51 М Б Ч Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика № 2» Методические указания и задания к контрольной работе № 2 по высшей математике М и н с к Б И Т У 2 0 1 0 Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика № 2» Методические указания и задания к контрольной работе № 2 по высшей математике для студентов заочного отделения ФТУГ экономических специальностей Минск БНТУ 2010 УДК 51 (075.4) ЫЖ22.1я7 М 54 С о с т а в и т е л и : З.М. Алейникова, Л.И. Бородин, И.Г. Латышева, М.Н. Покатилова, А.Ф. Шидловская Р е ц е н з е н т ы : канд. физ.-мат. наук, доцент Т.С. Яцкевич; канд. физ.-мат. наук, доцент В.В. Карпук Настоящее издание включает в себя программы и контрольные задания (30 вариантов) по высшей математике по темам: «Неопределенный интеграл», «Определенный интеграл», «Обыкновенные диффе- ренциальные уравнения и системы», «Ряды», «Теория вероятностей и математическая статистика». Авторы постарались кратко и доступно изложить в соответствии с программой весь теоретический материал по указанным темам. Основные теоретические положения наглядно проиллюстрированы реше- нием большого числа примеров и задач. Если в ходе усвоения материала возникнут некоторые вопросы, то их можно задать на консульта- циях по высшей математике для студентов-заочников, которые проводятся по субботам на кафедре. Студент должен выполнить контрольное задание по номеру варианта, который совпадает с двумя последними цифрами зачетной книжки (шифра). Если номер шифра больше тридцати, то следует из него вычесть число тридцать. Полученный результат будет номером варианта. Авторы искренне надеются, что данные указания помогут студентам самостоятельно выполнить контрольную работу по математике и хорошо сдать экзамен. Желаем вам успехов! © БИТУ, 2010 ПРОГРАММА Тема 1. Неопределенный интеграл Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов. Замена пе- ременной. Интегрирование по частям. Основные методы интегрирования: интегрирование простейших дробей; интегрирование рациональ- ных функций; метод рационализации; интегрирование тригонометрических функций; интегрирование простейших иррациональностей. Тема 2. Определенный интеграл. Несобственные интегралы Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Несобственные интегра- лы. Приложения определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур в декартовых и по- лярных координатах. Вычисление объемов и длин дуг. Приближенные методы вычисления определенно- го интеграла. Тема 3. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ДУ) и системы Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения (ДУ) 1-го по- рядка. Задачи Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Интегрирование ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменным, однородных, линейных, уравнения Бернулли и в полных дифференциалах. ДУ высших порядков. Задача Коши. Формулировка теоремы существования и единственности реше- ния задачи Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные ДУ высших порядков. Свойства линейного дифференциального оператора. Линейно- зависимые и линейно-независимые системы функций. Определитель Вронского. Линейные однородные ДУ, условие линейной независимости их решений. Фундаментальная система решений. Структура общего решения. Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные ДУ. Структура общего решения. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные ДУ с постоянными коэффициентами с правой частью специально- го вида. Тема 4. Ряды Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Действия над рядами. Необходимое условие сходимости. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости. Ряды Тейлора и Маклорена. Разло- жение функций в степенные ряды. Применение рядов к приближенным вычислениям. Тема 5. Теория вероятностей и математическая статистика Предмет теории вероятностей. Классификация событий. Пространство элементарных событий. Ал- гебра событий. Понятие случайного события. Относительные частоты. Закон устойчивости относитель- ных частот. Классическое и геометрическое определение вероятности. Понятие об аксиоматическом построении теории вероятностей. Методы исчисления вероятностей. Свойства вероятностей. Теоремы сложения. Независимость событий. Определение условной вероятности. Вероятность произведения событий. Формула полной вероятно- сти. Формула Байеса. 3 Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли. Теоремы Муавра-Лапласа и Пуассо- на. Дискретные случайные величины (СВ). Ряд распределения. Функция распределения, ее свойства. Математическое ожидание и дисперсия дискретной СВ. Непрерывные СВ. Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной СВ. Примеры законов распределения дискретных СВ: биномиальный, Пуассона. Их свойства. Примеры законов распределения непрерывных СВ: равномерный, показательный, нормальный. Их свойства. Понятие о различных формах закона больших чисел. Теорема Бернулли и Чебышева. Центральная предельная теорема Ляпунова. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Гистограмма и полигон. Эмпирическая функция распределения. Выборочная средняя и дисперсия. Оценки параметров распределения. Точечные оценки. Интервальные оценки. Доверительные интер- валы для математического ожидания нормально распределенной СВ при известном и неизвестном сред- нем квадратическом отклонении. Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения нормально распределенной СВ. Понятие о статистических гипотезах и критериях согласия. Критерии согласия х2 - Пирсона и Колмо- горова. 4 ТЕМА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1.1. Понятие неопределенного интеграла Функция Fix), определённая в промежутке [а; б] называется первообразной данной функции j{ х ), если для х е [a; b\ выполнено равенство: F'(x) = f ( x ) Для заданной функции / ( х ) её первообразная определяется неоднозначно. Доказано, что если F ' ( x ) - первообразная, д л я / ( х ) , то выражение F{x) + c , где с - произвольное число, задаёт все воз- можные первообразные для функции f { x ) . Любая непрерывная на отрезке \a,b\ функция / ( х ) имеет на этом отрезке первообразную F ( x ) . Неопределённым интегралом от данной функции / ( х ) называется множество всех её первообраз- ных: f / (x>fe = F(x) + c , ( F ' ( x ) = / ( x ) ) где: J - знак неопределённого интеграла, / ( х ) - подынтегральная функция, / ( х ) d x - подынте- гральное выражение, х - переменная интегрирования. Нахождение для функции fix) всех её первообразных называется её интегрированием. Интегрирова- ние - действие обратное дифференцированию. Свойства неопределенного интеграла (НИ) Из определения НИ непосредственно вытекают его свойства: 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: ( / / ( * )&) ' = / ( * ) ; 2. Дифференциал НИ равен подынтегральному выражению: d ^ f ( x ) d x } = f(x)dx\ 3. jV"(x)a?x = &J/(x)c/x; 4. (x) + / 2 (x))dx = J f 1 ( x ) d x + \ f 2 {x)dx ; 5. J ^ F ( X ) = F ( X ) + C. Таблица интегралов 1. jdx = x + Cj ; r x"+' 2. \x"dx = + c(n Ф —1) ; J и+1 4 ' [dx , | I 3. — = l n x + c ; J x nx 4. \axdx = —- + c, [а>0,аф\); \exdx = ex + c ; J In a J 5. Jsin xdx = - cos x + с ; г dx 6. — = tgx + c; JCOS X 7. Jcosxcbc = - s i n x + c ; 5 9. 10. r dx \-—- = -ctgx + c; J sm x r dx 1 A' . • - — arctg — + с, а Ф 0; a a2+x2 a dx 1 , In „. J. x1 - a2 2a dx x - a + c a2 - x2 2a In x + a a + x a- x + c; 12. 13. dx \lx2±a2 In x + 4x2 ± a2 + c; dx Ча2^. . x = arcsm — + с . Справедливость этих формул проверяется дифференцированием. 1.2. Основные методы интегрирования Задача данный интеграл свести к табличному. Непосредственное интегрирование. Знать таблицу интегралов, его основные свойства, уметь преоб- разовывать алгебраические и тригонометрические выражения. a) J +а/х j dx - (а + Ь)ъ =а1 +Ъа2Ъ + ЪаЪг = у х3 +3х2%/х +3х2 +х 2 з \ -dx • — х ( I 11 2 l \ х'+Зх6 + 3х3 +х6 V У 3 „ и / Т , 9 2 3 / 7 , 18 11 11 з т л 6 Ц 6 V = — x 3 + 3 — X 6 + —X6 +c 11 11 13 + — x2yfx+c 13 Мт 1 + COS X + cos2x dx = 2 1 + cos 2х . cos х = ах r l+cos х , 1 г dx I f , 1 , ч : dx = — — + — \dx- — (tgX + X) + C. J 2 COS X ? J™=2 v 9 J 6 ' 2 cos x 2 Метод подведения функции под знак дифференциала (сознательное понимание таблицы). Любая формула интегрирования J f(x)dx = F(x) + с сохраняет свой вид, если в неё вместо незави- симой переменной х, подставить любую дифференцируемую функцию и = и (х) J / ( u ) c ? m =F(u) + c. Подведение функции под знак дифференциала состоит в том, что под знак дифференциала записыва- ют функцию, дифференциал которой равен данному выражению. Подведение функции под знак диффе- ренциала применяется для сведения интегралов к табличным, т.е. к виду: j / (w) du - F (w) + с Применяя метод подведения функции под знак дифференциала, найти интегралы: 1 Cgaragx dx _ ' J 1 + х2 1) \eudu = e"+c 2) и = arctgx 3) du = d (arctgx) = - ^ 2 dx = \earc,sxd (arctgx) = earclgx +c. 6 ч - dx xln3 x и" l) Iu"du= he ' J n + l 2) u = In x 3 )du = d(\nx)~—dx = J(lnx) 3 d ( lnx) = (lnx) 1 -- — + c = c —. -2 21n x Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен: J А,х + В, ^ f А2Х + В2 ax + bx + с dx и | Vox2 +bx + с dx. Для сведения этих интегралов к табличным надо в числителе дроби выделить дифференциал квадрат- ного трёхчлена ах* + Ьх + с, т.е. слагаемое flax + bjdx. А затем интеграл разбить на сумму двух интегра- лов, каждый из которых - табличный (во втором интеграле квадратный трёхчлен представить в виде суммы или разности квадратов). 1) [— = 1п|и| + с 3 и г du 1 и 2) а• Н j - ~ arctg— + с; Ja +и а а и —а и +а -ьс: п+1 1) Iu"du = + с; ' J я + 1 2) a. J- и Va2-и2 • arcsm— + с: а б. f - ^ In Чи2±а2 u + \fu2 ±аг б- f - 5 ^ T = - J n V - t f 2 2а Найти интегралы: 3 18 , f р ( 2 " + 6 ) " Т " 7 & = 3 r{2x + 6)dx 1 х2 + 6х + 25 + с; 'х +6х + 25 , 6 } 2 J x +6х + 25 d(x + 3) 3 I 2 „ , _ 1 х + 3 ' =. —In х + 6х + 25 - 1 6 • — arctg + с. (х + 3) +42 2 1 1 4 S 4 „ с (4x-5)fltc r-2(-2х + 2) + 4 - 5 , г, , ' . 2. v > — \ ; -dx = -2\(-x2 + 2x + l) 4-2x + 2)dx- Ч~хг + 2х + 3 J V-x2 + 2х + 3 - [ ^ —= -4л/-х2+2х + 3-arcsin^-^- Ч4-(х-1У 2 + с. 1 2 п -(18х + 6 ) - - + 6 , , 3. J i r 2 J , = J 9 ; 3^ —dx - — J(9x2 + 6х + 2) *(18х2 + 6)dx + Ч9хг + 6х + 2 J ^9х2+6х + 2 9 + 16 г tf(3x + l) 2 I—; 16 I—: — Г , v > =—v9x +6x + 2 + -—In 3x + l + V9x +6x + 2 9 J,/(3x + l)2 + l 9 9 + c. Метод подстановки (замена переменной). Этот способ часто полезен в тех случаях, когда интеграл jf(x)dx не может быть непосредственно преобразован к табличным. Полагая х-(pit), где t - новая переменная, а функция (pit) имеет непрерывную производную. Тогда / ( х ) = / ( (p i t ) ) , dx = ( r)s dt = т \x)dx. 7 Формула доказывается дифференцированием обеих её частей. Удачная подстановка позволяет упро- стить исходный интеграл, сведя его к табличным. Однако даже в тех случаях, когда метод подстановки не приводит исходный интеграл к табличному, он часто позволяет упростить подынтегральную функцию и тем самым облегчить вычисление интеграла. Пример 1.1. Найти интегралы: X I dt , , dx i =е ; dx - — г dt с dt - 7 ~r = — = arctgt + с = arctge + с. u(t+t ) V + i •J: e +e dt = exdx = tdx; 2. xlnx 1 + In x = t2 — dx = 2 tdt x )nx = t2 -1 r r 2 -1 + 1 dt = 2 f It t-1 \ + c = t ~ 4 1 + lnx I 2 t +1 ) л/l + lnx - 1 %/l + lnx - 1 + c = •c. = 2Vl + lnx + ln|lnx|- 2 Vl + lnx +1 Замечание. Чаще метод подстановки применяется при интегрировании иррациональных выражений. г e2xdx ех+1 = exdx = 4t2dt ex=t4-1 •A\(t6-t2)dt = A 7 3 + C = t = V7+1 = 4^(е'г+1) з Г е Л +1 1 л + v 7 3 + с. У Интегрирование по частям. Пусть и = и(х) и v = v(x) - непрерывно дифференцируемые функции. Известно, что d (MV) = vdu + udv, => udv = d (wv) - vdu . Интегрируя последнее соотношение, получим: judv = uv — Jvdu - формула интегрирования по частям для неопределённого интеграла. Применение метода интегрирования по частям целесообразно в том случае, когда интеграл в правой части окажется более простым для вычисления, чем исходный интеграл. При его применении подынте- гральное выражение данного интеграла разбивается на два сомножителя {и и dvj. При переходе к пра- вой части формулы первый из них дифференцируется (du = u'dx); второй интегрируется (v = jc/vj, (если дифференцирование существенно упростит один множитель, при условии, что интегрирование не слишком усложнит другой). Некоторые классы интегралов, которые удобно брать по частям (за и в этом случае принимаются ло- гарифмическая или обратная тригонометрическая функция): 1» 0 * 1. Jx"e"dx, Jx"s inxdx, Jx" cosxdx (и 2. fx" In xdx, jx" arcsin xdx, Jx"arctgxc/x. 3. Круговые или циклические интегралы. j V sill xdx, ja" cos xdx, jcos 111 xdx . Выбор и и dv равно- силен. Например: 8 1. Jarctgxdx = и = artgr Л — ! - A 1 + x dv = dx v = x Г xdx 1, /, ,4 = xarctgx-J- - = xaxctgx- — ln^l+x j + c. Иногда полезно повторить интегрирование по частям. 2. Jx2 cosxc& = и = х du = 2 xdx cos x<£c = dv V - Jcos xdx = sin x и — x du = dx du = sinxdx v = - c o s x = x2 s i n x - 2 jxs inxdx = = x2 sinx + 2xcosx-2s inx + c. Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется отношение двух много- Рт(х) членов: j-^-. Если т<п, то рациональная дробь правильная; если т<п - неправильная. Qn(x) Если дробь неправильная, надо выделить целую часть, разделить числитель на знаменатель, т.е. не- правильную дробь представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Например: х 4 - х 3 + 1 х2 + х - 2 х4 +х3 - 2 х 2 х 2 - 2х + 4 -2х3 + 2х2 +1 -2х3 - 2х2 + 4х 4х2 - 4 х + 1 4х2 + 4 х - 8 -8х + 9,: х 4 - х 3 + 1 х2 - 2х - 2 = ( х 2 - 2 х + 4 ) - неправильная дробь 8 х - 9 х2 + х - 2 ' A A Mx + N Mx + N Простейшие рациональные дроби: 1.— ; 2. 3.—г1 —; 4. '~-к> 2. х-а {х-а) ах +Ьх + с (ах2+Ъх + с) Квадратный трёхчлен ахг +Ьх + с не имеет действительных корней. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие: Рт(х) Теорема. Каждая правильная рациональная дробь г~т> (т<п) может быть представлена в виде Qn(x) суммы конечного числа простейших дробей. Это разложение связано с разложением знаменателя дроби на множители: а) Каждому линейному множителю знаменателя (х - а)" соответствует к простейших дробей вида (1), (2), числитель которых - неопределённые коэффициенты, а знаменатель - целые положительные степени двучлена (х - а), начиная со степени к и кончая первой; х2 + px + q) соответствует к простейших дробей вида (3), (4), числитель которых - многочлен первой степени, с неопределёнными коэффициентами, а знаменатель - положительные степени трёхчлена (х2 + px + q), начиная со степени к и кончая первой. Итак, для интегрирования рациональных дробей надо: 1. Установить, является ли данная рациональная дробь правильной или неправильной. Если она не- правильная, выделить целую часть. 2. Проинтегрировать целую часть и правильную дробь. Для интегрирования правильной дроби не- обходимо: 3. Разложить знаменатель дроби на множители. a. Представить дробь в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами. b. Найти коэффициенты. c. Проинтегрировать простейшие дроби. Пример 1.2.Найти интегралы: 1. J х - 2 х-2 •dx. 2. J х 3 +х2 - 5 dx Решение. 1) / ( х ) = - х +2х +х х 3 + 2 х 2 + х j х3 - 8 - правильная рациональная дробь, следовательно, её можно, разло- жить на простеишие: х —2 х - 2 х3 + 2х2 + х х(х + 1)2 х (jc-И.у х + 1 Неопределённые коэффициенты разложения находят методом неопределённых коэффициентов или А | В х + 1)2 + - С методом частных значении. Используем метод неопределённых коэффициентов: Приведём простейшие дроби к общему знаменателю и приравняем числители: х - 2 #+1)2 В1 + - - + - С (jt+i)* Ах2 +2 Ах + А + Вх + Сх1 +Сх :(х + 1)2 х5+2х2+х х (* + 1) * + 1 Ах1 + 2 Ах + А + Вх + Сх2 + Сх = х- 2. Многочлены равны, если равны все коэффициенты при одинаковых степенях х: А = -2 С = 2 х X А + С = О 2А + В + С = 1 А = - 2 В = 3 3 f ( х - 2 ) d x сdx ^ г dx ^ t dx ( , , , (Л ' — - _2 [— + 3 Г т- + 2 | = -21п х —+ 21п х + 1 + с = 21п J X 2 + 2 X 2 + X х J f x + П 2 х + 1 1 1 х + 1 1 1 X3 + X 2 ) / ( * ) = • . „2 5 с 3 - 8 [(х 1) - неправильная рациональная дробь, выделяем целую часть: х + 1 х + 1 - + с. Интегрируем правильную дробь х2 +3 х3 + х2 - 5 ( х 3 - 8 ) + х 2 + 3 х 2 + 3 = V 1 = 1+—; . х - 8 х2 +3 х - 8 х3 - 8 х3 - 8 , разложив её на простейшие дроби: А Вх + С - + - х2 + 3 _ х3 - 8 ~ ( х - 2 ) ( х 2 + 2х + 4) _ х - 2 ' х 2 + 2 х + 4 ' (А + В)хг+(2А-2В + С)х + 4А-2С = х2+3. А + В = 1 2А-2В + С -О 4А-2С = 3 i j j Решая систему, получим А- —; В = —; С = —: 12 12 3 rx3 +х2 - 5 f , 7 Г dx 1 f 5 x - 4 , 7 , , . 1 f 2 ( 2 * + 2 ) dx- \dx-\ + — — dx=x + — In be —2 + — - dx = J x 3 - 8 J 1 2 J x - 2 1 2 J x 2 + 2 x + 4 12 1 ! 12 J x 2 + 2 x + 4 - x + 7 l n l x 21 + 5 / K 2 x + 2 ) ^ 3 f 12 ' ' / 2 4 Jx2 + 2x + 4 - 4^i dx (х + 1)2+(л/з) 7 , I 5 | 2 .. л/з x + 1 = x + — m x - 2 + -— m x + 2x + 4 arctg —+ c. 12 1 1 24 1 1 4 6 V3 Интегрирование тригонометрических выражений. Так как любое тригонометрическое выражение можно записать только через sinx и cosx, то получим интеграл рационально зависящий от sinx и cosx: J/£ (sinx, cos х)б6с(*). Этот интеграл всегда сводится к интегралу от рациональной функции относительно новой перемен- ной с помощью подстановки tg— = t, тогда smx = - 2t 1 -tg l + tg x 1 + r -; cosx = - 2 x 2_1 -t2 , 2 dt l + tg' x \ + f dx = 1 + /2 Например, найдем интеграл dx 1 smx x tg- = t 2 21 sm x = • dx - 1 + t2 2 dt 1 + t2 M i ^ f j ( d t , , , , ^ — _ = — = lnW = ln 1 1 + c. Универсальная подстановка всегда позволяет вычислить интеграл (*), однако её используют очень редко, так как она часто приводит к интегрированию громоздких рациональных дробей. Она использует- ся в тех случаях, когда другие подстановки применять нельзя. Частные случаи: 1) Интеграл вида: J(sin xj" (cos х)" dx. а) Если один из показателей т или п - целое положительное нечётное число, второй любой то подста- новка sin х = t, cos xdx = d (sin x) = dt или (cos x-t- sin xdt = dt) быстрее приводит к цели. Например, г cos5 х __ r(l - sin2 x j d (sinx) _ И - 2 sin2 x + sin4 x , . •Wsinx ^ л/si" - - -mx Vsin; К -I 2 с -sinx) 2 d ( s i n x ) - 2 [(sinx)2 d ( s inx) + [(sinx)2d(sinx); - 2-v/si mx — s i n 2 x\/sinx +—sin4 xVsmx +c 5 2 t . 9 сл/ = -\/si mx 2-—sin2 x sin4x 4 5' + c. б) Оба показателя т и п - целые положительные чётные, тогда используют формулы: sin2x . , l - c o s 2 x , l + cos2x smxcosx = ; sm х - ; cos x = . Например, 11 Jsm4 x cos* xdx - J(sin 2x)4 dx - -dx 1 / l-cos4x ,, ,, , dx=— f(l - 2 cos 4x + cos2 4x)dx = 16 J4 16 Jl 2 J 64 JV > i f 1 . „ fl + cos8x , ^ I f sin4x 1 1 . x - +—x +—sin8x +c = 641 2 2 16 = —| x—sin4x+ f- 64^ 2 J 1 f 3x sin4x 1 . „ . = — 1 sin ax \ + c. 64 V 2 2 16 в) Оба показателя чётные целые, но хотя бы один из них отрицательный, тогда используется подстановка tgx = t или с помощью тригонометрических преобразований. Например, h J CI dx sin x tgx = t smx = dx - л/l dt + tA 1 + f M + t2) dt ,(l + f2) ч Г3 Г] i \ \ , ' = P'—T1dt= f(r4 +t )dt =-— + -—+ c-c~ctgx--ctgix. J t*(l + t2) J tA JV ; -3 -1 « з « С помощью тригонометрических преобразований: J = jcos ее x • cos ее2 x = - J(l + ctg2 x^l (ctgx) = -ctgx - -'^ X + с ctg x г) Иногда удобно ввести тригонометрическую единицу: dx h sm x cos3 x J sin x cos3 x rsin2x + cos2 x , fsinxfix r I— 5—dx= I - (- I-" Cm УРЛС V J nr1С V j CI dx f(cOSx) 3 j (cOSx) + 2 f = ; h In\tgx\ + JV ' У ' J s in2x 2cos x 1 5 1 cos x J s m x c o s x с д) Иногда применяется метод интегрирования по частям. Например, ("COS2 X . I —^-dx = J sm x Judv = uv- jvdu dv И = COSX cosxdx du = -sinxdx = c- sin x cosx 1 = j(sinx) 3 rfsinx = -1 2 sin2 x - c o s x 1 r dx 2sin 2x 2 , ' s i nx z ——In 2 sin x 2 x « 2 2) Интегралы вида: Jsin mx cos nxdx, m Ф n; jcos mx cos nxdx; Jsin mx sin nxdx, преобразуются no формулам: sin mx cos nxdx [ sin (/п + и) x + sin ( m - и ) x~j, cos mx cos nxdx = [cos (m + «) x + cos (m - n)x], sinmxsinnx = ^ - [ cos (m-« )x + cos(m + «)x] . Например, fsin 3xcox5xdx - 1 f(sin 8x - sin 2x) dx = — - cosSx + - cos 2 x + с J 2 J V ' 16 4 12 3) Интегралы вида: | tg"xdx , Jctg"xdx, (п е N,n Ф 1) приводятся к табличным следующим обра- зом: выделяется tg2x = sec2 х — 1. Затем интеграл разбивают на сумму двух интегралов (первый - сте- пенной, а второй |(/£х)" 2 dx-, с ним поступают так же). Например, j tg5xdx - jVg3x(sec2 x-\)dx= ^tg3xd (tgx) - ^tglxdx - JVg*(sec2 x-\)dx = + 4) jsec" xdx( jcosec"x ,...,(ax + by \dx сводится к интегралу от рациональной функции подстановкой (ах + b) = tk, где £-общий знаменатель дробных показателей. Например, f xdx х + 9 = t6 dx = 6t5dt J f-3 t l J t3- 3 (х + 9) /з - 3 ( x + 9) = 6j(ti+3)dt = -t4+l8t + c= t = V* + 9 =-$j(x + 9)4 + l № + 9 + c. c) JR f r\ f „„ , ( „„ , U\7 X, ax + b \cx + d j ax + b \cx + d j dx сводится к интегралу от рациональной функции подстановкой — tk, к- общий знаменатель дробных показателей. cx + d 13 Например: | Д - J ^ + Xdx - 4 + х • = f;x = t2-1 ; dx = - 8 tdt - f(/2-Q2 t{-%t)dt _ 16 '(t2-\)2' 1 г „ л , = — \ f-dt = — r + c = 2J ^ 4 + x W" 1 If 4 + xV _ 4 + x 14 + x i t — ) +c~c~~67i~iT' ТЕМА 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 2.1. Вычисление определенного интеграла at) Формула Нъютона-Лейбнца. Теорема. ЕслиДх) - непрерывна на \а, b\ то [ f ( x ) d x = F(b)-F(a), где F (х) - любая первообразная для функции / ( х ) на [a; b\. Например, вычислим определённый интеграл (2.1) п п К 71 Г /«у^ tg3xdx = J^ (sec2 х -1) tgxdx - tgxd (tgx) - J* tgxdx = I -2— + In jcos x| , & - + In — 1 2 V L J -(0 + Inl) = l-ln2 б) Замена переменной в определённом интеграле. Теорема. Если функция / ( х ) непрерывна на [a;b\, а функция x = (p{t) непрерывно дифференци- руема на [с; d\ и (р (с) = a, (p(d) = b, a< 0 ) . Вычисляется по формуле S= ^ f ( x ) d x . Пример 4.1. Найти площадь области, ограниченной линиями ху = 4; х+у=5. (2.4) Решение! Построим область S (рис.1) и найдём абсциссы ху = 4 точек пересечения А, В: [ х + у - 5' у = 5-х, Х2-5Х + 4 = 0 => дг, =1 ; х2-4, Г( 5 —х-- ( dx = x j \ V 5х 41пх 2 1 :7 —-81п2 ед2. 2 Рис. 1 Пример 2.2. Найти площадь области, ограниченной линиями у2 =2х + 1 ; х - у = 1. Решение; Построим область S (рис.2) и найдём ординаты точек пересечения^, В: х = у + 1, у2=2(у + 1) + 1, у2-2у-3 = 0=> у,=-Ъ у2= 3. f ,.2 У 3 у 2 2 3 Л 16 1 2 3 3 \у2=2х + 1 \х-у = 1 15 2.3. Несобственные интегралы Понятие определённого интеграла дано для конечного отрезка [а;6] и непрерывной на нём функции / (х) . Оно теряет смысл, если интервал интегрирования бесконечен или функция в интервале интегри- рования имеет точки разрыва 2го рода. Интеграл называется несобственным, если функция / ( х ) не ограничена на или неограни- ченна сама область интегрирования. 2.4. Интегралы с бесконечными пределами (I рода) ЕслиДх) непрерывна, а < х < со , то по определению ^ f ( x ) d x = Xvm^f{x)dx (2.5) Если существует конечный предел в правой части формулы (2.5.), то несобственный интеграл назы- вается сходящимся, если же этот предел бесконечен, или не существует, то - расходящимся и значения не имеет. Аналогично определяются интегралы: £ f(x)dx = lim £ / ( х ) с / х ; J" f (x)dx-Yim £ / ( x ) d x + lim j*/(x)c£c . Если оба предела в правой части конечны, то интеграл называется сходящимся, если же хотя бы один из них бесконечный или не существует, то - расходящимся. Итак, несобственные интегралы с бесконечными пределами - пределы определённых интегралов с переменными верхними или нижними пределами при стремлении этих пределов к бесконечности. Например, вычислим несобственные интегралы, или установим их расходимость: 1) Г — = lim Г——— =lim f % 4 = l i m f _ J * v* 1fi y b-+>*> Je v In v b->ao Je In v b-* \ In xln X A xln X Ь In X lnx интеграл сходится и его значение равно 1. dx ь , = limf 1—— | = 1=> 6 I In х. 2 ) L Щ = И т Г •х Уъ(Ьс = Нт • 3 Щ ] = 3 Ит - Щ = :=> интеграл расходится и значений не имеет. 3) fcosxdk =lim fcosxc&c =limsinx|4 = limsinft ' Jb 4->to Jb 4->ю 10 О здесь предел не существует, следовательно, интеграл расходится. ТЕМА 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение вида F(x,y,y:...,y(n)M (3.1) Решением дифференциального уравнения называют любую функцию у = у(х), которая обращает данное уравнение в тождество. 16 Функция у - у(х, а, с 2, с„) называется общим решением ДУ, если она обращает ДУ в тождество при любых значениях постоянных cj,c2, ...с„ Для начальных условий У(*о) =У0,У'(Х0) =у0, ...,y можно найти значение постоянных с1°,с2°, ...,с„°, при которых функция у = у(х, с/', с2°, ..., с„°) будет удов- летворять этим начальным условиям. Функцию у =у(х, с", С2, • • •, с„°) называют частным решением ДУ. Порядком ДУ называют наибольший порядок производной, входящий в это уравнение. 3.1. Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F(x, у, У) = 0. Если это уравнение можно разрешить относительно у, то оно имеет вид у'=Лх,у). (3.2) Общим решением дифференциального уравнения I порядка называется функция у = <р(х, с), (3.3) которая зависит от одного произвольного постоянного С и удовлетворяет условиям: 1. Она удовлетворяет ДУ при любом С 2. Каково бы ни было начальное условие уI = у0 можно найти такое с = Со, что у' - (fix, Со) I X—Xq удовлетворяет данному начальному условию Частным решением уравнения (3.2) называется функция у - (fix, Со), которая получается из общего решения у = ср{х, с), при определенном значении с — Cq Геометрически: а) Общие решения ДУ - семейство кривых на координатной плоскости, зависящее от одной произ- вольной постоянной С (интегральные кривые). б) частное решение - одна интегральная кривая семейства, проходящая через данную точку (XQ, УО) плоскости. Решить (проинтегрировать) ДУ - значит: 1. Найти его общее решение 2. Найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию у = у,,. I X— 3.1.1. Уравнение с разделяющими переменными Уравнение вида М(х, y)dx + N(x, y)dy = 0 называется уравнением с разделяющими переменными, если функции М(х, у), N(x, у) можно представить в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одного переменного х или у. Чтобы проинтегрировать уравнение, надо разделить переменные - это значит перед дифференциалом их оставить функцию, зависящую только от х, а перед дифференциалом dy, зависящую только от у. Пример 3.1. Решить уравнение (х- у2 + x)dx + (у — х2 • y)dy = 0 Решение. х-(у2 +1 )dx + у • (1 - х 2 )dy = 0. Разделив переменные, получим = [ J у~ +1 J1 - х" 1 1 1 или ~ 1п(1 + v2) = -- 1п(1 - х2) + — In с, т.е. 1 + у2 = с (l - х2) - (общее решение в неявном виде). Пример 3.2. Решить задачу Коши для уравнения уах + ctgxdy = 0; у\х=* = - 1 • 17 Решение, а) Разделяя переменные, получим — = - , тогда Ыу - In cosx + In с или J у J ctgx у = с cosx -- общее решение уравнения. б) Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию: у\ - - 1 . 3 Подставляя начальное условие в общее решение, получим - l = c c o s — , с = -2 , у = —2 • cosx - частное решение: 3.1.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка Определение. Функция fix,у) называется однородной измерения к относительно х и у,если она удов- летворяет при любом (равенству: f(tx, (у) = tkf(x ,у) Уравнение М(х, y)dx + N(x, y)dy = 0 называется однородным, если функции М(х, у), N(x, у) - одно- родные функции одного и того же измерения. Замена у = и • х приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными от- носительно функции и(х). Пример 3.3. Решить уравнение. ( 2 - х - y ) d x + (х + y)dy = 0 - однородное дифференциальное урав- нение (и= 1). Решение. у = и • х, dy — xdu + udx ; (2-х —и- x)dx + (х + и- x)(udx + xdu) = 0 или х • (1 + u)du = - ( 2 + u2)dx. Разделяя переменные, интегрируя, получим. г 1 + и 7 rdx 1 и 1 j 2 , -du=—\—: —1= arctg —==• + — m 2 +u = - m x + lnc; J 2 + u2 x 42 42 2 1 X v 2 V2x Замечание. Уравнение вида у /=f(x,y) называется однородным, если f(x,y) - однородная функция ну- левого измерения. и =•—, In с • -^2-х2 + у2 = —\= arctg —f= общий интеграл. 3.1.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Линейным ДУ первого порядка называется уравнение вида У+Р(х) • у = Q(x) . Решается с помощью подстановки v = и • v .где и(х) и v(x) - лиАсЬепенпипуемые (Ь\<нкпии тпгля ^ • - • v^ • • i. i. 1 ' 1 ./••••' т -/ '— ? u'+v'u + P(x)-u-v = Q(x) или Ы '• V + и{у'+ Р(х) • V) = <2(х) , /ч fv' (х) + Р(х) • v = О Функция v(xi находится так, что v+P(xiv = u, => получаем систему < V ' - v ( x ) = е ( х ) Определив и(х) и v(x), получим общее решение линейного уравнения у - и(х • с) • v . Пример 3.4, Решить уравнение у'+у • tgx = cos2 х. Решение. Данное уравнение - линейное относительно функции у(х) и у'(х). 1 о i о Замена у — и(х) • v{x) приводит к системе двух уравнений с разделяющимися переменными: w'-v + v'-u + u-v-tgx = COS2 X, u'-v + и • (v'+v • tgx) = cos2 x,- [v'+v • tgx = 0 и -v = COS X 1) — = - V dx ' tgx, J — = - Jtgxdx, v = cos x; 2) u' v = cos2 x, jdu=jcosxdx, u = sinx + c. у - (sin x + c) cos x - общее решение. 3.1.4. Уравнение Бернулли Уравнение вида у' + Р{х)у = Q{x)y", п Ф 0 ,п Ф\ называется уравнением Бернулли. Заменой У ( Х ) = M(X)V(X) оно сводится к линейному. На практике оно решается с помощью подстановки. Пример ЗА Решить уравнение Бернулли у' + 2ху = 2х3у3 - DY(n = 1). Решение. Применяем метод подстановки y = uv. у' = u'v + v'u. u'v + v'u + 2xuv = 2 X 3 V 3 M 3 ; ( \ 3 3 3 W + 2xv = 0 u'v + u(v' + 2xu) = 2x и v , < ззз' [u'v = 2x и v 1) v' + 2xv - 0 = 2xv; J— = -2 jxdx; lnjxvj = - x 2 ; 2) и' = 2X3M3V2 , — = 2 х 3 М V2*2 , v = g"^ ; dx J-^Y = jx3e~2* dx; 2u jwdfv = uv - ^vdu и — x dv — e 2x xdx du = 2xdx 1 -2Л2 v = — e 1 1 2 -2x2 = — x e + J E 2x2xdx; 2 u2 1 1 2 1 1 1 1 —- = —xle e +c; y = uv \ — = 2u2 2 4 - 2 2 2 У XV J_ y2 2 ~2x 2 ^ ~2x2 x e +-e +c 2л 1 = xl + — + ce2x - общий интеграл уравнения. У 3.2. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка Линейным дифференциальным уравнением высшего порядка называется уравнение вида: у(п) + а}(х)у(п-г> + а2(х)у{п-2) + ... + а ^ у 1 + ап(х)у =f(x), (3.4) где а\(х), aj(x), ...,а„(х) и f(x) - заданные непрерывные функции на (а,Ь). Уравнение (3.4) называется неоднородным, если f(x) Ф 0, и однородным, f(x) -0. Уравнение (3.4) при любых начальных условиях имеет единственное решение, удовлетворяющее этим начальным условиям. Линейные дифференциальные уравнения описывают реальные процессы или дают первое приближе- ние к этим процессам, поэтому имеют широкое практическое применение. 19 Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид: у(п) + сцу^ + а2у<п-2)+...+ап.1у> + = 0, (3.5) где а ; gR, i=l п. Совокупность п определенных и линейно независимых решений уравнения (3.5) называется фунда- ментальной системой решений. Основная теорема. Если у2, ...,Уп ~ фундаментальная система решений уравнения (3.5), то их ли- нейная комбинация Y = с,у! + С2У2 + ... + Сгуп, (3.6) где С; ,С2,..., сп - произвольные постоянные числа, является общим решением уравнения (3.5). Для нахождения общего решения уравнения (3.6) составляется характеристическое уравнение к" + аХ'1 + а2кп~2 + .. . + an.ik + ап = 0 (3.7) (заменяя производную /-го порядка /-ой степенью k, i = 1, п). Возможны следующие случаи: 1) все корни кj,kz---,kn характеристического уравнения (3.7) действительные и различные. Общее решение уравнения (3.5) записывается в виде у = cxev + c2eKlX +... + спеК"х. (3.8) 2) корни характеристического уравнения действительные, но среди них есть кратные (ks = k2 = ... = kr), г - кратность корня к характеристического уравнения. Все остальные п - г корней различные. Общее решение однородного уравнения принимает вид y = eKX(cl + с2х + с}х2 +... + crxr~l) + cr+]eK,*'x +... + спек"х. (3.9) 3) среди корней характеристического уравнения есть однократные комплексно сопряженные, на- пример, /с, 2 - ах ± Д г ; к34 -а2± Д2/. Остальные корни действительные и различные (если есть крат- ные действительные корни, смотри случай 2). у = ещх(сх cos Д х + с2 sin Д х ) + еагХ{съ cos Д х + с4 sin Д2х) + c5eksX +... + cnk"x (3.10) 4) пара комплексно сопряженных корней kl2 =a±/3i уравнения (3.7) имеет кратность г. В этом случае соответствующие г пар членов в формуле (3.7) заменяются слагаемыми. еа*[(с, + с2х +... + c r x r l ) cos fix Л- (сг+] +c(.+2x + ... + c2 rx' '4)sin Дх] Пример 3.6. Найти общее решение уравнений: 1) yIV + 2у '" + у11 — 0 ; 2) уш + у" + у' + у = 0. 3) уш+4уи+29у' =0. Решение. 1) Составляем характеристическое уравнение к4 + 2к3 + к2 = 0 . Найдем его корни к2(к2+2/с + 1) = 0,==>к12 =0,К3 4 = - 1 , имеет вид у = с1+с2х + е'х(с3+с4х). 2) Составляем характеристическое уравнение к 3 + к 2 + / с + 1 = 0 . Найдем его корни: (k + \fyk2 +1)= 0 => = - 1 => кг з = ± / . Учитывая корни характеристического уравнения, общее ре- шение запишется в виде у = схе'х + сг cos х + с3 sin х. 3) Составляем характеристическое уравнение к3 + 4к2 + 29к = 0 к(к2 + 4к + 29) = 0, к, = 0; k2i3 = - 2 ± л/4 - 29 = - 2 ± 5/, => общее решение имеет вид у - с, + е~1х(сг cos 5х + с3 sin 5х). 20 Пример 3.7. Для уравнения у11 + 4у1 = 0 найти интегральную кривую, проходящую через точку (0,0) и касающуюся в этой точке прямой у = х. Решение, а) Найдем общее решение данного уравнения: к2 + 4к = 0 к(к + 4) = 0, к, = 0, к2 = -4, => общее решение данного уравнения имеет вид у = с, + с1е~4х. б) Чтобы найти соответствующую интегральную кривую, используем заданные начальные условия 1 I с + с _ и С, = Я0) = 0 ,У (0 ) = 1. у = с1+с2е-4х у(0) = с,+с2 у1 =-4с2е^х У (0 ) = -4с 2 , с, + с, - 0 "2 4 ! " 1-4с, =1 1 Таким образом, искомая интегральная кривая имеет уравнение у - —(1-е~4х). 4 Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид /"> + в , / - » +... + а^У + апу = fix), (3.11) где а. е R, i = 1, п, / ( х ) - непрерывная функция. Лагранж разработал общий метод решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений. Метод применим, если известно общее решение однородного уравнения, соответствующего неоднород- ному уравнению (3.11). Этот метод называется методом вариации произвольных постоянных или мето- дом Лагранжа. Пусть у = С)у) + с2у2 + ... 4- спуп - общее решение однородного уравнения, соответствующего неод- нородному уравнению(3.11): Уи) + аху(п~х) +... + а„_У +апу = 0 (3.12) Метод Лагранжа состоит в том, что общее решение уравнения (3.11) ищется в виде У~с\ (х)у, + С2 (х)у2 +... + сп (х)у„, где с,(х),с'2(х),...,сп(х) - неизвестные функции. Эти функции определяются из системы с/ {х)у1 + с21 (х)у2+... + сп1 (х)уп = 0; с{1(х)у,1 +c2l(x)y2l+...+cnl(x)yn{ =0; сЦх)у™ +с21(х)у2^ + ,.. + с:(х)уГ') = fix). Для уравнения второго порядка у" + рху' + р2у - f (х) данная система имеет вид \с1\х)у] +с2(х)у2= 0 {cXx)y:+c2l(x)y21=f(x) Суть метода Лагранжа для уравнения состоит в следующем: у" + ру' + qy = f (х) 1) Находим общее решение соответствующего однородного уравнения у" + ру' + qy = 0 и записы- ваем его в виде у = с, v, + с2у2, где с> и с2 произвольные постоянные. 2) Для нахождения общего решения неоднородного уравнения у" + ру' +qy = f (х) записываем его в виде у = с](х)у1 + с2{х)у2, где с,(х) и с2(х) - неизвестные функции, они должны быть такими, чтобы удовлетворялось неоднородное уравнение. 3) Находим выражения для производных функций с/(х) и c2(xj. Для этого составляем систему уравне- ний: jc/OOy, +с2(х)у2= 0; icl(x)y* -с21(х)у2 =/(х). 21 4) Найденные из этой системы производные с/fx), с2(х) интегрируются и выражения с, fx) и с2(х) подставляются в общее решение (3.12) со своими произвольными постоянными С/ и с2> полученными при интегрировании. п Пример3.8. Найти общее решение уравнения у —у = — . е -1 . Решение. 1) Находим общее решение соответствующего однородного уравнения к2 - 1 = О, к = ± 1, => у"-у = 0у = с]ех + с2е'х, у1 = ех, у2 = е'хух = ех, у2 = -е~х. 2) Записываем общее решение неоднородного уравнения: у = с, (х)е х + с2 (х)е'х. 3) Для нахождения производных функций cjfx) и с2(х) составляем систему 'с'(х)ех +с2(х)е~х =0 2ех , с,1 (х)ех = -с2 (х)е'х, подставляя во второе уравнение системы, получим: с11(х)ех-с21(х)е~х е -1 2ех g2x ^ -с2\х)е'х -с2\х)е~х => с2\х) = ——, с1'(х)=-—. е — 1 е —I е — I 4) Интегрируя найденные с,1 (х) и с2 '(х), получим: dx Л + ех-ех , r(ex -\)-ех , г, г exdx г ах ri + e -е , rie -и-е , г , ге ах , . х .. (х)= = с& = - dx = -\dx + = —х + Inie -1 ) + с, v ; Je*_i J e ' _ i J e ' - i J V _ i v 7 1 = - = - ( ' + In 0 = - 1 + In \ex -1|) + c2 = (1 - - In\ex -1|) + c2 с>(х)=~Ьтт= ex-\ = t exdx = dt ex =t +1 Общее решение данного уравнения имеет вид: у -ех{сх -x + ln\ex -ty + e~x(\-ex - In ех - l | + c2). Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами и специальным видом правой части Метод неопределенных коэффициентов Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициен- тами У" )+а1У я-1 )+.. . + аи3; = / ( х ) , (3.13) где а{ е R, i =1, n, f(x) - непрерывная функция. Соответствующее однородное уравнение: yw + alyln~l)+... + any = 0. (3.14) Запишем характеристическое уравнение для уравнения (3.14): к" +ахкп~х +... + а„ = 0. (3.15) Общее решение уравнения (3.13) имеет вид: у-у + у*, где у - общее решение уравнения (3.14), а у* - частное решение уравнения (3.13). Форма частного решения у* уравнения (3.15) зависит от вида правой части f f x ) и корней характери- стического уравнения. Пусть правая часть уравнения (3.13) имеет вид f i x ) = еах (Рн (.х) cos fix + 0т (х) sin Вх), (3.16) где Рп (х) и 6т (х) — многочлены, соответственно степени п и т. Тогда 22 v" =xreax{us{x)cosPx + Ds{x)smfix), (3.17) где us(x) и vs(x) - многочлены степени S с неопределенными коэффициентами, .у = шах {и, m], г - кратность пар корней а. ± (3i характеристического уравнения. Частный случай: Если /3 = 0, то f i x ) = еахРп(х) и у* записывается в виде: у'= хГеах и„(х), (3.18) где и„(х) - многочлен степени п с неопределенными коэффициентами, г - кратность корня а характери- стического уравнения. Метод неопределенных коэффициентов состоит в следующем: 1) составляем у* по формуле (3.17) или (3.18), где многочлены общего вида записаны с неопреде- ленными коэффициентами; 2) находим производные (у*)'"1 нужного порядка и вместе с у" подставляем в уравнение (3.13); 3) приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной х в левой и правой частях уравнения. При наличии тригонометрических функций приравниваются коэффициенты в левой и правой частях уравнения при произведениях одинаковых степеней х при xncos/3x и x"sin/?x, {п = 0,1,2,...) ; 4) находим числовые значения неизвестных коэффициентов и подставляем их в у*. Пример 3.9. Для каждого из заданных дифференциальных уравнений найти общее решение и част- ное решение в тех случаях, когда заданы начальные условия. 1. уУ + у"' = х2 - 1 - ЛНДУ с постоянными коэффициентами, у = у + у*. 1)у:уУ+уш=0, к5+к= 0, к3(к2 +1) = 0, к , = к 2 = к 3 = 0 к2 +1 = 0, к2 = - 1 , к2 = —1, K45=±i; => у = с, + с2х + с3х2 + с4 cos х + с5 sin х. 2) У*: f{x) =х2 -1, => / = хгеахип(х), а = 0,п = 2,г = 3,т.е. 0 у" = х3 iAx2 + Вх + с) = Ах5 + Вх4 + Сх3; 0 у ' =5Лх4 + 4£х3+ЗСх2 ; 0 у" = 20Ах3 +12 Вх2 + 6 Сх; 1 /" = 60Ах2+24Вх + 6с; 0 =120Лх + 24Л; 1 у*" =120 А; Подставляя в данное уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа, получим 12OA + 60Ах2 + 24Вх + 6с = х2 -1. х2|бОЛ = 1; х 124Z? = 0; x°ll2(L4 + 6C = - 1 => А = /60; В = 0; С = -~; у* = - х 3 ( — х 2 - 1 ) I I I 2 2 30 3)У = У + У*-У = с, +с2х + с3х2 +c4cosx + cs sinx + ^ - x 3 ( ^ x 2 -1) ; 2. y'r + 5у" + 4у = 3 sin х. - ЛНДУ с постоянными коэффициентами, следовательно, у = у + у*; l)y\y!V +5у" +4у = 0;к4 + 5к2+4 = 0.к2 = f,t2 + 51 + 4 = 0,^ = - 4 ; t2=-1; k2 = -4 , kh2 = ±2i, kiA=±i, => ' у = с, cos 2x + c2 sin 2x + c3 cos x + c4 sin x. 2) У* f ( x ) = 3sinx. y* = Xreax iUsix) cos Вх + V, (x sin fix); a = 0, p = 1; a ± pi = ±/; n = m = 0 => ^ - 0, r = 1, тогда 23 4| у* = х(А sin х + В cos х). Находим А и В: 0| у*' = A sin х + В cos х + х(А cos х - В sin х); 5| у*" = ^ c o s x - i ? s i n x + v i c o s x - A « x + x(--ylsinx-.Bcosx = = 2Acosx-2B sinx + x(-Asinx-Bcos х). 0| уш = - 2 sin х - 2В cos х - A sin х - В cos+ х(-А cos х + В sin х) = -ЗА sin х - 3В cos х + х(В sin х - A cos х). I IV 1 у* = -ЗА cos х + 3 В sin х + В sin х- A cos х + х(В cos+ A sin х) = = -4 A cos х - 4В sin х + (В cos х + A sin х). Подставляя в данное уравнение, получим \6А = 0; 1 6 / 4 c o s a - 6 i ? s i n x = 3smx; < А = 0, В = 1 - 6 5 = 3; 2, У = XCOSX. 2 3. у" - Зу' - хе х, у(0) = 1, у'(0) - ЛНДУ (и=2) с постоянными коэффициентами у = у + у*. 1) у: у" - 2 у' = 0, к2 -2к = 0,к(к-2) = 0,кх =0,к2 =2 =>у = сх + с2е2х\ 2) у : f (х) - хе~х, у* -xreaxUn(x),a = -\,n = \,r = 0. у* = (Ах + В)е~х, подставляя в данное уравне- ние, получим: 0| у = (Ах+ В)е'х~, -2 | / = Ае~х - (Ах + В)е~х; => (-2А +Ах + В-2А + 2Ах + 2 В ) = х; 1| у" = -Ае~х -Ае'х+ (Ах + 5)e_j r; х \А + 2А = 1 1 1 4А + 2В — 0> А= — , В = —. у =-(х + 2)ех. 3)У = У + У, у = с1+с2е2х+^(х + 2)е'х. 4) Найдем частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям у(0)=1, У!(0)=0. у = сх +с2е2х +-(х + 2)е'х, 1 1 у1 = 2с2е + — е~х +—(х + 2)е Подставляя начальные условия у(0) = 1, у'(0) = 0, будем иметь 5 1 2* 1 , частное решение запишется у = е + — (х + 2)е 6 2 3 1 = с, + с, + — 1 2 3 V — "I Г - 3 3 - 5/ с> ~ / 6 ' с, = — 2' 24 ТЕМА 4. РЯДЫ 4.1. Числовые ряды. Основные определения. Сходимость ряда. Признаки сходимости числовых рядов Выражение вида Ul + и2 + ... и. + ... = f x , (4.1) И=1 где U„еR, называется числовым рядом. Числа Uu U2, ..., U„ ... называются членами ряда, a Un- общий член ряда. Ряд считается заданным, если известен его общий член: U„ =f(n), neN, т.е. задана функция натураль- ного аргумента. Суммы Si = Ui; S2=Uj + U2> Ut (4.2) i=1 называются частичными суммами ряда (4.1). Если существует конечный предел lim S„ = S, то ряд (4.1) называется сходящимся, а число S - его суммой. Если же lim Sn не существует или lim S„ = со, то ряд (4.1) называется расходящимся. и—>« «-»«> Необходимый признак сходимости ряда: Если ряд (4.1) сходится, то lim U„ = 0. Следствие. Если lim U„ ф 0, то ряд (4.1) расходится. И—ЮО Ряд У - называется гармоническим рядом. Для него lim U„ = 0, но ряд расходится. I1 П П~>СО п=1 " 4.2. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами 1. Признак сравнения: Пусть даны два ряда с положительными членами: I X (4-3) п=1 и 2Х' <4-4) и=1 причем члены ряда (4.3) не превосходят соответствующих членов ряда (4.4), т.е. при любом п Un со Т/ п то ряды (4.3) и (4.4) одновременно сходятся, либо расходятся. 3. Признак Даламбера: Если для ряда (4.3) существует lim = = к ФI, то если I < 1 - ряд (4.3) И—>0 Т/ П сходится; / > 1 - ряд (4.3) расходится; / = 1, ответа не дает. 4. Радикальный признак Коши: Если для ряда (4.3) существует предел lim = wUn = q, то, если »7—*со * q < 1 - ряд (4.3) сходится; q > 1 - ряд (4.3) расходится; q = 1 ответа не дает. 5. Интегральный признак Коши: Пусть члены ряда (4.3) положительны и не возрастают при п —• со, т.е. 25 и, > и 2 > и ъ > . . . > и п >..., и пусть f(x) - положительная, непрерывная, невозрастающая функция на [1, оо] такая, что f(l) = Uи f(2) = U2, ...,f(n) = U„. Тогда ряд (4.3) сходится, если сходится несобственный интеграл f(x)dx, и расходится, если интеграл расходится. Пример 4.1. Установить, сходится ли ряд исходя из определения его суммы: ар "}Л . ПП 6)2 + 5 + 8+11 + ... я=1 б Решение. a)f/„ = этот 2" +3" Г О я = — + — 6" U J U J Г1 п Г1 О f 1 + М - (1 1 1 ^ (\ 1 1 ^ I— — + — 1 — + . — + —Г + ... + — + - + . + — U 3J U 2 З 2 ; к2 п + 3") U 2 2" J 1з З2 3") S. = 1-g") 1 -q 2" Л i f 1 \ 1 1 3" 1- 1 1 — 2" + — 2 3" 2 2" 2' 3" 3 1 1 S= limS = lim n r\n J = —, следовательно, по определению ряд сходится. »-»» " » - » » 2 " 2.3" 6)2 + 5 + 8+11 + ... а„ = а/ + d (п - 1), aj = 2, d = 3, => а„ = 2 + 3 (л - 1). 0 а. + а 2 + 2 + 3 ( ^ - 1 ) 4 + 3 ( и - 1 ) 5 = — - R = " ~П= -П. 2 2 2 5= lim Sn =—Ит(4 + 3 ( и - 1 ) ) и =оо, следовательно, ряд по определению расходится. »->оо 2 Пример 4.2. Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости ряда: И=1 И Я=1 " V -J У n +1 Решение, a) lim Un = lim = 1 ^ 0 , следовательно, ряд расходится. л—>00 Я — f l б) lim{7n = l i m — = 0, следовательно, необходимый признак сходимости ряда выполняется. Л-»°0 Я—о „3" Пример 4.3. Исследовать сходимость рядов 1 „ ^ п . ^ f 9 Y й . ^ . f З и + 1 6) 00 1 Решение, а). Сравним данный ряд с рядом V расходящимся. Так как — - > (In п < п), то по признаку сравнения данный ряд расходится. ln(rt + l j п +1 СО | б). Сравним с рядом X , — , р = 3 > 1, ряд сходится. По предельному признаку сравнения «=1 п lim — = limf —^—: Д- V ' 1 T I » У п = lim — = 1 ^ 0 , следовательно, данный ряд сходится. П^ЬГГ, у. ^ О с. Z.II Для сравнения часто используются ряды: со 1) ^ a q - геометрическая прогрессия, при \q\ < 1 - ряд сходится, при \q\ > 1 - расходится. и = 1 «О | 2) ^ обобщенный гармонический ряд, при р > 1 сходится; при р < 1 - расходится. в). По признаку Даламбера И ш ^ Л-»ОО JJ и=\ ю. и. п+1 л+1 (я+1)6 а • • • = —lim 10 п~*со п + 1 \ б п J 10 <1, следовательно, данный ряд расходится, г). По радикальному признаку Коши: [зп+Т Г. Зп+Т 7з lim ^JlT - lim и. /^W lim : "-*«>у4п + 1 \ »->••*> 4п +1 2 д). По интегральному признаку Коши: х < 1, следовательно, ряд сходится. 1+п 1 + х f' (*) = 1 Х ч2 < 0 ПРИ X > 1. (l + x2) Имеем Г х<^х - l i m f _ А 1 + х •* 1 невозрастающая функция, так как ее производная xdx 1 „. — limln|l + x2||b, = — lim(ln(l + £>)2 —In2) = oo следовательно, не- + x2 2' ' '» 1 2* собственный интеграл расходится, значит, и ряд расходится. 4.3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница Ряд I X (4-5) Я=1 называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа. Если ряд Z W (4.6) /1=1 составленный из модулей членов ряда (4.5), сходится, то ряд (4.5) также сходится. Ряд (4.5) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (4.6). Сходящийся знакопеременный ряд (4.5) называется условно сходящимся, если ряд (4.6) расходится. Ряд вида 2(-1Г ия = и,-U2 +U,-U4+... + {-l)nU„+..., (4.7) и—1 где U„> 0, п= 1,2, ..., называется знакочередующимся. Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда (4.7) удовлетворяют условиям: 1) Ux > и2 > иъ > ... > ип > ...; 2) limUn = 0, то ряд (4.7) сходится. П-* со Остаток ряда гп г„ = (-l)"Un+I + ( -1Г'ип + 1 + ... имеет знак своего первого члена и меньше его по модулю, т.е. \r„\ < U„ • / 27 Пример 4.4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд У cos п ~ п2 E V/V^O /и J—г сходится по признаку сравнения, так как «-1 п |cosn| 1 - 1 < — , а ряд > — сходится, следовательно, данный ряд сходится абсолютно. п1 п~ ^ М Пример 4.5. Исследовать сходимость ряда > . . . tt{n + l)\n(n + l) л и г Решение, а) > 7-— - знакочередующийся ряд. Ряд из модулей его членов tr(" + l)ln(n + l) ^ расходится (по интегральному признаку сходимости). tt(n + l)]n(n + l) б). Проверим условную сходимость по признаку Лейбница: 1 1 1 1 1) > > > ...; 2) lim t / l = l im- — г = 0, следовательно, данный ряд 21п2 31п3 4 In 4 1 »-~(n + l) ln(n + l) сходится условно. 4.4. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда Степенным рядом называется функциональный ряд вида 00 Х С „ ( * - а ) \ (4.8) п=0 где Сп - коэффициенты степенного ряда, Ст а е R. Если а = 0, то ряд (4.8) принимает вид оо Ё С / . (4.9) п-0 Совокупность тех значений х, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимо- сти степенного ряда. Теорема Абеля. 1). Если степенной ряд (4.9) сходится при значении х = Хо то он сходится, и притом абсолютно, при всех значениях „г таких, что \х\ < |хд|; 2). Если степенной ряд (4.9) расходится при х = x t, то он расходится при всех значениях х таких, что |х| > |Х!|. Областью сходимости степенного ряда (4.9) является некоторый интервал с центром в точке х = 0. Радиусом сходимости_ряда (4.9) называется такое число R, что во всех точках х, для которых |х| < R, ряд сходится, а во всех точках |х| > R ряд расходится. С Радиус сходимости степенного ряда находится по формулам R = lim ; R = lim J.—. если эти пределы существуют. f .. 1V Пример 4.6. Определить область сходимости рядов: I). У ] — -. 2). ^ и=03"(и + 1) +1 \ z J Решение. 1) R- lim С. С, n+l с. = 1 " 3"(и + 1) С = 1 п+1 ъп+1 Зп+1(и + 2) 3"+! (и+ 2) = lim у——- = 3, следовательно, интервал схо- "-»«> 3я (и+ 1) димости (-3, 3). Исследуем сходимость ряда в граничных точках: а)х - 3, получаем да | ряд £ — " »=П И + 1 расходится (гармонический ряд); б) х = -3, получим ряд ^ ^ сходится по признаку Лейбница: л=0 И+1 1)1 > — > — > . . . ; 2) lim—^— = 0. Область сходимости-[-3; 3). 2 3 "->00 и + 1 £ " + 1 v ^ J R = lim Я-»» . Определим радиус сходимости ряда: С. =• С. С. л+! (и + 1)2" ' и+1 (n + 2)2"+I и (и+ 2) 2 л (и+ 2) = lim . v w ' ч — = 2 l im— / = 2 , "-»м (и + 1)(и + 1)2" (и + 1) следовательно, R = 2; | x - l j < 2 ; - 2 < х - 1 < 2 ; - 1 < х < 3 . Интервал сходимости - (-1, 3). Исследуем сходимость ряда в граничных точках: ж п п 1) х = 3, получаем У - знакоположительный, lim£/n = lim = 1 ^ 0 , следовательно, ряд рас- и +1 "-*00 и + 1 ходится. it ч - — знакочередующийся, расходится по признаку Лейбница, так как »-1 и + 1 limjC/„ Ф 0 . Область сходимости -(-1,3). 4.5. Свойства степенных рядов 00 Пусть функция S(x) является суммой степенного ряда Ц Спх". Доказано, что на любом отрезке л=0 [а, Ь], целиком принадлежащем интервалу сходимости (-/< R), функция S(x) - непрерывна, а следова- тельно, степенной ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке: ^S(x)dx = C0^dx + Cx £xdx + ... + Cn £x"dx + ... Кроме того, в интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать: S/(х) = С; + 2С2Х + 2СЗХ2 + ... + пСпХп-! + ... При этом после интегрирования или дифференцирования полученные ряды имеют тот же радиус сходимости R. •х ..2.1-1 Пример 4.7. Определить интервал сходимости и найти сумму ряда У (—1)" чя-1 х" о.. 1 я=I 4.П—1 29 Решение. R = lim С. С, л+1 с =• с = /1+1 1 2п-1 1 2п+\ .. 2п + 1 = lim = 1. «->« 2п -1 |х2| < 1, |х| < 1, -1 < х < 1 в граничных точках сходится по признаку Лейбница. Тогда£>(х) = 1 -х2 +х4-х6 + ..., S(x) = ——, a S ( x ) = Ls"(xWx= f - ^ Ц - = arctgx + С. \ + хг 1 + X S(0) = 0, следовательно, С - 0. Так как S(x) = arctg х определена при х = ± 1 и непрерывна на [-1, 1], то она равна сумме ряда и в точках х = ± 1. ТЕМА 5. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 5.1. Пространство элементарных событий. Определение вероятности. Элементы комбинаторики Элементарными событиями (элементарными исходами) называются взаимоисключающие исходы опыта. Множество Q = {ш} всех элементарных событий называется пространством элементарных со- бытий данного опыта. Любое подмножество А множества Q называется событием. Вероятность события характеризует степень объективной возможности наступления этого события. Классическое определение вероятности. Пусть множество Q состоит из конечного числа п равно- возможных элементарных событий. Вероятность Р(А) события А равна числу т элементарных событий, входящих в А (числу всех благоприятствующих событию А элементарных исходов), деленному на число всех элементарных событий (число всевозможных, равновозможных и единственно возможных исходов), т т.е. т(А) = — . п Геометрическая вероятность. Пусть G - некоторая область и вероятность попадания в какую- нибудь часть g области G - пропорциональна мере этой части (длине, площади, объему - в зависимости от размерности пространства, в котором рассматриваются области) и не зависит от ее расположения. То- гда вероятность попадания в область g равна P(g)= М 6^ а S . Понятие геометрической вероятности мера G обобщает понятие классической вероятности на случай опытов с бесконечным числом элементарных ис- ходов. Элементы комбинаторики. В теории вероятностей часто используют размещения, перестановки и сочетания. Пусть дано множество А = {а\,й)2,...,й)п} . Размещением из п элементов по к называется любое упорядоченное подмножество к элементов множества А. Таким образом, размещения отличаются либо самими элементами, либо их порядком. Размещения из п элементов по п элементов (т.е. при к - п ) называются перестановками. Сочетанием из п элементов по к называется любое подмножество к элементов множества А. Раз- личные сочетания отличаются хотя бы одним элементом. Пусть, например, дано множество А = •[<у,,су2,<у3} . Размещениями из 3 элементов этого множества по2будут (сох,со2), (со{,сог), (бо2,о\), (со2,сог), (а>3,а\), (о)ъ,а)г). Сочетаниями из 3 элементов по 2 являются: (&>,,о)2), (<у,,<у3), (а>2,<х>3) . Перестановки из 3 элементов: (со,,а>2,со3), (<у,,й>3,й>2), (й>2,ю,,ю3), (со2,со3,о\), (&>З,СУ,,&>2), 30 Число перестановок из п элементов вычисляется по формуле Рп = я! = 1- 2- 3....я; число размещений п\ из п элементов по к - по формуле Ап = = п(п-1)...(п-к + \); число сочетаний из п элементов по (п-к)\ , , Пк К л(л-1) . . . (и-Л + 1) „ к я.к к - по формуле С„ = —-1- = = —: :— : . Отметим, что С„ = С„ . " Рк к\(п-к)\ l-2-...-к Приведем несколько примеров простейших комбинаторных задач. 1. Число способов, которыми можно рассадить за столы по 2 студента группу в 20 человек, равно 4 0 =20x19 = 380. 2. Число способов распределения 5 должностей между 5 лицами равно Р5 =51 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120. 3. Число партий шахматной игры среди 12 участников чемпионата (если каждый участник играет . ^ 12! 1211 только одну партию друг с другом) равно С12 = ~ ^ ^ = "6 . 4. Число способов, которыми можно выбрать делегацию в состав 15 человек из группы в 20 человек, 15 5 20 19-18 17-16 равно С,п = С,п = = 15504. 2 20 1-2-3-4-5 Пример 5.1. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наугад отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины. Решение. Требуется найти вероятность события А - {среди отобранных лиц - 3 женщины}. В дан- ной задаче элементарное событие - набор из 7 человек. Так как последовательность, в которой они отби- раются, несущественна, число всех таких наборов есть число сочетаний из 10 элементов по 7: п = С,70 = С,30 = = 120. По условию все элементарные события равновозможны. Поэтому можно использовать классический способ вычисления вероятности. Найдем число элементарных исходов, бла- гоприятствующих событию А. Это будет число наборов, в которых 3 человека выбраны из 4 женщин, а 4 человека - из 6 мужчин. Из 4 женщин троих можно выбрать т , = С\ - 4 способами, а из 6 мужчин чет- верых- т 2 =Cg =15 способами. Благоприятствующие событию Л исходы получаются, когда набор из 3 женщин дополняется 4 мужчинами. Число таких способов будет равно т = т1 • т2 = 4 х 15 = 60. По п. .. т 60 1 классическому определению вероятности получим Р(А) = — = = —. п 120 2 5.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Теорема сложения. Вероятность суммы двух событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления Р(А + В) = Р(А) + Р(В)-Р(А-В). (5.1) Если события А и В несовместны (т.е. в результате опыта они не могут появиться вместе), то Р{А + В) = Р(А) + Р(В). (5.2) Следствие. Вероятность события , противоположного данному событию А, равна Р(А) = \-Р(А). (5.3) Для вероятности суммы 3 событий формула (5.1) обобщается так: Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) - Р(АВ) - Р(АС) - P(BQ + P(ABQ. Если события А, В, С попарно несовместны, то Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С). 31 Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий А и В равна вероят- ности одного из них, умноженной на условную вероятность другого события, при условии, что первое произошло, т.е. Р(АВ) = Р(А) Р(В/А)=Р(В) •Р(А!В). (5.4) Если события А и В независимы (т.е. появление одного из них не меняет вероятности появления дру- гого), то Р(АВ) = Р(А)-Р(В). (5.5) Формула (6.4) верна и для любого конечного числа событий Ах, А2,..., А„: P(A,-A2:.,An) = P(A,)-P(A2/A1)xP(AJAiA2),.,P(An/AlA2...An^). (5.6) Если события At,A2,...,A„ взаимно независимы (в совокупности), то P(Al-A2,.,An) = P(Al)-P(A2)..,P(AJ. (5.7) Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий А]УА2,...,А„ равна Р(А1 + А2 + ... + Аа) = 1-Р(А,)-Р(А2)...Р(Ак). (5.8) Пример 5.2. Для производственной практики на 30 студентов представлено 15 мест в Минске, 8 - в Гомеле и 7 - в Витебске. Какова вероятность того, что 2 определенных студента попадут на практику в один город? Решение. Рассмотрим события: А = {2 определенных студента попадут на практику в Минск}, В - {2 определенных, студента попадут на практику в Гомель}, С = {2 определенных студента попадут на практику в Витебск}. Эти события попарно несовместны. Событие D = {2 определенных студента попа- дут в один город} есть сумма указанных событий. По формуле (5.2) имеем P(D) = Р(А) + Р(В) + Р(С). По классическому определению вероятностей ->2 f~!L I 15 • T>tT}\ - s . _ 7 j- ysij - Тогда Р(А) = -£;Р(В) = -±-,Р(С) '-'30 ^30 ^зо P(D) = С)25 + С82 + С72 _ 154 С20 ~ 435 Пример 5.3. Имеется блок, входящий в систему. Вероятность безотказной работы его в течение за- данного времени Г равна 0,85. Для повышения надежности устанавливают такой же резервный блок. Оп- ределить вероятность безотказной работы за время Т с учетом резервного времени. Решение. Введем события: А ={безотказная работа данного блока за время Т), В = {безотказная ра- бота резервного блока за время Т). По условию Р(А) — Р(В) — =0,85. Пусть событие С = {безотказная работа данного блока с учетом резервного за время Г}. Так как события А и В - совместны, но независи- мы, то по формулам (5.1), (5.5) получим P(Q = Р(А) + Р(В) - Р(А) • Р(В) = 0,85 + 0,85 - 0,85 • 0,85 = 0,9775. Пример 5.4. Рабочий, обслуживающий 2 станка, вынужден был отлучиться на некоторое время. Ве- роятность того, что в течение этого времени станки не потребуют внимания рабочего, равны р. = 0.7 и Р2 = 0,8. Найти вероятность того, что за время отсутствия рабочего ни один станок не потребует его внимания. Решение. Пусть событие А ={ первый станок не потребует внимания рабочего за время его отсутст- вия}, В ={второй станок не потребует внимания рабочего за время его отсутствия}. Эти события незави- симы, поэтому по формуле (5) получим: Р(АВ) = Р(А) • Р(В) = 0,7 • 0,8 = 0,56. Пример 5.5. У сборщика имеется 6 деталей без дефекта и 2 детали с дефектом, ("борщик берет под- ряд 2 детали. Найти вероятность того, что обе детали - без дефекта. л SL Решение. Пусть событие А - {первая деталь - без дефекта), В - {вторая деталь - без дефекта}. Нас интересует событие А-В. По теореме умножения вероятностей (5.4) имеем Р(А-В) = Р(А)-Р(В/А) = - - ~ = - - - = —. 8 8 - 1 4 7 28 Пример 5.6. 3 стрелка производят по одному выстрелу по цели, вероятности попадания в которую равны: для первого стрелка - 0,6, для второго - 0,7, для третьего - 0,8. Найти вероятность одного попа- дания в цель. Решение. Пусть А, = {попадание /-го стрелка в цель), противоположные события At = {промах /-го стрелка}, / = 1,2,3. Рассмотрим событие А = {одно попадание в цель при стрельбе 3 стрелков}. Это собы- тие может наступить при наступлении одного из следующих несовместных событий: А1А2 А3, А^ А^ А^, Ах А^ А3. Тогда А = А1А2А3 + АХА2А3 + А1А2А3, а его вероятность Р(А) = Р(ЛД4) + Р(А,А2А3) + Р(А, А, А,) = =Р{Ах)-Р{Аг)- р(Аг)+Р( Д) • Р(Л) • Р(А)+Р(А )-Р(А)- Р(А3) = = 0,6-0,3-0,2 + 0 ,40 ,7-0 ,2 + 0,4-0,3-0,8 = 0,036 + 0,056 + 0,096 = 0,188. Пример 5.7. Техническое устройство, состоящее из 3 узлов, работало в течение некоторого времени Т. За это время первый узел оказывается неисправным с вероятностью 0,1, второй - с вероятностью 0,15, третий - с вероятностью 0,12. Найти вероятность того, что за время работы хотя бы 1 узел технического устройства выйдет из строя. Решение. Пусть событие Ai = {выход из строя /-го узла технического устройства} (/' = 1,3) . Тогда событие А = А1 + А2+А3 - выход из строя хотя бы одного из 5 узлов. События Ai (i = 1,3) совместны и независимы. Поэтому вероятность события А определяется по (7.8): Р(А) = Р{АХ + 4 + А,) = 1 - Р( Д ) • Р Д ) • Р(А3). Следовательно, Р(А) = 1 - 0,9 • 0,85 • 0,88 = 1 - 0,6732 = 0,3268. 5.3. Формула полной вероятности и формула Байеса Если событие А может произойти только совместно с одним из событий Н1,Н2,...Нп, образующих полную группу событий (гипотез), то вероятность события А определяется по формуле полной вероят- ности Р(А) = ^ Р(Нк)Р(А/Нк), (5.9) к=1 где Р(Нк) - вероятность гипотезы Нк; Р(А / IIк) - условная вероятность события А при этой гипотезе, п I ] Р(Нк) = 1. Вероятность Р(Нк / А) гипотезы Нк после того, как появилось событие А, определяется к=1 по формуле Байеса 1 ; 2 в ) . ( 5 Л 0 ) YР(Н,)Р(А!Н,) /=1 Пример 5.8. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных заводом № 1, 20 деталей - заводом № 2 и 18 деталей - заводом № 3. Вероятность того, что деталь, изготовленная заводом № 1, - отличного каче- ства, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах № 2 и № 3, эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наугад деталь окажется отличного качества. Решение. Пусть событие А - деталь отличного качества. Рассмотрим гипотезы: // , - деталь изго- товлена заводом № 1; II2 - деталь изготовлена заводом №2; II3 - деталь изготовлена заводом № 3. Ве- 33 роятности этих гипотез: Р(Н{) — — = —; Р(Н2) = — = —; Р(Н3) = —- = — . Условные вероятности: SO 23 50 5 50 Р(А/ = 0,9; Р(А/ Н2) = 0,6; Р(А / Н}) = 0,9. По формуле полной вероятности (9) при п = 3 нахо- дим искомую вероятность Р(А) = У Р(Нк )Р(А / Нк ) = = — • 0,9 + - • 0,6 + — • 0,9 = 0,78 . 25 5 25 Пример 5.9. Счетчик регистрирует частицы 3 типов: А, В и С. Вероятности появления этих частиц: Р{А) = 0,2; Р(В) = 0,5; Р(С) = 0,3. Частицы каждого из этих типов счетчик улавливает с вероятностями /} = 0,8; Р2= 0,2; Рг = 0,4 . Счетчик отметил частицу. Определить вероятность того, что это была час- тица типа В. Решение. Обозначим событие D - счетчик уловил частицу; гипотезы: / / , - появление частицы типа А; Н2 - появление частицы типа В; Н3 - появление частицы типа С. Вероятности гипотез: Р (Я , ) = 0,2; Р(Н2) - 0,5; Р(НЪ) = 0,3 . Условные вероятности: P{D/Я,) = 0,8; P(D / Н2) = 0,2; P(D / Н3) = 0,4 . Искомую вероятность Р(Н2 /D) определим по формуле Байеса (7.10) рш !D)= ПН2)Р(Р1Н2) 0 ,5-0,2 0,1 = 5 2 i.P(Hk)P(D/Hk) 0 .2-0,8 + 0,5-0,2 + 0,3-0,4 0,16 + 0,1 + 0,12 19 ' ы\ 5.4. Повторение испытаний Формула Бернулли. Если в каждом из п независимых испытаний вероятность появления события А постоянна и равна р, то вероятность того, что в п испытаниях событие А произойдет ровно т раз, опреде- ляется по формуле Бернулли W = c:pmq"-m- vmqn'\ q = l - p . (5.11) Формула Пуассона. Если п велико, а р мало ( обычно р < 0,1; npq < 9 ), то вместо формулы Бернул- ли применяют приближенную формулу Пуассона Pim Рп(т)*—е~\ (5.12) т\ где X = пр. Локальная теорема Лапласа. Если п велико, вероятность Рп(т) может быть вычислена по при- ближенной формуле Р „ ( т ) ~ - Г = < Р { х ) , (5.13) \1пРЯ 1 *2 т-пр 1 —- . где х= , , <р(х) = —[=е 2 , (р*0, рф\). s\npq V 2яг Значения функции ф(х) определяются из таблицы {(р(-х) = <р{х)) . Вероятность Р п ( т 1 > т 2 ) того, что в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна р(0 <р < 1), событие А наступит не менее т] раз и не более т2 раз, прибли- женно равна Рп(т„т2)*Ф(х2)-Ф(Х]), (5.14) л- Г2 , , л 1 г ~г , _ т.—пр т^—пр где Ф(х) = - т = \е dt - функция Лапласа; х, = \ , х2 = V—— • Значения Ф(х) определяются о jnpq yjnpq из таблицы; Ф(х) =1/2 при х > 5, Ф( -х ) = - Ф(х) . 34 Пример 5.10. В мастерской имеется 10 моторов. При существующем режиме работы вероятность того, что в данный момент не менее 8 моторов работают с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероят- ность того, что в данный момент не менее 8 моторов работают с полной нагрузкой. Решение. Рассмотрим события: А - не менее 8 моторов из 10 в данный момент работают с полной нагрузкой; В, С, D - события, состоящие в том, что работают соответственно 8, 9 и 10 моторов. Тогда А = В + С + D. Так как события В, С и D несовместны, Р(А) = Р(В) + Р(С) + P(D). Найдем вероятности событий В, С и D по формуле Бернулли (5.11): Р(В) = Р10 (8) = С > У = С20 • 0,88 • 0,22 = 45 • 0,88 • 0,22; Р(С) = Р10 (9) = C9l0p9q = С?0 • 0,89 • 0,2 = 10 • 0,89 • 0,2; ^ ) = /j0(10) = O V = / = 0 , 8 H . Тогда Р{А) = 45 • 0,83 • 0,22 +10 • 0,89 • 0,2 + 0,8i0 = 0,88 • 4,04 ~ 0,678. Пример 5.11. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз. Решение. По условию п = 100, т = 75, р = 0,8, q = 0,2. Так как п — 100 велико, воспользуемся формулой (7.13) локальной теоремы Лапласа. Для этого найдем х = ^ ^>8 _ 25 По таблице V 100-0,8-0,2 0 1826 найдем ф(-1,25)=0,1826. Искомая вероятность /J00(75) = — — = 0,04565 . Пример 5.12. Предприятие отправило на базу 5000 изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002.Найти вероятность того, что на базу прибудет ровно 3; не более 3 негодных из- делий. Решение. Воспользуемся формулой Пуассона (5.12). В данном случае т = Ъ,р = 0,0002, п = 5000, А, = пр— 1; Р5000 (3) = = 0,0613 . Вероятность того, что на базу прибудет не более 3 негодных изде- лий, равна Psooo(0 < т < 3) = Р5000(0) + Р5000(1) + Р5000 (2) + Р5000(3) = ! + i e - ' + 1 е - ! + ^ е ' 1 = \ 1 1 1 1 1 + 1 + - + с ) е х = —е-1 « 0,9180 . 3 2 6, Пример 5.13. Имеется 100 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга, в одинаковом режиме, при включенном приводе, в течение 0,8 всего рабочего времени. Какова вероят- ность того, что в произвольно взятый момент времени окажутся включенными от 70 до 86 станков? Решение. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа (формула (5.14)) P„(m,,m2) = Ф(х 2 ) -Ф(х , ) , где Ф(х) - функция Лапласа; т,-пр 70-100-0 ,8 10 т2-пр 86-100-0 ,8 6 , г х — —l, — = — = 2 5 ' х ' — = — | ч ' fipq ^100-0,8-0,2 4 2 J\00-0,Z-0,2 4 ' Искомая вероятность ^00(70;86) = Ф(1,5)-Ф(-2,5) = Ф(1,5) + Ф(2,5) = 0,4332 + 0,4938 = 0,927 . 5.5. Наивероятнейшее число появлений события Наивероятнейшее число т0 появления события А в п независимых испытаниях, в каждом из кото- рых оно может появиться с вероятностью р ( и не появиться с вероятностью q = 1 - р ), определяется из двойного неравенства np — q< т0 <пр+ р, (5.15) а вероятность появления события А хотя бы один раз вычисляется по формуле Пример 5.14. Оптовая база снабжает 10 магазинов, от каждого из которых может поступить заявка на очередной день с вероятностью 0,4, независимо от заявок других магазинов. Найти наивероятнейшее число заявок в день и вероятность получения этого числа заявок. Решение. Запишем двойное неравенство (5.15) при п = 10, р = 0,4, q — 0,6 для этого случая: 10 • 0,4-0,6< т0 < 10 • 0,4 + 0,4 или 3,4 < т0 < 4,4. Так как число т0 должно быть целым, положительным, то т0 = 4. Найдем вероятность получения этого числа по формуле Бернулли (5.11) i>0(4) = С4 • (0,4)4 • (0,б)6 = 210- (0,4)4 • (0,б)6 = 0,2508. 5.6. Случайные величины Случайной величиной (СВ) называется числовая функция ^ = £,(со), заданная на пространстве Q элементарных событий о и такая, что для любого числа х определена вероятность Р(^<х) = Р{со: ^(а>)<х}. Другими словами, случайная величина - это величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно, какое именно. Обычно рассматриваются два типа СВ: дискретные и непрерывные. Дискретной называется та- кая СВ, которая принимает конечное или счетное множество значений. Возможные значения непрерыв- ной СВ заполняют некоторый интервал (конечный или бесконечный). Случайная величина считается заданной, если задан закон ее распределения. Законом распределения дискретной СВ называется соотношение, устанавливающее связь между ее возможными значениями и соответствующими им вероятностями. Пусть дискретная СВ может принимать значения х,,х2,...,хл. Обозначим р. = Р(£ = х(.) - веро- ятность того, что СВ принимает значение xf. Таблица X X, х2 х„ р А Рг Рп называется рядом распределения вероятностей дискретной СВ £ или законом распределения дис- кретной СВ Поскольку дискретная СВ обязательно принимает одно из значений х t , события } образуют л полную группу событий, поэтому ^ Pi = 1. Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения. Функцией распределения СВ £ (интегральной функцией СВ £) называется функция F(x), равная вероятности Р(Ъ, < х) того, что СВ примет значение, меньшее, чем х, т.е. F(x) = < х). Свойства функции распределения: 1. 0 < F(x) < 1. 2. Дх) - неубывающая функция, т.е. х, < х2 => F( х, ) < F( х2). 3. Если СВ принимает возможное значение х, с вероятностью pt, то F( х; +0) - F( х; — 0)= pi. Функция распределения F(x) в точке х(. непрерывна слева. 4. lim F(x) = 0, lim F(x) = 1 , X—>—СО JC—>+00 5. P(a < £ < b) = F(b) - F(a). Случайная величина с, называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна. 6. Если с, - непрерывная СВ, то = х) = 0. Плотностью распределения СВ q ( дифференциальной функцией распределения СВ называ- ется функция р(х), такая, что функция распределения F(x) выражается формулой F(x)= \p(t)dt. - 00 JO Свойства плотности вероятности: b 00 1./7(х) >0. 2. Р{а<$<Ъ)= \p{t)dt. 3. jp{t)dt = l. 4 . p { x y F \ x ) . а —со Пример 5.15. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных, построить функцию распределения. Решение. СВ % - число стандартных деталей из 3 отобранных - может принимать следующие значе- ния: х,=1, х2=2, х3=3. Вероятности возможных значений £ определим по формуле = = Итак, P(^==l) = i ^ = i ; P ( ^ = 2) = b b x = £ ; P ( ^ = 3) = b b . = i . С3 С63 5 С3 5 С3 5 Составим ряд распределения: X,. 1 2 3 Pi 1/5 3/5 1/5 Для построения функции распределения дискретной СВ воспользуемся тем свойством F(x), что при хк_х <х<хк F(x) = p1+p2 + ... + pk^=Jlpi . (=i В точке хj функция F(x) имеет скачок pf = P(t, = xi) = F(xi + 0) - F{xi - 0) и, значит, для всех F(x) = Pr+P2+... + PK,+PK=fjPi . i=i Таким образом, функция распределения дискретной СВ £ - кусочно-постоянна, имеет скачки р, в точках разрыва х, и непрерывна слева в точках разрыва х ,. Для данной СВ функция F(x) и ее график О при х<1; имеют вид F(x) = 1/5 при 1 <х<2 ; 4 /5 при 2 < х < 3 ; 1 при х>3. F(x) 1 4 /5 1/5 0 > 3 X r Рис. 2 5.7. Числовые характеристики случайных величин К числовым характеристикам СВ относятся: математическое ожидание М(^), дисперсия D(^), среднее квадратическое отклонение ст(^), моменты и др. Пусть - дискретная СВ, принимающая значения х,,х2,... с вероятностями рх, р2, ... соответст- венно. Математическим ожиданием СВ ^, или средним значением, называется число в предположении, что этот ряд сходится абсолютно. Если СВ ^ - непрерывна с плотностью р(х), то математическое ожидание определяется интегралом 00 М(£)= Jxp(x)dx. —QO Дисперсией или рассеянием D(£) СВ £ называется математическое ожидание квадрата отклонения СВ £ от ее математического ожидания, т.е. D(£) = — . 00 Для дискретной СВ \ дисперсия определяется равенством: D(£) = ^ (х; - М(%))2 /?•. /=1 00 Для непрерывной СВ: £>(£) = J (x -M(J;))2 p(x)dx. ~оО Из свойств дисперсии получается удобная рабочая формула для ее вычисления оо Для дискретной СВ: £>(£) = х2р. - (М(£))2 . /=1 00 Для непрерывной СВ: = j х2p(x)dx-(M( 4 . "> о JO Решение. 1) p(x) = F\x) = О при х < О ; х <ю 4 3 С ( X X при О <х<4 ; 2) М(£) = J xp{x)dx = JJC — dx 24 О при х > 4 ; 3) дисперсию /)(£,) вычислим по формуле = М(^2) - [Л/(^)]2. Тогда оо 4 4 Л/(£2) = = JV = ^ = 8 = 8 - 64 _ 8 9 ~9 2л/2 5.8. Основные законы распределения случайных величин Биномиальным называется закон распределения дискретной СВ Е,, если она может принимать це- лые неотрицательные значения 0,1,...,п с вероятностями Р{4 = т) = С:pmqn~m, (р > 0, q > 0, р + q = 1). Математическое ожидание и дисперсия СВ распределенные по биномиальному закону, вычисля- ются по формулам = пр; /)(£,) = npq. Пример 5.18. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается вероятностью 0,8. Составить закон распределения всхожести для 5 посеянных семян и найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. Решение. Случайная величина - число взошедших из 5 посеянных семян - может принимать зна- чения: 0, 1, 2, 3, 4 и 5. По формуле (5.11) найдем соответствующие им вероятности: ед = 0) = С 5 У У = 0,25 =0,00032 ; Р5(£ =1) = C\pq4 = 5 -0,8 -0,24 = 0,0064 ; Р5 <£ = 2) = C]p2q3 = 10 • 0,82 • 0,23 = 0,0512 ; Р5 (£ = 3) = C3p3q2 = 10 • 0,83 • 0,22 = 0,2048 ; Р5 (£ = 4) = C4p4q = 5 • 0,84 • 0,2 = 0,4096 ; Р5 (£ = 5) = C55p5q° = 0,85 = 0,3 2768 . Запишем закон распределения. Х1 0 1 2 3 4 5 р, 0,00032 0,0064 0,0512 0,2048 0,4096 0,32768 Математическое ожидание M{Q - пр - 5-0,8 = 4; дисперсия £>(£) = npq = 5 • 0,8 • 0,2 = 0,8; <т(£) = ^ Щ ) = = 0,8944. Равномерным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, все зна- чения которой лежат на некотором отрезке [а,Ь\ и имеют постоянную плотность вероятности на этом от- резке. Таким образом, ее плотность вероятности 39 1 при a b . Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое равномерно распределенной СВ определяются формулами Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины на интервал {а,р), пред- ставляющий собой часть промежутка [а,Ь], вычисляется по формуле Р(а<{<Р) = р-а Ъ-а (5.18) Пример 5.19. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округля- ют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05. Решение. Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину, которая рас- пределена равномерно в интервале между соседними делениями. В рассматриваемой задаче длина ин- тервала, в котором заключены возможные значения, равна 0,2, поэтому р(х) [5 при 0 < х < 0 , 2 ; 10 при х < 0 или х > 0,2 . а). Очевидно, что ошибка отсчета не превысит 0,04, если она будет заключена в интервалах (0; 0,04) или (0,16; 0,2). Тогда искомую вероятность получим по формуле (5.18) р = Р ( 0 < ^ < 0,04) + Р(0,16 < % < 0,2) = 5 • 0,04 + 5 • 0,04 = 0,4. б). Ошибка отсчета превысит 0,05, если она будет заключена в интервале (0,05; 0,15). Тогда искомую вероятность получим по формуле (5.18) р = Р (0,05 < 5 < 0,15) = 5 • 0,1 = 0,5. Нормальный закон распределения. Распределение непрерывной случайной величины называет- ся нормальным, если ее плотность вероятности имеет вид р(х)=- 1 г yfln Сх-а)1 2<т2 (5.19) где а - М(^)—математическое ожидание; сг = — среднее квадратическое отклонение СВ Веро- ятность попадания нормально распределенной СВ в заданный интервал (a, ft) вычисляется по формуле Р-а - Ф \ ° J V с У (5.20) Р(а < £ < / ? ) = Ф 1 * — где Ф(х) = .— \е 2 dt - функция Лапласа. V2к I Вероятность того, что модуль отклонения случайной величины от своего математического ожида- ния меньше любого положительного числа £: Р(\% — а |< е) = 2Ф / \ £ (5.21) \И J 4U Вероятность отклонения относительной частоты &=т/п от постоянной вероятности р появления не- которого события в п независимых испытаниях выражается формулой P<\ 0, равна Р(\ £ — а |< £) = 2Ф — = 0,98. ( е ^ Из этого равенства получим Ф —— =0,49. По таблице значений функции Ф(х) находим: е ^— = 2,33. Отсюда s = 2,3310" м. Тогда искомый интервал, в котором будет находиться диаметр втулки с вероятностью 0,98, можно записать: (24,767-Ю"3; 25,233-10"3 ). 5.9. Статистические оценки параметров нормального распределения Важнейшим среди законов непрерывных распределений является нормальный закон, плотность и функция распределения которого имеют вид р(х) = • 1 2сг где СГА/2/Г 1 Х 2 Ф(х) = I— \е~'12 dt - функция Лапласа. у!2Л О х-а \ а Нормальный закон является предельным законом распределения и для ряда других законов распре- деления. Поэтому основные методы математической статистики разработаны применительно к нормаль- ному закону. Пусть F(x) - функция распределения изучаемой СВ Обозначим через Я0 гипотезу о нормальном распределении СВ ГУ где а ист- конкретные значения параметров нормального закона. Эту гипотезу называют нулевой гипотезой. Для ее проверки производят серию из п независимых испытаний. В результате получают выборочную совокупность х ь х2, ..., х„, по которой делают вывод о 41 правильности гипотезы Н0. Так как СВ может принимать бесконечное множество значений, выбороч- ная совокупность содержит неполную информацию о законе распределения СВ Е,. По этой причине при оценке гипотезы Но может быть допущена ошибка. Вероятность ошибочного отклонения правильной нулевой гипотезы называют уровнем значимости. Обычно при проверке гипо- тезы уровни значимости а берут равными 0,001; 0,01; 0,05. Если уровень значимости взят 0,05, это зна- чит, что примерно в 5% случаев может быть ошибочно отвергнута верная нулевая гипотеза. Одним из методов статистической проверки гипотезы о законе распределения является критерий согласия х2 (хи-квадрат). Допуская нормальное распределение СВ находим точечные оценки его параметров где х* — середины частичных интервалов. Пример 5.22. Даны 100 значений температуры масла двигателя БелАЗ при средних скоростях в виде X,. [45; 47] [47; 49] [49; 51] [51; 53] [53; 55] [55; 57] mi 4 13 34 32 12 5 Требуется: 1) построить полигон и гистограмму частостей СВ 2) по виду гистограммы и полигона и исходя из механизмов образования исследуемой СВ сделать предварительный выбор закона распределения; 3) предполагая, что исследуемая СВ В, распределена по нормальному закону, найти точечные оценки параметров нормального распределения, записать гипотетичную функцию распределения СВ 4) найти интервальные оценки параметров нормального распределения (доверительную вероятность принять равной у = 1 - а = 0,95). Решение. 1) Для получения гистограммы частостей на каждом из интервалов строим прямоугольник высотой wjh. Соединяя середины верхних сторон прямоугольников, получаем полигон частостей. w/h 0,17 0,16 0,1 0,065 0,06 0,025 0,02 [0 1 45 Y 4 7 ] | 4 9 Ц 5 1 Ц 5 3 | | 5 5 | | 5 7 Гистограмма частостей Полигон частостей \ Рис. 2) Вид полигона и гистограммы частостей напоминает кривую нормального распределения. Кроме того, температура масла складывается под воздействием большого числа независимых случайных факто- ров (обороты двигателя, нагрузка двигателя, температура охлаждающей жидкости и др.), сравнимых по своему рассеиванию. Сказанное позволяет сделать предположение о нормальном распределении СВ 3) Вычисляем точечные оценки параметров нормального распределения. - 46-4 + 48-13+ 50-34 + 5 2 - 3 2 + 54-12+ 56-5 а » х — — = 51 100 При вычислении удобно пользоваться формулой 42 п У п — 1 п\ =1,984. Вычисляем = 1 , 9 8 4 . ^ = 0,4533. С вероятностью 0,95 неизвестное значение покрывается интервалом 51 - 0,4533 < а < 51 + 0,4533; 50,547 < а < 51,453. Чтобы записать доверительный интервал для сг = , из специальной таблицы (см. Прил. 6) по доверительной вероятности у = 0,95 и числу v = и — 1 = 1 0 0 - 1 = 9 9 , берем коэффици- енты q\ = 0,878 и с[2 = 1,161. С вероятностью 0,95 неизвестное значение а покрывается интервалом 2,285-0,878 < а < 2,285 • 1,161; 2,006 < а < 2,653. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ Задание 1. Найти интегралы. 1.1. a) tyg^xdx; 1.2. а) 1 - щ - -dx; + х 1.3. a) jcos4 хsin2 xdx; г 7x2 + 4x + 20 1 A a ) J ( * 2 + 4 ) ( * + 2) 1.5. a) J(x + 2)e~xdx\ -dx; 1.6. a) J xdx 2 ' COS X 1.7. a) j=dx\ 1 + v x ,(x3+l)c& 3 2 ' X -X 1.8. a) J 1.9. а) Jx4lnxdx; rcos3 x , 1.10. a) —r— dx; J sin x r dx 1.11.a) J- l + ljx \Jx 1.12. a) ^ctg^xdx; r(x + 3)dx 1.13. a) P r '- ; V + 4 X + 9 1.14. a) J(l + 2 sin 3x)2 dx; [.15. a) f — dx \jx +J? ( x 2 + l ) ( x 2 + x ) ' 1.18. a) [Vxlnxdbc; 6) Jxsin2x b . . -dx; ' sin x + cos x dx хл/l + xJ 6) jxarctgxdx; 6) Jxcos5xc?x; 6) j 5*"8 x3 - 4 x 2 +4x 6) Jc/g3xf- x2 ( x - 2 ) dx dx; ( x - 1 ) ' 6) Jin2 xdx; 6) Jcos6x j. л 4 2 ' X - X COS X (x - 2)dx x3 — 2x2 + x ' x 2 + 6 «) ь «of x3 - 2 x - x + 2 arcsin x -dx; -dx; tg4xdx. ( -x 2 -5x)24. J dx \/ 4 + x 45 xdx 2.25. J 2.29 • f arctgx dx. "г lnx , 2.26. —— Jx. i * л -f dx 2.30. I -. l l + x3 CO 2.27. J dx x2 + x - 2 „ „„ "r ' = 0 . 3.5. ху = 4; х + у -5 . 3.6. у2 = 2 х + 1; х - у - 1 = 0 . 2 и 8 3.7. х = 4у; У = ~г—- х +4 3.8. у = 1 + cosx; х = 0; у = 0 . 3.9. у = -х2 + 6 х - 5 ; х = 0; у = 0 . ЗЛО. у = 2 — х2; y = 4l-x\y-- 3.11. у = ех;у = е~х; у = 2. 3.12. .у = (х + 1)2; х + у = 1; у = 2 - 4х + 3; у = х + 3 . = 0 . • о. 3.13. у = х 3.14. у = lnx; у = 0; х = е. 3.15. у = sinx; у = 0; х я Зя 3.16. х = -2.у2 ; х = 1 -З .у 2 . 3.17. у = х + 1; у = cosx; у = 0. 3.18. х2 + у 2 - 2 5 ; 2 ^ - 5 = 0 . 4х + 3; у = х + 3. 3.19. у = х2 - 3.20. у = 8 - х 2 ; у — х2. -4х-х2; у = 0 . 3.21. у 3.22. у = ~; у у 1 = x 2 ; J ; = 4 . 3.23. у = lnx; у = - l n x ; х = 3. 3.24. у = 4 - х 2 ; у = х2 -2Х. 3.25. у = 2х; х2 +у2 =25; у = 0,у > 0 . 3.26. х = —2у2, х = 1 - 3 у 2 . 3.27. у = 2х, у = 2х-х2, х = 0, х = 2. 3.28. у — 6х — х2, у = 0. 3.29. х 2 = 1 6 х - 4 у , у = х~4. 3.30. у = х 2 - 1 , х = 2, у = 0. Задание 4. Проинтегрировать уравнение. При заданном начальном условии найти соответствую- щий частный интеграл или частное решение. / 1 1 _ . . 2 , 1.. л 4.1. у - у Tjy-1. 4.Z. j/y , 1 -2 .у У 4.4. [ху2 + x}dx + (y-x2y^jdy = 0. 4.5.y'sinx = y lny . 4.3. ху' + у = lnoc + l,jy(l) = 4. 4.6. ху' —— = х . х + 1 4.7. dx х у - х 2у'-ху 4.8. ( l - x 2 ) y ' - x y = xy 2 ,y (0) = ^-. 4.9. ( г * ? ' - х ) / = 1. 46 4.10. х2у' + у2 =хуу'. 4,12. (cosx-xsinx)jvdx + (xcosx-2>')£fy = 0. 4.14. ( / - 3 x 2 ) d y + 2xydx = 0. 14.6. (1 - х ) ( у ' + у) = е х . 4,18. xdy - 2ydx = хъ In xdx. 4.20. у'+ ху = угё~* . 4.22. (\ny-2x)dx + с \ X о — 2 у \У dy = 0. 4.24. ху' + у + хе~* = 0.;y(l) . 4.26. xy' У x + 1 l 4.28. xy'+y = — lnx. 4.30. y'+ у cosx = sinx cosx, y(0) = l. 4.11. f У1Л v x J dx-—dy = 0M\) = 2. x 4.13. y'tgx-y = \,y 71 = 1 4.15. xy'-y + xe* = 0, j /( l) = 0. 4.17. 3 x V + ( x V - l ) / = 0. 4.19. y'+2xy = хе~*г . 4.21. y'-ytgx - cos X ^ ( 0 ) = 3. 4.23. у = x(_y'-xcosx),> ' V 4 / 4.25. xy' + y = ~ , y ( \ ) = 2. X 4.27. x2 -y2 + 2xyy' — 0. 4.29. xy' = у 1 + ln У Xi) = Задание 5. Найти общее решение уравнений. 5.1. у"-Зу' + 2у = х + 2. 5.2. у"-Зу'+ 2у = 2ех. 5.4. У ' - 2 У + 10_у = 10х2 +18х + 6 . 5.5. у" + 4у' + у = 4. 5.7. у" + 6у' + 9у = 12е~3х. 5.8. у" + 4у' = 4хе~4х. 5. 3. Зу'-2у' = хе'х. 5.6. у" + 6у'-Зу-х2, 5.9. у" -2у' = х2 - х. 5.10. у" - 5у' -6у = (Зх - 2)е~х. 5.11. у" + 2у' + 2у = 2 + х. 5.12. у" + 2у' = 2х. 5.13. у" + 3у'= Зхе~3х. 5.14. у"+ 5у'+ 6у ^10(\-х)е'2х . 5.15. у"-2у' + у = х\ 5.16. у" + у'-ву = хе1х. 5.17. у" - у'+ у = х3+6х. 5.18. у"-Зу' + 2у = (х2 + х)е3х. 5.19. у" + 2 у' - 8у = (12х + 20) е2х . 5.20. у" + 4у = х + 6ех. 5.21. у"-4у'=10еЭх . 5.22. у" + у' = х2 - 6 + е4х . 5.23. / - 4 у ' = 2е2х - 4 х . 5.24. у"-6у' + 9у = 16е'х + 9 х - 6 . 5 .25 . / + 3 / - Ю ^ = ЮХ 2 +4Х -5 . 5.26. / - У - 2 > > = е - х . 5.27. У ' - З У + 2у = 26sin3x. 5.28. У ' - 7 У + 10у = х2. 5.29. у" - 8 / + 12v = cos2x. 5.30. У - 2 ; / + 5.у = 3cosx. 47 Задание 6. Найти область сходимости степенного ряда. г ? 2и - 1 -1 2 »=1 и ^ ( х + 8)" , у- V ( Х ' 1 Т v ( * + 5)" 6-5- E ^ r 1 - ; 6.6. £ ( 2 + х) ; 6.7. Е ^ Г Г - ^ 6.8. ; п=1 П и= 1 ^ 2 " ( я + 3 ) ' " t r ^ T l ' ^ 2 , ч„ - ( х - l ) " ^ (х + 10)" « ^ А ^ У п-0 „=1 ( И + I J n=0 " + i я=0 L ш М 6 1 6 Ё ( 3 П - 2 ) ( Г 3 ) - t r 2и + 5 £f (и + l) 2"+1 t ? И 618- 1-Д ; 6Л9- ЕМ -ттг(л-2) ; 6-20- ^ ( 2 и - 1 ) 2 в=0 и +1 Я=1 2и4 ^ ( 2 n - l ) " ( x + l)'' ^ ( х + 3)" _ ^ ( х + 2)" В=1 » (х + 1)" 6.30. У V Задание 7. Для данной случайной величины (СВ)£: 1) составить закон распределения СВ; 2) найти математическое ожидание М(£) и дисперсию D(£); 3) найти функцию распределения F(x). 7.1. На участке имеется 5 одинаковых станков, коэффициент использования которых по времени состав- ляет 0,8. СВ £ - число работающих станков. 7.2. Охотник, имеющий 5 патронов, стреляет в цель до первого попадания или пока не расходует все па- x n r m w A RpnnttxvrnrTT, попяпянно ппи к-яжлпм пистпрпр пяиня П (\ СВ f — чиг.пг» И1"аСХ"ЛОВа"НЫХ Па- тронов. 7.3. Охотник стреляет в цель до первого попадания, но успевает сделать не более 4 выстрелов. Вероят- ность попадания при одном выстреле равна 0,7. СВ £ - число выстрелов, производимых охотником. 7.4. В партии деталей 10% нестандартных. Наудачу отобраны 4 детали. СВ £ число нестандартных деталей среди четырех отобранных. 7.5. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемен- та в одном опыте равна 0,1. СВ £ - число отказавших элементов в одном опыте. 48 7.6. Имеется 4 заготовки для одной и той же детали. Вероятность изготовления годной детали из каждой заготовки равна 0,9. СВ £ - число заготовок, оставшихся после изготовления первой годной детали. 7.7. Два стрелка стреляют по одной мишени независимо друг от друга. Первый стрелок выстрелил один раз, второй - два раза. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,4, для второго - 0,3. СВ £ - общее число попаданий. 7.8. Из урны, содержащей 4 белых и 2 черных шара, наудачу извлекают два шара. СВ £ - число черных шаров среди этих двух. 7.9. Партия, насчитывающая 50 изделий, содержит 6 бракованных. Из всей партии случайным образом выбрано 5 изделий. СВ £ - число бракованных изделий среди отобранных. 7.10. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. В городе 4 библиотеки. СВ £ - число библиотек, которые посетит студент. 7.11. Испытуемый прибор состоит из четырех элементов. Вероятности отказа каждого из них соответст- венно равны: 0,2; 0,3; 0,4; 0,5. Отказы элементов независимы. СВ £ - число отказавших элементов. 7.12. Батарея состоит из трех орудий. Вероятности попадания в цель при одном выстреле из I, II, III ору- дия батареи равны соответственно 0,5; 0,6; 0,8. Каждое орудие стреляет по цели один раз. СВ £ - число попаданий в цель. 7.13. Из ящика, содержащего 3 бракованных и 5 стандартных деталей, наугад извлекают 3 детали. СВ £ - число вынутых стандартных деталей. 7.14. Два стрелка стреляют по одной мишени, делая независимо друг от друга по два выстрела. Вероят- ность попадания для первого стрелка равна 0,5, для второго - 0,6. СВ £ - общее число попаданий. 7.15. В группе из десяти изделий имеется одно бракованное. Чтобы его обнаружить, выбирают наугад одно изделие за другим и каждое взятое проверяют. СВ £ - число проверенных изделий. 7.16. Монету подбрасывают 6 раз. СВ £ - число появлений герба. 7.17. На пути движения автомашины - 4 светофора, каждый из них либо разрешает, либо запрещает дальнейшее движение с вероятностью 0,5. СВ £ - число пройденных автомашиной светофоров до первой остановки. 7.18. Из партии в 15 изделий, среди которых имеются 2 бракованных, выбраны случайным образом 3 из- делия для проверки их качества. СВ £ число бракованных изделий в выборке. 7.19. В некотором цехе брак составляет 5% всех изделий. СВ £ - число бракованных изделий из 6 науда- чу взятых изделий, 7.20. Вероятность выпуска нестандартного изделия равна 0,1. Из партии контролер берет изделие и про- веряет его на качество. Если изделие оказывается нестандартным, дальнейшие испытания прекра- щаются, а партия задерживается. Если же изделие оказывается стандартным, контролер берет сле- дующее и т.д. Всего он проверяет не более 5 изделий. СВ £ - число проверяемых изделий. 7.21. В шестиламповом радиоприемнике (все лампы различны) перегорела одна лампа. С целью устране- ния неисправности наугад выбранную лампу заменяют заведомо годной из запасного комплекта, после чего сразу проверяется работа приемника. СВ £ - число замен ламп. 7.22. Рабочий обслуживает 3 независимо работающих станка. Вероятности того, что в течение часа 1-й, 2-й и 3-й станок не потребуют внимания рабочего, равны соответственно 0,7; 0,8; 0,9. СВ £ - число станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение часа. 7.23. Срок службы шестерен коробок передач зависит от следующих факторов: усталости материала в основании зуба, контактных напряжений, жесткости конструкции. Вероятность отказа каждого фактора в одном испытании равна 0,1. СВ £ - число отказавших факторов в одном испытании. 7.24. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны 2 детали. СВ £ - число стандарт- ных деталей среди отобранных. 7.25. Имеется 5 ключей, из которых только один подходит к замку. СВ £ - число опробований при от- крывании замка при условии, что испробованный ключ в последующих испытаниях не участвует. 7.26. Вероятность успешной сдачи первого экзамена для данного студента равна 0,8, второго экзамена - 0,9, третьего - 0,6. СВ £ - число сданных экзаменов. 7.27. Вероятность приема каждого из четырех радиосигналов равна 0,76. СВ £ - число принятых радио- сигналов. 7.28. Производятся четыре выстрела по мишени. Вероятность поражения мишени первым выстрелом равна 0,7, вторым - 0,6, третьим - 0,5, четвертым - 0,4. СВ £ - число поражений мишени. 7.29. Вероятность сдачи данного экзамена для каждого из трех студентов равна 0,9. СВ £ - число студен- тов, сдавших экзамен. 7.30. Из 20 приборов, испытываемых на надежность, 4 высшей категории. СВ £ - число приборов выс- шей категории среди взятых наугад 3 приборов. 49 Задание 8. Дан интервальный статистический ряд распределения частот экспериментальных зна- чений случайной величины Требуется: 1) составить интервальный статистический ряд частостей (относительных частот) наблюденных значений непрерывной СВ 2) построить полигон и гистограмму частостей СВ 3) по виду гистограммы и полигона и исходя из механизма образования исследуемой СВ £ сделать предварительный выбор закона распределения; 4) предполагая, что исследуемая СВ £ распределена по нормальному закону, найти точечные оценки параметров нормального распределения, записать функцию распределения СВ £; 5) найти интервальные оценки параметров нормального распределения (доверительную вероят- ность принять равной у = 1 - а = 0,95). 8.1. В таблице приведены статистические данные о трудоемкости операции (в минутах) «ремонт валика водяного насоса автомобиля ЗИЛ-130». XI 0 - 1 0 10-20 2 0 - 3 0 30-40 40-50 Частота т \ 7 25 36 24 8 8.2. Даны результаты определения содержания фосфора (в %) в 100 чугунных образцах. X], % 0,1-0,2 0,2-0,3 0,3 - 0,4 0,4 - 0,5 0,5-0,6 Частота т\ 6 24 36 26 8 8.3. В таблице приведены статистические данные о трудоемкости операции (в мин.) «контроль механи- ческого состояния автомобиля ЗИЛ-130 после возвращения в гараж». Xi - 2,0-3,0 3,0-4,0 4,0-5,0 5,0-6,0 6,0 - 7,0 Частота т \ 8 22 38 26 6 8.4. Даны результаты измерения толщины (в мм) 100 слюдяных прокладок: X, 2 ,4-2,8 2,8-3,2 3,2-3,6 3,6-4,0 4,0 - 4,4 Частота /щ 9 16 45 22 8 8.5. Даны результаты испытаний стойкости 100 фрез (в часах): X] 22,5-27,5 27,5 -32,5 32,5 -37,5 37,5 - 42,5 42,5-47,5 Частота т\ 7 22 44 21 6 8.6. Даны результаты испытания стойкости 100 сверл (в часах): X, 17,5-22,5 22,5-27,5 27,5 -32,5 32,5-37,5 37,5-42,5 Частота т \ 6 21 45 21 7 8.7. Даны результаты измерения твердости 100 фрез (по шкале HRC): X; 2 0 - 3 0 3 0 - 4 0 4 0 - 5 0 50-60 60-70 Частота тх 7 20 44 21 8 8.8. Даны статистические данные о среднесуточном пробеге 100 автомобилей ЗИЛ-130 автоколонны (в сотнях км): X] 1,2-1,6 1,6-2,0 2,0-2,4 2,4-2,8 2,8 - 3,2 Частота т\ 7 20 48 19 6 50 8.9. Даны результаты исследования 100 напыленных образцов на прочность напыленного слоя (в кг/мм2) Х\ 2,0-2,2 2,2 -2 ,4 2,4-2,6 2,6 - 2,8 2,8-3,0 Частота mi 8 18 45 20 9 8.10. Даны результаты измерения твердости 100 сверл (по шкале HRC): X, 2 0 - 3 0 3 0 - 4 0 4 0 - 5 0 5 0 - 6 0 60 - 70 Частота mi 8 18 45 20 9 8.11. Даны результаты измерения диаметров втулок, обрабатываемых автоматом: Xi 20,00-20,04 20,04-20,08 20,08-20,12 20,12-20,16 20,16-20,20 Частота Ш] 8 18 45 20 9 8.12. Даны результаты исследования грануляции порошка (в мкм): XI 0 - 4 0 4 0 - 8 0 80-120 120- 160 160-200 Частота Т\ 8 18 39 26 9 8.13. Даны результаты измерения диаметров валиков (в мм): Х\ 9,74 - 9,76 9,76 - 9,78 9,78-9,80 9,80-9,82 9,82 - 9,84 Частота тп\ 8 24 48 14 6 .14. Даны результаты исследования 100 напыленных образцов на прочность напыленного слоя (в кг/мм ): Х\ 2,0 - 2,2 2,2 - 2,4 2,4-2,6 2,6 - 2,8 2 ,8-3 ,0 Частота mi 6 24 40 22 8 8.15. Даны результаты измерения диаметров валиков, обрабатываемых одношпиндельным автоматом: Х\ 19,80- 19,82 19,82-19,84 19,84-19,86 19,86-19,88 19,88-19,90 Частота т\ 8 22 44 19 7 8.16. Даны результаты испытания на разрыв 100 образцов дюралюминия (в кг/мм ): X/ 4 2 - 4 3 4 3 - 4 4 4 4 - 4 5 4 5 - 4 6 4 6 - 4 7 Частота тх 7 25 37 23 8 8.17. Даны сведения о расходе воды, используемой заводом для технических нужд, в течение 100 дней: х<, м3 8 - 1 0 10-12 12-14 14 -16 16-18 Частота т\ 8 24 36 23 9 8.18. Даны квартальные данные о среднесуточном пробеге 100 автомобилей: Х\ , КМ 150-170 170 -190 190-210 210-230 230-250 Частота т \ 7 25 34 24 10 .19. Даны результаты наблюдений за сроком службы 100 однотипных станков до выхода за пределы норм точности (в месяцах двухсменной работы): Х\ 2 0 - 2 5 2 5 - 3 0 3 0 - 3 5 3 5 - 4 0 4 0 - 4 5 Частота т\ 9 24 35 22 10 .20. Даны значения температуры масла в двигателе автомобиля ЭИЛ-130 при средних скоростях» JCi 4 0 - 4 2 4 2 - 4 4 4 4 - 4 6 4 6 - 4 8 48-50 Частота т\ 8 25 35 22 10 8.21. Даны размеры диаметров 100 отверстий, просверленных одним и тем же сверлом: Jti 40,10-40,20 40,20-40,30 40,30-40,40 40,40 - 40,50 40,50-40,60 Частота тп\ 7 24 34 26 9 8.22. Даны размеры 100 деталей после шлифовки: Xt 3,45-3,65 3,65-3,85 3,85-4,05 4,05-4,25 4,25 - 4,45 Частота т\ 8 22 38 25 7 8.23. Дана трудоемкость операции «проверка привода подачи топлива автомобиля БелАЗ»: Xi 8 - 1 0 10-12 12-14 14-16 16-18 Частота тп\ 7 16 54 15 8 8.24. Дана трудоемкость операции «смазка подшипников подвески БелАЗ»: Х\ 3 0 - 3 5 3 5 - 4 0 4 0 - 4 5 4 5 - 5 0 50-55 Частота т\ 8 24 36 22 10 8.25. Даны отклонения диаметров валиков, обработанных на станке, от заданного диаметра (в мкм): Х\ 0 - 5 5 - 1 0 10-15 15-20 2 0 - 2 5 Частота Ш) 8 20 42 24 6 8.26. Даны размеры 100 деталей после шлифовки - размер после шлифовка (в мм)): Х\ 42,5-43,5 43,5-44,5 44,5- 45,5 45,5-46,5 46,5- 47,5 Частота Т\ 8 24 36 24 8 8.27. Дана трудоемкость операции «проверка привода подачи топлива автомобиля БелАЗ»: Х\ , с 7 - 9 9 - 1 1 11 - 13 13-15 15-17 Частота ТЛ 8 15 55 14 8 8.28. Даны результаты наблюдений за сроком службы 100 однотипных станков до выхода за пределы норм точности (в месяцах двухсменной работы): XI 2 1 - 2 6 2 6 - 3 1 3 1 - 3 6 3 6 - 4 1 41-46 Частота Т\ 10 23 35 23 9 8.29. Даны размеры 100 деталей после шлифовки: V, \ я \ я л , , iv im 3,5-3,7 | 3 ,7-3,9 Л Л Л Л J,y ~ 4,1 А 1 » 4,3 - 4,5 Частота т\ 8 22 38 25 7 8.30. Даны квартальные данные о среднесуточном пробеге 100 автомобилей: Xi , км 160-180 180-200 200 - 220 220-240 240 - 260 Частота гп\ п / 25 34 24 10 52 ЛИТЕРАТУРА 1. Высшая математика. Общий курс / под ред. С.А. Самоля. - Минск: Вышэйшая школа, 2000. 2. Высшая математика для экономистов / под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 1998. 3. Шипачев, B.C. Высшая математика / B.C. Шипачев. - М.: Высшая шк., 1985. 4. Гусак, А.А. Высшая математика: учебник для студентов вузов: в 2 т. / А.А. Гусак. - 3-е изд., сте- реотип. - Минск: ТетраСистемс, 2001. - Т.2. 5. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической стати- стике/В.Е. Гмурман. -М. : Высшая школа, 1980. 6. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: в 4 ч. / под общей ред. А.П. Рябушко..- Минск: Вышэйшая школа, 1990. - Ч. 3, 4. 53 ПРИЛОЖЕНИЯ ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Значения функции ф(х) = .— е 2 у! 2л X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0 ,3989 3989 3989 3988 3986 3084 3982 3980 3977 3973 0,1 3 9 7 0 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3 9 3 2 3025 3918 0,2 3 9 1 0 3 9 0 2 3 8 9 4 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825 0,3 3 8 1 4 3 8 0 2 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3697 0 ,4 3683 3668 3 6 5 2 3637 3621 3605 3589 3 5 7 2 3555 3538 0,5 3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352 0 ,6 3 3 3 2 3 3 1 2 3 2 9 2 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3 1 4 4 0,7 3123 3101 3079 3056 3 0 3 4 3011 2989 2966 2943 2920 0,8 2 8 9 7 2 8 7 4 2 8 5 0 2827 2 8 0 4 2780 2756 2 7 3 2 2 7 0 9 2685 0,9 2 6 6 1 2 6 3 7 2613 2589 2565 2541 2516 2 4 9 2 2468 2 4 4 4 1,0 0 ,2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203 1Д 2 1 7 9 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2 0 1 2 1989 1965 1,2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736 1,3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518 1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315 1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127 1,6 1109 1092 1)74 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957 1,7 0 9 4 0 0925 0 9 0 9 0893 0878 0863 0846 0833 0818 0804 1,8 0 7 9 0 0775 0761 0748 0 7 3 4 0721 0707 0 6 9 4 0681 0669 1,9 0 6 5 6 0 6 4 4 0 6 3 2 0620 0608 0596 0 5 8 4 0573 0562 0551 2 ,0 0 , 0 5 4 0 0 5 2 9 0 5 1 9 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449 2,1 0 4 4 0 0431 0 4 2 2 0413 0404 0396 0387 0379 0371 0363 2,2 0 3 5 5 0 3 4 7 0 3 3 9 0332 0325 0317 0 3 1 0 0303 0297 0290 2,3 0 2 8 3 0277 0 2 7 0 0264 0258 0252 0 2 4 6 0241 0235 0229 2 ,4 0224 0 2 1 9 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180 2,5 0175 0171 0167 0163 0158 0 1 5 4 0151 0147 0143 0139 2 ,6 0 1 3 6 0 1 3 2 0 1 2 9 0126 0 1 2 2 0119 0116 0113 0110 0107 2,7 0 1 0 4 0101 0 0 9 9 0096 0093 0091 0088 0086 0 0 8 4 0081 2 ,8 0 0 7 9 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061 2,9 0 0 6 0 0058 0 0 5 6 0055 0053 0051 0 0 5 0 0048 0047 0046 3,0 0 ,0044 0043 0 0 4 2 0040 0039 0038 0 0 3 7 0036 0035 0034 3,1 0 0 3 3 0 0 3 2 0 0 3 2 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0025 3,2 0 0 2 4 0023 0 0 2 2 0022 0021 0020 0 0 2 0 0019 0018 0018 з , з 0 0 1 7 0 0 1 7 0 0 1 2 0016 0015 0015 0 0 1 4 0 0 1 4 0013 0013 3,4 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 1 0 0011 0011 0010 o o i q 0010 0 0 0 9 0009 3,5 0 0 0 9 0 0 0 8 0 0 0 8 0008 0008 0007 0007 0007 0007 0006 3,6 0 0 0 6 0 0 0 6 0 0 0 6 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0004 3,7 0004 0 0 0 4 0 0 0 4 0004 0 0 0 4 0 0 0 4 0003 0003 0003 0003 3,8 0 0 0 3 0003 0003 0003 0003 0002 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0002 3,9 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0001 0001 54 ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Значения функции Лапласа Ф(х) = ==• \е 2 dt л/2лг 0J X Ф О ) X Ф(х) X Ф(х) X Ф(*) 0,00 0,0000 0,32 0,1255 0,64 0,2389 0,96 0,3315 0,01 0,0040 0,33 0,1293 0,65 0,2422 0,97 0,3340 0,02 0,0080 0734 0,1331 0,66 0,2454 0,98 0,3365 0,03 0,0120 0,35 0,1368 0,67 0,2486 0,99 0,3389 0,04 0,0160 0,36 0,1406 0,68 0,2517 1,00 0,3413 0,05 0,0199 0,37 0,1443 0,69 0,2549 2,01 0,3438 0,06 0,0239 0,38 0,1480 0,70 0,2580 1,02 0,3461 0,07 0,0279 0,39 0,1517 0,71 0,2611 1,03 0,3485 0,08 0,0319 0,40 0,1554 0,72 0,2642 1,04 0,3508 0,09 0,0359 0,41 0,1591 0,73 0,2673 1,05 0,3531 0,10 0,0398 0,42 0,1628 0,74 0,2703 1,06 0,3554 0,11 0,0438 0,43 0,1664 0,75 0,2734 1,07 0,3577 0,12 0,0478 0,44 0,1700 0,76 0,2764 1,08 0,3599 0,13 0,0517 0,45 0,1736 0,77 0,2794 1,09 0,3621 0,14 0,0557 0,46 0,1772 0,78 0,2823 1,10 0,3643 0,15 0,0596 0,47 0,1808 0,79 0,2852 1,11 0,3665 0,16 0,0636 0,48 0,1844 0,80 0,2881 1,12 0,3686 0,17 0,0675 0,49 0,1879 0,81 0,2910 1,13 0,3708 0,18 0,0714 0,50 0,1915 0,82 0,2939 1,14 0,3729 0,19 0,0753 0,51 0,1950 0,83 0,2967 1,15 0,3749 0,20 0,0793 0,52 0,1985 0,84 0,2995 1,16 0,3770 0,21 0,0832 0,53 0,2019 0,85 0,3023 1,17 0,3790 0,22 0,0871 0,54 0,2054 0,86 0,3051 1,18 0,3810 0,23 0,0910 0,55 0,2088 0,87 0,3078 1,19 0,3830 0,24 0,0948 0,56 0,2123 0,88 0,3106 1,20 0,3849 0,25 0,0987 0,57 0,2157 0,89 0,3133 1,21 0,3869 0,26 0,1026 0,58 0,2190 0,90 0,3159 1,22 0,3883 0,27 0,1064 0,59 0,2224 0,91 0,3186 1,23 0,3907 0,28 0,1103 0,6, 0,2257 0,92 0,3212 1,24 0,3925 0,29 0,1141 0,61 0,2291 0,93 0,3238 1,25 0,3944 0,30 0,1179 0,62 0,2324 0,94 0,3264 0,31 0,1217 0,63 0,2357 0,95 0,3289 1,26 0,3962 1,59 0,4441 1,92 0,4726 2,50 0,4938 1,27 0,3980 1,60 0,4452 1,93 0,4732 2,52 0,4941 1,28 0,3997 1,61 0,4463 1,94 0,4738 1,54 0,4945 1,29 0,4015 1,62 0,4474 1,95 0,4744 2,56 0,4948 1,30 0,4032 1,63 0,4484 1,96 0,4750 2,58 0,4951 1,31 0,4049 1,64 0,4495 1,97 0,4756 2,60 0,4953 1,32 0,4066 1,65 0,4505 1,98 0,4761 2,62 0,4956 1 0,4082 1,66 n 1,99 0,4767 2764 о /1СКО 1,34 0,4099 1,67 0,4525 2,00 0,4772 2,66 0,4961 1,35 0,4115 1,68 0,4535 2,02 0,4783 2,68 0,4963 1,36 0,4131 1,69 0,4545 2,04 0,4793 2,70 0,4965 1,37 0,4147 1,70 0,4554 2,06 0,4803 2,72 0,4967 1,38 0,4162 1,71 0,4564 2,08 0,4812 2,74 0,4969 1,39 0,4177 1,72 0,4573 2,10 0,4821 2,76 0,4971 1,40 0,4192 1,73 0,4582 2,12 0,4830 2,78 0,4973 1,41 0,4207 1,74 0,4591 2,14 0,4838 2,80 0,4974 1,42 0,4222 Г 1.75 0,4599 2.16 0.4846 2.82 0.4976 Окончание таблицы X Ф(*) X Ф(ж) X Ф(х) X Ф(*) 1,43 0,4236 1,76 0,4608 2,18 0,4854 2,84 0,4977 1,44 0,4251 1,77 0,4616 2,20 0,4861 2,86 0,4979 1,45 0,4265 1,78 0,4625 2,22 0,4868 2,88 0,4980 1,46 0,4279 1,79 0,4633 2,24 0,4875 2,90 0,4981 1,47 0,4292 1,80 0,4641 2,26 0,4881 2,92 0,4982 1,48 0,4306 1,81 0,4649 2,28 0,4887 2,94 0,4984 1,49 0,4319 1,82 0,4656 2,30 0,4893 2,96 0,4985 1,50 0,4332 1,83 0,4664 2,32 0,4898 2,98 0,4986 1,51 0,4345 1,84 0,4671 2,34 0,4904 3,00 0,49865 1,52 0,4357 1,85 0,4678 2,36 0,4909 3,20 0,49931 1,53 0,4370 1,86 0,4686 2,38 0,4913 3,40 0,49966 1,54 0,4382 1,87 0,4693 2,40 0,4918 3,60 0,499841 1,55 0,4394 1,88 0,4699 2,42 0,4922 3,80 0,499928 1,56 0,4406 1,89 0,4706 2,44 0,4927 4,00 0,499968 1,57 0,4418 1,90 0,4713 2,46 0,4931 4,50 0,499997 1,58 0,4429 1,91 0,4719 2,48 0,4934 5,00 0,499997 ПРИЛОЖЕНИЕ 3 Значения функции xl-v\ Р(%2 ^ xl-v) = а v \ а 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001 1 1,642 2,706 3,841 5,412 6,635 10,827 2 3,219 4,605 5,991 7,824 9,210 13,815 3 4,642 6,251 7,815 9,837 11,345 16,266 4 5,989 7,779 9,488 11,668 13,277 18,467 5 7,289 9,236 11,070 13,388 15,086 20,515 6 8,558 10,645 12,592 15,033 16,812 22,457 7 9,803 12,017 14,067 16,622 18,475 24,322 8 11,030 13,362 15,507 18,168 20,090 26,125 9 12,242 14,684 16,919 19,679 21,666 27,877 10 13,442 15,987 18,307 21,161 23,209 29,588 11 14,631 17,275 19,675 22,618 24,725 31,264 12 15,812 18,549 21,026 24,054 26,217 32,909 13 16,985 19,812 22,362 25,472 27,688 34,528 14 18,151 21,064 23,685 26,683 29,141 36,123 15 19,311 22,307 24,996 28,259 30,578 37,697 16 20,465 23.542 26,296 29,633 32,000 39,252 17 21,615 24,769 27,587 30,995 33,409 40,790 18 22,760 25,989 28,869 32,346 34,805 42,312 19 23,900 27,204 30,144 33,687 36,191 43,820 20 25,038 28,412 31,410 35,020 37,566 45,315 21 26,171 29,615 32,671 36,343 38,932 46,797 ЛЛ1 Zr f L О А О 1 Л JV,OU О л IT г се\ J ЛЛ ЛОЛ Л (1 40,zoo 23 28,429 32,007 35,172 38,968 41,638 49,728 24 29,553 33,196 36,415 40,270 42,980 51,179 25 30,675 34,382 37,652 41,566 44,312 52,620 26 31,795 35,563 38,885 42,856 45,642 54,052 27 32,912 36,741 40,113 44,140 46,963 55,476 28 34,027 37,916 41,337 45,419 48,278 56,893 29 35.139 39.087 42,557 46.693 49.588 58,302 30 36,250 40.256 43.773 47.962 50,892 59.703 56 ПРИЛОЖЕНИЕ 4 Распределение Стьюдента. 00 Значения ta.v удовлетворяют условию P(t > tav) - J S(t,v)dt - а. v\a 0,40 0,30 0,20 0,10 0,05 0,025 0,010 0,005 0,001 0,0005 1 0,325 0,727 1,376 3,078 6,314 12,71 31,82 63,66 318,3 636,6 2 0,289 0,617 1,061 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 22,33 32,60 3 0,277 0,584 0,978 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 10,22 12,94 4 0,271 0,569 0,941 1,533 2,132 2,776 3.747 4,604 7,173 8,610 5 0,267 0,559 0,920 1,476 2,015 2,571 3,365 5,032 5,893 6,859 6 0,265 0,553 0,906 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,208 5,959 7 0,263 0,549 0,896 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,785 5,405 8 0,262 0,546 0,889 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 4,501 5,041 9 0,261 0,543 0,883 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,297 4,781 10 0,260 0,542 0,879 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,144 4,587 11 0,260 0,540 0,876 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,025 4,437 12 0,259 0,539 0,873 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,930 4,318 13 0,259 0,538 0,870 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,852 4,221 14 0,258 0,537 0,868 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,787 4,140 15 0.258 0,536 0,866 1.341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,733 4,073 16 0,258 0,535 0,865 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,686 4,015 17 0,257 0,534 0,863 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,646 3,965 18 0,257 0,534 0,862 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,611 3.922 19 0,257 0,533 0,861 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,579 3,883 20 0,257 0,533 0,860 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,552 3,850 21 0,257 0,532 0,859 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,527 3,819 22 0,256 0,532 0,858 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,505 3,792 23 0,256 0,532 0,858 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,485 3,767 24 0,256 0,531 0,857 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,467 3,745 25 0,256 0,531 0,856 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,450 3,725 26 0,256 0,531 0,856 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,435 3,707 27 0,256 0,531 0,855 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,421 3,690 28 0,256 0,530 0,855 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,408 3,674 29 0,256 0,530 0,854 1,311 1,699 2,045 2,462 7,756 3,396 3,659 30 0,256 0,530 0,854 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,385 3,646 40 0,255 0,529 0,851 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,307 3,551 50 0,255 0,528 0,849 1,298 1,676 2,009 2,403 2,678 3,262 3,495 60 0,254 0,527 0,848 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,232 3,460 80 0,254 0,527 0,846 1,292 1,664 1,990 2,374 2,639 3,195 3,415 100 0,254 0,526 0,845 1,290 1,660 1,984 2,365 2,626 3,174 3,389 200 0,254 0,525 0,843 1,286 1,653 1,972 2,345 2,601 3,131 3,339 500 0,253 0,525 0,842 1,283 1,648 1.965 2,334 2,586 3,106 3,310 00 г\ т г*-» rv л Л Г» л -л 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,090 3,291 ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Значения функции t ;х - 1 - j= < a < x + t у/П у/П п\у 0,95 0,99 0,999 п\у 0,95 0,99 0,999 5 2,78 4,60 8,61 20 2,093 2,861 3,883 6 2,57 4,03 6,86 25 2,064 2,797 3,745 7 2,45 3,71 5,96 30 2,045 2,756 3,659 8 2,37 3,50 5,41 35 2,032 2,720 3,600 9 2,31 3,36 5,04 40 2,023 2,708 3,558 10 2,26 3,25 4,78 45 2,016 2,692 3,527 11 2,23 3,17 4,59 50 2,009 2,679 3,502 12 2,20 3,11 4,44 60 2,001 2,662 3,464 13 2,18 3,06 4,32 70 1,996 2,649 3,439 14 2,16 3,01 4,22 80 1,991 2,640 3,418 15 2,15 2,98 4,14 90 1,987 2,633 3,403 16 2,13 2,95 4,07 100 1,984 2,627 3,392 17 2,12 2,92 4,02 120 1,980 2,617 3,374 18 2,11 2,90 3,97 оо 1,960 2,576 3,291 19 2,10 2,88 3,92 ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Значения коэффициентов qx и q2; qxS