МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики Н. Н. Роговцов А. Н. Мелешко БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ И КОНСТРУКЦИИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ И ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Учебно-методическое пособие М и н с к Б Н Т У 2 0 1 7 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики Н. Н. Роговцов А. Н. Мелешко БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ И КОНСТРУКЦИИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ И ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Учебно-методическое пособие для студентов приборостроительного факультета Рекомендовано учебно-методическим объединением по образованию в области приборостроения Минск БНТУ 2017 2 УДК 51 (075.8) ББК 22.1я7 Р59 Рецензенты : кафедра информатики БГУИР (зав. кафедрой, канд. техн. наук, доцент Н. А. Волорова); доктор физ.-мат. наук, зав. лабораторией РГД ИТМО им. А. В. Лыкова А. С. Сметанников Роговцов, Н. Н. Базовые понятия и конструкции элементарной и высшей матема- тики : учебно-методическое пособие для студентов приборострои- тельного факультета / Н. Н. Роговцов, А. Н. Мелешко. – Минск : БНТУ, 2017. – 131 с. ISBN 978-985-550-878-7. Пособие предназначено для студентов инженерных специальностей приборо- строительного факультета БНТУ, изучающих курсы «Математика» и «Прикладная математика». В нем изложены сведения о базовых понятиях и конструкциях, широко используемых в элементарной, высшей и прикладной математике; разъяснен смысл ряда математических понятий и конструкций. Особое внимание уделено аналитиче- ским свойствам действительных элементарных функций действительного аргумента и описанию геометрических свойств их графиков. Цель издания состоит в том, чтобы повысить математическую грамотность студентов, компенсировать их недостаточ- ную подготовку в области элементарной математики. УДК 51 (075.8) ББК 22.1я7 ISBN 978-985-550-878-7 © Роговцов Н. Н., Мелешко А. Н., 2017 © Белорусский национальный технический университет, 2017 Р59 3 СОДЕРЖАНИЕ Введение .................................................................................................. 4 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ, МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И КОМБИНАТОРИКИ ......................................................... 6 1.1. Множества. Операции над множествами ................................. 6 1.2. Общие сведения о числовых множествах .............................. 12 1.3. Соответствия между множествами и отображения множеств. Общее понятие отношения. Отношение эквивалентности ............................................................... 12 1.4. Простейшие понятия математической логики ...................... 16 1.5. Простейшие сведения о комбинаторике ................................ 23 1.6. Метод математической индукции ........................................... 25 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. МЕТОД КООРДИНАТ. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА .................................................................. 27 2.1. Натуральные числа. Целые числа ........................................... 27 2.2. Рациональные числа. Иррациональные числа ....................... 30 2.3. Действительные числа ............................................................. 36 2.4. Метод координат ...................................................................... 43 2.5. Алгебраические операции и их классификация .................... 56 2.6. Поле комплексных чисел ......................................................... 58 3. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ...... 71 3.1. Общие сведения о действительных функциях одной действительной переменной ............................................... 71 3.2. Геометрические преобразования графиков функций ........... 80 3.3. Действительные элементарные функции ............................... 87 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ......................... 130 4 ВВЕДЕНИЕ Данное учебно-методическое пособие посвящено подробному изложению ряда базовых понятий и конструкций, которые широко используются во многих областях математики и ее разнообразных приложениях. Следует отметить, что без глубокого разъяснения смысла этих понятий и конструкций практически невозможно гра- мотно изложить содержание многих разделов математики, которые входят в учебные программы по курсам «Высшая математика» («Математика») и «Прикладная математика» и читаются студентам вузов технического профиля. Математика, являясь «царицей наук», имеет ряд особенностей, которые оказывают значительное влияние на процесс ее изучения, восприятия, а также на формирование на- выков оперирования математическими объектами и на овладение элементами эвристического мышления. Объем накопленных в ма- тематике знаний огромен. Ведь она возникла более четырех тысяч лет назад, и с тех пор ее идеи, понятия, конструкции «рождались», развивались, обобщались, интерпретировались, обосновывались и эффективно применялись в различных областях человеческой дея- тельности. Среди уникальных черт, которые присущи различным ветвям математики, следует особо выделить свойства универсаль- ности и абстрактности ее идей, понятий, конструкций и представле- ний, а также отметить систематическое употребление в математике строгих умозаключений дедуктивного и индуктивного типов. Уни- кальные черты математики могут в определенной степени препят- ствовать усвоению ее результатов значительной частью студентов, которые не имеют достаточной подготовки по элементарной мате- матике. По указанным выше причинам в издание включена только наиболее важная часть совокупности математических идей, понятий и конструкций, которая лежит в основе как элементарной, так и высшей математики. В пособии достаточно подробно изложены следующие разделы элементарной и высшей математики: 1) элементы общей теории множеств; 2) числовые множества, их классификация и основные свойства; 3) отображения (функции) и их классификация; 4) бинарные отношения и их классификация (отношение эквива- лентности); 5 5) внутренние и внешние бинарные алгебраические операции, их классификация; 6) элементы исчислений высказываний, предикатов и теории вы- вода (необходимые и достаточные условия); 7) простейшие понятия комбинаторики; 8) метод координат (простейшие задачи аналитической геометрии). Во второй и третьей главах учебно-методического пособия с ис- пользованием многочисленных графических и табличных иллюст- раций подробно описаны простейшие свойства неравенств, дробей и операций над действительными и комплексными числами. Более того, в этих главах изложен справочный материал, относящийся к описанию широко используемых тригонометрических тождеств и общих свойств действительных функций действительной пере- менной. Особое внимание в данном издании уделено изложению конкретных фактов, относящихся к теории элементарных (и неко- торых простейших специальных) функций и преобразованиям их гра- фиков. Следует отметить, что изучение свойств таких функций и их графиков позволит обучающемуся лучше понять суть математики и ее возможностей для описания разнообразных реальных процес- сов, движений, изменений и зависимостей между различными пере- менными величинами. Цель данного учебно-методического пособия состоит в том, что- бы не только разъяснить обучающимся (в частности, студентам ин- женерных специальностей БНТУ) суть базовых понятий и конст- рукций математики, но также подготовить их к освоению более сложных разделов курсов «Высшая математика» («Математика») и «Прикладная математика» и хотя бы частично компенсировать у них значительные пробелы в знаниях по элементарной математике. При написании пособия использовались различные литератур- ные источники [1–21], конкретные математические сведения из ко- торых компоновались, преобразовывались и определенным образом дополнялись. Так как изложенный материал не охватывает все ба- зовые понятия и конструкции, то в пособии даются отдельные ссылки на публикации, в которых представлены более подробные определения или разъяснения смысла некоторых понятий и формул. 6 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ, МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И КОМБИНАТОРИКИ 1.1. Множества. Операции над множествами В математике некоторые понятия являются первичными (исход- ными) и, по сути, частично неопределяемыми. К ним относятся по- нятия множества, натурального числа, отображения, отношения, точки, прямой и т. д. Под множеством понимают совокупность определенных и от- личных друг от друга объектов (предметов), объединенных общим характерным признаком (или признаками) в единое целое. Объекты (предметы), из которых состоит множество, называют элементами множества. При этом говорят, что эти элементы принадлежат этому множеству. Множества обычно обозначают прописными буквами , , ..., , ...,A B X а их элементы – строчными буквами , , ..., ,...a b x Множества, состо- ящие из конечного (бесконечного) числа элементов называются со- ответственно конечными (бесконечными). Множество, не содер- жащее ни одного элемента, называют пустым множеством и обо- значают символом . Если А – конечное множество, то число его элементов обознача- ют через A и называют мощностью множества А. Если элемент а принадлежит множеству А, то пишут ,a A если же элемент b не принадлежит множеству А, то пишут b A (или b A ). Множество считают заданным, если о любом объекте можно сказать, что он принадлежит или не принадлежит этому множеству. Множество задается с помощью перечисления всех его элементов или посредством указания свойств, которыми обладают все элемен- ты этого множества. Если множество А состоит из элементов 1 2, ,..., ,na a a то пишут  1 2, ,..., .nA a a a Если X – множество всех элементов x таких, что только они обладают некоторым(и) характе- ристическим(и) свойством(ами)  P x , то используют обозначение   X x P x . При этом x – элемент множества Х, если для х име- ет(ют) место свойство(а)  .P x 7 Между множествами могут существовать различные отношения. В частности, между ними могут иметь место отношения равенства и включения. Определение 1.1. Множества А и В называются равными, если каж- дый элемент множества А является элементом множества В и, наобо- рот, каждый элемент множества В является элементом множества А. Для обозначения отношения равенства используют знак «» и пишут .A B Если множество А не равно В, то пишут .A B Определение 1.2. Множество В называется подмножеством мно- жества А, если каждый элемент множества В является элементом множества А. Если В – подмножество множества А, то используется обозначе- ние .B A Непустое подмножество В непустого множества А на- зывается собственным, если В не совпадает с А. При этом пишут .B A Само множество А и пустое множество  называют несоб- ственными подмножествами множества А. Символы  и  имеют смысл соответственно отношения включения и отношения строгого включения между множествами. Если все данные множества явля- ются подмножествами одного и того же множества U, то такое множество U называют универсальным множеством (универсумом). Для пояснения смысла понятий множества, отношения между множествами и операций, которые можно производить над ними, широко используются диаграммы Эйлера–Венна, в которых множе- ствам сопоставляются плоские фигуры, Например, некоторому мно- жеству А можно сопоставить фигуру (рис. 1.1). Рис. 1.1. Символическое сопоставление множеству A плоской фигуры Если множество А есть совокупность точек на плоскости, то оно реально будет идентично некоторой плоской фигуре. A 8 Тот факт, что множества А и В не имеют общих элементов, мож- но изобразить так, как показано на рис. 1.2. Если А и В имеют неко- торое количество общих элементов, то это изображается так, как показано на рис. 1.3. Проиллюстрировать факт того, что множество В является собственным подмножеством множества А можно так, как это изображено на рис. 1.4. Если ,A B то это можно изобра- зить полным наложением соответствующих этим множествам диа- грамм (фигур) одну на другую. Рис. 1.2. Множества A и B не имеют общих элементов Рис. 1.3. Множества A и B имеют общие элементы Рис. 1.4. Множество B есть собственное подмножество множества A Определим простейшие операции над множествами, а также да- дим их геометрическую интерпретацию посредством использования диаграмм Эйлера–Венна. А В А В А В 9 Определение 1.3. Объединением (суммой) множеств А и В на- зывается множество ,C A B  содержащее те и только те элемен- ты, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В:   или или и .C A B x x A x B x A x B      Геометрически объединение множеств А и В можно изобразить в виде заштрихованных фигур, как это показано на рис. 1.5 или рис. 1.6. Рис. 1.5. Объединение множеств A и B, не имеющих общих элементов Рис. 1.6. Объединение множеств A и B, имеющих общие элементы Используя данные выше определения, можно установить, что вер- ны такие равенства: ,A A A ,A A  ,A U U если ,B A то .A B A Определение 1.4. Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество ,C A B  состоящее из всех тех и только тех элементов, каждый из которых принадлежит обоим множествам одновременно:  и .C A B x x A x B    Геометрическая интерпретация пересечения множеств А и В дана на рис. 1.7 (элементы, принадлежащие A B изображены заштри- хованной частью фигур А и В). А В А В 10 Рис. 1.7. Пересечение множеств A и B, имеющих общие элементы Если множества А и В не имеют общих элементов, то A B  (рис. 1.8). Рис. 1.8. Пересечение множеств A и B, не имеющих общих элементов Заштрихованная часть отсутствует. Очевидно, что имеют место следующие равенства: ,A A A ,A   ,A U A если ,B A то .A B B Определение 1.5. Разностью двух множеств А и В называется мно- жество \ ,C A B состоящее из всех тех и только тех элементов, кото- рые принадлежат А, но не принадлежат В:  \ и .C A B x x A x B    Разности множеств \A B изображены на рис. 1.9 и 1.10 заштри- хованной областью фигуры А. Рис. 1.9. Разность множеств A и B А В А В А В 11 Рис. 1.10. Дополнение множества B до множества A Если B A (см. рис. 1.10), то разность \A B называют допол- нением множества В до множества А. Определение 1.6. Дополнением множества А до универсального множества U называется разность \U A и обозначается символом :A  \ .A U A x x A   С помощью диаграмм Эйлера–Венна данную операцию можно проиллюстрировать (рис. 1.11). Рис. 1.11. Дополнение множества A до универсального множества U Символы , , \  имеют смысл операций объединения, пересе- чения и разности множеств соответственно. А В A А U 12 1.2. Общие сведения о числовых множествах Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Для основных числовых множеств приняты следующие стан- дартные обозначения: N – множество всех натуральных чисел:  1, 2, 3,... ;N  0Z (или 0N ) – множество всех целых неотрицательных чисел:  0 0,1, 2, 3,... ;Z  Z – множество всех целых чисел:  ..., 2, 1, 0,1, 2, 3,... ;Z    Q – множество всех рациональных чисел:  , \ 0 ,mQ m Z n Z n       где  0 – множество, которое содержит только одно число нуль; I – множество всех иррациональных чисел; 0R – множество всех неотрицательных действительных чисел; R – множество всех действительных чисел (числовая прямая): ;R Q I  C – множество всех комплексных чисел. Указанные множества связаны между собой посредством следу- ющих отношений: 0 .N Z Z Q R C     Более подробно числовые множества будут описаны далее. 1.3. Соответствия между множествами и отображения множеств. Общее понятие отношения. Отношение эквивалентности Иногда между двумя множествами можно установить соответ- ствие, т. е. можно ввести правило, по которому для каждого эле- мента одного множества указывается вполне определенный элемент или подмножество элементов другого множества. При этом допус- 13 кается, что некоторым элементам первого множества может соот- ветствовать пустое множество. На основе понятия соответствия между множествами вводится понятие отображения множеств. Определение 1.7. Соответствие, при котором каждому элементу множества A отвечает единственный элемент множества ,B назы- вается отображением множества A в множество .B Определение 1.8. Соответствие, для которого каждому элементу множества A отвечает единственный элемент множества ,B и, кро- ме того, каждому элементу множества B отвечает хотя бы один элемент множества ,A называется отображением множества A на множество .B Отображения множеств обычно обозначают буквами , , , ...f g h и пишут fA B или : .f A B Определение 1.9. Если при отображении f элементу a A со- ответствует элемент ,b B то элемент b называется образом эле- мента .a В свою очередь элемент a называется прообразом эле- мента b и этот факт записывается так: ( ).b f a При этом факт отображения всего множества A на множество B записывается так: ( ).B f A Определение 1.10. Множество ( )f A образов всех элементов a A при отображении f называют образом множества .A Определение 1.11. Отображение :f A B множества A на мно- жество ,B при котором каждому элементу множества B соответст- вует только единственный элемент множества ,A называется взаимно однозначным отображением (биективным или биекцией) множест- ва A на множество .B Если отображение :f A B биективно, то отображение 1 : ,f B A  ставящее в соответствие каждому элементу b B 14 его прообраз ,a A называют обратным отображением для ото- бражения .f Обратным для отображения 1f  будет исходное ото- бражение .f Определение 1.12. Если множество A взаимно однозначно отоб- ражается на множество ,B то множества A и B называются равно- мощными. Равномощность множеств обычно записывается с помощью зна- ка ~: ~ .A B О равномощных множествах A и B также говорят, что между ними установлено отношение эквивалентности. Кроме понятий множества и отображения в математике исполь- зуется еще целый ряд базовых понятий. К ним относится понятие отношения. Выше были приведены примеры отношений. К ним, в частности, относятся отношения равенства, включения и отноше- ния равномощности множеств. К отношениям относятся также по- нятия «больше» и «меньше» для вещественных чисел и понятие по- добия для геометрических фигур. Введем общее понятие бинарного отношения и дадим краткую классификацию отношений. Определение 1.13. Декартовым произведением двух непустых множеств A и B называется множество   ,C A B a b a A    и .b B При этом в упорядоченной паре  ,a b элемент a счита- ется первым, а элемент b – вторым. Определение 1.14. Бинарным отношением  называется множе- ство упорядоченных пар  ,a b ( a A и b B ), которые образуют некоторое непустое множество декартового произведения .A B При этом выражения  ,a b  и a b считаются равноценными. Замечание 1.1. В рамках определения 1.14 говорят, что элемент a находится в отношении  к элементу b в том и только в том слу- чае, когда имеет место .a b Замечание 1.2. Если ,A B то отношение A A  называется бинарным отношением, заданным на множестве .A 15 Определение 1.15. Бинарное отношение  называется менее об- щим, чем отношение , а  – более общим, чем , если для любых элементов a и b из подмножества a b A B   следует, что имеет место .a b Например, отношение равенства геометрических фигур является менее общим, чем отношение подобия таких фигур. Определение 1.16. Бинарное отношение , заданное на мно- жестве A (это отношение есть подмножество множества A A ), называется рефлексивным, если для любого элемента a A имеет место .a a Примерами рефлексивных отношений являются равенство от- резков, подобие фигур и отношение включения  множеств. Определение 1.17. Отношение  называется симметричным, ес- ли для любых элементов ,a b A из истинности a b следует ис- тинность .b a Примерами симметричных отношений являются отношения пер- пендикулярности, параллельности прямых и подобие фигур. Определение 1.18. Отношение  называется транзитивным, ес- ли для любых элементов , ,a b c A из истинности a b и b c сле- дует истинность .a c В качестве транзитивных отношений можно назвать отношения равенства отрезков, подобия фигур, отношение «меньше» для веще- ственных чисел. Определение 1.19. Отношение  называется связным, если для любых различных элементов ,a b A имеет место, по крайней мере, одно из отношений ,a b .b a Если данные условия не выполня- ются, то отношение  называется несвязным. Примером несвязного отношения является отношение равенства отрезков. Отношение «правее» является связным. Определение 1.20. Отношение  , заданное на множестве A (т. е. ),A A   называется отношением эквивалентности, если оно одно- временно рефлексивно, симметрично и транзитивно. 16 Отметим, что отношение эквивалентности зачастую обозначают символом ~. Отношениями эквивалентности являются, в частности, отношения равенства, подобия и равномощности множеств. Замечание 1.3. Тождество (отношение тождества) является пре- дельным случаем отношения эквивалентности, так как единствен- ным элементом, равным какому-либо данному элементу, является этот же элемент. Замечание 1.4. Произвольное отношение эквивалентности  на множестве A задает на A обобщенную формулу равенства, так как все элементы этого множества, которые находятся друг с другом в отношении  , могут считаться равными в обобщенном смысле (им присуще одно и то же свойство). Замечание 1.5. Важной областью применения отношений эквива- лентности является формализация математических и иных понятий. 1.4. Простейшие понятия математической логики В математической логике в отличие от лингвистики рассматри- ваются только те понятия, на основе которых можно сформулиро- вать разнообразные истинные или ложные утверждения (высказы- вания). Фактически высказывания представляют собой осмыслен- ные утвердительные предложения. В данной логике выделяют по- стоянные и переменные высказывания. О первых высказываниях в рамках определенного контекста можно сказать, что они либо ис- тинны, либо ложны. Переменные высказывания не являются, вооб- ще говоря, либо только истинными, либо только ложными. Эти вы- сказывания содержат элемент(ы) (переменную(ые)) из некоторой предметной области и их истинность, ложность зависит от конкрет- ных значений переменной(ых). Данного рода высказывания назы- ваются предикатами. В математической логике постоянные выска- зывания обозначаются обычно прописными буквами какого-либо алфавита (например, , , ,A B C D ). Определение 1.21. Говорят, что на множестве, элементами кото- рого являются упорядоченные n-ки  1 2, ,..., ,nx x x задан предикат  1 2, ,..., ,nP x x x если каждой такой фиксированной n-ке соответствует 17 определенное значение истинности: T (истина), F (ложь). При этом предикат называют одноместным, если 1,n  и многоместным, если  2, 3, 4, ... .n В математической логике выделяют исчисления высказываний и предикатов. В исчислении высказываний рассматриваются самые разнообразные комбинации постоянных высказываний, которые мо- гут быть простыми высказываниями (они не допускают расчлене- ния) или являются сложными высказываниями. В свою очередь под сложными высказываниями понимаются высказывания, которые получены из простых высказываний посредством сентенциональ- ных (логических) связок. Фактически данные связи определяют (за- дают) логические операции. Определение 1.22. В рамках русского языка под сентенциональ- ными связками понимают следующие пять слов или комбинаций слов: «не», «и», «или», «если…, то», «тогда и только тогда, когда». Теперь можно уточнить понятие простого высказывания. Замечание 1.6. В исчислении высказываний под простыми вы- сказываниями понимают такие высказывания, которые не содержат сентенциональных связок или сами по себе рассматриваются в ка- честве нерасчленяемых (неразложимых) высказываний. Определение 1.23. Отрицанием высказывания A называется вы- сказывание A (не A ), которое является ложным, если A истинно, и истинным, если A ложно (символ обозначает логическую опе- рацию отрицания). Определение 1.24. Дизъюнкцией высказываний ,A B называется высказывание  или ,C A B которое является истинным, если ис- тинно хотя бы одно из высказываний , ,A B и ложным, когда иA B ложны одновременно. При этом дизъюнкция обозначается симво- лом A B ( – знак логической операции дизъюнкции). Определение 1.25. Конъюнкцией высказываний ,A B называется высказывание  и ,C A B которое является истинным, если ис- тинны оба высказывания ,A B одновременно, и ложным, когда хотя 18 бы одно из высказываний ,A B ложно. Конъюнкция обозначается символом A B ( – знак логической операции конъюнкции). Определение 1.26. Импликацией от высказывания A к высказы- ванию B называется высказывание  если , то ,C A B которое лож- но, когда A истинно, а B ложно, и истинно во всех других ситуа- циях. При этом высказывание A называется посылкой, а B – заклю- чением импликации. Импликация обозначается символом A B ( – знак логической операции импликации). Определение 1.27. Эквиваленцией высказываний ,A B называет- ся высказывание  тогда и только тогда, когда ,C A B которое ис- тинно, когда ,A B истинны или ложны одновременно. Эквивален- ция обозначается символом A B ( – знак логической опера- ции эквиваленции). Определение 1.28. Множество всех высказываний, содержащее в рамках определенного контекста все простые и сложные высказы- вания, полученные из простых с помощью логических операций: , , , ,    – называется алгеброй высказываний. Определение 1.29. Выражения, составленные из высказываний (простых и сложных), знаков логических операций и скобок (скоб- ки определяют субординацию выполняемых операций) называются формулами алгебры высказываний. Замечание 1.7. Любая формула высказываний  1,..., ,nf A A со- ставленная из высказываний 1,..., ,nA A представляет собой функ- цию, область определения которой является конечным множеством, содержащим 2n элементов. Область значений этой функции пред- ставляет собой множество  , .T F При рассмотрении высказываний весьма полезно использовать истинностные таблицы. Для иллюстрации на примере табл. 1.1 при- ведем истинностные значения простейших формул высказываний, каковыми являются ,A ,A B ,A B ,A B .A B 19 Таблица 1.1 Операции над высказываниями и их истинностные значения A B A A B A B A B A B T T F F T F T F F – T – T T T F T F F F T F T T T F F T Определение 1.30. Две формулы алгебры высказываний называ- ются эквивалентными, если их истинностные таблицы одинаковы. Обозначим через U высказывание, которое всегда истинно. Тогда отрицание этого высказывания (т. е. U ) будет всегда лож- ным. Приведем классические эквивалентные формулы (тождества) математической логики. Они имеют следующий вид: ,A A ,A B B A   ,A B B A       ,A B C A B C         ,A B C A B C           ,A B C A B A C            ,A B C A B A C      ,A A A  ,A A A  ,A U A  ,A U U  ,A U A  ,A U U  ,A A U  ,A A U  ,A B A B   ,A B A B   ,A B A B       ,A B A B B A     ,A B B A   .B A A B   Важную роль в математической логике играют тождественно истинные формулы. К ним относятся, например, такие формулы: 20 A A (закон двойного отрицания); ,A A A  A A A  (законы идемпотентности); ,A B A B   A B A B   (законы Де Моргана). Замечание 1.8. При записи формул алгебры высказываний ис- пользуется такая субординация для выполнения действий, порож- даемых логическими связками: , , , ,    (эта субординация на- рушается, если есть скобки). При проведении различного рода рассуждений, доказательств в математике кроме исчисления высказываний применяется исчис- ление предикатов. В этом исчислении вводится еще ряд важных дополнительных понятий. Определение 1.31. Пусть ( )P x – предикат, заданный на множе- стве .M Тогда под символом ( )xP x понимается такое утвержде- ние: существует такое ,x M что ( )P x истинно, если область ис- тинности не является пустой, и ( )P x ложно, если область истинно- сти является пустой. При этом символ  называется квантором существования. Определение 1.32. Пусть ( )P x – предикат, заданный на множе- стве .M Тогда под символом ( )xP x понимается истинное выска- зывание, когда ( )P x истинно для любых ,x M и ложное высказы- вание в противном случае. При этом символ  называется кванто- ром всеобщности. Замечание 1.9. При отсутствии скобок в формулах символы  и  действуют как операция (отрицание) на ближайший объект этой формулы. Следует особо подчеркнуть, что кроме исчислений высказываний и предикатов в математической логике при построении аксиоматиче- ских теорий используются процедуры вывода и доказательства. Допустим, что 0F – совокупность аксиом некоторой математической 21 теории, а F – некоторое утверждение данной теории. Тогда под сим- волом |F A будем понимать такое утверждение: из утверждения F (посылки вывода) и аксиом 0F выводимо (следует) утверждение A (т. е. из истинности 0F и F автоматически следует истинность утверждения A ). При этом символ | A означает выводимость утверждения A из аксиом 0.F Отметим, что смысл понятия выводи- мости отличается от высказывания  0F F A  (см. далее). Определение 1.33. Установление факта связи двух высказываний B и Q посредством отношения | называется выводом. В записи |B Q высказывание B называется условием, а высказывание Q – следствием (в рамках аксиоматических теорий символ 0F обычно опускается). Определение 1.34. Пусть имеет место высказывание (утвержде- ние) | .B Q Тогда B называют необходимым условием истинности Q (для того, чтобы имело место ,Q необходимо, чтобы имело мес- то также и ),B а Q – достаточным условием истинности B (для того, чтобы имело место ,B вполне достаточно, чтобы было ис- тинным ).Q Определение 1.35. Если имеют место |B Q и | ,Q B то говорят, что истинность B представляет собой необходимое и достаточное условие того, что Q имеет место (и наоборот). Введем еще ряд понятий, которые используются в математиче- ской логике и математике при формулировке утверждений и дока- зательстве теорем. Определение 1.36. Высказывание (утверждение) B A назы- вают обратным к высказыванию .A B Высказывание (утвержде- ние) A B называют противоположным для высказывания (утверж- дения) ,A B а высказывание (утверждение) B A – противо- положным к обратному. 22 Приведем для иллюстрации истинностные таблицы для всех выска- зываний: ,A B ,B A ,A B B A – в виде сводной табл. 1.2. Таблица 1.2 Прямые, обратные и противоположные импликации высказываний A и B A B A B B A A B B A T T F F T F T F T F T T T T F T T T F T T F T T Из данной таблицы следует, что высказывания (утверждения) A B и ,B A а также B A и ,A B имеют одинаковые таб- лицы истинности. Следовательно, имеют место равенства (эквива- лентности)     ,A B B A      .B A A B   По этой при- чине утверждение (прямая теорема) |A B равносильна противо- положной к обратному утверждению (обратной теореме) | .B A Данный факт лежит в основе метода доказательства от против- ного. Его суть заключается в замене доказательства прямой теоре- мы |A B доказательством обратной теоремы | .B A Замечание 1.10. Если утверждение A является необходимым и достаточным условием для утверждения ,B то будут одновре- менно справедливы все утверждения: ,A B ,B A ,A B B A (см. табл. 1.2). Замечание 1.11. Все логические операции , , , ,    допус- кают биективную и эффективную реализацию в рамках релейно- контактных схем и элементной базы современной компьютерной техники. 23 1.5. Простейшие сведения о комбинаторике Определение 1.37. Пусть A – некоторое множество. Оно назы- вается упорядоченным множеством, если на нем задано отношение порядка, которое обладает следующими свойствами: 1) рефлексив- ностью (любой элемент не превосходит самого себя); 2) антисим- метричностью (если a b и ,b a то элементы ,a b A совпа- дают; отношение  – меньше или равно); 3) транзитивностью (если , ,a b b c  то a c ). Вместо символа  можно использовать также символ  – боль- ше или равно (т. е. записи a b и b a равноценны). Отметим, что пустое множество зачастую принимается упорядоченным мно- жеством. Замечание 1.12. Одно и то же множество может быть упорядо- чено различными способами. При этом упорядоченные (конечные или счетные) множества часто записывают в виде элементов, рас- положенных в круглых скобках. Пусть  1 2, ,..., nM m m m – конечное множество, которое по оп- ределению содержит только различные элементы и не является упорядоченным, т. е. изменение порядка расположения элементов 1 2, ,..., nm m m внутри фигурных скобок не изменяет множества .M Однако при решении многих научно-технических задач приходится рассматривать различные комбинации элементов (в том числе упо- рядоченные комбинации), извлеченных из множества ,M и нахо- дить число таких комбинаций. Решением такого рода задач зани- маются в рамках комбинаторики, которая является одним из важ- ных разделов математики. Определение 1.38. Выборкой, содержащей k элементов (  1, 2, 3, ... ,k N  k – размерность выборки) из множества ,M называется совокупность  1,...,k kS a a такая, что любой элемент ,ja где  1, 1,..., ,j k k  из совокупности kS принадлежит множе- ству .M При этом натуральные числа , ,k n N и может реализовы- ваться любое из неравенств , .k n k n  24 Определение 1.39. Выборка kS из множества ,M содержащего n элементов, называется выборкой без повторений, если любые два элемента этой выборки различны между собой (т. е. ,i ja a если , ).i j k n  В противном случае выборка kS называется выборкой с повторениями. Определение 1.40. Выборка kS из множества M называется упорядоченной выборкой, если в kS задан порядок следования ее элементов. В противном случае выборка называется неупорядочен- ной выборкой. Замечание 1.13. Упорядоченные выборки из одного и того же множества, содержащие одни и те же элементы, но расположенные в различном порядке, считаются различными. Определение 1.41. Выборка kS из множества M называется упорядоченной выборкой без повторений, если она – упорядоченная выборка, не имеющая повторений. В рамках комбинаторики дается, в частности, ответ на следую- щий вопрос: «Какое число различных выборок определенных раз- мерностей с заданными свойствами возможно сконструировать из элементов каких-либо конечных множеств?» При решении проблем комбинаторики используются некоторые процедуры, называемые правилами. К ним относятся обобщенное правило суммы и правило произведения [20]. Определение 1.42. Под размещениями без повторений из n эле- ментов по k понимаются упорядоченные k  выборки без повторе- ний из n элементов. Утверждение 1.1. Число размещений без повторений из n эле- ментов по k равно    1 ... 1knA n n n k      для 2n  и 11 1.A  Определение 1.43. Под перестановками из n элементов понима- ются упорядоченные выборки без повторений из n элементов по .n Утверждение 1.2. Число перестановок из n элементов равно  ! 1 ... 1nP n n n     для 2n  и 1 1.P  При этом под символом 0! понимают также единицу. 25 Определение 1.44. Под сочетаниями из n элементов по k пони- мают неупорядоченные (без повторений) выборки k элементов из .n Утверждение 1.3. Число сочетаний из n элементов по k равно   ! ! ! k k n n k kA nC nP k n k          1,1 .n k n   Утверждение 1.4. Пусть a и b – любые действительные числа. Тогда для любого натурального числа n (т. е. )n N верна форму- ла бинома Ньютона:   0 0 1 1 1 2 2 2 0 1 1 0 1 1 1 2 2 2 1 1 ... ... , nn s s n s n n n n n n n s n n n n n n n n n n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C a b b C a b C a b C a b a                           причем в этих суммах 0 1nC  и 1.nnC  Следует отметить, что приведенные в данном параграфе форму- лы и понятия широко используются во многих областях математики и ее приложениях. В частности, понятия размещения, перестановки и сочетания играют важную роль в теории вероятностей и матема- тической статистике. 1.6. Метод математической индукции Некоторые математические утверждения доказываются методом математической индукции, в основе которого лежит принцип мате- матической индукции. Пусть  A n – некоторое утверждение, имеющее смысл для на- туральных чисел ,n и пусть оно истинно для 1.n  Тогда, если из истинности этого утверждения для n k  , 1k N k  следует истинность утверждения для 1,n k  то утверждение  A n истин- но для любого натурального числа .n Доказательство методом математической индукции состоит в сле- дующем: 26 1) доказывается, что утверждение  1A истинно; 2) предполагается, что утверждение  A n истинно для ,n k и доказывается его справедливость при 1.n k  После этого на основании принципа математической индукции делается вывод, что утверждение  A n истинно для любого нату- рального .n Методом математической индукции доказывается, например, не- равенство Бернулли:  1 1 .na an   Обобщение принципа математической индукции. Если утверждение   ,A n в котором n – целое число, истинно при n m и если из истинности этого утверждения для числа ,n k где , ,k Z k m  вытекает, что оно истинно для следующего числа 1,n k  то утверждение  A n истинно и для любого целого значе- ния .n m 27 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. МЕТОД КООРДИНАТ. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Число – это важнейшее математическое понятие. И. Ньютон во «Всеобщей арифметике» дал следующее опреде- ление понятия числа: «Под числом мы понимаем не столько множе- ство единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь вели- чины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу». Эта формулировка дает единое (хотя и не строгое в математическом смысле) определение действительного числа, как рационального, так и иррационального. Рассмотрим основные числовые множества. 2.1. Натуральные числа. Целые числа Числа, употребляемые при счете предметов, называют натураль- ными. В порядке возрастания можно записать ряд чисел: 1, 2, 3, 4... Наименьшим натуральным числом является число 1. Наибольшего натурального числа не существует. Множество всех натуральных чисел обозначается символом .N Любое число в десятичной позиционной системе счисления мож- но записать с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Услови- лись цифры 0, 2, 4, 6, 8 называть четными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9 – не- четными. Соответственно, числа, заканчивающиеся четной цифрой, называют четными, а числа, заканчивающиеся нечетной цифрой, – нечетными. Значение цифры в записи числа зависит от ее позиции. Любое натуральное число 1 1 0...n na a a a a можно представить в виде суммы разрядных слагаемых (единиц, десятков, сотен и т. д.) 1 2 1 2 1 010 10 ... 10 10 , n n n na a a a a a           где каждое из 0 1, , ..., na a a есть цифра. Для натуральных чисел определены следующие действия (алгеб- раические операции): сложение, вычитание, умножение, деление, воз- ведение в степень и извлечение корня. Действия сложения и умноже- ния выполнимы всегда, т. е. в результате этих действий получаются также натуральные числа. 28 Разделить число a на число ,b значит найти такое число ,x что : ,a b x если .xb a Число a называется делимым (или кратным) числа b, число b – делителем числа ,a число x – частным чисел a и .b Деление одного натурального числа a на другое натуральное число b нацело не всегда выполнимо. Более общим действием является деление с остатком. В этом случае всякое натуральное число a единственным образом представляется в виде ,a bq r  где q и r – неотрицательные целые числа, причем 0 .r b  Чис- ло q называют неполным частным, а число r – остатком от деле- ния a на .b Равенство 0r  будет верно тогда и только тогда, ко- гда число b является делителем числа .a Сформулируем признаки делимости чисел: 1) на 2 делятся числа, оканчивающиеся нулем или четной цифрой; 2) на 3 (9) делятся те и только те числа, сумма цифр которых де- лится на 3 (9); 3) на 4 (25) делятся те и только те числа, у которых две послед- ние цифры – нули или выражают число, делящееся на 4 (25); 4) на 5 делятся числа, оканчивающиеся нулем или цифрой 5; 5) на 6 делятся числа, которые одновременно делятся на 2 и на 3; 6) На 10 делятся числа, оканчивающиеся нулем. Определение 2.1. Число a называется простым, если его делите- лями являются только единица и само число .a К простым относят- ся, например, такие числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17… Определение 2.2. Число ,a имеющее более двух натуральных делителей (кроме 1 и ),a называется составным. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам. Теорема 2.1. (основная теорема арифметики). Всякое натураль- ное число ,a кроме единицы, может быть единственным способом представлено в виде произведения простых чисел (если не учиты- вать порядок расположения множителей). При этом данное пред- ставление можно записать в виде 1 2 1 2 ... .nna p p p       29 Здесь 1 2, ,..., np p p – различные простые делители числа ;a 1 2, ,..., n   – некоторые натуральные числа, равные числу повто- рений простых делителей в разложении числа .a При этом данное представление называют каноническим разложением натурального числа a на простые множители. Определение 2.3. Всякое натуральное число, на которое делятся одновременно несколько натуральных чисел, называют общим де- лителем этих чисел. Наибольший из общих делителей этих чисел называют их наибольшим общим делителем (НОД). Определение 2.4. Всякое натуральное число, которое делится на каждое из данных натуральных чисел, называют общим кратным этих чисел. Наименьшее из общих кратных данных чисел называют их наименьшим общим кратным (НОК). Чтобы найти НОД или НОК натуральных чисел надо выполнить следующие действия: 1) разложить данные числа на простые множители; 2) для нахождения НОД следует составить произведение из всех общих простых множителей, входящих в каждое из разложений, причем, если множитель входит в разложение с разными показате- лями, то берут его с наименьшим показателем; для нахождения НОК следует составить произведение из всех простых множителей разложения одного из данных чисел и недостающих простых мно- жителей из разложений других чисел; 3) найти значение полученного произведения. Определение 2.5. Два натуральных числа, НОД которых равен единице, называют взаимно простыми. НОК двух взаимно простых чисел равен их произведению. Определение 2.6. Множество натуральных чисел, дополненное нулем, называется множеством неотрицательных чисел, и его мож- но обозначить символом 0N (или 0Z ). Всякое натуральное число, взятое со знаком «–», называют целым отрицательным числом. Два числа, отличающиеся друг от друга только знаком, называются про- тивоположными числами. 30 Определение 2.7. Числа натуральные, число нуль и целые отри- цательные числа составляют множество целых чисел. Оно обозна- чается символом .Z 2.2. Рациональные числа. Иррациональные числа Возникновение положительных рациональных чисел во многом было связано с необходимостью производить измерения, т. е. срав- нивать различные величины с другой величиной того же рода, вы- бираемой в качестве эталона (единицы измерения). Определение 2.8. Рациональной дробью называют упорядочен- ную пару целых чисел  ;a b , где число b отлично от нуля. Рацио- нальную дробь обозначают символом a b или .a b Число a называ- ется числителем дроби, а число b – ее знаменателем. Определение 2.9. Рациональная дробь ,a b где a – целое число, а b – натуральное, называется положительной, если a положи- тельно, и отрицательной, если a отрицательно. Знаменатель положительной рациональной дроби показывает на сколько равных частей разделена единица, а числитель – сколько взято таких частей. Определение 2.10. Положительная рациональная дробь a b называ- ется правильной, если ее числитель меньше знаменателя  a b и не- правильной, если ее числитель больше или равен знаменателю  .a b Если дробь неправильная, то ее числитель может быть представ- лен в виде ,a bq r  где q – натуральное число, r – целое число, удовлетворяющее условию 0 .r b  Тогда будет верно равенство ,a rq b b   где число q – целая часть дроби, а r b – правильная дробь. 31 Если 0,r  то неправильную рациональную дробь a b записы- вают иногда в виде смешанной дроби rq b . Определение 2.11. Две рациональные дроби a b и c d называют равными или эквивалентными тогда и только тогда, когда .ad bc Рациональные дроби a b и ,c a k d b k   где k – любое целое число, отличное от нуля, эквивалентны. Переход от дроби a k b k   к эквива- лентной дроби a b называют сокращением дроби на число .k Определение 2.12. Дробь называется несократимой, если ее чис- литель и знаменатель взаимно простые числа. Всякую рациональную дробь можно записать в виде несократи- мой дроби. Равенство a a k b b k   выражает основное свойство рацио- нальной дроби: рациональная дробь не изменится, если ее числи- тель и знаменатель умножить (или разделить) на одно и то же целое число, отличное от нуля. Это равенство позволяет привести две ра- циональные дроби a b и c d к общему знаменателю :bd , .a a d c c b b b d d d b     Числа d и b называют дополнительными множителями соот- ветственно первой и второй дроби. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо реализовать следующие действия: 1) найти НОК знаменателей данных дробей; 2) для каждой дроби найти дополнительный множитель; 32 3) числитель и знаменатель каждой дроби умножить на ее до- полнительный множитель. Положительная рациональная дробь a b считается больше (мень- ше) рациональной дроби ,c d если имеет место неравенство ad bc  .ad bc Множество рациональных дробей есть упорядоченное множе- ство: для любых двух дробей a b и c d либо ,a c b d  либо ,a c b d  либо .a c b d  При этом выполняются свойства рефлексивности, антисимметричности и транзитивности, а также симметричности, если дроби равны (эквивалентны). Из двух положительных рациональных дробей с равными знаме- нателями больше та, числитель которой больше, и меньше та, чис- литель которой меньше:  .a c a c b b       Из двух положительных рациональных дробей с равными числи- телями больше та, знаменатель которой меньше, и меньше та, зна- менатель которой больше:  .a a b d b d       Сложение (вычитание) дробей производится следующим образом: .a c ad bc b d bd   Умножение дробей выполняется таким образом: a c ac b d bd   . 33 Деление дробей выполняется по алгоритму : .a c ad b d bc  Определение 2.13. Рациональные дроби a b и c d называют об- ратными, если 1.a c b d   Отметим, что для того, чтобы разделить дробь a b на дробь ,c d достаточно умножить дробь a b на дробь ,d c обратную дроби .c d Замечание 2.1. Эквивалентные рациональные дроби являются раз- личными представлениями одного и того же числа. Определение 2.14. Рациональным числом называется множество всех эквивалентных между собой рациональных дробей. Среди всех записей данного положительного рационального числа r эквивалентными рациональными дробями a r b  выделяют его представление в виде единственной несократимой дроби из это- го класса эквивалентных дробей. Определение 2.15. Рациональное число, содержащее рациональ- ную дробь вида 0 , b называют нулем. Определение 2.16. Если r – рациональное число и ,a r b  то рацио- нальное число, содержащее рациональную дробь ,a b  называют ра- циональным числом, противоположным числу ,r и обозначают ( ).r 34 Рациональное число a b называют положительным, если a и b одного знака, и отрицательным, если a и b имеют разные знаки. Определение 2.17. Рациональное число a называется целым, ес- ли в множестве всех эквивалентных дробей, задающих это число, содержится дробь вида . 1 a Множество всех рациональных чисел обычно обозначают .Q Множество Z целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел, т. е. .Z Q Таким образом, множество Q ра- циональных чисел может быть получено как естественное расшире- ние множества целых чисел путем добавления новых элементов, так что расширенное множество представляет множество, замкнутое относительно операций сложения, умножения, вычитания и деления (кроме деления на нуль). Определение 2.18. Дробь, знаменатель которой есть число, вы- раженное единицей с одним или несколькими нулями, т. е. дробь вида , 10k a где a – целое, а k – натуральное, называют десятичной. Десятичные дроби условились записывать без знаменателей: сна- чала пишут целую часть, а потом числитель дробной части. Целую часть отделяют точкой (или запятой) от числителя дробной части. С помощью деления числителя на знаменатель любое дробное не- отрицательное число a b можно обратить в конечную или бесконеч- ную десятичную дробь. Следовательно, любое неотрицательное ра- циональное число r можно представить в виде конечной или бес- конечной десятичной дроби: 0 1 2. ... kr a a a a или 0 1 2 3. ...,r a a a a где 0a – целая часть числа ,r а 1 2 30. ...a a a – его дробная часть. В этом случае бесконечные десятичные дроби всегда оказывают- ся периодическими. Такое представление возможно и для отрица- тельных рациональных чисел. 35 Определение 2.19. Бесконечную десятичную дробь 0 1 2 3. ...a a a a называют периодической, если у нее, начиная с некоторого места, одна цифра или группа цифр повторяется, непосредственно следуя одна за другой. Повторяющуюся группу цифр называют периодом и записывают в скобках. Например, вместо 1.23457457457... пишут  1.23 457 . Любая периодическая дробь является представлением некоторо- го рационального числа. Обращение периодической дроби в обыкновенную проводят по правилу, описанному ниже. Чтобы записать данную периодическую дробь в виде обыкновенной дроби ,a b надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и сделать эту разность числителем, а в знаменателе написать циф- ру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, и после девятки допи- сать столько нулей, сколько цифр между точкой (запятой) и пер- вым периодом. Замечание 2.2. Рациональные числа допускают запись в виде двух различных десятичных дробей, например, 1 4 записывается как 0,25 и 0,24(9). Рациональных чисел недостаточно для выражения результатов различных измерений (несоизмеримые отрезки, например, нельзя выразить рациональным числом; например, длины диагоналей квадрата и длины окружностей, вообще говоря, не являются рацио- нальными числами). Множество рациональных чисел не замкнуто относительно операции извлечения корня из неотрицательного чис- ла (например, не существует рационального числа, квадрат которо- го равен двум и т. п). Можно привести ряд других примеров чисел, которые не могут быть представлены в виде  , , 0 ,a a b Z b b   т. е. не являются рациональными числами. Такие числа представляются бесконечными десятичными непериодическими дробями. Определение 2.20. Бесконечную десятичную непериодическую дробь называют иррациональным числом. 36 Известные в математике число π 3,1415..., число e 2,71828... являются иррациональными. Часто индивидуально заданные иррациональные числа обозна- чают в зависимости от их происхождения и роли. Примерами таких чисел являются числа: 22, log 3, sin1 и т. п. 2.3. Действительные числа Множество всех действительных чисел образуется посредством пополнения множества рациональных чисел множеством иррацио- нальных чисел. Точнее говоря, множество действительных чисел является объединением этих множеств. Множество всех действи- тельных чисел обозначают буквой ,R множество неотрицательных действительных чисел обозначают символом 0 ,R положительные и отрицательные действительные числа обозначают соответственно символами R и .R Множество ,R пополненное элементами   и   , обозначают символом R и называют расширенным множе- ством действительных чисел. Определение 2.21. Действительные корни алгебраических урав- нений 0 0 n s s s a x   с целочисленными коэффициентами 0 1, ,..., ,na a a где ,n N называются действительными алгебраическими числами. Остальные действительные числа называют действительными транс- цендентными числами. Множество всех действительных (вещественных) чисел R мо- жет быть описано как множество, элементы которого удовлетворя- ют следующим перечисленным ниже свойствам: 1) для любых двух вещественных чисел a и b определено от- ношение порядка, т. е. либо ,a b либо ,a b либо ,b a причем если a b и ,b c то a c (свойство транзитивности); 2) во множестве действительных чисел R определена внутренняя бинарная (общее определение таких операций будет дано в п. 2.5) алгебраическая операция сложения (+), т. е. любой упорядочен- ной паре действительных чисел ( , )a b ставится в соответствие 37 единственное вещественное число, называемое суммой чисел a и b и обозначаемое выражением .a b При этом данная операция обла- дает следующими свойствами: а) для любой пары чисел ,a b R имеет место равенство a b b a   (свойство коммутативности операции сложения); б) для любой тройки чисел , ,a b c R имеет место равенство    a b c a b c     (свойство ассоциативности операции сложения); в) существует действительное число, обозначаемое символом 0 и называемое нулем, такое, что для любого числа a R имеет место равенство 0 ,a a  при этом действительное число ,a удовлетворяющее условию 0,a  называется положительным, а действительное число, удовлетворя- ющее неравенству 0,a  называется отрицательным числом; г) для любого числа a R существует действительное число, обозначаемое ( ),a такое, что   0,a a   при этом число ( )a называется противоположным числу ;a д) если выполнено условие ,a b то для любого числа c R имеет место неравенство ;a c b c   е) сумма ( ),a b  где ,a b – любые вещественные числа, являет- ся вещественным числом и обозначается символом a b (знак «–» имеет смысл операции вычитания, которая является обратной опе- рацией к операции «+», причем действительное число ( )a b назы- вается разностью чисел a и ;b 38 3) во множестве действительных чисел R определена внутрен- няя бинарная алгебраическая операция, называемая умножением, т. е. любой упорядоченной паре действительных чисел ( , )a b ста- вится в соответствие единственное действительное число, называе- мое их произведением и обозначаемое выражением ,a b причем имеют место следующие свойства: а) для любой пары действительных чисел ,a b R имеет место равенство a b b a   (свойство коммутативности); б) для любой тройки действительных чисел , ,a b c верно ра- венство    a b c a b c     (свойство ассоциативности); в) существует действительное число, обозначаемое символом 1 и называемое единицей, такое, что для любого числа a R истинны равенства:    1 , 1 ;a a a a a        г) для любого действительного числа ,a отличного от нуля, су- ществует действительное число, обозначаемое выражением 1 , a та- кое, что истинно равенство 1 1,a a   причем число 1 a называют обратным числу ,a при этом для любых ,a b R (но 0b  ) число 1 aa b b   называется частным от деления числа a на число ;b 39 д) если верны неравенства a b и 0,c  то ;a c b c   если ,a b 0,c  то ;a c b c   4) для любой тройки действительных чисел ,a b и c верно ра- венство  a b c ac bc    (свойство дистрибутивности операции умножения относительно опе- рации сложения); 5) для любого действительного числа a существует такое целое число ,n что n a (аксиома Архимеда); 6) если непустые множества , X R Y R  таковы, что для лю- бых x X и любых y Y выполняется неравенство ,x y то су- ществует число ,c R такое, что x c y  (аксиома полноты (не- прерывности)). Замечание 2.3. Перечисленные выше свойства (1–5) присущи и рассмотренным ранее числовым множествам натуральных, целых, рациональных и иррациональных чисел (но только в рамках усло- вий, при выполнении которых алгебраические операции не приво- дят в результате к числам, не принадлежащим указанным подмно- жествам действительных чисел). Замечание 2.4. Аксиома непрерывности справедлива только в .R Для действительного числа x в рамках десятичной позиционной системы исчисления верно представление 0 1 2. ... ...nx a a a a Для чис- ла x определяются приближения с точностью до 10 n по недостат- ку 0 1 2 . ...n nx a a a a и по избытку 0 1 2. ... 10 .nn nx a a a a    Очевидно, верны отношения 10 , .nn n n nx x x x x     Каждое из десятичных приближений nx и nx действительного числа x является рацио- нальным числом. Определение 2.22. Абсолютной величиной (модулем) действи- тельного числа a называется число ,a если 0,a  и число ( ),a если 0.a  40 Модуль числа a обозначают символом a и записывают , если 0 0, если 0 . , если 0 a a a a a a         Абсолютное значение числа a положительно как для положи- тельных, так и для отрицательных чисел a и равно нулю только при 0.a  Основные свойства абсолютной величины любого действитель- ного числа следуют из определения. Свойства представлены ниже: 1) 0;a  2) ;a a  3) ;a a a    4) , 0;a a        5) ;a b a b   6) ;a b a b   7) ;ab a b  8) при 0.aa b b b   Определение 2.23. Для любого действительного числа a степень с натуральным показателем n определяется как произведение n чисел, равных ,a т. е. раз ... .n n a a a a    При этом число a – основание степени, n – показатель степени. Если 0,a  то 0 1,a  1 ,n na a   символ 00 не определен. 41 Определение 2.24. Корнем n-й степени, где ,n N 1,n  из дей- ствительного числа a называется такое действительное число ,b n-я степень которого равна .a Корень n-й степени из числа a обозначается символом n a или 1 .na Согласно определению   .nn a a Нахождение корня n-й сте- пени из числа a называется извлечением корня. Число n называют показателем корня, число a – подкоренным выражением. Замечание 2.5. Корень четной степени 2 ,n a где , 0,n N a  во множестве действительных чисел не существует. Корень нечет- ной степени извлекается и из отрицательного числа. Чтобы устранить двузначность корня n-й степени из числа ,a вводится понятие арифметического корня. Определение 2.25. Арифметическим корнем n-й степени из не- отрицательного числа a называется неотрицательное число ,b n-я степень которого равна ,a где 0n  – натуральное число. Арифметический корень   или n na a имеет смысл лишь при 0a  и принимает только неотрицательные значения. При 0a  0 0n  или 1 0 0.n  Для арифметического квадратного корня из числа a принято обозначение a (или ).a Символ n a также называют радикалом n-й степени. Замечание 2.6. Если n – нечетное число, то выражение n a име- ет смысл при любом ;a R если n – четное, то выражение n a имеет смысл при 0a  и не существует во множестве R при 0,a  так как четная степень любого действительного числа неотри- цательна. Замечание 2.7. Арифметический корень из неотрицательного числа всегда существует и единственен. Если 0,a  то корень n-й степени из a определяется лишь при нечетном 2 1.n k  В этом случае корень n-й степени из a есть 42 единственное действительное отрицательное решение уравнения   0 .nx a a  Замечание 2.8. Корень нечетной степени из отрицательного чис- ла можно выразить через арифметический корень той же степени из числа, противоположного данному, т. е. если 0a  и 2 1n m  – нечетное число, ,m N то 2 1 2 1 .m ma a    Замечание 2.9. Пусть 0a  и 0,b  а , ,n k m – натуральные числа. Тогда арифметические корни обладают следующими свой- ствами: 1) ;n n nab a b  2) , 0; n n n a a b b b   3)  ; ;k n kn k nk na a a a  4) nm nkm ka a (основное свойство корня); 5) ; m n m na a 6) n nna b a b (внесение множителя под знак корня); 7) n n na b a b (вынесение множителя из-под знака корня); При любом значении a верно тождество: 8) 2 2 ,m ma a 2 ,a a где a R и m – натуральное число. Определение 2.26. Рациональной степенью m n ( m – целое, n – натуральное) положительного действительного числа a называется число   .mn a При этом рациональную степень числа a также за- писывают в виде    1 1 .m mm nm mn n nna a a a a        43 Следует отметить, что степень числа 0 определена только для показателей 0,m n  в этом случае 0 0. m n  Замечание 2.10. Степень действительного числа с действитель- ным показателем в рамках множества действительных чисел опре- деляется только для положительных чисел. Если 0, 0a b  – действительные положительные числа, а ,  – действительные числа, то справедливы следующие равенства: 1) ;a a a    2)   ;a a  3) ;a a a     4)   ;a b ab    5) ;a a bb        6) .a b b a            При этом полагают, что 1 1  для любого  и 0 0  для любо- го 0.  2.4. Метод координат Определение 2.27. Координатами точки называются величины, которые определяют положение этой точки на прямой или кривой ли- нии, на плоской или на кривой поверхности, в пространстве и т. д. Определение 2.28. Координатной числовой осью X (осью коор- динат) называется прямая, на которой выбраны направление, при- нимаемое за положительное, точка – начало отсчета и единица из- мерения – масштабный отрезок, длина которого принимается рав- ной единице (рис. 2.1). 44 O E M X Рис. 2.1. Координатная числовая ось Х Определение 2.29. Начало отсчета (точка О) называется началом координат. Масштабный отрезок OE называют единичным направ- ленным отрезком или единичным вектором (ортом) и обычно обо- значают символом e или i (стрелка над символом OE имеет сим- волический смысл и указывает направление). Определение 2.30. Отрезок, ограниченный точками A и B (они лежат на оси ),X называют направленным отрезком или вектором, если указано, какая из данных точек является началом (точка ),A а какая – концом (точка B ), и обозначают символом .AB При этом положительным направлением оси координат считается направле- ние луча, выходящего из точки О и содержащего точку ,E проти- воположное направление называется отрицательным. Определение 2.31. Величиной направленного отрезка ,AB лежа- щего на некоторой координатной оси ,X называют его длину ,AB взятую со знаком плюс, когда направление этого отрезка совпадает с положительным направлением данной оси, и со знаком минус, когда оно совпадает с отрицательным направлением оси. Величину направленного отрезка AB обозначают символом .AB Определение 2.32. Координатой точки ,M лежащей на коорди- натной оси ,X называют действительное число ,x определяемое равенством ,OMx OE     причем перед дробью берется знак плюс, когда точки E и M лежат по одну сторону от точки ,O и знак ми- нус, когда точки E и M расположены по разные стороны относи- тельно точки О. Если точка M совпадает с точкой ,O то 0.x  45 Запись ( )M x означает, что точка M имеет координату .x Коор- динатную ось X зачастую обозначают символами Ox или .OX Между множеством действительных чисел и множеством точек выбранной координатной оси установлено взаимно однозначное соответствие. Все действительные числа изображаются точками этой координатной оси, и обратно, каждой точке M координатной прямой соответствует определенное действительное число x – ее координата. При рассмотрении числовых множеств вместо слов «элемент», «число» употребляется также слово «точка». Множество действительных чисел R обозначается также симво- лом  ,  и называется числовой прямой. Всякая координатная прямая является изображением числовой прямой. Неравенства между действительными числами на координатной прямой получают простое истолкование. Если 1 2 ,x x то точка с координатой 1x лежит левее точки с координатой 2.x Пусть a и b – действительные числа и .a b В табл. 2.1 приве- дены названия, определения и обозначения числовых множеств, называемых числовыми промежутками, и их изображения на коор- динатной прямой. Каждый из числовых промежутков определяется как множество действительных чисел ,x удовлетворяющих опреде- ленным неравенствам. Таблица 2.1 Числовые промежутки Название Неравенство, определяющее множество Обозначение Изображение 1 2 3 4 Отрезок от a до b (замкнутый проме- жуток) a x b   ;a b Интервал от a до b (открытый проме- жуток) a x b   ;a b xа b xа b 46 Окончание табл. 2.1 1 2 3 4 Открытый слева про- межуток от a до b (полуинтервал) a x b   ;a b Открытый справа промежуток от a до b (полуинтервал) a x b   ;a b Числовой луч от a до  a x  ;a  Открытый числовой луч от a до  a x  ;a  Числовой луч от  до a x a  ; a Открытый числовой луч от  до a x a  ; a Определение 2.33. Открытые либо слева, либо справа промежут- ки называются также полуоткрытыми промежутками, а числовые лучи – бесконечными промежутками. Если даны две точки  11M x и  2 2 ,M x то величина направ- ленного отрезка 1 2M M  вычисляется по формуле 1 2 2 1,M M x x  а расстояние между точками 1M и 2M по формуле  1 2 1 2 2 1, .M M M M x x    xа xа xа xа xа b xа b 47 Определение 2.34. Простым отношением точек 1 2, , ,M M M лежа- щих на одной прямой и взятых в указанном порядке, называют число 1 2 ,M Ml MM  где 1M M и 2MM – величины направленных отрезков 1M M  и 2.MM  Если точка M лежит между точками 1 2,M M , то 0.l  В этом случае говорят, что точка M делит направленный отрезок 1 2M M  внутренним образом. Если точка M лежит вне отрезка 1 2 ,M M  то 0,l  а точка M делит направленный отрезок 1 2M M  внешним об- разом. Если точки 1M и M совпадают, то 0.l  Пусть  11 ,M x  2 2 ,M x  M x – точки координатной оси .Ox Тогда 1 1 2 2 ,M M x xl MM x x    откуда следует, что 1 2 . 1 x lxx l   Эта формула определяет координату точки ,M делящей направ- ленный отрезок 1 2M M  в данном отношении .l Если точка M совпадает с серединой отрезка 1 2 ,M M  то 1l  и координата точки M равна 1 2 2 x xx  . Понятие о системе координат является достаточно общим и мо- жет использоваться для задания положения точек, геометрических фигур на плоскости и в пространстве. 48 Определение 2.35. Прямоугольной правой декартовой системой координат OXY на плоскости называется упорядоченная пара двух выбранных взаимно перпендикулярных координатных осей OX и ,OY причем началом координат для каждой из осей служит точка их пересечения ,O а оси OX и OY упорядочены следующим обра- зом: если ось OX повернуть вокруг точки O на угол 2  (общее определение угла дано в п. 3.3) против движения часовой стрелки, то она совпадет с осью .OY При этом масштабные направленные отрезки 1OE  и 2OE  координатных осей OX и OY выбираются таким образом, чтобы их длины были равны, т. е. 1 2 .OE OE   Из данного определения следует, что при повороте оси OX во- круг точки O на угол 2  против движения часовой стрелки точки 1E и 2E совместятся. Замечание 2.11. В общем случае можно рассматривать системы координат, для которых масштабные отрезки 1OE  и 2OE  могут выбираться не равными по длине. Ось OX называется осью абсцисс, а ось OY – осью ординат, определенной выше системы .OXY Определение 2.36. Единичные векторы 1 1e OE   и 2 2 ,e OE   опре- деляющие положительные направления координатных осей OX и ,OY называются базисными векторами прямоугольной правой декартовой системы координат OXY (или ортами) и обычно обо- значаются символами i и ,j т. е. 1e i   и 2 .e j   Таким образом, можно считать, что прямоугольная правая де- картова система координат OXY на плоскости задается однозначно некоторой точкой O (началом координат) и упорядоченной парой взаимно перпендикулярных единичных векторов  , .i j  Множество  , ,O i j  обычно называют репером системы .OXY 49 Координатные оси OX и OY разбивают плоскость на четыре четверти (квадранты). Часть плоскости, лежащая выше оси OX и правее оси ,OY считается первым квадрантом. Далее по аналогии в направлении против движения часовой стрелки определяются второй, третий и четвертый квадранты. Отметим, что плоскость с построенной системой координат называется обычно координат- ной плоскостью. При изложенном выше способе упорядоченности координатных осей систему координат, как уже было отмечено выше, называют правой прямоугольной декартовой системой координат. В левой пря- моугольной декартовой системе координат оси упорядочены так, что первая ось (ось )OX совмещается со второй осью (осью )OY с по- мощью поворота на угол 2  по движению часовой стрелки. В приложениях также употребляются косоугольные (правые и ле- вые) декартовы системы координат (например, [18]), в которых совмещение осей происходит при повороте на угол, отличный от прямого. Пусть OXY – прямоугольная правая декартова система коорди- нат на плоскости с началом O (рис. 2.2), а M – некоторая точка на этой плоскости. Рис. 2.2. Прямоугольная правая декартова система координат OXY на плоскости O I II III IV y j  x i  Mx M(x, y) My 50 Опустим из точки M перпендикуляры на оси OX и ,OY которые пересекут указанные координатные оси в точках xM и yM соответ- ственно. Обозначим еще координату точки ,xM лежащей на оси ,OX через ,x а координату точки ,yM лежащей на оси ,OY – через .y Определение 2.37. Координатами точки M в прямоугольной пра- вой декартовой системе координат OXY называется упорядоченная пара действительных чисел  , ,x y которые имеют смысл координат точек ,xM yM на координатных осях OX и OY соответственно. Число x называют абсциссой точки ,M а число y – ординатой точки .M При этом используют запись  , .M x y Каждой упорядоченной паре чисел  ,x y на заданной коорди- натной плоскости соответствует единственная точка ,M для кото- рой эти числа являются координатами. Таким образом, между точ- ками заданной координатной плоскости и упорядоченными парами действительных чисел  ,x y устанавливается взаимно однозначное (биективное) соответствие. Множество пар действительных чисел иногда называют числовой плоскостью. Расстояние между точками  1 1 1,M x y и  2 2 2,M x y в прямо- угольной правой декартовой системе координат выражается через их координаты по формуле      2 21 2 1 2 2 1 2 1, .M M M M x x y y      Пусть даны точки  1 1 1,M x y и  2 2 2,M x y на числовой плоскости. Координаты точки  , ,M x y которая лежит на прямой, проходящей через точки  1 1 1,M x y и  2 2 2, ,M x y и делит отрезок этой прямой, ограниченный данными точками, в отношении ,l определяются формулами: 1 2 1 2, . 1 1 x lx y lyx y l l     51 Координаты точки ,M которая делит направленный отрезок 1 2M M  в отношении 1,l  вычисляются по формулам: 1 2 1 2, . 2 2 x x y yx y   Эти формулы позволяют найти координаты точки ,M которая определяет середину отрезка 1 2.M M Кроме декартовых систем координат на плоскости 2R R R  используется также полярная система координат. Полярная система координат задается точкой ,O называемой по- люсом, лучом ,OP называемым полярной осью, и выбранной на по- лярной оси единицей масштаба (рис. 2.3). Рис. 2.3. Полярная система координат на плоскости Отметим, что вышепредставленные формулы дают решение про- стейших задач аналитической геометрии [18], основная идея кото- рой состоит в изучении геометрических свойств фигур с помощью средств алгебры [17] и анализа [4]. Определение 2.38. Полярными координатами точки 2M R (не совпадающей с полюсом) называют полярный радиус  M OM     PO  ;M 52 точки M и полярный угол   ,M т. е. угол, на который надо по- вернуть луч OP до совпадения с направлением вектора OM (   0,M  если поворот совершается против хода часовой стрелки, и   0M  – в противном случае). Запись  ;M   означает, что точка M имеет полярные коорди- наты  и . Полярный угол  M принимает бесконечное множество зна- чений, отличающихся друг от друга на 2 ,k где .k Z Значение полярного угла 0 2    называют главным (иногда в качестве главного значения принимают значение , удовлетворяющее нера- венствам ).     Положение любой точки M на заданной плоскости, которая не совпадает с точкой ,O однозначно определяется координатами  и , причем 0 , 0 2 .        Если точка M совпадает с по- люсом ,O то   0,M  а полярный угол можно выбирать любым. Иногда пользуются обобщенными полярными координатами точ- ки ( , ),M   где , .          Совместим правую прямоугольную декартову систему коорди- нат и полярную систему координат так, чтобы полярная ось OP совпадала с осью абсцисс OX и оси , ,OX OY OP имели бы общее начало координат (т. е. точка O являлась и полюсом) и общую еди- ницу масштаба. Тогда зависимости между декартовыми координа- тами x и y точки M и ее полярными координатами  и  будут выражаться следующими формулами (рис. 2.4): 2 2cos ; sin ; ;x y x y          2 2 2 2 cos ; sin .x y x y x y       53 Рис. 2.4. Прямоугольные декартовы и полярные координаты точки M на плоскости Свойства тригонометрических функций cos и sin будут по- дробно описаны в п. 3. Системы координат, определенные выше для прямой и плоско- сти, допускают соответствующие обобщения на случай трехмерно- го пространства. Пусть П – некоторая плоскость в трехмерном пространстве R3 с выбранной на ней прямоугольной правой декартовой системой координат .OXY Проведем через начало координат (т. е. через точ- ку )O прямую, перпендикулярную плоскости П. Выберем на этой прямой направление и масштабный отрезок 3,OE  равный по длине масштабным отрезкам 1OE  и 2.OE  Полученную таким образом ко- ординатную ось обозначим .OZ Определение 2.39. Прямоугольной декартовой системой коорди- нат OXYZ в пространстве называется упорядоченная тройка взаим- но перпендикулярных осей , и .OX OY OZ Прямоугольная декартова система координат OXYZ называется правой, если OXY – правая прямоугольная декартова система координат, а ось OY совмещается с осью OZ поворотом на угол 2  против движения часовой стрелки,   PO x y y M 54 если смотреть со стороны положительного направления оси .OX В иных случаях система координат называется левой. При этом ось OX называется осью абсцисс, ось OY – осью ординат, а ось OZ – осью аппликат. Плоскости, проходящие через каждые две коорди- натные оси, называются координатными плоскостями. Простран- ство, в котором выбрана система координат, называют координат- ным пространством. Рассмотренная выше полярная система координат является кри- волинейной системой координат, поскольку геометрическим ме- стом точек, для которых const,  является окружность. В трехмерном пространстве R3 также используются ортогональ- ные криволинейные системы координат [19, 21]. Ниже введены в рассмотрение только простейшие из них. Определение 2.40. Цилиндрическими координатами точки M в координатном пространстве называются числа , , ,z  где ,  – полярные координаты точки  0; 0 2 ;M        ( M  – проек- ция точки M на плоскость OXY правой прямоугольной декартовой системы координат ),OXYZ zz OM – величина направленного отрезка zOM  оси OZ ( zM – проекция точки M на ось ).OZ Запись  , ,M z  обозначает, что точка M имеет цилиндриче- ские координаты , , .z  Наименование «цилиндрические коорди- наты» объясняется тем, что координатная поверхность const  является поверхностью бесконечного кругового цилиндра (рис. 2.5). Если начало координат правой прямоугольной декартовой сис- темы координат совместить с точкой ,O ось OX – с полярной осью, а также совместить оси ,OZ то декартовы координаты , ,x y z точ- ки M будут связаны с ее цилиндрическими координатами , , z  следующими формулами: cos , sin , .x y z z       На плоскости П зафиксируем точку O и исходящий из нее луч OP (рис. 2.5). Через точку O проведем прямую, перпендикуляр- ную плоскости П, и укажем на ней положительное направление. 55 Полученную ось обозначим через .OZ Выберем масштаб для изме- рения длин. Пусть M  произвольная точка пространства, а M  – ее проекция на плоскость П, zM – проекция на ось .OZ Обозначим через  и  полярные координаты точки M  на плоскости П отно- сительно полюса O и полярной оси .OP Рис. 2.5. Прямоугольная декартова, цилиндрическая и сферическая системы координат в пространстве M О y P z M Mz  M  О y x P z M  r x 56 Дадим теперь определение второй ортогональной криволиней- ной системы координат в пространстве, каковой является сфериче- ская система (см. рис. 2.5). Определение 2.41. Сферическими координатами точки M назы- ваются числа , , ,r   где r – расстояние от точки M до начала коор- динат ,O  – угол, который образует радиус-вектор OM точки M с осью ,OZ правой прямоугольной декартовой системы координат,  – азимутальный угол в полярной системе координат на плоскости .OXY При этом имеют место неравенства: 0 ;r   0 ;    0 2    (или ).     Прямоугольные декартовы координаты связаны со сферически- ми соотношениями: sin cos ,x r   sin sin ,y r   cos .z r  2.5. Алгебраические операции и их классификация Определение 2.42. Пусть ... nX X X X    – декартово про- изведение всех n-ок 1 2( , ,..., ),nx x x где 1,s n  элемент sx X (X – некоторое непустое множество). Тогда под n-арной внутренней ал- гебраической операцией в X понимается однозначная функция n переменных 1 2, ,..., ,nx x x областью определения которой является множество ,nX а областью значений – множество .X Если n = 2, то алгебраическая операция называется внутренней бинарной. Для обозначения таких операций используются различ- ные символы. В частности, бинарные операции обозначают симво- лами: , , , , , .     Определение 2.43. Бинарная внутренняя алгебраическая опера- ция , заданная на множестве ,M называется ассоциативной, если , ,a b c M  имеет место равенство     .a b c a b c     Сложение и умножение вещественных чисел являются простей- шими примерами ассоциативных бинарных внутренних алгебраиче- 57 ских операций. Однако бинарная алгебраическая операция возведе- ния вещественных чисел в степень не является ассоциативной. Определение 2.44. Бинарная алгебраическая операция  назы- вается коммутативной, если ,a b M  имеет место равенство .a b b a   Определение 2.45. Пусть на множестве M заданы две бинар- ные внутренние алгебраические операции  и . Тогда говорят, что операция  дистрибутивна относительно операции , если , ,a b c M  имеют место равенства:       ,a b c a b a c          .a b c a c b c     В математике используют различные формы записи алгебраиче- ских операций. В частности, используются аддитивная и мульти- пликативная формы записи. В рамках аддитивной формы записи зачастую используют знак «+». При этом ассоциативность и комму- тативность внутренних алгебраических операций выглядят таким образом:     ,a b c a b c     a b b a   для любых , , .a b c M Когда используется мультипликативная форма записи, то знаки операций вовсе опускаются. В этом случае ассоциативность и ком- мутативность операций отражается в виде:     ,ab c a bc ab ba  для любых , , .a b c M Кроме бинарных алгебраических операций рассматриваются об- ратные алгебраические операции. Допустим, что на множестве M задана внутренняя алгебраиче- ская операция , т. е. для любых элементов ,u r M поставлен в соответствие единственный элемент ( , ) .u r b M  Однако может иметь место равенство  1 1 ,u r b где 1u и 1r не обязаны, вообще говоря, совпадать соответственно с элементами u и .r Поста- вим следующую задачу: найти все такие , ,u r M для которых ,u r b где b – некоторый фиксированный элемент из .M Эта за- дача сводится к решению следующих уравнений: , ,a x b y a b   где ,x y – неизвестные элементы из ,M а элементы ,a b – произ- вольные фиксированные элементы из .M Если данные уравнения 58 имеют единственные решения для любых , ,a b M то тогда можно любой паре   2,a b M M M   поставить в соответствие одно- значно определенные элементы , .x y M В такой ситуации исход- ная внутренняя бинарная алгебраическая операция  порождает две внутренние бинарные операции, которые называются соответствен- но правой и левой обратными алгебраическими операциями по от- ношению к исходной операции . Замечание 2.12. Если исходная внутренняя алгебраическая опе- рация  коммутативна, то обе обратные операции (левая и правая) совпадают друг с другом. В математике и ее приложениях широко используются и внеш- ние алгебраические операции (законы композиции). Определение 2.46. Рассмотрим два непустых множества M и . Пусть любому элементу m M и произвольному элементу  поставлен в соответствие по некоторому закону (правилу, алгорит- му и т. д.) элемент .b M Тогда множество  называется множе- ством операторов на множестве .M При этом внешний закон ком- позиции  (внешняя алгебраическая операция) определяется как отображение множества M во множество .M Для любых вы- бранных  и m M результат внешней алгебраической опера- ции  можно формально записать в виде 1,m m  где 1m – не- который элемент множества .M Простейшим примером внешней алгебраической операции явля- ется операция умножения вещественных чисел на векторы силы, скорости и ускорения. 2.6. Поле комплексных чисел Потребность в расширении понятия вещественных чисел есте- ственным образом возникла при попытках аналитического решения квадратных уравнений 2 0,ax bx c   где , ,a b c R и кубических уравнений вида 3x px q   , .p q R Следует также отметить, что обычная операция возведения в натуральную степень вещественного числа не всегда имеет обратную операцию (операцию извлечения 59 корня), если оставаться в рамках использования только веществен- ных чисел. Поскольку множество вещественных чисел обладает ря- дом замечательных свойств, которые широко используются как в са- мой математике, так и ее приложениях, то было бы весьма желатель- но, чтобы указанное расширение было произведено с сохранением общих алгебраических свойств, присущих множеству .R Оказалось, что такого рода обобщение можно произвести корректным образом. Следует особо отметить, что обобщениями множества веществен- ных чисел являются множество (поле) комплексных чисел и множе- ство кватернионов. Данные обобщения, являющиеся продуктом ин- теллектуальной деятельности, связанной с решением сугубо абст- рактных математических задач, нашли глубокие и содержательные приложения при исследовании ряда проблем математики, физики (в частности, квантовой механики) и иных областей науки и техники. Перейдем к построению множества комплексных чисел .C Определение 2.47. Пусть C – множество, элементами которого являются все пары  ,x y R R  и на котором заданы две внут- ренние бинарные алгебраические операции «+» (сложение) и «  » (умножение), определяемые для любых пар    , , ,a b c d C с по- мощью равенств:      , , , ,a b c d a c b d    (2.1)      , , , ,a b c d a c b d a d b c        (2.2) где знаки «+», «–» и «  » внутри круглых скобок имеют смысл обычных операций сложения, вычитания и умножения веществен- ных чисел. Тогда множество C называется полем комплексных чи- сел, а пара  ,z x y – комплексным числом. Замечание 2.13. Бинарные алгебраические операции «+» и «  », определенные равенствами (2.1), (2.2), обладают всеми основными свойствами, которые присущи операциям сложения и умножения действительных чисел. Данные операции коммутативны и ассо- циативны. Кроме этого, операция умножения дистрибутивна отно- сительно операции сложения, и существуют обратные операции 60 вычитания «–» и деления. При этом деление на комплексное число (0, 0), которое является нулем относительно операции сложения «+», не допускается. Определение 2.48. Операции вычитания и деления комплексных чисел в C для любых , , ,a b c d R задаются соответственно посред- ством равенств:      , , , ,a b c d a c b d    (2.3)          2 2 2 2 , , / , , , , a b ac bd bc ada b c d c d c d c d         (2.4) где для упрощения записи опущен знак умножения «  » веществен- ных чисел. Из определений операций сложения «+» и умножения «  » комп- лексных чисел (формулы (2.1), (2.2)) следует, что комплексное число (0, 0) играет роль нуля по отношению к операции сложения, и ком- плексное число (1, 0) играет роль единицы по отношению к операции умножения. С формальной точки зрения сказанное выше означает, что для любого комплексного числа  ,a b имеют место равенства:          0, 0 , , 0, 0 , ,a b a b a b    (2.5)          1, 0 , , 1, 0 , .a b a b a b    (2.6) Если рассмотреть подмножество множества комплексных чисел, которое содержит только все элементы вида  , 0 ,a где ,a R то можно с учетом равенств (2.1), (2.2) убедиться в справедливости равенств:          , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ,a b a b b a     (2.7)        , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 .b a a b ab  (2.8) 61 Из (2.7), (2.8) следует, что любую пару вида  , 0 ,a где ,a R мож- но интерпретировать как вещественное число. Следовательно, ком- плексное число вида  , 0a только формой записи отличается от веще- ственного числа. Кроме этого, операции сложения и умножения ком- плексных чисел вида  , 0a также отличаются только формой записи от такого же рода операций во множестве вещественных чисел. Тем не менее множество комплексных чисел C обладает целым рядом дополнительных свойств, которые существенно расширяют возможности использования таких чисел для решения чисто мате- матических и прикладных проблем. В качестве простейшего приме- ра наличия такого рода свойств рассмотрим символическое квад- ратное уравнение 2 0,x q  где число  \ , 0q R R   и являет- ся заданным вещественным числом, а x – некоторое число, квадрат которого равен вещественному отрицательному числу ( ).q Оче- видно, что число x не может быть вещественным числом, посколь- ку квадрат либо положительного, либо отрицательного числа явля- ется положительным вещественным числом (это число не может равняться числу ( )).q Перепишем теперь уравнение 2 0x q  в общей форме с использованием понятия комплексных чисел. Такое уравнение тогда примет вид        , , ,0 0,0 ,a b a b q   (2.9) где ,a b – неизвестные вещественные числа, а знак «  » имеет смысл операции умножения комплексных чисел. Используя равенство (2.2), преобразуем (2.9) к виду      2 2, 2 , 0 0, 0 .a b ab q   (2.10) Из (2.1) и (2.10) в свою очередь получим, что имеет место ра- венство    2 2 , 2 0, 0 .a b q ab   (2.11) 62 Равенство (2.11) означает, что действительные числа a и b должны быть такими, чтобы удовлетворяли системе уравнений 2 2 0 2 0 a b q ab         . (2.12) При получении (2.12) было учтено также то, что комплексные числа 1 1 2 2( , ), ( , )x y x y равны друг другу тогда и только тогда, когда 1 2x x и 1 2.y y Из второго уравнения в (2.12) следует, что хотя бы одно из чисел ,a b должно равняться нулю. Допустим, что 0.b  Тогда второе уравнение системы (2.12) будет выполняться автоматически, а пер- вое примет вид 2 0.a q  Так как q – положительное веществен- ное число, а квадрат любого вещественного числа является неотри- цательным числом, то равенство 2 0a q  не может иметь места для любого .a R Следовательно, допущение 0b  приводит к про- тиворечию. Поэтому теперь допустим, что 0.a  Тогда второе урав- нение в (2.12) будет выполняться автоматически, а первое уравнение в (2.12) примет вид 2 0b q   или 2 ,b q где q – положительное вещественное число. Из равенства 2b q следует, что веществен- ное число b может принимать два значения: .b q  При этом число q имеет смысл вещественного положительного числа. Итак, доказано, что уравнение (2.9) имеет два следующих решения:  0, .q (2.13) Однако решения (2.13) уравнения (2.9) являются элементами множества комплексных чисел C и не принадлежат множеству вещественных чисел .R Отметим, что если 1,q  то решения (2.13) уравнения (2.9) примут вид  0, 1 , и, естественно, будут выпол- няться равенства            20, 1 0, 1 1, 0 0, 1 1, 0 0, 0 .        63 При этом, если переписать формально символическое квадрат- ное уравнение 2 0x q  в виде 2x q  и формально же извлечь квадратный корень, то получим .x q   В данной формальной записи присутствует квадратный корень из отрицательного чис- ла ( ).q Поэтому числа x q   первоначально в математике называли воображаемыми (мнимыми) числами. Так как выше бы- ло строго доказано, что уравнение (2.9), которое было получено из символического уравнения 2 0, ( ),x q q R   имеет два реше- ния во множестве комплексных чисел, то уже можно дать опреде- ления ряда важных понятий, используемых при описании свойств комплексных чисел. Определение 2.49. Комплексное число  0,1 называется мнимой единицей и обычно обозначается символом  0,1 .i  При этом  0, 1 .i i   Определение 2.50. Действительные числа x и y называются со- ответственно действительной и мнимой частями комплексного числа  , .z x y C  При этом используются обозначения Re , Im .x z y z  Комплексные числа вида  0, ,y где ,y R называются чисто мни- мыми комплексными числами. Замечание 2.14. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части. Определение 2.51. Комплексное число z называется комплексно сопряженным к комплексному числу ,z если выполнены равенства Re Re , Im Im .z z z z   Замечание 2.15. Произведение действительного числа  , 0a на чисто мнимое число  0, b представляет собой чисто мнимое число  0, .ab 64 Определение 2.52. Представление комплексного числа  ,z x y в виде                , , 0 0, , 0 , 0 0,1 , 0 , 0z x y x y x y x y i        называется алгебраической формой записи комплексного числа. Замечание 2.16. В силу биективного соответствия между эле- ментами множества вещественных чисел R и множеством  0R строгую алгебраическую форму записи комплексного числа z мож- но упростить и записать число в виде .z x iy  Используя упрощенную алгебраическую форму записи комплекс- ного числа z x iy  и равенства 2 1i i i    (под символом (–1) следует, строго говоря, понимать комплексное число (–1, 0)), можно в достаточно простой форме записать результаты алгебраических операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел, смысл которых был дан в определениях 2.47, 2.48. Имеют место следующие равенства:        1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ,z z x iy x iy x x y y i         (2.14)            1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 , z z z z x iy x iy x iy x iy x x ix y ix y i y y x x y y i x y x y                   (2.15)           1 1 2 21 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 2 1 1 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 , 0. x iy x iyz x iy z x iy x iy x iy x x ix y ix y i y y x i y x x y y x y x y i x y x x y y x y x yi x y x y x y                       (2.16) 65 Определение 2.53. Под модулем z комплексного числа z x iy  понимают неотрицательное число 2 2.x y Перечислим ряд свойств операции комплексного сопряжения и модулей комплексных чисел. Из определений 2.51 и 2.53 следует справедливость следующих равенств и неравенств:     1 11 2 1 2 1 2 1 2 2 2 , , z zz z z z z z z z z z           (2.17) 2( 0;z  0 – комплексное число (0, 0)),   ,z z Re , Im ;2 2z z z zx z y z i     1 2 1 2 ,z z z z   1 2 1 2 ,z z z z   1 2 1 2 ,z z z z  11 2 2 zz z z   2 0 ,z  (2.18) nnnz z z   ..., 2, 1, 0,1, 2,... ,n   2 2 2.z z z x y    Наиболее широкое использование множества комплексных чи- сел началось тогда, когда удалось дать геометрическую интерпре- тацию этому множеству и операциям над комплексными числами. Подобно тому, как действительным числам можно биективно сопо- ставить точки числовой оси, комплексным числам можно биектив- но сопоставить точки плоскости, на которой введена прямоугольная правая декартова система координат. Будем сопоставлять комплексному числу z x iy  точку P на плоскости, которая имеет координаты  ,x y в указанной выше системе координат OXY (рис. 2.6). 66 Рис. 2.6. Изображение комплексного числа на плоскости Точки, лежащие на оси X, изображают вещественные числа, ко- торые в рамках множества комплексных чисел C задаются парами  , 0 .x Точки, лежащие на оси Y, изображают чисто мнимые числа, которые в свою очередь задаются парами  0, .y Символ i перед ординатой y точки P имеет символический смысл. Он отображает тот факт, что точке с координатами  0, y сопоставляется чисто мнимое число iy. Абсцисса x и ордината y каждой точки  ,P x y изображают соответственно действительную часть Re z и мнимую часть Im z комплексного числа .z x iy  Плоскость, являющаяся геометрической моделью множества комплексных чисел C, называ- ется комплексной плоскостью. При этом ось OX является действи- тельной осью, а ось OY – мнимой. Определение 2.54. Угол , который образует радиус-вектор OP точки  ,P x y с положительным направлением оси ,OX называет- ся аргументом комплексного числа .z x iy  Для 0z  аргумент z определяется равенствами: 2 2 2 2 cos , sin .x x y y z zx y x y         (2.19) X x  Y O  ,P x y z iy 67 Модуль комплексного числа определяется однозначно, а аргумент – с точностью до слагаемого 2 ,k где  ..., 2, 1, 0,1, 2,... .k   Модуль комплексного числа 0z  равен нулю, а аргумент не определен. Определение 2.55. Значение аргумента, удовлетворяющее усло- виям ,     называется главным и обозначается символом arg ,z а множество всех возможных значений аргумента – Arg .z При этом Arg arg 2 , .z z k k Z    Если комплексные числа равны друг другу, то их модули также равны, а аргументы либо равны, либо отличаются на 2 ,k где .k Z Имеют место равенства z z и arg arg .z z  Для главного значения аргумента справедливы следующие со- отношения: arctg , 0, arctg , 0, 0, arg arctg , 0, 0, , 0, 0, 2 , 0, 0. 2 y x x y x y x yz x y x x y x y                          (2.20) Подробное описание свойств обратной тригонометрической функ- ции arctg ,x использованной в (2.20) будет произведено в п. 3. Кроме алгебраической формы представления комплексных чисел используются также тригонометрическая и показательная формы представления комплексных чисел. Из (2.19) следует, что cos ,x z  sin .y z  Следовательно,  cos sin .z x iy z i     Именно дан- ное представление называется тригонометрической формой записи 68 комплексного числа .z В свою очередь, представление комплексного числа z x iy  с помощью использования формулы Эйлера [17, 19]: e cos sin , R,i i      (2.21) где число e – основание натуральных логарифмов (e = 2,7182818… – иррациональное число), называется показательной формой числа .z Из тригонометрической формы комплексного числа и формулы (2.21) получим общую формулу: e , , arg 2 , .iz z R z k k Z       (2.22) Это и есть общая показательная форма комплексного числа .z x iy  Использование тригонометрической и показательной форм комплексных чисел позволяет легко выполнять операции умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корней. Пусть    1 21 1 1 1 1 2 2 2 2 2cos sin e , cos sin e .i iz z i z z z i z           Тогда посредством использования формул (2.15), (2.16), (2.22) и тригонометрических тождеств можно показать, что справедливы следующие равенства:       1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2cos sin e ,iz z z z i z z            (2.23)       1 21 11 1 2 1 2 2 2 2 cos sin e .i z zz i z z z          (2.24) Если 1 2 ,z z то из (2.23) получим, что  22 cos 2 sin 2z z i    2 2e .iz  Обобщением данной формулы является формула Муавра [17, 19]:   incos sin e .n nnz z n i n z      (2.25) 69 В частности, при 1z  получим  cos sin cos sin .ni n i n     (2.26) Определение 2.56. Под корнем n-й степени ,n z где  1, 2, 3... ,n N  из комплексного числа понимается любое ком- плексное число ,w для которого выполняется равенство .nw z Используя формулу Муавра, несложно найти все числа ,w кото- рые удовлетворяют равенству .nw z Пусть e , e .i iz z w w   Тогда  e cos sin .n nn inw w w n i n     Следовательно,    e cos sin cos sin .niz z i w n i n         Так как два комплексных числа равны тогда и только тогда, ко- гда равны их действительные и мнимые части, то будут справедли- вы равенства: cos cos , sin sin . n n z w n z w n       (2.27) Возведем оба равенства (2.27) в квадрат и результаты сложим. Получим в итоге    2 2 2 22 2 2 2cos sin cos sin .n nz z w n n w        70 Следовательно, верны равенства: , .n nz w w z  (2.28) В (2.28) под корнем n z понимается обычный действительный и неотрицательный корень n-й степени из действительного числа. Итак, модуль комплексного числа определяется однозначно форму- лой (2.28), из которой следует, что равенства (2.27) примут вид cos cos , sin sin .n n      В силу того, что синус и косинус (об- щие свойства тригонометрических функций описаны в п. 3) явля- ются периодическими функциями с периодами 2 ,k где ,k Z должно иметь место любое из равенств 2 .k n    Следователь- но, аргумент arg w  должен удовлетворять одному из равенств: 2 , .k k Z n     (2.29) С учетом описанных выше формул получаем, что все корни n-й степени из комплексного числа z должны иметь вид 2 2cos sin ,n n k kz z i n n         (2.30) где n N и .k Z Так как синус и косинус являются периодическими функциями, то будут существовать только n различных корней 1,..., nw w из комп- лексного числа .z При этом для получения корней достаточно по- ложить в (2.30) 0,..., 1.k n  Следует отметить, что точки на комплексной плоскости, соответ- ствующие различным значениям корня n-й степени из комплексного числа ,z располагаются в вершинах правильного n-угольника, впи- санного в окружность с центром в точке O и радиусом, равным .n z Замечание 2.17. Корень n-й степени из действительного числа также имеет n корней. Корень n-й степени из нуля имеет только одно значение, равное нулю. 71 3. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 3.1. Общие сведения о действительных функциях одной действительной переменной В естествознании используются разнообразные величины, напри- мер, время, длина, масса, давление, температура и т. п., которые принимают либо различные численные значения, либо одинаковые значения. Величина, которая может принимать разные значения, называется переменной. Величина, численные значения которой не меняются, называется постоянной. Величины, которые сохраняют значения при любых условиях, называются абсолютными постоян- ными. Такими величинами являются, например, число  и основа- ние натуральных логарифмов. В математике отвлекаются от физического или иного смысла рассматриваемой величины и интересуются лишь числом, которым она выражается, т. е. изучают числовую переменную. Ее обознача- ют каким-либо символом или буквой (например, , ,...),x y которым приписываются числовые значения. Однако физический или иной характер величины имеют смысл в рамках разнообразных приложе- ний математики. Переменная x считается заданной, если указана ее область изме- нения, т. е. множество  X x ее значений, которые она может при- нимать. Постоянную величину удобно рассматривать как частный случай переменной, множество значений которой состоит из одного элемента. Различают дискретные и непрерывные переменные. Пусть даны две действительные переменные x и y с областями изменения X и ,Y где X и Y – произвольные непустые под- множества множества действительных чисел  , .X R Y R  Хотя ранее уже было дано общее определение понятия соответствия (отображения, функции), конкретизируем его для случая действи- тельных переменных. Определение 3.1. Действительная переменная y называется дейст- вительной функцией от действительной переменной x в области ее изменения ,X если по некоторому правилу, алгоритму или закону 72 каждому значению x X ставится в соответствие одно определен- ное значение y (из ).Y R Замечание 3.1. Определенную выше функцию одной действитель- ной переменной называют однозначной. Если же каждому значению x X ставится в соответствие не одно, а несколько или бесконечное множество значений ,y то функцию называют многозначной. Для указания того факта, что y есть функция от ,x используют следующую запись: ( ), ( ), ( )y f x y x y y x    и т. п. Символы , ,...f  характеризуют именно то правило, по которому определя- ется значение ,y отвечающее заданному .x Переменную x назы- вают независимой переменной или аргументом функции, а пере- менную y – зависимой переменной. Определение 3.2. Все значения ,x X которые принимает неза- висимая переменная, образуют область определения функции, ко- торую принято обозначать символом ( )D f или ( ).D y Все те значе- ния  ( ) | ( ), ,f X y Y y f x x X    которые принимает зависимая переменная, образуют множество значений функции, для которого принято обозначение ( )E f или ( ).E y Очевидно, что ( ) .f X Y За- пись 0( )f x или 0( )y x определяет значение функции в точке 0.x Для действительных функций одной действительной переменной имеют место отношения ( ) , ( ) .D f R E f R  Чтобы определить (задать) действительную функцию ( )y f x действительного аргумента, необходимо указать множество X зна- чений аргумента и соответствие ,f переводящее (отображающее) элементы x множества X в элементы y некоторого множества ( , ).Y X R Y R  Наиболее распространенными способами задания функции явля- ются аналитический, табличный и графический. Аналитический способ задания функции состоит в том, что с по- мощью формул(ы) устанавливается алгоритм вычисления значений функции ( )f x для каждого из значений ( ).x D f При этом область определения ( )D f либо указывают, либо под ( )D f понимают мно- жество значений аргумента ,x при которых выражения, входящие 73 в формулы, имеют смысл. В последнем случае говорят о естест- венной области определения функции. Аналитическое задание функ- ции связано с выбранной системой координат. Представление функ- ции в виде ( )y f x в декартовых координатах или ( )r r  в по- лярных координатах называют явным заданием функции. Функция ( )y f x может быть задана неявно уравнением ( , ) 0,F x y  если для любого ( ) ( , ( )) 0.x D f F x f x  Иногда удобно функциональ- ную зависимость от x задавать в параметрическом виде, где ( ), ( )x t y t    – две функции одной независимой переменной ,t T R  которую называют параметром (например, параметр t может иметь смысл времени или угла поворота). Табличный способ задания функции осуществляется табличным перечислением n значений аргумента 1 2, ,..., nx x x и соответствую- щих им значений функции 1 2, ,..., .ny y y Графический способ задания функции состоит в представлении функции ( )y f x графиком в некоторой системе координат. Определение 3.3. Графиком Г функции ( )y f x называется множество точек ( , )M x y плоскости 2,R координаты которых связаны данной функциональной зависимостью, т. е.  2Г ( , ) | ( ) .M x y R y f x   Чаще всего график функции есть некоторая линия. Множество точек координатной плоскости является графиком некоторой функ- ции, если любая прямая, параллельная оси ,OY пересекает указан- ное множество точек не более чем в одной точке. Опишем основные свойства и характеристики поведения функций. Определение 3.4. Значение ( ),x D f при котором функция ( )f x обращается в нуль, называется нулем этой функции. Нули функции являются корнями уравнения ( ) 0.f x  В нуле функции ее график имеет общую точку с осью .OX В интервале, на котором функция положительна, график ее расположен над осью ,OX а в интервале, где она отрицательна – под осью .OX Указан- ные интервалы называют интервалами знакопостоянства функции. 74 Определение 3.5. Функция называется четной (нечетной): 1) если область определения функции симметрична относитель- но точки O – начала координат (если точка 0 ( ),x D f то сущест- вует 0( ) ( ));x D f  2) для любого x из области определения выполняется равенство ( ) ( )f x f x  для четной ( ( ( ) ( )f x f x   для нечетной) функции. Определение 3.6. Если хотя бы одно из условий определения 3.5 не выполняется, то функцию ( )y f x называют функцией общего вида (рис. 3.1, в). Рис. 3.1. Графики функций ( ):y f x а – четной; б – нечетной; в – общего вида x O y O x y a б O x y в 75 График четной функции симметричен относительно оси ординат (рис. 3.1, а), а график нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 3.1, б). При изучении поведения четной или нечетной функции достаточно изучить ее при любом 0( 0),x x  ( )x D f и продолжить это изучение с учетом ее симметрии на лю- бые 0x  из области определения. Замечание 3.2. Сумма, разность, произведение и частное двух четных функций есть четная функция. Сумма и разность нечетных функций – нечетная функция, а произведение и частное – четная функция. Произведение и частное четной и нечетной функций есть нечетная функция. Определение 3.7. Функция ( )f x называется периодической с пе- риодом , , 0:T T R T  1) если для любого значения аргумента x из области определе- ния функции существует такое число ,T что значения x T и x T также принадлежат области определения функции; 2) при любом x из области определения функции ( ) ( )f x f x T   ( )f x T  (рис 3.2). Рис. 3.2. График периодической функции хО х + Тх – Т Т Т y х 76 Замечание 3.3. Если число T является периодом функции ( ),f x то и число nT для любого n Z также период этой функции. Если существует наименьший положительный период функции, то его называют основным периодом. Если T – период функции ( ),y f x то достаточно построить ее график на одном из интервалов длиной ,T а затем произвести параллельный перенос его вдоль оси Ox на , .Tk k Z  Замечание 3.4. Если функция ( )f x периодическая и ее период равен ,T то функция ( )f x тоже периодическая с периодом T   \ 0 .R Определение 3.8. Функция ( )f x называется возрастающей (убы- вающей) на множестве ( ),X X R если большему значению аргу- мента из этого множества соответствует большее (меньшее) значе- ние функции (рис. 3.3, а, б). Функция ( )f x называется неубываю- щей (невозрастающей) на множестве ,X если большему значению аргумента из этого множества соответствует не меньшее (не боль- шее) значение функции (рис. 3.3, в, г). Таким образом, имеют место следующие эквиваленции: ( )f x возрастает (убывает) на 1 2 2 1, ( ; )X x x X X R x x     2 1 2 1( ) ( ) ( ( ) ( ));f x f x f x f x   ( )f x не убывает (не возрастает) на 1 2 2 1, ( ; )X x x X X R x x     2 1 2 1( ) ( ) ( ( ) ( )).f x f x f x f x  Определение 3.9. Возрастающие и убывающие на множестве функции называют монотонными (или строго монотонными) на этом множестве, а неубывающие и невозрастающие – монотонными в широком смысле. 77 а б в г Рис. 3.3. Графики монотонных функций: а – возрастающей; б – убывающей; в – неубывающей; г – невозрастающей Определение 3.10. Функция ( )f x называется ограниченной свер- ху (снизу) на множестве ( ) ,X D f R  если существует такое ко- нечное число ( ),M R m R  что при любых x X выполняется условие ( ) ( ( ) )f x M f x m  (рис. 3.4, а, б). Определение 3.11. Функция ( )f x называется ограниченной на множестве ( ) ,X D f R  если существует такое конечное поло- жительное число  * max , ,M M m что для любых ( )x D f вы- полняется условие *( ) .f x M xa bО f не возрастаетy О a b x y f не убывает ba О x f убываетyf возрастает x О y a b 78 а б Рис. 3.4. Графики функций: а – ограниченной сверху; б – ограниченной снизу Определение 3.12. Функция ( )f x называется неограниченной сверху (снизу) на множестве ( ) ,X D f R  если для любого числа M существует ( )x D f такое, что ( ) ( ( ) ).f x M f x M  Дадим определение и разъясним понятие сложной функции. Пусть на некотором множестве ( )D D R определена вещественная функ- ция ( )u x  и ( )E u – множество значений этой функции. Допустим еще, что на множестве ( )E u задана функция ( ) ( ( ) ( )).y f u D f E u  Итак, функция  отображает (ставит в соответствие) элементы x в элементы u , а функция f отображает элементы u в элементы .y Таким образом, в конечном итоге каждому значению ( )x D f ста- вится в соответствие (посредством промежуточной переменной u ) одно вполне определенное значение (для однозначных функций  и u ) ( ),y E f где ( )E f – множество значений функции ( ).y f u Саму функцию y тогда называют сложной функцией аргумента x или функцией от функции (ее записывают ( ( )).y f x  Сложную функцию иначе называют композицией или суперпозицией функций f и  и иногда записывают в виде .f  При этом функцию ( )u x  называют промежуточным аргументом (зависимой пере- менной), а x – независимой переменной. Следует отметить, что весьма существенным является условие, что значения функции ( )x в суперпозиции функций f  не вы- ходят за пределы той области, в которой определена функция ( ).f u y xO y m xO M 79 Сложную функцию ( ( ))y f x  можно записать в виде «цепоч- ки» равенств ( ), ( ).y f u u x   Сложными функциями называют также функции, которые содержат два и более промежуточных ар- гументов. Например, сложная функция ( ( ( )))y f x   двух проме- жуточных аргументов ( )t u  и ( )u x  понимается как «цепочка» равенств (вложений функций) ( ), ( ), ( ).y f t t u u x     При этом область значений функции u должна полностью (или частично) совпадать с областью определения функции ,t а область значений функции ( ( ))t x   – с областью определения функции .y Кроме сложных функций в математике важную роль играет по- нятие обратной функции. Пусть функция ( )y f x является отоб- ражением множества ( ) ( ),D f E f где ( )D f и ( )E f – область определения и множество значений функции. Допустим, что отобра- жение f биективное, т. е. взаимно однозначное. При взаимно одно- значном отображении множества D на множество E каждый эле- мент ( )y E f является образом одного и только одного элемента x D и наоборот. Так как каждому элементу ( )y E f ставится в соответствие единственный элемент ( ),x D f то говорят, что на множестве E определена функция, обратная к функции ( ),y f x которую обозначают выражением ( )x y  (или 1( )).x f y Заметим, что если функция 1f  является обратной для функции ,f то функция f является обратной к 1,f  т. е. верно равенство   11 .f f  Функции f и 1f  называют взаимно обратными. Функция, имеющая обратную, называется обратимой. Не всякая функция ( )y f x имеет обратную функцию. Теорема 3.1. Если числовая функция ( )y f x монотонна, то су- ществует обратная функция 1( ).x f y При этом, если f – возрас- тающая функция, то и 1f  – возрастающая, а если f – убывающая функция, то и 1f  – убывающая. Монотонность функции является лишь достаточным условием ее обратимости. 80 Замечание 3.5. Функции ( )y f x и 1( )x f y по существу вы- ражают одну и ту же зависимость между переменными x и .y Только при функциональной зависимости ( )y f x x есть аргумент, а y – функция. При функциональной зависимости 1( )x f y аргументом служит ,y а x является функцией. Поэтому графики прямой и об- ратной функций совпадают. Если же у обратной функции, так же как и у исходной функции, аргумент обозначить через ,x а зависимую переменную через y (как обычно принято), то обратная функция будет иметь вид 1( ).y f x График обратной функции 1( )y f x симметричен графику данной функции ( )y f x относительно бис- сектрисы y x первого координатного угла. Для того чтобы найти обратную функцию для взаимно одно- значной функции ( ),y f x следует решить уравнение ( )y f x от- носительно переменной x , т. е. найти функцию 1( ),x f y а затем поменять обозначения переменной x на y, а y на x и тем самым получить функцию 1( ),y f x обратную к данной. Замечание 3.6. В общем случае обратную функцию для функции ( )y f x определяют как многозначную, если значению ( )y E f соответствует несколько или бесконечное множество значений ( ).x D f На графике, если любая прямая, параллельная оси ,Ox пересека- ет график функции ( )y f x лишь в одной точке, то обратная для нее функция будет однозначной. Если же некоторые из таких пря- мых пересекают график в нескольких точках, то обратная функция будет многозначной. В подобных случаях выбирают такие проме- жутки изменения ,x которым отвечают однозначные «ветви» мно- гозначной обратной функции. 3.2. Геометрические преобразования графиков функций Если график функции ( )y f x известен, то с помощью некото- рых преобразований плоскости (параллельного переноса, осевой 81 и центральной симметрии, растяжения и т. п.) можно построить графики более сложных функций. Замечание 3.7. График функции ( ),f x где (0, ),  получа- ется сжатием графика функции ( )f x вдоль оси Ox в  раз к оси Oy при 1 или растяжением графика функции ( )f x вдоль оси Ox в 1 раз от оси Oy при 0 1  (рис. 3.5). а б в Рис. 3.5. Графики функций: а – ( );y f x б – (2 );y f x в – (0,5 )y f x y О f(0,5x) –2 2 x y 1/2 OO –1/2 x f(2x) y x –1 1 f(x) 82 Замечание 3.8. График функции ( ),Af x где (0, ),A  получает- ся растяжением графика функции ( )f x вдоль оси Oy в A раз при 1A  и сжатием вдоль этой оси в 1 A раз при 0 1A  (рис. 3.6). а б в Рис. 3.6. Графики функций: а – ( );y f x б – (2 );y f x в – 1 ( ) 2 y f x O y O x –1 1 f(x) 1 –1 x –1 –2 y 1 2f(x) 1 –1 2 O )( 2 1 xf y –1 1 x 1/2 –1/2 83 Замечание 3.9. График функции ( )f x a получается параллель- ным переносом графика функции ( )f x в отрицательном направ- лении оси Ox на a при 0a  и в положительном направлении при 0a  (рис. 3.7). а б в Рис. 3.7. Графики функций: а – ( );y f x б – ( 1);y f x  в – ( 1)y f x  Замечание 3.10. График функции ( )f x b получается парал- лельным переносом графика функции ( )f x в положительном O x1–1–2 x y 1–1 O f(x)1 –1 y f(x + 1) 1 –1 x y –1 1 f(x – 1) O 1 –1 2 84 направлении оси Oy на величину b при 0b  и в отрицательном направлении этой оси на величину b при 0b  (рис. 3.8). а б в Рис. 3.8. Графики функций: а – ( );y f x б – ( ) 1;y f x  в – ( ) 1y f x  y y x1–1O Ox1–1 f(x) 1 –1 2 f(x) + 1 1 –1 2 O 1–1 x y f(x) – 1 1 –1 –2 85 Замечание 3.11. График функции ( )f x получается симметрич- ным отображением графика функции ( )f x относительно оси Oy (рис. 3.9, а). Замечание 3.12. График функции ( )f x получается симметрич- ным отображением графика функции ( )f x относительно оси Ox (рис. 3.9, б). а б Рис. 3.9. Графики функций: а – ( )y f x и ( );y f x  б – ( )y f x и ( )y f x  Замечание 3.13. График функции  f x получается из графика функции ( )f x следующим образом: часть графика ( ),f x лежащая над осью ,OX сохраняется, часть его, лежащая под осью ,OX отображается симметрично относительно оси OX (рис. 3.10). Ука- занное правило преобразования графика функции ( )f x следует из формулы          , если 0, , если 0. f x f x y f x f x f x      O x y –1 f(x) –1 –f(x) y 1 f(–x) xO –1 1 f(x) –1 86 а б Рис. 3.10. Графики функций: а – ( );y f x б – ( )y f x Замечание 3.14. График функции  f x получается из графика функции ( )f x следующим образом: часть графика ( )f x при 0x  сохраняется, а при 0x  полученная для 0x  часть графика отоб- ражается симметрично относительно оси OY (рис. 3.11). Данное преобразование выполняется согласно формуле      , если 0, , если 0. f x x y f x f x x       а б Рис. 3.11. Графики функций: а – ( );y f x б –  y f x y O 1y 3x2x1x x  xf xf 3x2x xO 1x 1y y 3xx3x2x1x yy 1y O )(xf 1y 2x x  xf 3x 2x O 87 3.3. Действительные элементарные функции Линейная функция. Прямая пропорциональная зависимость Линейной функцией называется функция ( ),y f x определяемая равенством ,y ax b  где a и b – некоторые действительные числа. Областью определения линейной функции является множество всех действительных чисел .R Областью изменения (множеством значений) этой функции при 0a  является множество всех дейст- вительных чисел .R При 0a  множество значений состоит из од- ного числа .b Если 0,b  то линейная функция будет нечетной. Линейная функция является непрерывной на всей числовой оси (определение непрерывной функции дано, например, в учеб- никах [4, 8]). При 0a  ( 0)a  линейная функция возрастает (убывает) при всех ,x R а при 0a  линейная функция является постоянной величиной .y b Равенство 0ax b  имеет место при ;bx a   при 0x  .y b Если 0,a  0ax b  при ;bx a   0ax b  при ;bx a   если 0,a  0ax b  при ;bx a   0ax b  при .bx a   График линейной функции y ax b  есть прямая линия. Коэф- фициент a характеризует угол , который образует прямая с по- ложительным направлением оси OX (рис. 3.12). При этом величина tga   называется угловым коэффициентом. Если 0,a  то это угол острый, если 0a  – тупой, если 0,a  то прямая y b парал- лельна оси .OX 88 а б в Рис. 3.12. Графики функции :y ax b  а – 0;a  б – 0;a  в – 0a  Если 0,b  то прямая y ax проходит через начало координат. Переменную y называют прямо пропорциональной переменной x с коэффициентом пропорциональности ,k a если эти переменные связаны соотношением , 0.y ax a  Прямая пропорциональная за- висимость является частным случаем линейной функции. Квадратичная функция Квадратичной функцией называется функция ( )y f x вида 2 ,y ax bx c   где , ,a b c – некоторые действительные числа, 0.a  y y = ax + b, a < 0 a b x by = ax + b, a > 0  O b a bO x y  y = b a = 0 b y xO 89 Квадратичная функция может быть приведена к виду 2 2 4 . 2 4 b b acy a x a a       (3.1) Выражение 2 4D b ac  называется дискриминантом квадрат- ного трехчлена 2 .ax bx c  Представление 2ax bx c  в виде (3.1) называется выделением полного квадрата. Опишем основные свойства квадратичной функции и ее график. Область определения квадратичной функции – множество всех действительных чисел .R При 0b  квадратичная функция имеет общий вид, а при 0b  квадратичная функция является четной функцией. Рассматриваемая функция непрерывна [4, 8] на всей числовой оси. При 0a  функция убывает от  до 2 0 4 4 ac by a  для всех , 2 bx a       и возрастает от значения 0y до  для всех , ; 2 bx a       множество значений функции: 24 , . 4 ac by a      При 0a  функция возрастает от  до 0y для всех , 2 bx a       и убывает от значения 0y до  для всех , ;2 bx a       функция принимает значения, принадлежащие множеству 24, . 4 ac b a      Квадратичная функция удовлетворяет равенству 2 0ax bx c   при 2 1 4 2 b b acx a    или 2 2 4 , 2 b b acx a    если дискриминант 2 4 0.D b ac   Если же 0a  и 0,D  то имеет место неравенство 90 2 0ax bx c   при 1x x или 2;x x 2 0ax bx c   при 1 2;x x x  если 0,D  то 2 0ax bx c   для всех ; 2 bx a   если 0,D  то 2 0ax bx c   для всех .x R Если 0a  и 0,D  то 2 0ax bx c   при 1 2;x x x  2 0ax bx c   при 1x x или 2;x x если 0,D  то 2 0ax bx c   для всех ;2 bx a   если 0,D  то 2 0ax bx c   для всех x R (рис. 3.13–3.16). При 0x  .y c Рис. 3.13. Парабола y = ax2, a > 0 а б Рис. 3.14. Парабола y = ax2 + bx + c, a > 0: а – 0;D  б – 0D  2axy  y xO c a > 0 D > 0 y x a b 2  O 1x 2x a b 2  c O x y a > 0 D = 0 91 а б Рис. 3.15. Парабола y = ax2 + bx + c: а – 0, 0;a D  б – 0, 0a D  а б Рис. 3.16. Парабола y = ax2 + bx + c: а – 0, 0;a D  б – 0, 0a D  График квадратичной функции называется параболой. Если 0a  ( 0),a  то ветви параболы направлены вверх (вниз). Осью симмет- рии параболы служит прямая . 2 bx a   Точка графика функции c 2x1x a b 2  O y x a < 0 D > 0 a > 0 D < 0 a b 2  c y O x x a < 0 D < 0 a b 2  c y O a < 0 D = 0a b 2  y x c O 92 с абсциссой 0 2 bx a   и ординатой 2 0 4 4 ac by a  называется вершиной параболы. Если 0,b  0,c  вершина параболы 2y ax находится в начале координат (см. рис. 3.13). Графики функции 2y ax bx c   изображены на рис. 3.14–3.16. Функция  .ky x Обратно пропорциональная зависимость. Дробно-линейная функция Функция ky x  выражает обратно пропорциональную зависи- мость переменной y от переменной x. Здесь k – действительное чис- ло, отличное от нуля, которое называют коэффициентом обратной пропорциональности. Область определения данной функции    \ 0 ,D y R а область изменения    \ 0 .E y R Эта функция нечетная и ее график симмет- ричен относительно начала координат. При 0k  0y  при 0x  и 0y  при 0.x  При 0k  0y  при 0x  и 0y  при 0.x  При 0k  данная функция монотонно убывает в  , 0 и  0, , а при 0k  монотонно возрастает в тех же промежутках. Функцию ky x  можно рассматривать как частный случай степенной функции y x при 1.   График функции называется гиперболой (рис. 3.17). Оси координат OX и OY являются соответственно горизон- тальной и вертикальной асимптотами графика функции .ky x  Дробно-линейной функцией называется функция ( )y f x вида ,ax by cx d   где , , ,a b c d – некоторые действительные числа, 0c  и .ad bc 93 Рис. 3.17. Гипербола :ky x  а – 0;k  б – 0k  При 0c  эта функция становится линейной, а при ad bc const.y  Для исследования свойств и построения графика дробно-линей- ной функции удобно представить ее в виде ,ax b ky n cx d x m     где ,an c  2 , bc adk c  .dm c  Тогда график функции можно получить из графика функции 1y x  с помощью геометрических преобразований (параллельных переносов и сжатий (растяжений) вдоль координатных осей). Дробно-линейная функция ax by cx d   определена всюду, кро- ме точки ,dx c   и принимает значения в области y xO 0,  k x ky y xO 0,  k x ky 94   , , .a aE y c c             При 0a  и 0d  она является функцией общего вида, а при 0a  и 0d  – нечетной функцией. Свойства данной функции следуют из свойств функции ky x  согласно при- веденным выше преобразованиям функции и ее графика. Прямые ay c  и dx c   являются горизонтальной и вертикальной асимпто- тами графика этой функции. Степенная функция Степенной функцией называется функция ,y x где  – любое действительное число. Если  – число рациональное, то функция y x называется алгебраической, если же  – иррациональное, то функция y x называется трансцендентной. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся ситуации. Пусть 22 , , ,nn n N y x    тогда   ;D y R    0, ; 0E y y   при 0.x  Функция 2ny x – четная; она на промежутке  , 0 убывает, а на промежутке  0,  возрастает. График – парабола порядка 2n (рис. 3.18, а). При 1n  имеем 2y x – квадратичную функцию. Пусть 2 1,n   ,n N т. е. 2 1.ny x  Тогда   ;D y R  E y R и 0y  при 0.x  Функция 2 1ny x  – нечетная, возрастает на R от  до . График этой функции – парабола порядка 2 1n  (рис. 3.18, б). Отметим, что при 0  и 1  функция y x совпадает с част- ными случаями 1y  и y x линейной функции. 95 Рис. 3.18. Графики функций: а – y = x2n; б – y = x2n+1 Пусть 2 ,n   ,n N 2 1 .ny x  Тогда    \ 0 ,D y R    0, .E y   Данная функция – знакоположительная, четная, возрастает на промежутке  ,0 и убывает на промежутке  0, . Ось OX является горизонтальной, а ось OY – вертикаль- ной асимптотой для этой функции. График функции 2 1 ny x  имеет вид, приведенный на рис. 3.19, а. Пусть 2 1,n    ,n N 2 1 1 .ny x   Тогда    \ 0 ,D y R    \ 0 .E y R При 0x  эта функция принимает отрицательные зна- чения, а при 0x  – положительные. Функция – нечетная, убывает на промежутках  , 0 и  0, . Координатные оси OX и OY яв- ляются соответственно горизонтальной и вертикальной асимптота- ми графиков функции (определение и смысл понятия асимптоты изложены, например, в [4, 8, 18, 20]). График функции 2 1 1 ny x   x y а y б Nnxy n  ,2 O Nnxy n   ,12 O x 96 имеет вид, приведенный на рис. 3.19, б. Частный случай 1 ,y x  соответствующий значению 1,n  рассмотрен выше. Рис. 3.19. Графики функций: а – 2 1 , ; n y n N x   б – 2 1 1 , n y n N x    Пусть r  – рациональное число. Если 1 , 2 r n  где ,n N то 2 .ny x Тогда    0, ,D y      0,E y   и 0y  при 0.x  Функция возрастает при всех 0.x  График функции 2ny x полу- чается как график обратной функции с помощью симметричного отображения относительно прямой y x правой ветви графика функции 2ny x (рис. 3.20, а). Если 1 , 2 1 r n   ,n N то 2 1 .ny x Тогда   ,D y R   ,E y R 0y  при 0,x  0y  при 0x  и 0y  при 0.x  Такая функция – нечетная, возрастает при всех .x R Гра- фик функции 2 1ny x получается как график обратной функции, симметричный графику функции 2 1ny x  относительно биссект- рисы y x первого и третьего координатных углов (рис. 3.20, б). y ба y x OO x 97 Рис. 3.20. Графики функций: а – 2 ;ny x б – 2 1ny x Пусть ,pr q  где p и q – натуральные и взаимно простые чис- ла. График функции q py x зависит от чисел p и .q Если p – четное, q – нечетное, то функция q py x определена на ,R явля- ется неотрицательной и 0y  при 0.x  При 0x  она убывает, а при 0x  – возрастает. График функции имеет вид, изображен- ный на рис. 3.21. Рис. 3.21. Графики функций , p qy x p – четное, q – нечетное: а – 0 1;p q   б – 1p q  б Nnxy n  ,2 y xO а Nnxy n   ,12 O y x O x а , 0 1 p q py x q    O y x б y , 1 p q py x q   98 Если p и q – нечетные числа, то функция q py x определена при ,x R   ;E y R 0y  при 0,x  0y  при 0,x  0y  при 0.x  Функция y – нечетная, возрастающая при всех x. График функции имеет вид, приведенный на рис. 3.22. Рис. 3.22. Графики функций , p qy x p и q – нечетные: а – 0 1;p q   б – 1p q  Если p – нечетное число, q – четное, то функция  1p qp pq qy x x x   определена на промежутке  0,  и 0y  при 0.x  Функция y возрастает при 0x  от 0 до . График функции имеет вид, приведенный на рис. 3.23. В частности, при 3 2 p q  имеем 3 2y x (или 2 3y x ) – ветвь по- лукубической параболы. а , 1 p q py x q   y O , 0 1 p q py x q    O y x x б 99 Рис. 3.23. Графики функций , p qy x p – нечетное, q – четное: а – 0 1;p q   б – 1p q  Пусть ,pr q   где p и q – натуральные и взаимно простые числа. Тогда 1 1 . p q p q p q y x x x    Если p – четное, q – нечетное, то      , 0 0, .D y     При этом функция y – четная, знако- положительная, возрастающая при 0x  и убывающая при 0.x  Координатные оси являются горизонтальной и вертикальной асимпто- тами графика данной функции. График изображен на рис. 3.24, а. Если p и q – нечетные числа, то      , 0 0, ,D y          , 0 0, ,E y     0y  при 0,x  0y  при 0.x  Функция y – нечетная, убывающая на промежутках  , 0x  и  0, .x  Оси координат являются асимптотами графика функций (рис. 3.24, б). Если p – нечетное, q – четное, то    0, ,D y      0, .E y   Функция убывающая, а координатные оси являются асимптотами ее графика (рис. 3.24, в). yy б а , 1 p q py x q   O x , 0 1 p q py x q    O x 100 3.24. Графики функций 1 : q p y x  а – p – четное, q – нечетное; б – p и q – нечетные; в – p – нечетное, q – четное Определение 3.13. Под функцией ,y x где x – положительное число, а  – иррациональный показатель, понимается предел (понятие предела является одним из базовых понятий математического анализа; смысл этого понятия подробно разъяснен в [4]) lim , p q p q x x   к кото- рому стремится последовательность чисел , p qx когда последователь- ность рациональных степеней p q стремится к числу . Функция y x при 0  определена для любых 0;x  0,y  если 0;x  она знакоположительна и возрастает при 0.x  Графики функции имеют вид, приведенный на рис. 3.25, а, б. При 0  для функции y x верны равенства:    0, ,D y      0, .E y   Эта функция убывающая и знакоположительная. График данной функции имеет вид, изображенный на рис. 3.25, в. y в ба O xxO y O y x 101 Рис. 3.25. Графики функций ,y x  – иррациональное число: а – 0 1;   б – 1;  в – 0  Важно подчеркнуть, что всюду выше в случаях, когда степенная функция многозначная, рассматривались только их главные ветви. Показательная и логарифмическая функции. Преобразование показательных и логарифмических выражений Определение 3.14. Показательной функцией называется функ- ция, заданная формулой ,xy a где a – некоторое положительное число, не равное единице, x – независимая переменная. Данная функция обладает следующими свойствами: 1)  D y R – область определения функции; 2)    0,E y   – область значений функции; 3) функция является непериодической; 4) 0xa  для всех ,x R причем при 0x  0 1;a  5) при 1a  функция возрастает от 0 до  (значения, равного нулю, она не принимает) для всех ;x R если 0,x  то 1,xa  если же 0,x  то 0 1;xa  при 0 1a  функция убывает от  до 0, не достигая 0, для всех конечных ;x R если же 0,x  то 0 1,xa  если 0,x  то 1;xa  6) функция не имеет минимумов и максимумов (экстремумов). в б а , 0 y x   O y x , 1 y x   O y x , 0 1y x    O y x 102 Частным случаем показательной функции является функция e ,xy  где число e = 2,718281828… имеет смысл основания нату- ральных логарифмов. Графики функции xy a изображены на рис. 3.26. Рис. 3.26. Графики функции :xy a а – 1;a  б – 0 1a  Определение 3.15. Логарифмом loga b числа b по основанию ,a где 0, 1,a a  0b  называется показатель степени, в которую надо возвести основание ,a чтобы получить число .b Имеет место основное логарифмическое тождество: log ,a ba b где 0, 1,a a  0.b  Это тождество равносильно равенствам ca b и log ,a b c где 0, 1,a a  0.b  Логарифм 10lg logb b числа b по основанию 10 называют де- сятичным. Логарифм по основанию e называют натуральным и обо- значают ln ,b т. е. elog ln .b b Логарифмы обладают следующими свойствами (при условии, что 0, 1,a a  0,b  0):c  O 10  a 1 1 y x 1a 1 1 O y x ба 103 log 1 0;a  log 1;a a   log log log ;a a ab c b c   log log log ;a a a b b c c   log log ;pa ab p b 1log log ;p aa b bp log log ;n m aa mb b n  log log ,b bc aa c 1;b  1;c  loglog , 1; log c a c bb c a   1log , 1. loga b b b a   Определение 3.16. Логарифмической функцией называется функ- ция, заданная формулой log ,ay x где a – некоторое положитель- ное число, не равное единице, x – независимая переменная. Логарифмическая и показательная функции при одном и том же основании являются взаимно обратными. При преобразовании выражений, содержащих логарифмические функции, используются следующие соотношения:         log log log ,a a af x g x f x g x          log log log ,a a a f x f x g x g x       2log 2 log ,ka af x k f x  где    0, 1, 0, .a a f x g x k Z     Имеют место следующие свойства логарифмических функций: 1)  ( ) 0, ;D y   2) ( ) ;E y R 104 3) логарифмическая функция является функцией общего вида, непериодическая; 4) число 1x  является нулем функции; при 1a  log 0a x  для всех 1x  и log 0a x  для 0 1;x  при 0 1a  log 0a x  для 0 1x  и log 0a x  для 1;x  5) при 1a  логарифмическая функция возрастает от  до  для всех 0;x  при 0 1a  эта функция убывает от  до  для всех 0;x  6) данная функция не имеет экстремумов. Важным частным случаем логарифмической функции является функция ln .y x Графики функции logay x изображены на рис. 3.27. Рис. 3.27. Графики функции log :ay x а – 1;a  б – 0 1a  Тригонометрические функции Тригонометрические функции угла  Плоская фигура, состоящая из двух различных лучей с общим началом и ограниченной ими части плоскости, называется углом. Отметим на оси OX справа от точки O (начало координат) точку A и проведем через нее окружность с центром в точке O (рис. 3.28). 1 1 10  a O y x y 1a 1 1 O x а б 105 Рис. 3.28. Изображение углов  и  в системе координат OXY на плоскости Если повернуть радиус OA около точки O против часовой стрел- ки, то угол поворота считают положительным, а если по часовой стрелке – отрицательным. За единицу измерения углов и дуг принимают соответственно угол в 1 градус и дугу в 1 градус (обозначают o1 ). Угол в o1 – это угол, который опишет радиус ,OA совершив 1 360 часть полного оборота вокруг своей начальной точки O против часовой стрелки. Напомним, что 1 60 часть градуса называется минутой (обозна- чают 1 ), а 1 60 часть минуты – секундой (обозначают 1 ). Величину угла также измеряют в радианах. Угол в 1 радиан есть по определению угол, опирающийся на ду- гу окружности, длина которой равна радиусу этой окружности. Если радиус OA совершит один полный оборот, то получится угол, равный o360 или 2 радиан. A C y x B O   106 Радианная мера o1 равна . 180  Если угол содержит o,n то его радианная мера равна . 180 n  Угол, равный  радианам, содер- жит число градусов, которое равно o 180 .n   Рассмотрим единичную окружность, т. е. окружность с центром в начале координат и радиусом ,R равным 1 (рис. 3.29). Рис. 3.29. Тригонометрические функции угла  На окружности отметим точку 0P (1; 0). При повороте радиуса 0OP около центра O на угол  радиан точка 0P (1; 0) перейдет в некоторую точку ( ; ).P x y   Синусом угла  называется отношение ординаты точки P к радиусу. Таким образом, sin ,y y R     если 1.R  x y 0P y O  P x 107 Косинусом угла  называется отношение абсциссы точки P к радиусу. Таким образом, cos ,x x R     если 1.R  Тангенсом угла  называется отношение ординаты точки P к ее абсциссе: o otg , 90 180 , . 2 y n n n Z x                Котангенсом угла  называется отношение абсциссы точки P к ее ординате:  octg , 180 , .x n n n Z y           Секансом угла  называется величина, обратная cos  , т. е. 1sec , cos    cos 0.  Косекансом угла  называется величина, обратная cos , т. е. 1cosec , sin    sin 0.  Отметим, что определенные выше величины называют тригоно- метрическими функциями угловой величины . Знаки, которые принимают значения тригонометрических функ- ций в координатных четвертях, изображены на рис. 3.30. 108 sin cos tg cosec sec ctg Рис. 3.30. Знаки тригонометрических функций в четвертях координатной плоскости Основные тригонометрические тождества Тригонометрические функции удовлетворяют следующим ос- новным тригонометрическим тождествам: 2 2sin cos 1,    ;R 2sin 1 cos ,     2cos 1 sin ;     sintg , cos    ,2 n     ;n Z cosctg , sin    ,n   ;n Z tg ctg 1,    , 2 n  ;n Z 1tg , ctg    1ctg , tg    ,2 n   ;n Z y x– + + – y x– +– + y x + +– – 109 2 2 2 11 tg sec , cos      ,2 n     ;n Z 2 2 2 11 ctg cosec , sin      ,n   .n Z Ряд значений тригонометрических функций можно представить в явной форме (табл. 3.1). Таблица 3.1 Значения тригонометрических функций Аргумент Функции Градусы Радианы sin  cos  tg  ctg  o0 0 0 1 0 Не суще- ствует o30 6  1 2 3 2 3 3 3 o45 4  2 2 2 2 1 1 o60 3  3 2 1 2 3 3 3 o90 2  1 0 Не суще-ствует 0 o120 2 3  3 2 1 2  3 3 3  o135 3 4  2 2 2 2  –1 –1 o150 5 6  1 2 3 2  3 3  3 110 Окончание табл. 3.1 Аргумент Функции Градусы Радианы sin  cos  tg  ctg  o180  0 –1 0 Не суще-ствует o210 7 6  1 2  3 2  3 3 3 o225 5 4  2 2  2 2  1 1 o240 3 4  3 2  1 2  3 3 3 o270 3 2  –1 0 Не суще-ствует 0 o300 5 3  3 2  1 2 3 3 3  o315 7 4  2 2  2 2 –1 –1 o330 11 6  1 2  3 2 3 3  3 o360 2 0 1 0 Не суще-ствует Формулы приведения Формулами приведения называют соотношения, с помощью ко- торых значения тригонометрических функций аргументов , 2    ,   3 , 2    2   выражаются через значения sin , cos , tg , ctg . 111 Все формулы приведения можно свести в табл. 3.2. Таблица 3.2 Формулы приведения Функ- ция  Аргумент  2    2          3 2   3 2   2   2   sin cos cos sin sin  cos  cos  sin  sin cos sin sin  cos  cos  sin  sin cos cos tg ctg ctg  tg  tg ctg ctg  tg  tg ctg tg tg  ctg  ctg tg tgα ctg  ctg При преобразовании тригонометрических выражений полезно использовать следующие правила приведения: а) при переходе от функций углов , 2    3 2    к функциям угла  название функции изменяют: синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот; при переходе от функций углов ,   2   к функциям угла  название функции сохраняют; б) считая  острым углом (т. е. 0 ), 2    перед функцией угла  ставят такой знак, какой имеет приводимая функция углов , 2    ,   3 . 2    Формулы сложения Имеют место следующие равенства: sin( ) sin cos cos sin ;        cos( ) cos cos sin sin ;       tgα tgtg( ) , 1 tg tg       1 tg tgctg( ) . tg tg         112 Формулы двойного и половинного угла Справедливы такие соотношения: sin 2 2sin cos ;    2 2 2 2cos2 cos sin 1 2sin 2cos 1;           2 2tgtg2 , 1 tg     ,2 n     , 4 2 n    .n Z 2 1 cossin , 2 2    2 1 coscos , 2 2    2 1 costg , 2 1 cos      sin 1 costg , 2 1 cos sin        , .n n Z    Формулы преобразования суммы функций в произведение и произведения функций в сумму Эти формулы сводятся к следующим тождествам: sin sin 2sin cos ; 2 2         cos cos 2cos cos ; 2 2        cos cos 2sin sin ; 2 2          sintg tg , cos cos        , , 2 , ; 2 k k Z n n Z           113  sinctg ctg , sin sin         , , k n       , ; k Z n Z   sin cos sin( ),a b r          где 2 2 ,r a b  аргумент  определяется из условий: 2 2 cos ,a a b    2 2 sin ,b a b    sin( ) sin( )sin cos , 2        cos( ) cos( )cos cos , 2        cos( ) cos( )sin sin , 2        tg tgtg tg , ctg ctg         ctg ctgctg ctg . tg tg         Формулы универсальной тригонометрической подстановки Формулами универсальной тригонометрической подстановки называют следующие соотношения: 2 2tg 2sin , 1 tg 2     2 , ;n n Z      2 2 1 tg 2cos , 1 tg 2     2 , ;n n Z      114 2 2tg 2tg , 1 tg 2     , 2 , ; 2 n n n Z          21 tg 2ctg , 2tg 2     , .n n Z    Графики и некоторые общие свойства тригонометрических функций Функция siny x характеризуется следующими общими свой- ствами: 1) ( ) ;D y R 2) ( ) [ 1;1],E y   следовательно, синус – функция ограниченная; 3) функция нечетная, т. е. sin( ) sin ;x x   4) функция периодическая с наименьшим положительным перио- дом 2 , т. е. sin( 2 ) sin ;x x   5) sin 0x  при ,x n  ;n Z 6) sin 0x  для всех (2 , 2 );x n n    sin 0x  для всех ( 2 ,2 2 ),x n n      ;n Z 7) функция возрастает от –1 до 1 на промежутках 2 ; 2 2 2 n n         и убывает от 1 до –1 на промежутках 32 ; 2 , 2 2 n n        ;n Z 8) функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точ- ках 2 2 x n   и наименьшее значение, равное –1, в точках 3 2 , 2 x n   .n Z 115 График функции siny x представлен на рис. 3.31. Рис. 3.31. График функции siny x Функция cosy x обладает следующими общими свойствами: 1) ( ) ;D y R 2) ( ) [ 1;1],E y   значит, косинус – функция ограниченная; 3) функция четная: cos( ) cos ;x x  4) функция периодическая с наименьшим положительным перио- дом 2 , т. е. cos( 2 ) cos ;x x   5) cos 0x  при , 2 x n   ;n Z 6) cos 0x  для всех ( 2 ; 2 ); 2 2 x n n       cos 0x  для всех 3( 2 ; 2 ), 2 2 x n n      ;n Z 7) функция возрастает от –1 до 1 на промежутках  2 ; 2n n    и убывает от 1 до –1 на промежутках  2 ; 2 ,n n    ;n Z 8) функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках 2x n  и наименьшее значение, равное –1, в точках 2 ,x n    .n Z График функции cosy x представлен на рис. 3.32. y = sin x y x/2 –/2 3/2 2 0 –3/2 –2 – 1 –1 116 Рис. 3.32. График функции cosy x Функция tgy x определена при всех ,x кроме чисел вида , 2 x n   где .n Z Область значений ( ) ,E y R т. е. функция не- ограниченная. Функция tgy x нечетная, т. е. tg( ) tgx x   для ( ).x D y Она является периодической с наименьшим положитель- ным периодом ,T   т. е. tg( ) tgx x   для ( ).x D y Кроме этого tg 0x  при ,x n  ;n Z tg 0x  для всех ; , 2 x n n       ;n Z tg 0x  для всех ; , 2 x n n        .n Z Функция tgy x возрас- тает на промежутках ; , 2 2 n n         .n Z Прямые ,2x n    n Z являются вертикальными асимптотами графика функции tg .y x График функции tgy x изображен на рис. 3.33. x y y = cos x –2 0 1 1 3/2 2––3/2 –/2 /2 117 Рис. 3.33. График функции tgy x Функция ctgy x определена при всех ,x кроме чисел вида ,x n  где .n Z Область значений ( ) ,E y R т. е. функция не- ограниченная. Функция ctgy x нечетная, т. е. ctg( ) ctgx x   для любых ( ),x D y периодическая с наименьшим положительным пе- риодом ,T   т. е. ctg( ) ctgx x   для всех ( ).x D y Имеют ме- сто соотношения ctg 0x  при , 2 x n   ;n Z ctg 0x  для всех ; , 2 x n n       ;n Z ctg 0x  для всех ; ,2x n n         .n Z Функция ctgy x убывает на каждом из промежутков  ; ,n n    .n Z Прямые ,x n  n Z являются вертикальными асимпто- тами графика этой функции. График функции ctgy x изображен на рис. 3.34. y = tg x y x0 /2 –/2  3/2 118 Рис. 3.34. График функции ctgy x Обратные тригонометрические функции Функции sin ,y x cos ,y x tg ,y x ctgy x в областях их оп- ределения являются периодическими функциями. В силу этого обрат- ные им функции Arcsin ,y x Arccos ,y x Arctg ,y x Arcctgy x являются многозначными функциями. Дадим определения и опишем соответствующие им главные вет- ви указанных обратных тригонометрических функций. По определению арксинусом  arcsin a числа а называется такое число  из отрезка , , 2 2      для которого sin .a  В соот- ветствии с этим определением под обратной тригонометрической функцией arcsiny x понимается однозначная функция с областью определения    1,1D y   и областью значений   , . 2 2 E y       Данная функция является нечетной и возрастающей на  D y от 2  до . 2  При этом arcsin 0 0; при  1, 0x  0,y  а при  1, 0x  0.y  График функции arcsiny x изображен на рис. 3.35. y = сtg xy x/2 –/2– 0 119 Рис. 3.35. График функции arcsiny x Другие значения ветвей многозначной функции Arcsiny x выражаются через главное его значение формулой Arcsin x  arcsin 2 ,x k   .k Z Аналогичным образом вводятся другие обратные тригонометри- ческие функции. По определению арккосинусом  arccosa числа a называется такое число  из отрезка  0, , для которого cos .a  Из данного определения следует, что для функции arccosy x имеют место отношения    1,1 ,D y      0, .E y   Функция arccosy x является монотонно убывающей и убывает от  до 0 на отрезке  1,1 . При этом arccos1 0,  arccos 1   и  arccos arccos .x x    График функции arccosy x изображен на рис. 3.36. 2  2  xO–1 1 xy arcsin y 120 Рис. 3.36. График функции arccosy x Другие значения ветвей многозначной функции Arccosy x выражаются через главное его значения посредством формулы Arccos arccos 2 ,x x k   .k Z По определению арктангенсом числа а (arctg )a называется та- кое число  из интервала , , 2 2      для которого имеет место ра- венство tg .a  В соответствии с этим определением для функции arctgy x справедливы отношения   ,D y R   , . 2 2 E y       Функция arctgy x является нечетной и возрастающей от 2  до 2  на интервале  , .  При этом 0y  при 0;x  0,y  если 0,x  0,y  если 0.x  График функции, изображенный на рис. 3.37, имеет две горизонтальные асимптоты: 2 y   и . 2 y  Другие значения ветвей многозначной функции Arctgy x вы- ражаются через главное его значение посредством формулы Arctg arctg ,x x k   .k Z  2  O–1 1 x y xy arccos 121 Рис. 3.37. График функции arctgy x По определению арккотангенсом  arcctg a числа а называется такое число  из интервала  0, , для которого ctg .a  В соот- ветствии с этим определением для функции arcctgy x имеют ме- сто соотношения   ,D y R    0, .E y   Функция arcctgy x убывает от  до 0 на всей области определения. При этом верно равенство  arcctg arcctg .x x    Прямые 0y  и y   являются горизонтальными асимптотами [4] графика функции. График изоб- ражен на рис. 3.38. Рис. 3.38. График функции arcctgy x 2  2  xy arctg xO y y xy arcctg2   xO 122 Другие значения ветвей многозначной функции Arcctgy x вы- ражают через главное значение посредством формулы Arcctg x  arcctg ,x k   .k Z Для обратных тригонометрических функций при всех допусти- мых значениях аргумента x справедливы следующие тождества: arcsin arccos , 2 x x   если 1;x   sin arcsin ,x x если 1 1;x    cos arccos ,x x если 1 1;x    arcsin sin ,x x при ; 2 x   arccos cos ,x x при 0 ;x   arctg arcctg ; 2 x x    tg arctg ,x x ;x R  ctg arcctg ,x x ;x R  arctg tg ,x x если ; 2 x   arcctg ctg ,x x если 0 .x   Гиперболические функции. Обратные гиперболические функции Гиперболический синус является функцией, которая задается ана- литическим выражением e esh , 2 x x y x   в котором  D y R и   .E y R Функция shy x – нечетная, монотонно возрастающая от  до . При этом sh 0x  при 0,x  sh 0x  при 0,x  sh 0x  при 0.x  График функции (рис. 3.39) центрально симмет- ричен относительно начала координат. Точка  0, 0 является точкой перегиба кривой. 123 Рис. 3.39. График функции shy x Гиперболический косинус определяется посредством формулы e ech , 2 x x y x   в которой  D y R и    1, .E y   Функция chy x – четная. Она в промежутке  , 0 монотонно убывает от  до 1, а при  0,x  монотонно возрастает от 1 до . Кроме этого ch 0x  для любых  , .x   График функции симметричен относительно оси OY (рис. 3.40). Рис. 3.40. График функции chy x xy sh y xO O y xy ch x 1 124 Гиперболический тангенс задается следующим образом: sh e eth , ch e e x x x x xy x x       где  D y R и    1,1 .E y   Функция thy x – нечетная, возрастает на  D y и th 0 0. Прямые 1y   являются горизонтальными асимптотами графика функции (рис. 3.41). Рис. 3.41 График функции thy x Гиперболический котангенс определяется с помощью таких соот- ношений: ch e ecth , sh e e x x x x xy x x          \ 0 ,D y R    \ 1,1 .E y R  Функция cthy x – нечетная, убывает на промежутках  , 0 и  0, . При этом 1y   при 0x  и 1y  при 0.x  Прямые 1,y   0x  – асимптоты графика функции (рис. 3.42). xO y xy th 1 1 125 Рис. 3.42. График функции cthy x Перейдем к определению обратных гиперболических функций. Обратной функцией к гиперболическому синусу является функ- ция arshy x (ареа-синус), для которой   ,D y R   .E y R Функция arshy x – нечетная и возрастает на  .D y Она опреде- ляется как функция, для которой значение функции y связано со значением ее аргумента y равенством sh .x y Используя это равен- ство, определение гиперболического синуса и неравенства e 0y  (y – любое конечное вещественное число), можно доказать, что  2arsh ln 1 .y x x x    График изображен на рис. 3.43. Для функции archy x (ареа-косинус) имеют место отношения    1, ,D y      0, .E y   Данная функция возрастает на  .D y Она определяется как функция, для которой значение функции y связано со значением ее аргумента x равенством ch .x y По сути, посредством использования этого равенства и определения функ- ций ch y и e y можно показать, что имеет место равенство  2ln 1 arch .y x x x    1 1 y xO xy cth 126 График функции archy x изображен на рис. 3.44. Рис. 3.43. График функции arshy x Рис. 3.44. График функции archy x Функция arthy x (ареа-тангенс) характеризуется отношения- ми    1,1 ,D y     .E y R Эта функция – нечетная, возрастает на  .D y При этом 0y  при 0,x  0y  при 0,x  0y  при 0.x  Данная функция определяется как функция, для которой ее значе- ние y связано со значением аргумента x равенством th .x y Из ра- венства следует справедливость формулы 1 1ln arth . 2 1 xy x x   График функции arthy x изображен на рис. 3.45. xO y xy arsh xO y 1 xy arch 127 Рис. 3.45. График функции arthy x Функция arcthy x (ареа-котангенс) в свою очередь характери- зуется отношениями    \ 1,1 ,D y R     \ 0 .E y R Эта функция является нечетной, убывает на промежутках  , 1  и  1, . При этом 0y  при 1,x   0y  при 1.x  Функция arcthy x оп- ределяется как функция, для которой ее значение y и ее аргумент x свя- заны равенством cth .x y Из данного равенства следует истинность аналитического представления этой функции: 1 1ln arcth . 2 1 xy x x   График функции arcthy x изображен на рис. 3.46. Рис. 3.46. График функции arcthy x xy arth 11 y xО –1 1 x y О xy arcth 128 Функции знака, Хевисайда, Дирихле и антье В математике при решении различных задач и записи аналитиче- ских представлений, формул, неравенств, условий и т. п. зачастую используют ряд достаточно простых и одновременно полезных функций. Дадим определения только некоторым функциям. Под функцией сигнум sgny x (функция знака) понимают функ- цию, которая определяется следующим образом: 1, если 0, sgn 0, если 0, 1, если 0. x y x x x      График функции sgny x приведен на рис. 3.47. Рис. 3.47. График функции знака Единичная функция Хевисайда определяется формулой   0, если 0, 1, если 0. x y x x      График приведен на рис. 3.48. xО –1 y 1 129 Рис. 3.48. График функции Хевисайда Существенно более сложной функцией является функция Дири- хле. Она определяется следующим образом:   1, если рациональное число, 0, если иррациональное число. x y f x x     Под функцией «антье от x» понимается наибольшее целое число, не превосходящее x. Для нее используется обозначение   ,y E x и она определяется равенствами     ,E x x n  если  , 1 ,x n n  .n Z xО 1 y 130 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. – М. : Наука, 1981. 2. Бронштейн, И. Н. Справочник по математике / И. Н. Брон- штейн, К. А. Семендяев. – М. : Наука, 1981. 3. Анго, А. Математика для электро- и радиоинженеров / А. Анго. – М. : Наука, 1965. 4. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления : в 3 т. Т. 1 / Г. М. Фихтенгольц. – М. : Физматгиз, 1962. 5. Цыпкин, А. Г. Справочник по математике для средней школы / А. Г. Цыпкин. – М. : Наука, 1980. 6. Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике / М.Я. Вы- годский. – М. : Наука, 1969. 7. Виленкин, Н. Я. Математика / Н. Я. Виленкин. – М. : Просве- щение, 1977. 8. Герасимович, А. И. Математический анализ : в 2 ч. Ч. 1 / А. И. Герасимович, Н. А. Рысюк. – Минск : Вышэйшая школа, 1989. 9. Герасимович, А. И. Математический анализ : в 2 ч. Ч. 2 / А. И. Герасимович, Н. П. Кеда, М. Б. Сугак. – Минск : Вышэйшая школа, 1990. 10. Сачков, В. Н. Введение в комбинаторные методы дискретной математики / В. Н. Сачков. – М. : Наука, 1982. 11. Гусак, А. А. Справочник по высшей математике / А. А. Гусак, Г. М. Гусак. – Минск : Навука i тэхнiка, 1991. 12. Гусак, Г. М. Математика для подготовительных отделений вузов / Г. М. Гусак, Д. А. Капуцкая. – Минск : Вышэйшая школа, 1989. 13. Вирченко, Н. А. Графики функций : справочник / Н. А. Вир- ченко, И. И. Ляшко, К. И. Швецов. – Киев : Наукова думка, 1979. 14. Пособие по математике для поступающих в вузы / Г. Н. Яков- лев [и др.]. – М. : Наука, 1981. 15. Яремчук Г. Н. Алгебра и элементарные функции / Г. Н. Ярем- чук, П. А. Рудченко. – Киев : Наукова думка, 1987. 16. Крамор, В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа / В. С. Крамор. – М. : ОНИКС, 2008. 131 17. Роговцов, Н. Н. Курс лекций по высшей математике для сту- дентов специальностей Т.06.01, Т.06,02, Т.23.03, … : в 2 ч. Ч. 1 / Н. Н. Роговцов. – Минск : БГПА, 2000. 18. Ефимов, Н. В. Краткий курс аналитической геометрии / Н. В. Ефимов. – М. : Физматгиз, 1965. 19. Будак, Б. М. Кратные интегралы и ряды / Б. М. Будак, С. В. Фомин. – М. : Физматгиз, 1967. 20. Высшая математика : в 2 т. Т. 1 / С. А. Минюк [и др.]. – Минск : ООО «Элайда», 2004. 21. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Ти- хонов, А. А. Самарский. – М. : Физматгиз, 1966. 132 Учебное издание РОГОВЦОВ Николай Николаевич МЕЛЕШКО Алексей Николаевич БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ И КОНСТРУКЦИИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ И ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Учебно-методическое пособие для студентов приборостроительного факультета Редактор Т. В. Грищенкова Компьютерная верстка Н. А. Школьниковой Подписано в печать 06.06.2017. Формат 6084 1/16. Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 7,67. Уч.-изд. л. 6,00. Тираж 200. Заказ 640. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя, распространителя печатных изданий № 1/173 от 12.02.2014. Пр. Независимости, 65. 220013, г. Минск.