Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Теоретическая механика» КИНЕМАТИКА Сборник задач М и н с к 2 0 0 7 Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Теоретическая механика» КИНЕМАТИКА Сборник задач для расчетно-графических и индивидуальных работ по теоретической механике М и н с к 2 0 0 7 УДК 531.35Ц076) С о с т а в и т е л и : Л.Н. Белящая, Т.Ф. Богинская, Э.Э. Глубокая Р е ц е н з е н т ы : д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры «Теоретическая и прикладная механика» М.Д. Мартыненко, д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой «Сопротивление материалов машиностроительного профиля» Ю.В. Василевич ¥гТ2г Кинематика: сборник задач для расчетно-графических и инди- видуальных работ по теоретической механике / Сост. Л.Н. Беляцкая, Т.Ф. Богинская Э.Э. Глубокая. - Минск: БИТУ, 2007. - 82 с. Данное издание представляет собой сборник расчетно-графических индивидуальный работ по теоретической механике. В сборнике изложены теоретические сведения и предложены за- дачи, охватывающие основные темы раздала «Кинематика» в Соот- ветствии с программой технических вузов. Предназначается в качестве пособия для студентов втузов всех форм обучения. ISBN 978-985-479-750-2 О БИТУ, 2007 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 4 Задачи кинематики 5 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ 5 Векторный способ задания движения точки 6 Координатный способ задания движения точки 8 Естественный способ задания движения точки ] О ЗАДАНИЕ К1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ ПО ЗАДАННЫМ УРАВНЕНИЯМ ЕЕ ДВИЖЕНИЯ 17 Кинематика механической системы и абсолютно твердого тела.... 19 Поступательное движение твердого тела 21 Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси.. 22 ЗАДАНИЕ К2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ ТОЧЕК ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРИ ПОСТУПАТЕЛЬНОМ И ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИЯХ 27 Плоскопараллельное движение твердого тела 32 ЗАДАНИЕ КЗ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРИ ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ 38 ЗАДАНИЕ К4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ ТОЧЕК ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРИ ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ 44 Сложное движение точки 49 ЗАДАНИЕ К5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АБСОЛЮТНОЙ СКОРОСТИ И АБСОЛЮТНОГО УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ В СЛУЧАЕ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ПЕРЕНОСНОГО ДВИЖЕНИЯ 53 ЗАДАНИЕ Кб. ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ 60 ЗАДАНИЕ К7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АБСОЛЮТНОЙ СКОРОСТИ И АБСОЛЮТНОГО УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ В СЛУЧАЕ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ПЕРЕНОСНОГО ДВИЖЕНИЯ 66 Кинематика планетарных, дифференциальных зубчатых пере- дач 71 ЗАДАНИЕ К9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ ЗВЕНЬЕВ ПЛАНЕТАРНОГО РЕДУКТОРА С ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ КОЛЕСАМИ 75 Рекомендуемая литература 80 3 ВВЕДЕНИЕ Кинематика - раздел механики, в котором изучаются геометри- ческие свойства движений материальных тел без учета их масс и действующих на них сил. В классической механике рассматриваются движения макроско- пических тел со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света. Под движением материального тела в механике понимают про- исходящее с течением времени изменение его положения в про- странстве по отношению к другим телам. Описание движения производится в определенной системе от- счета. Системой отсчета называют систему координат, жестко свя- занную с одним из материальных тел, по отношению к которому изучается движение другого материального тела с течением време- ни. Выбор системы отсчета в кинематике произволен и зависит от целей исследования. Например, при изучении движения колеса ав- томобиля по отношению к дороге, систему отсчета связывают с землей, а при изучении движения того же колеса по отношению к кузову автомобиля - с кузовом и т.д. Механическое движение относительно: одно и то же движение будет различным в разных системах отсчета. Пространство в кинематике рассматривается как трехмерное евклидово, т.е. все геометрические измерения в нем производятся на основании методов геометрии Евклида. Время - мера длительно- сти явления - считается универсальным (абсолютным), т.е. проте- кающим одинаково во всех рассматриваемых системах отсчета не- зависимо от их движения. Время t является скалярной, непрерывно изменяющейся величи- ной, играющей роль независимой переменной, причем t > 0 . Начало отсчета времени выбирается произвольно. Предметом кинематики служат следующие модели материаль- ных тел: • материальная точка, 4 • система дискретных материальных точек (механическая система материальных точек или тел), • сплошная материальная среда и ее частный вид - абсолютно твердое тело. Задачи кинематики Движение рассматриваемого материального тела считается за- данным (известным), если указан способ, позволяющий определить его положение в любой произвольный момент времени относитель- но выбранной системы отсчета. Положение точки или тела относительно данной системы отсче- та определяется соответствующими параметрами (координатами), а движение (или закон движения) - уравнениями, выражающими эти параметры, как функции времени. Задачи кинематики: 1 задача - установить математический способ задания (описания) движения материального тела по отношению к выбран- ной системе отсчета; 2 задача (основная) - зная закон движения материального тела, оп- ределить кинематические характеристики этого движе- ния (траектории различных движущихся точек, их ско- рости и ускорения, угловые скорости и угловые ускоре- ния вращающихся тел и др.). Всякое тело можно рассматривать как систему материальных то- чек. Чтобы полностью определить движение такого тела относи- тельно данной системы отсчета, необходимо знать движение каж- дой его точки относительно той же системы отсчета; следовательно, изучению движения системы точек должно предшествовать изуче- ние движения одной точки. Поэтому кинематика делится на два раздела: кинематика точки и кинематика абсолютно твердого тела. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ Материальной точкой называют тело (имеющее массу), разме- рами и различием движений отдельных точек которого можно пре- небречь. 5 Непрерывная линия, которую описывает движущаяся точка от- носительно выбранной системы отсчета, называется траекторией. В зависимости от формы траектории движение точки может быть прямолинейным или криволинейным. На характер траектории влияет выбор системы отсчета, относительно которой рассматрива- ется движение. Так, например, камень, брошенный вертикально вверх с палубы поступательно и равномерно движущегося парохо- да, будет относительно наблюдателя, находящегося на пароходе, двигаться прямолинейно, а относительно наблюдателя, стоящего на берегу, т.е. связанного с Землей, - криволинейно (по параболе), и т.д. Движение точки считается заданным, если в любой момент вре- мени можно указать положение точки по отношению к выбранной системы отсчета. Для задания движения точки пользуются одним из трех спосо- бов: векторным, координатным, естественным (натуральным). Пер- вый способ чаще всего применяется при теоретических исследова- ниях, а два других - при решении различных практических задач. Все три способа взаимосвязаны, т.е. возможен переход от одного способа задания движения к другому. Векторный способ задания движения точки Положение точки М по отношению к системе отсчета опре- деляется ее радиусом- вектором г , прове- денным из произ- вольной неподвиж- ной точки О (начала отсчета) до движу- щейся точки. При движении точки ее радиус-вектор с течением времени изменяет величину и направление и, следовательно, представляет собой не- которую векторную величину зависящую от времени траектория точки М 6 г = г ( 0 . (1) Уравнение (1) - это уравнение (или закон) движения точки в векторной форме. Траекторией точки при векторном задании движения будет годо- граф радиуса-вектора г . Скорость точки V есть векторная физическая величина, харак- теризующая изменение с течением времени величины и направле- ния ее радиуса-вектора и равная первой производной по времени от радиуса-вектора точки: V - ~ = r . (2) dt Вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории в сторону движения точки. Величина вектора скорости определяется равенством: V = )г[ • (3) Ускорение точки а есть векторная физическая величина, харак- теризующая изменение вектора скорости по величине и по направ- лению и равная первой производной по времени от скорости точки или второй производной от радиуса-вектора точки: _ dV ~ d2f а ,&л а = = V = — = г . (4) dt dt2 Вектор ускорения направлен параллельно касательной прове- денной к годографу скорости V (рис.2). Геометрическое место концов любого переменного вектора при неизменном положении его начала называется годографом. Годографом скорости называют геометрическое место концов векторов скоро- сти движущейся точки отложенных от одной и той же произвольной точки про- странства. 7 траектория Величина вектора ускорения определяется равенством: dV d^ dt dt2 Координатный способ задания движения точки Закон движения Положение точки относительно системы отсчета определяется какими-нибудь тремя координатами, например, прямоугольными декартовыми х, у, z , которые при движении точки меняются с тече- нием времени. Чтобы определить движение точки в этой системе координат, надо задать ее координаты как функции времени, т.е. 8 X = x(t), У — y(t)> (5) z = z(t). Систему уравнений (2) называют уравнениями (или законом) движения точки в декартовых координатах. Кроме декартовой, в механике для изучения движения точки ис- пользуются и другие системы координат, в частности, полярные, сферические, цилиндрические и др. Уравнения траектории точки Уравнения движения (5), определяющие координаты точки в любой момент времени, представляют уравнения траектории точки в параметрической форме, где роль параметра играет время. Для получения уравнений траектории в явном виде необходимо из уравнений движения (5) исключить время. Тогда (6) - уравнения траектории точки. Скорость и ускорение Скорость и ускорение точки в любой момент времени можно найти, вычислив их величину и определив их направление. Величина вектора скорости точки определяется по формуле V = ^V2+V2+V2, (7) dx_ . v = • у dt~X' y dt У' x dt рости на оси координат х, у, z . где Vx = — = х, Vy = ~ = у, Vx= — -z - проекции вектора ско- 9 Направление вектора скорости V может быть определено коси- нусами углов, составляемых им с осями координат: (— \ V - К _ у cos\V ,х) = ~ , cos(V ,у) = cos(F,z) (8) Величина вектора ускорения точки определяется по формуле a = + , (9) где dVx т/ •• d Vy т> ^ У •• dt at 7 dt 7 at dV T> d2z .. az = —- = vz = —r- = z - проекции вектора ускорения на оси ко- dt at1 ординат х, у, z Направление вектора а задается косинусами углов, составляе- мых им с осями координат: _ а _ _ а. cos(а ,х) = — , cos(a,y) = — , cos(a,z) = — . (11) а а а Естественный способ задания движения точки Естественный способ применяется, когда известна траектория точки по отношению к выбранной системе отсчета. Закон движения Положение точки М определяется расстоянием s ~ ОМ от вы- бранного на траектории начала отсчета О, измеренным вдоль дуги траектории и взятым с соответствующим знаком (см. рис.) При движении точки расстояние s меняется с течением времени: 10 i м Рис.3 s = s(t) , (12) где s - дуговая (криволинейная) координата, отсчитываемая от вы- бранного начала отсчета на траектории. Знак s определяют в соответствии с выбранным направлением отсчета дуг. Зависимость (12) называется естественным уравнением (или за- коном) движения точки [по траектории]. Заметим, что величина s в уравнении (12) определяет положение движущейся точки, а не пройденный ею путь, т.к. путь - длина уча- стка траектории, которую проходит точка при своем движении за данный промежуток времени. Таким образом, при естественном способе определения движе- ния точки должны быть заданы: 1) траектория точки; 2) начало отсчета расстояний на траектории с указанием поло- жительного направления отсчета и начальный момент време- ни; 3) закон движения точки вдоль траектории в виде (12). При естественном способе задания движения точки в качестве координатных осей принимают оси естественного трехгранника Френе. Начало подвижной системы отсчета совмещают с движущейся точкой М, а оси направляют по касательной т , нормали п и би- нормали Ь (рис. 4). Единичные векторы касательной т , нормали п и бинормали Ъ ориентированы так же, как орты правой системы координат, т.е. Ь = т х п . Естественные оси координат 11 Рис. 4 Полученная система осей называется естественной, а прямо- угольный триэдр х, п, b с вершиной в точке М - естественным (сопровождающим) трехгранником, движущимся по траектории вместе с точкой М. Следовательно, его ориентация в пространстве изменяется в зависимости от характера траектории и уравнения движения точки по ней. Плоскости образующие естественный трехгранник (см. рис. 4): 1 - нормальная плоскость, 2 - соприкасающаяся плоскость, 3 - спрямляющая плоскость. Скорость точки При задании движения точки естественным способом ее ско- рость находят по формуле: V = V-x, (13) где т - единичный вектор касательной, направленный в сторону возрастающих значений s. Величина скорости точки определяется по формуле 12 и не только характеризует численное значение скорости, но и пока- зывает, в какую сторону движется точка. Вектор скорости, направлен по касательной к траектории в дан- ной точке, причем если s > О, вектор V направлен в сто- рону возрастающих значений s, Рис. 5 если s < О, вектор V направлен в сторону убываю- щих значений s. Рис. 6 Ускорение Ускорение определяется через его проекции на естественные оси координат. Ускорение точки лежит в соприкасающейся плоскости и опреде- ляется как векторная сумма двух взаимно перпендикулярных со- ставляющих: а = аг-т+ап-п=ат+ап, (15) где от называется касательным (или тангенциальным) ускорением, ап - нормальным ускорением. Величина касательного ускорения определяется формулой v V 13 a t - dV_ dt V • dh dt1 - s (16) и характеризует изменение скорости по величине. Оно равно нулю, когда величина скорости остается неизменной. Кроме того, оно об- ращается в ноль в те моменты времени, когда скорость достигает экстремальных значений. Вектор а г направлен по касательной к траектории, причем -О + М а * Рис. 7 если V > 0 , вектор ат направлен в сто- рону возрастающих значений s, если V < 0 , вектор ах направлен в сторону убываю- щих значений s. Рис.8 Величина нормального ускорения определяется формулой где р - радиус кривизны траектории. Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по на- правлению. Оно равно нулю при прямолинейном движении точки, а также в точках перегиба траектории, т.к. в обоих случаях радиус кривизны обращается в бесконечность. Кроме того, нормальное ус- корение обращается в ноль в точках, где V = 0 . Вектор нормального ускорения направлен по нормали к центру кривизны кривой (т.е. в сторону вогнутости кривой). Величина полного ускорения: 14 (17) Вектор ускорения точки а изображается диагональю параллело- грамма, построенного на составляющих ах и ап (см. рис. 9) i . n a„ 1 L a -о+ - M I T / — • Рис. 9 Отклонение вектора а от нормали характеризуется углом р., определяемым формулой: tg \ Л а, п V J = tg\X = la. а„ (18) Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости (т.к. проек- ция ускорения на бинормали а^ = 0 ). Величины касательного и нормального ускорений можно вычис- лить, если движение точки задано координатным способом (У = А(0, x = f2(y), z = f3(z)) по формулам: М \a-V\ axVx+ayVy+azVz № + vy2 + vJ 15 j(axVy - ayVx f + (ayVz - azVy f + (azVx - )2 ° 9 ) V ' + V y + K 2 Частные случаи движения точки Прямолинейное движение. Если траекторией точки является прямая линия, то радиус кривизны равен со. V2 I , ап= — = О, т. к. р = оо -> а = \aJ. (20) Р Равномерное движение. Если при движении точки величина скорости остается постоян- ной, то такое движение называется равномерным. dV ах = 0 , т. к. V = const => а = а п . (21) dt Закон движения S = SQ + Vt, где 50 - начальное положение. Равномерное криволинейное движение аг =0, V2 ап= — * О Р >=> а = а п . (22) Равномерное прямолинейное движение а- = 0 1 = (23) ап = 0J Равнопеременное (равноускоренное или равнозамедленное) движение. Если при движении точки касательное ускорение постоянно ( ах — const Ф О ) то такое движение называются равноперемен- ным {равноускоренным, если ах > 0 , и равнозамедленным, если а т < 0) . Закон изменения скорости: V ~V0 + axt, где V0 - начальная скорость точки. Закон движения: a j 2 s = Sq + Vyt + , - начальное положение точки. Связь между векторным, координатным и естественным способами задания движения Аналитически г можно представить r=r{t) = x(t)i+y(t)] + z{t)k, (24) а дугу, как известно из дифференциальной геометрии, s = s0 + jy]x2+y2~+Pdt. (25) о ЗАДАНИЕ К1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ ПО ЗАДАННЫМ УРАВНЕНИЯМ ЕЕ ДВИЖЕНИЯ По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t — t\ (с) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное уско- рения, а также радиус кривизны траектории в соответствующей точке. Необходимые для решения данные приведены в табл 1. 17 Таблица) №№ Уравнения движения tx, с х = x(V) ,см У = : K 0 >CM 1 - 2 ; 3 + з ~5t 1/2 2 4cos(7t/V3) + 2 4sin2(7tf/3) 1 3 - c o s ( 7 t f 2 / 3 ) + 3 s i n ( 7 t f 2 / 3 ) - l 1 4 4t + 4 - 4 / ( / + l) 2 5 2 sin(7t/ / 3) - 3 c o s ( n f / 3 ) + 4 1 6 3t2 + 2 -At 1/2 7 3t2-t + \ 5 / 2 - S t / 3 - 2 1 8 7sin(u/2 / 6 ) + 3 2-7COS(JI Г 2 / 6 ) 1 9 - 3 /(/ + 2) 3t + 6 2 10 - 4 c o s ( j t / / 3 ) ~2sm(nt/3)~3 1 11 - 4 / 2 + l -3t 1/2 12 5sin2(7tf/6) - 5 c o s 2 ( 7 t f / 6 ) - 3 I 13 5COS(^ 2 /3 ) - 5 s i n ( 7 i r 2 / 3 ) 1 14 -2t~2 - 2 / ( f + l) 2 15 4cos (^/3) - 3 s i n ( 7 t / / 3 ) 1 16 3t 4 / 2 + l 1/2 17 7 s i n ( ^ / 6 ) - 5 ~7cos2(7t//6) 1 18 l + cos(7tf 2 /3) 3 s i n ( ^ 2 / 3 ) + 3 1 19 - 5 f 2 ~ 4 3t 1 20 2-3t-6t2 3-3t/2-3t2 0 21 6sin(nt2 /6)-2 6cos ( i t f 2 / 6 ) + 3 1 22 It2 - 3 St 1/4 18 Окончание табл. 1 23 3 - 3 t 2 + t 4-5t2+5t/3 1 24 - 4 c o s ( 7 W / 3 ) - l -4sin(7n73) 1 25 -6t -It2-4 1 26 8 c o s 2 ( я ? / 6 ) + 2 - 8 s i n 2 ( 7 t f / 6 ) - 7 1 27 - 3 -9sin(7i/ 2 / 6 ) - 9 c o s ( 7 t f 2 / 6 ) + 5 1 28 -4t2+l - 3 1 1 29 5t2 + 5 / / 3 - 3 3t2 +t + 3 1 30 2 c o s ( 7 t f 2 / 3 ) - 2 - 2 s i n ( 7 t f 2 / 3 ) + 3 1 КИНЕМАТИКА МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА Абсолютно твердым телом называют такое тело, расстояние между двумя любыми точками которого всегда остается неизмен- ным. Каждое тело состоит из совокупности точек, и определение по- ложения тела относительно данной системы отсчета сводится к оп- ределению положения каждой точки этого тела относительно той же системы отсчета. Однако для определения положения тела нет надобности опре- делять положение каждой точки тела. Вместо этого в кинематике твердого тела устанавливают способы определения положения все- го тела в целом относительно выбранной системы отсчета. Для это- го по аналогии с понятием координат точки устанавливается поня- тие обобщенных координат тела. Независимые между собой параметры, однозначно определяю- щие для каждого момента времени положение тела относительно выбранной системы отсчета, называются обобщенными координа- тами тела ( q j , где j = 1, 2,...). В качестве обобщенных координат, выбор которых зависит от конкретной задачи, принимают не только декартовы, сферические и другие координаты, но и любые величины, однозначно определяю- 19 щие положение рассматриваемого тела и имеющие размерности длины, площади, угла и т.д. Уравнения движения тела qj=qj(.t), j = \,2,- (26) Однако "механическое" состояние тела в данный момент време- ни не определяется только значениями обобщенных координат. Де- ло в том, что при заданных q j ( j = 1, 2,...) тело может обладать произвольными скоростями, а в зависимости от значений последних по истечении элементарного промежутка времени может изменять- ся и положение тела. Поэтому состояние тела можно полностью определить и даже предугадать его дальнейшее движение, задав одновременно независимые обобщенные координаты и обобщен- ные скорости. Производные независимых обобщенных координат q j по вре- мени представляют собой обобщенные скорости: Очевидно, что каждой обобщенной координате q j соответствует обобщенная скорость q j , причем,она может иметь размерность, отличающуюся от размерности обычной скорости. Поступательное движение твердого тела Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором любая прямая, содержащая две точки тела, движется параллельно самой себе. Поступательное движение не следует смешивать с прямолиней- ным. При поступательном движении тела траектории его точек мо- гут быть любыми кривыми линиями. Свойства поступательного движения твердого тела определяют- ся следующей теоремой. 20 Все точки твердого тела при поступательном движении опи- сывают одинаковые траектории и имеют в каждый момент вре- мени одинаковые по величине и по направлению скорости и ускоре- ния. Из теоремы следует, что изучение поступательного движения тела сводится к задаче кинематики точки. Уравнениями поступательного движения твердого тела являются уравнения движения любой точки этого тела (обычно уравнения движения его центра тяжести точки С). г с - г ( 0 или * с = *(0> Ус=У( О, (28) = z (0 - Поступательно движущееся тело имеет три обобщенные коорди- наты, однозначно определяющие положение этого тела (qy = х с , При поступательном движении общую для всех точек тела ско- рость V называют скоростью поступательного движения тела, а ускорение а - ускорением поступательного движения. Векторы V и а можно, очевидно, изображать приложенными в любой точ- ке тела. Заметим, что понятия о скорости и ускорении тела имеют смысл только при поступательном движении. Во всех остальных случаях точки тела движутся с разными скоростями и ускорениями и тер- мины «скорость тела» или «ускорение тела» для этих движений те- ряют смысл. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси Вращательное движение - это движение твердого тела, при ко- тором две точки, принадлежащие телу, остаются во все время дви- жения неподвижными. 21 Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения z. Положение тела, совершающего вращательное движение, определя- ется углом ф между проведенными через ось вращения неподвижной полуплоскостью I и полуплоскостью II, жестко связанной с телом и вра- щающейся вместе с ним (рис. 10). При этом за положительное направ- ление отсчета угла ф обычно при- нимают направление, противопо- ложное направлению вращения ча- совой стрелки, если смотреть с положительного направления коор- динатной оси z , совмещенной с осью вращения тела. Все точки тела за один и тот же промежуток времени поворачи- ваются вокруг оси на одинаковый угол, потому уравнение, опреде- ляющее изменение этого угла как функции времени, Рис. 10 Ф = Ф(0. (29) где ф -,угол поворота тела. Это уравнение называется уравнением (или законом) вращательного движения твердого тела вокруг не- подвижной оси. Угол поворота тела обычно измеряют в радианах, но иногда в практических задачах его выражают числом оборотов и определяют по формуле ф = 2KN, (30) где N - число оборотов. При вращательном движении вокруг неподвижной оси положе- ние тела определяется одной обобщенной координатой (q = ф). 22 Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость и угловое ускорение. Угловая скорость твердого тела характеризует быстроту изме- нения угла поворота твердого тела и ее можно определить как век- тор, расположенный на оси вращения и равный « = (ok, (31) где а>: dtp dt = ф - алгебраическая угловая скорость вращения тела; к - единичный вектор координатной оси z (оси вращения). Вектор угловой скорости направлен по оси вращения в ту сторо- ну, откуда оно видно происходящим против хода часовой стрелки (рис. 11). рис. И Величина угловой скорости равна модулю вектора й) и опреде- ляется как модуль проекции (oz либо как модуль алгебраической угловой скорости тела при его вращении вокруг неподвижной оси: Ш = |й| = |ю2| = |ф|. (32) Знак ф определяет направление вращения. 23 Когда ф > 0 , на- правление вращения ю совпадает с положи- тельной координатой Ф (рис. 12) Рис. 12 когда ф < 0 , на- правление вращения со не совпадает с по- ложительной коор- динатой ф (рис. 13). Рис. 13 При отсчете угла поворота в радианах и измерении времени в се- рад кундах угловая скорость измеряется в или с . с В технике угловую скорость часто определяют числом оборотов в минуту (п об/мин). Связь между этими единицами измерения да- ется формулой ю-п (33) 2% __ ш 60~ 30 ' Угловое ускорение характеризует быстроту изменения угловой скорости тела с течением времени и его можно определить как век- тор 24 dt (17) где s = d 0 или направлен в проти- воположную сторону при ez = ф < 0 . Векторы £0 и 8 являются скользящими векторами, располо- женными на оси вращения тела и не имеющими на ней конкретной точки приложения. Вращательное движение называется равномерным, если во все время движения со = const, и равнопеременным, если во все время движения в = const Ф 0 . Вращательное движение называется уско- ренным, если <а > 0 , и замедленным, если со < 0 . Если со и s имеют одинаковые знаки вращение будет ускорен- ным. Если со и е имеют разные знаки вращение будет замедленным. Свойством вращательного движения твердого тела можно считать то, что траектории всех точек этого тела являются окруж- ностями, лежащими в плоскостях, перпендикулярных оси враще- ния. Центры всех этих окружностей лежат на оси вращения, а радиу- сы равны кратчайшему расстоянию от этих точек до оси вращения. (35) рад Единица измерения углового ускорения — или с с - 2 25 Скорость точки М тела V = о5хг (17) Формула (36) называется вектор- ной формулой Эйлера. Величина (модуль) скорости точки тела при этом определится как мо- дуль соответствующего векторного произведения, т.е. V = |с0хр| = ЮГ sin(co, F) = ah. (37) Рис. 14 Скорость точки М V = т-ОМ . Вектор V направлен в сторону вращения по со. Ускорение точки М тела a =az+an. (38) ах - авр = V = © • ОМ = е • ОМ, V 2 2 а„-аи= со ОМ, п 4 ОМ (39) (40) л • а - ^а2 + 02 -OM-Js^fco^, /g(0.= ап а* Векторные выражения скорости и ускорения точки вра- щающегося тела. V — ю х г - формула Эйлера а = о Т + а п = e x F + t o x F . (41) 26 ЗАДАНИЕ К2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ ТОЧЕК ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРИ ПОСТУПАТЕЛЬНОМ И ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИЯХ По заданному уравнению прямолинейного поступательного движения груза 1 определить скорость, а также вращательное , цен- тростремительное и полное ускорения точки М механизма в момент времени, когда путь, пройденный грузом, равен s. Схемы механиз- мов показаны на рис., а необходимые для расчета данные помеще- ны в табл. 2. Таблица 2 №№ Радиусы, см Уравнение движе- ния груза 1 х = x(t) (х — в см, / — в с) S ,M *2 >2 Г* 1 60 45 36 - 10 + 100/2 0,5 2 80 - 60 45 т 2 0,1 3 100 60 75 - 18 + 70/2 0,2, 4 58 45 60 - 50/2 0,5 5 80 - 45 30 8 + 4 0 1 2 0,1 6 100 60 30 - 5 + 60/2 0,5 7 45 35 105 - 7 + 9 Ot2 0,2 8 35 10 10 - 4 + 301 2 0,5 9 40 30 15 - 3 + 8 0 1 2 0,2 10 15 - 40 35 10t2 0,4 11 40 25 20 - 5 + 40/2 0,3 12 20 15 10 - 2 + 5 0 ; 2 0,1 13 30 20 40 - 60/2 0,4 14 15 10 15 - 6 + 20/ 0,1 15 15 10 15 - 8 + 40/2 0,3 27 Окончание табл. 2 1 Е 20 15 15 - 3 + 40Г2 0,4 17 15 10 20 - 80/2 0,6 18 20 15 10 - 4 + 20* 0,3 19 15 10 20 - 5 + Ш2 0,2 20 25 15 10 - 5011 0,3 21 20 10 30 10 4 + 90/2 0,5 22 40 20 35 - 10 + 40/2 0,5 23 40 30 30 15 7 + 40* 0,6 24 30 15 40 20 9 0 t 2 0,2 25 50 20 60 - 2 + 501 0,5 26 32 16 32 16 5 + 60/2 0,1 27 40 18 40 18 6 + 30f 2 0,3 28 40 20 40 15 5 Ot2 0,4 29 25 20 50 25 30 + 301 0,6 30 30 15 20 - 5 + 6012 0,2 1 2 - t b , ix 2 M r f ^ ^ J ] 3 у Ф ^ 2 IX 4 / X Y ' Y ^ З^Г У i . ^ S ^ ^ s 3 V ^ M / Е ,2 i x 28 30 31 ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА Ул Плоскопараллельным движением твердого тела называется та- кое движение, при котором все точки тела движутся параллельно какой-нибудь неподвижной плоскости. Движение всего тела определяется движением сечения тела S плоскостью, параллельной условно неподвижной плоскости N. У | Положение плоской фигуры оп- { ределяется положением отрезка АВ (рис. 15). Положение отрезка АВ определяется тремя парамет- рами: координатами точки А(ХА,УА) и углом ф, который отрезок АВ образует с осью х. Произвольная точка А назы- вается полюсом. Уравнения движения твердого хА = x(t), тела уА = y(t), ф = ф(0- Плоскопараллельное движение можно представить как совокуп- ность двух движений: поступательного движения, зависящего от выбора полюса, и вращательного движения вокруг полюса, причем угол и направление поворота от выбора полюса не зависят. Плоскопараллельное движение твердого тела можно рассматри- вать как вращательное вокруг мгновенной оси вращения. ха Рис. 15 32 Определение скоростей точек тела при плоскопараллельном движении Первый способ Скорость любой точки М тела при плоскопараллельном движе- нии равна геометрической сумме скорости полюса А и скорости данной точки во вращательном движении вокруг полюса. V M = V A + V M A , (42) гДе Ума = « х ^ М , Уш =а>- AM^ (43) Вектор VMA направлен перпенди- кулярно к AM в сторону вращения фигуры. Величину скорости точки М можем найти следующим образом: 1) по теореме косинусов Рис. 16 cos(VA, VMA ) • (44) 2) можно спроектировать равенство (1) на взаимно перпендикуляр- ные оси лги у Умх = У Ах + ^МАХ , . П/2 , т/2 /Лс\ ( 4 5 > Второй способ Теорема о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры на прямую, соединяющую эти точки. 33 Проекции скоростей точек плоской фигуры на прямую соединяющую эти точки, равны. ПР(¥Л)ЛВ = пР(УВ)АВ (46) ) 'АВ ИЛИ Рис. 17 VA cos o.-VB cos P . (47) Третий способ Определение скорости с помощью мгновенного центра скоро- стей. Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется точка, ско- рость которой в данный момент времени равна нулю. Через МЦС перпендикулярно плоскости Для нахождения мгновенного центра скоростей достаточно знать направления скоростей двух каких-либо точек плоской фигуры. Мгновенный центр скоростей находится на пересечении перпенди- куляров, восстановленных из данных точек к направлениям их ско- ростей. движения проходит мгновенная ось враще- ния VM =(й-МР =>а> = ^~ МР (48) Рис. 18 Способы нахождения МЦС Ю АР BP (49) Рис. 19 34 Если эти перпендикуляры сливаются в один, то для нахождения мгновенного центра скоростей надо дополнительно знать величины скоростей. Мгновенный центр скоростей находится в этом случае в точке пересечения общего перпендикуляра и прямой, соединяющей концы векторов скоростей. Рис. 20 Va=аШ=аМА=«>2-АМ • ( 5 4 ) Окончательно: а м = a A + a l , A + a 1 f A . (55) - Рис. 24 37 I 2 2 Величину а м = а М х + а М у находят аналитически - методом проекций. Основные способы вычисления углового ускорения 1) Если известно ф = ф(/) или © = со(/) d(£> . d2

= Щ 10 15 50 - 25 - - VQ = 8 0 см/с 11 27 — - 34 12 2,5 12 20 25 50 35 — 2 13 22 44 - - 15 - F 0 = 100 см/с 14 60 25 — 35 — 1,4 15 25 60 — — 15 1,6 16 27 - - - 12 1,2 coj = 3 с"1 17 16 — — - 8 0,6 18 22 36 72 25 - 2,4 19 23 57 — — 14 1,5 20 23 56 - - - 4 21 24 24 24 35 - 3 22 25 - - 40 10 2 23 26 - - 36 12 1 24 17 12 32 15 — 2,1 25 28 75 - 15 10 2,5 26 12 54 25 42 - 2,2 27 55 - - - 10 1,8 39 Окончание табл. 3 28 25 - - 30 10 2,3 OjC = 36 см 29 16 25 50 35 - 2 30 16 60 - 14 10 1,5 П р и м е ч а н и е . Качение колес происходит без скольжения. * В вариантах 5 и 16 задана также угловая скорость со, шестерни / ; в вариантах 10 и 13 задана скорость V0 центра О. 1 А 2 3 С 4 С | V Вф /У if У/ f 60° 0° 5 6 40 42 ЗАДАНИЕ К4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ ТОЧЕК ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРИ ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ Найти для заданного положения механизма скорости и ускоре- ния точек В и С. Схемы механизмов помещены на рис., а необходимые для расче- та данные приведены в таблице 4. Таблица 4 № ва- ринта Радиусы, см ®ОА> с 1 ш,, с 1 гОА'С 2 VA,CM ./с 03А,с м/с2 OA г АВ АС 1 40 15 - 8 2 - 2 - - 2 30 15 — 8 3 - 2 — - 3 — 50 - — — - - 50 100 4 35 — — 45 4 - 8 — - 5 25 - - 20 1 - 1 - - 6 40 15 - 6 1 - 0 — - 7 35 - 75 60 5 - 10 - - 8 - - 20 10 - - _ 40 20 9 - - 45 30 - - - 20 10 10 25 - 80 20 1 - 2 - - 11 - - 30 15 - - - 10 0 12 — - 30 20 - - - 20 20 13 25 - 55 40 2 - 4 - - 14 45 15 - 8 3 12 0 - - 15 40 15 - 8 1 - 1 - - 16 55 20 - - 2 - 5 - - 17 — 30 10 - - - 80 50 18 10 - 10 5 2 - 6 - - 19 20 15 - 10 1 2,5 0 - - 20 - — 20 6 - - — 10 15 21 30 — 60 15 3 — 8 — - 22 35 - 60 40 4 — 10 - - 23 - 60 20 - - - 5 10 44 Окончание табл. 4 2 4 25 - 35 15 2 — 3 — - 25 20 - 70 20 1 — 2 _ 2 6 20 15 - 10 2 1,2 0 — 2 7 - 15 - 5 - - - 60 30 2 8 20 - 50 25 1 - 1 — — 2 9 12 - 35 15 4 — 6 — — 30 40 - - 20 5 - 10 - - П р и м е ч а н и е . 1.) О И - угловая скорость и угловое ускорение криво- шипа OA при заданном положении механизма; 2.) СО] - угловая скорость колеса /(постоянная); 3,)VA и -скорость и ускорение точки А. 4.)Качение колеса про- исходи! без скольжения. 45 СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ До сих пор мы рассматривали движение точки (или тела) по от- ношению к одной заданной системе отсчета, которую считали ус- ловно неподвижной. Однако в ряде случаев при решении задач механики оказывается удобным рассматривать движение точки (или тела) одновременно по отношению к двум системам отсчета, из которых одна считается условно неподвижной, а другая определенным образом движется по отношению к первой. Основные понятия Сложным (составным) называется такое движение, при котором точка движется по отношению к системе отсчета, которая в то же время вме- сте с точкой движется относитель- но другой условно неподвижной системы отсчета. X, Рис. 26 Пусть точка М движется по отношению к системе отсчета Oxyz, которая в свою очередь движется относительно условно неподвиж- ной системы отсчета 0\X\y\Z\. 49 Движение точки М по отношению к подвижной системе отсчета называется относительным. Движение подвижной системы отсчета по отношению к непод- вижной системе отсчета называется переносным. Движение точки М по отношению к неподвижной системе от- счета называется абсолютным. Подвижная система отсчета (тело) совершает произвольное дви- жение (поступательное, вращательное, плоскопараллельное и дру- гие). Скорость и ускорение точки относительно неподвижной систе- мы координат будем называть абсолютной скоростью и абсолют- ным ускорением (V, а Скорость и ускорение точки относительно подвижной системы координат будем называть относительной скоростью и относи- тельным ускорением ar j. Переносной скоростью и переносным ускорением будем назы- вать скорость и ускорение той точки подвижной системы координат (тела) с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка (Ve, ае ) относительно неподвижной системы отсчета.. Теорема о сложении скоростей Абсолютная скорость точки М равна геометрической сумме пе- реносной и относительной скоростей этой точки. V = ve + vr (58) Модуль и направление абсолютной скорости можно определить одним из способов: 1) пользуясь теоремой косинусов V = 4Ve +K2+2Ve vr cos(Ve, Vr) 2) пользуясь теоремой синусов 50 V _ _ Ve _ _ К _ sin(Fe, sm(F,F r) sin(F, Fe) 3) аналитически: проектированием равенства (58) на взаимно перпендикулярные оси хуг. ' Vy = К, + К, =>У = IJK2 + Vy + Vz ' V;=Vei+Vrz Теорема Кориолиса При непоступательном переносном движении абсолютное уско- рение точки равно геометрической сумме переносного, относи- тельного и кориолисова ускорений. а -ае+аг +ас, ас = 2сое х Vr, где Ше - угловая скорость переносного вращения, Oq — кориолисово ускорение. З а м е ч а н и е : В случае поступательного переносного движения: м, = 0 => а с = 0 => абсолютное ускорение точки находится как сумма ее переносно- го и относительного ускорений. Ускорение Кориолиса ас =2(Ье х Vr, ас = 2(0 eVr sin(roe, Vr) т.к это ускорение появ- ляется в случае вращения подвижной системы отсчета, его еще на- зывают поворотным ускорением. Направление вектора а с можно определить следующими пра- вилами: 51 По правилу векторного произве- дения: а с направлен, как и век- тор (0 exV r , т.е. перпендикулярно плоскости, проходящей через век- торы юе и Vr в ту сторону, отку- да кратчайший поворот от сое к Vr виден против часовой стрелки. По правилу Жуковского: для оп- ределения направления а с надо проекцию вектора относительной скорости Vr на плоскость (пр. Vr), перпендикулярную век- тору угловой скорости ше, (пр. Vr), повернуть на угол 90° вокруг оси вращения в направле- нии (переносного) вращения тела, т.е. по (йе. Ускорение Кориолиса характеризует 1) изменение относительной скорости точки, вызванное перенос- ным движением; 2) изменение переносной скорости точки вследствие ее относитель- ного движения. Ускорение Кориолиса равно нулю в следующих случаях: а) когда й)е = 0 (переносное движение является поступатель- ным) а с = 0 , т.к. ше = 0 ; б) в момент времени, когда Vr = 0 (в те моменты времени, когда проходит изменение направления относительного движения или в случае относительного покоя; *)йе\\К. 52 ас = 2(oeVr sin(юе, F r ) =j sin(c5e, F r ) = sinl80° = 01= 0 . ЗАДАНИЕ K5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АБСОЛЮТНОЙ СКОРОСТИ и АБСОЛЮТНОГО УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ В СЛУЧАЕ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ПЕРЕНОСНОГО ДВИЖЕНИЯ По заданным уравнениям относительного движения точки М и переносного движения тела D для момента времени t = t\ опреде- лить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М. Схемы механизмов показаны на рис., а необходимые для расчета данные приведены в таблице 5. П р и м е ч а н и е : В вариантах 1, 5, 6, 13-16, 23 ,25, 30 OAf-дуга окружности; для каждого варианта положение точки М на схеме соответствует положительному значению Sr; на схемах 14 и 30 OAf-дуга, соответствующая меньшему централь- ному углу. 53 sd • ST s ч « н П ри ме ча ни е S о 00 "sl- О 00 in о fsl •к» О vo 1 It + 0 ,2 f3 о + о .s ' + ^ + illj О К (N V m + 1 CN О го см о го о CN o /Зд(1 + s i n l O 2 4 50 - 2 7 Ф = lOZ-O.K2 ОЛ/=5 = яЛ(1 -cosiE/) 2 25 - 1 8 Ф = 8/2 - 3/ XAf=5'=^( l - c o s " * ) 2 30 - 2 9 ф = 2? - Z2 AM=S = Л R(l + s i n* r ) 2 2 50 - 2 10 Ф = 0,8f3 AM= S= J* R (I-srnlt) 2 2 40 - 3 11 Ф = f3 - 5* AM=S~ ^ R( 1 + c o s ! 0 2 4 30 - 4 12 Ф = It2 - 0,51 AM=S= 1 -COS*0 2 2 25 - 0 13 Ф = 0,6^ CM-S= a (1 - s i n * / ) 2 2 - 30 3 14 ф = ^ AM-S= a (1 - c o s I O 2 3 - 30 3 15 Ф = 3/-/ 2 AM= S= a (1 + s i n 7 l 0 2 4 - 40 2 16 Ф = 0,5/2 CM=S= a (1 - c o s l / ) 2 2 - 35 2 17 Ф = о,зР OM=S= a ( 1 - c o s ^ O 2 6 - 30 3 18 Ф = 2/ - CM=S= a (1 + c o s ^ 0 2 6 - 25 3 19 Ф = 3/ - /2 DM=S- a (1 + s i n I t ) 2 6 - 40 3 20 Ф = 2/-13/18 DM=S= ( i + s i n l / ) 2 4 - 35 6 61 Окончание табл. 6 21 Ф = 1,4?3 5 = лД (1 + COS7C/3/) 50 1 22 <р = 1 - 4/3 2 45 - 3 23 Ф = 0,1/3 AM=S= a (1+cosEt) 2 2 50 - 4 24 ф = 0,2^ 2 2 40 - 3 25 Ф = 12-ЗГ2 ОМ= S = %R( 1 - COSTTO 30 - 1 26 ф = 6 Г-Г2 AM= S = R (1 + sin7t/80 25 4 27 ф= 12 - З/2 AM = S — TtR (1 — cos к t) 30 - 1 28 ф = 6/ -Г2 AM=S=R(l + sin!t) 2 25 4 29 ф = / - / 2 AM=S = nR(l +sinZE0 2 25 - 3 30 Ф = 2/ (1 + 0 AM=S = nR(l-cosit/2t) 50 4 62 63 64 65 ЗАДАНИЕ К7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АБСОЛЮТНОЙ СКОРОСТИ И АБСОЛЮТНОГО УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ В СЛУЧАЕ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ПЕРЕНОСНОГО ДВИЖЕНИЯ По заданным уравнениям относительного движения точки М и переносного движения тела D определить для момента времени t = t\ абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М. Схемы механизмов показаны на рис., а необходимые для расчета данные приведены в таблице 7. 66 Таблица 7 № вари анта Уравнение движения тела D <Ре = / i ( 0 » p a Д Уравнение отно- сительного дви- жения точки М OM=sr =f2(f), см h>c CM а, с M a , град 1 2 t 3 -12 1 8 s i n ( ^ ) 2/3 - 25 - 2 0,4t2 +t 20sin(TtO 5/3 20 - - 3 21 + 0 ,5 / 2 б?3 2 - 30 - 4 0 ,6t2 1 0 s i n ( ^ ) 1 - - 60 5 3t-Q,5t3 407ICOS(TC?/6) 2 30 - - 6 0,75/ +1 ,5 / 2 150тг/2 1/6 25 - - 7 0,5?2 20cos(2nr) 3/8 - 40 60 8 t3 -St 6(/ + 0 , 5 / 2 ) 2 - - 30 9 4t + lt6t2 10 + 10sin(2u0 1/8 - - - 10 1,2 t-t1 20rccos(7tf/4) 4/3 20 20 - 11 2t2 - 0 , 5 ? 25 sin(7c/ / 3) 4 - 25 - 12 5/ - 4 / 2 1 5 л / 3 / 8 2 30 30 - 13 &t2-3t 120я/ 2 1/3 40 - - 14 At-2t2 3 + 14sin(7t/) 2/3 - - 30 15 0,2t3 +t 5-\/2(/2 + / ) 2 - 60 45 16 t-0,5t2 20sin(Tt/) 1/3 - 20 - 17 0,512 8 / 3 + 21 1 4л/5 - 18 8 t-t2 m + t3 2 - 60 19 t + 3t2 6t + 4 / 3 2 40 - - 67 Окончание табл. 7 20 6t + t2 3071 COs(7t//6) 3 60 - - 21 2t-4t2 25тс(/ + / 2 ) 1/2 25 - - 22 At - 0,2f2 107tsin(7c//4) 2/3 30 - - 23 It - 0 ,25 / 2 3t2+4t 2 - - 30 24 2t-0,3t2 75я(0,к + 0 , 3 / 3 ) 1 30 - - 25 I0t-0,lt2 15sin(jtf/3) 5 - - - 26 - 2 7 r / 2 8 cos(7i/ / 2) 3/2 - - 45 27 r - 0 , 5 r 3 10л/2я cos(2^0 1/8 30 - - 28 2/3 - 5? 2 ,5л/ 2 2 40 - - 29 0 , 6 / 2 6V6sin(u//16) 4 36 - 30 30 2t2-3t 5л/3/3 /3 2 20 - 30 П р и м е ч а н и е : В вариантах 5, 6, 10, 12, 13, 20-22, 24, 27, 28 ОМ- дуга окруж- ности; для каждого варианта положение точки М на схеме соответствует положи- тельному значению SR ; на схемах 5, 10, 12, 21, 24, 27 ОМ-дуга, соответствующая меньшему центральному углу. 1 2 68 11 о м 13 14 MS/ V я ( D Г - М м $ il- ls 16 17 18 D о %Л а " а 70 71 Кинематика планетарных и дифференциальных цилиндрических зубчатых передач Планетарной зубчатой передачей называется передача у кото- рой одно центральное колесо неподвижно, а остальные колеса на- ходятся в последовательном зацеплении и приводятся в движение за счет того, что их оси установлены на вращающемся кривошипе, ось вращения которого совпадает с осью неподвижного колеса. 72 Если в планетарной передаче сообщить независимое от криво- шипа вращательное движение и центральному колесу, то такая зуб- чатая передача называется дифференциальной. Рис. 30 Соединение зубчатых колес, у которых все зубчатые колеса вра- щаются относительно неподвижных осей, называются рядовой зуб- чатой передачей. Рис.31 Всякая рядовая передача характеризуется передаточным числом U, под которым понимают отношение угловой скорости ведущего колеса к угловой скорости ведомого: и1 п = f \ со, V ю * У (-1 г , (59) где т - число внешних зацеплении. 73 Определение кинематических характеристик для звеньев плане- тарных или дифференциальных передач производится следующими способами: 1. Способ сложения векторов угловых скоростей враща- тельных движений: переносного, относительного и абсолютного. При данном способе применяется геометрическое равенство = ше + ю г , (60) где 65 - вектор абсолютной угловой скорости; 65 е - вектор переносной угловой скорости; шг - вектор относительной угловой скорости. Если оси вращения валов параллельны, то геометрическое ра- венство (60) заменяют алгебраическим &а = ю е + ю г . Положение вектора абсолютной угловой скорости определяется по правилам сложения параллельных векторов. Вектор абсолютной угловой скорости совпадает по направлению с мгновенной осью вращения. 2. Способ использования мгновенного центра скоростей. В том случае, если положение МЦС известно или может быть опреде- лено из условий задачи, величину и направление абсолютной угло- вой скорости (йа звена можно получить по формуле V где h — расстояние от точки до МЦС, Va - абсолютная скорость. Величина относительной угловой скорости определяется из ра- венства (60). 3. Способ «остановки» или метод Виллиса. 74 Данный способ является наиболее удобным для определения аб- солютных и относительных угловых скоростей элементов диффе- ренциальных и планетарных передач. Он заключается в преобразовании рассматриваемой зубчатой пе- редачи в рядовую зубчатую передачу и в использовании соответст- вующих кинематических соотношений. Для этого мысленно останавливают кривошип планетарной или дифференциальной передачи, сообщив всем звеньям передачи угло- вую скорость равную угловой скорости кривошипа, но обратно на- правленную. Тогда угловая скорость кривошипа будет равна нулю, а угловые скорости зубчатых колес будут равны разностям своих начальных угловых скоростей и угловой скорости кривошипа. После мысленной остановки кривошипа отношение угловой ско- рости ведущего колеса к угловой скорости я-го ведомого колеса равно соответствующему передаточному числу U\n, получаемому как и для рядового зубчатого зацепления, т.е. (61) сз„-ю к р т п - искомая угловая скорость и-го колеса, Ю] - угловая скорость ведущего колеса, соКр - угловая скорость кривошипа, [/}„ - передаточное число зубчатой передачи т - число внешних зацеплений. Формула (61) называется формулой Виллиса. Формула Виллиса пригодна для всех видов зубчатых передач, например при со} Ф О, <вкр Ф 0 - дифференциальная передача при C0j = 0 , юкр Ф 0 - планетарная передача при СО] Ф 0 , юкр = 0 - рядовая передача. 75 ЗАДАНИЕ К9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ ЗВЕНЬЕВ ПЛАНЕТАРНОГО РЕДУКТОРА С ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ КОЛЕСАМИ Найти угловые скорости ведомого вала II и сателлитов редуктора. Схемы редукторов показаны на рис., а необходимые для расчета данные приведены в таблице 8. Таблица 8 № вари анта Радиус, см Частота вращения, об/мин Л г2 >3 ГА г 5 г6 п j "1 «4 « 5 " 6 1 15 20 15 20 - - 2000 - -100 - - 2 30 30 15 45 - - 3500 - - - - 3 50 15 20 10 10 - 1000 -300 - - 2 0 0 - 4 20 30 20 120 - - 100 - - - - 5 20 25 15 30 - 10 1600 - - - 500 6 80 15 35 30 - - 1200 -200 500 — _ 7 50 10 15 55 - - 800 - - - - 8 20 15 25 60 - - 3000 - - 300 - 9 60 10 20 70 20 15 600 - - - -600 10 90 15 15 30 50 10 200 - - - 400 И 25 20 65 15 15 - 2500 - - - 3 0 0 - 12 30 15 30 75 - - 3300 - 700 - - 13 20 30 15 35 - - 300 1000 - - - 14 100 30 20 50 - - 400 - 5 0 0 - - - 15 15 5 9 11 - - 2700 - - 200 - 16 75 30 20 25 15 15 1200 - - - 3000 17 75 20 15 70 15 20 500 - - 1600 18 20 12 16 48 18 4 1100 - - - 2000 19 15 7 5 17 - - 700 - 200 - • - 20 10 10 12 54 - - 2000 — -100 - 21 15 10 10 55 20 10 3500 - - 500 22 50 10 15 55 - - 300 - - 3 0 0 - - - 23 15 30 15 60 - - 2400 - - 400 - 24 24 12 48 12 8 - 500 - - 2300 - 25 40 10 20 10 - - 600 - - -200 - 26 50 15 10 25 - - 500 -300 - - 27 30 10 15 55 6 4 200 - - 1000 76 Окончание табл. 8 ГЦПЙ 40 10 20 50 - - 400 - - - 3 0 0 - 29 15 15 10 40 10 6 1300 - - - 1300 'То 50 10 10 50 - - 400 400 - - - П р и м е ч а н и е . Положительный и отрицательный знаки у угловых скоростей (частот вращения) означают соответственно направление вращения против хода и по ходу часовой стрелки, если смотреть со стороны ведущего вала I. 1 3_ 4- ш п 2- 1- ~3 А -П Гу-2 .3 И - 4 э-ъЕ 1 j Л •п к , pf 1 _ Г •п 3 4 1 к-г- п 3 -4 -П 77 78 _т I ~ г f - п Л i X 1—1 {in M -П 79 80 Рекомендуемая литература 1. Курс теоретической механики: Учебник для вузов / В.И. Дронг, В.В. Дубинин, М.М. Ильин )и др!,'. Под общей ред. К.С. Колесникова. - М: Издво МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. 2. Добронравов ,В-В, Никитин ,Н.Н. курс теоретической механики. М., 1983. 3. Тар г, С.М. Курс теоретической механики. М., 1963 и последующие издания. 4. Яблонский,А.А. Курс теоретической механики, ч. II. М., 1971 и последующие издания. 5. Яблонский,А.А., Норейко>С.С. Курс теории колебаний. М., 1966 и последующие издания. 6. Айзенберг, Т.Б., Воронков, И.М., Осецкий, В.М. Руководство к решению задач по теоретической механике. М., 1986. 7. Бать, М.И., Джанелидзе, Г.Ю., Кельзон, А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах, ч. И. М., 1961 и последующие издания. 8. Алехнович, Г.Н. J и др.]. Учебно методическое пособие по теоретической механике "Руководство к решению задач по теоретической механике" / Г.Н. Алехнович, Т.Ф. Богинская, Ю.В. Василевич, Е.С. Селицкая, О.Н. Скляр, В.Д. Тульев, А.В. Чигарев-Мн.: БГПА, 1997. Учебное издание КИНЕМАТИКА Сборник задач для расчетно-графических и индивидуальных работ по теоретической механике Составители: БЕЛЯЦКАЯ Лариса Николаевна БОГИНСКАЯ Татьяна Фагимовна ГЛУБОКАЯ Эмма Эдуардовна Редактор М.И. Гриневич Технический редактор О.В. Дубовик Подписано в печать 18.07.2007. Формат 60x847,,,. Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 4,88. Уч.-изд. л. 3,81. Тираж 300. Заказ 775. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0131627 от 01.04.2004. 220013, Минск, проспект Независимости, 65.