МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Экономика строительства» И. В. Шанюкевич ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ Учебно-методическое пособие М и н с к Б Н Т У 2 0 1 7 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Экономика строительства» И. В. Шанюкевич ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ Учебно-методическое пособие для студентов дневной и заочной формы обучения специальности 1-70 02 02 «Экспертиза и управление недвижимостью» и направления специальности 1-27 01 01-17 «Экономика и организация производства (строительство)» Рекомендовано учебно-методическим объединением по образованию в области строительства и архитектуры Минск БНТУ 2017 2 УДК 005.915 (075.4) ББК 65.2/.4-93я7 Ш22 Рецензенты: кафедра «Управление недвижимостью» Государственного института управления социальных технологий Белорусского государственного университета (зав. каф., канд. техн. наук, доцент Т. В. Борздова); доцент, канд. экон. наук, доцент кафедры налогов и налогообложения Белорусского государственного экономического университета С. О. Наумчик Шанюкевич, И. В. Финансовый менеджмент : учебно-методическое пособие для сту- дентов дневной и заочной формы обучения специальности 1-70 02 02 «Экспертиза и управление недвижимостью» и направления специ- альности 1-27 01 01-17 «Экономика и организация производства (строительство)» / И. В. Шанюкевич. – Минск : БНТУ, 2017 – 89 с. ISBN 978-985-550-904-3. В учебно-методическом пособии представлены основные методы финансовых вычислений с применяемым в данной области математическим аппаратом и форма- лизованы типовые гипотетические ситуации с последующим решением. Пособие разработано для обеспечения эффективного проведения занятий по дис- циплине «Финансовый менеджмент», а также при самостоятельной подготовке сту- дентов. УДК 005.915 (075.4) ББК 65.2/.4-93я7 ISBN 978-985-550-904-3 © Шанюкевич И. В., 2017 © Белорусский национальный технический университет, 2017 Ш22 3 СОДЕРЖАНИЕ Введение ................................................................................................. 5 1. Сущность финансовых вычислений и процентных платежей ...................................................................... 8 2. Наращение по простой и сложной процентной ставке .............................................................................. 13 2.1. Простая процентная ставка ..................................................... 13 2.2. Учетная ставка простых процентов ........................................ 19 2.3. Эквивалентность простой ставки процентов и простой учетной ставки при начислении процентов один раз в год ......... 22 2.4. Сложная процентная ставка .................................................... 23 2.5. Номинальная и эффективная годовая процентная ставка ........................................................................... 26 2.6. Учетная ставка сложных процентов ....................................... 31 2.7. Эквивалентность простых и сложных процентных ставок при начислении один раз в год .......................................... 32 2.8. Расчет наращенных сумм в условиях инфляции ................... 33 2.9. Области применения простого и сложного процента ........... 35 3. Дисконтирование по простой и сложной процентной ставке .............................................................................. 37 3.1. Дисконтирование по простой процентной ставке ................. 37 3.2. Дисконтирование по простой учетной ставке ....................... 38 3.3. Дисконтирование по сложной процентной ставке ................ 40 3.4. Дисконтирование по сложной учетной ставке ...................... 41 3.5. Номинальная и эффективная годовая учетная ставка ........... 42 4. Погашение кредита ........................................................................ 44 4.1. Погашение кредита равными выплатами ............................... 44 4.2. Погашение кредита равными выплатами основного долга ............................................................................... 45 4.3. Финансовая рента (аннуитет) .................................................. 49 4.4. Наращенная сумма ренты (денежных потоков) .................... 52 4.5. Дисконтированная величина финансовой ренты (денежных потоков) ........................................................................ 56 4 4.6. Расчетные формулы, связывающие наращенную сумму и дисконтированную стоимость финансовой ренты .................... 62 4.7. Конверсия и консолидация финансовых рент ....................... 65 5. Оценка эффективности финансовых и инвестиционных решений ............................................................. 69 5.1. Расчет чистого дисконтированного дохода ........................... 71 5.2. Расчет индекса доходности (рентабельности) ....................... 75 5.3. Расчет коэффициента эффективности инвестиций (индекс прибыльности) ................................................................... 76 5.4. Период окупаемости инвестиций ........................................... 78 5.5. Определение внутренней нормы доходности инвестиционных проектов .............................................................. 81 5.6. Анализ альтернативных проектов .......................................... 84 Список литературных источников ...................................................... 89 5 ВВЕДЕНИЕ С возникновением денег появились и финансовые вычисления, которые затрагивают любого человека, участвующего в проведении тех или иных финансовых операций, в том числе и со своими лич- ными сбережениями. С развитием денежного обращения и матема- тического аппарата, используемого в расчетах, совершенствовались и финансовые вычисления. Вместе с современными методами ана- лиза и моделирования финансовых ситуаций финансовые вычисле- ния переросли в новое направление организации и управления предпринимательской деятельности – финансовый менеджмент, базой которого остается финансовая математика – вполне опреде- ленный круг финансовых вычислений. Методы математики финан- сового менеджмента используются в расчетах параметров, характе- ристик и свойств инвестиционных операций и стратегий, парамет- ров государственных и негосударственных займов, ссуд, кредитов, в расчетах страховых взносов и премий, начислений и выплат, при составлении планов погашения долга, оценке прибыльности финан- совых сделок. Владение методами финансовых вычислений необ- ходимо не только работникам, специализирующимися в области управлении финансами, но и другим специалистам, в круг задач ко- торых входит расчет и оценка различных параметров для определе- ния эффективности финансовых и инвестиционных решений. В современной Беларуси осознана потребность в овладении методикой финансовых расчетов. В связи с этим во многих эконо- мических вузах Республики Беларусь в рамках различных дисци- плин изучаются отдельные темы и проблемы, которые можно отне- сти к финансовым вычислениям. Приемы финансовых вычислений достаточно просты, они не требуют углубленных математических познаний, но владение ими может обеспечить поддержку принятия финансовых решений. Любая финансовая, кредитная или коммерческая операция пред- полагает совокупность условий, согласованных ее участниками. К таким условиям относятся: сумма кредита, займа или инвестиций, цена товара, сроки, способы начисления процентов и погашения долга и т. д. Совместное влияние многих факторов на финансовую операцию делает ее конечный результат неочевидным и при этом игнорирование какого-либо из них может привести к нежелатель- 6 ным финансовым последствиям для одной и участвующих сторон. Для его оценивания необходим специальный количественный ана- лиз. В предлагаемом учебно-методическом пособии рассматрива- ются основы финансовых расчетов: простые и сложные проценты при использовании процентных и учетных ставок; процессы нара- щения и дисконтирования; методики погашения кредитов; финан- совые ренты (аннуитет); основные показатели для оценки эффек- тивности инвестиционных проектов. Теоретический материал рас- сматривается на конкретных примерах, что позволяет раскрыть не только математическую форму, но и экономическую сущность принимаемых финансовых решений. Результаты расчетов позволят выбрать оптимальный вариант вложения денег и взятия кредита, а также принять обоснованные решения по эффективному управ- лению финансами предприятия. Так как недвижимость как товар отличается высокой капитало- емкостью, то сделки с объектами недвижимости – это не обычное перемещение и конечное потребление товара, а движение капитала, приносящего доход. Осуществление сделок с недвижимостью все- гда связано с аккумулированием финансовых ресурсов, а также привлечением заемного капитала, поэтому необходимо выполнение финансовых расчетов, дающих основание для принятия решения о целесообразности и эффективности их проведения. Сделки с объ- ектами строительства содержат все элементы инвестиционного процесса и требуют определения срока, размера и формы вложения, а также уровня риска. Поэтому базовые знания финансовых вычис- лений необходимы будущим специалистам специальности 1-70 02 02 «Экспертиза и управление недвижимостью» и направления специ- альности 1-27 01 01-17 «Экономика и организация производства (строительство)», для которых предназначено данное пособие. Оно включает теоретический и практический материал. Автор в настоящем пособии стремился кратко изложить основ- ные, с его точки зрения, положения теории и практики финансовых вычислений. Следует отметить, что формализованные методы, рас- смотренные в пособии и другой аналогичной литературе, не являют- ся панацеей от возможных негативных последствий принятых с их помощью решений финансового характера. Однако овладение ими нередко позволяет избежать многих ошибок и недоразумений при заключении финансовых сделок и проведении финансовых операций. 7 Материал систематизирован и объединен в отдельные крупные темы, которые разбиты на параграфы. Пособие включает в себя пять основных разделов, соответствующих пяти основным темам: 1. Сущность финансовых вычислений и процентных платежей. 2. Наращение по простой и сложной процентной ставке. 3. Дисконтирование по простой и сложной процентной ставке. 4. Погашение кредита. 5. Оценка эффективности финансовых и инвестиционных решений. Параграфы имеют идентичную структуру: краткое изложение необходимого теоретического материала и приведение основных формул, решение типовых задач, что позволяет использовать его не только для проведения практических занятий, но и для организации самостоятельной учебной работы студентов. Успешное усвоение дисциплины дает возможность студенту приобрести определенные навыки в области финансовых расчетов. Финансовая практика многообразна и непрерывно меняется с учетом различных ограничений, особых обстоятельств, конкрет- ных и исключительных правил осуществления различных платежей, условий начисления процентов. Целью настоящего пособия явля- ется не охватывание всех возможных случаев, а ознакомление с ос- новными общепринятыми направлениями финансово-математи- ческого анализа, применяемыми в данной области математическим аппаратом. 8 1. СУЩНОСТЬ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ И ПРОЦЕНТНЫХ ПЛАТЕЖЕЙ В практических финансовых операциях суммы денег обязательно связываются с некоторыми конкретными моментами или интервала- ми времени. Для этого в контрактах фиксируются соответствующие сроки, даты, периодичность поступлений денежных средств или их выплат. Необходимость учета фактора времени определяется принципом неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени, или, по-другому, принципом изменения ценности денег во времени. Даже в условиях отсутствия инфляции и риска опреде- ленная сумма денежных средств сегодня не равноценна аналогичной сумме через какое-то время. Неравноценность определяется тем, что теоретически любая сумма денег может быть инвестирована и при- нести доход. Поступившие доходы в свою очередь могут быть реин- вестированы и т. д. Поэтому принимать управленческие решения, эффективные во временном аспекте, следует исходя из того, что се- годняшние деньги ценнее будущих, а будущие поступления менее ценны, чем текущие. Следствием принципа «неравноценности» явля- ется неправомерность суммирования денежных величин, относящих- ся к разным моментам времени. Подобного рода суммирование допу- стимо лишь там, где фактор времени не имеет значения. Основные причины отличия денег в разные периоды времени: 1. Инфляция, что означает обесценивание денег и соответствен- но рост цен. Инфляция присуща практически любой экономике. Постоянное обесценивание денег, происходящее в условиях инфля- ции, вызывает, с одной стороны, естественное желание их куда- либо вложить, то есть в известной мере стимулирует инвестицион- ный процесс, а с другой стороны отчасти объясняет, почему разли- чаются деньги, имеющиеся в наличии и ожидаемые к получению. 2. Риск неполучения ожидаемой суммы. Любой договор, согласно которому в будущем ожидается поступление денежных средств, име- ет вероятность быть неисполненным или исполненным частично. 3. Оборачиваемость. Денежные средства, как любой актив, должны с течением времени генерировать доход, приемлемый для владельца денежных средств. Это правило базируется на том, что денежные средства, которыми можно распоряжаться сегодня, должны быть направлены на конкретное дело, развитие производства, покупку 9 ценных бумаг, депозиты в банках. Тем самым они способны зарабо- тать новые деньги, принести дополнительные доходы. Отсрочка «деятельности денег» означает временное их бездействие, что при- носит потери от нереализованных возможностей. Теория процентных ставок основывается на оценке простейших финансовых операций. В общем случае простейшая финансовая операция представляет собой однократное предоставление в долг некоторой суммы P с последующим возращением одним платежом большей суммы S через некоторое время T. С помощью данных па- раметров существует возможность графической интерпретации прос- тейшей финансовой операции (рис. 1.1). В различных источниках можно встретить обозначение P как PV (англ. Present Value – теку- щая стоимость), а S как FV (англ. Future Value – будущая стоимость). Рис. 1.1. Графическая интерпретация простейшей финансовой операции Простейшая финансовая операция подразумевает участие в ней двух лиц: – кредитора – лица, предоставляющего в долг финансовые сред- ства (денежные средства или другие активы); – дебитора (заемщика, должника) – лица, получающего финан- совые средства в свое распоряжение для временного использования на условиях возвратности, платности и срочности. Возвратность предполагает, что переданные в долг ценности в оговоренной заранее форме (кредитном соглашении), чаще всего денежной, будут возвращены кредитору. Принцип платности озна- чает, что заемщик должен внести определенную единовременную плату за пользование кредитом или оплатить в течение оговоренно- го срока. Срочность – форма обеспечения возвратности кредита, означает, что ссуда должна быть не просто возвращена, а возвраще- 10 на в строго оговоренный в кредитном соглашении срок, в котором разрабатывается график погашения кредита и уплаты процентов. Цель кредитора состоит в максимизации прибыли от финансо- вой операции, в то время как цель дебитора – в минимизации рас- ходов по обслуживанию заемных ресурсов. В связи с этим суще- ствует необходимость разработки математического аппарата для количественной оценки кредитной операции. Владелец капитала, предоставляя его на определенное время в долг, рассчитывает на получение дохода от этой сделки. Результа- тивность подобной сделки может быть охарактеризована либо с по- мощью абсолютного показателя прироста Δ = S – P, либо путем расчета некоторого относительно показателя. Абсолютные показа- тели чаще всего не подходят для подобной оценки ввиду их несопо- ставимости в пространственно-временном аспекте, поэтому поль- зуются специальным коэффициентом – ставкой. Процентная ставка характеризует доходность финансовой сделки. Она показывает, какая доля от суммы выданного кредита будет воз- вращена владельцу капитала в виде дохода. Она измеряется в виде дроби или в процентах. С помощью процентной ставки учитывается фактор времени в финансовой сфере. Процентную ставку также ча- сто используют в качестве уровня (нормы) доходности производи- мых операций, исчисляемого как отношение полученной прибыли к величине вложенных средств. В большинстве случаев начисление процентов производится с помощью дискретных процентов, то есть в качестве периодов начисления процентов берутся год, полугодие, квартал, месяц, определенное количество дней. В некоторых случа- ях используется ежедневное начисление. Если проценты начисляются в конце расчетного периода, при этом за базу принимается первоначальная сумма, то такой метод начисления процентов называется декурсивным (последующим). В данном случае применяются традиционные процентные ставки. Если проценты начисляются в начале расчетного периода, а за базу принимается сумма погашения долга, то такой метод начисления процентов называется антисипативным (предварительным). В этом случае применяются учетные ставки. Соответственно процентная ставка рассчитывается отношением приращения исходной суммы к базовой величине, в качестве которой можно взять либо P, либо S. Таким образом, ставка рассчитывается по одной из формул: 11 ;S Pi Pn  (1.1) .S Pd Sn  (1.2) В финансовых вычислениях разность S – P называется процен- том I. Это величина дохода от предоставления в долг денежной суммы P. Показатель i называется процентной ставкой, показа- тель d – учетной. Ставки взаимосвязаны. Еще одно отличие в методах начисления процентов – это установ- ление процентной ставки в качестве фиксированной или переменной величины. Так, например, в контракте может быть определена про- центная ставка на первый год в одном размере, а на последующие годы предусматривается ее рост или снижение на определенную величину. Кроме того, могут использоваться «плавающие» ставки, величина которых привязывается к темпам инфляции или изменя- ющимся ставкам рефинансирования или ее изменение оговаривает- ся какими-то другими условиями. Процесс, в котором заданы исходная сумма и ставка, в финансо- вых вычислениях называется процессом наращения, искомая величи- на – наращенной суммой или наращенной стоимостью, а используе- мая в операции ставка – ставкой наращения. В этом случае речь идет о движении стоимости от настоящего к будущему. Наращение стои- мости – процесс приведения настоящей стоимости денег к их буду- щей стоимости в определенном периоде путем присоединения к их первоначальной сумме начисленной сумме процентов или S = P + I. Иллюстрация процесса наращения представлена на рис. 1.2. Рис. 1.2. Процесс наращения НАСТОЯЩЕЕ Текущая (исходная) сумма Возвращаемая сумма (наращенная величина) БУДУЩЕЕ Наращение 12 Процесс, в котором заданы сумма и ставка, ожидаемые в буду- щем к получению, называется процессом дисконтирования, искомая величина – приведенной (дисконтированной) суммой, а используемая в операции ставка – ставкой дисконтирования. В этом случае идет движение стоимости от будущего к настоящему. Дисконтирование стоимости – процесс приведения будущей стоимости денег к их на- стоящей стоимости путем изъятия из их будущей суммы соответст- вующей суммы процентов (называемой «дисконтом») или P = S – D. Иллюстрация процесса наращения представлена на рис. 1.3. Рис. 1.3. Процесс дисконтирования Процентные и учетные ставки решают одни и те же задачи: определяют степень доходности при наращении денежных величин или размеры дисконтированных сумм. В финансовой практике часто возникают ситуации, когда необ- ходимо заменить одно обязательство другим, например, с более от- даленным сроком платежа, досрочно погасить задолженность, объ- единить несколько платежей в один, изменить схему начисления процентов и т. п. Изменение условий контракта основывается на принципе финансовой эквивалентности обязательств, который позволяет сохранить баланс интересов сторон контракта. Этот прин- цип предполагает неизменность финансовых отношений до и после изменения условий контракта. В связи с этим возможен выбор таких процентных и учетных ставок, при использовании которых финансовые последствия окажутся равноценными. Ставки, обес- печивающие равноценность финансовых последствий, называются эквивалентными. То есть при замене одной процентной ставки на другую отношения сторон не изменяются в рамках одной финан- совой операции. НАСТОЯЩЕЕ Дисконтированная (текущая) величина БУДУЩЕЕ Ожидаемая к поступ- лению сумма Дисконтирование 13 2. НАРАЩЕНИЕ ПО ПРОСТОЙ И СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКЕ По условиям кредитного контракта процентные деньги (доход) могут выплачиваться кредитору или по мере их начисления в каж- дом периоде, или с основной суммой долга по истечении срока кон- тракта. Соответственно различие сводится к определению исходной суммы (базы), на которую начисляются проценты, то есть эта сумма может оставаться постоянной в течение всего периода или менять- ся. В зависимости от этого различают следующие способы начис- ления процентов: по простым и сложным процентным ставкам. 2.1. Простая процентная ставка Проценты называются простыми, если базой для их начисления служит первоначальная сумма на протяжении всего срока кредита. Величина процентного дохода ,I Pni (2.1) где P – сумма капитала, предоставляемого в кредит; n – срок кредита, г.; i – процентная ставка, выраженная десятичной дробью. Формула определения наращенной суммы и использования про- стых процентов (формула простых процентов)  1 ,S P I P Pni P ni      (2.2) где S – наращенная сумма. Пример 1. Банк выдал кредит в размере 6000 руб. со сроком на 1,5 года по ставке простых процентов, равной 12 % годовых. Опре- делить сумму накопленного долга (наращенную сумму) и величину процентного платежа (дохода). Решение. По условию P = 6000 руб.; i = 0,12; n = 1,5 года. Опре- делим величину процентного платежа по формуле (2.1): I = 6000  1,5  0,12 = 1080 руб. 14 Тогда наращенная сумма составит S = 6000 + 1080 = 7080 руб. Для расчета суммы долга можно воспользоваться формулой (2.2): S = 6000(1 + 1,5  0,12) = 7080 руб. Вывод. Сумма накопленного долга составит 7080 руб., процент- ный платеж за пользование кредитом – 1080 руб. Если увеличить ставку в два раза (i = 0,24), сумма процентов удвоится (I = 2160 руб.), а наращенная сумма S увеличится лишь в 1,15 раз. При использовании простых процентов, когда срок финансовой сделки равен не целому числу лет, а количеству дней, то и длитель- ность года также измеряется в днях. В этом случае периоды начис- ления процентов выражают дробным числом, то есть как отноше- ние числа дней функционирования сделки к числу дней в году: ,tn K  (2.3) где t – число дней функционирования сделки (число дней, на кото- рое предоставляется кредит); K – временная база (число дней в году). В этом случае формула простых процентов примет вид 1 .tS P i K      (2.4) Величину K называют временной базой для расчета процентов. Она может быть равной фактической продолжительности года – 365 или 366 дням (точные проценты) или приближенной, равной 360 дням (обыкновенные проценты), когда принимается 12 месяцев по 30 дней. Значение числа дней ссуды может также определяться точно или приближенно, когда продолжительность любого месяца 15 принимается за 30 дней. Во всех случаях дата выдачи ссуды и дата ее погашения считается за один день (вариациями данного правила являются следующие: день выдачи кредита учитывается, день по- гашения не считается, и наоборот). В зависимости от выбранного периода начисления различают три способа процентных расчетов: 1. Точные проценты с точным числом дней функционирования сделки (английская практика (365/365)). При этом методе определя- ется фактическое число дней (t) между двумя датами (датой полу- чения и погашения кредита), K = 365 (366) дней. 2. Обыкновенные проценты с точным числом дней функциони- рования сделки (французская практика (365/360)): величина t рас- считывается, как и в предыдущем случае, а K = 360 дней. 3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней функ- ционирования сделки (немецкая практика (360/360)): величина t определяется исходя из продолжительности месяцев по 30 дней в каждом, K = 360 дней. Применяется, когда не требуется большой точности. Коммерческие банки могут самостоятельно выбирать методику расчета продолжительности финансовой операции. Причем в одном и том же банке для различных типов операций применяются разные практики. При этом в кредитных операциях обычно используется немецкая практика, в депозитных – английская. Пример 2. Банк выдал кредит 20 января в размере 1000 руб. Срок возврата кредита 7 марта. Процентная ставка установлена 16 % годовых (проценты простые). Год невисокосный. Рассчитать наращенную сумму, подлежащую возврату, тремя способами: 1) точ- ные проценты с точным числом дней функционирования сделки; 2) обыкновенные проценты с точным числом дней функционирова- ния сделки; 3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней функционирования сделки. Решение. По условию: P = 1000 руб.; i = 0,16 %. Наращенную сумму долга определим тремя способами с использованием форму- лы (2.4): 1. Точные проценты с точным числом дней функционирования сделки (английская практика): 16 t = (31 − 19) + 28 + 7 – 1 = 46 дней; K = 365 дней; 461000 1 0,16 1020,16 365 S        руб. 2. Обыкновенные проценты с точным числом дней функциони- рования сделки (французская практика): t = (31 − 19) + 28 + 7 – 1 = 46 дней; K = 360 дней; 461000 1 0,16 1020,44 360 S        руб. 3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней функ- ционирования сделки (немецкая практика): t = (30 − 19) + 30 + 7 – 1 = 47 дней; K = 360 дней; 471000 1 0,16 1020,89 360 S        руб. Вывод. Наращенная сумма долга по точным процентам с точным числом дней составит 1020,16 руб.; обыкновенным процентам с точным числом дней – 1020,44 руб.; обыкновенным процентам с приближенным числом дней – 1020,89 руб. Как видно, результат финансовой операции во многом зависит от выбора способа начисления простых процентов. Поскольку точное число дней в большинстве случаев больше приближенного числа дней, то и проценты с точным числом дней ссуды обычно получа- ются выше процентов с приближенным числом дней ссуды. В любой простейшей финансовой операции всегда присутствуют четыре величины: первоначальная сумма P, наращенная сумма S, про- центная ставка i и время n. Как правило, в финансовых контрактах обязательно фиксируются сроки, даты, периоды начисления процен- тов. Однако бывают ситуации, когда срок финансовой операции прямо 17 в условиях финансовой сделки не оговорен или неизвестна процентная ставка. В таких случаях неизвестный параметр находится из соответ- ствующего соотношения. Исходя из формулы (1.1) или (2.2) ;S Pi Pn  (2.5) .S Pn Pi  (2.6) При условии неравности срока финансовой сделки целому числу лет, исходя из формулы (2.3) ;S Pi K Pt  (2.7) .S Pt K Pi  (2.8) Пример 3. В контракте предусмотрено погашение обязательства на сумму 2200 руб. через 100 дней. Определить доходность ссудной операции для кредитора (простую ставку ссудного процента), если выдан кредит в 2000 руб. (K = 365 дней). Решение. По условию S = 2200 руб.; P = 2000 руб.; n = 100 дней; K = 360 дней. По формуле (2.7) находим: 2200 2000 360 2000 100 i   = 0,36 или 36 %. Вывод. Доходность сделки составляет 36 %. Пример 4. Определить период начисления, за который первона- чальный капитал в 3000 руб. вырастет до 4000 руб., если использует- ся простая ставка ссудного процента 50 % годовых (K = 360 дней). Решение. По условию P = 3000 руб.; S = 4000 руб.; i = 0,5; K = 360 дней. По формуле (2.8) находим 18 4000 3000 360 3000 0,5 t   = 240 дней. Вывод. Первоначальный капитал увеличится через 240 дней. В условиях финансовой операции иногда предусматриваются дискретно изменяющиеся во времени процентные ставки. Процент- ная ставка называется переменной, если она изменяет свое значе- ние в течение срока финансовой операции. Пусть в течение пери- ода n1 процентная ставка равна i1, в течение периода n2–i2 и т. д., то есть в течение периода nk–ik. Тогда наращенная сумма за период n = n1 + n2 + … + nk в схеме простых процентов  1 1 2 2 1 1 ... 1 , t t t k k k S P n i n i n i P n i            (2.9) где t – число периодов начисления процентов; nk – продолжительность начисления ставки ik; ik – процентная ставка в периоде k. Пример 5. Банк предлагает вкладчикам следующие условия по срочному годовому депозиту: первое полугодие процентная ставка составляет 15 % годовых, каждый следующий квартал ставка воз- растает на 0,5 %. Проценты начисляются только на первоначально внесенную сумму вклада. Определить наращенную за год сумму, если вкладчик поместил в банк на этих условиях 800 руб. Решение. По условию P = 800 руб.; i1 = 0,15; i2 = 0,155; i3 = 0,16; n1 = 0,5 года; n2 = n3 = 0,25 года. Определим наращенную за год сумму с учетом условий начисления процентов для каждого из трех периодов по формуле (2.9): S = 800(1 + 0,5  0,15 + 0,25  0,155 + 0,25  0,16) = 923 руб. Вывод. Итоговая наращенная за год сумма составит 923 руб. 19 2.2. Учетная ставка простых процентов Как указывалось ранее, существует и другой способ начисления процентов, когда проценты начисляются в начале расчетного пери- ода и при этом за базу принимается сумма погашения долга, то есть наращенная сумма, полученная в конце периода, считается величи- ной получаемого кредита (ссуды), которую заемщик обязан вер- нуть. Получает он сумму, меньшую на величину процентного дохо- да кредитора. Таким образом, процентный доход (дисконт) начис- ляется и выплачивается в момент предоставления кредита, то есть остается у кредитора. В этом случае применяется не процентная, а учетная ставка (d), то есть используется антисипативный (пред- варительный) метод. Если срок кредита состоит из n лет, то общая сумма процентных денег (дисконт) .D Snd (2.10) Следовательно, сумма выдаваемого кредита (с учетом выплаты процентных денег)  1 .P S D S Snd S nd      (2.11) Соответственно расчет наращенной суммы (сумма получаемого кредита) производится: . 1 PS nd   (2.12) Если срок финансовой сделки не равен целому числу лет, то пе- риоды начисления процентов выражают дробным числом. Формула расчета наращенной суммы приобретает вид . 1 PS t d K   (2.13) 20 Пример 6. Клиент обратился в банк за кредитом в сумме 4000 руб. на срок 270 дней (K = 360 дней). Банк согласен предоставить кредит на следующих условиях: проценты в размере 14 % годовых должны быть выплачены из суммы предоставляемого кредита в момент его выдачи. Определить сумму, которую получит клиент. Решение. Условия, предложенные банком, указывают на исполь- зование антисипативного метода начисления процентов: S = 4000 руб.; d = 0,14; t = 270 дней; K = 360 дней. Рассчитаем величину дисконта: 2704000 0,14 420 360 D     руб. Следовательно, сумма полученного кредита P = 4000 – 420 = 3580 руб. На основании формулы (2.13) определим сумму долга, подле- жащую погашению (проверка): 3580 40002701 0,14 360 S     руб. Если бы по исходным данным проценты начислялись по простой процентной ставке, то наращенная сумма оказалась бы ниже: 2703580 1 0,14 3955,9 360 S        руб. Вывод. Сумма полученного клиентом банка кредита составит 3580 руб. Простая учетная ставка дает более быстрый рост наращенной суммы, чем аналогичная по величине ставка простых процентов. Учетные ставки обычно применяются при определении процент- ных денег при покупке (учете) банком денежных обязательств (на- 21 пример, векселей1 до срока их погашения), а также финансовых ин- струментов долгового характера. Банк до наступления платежа по векселю покупает его у предъявителя по цене, меньшей номиналь- ной2. Доходом банка от такой операции (дисконт) является разность между суммой по векселю и ценой его покупки. Фактически, учет- ная ставка в данном случае – это цена, взымаемая за приобретение обязательства до наступления срока уплаты. Если необходимо определить срок ссуды или размер процентной ставки при всех прочих равных условиях, то .S Pn Sd  (2.14) .S Pd Sn  (2.15) При условии неравности целому числу лет сроке финансовой сделки ;S Pd K St  (2.16) .S Pt K Sd  (2.17) Пример 7. Рассчитать учетную ставку, которая обеспечит полу- чение 1700 руб., если сумма в 2000 руб. выдается на полгода. Решение. По условию S = 2000 руб.; P = 1700 руб.; n = 0,5. По формуле (2.15) находим 2000 1700 0,3 2000 0,5 d   или 30 %. Вывод. Доходность сделки составляет 30 %.                                                              1 Вексель – письменное денежное обязательство, дающее владельцу векселя право на получение от должника определенной в ней суммы. 2 Номинальная стоимость – цена, определяемая эмитентом при выпус- ке облигации, векселя либо банкноты или монеты. 22 Пример 8. Ссуду в 4500 руб. выдают по учетной ставке в 19 % годовых. Заемщику выдается 3800 руб. Определить срок ссуды в днях при K = 360 дней. Решение. По условию S = 4500 руб.; P = 3800 руб.; d = 0,19; K = 360 дней. По формуле (2.17) находим 4500 3800 360 295 4500 0,19 t    дней. Вывод. Срок ссуды составляет 295 дней. 2.3. Эквивалентность простой ставки процентов и простой учетной ставки при начислении процентов один раз в год Для нахождения значений эквивалентных процентных ставок следует составить уравнение эквивалентности. В выражениях для расчета наращенных сумм при использовании простых процентных и простых учетных ставок  1S P ni   и 1 1 S P nd    при равен- стве S S   и P P   очевидно будут равны и множители нараще- ния, то есть   11 . 1 ni nd    Решив это уравнение относительно i или d, получим выражение, отражающее эквивалентность ставок. Этот принцип используется при расчете всех эквивалентных ставок: ; 1 di nd   (2.18) . 1 id ni   (2.19) Пример 9. Определить значение учетной ставки, эквивалентной ставке простых процентов 12 % годовых, при сроке ссуды один год. Решение. По условию i = 0,12; n = 1 год. По формуле (2.19) находим 0,12 0,1071 1 1,0 0,12 d    или 10,71 %. 23 Проверим. Предположим, что P = 1000 руб.; i = 0,12; d = 10,71; n = 1 год. Тогда наращенная сумма составит S = 1000(1 + 1,0  0,12) = 1120 руб.; 1000 1120 1 1,0 0,1071 S    руб. Вывод. Учетная ставка составляет 10,71 % при ставке простых процентов в 12 %. 2.4. Сложная процентная ставка Начисления по сложным процентам заключается в том, что в первом периоде начисление производится на первоначальную сумму кредита, затем она суммируется с начисленными процента- ми, и в каждом последующем периоде проценты начисляются на уже наращенную сумму, то есть она включает в себя как исходную сумму сделки, так и сумму уже накопленных к этому времени про- центов. Таким образом, база для начисления процентов постоянно меняется. Иногда этот метод называют «процент на процент». Про- цесс наращения капитала в этом случае происходит с ускорением. Он описывается геометрической прогрессией. При начислении про- центов на уже наращенные в предыдущем периоде суммы происхо- дит многоразовое наращение, называемое реинвестированием, или капитализацией процентного дохода. Различают годовую капита- лизацию (процентный платеж начисляется и присоединяется к ра- нее наращенной сумме в конце года), полугодовую, квартальную, месячную и ежедневную. Наращенная сумма за весь период может быть получена как сумма членов геометрической прогрессии, первый член которой равен Р, а знаменатель – (1 + i). Наращенная за п лет сумма при начислении сложных процентов определяется (формула сложных процентов):  1 ,nS P i  n = 1, 2, 3… (2.20) 24 Механизм многоразового наращения начали использовать аме- риканские банки в период законодательного ограничения верхнего предела депозитной ставки, для того чтобы обеспечить своим кли- ентам более привлекательные условия. Так формализованное выра- жение данного процесса получило название капитализации, а мате- матическая база – сложных процентов. Пример 10. Вкладчик внес в банк 1000 руб. под 15 % годовых. Определить наращенную сумму через три года. Расчет произвести по сложной и простой ставке процентов. Решение. По условию P = 1000 руб., i = 0,15; n = 3. По формуле (2.22) определим сумму наращения по сложной ставке процентов: S = 1000(1 + 0,15)3 = 1521 руб. Для определения суммы наращения по простой ставке использу- ем формулу (2.2): S = 1000(1 + 3  0,15) = 1450 руб. Вывод. Наращенная за три года сумма на условиях годовой ка- питализации составит 1521 руб., без капитализации – 1450 руб. Примечание. В MS Excel наращенная сумма по схеме сложных процентов вычисляется с помощью функции БС (ставка; кпер; плт; пс; тип). Если в кредитных сделках, изменяющихся во времени, но зара- нее фиксированных для каждого периода, используются ставки сложных процентов, наращенная сумма вычисляется      1 21 21 1 ... 1 ,knn n kS P i i i      (2.21) где ik – процентная ставка в периоде k; nk – продолжительность начисления ставки ik. Пример 11. Заемщик получил кредит в банке на сумму 8000 руб. сроком на четыре года, процентная ставка по кредиту определена 25 в 11 % для первого года, для второго предусмотрена надбавка к про- центной ставке в размере 1 %, для третьего – 0,5 % и такая же процент- ная ставка для четвертого года (проценты сложные). Определить сум- му долга, подлежащую погашению по истечении всего срока займа. Решение. По условию P = 8000 руб.; i1 = 0,11; i2 = 0,12; i3 = 0,125; n1 = n2 = 1 год; n3 = 2 года. С учетом изменяющихся процентных ставок по формуле (2.21) определим наращенную за весь срок сум- му долга: S = 8000(1 + 0,11)1 (1 + 0,12)1 (1 + 0,125)2 = 12587,4 руб. Вывод. Сумма долга, подлежащая погашению по истечении все- го срока кредита, составит 12587,4 руб. Нередко срок финансовой сделки выражен дробным числом и в подобных случаях начисление сложных процентов может выпол- няться двумя методами: – по формуле сложных процентов:  1 ;a bS P i   (2.22) – смешанным методом, где используется схема сложных процен- тов для целого числа лет и схема простых процентов для дробной части года:    1 1 ,aS P i bi   (2.23) где а – целое число лет; b – дробная часть года; n = а + b – период сделки. Так как b < 1, то при сравнении множителей наращения простых и сложных процентов (1 + bi) > (1 + i)b можно сделать вывод о том, что наращенная сумма по смешанному методу будет больше. Пример 12. Клиент внес в банк 3000 руб. под 11 % годовых. Че- рез 2 года и 270 дней он изъял вклад. Определить полученную им сумму при использовании банком сложных процентов и смешанно- го метода (K = 360 дней). 26 Решение. По условию P = 3000 руб.; i = 0,11; а = 2 года; 270 3 360 4 b   года. На основании формул (2.22) и (2.23) определим наращенную сумму вклада: – по формуле сложных процентов:   32 43000 1 0,11 3997,23S    руб.; – смешанным методом:  2 3300 1 0,11 1 0,11 4001,25 4 S         руб. Вывод. Наращенная сумма вклада при использовании банком сложных процентов составит 3997,23 руб., смешанный метод начис- ления процентов в условиях капитализации процентного дохода приведет к наращению в сумме 4001,25 руб. При этом проценты по смешанному методу будут больше. 2.5. Номинальная и эффективная годовая процентная ставка Различные виды финансовых контрактов могут предусматривать различные схемы начисления процентов – полугодовую, кварталь- ную, ежемесячную или другой период времени, то есть проценты начисляются несколько раз в году. Однако эти ставки не могут быть использованы для сопоставлений различных контрактов. На прак- тике в контрактах обычно фиксируется не «реальная» ставка начис- ления процентов за период, а указывается годовая процентная став- ка, которая называется номинальной, с указанием начисления про- центов. Например, 20 % годовых с поквартальным начислением процентов. Это значит, что 20 % и есть номинальная ставка, где «реальная» ставка составляет 5 %. Расчет номинальной ставки ос- новывается на определении темпа прироста первоначальной суммы на каждом отдельном интервале. При увеличении числа периодов начисления процентов возрастает темп процесса наращения. 27 Таким образом, номинальная ставка – это годовая ставка, исходя из которой определяется «реальная» ставка начисления процентов за соответствующий период. Пусть годовая ставка равна j, срок фи- нансовой операции n лет, а число периодов начисления процентов в году равно m. Тогда в каждом периоде длиной 1/m часть года про- центы начисляются по ставке j/m, количество начислений при этом составит N = mn. Для начисления процентов т раз в году использу- ется формула 1 , mn n jS P m      m ≥ 1. (2.24) Пример 13. Депозит в размере 8000 руб. внесен в банк на два года под 12 % годовых (сложные проценты). Определить наращен- ную сумму при условии, что начисление процентов производится: 1) один раз в год; 2) по полугодиям; 3) ежеквартально; 4) ежемесячно. Решение. По условию P = 8000 руб.; j = 0,12; n = 2 года; m = 2, 4, 12 раз в год. На основании формул (2.20) и (2.24) определим на- ращенную сумму вклада: 1) при начислении процентов один раз в год: S = 8000(1 + 0,12)2 = 10035,2 руб.; 2) начислении процентов два раза в год (по полугодиям): 2 20,128000 1 10099,82 2 S       руб.; 3) начислении процентов четыре раза в год (по кварталам): 4 20,128000 1 10134,16 4 S       руб.; 4) начислении процентов 12 раз в год (по месяцам): 12 20,128000 1 10157,88 12 S       руб. 28 Вывод. Наращенная за два года сумма при начислении сложных процентов один раз в год составит 10035,2 руб.; начислении два ра- за в год – 10099,82 руб.; ежеквартальном – 10134,16 руб.; ежеме- сячном – 10157,88 руб. Можно заметить, что чем больше раз в году начисляются про- центы, тем больше наращенная сумма и, как следствие, процент- ные деньги. Для того чтобы обеспечить сравнительный анализ эффективно- сти различных видов контрактов, необходимо выбрать некий пока- затель, который был бы универсальным для любой схемы начисле- ния. Таким показателем является эффективная годовая процентная ставка iэф., обеспечивающая переход от P к S при заданных значения этих показателей и однократном начислении процентов и измеря- ющая тот «реальный» относительный доход, который получен в целом за год с учетом внутригодовой капитализации. Эффектив- ная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в году по ставке j/m. Равенство наращенных сумм будет обеспечено в том случае, если равны первоначальные суммы Р, периоды нара- щения п и множители наращения, то есть  эф1 1 .mnn ji m      Отсюда эф 1 1; mji m       (2.25)   1эф1 1 ,mj m i       (2.26) Эффективная ставка является критерием эффективности финан- совой сделки и может быть использована для пространственно- временных сопоставлений. Ее значение позволяет сравнивать меж- ду собой финансовые операции, имеющие различные условия. Чем 29 выше эффективная ставка финансовой операции, тем она выгоднее для кредитора (при прочих равных условиях). Пример 14. Клиент решил положить 2000 руб. в банк. Один банк предлагает начислять сложные проценты по номинальной ставке в 20 % годовых по полугодиям, второй – в 19 % годовых ежекварталь- но. В какой из банков целесообразнее клиенту положить свой вклад. Решение. По условию P = 2000 руб., m1 = 2; m2 = 4; j1 = 20 %; j2 = 19 %. В соответствии с (2.25) для первого банка имеем 2 эф.1 0,201 1 0,21 2 i        или 21 % годовых. Для второго банка 4 эф.2 0,191 1 0,204 4 i        или 20,4 % годовых. Вывод. Таким образом, годовая ставка, эквивалентная номиналь- ной ставке 20 % годовых при начислении процентов по полугодиям, составит 21 % против 20,4 % с ежеквартальным начислением про- центов. Соответственно клиенту целесообразнее положить вклад в первый банк. Пример 15. Определить номинальную ставку процентов при еже- месячном начислении процентов, которая даст эффективность фи- нансовой операции в 10 %. Решение. По условию iэф. = 10 %. Номинальная ставка равна (формула (2.26)):   11212 1 0,1 1 0,0957j        или 9,57 %. Вывод. Номинальная ставка 9,57 % обеспечивает годовую до- ходность 10 %. Примечание. В MS Excel cложная процентная ставка определя- ется с помощью функции СТАВКА (кпер; плт; пс; бс; тип), номи- 30 нальная ставка вычисляется с помощью функции НОМИНАЛ (эф- фективная_ставка; кол_пер), а эффективная ставка – с помощью функции ЭФФЕКТ (номинальная_ ставка; кол_пер). Возможны финансовые контракты, в которых начисление про- центов осуществляется по внутригодовым периодам, а продолжи- тельность общего периода действия контракта не равна целому чис- лу лет. В этом случае также возможно использование двух методов: – по формуле сложных процентов: 1 ; a bjS P m      (2.27) – смешанным методом: 1 1 . aj jS P b m m             (2.28) Пример 16. Используя исходные данные примера 12, рассчитаем сумму, полученную клиентом при использовании сложных процентов и смешанного метода при ежеквартальном начислении процентов. Решение. По условию P = 3000 руб.; i = 0,11; m = 4; а = 2 года; 270 3 360 4 b   года. На основании (2.27) и (2.28) определим наращен- ную сумму вклада: – по формуле сложных процентов: 32 40,113000 1 3232,37 4 S       руб. – смешанным методом: 20,11 3 0,113000 1 1 3232,59 4 4 4 S               руб. 31 Вывод. Наращенная сумма вклада при использовании банком сложных процентов составит 3232,37 руб., смешанный метод на- числения процентов в условиях капитализации процентного дохода приведет к наращению в сумме 3232,59 руб. 2.6. Учетная ставка сложных процентов В общем виде формула наращенной суммы на основе сложных антисипативных процентов может быть записана в виде   .1 n PS d   (2.29) При наращении сложных процентов по учетной ставке несколь- ко раз в году наращенная сумма определяется , 1 mn PS f m      (2.30) где f – номинальная учетная ставка. Эффективная учетная ставка во всех случаях, когда m > 1, мень- ше номинальной. Пример 17. Кредит в размере 2500 руб. выдан на два года. По условиям договора проценты начисляются по сложной учетной ставке в 14 % годовых. Определить наращенную сумму при условии, что наращение производится: 1) один раз в год; 2) два раза в год. Решение. По условию P = 2500 руб.; d = 0,14; j = 0,14; n = 2 года; m = 2 раза в год. На основании (2.29) и (2.30) определим нара- щенную сумму долга с использованием учетной ставки сложных процентов: 1) при начислении процентов один раз в год:  2 2500 3380,21 1 0,14 S   руб.; 32 2) два раза в год: 2 2 2500 3342 0,141 2 S      руб. Вывод. Наращенная за два года сумма при начислении сложных антисипативных процентов один раз в год составит 3380,21 руб., два раза в год – 3342 руб. 2.7. Эквивалентность простых и сложных процентных ставок при начислении один раз в год Для определения эквивалентных значений простых и сложных процентных ставок составим уравнение эквивалентности, исходя из того, что Sпр = Sсл и Pпр = Pсл:    пр сл1 1 .nni i   Отсюда  сл пр 1 1 ; ni i n   (2.31)  сл пр1 1.ni ni   (2.32) Пример 18. Ссуда выдана на 1,5 года под 12 % годовых (процен- ты простые). Необходимо определить эквивалентную ей ставку сложных процентов. Решение. По условию iпр = 12 %; n = 1,5 лет. По формуле (2.32) находим   11,5сл 1 1,5 0,12 1 0,1167i      или 11,67 %. 33 Проверим результат:  1,5 пр 1 0,1167 1 0,12 1,5 i    или 12 %. Вывод. Ставка простых процентов в размере 12 % годовых экви- валента ставке сложных процентов в 11,67 %. 2.8. Расчет наращенных сумм в условиях инфляции Инфляция – это социально-экономическое явление, которое про- является в переполнении сферы обращения деньгами сверх потреб- ностей товарооборота, что вызывает обесценивание денежной еди- ницы и повышение общего уровня цен в стране. Инфляционные процессы, характерные для экономики многих стран, требуют, что- бы они учитывались в финансовых расчетах. Внешним признаком инфляции является, прежде всего, рост цен и, как следствие, снижение покупательной способности денег. Если индекс цен обозначить Iц, а покупательную способность денег через Iпс, то пс ц 1 .I I  Так как темп прироста цен () в основном соответствует темпу прироста инфляции, то годовой индекс цен составляет величину 1 + . За n лет при сохранении предполагаемого среднегодового роста инфляции индекс цен будет равен (1 + )n. Поэтому наращенная сумма за срок n лет с учетом ее обесценивания в результате инфля- ции составит инфл 1 . 1 niS P       (2.33) Если же темп прироста инфляции равен ставке начисляемых про- центов ( = i), то покупательная способность наращенной суммы бу- дет равна покупательной способности первоначальной суммы, то есть Sинфл = P. В этом случае вкладчик в некоторой степени нейтрали- 34 зует инфляционный фактор. Если же  > i, то полученная наращен- ная сумма не компенсирует потерю покупательной способности ка- питала в результате инфляции Sинфл < P. В этом случае банковскую ставку называют отрицательной. Только в случае, когда  < i, может наблюдаться реальный рост покупательной способности вложенного капитала. Такую процентную ставку называют положительной. Пример 19. Первоначальная сумма 2000 руб. была помещена в банк на условиях капитализации процентного дохода под 16 % годовых на два года. Ежегодно цены растут в среднем на 12 %. Определить номинальную величину наращенной суммы и ее поку- пательную способность с учетом роста цен. Решение. По условию P = 2000 руб.; i = 0,16;  = 0,12; n = 2 го- да. По истечении всего срока вклада номинальная наращенная сум- ма составит (2.20): S = 2000(1 + 0,16)2 = 2691,2 руб. Наращенная сумма с учетом ее обесценивания в результате ин- фляции определяется по (2.33): 2 инфл 1 0,162000 2145,41 1 0,12 S      руб. Вывод. Размер наращенной за два года суммы составит 2691,2 руб., однако покупательная способность наращенной суммы с учетом роста цен составит скорректированную величину 2145,41 руб. Присутствие инфляционных ожиданий в составе номинальной процентной ставки обусловлено необходимостью сохранения поку- пательской способности денежной суммы, передаваемой во вре- менное пользование, в условиях инфляции. Компенсация инфляци- онного обесценения не является реальным доходом кредитора и, следовательно, не имеет отношения к «плате за пользование креди- том». Вместе с тем присутствие этого элемента в составе номиналь- ной процентной ставки существенно влияет на «реальную» про- центную ставку, обеспечивая ее вероятностный характер. 35 2.9. Области применения простого и сложного процента Использование в финансовых вычислениях простых и сложных процентов дает неодинаковые результаты, различия между ними обусловлены сроками сделок. Так, при равной величине простых и сложных процентных ставок (inр = icл), сроке сделки менее одного года (n < 1) наращенная сумма, вычисленная по простым процен- там, будет больше наращенной суммы, вычисленной по сложным процентам, поскольку (1 + ninр) > (1 + icл). При сроке сделки больше года (п > 1) наращение по сложным процентам опережает нараще- ние по простым процентам, так как (1 + ninр) < (1 + icл)n. Таким образом, в случае ежегодного начисления процентов для лица, предоставляющего ссуду: – более выгодной является схема простых процентов, если срок ссуды менее одного года (проценты начисляются однократно в кон- це периода); – более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год (проценты начисляются ежегодно); – обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительно- сти периода один год и однократном начислении процентов. Графически взаимосвязь Sп и Sс представлена на рис. 2.1. Рис. 2.1. Процесс наращения в зависимости от способа начисления процента 36 В случае простого процента график увеличения капитала полу- чается линейным, поскольку снимается прибыль, она не работает и не приносит новую прибыль. В случае сложного процента график получается экспоненциальным, с течением времени кривая увели- чения капитала становится все круче, все больше стремится вверх. Это происходит оттого, что из года в год прибыль накапливается и создает новую прибыль. Области возможного использования математического аппарата начисления простых и сложных процентов представлены в табл. 2.1. Таблица 2.1 Области возможного использования начисления простых и сложных процентов Простые проценты Сложные проценты – при оценке доходности депо- зитных вкладов с ежемесячной выплатой процентов; – оценке платы за пользование ресурсами при выдаче кратко- срочных кредитов; – оценке доходности дисконт- ных ценных бумаг; – в кредитных договорах с пе- риодическим погашением ос- новной суммы долга и выпла- той процентов; – при учете векселей; – расчете штрафных санкций и платы за пользование чужими финансовыми ресурсами; – в других аналогичных случаях – при депозитных договорах с капитализацией вкладов; – изучении эффективности фи- нансовых инструментов; – оценке доходности процент- ных ценных бумаг; – в инвестиционных расчетах при сопоставлении финансовых потоков, относящихся к различ- ным временным периодам; – в других аналогичных случаях 37 Тема 3. ДИСКОНТИРОВАНИЕ ПО ПРОСТОЙ И СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКЕ Дисконтирование и удержание процентов в определенном смыс- ле является обратным по отношению к начислению процентов. Термин «дисконтирование» употребляется в финансовом менедж- менте весьма широко. Под ним может пониматься способ нахожде- ния величины Р на некоторый момент времени при условии, что в будущем при начислении на нее процентов по установленной ставке она могла бы составить наращенную сумму S. Величину Р, найденную дисконтированием наращенной величины S, называют современной или приведенной, или текущей, или дисконтированной величиной. Различают математическое (применяется процентная став- ка) и банковское дисконтирование (применяется учетная ставка). 3.1. Дисконтирование по простой процентной ставке Математическое дисконтирование, или дисконтирование с ис- пользованием процентной ставки, позволяет узнать, какую исход- ную сумму P нужно вложить, чтобы получить по истечении n лет сумму S при начислении процентов по ставке i, которая теперь означает ставку дисконтирования. Для решения этой задачи исполь- зуем формулу простых процентов: . 1 SP ni   (3.1) При условии неравности целому числу лет срока финансовой сделки . 1 SP t i K   (3.2) Пример 20. Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 1000 руб. Кредит выдан под 16 % годовых. Определить первоначальную сумму долга при условии, что K = 365 дней. 38 Решение. По условию S = 1000 руб.; i = 0,16; K = 365 дней. По (3.2) определим дисконтированную величину 1000 926,871801 0,16 365 P     руб. Вывод. Первоначальная сумма долга составляет 926,87 руб. Поскольку в основе дисконтирования лежат расчетные процеду- ры, которые связаны с определением и оценкой процентных ставок, формируемых на рынке капитала, то их выбор представляет собой весьма сложную задачу. Правильный выбор ставки дисконтирова- ния позволяет принимать адекватные управленческие решения: не- верная ставка дисконтирования может привести к снижению пока- зателей эффективности и, соответственно, в лучшем случае – к не- дополученной прибыли, а в худшем – к банкротству. Величина процентной ставки, по которой производится дискон- тирование, и дисконтированная величина находятся в обратной за- висимости, то есть чем выше процентная ставка, тем меньше дис- контированная величина при прочих равных условиях. В такой же обратной зависимости находятся дисконтированная величина и срок платежа, то есть с увеличением срока платежа дисконтированная величина будет становиться все меньше. Величина Р может быть определена (приведена) на любой момент времени, вплоть до мо- мента выплаты суммы S. С помощью математической базы дисконтирования могут успешно решаться следующие задачи: обоснование эффективности инвести- ционного проекта, принятие решения о выборе объекта инвестиро- вания, минимизации расходов по привлечению финансовых ресур- сов и выборе валюты финансирования; выбор эффективного ин- струмента финансирования и др. 3.2. Дисконтирование по простой учетной ставке Банковское дисконтирование основано на использовании учет- ной ставки, то есть проценты за пользование кредитом начисляются 39 на сумму, подлежащую уплате в конце срока кредита. В этом слу- чае дисконтированная величина определяется  1 .P S nd  (3.3) Если срок ссуды задан в днях, то формула (3.3) будет иметь вид 1 .tP S d k      (3.4) Дисконтирование с помощью математического и банковского ме- тода приводит к различным финансовым результатам: при использо- вании учетной ставки фактор времени учитывается более строго. Пример 21. Ссуда выдается на полгода по простой учетной ставке, равной 10 % годовых. Заемщик должен возвратить 2000 руб. Определить сумму, выдаваемую заемщику. Решение. По условию S = 2000 руб.; d = 0,10; n = 0,5. По форму- ле (3.3) определим дисконтированную величину  2000 1 0,5 0,1 1900P     руб. Вывод. Заемщик получит сумму в размере 1900 руб. Пример 22. Ссуда выдана 23 сентября по простой учетной став- ке, равной 18 %. Заемщик должен возвратить 1500 руб. 17 ноября. Определить сумму, получаемую заемщиком, и величину дисконта по обыкновенным процентам с точным числом дней ссуды (365/360). Решение. По условию S = 1500 руб.; d = 0,18; K = 360 дней. По формуле (3.4) находим сумму, получаемую заемщиком 551500 1 0,18 1458,75 360 P        руб. где t = (30 – 22) + 31 + 17 – 1 = 55 дней. Величина дисконта составит D = 1500 – 1458,75 = 41,25 руб. 40 Вывод. Заемщик получит сумму в размере 1458,75 руб., величи- на дисконта составит 41,25 руб. 3.3. Дисконтирование по сложной процентной ставке Математический метод дисконтирования может применяться с ис- пользованием не только простой, но и сложной процентной ставки. Для этого из формулы наращения сложных процентов найдем Р:   .1 n SP i   (3.5) При начислении процентов несколько раз в году получим: . 1 mn SP j m      (3.6) Пример 23. Определить дисконтированную величину 3000 руб., которые должны быть выплачены через три года. В течение этого периода на первоначальную сумму начислялись сложные проценты по ставке 10 % годовых: 1) один раз в год; 2) два раза в год. Решение. По условию S = 3000 руб.; i = 0,1; n = 3 года, m = 2 раза в год. Дисконтированную величину определим по (3.5) и (3.6): 1)  3 3000 2253,94 1 0,1 P   руб.; 2) 2 3 30 2238,65 0,11 2 P      руб. Вывод. Первоначальная сумма равна 2253,94 руб. при начисле- нии процентов один раз в год и 2238,65 руб. – по полугодиям. Примечание. В MS Excel текущая величина определяется с по- мощью функции ПС (ставка, клер, плт, [бс], [тип]). 41 3.4. Дисконтирование по сложной учетной ставке Для расчета операции дисконтирования по сложной учетной ставке используется формула  1 .nP S d  (3.7) При использовании сложной учетной ставки процесс дисконти- рования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта. При дисконтировании m раз в год используется номинальная учетная ставка f и в каждом периоде, равном 1 m части года, дискон- тирование осуществляется по сложной учетной ставке .f m Расчет дисконтированной величины производится 1 . mnfP S m      (3.8) Пример 24. Владелец долгового обязательства, равного 4000 руб., со сроком погашения через три года сразу же после заключения контракта учел его в банке по сложной учетной ставке 11 %. Опре- делить сумму, полученную владельцем обязательства, и дисконт, полученный банком, при начислении сложных антисипативных процентов: 1) один раз в год; 2) четыре раза в год. Решение. По условию S = 4000 руб.; d = f = 0,11; n = 3 года; m = 4 раза в год. Дисконтированные величины с учетом особенно- стей начисления процентов определим по формулам (3.7) и (3.8): 1)  34000 1 0,11 2819,88P    руб.; D = 4000 – 2819,88 = 1180,12 руб. 42 2) 4 30,114000 1 2862,43 4 P       руб.; D = 4000 – 2862,43 = 1137,57 руб. Вывод. При начислении процентов по сложной учетной ставке один раз в год в результате учета долгового обязательства владелец получит сумму 2819,88 руб., дисконт банка составит 1180,12 руб.; при начислении четыре раза в год дисконтированная величина со- ставит 2862,43 руб., дисконт – 1137,57 руб. Наращение и дисконтирование применяются для решения сход- ных задач. Однако для ставки наращения прямой задачей является определение наращенной суммы, обратной – дисконтирование. Для учетной ставки, наоборот, прямая задача заключается в дисконти- ровании, обратная – в наращении. Если сравнивать различные став- ки для наращения и дисконтирования, можно заметить, что даже в одинаковых исходных условиях применение этих ставок приводит к различным результатам. 3.5. Номинальная и эффективная годовая учетная ставка Эффективная учетная ставка dэф – это годовая учетная ставка сложных процентов, удерживаемых один раз в начале года, обеспе- чивающая тот же финансовый результат, что и m-разовое дисконти- рование в году по ставке f / m. Если срок долга n лет, то из эквива- лентности процентных ставок следует эф 1 1 . mfd m       (3.9) Годовая эффективная учетная ставка dэф измеряет реальный от- носительный доход, получаемый за год при m-разовом дисконтиро- вании в году. Пример 25. Определить, какой годовой эффективной учетной ставкой можно заменить в контракте годовую номинальную учет- ную ставку 5 % при поквартальном учете суммы погашаемого долга. 43 Решение. По условию m = 4, f = 0,05. Тогда имеем 4 эф 0,051 1 0,049 4 d        или 4,9 %. Вывод. Годовая ставка может быть заменена на 4,9 %. Для участ- ников сделки безразлично, производить дисконтирование четыре раза в году в начале каждого квартала по ставке 5 % / 4 = 1,25 % или один раз в начале года по ставке 4,9 %. Финансовые обязательства сторон сохраняются. Если требуется определить годовую номинальную учетную став- ку f при заданных dэф и m, то получаем   1 эф1 1 . m f m d         (3.10) Пример 26. Определить, какой должна быть годовая номиналь- ная учетная ставка, соответствующая эффективной учетной ставке 5 % при: 1) поквартальном; 2) ежемесячном учете суммы погашае- мого долга. Решение. По условию dэф = 0,05; m = 4, 12 раз. 1) при m = 4 имеем   1 4 4 1 1 0,05 0,051f          или 5,1 %; 2) m = 12 имеем   1 12 12 1 1 0,05 0,0512f          или 5,12 %. Вывод. При поквартальном начислении годовая номинальная учетная ставка равна 5,1 %, а при ежемесячном – 5,12 %. 44 Видно, что увеличение периодов дисконтирования в году увели- чивает номинальную учетную ставку. Финансовые обязательства сторон сохраняются. Тема 4. ПОГАШЕНИЕ КРЕДИТА Существуют различные формы кредита, отличающиеся друг от друга методами и сроками его погашения. Платежи по заемному финансированию в целом и кредитные платежи в частности в об- щем случае состоят из двух частей: возмещения суммы предостав- ленных финансовых ресурсов (например, суммы выданного креди- та) и уплаты процентов за пользование заемными ресурсами. В простейшей кредитной операции погашение основной суммы долга и уплата процентов осуществляются одним платежом в конце срока кредитного договора. В этом случае оценка кредита произво- дится с использованием математической базы простых и сложных процентов. Если срок пользования заемными ресурсами более про- должителен, то такая схема погашения представляется достаточно рискованной для кредитора. На практике среднесрочные и долгосрочные кредитные догово- ры предполагают периодические кредитные платежи. В зависимо- сти от характера кредитных платежей выделяют следующие базо- вые методики погашения кредитов: – погашение кредита разовым платежом; – погашение основной суммы долга равными частями; – погашение кредита равными срочными платежами (при исполь- зовании сложных процентов эту методику называют «погашение аннуитетными платежами»). Рассмотрим особенности методик погашения кредитной задол- женности при использовании простых процентов. 4.1. Погашение кредита равными выплатами В этом случае наращенная сумма долга определяется по уже из- вестной формуле  1 ,S P ni  а сумма разового погасительного 45 платежа будет зависеть от количества погасительных платежей в году (т). Тогда сумма разового погасительного платежа .Sq nm  (4.1) Так как при использовании данной схемы погашения кредита про- центы начисляются на всю сумму первоначального долга в течение всего срока погашения, то, несмотря на уменьшение величины долга с каждым платежом, фактическая процентная ставка оказывается зна- чительно выше ставки, предусмотренной при заключении сделки. Пример 27. Потребительский кредит в сумме 600 руб. предо- ставлен на два года под 15 % годовых (проценты простые). Погаси- тельные платежи вносятся через каждые полгода. Определить раз- мер разового погасительного платежа. Решение. По условию P = 600 руб.; i = 0,15; n = 2 года; m = 2 ра- за в год. Рассчитаем сумму, подлежащую погашению за весь срок кредита S = 600(1 + 2  0,15) = 780 руб. Тогда разовый полугодовой погасительный платеж 780 195 2 2 q   руб. Вывод. Сумма разового погасительного платежа составит 195 руб. 4.2. Погашение кредита равными выплатами основного долга В этом случае возникает задача определения суммы, идущей на погашение основного долга, и суммы процентных платежей. Про- центный платеж за пользование кредитом начисляется предваритель- но: для первого периода процентный платеж рассчитывается на всю величину долга, а в каждый следующий период – на оставшуюся часть долга, то есть на величину долга, уменьшенную на уже выпла- ченную часть, а сам долг выплачивается равными взносами. 46 Исходя из предположения, что кредит P должен выплачиваться равными месячными платежами т раз с начислением простых про- центов по установленной годовой ставке i, процентные платежи определяются: – в первом месяце: 1 ;12 PiI  – во втором месяце: 2 11 ; 12 12 ) P i PiI P m m            – в третьем месяце: 3 22 1 ; 12 12 ) P i PiI P m m            – в месяце Im:  11 . 12 12m mPi PiI m m        Суммируем месячные значения процентных выплат, их общая величина выражается 1 2 3 11 1 1 1 ... . 12 PiI m m m m                            Отсюда  1 . 24 PiI m  (4.2) 47 При ежемесячной выплате кредита равными долями средняя ве- личина ежемесячных взносов будет равна .P Iq m  (4.3) Пример 28. Потребительский кредит в сумме 1800 руб. предо- ставлен на шесть месяцев под 12 % годовых (проценты простые) с ежемесячным погашением. Определить среднюю величину еже- месячных взносов и составить план погашения кредита при условии погашения равными выплатами основного долга. Решение. По условию P = 1800 руб.; i = 0,12; m = 6 раз. Рассчи- таем ежемесячную выплату основного долга: 1800 300 6 P m   руб. Процентный платеж  1800 0,12 6 1 63 24 I     руб. Средняя величина ежемесячных взносов: 1800 63 310,5 6 q   руб. Распишем расчет значения ежемесячных процентных платежей за каждый месяц погашения: 1 1800 0,12 18 12 I   руб.; 2 1800 0,12 11 15 12 6 I         руб.; 3 1800 0,12 21 12 12 6 I         руб.; 48 4 1800 0,12 31 9 12 6 I         руб.; 5 1800 0,12 41 6 12 6 I         руб.; 6 1800 0,12 51 3 12 6 I         руб. Представим план погашения кредита равными выплатами основ- ного долга с использованием простой процентной ставки в таблич- ной форме за каждый месяц (табл. 4.1). Таблица 4.1 План погашения кредита равными выплатами основного долга с использованием простой процентной ставки Месяц Непогашенная сумма основ- ного долга, руб. Процентный платеж I, руб. Месячная выплата ос- новного долга P m , руб. Сумма месячного взноса для погашения, руб. 1 1800 18 300 318 2 1500 15 300 315 3 1200 12 300 312 4 900 9 300 309 5 600 6 300 306 6 300 3 300 303 Итого 63 1800 1863 Соответственно, сумма процентных платежей за пользование кре- дитом составит I = 18 + 15 + 12 + 9 + 6 + 3 = 63 руб. Преимуществом данной схемы является уменьшение с течением времени суммы ежемесячных платежей, однако первоначальные суммы к погашению бывают значительными и уменьшение начнет- ся не ранее, чем через половину срока кредита. 49 4.3. Финансовая рента (аннуитет) Погашение среднесрочной и долгосрочной задолженности, ком- мерческого кредита, инвестирование средств в различные програм- мы, создание денежных фондов целевого назначения в большинстве случаев предусматривают выплаты, производимые через опреде- ленные промежутки времени. При этом возникает ряд распределен- ных во времени последовательных платежей, которые обычно име- нуют потоком платежей. При этом, как правило, любая финансово-коммерческая опера- ция предполагает наличие двух потоков платежей: входящего – по- ступления (доходы), имеющие положительную величину, и исхо- дящего – выплаты (расходы, вложения), имеющие отрицательную величину. Соответственно выделяют положительный и отрицатель- ный денежный поток. Положительный поток – это поток плате- жей, увеличивающий совокупное денежное богатство рассматрива- емого субъекта и/или включающий поступления, связанные с его инвестиционной или иной деятельностью. Отрицательный поток – поток платежей, уменьшающий совокупное денежное богатство рассматриваемого субъекта и/или включающий расходы, связанные с его деятельностью. Эти два потока, с учетом процентных начислений, формируют соответствующий денежный фонд, внутри которого и происходит движение денежных средств. В соответствии с принятой знаковой формализацией двусторонний поток удобно представлять в виде графической схемы с изображением на ней распределения доходов и расходов во времени. Для этого на горизонтальной оси диаграммы откладывается время, а на вертикальной – денежные средства («плюс» – доходы, «минус» – расходы). Например, на рис. 4.1 при- ведена диаграмма потока платежей, состоящего из поступлений: 1000 руб. в момент n = 0; 2500 руб. в момент n = 1; в момент n = 2 происходят выплаты в 2000 руб.; n = 3 – поступления в 3000 руб.; n = 4 – выплаты в 1000 тыс. руб. В финансовых расчетах для обозначения денежных потоков используют термин рента. Наиболее часто используемым в ре- альной жизни и наиболее разработанным случаем ренты является аннуитет. 50 Рис. 4.1. Распределение доходов и расходов во времени Аннуитетом, или финансовой рентой, называется ряд последо- вательных фиксированных платежей, производимых через равные промежутки времени. Изначально под «аннуитетом» (от лат. anno – год) подразумевалось, что платежи происходят с интервалом в один год, в дальнейшем в качестве периода стал выступать любой про- межуток времени при сохранении прежнего названия. Финансовую ренту (аннуитет) следует считать частным случаем потока плате- жей, для которого определены два существенных условия, выпол- няемых одновременно: – однонаправленность платежей в потоке (наличие только поло- жительных или только отрицательных платежей); – равномерность совершения платежей в потоке (равные вре- менные интервалы между двумя платежами). Финансовая рента может быть охарактеризована рядом пара- метров: – член ренты – величина каждого отдельного платежа; – период ренты – временной интервал между двумя платежами; – срок ренты – время от начала реализации ренты до момента начисления последнего платежа; – процентная ставка – ставка сложных процентов, используемая для расчета наращения или дисконтирования платежей, составляю- щих ренту; ‐3000,0 ‐2000,0 ‐1000,0 0,0 1000,0 2000,0 3000,0 4000,0 0 1 2 3 4 5 n 51 – количество платежей в течение года; – частота начисления процентов, то есть количество периодов в году, когда начисляются проценты; – момент осуществления платежей (в начале, середине или в кон- це года) и др. Поскольку условия финансовых сделок весьма разнообразны, то различны и виды потоков платежей. В основе классификации положены различные качественные признаки и используются раз- личные виды финансовых рент: – по сроку действия: срочные – срок денежного потока ограни- чен; бессрочные – срок денежного потока неограничен (платежи осуществляются неограниченно долго); – по периоду ренты различают дискретные (например, годовые ренты, по которым платежи производятся один раз в год, р-срочные ренты при производстве платежей несколько раз в год, ренты, у ко- торых период между платежами может превышать год); непрерыв- ные – платежи производятся так часто, что их можно рассматривать как непрерывные; – в зависимости от частоты начисления процентов различают ренты с начислением процентов один раз в год, несколько раз в году (т раз) и с непрерывным начислением; – по наличию условий выплаты различают верные ренты, выпла- та которых не ограничена какими-либо условиями, условные ренты – их выплата обусловлена наступлением какого-либо события (число членов заранее предусмотреть невозможно, например, страховые взносы, вносимые до наступления страхового случая); – по количеству членов различают ограниченные ренты, имею- щие конечное число членов, вечные ренты с бесконечным числом членов ренты (например, облигационные займы без ограничения срока погашения); – по моменту, с которого начинается реализация рентных плате- жей, ренты делятся на немедленные, когда платежи производятся сразу же после заключения контракта, и отложенные (отсрочен- ные), срок реализации которых откладывается на указанное в кон- тракте время; – по моменту выплат членов ренты делятся на обычные (пост- нумерандо), в которых платежи производятся в конце соответствую- щих периодов (год, полугодие и т. д.), и авансовые (пренумерандо) 52 в начале этих периодов; встречаются ренты, в которых платежи по- ступают в середине периода. Обобщающими показателями ренты являются наращенная сумма и дисконтированная (приведенная) величина. 4.4. Наращенная сумма ренты (денежных потоков) Наращенная сумма ренты – это сумма всех членов потока пла- тежей с начисленными на них процентами на конец срока, то есть на дату последней выплаты. Она показывает, какую величину будет представлять капитал, вносимый через равные промежутки времени в течение всего срока ренты вместе с начисленными процентами. Пусть один раз в конце года на банковский счет вносится сумма R в течение n лет. На каждый платеж один раз в конце года начис- ляются сложные проценты по ставке i. Для определения наращен- ной суммы составим табл. 4.2. Таблица 4.2 Схема расчета наращенной суммы финансовой ренты Период взноса, год Порядковый номер взноса 1 2 3 4 5 1 R – – – – 2 R(1+i) R – – – 3 R(1+i)2 R(1+i) R – – ... … ... … ... – n R(1+i)n–1 R(1+i)n–2 R(1+i)n–3 R(1+i) R Наращенная сумма S равна сумме элементов n-й строки и пред- ставляет собой сумму геометрической прогрессии с первым чле- ном R, знаменателем 1 + i и последним членом R(1 + i)n–1:             1 2 31 1 1 ... 1 1 1 . 1 1 n n n n S R i R i R i R i R i R i                  53 Отсюда наращенную сумму ренты (сумму членов ряда) можно определить по формуле  1 1,niS R i   (4.4) где R – величина ежегодного взноса; i – процентная ставка; n – срок ренты. Схематичное изображение процесса наращения финансовой рен- ты представлено на рис. 4.2. Рис. 4.2. Схема процесса наращения финансовой ренты Пример 29. Владелец малого предприятия принял решение со- здать страховой фонд. С этой целью в течение пяти лет в конце каждого года в банк вносится 2000 руб. под 10 % годовых с после- дующей их капитализацией, то есть прибавлением к уже накоплен- ной сумме. Необходимо определить наращенную сумму к концу срока ренты. Решение. По условию R = 2000 руб.; i = 0,1; n = 5 лет. Рассчита- ем наращенную сумму ренты:  51 0,1 12000 12210,2 0,1 S    руб. 54 Представим эту финансовую операцию в виде табл. 4.3. Таблица 4.3 Схема расчета для примера 29 Период взноса, год Порядковый номер взноса 1 2 3 4 5 1 2000 – 2 2000  1,1 2000 3 2000  1,12 2000  1,1 2000 4 2000  1,13 2000  1,12 2000  1,1 2000 5 2000  1,14 2000  1,13 2000  1,12 2000  1,1 2000 Итого R(1 + i)4 = = 2000(1 + + 0,1)4 = 2000 × × 1,14 = 2928,2 R(1 + i)3 = = 2000 × × 1,13 = 2662 R(1 + i)2 = = 2000 × × 1,12 = 2420 R(1 + i) = = 2000 × × 1,1 = 2200 R = 2000 Вывод. Наращенная сумма через пять лет составит 12210,2 руб. Когда рентные платежи вносятся один раз в году, а проценты на них начисляются несколько раз в году, начисление процентов каж- дый раз будет производиться по ставке – j/m, где j – номинальная годовая ставка сложных процентов. Величина наращенной суммы определяется по формуле 1 1 . 1 1 mn m j mS R j m           (4.5) Пример 30. Страховая компания заключила договор с производ- ственным предприятием на два года. Поступающие ежегодные стра- ховые взносы в размере 600 руб. помещаются в банк под 12 % годо- вых с поквартальным начислением сложных процентов. Опреде- лить сумму, полученную страховой компанией по этому контракту. Решение. По условию R = 600 руб.; i = 0,12; n = 2 года; m = 4 ра- за в год. Определим наращенную сумму: 55 4 2 4 0,121 1 4600 1275,39 0,121 1 4 S            руб. Вывод. Сумма, полученная страховой компанией, составит 1275,39 руб. Если рентные платежи вносятся несколько раз в год равными суммами (р-срочная рента), а начисление процентов производится один раз в конце года, наращенная сумма составит     1 1 1 , 1 1 p nR i S p i            (4.6) где p – число поступлений рентных платежей в течение года. Пример 31. Страховая компания принимает установленный го- довой страховой взнос дважды в год по полугодиям в размере 250 руб. каждый в течение трех лет. Банк, обслуживающий страхо- вую компанию, начисляет ей проценты из расчета 15 % годовых (сложные проценты) один раз в год. Определить сумму, получен- ную страховой компанией по истечении срока договора. Решение. По условию R = 500 руб.; i = 0,15; n = 3 года; p = 2 раза в год; m = 1 раз в год. Определим наращенную сумму     1 2 3500 1 0,15 1 1799,07 2 1 0,15 1 S            руб. Вывод. Сумма, полученная страховой компанией, составит 1799,07 руб. 56 Если схема финансовой ренты предусматривает поступление платежей р раз в год, при этом на поступившие платежи начисля- ются сложные проценты m раз, то наращенная сумма будет опреде- ляться по формуле 1 1 . 1 1 m p mnjR m S jp m                     (4.7) Пример 32. Пусть в условии предыдущего примера начисление процентов осуществляется ежеквартально. Определить наращенную сумму. Решение. По условию R = 500 руб.; i = 0,15; n = 3 года; p = 2 раза в год; m = 4 раза в год. Определим наращенную сумму: 4 2 4 30,15500 1 1 4 1817,5 0,152 1 1 4 S                     руб. Вывод. Сумма, полученная страховой компанией, составит 1817,5 руб. Примечание. В MS Excel наращенная сумма S вычисляется с по- мощью функции БС (ставка; кпер; плт; пс; тип) только для случая m = p. 4.5. Дисконтированная величина финансовой ренты (денежных потоков) Понимание сущности данного показателя и методов его исчис- ления дает возможность решения многих финансовых задач: оценки 57 и сравнения эффективности инвестиций, расчета доходности раз- личных финансовых сделок и др. Значимость этой характеристики объясняется тем, что дисконтированная стоимость представляет со- бой одно число, которое обобщает любую последовательность де- нежного потока и позволяет сравнивать потоки с различными сро- ками и объемами. Дисконтированная величина потока платежей – сумма всех его членов, уменьшенная (дисконтированная) на величину процентной ставки на определенный момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему. Она показывает, какую сумму следовало бы иметь первоначально, чтобы, разбив ее на рав- ные взносы, на которые бы начислялись установленные проценты в течение срока ренты, можно было обеспечить получение нара- щенной суммы. Кроме понятия дисконтированной стоимости потока платежей (финансовой ренты) в литературе в отношении данного показателя встречаются термины приведенной, современной и текущей стои- мости (величины) потока платежей (финансовой ренты). Расчетные формулы дисконтированной стоимости, как и нара- щенной суммы, определяются в зависимости от параметров денеж- ного потока. Рассмотрим некоторые такие финансовые потоки. Пусть в течение n лет один раз в конце года на банковский счет вносится сумма R. Каждый платеж дисконтируется на начало фи- нансовой операции по сложной ставке i. Расчеты для определения дисконтированной величины представим в табл. 4.4. Таблица 4.4 Схема расчета дисконтированной величины финансовой ренты Период взноса, год Порядковый номер взноса 1 2 3 4 5 1 R / (1+i) – – – – 2 R / (1+i)2 R / (1+i) – – – 3 R / (1+i)3 R / (1+i)2 R / (1+i) – – ... … ... … ... – n R / (1+i)n R / (1+i)n – 1 R / (1+i)n – 2 … R / (1+i) 58 Дисконтированная величина есть сумма элементов n-й строки:            1 2 1 1 1 ... . 11 1 1 1 1 n n n n iR R R RS R ii i i i                Дисконтированная величина оценивается на момент начала реа- лизации ренты (рента немедленная). Для расчета дисконтированной величины годовой обычной ренты используют формулу  1 1 .niA R i   (4.8) Схематичное изображение процесса дисконтирования финансо- вой ренты представлено на рис. 4.3. Рис. 4.3. Схема процесса дисконтирования финансовой ренты Пример 33. Предположим, что у вас просят в долг 10 000 руб. и обещают возрастить в течение трех лет по 4000 руб. ежегодно. Определить, будет ли выгодна эта сделка при годовой ставке 10 %. Решение. По условию R = 4000 руб.; i = 0,1; n = 3 года. Для отве- та на поставленный вопрос рассчитаем текущую величину ренты по формуле (4.8):   31 1 0,14000 9947,41 0,1 A    руб. 59 Если указанную сумму поместить в банк на три года под 10 % годовых на условиях капитализации процентного дохода, то нара- щенная сумма составит S = 10000(1 + 0,1)3 = 13 310 руб. Вывод. Вам вернут дисконтированную стоимость долга в разме- ре 9947,41 руб., в то же время, если положить указанную сумму в банк, наращенная сумма составит 13 310 руб. Следовательно, сделка для вас невыгодна. Пример 34. Кредит в сумме 10 000 руб. необходимо погасить последовательными равными платежами в течение пяти лет. Опреде- лить размер годового платежа, если на него начисляются проценты по ставке в 10 % годовых, и составить план погашения кредита. Решение. По условию A = 10 000 руб.; i = 0,1; n = 5 лет. Определим размер ежегодных выплат, используя формулу (4.8):     5 0,110 000 2638 1 1 1 1 0,1n iR A i         руб. Тогда план погашения долга может быть представлен в виде табл. 4.5. Таблица 4.5 План погашения долга Год Остаток долга на начало года Суммарный годовой платеж Годовой про- центный платеж Погашение основного долга 1 10 000 2638 1000 1638 2 8362 2638 836 1802 3 6560 2638 656 1982 4 4578 2638 458 2180 5 2398 2638 240 2398 Итого 13 190 3190 60 Годовой процентный платеж определяем, исходя из выражения:    1 1 1 1 .n nI S P P P P i          Вывод. Размер годового платежа составляет 2638 руб. При начислении процентов несколько раз в году (m раз) дискон- тированная величина определяется по формуле 1 1 . 1 1 mn m j mA R j m           (4.9) Пример 35. Определить дисконтированную стоимость финансовой ренты с ежегодной выплатой ренты в 3000 руб. в течение трех лет. При этом проценты начисляются поквартально по сложной ставке 10 % годовых. Решение. По условию R = 3000 руб.; j = 0,1; n = 3 года; m = 4 ра- за в год. Для ответа на поставленный вопрос рассчитаем современ- ную величину ренты по формуле (4.9): 4 3 4 0,11 1 43000 7410,76 0,11 1 4 A             руб. Вывод. Современная стоимость ренты составляет 7410,76 руб. При внесении рентных платежей несколько раз в год (р-срочная рента) и начислении процентов один раз в год для вычисления дис- контированной величины используют формулу     1 1 1 . 1 1 p nR i A p i            (4.10) 61 Пример 36. Годовой платеж в 5000 руб. вносится в сберегатель- ный фонд два раза в год равными частями по 2500 руб. в течение трех лет, проценты начисляются раз в год под 20 %. Определить дисконтированную величину ренты. Решение. По условию R = 5000 руб.; i = 0,2; n = 3 года; p = 2 раза в год. Для ответа на поставленный вопрос рассчитаем дисконтиро- ванную величину ренты по формуле (4.10):     1 2 35000 1 1 0,2 11035,04 2 1 0,2 1 A            руб. Вывод. Дисконтированная стоимость ренты составляет 11035,04 руб. Если схема финансовой ренты предусматривает поступление платежей р раз в год, при этом на поступившие платежи начисля- ются сложные проценты m раз, то дисконтированная стоимость бу- дет определяться по формуле 1 1 . 1 1 m p mnjR m A jp m                     (4.11) Пример 37. Пусть в условии предыдущего примера начисление процентов осуществляется ежеквартально. Определить дисконтиро- ванную величину ренты. Решение. По условию R = 5000 руб.; j = 0,2; n = 3 года; p = 2 раза в год, m = 4 раза в год. Для ответа на поставленный вопрос рассчи- таем современную величину ренты, используя формулу (4.11): 62 4 2 3 40,25000 1 1 4 10808,84 0,22 1 1 4 A                      руб. Вывод. Дисконтированная стоимость ренты при ежеквартальном начислении составит 10808,84 руб. Примечание. В MS Excel дисконтированная величина аннуитета вычисляется с помощью функции ПС (ставка; кпер; плт;бс; тип) только для случая m = p. Размер платежа финансовой ренты вычис- ляется с помощью функции ПЛТ (ставка; кпер; плт; [бс]; [тип]) только для случая m = p. Срок финансовой ренты определяется с помощью функции КПЕР (ставка, плт, пс, [сс], [тип]) только для случая m = p. 4.6. Расчетные формулы, связывающие наращенную сумму и дисконтированную стоимость финансовой ренты Рассмотрим теперь зависимость между наращенной суммой и дис- контированной стоимостью финансовой ренты. Данную зависимость исследуем на примере годовой финансовой ренты постнумерандо. Дисконтированная стоимость определяется в соответствии с фор- мулой (4.8). Исходя из нее величина ежегодного взноса       1 . 1 1 1 1 n n n Ai iAiR i i      (4.12) Подставляя данное значение R в выражение (4.4), получим рас- четную формулу наращенной суммы финансовой ренты:  1 .nS A i  (4.13) 63 Теперь можно дать другое толкование смысла понятия «дискон- тированная стоимость ренты»: если в момент времени t = 0 по- ложить в банк дисконтированную стоимость (величину) ренты под i % годовых, то к концу n-го года она вырастет до наращенной сум- мы S. Из формулы (4.13) можем определить дисконтированную стоимость ренты:  1 .nA S i   (4.14) Если проценты будут начисляться m раз в году, то формулы (4.13) и (4.14) примут вид: 1 ; mnjS A m      (4.15) 1 . mnjA S m      (4.16) Таким образом, между наращенной суммой и дисконтированной стоимостью постоянной финансовой ренты существует зависимость, аналогичная зависимостям между суммой ссуды и наращенной сум- мой при начислении сложных процентов. Пример 38. Определить наращенную сумму дисконтированной стоимости финансовой ренты, если платежи поступают в сберега- тельный фонд в конце каждого года в размере 5000 руб. в течение трех лет при дисконтировании по сложной ставке в 8 % годовых. Результат сопоставить с расчетной формулой (4.4). Решение. По условию R = 5000 руб.; i = 0,08; n = 3 года. Для от- вета на поставленный вопрос рассчитаем дисконтированную вели- чину ренты (формула (4.8)):   31 1 0,085000 12885,5 0,08 A    руб. Таким образом, все платежи по 5000 руб. за год в течение трех лет оцениваются в настоящий момент суммой 12885,5 руб. Иначе гово- 64 ря, 12885,5 руб., размещенных под 8 % годовых, обеспечивают еже- годную выплату по 5000 руб. в течение трех лет. Из формулы (4.13) находим наращенную сумму ренты  312885,5 1 0,08 16232S    руб. Если расчет произвести по формуле (4.4):  31 0,08 15000 16232 0,08 S    руб. Вывод. Наращенная стоимость дисконтированной стоимости фи- нансовой ренты составляет 16 232 руб. В некоторых ситуациях при проведении финансово-коммерче- ских операций возникает задача определения размера очередного платежа при заданном сроке ренты и дисконтированной стоимости или наращенной сумме ренты. Например, необходимо в течение определенного срока посредством регулярных взносов создать де- нежный фонд заданной величины S или погасить долг А равными выплатами. Величину регулярного ежегодного взноса при создании фонда S в течение n лет посредством финансовой ренты можно определить из формулы (4.4):   .1 1n SiR i    (4.17) Аналогично величину ежегодной выплаты при погашении долга А сроком на n лет можно определить из формулы (4.8):   .1 1 n AiR i     (4.18) Пример 39. Определить размер ежегодных взносов, уплачиваемых в конце года, при сложной ставке в 10 % годовых в следующих слу- 65 чаях: 1) при создании фонда в течение трех лет в размере 50 000 руб.; 2) при погашении долга в объеме 50 000 руб. в течение трех лет. Решение. По условию: S = А = 50 000 руб.; n = 3; i = 0,1. 1) по формуле (4.17) находим:  3 50 000 0,1 15105,74 1 0,1 1 R    руб.; 2) по формуле (4.18) находим:   3 50 000 0,1 20105,76 1 1 0,1 R     руб. Вывод. Размер ежегодных взносов при создании фонда в размере 50 000 руб. составит 15105,74 руб.; при погашении долга аналогич- ной суммой – 20105,76 руб. 4.7. Конверсия и консолидация финансовых рент Расчеты по коммерческим сделкам могут осуществляться как единовременным платежом, так и рядом выплат, распределенным во времени (в рассрочку). Иногда эти выплаты приобретают харак- тер рентных платежей. На практике может возникнуть ситуация, когда один из участников сделки предлагает изменить условия опла- ты: разовый платеж заменить рентными платежами или, наоборот, рентные платежи заменить разовым платежом, то есть произвести конверсию финансовой ренты. Изменение хотя бы одного условия ренты по существу означает замену одной ренты другой, которая базируется на принципе финансовой эквивалентности, что означает равенство дисконтированных стоимостей обеих рент. При этом про- центная ставка может быть сохранена или изменена. Простейшими случаями конверсии ренты могут быть выкуп рен- ты или замена разового платежа рентными. В первом случае вместо рентных платежей может быть выплачена дисконтированная величи- на ренты, а во втором – вместо единовременного платежа можно производить выплаты в рассрочку. Изменение условий выплаты (час- тичное или полное изменение первоначальных параметров ренты) 66 приводит к образованию новой ренты, что вызывает изменение финан- совых последствий. Вместе с тем при желании сторон можно сохра- нить финансовую эквивалентность, изменив ряд параметров и сохра- нив равенство дисконтированных величин первоначальной и вновь созданной ренты при сохранении равенства процентных ставок. Рассрочкой платежа называется замена долга (единовременного платежа) рентой. При этом задаются все параметры ренты, кроме одного, а этот неизвестный параметр определяется из условия ра- венства долга дисконтированной величины вводимой ренты:  1 1 .niA R P i    (4.19) Выкупом ренты называется замена ренты единовременным пла- тежом. Принцип финансовой эквивалентности здесь сводится к то- му, что единовременный платеж P должен равняться дисконтиро- ванной величине выкупаемой ренты A. По формуле (4.19) определя- ется величина единовременного платежа при известных параметрах выкупаемой ренты: размере отдельного платежа R, сроке ренты n и процентной ставке i. Пример 40. Предприятие предлагает покупателю свою продук- цию на сумму 2000 руб. с условием ее оплаты в рассрочку в течение двух лет под 15 % годовых (проценты сложные). Платежи должны вноситься ежеквартально, проценты начисляются в конце года. Оп- ределить условия конверсии данного предложения. Решение. По условию A = 2000 руб.; i = 0,15; n = 2 года; p = 4 раза в году. Из формулы (4.19) определим величину годового платежа:     1 4 21 1 0,15 2000 1,7145 ; 4 1 0,15 1 R R          2000 1166,52 1,7145 R   руб. 67 Тогда квартальный платеж составит 1166,52 291,63 4 4 R   руб. Сумма, которую получит предприятие после окончательного расчета с покупателем (наращенная сумма), определяется по фор- муле (4.6):     1 4 21 0,15 1 1166,52 2645 руб. 4 1 0,15 1 S          Вывод. Покупатель имеет возможность выбрать один из двух ва- риантов: заплатить сразу 2000 руб. или в рассрочку 2645 руб. Консолидация рент – объединение нескольких рент в одну, ос- нованное на принципе финансовой эквивалентности. Дисконтиро- ванная величина вновь образованной консолидированной ренты должна быть равна сумме дисконтированных величин заменяемых (объединяемых) рент: , k q q A A  (4.20) где A – дисконтированная величина консолидированной ренты; q = 1, 2, …, k; Aq – дисконтированная величина каждой заменяемой ренты. Правила объединения рент: – находятся и суммируются дисконтированные величины рент; – полученная сумма приравнивается к дисконтированной стои- мости заменяющей ренты; – задав все параметры заменяющей ренты, кроме одного, из урав- нения эквивалентности определяется недостающий параметр. 68 Пример 41. Определите годовой платеж новой шестилетней ренты, заменяющей две: одна длительностью пять лет с годовым платежом 1000 $, другая – восемь лет с годовым платежом 800 $. Годовая ставка процента равна 8 %. Решение. По условию R1 = 1000 $, R2 = 800 $, n1 = 5 лет, n2 = 8 лет, n = 6 лет. Дисконтированные величины рент равны (формула (4.19))   5 1 1 1 0,08 1000 3992,7 $; 0,08 А      8 2 1 1 0,08 800 3992,7 $. 0,08 А    Определим дисконтированную величину замещающей ренты: А = А1 + А2 = 3992,7 + 4597,3 = 8590 $. Годовой платеж R заменяющей шестилетней ренты найдем из урав- нения эквивалентности:   61 1 0,08 8590. 0,08 R    Отсюда R = 1858 $. Вывод. Новый годовой платеж составит 1858 $. 69 Тема 5. ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ФИНАНСОВЫХ И ИНВЕСТИЦИОННЫХ РЕШЕНИЙ Рассмотрение любого инвестиционного проекта требует всесто- роннего анализа и оценки. Если исходить из определения, что инве- стирование – это долгосрочные вложения экономических ресурсов в объекты инвестиционной деятельности с целью получения выго- ды в будущем, то основной аспект этих вложений заключается в преобразовании собственных и заемных средств инвесторов в ак- тивы, которые при их использовании создадут новую ликвидность. Инвестиционный проект прежде всего оценивается с точки зре- ния его технической выполнимости, экологической безопасности, экономической эффективности, под которой понимается результат сопоставления получаемой прибыли и затрат, то есть норму прибы- ли. Предпочтение отдается проекту, сулящему большую эффектив- ность. Очевидно, что при наличии нескольких проектов можно по- лучить равный размер прибыли, но эффективность этих проектов может быть различна, так как на их реализацию потребуются не- одинаковые затраты. Для упрощения исследования эффективности инвестиций пред- полагается, что необходимая норма прибыли задана и одинакова для всех инвестиционных проектов и, кроме того, для любого из рас- сматриваемых проектов степень риска одинакова. В основе процесса принятия управленческих решений инвестици- онного характера лежит оценка и сопоставление объема предполагае- мых инвестиционных вложений с ожидаемым чистым доходом (буду- щие денежные поступления) от реализации проекта за принятый пе- риод расчета, так как только поступающие денежные потоки могут обеспечить окупаемость инвестиционного проекта. При этом осу- ществляется приведение инвестиционных расходов и доходов от ин- вестиционных вложений к единому моменту времени, то есть опреде- ление современных эквивалентов будущих денежных сумм. Для каж- дого отдельного инвестиционного проекта необходима информация об ожидаемых потоках наличности с учетом налоговых платежей. Показатели эффективности проекта рассчитываются в составе бизнес-плана инвестиционного проекта. Правила по разработке биз- нес-планов инвестиционных проектов утверждены Постановлением Министерства экономики Республики Беларусь 31.08.2005 № 158. 70 На основании чистого потока наличности рассчитываются ос- новные показатели оценки эффективности инвестиций: – чистый дисконтированный доход (ЧДД), или NPV – Net Present Value; – индекс рентабельности (доходности) (ИР), или PI – Profitability Index; – коэффициент эффективности инвестиций (индекс прибыльно- сти), или ARR – Accounting Rate of Return; – динамический срок окупаемости, или РBР – Payback Period; – внутренняя норма доходности (ВНД), или IRR – Internal Rate of Return. Для расчета этих показателей применяется коэффициент дискон- тирования 1 , (1 )n K i   который используется для приведения бу- дущих потоков денежных средств за каждый расчетный период (год) реализации проекта к начальному периоду времени. При этом дисконтирование денежных потоков осуществляется с момента пер- воначального вложения инвестиций. Как правило, коэффициент дисконтирования рассчитывается ис- ходя из средневзвешенной нормы дисконта с учетом структуры ка- питала. Выбор средневзвешенной нормы дисконта (Дср) для соб- ственного и заемного капитала может определяться по формуле ск зкср СК ЗКД , 100 P P (5.1) где Рск – процентная ставка на собственные средства; СК – доля собственных средств в общем объеме инвестицион- ных затрат; Рзк – процентная ставка на заемные средства; ЗК – доля заемных средств в общем объеме инвестиционных затрат. Процентная ставка для собственных средств принимается на уров- не не ниже средней стоимости финансовых ресурсов на рынке капи- тала. Допускается принятие ставки дисконтирования на уровне фак- тической ставки процента по долгосрочным валютным кредитам банка при проведении расчетов в свободноконвертируемой валюте. 71 В необходимых случаях может учитываться надбавка за риск, которая добавляется к ставке дисконтирования для безрисковых вложений. Пример 42. Структура инвестиций представляет собой 70 % за- емных средств и 30 % собственного капитала. Инвестор должен вы- платить проценты за пользование кредитом из расчета 16 % годо- вых, а на собственный капитал намеревается получать не ниже бан- ковского процента – 12 % годовых. Определить норму дисконта. Решение. По условию Рск = 12 %; СК = 30 %; Рзк = 16 %; ЗК = 70 %. Ставка дисконта в этом случае, взвешенная по доле кредитных и собственных средств, составит, используя формулу (5.1): ср 12 30 16 70Д 14,8 %. 100     Вывод. Средневзвешенная норма дисконта составляет 14,8 %. Это значит, что в качестве коэффициента дисконтирования для оценки эффективности вложения инвестиций в расчетах можно использо- вать это значение. 5.1. Расчет чистого дисконтированного дохода При экономической оценке инвестиционных проектов использу- ется ряд методов. Основной из них сводится к расчету чистой те- кущей стоимости NPV (Net Present Value) или чистому дисконтиро- ванному (приведенному) доходу (ЧДД), который можно определить следующим образом: текущая стоимость денежных притоков (до- ходов, поступлений) за вычетом текущей стоимости денежных от- токов (вложений, расходов), то есть данный метод предусматривает дисконтирование денежных потоков с целью определения эффек- тивности инвестиций. Поскольку приток денежных средств распределен во времени, его дисконтирование производится по процентной ставке i. Важным моментом является выбор уровня процентной ставки. В экономиче- ской литературе иногда ее называют ставкой сравнения, так как эффективность часто оценивается именно при сравнении вариантов капиталовложений. 72 Ставка дисконтирования выбирается самостоятельно. При этом следует учитывать прогнозируемый темп инфляции за период, не- определенность и риск при планировании отдаленных по времени денежных поступлений и др. Обоснование выбора ставки дискон- тирования в каждом случае индивидуально и зависит от условий и целей анализа. При разовой инвестиции математически расчет чистого дискон- тированного дохода можно представить:  1 ,1 n k k k PNPV IC i   (5.2) где Рk – годовые денежные поступления в течение k лет; i – ставка для дисконтирования; IС – стартовые инвестиции. Свойства и экономическое содержание NPV(i): – если NPV(i) > 0, то доходы от проекта окупают вложенные ин- вестиции и проект следует принять. При NPV(i) < 0 доходы не оку- пают инвестиции и проект следует отвергнуть. При NPV(i) = 0 про- ект ни прибыльный, ни убыточный и инвестор предпочтет тот спо- соб вложения денег (в проект или на банковский счет), который является более надежным; – NPV(i) характеризует возможный прирост (убытки) капитала инвестора в результате реализации проекта по сравнению с альтер- нативными вложениями под ставку i; – если NPV(i) > 0, то NPV(i) – это максимальная величина, на ко- торую можно увеличить инвестиции в проект при данных доходах и ставке дисконтирования i так, чтобы проект не стал убыточным. При прогнозировании доходов по годам необходимо учитывать все виды поступлений как производственного, так и непроизвод- ственного характера, которые могут быть ассоциированы с данным проектом. Если по окончании периода реализации проекта плани- руется поступление средств в виде ликвидационной стоимости обо- рудования или высвобождения части оборотных средств, то они должны быть учтены как доходы соответствующих периодов. 73 Пример 43. Предприятие рассматривает целесообразность при- обретения энергоэффективного оборудования по цене 18 000 руб. По прогнозам сразу же после пуска линии ежегодные поступления после вычета налогов составят 5700 руб. Работа линии рассчитана на пять лет. Ликвидационная стоимость линии равна затратам на ее демонтаж. Ставка дисконтирования составляет 12 %. Определить чистую текущую стоимость проекта. Решение. По условию IC = 18 000 руб.; i = 12 %; Рk = 5700 руб.; k = 5 лет. Чистая текущая стоимость проекта определяется по фор- муле (5.2): NPV = 5700(1 + 0,12)–1 + 5700 · 1,12–2 + 5700 · 1,12–3 + 5700 · 1,12–4 + + 5700 · 1,12–5 – 18 000 = 2547 руб. Вывод. Так как величина текущей стоимости больше нуля, то проект может быть принят. Если проект предполагает не разовую инвестицию, а последова- тельное инвестирование финансовых ресурсов в течение несколь- ких т лет, то формула для расчета NPV модифицируется в вид    1 0 .1 1 n m jk k j k j ICPNPV i i      (5.3) Если первоначальные инвестиции осуществляется разово и в тот момент, к которому приводятся все денежные потоки, то за j при- нимается 0, соответственно коэффициент дисконтирования равен  0 1 1 1 K i   и используется в расчетах формула (5.2). Если же первоначальные инвестиции разбиваются на несколько лет, то дис- контирование происходит с первого года. Пример 44. Имеется два инвестиционных проекта, в которых потоки платежей на конец года характеризуются данными, пред- ставленными в табл. 5.1. Ставка сравнения принята в размере 15 %. Выбрать рациональный объект инвестирования. 74 Таблица 5.1 Схема расчета для примера 44 Проект Годы 0 1 2 3 4 A –40 000 15 000 15 000 15 000 15 000 B –20 000 –20 000 20 000 20 000 20 000 Решение. По условию i = 15 %. Чистая текущая стоимость про- екта определяется по формуле (5.3). Определим показатели NPV по каждому проекту: NPVA = (–40 000)(1 + 0,15)0 + 15 000 · 1,15–1 + 15 000 · 1,15–2 + + 15 000 · 1,15–3 + 15 000 · 1,15–4 = –40 000 + 13 044 + 11 342 + + 9863 + 8576 = 2825 руб. NPVB = (–20 000)(1 + 0,15)0 + (–20 000)1,15–1 + 20 000 · 1,15–2 + + 20 000 · 1,15–3 + 20 000 · 1,15–4 = –20 000 – 17 391 + 15 123 + + 13 150 + 11 435 = 2317 руб. Вывод. Проект А более предпочтителен, так как имеет большее значение NPV. Примечание. В MS Excel чистая текущая стоимость проекта NPV(i) вычисляется с помощью функции ЧПС (ставка; значения). Необходимо отметить, что данный показатель характеризует про- гнозируемую величину прироста капитала предприятия в случае реа- лизации рассматриваемого проекта, однако NPV в явном виде не пока- зывает, какими инвестиционными усилиями достигнут результат. Ве- личину NPV трудно, а в ряде случаев невозможно, нормировать. Например, NPV некоторого проекта равно 10 000 руб., но много это или мало? Ответить на этот вопрос сложно, особенно, если рассматри- вается безальтернативный проект. Однако, этот показатель аддитивен во временном аспекте, то есть NPV различных проектов можно сум- мировать. Это очень важное свойство, выделяющее этот критерий из всех остальных и позволяющее использовать его в качестве ос- новного при анализе оптимальности инвестиционного портфеля. 75 Инвестиционные вложения и отдача от них могут следовать раз- личным закономерностям. Так, вложения по условиям финансиро- вания могут носить периодический характер, в то же время отдача может быть непрерывной благодаря отлаженному производству. Другой случай, когда поток платежей в различные периоды имеет неоднозначный характер, то есть в период освоения будет иметь одну величину, а в период выхода оборудования на полную мощ- ность – другую и т. д. 5.2. Расчет индекса доходности (рентабельности) Для оценки эффективности проектного решения инвестицион- ного характера также применяется индекс рентабельности ИР или индекс доходности – PI (Profitability Index). Экономический смысл индекса доходности инвестиций заключа- ется в том, что он характеризует долю чистого дисконтированного дохода, приходящуюся на единицу дисконтированных к началу проекта инвестиционных вложений, и состоит в том, что необходи- мо определить инвестиционный проект с максимальным уровнем рентабельности среди всех проектов, для которых этот уровень больше либо равен единице. Если инвестиции осуществлены разо- вым платежом, то расчет производится по формуле  1 1 . n k k k P i PI IC    (5.4) Если инвестиции представляют собой некоторый поток, то     1 0 1 . 1 n k k k m j j j P i PI IC i       (5.5) Пример 45. Возьмем исходные данные из предыдущего примера и рассчитаем индекс доходности (рентабельности). 76 Решение. При этих условиях индекс доходности будет равен 1 2 3 4 0 15 000 1,15 15 000 1,15 15 000 1,15 15 000 1,15 40 000 1,15 13 044 11342 9863 8576 1,071; 40 000 API                2 3 4 0 1 20 000 1,15 20 000 1,15 20 000 1,15 20 000 1,15 20 000 1,15 15123 1315 11 435 1,062. 20 000 17 391 BPI                Вывод. Доходность инвестиций по рассматриваемым проектам выше норматива рентабельности, что свидетельствует об эффек- тивности проектов. При этом наибольшую величину PI имеет про- ект А. Это означает, что приведенная сумма членов денежного по- тока на 7,1 % превышает величину стартового капитала, а во втором проекте – на 6,2 %. Свойства и экономическое содержание PI: – показатель PI характеризует уровень доходов на единицу за- трат: PI > 1 – доходы окупают вложенные инвестиции; PI < 1 – ин- вестиции в проект не окупаются; PI = 1 – проект ни прибыльный, ни убыточный, доходность инвестиций точно соответствует нормативу рентабельности (ставке сравнения); – чем больше показатель PI превосходит единицу, тем больше резерв безопасности проекта. Если, допустим, PI = 2, то рассматри- ваемый проект перестанет быть привлекательным для инвестора лишь в том случае, если его выгода (будущие денежные поступле- ния) окажутся меньшими более чем в два раза (это и будет «запас прочности» проекта). 5.3. Расчет коэффициента эффективности инвестиций (индекс прибыльности) Коэффициент эффективности инвестиций – ARR (Accounting Rate of Return), или индекс прибыльности, основывающийся в боль- 77 шей степени на показателе чистой прибыли, а не денежного потока, характеризует отношение NPV к суммарной величине дисконтиро- ванных инвестиций, то есть  0 . 1 m j j j NPVARR IC i   (5.6) Индекс прибыльности – это показатель отдачи инвестиционного проекта, который показывает чистую прибыль, ожидаемую от инве- стиций, по отношению к инвестированному капиталу. Если преоб- разовать формулу, то получаем         1 0 1 0 1 1 1. 1 1 n m jk k j k j m mj j j j j j ICP i iNPVARR PIIC IC i i                Индекс доходности больше индекса прибыльности на единицу, то есть PI = ARR +1. (5.7) Пример 46. Возьмем исходные данные из предыдущего примера и определим индекс прибыльности. Решение. С учетом уже рассчитанного значения NPV индекс прибыльности будет равен 0 2825 0,071; 40 000 1,15A ARR   0 1 2317 0,062. 20 000 1,15 20 000 1,15B ARR     78 Если рассчитать с учетом значений PI из примера 45, используя формулу (5.7), то получим те же значения: ARRA = 1,071 – 1 = 0,071; ARRB = 1,062 – 1 = 0,062. Вывод. Наибольшую отдачу принесет проект А, так как принесет большую чистую прибыль по отношению к инвестициям. 5.4. Период окупаемости инвестиций Период окупаемости РBР (Payback Period) – один из наиболее часто применяемых показателей для анализа инвестиционных про- ектов. Период окупаемости – это период времени, по окончании которого чистый объем поступлений (доходов) перекрывает объем инвестиций (расходов) в проект, то есть число лет, необходимое для возмещения стартовых инвестиционных расходов. Срок окупаемо- сти является критерием, который в определенной степени оценива- ет риск инвестора. Неуверенность в достоверности прогнозов растет с удалением во времени от настоящего момента, что увеличивает предпринимательский риск. Очевидно, что существует верхняя гра- ница срока окупаемости, при переходе которой риск вложения воз- растает до такой степени, что считается уже невыгодным вложение инвестиций. Если рассчитанный период окупаемости меньше мак- симально приемлемого, то проект принимается, если нет – отверга- ется. В любом случае, чем меньше срок окупаемости проекта, тем он предпочтительнее. Расчет периода окупаемости инвестиционного проекта может производиться как с учетом, так и без учета фактора времени. При расчете без учета фактора времени равные суммы дохода, получае- мые в разное время, и равные суммы инвестиционных расходов, распределенные во времени, рассматриваются как равноценные. В этом случае показатель срока окупаемости можно определить: у , k ICn P  (5.8) где пу – упрощенный показатель срока окупаемости. 79 Под динамическим сроком окупаемости пд с учетом фактора вре- мени понимают продолжительность периода, в течение которого сум- ма чистых доходов, дисконтированных на момент завершения инве- стиций, равна сумме дисконтированных инвестиционных вложений:    1 0 .1 1 n m jk k j k j ICP i i     (5.9) Динамический срок окупаемости в отличие от простого учитывает стоимость капитала и показывает реальный период окупаемости. Пример 47. Рассмотрим два уже известных инвестиционных про- екта, данные которых представлены в табл. 5.2. Ставка процентов для дисконтирования принята 15 %. Определить период окупаемости. Таблица 5.2 Схема расчета для примера 47 Проект Годы 0 1 2 3 4 A –40 000 15 000 15 000 15 000 15 000 B –20 000 –20 000 20 000 20 000 20 000 Решение. Для определения упрощенного срока окупаемости суммируем годовые доходы и решаем уравнение: Проект А: 40 000 = 15 000 + 15 000 + 15 000x, отсюда x = 0,67. Из условия видно, что окупаемость наступит в период между вторым и третьим годом. Величина x = 0,67 характеризует часть года, в котором будет достигнута окупаемость. Следовательно, пу = 2,67 года (2 года 245 дней). Проект В: 20 000 + 20 000 = 20 000 + 20 000. То есть проект оку- пится через три года от даты расчета или два года после внесения всех инвестиций. Для расчета динамического срока окупаемости пд найдем сум- му инвестиционных вложений с учетом ставки 15 % и представим для проекта А в табл. 5.3. 80 Таблица 5.3 Схема расчета для примера 47 Период 0 1 2 3 4 Денежный поток –40 000 15 000 15 000 15 000 15 000 Дисконтированный денежный поток –40 000 15 000   1,15–1 = = 13 044 15 000   1,15–2 = = 11 342 15 000   1,15–3 = = 9863 15 000   1,15–4 = = 8576 Накопленный дис- контированный денежный поток –40 000 –26 956 –15 614 –5751 2825 Из табл. 5.3 видно, что пд проекта А наступает между третьим и четвертым годами. Отсюда срок окупаемости (при условии, что доход может выплачиваться и за часть года) составит д 57513 3,67 8576 An    года. Такой же расчет проведем для проекта В (табл. 5.4). Таблица 5.4 Схема расчета для примера 47 Период 0 1 2 3 4 Денежный поток –20 000 –20000 20 000 20 000 20 000 Дисконтированный денежный поток – 20 000 –17 391 15 123 13 150 11 435 Накопленный дис- контированный денежный поток –20 000 –37 391 –22 268 –9118 2317 Соответственно пд равно: д 91183 3,8 11435 Bn    года. Вывод. Если отталкиваться от даты начала инвестиций, то про- ект А окупится быстрее, чем проект В. Если же от даты окончания инвестиций – то проект В. 81 Основной недостаток показателя срока окупаемости заключается в том, что он не учитывает весь период функционирования инве- стиций и на него не влияет вся та отдача, которая лежит за предела- ми расчетного периода. В связи с этим показатель срока окупаемо- сти не должен служить критерием выбора, а может использоваться только в виде ограничения при принятии финансового решения. 5.5. Определение внутренней нормы доходности инвестиционных проектов Одним из самых важных и наиболее распространенных показа- телей для оценки эффективности инвестиционного проекта являет- ся показатель внутренней нормы доходности – IRR (Internal Rate of Return) или ВНД. Данный показатель наиболее полно отражает абсо- лютную оценку доходности конкретного инвестиционного проекта. Смысл расчета данного коэффициента заключается в следую- щем: IRR показывает максимально допустимый относительный уро- вень расходов, которые могут быть связаны с данным проектом. Например, если проект полностью финансируется за счет ссуды коммерческого банка, то значение IRR показывает верхнюю грани- цу допустимого уровня банковской процентной ставки, превыше- ние которого делает проект убыточным. Таким образом, смысл это- го показателя заключается в том, что инвестор должен сравнить полученное для инвестиционного проекта значение IRR с ценой привлеченных финансовых ресурсов. Внутренняя норма доходности ВНД или IRR – интегральный по- казатель, рассчитываемый нахождением ставки дисконтирования, при которой стоимость будущих поступлений равна стоимости ин- вестиций, то есть при котором NPV будет равно нулю. Практиче- ское применение данного метода сводится к нахождению дисконти- рующего множителя, обеспечивающего равенство NPV = 0. При нахождении IRR выбираются два значения ставок для дисконти- рования i1 < i2 таким образом, чтобы в интервале (i1, i2) функция NPV = f(i) меняла свое значение с «+» на «–» и наоборот. Далее ис- пользуют формулу         1 1 2 1 1 2 . NPV i IRR i i i NPV i NPV i    82 Точность вычислений обратна длине интервала, поэтому наилуч- шая аппроксимация достигается в случае, когда длина интервала принимается минимальной (1 %). Пример 48. Требуется определить внутреннюю ставку доходно- сти для проекта A, рассчитанного на четыре года, требующего инве- стиции в размере 40 000 руб. и имеющего предполагаемые денеж- ные поступления в размере 15 000 руб. Решение. Возьмем два произвольных значения процентной став- ки для коэффициента дисконтирования: i1 = 0,15 и i2 = 0,2. Расчеты приведены в табл. 5.5. Таблица 5.5 Схема расчета для примера 48 Год, t Поток, руб. Расчет для i1 = 0,15 Расчет для i2 = 0,2   1 1 0,15 n K   Дисконти- рованный денежный поток   1 1 0,2 n K   Дисконти- рованный денежный поток 0 –40 000 1,0 –40 000 1,0 –40 000 1 15 000 0,8696 13043,5 0,8333 12 500 2 15 000 0,7561 11342,2 0,6944 10416,7 3 15 000 0,6575 9862,7 0,5787 8680,6 4 15 000 0,5718 8576,3 0,4823 7233,8 NPV 2824,7 –1169 Вычислим значение IRR:     2824,70,15 0,20 0,15 0,1857. 2824,7 1169 IRR      Первый расчет показал значение внутренней ставки доходности рассматриваемого проекта 18,57 %. Уточним величину ставки, для чего примем значение процентных ставок, равные 18 и 19 % соот- 83 ветственно, так как наилучшее приближение получим при мини- мальной длине интервала. Произведем новый расчет, рассчитав ко- эффициенты дисконтирования для ставок 18 и 19 % (табл. 5.6). Таблица 5.6 Схема расчета для примера 48 Год, t Поток, руб. Расчет для i1 = 0,18 Расчет для i2 = 0,19   1 1 0,18 n K   Дисконти- рованный денежный поток   1 1 0,19 n K   Дисконти- рованный денежный поток 0 –40 000 1,0 –40 000 1,0 –40 000 1 15 000 0,8475 12711,9 0,8403 12 605 2 15 000 0,7182 10772,8 0,7062 10592,5 3 15 000 0,6086 9129,5 0,5934 8901,2 4 15 000 0,5158 7736,8 0,4987 7480 NPV 350,9 –421,2 Вычислим значение IRR:     350,918 19 18 18,45 %. 350,9 421,2 IRR      Вывод. IRR = 18,45 % является верхним пределом процентной ставки, по которой предприятие может окупить кредит для финан- сирования инвестиционного проекта. Для получения прибыли пред- приятие должно брать кредит по ставке менее 18,45 %. Примечание. В MS Excel внутренняя норма доходности IRR вы- числяются с помощью функций ВСД (значения; предположение). Свойства и экономическое содержание IRR: – При i = IRR инвестиционные вложения в точности окупаются доходами, но не приносят прибыль (PI = 1); если ставка дискон- 84 тирования i < IRR, то проект является прибыльным; если i > IRR, то проект является убыточным. – Чем больше разность IRR – i, тем больше резерв безопасности проекта. Разность IRR – i определяет предельную возможность уве- личения инвестиций в проект, позволяющую избежать убытков при данных доходах и ставке дисконтирования i. 5.6. Анализ альтернативных проектов Значительные материальные и финансовые средства, направляе- мые на инвестирование, долгосрочное связывание капитала инве- стора, комплексный характер воздействия последствий инвестици- онных решений на разные стороны деятельности предприятия и необходимость обеспечения конкурентных преимуществ и выпол- нения обязательств будущих периодов существенно повышают тре- бования к обоснованию инвестиционных решений. Процесс приня- тия таких решений должен отражать как их последствия, так и воз- можности инвестора. Оценка эффективности капиталовложений может быть представ- лена в двух аспектах: – целесообразность реализации конкретного проекта. Примерами таких решений могут быть: модернизация производственного обо- рудования, организация производства нового товара или нового на- правления деятельности, вложения средств в приобретение пред- приятия, покупка комплектующих или оборудования; – выбор из нескольких перспективных и выгодных инвестици- онных проектов одного или нескольких при ограниченности финан- совых ресурсов (обычно в таком случае предполагается ранжирова- ние нескольких жизнеспособных проектов). Лимитирование финансовых средств для инвестиций в рамках бюджета является фиксированным пределом годового объема ка- питальных вложений, который может позволить себе предприятие исходя из своего финансового положения. При наличии финансо- вых ограничений инвестор может реализовать только часть инве- стиционных проектов в комбинации, обеспечивающей максималь- ный эффект. Критерии, используемые в количественной оценке эффективности инвестиций, можно подразделить на две группы в зависимости от 85 того, учитывается ли стоимость денег во времени или нет: статичная и динамическая системы. В работах, посвященных методам экономической оценки инве- стиций, отдается предпочтение показателю NPV. Данный показатель достаточно широко распространен на предприятиях среднего бизне- са, в ограниченных случаях – крупного и мелкого бизнеса, так как там главное внимание уделяется другим показателям. В частности, на крупных предприятиях предпочтение отдается показателю внут- ренней нормы доходности, а на малых – показателям срока окупае- мости инвестиций (срока окупаемости эксплуатируемого объекта). В отличие от NPV индекс рентабельности представляет собой относительный показатель: он характеризует уровень доходов на единицу затрат, то есть эффективность вложений – чем больше зна- чение этого показателя, тем выше отдача каждого рубля, инвести- рованного в данный проект. Благодаря этому критерий PI очень удобен при выборе одного проекта из ряда альтернативных, имею- щих близкие значения NPV. В частности, если два проекта имеют одинаковые значения NPV, но разные объемы требуемых инвести- ций, то очевидно, что выгоднее тот из них, который обеспечивает большую эффективность вложений. При анализе альтернативных проектов использование показателя IRR в силу ряда присущих ему недостатков должно носить ограни- ченный характер: поскольку IRR является относительным показате- лем, исходя из его величины нельзя сделать вывод о размере увели- чения капитала предприятия. Из определения сущности показателя IRR следует, что он показывает максимальный относительный уро- вень затрат, связанных с реализацией инвестиционного проекта. Следовательно, если данный показатель одинаков для двух инве- стиционных проектов и превышает цену инвестиций, то для выбора проектов необходимо использовать другие критерии. Показатель IRR непригоден для анализа проектов, в которых денежный поток чередуется с притоком и оттоком капитала. Также для инвестора, использующего кредитные ресурсы (и, ес- тественно, не только для него), важно знать период возврата вложен- ных средств. Если период расчета проекта превышает динамический срок окупаемости на три и более года, то для целей оценки эффектив- ности проекта расчет NPV, PI и IRR осуществляется за период, равный динамическому сроку окупаемости проекта плюс один год. 86 Инфляция искажает результаты анализа эффективности долго- срочных инвестиций. При учете уровня инфляции наиболее прием- лемой является корректировка всех факторов, влияющих на денеж- ные потоки инвестиционных проектов. При расчете основных показателей оценки эффективности инве- стиций все примеры строились на сравнении между собой двух проектов. Проведем анализ этих проектов, сопоставив все рассчи- танные показатели, для принятия управленческого решения, какой проект наиболее приемлемый для вложения средств инвестором. Пример 49. Предприятие рассматривает два инвестиционных проекта (уже рассмотренных ранее), требующих равную величину стартовых капиталовложений (40 000 руб.). Финансирование осу- ществляется за счет банковского кредита в размере 15 % годовых. Необходимо произвести экономическую оценку каждого проекта и выбрать оптимальный. Рассчитанные показатели эффективности инвестиционных проектов приведены в табл. 5.7. Таблица 5.7 Рассчитанные показатели эффективности инвестиционных проектов Проект Показатели эффективности NPV, руб. PI ARR IRR, % PBP, лет A 2825 1,071 0,071 18,45 3,67 B 2317 1,062 0,062 17,87 3,8 Решение. Анализ данных позволяет сделать следующие выводы: 1. Наилучший показатель NPV = 2825 руб. принадлежит проекту А, следовательно, принятие этого проекта обещает наибольший при- рост капитала. 2. Из рассматриваемых проектов наибольшее значение индекса рентабельности PI = 1,071 имеет проект А, то есть приведенная сумма членов денежного потока на 7,1 % превышает величину стар- тового капитала. 3. Наибольшую отдачу принесет проект А, так как принесет большую чистую прибыль по отношению к инвестициям (показа- тель ARR имеет большее значение). 87 4. Наибольшую величину IRR = 18,45 % имеет проект А. Однако учитывая, что банк предоставил кредит под 15 % годовых, это пре- имущество не имеет существенного значения. 5. Наименьший срок окупаемости РBР = 3,67 года у проекта A, но, учитывая, что разница в сроках окупаемости составляет ориенти- ровочно полтора месяца, этим преимуществом можно пренебречь. Вывод. Таким образом, рассмотрев два инвестиционных проекта по пяти показателям, можно отдать предпочтение проекту А. Анализируя эффективность инвестиционных проектов, часто при- ходится сталкиваться с тем, что потоки денежных средств (расходы и доходы), рассматриваемые при их оценке, относятся к будущим пе- риодам и носят прогнозный характер. Неопределенность будущих ре- зультатов обусловлена влиянием как множества экономических фак- торов (колебаний рыночной конъюнктуры, цен, валютных курсов, уровня инфляции и т. п.), не зависящих от усилий инвесторов, так и достаточного числа неэкономических факторов (климатических и природных условий, политических отношений и др.), которые не всегда поддаются точной оценке. Неопределенность прогнозируемых результатов приводит к возникновению риска того, что цели, постав- ленные в проекте, могут быть не достигнуты полностью или частично. По определению риск инвестиционного проекта выражается в от- клонении потока денежных средств для данного проекта от ожидае- мого. Чем больше отклонение, тем проект считается более риско- ванным. При рассмотрении каждого проекта можно оценить потоки денежных средств, руководствуясь экспертными оценками вероят- ностей поступления этих потоков или значением отклонений вели- чин потока от ожидаемых. В вопросе об оценке риска инвестиционного проекта нет методоло- гической однозначности, но обычно выделяют два основных подхода: качественный и количественный. Главная задача качественного под- хода состоит в выявлении и идентификации возможных видов рисков рассматриваемого инвестиционного проекта, а также в определении и описании источников и факторов, влияющих на данный вид риска. Кроме того, качественный анализ предполагает описание возможного ущерба, его стоимостной оценки и мер по снижению или предотвра- щению риска. Основная задача количественного подхода заключается в численном измерении влияния факторов риска на поведение крите- риев эффективности инвестиционного проекта. 88 СПИСОК ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Финансовая математика : учебное пособие / П. Н. Брусов [и др.]. – 2-е изд., стер. – М. : КНОРУС, 2013. – 224 с. 2. Бусыгин, Д. Ю. Практикум по арифметике финансового рын- ка : учебное пособие / Д. Ю. Бусыгин, Ю. Н. Бусыгин, Н. А. Анти- пенко. – Минск : БГАТУ, 2014. – 96 с. 3. Финансовый менеджмент. Учет фактора времени при управле- нии финансами : методические указания для студентов специально- сти 1-26 02 02 «Менеджмент» всех форм обучения / сост. В. А. Де- рябина, кол. авт. Белорусского национального технического универ- ситета. – БНТУ, 2005. – 32 с. 4. Криничанский, К. В. Математика финансового менеджмента : учебное пособие / К. В. Криничанский. – М. : Дело и Сервис, 2006. – 256 с. 5. Лапченко, Д. А. Основы коммерческих и финансовых расче- тов : учебно-методическое пособие / Д. А. Лапченко. – Минск : БГЭУ, 2013. – 113 с. 6. Левкович, А. О. Принятие финансовых решений : теория и прак- тика / А. О. Левкович, А. М. Кунявский, Д. А. Лапченко ; под ред. А. О. Левковича. – Минск : Изд-во Гревцова, 2007. – 376 с. 7. Финансовый менеджмент: прикладной аспект : пособие / А. О. Левкович [и др.]; под ред. А. О. Левковича. – Минск : Элайда, 2008. – 578 с. 8. Марченко, Л. Н. Финансовая математика: наращение и дискон- тирование : практическое руководство / Л. Н. Марченко, Л. В. Федо- сенко, Ю. С. Боярович; М-во образования Республики Беларусь, Гом. гос. ун-т им. Ф. Скорины. – Гомель : ГГУ им. Ф. Скорины, 2014. – 48 с. 9. Марченко, Л. Н. Финансовая математика: потоки платежей : практическое руководство / Л. Н. Марченко, Л. В. Федосенко, Ю. С. Боярович; М-во образования Республики Беларусь, Гом. гос. ун-т им. Ф. Скорины. – Гомель : ГГУ им. Ф. Скорины, 2014. – 48 с. 10. Мелкумов, Я. С. Финансовые вычисления. Теория и прак- тика : учебно-справочное пособие / Я. С. Мелкумов. – 2-е изд. – М. : ИНФРА-М, 2010. – 408 с. 11. Морошкин, В. А. Практикум по финансовому менеджменту: технология финансовых расчетов с процентами : учебное пособие / 89 В. А. Морошкин, А. Л. Ломакин. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : Финансы и статистика; ИНФРА-М, 2014. – 120 с. : ил. 12. Об утверждении правил по разработке бизнес-планов инвес- тиционных проектов : Постановление Министерства экономики Рес- публики Беларусь, 31 августа 2005 г., № 158 : в ред. Постановления от 29 февраля 2012 г. // Нац. реестр правовых актов Респ. Беларусь. – 2005. – № 8/13184. 13. Просветов, Г. И. Финансовый менеджмент: задачи и реше- ния : учебно-практическое пособие / Г. И. Просветов. – М. : Альфа- Пресс, 2014. – 340 с. Учебное издание ШАНЮКЕВИЧ Ирина Викторовна ФИНАНСОВЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ Учебно-методическое пособие для студентов дневной и заочной формы обучения специальности 1-70 02 02 «Экспертиза и управление недвижимостью» и направления специальности 1-27 01 01-17 «Экономика и организация производства (строительство)» Редактор Е. С. Кочерго Компьютерная верстка Н. А. Школьниковой Подписано в печать 21.04.2017. Формат 6084 1/16. Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 5,23. Уч.-изд. л. 4,09. Тираж 100. Заказ 861. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя, распространителя печатных изданий № 1/173 от 12.02.2014. Пр. Независимости, 65. 220013, г. Минск.