в. Т. Федин ринятие решении при проектировании развития электроэпергетических систем Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПОЛИТЕХНИЧЕСКАЯ ________________________АКАДЕМИЯ_______________________ Кафедра «Электрические системы» В Т. Федин ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ РАЗВИТИЯ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ Учебно-методическое пособие по дисциплине «Основы проектирования энергосистем» Минск УП «Технопринт» 2000 УДК 62!.311.001.63(075.8) ББК-34е?-вЗЯ?3- Ф32 Ф 32 Федин В.Т. Принятие решений при проектировании развития электроэнергетических систем; Учеб, метод, пособие по дисциплине «Основы проектирования энергосисте.м». - Мн.: УП «Технопринт». 2000. - 105 с. ISBN 985-6373-76-Х В работе изложены теоретические основы принятия решений при оптимизации развития электроэнергетических систем в условиях не­ определенности исходной информации и многокритериальности. Приведены примеры решения практических задач проектирования развития энергосистем и задачи для самостоятельной работы. Описа­ но примерное задание на курсовое проектирование, даны методиче­ ские рекомендации по выполнению курсового проекта. Учебно-методическое пособие предназначено для студентов оч­ ного и заочного отделений специальности Т.01.01 - «Электроэнер­ гетика», а также специальности Т.01.03 - «Автоматизация и управ­ ление энергетическими процессами». Может быть использовано сту'дентами специальности Э.03.01 - «Экономика управления предприятием» (специализация Э.03.01.01 - «Экономика управле­ ния в энергетике»), слушателями центров повышения квалифика­ ции инженеров-электриков, а также инженерами, чья деятельность связана с принятием решений и проектированием в области элек­ троэнергетических систем. Рецензент М.И. Фурсанов УДК 621.311.001.63(075.8) ББК31.27-02Я73 1SBN 985-6373-76-Х © Федин В.Т., 2000 П р е д и с л о в и е Проектирование, сооружение объектов и эксплуатация электро­ энергетических систем связаны с большими материальными затрата­ ми. Поэтому важно, чтобы эти затраты были использованы с наи­ большей эффективностью и обеспечивали необходимою надежность электроснабжения потребителей. При этом следует учесть, что пра­ вильность решений по развитию энергосистем, принимаемых в какой- то момент, проявляется через достаточно длительное время, когда возможные ошибки исправить не возможно или очень трудно. С дру­ гой стороны, при выработке решения обычно присутствует неопреде­ ленность (недостаточная достоверность) исходной информации. Кро­ ме того, обычно в качестве показателя эффективности решений вы­ ступает не один, а несколько критериев, то есть приходится решать многокритериальную (многоцелевую) задачу. Все это вызывает до­ полнительные трудности при принятии решений по развитию элек­ троэнергетических систем. Несмотря на то что общая математическая теория решения задач в условиях неопределенности и многокритериальности достаточно подробно описана в литературе [1, 2, 5, 15 - 20], в практике приня­ тия решений в энергосистемах, к сожалению, она используется яв­ но недостаточно. Даже в периодической нау'чной литературе число примеров решения таких энергетических задач весьма ограничено. Данное учебно-методическое пособие направлено на то, чтобы привить студентам навыки практической работы с методами принятия решений в условиях неопределенности и многокритериальности при решении задач по развитию электрических систем и сетей. Пособие состоит из трех разделов. В первом разделе описаны теоретические основы системного подхода при оптимизации раз­ вития энергосистем, а также методы принятия решений в условиях неопределенности и многокритериальности. Второй раздел посвящен решению конкретных задач электриче- ре или разработать самому. Все задачи методически приведены к единой основе, изложенной в первом разделе. Кроме того, в разде­ ле также даны разработанные автором задачи для самостоятельной работы с многочисленными вариантами исходных данных. в третьем разделе даио описание примерного задания на курсо­ вое проектирование, приведены методические указания и рекомен­ дации к выполнению проекта, касающиеся выбора стратегии раз­ вития энергосистем, расчета экономических показателей и показа­ телей надежности, принятия решений в условиях неопределенно­ сти и многокритериальности. Выполнение курсового проекта, есте­ ственно, базируется на знаниях, полуденных при из)'чении других дисциплин, и соответствующих методах расчета различных пара­ метров (сечения проводов линий, потерь электроэнергии и др.). Поэтому в данном поеобии такой материал, необходимый для вы­ полнения курсового проекта, не описан, а в необходимых местах сделаны ссылки на соответствующие источники, которыми следует пользоваться при проектировании. Учебно-л1етодическое пособие предназначено для студентов специальности Т.01.01 - «Электроэнергетика», изучающих дисци­ плину «Основы проектирования энергосистем». Оно будет также полезно студента.м специальностей Т.01 03 - «Автоматизация и управление энергетическими процессами» и Э.03.01 - «Экономика управления предприятием» (специализация Э.03.01.01 - «Эконо­ мика управления в энергетике»). Автор надеется, что пособие может быть востребовано на кур­ сах повышения квалификации и переподготовки инженеров- электроэнергетиков, а также инженерами в практической дея­ тельности, связанной с проектированием и принятием решений в области электроэнергетических систем в условиях неопределенно­ сти и многокритериальности. 1. СИСТЕМНЫЙ ПОДХОД ПРИ ОПТИМИЗАЦИИ РАЗВИТИЯ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 1.1. Понятие об экономико-математических моделях развития электроэнергетических систем Допустим, требуется принять какое-то решение, его эффектив­ ность характеризуется некоторым критерием оптимальности Р, ко­ торый обычно задается в виде функции. На численное значение критерия оптимальности Г влияет ряд показателей; контролируемые факторы (искомые параметры объекта), выбор которых находится в распоряжении лица, принимающего решение (каждый конкретный выбор значений контролируемых факторов представляет собой стратегию лица, принимающего решение); неконтролируемые факторы (параметры объекта, представляю­ щие собой исходные данные в задаче оптимизации), на которые лицо, принимающее решение, влиять не может; при динамических объектах в состав этих факторов може'г входить время. Неконтролируемые факторы в зависимости от вида информации о них можно разделить на три группы: а) детерминированные факторы, то есть неслучайные величины, значения которых полностью известны; б) стохастические факторы, то есть сл^тайные величины с из­ вестными законами распределения; в) неопределенные факторы, значения которых неизвестны в момент принятия решения. Критерий оптимальности в общем виде можно записать так: Р = Р(Х1, Х2,..., Хп, Аь Аг,..., Ар, уд, у2,...,Уч, 2,, гд,.,., 2^,1), (1,1) где XI,..,, х„ - контролируемые факторы (искомые параметры); А ь ..., Ар - неконтролируемые детерминированные факторы; Уь..,, у^ - неконтролируемые стохастические факторы; г-,,..., гг, - неконтролируемые неопределенные факторы; 1 - временной фактор. Величины X, А, у, z мог\т быть скалярами, векторами, матрица­ ми и т.п. На решение практических задач обычно накладываются ограни­ чения, связанные с естественными причинами, например, ограни­ ченностью ресурсов, техническими характеристиками проектируе­ мого объекта и т.п. Математически эти ограничения записываются в следующем виде: §1 §¡(^ 1» ■ ■ ч Хп, Ац,..., Ар(, У'| Ь .,., Уqj, Z l ¡,..., Z r ¡ , 1) {<, = >}Ь„ 1е1,т. ( 1.2) кроме того, в практических у словиях каждый контролируемый фактор (искомый параметр) также может выбираться лишь из об­ ласти его допустимых значений, хараетеризующих, например, пре­ дельную допустимую мощность электростанции, максимальное допустимое напряжение электропередачи и т.п. : XI е Qxb Х2е Qx2, (1.3) Выражения (1.1) - (1.3) представляюг экономико-математическуто модель задачи. Цель операции принятия решения заключается в том, чтобы найти оптимальные значения xi,...,xn контролируемых факторов XI, ..., Х|, из областей их допустимых значений Qxi, ■ •, которые по возможности обращали бы критерий оптимальности в максимум (минимум); F max (или min). Употребленная оговорка «по возможности» обусловлена нали­ чием неопределенных и стохастических факторов. Далее весь текст и соответствующие расчетные формушы будут излагаться применительно к задаче максимизации критерия опти­ мальности. Если по технологической сущности задачи требуется минимизировать критерий оптимальности, то задача минимизации min F всегда может быть заменена эквивалентной задачей макси­ мизации вида max (А - F), где А - заведомо большое число. Для решения задач электроэнергетических систем разработан ряд оптимизационных и оценочных экономико-математических моделей. Оптимизационные модели предназначены для непосред­ ственного определения оптимального плана развития энергосисте­ мы. Эти модели предназначены для предварительного исследова­ ния влияния различных факторов на принимае.мое решение. Оце­ ночные модели предназначены для сопоставления заранее задан­ ных вариантов развития энергосистемы. 1.2, Классификация задач принятия решений Выделим следующие важные классификационные признаки за­ дач принятия решений (ЗПР) [1]: 1) количество целей (критериев), к достижению которых необ- .чодимо стремиться при решении задачи; 2) зависимость (или независимость) критерия оптимальности и ограничений от времени; 3) наличие слу'чайных и неопределенных факторов, влияющих на решение задачи и зависящих от вида исходной информации. По первому признаку задачи принятия решений разделяют на одноцелевые (однокритериальные) и многоцелевые (многокрите­ риальные). По второму признаку ЗПР делятся на статические и динамиче­ ские. В статических ЗПР критерий оптимальности и ограничения нс зависит от времени, в динамических присутствие фактора вре­ мени обязательно. По третьему признаку различаются ЗПР трех видов. 1) . ЗПР при определенности исходной информации (детермини­ рованные ЗПР), Здесь исходная информация является детермини­ рованной (фиксированной информацией). Результат (решение) по­ лучается в виде одного конкретного числа. Если исходные данные при реализации полущенных решений не изменятся, то реальный результат точно совпадет с расчетным результатом. 2) . ЗПР при риске (стохастические ЗПР). В этих задачах каждое решение может привести к одному из .множества возможных исхо­ дов, каждый из которых характеризуется определенной вероятно­ стью появления. В данном слущае расчетный результат зависит от слущайных фак­ торов. Исходная информация здесь имеется в виде статистических характеристик - законов распределения слущайных величин, матема­ тического ожидания, дисперсии и т.д. Здесь имеется в виду риск, воз- пи, ¡сающий из-за что при реализации результата лицо, прини­ мающее решение, всегда рискует полущить не тот результат, на кото- рь1й он ориентируется (полученный при расчете), так как при расчете получается некоторое осредненное опти.мальнос решение. 3). ЗПР в условиях неопределенности. Здесь критерий опти­ мальности зависит от неопределенных факторов, неизвестных в момент принятия решения (или неизвестных с достаточной для принятия решения точностью). В результате влияния неопределен­ ных факторов каждое решение оказывается связанным с множест­ вом возможных исходов, вероятности которых либо неизвестны, либо вообще не имеют смысла. Однако наличие неопределенности вовсе не говорит о том, что не следует обоснованно, на основе расчетов подходить к принятию решения. Решение, принятое в \еловиях неопределенности, но на основе математических расчетов, будет все же лучше решения, вы­ бранного наобу.м [2]. Описанная классификация ЗПР в обобщенном виде приведена на рис. 1.1 [1]. Вид информации Рис. 1.1. Ютассификация задач прн1штия решений 1.3. Формулировка одноцелевой статической задачи в условиях определенности Данная задача характеризуется следующими признаками: имеется одна цель (один критерий) оптимизации; параметры задачи и переменные (искомые) величины не изме­ няются во времени; 8 исходная информация задана в детерминированном (строго оп­ ределенном) виде (в виде конкретных чисел). Экономико-математическая модель в этом случае представляет­ ся в виде: критерия оптимальности (функции цели) Р = Р(Х, С) тах(или т 1п) ; (1.4) ограничения а = а (А„Х) {< =, >}Ь1, т{< =,>}п ; (1.5) области допустимых значении переменных X еПх ( 1.6) X - п-мерный вектор переменных, X = (х],.,. ,Xj,... ,Хп); А|, С - некоторые массивы фиксированных неслучайных пара­ метров. Требуется найти такое значение X = (х],...,х„) вектора X = (х),...,Х п)из области его допустимых значений, которое обеспечивает максимальное значение Р критерия оптимальности Р, а также найти значение Р = Р(Х,С) = т а х Р (Х , С); X 6 Ох. (1.7) Значения Р и X представляют собой решение задачи. Методы решения одноцелевых статических задач в условиях определенности в данной работе не рассматриваются. Примени­ тельно к дисциплине «Основы проектирования энергосистем» они частично изложены в [3, 4]. 1.4. Одноцелевая статическая задача оптимизации в условиях риска В литературе иногда применяется другое название данной зада­ чи - задача оптимизации в вероятностно-определенных условиях. Задача характеризуется след) ющими признаками: имеется одна цель (один критерий) оптимизации; параметры и переменные (искомые) величины не изменяются во времени; исходная информация задана в виде вероятностных характеристик, поэтому каждая возможная стратегия принятия решения связана с множеством возможных исходов, причем каждый исход имеет опре- деленнуто вероятность появления, известную исследователю. Отличие задачи оптимизации в условиях риска от задачи в усло­ виях определенности (детер.минированной задачи) заключается в том, что при детерминированной задаче каждому вектору перемен­ ных X = (х1, Х2,...,х„) соответствует одно значение критерия опти­ мальности. При стохастической задаче (задаче принятия решений в условиях риска) каждому веетору X соответствует множество зна­ чений критерия оптимальности, причем каждо.му значению крите­ рия соответствует определенная вероятность его появления. В такой ситуации выбор решения для практической реализации неизбежно основан на осредненных (статистических) характери­ стиках. Поэтому принятие решения о выборе оптимальной страте­ гии для практической реализации всегда сопряжено с риском полу­ чить в действительности не тот результат, на который ориентиру­ ется лицо, принимающее решение, исходя из статистической ин­ формации. Отсюда - название «Оптимизация в условиях риска». Информация, необходимая для принятия решения, может быть представлена в виде табл. 1.1. 81, 82,...,8],...,5г - возможные исходы, вызываемые неопреде­ ленностью появления той или иной ситуации; Х], Х2,...,Хк,...,Х1 - возможные стратегии ппин.ятия решения к € 1,1; Qk¡ “ значение по­ казателя эффективности при появлении 1-го исхода в слу'чае реали­ зации к-й стратегии; рк1 - вероятность появления 1-го исхода в слу­ чае реализации к-й стратегии. Предполагается, что вероятности рк1 известны. 10 Информация к принятию решения в условиях риска Т а б л и ц а 1.1 Исходы Стра- тегия 81 82 81 8г Математическое ожидание показателя эффективности Рк X, Р и Рп Ql2 Р12 Qll рп Он Р1г Р1 = ¿ 01^Ри.’=^1 Х2 Оз! Р21 Q22 Р22 021 Р21 02. Р2,- Г Рт = 2 0 т/Р2|. е=\ Хк Qkl Рк1 0 к2 Рк2 0 к1 Рк1 0 кг Ркг Г Рк = 2 0 к^Рк^ (=1 X, Qtl Ри Qt2 Р12 0.1 РЧ O. Г P. Г Р| = Ю г^Ри’ П р и м е р . Принимается решение по развитию генерирующей части энергосистемы. Возможны различные стратегии развития энергосистемы Х^, характеризующиеся количеством, мощностью и местом размещения различных типов электростанций: ГЭС, КЭС, АЭС. При этом исходами 8] служит различная выработка электро­ энергии в энергосистеме с определенной вероятностью, зависящей от расхода воды в реках, на которых предполагается соорудить 1^ ЭС. Тогда в качестве показателя эффективности Qicl может слу­ жить прибыль в энергосистеме от реализации выработанной элек­ троэнергии. 11 Табл. 1.1 составляют следующим образом. Для исхода 8ь соот­ ветствующего какому-то водотоку на ГЭС, находят оптимальную стратегию Хь представляющую собой вектор переменных Х] = = (х1,...,Хп), где составляющие вектора - мощности отдельных станций. При этом решается одноцелевая детерминированная зада­ ча. Аналогично поступают для всех остальных исходов 82,...,5г. В результате получают стратегии Х2, ... ,Х1, причем каждая из них оп­ тимальна для одного из исходов. Затем для всех определенных та­ ким образом стратегий и всех исходов вычисляют значения показа­ теля эффективности Рк|. При наличии информации о значениях показателя эффективно­ сти Qk| для различных стратегий решение задачи со стохастически­ ми факторами сводят к детерминированной постановке. Наиболь­ шее распространение получили здесь два принципа: искусственное сведение задачи к детерминированной схеме и оптимизация в среднем. В первом случае вероятностная картина исходов приближенно заменяется детерминированной. Для этого слу-чайные факторы за­ меняются обычно их математическими ожиданиями. Например, для рассмотренного выше примера используют математическое ожидание среднего по водности года на ГЭС (среднего расхода во­ ды через створ ГЭС). Такой подход обычно может быть использо­ ван только при грубых, ориентировочных расчетах. Во втором случае для оценки эффективности той или иной стра­ тегии используют математическое ожидание показателя эффектив­ ности (см. правую колонку табл. 1.1); Рк=Р(Х к) = М[0 к ,]= 1 дк|РкЬ к е 1,1 ( 1.8) 1=1 Тогда в качестве оптимальной будет выбрана такая стратегия из 1 возможных стратегий Х[, Х2,.. .,Х1, которая удовлетворяет условию Р - Р(Х) = тах [Р(Хк)] = тах I I 20к1Рк1 , 1=1 (1.9) 12 другими словами, при таком подходе должна быть выбрана та­ кая стратегия, для которой в правом столбце табл, 1.1 значение по­ казателя эффективности максимально. При этом следует иметь в виду, что принятие решения при такой оптимизации «в среднем» связано с риском, то есть с возможностью в каждом отдельном сл\'чае пол}шить худшее значение показателя эффективности по сравнению с тем, по которому принималось решение. И все же та­ кой подход л\'чше, чем принятие решения без всяких обоснований. 1.5. Одноцелевая статическая задача в условиях неопределенности Данная задача характеризуется следующими признаками: и.мсстся одна цель (один критерий) оптимизации; параметры и переменные (искомые) величины не изменяются во времени, параметры, характеризующие исходную информацию, неопре­ деленны, то есть известно только, что эти параметры существуют, но их детерминированные и даже вероятностные характеристики неизвестны. При этом каждая возможная стратегия принятия ре­ шения связана с множеством возможных исходов. В этом сходство данной задачи с задачей принятия рещений в условиях риска и ее отличие от детерминированных задач. Отличие же от задачи в ус­ ловиях риска заключается в том, что здесь отс\тствует информация о вероятностных характеристиках исходов, которые известны в стохастических задачах. Различают две группы неопределенностей - стратегические и природные. Стратегические неопределенности появляются в ЗПР, в кото­ рых участвует несколько активно действующих сторон, пресле­ дующих различные, несовпадающие цели. При этом каждая из опе­ рирующих сторон должна принимать решения в условиях, когда ей неизвестны будущие действия (стратегии) других оперирующих сторон. Один из характерных примеров задачи со стратегической неопределенностью - игра в шахматы. Природные неопределенности появляются из-за недостаточной Изученности «природы», под которой пони.мают обстоятельства, в которых приходится принимать решения. Например, к задаче с 13 природныл1и неопределенностями можно отнести задачу выбора сечений проводов линий электропередачи в условиях неизвестнос­ ти точного значения ожидаемой нагрузки потребителей. ЗПР со стратегическими неопределенностями решаются с ис­ пользованием математического аппарата теории игр. Для ЗПР с природными неопределенностями применяют математический ап­ парат теории статистических решений (теории игр с «природой»). Отличие ЗПР со стратегическими неопределенностями заключа­ ется в том, что каждой оперирующей стороне известен весь набор возможных стратегий другой стороны. При этом каждая опери­ рующая сторона, являясь активной и разумно действующей, стре­ мится к максимально возможному достижению своих целей. ЗПР с природными неопределенностями являются более сложны­ ми, так как «природа» не обладает свойетвом разумности и является пассивной стороной, не действующей активно. Ей нельзя придать ни­ каких сознательных целей, к которым она бы стремилась. Рассмотрим некоторые понятия теории игр, которые необходи­ мы для решения ЗПР с природными неопределенностями [2]. Пусть имеется два игрока А и В с противоположными интере­ сами. Чтобы игра могла быть математически формализована, должны быть сформулированы правила игры, определяющие; возможные варианты действий каждой из сторон; известность информации каждой стороне о принятии решений другой стороной; результат игры, который получается при каждой данной сово­ купности принятия решений каждой из сторон. Пусть игрок А имеет ш стратегий, а игрок В - п стратегий. Та­ кая игра называется игрой т х п. Если игроки осуществляют созна­ тельный выбор одной из возможных стратегий, то выбор стратегии Ai и В] однозначно определяет исход игры для игрока А - выигрыш (положительный или отрицательный). Обозначим этот выигрыш через Пу. Если известны значения Пу при каждой паре стратегий, то мож­ но составить табл. 1.2, называемую платежной матрицей. 14 Т а б л и ц а 1.2 Платежная матрица \ В | А . \ В1 В2 в„ А1 аи а]2 а]п П) = т т Д];] А2 а21 322 3211 Оо = тш а 2; А11 ат1 ат2 Зцт « т =™па,„, J Р] =1паха,1 1 Р2 = т а х а ,2 1 Р„ =таха„т 1 Поставим задачу: определить наилучшую среди стратегий для игрока А. Для этого рассмотрим последовательно каждую страте­ гию, начиная с А] и кончая А,„. Выбирая стратегию А;, будем иметь в виду, что игрок В ответит на нее такой стратегией, при ко­ торой выигрыш игрока А будет минимальным. Поэтому при каж­ дой стратегии А1 игрок А сможет получить выигрыш, соответст­ вующий лишь минимальному значению Оц из строки платежной матрицы для стратегии А;: а, = тш а\]. ( 1. 10) Эти значения приведены в крайнем правом столбце табл. 1.2. Выбирая из столбца а; максимальное значение а, получим гаран­ тированный выигрыш для игрока А: а = шаха! ^ гдах ппп Лу 1 1 ] г 1 1 \V I .I Величина а называется нижней ценой игры или максгшинным выигрышем {максимином). Это гарантированный выигрыш для иг­ рока А. 15 Из этой матрицы (табл. 1.4) видно, что стратегия Аг дает макси­ мальный выигрыш при любом состоянии природы Ц Поэтому иг­ року А следует однозначно выбрать стратегию Аг. Если же нет доминирующей стратегии, то все же полезно про­ анализировать платежную матрицу, чтобы исключить из нее заве­ домо невыгодные стратегии, если таковые имеются. Так, из пла­ тежной матрицы табл. 1..э видно, что стратегия А1 заведомо невы­ годна, так как при любом состоянии природы П] ее показатель эф­ фективности ниже по сравнению с др\тими стратегиями. На первый взгляд может показаться, что следует выбрать такую стратегию, при которой > <7к1 (см. табл. 1.3), например, стратегию Аг, так как 0 2 1 > пзз (см. табл. 1.5). Но здесь лучший показатель эф­ фективности может оказаться не за счет луишей стратегии, а про­ сто за счет того, что состояние природы П) более выгодно, чем со­ стояние Пз. Например, наличие большого расхода воды через ГЭС более выгодно для энергосистем, чем малая выработка электро­ энергии на ГЭС Б засушливый год. В таких ситуациях бывает полезно использовать понятие риска, которое показывает «з'дачливость» принимаемой стратегии. Риском Гу игрока А в случае выбора стратегии А1 при состоянии природы П] называется разность между выигрышем, который он получил бы, если бы знал, что состояние природы будет Пj, и вы­ игрышем, который он полошит, выбрав стратегию [2]. Очевидно, что если заранее было бы известно состояние приро­ ды Ц , то игрок А выбрал бы такую стратегию, которая соответст­ вует максимальному выигрышу, то есть максимуму столбца pJ: тах (1.14) Для состояния природы П] Р1 = шах ац , 1 для других состоянии природы 18 Р2 = та х 0,2, 1 Р„ = та х о,„. I Тогда значения риска в слу'чае выбора иной стратегии, не соот­ ветствующей максимуму столбца платежной матрицы, будут Pj - оу = та х оу - оу, 1 (1.15) Отсюда следует, что гу > О, Расчеты на основании платежной матрицы (см. табл, 1.3) позволяют сформировать матрицу рисков (табл. 1.6), Т а б л и ц а 1.6 Матрица рисков ц А\ п , П2 П„ А1 ги Г12 Г1п А2 Г21 Г22 2^п ГцН Гш2 Тцш Матрица рисков часто позволяет лучше осуществить анализ не­ определенной ситуации, чем платежная матрица. Рассмотрим это на примере. Пусть известна платежная матрица, приведенная в таол. 1.7, Используя формулу (1.15), сформируем матрицу рисков (табл. 18), Из табл. 1.7 следует, что 021 = «24, а из .матрицы рисков (см. табл. 1. )^ - что Г21 < Г24. При стратегии А22 при состоянии природы П] выиг­ рыш мог бы составить «21 - 8 (см. табл. 1.7) при максимальном воз­ можном выигрыше «31 =9, то есть выбор стратегии Аз удачен. 19 Т а б л и ц а 1.7 Платежная матрица Т а б л и ц а 1.8 Матрица рисков П 1 П2 Пз П4 А1 5 8 9 13 А2 8 13 9 8 Аз 9 И 11 7 А. \ П 1 П2 Пз П4 А1 4 5 2 0 А2 1 0 2 5 Аз 0 2 0 6 В то же время при состоянии природы П4 выбор стратегии Аг нс следовало бы делать, так как там максимальный выигрыш оы = В , а 024 равно лишь 8. Это отражается в матрице рисков (см. табл. 1.8): 024 > 021, а именно, 5 > 1. Рассмотрим теперь критерии, которые используются для приня­ тия решений в условиях неопределенности. 1). Критерий, основанный на известных вероятностях условий (критерий Лапласа). Пусть известны состояния природы Пц П2,...,Пп и вероятности их появления Р 1-Р (П 0 , Р2 = Р(П2), ...,Рп = Р(П„), причем п I P J = 1 ■ в этом сл^'чае в качестве показателя эффективности принимают математическое ожидание выигрыша. Используя платежную мат­ рицу (см. табл. 1.3), для 1-й стратегии математическое ожидание выигрыша можно записать в виде 01 -Р[Оц +Р20;2 +... + РпО|ш или «1 J=l (1.16) 20 Тогда в качестве оптимальной следует взять ту стратегию, для к о т о р о й значение а\ максимально: «1макс = тах {о 1} (1.17) Для выбора оптимальной стратегии можно использовать матри­ цу рисков (см. табл. 1.6). При этом следует вычислить для каждой стратегии математическое ожидание риска, равное п = 2 PJl■lJ )=1 (1.18) Тогда в качестве оптимальной следует взять ту стратегию, для которой значение Г1 минимально. Г1мин = тш { г1} . (1.19) Если вероятности появления состояний природы П; неизвестны, то применяют следующие приемы: а) задаются вероятностями рц р2,...,рп субъективно или на осно­ ве экспертных оценок; б) если нет никаких соображений относительно предпочтения того или иного состояния природы, то используют принцип недос­ таточного основания Лапласа, согласно которому все вероятности назначаются одинаковыми: Р1 ="Р2 ^ Фп п 2). Максимальный критерий Вальда. Для его вычисления используют платежную матрицу (см. табл, и 1.3) и принцип определения максимина по формуле (1.11). '-'птимальной считается та стратегия игрока А, при которой гаран­ тируется выигрыш не меньший, чем максимин: Ш = тах т !п Оу, 1 < 1 5 т 1 < j < п ( 1.20) 21 где Яу - показатель эффективности, взятый из платежной матрицы; 1 - количество стратегий; ] - количество состояний природы. Этот критерий ориентирует лицо, принимающее решение, на наихудшие условия. Его иногда называют критерием крайнего пес­ симизма. Критерий минимаксного риска Сэвиджа. По данному критерию рекомендуется выбирать ту стратегию, при которой величина риска ирини.мает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации. Для его вычисления используют матрицу рисков (см. табл. 1.6) и формулу минимакса (1.13). Опти­ мальной считается та стратегия игрока А, при которой гарантиру­ ется риск не более, чем минимакс: 5 = т !п та х Гу, 1 < 1 < ш 1 < j < п ( 1.21) где Гу - показатель риска из матрицы риска при ьи стратегии и у-м состоянии природы. Этот критерий, как и критерий Вальда, является критерием крайнего пессимизма. Но здесь худши.м решением считается не по­ лучение минимального выигрыша, а максимальная потеря выиг­ рыша (максимальный риск). 4) Критерий юессшшзма - оптимизма Гурвица. Критерий выражается в следующем виде: Н = тах {а т 1п Оц + (1-а) тах яу} , 1 < 1 < т I < ( < I! 1 < ] < п ( 1.22 ) где яу - показатель эффективности из платежной матрицы при 1-й стратегии и )-м состоянии природы; а - коэффициент оптимизма, выбираемый между О и 1 из субъ­ ективных соображений. При а = 1 этот критерий превращается в критерий крайнего пес­ симизма Вальда Н тах тш а. 1 2 I < ш I < ] < 11 22 При а = О пол>"чается критерий крайнего оптимизма, показы­ вающий наибольший выигрыш, который можно получить при вы­ боре соответствующей стратегии: Н = т а \ шах a ,j. 1 < i < 111 1 < j < 11 Если рекомендации по различным критериям совпадают, то можно смело выбирать данную стратегию. Критерий Г>рвица может быть также сформирован с использо­ ванием элементов матрицы рисков: Н = min {а тах Гу + (1-а) min Гу} 1 £ i < m 1 < j < n I < j < n (1.23) При а = 1 данная форма критерия превращается в критерий Сэ­ виджа (см. формулу (1.21)), При а = О получается критерий крайнего оптимизма, показы­ вающий наименьший риск (наименьшую потерю выигрыша), кото­ рый можно получить при выборе соответствующей стратегии: Н = min min Гу. l < i < m I < j < n Если платежная матрица или матрица рисков большая, то рас­ смотренные критерии позволяют получить более наглядную карти­ ну, чем сами матрицы. Формулы (1.16) - (1.23) соответствуют случаю, когда целевую Функцию необходимо максимизировать. Если же по содержатель­ ной постановке задачи целевую функцию удобней минимизиро­ вать, то критерии принятия решений видоизменяются. Так, критерий Лапласа будет иметь вид или «¡мин = min{ai} Г1макс = тах{п} Критерий Вальда будет выглядеть следующим образом; (1.24) (1.25) 23 W = mm max a\\ 1 < i < m 1 < I < П (1.26) В случае применения критерия Сэвиджа формула (1.15) для вы­ числения значения риска принимает вид fij = i?ij - ßj = fly - min fly. (1.27) Тогда критерий Сэвиджа будет иметь вид тот же, что и (1.21): S = min max fly, 1 < i < m I < j < 1 (1.28) a критерий Гурвица Н = min {а max fly + (1-a) min fly} . (1-29) 1 < i < m I < j < 11 1 < j < n При использовании матрицы рисков и вычислении значения риска по формуле (1.27) критерий Гу'рвица будет имелъ вид такой же, как и (1.23). 1.6. Многоцелевые задачи принятия решений 1.6.1. Постановка многоцелевой детерминированной статической задачи принятия решений Пусть требуется принять решение в условиях действия неслу­ чайных фиксированных факторов. Стратегию принятия решения, которая в обще.м случае может быть скалярной величиной, векто­ ром, матрицей и т.п., обозначим X. Далее для определенности бу­ дем считать, что стратегия представляет собой п-мерный вектор X =(Х],Х2,...Х:,...Х„), j e 1,п Составляющие ху вектора X могут быть связаны ограничениями, отражающими конкретный физический и экономический смысл задачи; 24 где gi - некоторая функция; С;, Ь, - фиксированные величины. Эффективность принятия решения оценивается совокупностью критериев (целей), образующих вектор E ^ (C l,e 2,...eq,..ek), я е 1 , к Эти критерии могут различаться своими коэффициентами отно­ сительной важности Хц, образующими вектор важности Л = (Х1,Х2,...Хц,...Х1^), я е 1,к . Критерии eq называют локальными критериями. Каждый ло­ кальный критерий определяет какую-то локальную цель при при­ нятии решения. При этом каждый локальный критерий связан со стратегией ец =eq(Aq,X), ц е 1,к , где Aq - фиксированные факторы. Тогда векторный критерий может быть представлен в виде E = E(eq(Aq,X)) = E(A,X), где А - константы, соответствующие локальным константам Ац. Самое простое решение задачи имеет место тогда, когда выбор одной стратегии обеспечивает одновременное достижение цели по Веем локальным критериям. Однако при решении практических задач этого обычно не происходит. Поэтому приходится прибегать •< некоторому компромиссу в достижении локальных целей при принятии решений. Следовател.ъно, необходимо сформулировать какой-то принцип компромисса в достижении локальных целей. g^ =g,(C, ,X)>bj, 1 е 1, т , 25 Таким образом, необходимо найти оптимальную стратегию X , удовлетворяющую следующим условиям; стратегия X должна принадлежать множеству се допусти­ мых значений; стратегия должна быть наилучшей в соответствии с принятым принципом компромисса между локальными критериями и учиты­ вать, если он задан, вектор Л важности локальных критериев. Решение многоцелевой задачи может быть записано в следую­ щем общем виде; Е = Е(Х) = орГ[Е(Х), Л], Х е ^ х = где X , Е - оптимальные значения; , opt - некоторый оператор оптимальности. Оператор opt характеризует принцип оптимальности, опреде­ ляющий выбор наилучшей стратегии среди всех допустимых. Его конкретный смысл должен быть раскрыт в каждой конкретной за­ даче принятия решения. Известны различные принципы компромисса между локальны­ ми критериями и соответствующие им принципы оптимальности, причем каждый принцип может привести к выбору различных оп­ тимальных решений. В многоцелевых задачах область допустимых решений по всем локальным критериям Q.^ , может быть представлена двумя непере- секающимися областями; областью согласия и областью ком­ промисса Пк''. В области согласия переход от одной стратегии к другой позволяет улучшить сразу все локальные критерии. В об­ ласти компромисса улучшение эффективности по одним критериям приводит к ухудшению эффективности решения по другим. Оче­ видно, что в многоцелевых задачах оптимальное решение следует искать только в области компромисса Qx'^ . Для этих целей исполь­ зуется принцип Парето; возможные решения следует искать лишь среди множества стратегий (вариантов), улучшение которых по одним критериям приводит к их ухудшению по другим критериям. Поясним это на следующем примере. Пусть имеем локальные кри- 26 терпи С1 = fl(x) и С2 = ?г(х), где х хараьстсризуст некоторое множе­ ство стратегий (вариантов). Тогда множество всевозможных пар значений С] и ег при всех допустимых х есть заштрихованная об- тасть (рис. 1.2). Все граничные точки этой области, принадлежа­ щие кривой АВ, соответствуют значениям локальных критериев С] и ет в различных оптимальных, по Парето, состояниях объекта. Действительно, при переходе из точки А в точку С и из точки В в точку О уменьшается значение как щ, так и С2, что недопустимо, по Парето. Поэтому оптимум лежит только на кривой АВ, так как при переходе, например, из точки А в точку К значение е1 увеличивает­ ся, а б2 уменьшается. Рис. 1.2. Область допусплш х значеншТ локальных критериев В области компромисса должна быть выбрана схема компро­ мисса и определен принцип оптимальности. При этом раскрывает­ ся смысл оператора оптимизации; ор1 Е(Х) = ор1 Е(Х) = тах ф(Е(Х)), ХбПх Х е й ./ (1.30) где ф(Е) - некоторая функция от вектора критериев Е. Таким обрг1зом, при выборе какого-то критерия оптимальности многоцелевая задача сводится к одноцелевой задаче ппинятия ре­ шения. Если локальные критерии имеют различные единицы измере- •^ия, то иногда их необходимо нормализовать, то есть приводить к единой размерности. Обычно их приводят к безразмерному виду. 27 Рассмотрим возможные варианты формулировки многоцелевых задач принятия решений, 1). Задачи оптимизации на множестве целей. Здесь имеется несколько целей, которые должны быть учтены при выборе оптимального решения относительно рассматриваемо­ го объекта. П р и м е р . Треб> ется выбрать оптимальный вариант линии элек­ тропередачи новой констру1Щии, например, по кaкo^ty-тo изобрете­ нию. Качество такой линии оценивается с помощью следующих ос­ новных параметров (целей); Р - максимальная пропускная способ­ ность; О ~ минимальный расход цветного металла; К - минимальная ширина трассы; Н - минимальная напряженность электрического по­ ля под линией; с - стоимость передачи электроэнергии. Оптимальный вариант линии может быть выбран на основании рассмотрения векторного критерия Е = (Р, О, Я, Н, с) . 1.6.2. Типы многоцелевых задач Особенность рассмотренной задачи заключается в том, что ло­ кальные критерии (цели) имеют различные единицы измерения. 2). Задачи оптимизации на множестве объектов. Здесь имеется несколько объектов, работа каждого из которых оценивается самостоятельным критерием. Качество работы сово­ купности объектов должно оцениваться векторным критерием, включающим локальные критерии, относящиеся к каждому из объ­ ектов. П р и м е р . Энергосистема работает в условиях дефицита элек­ троэнергии, которую она может выдать потребителям. Возникает задача оптимального распределения располагаемой электроэнергии между к потребителями. Функционирование каждого q-гo потре­ бителя оценивается локальным критерием Например, локальным критерием первого потребителя служит стоимость вырабатываемой продукции, которую нужно максими­ зировать, в качестве локального критерия второго потребителя вы­ ступает себестоимость выпускаемой продукции, которую необхо­ димо минимизировать, и т.д. 28 Тогда общий план удовлетворения электроэнергией потребите­ лей будет оцениваться векторным критерием Е = (С1, е2,...,еч, ' Тк) . В таких задачах локальные критерии обычно имеют одинаковые единицы измерения. 3). Задачи оптимизации на множестве )словий функционирования. В этом случае заданы варианты условий, в которых предстоит функционировать объекту, относительно которого необходи.мо принять решение. Эффективность функционирования для каждого варианта условий оценивается некоторым локальным критерием. Тогда эффективность функционирования при всех вариантах условий будет оцениваться вектором локальных критериев. П р и м е р . Заданы условия снабжения топливом (вид топлива, место добычи) электростанций энергосисте.мы в разное время года (зима, весна, осень, лето). Каждый период оценивается локальным критерием: зимой требуется выработать максимальное количество электроэнергии С1 для обеспечения потребителей. Осенью и весной необходимо иметь минимальную себестоимость выработки элек­ троэнергии на электростанциях ег, летом - требуется обеспечить минимум стоимости перевозки топлива ез. Необходимо выбрать стратегию обеспечения топливом электростанций. Критерий .мно­ гоцелевой задачи будет иметь вид Е = (сь 6:, ез) . 4). Задачи оптимизации на .множестве этапов ф^тищнонирования. Этот тип задач предполагает функционирование объекта на не­ котором интервале времени, представленном несколькими этапами. Эффективность функционирования на каждом этапе оценивается локальным критерием, а на всем интервале времени - векторным критерием. П р и м е р . Требуется определить оптимальный план ф>тнкциони- Рования энергосистемы на заданном интервале времени [О, Т7|. Эф­ фективность функционирования энергосистемы характеризуется количеством вырабатываемой электроэнергии \У в дискретные мо­ менты времени Г; 29 и , 1 2 ,- ..,Хк, где1к=Т, Wl,W2,..,Wlc. Эффективность функционирования энергосистемы на всем ин­ тервале времени [О, Т] оценивается векторным критерием E = (W,,W2,...,Wk). 1.6.3.Способы нормализации критериев Нормализация критериев осуществляется тогда, когда локаль­ ные критерии оптимизации имеют различные единицы измерения. По сути, нормализация критериев заключается в приведении чис­ ленных значений критериев, соответствующих различным страте­ гиям (вариантам) принятия решения, к безразмерному виду. Выбор способа нормализации критериев является достаточно субъективным. Рассмотрим некоторые известные способы норма­ лизации критериев. С п о с о б 1 . Задаются какие-то значения каждого локального критерия: Тогда нормализованные критерии будут иметь вид 51 £1 . ^ з ’ з ’ ’ з ’ ’ 3 ^2 К (1.31) где ец С2,..., Ск - значения локальных критериев для каждой страте­ гии. Недостаток этого способа заключается в субъективности назна­ чения е ^ е ^ ,. ..,е^. С п о с о б 2 . Нормализация осуществляется относительно максимальных значений локальных критериев оптимизации; 30 61 62 С 6I макс 2 макс макс 6к 'к макс (1.32) где Сч макс == тах{Са}. Недостаток этого способа заключается в том, что результат су­ щественно зависит от максимального уровня критериев, опреде­ ляемого условиями. При этом нарушается равноправие критериев. С п о с о б 3 . Нормализация осуществляется относительно максимально возможного разброса значений соответствующего локального критерия: ®2 6к ,(1.33) '^ 1 макс "®1 МШ1 ®2 макс мин макс 6q мин макс ®к мин где '^q макс ■ мин ^тах{ец}, ^ г а т (е а } . Этот способ можно считать наиболее «справедливым», не «ущемляющим прав» ни одного из критериев. С п о с о б 4 . Нормализацию выполняют по выражениям мин ^2 мин ®q мин мин •(1.34) ^ макс ®1мин ^2 макс ^2 мин ®q макс мин ®кмакс ^ мин Здесь в числителе берется разность между значением критерия по данной стратегии и его минимальным значением среди всех стратегий. Рассмотренные способы нор.мализации критериев предполагают одинаковую важность критериев. Однако их часто применяют и ори различной важности критериев, При этом нормализацию вы­ полняют с учетом приоритета критериев. Так, для способа 3 нор- ''^ализацию выполняют следующим образом: 31 X](ej ' ^ 1м и н ) ^ 2 ( ^ 2 макс ^ 2 мин) бк (1.35) ^ q ( ^ q макс ^q мин) макс мин) где -^1,..., Хк - весовые коэффициенты, характеризующие важность к каждого локального критерия, Е -^п = 1 Я=1 Приведенные выражения нормализации критериев относятся к слу'чаю, когда необходимо максимизировать целевую функцию. Если по условию технологической задачи требуется минимизиро­ вать целевую функцию, то либо ее заменяют эквивалентной зада­ чей максимизации (см. подраздел 1.1), либо нормализацию крите­ риев выполняют по преобразованным выражениям. Так, по способу 2: '1 мин ®2 .мин ' q мин Ск (1.36) По способу 4: макс ^2 макс макс ^q ®к макс -.(1.37) макс мин ^2 макс ^2 ш ш *^q макс ^q ш ш ^к макс ®к мин 1.6.4.Принципы выбора критерия оптимальности Пусть дана многоцелевая задача Е = Е (А,Х)-» max , (1.38) Si =gi(Ci,X)>bj^ i e l , m . (1.39) 32 где X — (■'^ 1 ■>^2 ’ "^п )’ E = ( e ь e 2 ,■■■eJ,••■£„), ] е ! ,к . Здесь С1,. -. ,Ск - локальные критерии. В дальнейшем для простоты задачу (1.38) - (1.39) будем записы­ вать так: Е = Е(Х) -> шах § | ( Х ) > Ь 1 1 б 1 , ш . (1.40) Чтобы решить эту многоцелевую задачу, надо свести ее к одной или нескольким одноцелевым задачам. Если локальные критерии имеют разные размерности, то их предварительно можно (но не всегда обязательно) нормализовать. Рассмотрим принципы сведения многоцелевой задачи к одноце­ левой. 1). Принцип выделения главного критерия. Из заданной совокупности локальных критериев еь ег,...,ек один критерий, например еь принимается в качестве главного кри­ терия. К остальным критериям устанавливаются требования, за­ ключающиеся в том, чтобы их значения были не меньше некото­ рых заданных значений eq^ (здесь и далее получается, что все ло- Кситьныс критерии надо максимизировать). Тогда многоцелевая задача (1.40) сводится к следующей одно­ целевой; е!(Х) тах, gi(X)>bi^ 1е 1, т , е а > С а , я е 2 , к . (1.41) При этом в качестве оптимальной выбирается стратегия, кото­ рой соответствует наибольшее значение е1 при соблюдении огра­ ничений по остальным критериям. Основная трудность примене­ ния этого принципа в задании значений локальных критериев ец^ Па исключением выделенного главного критерия е^, которые ус- ’’'анавливаются из соображений технологической задачи. 33 При использовании этого принципа в нормализации критериев нет необходимости. 2). Принцип последовательной оптимизации на основе жестко­ го приоритета. Сначала формируется ряд приоритета 1, 2,...,к, в котором ло­ кальные критерии располагаются по важности. Расположение кри­ териев по важности условно можно записать так; ei > б2 > Ск. Далее решается одноцелевая задача для наиболее важного ло­ кального критерия. ei(X) -л max. g,(X)>bj ie l ,m . В результате находится оптимальное значение е ^ , затем оты­ скивается оптимальная стратегия по критерию ег с учетом неиз­ менности 6] = const и соответствующее ей оптимальное значение критерия б2 . Таким образом, многоцелевая задача с к критериями сводится к к последовательно решаемым одноцелевым задачам. Последняя, к-я задача представляется в виде Ск(Х) max, gi(X)>bi^ i e l ,m . Cl = const,C2 = const ,...,ek_i = const. (1.42) Таким образом, сущность этого принципа оптимизации заклю­ чается в том, что не допускается повышения значения менее важ­ ных критериев, если при это.м происходит хотя бы незначительное уменьшение значения более важного критерия. Недостаток рассматриваемого принципа заключается в том, что во многих практических задачах выбор стратегии по первому, наи­ более важному, критерию уже приводит к окончательному единст­ венному решению. Если по одному из критериев (например еО оптимальное реше­ ние соответствует сразу двум стратегиям, то на следующем этапе 34 решение отыскивается по второму критерию С2 на множестве оп­ тимальных стратегий по еь Это принцип получил название лекси­ кографической оптимизации. 3). Принцип последовательной уступки. Пусть локальные критерии расположены в порядке убывающей важности; еь 6 2 , . ..,е,q,- .,6к. На первом этапе находится стратегия, соответствующая макси­ мальному значению наиболее важного критерия e i; ei(X) -> max, I §}(Х)>Ь| 1е1,т. Э В результате находится оптимальное значение е ] . Затем, исходя из практических соображений, назначается неко­ торая уступка Аб! относительно оптимального значения е), кото­ рую лицо, принимающее решение, согласно допустить, чтобы можно было далее осуществить оптимизацию по следующему по важности локальному критерию е2, то есть решается задача 62(Х) -> max, gl(X)>bi i e l ,m , ej > ei - AC]. результате будет найдена оптимальная стратегия по критери- ям С2 и С1, а также оптимальное значение б2 . Затем дополнительно к Ае1 назначается уступка Аег относитель­ но оптимального критерия б2 и решается одноцелевая задача по ’критерию ез и т.д. Таким образом, здесь также многоцелевая задача с к локальны- 'ни критериями заменяется последовательно решаемыми к одноце- асвыми задачами. 35 Последняя, к-я задача имеет вид ек(Х) -> max, gl(X)>b,^ i e l ,m , С] > ei - Aej,C2 S ез - Ae2 ,...,ek_] S ck-i - Ае( _^|. (1.43) Достоинство данного принципа заключается в том, что видно, ценой какой уступки по одному локальному критерию получается выигрыш по дpyтoJмy локальном) критерию. Такую оценку можно получить, задаваясь различными, как правило, в процентном отно­ шении значениями уступок Ае. 4). Принцип относительного гарантированного уровня (принцип максимина). Он может применяться в тех сл>'чаях, когда все локальные кри­ терии по важности равноправны. Предварительно критерии долж­ ны быть нормализованы. Пусть дана многоцелевая задача Е(Х) max. gi(X)>bi i e l ,m . Решим последовательно к одноцелевых задач вида ei(X) max. 1-я задача, решение: ei,X[ . g j ( X ) > b i ^ i G l , m . ек(Х) max. к-я задача, решение, ек ,Xj^ gj(X )> b i.ie l,m . В результате будут найдены оптимальные значения каждого ло­ кального критерия и соответствующие им оптимальные стратегии; Xl,X2,...,Xq,...,x7. 36 Выберем из оптимальных значений локальных критериев мак­ симальное значение макс = тах{е],е2,...,еп,...,Ск}- Вычислим значения критериев сь е2,...,екдля всех найденных оптимальных стратегий и разделим на eq макс ■ Л е 1 ( Х 1 ) е ? е 1 ( Х 2 ) е!^ - е ^ Х к ) — : 6 q макс C q макс 6 q макс 1 е 2 ( Х ] ) „ 2 е 2 ( Х 2 ) к е , ( Х к ) е з = = ------------- ’ ^ 2 — ? •. . , 6 2 ~ > S q макс Cq макс Cq макс 1 е к ( Х 1 ) Л е к ( Ь ) к С к ( Х к ) . . . ,С к - - Cq макс Í3q макс Сц макс Найдем минимальные значения критерия оптимальности из ка­ ждого подкаченного рада: мин = т 1п(е|,еь ...,е{'}; б2 мин = тш {е 2 ,с 1 ,...,е2 }; бк мин =тш {е|^,е2,...,е^}. ,^алее решим одноцелевую задачу вида Е1(Х )'>тах, чадо найти ЕиХ) = тах{е^ мин} = тах{е1 мин.е2 минv■■,e^ ; мин}- 37 в результате будет найдена оптимальная стратегия, соответст­ вующая Е1. Деление на eq макс дает гарантированный выигрыш относительно максимального выигрыша Сц макс В общем виде решение задачи по этому принципу формулиру­ ется так: Е] (X) = тах т 1п ■ ед(Х) 6 Я макс q е 1,т. (1.44) 5). Принцип весовых коэффициентов. По этому принципу многоцелевая задача заменяется одной од­ ноцелевой задачей. При этом локальные критерии предварительно должны быть нормализованы. Одноцелевая задача формулируется так; к ---- Е(Х)= I; Х д ед (Х )^тах , яе1,к, я=1 У gi(X)>b,^ 1е1,т, (1.45) где Х,ц - весовые коэффициенты. Таким образом, здесь для каждой стратегии вычисляется ф^шк- ция Е(Х), находится ее максимальное значение и соответствующая ему оптимальная стратегия. Трудность применения данного принципа заключается в обос­ нованном выборе значений весовых коэффициентов для каждого локального критерия. Обычно сначала формируют ряд приоритета локальных крите­ риев 1 = (1,2,...,к). Затем устанавливают вектор приоритета V = (VI, Ук). 38 Составляющие этого вектора характеризуют степень превосход­ ства двух соседних критериев eq и eq+l из ряда критериев I; величи- ¡1а VI определяет, во сколько раз критерий С] важнее критерия ег, величина V2 показывает, во сколько раз критерий ег важнее крите­ рия ез, и т. д, В расчетах обычно принимают последнюю состав­ ляющую вектора приоритета ук = 1. Составляющие вектора приоритета определяются на основе по­ парного сравнения локальных критериев из ряда приоритета, что проще, чем задание сразу всех весовых коэффициентов. Составляющие вектора весовых коэффициентов локальных кри­ териев Л = (А.1, Хг, • ••> ^к) обычно задают так, чтобы соблюдалось следующее условие: 0<}.д <1, р е 1,к, к 4=1 > Тогда составляющие векторов V и Л связаны соотнощением XЯ+1 Если определены ряд приоритета I и вектор приоритета V, то можно показать, что весовые коэффициенты определяются по формуле к П v, к кХГ"' Т—IД, ИVi 4=11=4 (1.46) Поясним применение этой формулы на числовом примере. Усть ряд приоритета I = (1, 2, 3) и вектор приоритета V = (3, 2, 1). Воспользуемся формулой (1.46): 39 я, =■ VIV 2 V 3 3-2-1 V) + У2 Уз + Уз 3-2-1 + 2-1 + 1 9 К'^ — ■ ^2^3 2-1 У|У2Уз +У2Уз "^^з 3 '2 '1 + 2 ’1 + 1 9 Я-2 - ■ '-'з У[У9Уз+УтУз+Уз 3 '2 '1 + 2'1 + 1 9 6). Притупи справедливого компромисса. Этот принцип предполагает одинаковую важность всех локаль­ ных критериев. Критерии должны быть нормализованы. Для каждой стратегии Xj вычисляется функция E J = E J ( X p = ПeJ(XJ). 4=1 (1.47) Решение многоцелевой задачи имеет вид Е = max{EJ} = тах Пeq(XJ). J 3 а=1 (1.48) Если локальные критерии неравнозначны и характеризуются ве­ совыми коэффициентами Яц А,2,..., Як, то оптимальное решение имеет вид Е = max{EJ} = тах Пeq*^(XJ). к п< 3 4=1 (1.49) 7). Принцип, основанный на макси.мизации совокупности ло- качьных критериев. Сначала рассматривается к одноцелевых задач и вычисляются значения локальных критериев еь 62,..., Ск при всех намеченных стратегиях: 40 Х = (ХьХ2,. . . ,Хр. . . ,Хп)^е1,п. Затсм отыскиваются локально-оптимальные значения критериев: 61 =та.чС](Х). С2 - шахст (X), ек - птахе к (X). Для стратегии вычисляется функция по всем критериям: - л2 Е , ^ Е з ( Х р : е1 (Х р-е1 V / - л2 б 2 ( Х р - е 2 С2 -I- е к ( Х р - е к ек О е 1,п. + . . . + (1.50) Решение многоцелевой задачи имеет вид Е = птах{Е^}. 3 (1.51) Если локальные критерии неравнозначны, то функция по всем критериям видоизменяется: (е,(Х^)-е1)>. С1 ^(ek(XJ)-ek)^k^^ ек (б2(Хр-е2)>^2 ег + ...+ (1.52) j e l , n , ^ 1, А,2,..,, - весовые коэффициенты локальных критериев. 41 8). Принцип экспертных оценок. Возможны различные варианты реализации этого принципа. Рассмотрим один из них. Фор.мируется группа экспертов. Каждый эксперт назначает зна­ чение весовых коэффициентов локальным критериям так, чтобы выполнялось условие >0, Яб1,к, Ё Яд =1. й=1 В результате получается матрица экспертных оценок: Яц Я]!- ■Ята- ■Яш л = Лд1Яд2 ■Ядп •■ЯдК Як]Як2 •Яка •■Якк (1.53) где Яцп - значение весового коэффициента q-гo локального крите­ рия, предложенное п-м эксперто.м; N - количество экспертов. Затем определяется среднее значение весового коэффициента для каждого локального критерия по элементам строк матрицы (1.53): * 1 N ---- Яд I Ядп, це1,к. П=1 (1.54) Эксперты обычно отличаются друг от друга квалификацией, компетентностью, опытом и т.п. В этих условиях могут быть вве­ дены коэффициенты компетентности >0, n 6 l , N , =1. (1.55) 42 Тогда при неравнозначности мнений различных экспертов фор­ мула (1.54) примет вид N ^ 2 qll 1^ п ■ 11=1 Яе1,к. (1,56) Известно возможное развитие такого подхода (метод Дельфи). Его сущность заключается в том, что после вычисления весовых коэффициентов по формуле (1.56) устанавливается степень их со­ гласованности и их значения сообщаются экспертам. Могут также сообщаться аргументы каждого из экспертов. После этого выпол­ няется вторая итерация назначения экспертами весовых коэффици­ ентов и производится новый расчет по формуле (1.56). И так до тех пор, пока не будет полу^чена удовлетворительная согласованность мнений различных экспертов. Найденные таким образом весовые коэффициенты затем реали­ зуют при выборе предпочтительного рещения по принципу весо­ вых коэффициентов (см. формулу (1.45)). В заключение заметим, что расчеты по различным принципам мо­ гут приводить к различным пpeдпo^ггитcльным решениям. Это связа­ но с несовершенством принципов и с разны.ми представлениями в них о сравнимости локальных критериев. Поэтому на практике выбор того или иного принципа сведения многоцелевой оптимизации к одноце­ левой должен быть предварительно обоснован. 2 РЕШЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПРОЕКТИРОВАНИЯ РАЗВИТИЯ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ В данной главе приведены примеры решения различных задач принятия решений при проектировании энергосистем, опублико­ ванных в периодической литературе [6-9, 11 ] и составленных авто­ ром. Эти примеры позволяют оценить широкий спектр задач, кото­ рые могут и должны решаться в условиях неопределенности ис­ ходной информации и многокритериальности. Даны условия задач и варианты исходных данных для самостоя­ тельной работы. Эти задачи предназначены для решения на основе ''Сории, изложенной в разд, 1, и примеров решений аналогичных - а^дач, приведенных в данном разделе. 43 2.1 .Задачи принятия решений в условиях неопределенности З а д а ч а 1 . При проектировании развития энергосистемы од­ нозначно неизвестны: уровень энергопотребления, величина и структура расположения энергетических ресурсов, возможные темпы научно-технического прогресса и их последствия. При принятии решения по развитию энергосистемы можно вы­ делить следующие этапы. 1) . Выбор представительного ограниченного множества возмож­ ных условий развития систе.мы. Этот выбор осуществляется на основе возможного диапазона изменения потребностей в электроэнергии и теплоте, возможностей поставки для электростанций различных видов топлива, возможных сроков и масштабов поставок новых видов обо­ рудования для электростанций, подстанций, линий электропередачи и их технико-экономических показателей и т.п. 2) . Нахождение оптимальных решений для каждого из выбран­ ных условий путем формулировки и решения одноцелевых задач, число которых равно числу выбранных условий. 3) . Составление платежной матрицы по типу табл. 2.1. Т а б л и ц а 2.1 Платежная матрица Оптимальные решения в развитии системы (стратегии развития) Возможные условия развития системы гщ П12 Шп XI З1 З12 Зш Х2 З21 32 Згп Х„ 3п1 ЗП2 Зп В табл. 2.1 стратегия X] оптимальна при условии развития энер­ госистемы Ш| с приведенными затратами Зь Аналогичным образом оптимальной стратегии Хг соответствуют шг и Зг и т.д. Остальные элементы платежной матрицы (З21, З,,] и т.д.) - приведенные затра­ ты при неоптимальных решениях для данного условия развития энергосистемы. 44 4). Выбор стратегии развития системы с одновременным учетом всех возможных условий развития на основе критериев Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица. З а д а ч а 2 . Величина перспективного электропотребления в энергосистеме точно не известна. В таком сл\"чае зададимся ею в некотором интервале в виде трех значений \Уь W2, \Уз, причем бу­ дем полагать, что \У1 < \Уг < '^з. Выберем некоторые стратегии развития энергосистемы, харак­ теризующиеся установленной мощностью электростанций Рь Рг, Рз, причем Р] < Рз < Рз- Каждой стратегии Рц Рг, Рз при каждом значении электропо­ требления Wl,W2,Wз будут соответствовать определенные затраты в энергосистеме. Может оказаться, например, что при стратегии Р1 и электропотреблении \У1 имеет место избыток мощности, а при ’'Л’з - недостаток. Тогда в последнем случае потребуется ограниче­ ние потребителей, что приведет к соответствующему ущербу. Очевидно, что оптимальным решением является то, которое при Р[ в точности соответствует \Уз, возникающему на практике, однако его значение точно не известно. Задача заключается в выборе стра­ тегии принятия решения. Пусть платежная матрица имеет вид, представленный в табл. 2.2. Ее элементы характеризуют приведенные затраты в энергосистеме в условных денежных единицах (у.д.е.) при заданном значении Wj и выбраной стратегии Pi, причем каждому значению Wj соответст­ вует определенная оптимальная стратегия Pi. Т а б л и ц а 2.2 Платежная матрица 1---!— \Уз 10 30 40 _____Р2 30 20 50 Рз 40 30 30 45 Если расчет ведется по приведенным затратам, то целевую функцию необходимо минимизировать. Преобразуем эту задачу в задачу максимизации. Для этого в.место функции 3 введем функ­ цию Р = А - 3, где А - заведомо большое число, такое что Р > 0. Тогда задача тш З равносильна задаче тахР; т т З = тахР = тах(А - 3). Примем А = 100. Тогда поломим новую платежную матрицу (табл.2,3). Т а б л и ц а 2.3 Преобразованная платежная матрица р. Wl W2 Wз Р1 90 50 60 Р2 70 80 50 Р.З 60 70 70 Т а б л и ц а 2.4 Матрица рисков WJ Р. ^ 2 \¥з Р 1 0 30 10 Р2 20 0 20 Рз 30 10 0 Используя формулу (1.15), сформируем матрицу рисков (табл.2,4). Для принятия решения используем критерии Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица. 46 1) Пусть случайная величина \¥] подчиняется нормальному за­ кону распределения При этом вероятности появления \У1, \¥ 2, \Уз соответственно равны: = 0,25; рг = 0,5; рз = 0,25. По формуле (1.16) на основании табл. 2.3 найдем математиче­ ское ожидание выигрыша по 1-й стратегии; а\ = 0,25 • 90 + 0,5 • 50 + 0,25 • 60 = 62,5; «2 = 0,25 • 70 -ь 0,5 • 80 + 0,25 • 50 = 70; аз = 0,25 • 60 -ь 0,5 • 70 -ь 0,25 • 70 = 67,5. По формуле (1.17) найдем ч макс тах{о1 ;а 2 ;аз} = тах{62,5;70;67,5} = 70. Следовательно, в данном случае по критерию Лапласа выгодна стратегия ? 2, так как ей соответствует наибольшее значение крите­ рия оптимальности, равное 70. Рассмотрим это же решение с помощью матрицы рисков (см. табл. 2.4). По формулам (1.18) и (1.19) полз'чим: и = 0,25 • о + 0,5 • 30 + 0,25 • 10 = 17,5; Г2 = 0,25 • 20 + 0,5 ■ о -ь 0,25 • 20 = 10; гз = 0,25-30-ь 0,5-10 +0,25-о = 12,5. мин = т ш { г 1;г2;гз} = тш{17,5;10;12,5} = 10. Вывод; выгодна стратегия Рг, так как для нее значение риска, равное 1 0 , минимально. 2). Пусть вероятности появления неизвестны. Используя ^^Ринцип недостаточного основания Лапласа, получим Р1 =Р 2 = рз = - . 47 Тогда на основании платежной матрицы (см. табл. 2.3) по фор­ мулам (1.16) и (1.17) получим; а] = 1 (9 0 + 50+ 60) = 66,6; а2 = 1 (7 0 + 80+ 50) = 66,6; аз = 1 (6 0 + 70+ 70) = 66,6; I3KC = max{66,6;66,6;66,6} = 66,6. Вывод; наибольшее значение критерия оптимальности, равное 66,6, соответствует сразу трем стратегиям Pi, Р2, Р.з. 3) . Для принятия решения по критерию Вальда используем формулу (1.20) и платежную матрицу (табл. 2.3); W = max min а^-. = max{min{90;50;60};min{70;80;50;}min{60;70;70}} = i j i = max{50;50;60} = 60. i Вывод; выгодна стратегия Рз, так как ей соответствует наи­ большее значение критерия Вальда, равное 60. 4) . Для принятия решения по критерию Сэвиджа используем формулу (1.21) и матрицу рисков (табл. 2.4); S = min maxr^j =min{max{0;30;10};max(20;0;20;}max{30;10;0}} = i j i = min{30;20;30} = 20. i Вывод; выгодна стратегия Рг, так как ей соответствует наи­ меньшее значение критерия Сэвиджа, равное 20. 5). Для принятия решения по критерию Гурвица используем формулу (1.22) и платежную матрицу (табл. 2.3). Расчет выполним при коэффициенте а = 0; 0,1;. . .;0,9, 1,0. Пусть а = о, 1. Тогда имеем 48 H = max{aminajj +(l-a)maxajj} = max{(0,lmin{90;50;60}+ 1 J J +(b0,l)max{90,50;60});(0,lmm{70;80;50}+(l-0,l)max{70;80;50}); (0,lmin{60;70;70}+(l-0,l)rrax{60,70;70})} = = max {(0,1- 50+0,9- 90);(0,1- 50+0,9- 80); (0,1- 60+0,9- 70)} = i = max{86;77;69}=86, i Вывод; выгодна стратегия Pi, так как для нее критерий Гурвица принимает наибольшее значение, равное 86. Выполняя аналогичные расчеты для всех остальных значений а, пол\^им результаты, приведенные в табл. 2.5. Т а б л и ц а 2.5 Результаты расчета критерия Гурвица Значение а 0 0 , 1 0 , 2 0,3 0,4 0,5 0 , 6 0,7 0 , 8 0,9 1 , 0 Значение критерия Н 90 8 6 82 78 74 70 6 6 63 62 61 60 Номер выгодной стратегии Pi Pi Pi Pi Pi Pi Pi Рз Рз Рз Рз Отсюда следует, что при а < 0 , 6 выгодна стратегия Рь а при а > 0,67 - стратегия Рз. О з а д а ч а 3 . Решить задачу 2, приняв в качестве исходных данных вместо платежной матрицы по табл. 2.2 платежную матри- элементы которой заданы в табл. 2.6. 49 Т а б л и ц а 2.6 Значения элементов платежной матрицы к задаче 3 Номер варианта задачи Зи 312 3,3 З21 З22 Згз 3з1 Зз2 Ззз 1 200 220 160 180 210 270 230 150 170 2 120 140 130 160 100 80 ПО 150 140 3 140 150 180 200 120 150 80 160 180 4 100 110 120 80 130 ПО ПО 120 90 5 20 10 30 40 5 20 10 20 40 6 100 ПО 80 90 105 135 П5 125 85 7 60 70 65 80 50 40 55 75 70 8 70 75 90 100 60 75 40 80 90 9 50 55 60 40 65 55 55 60 45 10 10 5 30 20 3 10 5 10 20 11 400 ^ 4 0 320 360 420 540 460 300 340 12 240 280 260 320 200 160 220 300 280 13 280 300 360 400 240 300 160 320 360 14 200 220 240 160 260 220 220 240 180 15 40 20 60 80 10 40 20 20 40 16 600 660 480 540 630 810 690 450 510 17 360 420 390 480 300 240 330 450 420 18 420 450 540 600 360 450 240 480 540 19 300 330 360 240 390 330 330 360 270 20 60 30 90 120 15 60 30 60 120 21 30 40 20 25 22 50 60 15 20 22 60 80 40 50 44 100 120 30 40 З а д а ч а 4 . Известно, что многие параметры при проектирова­ нии систем электроснабжения являются неопределенными, напри­ мер, электропотребление , которое зависит от многих факторов. По­ этому в проектной практике, как правило, задаются тремя вероятными параметрами электропспребления. Это - максимальный темп роста, минимальный и средний. Иногда параметров может быть более трех. идно, что каждому темпу роста будет соответствовать своя оп- 50 тимальная стратегия развития электрической сети. При этом задача проектирования заключается в том, чтобы из многих стратегий разви­ тия сети выбрать т}', которая обеспечивает минимум целевой функции при фактическом темпе роста электропотребления, который точно не известен, а известны лишь его пределы. Описанную качественную постановку задачи математически можно сформулировать следующим образом. Известны темпы рос­ та электропотребления Тц Та, ..., ..., Тц и стратегии развития электрической сети Сц Са, . С{, ..., Сщ- Необходимо выбрать та­ кую стратегию С1, которая соответствует минимуму приведенных затрат Змии на развитие электрической сети (табл. 2.7). Пусть требуется разработать схему электроснабжения района, темп роста нагрузок которой неизвестен. По прогнозным оценкам установ­ лено, что на расчетный период нагр^дка будет не менее 6 МВт и не более 10 МВт, а средняя нагрузка составит 8 МВт. Схему электро­ снабжения можно построить на напряжении 10, 35 и ПО кВ от су­ ществующей подстанции, находящейся на расстоянии 12 км, либо от другой подстанции на напряжении 220 кВ, находящейся на рас­ стоянии 8 км. Можно наметить несколько стратегий развития электрической сети (табл. 2.8). Т а б л и ц а 2.7 Значение приведенных затрат при различных темпах роста элсктропотребления и стратегия развития электрической сети Стратегия развития сети Темпы роста электропотребления Вероятные приведенные затратыТ 1 Ъ Тз Т] Тп С, Зи З12 3]з 3,, 3,„ З1 1 - З21 З22 Ззз 32., 32а З2 _ Сз 3з1 Зз2 Ззз Зз] Ззп Зз С, 3|1 3|2 3.3 3.1 Зщ 3, L с,„ 3,111 3,„2 ЗтЗ Зт! Зтп Зт 51 Т а б л и ц а 2,8 Характеристика стратегии развития сети Стратегия развития сети Описание сети по соответствующей стратегии С1 Сеть на напряжении 10 кВ С2 Сеть на напряжении 10 кВ до достижения минималь­ ной нагрузки, затем переход на напряжение 35 кВ Сз Сеть на напряжении 35 кВ С4 Сеть на напряжении 35 кВ до достижения минималь­ ной нагрузки, затем переход на напряжение 110 кВ С5 Сеть на напряжении 110 кВ Сб Сеть на напряжении 220 кВ Определим приведенные затраты для всех стратегий развития и всех возможных значений нагрузок (табл. 2.9), Пусть оказалось, что для стратегий Сг, С4 и Сб при всех темпах роста нагрузок приведен­ ные затраты оказались выше, чем по другим критериям, следователь­ но, эти стратегии из дальнейшего расчета можно исключить. Т а б л и ц а 2.9 значения приведенных затрат на сооружение электрической сети, у.д.е. Стратегия развития сети Темпы роста нагрузок Тмин, 6 МВт Тср, 8 МВт Тмакс, 10 МВт С, 68 78 85 С2 исключена из рассмотрения Сз 70 73 75 С4 исключена из рассмотрения Сз 71 72 73 Сб исключена из рассмотрения 52 Выберем целесообразные стратегии по различным критериям. Критерии Лапласа. Поскольку вероятность каждого состояния темпа роста электропотребления неизвестна, то каждому темпу Т, припишем вероятность 1/п, где п - количество состояний темпов роста электропотребления. Тогда (см. табл. 2.7) по формуле (1.16) получим: nJ=l 1 Зл = - 13э, ; 1 п 3 . = - Е З , ; П )=1 1 » Зш 1^=1 Для рассматриваемого примера: Зс1 = - (68 + 78 + 85) = 77у.д.е.; Зсз = ^ (76 + 73 + 75) = 72,7 у.д.е.; Зс5 = - (71 + 72 + 73) = 72 у.д.е. Тогда по формуле (1.24) Змии = т1п{3ь Зг.-Зь Зт). Для нашего случая Змии = тш {3сь Зсз, Зсз} = {77; 72,7; 72} = 72 у.д.е. Следовательно, по критерию Лапласа наиболее целесообразной стратегией является стратегия Сз, так как ей соответствует мини­ мальное значение критерия Лапласа, равное 72. ¡критерий Вальда. Выберем из табл. 2.9 для каждой стратегии максимальные значения привсденны.х затрат, а затем среди них - Минимальное значение: 53 З} макс =тах{68;78;85} = 85 у.д.е.; Зз макс =тах{70;73;75} = 75 у.д.е.; ./ ; = тах{71;72;73} - 73 у.д.е.'Э макс Тогда по формуле (1.26) полупим Змии — П1Ш шах{3 ] макс ^Зу макс ’ Зj макс’ Зщ макс )■ 1 1 Для нашего слупая Зщш —П1ш{3} макс’Зз макс’Зу макс) ~ = 73 у.д.е. Следовательно, и по критерию Вальда наиболее целесообразной стратегией развития электрической сети является стратегия Сз. Критерий Сэвиджа. Применение этого критерия позволяет уменьшить риск от возможного увеличения приведенных затрат. По смыслу он характеризует критерий, минимизирующий потери, под которыми понимаются упущенные возможности. Для каждого темпа роста нагрузок (см. табл. 2.9) найдем мини­ мальное значение Зji. Найдем ра:.шости между каждым значением затрат в данном столбце и минимальным значением Зji этого столб­ ца. Результаты сведем в табл. 2.10. Подушенные значения показы­ вают разницу между действительным выбором и наиболее благо­ приятным, если бы был известен темп роста электропотребления. 54 Т а б л и ц а 2.10 Значения риска у-величения приведенных затрат на сооружение сети, у д е. Стратегия пазвития сети Темпы роста нагрузок 3з1 максТмин, 6 МВт Тср, 8 МВт Тмакс, 10 МВт С, 0 6 12 Сз исключена из рассмотрения Сз 2 1 1 С-4 исключена из расемотрения С5 3 0 0 Сб исключена из рассмотрения Из качественного анализа табл. 2.10 видно, что при минималь­ ной нагрузке следовало бы принять стратегию Сц а при средней и максимальной - стратегию С5, так как в этих случаях значение риска минимально. Однако такой подход не учитывает все три воз­ можных темпа роста нагрузок. Поэтому выберем для каждой стра­ тегии максимальные значения риска увеличения приведенных за­ трат, а затем среди них - минимальное значение риска: 3] =тах{0,6;12} = 12 у.д.е.; ^3 макс ~ 1,2} = 2 у.д.е., З5 макс =тах{3;0;0} = 3 у.д.е. J Т^огда по формуле (1.28) получим Змин =пнптах{12;2;3)=г2 у.д.е. > 1 Отсюда следует, что по критерию Сэвиджа наиболее предпочти- ^ельна стратегия Сз. 55 Критерий Гурвица. Введем коэффициент оптимизации О < а < 1. Вычислим критерий Гурвица при различных значениях коэффици­ ента а по формуле (Г29) на основании платежной матрицы (см. табл. 2.9). Так, при а = 0,1 для стратегии С1 Н) = а т а х ап + (1 - а) т т ау = 0,1 тах{68;78;85} + + (1 - 0,1)тш{68;78,85} = 0,1 • 85 + 0,9 • 68 = 69,7. Аналогично для стратегий Сз и С5 : Нз - о, 1 тах(70;73;75}г ( 1 - 0,1 )тш{70;73;75 }= 0,1- 75+ 0,9- 70 = 70,5; 1 Н5 =0,1 тах{71;72;73}+(1-0,1)тш{71;72;73}=0,1-73+0,9-71 = 71,2. 1 Тогда критерий Гурвица Н = тш {Н 1 ;Нз;Нз} = {69,7;70,5;71,2} = 69,7. Вывод: по критерию Гурвица выгодна стратегия Сь Результаты расчетов для других значений а приведены в табл. 2.11. Т а б л и ц а 2.11 Значение приведенных затрат по критерию Гурвица, у.д.е. Стратегия развития сети Коэфс )ициент оптимизма а 0 0,1 0,3 0,5 0,8 1,0 С1 68 69,7 73,1 76,5 81,6 85 С2 исключена из рассмотрения Сз ^ Г\/и 70,5 71 < 1 7Э ^ I 74 75 С4 исключена из рассмотрения Сз 71 71,2 71,6 72 72,6 73 Значение критерия Г урвица 68 69,7 71,5 72 72,6 73 56 Из табл. 2.11 следует, что при а > 0,5 наиболее предпочтительна стратегия С5, п]зи а = 0,3 - стратегия Сз, а при а < 0,3 - стратегия 1. З а д а ч а 5 . Требуется выбрать расчетную толщину стенки го­ лоледа на проводах проектируемой одноцепной линии электропе­ редачи. При этом надежная информация о величине удельного ущерба от перерывов электроснабжения отсутствует. В качестве стратегий принять выбор расчетного района по гололеду. Платеж­ ную матрицу построить по форме, представленной табл. 2.12. В качестве элементов матрицы принять приведенные затраты, рас­ считанные по формуле (см. табл. 2.12) для каждого района по голо­ леду. Возможные варианты удельного ущерба принять из табл. 2,13 Б соответствии с вариантом задания. Решение задачи выполнить для двух случаев: когда вероятности появления ущербов ущ и уо4 равны 0,25, а ущербов уо2 и уоз - 0,3; когда вероятности появления ущербов уоь уо2- Уоз и уо4 равны 0,25. Принятие решения осуществить по критериям Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица. Т а б л и ц а 2.12 Платежная матрица Расчетный район по гололеду Номер стра­ тегии Расчетная формула Приведенные затраты, у.д.е., при удельном ущербе уо, у.д.е./кВт ■ ч У01 У02 уоз У04 Особый С, 225+22V0 IV С2 200+45уо III - ¿ ¡ Z . 183+450уо _ 11 ' с Г " 168+1 ЮОуо , } с 7 1 !53+5200уо 57 Т а б л и ц а 2.13 Варианты заданий удельных ущербов к задаче 5 Номер варианта задания Варианты удельных ущербов уо, у.д.е./кВт ■ ч Уо1 У02 Уоз У04 1 1 0,8 0,6 0,4 2 1 0,5 0.3 0,1 3 0.8 0,6 0,4 0,1 4 0,6 0,5 0,3 0,05 5 0,7 0,3 0,1 0,01 6 1 0,5 0,1 0,01 7 I 0,8 0,3 0,1 8 0,9 0,7 0,5 0,05 9 0,8 0,3 0,2 0,01 10 0,9 0,4 0,1 0,02 11 1 0,7 0,2 0,01 12 1 0.6 0,4 0,2 13 1,5 1,0 0,5 0,1 14 2,0 1,5 1,0 0,5 15 1,8 1,2 0,6 0,3 16 1,2 0,8 0,3 0,1 17 1,0 0,4 0,1 0,01 18 1,3 0,7 0,5 0,03 19 0,7 0,4 0,2 0,05 20 1,1 0,5 0,3 0,02 21 0,8 0,4 0,1 0,01 22 1 0,3 0,1 0,02 З а д а ч а 6 . Проектирование сельских электрических сетей осу­ ществляется исходя из нормируемых допустимых отклонений напря­ жения ± бидо„%, которые сложились на практике, ,чо не имеют стро­ гого технико-экономического обоснования. В то же время расчетные значения допустимых отклонений напряжения влияют, с одной сто­ роны, на технико-экономические показатели сети, а с другой - на ве­ личину ущерба потребителей от отклонения напряжения. При этом с увеличением бидон затраты на сети >тченьшаются, а >тцерб потребите- 58 ^ей увеличивается. В этих условиях может быть сформулирована за­ дача оптимизации доп>'сти.мых отклонений напряжения. Получение зависи.мостей технико-экономических показателей сети и ущерба потребителей от допз стимых отклонений напряже­ ния в детерминированном виде представляет сложную задачу. В УСЛОВИЯХ же неопределенности сравнительно точно можно опрсдс- гцпь только предельные (максимальные и минимальные) значения. Можно считать неопределенными при различных 5идоп расчетные нагрузки, ущербы от недоотп>ска элеш-роэиергии, ущербы от схудшения качества электроэнергии. По данным (7], наибольщие ущербы от >'х\дшения качества на­ пряжения имеют место при чисто осветительной нагрузке, а наи- .меньшее - при чисто двигательной нагрузке. При этом ущерб от ухудшения качества напряжения может быть записан в виде У = Уосв (Па) + Удв» , у.д.е./кВт ■ год . ( 2. 1) где Уосв. Удв - удельные значения ущербов для чисто осветитель­ ной и чисто двигательной нагрузки; а — коэффициент структуры электропотрсбления, характери­ зующий соотношение между осветительной и двигательной на­ грузками. Коэффициент а находится в пределах О < а < 1 . Удельные приведенные затраты на сети в зависимости от диапа­ зона отклонений напр5окения й = 25идоп можно представить в виде Зс(с1), кВт•год Если полагать, что ущербы при одинаковых значениях положи­ тельных и отрицательных отклонениях напряжения одинаковы, то Целевую функцию можно записать в виде 3 (и , а) - Зс(и) 3 ( 1 -0.) Уосв((1) + а Удв(с1). (2.2) Минимум этой функции должен соответствовать оптимальному Диапазону допустимых отклонений напряжения (Зопт Ддя решения этой задачи можно составить платежную матрицу (табл. 2.14). 59 Т а б л и ц а 2.14 Платежная матрица Стратегии выбора диапазона с1 Приведенные затраты при коэффициенте структуры электропотребления и вероятности ее появления а 1=0; р1 «¡;Р| 0^ n^ 1/рп Зщ Ф Зш ¿т Зтп На основании критерия Вальда по формуле (1.26) оптимальным будет диапазон <1опт, соответствующий мини.максу: = гшп тах 3((1, а). (2.3) Если по табл. 2.14 составить матрицу рисков, то можно найти оптимальное решение по критерию Сэвиджа по формуле (1.28) в виде 8 - шш тах [ 3 (б, а) - т!п (б, а)]. (2.4) “J Для расчета по критерию Лапласа и Гурвица можно использо­ вать формулы (1.24), (1.25) и (1.29). Варианты заданий коэффициентов структуры электропотребле­ ния 0 | и вероятности ее появления pj приведены в табл. 2.15. Тре­ буется выбрать предпочтительную величину допустимых отклоне­ ний напряжения из стратегий й, % = 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20; 22; 24. Приведенные затраты определить по формуле (2.2), отдельные составляющие которой вычислить по формулам 60 Зс(с1) — 0,008(1' ^+ 0,4(1^ - 5,97(1 + 68,3, у.д.е./(кВт • год), Уосв(с1) = -0,001(1 ^+ 0,07(1 ^+ 0,88(1 + 0,63, у.д.е./(кВт • год), Удв(с1) = О.ООЫ^ - 0,02(1= + 0,09с1 - 0,08, у,д.е./(кВт • год). Платежную матрицу составить по (})орме табл. 2.14. Расчеты произвести с использованием критериев Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица. Т а б л и ц а 2.15 Варианты заданий к задаче 6 Номер варианта задания Варианты коэс}}())ициентов структуры электропотреб­ ления а и вероятности ее появления р а\ 0.2 аз а4 Р1 Р2 Рз Р4 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,25 0.25 0,3 0,2 2 0,8 0,7 0,6 0,5 0,3 0,3 0,2 0,2 3 0,7 0,6 0,5 0,4 0,2 0,3 0,3 0,2 4 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,4 0,3 0,1 5 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0.4 0,3 0,2 6 0,4 0,3 0,2 0,1 0,3 0,2 0,3 0,2 7 0,7 0,4 0,1 0,1 0,1 0,4 0,4 0,1 8 0,5 0.3 0,2 0,1 0,3 0,2 0,2 0,3 9 0,8 0,5 0,3 0 ? 0,25 п т 0,25 0,2 10 0,7 0,4 0,2 0,1 0,2 0,3 0,2 0,3 И 0,6 0,4 0,3 0,1 0,25 0,25 0,3 0,2 12 0,9 0,7 .0,5 0,3 0,3 0.3 0,25 0,25 13 0,8 0,6 0,4 0,2 0,2 0,3 0,3 0,2 ^ 14 0,7 0,5 0,3 0,1 0,2 0,4 0,3 0,1 15 0,6 0,4 0,2 0,1 0,4 0,2 0,2 0,2 16 0,8 0,7 0,5 0,3 0,1 0,2 0,3 0,4 [ 17 0,7 0,4 0,2 0,1 0,2 0,3 0,3 0,2 18 0,7 0,6 0,3 0,1 0,1 0,2 0,3 0,4 19 0,8 0,5 0,2 0,1 0,25 0,3 0,25 0,2 _ 20 0,9 0,5 0,3 0,1 0,1 0,4 0,4 0,1 ___21 0,5 0,3 0,2 0,1 0,2 0,3 0,2 0,3 1 1 ~ ^ 0,6 0,5 0,2 0,1 0,3 0,2 0,3 0,2 61 2.2. Задачи принятия решений при многоцелевой оптимизации З а д а ч а 1 . Требуется оценить сравнительную эффективность различных видов транспорта энергии (стратегии) для передачи 250 млрд. кВт ■ ч в год или 80 млн. тонн условного топлива (или передачи 30 ГВт мощности), рассмотрев следующие виды: железнодорожный транспорт (стратегия ХО; линия электропередачи переменного тока (стратегия Хг); сверхпроводящая ЛЭП (стратегия Хз). Локальные критерии оптимизации: минимум приведенных затрат щ; минимум срока реализации 62; максимум надежности сз, характеризуемой вероятностью безот­ казной работы; максимум обеспечения системного эффекта 64; максимум эффекта для других отраслей народного хозяйства с$. Критерий оптимальности данной многоцелевой задачи примем по принципу весовых коэффициентов (1.45): Е = Е тах. 4=1 Выбор весовых коэффициентов ,\ц существенно влияет на полу­ ченный результат. Поэтому для каждого локального критерия це­ лесообразно проварьировать A.q при = 1 • При полной неопреде­ ленности принимают равномерное распределение на отрезке 0 . . . 1, каждое из Xq задают в виде всех значений из этого диапазона. В конкретных задачах область каждого может быть существенно сужена. В данном примере можно полагать, что при Aq < 0,1 происхо­ дит обесценивание цели. Поэтому при к = 5 нижний предел — A,q - = 0,1. Тогда Хп макс “ 0,6, а остальные четыре цели - по 0,1. 62 Т а б л и ц а 2.16 Варианты задания весовых коэффициентов Цель (локальный критерий) Варианты Хц для локальных критериев I II III IV V 61 0,6 0,4 0,2 0,2 0,2 62 0,1 0,2 0,4 0,2 0,2 63 0,1 0,2 0,2 0,4 0,2 64 0,1 0,1 0,1 0,1 0,2 65 0,1 0,1 0,1 0,1 0,2 Приведенные в табл. 2.16 варианты оценки весовых коэффици­ ентов существенно различаются. Они предполагают в крайних слу­ чаях либо выбор в качестве главной одной цели (вариант I), либо равнозначность целей (вариант V). Предварительно рассчитываются значения всех локальны.х крите­ риев для всех вариантов (стратегий) транспорта энергии. Поскольку локальные критерии имеют различтто размерность, то они затем должны быть нормализованы. Пусть в результате проведения такой работы по формулам (1.32) и (1.36) получились нормализованные значения локальных критериев, приведенные в табл. 2.17. В табл. 2.18 даны результаты расчета значений критерия Е для различных стратегий при различных вариантах задания весовых коэффициентов, вычисленные по данным табл. 2.16 и табл. 2.17. Т а б л и ц а 2.17 Значения локальных критериев Цель Нормализованные значения локальных критериев при вариантах (стратегиях) транспорта энергии XI Х2 Хз б1 0,5 1 0,3 62 1 0,5 0,3 63 1 0,9 0,85 64 0 1 1 65 1 0 0 63 Т а б л и ц а 2.18 Значения критерия оптимальности многоцелевой задачи Варианты транспорта энергии (стратегии) Значения критерия Е при вариантах задания весовых коэффициентов I П 111 IV V XI 0,6 0,7 0,8 0,8 0,7 Х2 0,84 0.78 0,68 0,76 0,68 Хз 0,4 0,45 0,45 0,56 0,49 Из табл.2.18 следует, что использование сверхпроводящих ЛЭП в настоящее время является преждевременным, так как для всех вариантов значение критерия Е для стратегии Хз меньше, чем для других стратегий. З а д а ч а 2 [11]. Требуется оценить целесообразность при.ме- нения новых конструкций элементов электрических сетей (напри­ мер, вакуумных выключателей, кабелей с пластмассовой изоляцией и т.п.). Оценку произвести по следующим локальным критериям (целям); минимум годовых эксплуатационных расходов ец мини­ мум капитальных затрат ез, максимум надежности работы ез, мак­ симум безопасности обслуживания ез. При этом известно, что но­ вое оборудование требует меньших затрат на техническое обслу­ живание и имеет меньшую величину параметра потока отказов. При этом его стоимость превосходит стои.мость традиционно при­ меняемого оборудования. Для выбора стратегии Х[ (применять традиционное оборудова­ ние) или стратегии Хг (применять новое оборудование) воспользу­ емся принципом весовых коэффициентов (1.45): Е(Х) = 2; >-qeq(X) -Э’ шах. Ч=! Будем полагать, что при значениях весовых коэффициентов Хд < 0,2 происходит обесценивание цели. При q = 4 и нижнем пре­ деле = 0,2 для трех критериев максимально возможное значение весового коэффициента для наиболее важного критерия равно 0,4. 64 Получим решение при различных сочстаниях весовых коэффи­ циентов Х.Ц (табл.2.19). Для решения задачи необходимо произвести нормализацию критериев, так как они имеют различные единицы измерения. Для критериев С1 и ег (минимизация цели) нор.мализацию выполним по формуле (1.36), а для критериев ез и е4 (максимизация цели) - по формуле (1.32). Т а б л и ц а 2.19 Варианты задания весовых коэффициентов Локальный критерий Значения весовых коэффициентов при вариантах 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 01 0,25 0,4 0,2 0,2 0,2 0,3 0,3 0,3 0,2 0,2 0,2 02 0,25 0,2 0,4 0,2 0,2 0,3 0,2 0,2 0,3 0,3 0,2 03 0,25 0,2 0,2 0,4 0,2 0,2 0,3 0,2 0,3 0,2 0,3 04 0,25 0,2 0,2 0,2 0,4 0,2 0,2 0,3 0,2 0,3 0,3 Пусть известно, что новое оборудование характеризуется уменьшением годовых эксплуатационных расходов в 1,5 раза, по­ вышением надежности — в 1,5 раза, увеличением уровня безопас­ ности обслуживания — в 1,2 раза. Поставим задачу установить, при каком удорожании нового оборудования оно будет равноценно традиционному. Примем значения локальных критериев для тра­ диционного оборудования (стратегия ХД за базисные: еп - 1, 021* = 1, 031* = 1, 041* = 1- Тогда значения критериев для нового обо­ рудования (стратегия Хг) будут о г = 0,7, езз = 1,5, 642 = 1,2- Зна­ чение критерия С2 2 (капитальные затраты) будем варьировать пу­ тем введения коэффициента удорожания к от 2,0 до 4,0. При этих условиях результаты расчетов значений локальных критериев для различных стратегий приведены в табл. 2.20. 65 Т а б л и ц а 2.20 Значения локальных критериев Локальный критерий Значения Са при стратегиях XI Х2 при коэффициенте удорожания к 2,0 2,5 3,0 4,0 61 0,7 1 1 1 1 62 1 0,5 0,4 0,33 0,25 63 0,7 1 1 I 1 б4 0,83 1 1 1 1 Имея значения локальных критериев (см. табл. 2.20), для каждой стратегии можно вычислить значение критерия оптимизации Е(Х). Результаты расчетов Е(Х) при различных вариантах задания весо­ вых коэффициентов (см. табл. 2.19) приведены в табл. 2.21. Т а б л и ц а 2.21 Результаты расчетов критерия Е(Х) для различных стратегий Стратегии Значения критерия оптимизации Е(Х) для вариантов весовых коэффициентов 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 X, Хг при 0,81 0,78 0,75 0,78 0,81 0,89 0,78 0,8 0,81 0,83 0,8 2,0 0,87 0,9 0,8 0,9 0,9 0,85 0,9 0,9 0,85 0,85 0,9 2,5 0,85 0,88 0,76 0,88 0,88 0,82 0,88 0,88 0,82 0,82 0,88 3,5 0,83 0,86 0,73 0,86 0,86 0,8 0,86 0,86 0,8 0,8 0,86 4,0 0,81 0,85 0,7 0,85 0,85 0,7 0,85 0,85 0,77 0,77 0,85 Из табл. 2.21 следует, что при одинаковых весовых коэффици­ ентах (вариант 1) применение нового оборудования (стратегия Хг) целесообразно при увеличении капитальных затрат в него до 4 раз. При этом наибольшая эффективность имеет место при к = 2. Если капитальные затраты считать более важной целью б2 (например, варианты 3 и 6, весовые коэффициенты соответственно 0,4 и 0,3, см. табл. 2.19), то применение нового оборудования (стратегия Х2) не целесообразно, так как максимум Е(Х) имеет место при страте­ гии Х1 (см. табл. 2.21). 66 З а д а ч а 3 . Требуется выбрать стратегию развития электриче­ ской сети энергосистемы, решив многокритериальную задачу. В качестве локальных критериев принять: капитальные затраты на развитие энергосистемы С](Х) = К(Х)-э-тт; ущерб от перерывов и ограничений в электроснабжении из-за аварийных и плановых простоев оборудования е2(Х) - У(Х)-э-т1п; годовые эксплуатационные расходы ез(Х) = Г,(Х)->пнн; потери электроэнергии в электрических сетях С4(Х) = ДЭ{Х)-э-т1п; площадь территории, отчуждаемой под новые линии электропе­ редачи и подстанции, равную С5(Х) = 8(Х)->т1п. Пусть разработаны три стратегии (варианта) развития энерго­ системы Хн Хг, Хз, для каждого из которых вычислены значения всех локальных критериев, в результате чего получена .матрица ло­ кальных критериев (табл. 2.22). Т а б л и ц а 2.22 Матрица локальных критериев Стратегия (вариант) К, тыс. у.Д.е. У, тыс. у.Д.е. Гэ, тыс. у.Д.е. АЭ*10^ МВт • ч С 2 Ч^ ч *•* XI 3552 2874 272 7,97 8602 Х2 3862 1200 238 0,12 9046 Хз 7439 1224 151 0,075 13603 67 Из табл. 2.22 видно, что локальные критерии имеют различные размерности. Нормализз ем локальные критерии по формуле (1.37). Так, например, для критерия е] = К будем иметь: ец = 3552 7439 - 3552 = 0,914; С21=----------------= 0.994; 7439-3552 ез1 =■ 7439 1,914. 7439-3552 Результаты нормализации критериев сведены в табл. 2.23. Т а б л и ц а 2.23 Матрица нормализованных локальных критериев Стратегия (вариант) К У Гэ ДЭ S X, 0,914 1,717 2,25 1,009 1,72 Х2 0,994 0,717 1,974 0,015 1,81 Хз 1,914 0,731 1,25 0,009 2,72 Преобразуе.м задачу мини.мизации в эквивалентную задачу мак- симизации: min Cq = max (А-С;,). Зададимся заведомо большим числом А относительно значений локальных критериев в табл. 2.23. Пусть А = 3. Тогда значения критерия К: 3 -0 ,914 = 2,086; 3 -0 ,9 9 4 = 2,006; 3 - 1,914= 1,086. Аналогичным образом может быть произведен пересчет значе­ ний остальных локальных критериев. Результаты преобразования задачи минимизации локальных критериев в задачу максимизации приведены в табл. 2.24. 68 Т а б л и ц а 2.24 Матрица нормализованных локальных критериев вида —>тах С тратегия (вариант) ei = К ег = У сз = Г, С4 = ДЭ 65 = S Xi 2,086 1,283 0,75 1,991 1,28 Хг 2,006 2,283 1,026 2,985 1,19 Хз .... 1.086 2,269 1,75 2,991 0,28 Рассмотрим теперь выбор стратегии развития электрической се­ ти на основе различных принципов выбора критерия оптимально­ сти (см, подразд. 1.6.4), используя данные табл, 2.24. 1). Принцип выделения гчаеного критерия. В качестве главного критерия выберем, напри.мер, критерий С) = К. Для остальных критериев зададим ограничения; ез > 1,2; ез > 0,5; С4 > 1; С5 > 1,0. Тогда по формуле (1.41) получим ei = maxiCji} = ma.x{2,086;2,006;l,086) = 2,086, Следовательно, предпочтительной является стратегия Хг При этом введенные ограничения по относительным критериям соблю­ даются. 2). Принцип последовательной оптимизации на основе .жестко­ го приоритета. Установим ряд приоритета локальных критериев. Пусть он име­ ет вид I = (еь £2, ез, б4, es). Решим одноцелевую задачу для наиболее важного критерия Ci по формуле (1.42): ei = max{ej)} - max{2,086;2,006;l,086} = 2,086. J Предпочтительна стратегия Xi. 69 Решим одноцелевую задачу для следующего по важности кри­ терия ег: С2 =ma.x{ej2} = ma\{ 1,283:2,283;2,269} = 2,283 J при ограничении С] = ei = 2,086 = const. По критерию б2 предпочтительна стратегия Х2, но при этом не выполняется условие по ец так как при стратегии Х2 2,006 < 2,086. Следовательно, по данному принципу расчог необходимо закон­ чить и предпочительной стратегией считать Xi. 3). Принцип последовательной уступки. Установим, как и раньше, ряд приоритета критериев I = (ец ег, ез, 64, 65). Решим одноцелевую задачу по критерию ер ei =max{eji} = max{2,086;2,006;l,086} = 2,086. J Предпочтительная стратегия Хц Зададимся величиной з’ступки Дб1 = 0,1. Далее решим одноцелевую задачу по критерию ег на основе формулы (1.43): С2 = maxiej2) = ma.x{ 1,283:2,283:2,269} = 2,283 J при ограничении ej > e i - A c ) . Поскольку - A - , ' Т Г Ч О / ' Г \ 1 1 Г \ С* Z 'Cl - ¿iCj = 2,Os6 - и, I = 1,V50, то С1 > 1,986, По критерию 62 предпочтительна стратегия Хз. При этом огра­ ничение по б1 выполняется (2,006 > 1,986). 70 Зададимся теперь величиной уступок по С] и ег в виде Ае1 = 0,1; Лс2 = о, 15 и решим одноцелевую задачу по критерию ез: ез = тах{е ¡3} - тах{0,75;1,026;1,75) = 1,75 . При ограничениях Cj > ei - Aej , то есть ei > 1,986 62 ^С2 - Ает, то есть ез - Аез =2,283-0,15 = 2,133. С2 > 2,133. По критерию сз предпочтительна стратегия Хз. При этом огра­ ничение по С2 выполняется (2,269 > 2,133), а по ei - не выполняется (1,086 < 1,986). Следовательно, при заданных зступках предпочтительной оста­ ется стратегия Хг. Если задаться другими значениями уступок Аец то можно опре­ делить, ценой какой уступки можно предпочесть стратегию Хз по критерию ез. 4). Принцип относительного гарантированного уровня. Будем полагать, что все локальные критерии по важности рав­ ноправны. Найдем оптимальные значения локальных критериев е и опти­ мальные стратегии X , решив следующие одноцелевые задачи: ei =max{e^i} = max{2,086;2.006; 1,086} = 2,086, Xi =Xj ; J ¡2 =max{ej2} = max{l,283;2,283;2,269} = 2,283, X 2 = X 2l J ¡ 3 =max{ej3} = max{0,75;l,026;l,75} = l,75, X 3 =Хз; .) C4 = max{ej4 } = max{ 1,991;2,985;2,991} = 2,991, X 4 =Хз; j es = max}e js) = max{ 1,28;1,19;0,28} = 1,28, X 5 = X j, 71 Выберем из оптимальных значений локальных критериев мак­ симальные значения: ёч м;,кс =тах{2,086;2.283;1,75;2,991;1,28) = 2,991. Для того чтобы использовать формулу (1.44), найдем сначала значения локальных критериев для всех полученных оптимальных стратегий Xq и разделим их на Сц маке = 0,697: р 2 991макс 1 е 2 991'-С] макс ¿-у-' е ? = м м = 0,363; = •'q макс 2.991 р 2 991'-'Ц макс ^ 2 991макс = 1 2 ^ = 0,429'. ^ 2,991 2 2,283 £2 = — 7Т = 0,763; 2,991 3 2,269е --------- ^ 2,991 = 0,759; е 1 . 3 2 « . 0,759. 2,991 = 1 ^ = 0.429. 2.991 е 1 = А 2 1 .о ,2 5 1 ; 2,991 2 1,026е-! = -------— 0,л4л; 2.991 3 1-75— = 0,э8л; 3 2,991 ез 1,/: 2,991 0,585; = -^ 1 ^ = 0,251. 2,991 1 ’>991 окх .Сл - -------= 0.665; 2,991 С4 = = 0,998;2,991 ,3 _ 2,991 ~ 2,991 = 1; 72 4 2,991Q - ------- -1 2.991 0,665 ^ 2,991 1,28 2,991 = 0,428; = 0,398; c¡ = = 0,094; 2,991 2,991 es =■0,28 2,991 = 0,094; e ? = - i ^ = 0,428. 2.991 Найдем минимальные значения критерия опти.мальности из ка­ ждого полученного ряда: 6] мин = mm{0,697; 0,671, 0,363; 0,363; 0,697} = 0,363; егмин = min{0,429; 0,763; 0,759; 0,759; 0,429} = 0,429; ез мин = min{0,251; 0,343; 0,585; 0,585; 0,251} = 0,25 I; C4mhh = min{0,665, 0,998; 1; 1; 0,665} = 0,665; 65 мин == min{0,398; 0,094; 0,094; 0,428, 0,428} = 0,094. Решим одноцелевую задачу вида Ei(X} = max{0,363; 0,429; 0,251; 0,665; 0,094} = 0,665. Число 0,665 относится к критерию С4 .ми» и соответствует значе- ния.м e4 (Xi) и е4 (Хз). Но поскольку Xi =Х] и X s = X j , по этому принципу предпочтительной является стратегия X¡. 5). Принцип весовых коэффициентов. Зададимся весовыми коэффициентами: >.1 = 0,38; >.2 = 0,25; >.з = 0,15; Xi = 0,12; >.5 = 0,1. По формуле (1 45) найде.м значения Е(Х) для каждой стратегии: Ei(Xi) = 0,38 • 2,086 + 0,25 ■ 1,283 + 0,15 • 0,75 + + 0,12- 1,991 + 0,1- 1,28 = 1,593; 73 ЕгСХг) = 0,38 ■ 2,006 + 0,25 • 2,283 + 0,15 • 1,026 + + 0,12' 2,985 + 0,1 ■ 1,19= 1,964; Ез(Хз) = 0,38- 1,086 + 0,25-2,269+ 0.15- 1,75 + + 0,12-2,991 + 0,1-0.28 = 1.629. Теперь решим задачу вида Е( Х) = т а х { Е , ; Е , ; Е , } = шах{ 1,593 ;1,964 ;1,629 } = 1,964.] Отсюда следует, что по данному принципу при заданных значе­ ниях весовых коэффициентов наиболее предпочтительной является стратегия Х2. 6) . Принцип справедливого компромисса. Полагая важность всех локальных критериев одинаковой, по формуле (1.47) вычислим значения Е(Х) для каждой стратегии: Ei(Xi) = 2,086- 1,283-0,75- 1,991 • 1,28 = 5,12, Е2(Х2) = 2,006 - 2,283 - 1,026-2,985- 1,19= 16,69; Ез(Хз) = 1,086 - 2,269 - 1,75 • 2,991 • 0,28 = 3,61. Теперь решим задачу вида (1.48): Ё(Х ) = тах{ Е у, Е 2; Е 3} = шах {5,12; 16,69;3,61} = 16,69. .1 Вывод: по данному принципу оптимальности при одинаковой важности локальных критериев предпочтительной является страте­ гия Е2. 7) . Принцип, основанный на максимизации совокупности ло­ кальных критериев. Рассмотрим реализацию этого принципа для случая, когда важ­ ность локальных критериев одинакова. Найдем локально-оптимальные значения критериев: 74 Cl =maxcj(X) = max{2,086;2,006;l,086} = 2,086; 62 = maxc2 (X) = max{ 1,283;2,283;2,269} = 2,283; C3 - тахсз (X) = max{0,75; 1,026; 1,75} = ] ,75; 64 = max64 (X) = max {1,991 ;2,985;2,991} = 2,991; 65 =max65(X) = max{l,28;l,19;0,28} = l,28. По формуле (1.50) вычислим функцию Ej для каждого критерия; Е, = 2.086-2,086 Л2 V 2,086 + 1,283-2,283 2.283 0,75-1,75 1,75 + 2 1,991-2,991 2,991 + 1,28-1,28 1,28 0,631; Е , = 2,006 - 2,086 ^ 2,086 + 2,283-2,283)^ (1,026-1,75 V 2.283 1,75 + 2,991 1,28 Е , = ,086-2,086 2,086 2,269-2,283 2,283 ^ (1,75-1,75+ 2,991-2,991^^ (0,28-1,28^^ + 1,28 1,75 = 0,84. •f 2,991 Тогда по формуле (1.51) имеем Ё - max {Е,; Е J; Е 3} = max {0,631 ;0,177 ;0,84} = 0,84, Вывод: по данному принципу при одинаковой важности локаль­ ных критериев предпочтительна стратегия Хз. 75 8). Прит^ип экспертных оценок. Пусть сформирована группа экспертов из трех человек, каждый из которых высказал свое мнение относительно весовых коэффи­ циентов к локальным критериям. В результате получена матрица вида (1.53): Л: 0,2 0,3 0,1 0,2 0,2 0,4 0,2 0,1 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,1 Полагая, что мнения экспертов равнозначны, по формуле (1.54) вычислим средние значения весовых коэффициентов всех локаль­ ных критериев: (0,2 + 0,3+ 0,1) = 0,2; ^ (0,2 + 0,2 + 0,4) = 0,26; Яз = ~ (0,2+ 0,1 +0,2) = 0,17; ^4= ~ (0,2 + 0,2 + 0,2) = 0,2; (0,2+ 0,2+ 0,1) = 0,17. Теперь предположим, что эксперты отличаются уровнем компе­ тентности, характеризующейся соответствующим коэффициентом: 1-й эксперт - 0,2; 2-й - 0,3; 3-й - 0,5. Тогда по формуле (1.56) пол>мим значения весовых коэффици­ ентов локальных критериев: XI = 0,2 ■ 0,2 + 0,3 • 0,3 + о, 1 • 0,5 = 0,18; Х2 = 0,2 • 0,2 + 0,2 • 0,3 + 0,4 • 0,5 = 0,3; 76 :^ 3 = 0,2 ■ 0,2 + о, 1 • 0,3 + 0,2 • 0,5 = 0,17; = 0,2 • 0,2 + 0,2 • 0,3 + 0,2 • 0,5 = 0,2; = 0,2 • 0,2 + 0,2 • 0,3 + 0,1 • 0,5 = 0,15. Зная весовые коэффициенты, можно найти предпочтительную стратегию, используя принцип весовых коэффициентов. Обобщая полученные результаты расчета, необходимо отметить следующее: при рещении многокритериальной задачи, в отличие от одно­ критериальной, оптимальное решение в виде оптимальных страте­ гий не всегда представляется однозначным; предпочтительная стратегия зависит от выбранного критерия оптимальности; в расс.мотренной задаче, в зависимости от критерия оптимальности, предпочтительны.ми оказывались стратегии Хь Хг илиХз; даже при использовании только одного критерия оптимальности предпочтительныл1и мог\т оказехться различные стратегии в зависи­ мости от назначенных условий: величины устл'пки при реализации принципа последовательной уст\т1ки, значений весовых коэффициен­ тов при использовании принципа весовых коэффициентов и т.п. Тем не менее выполнение подобных расчетов позволяет прини­ мать более обоснованные решения, чем принятие решения “наобум”, без проведения расчетов. З а д а ч а 4 . Потребителя наибольшей мощностью Рнб с коэффи­ циентом мощности созф и временем использования наибольшей на­ грузки Т„б = 5500 ч предполагается обеспечивать питанием электро­ энергией по линии электропередачи напряжением Пном = 110 кВ дли­ ной 1. В качестве возможных вариантов (стратегий) электроснабжения принять различные марки проводов фаз: стратегия X] - сечение АС 70/11; стратегия Хг - сечение АС 120/19; стратегия Хз - сечение АС 240/32. Выбрать наиболее предпотгительный вариант, решив много- целев>ло задачу, в которой в качестве локальных 1фитериев принять: годовые эксплуатационные расходы С] = Гэ и капитальные затраты на сооружение линии ег = К. Решение выполнить по принципу весовых коэффициентов, приняв ряд приоритета I = (Гэ; К). Вектор приоритета принять по следующим варианта.м: 77 а) VI = (8,33; 1); б ) У 2-(1 0 ; 1); в) У з-(6 ,67 ; 1). Весовые коэффициенты определить по формуле (1.46). Исходные данные принять из табл. 2.25 для заданного варианта. Т а б л и ц а 2.25 Исходные данные к задаче 4 Вариант Р, МВт СОЗф 1, км 1 50 0,9 10 2 45 0,85 15 3 40 0,8 20 4 35 0,75 25 5 30 0,9 30 6 25 0,85 35 7 20 0,8 40 8 15 0.75 45 9 52 0,95 22 10 47 0,9 27 11 42 0,85 32 12 37 0,8 36 13 32 0,75 47 14 27 0,95 49 15 22 0,9 51 16 17 0,85 53 17 46 0,8 20 18 41 0,75 25 19 36 0,9 30 20 31 0,85 40 21 26 0.8 50 22 21 0,75 60 З а д а ч а 5 . Решить многоцелевую задачу следующего вида. Необходимо выбрать схему электроснабжения и сечение проводов воздушной линии длиной / для обеспечения потребителя мощно- 78 стью Рнб при созф = 0,85 и времени использования наибольшей на­ грузки Тнб = 5500 ч. Номинальные напряжения линии принять и„ом Выбор сечений проводов произвести по нормативной эконо­ мической плотности тока с учетом ограничений по короне и меха­ нической прочности В качестве локальных критериев принять: ка­ питальные затраты, годовые эксплуатационные расходы, коэффи­ циент вынужденного простоя потребителя, площадь отчуждаемой под линию земли. Рассмотреть следующие стратегии (варианты схемы) электроснаб­ жения потребителя: одноцепная линия, двуэсцепная линия, две одно­ цепные линии одинаковой длины. Типом и материалом опор, а также расчетным климатическим районом задаться самостоятельно. Варианты исходных данных приведены в табл. 2.26. Решение выполнить по принципам: последовательной уступки, относительного гарантированного уровня, весовых коэффициентов, справедливого компромисса, - а также по принципу, основанному на максимизации совокупности локальных критериев. Т а б л и ца 2.26 Варианты исходных данных к задаче 5 Номер варианта ином; кВ Рнб, МВт 1, км 1 2 3 4 1 220 180 60 2 220 150 90 3 220 120 ПО 4 220 100 120 5 220 220 140 6 220 250 170 7 220 200 100 8 110 15 70 9 110 20 50 10 110 30 40 И 110 40 30 12 110 50 40 13 ПО 60 20 79 Окончание табл. 2.26 1 2 о2) 4 14 110 25 60 15 110 35 45 16 110 45 35 17 35 2 40 18 35 3 30 19 35 4 20 20 35 5 25 21 35 6 15 22 35 7 10 З а д а ч а 6 . Пусть разработаны три стратегии развития элек­ трической сети: Хь Х2, Хз. Каждая стратегия характеризуется раз­ личными локальными показателями (критериями) напряжения на шинах 10 кВ в контрольной точке сети; отклонением напряжения - 5и, коэффициентом несинусоидальности ~ кнс, коэффициен­ том обратной последовательности ез = кзи, коэффициентом нуле­ вой последовательности 64 = кои- Требуется выбрать наиболее предпочтительно ю стратегию развития сети с точки зрения обеспе­ чения качества напряжения в контролируе.мой точке, решив много­ целевую задач}' минимизации локальных критериев. Исходные данные принять из табл. 2.27 для заданного варианта. До решения многоцелевой задачи предварительно нормализовать локальные критерии. При решении использовать принципы: последовательной уступки, относительного гарантированного оровня, весовых коэф­ фициентов, принципа, основанного на максимизации совокупности локальных критериев, справедливого компромисса. Решение выполнить для дв\ х случаев: 1) ряд приоритета локальных критериев имеет вид I = (бП, кнс, кги, кои), а вектор приоритета V = (4, 2, I, 1); при этом расчет весо­ вых коэффициентов произвести по формуле (1.46); 2) все локальные критерии равнозначны. 80 Т а б л и ц а 2.27 Исходные данные для задачи 6 Стратегия Номер Значения локальных критериев, %варианта би кнс кги кои 1 10 3 2 1 2 9 8 3 2 3 8 7 4 1 4 6 7 1 4 5 5 6 2 3 XI 6 4 5 3 2 7 3 1 4 2 8 2 4 1 3 9 I 6 4 3 10 10 1 4 2 11 9 2 2 4 1 8 3 2 4 2 7 4 1 3 3 6 5 2 1 4 5 6 2 1 5 5 5 1 2 Х2 6 6 4 4 3 7 7 3 3 4 8 8 2 2 1 9 10 1 1 4 10 3 2 4 1 11 4 5 3 2 I 1 8 4 2 2 2 7 3 1 3 3 6 2 4 4 4 5 1 3 5 8 1 2 4 Хз 6 10 2 4 1 7 5 6 3 2 8 4 3 2 1 9 9 6 1 2 10 5 1 4 2 11 6 2 3 1 81 З а д а ч а 7 , Для схемы распределительной сети, представлен­ ной на рис. 2,1, номинальным напряжение.м ином = Ю кВ выбрать сечение проводов по допусти.мой потере напряжения, равной АУдоп' = 8%, решив многоцелевую задачу. В качестве локальных критери­ ев принять годовые эксплуатационные расходы о = Гэ и капиталь­ ные затраты е? = К, В качестве стратегий принять марки проводов, выбранные в рез}'льтате расчета по следующим методам. т 1 а СОЗ ф - Рб созфе Рис 2.1 Стратегия Х 1 - выбрать сечения при постоянстве их вдоль сети, используя формулу Р = А и.¡1 допино.м 1=1 п (2.5) ьде Р 31,2 Ом*мм /км " удельное сопротивление алю.хшния^ АУадоп - допустимая потеря напряжения, обусловленная актив­ ным сопротивлением, кВ; Р; - активная мощность на 1-м участке сети длиной /,; п - количество участков сети. Стратегия Х2 - выбрать сечения по условию минимaJ^ьнoгo рас­ хода проводникового материала, используя формулу кпт/Р- ( 2 .6) где доп С ном 1=1 (2.7) 82 Стратегия Хз - выбрать сечения по условию минимума потерь мощности, используя формулу F, Зп ( 2 .8) где II - ток на )-м участке сети. Здесь плотность тока, соответствующая минимуму потерь мощ­ ности, равна ли Зп а дои (|С05(?5| 1=1 (2.9) Величину ЛСа доп найти по формуле ■^0 10 .^1 дол = Ди дол — Д1)р = Ди дол — , (2.10) ^ ипи где Qi - реактивная мощность на ¡-м упастке сети; хо - реактивное сопротивление, принять равным 0,38 Ом/км: ДОр - потеря напряжения, обусловленная реактивным сопро­ тивлением. При решении .многокритериальной задачи использовать прин­ цип весовы.х коэффициентов, приняв в качестве критерия опти­ мальности Е(Х) — 2] ^ШП1. 4=1 ( 2 . 11) Вектор приоритета локальных критериев принять по следую­ щим вариантам: а) У ,=(8,33; 1); б) У 2-(10 ; 1); в) Уз = (6,67; 1). 83 Весовые коэффициенты определить по формуле (1.46). Исходные данные принять из табл.2.28 для заданного варианта. Т а б л и ц а 2.28 Варианты ис.чодных данных к задаче 7 Вариант Ра, МВт Рб, МВт СОЗфа С05фб 1], км Ь, км 1 0,5 1.6 0,9 0,74 1 0,5 2 0,7 1,8 0,88 0,77 2 1 3 0,9 1,6 0,86 0.8 3 2 4 1,1 1,7 0,84 0,82 0,5 3 5 1,3 0.8 0,82 0,84 1 2 6 1,0 0,3 0,8 0,86 2 7 1,1 0,7 0,77 0,88 2 3 8 0,9 0,6 0,74 0,9 4 3 9 1,1 0,5 0,9 0,75 5 4 10 1,0 0,5 0,87 0,78 6 5 И 0,6 1.0 0,84 0,81 2 1 12 0,8 0,6 0,81 0,84 3 0,5 13 1,0 0,4 0,78 0,87 4 2 14 1,2 0,8 0,75 0,9 2 3 15 1,0 0,8 0,9 0,7 1 3 16 0,5 0,3 0,85 0,75 3 2 17 0,4 0,5 0,8 0,7 4 3 18 0,3 0,5 0,75 0,8 5 4 19 0,2 0.6 0.7 0,9 4 1 20 0,2 0,9 0,9 0,85 1 3 21 0,6 0,3 0,85 0,8 2 4 22 0,5 0,4 0,8 0,9 3 4 84 3 основы ПРОЕКТИРОВАНИЯ РАЗВИТИЯ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОСЗИ 3.1. Примерное задание на к\рсовое проектирование Тема проекта. Развитие электроэнергетической системы. Исходные данные для проектирования. Имеются избыточные по мощности системы С1 и С2 и дефицит­ ная система Сз (рис. 3.1) с дефицитом мощности на шинах вторич­ ного напряжения Рд. В системах С1 и С2 имеются питающие подстанции с полутор­ ной схемой соединения любых напряжений от 35 до 750 кВ. Мощность, которая должна быть передана из системы Сг в сис­ тему Сз по проектируемой межсистемной электропередаче длиной ¿23 В нормальном режиме составляет 0,4 Рд. Остальная мощность должна быть передана из системы С1 по проектируемой электропе­ редаче длиной / ¡ 3 В послеаварийных и ремонтных режимах по од­ ной из линий вся мощность Рд может быть передана из любой сис­ темы (С1 или С2). Время использования дефицитной мощности Рд составляет Т „б -5500 ч 85 Дефицит мощности в системе Сз точно неизвестен и задан тремя значениями (средним и двумя крайними) с соответствующими ве­ роятностями: Р* в долях от Рд 0,7 1,0 1,3 Вероятность р 0,2 0,6 0,2. Требуемая реактивная мощность для потребителей мощностью Рд на щинах вторичного напряжения системы Сз полностью по­ крывается за счет собственных источников системы Сз. Потери реактивной мощности в линиях электропередачи 13, 23 (с учетом генерации зарядной мощности) и в трансформаторах приемной подстанции системы Сз необходимо скомпенсировать установкой соответствующих компенсирующих устройств на ши­ нах вторичного напряжения приемной подстанции системы Сз. Недостающими исходными данными, которые потребуются по ходу проектирования, задаться самостоятельно (например, матери­ ал и тип опор линий, район сооружения линий, расчетные клима­ тические условия по гололеду, ряд и вектор приоритета локальных критериев и др. Т а б л и ц а 3.1 Варианты исходных данных к курсовому проекту Вари­ ант Рд, МВт Ьз, км 1гз, км Ва­ риант Рд, МВт Ьз, км Ьз, км 1 2 3 4 5 6 7 8 I 500 100 200 21 80 20 30 2 400 200 100 22 60 40 25 3 300 180 130 23 40 35 45 4 250 80 120 24 260 140 70 5 200 ПО 70 25 220 120 110 6 150 80 90 26 170 115 65 7 100 50 40 27 130 75 125 8 800 200 300 28 330 250 185 9 750 250 150 29 370 165 210 10 700 230 180 30 410 145 185 И 600 120 210 31 430 165 130 86 Окончание табл. 3.1 1 2 3 4 5 6 7 8 12 550 150 130 32 530 165 95 13 450 130 170 33 570 120 180 14 350 120 160 34 610 150 140 15 320 100 170 35 75 30 40 16 280 65 125 36 55 20 60 17 230 115 75 37 315 145 165 18 180 80 70 38 325 180 90 19 130 45 75 39 260 ПО 90 20 110 25 65 40 240 70 150 Перечень вопросов, которые подлежат разработке. 4). Решение задачи в условиях неопределенности. Для каждого заданного уровня дефицита мощности Рд системы Сз выбрать стратегию (вариант) развития энергосистемы (опреде­ лить параметры межсистемных электропередач 13, 23 и приемной подстанции; номинальное напряжение, число цепей и исполнение линий (одноцепные, двухцепные), сечение проводов линий, схему подстанции, число и мощность трансформаторов, мощность ком- пенсиру'ющих устройств). Для каждой выбранной стратегии развития энергосистемы оп­ ределить показатели надежности (коэффициенты вынужденного перерыва в передаче мощности Рд). Для каждой стратегии и каждого уровня дефицита мощности рассчитать стоимость передачи энергии из систем С] и С2 в систе­ му Сз: без учета ущерба от ограничения в передаче мощности Рд; с ущетом ущерба от ограничения в передаче мощности Рд из-за аварийных и плановых отключений. Сформировать платежные матрицы стоимости передачи элек­ троэнергии: без учета ущерба от ограничения в передаче мощности Рд; с учетом ущерба от ограничения в передаче .мощности Рд из-за аварийных и плановых отключений. Выбрать оптимальную стратегию развития энергосистемы: 87 а) в условиях риска (при заданных вероятностях р): без \'чета ущерба от ограничения в передаче мощности Рд; с учетом ущерба. б) в условиях неопределенности по критериям Лапласа, Вапьда, Сэвиджа, Гурвица (при различных значениях коэффициента опти­ мизма а); без учета ущерба от ограничения в передаче мощности Рд; с учетом ущерба. 2) . Решение задачи в условиях .многокритериальности. Для уровня дефицита мощности Р* = 1 выбрать оптимальную стратегию развития энергосистемы исходя из многоцелевой задачи. В качестве локальных критериев принять: капитальные затраты, годовые эксплуатационные расходы, коэффициент вынужденного полного перерыва в передаче мощности, годовые потери электро­ энергии, площадь отчу'ждения земель под проектируемые линии и приемную подстанцию в системе Сз. Решения получить с помощью следующих принципов выбора критерия оптимальности: выделения главного критерия, последо­ вательной оптимизации на основе жесткого приоритета, последо­ вательной устущки, относительного гарантированного уровня, ве­ совых коэффициентов, справедливого колшро.мисса и принципа, основанного на максимизации совокупности локальных критериев. 3) . Выводы в обобщенном виде. 4) . Графическая часть. Графическая часть вставляется в текст пояснительной записки и выполняется на листах любого формата. Она должна содержать: схе­ мы сети объединенной энергосистемы для выбранных стратегий и параметры оборудования, платежные матрицы, структурные схемы расчета надежности, обобщенные результаты принятия решений. 3.2. Выбор стратегий развития энергосистемы На первом этапе выполнения курсового проекта необходимо выбрать три стратегии (варианта) развития энергосистемы, каждая из которых должна соответствовать заданному уровню дефицита 88 мощности в системе Сз. Для этого следует определить приближен­ ные потоки мощности (без >'чета потерь мощности) по линиям 13 и 23, после чего наметить число цепей в них и исполнение линий (одноцепные, двутсцепные или две параллельные цепи на разных опорах). Затем необходимо выбрать номинальные напряжения линий, используя следующую эмпирическую формулу: и 1000 ном 500 2500---- Н-------- I Р (3.1) где Р - мощность, приходящаяся на одну цепь, МВт; I - длина цепи линий, км. Полученное расчетное напряжение следует округлить до бли­ жайшего большего стандартного. Номинальные напряжения можно также найти по экономическим зонам [4, с.45-46]. Выбранные номинальные напряжения линий 13 и 23 мог^т быть как одинаковыми, так и различными. Далее необходимо выбрать конструкцию фазы линий (расщеп­ ленная, нерасщепленная) и общее сечение фазы, а по ним - марку провода. Выбор сечений фаз следует произвести из экономических соображений, используя метод экономической плотности тока (для линии напряжением до 110 кВ включительно), см. [4, с.98-101], или метод экономических интервалов нагрузки (для линий напряжени­ ем 220 кВ и выше), см. [13, табл. 7.1]. Выбранные сечения прово­ дов не должны быть меньше допустимых по условию короны, см. [4, с.98-101]. Результаты расчетов рекомендуется представить в форме табл. 3.2. При выборе числа и мощности трансформаторов, а также одно­ линейной схемы приемной подстанции системы Сз необходимо рутсоводствоваться рекомендациями, изложенными в [4, с.48-49, ЗУ- 44; 12, с. 13-16]. 89 Таблица 3,2 Результаты выбора номинальных напряжений и сечений проводов линий Характеристика линии Потоки мощности, МВт, по; линии 13 линии 23 Длина, км: линии 13 линии 23 Число цепей; линии 13 линии 23 Исполнение: линии 13 линии 23 Номинальные напряжения, кВ линии 13 линии 23 Марки проводов: линии 13 линии 23 Сопротивления и зарядная мощность: линии 13 Го, Ом/км хо, Ом/км цо, Мвар/км линии 23 Го, Ом/км Хо, Ом/км _________ до, Мвар/км______________ Стратегии В соответствии с условиями задания на курсовое проектирова­ ние необходимая мощность компенсирующих устройств Qк , уста­ навливаемых на приемной подстанции системы Сз, и их вид могут быть найдены на основе составления баланса реактивной мощно­ сти в виде АРл13 + А0л23 +АОт = Оыз + 0 ь23 ± Qк, (3.2) 90 где AQл, AQт - потери реактивной мощности соответственно в линиях и трансформаторах; Qb - зарядная мощность линий. Расчет потерь реактивной мощности и зарядной мощности дос­ таточно произвести на основании найденных приближенных пото­ ков мощности без х'чста потерь мощности и выбранных номиналь­ ных напряжений. Если из уравнения (3.2) мощность компенсирующего устройства окажется Рк > О, то, следовательно, необходимо выбрать компен­ сирующее устройство, генерирующее реактивную мощность. Если окажется, что Ок < О, то компенсирующее устройство должно по­ треблять реактивную мощность. Результаты принятия решений по подстанции системы Сз реко­ мендуется представить в виде табл. 3.3. Т а б л и ц а 3.3 Результаты выбора параметров приемной подстанции Характеристика подстанции Стратегии Количество трансформаторов Характеристика трансформаторов: тип с , м к • А^НОМ? ^» Кх, Ом Хх, Ом АРх, МВт АОх, Мвар Номинальное напряжение, кВ: ВН сн нн Название схемы со стороны: ВН СН НН Компенсирующее устройство: тип мощность, Мвар 91 В данном курсовом проекте предлагается выполнить упрощен­ ный расчет показателей надежности. Для определения коэффици­ ента вынужденного полного перерыва в передаче мощности из сис­ тем С1 и С2 в систему Сз необходимо учесть следующие ситуации: аварийное и плановое отключение последовательно включен­ ных элементов; одновременное аварийное отключение всех параллельных эле­ ментов; наложение на плановый ремонт одного из элементов одновре­ менного аварийного отключения всех остальных параллельно включенных элементов. Для расчета показателей надежности необходимо составить для каждой стратегии структурные схемы, руководствуясь рекоменда­ циями, приведенными в [12, с.30-33]. При этом в структурные схемы предлагается включить; линии 13 и 23, трансформаторы приемной подстанции системы Сз и линейные выключатели в це­ пях линий и трансформаторов на подстанциях систем Сь Сг, С3. Остальные элементы подстанций в целях упрощения расчетов можно не учитывать. Для определения коэффициентов вынужденного и планового простоя необходимо знать следующие параметры: сов - параметр потока отказов, отказ/год; соп - средняя частота плановых простоев, простой/год; Тв - время восстановления повреждения при аварийном или плановом ремонте, год/отказ, год/простой. Эти показатели принимаются на основании среднестатистиче­ ских данных [13, с.251-253]. Укрупненная информация по данным параметрам, которая может быть использована в курсовом проекте, приведена в табл. 3.4 и 3.5. Результаты расчета надежности рекомендуется представить в виде табл. 3.6. 3.3. Определение показателей надежности 92 Т а б л и ц а 3.4 Показатели надежности линий электропередачи Напря­ жение, кВ Опоры Число цепей Юв, ОТ- каз/год ®п, Про- стой/год Тв • 10-', год/отказ Т„ ■ 10-'. год/простой 35 Металли- 1 0,65 2,1 1 1,8 ческие 2 0,76/0,16 4/0,3 0,68/0,9 1,5/1 Железо- 1 0,63 0,8 1,1 1,7 бетонные 2 0,72/0,05 1,3/0,15 1,1/ 1,4 1,6/1,5 ПО Металли- 1 0,89 2,1 1 1,7 ческие 2 1,16/0,12 3,8/0,4 0,8/ 1,2 1,7/2,2 Железо- 1 0,53 1,6 1,2 1.8 бетонные 2 0,81/0,1 2,4/0,4 1/1,7 1,4/1,5 220 Металли- 1 0,34 1,8 1,6 1,9 ческие 2 0,43/0,03 1,1/0,3 1,3/1,7 2/2,7 Железо- 1 0,26 3 1,1 2,7 бетонные 2 0,28/0,03 7,3/0,3 1/0,9 1,9/1 330 Металли- 1 0,48 3 1,2 2,4 ческие 2 0,79/0,09 7,3/0,3 1/0,6 1,7/1,6 Железо­ бетонные 1 0,3 2,9 1,7 2,3 500 Металли­ ческие 1 0,24 1,6 1,6 О Железо­ бетонные 1 0,26 1,7 1,5 2,6 750 Металли­ ческие 1 0,2 0,17 2,3 4 П р и м е ч а н и е . Параметр ©в приведен на 100 км, остальные - на одну линию. В числителе дроби - для отключения одной цепи, в знаменателе - двух цепей. Параметры сов и Тв приведены для устой­ чивых отказов. 93 Т а б л и ц а 3.5 Показатели надежности элементов подстанций Элемент Напря­ жение, кВ 0>в, отказ/ год простой/ год Т„ • 10-\ год/отказ Тп • 10 ^ год/простой Трансформато­ ры мощностью; < 7,5 МВ • А 35 0,007 0,25 7,4 3 ПО 0,018 0,25 4,6 3,2 10 ... 80 МВ - А 35 0,012 0,75 8 3 ПО 0,014 0,75 8 3,2 220 0,035 0,75 6,8 3,2 > 80 МВ ■ А ПО 0,075 1 10,8 3,4 220 0,025 1 6,8 3,4 330 0,053 1 5,1 3,4 500- 750 0,024 1 25,1 5,7 Выключатели 35 0,02 0,2 4,6 3,3 ПО 0,02 0,2 2,3 5,1 220 0,02 0,2 2,9 11,2 330 0,03 0,2 6,8 12,9 500 0,15 0,2 6,8 15 2 750 0,25 0,2 8,6 30,9 П р и м е ч а н и е . Сведения о выключателях приведены для воздушных выключателей. Т а б л и ц а 3.6 Результаты расчета надежности Показатель надежности Стратегии 1 2 3 Коэффициент вынужден­ ного перерыва в передаче мощности, кв 94 3.4. Расчет экономических показателей 1) . Определение ущерба от ограничения в передаче мощности. Расчет ущерба от ограничения в передаче мощности в систему Сз из-за аварийных и плановых отключений предлагается выпол­ нить по методике, изложенной в [12, с.30-31]. При этом в целях уп­ рощения расчетов достаточно учесть следующие составляющие ущерба: ущерб от полного прекращения передачи мощности в систему Сз из-за аварийных отключений, включая отключения, наложенные на плановые ремонты; ущерб от полного прекращения передачи мощности в систему Сз из-за плановых отключений тех элементов, которые не имеют резервирования (элементов, последовательно включенных в струк­ турную схему расчета надежности). 2) . Определение стоимости передачи электроэнергии. Стоимость передачи электроэнергии определяется по формуле С =^ п _— ,к + г. w Р„г.Т (3.3) нб ^нб где К и Гэ - капитальные затраты и годовые эксплуатационные расходы во все вновь вводи.мые элементы сети; Рн - нормативный коэффициент эффективности капитальных затрат (при рыночной экономике - банковский процент по ссуде). При расчете стоимости передачи с учетом ущерба от ограниче­ ния в передаче мощности числитель в выражении (3.3) необходимо дополнить значением рассчитанного ранее ущерба. Для укрупненного расчета капитальных затрат воспользуемся эмпирическими зависимостями, полученными в [10]. Капитальные затраты состоят из затрат на линии и затрат на подстанции. Капитальные зат{эаты на 1 км линии напряжением 35 - 750 кВ могут быть определены по формуле К , = А , т В , , и - , „ + С , Р , (3.4) где Ал, Вл, Сл - коэффициенты аппроксимации; 95 Р - сечение одной фазы линии. Значения коэффициентов Ал, Вл, Сл для второго климатического района по гололеду приведены в табл, 3.7. Т а б л и ц а 3.7 Значения коэффициентов аппроксимации для расчета стоимости линий Число цепей Опоры Ал, тыс. у.д.е./к.м Вл • 10'^ тыс. у.д.е./км ■ кВ^ Сл - 10' ^тыс. у.д.е./км • мм^ 1 Металлические 9,63 8,75 1,3 Железобетонные 6,44 7,13 1,6 2 Металлические 11,04 25,5 2,9 Железобетонные 8,7 21,4 3,6 Капитальные затраты на подстанцию могут быть определены по формуле К п е К д П х + КвШ в + К кШ к + К п , (3.5) где 1Пх, П1в, Шк - соответственно число трансформаторов (автотрансформаторов), ячеек с выключателями, компенсирующих устройств; Кт, Кв, Кк - стоимость каждого элемента; Кп - постоянная часть затрат на подстанцию. Стоимость одного трансформатора определяется следующим образом: К^ - — Ал- +C^S Thom ' (3.6) где Сном - высшее напряжение трансформатора, кВ; 5тном ~ номинальная мощность трансформатора, МВ ■ А; А*,^ , Вт, Ст - коэффициенты аппроксимации. Стоимость ячейки с выключателем (3.7) где Ав, Вв - коэффициенты аппроксимации. 96 Стоимость компенсирующего устройства (3.8) где рк - мощность компенсирующего устройства, Мвар; Ак - коэффициент аппроксимации. Постоянная часть затрат приближенно может быть определена по выражению Кп - (3.9) где Ап, Вп - коэффициенты аппроксимации. Средние значения коэффициентов аппроксимации приведены в табл.3.8. Т а б л и ц а 3.8 Значения коэффициентов аппроксимации для расчета стоимости подстанций Коэффициент Среднее значение Ат, тыс. у.д.е. 20 Вт, тыс. у.д,е./кВ^ 1,43- 10'^ Ст, тыс. у.д.е./МВ • А 0,886 Ав, тыс. у.д.е. 15 Вв, тыс. у.д.е./кВ^ 2,1 • 10-^ Ак, тыс. у.д.е./Мвар для шунтирующих реакторов при напряжении, кВ: ПО 1,7 330 1,9 500 2,1 750 2,9 для батарей статических конденса- торов при напряжении, кВ: 10 5,1 35 4,6 ПО 4,2 Ап, тыс. у.д.е. 50 В„, тыс. у.д,е./кВ^ 1,3- 10'^ 97 Годовые эксплуатационные расходы определяются по формуле Гэ = (Ра + Рто)К + А\¥х-рх + АШнРн, (3,10) где ра, рто - отчисления на амортизацию и текущий ремонт [13, с.315]; AWx, А\Ун ' потери энергии холостого хода и нагрузочные потери; Р х , pH - стоимость 1 кВт • ч потерь энергии холостого хода и на­ грузочных потерь. Для расчета потерь электроэнергии могут быть использованы рекомендации, приведенные в [12, с.19-20]. Результаты расчета экономических показателей для всех наме­ ченных стратегий развития энергосистемы рекомендуется предста­ вить в виде табл. 3.9. Т а б л и ц а 3.9 Результаты расчета экономических показателей Показатель Стратегия1 2 3 Капитальные затраты, тыс.у.д.е. Годовые эксплуатационные расходы, тыс. у.д.е. Годовые потери электроэнергии, МВт • ч У щерб от ограничения в передаче мощ­ ности, тыс. у.д.е. Стоимость передачи электроэнергии без учета ущерба, у.д.е./кВт • ч Стоимость передачи электроэнергии с учетом ущерба, у.д.е./кВт ■ ч 3.5. Принятие решений в условиях неопределенности Для принятия решений необходимо составить две платежные мат­ рицы: матрицу стоимостей передачи электроэнергии без учета огра­ ничений по передаче мощности в систему Сз и матрицу стоимостей передачи электроэнергии в систему С з с учетом ограничений. Резуль­ таты расчетов рекомендуется представить в виде табл. 3.10. 98 Т а б л и ц а 3.10 Платежная матрица стоимости передачи электроэнергии Стратегия 0,7 1,0 1,3 1 2 3 Далее рекомендуется преобразовать задачу минимизации стои­ мости передачи электроэнергии в задачу максимизации. т1пСп = тах(А - С„), где А > щ макс, а-ц „акс - наибольшсс значение элемента платежной матрицы. На основании платежных матриц, используя формулу (1.15), не­ обходимо составить платежные матрицы рисков по типу табл. 3.10. Имея платежные матрицы, можно решить задачу принятия ре­ шений в условиях риска и в условиях неопределенности на основа­ нии различных критериев. При этом необходимо использовать формулы (1.16) - (1.22). Примеры применения этих формул приве­ дены в подразд. 2.1, в частности, в задаче 2, Результаты принятия решений по различным критериям реко­ мендуется свести в табл. 3.11. Т а б л и ц а 3.11 Результаты принятия решений Условие и критерий Предпочтительная стратегия без учета ущерба от ограни­ чения в передаче мощности с учетом ущерба В условиях риска В условиях неопреде­ ленности по критериям: Лапласа Вальда Сэвиджа Гурвица 99 3.6. принятие решений в условиях многокритериальности В соответствии с заданием расчеты необходимо выполнить для уровня передачи мощности в систему Сз Р, = 1. В подразд. 3.4 ряд локальных критериев для каждой из стратегий уже был вычислен: капитальные затраты К, годовые эксплуатационные расходы Гэ, коэффициент вынужденного перерыва в передаче мощности к„, годовые потери электроэнергии Д\У. Локальный критерий в виде площади отчуждения под проекти­ руемые линии 5л и приемную подстанцию 5пс может быть опреде­ лен по формуле 8 = 8 л + 8 п с • Площадь отчуждения земель для существующих конструкций воз- дущных линий характеризуется данными, приведенными в табл. 3.12. Т а б л и ц а 3.12 Площадь отчуждения земель под линии электропередачи Номинальное напряжение, кВ Количество опор на 1 км, щт. Площадь отчуждения земли 1под опору, м на 1 км линии, гаанкерно-угловых проме­ жуточ­ ных анкерно­ угловую проме­ жуточ­ ную 10 6 11 15 4 0,013 35 1,39 6,2 65 17 0,02 110 0,66 3,8 100 17 0,014 220 0,51 3,5 160 75 0,034 330 0,4 2,7 185 60 0,022 500 0,37 2,35 400 80 0,034 750 0,25 2,25 1000 650 0,18 Для определения площади отчуждения под подстанцию можно воспользоваться данными, приведенны.ми в табл. 3.13 для наиболее распространенных типов подстанций. 100 Ориентировочные размеры площадок открытых подстанций 35 - 750 кВ Т а б л и ц а 3.13 Сочетания напряжений, кВ Количество и мощность трансформато­ ров, шт. X МВ А Количество линий Ориентиро- вочные раз­ меры площа­ ди, м ВН СН 35/10 2х 1... 2x6,3 2 - 40x50 110/10 2х 16...2x40 2 - 60x70 110/35/10 2х 16...2x40 2 4 90x100 220/110/10 2х 125...2x200 2 10 150x200 330/110/10 2х 125...2x200 2 10 200x250 500/220/10 2 х (3x167) 4 10 300x500 750/330/15,75 2 X (2x333) 4 6-8 600x700 Результаты расчетов для различных стратегий развития энерго­ системы рекомендуется представить в виде табл. 3.14. Т а б л и ц а 3.14 Результаты расчета площади отчуждения земли Показатель Стратегия1 2 3 Площадь отчуждения земли, га После определения всех локальных критериев можно составить матрицу в виде табл. 3.15. Т а б л и ц а 3.15 Матрица локальных критериев Стратегия Локальные к ритерии К, тыс. у д е. Гэ, тыс.у.д.е. МВт.ч кв 8, га 1 2 3 101 Для принятия решений в многокритериальной задаче на основании матрицы локальных критериев необходимо воспользоваться методи­ кой и расчетными формулами, приведенными в подразд. 1.6.4. Решение задачи удобно осуществлять, предварительно нормали­ зовав локальные критерии (см. подразд. 1.6.3). Удобно также зада­ чу минимизации локальных критериев преобразовать в задачу мак­ симизации, для чего значения локальных критериев в табл. 3.15 необходимо заменить на значения А - ejq, где А > ejq макс, ejq макс - наибольшее значение в матрице нормализованных локальных кри­ териев. Различные принципы сведения многоцелевой задачи к одноце­ левой (принципы выбора критерия оптимальности) подробно рас­ смотрены в задаче 3 подразд. 2.2. Результаты расчетов для удобства анализа рекомендуется пред­ ставить в виде табл. 3.16. Т а б л и ц а 3.16 Результаты принятия решений в многоцелевой задаче Принцип выбора оптимальной стратегии Предпочтительная стратегия Принцип выделения главного критерия 1 Принцип последовательной оп­ тимизации на основе жесткого приоритета Принцип последовательной уступки Принцип относительного гаран­ тированного уровня Принцип весовых коэффициентов Принцип справедливого компромисса Принцип, основанный на макси­ мизации совокупности локаль­ ных критериев 102 Л и т е р а т у р а 1. Теория прогнозирования и принятия решения / Под ред. С.А. Саркисяна. - М.; Высш школа, 1977, 2. В е н т ц е л ь Е, С. Исследование операций. - М.: Сов. ра­ дио, 1972. 3. С ы ч Н. М. САПР и оптимизация развития электроэнергети­ ческих систем: Лабораторные работы. - Минск: БГПА, 1996. 4. П о с п е л о в Г. Е., Ф е д и н В. Т. Электрические системы и сети. Проектирование. - Минск: Выш. школа, 1988. З . В е н т ц е л ь Е С . Исследование операций. Задачи, принци­ пы, методология. - М.: Паука, 1980. 6. Ш н е л л ь Р. В. Применение теории игр для формализации принятия решений некоторых электроэнергетических задач в усло­ виях неопределенности // Известия АН СССР. Энергетика и транс­ порт. - 1972. - № 6. 7. Л е в и н М. С., К о з л о в Ю. А. Применение методов тео­ рии игр для технико-экономической оценки нормируемых преде­ лов отклонения напряжения у сельских потребителей //В кн.. Элек­ трификация технологических процессов сельскохозяйственного производства и электроснабжение сельского хозяйства. Том XVII. Вып. 5 .-М .: ВИЭСХ, 1980. 8. М е л е н т ь е в Л. А. Проблема неопределенности опти­ мальных решений в больших системах энергетики // Известия АН СССР, Энергетика и транспорт. - 1975. - № 4. 9. Л и с о ч к и н а Т В., М и х е е в а Н Б., О к о р о к о в В. Р. Многокритериальная оптимизация вариантов транспорта энергии // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. - 1980. ~ № 3. 10. Ш н е л л ь Р, В., В о р о п а е в П. В., К а р т а в ц ев В. В. Выбор основных параметров высоковольтных элшетропередач. - Воронеж: Изд-во Воронежского ) ниверситета, 1984. И . К о р о т к е в и ч М.А. Оценка целесообразности модерни­ зации электросетевого оборудования И Электрические станции. - 1989.-№ 10. 12. С ы ч Н. М., Ф е д и н В. Т. Проектирование электриче­ ских сетей электроэнергетических систем: Учебное пособие. - Минск: БГПА, 1994. 1ПТ 13. Справочник по проектированию электроэнергетических сис­ тем / Под ред. С.С, Рокотяна и И.М. Шапиро. - М,; Энергоатомиз- дат, 1985. 14. Ш а п и р о И. М. Стратегия развития электрических сетей и охрана окружающей среды // Энергетическое строительство. - 1989.-№ С 15. Б а т и щ е в Д. И. Методы оптимального проектирования. - М.: Радио и связь, 1984. 16. Б е л я е в Л. С. Решение сложных оптимизационных задач в условиях неопределенности, - Новосибирск: Наука, 1978. 17. Р а й ф а X. Анализ решений. Введение в проблему выбора в условиях неопределенности. - М.: Наука, 1977, 18. К и н и Р. Л., Р а й ф а X. Принятие решений при многих критериях; предпочтения и замещения. - М.: Наука, 1981. 19. Ш т о й е р Р. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления и приложения. - М.; Наука, 1992. 20. Ю д и н Д Б. Вычислительные .методы теории принятия решений. -М .: Наука, 1989. 104 С о д е р ж а н и е П р е д и с л о в и е ...................................................................... 3 СИСТЕМНЫЙ ПОДХОД ПРИ ОПТИМИЗАЦИИ РАЗВИТИЯ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ . , 4 ТЕ Понятие об экономико-математических моделях развития электроэнергетических систем..................... 4 1.2. Классификация задач принятия решений................... 7 1.3. Формулировка одноцелевой статической задачи в условиях определенности.............................................. 8 1.4. Одноцелевая статическая задача оптимизации в условиях риска................................................................. 10 1.5. Одноцелевая статическая задача в условиях неопределенности............................... 13 1.6. Многоцелевые задачи принятия решений................... 24 1.6.1. Постановка многоцелевой детерминированной статической задачи принятия решений....................... 24 1.6.2. Типы многоцелевых задач.............................................. 28 1.6.3. Способы нормализации критериев............................... 30 1.6.4. Принципы выбора критерия оптимальности............... 32 РЕШЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПРОЕКТИРОВАНИЯ РАЗВИТИЯ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ........................... 43 2.1. Задачи принятия решений в условиях неопределенности........................................................... 44 2.2. Задачи принятия решений при многоцелевой опти.мизации..................................................................... 62 ОСНОВЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ РАЗВИТИЯ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОСТИ.............................................. 85 3.1. Примерное задание на к^'рсовое проектирование . . . 85 3.2. Выбор стратегий развития энергосистемы................. 88 3.3. Определение показателей надежности......................... 92 3.4. Расчет экономических показателей............................. 95 3.5. Принятие решений в условиях неопределенности . . . 98 3.6. Принятие решений в условия,х многокритериатьности . 100 Л и т е р а т у р а ..................................................................... ЮЗ Учебное издание Федин В.Т. ПРИНЯТИЕ РЕШ ЕНИИ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ РАЗВИТИЯ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ Учебно-методическое пособие по дисциплине «Основы проектирования энергосистем» Подписано в печать 20.12.2000 г. Печать офсетная. Бумага офсетная. Формат 60x84/16. Гарнитура «Таймс». Уел. печ. л. 6,1 ■ Тираж 150 экз. Зак. 564. Налоговая льгота - по ОКРБ 007-98 ч. 1 22.11.20.500 Издано на УП «Технопринт». Лиц. № 380 от 28.04.1999 г. Налоговая льгота - по ОКРБ 007-98 ч.1 22.11.20.500. Отпечатано в типографии УП "Технопринт" Лицензия ЛП № 203 от 26.01.1998 г. 220027, г. Минск, пр. Ф. Скорины, 65, к. 14, оф. 215.