(2sin t - sin 2t). 
6. Найти длину дуги кривой 
у = 1п(1 -х2) 
1 1 от х = — до х = - . 
2 2 
7. Найти длину дуги кривой 
(х = (t2 — 2) sin t + 2t cos t, 
ty = (2 - t 2 ) cost + 2tsint 
от t = 0 до t — 71. 
8. Найти длину дуги кардиоиды р = 2(1 - coscp), нахо-
дящейся внутри окружности р = 1. 
Ответы: 
1.4- га. 7 if. 
326 ' 4 ' " 3 ' 
2-~. 5.5471. 8.8(2-л/3). 
15 
9 
4 
3>9 6. 2-In 3 - 1 . 
79 
Занятие № 6 
Геометрические приложения определенного интеграла. 
Объем тела вращения. Площадь поверхности вращения 
Задания для аудиторных занятий 
Задания 1 уровня 
1. Найти объем эллипсоида, определяемого уравнением 
2 2 2 X у Z 
а2 Ъ2 с2 
2. Найти объем тела, полученного вращением вокруг 
оси ОХ синусоиды у = sin х на отрезке [0; те]. 
3. Вычислить объем тела, которое получено при вра-
щении вокруг оси 0Y плоской фигуры, ограниченной ося-
ми координат и параболой 
i l l 
хг + уг - д2. 
4. Плоская фигура, ограниченная линиями у2 = 4х и 
у — х, вращается вокруг оси ОХ. Вычислить объем тела 
вращения. 
5. Вычислить площадь поверхности, образованной вра-
щением вокруг оси абсцисс линии, заданной параметрически: 
Х у = = £ / п р и г е [ 0 ; 2 ] . 
6. Вычислить площадь поверхности, образованной 
вращением вокруг оси OY части кривой у = 1 — х2, распо-
ложенной над осью абсцисс. 
Задания 2 уровня 
1. Вычислить объем тела, образованного вращением 
вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями 
80 
2 1 3 у - Хг,у = - X 6 . 
2 Найти объем тела, образованного вращением вокруг 
оси ОХ фигуры, ограниченной линиями у = е~2х - 1, 
у = е~х +1 х = 0. 
3. Вычислить объем тела, образованного вращением 
фигуры, ограниченной линиями у = 4-х2, у = О, вокруг 
прямой х = 3. 
4. Вычислить объем тела, образованного вращением 
вокруг полярной оси кривой р = a cos3 ср (а > 0). 
5. Найти площадь поверхности, образованной враще-
нием вокруг оси ОХ дуги кривой у = ^л/х(х - 12) между 
точками ее пересечения с осью ОХ. 
6. Вычислить площадь поверхности, образованной вра-
щением вокруг полярной оси кардиоиды р = а( 1 +• cos ср). 
7. Найти площадь поверхности, образованной враще-
нием одной арки циклоиды 
х = a(t — sin t), 
у = а(1 — cos t) 
вокруг ее оси симметрии. 
Задания для внеаудиторной работы 
1. Вычислить объем тела, полученного вращением во-
круг оси 0Y фигуры, ограниченной параболами у = 2х2 и 
у = х2 + 1. 
2. Найти объем и площадь поверхности тела, образо-
ванного вращением одной арки циклоиды 
(х = a(t - sint), 
(у = a ( l - cost) 
вокруг оси OX. 
81 
3. Вычислить площадь поверхности, образованной 
вращением вокруг оси 0Y кривой 
fx = et • sin t, 
\у z= et • cos t 
от t = 0 до t = -. 
2 
4. Вычислить площадь поверхности, образованной 
вращением вокруг полярной оси лемнискаты Бернулли 
р2 = a2 cos 2ф. 
Ответы: 
п 
64 
2. 5 = —на 2 , V = 5тг2а3. 
2л/2тг 
3. —-—(2еп + 1). 
4. 2 t i ( 2 -V2 ) а 2 . 
Занятие № 5 
Несобственные интегралы 
Задания для аудиторных занятий 
Задания 1 уровня 
1. Вычислить несобственные интегралы или устано-
вить их расходимость: 
со оо 
1) j sin х dx; 2) j ^ C t g * dx; 
- f x 2 
о 0 + oo oo 
f dx Г dx 
3> / x2 + 4x + 10' 
82 
7) cos: 3 - х ( 3 - х ) 2 ' 
о 
2. Исследовать на сходимость интегралы: СО +СО 
f dx Г 3 + sin х 
1] J VTT^-VTT^ Ч w ; 
1 1 
• f C O 1 
г cosx , ^ Г 3) j — dx; fl j : tgx - X 
о 
Задания 2 уровня 
1. Доказать, что интеграл 
+ оо 
/ е-?* dx 
о 
сходится при любом постоянном р > 0 и расходится при 
р < О, 
2. Вычислить несобственные интегралы или устано-
вить их расходимость: 
00 
1) J х • sin 2х dx; 2) J (х + 1) dx 
л/х2 4- 2х + 17 
о о + оо 
3) j х • е~3х dx; 4) J |х(3 • е~*2 dx; 
О —оо 
1 2 
„ Г Зх2 + 2 Г xdx 5) J _ _ d * ; 6) j 
\ vx- J (X2 _ 1}| 
83 
3. Исследовать на сходимость интегралы. 
1 1 00 1 
f dx r l n ( l + Vx2) 
35 J у 4 ) j 
00 
Г 1 - 3sin2x 
5) —-—r-pr—dx. 
J X3 + V* 
1 
Задания для внеаудиторной работы 
1. Вычислить несобственные интегралы или устано-
вить их расходимость: 
+ оо +oo 
х dx Г dx Г 1] I ^П1 2) J О е со оо 
Г xdx г 
3) I : - —; 4) I е -sinxdx; 
J JW+W I 
2 1 
Г xdx Г 5x + 2 
6 ) | w 
2. Исследовать на сходимость интегралы: 
з 1 
С cosx f x 2 dx 
о о со оо 
Г dx г dx 
J 3 + 2х2 + 5х 4 ' J 
г - + 1)(х + 2) 
Ответы: 
1: 1] расходится; 2) расходится; 3) i ; 4) i ; 5) 6) 6. 
2:1] сходится абсолютно; 2) сходится; 3) сходится; 4) сходится. 
84 
Занятие № 6 
Механические приложения определенного интеграла 
Задания для аудиторных занятий 
Задания 1 уровня 
1. Скорость движения материальной точки задается 
формулой V = (4t3 - 2t + 1) м/с. Найти путь, пройденный 
точкой за первые 4 секунды от начала движения. 
2. Скорость движения тела задана уравнением 
V = (121 — 312) м/с. Определить путь, пройденный телом 
от начала движения до остановки. 
3. Найти координаты центра тяжести дуги окружности 
х2 + у2 — R2, лежащей в первой четверти. 
4. Найти момент инерции относительно оси ОХ дуги 
кривой у = ех от х = 0 до х = 1. 
5. Какую работу совершает сила в 20 Н при растяжении 
пружины на 4 см? 
6. Вычислить силу давления на прямоугольную пла-
стинку с основанием 16 см и высотой 24 см, погруженную 
вертикально в воду так, что верхнее основание пластинки 
находится на 10 см ниже свободной поверхности воды. 
7. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепи-
педа. Найти силу давления воды, наполняющей аквариум, на 
одну из его вертикальных стенок, размеры которой 0,4x0,7 м. 
Задания 2 уровня 
1. Тело движется прямолинейно со скоростью 
V(t) = (t + 6t2)м/с. Найти путь, пройденный телом за 
третью секунду. 
2. Определить, на какую максимальную высоту подни-
мется тело, брошенное от поверхности Земли вертикаль-
85 
но вверх со скоростью V0, если не учитывать сопротивле-
ние воздуха. 
3. Два тела одновременно начали прямолинейное дви-
жение из одной точки в одном направлении. Первое тело 
движется со скоростью V-, = (6t2 + 2t) м/с, второе со ско-
ростью V2 = (4t + 5) м/с. На каком расстоянии друг от 
друга они окажутся через 5 секунд? 
4. Найти декартовые координаты центра тяжести дуги 
кардиоиды 
р = а( 1 4- cos ф) от ср = 0 до <р = тс. 
5. Найти момент инерции относительно оси ОХ одной 
арки циклоиды 
х = a(t — sin t), 
у = а( 1 - cost). 
6. При растяжении пружины на 5 см затрачивается ра-
бота 29,43 Дж. На сколько растянется пружина, если за-
тратить работу 9,81 Дж? 
7. Вычислить работу, которую необходимо затратить, что-
бы выкачать воду из конического сосуда, обращенного вер-
шиной вниз, радиус основания которого равен R и высота Я. 
8. Пластинка в форме треугольника погружена верти-
кально в воду так, что ее основание лежит на поверхности 
воды. Основание пластинки а, высота h. Подсчитать: 
1) силу давления воды на каждую из сторон пластинки; 
2) во сколько раз увеличится давление, если перевер-
нуть пластинку так, что на поверхности окажется верши-
на, а основание будет параллельно поверхности воды. 
Задания для внеаудиторной работы 
1. Найти путь, пройденный телом за 10-ю секунду, зная, 
что скорость его прямолинейного движения выражается 
формулой V = (t2 + 4t - 2) м/с. 
86 
2. Тело движется прямолинейно со скоростью 
(41 + а) м/с. Найти значение а, если известно, что 
путь, пройденный телом за 2 с от начала движения, ра-
вен 48 м. 
3. Два тела одновременно начали прямолинейное дви-
жение из некоторой точки в одном направлении со скоро-
стями Vx = (6t2 + At) м/с и V2 = At м/с. Через сколько се-
кунд расстояние между ними будет равно 250 м? 
4. Найти координаты центра тяжести одной арки цик-
лоиды 
(х = a(t — sin t), 
(у = а( 1 - cost). 
5. Найти момент инерции дуги окружности х2 + у2 = R2, 
лежащей в первой четверти относительно оси OY, 
6. Для сжатия пружины на 3 см необходимо совершить 
работу в 16 Дж. На какую длину можно сжать пружину, со-
вершив работу в 144 Дж? 
7. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы 
выкачать жидкость удельного веса у из вертикальной ци-
линдрической бочки, имеющей радиус основания R и вы-
соту Я. 
8. Определить силу давления воды на вертикальный 
параболический сегмент, основание которого равно 4 м и 
расположено на поверхности воды, а вершина находится 
на глубине 4 м. 
Ответы: 
1 
1. 126- м. 5. 0,25тг/?2. 
2. а = 20. 6. 0,09 м. 
ч е „ „ YKRzHz 
^ с- 7. (ед. работы). 
4 4. хс = па, ус = - а. 8. 167 424 Н. 
87 
Задания для самостоятельной работы 
Вариант 1 
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
у2 = X + 1,у = (х + I )2 . 
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемни-
скатой Бернулли p2=2cos2cp и окружностью р = 1(р > 1). 
3. Найти длину дуги трактрисы 
!
х — а(со st + Intg-), 
у = asint 
тс 5тт 
от t = - до t = — . 
4. Найти длину полукубической параболы у = л/х3 от 
точки 0(0; 0) до точки А (5; 5л/5). 
5. Найти объем тела, образованного вращением фигу-
ры, ограниченной графиками функций у = х -f 2, у = х2, 
вокруг оси ОХ. 
6. Вычислить несобственные интегралы или доказать 
их расходимость: 
«> 2 
Г xdx Г Х + 1 
1) - = = = ; 2) — -dx. 
J J(x2 - 3) J J х2+х+ 2 
2 * y 0 
7. Исследовать на сходимость интеграл 
2 1 
f cos-
о 
8. Определить силу давления воды на вертикальный 
параболический сегмент, основание которого равно 8 м и 
88 
расположено на поверхности воды, а вершина находится 
на глубине 4 м. 
Вариант 2 
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной парабо-
лой х2 = 4у и локоном Аньези у = 
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемни-
скатой Бернулли р2 = 4cos2cp. 
3. Найти длину дуги кривой 
3 12 
у = lnx, - < х < —-. 
4 5 
4. Найти длину кривой 
х = R(cos t + t sin t), 
у = 7?(sin t — t cos t) 
от t = 0 до t = it. 
5. Найти площадь поверхности, образованной враще-
нием параболы у = х3 вокруг оси абсцисс от х = 0 до х = -. 
6. Вычислить несобственные интегралы или доказать 
их расходимость: 
00 5 
ь « 3 I VI 
7. Исследовать на сходимость интеграл 
+ 00 
f dx J 6х2 4- 4х + 13' 
1 
8. Вычислить работу, которую нужно затратить на вы-
качивание воды из полушара радиусом л/2 м. 
89 
Вариант 3 
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
у2 = Зх и х2 = 3у. 
2. Доказать, что площадь, заключенная между тремя 
лепестками кривой р = asin3cp, равна четверти площади 
описанного круга. 
3. Найти длину дуги полукубической параболы 
5у3 = х2, заключенной внутри окружности х2 + у2 = 6. 
4. Найти длину дуги кардиоиды р = 3(1 - coscp). 
5. Определить объем тела, образованного вращением 
вокруг оси OY фигуры, ограниченной линиями у = 
= arcsinx, у — 
6. Вычислить несобственные интегралы или доказать 
их расходимость: 
тг 
+ оо 2 
dx Г dx 
а) I х2+4х + 7: б) / COSX 
о 
7. Исследовать на сходимость интеграл 
1 
/ dx е о 
8. Плотина имеет форму трапеции с верхним основани-
ем 20 м, нижним 10 м, высотой 6 м. Определить давление 
воды на плотину. 
Вариант 4 
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной гипербо-
лой ху = 1, параболой у — х2 и прямойу = 4. 
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой 
р = 4cos2cp. 
90 
3. Найти длину дуги кривой х = lnsecy между точками с 
ординатами у = 0 и у = За. 
4. Найти длину первого витка спирали Архимеда 
Р = «Ф. 
5. Найти площадь поверхности, образованной враще-
нием параболы у2 = 4ах вокруг оси абсцисс от х = 0 до 
х — За. 
6. Вычислить несобственные интегралы или доказать 
их расходимость: 1 +оо 
Зх2 + 2 f dx 
а) I dx; б) j 
1 +СХ 
[Зх2 +2 f б ) J 
_ J —00 
7. Исследовать на сходимость интеграл 
+ 00 
2 + sinx 
•cbr. / Ух 
1 
8. Какую работу надо затратить, чтобы поднять всю 
воду из цилиндрической цистерны диаметром 2 м и глу-
биной 4 м на высоту 15 м над верхним краем цистерны? 
Вариант 5 
1. Вычислить площадь фигуры ограниченной кривыми 
у = ех, у = е~х и прямой х = 1. 
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одним 
лепестком кривой р = 5зтЗф. 
3. Найти длину дуги кривой у = 1 - 1п(х2 - 1) между 
точками с абсциссами х — 3 и х = 4. 
4. Найти длину дуги кривой, заданной уравнениями 
Г t4 
х = 2 , 
4 ' IT 
t „ 0 < t < - . 
1 У = 6 ' 
91 
5. Вычислить объем тела, образованного вращением 
вокруг прямой х = 2 фигуры, ограниченной линиями 
у — хг, у = 4. 
6. Вычислить несобственные интегралы или доказать 
их расходимость: 
оо 1 
Г dx Г dx 
a ) J v f T T ; 
о о 
7. Исследовать на сходимость интеграл 
1 
/ Vxdx V l - х 4 " о 
8. Определить силу, с которой вода давит на верти-
кальную стенку, имеющую форму трапеции, нижнее ос-
нование которой 10 м, верхнее - 6 м, а высота 5 м, если 
уровень погружения нижнего основания - 20 м. 
Вариант 6 
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
у2 — 2х - 4 = 0, у + х = 0. 
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией 
р = 4(1 - coscp). 
х2 
3. Найти длину дуги кривой у = — - 1, отсеченной 
осью ОХ. 
4. Найти длину дуги кривой 
(х = 8sin t 4- 6cost, 
\у = 6sin t — 8cos t 
Tt 
от t - 0 до t = — • 
92 
5. Найти площадь поверхности, образованной враще-
нием вокруг оси 0Y петли кривой 9ах2 = (За - у ) у, 
О < у < За. 
6. Вычислить несобственные интегралы или доказать 
их расходимость: о 
f dx б1 f dx 
а ) J х3 + 1'' J V F + 5 ' 
о 
7. Исследовать на сходимость интеграл 
+ СО 
dx 
I 5 + 2хг + Здг4 
1 
8. Вычислить силу, с которой вода давит на вертикаль-
ную стенку, имеющую форму эллипса, большая ось которого 
равна 6 м и находится на поверхности воды, а малая - 4 м. 
Вариант 7 
1. Вычислить площадь фигуры, заключенной между 
линиями у = 2х - х2 + 3 и у = х2 — 4х + 3. 
2. Вычислить площадь, ограниченную кривой 
р = 4cos4cp. 
3. Найти длину дуги кривой у = 2 + arcsinV* + Vx - х2, 
-<х < 1. 
4 
4. Найти длину линии р = 4(1 - sin ср), 0 < <р < 
5. Вычислить объем тела вращения вокруг оси OY фигу-
ры, ограниченной линиями у = х2 + 1, у = х, х = 0, х = 1. 
6. Вычислить несобственные интегралы или доказать 
их расходимость: 
00 -1 
f^xdx Г d* 
* -2 
93 
7. Исследовать на сходимость интеграл 
1 
Г dx 
J е^-1 о 
8. Резервуар конической формы, имеющей высоту 3 м и 
радиус основания 90 см, расположен вертикально к по-
верхности Земли и наполнен водой. Какую работу нужно 
произвести, чтобы выкачать из него всю воду? 
Вариант 8 
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
у2 = 4 х, х + Зу = 0. 
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
pcoscp = а, р — 2а. 
3. Найти длину дуги полукубической параболы у2 = х3, 
отсекаемой прямой х = 6. 
4. Найти длину дуги кривой, заданной уравнениями 
X = t3 — t 
, ' 0<t<3. 
I y = t2 + 2, 
5. Найти площадь поверхности, образованной враще-
нием вокруг оси ОХ кривой 
— „21 sm t, 
у = e2t cos t 
от t = 0 до t = 
6. Вычислить несобственные интегралы или доказать 
их расходимость: 
00 1 
Г dx Г х3 + Ух — 7 
6 ) Ух3 1 о 
94 
7. Исследовать на сходимость интеграл 
+ 00 
dx 
V1 + ж3' 
2 
8. Вычислить работу, производимую при растягивании 
пружины на 5 см, если известно, что сила, которая требу-
ется для растяжения пружины, пропорциональна удлине-
нию X пружины и что для удлинения пружины на 1 см 
требуется сила в 1 кг. 
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
х2 - у2 - 6х - 4у + 9 = 0, х + у - 7 = 0, х = 0. 
2. Вычислить площадь, ограниченную линией 
р = 9(1 + coscp). 
3. Найти длину кривой, заданную уравнениями 
4. Найти длину дуги параболы у = — от вершины до 
точки (2р; 1). 
5. Вычислить объем тела, образованного вращением 
вокруг оси 0Y фигуры, ограниченной: локоном Аньези 
У = и параболой у = х2. 
6. Вычислить несобственные интегралы или доказать 
их расходимость: 
Вариант 9 
+ 00 4 
2 
95 
7. Исследовать на сходимость интеграл 
тт 
4 
О 
8. Треугольник с основанием 30 см и высотой 20 см по-
гружен вертикально в воду так, что его основание нахо-
дится на поверхности воды. Определить давление воды на 
треугольник. 
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
Л:2 + у - 3 = 0, Х + у - 1 = 0. 
2. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной 
петлей линии 
(х = 3 г2, 
(у = 3 t - t 3 . 
3. Найти длину дуги кривой линии 
ной между точками, для которых х = а, х = -а. 
5. Найти площадь поверхности, образованной враще-
нием вокруг оси ОХ одной арки синусоиды у = sinx. 
6. Вычислить несобственные интегралы или доказать 
их расходимость: 
Вариант 10 
з — 
4. Найти длину дуги кривой у ~-{ез + е~з), заключен-
X X 
00 
1 
2 
1 О 
96 
7. Исследовать на сходимость интеграл 
/ х 2 (1 + 2 ХУ 
г 
8. Вычислить работу, которую необходимо затратить, 
чтобы выкачать воду из конического сосуда, обращен-
ного вершиной вниз, радиус основания сосуда - 3 м, вы-
сота - 5 м. 
1. Вычислить площадь фигуры, заключенной между 
линиями у — х2 + Зх = 0, Зх + у — 4 = 0. 
2. Вычислить площадь фигуры, описываемую радиу-
сом-вектором спирали Архимеда р = аср при одном его 
обороте, если началу движения соответствует ср = 0. 
3. Найти длину дуги кривой у = !n sinx, заключенной 
между точками, для которых х = ~,х — 
4. Найти длину дуги 
5. Вычислить объем тела, образованного вращением 
фигуры, ограниченной линиями у2 = (х + 4)3, х = 0 во-
круг оси OY. 
6. Вычислить несобственные интегралы или доказать 
их расходимость: 
Вариант 11 
'х = 2(t - sint), 
у = 2(1 - cost) 
t6 0 < t < 2u. 
б"' 
l 
2 оо 
-1 О 
97 
7. Исследовать на сходимость интеграл 
1 
Г dx 
J VI -х4 ' о 
8. Цилиндрический стакан наполнен ртутью. Вычис-
лить силу давления ртути на боковую поверхность стака-
на, если его высота ОД м, а радиус основания 0,04 м. Плот-
ность ртути 13 600 кг/м 3. 
Вариант 12 
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
у = 1 + 2- у = 2, у = 1 + х. 
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой 
х = Зсо s3t, 
.у = 3sin3t. 
1 
3. Найти длину дуги кривой у = ~(ех + е~х), заключен-
ной между точками, для которых х = 0, х - 1п2. 4. Найти длину дуги кривой 
р = 3(1 + sincp), < ф < 0. 
6 
5. Найти площадь поверхности, образованной враще-
нием кривой 
(х = 2cost — cos2t, 
( у = 2sint - sin2t 
вокруг оси ОХ (0 < t < тс). 
6. Вычислить несобственные интегралы или доказать 
их расходимость: 
98 
dx _ (Зх2+2 •ах. 
i -1 
7. Исследовать на сходимость интеграл 
VP 
+ 00 
Г X 3 + 3 , 
In-г—-dx. 
J X 3 + 1 
1 
8. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы 
выкачать жидкость удельного веса X из резервуара, 
имеющего форму обращенного вершиной вверх конуса, 
высота которого равна Я, а радиус основания R. 
Вариант 13 
1. Вычислить площадь фигуры, лежащей в четвертой 
четверти, ограниченной линиями х2 + у2 = 8, у2 = 2х. 
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом 
(х = 16cost, 
[ у — 9sint. 
3. Найти длину дуги линии у = л/3 < х < у/8. 
4. Найти длину дуги кривой р = 6cos3 - , от ср = 0 до 
к 3 
Ф = ? 
5. Вычислить объем тела, образованного вращением 
вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной графиками функций 
у = 1-х2, х = у/у - 2, х = 1 , х = 0 . 
6. Вычислить несобственные интегралы или доказать 
их расходимость: 
оо 2 
a)jxe~x2dx; б) Г d* 
о о ' 
X 2 
99 
7. Исследовать на сходимость интеграл 
1 
I 
dx 
л/х + 4х3 + 2х 
о 
8. Горизонтально расположенная цилиндрическая цис-
терна наполнена до половины керосином. Найти силу 
давления на каждую из боковых стенок, если радиус дна 
цистерны равен 2г, плотность керосина равна 0,8 г/см3. 
1. Вычислить площадь фигуры, заключенной между 
линиями у = lnx, у — 0, х = 2, х = 10. 
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
р = coscp, р = 2coscp. 
3. Найти длину дуги линии 
4. Найти длину линии 9у2 = 4(3 - х )3 между точками 
пересечения с осью OY. 
5. Вычислить площадь поверхности, образованной 
вращением вокруг оси ОУдуги линии 
от t = 0 до t = 
2 
6. Вычислить несобственные интегралы или доказать 
их расходимость: 
Вариант 14 
х = 4(2cost - cos2t), 
.у = 4(2sint - sin2t), ' 0 < t < тс. 
х = e2t sint, 
у = e2t cost 
-2 
2 
3 
-CXI 0 
100 
7. Исследовать на сходимость интеграл 
+ 00 
I 1 - 2sin3x •dx. + л/х 
8. Определить работу, которую необходимо затратить 
для того, чтобы тело массы т поднять с поверхности Зем-
ли, радиус которой R, на высоту h. 
Вариант 15 
1. Вычислить площадь фигуры, заключенной между 
линиями у = 2х — х2, у + х = 0. 
2. Вычислить площадь, ограниченную параболой 
р = 2sec2 - и прямой ср = \ 
3. Найти длину части кривой х2 + у2 — 4х + 2у — 0, ле-
жащей над осью ОХ. 
4. Найти длину дуги кривой, заданной уравнениями 
Г t4 
!X = 2~J, 
fi 0 < t < 1. 
t6 
У = 6 ' 
5. Вычислить объем тела, образованного вращением 
вокруг оси ОХ астроиды 
(х = 4cos3t, 
I у = 4sin3t. 
6. Вычислить несобственные интегралы или доказать 
их расходимость: 
-f оо 
С xdx г 
1 J (х2 + 1)2 ; I 
2 
V16 - X2 ' 
101 
7. Исследовать на сходимость интеграл 
1 1 
Г cos-
о 
8. Плоский прямоугольный затор шлюза, расположен-
ный вертикально, имеет ширину b = 10 м и высоту 
а = 12 м. Найти силу давления на затор, если вода доходит 
до его верхнего края. 
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
у = е х ,у = е4х ,х = 1. 
2. Вычислить площадь, ограниченную кривой 
3. Найти длину дуги кривой 2у - х2 - 5, отсеченной 
осью ОХ. 
4. Найти длину дуги кардиоиды р = 2(1 - coscp), нахо-
дящейся внутри окружности р = 2. 
5. Вычислить площадь поверхности тора, образованно-
го вращением окружности х2 + (у — R)2 = г2, вокруг оси 
OY при R>r. 
6. Вычислить несобственные интегралы или доказать 
их расходимость: 
Вариант 16 
1 тт тт г
оо 24 
О 1 
7. Исследовать на сходимость интеграл 
+ 00 
1 
102 
8. Вычислить величину давления на каждую из сторон 
площади прямоугольника, вертикально погруженного в 
воду, если известно, что основание его равно 5 м, высота -
4 м, верхнее основание параллельно поверхности воды и 
находится на глубине 5 м. 
Вариант 17 
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
у = 2х, у = 1 +х 2 , х = 3. 
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной петлей 
'х = t2, 
y = f ( 3 - t 2 ) . 
3. Найти длину кривой, заданной уравнением 
р = 3b sin ср. 
4. Найти длину дуги линии у = х~е ~е—, 0 < х < 3. 
5. Найти объем тела, образованного вращением фигу-
ры, ограниченной графиками функций у — хъ,у — хг во-
круг оси OY. 
6. Вычислить несобственные интегралы или доказать 
их расходимость: 
а) [ d x б) [ d X 
i х2 ~ 1 J хлДпх 
7. Исследовать на сходимость интеграл 
f ln(V3c+ 1) 
J е^ х •dx. 
8. Какую работу нужно затратить на выкачивание воды 
из сосуда, имеющего форму верхней половины сферы? 
Диаметр сферы 20 м. 
103 
Вариант 18 
1. Вычислить площадь фигуры, заключенной между 
линиями у = —х, у =• 2-х2. 
2. Вычислить площадь фигуры, заключенной внутри 
лемнискаты Бернулли р2 = a2 sin 2(р. 
3. Найти длину дуги кривой у = 2 — ех, 1п\/3 < х < 1пл/8. 
4. Найти длину гиперболической спирали рф=1 от 
3 4 
ф = - ДО ф = 
5. Найти площадь поверхности, образованной враще-
нием вокруг оси ОХ астроиды 
fx = 6cos3t, 
(у = 6sin3t. 
6. Вычислить несобственные интегралы или доказать 
их расходимость: 
О оо 
Г dx Г dx 
а) J
 б) J х2 + 4х + 9 ' 
-2 О 
7. Исследовать на сходимость интеграл 
+ 00 
Г dx 
J х3(1 + 3*)' 
1 
8. Вычислить давление на треугольник с основанием 
2b и высотой h, если вершина треугольника лежит на по-
верхности воды, а высота его расположена вертикально. 
Вариант 19 
1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной 
(х — 2 cos t, 
линиями = 2 s i n t их >1 . 
104 
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной 
линиями p = l + coscp,p = l (вне окружности). 
3. Найти длину дуги линии у = , 0 < х < 2. 
4. Найти длину дуги 
t 2 
х = 2Rcos- + Rcos—t, 
6 2 0 - 1 - 2 t l 
у = 2/?sin—— flsin-t, 
5. Найти объем тела, образованного вращением фигу-
ры, ограниченной линиями у = 2х - хг и у = - х + 2, во-
круг оси ОХ. 
6. Вычислить несобственные интегралы или доказать 
их расходимость: 
О ОО 
Г dx Г (2х + 3) dx 
J V I + 4х ' б ) J х2 + х + 4 ' JL О 
4 
7. Исследовать на сходимость интеграл 
г 
Г dx 
J 1-х3 +х5' 
о 
8. Два тела одновременно начали прямолинейное дви-
жение из некоторой точки в одном направлении со скоро-
стями уг = (612 + 41) м/с и v2 = 4t м/с. Через сколько се-
кунд расстояние между ними будет равно 64 м? 
Вариант 20 
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
у = V 9 - х 2 , у = Зх, у = 0. 
105 
2. Найти площадь, ограниченную кривой р = 4 + cos ср. 
ех 4-1 
3. Найти длину дуги кривой у ~ In - j — от х = а до х = Ъ 
(Ь > а). 4. Найти длину дуги кривой 
1Ф тг тг 
р = е з , - - < Ф < ~ . 
5. Вычислить площадь поверхности, образованной 
вращением вокруг оси ОХ фигуры, образованной кривыми 
у~х2их=у2. 
6. Вычислить несобственные интегралы или доказать 
их расходимость: 
О 00 
Г dx Г dx Э) J (х + 1Г: б) J 36x2+6' 
-1 -00 
7. Исследовать на сходимость интеграл 
+ 00 
х4 + 2 
In —^—-dx. 
X4 + 1 
1 
/ 
8. Квадратная пластинка помещена вертикально в воду 
так, что одна из вершин квадрата лежит на поверхности 
воды, а одна из диагоналей параллельна поверхности. 
Сторона квадрата равна а. С какой силой давит вода на 
каждую сторону пластинки? 
Вариант 21 
1. Вычислить, площадь фигуры, заключенной между 
линиями у = (х — 2)3 и у = 4х — 8. 
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
р = 6 со53 ф, р = 3 (р > 3). 
106 
3. Найти длину дуги кривой у = л/1 - х 2 + arccosx, 
8 
О < х <-• 
4. Найти длину линии 
(х = (t2 - 2)sint + 2tcost), 
l y = (2 - t2)cost + 2tsint) 
TT 
от t = 0 до t = 
5. Найти объем тела вращения вокруг оси OY фигуры, 
ограниченной линиями у = arccos|,y = arccosx,y = 0. 
6. Вычислить несобственные интегралы или доказать 
их расходимость: 
оо 3 
dx _ Г dx 
О 
7. Исследовать на сходимость интеграл 
§ V9 — х' 
2 
2 
f 
1 
Vx2 + 1 
з, dx. 
V l 6 - x4 
8. Котел имеет форму параболоида вращения. Радиус 
основания Д = 2м, глубина котла Я = 4м. Он наполнен 
жидкостью, удельный вес которой d = 0,8 г/см3. Вычис-
лить работу, необходимую для того, чтобы выкачать жид-
кость из котла. 
Вариант 22 
1. Вычислить площадь фигуры, заключенной между 
линиями у = 4 — х2, у = х2 — 2х. 
107 
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
р = 6 sin3 ф, р = 3 (р > 3). 
3. Найти длину дуги кривой у2 = 16 — х между точками 
пересечения ее с осью 0Y. 
4. Найти длину одной арки циклоиды 
х = a(t - sin t), 
у а( 1 — cos t). 
5. Вычислить площадь поверхности, образованной 
х2 3 
вращением части кривой у — —, отсеченной прямой у = -2 4 
вокруг оси OF. 
6. Вычислить несобственные интегралы или доказать 
их расходимость: 
со 2 
a ) j V - d x ; б) f x 2 + 
о о 
7. Исследовать на сходимость интеграл 
+ 00 
Г dx 
J 7 + 5х + 2х6' 
1 
8. Вычислить давление на треугольник, высота которо-
го равна 6 м, основание 16 м, если он погружен в воду та-
ким образом, что основание его лежит на поверхности во-
ды, а высота направлена вертикально вниз. 
Вариант 23 
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
х2 - Зу = 0, 2х2 + Зу - 12 = 0. 
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной улиткой 
Паскаля р = 2 4- cos ф. 
108 
3. Найти длину дуги линии у = In cos x, 0 < х < ~. 
4 Найти длину дуги полукубической параболы 
у2 _ 2 (х - I )3 , заключенной внутри параболы у2 = -х. 
5. Вычислить объем тела вращения вокруг оси ОХ фигу-
ры, ограниченной линиями у = 2х-хг, у = -х + 2, ас = 0. 
6. Вычислить несобственные интегралы или доказать 
их расходимость: 
оо 3 
Г *d x «ч Г d x 
б ) j w ^ w 
2 
7. Исследовать на сходимость интеграл 
1 . 1 
f s m x d x 
J yfx 
О 
8. Вычислить работу, которую необходимо затратить, 
чтобы выкачать воду из цилиндрической цистерны, 
имеющей радиус 2 м и высоту 3 м. 
Вариант 24 
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
у = х2,у = 0, х + 2 у - 3 = 0. 
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией 
х = asintcos2t, „ и 
' о < t <-. 
у = acostsin2t, ~ 2 
3. Найти длину дуги линии , 1 < х < 2 . 
4. Найти длину дуги линии 
Р = 2 (1 - cos ф) от ф = - - до ф = —тт. 
109 
5. Вычислить площадь поверхности, образованной 
вращением части кривой у2 = 4 + х, отсеченной прямой 
х = 2, вокруг оси ОХ. 
6. Вычислить несобственные интегралы или доказать 
их расходимость: 
оо 1 
Г dx Г dx а )J б) J 37^ 2-
о I 
з 
7. Исследовать на сходимость интеграл 
+ 00 
Г dx 
J у]х(х + 3)(х + 4) 
8. Конец трубы, погруженной горизонтально в воду, 
может быть закрыт заслонкой. Определить давление, ис-
пытываемое этой заслонкой, если диаметр трубы равен 
60 см, а центр находится под водой на глубине 15 м. 
Вариант 25 
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
у = Зх2 + 1, у -Зх + 7. 
2. Найти площадь, ограниченную линиями р = 8coscp, 
Ф = р = 4сояф, ф = 
3. Найти длину дуги кривой х = - — — при 1 < у < е. 
4- 2 
4. Найти длину дуги кривой 
у = eHcost + sint), и 
tr • \ при - < t < тт. 
х = ec(cost - sint) 2 
5. Вычислить объем тела вращения вокруг оси ОХ фи-
гуры, ограниченной линиями 2х - х2-у = 0, 2х2 - 4х +у = 0. 
110 
6. Вычислить несобственные интегралы или доказать 
их расходимость: 
4 
х dx ? Г 
a) e*cosxdx; б) J 
о 
7. Исследовать на сходимость интеграл 
2 
г dx 
J Vl6-x4 ' о 
8. Котел имеет форму параболоида вращения (Л = 0,5 м, 
радиус основания R = 0,4 м). Определить работу, которую 
надо затратить на выкачивание жидкости с удельным ве-
сом у из такого наполненного котла. 
Вариант 26 
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
у = ^ у = х, х = 3. 
2. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной 
петлей 
fx = t2 - 1, 
(у = t2 - t. 
3. Найти длину дуги линии у = + 3, 0 < х < 2. 
4. Найти длину дуги кривой р = a s i n 3 0 < ср < и. 
5. ВЫЧИСЛИТЬ площадь поверхности, образованной 
вращением вокруг оси ОХ дуги кривой у = — от х = -2 до 
х = 2. 3 
6. Вычислить несобственные интегралы или доказать 
их расходимость: 
111 
О 4 
a) j e*sinxdx; б) j . 
—00 О 
7. Исследовать на сходимость интеграл 
+ 00 
Г dx 
J Vx5 + х2 + 1' 
i 
8. Резервуар, вертикальное сечение которого - полови-
на эллипса (высота 2 м и ширина 2 м), доверху наполнен 
водой. Вычислить давление, которое испытывает плоская 
вертикальная стенка резервуара. 
Вариант 27 
1. Вычислить площадь фигуры, лежащей в первой чет-
верти внутри круга х2+у2 = За2 и ограниченной парабола-
ми х2 = 2 ау и у2 = 2 ах (а > 0). 
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией 
р = 2а(2 + cos ср), 
3. Найти длину дуги кривой 
у = 1п(1 - х2 ) 
Л 1 от х = 0 до х = -. 
4. Найти длину дуги линии 
(х = t2, 
между точками пересечения с осью ОХ. 
5. Найти объем тела вращения вокруг оси ОХ криволи-
нейной трапеции, ограниченной линией у = arcsinx с ос-
нованием [0; 1]. 
112 
6. Вычислить несобственные интегралы или доказать 
их расходимость: 
5 оо 
Г dx Г dx 
^ J V 2 5 - x 2 = ' J л/4 + х 2 ' 
о 1 
7. Исследовать на сходимость интеграл 
2 1п(1 + dx. 
О 
8. Вычислить работу которую надо затратить, чтобы 
выкачать масло из цистерны, имеющей форму цилиндра, 
если удельный вес масла у, длина цистерны h и радиус г. 
Вариант 28 
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
х + у — 1, у = COSX, у = 0 . 
2. Вычислить площадь одного лепестка розы, опреде-
ляемого уравнением р = asin6cp. 
3. Найти длину дуги кривой у = 4 - ^/(х - I ) 3 от х = 1 
о 1 до х = 3 -. 3 
4. Найти длину дуги кривой 
* = e3 's int, 0 < t < ™ 
у = е cos t, 2 
5. Вычислить площадь поверхности, образованной 
вращением кривой 9х2 = у(3 - у )2 вокруг оси ОХ. 
6. Вычислить несобственные интегралы или доказать 
их расходимость: 
оо ю 
Г dx Г dx 
а) J б) J T^iy-
- с о 7 
113 
7. Исследовать на сходимость интеграл 
+ оо . 1 
Г 
i 
8. Найти давление жидкости, удельный вес которой d, 
на вертикальный эллипс с осями 2а и 2Ь, центр эллипса 
погружен в жидкость на уровень И, большая ось парал-
лельна уровню жидкости (Л > b). 
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
у = arcsinx, у = arccosx, у — 0. 
2. Вычислить площадь, ограниченную линией 
р = 2 С05 6ф. 
3. Найти длину дуги полукубической параболы 
Зу3 = х2, заключенной внутри окружности х2 + у2 = 6. 
4. Найти длину дуги астроиды 
(х = 8 cos31, 
\у = 8 sin31. 
5. Вычислить объем тела, образованного вращением 
вокруг полярной оси кривой р = a cos2 ф (а > 0). 
6. Вычислить несобственные интегралы или доказать 
их расходимость: 
Вариант 29 
со 
5 
2 
1 0 
7. Исследовать на сходимость интеграл 
1 
cosx dx 
J Vx — sinx 
о 
114 
8. Вычислить работу, необходимую для выкачивания 
воды из ямы, имеющей форму конуса (с вершиной на дне). 
Высота конуса h = 2 м, радиус основания г = 0,3 м. 
Вариант 30 
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой 
у = х3 и прямыми у = х, у — 2х. 
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой 
р = a cos3 ф (а > 0). 
3. Найти длину дуги кривой у = I ) 3 от х = 1 до 
•э 1 х = 3-. з 
4. Найти длину дуги 
(х = a(cost + tsint), < < 
(у = a(sint — tcost), — ~ 
5. Вычислить площадь поверхности, образованной 
вращением кривой р = 2а sin ф вокруг полярной оси. 
6. Вычислить несобственные интегралы или доказать 
их расходимость: 
00 6 
Г dx Г dx 
J 6) i 
— со 4 
7. Исследовать на сходимость интеграл 
+ 00 
Г dx 
J х4 (1 + 4* ) ' 
1 
8. Вычислить давление воды на прямоугольные ворота 
Шлюза шириной 20 м и глубиной 16 м, если их верхняя 
грань лежит на поверхности воды. 
115 
Литература 
1. Герасимович, А.И. Математический анализ: справоч-
ное пособие: в 2 ч. / А.И. Герасимович, Н.А. Рысюк. - Минск: 
Вышэйшая школа, 1989. - Ч. 1. - 287 с. 
2. Бугров, Я.С. Дифференциальное и интегральное ис-
числение / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. - М.: Наука, 
1980. - 432 с. 
3. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное 
исчисления: в 2 т . / Н.С. Пискунов. - М.: Наука, 1985. - Т. 1. -
432 с. 
4. Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математическо-
го анализа / Г.Н. Берман. - М.: Наука, 1985. - 416 с. 
5. Линейная алгебра и основы математического анали-
за: сборник задач по математике для втузов: в 2 ч. / под 
ред. А.В.Ефимова, Б.П.Демидовича. - М: Наука, 1981. -
Ч. 1.-368 с. 
116 
Оглавление 
1. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 3 
1.1. Задачи, приводящие к понятию определенного 
интеграла 3 
1.2. Определенный интеграл как предел интегральной 
суммы Римана 7 
1.3. Условия интегрируемости функций 12 
1.4. Основные свойства определенного интеграла 13 
1.5. Определенный интеграл с переменным верхним 
пределом 21 
1.6. Основные методы вычисления определенного 
интеграла 23 
1.6.1. Формула Ньютона-Лейбница 23 
1.6.2. Замена переменной в определенном интеграле.,25 
1.6.3. Интегрирование по частям в определенном 
интеграле..... 26 
1.7. Несобственные интегралы 27 
1.7.1. Несобственные интегралы с бесконечными 
пределами интегрирования (несобственные интегралы 
1-го рода) 28 
1.7.2. Признаки сходимости несобственных интегралов 
1-го рода 30 
1.7.3. Несобственные интегралы от неограниченных 
функций (несобственные интегралы 2-го рода) 34 
1.7.4. Признаки сходимости несобственных интегралов 
2-го рода 37 
1.8. Две схемы применения определенного интеграла 38 
2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 40 
2.1. Вычисление площадей плоских фигур в 
прямоугольной системе координат 40 
2.2. Вычисление площадей плоских фигур в полярной 
системе координат 44 
2.3. Вычисление длины дуги кривой 47 
117 
2.3.1. Длина дуги плоской кривой в прямоугольной 
системе координат 47 
2.3.2. Длина дуги плоской кривой, заданной 
параметрически 49 
2.3.3. Длина дуги пространственной кривой 50 
2.3.4. Длина дуги плоской кривой, заданной уравнением 
в полярных координатах 51 
2.4. Вычисление объемов тел 53 
2.4.1. Вычисление объемов тел по известным площадям 
параллельных сечений 53 
2.4.2. Вычисление объемов тел вращения 55 
2.5. Вычисление площади поверхности вращения 57 
3. МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО 
ИНТЕГРАЛА 61 
3.1. Нахождение пути, пройденного телом при 
прямолинейном движении 61 
3.2. Вычисление работы силы, произведенной при 
прямолинейном движении тела 61 
3.3. Вычисление силы давления жидкости 63 
3.4. Вычисление массы неоднородного прямолинейного 
стержня с плотностью у = у(Х), занимающего на оси ОХ 
положение отрезка a; b 67 
3.5. Вычисление статических моментов, моментов инерции 
и координат центра тяжести плоской кривой 67 
ЗАДАНИЯ ДЛЯ АУДИТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ 
ВНЕАУДИТОРНОЙ РАБОТЫ 71 
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 88 
ЛИТЕРАТУРА 116 
Учебное издание 
БРОШЕВСКАЯ Вера Ивановна 
БРОШЕВСКАЯ Елена Леонидовна 
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ 
ИНТЕГРАЛ 
Учебно-методическое пособие 
по дисциплине «Математика» 
для студентов строительных специальностей 
Редактор Т.А. Подолякова 
Подписано в печать 20.04.2011. 
Формат 60x84'/i6. Бумага офсетная. 
Отпечатано на ризографе. Гарнитура Камбриа. 
Усл. печ. л. 6,92. Уч.-изд. л. 5,41. Тираж 100. Заказ 1193. 
Издатель и полиграфическое исполнение: 
Белорусский национальный технический университет. 
ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. 
Проспект Независимости, 65. 220013, Минск.