61 
УДК 532.526 
 
ПРОЦЕССЫ ЛАМИНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ 
ЖИДКИХ ЭНЕРГОНОСИТЕЛЕЙ В ТРУБОПРОВОДАХ 
 
Докт. техн. наук, проф. ЕСЬМАН Р. И., канд. техн. наук ШУБ Л. И. 
 
Белорусский национальный технический университет 
 
В качестве жидких энергоносителей используются нефть, нефтепродукты, 
жидкие металлы и сплавы, другие теплоносители, транспортируемые  
в трубопроводах. 
Рассмотрим равномерное движение жидкости, при котором средняя по се-
чению скорость не изменяется как во времени, так и по длине =∂∂ tu   
.0=∂∂= xu  Такое движение имеет место в трубах и каналах постоянной пло-
щади поперечного сечения. 
Так же как и в пограничном слое, ламинарный или турбулентный режим 
течения в трубах определяется числом Рейнольдса, подсчитанным по гидрав-
лическому диаметру трубы (для круглых труб – по диаметру трубы 
Re ).vd= ν  При малых скоростях движения и соответственно малых числах 
Рейнольдса имеет место ламинарный режим течения, а при больших – турбу-
лентный. Объясняется это тем, что число Рейнольдса характеризуется соот-
ношением сил инерции и сил трения в потоке. При малых числах Рейнольдса 
силы трения, которые оказывают демпфирующее действие на поток, превали-
руют над силами инерции, что приводит к ламинарному режиму движения, 
характеризующемуся упорядоченной слоистой структурой. Рост сил инерции 
при возрастании чисел Рейнольдса способствует возникновению неустойчи-
вости течения, следствием чего является локальное зарождение мелкомас-
штабных вихрей, которые быстро распространяются на весь поток. Течение 
становится турбулентным, неупорядоченным и характеризуется сильным пе-
ремешиванием. 
Как известно, число Рейнольдса, при котором происходит переход лами-
нарного режима течения в турбулентный, называется критическим числом 
Рейнольдса Reкр. В зависимости от внешних возмущающих факторов Reкр мо-
жет принимать различные значения. Устойчивое ламинарное течение для 
круглых труб сохраняется до Reкр = 2300. 
Для ламинарного течения в круглой трубе уравнение движения может 
быть получено из уравнения Навье – Стокса [1, 2]. Учитывая равномерность 
течения, в последнем следует приравнять нулю член, содержащий вторую 
производную от скорости по продольной координате, а также конвективные 
слагаемые. С учетом действия массовых сил тяжести получаем уравнение 
движения  
 
( )1 1 ,xdvd d qJr p qz
r dr dr dx
  = + ρ = −  µ ν 
                 (1) 
 
где J – гидравлический уклон, .
d р
J z
dх q
 
= − + ρ 
 
 62 
Граничные условия на оси и поверхности трубы записываются как и для 
плоского канала: 
 
0
0;х
r
dv
dr =
  = 
 
    ( ) 0,х r R=ν =                                  (2) 
 
где R – внутренний радиус трубы. 
Запишем решение (2) в общем виде 
 
2
1 2ln .4х
qJ
v r c r c= − + +
ν
                                       (3) 
 
Найдя константы с1, с2 из граничных условий (2), получаем решение в виде 
2 2
2
1 .
4х
qJR r
v
R
 
= − 
ν  
 
 
Так же как и в плоском канале, получен параболический профиль скорости 
с максимальным значением на оси 
 
max 2.
4х
qJ
v R=
ν
 
 
Средняя скорость по сечению определяется с помощью интеграла 
 
max2 2
2
2 2
o
2
1 .
4 8 2
R
xvqJR r qJu rdr R
R R
 π
= − = = 
ν νπ  
∫                         (4) 
 
В круглой трубе максимальная скорость в два раза превышает среднюю по 
сечению скорость. С учетом (4) запишем 
 
2
2
2 1 .x
r
v u
R
 
= − 
 
                                              (5) 
 
Рассмотрим особенности ламинарного течения жидкости в кольцевой тру-
бе. Для кольцевого потока граничным условием является равенство скорости 
нулю на поверхностях, ограничивающих течение: 0=xv  при 1Rr =  и .2Rr =  
Это условие используется для нахождения констант в общем решении (3). В 
результате получаем формулу для определения распределения скорости по 
сечению 
 
( )
( )
2 2 2 2
2 1 1 2 1 2
1 2
ln ln ln
,
4 lnx
R R R R R R rqJ
v
R R
 − − −
 =
ν  
 
 
 
которую в безразмерных координатах 2 1 2( , )r r R R R= θ =  перепишем сле-
дующим образом: 
 
2 2
2
1
1 ln .
4 lnx
qJ
v R r r
−Θ = − − ν Θ 
                                  (6) 
 63 
Среднюю скорость по сечению рассчитаем с помощью интеграла 
),1/( 2
1
0
Θ−







= ∫ rdrvu z  который с учетом (6) позволяет вывести формулу для 
расчета средней скорости 
 
2 2 2
2 1 1 .
4 2 1ln
qJR
u
 + Θ −Θ
= + ν Θ 
                                      (7) 
 
Из (6), (7) получаем 
 
2 2
2 2
1 (1 ) ln / ln
2 ,
1 (1 ) / ln
x
r r
v u
− − −Θ Θ
=
+Θ + −Θ Θ
                                (8) 
 
причем maxxv  находится на радиусе .ln2/)1(
2 Θ−Θ=r  
Как известно, гидравлический уклон 





+
ρ
= z
q
p
dx
d
J  определяет потери 
напора на единицу длины трубы .lhJ l=  Рассчитав J из формул для опреде-
ления средней скорости (4)–(7), имеем следующие формулы для нахождения 
гидравлических потерь: 
 
;
3
2
l
qh
u
hl
ν
=   ;
8
2 lqR
u
hl
ν
=   
122
2
2 ln2
1
2
14
−






Θ
Θ−
+
Θ+ν
= l
qR
u
hl  
 
соответственно для плоского канала, круглой трубы, и кольцевого кана- 
ла. Заменяя в полученных выражениях по формуле Дарси hl 
2
г 2 ,l d u q= λ  где 
гd  для рассматриваемых конфигураций потока соответственно равны 4h, 2R, 
( ) ( ),122 212 Θ−=− RRR  получаем формулы для определения коэффициента 
гидравлического трения для: 
• плоского канала: 
 
;ReRe;24 ν==λ uh  
 
• круглой трубы: 
 
;2ReRe;64 ν==λ Ru  
 
• кольцевой трубы: 
 
( ) ( )
;
ln21
1
12
1
Re
32
1
2
2 −






ΘΘ−
Θ+
+
Θ−
Θ+
=λ   ( ) .12Re 2 νΘ−= Ru  
 
В последней формуле при Θ > 0,5 множитель в квадратных скобках меня-
ется мало и примерно равен 3, и тогда для λ получится простое выражение λ = 
96/Re. 
 64 
В Ы В О Д Ы 
 
Проведен анализ структурного течения жидкостей в трубопроводах  
и каналах. Рассмотрено влияние числа Рейнольдса на гидравлические сопро-
тивления. Приведены расчетные формулы для определения гидравлических 
потерь, коэффициентов гидравлического сопротивления потерь на трение при 
ламинарном течении в круглых трубах, плоских и кольцевых каналах тепло-
энергетического оборудования. 
Результаты проведенного анализа могут быть использованы при практиче-
ских расчетах потерь на трение при транспортировке энергоносителей раз-
личного назначения в трубопроводах. 
Предлагаемой методикой расчета можно воспользоваться при исследова-
ниях движения жидкостей в процессах бурения нефтяных скважин, представ-
ляющих собой цилиндрические тела кольцевого сечения, образованные ко-
лонной бурильных труб и стенками ствола [4]. 
 
Л И Т Е Р А Т У Р А 
 
1. Е м ц е в, Б. Т.  Техническая гидромеханика / Б. Т. Емцев. – М.: Машиностроение, 1987. – 
440 с. 
2. Е с ь м а н, Р. И. Математическая модель движущихся теплоносителей // Энергетика… 
(Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ). – 2010. – № 6. – С. 53–59. 
3. Е с ь м а н, Р. И.  Научные основы организации процессов горения комбинированного 
многофазного органического топлива в турбулентных потоках камер сгорания сложной геомет-
рии / Р. И. Есьман, Ю. П. Ярмольчик // Сб. науч. докл. VI Междунар. совещания по проблемам 
энергоаккумулирования и экологии в машиностроении, энергетике и на транспорте. – М.: 
ИМАШ РАН, 2009. – С. 226–236. 
4. Е с ь м а н, Б. И.  Термогидравлика при бурении скважин. – М.: Недра, 1982. – 247 с. 
 
Представлена кафедрой ПТЭ и Т                                                                Поступила 10.10.2011