• 5 4 3 , 4 . Министерство образования Республики Беларусь _ ) БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ У УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика № 2» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 1 ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Минск 2008 Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика № 2» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 1 ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ для студентов заочного отделения экономических специальностей М и н с к 2 0 0 8 УДК -ББКТШ*ГТ- М 54 Составитель Л.Д. Матвеева Рецензенты: В.В. Карпук, Н.А. Шавель Настоящее издание включает в себя программы и контрольные задания по темам «Элементы линейной алгебры», «Векторная алгебра и аналити- ческая геометрия», «Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной» и «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных». Каждое задание состоит из 30 контрольных вариантов. Все темы содер- жат основные теоретические сведения и примеры решения типовых задач. Издание содержит список экзаменационных вопросов и рекомендуемой литературы. Методические указания предназначены для студентов экономических специальностей заочного отделения БНТУ. Они могут быть также полезны преподавателям, ведущим практические занятия по данному курсу. © БНТУ, 2008 Тема 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы. Сложение матриц; умножение матрицы на число; произведение матриц. Обратная матрица. 2. Определители п-го порядка и их свойства. Методы вычисления определителей. 3. Обратная матрица. 4. Ранг матрицы. 5. Решение невырожденных систем линейных уравнений. 6. Теорема Кронекера - Капелли. Решение произвольных линейных систем. 1.1. Решение невырожденных систем линейных уравнений Пусть задана система линейных уравнений ЩЛ+аих2+... + аыхп =Ь{, а21Х] + <222Х2 + • • • + а2пХп = атхх+ат2х2+... + атпхп=Ьт, (1.1) где atj, fyeR - заданные числа, Xj - неизвестные, 1 < i < т, 1 < j <п. Решением системы (1.1) называется такое множество значений неиз- вестных хх - с,, х2=с2, ..., хп=сп, при которых каждое уравнение обра- щается в тождество. Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а система, не имеющая решений - несовместной. Матрицы А- ап аХ2 а2\ а22 а 1 п а 2 п а , а ... а \ ml т2 тп J и А - а\\ а\2 a. а2 2 \ат\ ат2 а In ЬЛ «2, !>1 атп j называются матрицей системы и расширенной матрицей системы соответственно. Рассмотрим случай, когда число уравнений т системы совпадает с числом неизвестных п(т = п). Тогда матрица системы А является квадратной матрицей порядка п. Система п уравнений с п неизвестными называется невырожденной, если определитель матрицы системы А отличен от нуля (det А^О ). 3 Обозначим А = detA = а и а и й21 а22 ап2 а, Лп а 2п Невырожденная система имеет единственное решение. Существует два метода решения таких систем. 1. Правило Крамера. Если определитель Л отличен от нуля, то решение системы находится по формулам А А ' X =-2- " А ' (1.2) где Aj ( j = 1,я) - определитель, полученный из определителя А заменой у'-го столбца столбцом свободных членов. 2. Матричный метод. Введем матрицу столбец свободных членов Г и \ системы В - Ъх \Kj и матрицу-столбец неизвестных X = / v л \XnJ Тогда систему п уравнений с п неизвестными можно записать в виде А-Х = В. (1.3) Эта форма записи системы называется матричной. Матрицей А~1, обратной к матрице А размера п х п, называется такая матрица, для которой справедливо равенство А-А~1 =А-1 -А = Е, где Е - единичная матрица п-то порядка. Матрица, определитель которой не равен нулю, называется невырожденной. Для того чтобы данная матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной. Рассмотрим уравнение (1.3). Пусть А - невырожденная матрица. Тогда решение системы можно найти по формуле X = А"1 • В, (1.4) 4 НИИ < Пример 1.1. Проверить невырожденность системы линейных уравне- + 4х3 = 7, = 11, и решить ее: а) по формулам Крамера; б) матричным методом. ^ 3 Решение. Запишем матрицу системы А = -4 5 -3 1 - 2 4Л 4 2 Проверим невы- рожденность системы. Для этого вычисляем определитель А матрицы А: 3 - 4 4 A = d etA = 5 - 3 4 1 - 2 2 Так как А * 0, то система невырождена. Решаем ее а) по формулам Крамера. Вычисляем определители: = 2 * 0 . 7 - 4 4 3 7 4 3 - 4 7 11 - 3 4 = 2; А2 = 5 11 4 = 4; А3 = 5 - 3 11 3 - 2 2 1 3 2 1 - 2 3 = 6 По формулам (1.2) находим решение системы: А, 2 4 А, 4 Л А, 6 •X. — — — 1, 1 А 2 — = 3. 2 — — 2 * Ло — А 2 3 А Делаем проверку: 3 - 1 - 4 - 2 + 4-3 = 7; 5 -1 -3 -2 + 4-3 = 11; 1 - 2 - 2 + 2-3 = 3. б) матричным методом. Находим обратную матрицу det А где Ас - союзная матрица, составленная из алгебраических дополнений Ац элементов ау матрицы Л. Ас = Д, Дг чДз 21 г31 А А Л22 Л32 А А 23 Л 3 3 У где - определитель, полученный из определителя А вычеркиванием z-й строки и j'-ro столбца. Имеем: д> = - 3 4 - 2 2 - 2 , Д2 - ' 5 4 1 2 = - 6 , ЧЗ 5 - 3 1 - 2 -7, 5 - 4 4 3 4 3 - 4 А1Х - - 2 2 = 0, 2^2 - 1 2 = 2, 4гз _ 1 - 2 А3] 4 4 -3 4 — 4, At, — 32 3 4 5 4 = 8, Лз - 3 - 4 5 - 3 = 11. Тогда получаем А-1=- По формуле (1.4) находим решение: 2 0 "41 1 0 - 2 - 6 2 8 — - 3 1 4 - 7 2 "J 7 1 11 ч 2 2 J f x Л, 1 0 - 2 Х = JC2 = А~1-В = - 3 1 4 VX3 ) 7 1 11 V 2 2 f 7 ] f 1 ! И = 2 А Ответ: х, = 1, х2 = 2, х3 - 3 1.2. Решение произвольных систем линейных уравнений Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений (1.1). Элементарными преобразованиями матрицы называются: а) перестановка местами любых двух строк; б) умножение строки на некоторое число а ^ О; в) прибавление к одной строке матрицы любой другой строки, умноженной на некоторое число; г) удаление нулевой строки. Решение системы методом Жордана-Гаусса основано на следующем утверждении: элементарные преобразования расширенной матрицы системы не изменяют множества решений системы. Суть метода заключается в том, чтобы при помощи элементарных преобразований привести расширенную матрицу к наиболее простому виду. С помощью операции в) можно исключить какое-либо неизвестное из всех уравнений, кроме одного. Переменная Xj называется базисной в г-м уравнении, если atj = 1, asj = 0 при s s = 1, 2, ..., т. 6 Матрица системы с помощью элементарных преобразований приводит- ся к так называемому базисному виду, если в каждом уравнении системы есть базисная переменная. Если матрица системы приведена к базисному виду, то переменные, не являющиеся базисными, называются свободными. Решение системы, полученное после приравнивания нулю всех свободных переменных, называется базисным. Опишем одну итерацию метода Жордана-Гаусса. В первой строке расширенной матрицы находим ненулевой элемент aXj Ф 0. Если таковых нет, то в случае Ъх - О вычеркиваем данную нулевую строку; если ЬХФ 0, то система несовместна. Элемент aXj называют ведущим элементом. Если aXj Ф1, то делим первую строку расширенной матрицы на этот элемент aXj. Ко всем строкам, кроме первой, прибавляем первую строку, умноженную на (-a i J), где i - номер изменяемой строки. После этой операции коэффициент при х. в первом уравнении будет равен единице, а во всех остальных уравнениях - нулю. Следовательно, переменная Xj станет базисной. Описанную итерацию проводим для остальных строк расширенной матрицы, пока не получим т базисных неизвестных ( в каждом уравнении - по одной базисной переменной). После этого находим общее решение и базисное (приравнивая свободные неизвестные нулю). Пример 1.2. Решить систему линейных уравнений Эх, +1 Зх2 +1 Зх3 + 5х4 = 3, < Xj 5х2 "I- З.х3 х^ — Зхх + 7Х2 + 7х3 + 2Х4 = 12 методом Жордана-Гаусса. Найти общее и базисное решения. Решение. Вычисления будем производить в таблице. В исходной части таблицы записываем расширенную матрицу системы. Xj Х3 х^ Ъ Ш 2 3 1 1 3 13 13 5 3 1 5 3 1 7 3 7 7 2 12 7 В первой строке выберем элемент а п = 1 ведущим. Выделим ведущий элемент рамкой. Изменяем вторую, третью и четвертую строки: ко второй строке по элементам прибавляем первую строку, умноженную на (-3), к третьей - первую строку, умноженную на (-1), и к четвертой - первую строку, умноженную на (-3). В результате получим таблицу, в которой переменная хх стала базисной. хъ *4 ъ 1 2 3 1 1 0 7 4 2 0 0 3 0 0 6 0 И - 2 - 1 9 Выбираем элемент а42 = 1 ведущим. С помощью элементарных преобразований получаем таблицу, в которой переменная х2 стала базисной. хъ Ъ 1 0 1 3 -17 0 0 18 9 -63 0 0 6 S -21 0 1 - 2 - 1 9 Выбираем, например, элемент я34 = 3 ведущим и делим на него элементы третьей строки. Получаем таблицу х2 Х3 ъ 1 0 7 3 -17 0 0 18 9 -63 0 0 2 Ш - 7 0 1 - 2 - 1 9 Теперь делаем нули в остальных строках четвертого столбца. Получаем таблицу, в которой переменная х4 стала базисной. X^ Ъ 1 0 1 0 4 0 0 0 0 0 0 0 2 1 -1 0 1 0 0 2 8 Удаляем вторую нулевую строку, получаем таблицу X, x2 *3 x4 b 1 0 1 0 4 0 0 2 1 - 7 0 1 0 0 2 Поскольку каждое уравнение теперь содержит по одной базисной переменной, то оставшаяся небазисная переменная х3 является свободной. Полагаем х3 = с. Из последней строки таблицы получаем х2 = 2 . Из второй строки следует 2х3 + х4 = - 7 , откуда находим х4 = - 7 - 2х3 или х4 = - 7 - 2с. Из первой строки следует х, + х3 = 4, откуда получаем х, = 4 - х3 или хх = 4 - с. Выписываем общее решение: ( 4 - с ; 2; с; - 7 - 2 с , c e R ) . Найдем базисное решение. Положим с = 0. Тогда имеем Сделаем проверку, подставляя найденное решение в исходную систему 4 + 2-2 + 3 - 0 - 7 = 1; 3-4 + 13-2 + 13-0 + 5-(-7) = 3; 4 + 5- 2 + 3- 0 + (-7) = 7; 3-4 + 7-2 + 7-0 + 2-(-7) = 12. Ответ. Общее решение: ( 4 - с ; 2; с; -7-2с, ceR ) , базисное решение: хх =4, х2 = 2, х3 = 0, х4 = - 7 . . Задание 1. Проверить невырожденность системы линейных уравне- ний и решить ее: а) по формулам Крамера; б) матричным методом. 1.1. 1.4. х + Зу-z = 2х + 4 y-z = 6, 1.2. 3 x - 2 y + 5z = 13. 2x + z = 0, -х + 2у- z ~ 2, 1.5 • x + 2_y + z = 3. 4х + 2у - z = 0, х + 2у + z = 1, 1.3. y — z-Ъ. х + 2у + 3z = 6, 2x + 3y-z = 4, 1.6. 3x + .y-4z = 0. х + у- z = 6, 2x + 3y-4z = 21, 7х-y-3z-6. 2х - у + 5z = 4, 5x + 2.y + 13z = 2, 3x->> + 5z = 0. 1.7 2x - Зу + 5z = 6, 3 x - j + 5z = 10, x + 2_y - 4z = -7. 2x + 3.y + 5z = 12, 1.8. - + z = 0, 2 x - 4 j - 3 z = - l , 3x + 4y + 2z = 8. 2x + у - z = 0, 3x + 4z = 6, 1.18. x + z = l. 2x-_y = -1, 1.15 < x - 2 j ; - z = -2, y + z = -2. 3x + 2j> + 5z = -10, 2x + 5.y - 3z = 6, x + 3 y - 6 z = 12. 1.21. 1.22. 1.25. 1.28. 3x-2_y + 4z = -15. 4x + 2_y-z = 12, x + 2y + z = 7, 1.23. y-z = -1. 2x - 4y + 5z = 4, 5x + 2_y + 13z = 2, 1.26. 3x- .y + 5z = 0. 3x + 4y + 2z = 8, x + 5y + 2z-5, 1.29. 2x + 3_y + 4z = 3. x + 5y + z = 0. x + 3_y + 3z = 13, 2x-3.y + 3z = -10, - x + z = 0. 1.24. 7 x - y-3z = 6, 2x + 3_y-4z = 21, 1.27. x + у - z = 6. x + 2y - 4z = 7, 2 x - 3 y + 5z = l l , 3 x - j + 5z = 10. 1.30. 5x + 8_y-z = 7, 2x - 3_y + 2z = 9, x + 2>> + 3z = l. 2x + 4_y + 3z = 3, 3x - 2y + 5z = 13, x + 3_y-z = - l . Зх + у - 4z = 0, x + 2y + 3z = 6, 2x + 3 ^ - z = 4. x + 3.y-6z = 12, 3x + 2^ + 5z = -10, 3x 4- 5у - 3z = 6. Задание 2. Решить систему линейных уравнений методом Жордана- Гаусса. Найти общее и базисное решения. 3xj Х2л^з — 2.2. 2^2 Х3 + —1? 3^2 " Х3 ~f~ — 5} Xj Зх> « х < з — lj X] + 6х2 - х4 = 6. 10 2.3. 2х, + х2 — х3 + Зх4 = 5, Х^ —f~ 2 X 2 Х-^ ~X^ х3 6х, + Х2 - Х4 = 6. 2.4. "I- 2х2 + Зл3 х^ - 2х3 + 4х4 = 2, Зх, + х2 + х3 + Зх4 = 8. 2.5. 2.X-J "I- х>2 2х3 х^ 2, хj 2^2 5х3 — 2, 3xj + 4х2 - х3 + 2Х4 = 8, 4xj + 6х2 - 6х3 + 2х4 - 6, 2.6. " *^Lx>2 1 х3 I 4х^ 3 —I- 3 Х2 2 х3 3 х^ — 1 • 2.7. 4xj - 6х2 + 8х3 + х4 = 7, хj 5л<2 х3 2*^ 4 ~~ 5 j 3 —~ Х2 7 3 I 3 ^ —12. 2.8. + х, = 5, 2%2 2х3 х^ — 0 ^ 5 х2 3 х3 I 2 5 ^ 3-^ 2 5х3 "I- Зл^ — 5. 2.9. 2х, + х2 - + х„ =3, 1" 2х2 Е х3 — + х4 = 1, 4х| Зх3 Зх^ — 1. 2.10. + х3 + х4 = 2, ЗХ| "I- Х2 х3 Н- 5 ^ 3 Х2 2 .х3 "I- х^ 3 * 2.11. 3 х j" I - 2 х>2 хъ 1 х^ 5 ^ Ах, - + х3 — 4х4 — О, Х^ Н- Х^ хъ ' 4Х4 3, Зх^ 3«х^ 2.12. 2 3 ^ 2 х3 + х^ 5, - 2х2 + х3 + х4 = 1, ЗХ| 2^2 "^^ з х^ 2^ 5х^ Х2"" З х 3 3 . 2.13. 3Xj Х2 х3 1 Зх^ — + 2х2 + х3 - х4 = 3, 4xj Н-™ Х2 ~I- Х-^ 5х^ — 2* 2.14. 2xj Зл^ 2 — lj 4х! ~ 6х2 4- 8х3 + х4 = 7, Н- 3x^ 2 ~~" х3 "I- 9JX»2 1. 2.15. Х>2 + х3 Х4 = О, 2Х| 2х> х3 — 5 ^ ЗХ| 3^2 2х3 Зх^ — 5 5 хj $Х3 — 5» 2.16. хj I" 2 -^ 2 ^ х3 + х4 =-1, Xj ™f Х2 х^ 2, 2xj + Зх2 - 6х3 + 2х4 = 1, Х2 х3 I 5< и 2.17. 2.19. 2.21. 2.23. 2.25. 2.27. 2.29. 2Xj ~f* 2x2 Зх3 x4 — б^ Xj t 1 >x4__ Ij 3x, + x2 + 5 x3 2x4 — x^ ™ 8%2 4x3 Ч- x4 — 2. 3x^ 3-X-2 x3 2x4 З^ Xj 5x2 ~f~ x3 3x4 — 4? + x4 =-1 , 3Xj Зх2 2x3 x4 1 • 2 Xj—f~ 2x2 3x3 x4 — Xj ~~ -x2 1 x3 + Зх, = 4, Xj "Ь* ЗХ2 2x3 4x4 — 2, 1 X2 2x3 1 x*4 5. 2xl + 4x2 4x3 x4 — З^ Xj X2 "4" x3 x4 Oj 3X| 5X2 - x3 + x4 = 8, X| H™ X2 I 3x3 — 5 > 3X| ~4~ 5x2 8.x3 i' 2j\j4 2, X| ЗХ2 2x3 x4 — 35 3x1 1 X2 - 5x4 = 0, 2x, + 4x2 + 3x3 - 6x4 = 3. 4Xj X2 x3 x4 I5 3Xj 2X2 2x3 + x, = 0, X| "f" X2 ~4~ x3 ~ 2x4 — lj 5 X | 3 x 4 — 2. 2xj - 2x2 +10x3 - 6x4 = 4, X| 5x2 5x3 "4*" x4 — 2, Xj — З.Х2 I X^ "" x4 2, 2xj - 8x2 + 6x3 = 0. 2.18. 2.20. 2xj X2 ~x3 + 3x4 = 7, X| 2X2 x3 x4 — lj X| x2 ~4~ 2x3 4x4 — 65 2xj 2X2 x3 ™f" x4 — 4. Xj ~~ X2 """" x3 + 4x, = 3, 4Xj 1 -^ 2 ^ x3 2x4 4^ 2X| "f- 5X2 2x3 x4 — 4, 3xj 1 2^2 1 2 x 3 — 1 2.22. 2.24. 2.X| 1 -^ 2 ^ 2x3 x4 — Xj 2X2 "4~ x3 3x4 — 7 5 Xj X2 ~4~ x3 • 4X4 = -3, 2.26. 2.28. 2.30. 2xj 2X2 "4~ 5x3 x4 — 5. 3 xj 5 X2 - x, + хи = -2, 2Xj X2 2x3 4x4 — 3, 5xt - 6x2 - 3x3 + 5x4 = 1, Xj — 4x2 + x3 + x4 = — 1. 2x, + x2 + 6x3 - 5x4 = 4, .Xj 1 2X2 ~~I- 2x3 x4 — 4^ 2Xj ~4~ 2X2 5x3 x4 — 2, 3Xj ~4~ 4x2 3x3 2X4 — 2. 4Xj + 2X2 3x3 - x. = Z, 5X| + x2 ™™* 2x3 x4 — 3^ Xj 8X2 x3 5x4 ~~* 59 3xj - 6x2 - 4x3 + 4x4 = -3. lxx 5X2 2x3 8x4 — 4, 3xj X2 "i- 2x3 x4 — 3^ 2xx ~f~ 2X23x3 *4~ x4 — 25 2x, + x2 - x3 3 • 12 Тема 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1. Векторы на плоскости и в пространстве. Сложение и вычитание век- торов. Умножение вектора на скаляр. Проекция вектора на ось. 2. Система декартовых прямоугольных координат в пространстве. Проекции вектора на оси координат. Направляющие косинусы вектора. Длина и координаты вектора. Действия над векторами в координатной форме. 3. Скалярное произведение векторов. Его свойства и приложение. 4. Векторное произведение двух векторов. Его свойства и приложение. Условие компланарности трех векторов. 5. Смешанное произведение трех векторов. Его свойства и приложение. 6. Различные уравнения плоскости. Уравнения прямой на плоскости и в пространстве. 7. Взаимное расположение плоскостей и прямых. Угол между плоскос- тями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. 8. Расстояние от точки до прямой и плоскости. 9. Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола. Вывод канони- ческих уравнений. 10. Канонические уравнения поверхностей второго порядка. Исследование формы поверхности методом сечений. 11. Векторное пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис векторного пространства. 2.1. Векторы. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов Скалярным произведением векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла (р между ними: а-Ь- а • coscp Если векторы а и b заданы своими координатами а = {ах, ау, azJ, b = (bx,by,bz), то a-b = ax-bx + ay-by+az-bz. Угол ф между векторами а и b определяется по формуле COS ф а-Ь ax-bx + ay-by + az-bz а ax+a2y + a2z-Jb2x+b2y+b2z (2.1) Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор, обозначаемый символом a, b и удовлетворяющий следующим условиям: 13 а) а, Ъ а p|-sin(p, б) a, b -La, b, в) векторы a,b,^a,b образуют правую тройку векторов. Модуль векторного произведения а, равен площади S параллело- грамма, построенного на векторах а и Ь: S - Га, . (2.2) В координатной форме векторное произведение a, b формуле i j к находится по a, b а а а X у 2 К Ъу Ъ2 Ъ> az ах а2 ( ах ау by К i - К bz J' + К к. Смешанным произведением трех векторов a, b, с называется число, равное скалярному произведению вектора a, b на вектор с. Обозначается смешанное произведение а-Ь-с. В векторной форме смешанное произведение а, Ь, с находят по формуле я. а-Ь-с = ах а у К К ь2 сх Су сг Модуль смешанного произведения а-Ь-с равен объему V параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь, с: V = а-Ь-с (2.3) 2.2. Плоскость и прямая в пространстве Нормальным вектором плоскости называется всякий (отличный от нуля) вектор, перпендикулярный к этой плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М0(х0, y0,z0) и имеющее нормальный вектор п~[А, В, С) , в декартовых координатах имеет вид 14 A{x-x0) + B(y-y(j) + C{z-z0) = 0 или Ax + By + Cz + D = О, (2.4) где D = -(Ах0 + Ву0 + Cz0). Уравнение (2.4) называют общим уравнением плоскости. Если все коэффициенты уравнения (2.4) отличны от нуля, то его можно преобразовать к виду - + £ + - = 1, (2-5) a b с D , D D где а = - — , b = с--— - величины отрезков, отсекаемых на коорди- натных осях. Уравнение (2.5) называется уравнением плоскости в отрезках. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки Мх(хх, ух, zx), М2(х2, у2, z2), М3(х3, у3, z3), имеет вид х - х 1 у-Ух z - z x Х2 ~ Х\ У 2 У\ Z2 ~~ Z1 х3 — хг у3 - ух z3 — zx = 0 . (2.6) Направляющим вектором прямой называется вектор, лежащий на прямой или параллельный ей. Пусть s=(m,n,p) - направляющий вектор прямой, точка M0(x0, у0, z0) принадлежит прямой. Тогда уравнения прямой вида х — х0 _ у — у о _ z — z0 т п р называют каноническими уравнениями прямой в пространстве. Пусть даны две точки Mx(xx,yx,zx) и М2(х2, у2, z2), лежащие на прямой. Уравнения вида х-х^ _ у-ух _ z-zx (2-8) Х2 У 2 У\ Z2 Z\ называют уравнениями прямой, проходящей через две заданные точки. х — X v — v z — Z Угол ф между прямой = - — — = - и плоскостью т п р Ax + By + Cz + D = 0 определяется по формуле 15 Sincp : | Am + Bn + Cp\ slA2+B2 + C2 •sjm2+n2 + p: (2.9) Пример 2.1. Даны координаты вершин пирамиды АХ(3; 4; 5), А2(-2; 6; 1), А3 ( -3 ; -4 ;0) , ДД5;-2 ; -1) . Требуется найти: а) длину ребра АХА2; б) угол между ребрами АХА2 и АХАА; в) площадь грани АХА2А3; г) объем пирамиды; д) уравнение прямой АХА4; е) уравнение плоскости АХА2А3; ж) угол между ребром АХА4 И гранью АХА2А3; и) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань АХА2А3. Решение, а) Длину ребра АХА2 определяем по формуле АХА2 - ФС2 +У2 +z2 , где АХА2 = (х; у; z), х = х2~хх, у = у2-ух, z = z2-zx. В нашем случае Д Л = (-5; 2 ; - 4 ) . Тогда А^42 = ^(-5)2 + 2 2 +(-4) 2 = л/25 + 4 + 16 = л/45 = Зл/5 . б) Угол между ребрами АХА2 и АХА4 находим как угол между векторами . . /Г/Г • А А - АХА2 И АХАА по формуле (2.1): cos(p = -mL_i А Л . Имеем АХА2=(-5; 2 ; - 4 ) , находим АХА4 = (2; - 6; - 6). Тогда -5-2+ 2-(-6) +( -4) - ( -6) COSCp : АХА2 • АУ Д -10-12 + 24 3^5 • J2 1 + (-б)2 + ( - 6)2 3V5-V4 + 36 + 36 Зл/5-л/Тб Зл/95' в) Площадь грани АХА2А3 вычисляем как площадь треугольника, 1 построенного на векторах АХАГ, А,А3 (формула (2.2)): АХА2, АХА} Имеем АХА2 = (-5; 2; - 4), АХА3 = (-6; - 8; - 5), к АХА2, А,А3 I J - 5 2 - 6 - 8 2 - 4 t - 5 - 4 . - 5 2 • i - •7 + - 8 - 5 - 6 - 5 - 6 - 8 • к = -42/ - j + 52к. 5 = 1^ ( -42 ) 2 +(-1)2 +522 = -V4469 ед2. 2 2 16 г) Объем пирамиды найдем по формуле (2.3): V = — АХА2 • АХА3 • АХА4 6 И м е е м А Х А Г • АХА3 • АХА4 = - 5 2 -4 -6 - 8 - 5 2 - 6 - 6 = -390. Отсюда F = - | -390 | = 65 (ед3). 6 д) Уравнения прямой ЛХЛ4 найдем по формуле (2.8): х - 3 у-4 z-5 х-3 у-4 z-5 - - или - 5 - 3 - 2 - 4 - 1 - 5 - 6 е) Уравнение плоскости АХА2А3 определяем по формуле (2.6): х-3 у—4 z-5 - 2 - 3 6 - 4 1 - 5 - 3 - 3 - 4 - 4 0 - 5 = 0 или х - 3 у-4 z-5 -5 2 - 4 - 6 - 8 - 5 = 0 , Отсюда 2 - 4 - 8 - 5 • ( х - 3 ) - -5 - 4 -6 - 5 •(у-4) + - 5 2 - 6 - 8 (z-5) = 0, -42(х - 3) - (у - 4) + 52(z - 5) = 0, - 4 2 х + 1 2 6 - y + 4 + 52z-260 = 0, 42х + у- 52z + 130 = 0. ж) Угол между ребром АХА4 и гранью АХА2А3 находим как угол между прямой АХА4 И плоскостью АХА2А3 ПО формуле (2.9). В нашем случае s = А Х = (2;-6;-6), п = (42;1;-52). Тогда БШф^ |42• 2 +1 • (-6) + (-52)• (-б)| _ | 84 -6 + 312| 390 22 + ( -6 ) + (-б)2 ^422 +12 + (-52)2 V76-V4469 2Vl9-л/4469' и) Уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань АХА2А3, определяем как уравнение прямой, проходящей через ДД5;-2;-1) перпендикулярно плоскости АХА2А3. Уравнение плоскости АХА2А3: 17 42jc + _y — 52г +130 = 0. Тогда имеем s = (42; 1; - 5 2 ) . По формуле (2.7) х-5 у + 2 z+1 получаем = = . 42 1 -52 Задание 3. Даны координаты Д(х15 ух, z,), А2(х2, у2, z2), А3(х3, у3, z3), А4(х4, у4, z4) вершин пирамиды. Найти: 1) длину ребра АХА2; 2) угол между ребрами ДД, и Д Д ; V угол между ребром Д Д и гранью Д Д Д / 4) пло- щадь грани ДДД / 5) объем пирамиды; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины Д на грань Д Д Д ; 7) уравнение плоскости а, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из вершины Д на грань Д Д Д и вершину Д пирамиды; 8) расстояние от вершины Д до плоскости а. 3.1. 4 ( 7 ; 1; 2), Д ( - 5 ; 3 ; - 2 ) , Д(3; 3; 5), Д(4 ; 5; -1) . 3.2. Д (-2; 3; - 2 ) , Д ( 2 ; - 3 ; 2), Д(2; 2; 0), Д(1; 5; 5). 3.3. Д(3; 1; 1), Д ( 2 ; 4; 1), Д(1; 1; 7), Д(3; 4; -1) . 3.4. Д (4; - 3 ; - 2 ) , Д (2 ; 2; 3), Д ( 2 ; - 2 ; - 3 ) , Д ( - 1 ; - 2 ; 3 ) . 3.5. Д(5; 1; 0), Д ( 7 ; 0; 1), Д(2; 1; 4), Д(5; 5; 3). 3.6. 4 ( 4 ; 2; -1) , Д(3; 0; 4), Д(0; 0; 4), Д(5; -1; 3). 3.7. Д(0; 1; 2), Д(3 ; 0; 5), Д(1; 1; 2), Д (4 ; 1; 2). 3.8. 4 ( 4 ; 1; - 2 ) , Д(1; 2; 1), Д(3; 0; 5), Д(1; 1; 0). 3.9. 4(1; 1; 2), Д ( 2 ; 1; 3), Д(0 ; 2; 1), Д(5; 1; 3). 3.10. 4 (3 ; 1; 0), Д ( 0 ; 7; 2), Д( -1 ; 0; - 5 ) , Д (4 ; 1; 5). 3.11. 4(1; -1; 1), 4 ( 0 ; 2; 4), Д(1; 3; 3), Д(5; 2; 3). 3.12. 4(1; -1; 2), Д ( 2 ; 1; 1), Д(7 ; 1; 2), Д(4 ; 2; - 3 ) . 3.13. 4(1; - 3 ; 1), Д ( 4 ; 1; 0), Д(1; 0; - 5 ) , Д(5; 2; 1). 3.14. Д(3; 2; 1), Д(5 ; 4; 0), Д(2 ; -1; 4), Д (2 ; 2; 3). 3.15. 4 ( 2 ; 1; 1), Д ( - 4 ; 0; 2), Д(3; 1; 1), Д(5; 2; 2). 3.16. 4(1; 0; 1), 4 ( 3 ; 2; l), 4 ( - 3 ; 1; -1) , Д(0 ; 1; 5). 3.17. 4(2; 2; 3), Д ( 2 ; -1; 1), Д(0; 2; 2), Д(5; 1; 3). 3.18. 4 ( 2 ; 1; - 3 ) , Д(3; 1; - 2 ) , Д(7; 0; 1), Д(3; - 2 ; 0). 3.19. 4 (3 ; 3; 9), Д(б ; 9; 0), Д(1; 7; 4), Д(8; 5; 7). 3.20. Д(3; 5; 4), 4 ( 5 ; 8; 2), 4(1 ; 9; 7), Д(б ; 4; 3). 3.21. 4 ( 2 ; 4; 3), 4 ( 7 ; 6; 2), Д(4 ; 9; 1), Д(3; 6; 8). 3.22. 4 ( 0 ; 7; 1), 4 ( 4 ; 1; 4), Д(4 ; 6; 3), Д(б ; 9; 1). 3.23. 4 ( 5 ; 5; 3), 4 ( 3 ; 8; 1), Д(3; 5; 8), Д(5; 8; 1). 3.24. 4 ( 6 ; 1; 1), 4 ( 4 ; 6; 8), 4 ( 3 ; 5; 10), 4 (1 ; 2; 8). 18 3.25. 4 ( 7 ; 0; 3), АГ(9; 4; 3), А3(4; 5; 0) , А4(-2; 0; - 4 ) . 3.26. 4 (0 ; 0; 2), 4 ( 9 ; 3; 1), 4 ( 5 ; 7; 2), 4 ( 3 ; 6; 1). 3.27. 4(1; - 3 ; 1), А2( 1; 6; 0), А3(4; 2; 0), А4( 1; 2; 0). 3.28. 4 ( 0 ; 0; 1), 4 ( - 2 ; 11; - 5 ) , 4 (1 ; 2; 4), А4(0; 6; 4). 3.29. 4 (3 ; 2; 2), 4 (1 ; 2; 1), 4 ( 2 ; 0; 3), 4 ( 4 ; 1; 5). 3.30. 4 (3 ; 5; 3), 4 ( 0 ; 7; 2), 4(1 ; 1; 4), 4 ( 3 ; 2; 1). Тема 3. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1. Понятие числовой последовательности и ее предела. 2. Предел функции в точке. Основные теоремы о пределе суммы, произведения и частного. 3. Замечательные пределы. 4. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация. 5. Понятие производной, ее геометрический смысл. 6. Производная суммы, произведения, частного. 7. Дифференциал и его геометрический смысл. 8. Производная функции, заданной неявно и параметрически. 9. Производные и дифференциалы высших порядков. 10. Возрастание и убывание графика функции. Экстремум. 11. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба. 12. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. 3.1. Предел функции. Основные способы вычисления пределов Число А называют пределом функции у = /(х) при х —> а (или в точке а), если для любого числа в > 0 существует такое число 5(e) > 0, что при всех х, удовлетворяющих условию 0 < |х - а\ < 5, выполняется неравенство | / (х) - А\ < в . Обозначают предел lim f ( x ) = А. Если функции / (х) и g(x) имеют пределы в точке х = а, то: l im(/(x) ± g(x)) = lim fix) ± lim g(x), lim(/(x) • g(x)) = lim f ( x ) • lim g(x), x—>a x~+a x—>a \ 19 f(x-) l i m ^ — = , , iimg(x) * 0,, x^a g(x) limg(x) Функция у - f (x) называется бесконечно малой в точке х = а, если ее предел в этой точке равен нулю: lim / ( х ) = 0. Функция у = / ( х ) называется бесконечно большой в точке х = а, если для любого числа М > 0 существует такое число 8(М) > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < | х - а | < § , выполняется неравенство \f (х)| > М . При этом записывают l im/(х) = оо. х->а fix) При нахождении предела lim в случае, когда / ( х ) и g{x) х^а g(X) являются бесконечно малыми (бесконечно большими) функциями в точке /О) х - а, говорят, что отношение при х -> а представляет собой g(x) 0 ( <хЛ неопределенность вида О V е 0 У Аналогично вводятся неопределенности вида о о - о о , 0 • оо, 1°°, 0°, оо°, которые встречаются при нахождении соответственно пределов lim(/(x) - g(x)), l im(/(x) • g(x)) и l im(/(x)) g W . Отыскание предела в хн-а х—>а таких случаях называют раскрытием неопределенности. При решении задач используют: а) первый замечательный предел: sina(x) , lim — = 1; а(х)-> 0 а(х) б) второй замечательный предел: 1 lim (1 + а(х)) а(х) _ или ( lim X—•ОО 1 + V XJ = е: в) некоторые важные пределы: lim — = In а , lim — = 1, а(х)->0 а{х) а(*)->0 а{х) г e a ( x ) - l {\ + а(х))р - 1 lim = 1, lim = р . а(х)—>0 а(х) а(х)->0 а(х) 20 г) эквивалентность бесконечно малых функций. Пусть а(х) и (3(х) бесконечно малые функции в точке х-а. а(х) Если lim . х~>а (3(х) 1, то а(х) и Р(х) называются эквивалентными бесконечно малыми функциями, что обозначается так: а(х) ~ (3(х). Т е о р е м а . Предел отношения двух бесконечно малых функций при х—>а не изменится, если каждую из них или только одну заменить другой эквивалентной бесконечно малой функцией. При замене бесконечно малой функции эквивалентной используют таблицу эквивалентных бесконечно малых функций при х - > а : 1. sina(x)~ot(x); 2. arcsina(x)~a(x); 3. tga(x)~a(x); 4. arctga(x) ~a(x) ; 5. ln(l + a(x)) ~a(x) ; 6. ea ( x ) - 1 ~ a(x). 0 Рассмотрим основные методы раскрытия неопределенностей О 00 оо Пример 3.1. Вычислить lim 2х4 - 5х3 + 4х2 7 х4 + 6х2 оо Решение. Имеем неопределенность —. оо Преобразуем выражение под знаком предела: х 5 4 2 + — lim X —> СО V 7 Х 4 У = 2 . X 1 + V Пример 3.2. Вычислить lim V х + х 8 х4у fao^ V°°y = lim- Х-3- + -1 V X X Л X 1 + Л = 0 . х X +1 х2 — х — 2 Пример 3.3.Вычислить lim — . х-*1 х -12х + 16 Решение. Имеем неопределенность ~ . Выделим в числителе и в зна- менателе одинаковый множитель х - 2. Для этого разложим числитель и знаменатель на сомножители. Имеем: х lim — -12Х + 16 ((Л (х - 2)(х + 1) — = lim l o j lim х +1 = 00 , х ^ Ц х - 2 ) 2 (х + 4) ( х - 2)(х + 4) О *\ 21 Пример 3.4.Вычислить lim + - — 5х Решение. Имеем неопределенность Ц . Умножаем числитель и знаме- натель на сопряженное выражение л!х + 4 + 2: . Ux + 4 -2\л/х + 4 +2) х + 4 - 4 im А 11 , L - l i m , li = lim 5х(л/х + 4 + 2) 5x(-Jx + 4 Т 2 ) 5(Vx + 4 + 2) 20' Пример 3.5. Вычислить lim — х — 4 О Решение. Имеем неопределенность — . Используем первый _ sin(x-2) , , . . _ замечательный передел. В нашем случае lim = 1, (а(х) = х - 2 —» 0) . с_>2 х - 2 sin(x - 2) 1 Следовательно, получаем lim —— = lim 1 _ 2)(х + 2) J-+2JC + 2 4 Пример 3.6. Вычислить lim-arCt^X 2х - 1 0 0 Решение. Имеем неопределенность — . Заменим бесконечно малую функцию arctg(x - 5) при х -> 5 эквивалентной бесконечно малой функцией а(х) = х - 5. Получаем l i m a rc tg (x -5 ) 2 х - 1 0 vOy = arctg(x - 5) ~ х - 5 = lim х - 5 1 >5 2(х - 5) 2 Неопределенности вида оо - сю и 0 • оо преобразуются к неопределен- 0 С оо^ ности вида О vcoy Г Пример 3.7. Вычислить lim 1 \\-х 1-Х2) Решение. Имеем неопределенность вида оо - оо. Приведем две дроби к общему знаменателю: г lim х-Я 1 = - lim 1 - х 1 - х 2 ; X + 1 2 (00 - со) = Иш— v ' *->i 1 l + x - 2 lim——v 1-Х2 (- x — 1 = lim —(x — l)(x + 1) 22 Пример 3.8. Вычислить lim х tgx. 'тс ^ - X ? Решение. Имеем неопределенность вида 0 • GO . Преобразуем выраже- ние: 7Г X У lim tgx = (0- со) = lim 71 2 п х->* ctgx 2 vOy * •х - lim . frr \ 2tg П — X V2 у vOy tg ( m- \ TC X v2 у TC X 2 TC — X = lim— = 1. я % Для раскрытия неопределенности вида I00 применяют второй замеча- тельный предел. Пусть lim f ( x ) = 1, a lim g(x) = со. Тогда имеем lim(/(x))g W = (I00) = lim х—>а (1 + (Дх) - 1))7^И lim (f(x)-iyg(x) Приходим к неопределенности вида 0 • со Пример 3.9. Вычислить lim(2x-3)*-2 = (1°°) = К т х-»2 (2х-4)х (1 + (2х-4) ) 2х-4 х-2 2(х-2)-х ,. . hm ——-г— lim 2х Х-2 Э Х * \ Пример 3.10. Вычислить lim X -»а> f X2 +4^ V х ^У ( Г ) = lim V - 5 + 9Л х2 - 5 Зх f = lim X - » • « ! \ Зх 1 + V х2 - 5 . lim JC->00 1 1 + - X - 5 -Зх 27 lim 21 x lim JC-*QO j Ь ex^x'$ =e 2 „о Производной функции y = fix) в точке x0 называется предел отно- шения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю: 23 Д*->0 Дх Операция нахождения производной называется дифференцированием. Если функции и = и{х) и v = v(x) и имеют производные в некоторой точке х , то основные правила дифференцирования выражаются формула- ми: (си)' = с-и'; (и + v)' = и' + V; \с) и (с = const); (и • v)' = и' • v + v'u; (-] U J и •V — V -и V Таблица основных производных г 1. (ма) -аиа~1-и' (а е R ) 3. («-)' ы г е •и 5. (shim)' = cos и - и' 7. (tg и)' = — и ' cos и 9. (arcsinw)' 1 VT и м 11. (arctg и)' = 1 + и и г 2. (аи) =аи-1па-к' 4. (1пм) = — -и' и г 6. (cos и) - -sinи-и' 8. (ctg и) = sin2 и и 10. (arccos и)' = — 12. (arcctg w) =• V T •и и 1 + м2 •м Правило дифференцирования сложной функции Если у = / ( и ) и и = g(x) - дифференцируемые функции своих аргументов, то производная функции от функции (или сложной функции) у = /(ф(х)) существует и равна произведению производной данной функции у по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента и по независимой переменной х: У = у'-и' Ух у и X Пример 3.11. Найти производную функции у = sin3 г v^ Это сложная степенная функция, аргумент которой является сложной тригонометрической функцией. 24 Первый промежуточный аргумент и - sin z, второй z = у- Так как у'и =(м3) = 3и2 =3sin2 j , u'z = (sinz) = cosz = cos-^-, v3 J 1 —, TO 3 f - vV .3 sin - V 3y ^ . ") X X 1 . -> X X = 3sm —-cos = sin — cos—. 3 3 3 3 3 Дифференцирование неявных функций Пусть функция _у = .Кх) задана уравнением F(x,y) = 0. В этом случае говорят, что функция у задана неявно. Производная у' = у'(х) может быть найдена из уравнения F'x = 0, где F = F{x, у) рассматривается как сложная функция от переменной х. Пример 3.12. Найти производную функции х3 - Аху + 3у2 - 2 = 0, заданной неявно. Дифференцируем это равенство по х, считая, что у - функция от х: 3 , 7 Л ГЛ ,„ 4_у-Зх2 3 х : - Ау - Ах • у' + 6у • у' = 0. Отсюда у' = бу-Ах Дифференцирование функций, заданных параметрически Пусть функция у = у(х) задана параметрически: х = x(t), у = y(t), t е Г . Пусть x(t) и y(t) - дифференцируемые функции и x'(t) Ф 0. Тогда имеем: (з-1) Пример 3.13. Найти производную функции х = sin21 у = cost ( .Г I sin2л = 2sin?-cos/, j^ = (cos?) = - s i n / . Тогда по формуле (3.1) получаем , _ у \ _ -sin? _ - 1 х' 2sin?cos? 2cos? 25 Дифференцирование степенно-показательной функции Пусть y = u(x)v{x), где и(х)> 0, и(х) и v(x) - дифференцируемые функции по х. Производная степенно-показательной функции находится с помощью предварительного логарифмирования. 2 Пример 3.14. Найти производную функции у = (arcctg х)х Логарифмируем данное равенство по основанию е: In у = х2 • ln(arcctg х). Дифференцируя обе части последнего равенства по х как сложную функцию получаем: 1 1 — • / = 2х • ln(arcctgx) + х2 у arcctgx Откуда находим 1 1 + Х 2 У 7 =у- 2х • ln(arcctgx) -arcctgx(l + x ) или 2 X у' = (arcctgx)* • 2х • ln(arcctgx) — ^ arcctgx(l + x ) / 3.2. Производные высших порядков Производной второго порядка функции у = / ( х ) называется произ- водная от ее производной у'= f'(x) (которую называют первой производ- ной). Рассмотрим функцию у - у(х) заданную параметрически: х = x(t), у - y(t), t еТ. Имеем у'х - —. Тогда по формуле (3.1) получаем (3-2) fx = a(?-sinO; Пример 3.15. Найти у^, если < [у = a(l-cost). Решение. Находим х\ - a ( l -cos t), у\—а- sin t. По формуле (3.1) получаем 26 У a sin? sin? Находим sin? у 1 — cos? ш , = x't a(l-cos?) 1 — cos? cos?(l - cos?) - sin? • sin? cos? - (cos2 ? + sin2 ?) (1 — cos?)2 cos? — 1 1 (1 — cos?)2 (cos ? — 1) cos?- l По формуле (3.2) получаем сю; _ i i Ух cos?- l _ а{ 1 - cos ?) а{ 1 - cos ?) 2 ' 3.3. Исследование функций и построение графиков Если для двух любых значений аргумента Х] и х2 (х, Фх2), взятых из области определения функции, из неравенства хх < х2 следует, что а) f ( x \ ) < f (^2)' т 0 функция называется возрастающей; б) f(x1)^ f (x 2 ) , то функция называется неубывающей; в) f ( x i ) > f (х2)' т о функция называется убывающей; г) f{xx) > / (х2), то функция называется невозрастающей. Возрастающие, неубывающие, убывающие и невозрастающие функции называются монотонными. Возрастающие и убывающие функции назы- ваются строго монотонными. Признак монотонности и строгой монотонности функции. Функция / (х ) , дифференцируемая на {а ; Ь), возрастает (убывает) на (а ; b) тогда и только тогда, когда f'{x) > 0 ( / ' (х) < 0) V х е (а ; Ь); если при этом не существует интервала (а; Р) с (а ; Ь), такого, что / ' (х ) = 0 V х е (а ; (3), то / (х ) строго возрастает (убывает) на (а ; Ъ). Значение / (х 0 ) называется локальным максимумом (минимумом) функции / ( х ) , если существует такая 5 - окрестность точки х0, что V x e ( x 0 - 5 ; x 0 + 8) и х ^ х 0 выполняется неравенство / (х) < / (х 0 ) ( / М > Ж ) ) - Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием локальный экстремум. Необходимое условие экстремума: если функция / ( х ) в точке х0 имеет локальный экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует. ' Внутренние точки множества D ( f ) , в которых / ( х ) непрерывна, а ее производная f ( x ) равна нулю или не существует, называются критическими точками функции / ( я ) . Первое достаточное условие локального экстремума. Если функция / (х ) дифференцируема в некоторой 5 - окрестности критической точки х0 , кроме, может быть самой точки х0, a f'(x) > О if'(x) < 0) при х0 - 8 < х < х0 , и f'(x) < 0 if'(x) > 0) ПРИ < х < хо + $ ' т о в т о ч к е х0 функция имеет локальный максимум (минимум). Второе достаточное условие локального экстремума. Если в критической точке х0 функция / (х) дважды дифференцируема и / " (х 0 )<0 (/"(х0) > 0) , то в этой точке функция / ( х ) имеет локальный максимум (минимум). График дифференцируемой функции у = / ( х ) называется выпуклым (вогнутым) на (А; Ъ), если он на этом интервале расположен ниже (выше) касательной, проведенной в любой его точке М (х ; fix)), где х е (а ; 6). Если функция / ( х ) в интервале (а ; Ь) дважды дифференцируема и /"(х) < 0 ( /"(х) >0) \/х е ( а ; Ь), то график функции в этом интервале выпуклый (вогнутый). Точка М0 графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую (вогнутую) часть от вогнутой (выпуклой), называется точкой перегиба. Достаточное условие существования точки перегиба. Если вторая производная /" (х) функции / ( х ) в точке х0 равна нулю или не существует и меняет знак при переходе через эту точку, то М0(х0 ; / (х0)) - точка перегиба графика функции y ~ f ( x ) . Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка этой кривой при неограниченном удалении от начала координат. Различают вертикальные и невертикальные асимптоты. Прямая х - а называется вертикальной асимптотой графика функции, если хотя бы один из односторонних пределов функции у- fix) в точке а равен бесконеч- ности: lim f{x) - со или lim / ( х ) = оо. х-*а~ 0 jc-»o+0 Прямая у = кх + Ь(кФ 0) называется наклонной асимптотой графика функции у = / ( х ) при х —>• +оо (х -> -оо), если функцию / ( х ) можно пред- ставить в виде f ( x ) = kx + b + а(х), где а(х) - бесконечно малая функция при х —> +оо (х—>-оо) . fix) Если существуют пределы: lim = к , lim ( / ( x ) ~ k x ) = b , *-»+оо х х—у+оо (дг-»-оо) (*—>—со) то уравнение у = кх + Ь определяет наклонную асимптоту. Если /с = 0, то у ~ Ь - горизонтальная асимптота. 28 Построение графика функции Исследование функции и построение ее графика можно проводить по следующей схеме: 1. Найти область определения функции. 2. Исследовать функцию да четность (нечетность) и периодичность. Найти точки пересечения графика с осями координат. 3. Найти точки разрыва функции и асимптоты кривой. 4. Определить интервалы монотонности и локальные экстремумы функции. 5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции. 6. Построить график функции. х 2 + 1 Пример 3.16. Исследовать функцию / ( х ) = и построить ее х - 1 график. Решение. 1. Находим область определения D(y) = (-оо; 1) и(1;+ оо). 2. Поскольку / ( - х ) Ф - / ( х ) , / ( х + Т) Ф f (х), то функция не является четной, нечетной и периодической. Находим точки пересечения с осями координат: х 2 +1 а) так как у = Ф 0, то график функции не пересекает ось Ох; х - 1 б) при х = 0 график функции пересекает ось Оу в точке у = - 1 . х 2 +1 3. Функция не определена в точке х = 1. Поскольку lim = -оо , lim Х = +оо , то х = 1 - точка разрыва второго рода. Так как '->1+0 х-1 lim / ( х ) = ± оо , то прямая х = 1 есть вертикальная асимптота. Х-И+О Далее находим . f { x ) х2 +1 к = lim - lim = 1, х *->» х(х -1 ) b = lim(>> - кх) = lim rx2 + \ "j x +1 , x = lim = 1 x -1 v x - l j Следовательно, прямая у = x +1 есть наклонная асимптота. . ^ , 2х(х -1) - х2 - 1 х2 - 2х - 1 4. Вычислим у =— —г = —. (х-1)2 (х-1)2 Первая производная не существует в точке х = 1, которая не принадле- жит области определения Diy) и, следовательно, не является критической точкой. 29 При у'= 0 получаем х2 — 2.x: — 1 = 0 или X j = l - л / 2 , х2 = 1 + л/2 . Точки х, и х2 являются критическими (стационарными) точками. Определим интервалы монотонности из неравенств у > 0 и / < 0 Vxe£>(j): J C ( " 2 ^ 1 < 0 п р И 1 + л/2). Следовательно, функция возрастает при х е ^-со;1 - л/2 ju^ l + л / 2 ; + о о j и убывает при х е ^ 1 - л/2; 1 + sj l j . В точке х = 1-л/2 функция имеет максимум jmax = у { \ - 4 2 j = =-2л/2 + 2 » -0,83. В точке х = 1 + л[2 функция имеет минимум = _у + л/2 j = =2л/2 + 2«4,83. 5. Находим JV „ Гх2 - 2 x - l Y (2х-2) (х-1) 2 - 2 ( х - 1)(х2 - 2 х - 1 ) (х-1) 2 У (х-1) 4 (х - 1)(2х2 - 4х + 2 - 2х2 + 4х + 2) 4 (х-1)4 (х -1 ) 3 ' Определяем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции из неравенств у" > 0, у" < 0, Vx е D(y). Имеем у" > 0 при хе(1;+со) , / ' < 0 при х е ( - о о ; 1). Следовательно, кривая выпукла на ( -оо ; 1) и вогнута на (1; + оо). Так как х = 1 не принадлежит области определения функции и у" ^0, Vx е D{y), то точек перегиба нет. Результаты исследования функции у = / ( х ) заносим в таблицу. X ( - o o ; l - V 2 ) 1 - V 2 (1 —s/2; 1) 1 (1;1 + V 2 ) 1 + V2 (l + V2;+oo) у' + 0 — не сущ. — 0 + — — — не сущ. + + + у -0,83 max \ не сущ. \ 4,83 min / 30 6. Исходя из результатов таблицы строим график данной функции. у = х + Задание 4. Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя-Бернулл и. 4.1. a) lim Зх(х -1) 4(*2-1) l - cos5x г б) lim ; — , в) lim х^О $xz х^со ( 7V0* 1 + - V х ) 4.2. a) lim (х + 1)2 Ъх + 1 0 х - 8 б) lim1 Co°S210x , в) lim(10 - 3 x f . ^ о 8х 4.3. a) lim(Vх2 +4х -^jx2 -4х), б) l i m t g 2 * в ) н т Г л c\2x+4 ' 4x + 5 Л 4x \4x-Sj cos 4.4. a) lim v ^ / 4 - 4x 6) lim - \ f x 1-Vx в) lim(l + 2x)4x . x->0 4.5. a) lim Qc-3 ) 3 8x3 + x - 8 .. Vx + 1 6 - 4 6) lim sin 3x в) lim ^ 2x + 3Vx+5 Л 2 х - 4 у 31 ч г 8х 2 (х- 2) 4.6. a) lim £ - Зх - 1 2 б) lim arctglOx в) l im(l-5x) 4_ 7х Лп м- -*3"8 4.7. a) lim-г _ smx б) lim •?•> 1 _ х в) lim 2х • (ln(3 + х) - In х). л о . г 5х 3 -Зх 2 + 7х 4.8. a) lim х-^ 0 х б) l i m - ^ 2 — в ) н т х->2 х — 4 >со v 6х - 1 4.9. a) lim 2х2 + Зх - 9 з х + 3 _ .. Зх2 - 4 х б) lim sin7x в) lim / т \6х 2х +4^ v2x -1 j 4.10. a) Hm *->о 2х б) lim sin5x х + 2/гх в) lim v x 2 j 'У 5 JC^ 1 sin Зх —2 4.11. a) lim ; — , б) l i m - ^ — — , в) lim(cos2x)4x . (х + 2) JE->0 5x(l-cos8x) х->0 4.12. a) lim Vx + 1 2 - 4 2 х - 8 j^-q sin 10 х ~ б) lim , — , в) lim(l - sin 5хУ 4.13. a) l i m * , " 3 * " 1 0 , б) l i m - ^ L 5 ^ , в) lim(l-Wg2x)' 4.14. a) lim 9} , 6) l im C ° s 3 x c ° s x ; в ) l im Зх • (ln(5 + 2x) - ln(2x)). -3x (x + 3) l - cos2x x—»-к» 4.15. a) l i m ( V x 2 + 9 - V x 2 ^ 9 ) , 6) lim V 4 + x - 2 x~>° arcsin8x в) lim(cos6x)5jc . x->0 4.16. a) lim x - 27 x - 8 1 6) lim *->2 Vx + 2 - 2 в) lim ln(l + 6x) *->° 2x „ ч Зх4 - 5x 3 +12x2 _ v l - co s2x 4.17. a) lim — , 6) lim- 4x x - > 0 3x•tg8x в) lim(l + tg4x)" x->0 32 4.18. a) lim 7 x - 3 x + 5 2хг + 6 cos4x-cos 4х 6) lim 5x • tg3x , в) lim f j\4x 1 - - v x J . 1ГЧ . л/9 + х - 3 4.19. a) lim cos2x-cos4x ч .. „ 7i, чт-2 6) l i m — — в) lim(l + tg 4x)3* v l - c o s 6 x 4.20. a) lim Зх -17x + 10 х - 5 6) lim 1-Vcos8x x-*° 2x-sin5x в) lim ' x + 3 л v x - 3 y 4.21. a) lim 2--\/x 4 6) lim— л/9 + х - З sin7t(x + 4) в) lim(l + sin 3x) ^ 'J -v-41-cos2x 4.22. a) l i m ( * t 2 ) 3 3x + 8 л 4 1- y jx-1 - 2 4.23. a) l im- x - 5 sin3x 6) lim , x•e 6) l i m ^ - ^ x-*0 tg7x в) lim ln(l - 8x) в) lim—• InVT+2x *->o 3x 4.24. a) lim(vx2 + 3 -л /х 2 ~з) , 6) lim sm X-+CO \ f тт\ к x v 4y 1 - V 2 cosx в) lim(cos4x)3;c . x-»0 4.25. a) lim 2x 3 - 5x + 6 x + 3x - 8 6) lim arcsin3x arcsin5x в) lim ' 3x + 2 3x - 8 4.26. а) Ш ^ 7 * - 4 l - cos5x r 6) lim 1 - х 1 - х 2 Jx_ в) lim(3x - 2)х '4 4.27. a) lim (six2 + x + 1 - \Jx2 - x), 6) lim c o s x - s m x x-»- cos2x 4 ln(l + 2x) , в) lim— - . у 4.28. a) lim Ж-++О0 V 5x - x 5 X 2 - 4 x - 3 x — 1 sin3x 6) lim sin 2x в) lim / 1 5x +7 v5x - 2 j л/l + 3x - yjlx + 6 4.29. a) lim = _ 5x 2x 6) lim g 6 x , в) lim(2x - 5)*"3. Vl -cos4x 6x - 2x + 7 4.30. a) lim - , 6 ) limx • tg3x • ctg22x, в) lim (2x + 3)(ln(x + 2) - In x). 2 — 5x + 3x 33 Задание 5. Найти производные —. dx 1 — JC " V 5.1. а) .у = lncos(4x + 5), 6)>> = sinx2-esm4*, в) у = (arcsinx)*, г) уъ = — х + у хё~ — 5.2. а) у = arccos2х, б) у = - , в) у = (arccos2х fx, г) lnx + е х = 2. 1п5х arctg — 5.3. а) у = 1п(е~х +х-ех), б) у = - £ в) у = (tg3x)ctgI, г) lny + - = l . V ' 1 + X у 2 X 1 1 л I е / 2 \arcct8;t: 5.4. а) .у = arcsin —, б) у-- — , в)_у = (1 + х ) , г) tgx = x-jy, 2 arccos х v ' 5.5. a) .Y = arctge2*, = + S M 5 * , B)J; = (sinlOjc)h \ х-е г)л/л:2 +у г = 2arctg—. х2 ^ . + i 5.6. а) у = lnlnx, б) у = -— г-, в) у = (arcsin5x)2 , г) cos2(x + y) = x-v sin (1 -х ) 5.7. a)y = In Д — , б) smlOx . , в) >> = (1п10х)^ , V I - х cos (sin 5х) г) 1 + х = —ln(2jy + x). 5.8. a) y = б) у = a r c c o s ^ 2 2 ; в) arctg^ = ln(x2+ / ) , / g j х v ' Г) y = ( x 2 - \ f . | V'x i I \ ct — 5.9. а) у = cos 6) y = ln sin2x + v l + cos2x 1, в) у = (sin2x)C82, 1 + Vx V > r) y = x + arcctg—. X 5.10. а) у = arctg(e2* + l)2, 6)>> = - — в ) У ~ (arcsin5x)*, г ) x = y + exy 34 2 X — ^ 2л: 5.11. а) y = ln a rc tg- , б)у = --,~-2 у 3 log2(3x + 1J в ) У = (2х)е , г) 1пу + - = х + ;у 11 ) • cos Зх i 5.12. а) у = arctg In ( 1 - х ) , б) у = ± , в) y = (e2x + x f , arccosox г) arcsin л/х н—-— = у2. х + у In X cts X / ? \cos х 5.13. а) у = 3 sinjc, б = в ) у = (1пх2) , г) arcsmx•;; + - = х Vx + Vx X lnx 5.14. a) y = arccos—-—, б) .у = 3_sin2*, в) ,y = (l + x2) 1 + x arcctgr 2 _ г) ^ = x • e *. 5.15. a)y = 4C0S *, 6)y = r) sin(x + y) - 2x • у = 0. C O S 5 J l - t g 2 X . 1 * 5 , в) }> = (sinlOjc)b*, 2x-l 5.16. а) у = (arcsin(8x + 3)) , r) x l n y - y l n x = 8. б)у= r , в)у = (2х) arcsin2(x-3) X - V X 5.17. a) _y = ln(x 2+*f*) , 6) y = r) sin(x + 2y) + 2x-3y = 0. 1 + sin2 x cosx в) у = (arctg2x)3*, 1-х 5.18. a)_y = \ / l - x 2 • ctg3x, б) у = 21+*, г)(х + ^ ) 2 + ( х - З у ) 3 = 0 . в ) > Ц х 2 + 3 ) , 5.19. a) y = In л/х2 +10 , б )y = r)x • sin jy - jy • cosx = 0. arccosx 7 Г 7 ' f ^ ^arccos7x + X y 5.20. a ) y = e*3 -cos\ll + x2, 6)>> = arccos 2x 1 + x в )y = (arctg2x)sm3x, 35 5.21. а)у = JI-^- • tg(2x +1), б)у = 10™2*, в)у = (1 + х)*, г) cos(xy) = x - > \ 2 j 5.22. a)>» = cos 5x-e~* , б)у= , в).у = (х)е , г)xe y + yex = х-у. sin 2x 5.23. a) y = 3x + sin25x, 6 ) ^ = 1 + xarctgx vr в) у + x / . \cos5JC 1 + - V X J , r) tgy = x + 3 j . 5.24. а) у ^lncosve*2 - 2 , б) .y r) = cos2(x + y ) . 3* sin2x в) y = (ctg2x)^x, 5.15.&) У = *Ш*> = в) tgx-tgy = x- у, r) _y = (arctgx) tg lOx 1-f л 5.26. a ) y = ecos*, 6) y = sin2 x - 2tgx l + cos4x , B) ^ = f . x v sin— V , r) ytgx = \ + xe} 5.27. а)у = arcsin^l - 3x , 6)3/ = — в ) y = (x + x' cos x - c o s x v r)x2 +y2 +7xy = 0. 5.28. a) j/ = coslnx + sinlnx, 6 ) y =—a^~csm , в) exsiny-e ycosx = 0, cos3 x + sin2 x г) у = (2x)!n*. / t л 5.29. a)y = sin 1 1 + - V xj r) tg(x + y ) - x - y = 0. б) у = arctg l - 2 x l + 2x B)j; = (ctgl0x)'g2x, 5.30. a) y = , I g x б) У = 2lnjc, в) у = (cos5x)e , г) X • у + е*+>1 = х3 X 36 Задание 6. Найти производные второго порядка у"хх для параметри- ческой функции. 1 X : 6.1.< sin t 6.2. у = cos t. x = lnsin/, f* = 3/-cosf, у = ecost. ' '1y = 3/-sin/. 6.4. x = e2 M , 6.5. x 1 sin/ y = ctgt. 6.6. x = e' +1, y = e\ 6.7. x = e , y = JT~-t2. 6.8. x — t , y=e-t2. 6.9. x = arctg/, 1 2 y = —t. 2 6.10. 1 • . x — t л—sin 2/, 2 6.11. = cos31. X = • 2 - / 2 + / /2 2 ' 2 + / 2 • 6.12. fx = arcsin/, VT • / 2 . ix = e2', x = arcctg/, 6.13.^ 6.14J , 6.15. [y = In 5/. |.y = 5(l + /2). x = In 10/, y = t3 + 2. 6.16. x = tg /, у = cos2/. 6.17. X "" ^ у у = arcsin t. 6.18. / x = cos—, 2 .y = / - s in / . 6.19. x = arcsin[t2 -l), у = arccos (2/). 6.20. 1 • . x — t —sin 2/, 2 y = cos2/. 6.21. X = 1 У = t2-3t + 2' 2 / - 5 / + 4 6.22. x = In tg/, V = ctg /. 6.23. 6.26. x = 2cos2 2/, ^ = 3sin2 2/. x = arcsin 2/, y = Jl-4t\ 6.24. 6.27. x = 2/ - sin 2t, у = sin3/. x = ln/, 1 У- 6.25. 6.28. 1 - / x = ln(l + /2), x = arcsin (t2 - l ) , у - arc cos 2/. 6.29. — Л 6.30. у = arctg (2/ +1). L = 2arctg/. 37 Задание 7. Исследовать функцию у = / ( х ) и построить ее график. 7Л.у = хгЛпх. 7.2.у = - + 4х2. 7.3. у = ^ - у . 7А.у = х1-е~*х, * (1 + ; Ч Z - A , 7.6.;; = — . 7.7. у = 4е~х2+8х. 7.8.у = х + -^— х х+1 х+2 7.9 = 7Ао.у = ^ ~ . 7.11. у- 2Х 2 . 7.12. у = х2 -21пх. х х + 2 х - 4х + 5 3 7.13. у = ~4— • 7.14. ,у = 1п(4-х2) . 7.15. у = (2 + х2)е~ X 1 l.\6.y=x2-lx:1. 7.17.у = - ~ — . 7.18. у = х + 2 Щх2-\ х-3 _ , _ х + Зх + 2 _ __ х — 1 „ Л1 зЛ з~ 7.19. у- = . 7.20. у = —х . 7.21. у = Щ - х . х х +4 7.22. у = 7.23. у = х + 1п(х2+4). 7.24 .у = х-е 1 - х v ' 7.26.^ = 4 ^ . 7.27. , = х - 2 х - х - 2 е 2 1 7.28. ^ = 1п(9-х 2 ) . 7.29. = . 7.30. у = х—=-. v ' 2 - х х Тема 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Понятие функции нескольких переменных. Область определения. Частное и полное приращение. 2. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность. 3. Частные производные функции нескольких переменных. Геометрии- ческий смысл частных производных функции нескольких переменных. 38 4. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функ- ции нескольких переменных. 5. Дифференцирование сложной функции и неявно заданной функции. Полный дифференциал. 6. Производная по направлению. Градиент функции нескольких пере- менных. Свойства градиента. 7. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. 8. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и доста- точные условия существования экстремума. 9. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод мно- жителей Лагранжа. 10. Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в области. 4.1. Понятие функции нескольких переменных и ее предела Пусть D - множество точек Х(хх, х2,..., хт) пространства Ет. Если каждой точке X по определенному закону / ставится в соответствие неко- торое число z, то говорят, что на множестве D определена функция т переменных z = / (х , , х2,..., хп); z = f ( x ) . При этом х р х2, ..., хт называются независимыми переменными или аргументами. Множество D точек X , для которых существует z, называют областью определения функции и обозначают D ( f ) , а множество значений z обозначают £ ( / ) . z = / ( х , у) - функция двух переменных. Пусть функция z = /(х15 х2,..., хт) определена на множестве D . Число Ъ называют пределом функции z = / (X) в точке А(а:, а2, ..., ат), если для любого числа е > 0 существует такое число 8(e) > 0, что для всех точек X е D , удовлетворяющих условию О < р(Х, А) < 8, выполняется неравенство | / ( X ) - b\ < с . Обозначение: Ит/(Х) = Ьитт lim / (х , , х2, ...,xm) = b. х2 ->я2 Частным приращением по переменной хк (к = 1, т) функции z = f(xx,x2,..., хт) в точке XeD называется разность 39 A^z — f(xx, x2, ..., xk + Axk,..., xm) f (x15 x2,..., xk, ...,xm), где Axk - приращение переменной xk. A z Если существует lim 4 , то он называется частной производной 0 Ахк dz функции z по переменной хк в точке X и обозначается (или дхи Zxk> f x k (Х\> Х2> Хт ))• При нахождении частной производной по одной из переменных пользуются правилами дифференцирования функции одной переменной, считая все остальные переменные постоянными. х + 2 Пример 4.1. Найти частные производные функции z = In sin . У Решение. Имеем dz , | 1 х + 2 1 1 х + 2 — = \у = const = — г - • cos - c t g , Sx sin У У У У У dz | I 1 х + 2 — = х = const = ^ • cos Зу 1 1 . х + 2 у у sm- у У х + 2 х + 2 = —-ctg С __ . Л \ .. , ^ с | Л v х + 2 У ) х + 2 . _N ctg (х + 2). У У У Рассмотрим функцию трех переменных и = u(x,y,z) на множестве D. Полным дифференциалом функции и в точке M(x,y,z) называется главная часть полного приращения функции А и = А- Ах + В • Ау + С -Az + o(Ax) + o(Ay) + o(Az), линейная относительно приращений переменных Ах, Ау и Az( А , В, С - постоянные числа). Полный дифференциал находят по формуле д и . д и . д и - . .. аи= ах л ау + dz, (4.1) dx dy dz где dx = Ax, dy = Ay, dz = Az . Производной по направлению вектора s = (sx,sy,sz) функции u = u(x,y,z) в точке M(x,y,z) e D называется предел 40 ди л. — = lim ds и(х + tsx,у + ts ,z + tsz) , если этот предел существует. Обозначим через cos a, cos(3, cosy направляющие косинусы вектора 5. Тогда ди ди ди „ ди — = cos а + cos[3 + cosy ds дх ду dz (4.2) Градиентом функции и = u(x,y,z) в точке M(x,y,z) называется вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных ди ди ди производных — , — , — в этой точке: дх ду dz ди т ди ди 7 gradw = / + j + к. дх ду dz (4.3) При этом: 1) Пр- grad и = ди 2) max ди grad и ds ds 2 Пример 4.2. Дана функция u = xyz, точка М(е, 2, - 1 ) , вектор s = (0; 3; 4). Найти: а) полный дифференциал du, б) производную по направ- 'ди^ лению вектора s v ds у , в) градиент функции gradw в точке М . Решение. Найдем частные производные функции и = u(x,y,z): ди дх у = const z = const ди ду х = const z = const ~xy 2 Лпх- 2yz. ди Tz x = const у = const = xyz-\nx-y2 Вычислим значения производных в точке М : ди дх : 4 - ( ~ l ) V ,4 (-1)-1 _ . 4 м ди , 4 ( -1 ) •1пе - 2 • 2 • (-1) = -- м ди ~dz = е4(-1}-1пе-4 = —. м а. Находим полный дифференциал функции в точке М по формуле (4.1): , I ди , ди •dx-\ м ду dy + м ди ~dz 4 4 4 dz = —-dx —jdy + —jdz. м 41 б. Найдем направляющие косинусы вектора s . Имеем = 7оГ+32 +42 =5, cos а 0 л а — = 0, cos р = , cosy = По формуле (4.2) вычисляем производную ди aJ 4 0_4_ 3+4_ 4 _ 4 м 5 е4 5 е" 5 5е4 в. Вычисляем градиент функции в точке М по формуле (4.3): gradw м 4.2. Частные производные и дифференциал высших порядков Пусть функция z — f(x, у) определена и непрерывна вместе со своими первыми частными производными в некоторой точке Р(х, у) е D ( f ) . Частные производные по переменным х, у от производных первого порядка называются частными производными второго порядка и обозначаются a2z а (dz^ \дх) дх2 дх d2z а ( dz Л dy ду{ду d2z а dxdy dy r dz^ \dxj d2z a дудх дх I dy d2z d2z Производные , называются смешанными производными. дхду дудх d2z d2z Если смешанные производные , непрерывны, то дхду' дудх d2z d2z справедливо равенство дхду дудх Полным дифференциалом второго порядка функции z = f(x,y) называется дифференциал от ее полного дифференциала, который обозначается d2z ~ d(dz) = d r dz , dz , Л —dx H dy dx dy ( j \2 о d2z . , d2z(j \ 2 T I F + • дх дхду dy 42 4.3. Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция z = f(x,y) определена в области D. Функция z = f(x,y) имеет в точке P0(x0,y0)eD локальный максимум (минимум), равный f (x 0 , y 0 ) , если существует такая 5 - окрестность этой точки, что для всех отличных от Р0 точек Р(х,у) из этой окрестности имеет место неравенство f(x,y)f(x0,y0)). Необходимые условия экстремума. Если функция f(x,y) в точке Р0(х0,}>0) имеет локальный экстремум, то в этой точке обе частные производные, если они существуют, равны нулю или хотя бы одна из них в этой точке не существует. Если Р0 (х0,у0) - точка экстремума дифференцируемой функции Из этой системы уравнений находят стационарные точки. Сформулируем достаточные условия существования экстремума. Пусть A = f^x(x0,y0),B = f^(x0,y0),C = f^(x0,y0), где P 0 ( W o ) - стационарная точка дважды дифференцируемой функции z = f(x,y). Тогда: 1) если В2~АС> 0, то f(x,y) имеет в точке (х0,>>0) локальный экстремум (при А< 0 - локальный максимум, при А > 0 - минимум); 2) если В2 - АС < 0 , экстремума в точке Р0 (х0,.у0) нет; 3) если В2 - АС = 0, функция может иметь, а может и не иметь локальный экстремум. Пример 4.3. Найти локальные экстремумы функции z = х2 - 2ху + 4у3. Решение. Областью определения данной функции является вся плоскость. Находим частные производные первого порядка и составляем систему уравнений (4.4): z =f(x,y),то / ; ( w o ) = o , / ; ( w o ) = o . (4.4) — = 2 х - 2 у = 0, — = -2х + 12 у2 = 0. дх ду Решая эту систему, получим две стационарные точки Рх (0; 0) и Р2 —; — . V6 6) Находим частные производные второго порядка: — - ~ 2; = -2; дх дхду ду1 . Вычисляем их значения в точках Р и Д 43 В точке />(0;0): А = 2, В = -2, С = 0. Тогда имеем АС-В2=-4<0. Следовательно, точка i](0;0) не является точкой экстремума. ' I 1 Л б ; 6 В точке Р, : А = 2, В = -2, С = 4. Тогда АС-В2 = 4 > 0. Так как v u с А > 0, то точка Р2 V i I 6 ; 6 точка локального минимума. Вычисляем zmin = z(P2) = 108 Задание 8. Дана функция и = u(x,y,z), точка M(x0,_y0,z0) и вектор s. ди Найти в точке М: а) дифференциал du; б) производную -— по направлению ds вектора s; в) градиент gradи. 8.1. и = c o s — - v2x2, s = 2i-4J + k, М(0; 4 ; - 5 ) . yz 8.2. и = х2 In ( А U J + zy, s=7+J-k, М( 2; 1; 1). 8.3. м = arcsin(z2 + 2х) + ху2, ,s = i-2j + k, М{-1; 2; 1) 8.4. s = 2l+j-k, М( 1 ;5 ;2) . х — Z X 2 — — _ — 8.5. w = ctg у z, s = 5i-j + k, М 2 У 1; 0 8.6. u=exy+^r, s -4i + 2j -к, М( 1; 2; -1 ) 8.7. и = х^ +x2z, s=l+5j-2k, М(2;2;l). 8.8. м = >Мп(х2-z) + 2x2.y, J = - 7 - 7 + 3^, M(l; 1; 2), 8.9. и — у • arccos—ьу3x, s = 2i-j-к, M{2\ 5; 2) 44 8.10. u = ctg(y-z)-~, s = i-2j-k, M 1; 1 x v 4 J f к ^ 8.11. u = ——— + <2^ , s = 4i + 7j-6k, M(0; 2; l ) . z + x 8.12. и = a r c t g V * - 2 / -z3, s = 7 + 1 0 } - 2 * , M(5; 1; 3) 8.13. w = zy2+ln—-—, s = 3l+6j + 2k, M(3; 4; 1) y-x 8.14. и = ~-x2yz2, s = 5i-j-k, M(2; 5; 0) . v - - - - ( n ^ 8.15. w = 2" - c o s — , 5 = г + 87 -4&, M 2; —; 1 2z V 2 у 8.16. u = sj2xy-y2z2 + - , s = -7+47" + 2&, M ( 2 ; 2 ; 0 ) . 8.17. w = arctg / л X •5z2x, s = 27+J ' -4£ , M( l ; 2; l) - - - Г Лл 8.18. м = s i n 2 ( z - y ) + 2x2y, s = 5i-j + k, M 3; 1; - V 4 у 8.19. w = x 3 / - l n ( 5 x z + >>2), s = 4i + j-k, M(2;l;l). 8.20. и = +y2x2, s = -I - 2J + 4k, M ( l ; l ; - l ) . 8.21. u = zyx-2y~3z, s = M + j-k, M(-1;2;2). 4 z - 5 x 8.22. w = y-sin(z-'2. 9.2. z = (x-3f+(y + 5)2. 9.3. z = х2+2у2-4х + \2у, 9.4. z = 2х2 +(_у-б)2 . 9.5. z = x 2 + 4 ; ^ - 2 x . 9.6. z = 5 x y - y 2 +6у . 9.7. z = х3 + Зху2 - 5 lx. 9.8. z = 4 ( x - 5 ) 2 + 8 ( y + 2)2. 9.9. z = 3 x 2 - 4 x y - 8 y . 9.10. z- x4 + y4 - 4xy. 9.11. z — xy2 (2-х- y) 9.12. z = x 2 + / - 2 1 n x , 9.13. z = 2xy--~- . 9.14. z = (2x + 4)2 - ( 3 y - 6 ) 2 . 9.15. z = 2-l]x2+y2 x 9.16. z = 3x2 - x 3 + 3_y2 + 4y. 9.17. z = —+ —-xy . 9.18. z = 3 x 2 - 4 x y - 8 y . x у 9.19. z = xy2-yx2-4x. 9.20. z = 5x2_y-4xy. 9.21. z = xy + 2y2-2x. 46 9.22. z = xy + 4x-3y. 9.23. z = Г +y2 +y. 9.24. z = 3x2 + 2xy + y2. 9.25. z = 5%2 - 3xy + y2 +4. 9.2 6. z = x2 + xy - х-у. 9.27. z = ^x2-xy. 9.28. z = 5x2 + y2 - 25xy. 9.29. z = 4x-x2 + 2xy-y2. 9.30. z = 4x2 - 5xy + 3y2. 47 ЛИТЕРАТУРА 1. Карасев, А.И. Курс высшей математики для экономических вузов: учебное пособие для студентов экономических специальностей: в 2 ч. / А.И. Карасев, З.М. Аксютина, Т.И. Савельева. - М.: Высшая школа, 1982. - 4 . 1 , 2 . 2. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для вузов: учебное пособие для студентов вузов: в 2 ч. /Н.С. Пискунов. - М.: Наука, 1985. - Ч . 1,2. 3. Герасимович, А.И. Математический анализ: в 2 ч. / А.И. Герасимович, Н.А. Рысюк. - Минск: Вышэйшая школа, 1989. - Ч. 1,2. 4. Апатенок, Р.Ф. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии/Р.Ф. Апатенок [и др]. - Минск: Вышэйшая школа, 1986. 5. Апатенок, Р.Ф. Сборник задач по линейной алгебре / Р.Ф. Апатенок [и др]. - Минск: Вышэйшая школа, 1986. 6. Гусак, А.А. Задачи и упражнения по высшей математике: в 2 ч. / А.А. Гусак: для вузов. - Минск: Вышэйшая школа, 1988. 48 СОДЕРЖАНИЕ Тема 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 3 1.1. Решение невырожденных систем линейных уравнений 3 1.2. Решение произвольных систем линейных уравнений 6 Задание 1 9 Задание 2 10 Тема 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 13 2.1. Векторы. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов 13 2.2. Плоскость и прямая в пространстве 14 Задание 3 18 Тема 3. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 19 3.1. Предел функции. Основные способы вычисления пределов 19 3.2. Производные высших порядков 26 3.3. Исследование функций и построение графиков 27 Задание 4 31 Задание 5 34 Задание 6 37 Задание 7 38 Тема 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 38 4.1. Понятие функции нескольких переменных и ее предела 39 4.2. Частные производные и дифференциал высших порядков 42 4.3. Экстремум функции нескольких переменных 43 Задание 8 44 Задание 9 46 ЛИТЕРАТУРА 48