Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Техническая физика» ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ФИЗИКУ Курс лекций по физике для студентов дневной и заочной форм обучения Электронный учебный материал М и н с к 2 0 1 6 С о с т а в и т е л ь : В.И. Кудин Р е ц е н з е н т : В.Р. Соболь, зав. кафедрой физики и методики преподавания физики БГПУ, доктор физ.-мат. наук, профессор Данный электронный курс лекций состоит из трех частей. Первая часть посвящена квантовой природе электромагнитного излучения. Здесь рассмот- рены характеристики и законы теплового излучения, законы внешнего фото- эффекта, давление света, эффект Комптона, и дано их объяснение при ис- пользовании гипотезы квантования энергии электромагнитного излучения. Во второй части излагается боровская модель атома, которая хорошо объяс- няет спектр атома водорода. Указаны недостатки этой модели и невозмож- ность с помощью этой модели объяснить спектры многоэлектронных атомов. Третья часть посвящена элементам квантовой механики. Рассмотрение начинается с гипотезы де Бройля о волновой природе частиц вещества, при- ведены постулаты квантовой механики, дано волновое уравнение квантовой механики. Рассмотрены некоторые важные физические следствия квантовой механики, например, такие как прохождение частиц через потенциальный барьер (туннельный эффект), соотношение неопределенностей Гейзенберга, естественное уширение спектральных линий. Материал изложен в объеме программы курса физики для технического университета. Он может быть также использован и при чтении лекций по фи- зике в течение одного семестра, где курс физики как раз заканчивается вве- дением в квантовую теорию. Белорусский национальный технический университет пр-т Независимости, 65, г. Минск, Республика Беларусь Тел.(017) 292-77-52 факс (017) 292-91-37 Регистрационный № БНТУ/ФИТР47 –36.2016 © БНТУ, 2016 © Кудин В.И., 2016 Оглавление Введение......................................................................................................................................4 1. Квантовая природа электромагнитного излучения ................................................5 Тепловое излучение и его закономерности .....................................................................5 Основные характеристики теплового излучения. Закон Кирхгофа..................6 Излучение абсолютно черного тела. Закон Стефана-Больцмана. Законы Вина ........................................................................................................................................8 Гипотеза и формула Планка ........................................................................................10 Внешний фотоэффект и его законы ................................................................................12 Фотоны. Квантовое объяснение давления света .........................................................15 Эффект Комптона .................................................................................................................17 2. Боровская теория атома..............................................................................................19 3. Элементы квантовой механики ....................................................................................23 Волны вещества. Гипотеза де Бройля ............................................................................23 Волновая функция свободно движущейся частицы ....................................................27 Волновое уравнение Шреденгера ....................................................................................28 Квантование. Движение частицы в прямоугольной потенциальной яме ...............29 Статистический смысл волновой функции.....................................................................31 Принцип неопределенности Гейзенберга ......................................................................34 Литература..............................................................................................................................36 Введение Для понимания квантовой физики необходимо знание ее предыстории. Годом рождения квантовой физики является 1900 год, когда немецким физи- ком М. Планком была выдвинута гипотеза квантования энергии, которая ре- шила проблему ультрафиолетовой катастрофы для излучения абсолютно черного тела. Эта гипотеза предполагает, что свет испускается и поглощается отдельными порциями энергии, т.е. квантами. Гипотеза квантования была использована А. Эйнштейном в 1905 году для объяснения явления внешнего фотоэффекта, а также Н. Бором в 1913 году для построения теории атома во- дорода. Это был первый этап, т.е. этап старой квантовой теории, еще проти- воречивой теории, объясняющей только спектр излучения простейшего ато- ма, атома водорода, и неприменимой к многоэлектронным атомам. Но зна- комство с теорией Бора необходимо для студентов, поскольку это простая и достаточно наглядная модель, не требующая сложного математического ап- парата. Второй этап квантовой теории, т.е. квантовая механика, начался в 1923 году с гипотезы французского физика де Бройля, о том, что движущиеся час- тицы (в частности электрон) обладают волновыми свойствами, и их поведе- ние управляется волной, аналогично как поведение фотонов (квантов света) управляется электромагнитной волной. Длина волны движущегося электрона является очень малой величиной, и поэтому волновые свойства электронов проявляются лишь в случае их нахождения в атомах или кристаллах вещест- ва, когда размеры этих объектов становятся сравнимыми с длиной волны де Бройля для электрона. Экспериментальное наблюдение дифракции электро- нов на кристаллах в 1927 году опытами Девиссона и Джермера подтвердило, что электронам действительно присущ корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля давало только значение длины волны движущегося электрона, но не давала рецепта для математического описания волновой функции движущихся электронов. Полное описание поведения микрочастиц дала квантовая механика, построенная в 1925–1926 гг. В. Гейзенбергом, П. Дираком и Э. Шредингером. Так завершился этап создания квантовой тео- рии. Такой экскурс в историю квантовой механики позволяет студентам лег- че усвоить непривычное с точно зрения повседневной жизни поведение час- тиц микромира. Основы квантовой механики полезно сформулировать в виде трех посту- латов: • первого постулата, приводящего к волновому уравнению Шредингера; • второго постулата, содержащего идею квантования динамических физи- ческих величин; • третьего постулата, определяющего вероятностный характер волновой функции. Необходимо также рассмотреть некоторые важные физические следствия квантовой механики, например, такие как прохождение частиц через потен- циальный барьер (туннельный эффект), соотношение неопределенностей Гейзенберга, естественное уширение спектральных линий и др. При этом можно ограничиться несколькими примерами, учитывая, что другие важные следствия квантовой механики можно будет рассмотреть в дальнейшем при изложении конкретных вопросов программы. Изложение основ квантовой теории начнем с рассмотрения квантовой природы электромагнитного излучения. 1. Квантовая природа электромагнитного излучения Тепловое излучение и его закономерности Излучение телами электромагнитных волн может происходить за счет различных видов энергии. Тепловое излучение - это электромагнитное излу- чение, обусловленное возбуждением атомов и молекул тела вследствие их теплового движения. Этот вид излучения происходит за счет той части внут- ренней энергии тела, которая связана с беспорядочным движением атомов и молекул. Типичным примером теплового излучения является излучение уг- лей костра, раскаленной нити лампочки или свечение Солнца. Тепловое из- лучение отличается, например, от люминесценции, как излучения избыточно- го над тепловым и имеющего длительность более 10 –10 с. Окисляющийся на воздухе фосфор светится за счет энергии, выделяемой при химическом пре- вращении. Такой вид свечения называется хемилюминесценцией. Излучение, возникающее при различных видах самостоятельного газового разряда, носит название электролюминесценции. Свечение твердых тел, вызванное бомбар- дировкой их электронами, называется катодолюминесценцией. Свечение, возбуждаемое поглощенным телом электромагнитным излучением, называ- ется фотолюминесценцией. Тепловое излучение является самым распространенным. Приведенными выше примерами список излучающих систем не исчерпывается, поскольку тепловое излучение имеет место при любой температуре, однако, при невы- соких температурах излучаются практически лишь длинные (инфракрасные) электромагнитные волны. Тепловому излучению всегда соответствует сплошной спектр. С возрастанием температуры тела интенсивность теплово- го излучения увеличивается. При этом изменяется характер распределения энергии по спектру излучения. Отличительной особенностью теплового из- лучения является его равновесность. Это означает, что между телом, заклю- ченным в пустую адиабатическую оболочку, и его излучением устанавлива- ется равновесие. При этом тело будет излучать в единицу времени энергии столько же, сколько и поглощать. Основные характеристики теплового излучения. Закон Кирхгофа Введем некоторые величины, характеризующие состояние теплового из- лучения. Величина, определяемая отношением энергии, переносимой излу- чением, ко времени переноса, значительно превышающему период электро- магнитных колебаний, называется потоком излучения. Другими словами - это количество энергии, переносимое в единицу времени через выделенную площадь, dt dW Ф = . Энергетическая светимость RТ тела - это величина, равная отношению потока излучения, испускаемого малым участком поверхности по всем на- правлениям во всем диапазоне длин волн, к площади этого участка: dSdt dW dS dФRT == . Размерность энергетической светимости: [RТ] = 1 Вт / м2. Энергетическая светимость является функцией температуры T. Тепловое излучение состоит из волн различных длин λ. Обозначим поток излучения, испускаемый едини- цей поверхности тела в интервале длин волн от λ до λ + dλ , через dRλ. При малом интервале dλ поток dRλ будет пропорционален dλ λ= λλ drdR T . (1.1) Величина rλT называется спектральной плотностью энергетической све- тимости тела. (В литературе встречается другое название этой физической величины - излучательная способность тела). Спектральная плотность энергетической светимости rλT [Вт / м3] тела - это поток излучения, испускаемого единицей поверхности тела по всем на- правлениям в единичном интервале длин волн. Спектральная плотность энергетической светимости является функцией длины волны λ и температу- ры T. Энергетическая светимость связана со спектральной плотностью энер- гетической светимости формулой: ∫ ∞ λ λ= 0 drR TT . (1.2) Введём ещё одну характеристику теплового излучения. Пусть на элемен- тарную площадку тела падает поток лучистой энергии dФλ, обусловленной электромагнитными волнами, длина волны которых заключена в интервале dλ. Часть этого потока dФ’λ будет поглощаться телом. Тогда коэффициентом поглощения тела называется величина λ λ λ ′= dФ Фda T (1.3) (Встречается также другое название для aλT - поглощательная способность тела, чтобы отличать aλT от коэффициента поглощения α, входящего в закон Бугера-Ламбера). Коэффициент поглощения aλT тела зависит от длины волны λ падающего излучения, от температуры тела Т, его химического состава и состояния по- верхности. По определению aλT не может быть больше единицы, т. е. aλT ≤ 1. Тело, поглощающее все падающее на него излучение независимо от направ- ления падения излучения и его спектрального состава, называется абсолютно черным телом. Для такого тела коэффициент поглощения равен единице (aλT = 1) для всех длин волн и температур. Тела, для которых коэффициент по- глощения в широком интервале длин волн остается постоянным, но меньше единицы (aλT = aT = const < 1), называются серыми телами. У серых тел aT зависит только от температуры, материала и состояния поверхности. Непро- зрачные тела, которые не излучают и не поглощают электромагнитных волн, т.е. полностью отражают падающее на них излучение, и при этом отражение происходит по законам геометрической оптики (угол падения равен углу от- ражения), называются зеркальными. Между спектральной плотностью энергетической светимости и коэффи- циентом поглощения любого тела существует связь. Чтобы установить эту связь, рассмотрим следующий опыт. Пусть внутри замкнутой оболочки, под- держиваемой при постоянной температуре T, поме- щены несколько тел (рис. 1.1). Воздух из оболочки удалим, так что тела могут обмениваться энергией между собой и оболочкой лишь путём излучения и поглощения электромагнитных волн. Опыт показывает, что такая система через неко- торое время придёт в состояние теплового равнове- сия - все тела примут одну и ту же температуру, равную температуре оболочки Т. В таком состоянии тело, обладающее большей спектральной плотно- стью энергетической светимости rλT , теряет в еди- ницу времени с единицы поверхности больше энер- гии, чем тело, обладающее меньшей rλT . Поскольку температура (а следова- тельно и энергия) тел не меняется, то тело, излучающее больше энергии, должно и больше поглощать, т.е. обладать большей aλT . Таким образом, чем больше спектральная плотность энергетической светимости тела rλT , тем больше и его коэффициент поглощения aλT . Отсюда вытекает соотношение Рис. 1.1. К закону Кирхгофа. 0 0 0 321 ... T T T T T T T T T r a r a r a r a r λ λ λ λ λ λ λ λ λ ==⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ , (1.4) (так как a0λT = 1), где индексы 1, 2, 3, . . . и т. д. относятся к разным телам. Это соотношение выражает закон, установленный Кирхгофом (1859). Закон Кирхгофа: Отношение спектральной плотности энергетической светимости к коэффициенту поглощения не зависит от природы тел, явля- ется для всех тел одной и той же (универсальной) функцией длины волны и температуры и равно спектральной плотности энергетической светимо- сти абсолютно черного тела при той же температуре Т, (для которого a0λT =1): 0 Trλ 0),( T T T rTf a r λ λ λ =λ= . (1.5) Излучение абсолютно черного тела. Закон Стефана- Больцмана. Законы Вина Абсолютно твердым телом называется тело, которое полностью погло- щает всё падающее на него излучение. Абсолютно черное тело имеет для нас важное значение, так как оно явля- ется идеальным излучателем, зная свойства которого можно описать излуче- ние реальных тел. Название "черное тело" отражает его поглощательные свойства. Абсолютно черных тел в природе не существует. Наилучшим приближением к абсолютно черному телу является замкну- тая полость, в стенке которой сделано малое отверстие, через которое излу- чение из полости может выходить наружу. Если стенки полости непрозрач- ны, то при достаточно малых размерах отверстия в полости установится из- лучение, лишь мало отличающееся от равновесного. Через отверстие будет выходить практически такое же излучение, какое испускалось бы абсолютно черной площадкой той же формы и размеров. Убедиться в этом можно и дру- гим способом. Луч, проникший снаружи в полость через отверстие, будет претерпевать многократные отражения от стенок полости (рис. 1.2 а). При каждом отражении часть лучистой энергии поглощается. После многократ- ных отражений луч либо совсем не выйдет наружу через отверстие, либо выйдет лишь ничтожная часть лучистой энергии, проникшей в полость. Поч- ти вся энергия поглотится стенками полости. Это значит, что полость с ма- лым отверстием в отношении поглощения, а также согласно закона Кирхгофа и в отношении испускания, ведет себя практически как абсолютно черное те- ло. Рис. 1.2. Модели абсолютно черного тела: а) полость с отверстием; б) антиотражающее покрытие. Модель абсолютно черного тела показывает, что пористые или ворсистые тела, у которых размер пор или ворсинок больше λ, могут хорошо поглощать свет, поскольку излучение будет затухать в результате многократных отра- жений. На рис. 1.2 б приведен также пример антиотражающего покрытия. Если стенки полости поддерживать при некоторой температуре Т, то из отверстия выходит излучение, весьма близкое по спектральному составу к излучению абсолютно черного тела при той же температуре. Направляя это излучение на чувствительный термоэлемент или болометр, можно измерить энергетическую светимость RТ . Разлагая предварительно, с помощью приз- мы или дифракционной решетки, это излучение в спектр, можно детально изучить спектральный состав теплового излучения и экспериментально най- ти вид функции . Результаты таких опытов приведены на рис. 1.3. Разные кривые на рис. 1.3 относятся к различным значениям температуры Т. Пло- щадь, охватываемая кривой, дает энергетическую светимость RТ абсолютно чёрного тела при соответствующей температуре. Из рис. 1.3 видно, что RТ сильно возрастает с температурой Т. Максимум спектральной плотности энергетической светимости с увеличением температуры Т сдвигается в сторону более коротких длин волн. В свое время теоретическое и экспери- ментальное изучение функции позволило выяснить целый ряд новых, ра- нее не известных, свойств света. 0 Trλ 0 Trλ 0 Trλ Рис. 1.3. Графики функции для трех температур Т. ),( 0 Tr λ Из экспериментально установленных законов следует отметить результат, найденный в 1879 г. Стефаном. Он нашёл, что для чёрных тел энергетическая светимость пропорциональна четвёртой степени температуры. Через пять лет Больцман получил этот результат теоретически из термодинамических сооб- ражений и показал, что он имеет место для абсолютно чёрных тел. Закон Стефана-Больцмана: 4TRT σ= . (1.6) Энергетическая светимость RT абсолютно чёрного тела пропорциональ- на четвёртой степени температуры Т. Константу σ называют постоянной Стефана-Больцмана. Её эксперимен- тальное значение равно σ = 5,67 ⋅ 10-8 Вт / (м2 К4). В это же время делались также попытки решения основной задачи теории теплового излучения - определение вида функции спектральной плотности энергетической светимости . Вин в 1893 г. установил зависимость между длиной волна λmax , на которую приходится максимум функции , и темпе- ратурой Т, а также определил максимальное значение (первый и второй законы Вина). 0 Trλ 0 Trλ 0 Trλ I закон Вина ( закон смещения ): T b=λmax . (1.7) Длина волны λmax , на которую приходится максимальная спектральная плотность энергетической светимости абсолютно чёрного тела, обратно пропорциональна температуре Т. Экспериментальное значение константы b равно b = 2,898 ⋅ 10-3 м ⋅ К. Этот закон устанавливает, что с повышением температуры абсолютно чёрного тела, максимум функции смещается в сторону более коротких длин волн. 0 Trλ II закон Вина: 5 max 0 ),( TbTr ′=λ . (1.8) Максимальная спектральная плотность энергетической светимости аб- солютно чёрного тела пропорциональна пятой степени температуры. Константа b′ равна b′ = 1,29 ⋅ 10-5 Вт / ( м3 К5 ) . Однако явный вид функции спектрального распределения теплового из- лучения оказалось невозможным определить в рамках термодинамического подхода. Гипотеза и формула Планка Дальнейшая попытка теоретического выбора была предпринята Рэле- ем и Джинсом. Они исходили из рассмотрения теплового излучения как сис- темы стоячих электромагнитных волн в замкнутой полости. Они получили выражение для спектральной плотности энергетической светимости абсо- лютно чёрного тела: 0 Trλ 4 0 2),( λ π=λ ckTТr . (1.9) Выражение (1.9) называется формулой Рэлея - Джинса. Эта формула удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными лишь при больших длинах волн и резко расходится с опытом для малых длин волн. С другой стороны формула Рэлея-Джинса показывает, что интегрирование вы- ражения (1.9) по λ в пределах от 0 до ∞ даёт для энергетической светимости RT бесконечно большое значение. Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, также находится в противоречии с опытом. В частности, по закону Стефана-Больцмана RT должно быть пропорциональ- на четвертой степени абсолютной температуры, т.е. должна быть конечной величиной. Расхождение формулы (1.9) с опытом указывало на существование каких- то закономерностей, несовместимых с представлениями классической физи- ки. В 1900 г. М. Планку удалось найти вид функции , в точности соответ- ствующей опытным данным. Для этого ему пришлось сделать предположе- ние, совершенно чуждое классическим представлениям, а именно, допустить, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энер- гии (квантов), величина которых пропорциональна частоте излучения ν: 0 Trλ ε = hν. Коэффициент пропорциональности h получил название постоянной Планка: h = 6.63 ⋅ 10-34 Дж ⋅ с . Если энергия атома изменяется порциями hν, то энергия излучения εn должна быть кратной этой величине, т. е. εn = n hν, где n = 1, 2, 3, ... . Воспользовавшись этой гипотезой, Планк получил формулу для спек- тральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела : 0Trλ 1 12),( /5 2 0 −λ π=λ λkThce hcTr . (1.10) Эта формула носит названия формулы Планка. Она точно согласуется с экспериментальными данными во всем интервале длин волн от 0 до ∞. Следствия из формулы Планка: 1. В случае больших длин волн, hc/λkT <<1, формула Планка переходит в формулу Релея-Джинса (1.9), которая правильно описывает излучение в длинноволновой области спектра. 2. Формула Планка устраняет ”ультрафиолетовую катастрофу” и позволяет теоретически вычислить постоянные σ, b и b' в законах Стефана- Больцмана и Вина. Внешний фотоэффект и его законы К числу явлений, в которых обнаруживаются корпускулярные свойства электромагнитного излучения, принадлежит прежде всего фотоэлектриче- ский эффект или фотоэффект. Существует два вида фотоэффекта: внутрен- ний фотоэффект, который наблюдается в полупроводниках, и внешний фото- эффект. Внешним фотоэффектом называется явление испускание электронов веществом под действием света. Это явление было открыто Герцем в 1887 г. Он заметил, что проскакивание искры между цинковыми шариками разряд- ника значительно облегчается, если один из них осветить ультрафиолетовым светом. В 1888-1889 гг. явление внешнего фотоэффекта было подробно изу- чено в классических опытах русского физика Столетова. На основании своих опытов Столетов пришел к следующим выводам: 1) наибольшее действие оказывают ультрафиолетовые лучи, 2) сила тока возрастает с увеличением освещенности. 3) испускаемые под действием света заряды имеют отрица- тельный знак. Дальнейшие исследователи усовершенствовали опытную установку Сто- летова. Для опытов они использовали фотоэлемент, т.е. прибор, в котором электроды помещаются в эвакуированный баллон. На рис. 1.4 изображена опытная установка, позволяющая измерить вольтамперную характеристику фотоэлемента. Свет, проникающий через кварцевое окошко, освещает катод К, изготовлен- ный из исследуемого материала. Элек- троны, испущенные вследствие фотоэф- фекта, перемещаются под действием электрического поля к аноду А. В резуль- тате в цепи прибора течет фототок, изме- ряемый микроамперметром мкА. Напря- жение между катодом и анодом можно изменять с помощью потенциометра. Полученная вольтамперная характе- ристика (кривая зависимости фототока от напряжения между катодом и анодом) приведена на рис 1.5 . Эта характеристика снимается при неизменном свето- вом потоке Ф. На рисунке показаны три вольтамперные характеристики, снятые при различных величинах светового потока. Из этих кривых видно, что при некотором напряжении фототок достигает насыщения, т.е. все элек- троны, испущенные катодом, попадают на анод, Следовательно, сила тока насыщения Iн определяется количеством электронов, испускаемых катодом в единицу времени под действием света. Из рисунка также видно, что сила то- ка насыщения пропорциональна величине светового потока. Рис. 1.4. Схема опытной уста- новки. Пологий ход кривых указывает на то, что электроны вылетают из катода с различными по величине скоростями. Доля электронов, отве- чающая силе тока при U , обла- дает скоростями, достаточными для того, чтобы долететь до анода без помощи ускоряющего поля. Для об- ращения силы тока в ноль нужно приложить задерживающее напря- жение Uз , которое удовлетворяет следующему соотношению: 0= 1 2 з m e=2maxv U , (1.11) где m – масса электрона. Таким об- разом, измерив задерживающее напряжение Uз , можно определить макси- мальное значение скорости фотоэлектронов. Рис. 1.5. Вольтамперные характери- стики фотоэлемента. К 1905 г. было выяснено также, что максимальная скорость фотоэлектро- нов не зависит от интенсивности света, а зависит только от его частоты, а именно, увеличение частоты приводит к возрастанию скорости. Установлен- ные экспериментальные зависимости можно сформулировать в виде сле- дующих законов. Законы внешнего фотоэффекта: 1. Число фотоэлектронов, освобождаемых из катода в единицу времени, прямо пропорционально интенсивности света, т.е. фототок насыще- ния прямо пропорционален световому потоку. 2. Максимальная скорость фотоэлектронов зависит от частоты света и не зависит от его интенсивности. 3. Для каждого вещества существует красная (длинно волновая) граница фотоэффекта, т.е. фотоэффект наблюдается лишь в том случае, ес- ли длина волны света меньше некоторого максимального значения , которое зависит от химической природы вещества и состояния его поверхности. Все эти законы фотоэффекта представляются непонятными с точки зре- ния волновой природы света. В 1905 г. Эйнштейн указал на то, что все труд- ности исчезают, если рассматривать свет как поток частиц, фотонов с энер- гией , т.е. стать на чисто корпускулярную точку зрения. Качественная картина механизма фотоэффекта с этой точки зрения такова: фотон, погло- щаясь, отдает свою энергию электрону, и если эта энергия достаточна для то- го, чтобы освободить электрон от удерживающих его связей, то он выходит за пределы поверхности металла. Так как вероятность одновременного по- глощения двух фотонов одним электроном ничтожно мала, то каждый осво- божденный электрон заимствует свою энергию у одного фотона. hν Поэтому число освобожденных электронов должно быть пропорциональ- но числу поглощенных фотонов, т.е. пропорционально интенсивности света (закон Столетова). Но энергия фотоэлектрона зависит только от энергии по- глощенного фотона, равной hν , откуда следует, что энергия фотоэлектрона должна линейно зависеть от частоты и не зависеть от интенсивности (числа фотонов). Заметим, что лишь малая доля фотонов передает свою энергию фо- тоэлектронам. Энергия остальных фотонов затрачивается на нагревание ве- щества, поглощающего свет. Энергетический баланс при поглощении фотона может быть в самом об- щем случае выражен следующим образом: энергия поглощенного фотона равна сумме энергии отрыва электрона от атома (энергии ионизации), работы выхода электрона за пределы поверхности тела и кинетической энергии ос- вобожденного фотоэлектрона. Уравнение, которое выражает этот энергети- ческий баланс, называется уравнением Эйнштейна для фотоэффекта. Металлы характеризуются тем, что у них имеется большое количество свободных электронов, поэтому для металлов энергию отрыва электрона от атома можно считать раной нулю. Зато для выхода за пределы поверхности металла электрон должен преодолеть поле, благодаря наличию которого электроны оказываются запертыми внутри металла. Работа, которую нужно затратить на преодоление этого поля, и есть работа выхода A. Таким образом, для металлов уравнение Эйнштейна имеет вид: 1 2 h A mν = + 2maxv , (1.12) или зh A eUν + = . (1.13) Очевидно, что если , то электрон не сможет выйти за пределы по- верхности металла. Это значит, что существует некоторая минимальная час- тота hν < A min A h ν = , которая еще способна вызвать фотоэффект, при меньших час- тотах он не наблюдается (красная граница фотоэффекта). Работа выхода электрона из металла может быть определена эксперимен- тально, независимо от фотоэффекта, а именно путем исследования испуска- ния электронов накаленными телами. Она имеет порядок величины несколь- ких электрон-вольт. Зная работу выхода, можно вычислить длину волны красной границы фотоэффекта max min c hc A λ = =ν . (1.14) Такие вычисления показывают, что для щелочных металлов с работой выхода порядка 2 эВ лежит в видимой части спектра (например, для ка- лия = 0,6 мкм), а для вольфрама, платины и других металлов с работой выхода порядка 5 – 6 эВ maxλ maxλ maxλ лежит в ультрафиолетовой части спектра (на- пример, для вольфрама = 0,27 мкм). maxλ В рассмотренном выше явлении фотоэффекта электрон получает энергию от одного лишь фотона. Такие процессы называются однофотонными. С изобретением лазеров были получены недостижимые до тех пор мощности световых пучков. Это дало возможность осуществить многофотонные про- цессы. В частности, наблюдался многофотонный фотоэффект, в ходе кото- рого электрон, вылетающий из металла, получает энергию не от одного, а от N фотонов (N = 2, 3, 4, 5). Формула Эйнштейна в случае многофотонного фотоэффекта выглядит следующим образом 1 2 Nh A mν = + 2maxv . (1.15) Соответственно красная граница фотоэффекта смещается в сторону больших длин волн ( увеличивается в N раз). При этом ток насыщения связан с падающим световым потоком следующим образом maxλ N нI ∝ Φ . Фотоны. Квантовое объяснение давления света Чтобы объяснить распределение энергии в спектре теплового излучения, достаточно, как показал Планк, допустить, что свет испускается только пор- циями , Для объяснения фотоэффекта достаточно предположить, что свет поглощается такими же порциями. Однако Эйнштейн выдвинул гипотезу, что свет и распространяется в виде дискретных частиц, названных первона- чально световыми квантами. Впоследствии эти частицы получили название фотонов. Существование особых световых частиц – фотонов было подтвер- ждено экспериментально. Энергия фотона определяется его частотой hν E h= ν . (1.16) Фотон как частица обладает особыми свойствами, так как он движется со скоростью света c. Поэтому формулы классической механики к движению фотона неприменимы и нужно пользоваться соотношениями теории относи- тельности. Согласно теории относительности масса частицы, движущейся со скоростью v, равна 0 2 , 1 mm c = β =−β v , где - масса покоя. 0m Но так как фотон движется со скоростью c, знаменатель в этой формуле обращается в ноль. Отсюда следует, что масса покоя фотона обязательно должна быть равной нулю. Этим фотон самым существенным образом отли- чается от таких частиц, как, например, электроны, которые имеют конечную массу покоя. Так как масса покоя фотона равна нулю, то для вычисления импульса фо- тона мы не можем воспользоваться обычной формулой 0 21 mp m= = −β vv . Однако теория относительности дает другую формулу, а именно, форму- лу , связи между импульсом и энергией частицы, которая при- менима и к случаю частицы, движущейся со скоростью c. 2 2 2 2 0E c p m c= + 4 В этом случае получаем Ep c = . Наконец, для фотона E h= ν , и тогда импульс фотона равен hp c ν= . (1.17) Из того факта, что фотон обладает определенным импульсом, следует, что, встречая какое-нибудь препятствие, поток фотонов должен оказывать давление на это препятствие. Давление, создаваемое потоком фотонов, и есть световое давление, экспериментально установленное знаменитыми работами русского физика П.Н. Лебедева (рис. 1.6). При поглощении света импульс, со- общаемый потоком фотонов, падающих по нормали на единицу площади в еди- ницу времени равен hN c ν , а при отраже- нии света этот импульс равен 2hN c ν , где N - число падающих фотонов. В общем случае из общего числа N фотонов отражается фотонов и по- глощается Nρ (1 ) N−ρ фотонов, где ρ - ко- эффициент отражения. Тогда импульс, сообщаемый потоком фотонов, падаю- щих по нормали на единицу площади в единицу времени, т.е. давление света, ра- вен Рис. 1.6. Схема опыта Лебедева. ( ) ( )21 1h h NP N N c c h c ν ν ν= −ρ + ρ = + ρ . Если N - число фотонов, падающих по нормали на единицу площади в единицу времени, то тогда eE N h= ν будет плотностью энергии светового потока, т.е. освещенностью, и формула для давления света принимает вид ( )1eEP c = + ρ . (1.18) Учитывая формулу eE wc= связи освещенности eE с объемной плотно- стью световой энергии w, приходим к известной формуле для давления света, получаемой из волновой электромагнитной теории Максвелла (1 )P w= + ρ . То, что существование светового давления и его количественное выраже- ние могут быть выведены и из корпускулярной и из волновой природы света, является одним из проявлений двойственности природы света. Эффект Комптона Особенно отчетливо проявляются корпускулярные свойства излучения в явлении, которое получило название эффекта Комптона. Эффект Комптона заключается в увеличении длины волны рентгеновских квантов при рассея- нии их на электронах вещества. В 1923 г. А. Комптон, исследуя рассеяние рентгеновских лучей различными веществами, обнаружил, что в рассеянных лучах, наряду с излучением первоначальной длины волны λ содержатся так- же лучи большей длины волны ′λ . Разность ′Δλ = λ − λ оказалась зависящей только от угла , образуемого направлением рассеянного излучения с на- правлением первоначального пучка. От длины волны λ и от природы рассеи- вающего вещества Δλ не зависит. θ Схема опыта Комптона показана на рис. 1.7. Выделяемый диафрагма- ми узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения направ- лялся на рассеивающее вещество РВ. Спектральный состав рассеянного излучения исследовался с помощью рентгеновского спектрографа, со- стоящего из кристалла Кр и иониза- ционной камеры ИК. Рис. 1.7. Схема опыта Комптона. Эффект Комптона можно объяснить как процесс упругого столкновения рентгеновских квантов со свободными электронами вещества. На рис. 1.8 представлена векторная диаграмма такого процесса. Пусть энергия падающего рент- геновского кванта , а его импульс hν hp c ν= . Энергия рассеянного рентге- новского кванта , и импульс h ′ν Рис. 1.8. Векторная диаграмма hp c ′ν′ = . Начальная энергия покоящегося электрона , его импульс . Энергия электрона после столкновения 2 0m c 0 0 0m =rv 2 2 0 2 , 1 m cmc c = β−β v= , а импульс электрона после столкновения m r v , где - масса покоя электрона, - релятивистская масса. 0m m Тогда на основании законов сохранения энергии и импульса имеем 2 0h m c h mc′ν + = ν + 2 , (1.19) 0p p m′+ = + rr r v . (1.20) Векторное уравнение (1.20) фиксирует треугольник ОАВ (рис. 1.8). По формуле косинусов для этого треугольника определяем квадрат стороны АВ, равной по величине mv 2 2 2 2 2 22 co h h hm c c c ′ ′ν ν νν⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠v sθ . (1.21) Используя связь между энергией и импульсом электрона , первое уравнение запишем в виде 2 2 2 2 2 0( )E c p m c= + 2 2 2 0 0h m c h c m m c′ν + = ν + +v 2 2 . Далее разделим это уравнение на с и возведем в квадрат. В результате по- лучим 2 2 2 2 2 022 2 h h h h hm c c c c m c c ′ ′ν ν νν ν⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛= + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝v ′ν ⎞⎟⎠ . (1.22) Из сравнения выражений (1.21) и (1.22) получим ( )20 2 1 cosh h hm c c c c ′ ′ν ν νν⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠ θ , Учитывая связь между частотой ν и длиной волны λ, запишем c = λν ( )0 1 1 1 coshm c⎛ ⎞− = −⎜ ⎟′ ′λ λ λλ⎝ ⎠ θ . или ( ) 0 1 cosh m c ′λ − λ = − θ . Это выражение, записанное в виде 2 0 2 sin 2 h m c θ′Δλ = λ − λ = , (1.23) известно как формула для эффекта Комптона. Величина 0 h m c , имеющая размерность длины, есть комбинация трех уни- версальных постоянных, она называется комптоновской длиной волны элек- трона и обозначается через Λ 0 0,00243h нм m c Λ = = . (1.24) Результаты измерений Комптона и последующих измерений находятся в полном согласии с формулой (1.23), если подставить в нее значение (1.24) для Λ. 2. Боровская теория атома Во второй половине девятнадцатого века было выполнено много экспе- риментальных работ с трубками газового электрического разряда, например, с трубками, содержащими водород, неон и пары ртути. Обычно, свет от све- тящегося источника имеет непрерывный спектр. Однако когда был проанали- зирован свет, испускаемый газоразрядными трубками, наблюдался дискрет- ный или линейчатый спектр (рис. 2.1). Свет, исходящий непосредственно из трубки, даёт яркие линии или спектр испускания, указывающий на то, что присутствуют в нём только определённые специфичные длины волн. В об- щем, дискретный линейчатый спектр является характеристикой атомов и мо- лекул данного вещества и используется для идентификации вещества спек- троскопическим методом (рис. 2.1 a, b). Однако, атомы не только испускают свет, но и поглощают его. Если бе- лый свет проходит через относительно холодный газ, определённые частоты или длины волн будут отсутствовать в нём. Результатом этого будет спектр поглощения – серии тёмных линий наложенных на непрерывный спектр (рис. 2.1 c). Когда линии поглощения и линии испускания определённого газа бу- дут сравнены, то будут найдены в точности те же самые частоты. Причина линейчатых спектров была непонятна в то время, но они давали ключ к элек- тронной структуре атомов. Рис. 2.1. Линейчатые спектры: (а, b) спектры испускания; (с) спектр поглощения. Водород с относительно простым видимым спектром привлекал много внимания. Водород является также простейшим атомом, с одним электроном и одним протоном. В конце девятнадцатого века шведский физик Бальмер нашёл эмпирическую формулу, которая давала длины волн спектральных линий водорода в видимой области: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= 22 12 11 n Rλ для 3, 4, 5, ...n = , (2.1) где 21,097 10R нм 1− −= ⋅ – называется постоянной Ридберга. Спектральные линии водорода в видимой области называются серией Бальмера. Они хорошо описываются формулой Бальмера (2.1), но было не- понятно, почему. Аналогичные формулы были найдены для спектральных линий водорода в ультрафиолетовой и инфракрасной области. Объяснение спектральных линий было дано в теории атома водорода, вы- двинутой в 1913 г. датским физиком Нильсом Бором. Бор предположил, что в атоме водорода электроны движутся вокруг ядра-протона по круговым орби- там (аналогично тому, как планеты движутся вокруг Солнца). Электрическая кулоновская сила обеспечивает необходимое центростремительное ускоре- ние, и мы можем написать 2 2 2 m k eF r r = =v , (2.2) где - величина заряда протона и электрона, – скорость электрона на ор- бите, – радиус орбиты, e v r 01 4k = πε , 0ε - электрическая постоянная. Полная энергия электрона равна сумме кинетической и потенциальной энергии: 2 2 2 m k eE W r = + −vΠ = . С учётом (2.2) кинетическая энергия может быть записана в виде 2 2 2 2 m k e r =v . Тогда полная энергия равна r ke r ke r keE 22 222 −=−= . (2.3) Заметим, что энергия E является отрицательной, что указывает на то, что система является связанной, но если радиус стремиться к бесконечности, E стремиться к нулю. Если 0E = , электрон не будет больше связан с прото- ном, и атом, потеряв свой электрон, будет ионизироваться. До сих пор в рассуждениях были применены только классические прин- ципы. Но в этом месте теории Бор делает радикальное предположение – ра- дикальное в том смысле, что он вводит квантовую концепцию. Первый постулат Бора: Момент импульса или угловой момент элек- трона квантуется и может иметь только дискретные значения, которые кратны , где – постоянная Планка. / 2h=h π h На языке формул, это означает m r n= hv для 1, 2, 3, ...n = . (2.4) Число называется квантовым числом, конкретнее главным квантовым числом. В соответствии с этим предположением может быть найдена орби- тальная скорость электрона ( ). Она имеет только определённые значения n v n mr = hv . Подставляя это выражение для в уравнение (2.2), и решая его относи- тельно , находим v r 2 2 2nr ke m ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ h n для 1, 2, 3, ...n = . (2.5) Здесь мы использовали индекс при , чтобы подчеркнуть, что для элек- тронных орбит возможны только определённые радиусы, которые определя- ются главным квантовым числом . Энергия для данных орбит может быть найдена посредством подстановки выражения для данных в (2.3): r n r 2 4 2 1 2n k e mE n ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠h 2 для 1, 2, 3, ...n = , (2.6) где энергия также записана в виде , чтобы показать её зависимость от . Величины в скобках в правой части уравнения (2.6) являются постоянны- ми и могут быть тоже вычислены. Получим важные результаты: nE n 20,0529nr n нм= , (2.7) 2 13,6 nE эВn = − для 1, 2, 3, ...n = . (2.8) Однако, всё ещё имеется серьёзная классическая проблема в теории Бора. Согласно классической физике ускоренный электрон излучает электромаг- нитную энергию, так как, даже находясь на дискретной круговой орбите, электрон будет иметь центростремительное ускорение. Таким образом, дви- жущийся по орбите электрон будет уменьшать свою энергию и по спирали упадет на ядро, как могут покидать свою орбиту спутники Земли вследствие потерь из-за трения. Этого не происходит в атоме водорода, поэтому Бор сделал второе предположение. Второй постулат Бора: Электрон в атоме водорода не излучает энер- гию, когда он находится на дискретной орбите, а излучает энергию только тогда, когда переходит на другую орбиту. Возможные разрешенные орбиты электрона в атоме водорода обычно вы- ражают на языке энергетических уровней, как показано на рис. 2.2. В этом смысле мы просто ссылаемся на электрон, находящийся на определённом энергетическом уровне или в определенном энергетическом состоянии. Электрон, связанный с протоном ядра, находится в потенциальной энергети- ческой яме, которая подобна гравитационной потенциальной яме. Главное квантовое число указывает энергетический уровень. Самый низкий энергети- ческий уровень ( ) называется основным состоянием. Энергетические 1n = уровни выше основного состояния называются возбуждёнными состояния- ми. Например, есть первое возбуждённое состояние и т.д. 2n = Рис. 2.2. Энергетические уровни в атоме водорода. Электрон обычно находится в основном состоянии и, получив энергию, он возбуждается или поднимается вверх в яме в возбуждённое состояние. Электрон атома водорода может возбуждаться только на дискретную вели- чину энергии. Энергетические уровни в некотором смысле аналогичны сту- пенькам лестницы. Электрон обычно не остаётся долго в возбуждённом со- стоянии, он падает или переходит на более низкий энергетический уровень за короткое время. Время, которое электрон проводит в возбуждённом состоя- нии, называется временем жизни возбуждённого состояния. Для большинст- ва состояний время жизни около 10-8 с. При переходе в более низкое состоя- ние испускается энергия в виде кванта света, фотона. Энергия фотона равна разности энергий уровней, т.е. in kn E E EΔ = − , или 2 2 1 113,6 k i E эВ n n ⎛ ⎞Δ = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ , (2.9) где индексы и относятся к начальному и конечному состоянию, соответ- ственно. i k Так как hcE hΔ = ν = λ , то могут испускаться только фотоны определённой частоты и длины волны. Это соответствует различным дискретным переходом. Значения конечно- го главного квантового числа соответствуют энергетическому уровню, на который переходит электрон в излучающих сериях (рис. 2.3). Так, серии Бальмера видимой области соответствует kn 2kn = . Существует одна серия, расположенная полностью в ультрафиолетовой области, это серия Лаймана, в которой все переходы кончаются на 1kn = . Существует много серий, распо- ложенных полностью в инфракрасной области. Среди них наиболее известна серия Пашена, которая заканчивается электроном во втором возбуждённом состоянии ( ). Длины волн различных переходов электрона в атоме во- дорода были вычислены и находятся в согласии с экспериментально наблю- даемыми линиями. 3kn = Рис. 2.3. Серии спектральных линий атома водорода. Хотя результаты теории Бора находятся в согласии с экспериментом для водорода, а также для ионизированного гелия и для дважды ионизированного лития, она безуспешно пыталась объяснить многоэлектронные атомы. Теория Бора была незавершённой в том смысле, что она помещала новые квантовые идеи на классический каркас. Теория содержала много корректных идей, но не давала завершённого описания атома, пока не была создана квантовая ме- ханика. 3. Элементы квантовой механики Волны вещества. Гипотеза де Бройля Первоначальные успехи квантовой теории были впечатляющими, но они также создали неожиданную ситуацию, поскольку они указывали на то, что свет (т.е. электромагнитное излучение) имеет двойственную природу. С од- ной стороны, во многих опытах свет проявляет классические волновые свой- ства. С другой стороны, объяснение некоторых явлений требует, чтобы свет имел квантовую или корпускулярную природу. Примерно в 1925 г. был создан новый тип физики, основанной на синтезе волновой и квантовой идей. Эта новая теория, названная квантовой механи- кой, объединила корпускулярно-волновой дуализм в единое согласованное описание. Она заложила основу нашего современного понимания микроско- пических (и субмикроскопических) явлений. Остановимся более подробно на некоторых основных идеях квантовой механики и покажем, как описываются волны и частицы. С точки зрения тео- рии относительности фотон, движущийся со скоростью света, является без- массовой частицей, т.е. частицей, не имеющей массы покоя . Можно по-0m казать, что полная энергия и релятивистский импульс частицы связаны соот- ношением 2 2 2 20( 2)E p c m c= + . Тогда фотон, не обладающий массой покоя, имеет энергию и релятивистский импульс E p= c p E c= . Так как согласно гипотезе Планка, энергия фотона может быть записана в виде E h hc= ν = λ , то импульс фотона связан с его длиной волны E h hp c ν= = =λν λ . (3.1) Таким образом, можно сказать, что энергия в электромагнитных волнах с длиной волны λ будет задаваться энергией частиц-фотонов, имеющих им- пульс p h= λ . Поскольку природа обладает симметрией, французский физик Луи де Бройль предположил, что имеет место симметрия: волна – частица, т.е., если свет одновременно ведет себя подобно частице, то возможно, частицы веще- ства, такие как электроны, также имеют волновые свойства. В 1924 году де Бройль выдвинул гипотезу, что движущаяся частица имеет волну, связанную с ней. Он предположил, что длина волны частицы вещества связана с им- пульсом частицы посредством соотношения, аналогичного соотношению (3.1) для фотона. Более точная формулировка гипотезы де Бройля следую- щая: Всем частицам вещества присущ корпускулярно-волновой дуализм, т.е. с движущейся частицей, обладающей импульсом , связана волна, которая имеет длину p h h p m λ = = v . (3.2) Эти волны, связанные с движущимися частицами, называются волнами вещества или более просто волнами де Бройля и, надо полагать, они каким- то образом влияют или «управляют» движением частиц. Можно думать, что электромагнитная волна является волной де Бройля для фотона, но волны де Бройля, связанные с частицами, такими как электрон и протон, не являются электромагнитными волнами. Формула де Бройля для длины волны не отве- чает, однако, на вопрос, какой тип волны связан с частицами вещества (час- тицами, имеющими ненулевую массу покоя). Разумеется, что гипотеза де Бройля была встречена с большим скепти- цизмом. Идея, что движение фотонов каким-то образом управляется элек- тромагнитными волновыми свойствами света, не казалась неразумной. Но обобщить эту идею и сказать, что движение частиц с массой также каким-то образом управляется волной, связанной с частицами, было тяжелым для вос- приятия. Более того, в то время не было экспериментальных доказательств того, что частицы проявляют волновые свойства, такие как интерференция и дифракция. В поддержку своей гипотезы де Бройль показал, каким образом может быть дана интерпретация квантования углового момента в боровской теории атома. Вспомним, что для получения согласия со спектром атома водорода, Бор выдвинул гипотезу, что угловой момент электрона квантуется с множи- телем . Де Бройль утверждал, что для свободной движущейся час- тицы связанная с ней волна будет бегущей волной. Однако, связанный элек- трон в атоме водорода повторяет движение, двигаясь по дискретным круго- вым орбитам в соответствии с теорией Бора. Поэтому можно сказать, что в этом случае волна, связанная с электроном, будет стоячей волной, т.е. только целое число длин волн будет иметь место для данной орбиты. Волна должна встретиться сама с собой, как это говорят, в одинаковой фазе. В результате, возвращаясь в то же самое место, она будет существенно усиливаться, как это делает волна на струне. Ситуация подобна линейному случаю для стоя- чей волны натянутой струны, закрепленной с обоих концов (рис. 3.1). / 2h=h π Рис. 3.1. Квантование углового момента по де Бройлю. Длина окружности боровской орбиты радиуса равна , так что эта длина будет равна целому числу длин волн nr 2 nrπ 2 nr nπ = λ для 1, 2, 3, ...n = . Используя формулу де Бройля h m λ = v для длины волны и вспоминая, что угловой момент для круговой орбиты равен nL m r= v , получим 2 n nhr m π = v , или nL m r n= = hv . Таким образом, угловой момент квантуется как раз так, как предложил Бор. Теперь ясно, что гипотеза де Бройля согласуется с постулатами Бора для атома водорода. Для орбит, отличных от тех, которые разрешены теорией Бора, волна де Бройля для электрона, вращающегося по орбите, не будет на- кладываться сама на себя, т.е. длина окружности неразрешенной орбиты не будет равна целому числу длин волн. Это будет приводить к гашению ин- терференции, и результирующая волна будет затухать или иметь нулевую амплитуду. Отсюда следует, что амплитуда волны де Бройля будет связана каким-то образом с местоположением электрона. Этот вывод в действи- тельности является фундаментальным краеугольным камнем квантовой ме- ханики. В 1927 году два американских физика Девиссон и Джермер наблюдали дифракцию пучка электронов на кристалле, и тем самым продемонстрировали волновые свойства частиц. В эксперименте был исполь- зован монокристалл никеля (рис. 3.2). Кри- сталл, вырезанный для опыта, имел расстоя- ние между плоскостями равное . Когда пучок электронов был направлен пер- пендикулярно грани кристалла, наблюдался максимум интенсивности рассеянных элек- тронов под углом 50° относительно нормали к поверхности. Рассеяние было наиболее интен- сивным при ускоряющем напряжении 54,0 В. 0,215d нм= Рис. 3.2. Дифракция пучка электронов на кристалле. Согласно волновой теории, максимум первого порядка будет наблюдаться под уг- лом, даваемым соотношением: sind θ = λ . Из этого условия получается волны С другой стороны, используя формулу для длина sin 0,215 sin 50 0,165d нмθ = ⋅ =o . длины волны де Бройля для электронов, уско- ренных напряжением U , получим 1,50 0,167h h нмλ = = = = 2 нм p UmeU . Совпадение длин волн превосходное с учетом экспериментальной погрешности, и опыт Бр Другой опыт, выполненны нейшее подтверждение ускал свободно движущейся частицы Гипотеза де Бройля предсказывает, что движущиеся частицы имеют свя- занные с вают их п имеет Девиссона-Джермера дал убедительное доказательство справедливости гипотезы де й Томсоном в Великобритании в том же году, дал даль . Томсон проп пучок ускоренных элек- трон Рис. 3.3. Дифракционная кар- тина: (а) электронов; (b) рентгеновских лучей. ойля. ов через тонкую металлическую фольгу. Дифракционная картина элек- тронов была такая же, как для рентгеновских лучей. Сравнение этих картин, показанное на рис. 3.3, не оставляет никакого сомнения в том, что частицы проявляют волновые свойства. Волновая функция ними волны, которые каким-то образом управляют или описы оведение. Однако, она ничего не говорит о виде этих волн, кроме их длины. Чтобы иметь подходящую теорию, необходимо уравнение, которое будет давать вид волн вещества, в частности вид волны для частицы, движу- щейся под действием силы, например, для электрона, вращающегося вокруг протона под действием электрической силы. Такое уравнение получил авст- рийский физик Эрвин Шредингер в 1926 г. Прежде чем приступить к волновому уравнению, обратимся к волне де Бройля для свободно движущейся частицы. Как всякая волна, волна де Брой- ля описывается волновой функцией, которая обозначается ( )псиψ и которая зависит от пространственных и временных координат, т.е. ( , )r t →ψ . В случае одномерной классической бегущей волны волновая функция вид: 0( , ) cos( )x t t kxψ = ψ ω − , (3.3) где πν=ω 2 - циклическая частота, 2k = π λ - волновое число. Так как волна де Бройля описывает дв ция до ргией и . Такая связь уста ижение частиц, то ее волновая функ лжна быть связана с эне импульсом частицы навливается гипотезами Планка и де Бройля, т.е. E h= ν = ωh , p h k= λ = h , (3.4) где / 2h= πh - другая форма постоянной Планка. Тогда в случае фотона посл ны в (3.3) е заме ω на E h и k на p h вол- нова ия будет имеет вид: я функц 0 1( , ) cos ( )x t E t pxψ = ψ − . (3.5) h Для фотона соотношение k c= ω с учетом ской связи между энергией и импульсом (3.4) приводит к релятивист- p E c= . Поскольку для свободно движущейся нерелятивистской частицы имеет место другая связь: 2 2 pW m = , то ее волновая функция будет отличаться от волновой функции (3.5). В случае свободно движущейся частицы волновая функция является комплексной функцией, которая получается из (3.5), если к правой части до- бавить чисто мнимую часть 0 1sin ( )i E t− ψ −h px . В результате, записав ком- плексную функцию в показательной форме, получим волновую функцию для волны де Бройля в случае свободно движущейся частицы: ( 0( , ) i E t p x x t e − −ψ = ψ h ) . (3.6) Продифференцируем волновую функцию (3.6) по времени и по коор- динате t x : ,i E t x ∂ψ ∂ψ .i p= − ψ = ψ∂ ∂h h (3.7) Вид выражений (3.7) подсказывает нам выбрать операторы энергии E ∧ и импульса в одномерном случае в виде p ∧ ,E i p i t x ∧ ∧ .∂ ∂= = −∂ ∂h h . (3.8) Тогда на языке операторов выражения (3.7) запишутся следующим обра- зом: ,E E p p ∧ ∧ψ = ψ ψ = ψ (3.9) Волновое уравнение Шреденгера Первый постулат квантовой механики: Каждая динамическая переменная, характеризующая движение части- цы, должна быть представлена линейным оператором. Далее, чтобы перейти к квантовой механике, нужно классические соот- ношения между динамическими переменными заменить на операторные со- отношения, действующие на волновую функцию ( , )x tψ . Если в качестве такого соотношения взять выражение для полной меха- нической энергии , то получим волновое уравнение: E W П= + E W П ∧ ∧ ∧ψ = ψ + ψ , (3.10) где оператор потенциальной энергии П ∧ есть просто функция , а оператор кинетической энергии W ( , )П x t ∧ равен 2 2 2 € 2 2 pW m m ∧ 2 x ∂= = − ∂ h . (3.11) В явном виде уравнение (3.10) примет форму . 2 2 22 ψ+∂ ψ∂−=∂ ψ∂ П xmt i hh (3.12) Это и есть одномерное волновое уравнением Шредингера для нахожде- ния волновой функции, вид которой определяется потенциальной энергией. Как известно из классической механики, в консервативной замкнутой системе имеет место закон сохранения полной механической энергии, т.е. . W П E const+ = = Как видно из (3.9), в случае E const= зависимость волновой функции ( , )x tψ от времени имеет такой же вид, как и для свободно движущейся части- цы. Тогда волновую функцию можно представить как произведение двух функций ( , ) ( ) i E t x t x e −ψ = ψ h , и волновое уравнение Шредингера примет вид ( )W E П ∧ ψ − − ψ = 0 , или 2 2 2 2 ( )d m E П dx ψ 0+ − ψ =h , (3.13) где . Это одномерное уравнение Шредингера для стационарных со- стояний. )(xψ=ψ В случае трех пространственных измерений стационарное уравнение Шредингера для волновой функции ( , , )x y zψ = ψ запишется следующим об- разом: 2 2 2 ( )m E П∇ ψ + − ψ =h 0 , где 2 2 2 2 2 2 2x y z ∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂ – оператор Лапласа. Квантование. Движение частицы в прямоугольной потенциальной яме Второй постулат квантовой механики: В результате точного измерения динамической переменной, характери- зуемой оператором, может получаться лишь какое-либо из собственных значений этого оператора. Это мы установим на частном примере. Рассмотрим электрон, движущийся в бесконеч- но глубокой одномерной потенциальной яме. На рис. 3.4 представлена потенциальная кривая для этого случая. Поведение электрона, нахо- дящегося в потенциальной яме, описывается стационарным уравнением Шредингера: 2 2 2 2 0d m E dx ψ + ψ =h , (3.14) которое имеет простой вид и может быть легко решено. При решении уравнения (3.14) необхо- Рис. 3.4. Электрон в потен- циальной яме. димо наложить на волновую функцию (x)ψ гр , аничные условия: 0 0 0 . при x при x a ψ = ≤⎧⎨ψ = ≥⎩ Заметим, что 22 2 kmE = h - квадрат волнового числа, тогда общее решение уравнения (3.14) имеет вид sin cosA kx B kxψ = + , где А и В - произвольные постоянные. При наложении граничного условия при получим 0=x (0) 1 0, 0B Bψ = ⋅ = ⇒ = . Далее воспользуемся граничным условием при ax = 0sin)( ==ψ kaAa , откуда следует, что , или π= nka nk a π= для 1, 2, 3, ...n = . Таким образом, волновое число, а следовательно, и длина волны, свя- занной с электроном, принимают только дискретные значения. Поскольку 2 2 2 E m = h k , то и энергия электрона принимает дискретные значения: 2 2 2 22n E n ma π= h для 1, 2, 3, ...n = . (3.15) С учетом выражения (3.11) для оператора кинетической энергии, и так как внутри потенциальной ямы WE = , уравнение (3.14) можно записать в ви- де: W E ∧ ψ = ψ . (3.16) Это уравнение представляет собой задачу на отыскание собственных значений оператора . Как мы видим, собственные значения оператора представляют набор дискретных значений . W ∧ W ∧ nE Волновые функции представляют собой набор из nψ собственных функ- ций оператора . Тогда любую волновую функцию W ∧ ψ , удовлетворяющую уравнению W , можно представить в виде разложения в ряд E ∧ ψ = ψ ∑= n nna ψψ . (3.18) В случае электрона, находящегося в потенциальной яме, собственные волновые функции имеют вид: x a nAxn π=ψ sin)( для 1, 2, 3, ...n = . (3.19) К определению постоянной А мы вернемся позже, после рассмотрения третьего постулата квантовой механики. Статистический смысл волновой функции Теперь обратимся к физическому смыслу волновой функции ψ . В ран- ние годы развития квантовой механики не было ясно, как интерпретировать волновую функцию. После многих размышлений и исследований был сделан вывод, что квадрат модуль волновой функции 2ψ представляет собой веро- ятность нахождения частицы в определенном месте и в определенный мо- мент времени. Эта интерпретация волновой функции была предложена немецким физиком Максом Борном в 1926 г. ψ Вспомним, что энергия или интенсивность классической волны пропор- циональна квадрату ее амплитуды. Подобно этому интенсивность световой волны пропорциональна 2E , где E – амплитуда электрического поля. Если смотреть на это с точки зрения частиц-фотонов, интенсивность светового пучка пропорциональна числу ( n ) фотонов в пучке, т.е. . Итак, число фотонов пропорционально квадрату амплитуды электрического поля волны. 2n E∼ Волновая функция интерпретируется аналогичным способом. Волно- вая функция в общем случае изменяется по величине в пространстве и во времени. Если ψ ψ описывает электронный пучок, тогда 2ψ будет пропорцио- нально числу электронов, которые, как можно ожидать, будут находиться в малом объеме вокруг данной точки в некоторый момент времени. Однако, когда мы имеем дело с отдельной частицей, 2ψ представляет собой вероят- ность нахождения частицы в данной точке. В этом и заключается физиче- ский смысл волновой функции: Квадрат модуля волновой функции 2ψ пропорционален вероятности на- хождения частицы в данном месте пространства и в данный момент времени, или точнее говоря, является плотностью вероятности. Таким образом, если поведение частицы описывается волновой функци- ей ( , )r tψ = ψ r , то квадрат модуля волновой функции 2 * wψ = ψψ = является плотностью вероятности, а 2 dV w dVψ = – вероятностью нахождения час- тицы в данном элементе объема dV dx dy dz= . Тогда интеграл от 2ψ , взятый по всему объему, должен равняться единице: 2 1dVψ =∫ . Это условие носит название условия нормировки. Интерпретация 2ψ как вероятности нахождения частицы в определен- ном месте изменила идею теории Бора о том, что электрон в атоме водорода может находиться только на определенных орбитах, расположенных на дис- кретных расстояниях от ядра. Когда было решено уравнение Шредингера для атома водорода, были найдены радиальные волновые функции для каждого энергетического уровня, которые имеют отличные от нуля значения для лю- бых расстояний от ядра. Например, относительная вероятность для электрона в основном состоянии ( ) в зависимости от радиуса показана на рис. 3.5 а. 1n = Рис. 3.5. К вероятностной интерпретации волновой функции. Максимум вероятности совпадает с боровским радиусом 0,0529 нм, но возможно (так как имеется конечная вероятность), что электрон может быть почти на любом расстоянии от ядра. Волновая функция отлична от нуля и для расстояний больших 0,20 нм, но имеется очень маленький шанс (вероят- ность) найти электрон в основном состоянии на этих расстояний. Распреде- ление плотности вероятности приводит к идее об электронном облаке вокруг ядра (рис. 3.5 b). (Для более четкого изображения основного состояния ( 1n = ) часть рис. 3.5 b удалена). Плотность облака отражает плотность вероятности, что электрон находится в определенной области. Таким образом, квантовая механика использует волновые функции час- тиц для предсказаний вероятности явлений с этими частицами. Это приме- нимо также к свету и частицам-фотонам. Например, квадрат классической электромагнитной волновой функции, которая является волной де Бройля для ее фотонов, дает вероятность нахождения фотонов в определенных мес- тах пространства. Как мы знаем, в опыте по дифракции света на одной щели большинство фотонов попадает в область центрального максимума на экра- не, меньшее количество фотонов будет достигать областей первой светлой полосы, и даже некоторые фотоны попадут в область второй светлой полосы, но ни один в темную область между ними, и так далее. Квантово- механическое распределение вероятности, или плотности частиц на экране имеет то же самое относительное распределение, как и распределение клас- сической интенсивности, или яркости. Другое квантово-механическое явление, которое приводит к противоре- чию с нашим повседневным опытом с большими объектами, называется тун- нелированием. Как мы видели, основной идеей квантовой механики является то, что местоположение частицы описывается волной вероятности, но пове- дение волн отличается от поведения частиц. Из классической физики мы знаем, что имеются области в поле потен- циальных сил, где запрещено находиться частицам, обладающим данным значением полной энергии. Это области, где потенциальная энергия частицы больше, чем полная энергия. Частица не попадает в такие области, потому что она должна была бы иметь отрицательную кинетическую энергию ( ), что невозможно. В таких ситуациях мы говорим, что место пребывания частицы ограничено потенциальным энергетическим барьером. 0E W− = <Π Однако, в определенных случаях квантовая механика предсказывает ма- лую, но конечную вероятность того, что волновая функция частицы проника- ет во внутрь барьера и может быть отличной от нуля за барьером, т.е. частица может находиться по другую сторону барьера. Мы видим, что име- ется определенная вероятность «тун- нелирования» частицы через барьер. Такое туннелирование действи- тельно наблюдается и положено в ос- нову работы сканирующего туннель- ного микроскопа, который дает изо- бражение с разрешением порядка размера отдельного атома (рис. 3.6). Такое же проникновение через барьер используется также для объяснения определенных процессов распада ядра, что в классической физике не должно было бы иметь место. Рис. 3.6. Изображение сканирующего туннельного микроскопа. Вернемся к нашему случаю электрона, находящегося в потенциальной яме, который может принимать только дискретный набор собственный зна- чений энергии , и который при этом описывается собственными волновы- ми функциями: nE x a nAxn π=ψ sin)( для 1, 2, 3, ...n = . Для нахождения коэффициента А воспользуемся условием нормировки вол- новой функции, которое в данном случае запишется следующим образом: 2 2 0 sin 1 a nxA dx a π =∫ . На концах промежутка интегрирования подынтегральная функция обращает- ся в нуль. Поэтому значение интеграла можно получить, умножив среднее значение (равное, как известно, 1/ ) на длину промежутка . В 2sin ( / )nx aπ 2 a результате получится: 2 (1/ 2) 1A a = , откуда 2 /A = a . Таким образом, собст- венные волновые функции имеют вид: 2( ) sinn nxx a a πψ = для 1, 2, 3, ...n = . На рис.8 изображены стоячие волны, соответствующие этим функциям. В общем случае можно следующим образом сформулировать третий постулат квантовой механики: Число измерений, при которых получается -ое собственное значение оператора, пропорционально квадрату абсолютной величины коэффици- ента в разложении волновой функции n na ψ по собственным функциям ( )n xψ : ( ) ( )n n n x a xψ = ψ∑ . Принцип неопределенности Гейзенберга Важный вывод квантовой механики связан с измерением и точностью измерения. В классической механике не существует предела точности изме- рения. Теоретически посредством последовательного усовершенствования измерительного инструмента и методики может быть достигнута любая точ- ность измерения, т. е. можно получить точное значение величины. Это явля- ется следствием детерминистического взгляда на природу. Например, если вы знаете точно положения и скорость тела в некоторый момент времени, вы можете определить, где оно будет в будущем, и где оно было в прошлом (предполагая, что вы знаете все силы в будущем и прошлом). Однако, квантовая механика предсказывает совсем другое и устанавли- вает пределы возможной точности измерения. Эта идея была выдвинута в 1927 г. немецким физиком Вернером Гейзенбергом, который развил другой подход к квантовой механике, дополняющий волновую теорию Шредингера. Принцип неопределенности Гейзенберга в применении к координате и им- пульсу (или скорости) частицы может быть сформулирован следующим об- разом: Невозможно знать одновременно точное местоположение объекта и его импульс. Эта концепция часто иллюстрируется с помощью простого мысленного эксперимента. Предположим, что вы хотите измерить координату и импульс (в действительности, скорость) электрона. Для того чтобы вы видели место- положение электрона, по крайней мере, хотя бы один фотон должен отразит- ся от электрона и попасть вам в глаза. Однако, в процессе столкновения не- которая доля энергии и импульса фотона передается электрону. После столк- новения электрон отклонится. Таким образом, при всех попытках точнее оп- ределить местоположение электрона (попытках сделать неопределенность координаты xΔ очень малой) вы вызываете все большую неопределенность ваших знаний о скорости электрона или о его импульсе ( ), в резуль- тате процесс определения точного положения электрона приведет к тому, что электрон улетит прочь. В повседневном макроскопическом мире неопреде- ленность вследствие наблюдения объекта будет ничтожно малой, свет не производит ощутимого изменения движения или положения объекта обыч- ных размеров. p mΔ = Δv В микроскопическом мире положение электрона может быть измерено в лучшем случае с точностью порядка длины волны λ падающего света, т.е. . Фотон имеет импульс xΔ ≈ λ /p h= λ . Так как мы не можем сказать, какая часть этого импульса может быть передана в процессе столкновения, то ко- нечный импульс электрона будет иметь неопределенность . /p hΔ ≈ λ Полная неопределенность дается произведением отдельных неопреде- ленностей и будет следующая: ( )( ) ( )hp x ⎛ ⎞ hΔ Δ ≈ λ =⎜ ⎟λ⎝ ⎠ . Это выражение дает оценку минимальной неопределенности или макси- мальной точности одновременного измерения импульса и координаты элек- трона. В действительности, неопределенности будут хуже, поскольку зависят от интенсивности испускаемого света (числа фотонов), аппаратуры и техни- ки. После подробных теоретических вычислений Гейзенберг нашел, что в лучшем случае ( )( ) 2 hp xΔ Δ ≥ π . (3.20) Итак, принцип неопределенности Гейзенберга утверждает, что произве- дение минимальных неопределенностей координаты и импульса частицы есть величина порядка постоянной Планка, деленной на . Таким образом, сам процесс измерения ограничивает точность, с которой мы можем одно- временно измерить координату и импульс. 2π Другой вид принципа неопределенности связан с энергией и временем. Чтобы понять это, обратимся опять к предыдущему мысленному экспери- менту, в котором положение электрона может быть известно с неопределен- ностью . Фотон, используемый для детектирования электрона, распро- страняется со скоростью , и ему необходимо время xΔ ≈ λ c x c c Δ λ≈ , для того, чтобы фотон прошел расстояние, равное неопределенности положения электрона. Таким образом, время, в течение которого измеряется положение электрона, является неопределенным с t c λΔ ≈ . Так как мы не можем сказать, передал ли фотон только часть или всю свою энергию hcE h= ν = λ электрону, то неопределенность энергии равна hcEΔ ≈ λ . Как и в случае соотношения между неопределенностями координаты – импульса, мы имеем в лучшем случае ( )( ) 2 hE tΔ Δ ≥ π . (3.21) Эта форма принципа неопределенности указывает, что энергия объекта может быть неопределенной по величине EΔ в течение времени 2 ht E Δ ≈ πΔ . В течение этого времени энергия является неопределенной и может даже не со- хранятся. Итак, мы не можем измерить энергию частицы точно, если измерение не будет продолжаться бесконечно долго. Если измерение энергии проводилось в течение времени , тогда будет неопределенность в величине энергии tΔ EΔ . Например, измерение частоты фотона, испускаемого атомным электроном, является измерением энергии, связанной с переходом из возбужденного со- стояния в основное состояние. Измерение может быть проведено за время сравнимое со временем нахождения электрона в возбужденном состоянии, т.е. со временем жизни возбужденного состояния. Как результат, наблюдае- мые линии испускания в частотном спектре должны иметь конечную энерге- тическую ширину, так как E hΔ = Δν . Это есть естественное уширение линий спектра. Литература 1. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, т. 1- 3, 1977-1989 гг. 2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. - М.: Наука, т. 1- 6, 1977-1990 гг. 3. Шпольский Э.В. Атомная физика. - М.: Наука, т. 1, 1974 г. 4. Wilson J.D., Buffa A.J. Physics, Third Edition, 1995.