28 
 
 
 
 
УДК 62-83 
 
СИНТЕЗ УПРАВЛЕНИЯ ДВУХМАССОВЫМ 
ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИМ ОБЪЕКТОМ 
 
Канд. техн. наук, доц. ОПЕЙКО О. Ф. 
 
Белорусский национальный технический университет 
 
Электромеханические объекты с упругими свойствами механической 
части обычно изучаются на основании двухмассовой модели [1–8]. Синте-
зу систем управления двухмассовым электромеханическим объектом по-
священы многочисленные работы, в том числе [4–8]. Проблема синтеза 
таких систем остается актуальной, поскольку предложенные структуры  
и методы синтеза обычно имеют ограниченные области применения.  
В [6–8] используется метод синтеза, основанный на оценке качества по ко-
эффициентам характеристического полинома [6, 7]. 
Целью данной работы является синтез управления двухмассовым элек-
тромеханическим объектом на основании данного метода в сочетании  
с методом малого параметра [11–13] для упрощения модели. Синтез пред-
полагает определение быстродействия электропривода, необходимое для 
управления заданной механической частью. За малый параметр принято 
отношение требуемой характеристической частоты синтезируемой систе-
мы к характеристической частоте контура управления скоростью электро-
привода. Синтезируемая система должна обладать свойством параметриче-
ской грубости (робастности, инвариантности к внутренним возмущениям 
объекта). 
Желаемая линейная модель замкнутой системы задана нормальным ха-
рактеристическим полиномом [9, 10, 13, 14]. 
Характеристическая частота ν0 и показатель κi затухания синтезируе-
мой системы принимаются в зависимости от требуемого быстродействия и 
допустимого в системе перерегулирования и должны удовлетворять усло-
виям (4) из [14]: , ;i  κ ∈ κ κ   [ ]0 00 , .ν ∈ ν ν  Для системы управления двух-
массовым электромеханическим объектом [14] рассмотрим задачу синтеза 
при условии, что измеряемая датчиком скорость рабочего органа ω2 рас-
сматривается в качестве выходной величины системы. Динамика системы 
(6)–(9) зависит от обобщенных параметров [14]: ( )1 / ;M MT J R kk=  λ = 
J2/J1; 2 2 1/ 1,b J Jλ = +  собственных частот 1 1 / ;MTTν =  2 21/ / .c Jν =  
Введем обозначения: х1 = ω2; х2 = 1;x  z1 = bω1; z2 = 1.z  Система урав-
нений объекта принимает вид: 
 
 29 
1 2
2
2 2 1 1
1 2
2 2 2 2 2
2 2 1 2 2 1 1 2
1
;
( );
;
( ) .
x x
x z x
z z
zbz b x x b z b u
J T T
=
= ν −
=
 
= λν − + λ ν + ν − + 
 




                (1) 
 
 
В качестве быстрой составляющей движения рассматривается подси-
стема переменных z, описываемая двумя последними уравнениями (1). То-
гда медленное движение определяется первыми двумя уравнениями систе-
мы (1) и переменной х. В соответствии с [11, 12] при изучении быстрого 
движения медленные переменные приближенно принимаются за постоян-
ные величины, а при анализе медленной составляющей инерционностью 
быстрого звена пренебрегают. 
Представим сигнал управления в виде суммы двух составляющих: 
1 2.u u u= +  Здесь 1u  – сигнал управления внешнего контура, которому со-
ответствует выходная величина x1, и в то же время задающим сигналом 
для внутреннего контура. Сигнал 2u  формирует внутренний замкнутый 
контур управления скоростью 1z  электропривода. Если потребовать, чтобы 
синтезируемые подсистемы принадлежали заданному множеству моделей, 
то можно получить выражения для коэффициентов ( )0, ..., 4ik i =  сигнала 
управления. Для пропорционально-интегрирующего ПИ-регулятора скоро-
сти 1x  рабочего органа справедливы выражения: 
 
( )1 0 0 1 1 2 2 ;u k x k x k x∗= − − ω − −  ( )10 0 ;
t
x x dt∗∫= − ω −              (2) 
 
2 3 1 4 2.u k z k z= − −  
 
Здесь ∗ω  – заданное значение скорости. Управление и1 синтезирует- 
ся в предположении, что подсистема переменных z является безынер- 
ционной.  
Чтобы характеристический полином подсистемы переменных z с 
управлением и2 имел вид ( ) 2 22 01 01,N p p p= + κν + κν  параметры k3, k4 
должны удовлетворять условиям: 
 
2 2
2 3 01 1
2 4 01
;
1 .
b k
b k T
= κν − ν
= κν −
                                              (3) 
 
Для подсистемы переменных х с управлением и1 в случае ПИ-регу- 
лятора характеристический полином должен иметь вид ( ) 33N p p= + 
2 2 3 2 3 3
0 0 0.p p+ κ ν + κ ν + κ ν  Подcистема с ПИ-регулятором будет иметь третий 
порядок, если в процессе синтеза управления и1 применить редуцирован-
ную модель системы. С учетом (3) подсистема переменных z примет вид: 
 
1 2 ;z z=   
 30 
 
2 2 2 2
2 2 1 2 2 01 1 01 2 2 1
1
( ) .
bz b x x b z z b u
J T
 
= λν − − λ ν + κν − κν + 
 
              (4) 
 
Введем обозначения: 0 01 ;µ = ν ν  2 2 01 .µ = ν ν  Умножая на μ
2 обе части 
последнего уравнения системы (4), получим 
 
( ) ( ) 122201202222212122222 / ubzzbxTJbxbz µ+νκµ−νκ+νλµ−µ−λνµ=µ  . 
 
Значению 0=µ  соответствует медленная составляющая движения, 
приближенная модель для которого примет вид: 
 
( )
1 2
2 2 1 1
1 2
2 2
0 1 2 1
;
( );
;
0 .
x x
x bz x
z z
z b u
=
= ν −
=
= − κν + µ


                                      (5) 
 
Из последнего уравнения получается ( )2 20 1 2 1,z b uκν = µ  что позволяет 
медленное движение описать только переменными x. С учетом (2) по- 
лучим: 
( )( )
0 1
1 2
2 2 2
2 2 2 1 0 1
;
;
,
x x
x x
x bb u x
=
=
= ν µ κν −



                              (6) 
 
Параметры регулятора (2) с учетом заданного полинома N3(p) должны 
удовлетворять условиям: 
 
2
2
2
01
3
0
3
02 / νννκκ=kb ; 
 
( )12220320112 −ννκνκ=kb ;                                      (7) 
 
2
2
2
010
2
22 / νννκκ=kb . 
 
Сигнал управления u, полученный для модели (6), будет действовать  
в системе (1), которая принимает вид: 
 
( )
0 1
1 2
2
2 2 1 1
1 2
2 50 0 51 1 52 2 53 1 54 2 2
;
;
;
;
.
x x
x x
x z x
z z
z a x a x a x a z a z b ∗
=
=
= ν −
=
= − − − − − + ω





             (8) 
 
Здесь приняты обозначения: 
 
 31 
3 3 2
50 0 2 ;a = κκ ν µ   
2 2 2
53 01 2 ;a b= κν + λν  
 
3 2 2 2 2 2
51 0 2 01 2 ;a b= κκ ν µ − κν − λν   νκ=54a .                         (9) 
 
2 2 2 2
52 0 2 .a b= κκ ν µ +  
 
Характеристический полином данной системы в случае ПИ-регулятора 
скорости имеет вид 
 
( ) ( ) ( )5 4 2 3 2 25 54 53 2 2 52 54N p p a p a p a a p= + + + ν + ν + +  
 
( )2 22 51 53 2 50.a a p a+ν + + ν                                 (10) 
 
Для данного полинома условия обеспечения заданных показателей ка-
чества принимают вид: 
 
( )
( ) ( )
2 2
54 53 2
22 2
53 2 54 2 51 53
;
;
a a
a a a a
≥ κ + ν
+ ν ≥ κ ν +
  
( ) ( )( )
( ) ( )
2 2 2
52 54 2 53 2 51 53
2
51 53 50 52 54
;
.
a a a a a
a a a a a
+ ν ≥ κ + ν +
+ ≥ κ +
 (11) 
 
После  преобразований  с  учетом  выражений  (9),  обозначая  s =  
= ( )2 01 ,b Tλ ν  получим: 
( )
( ) ( )
2 2
2
22 2 2
2 2
;
;s
κ ≥ κ κ + λµ
κ + λµ ≥ κκ κκ µ µ + κ + µ
                            (12) 
 
 
Существуют малые значения µ, µ2, при которых можно приближенно 
принять: ( )22 ;κ + λµ ≈ κ  ( ) ( )2 2 2 22 21 .sκκ µ µ + κ + µ ≈ κ + κ µ µ  Тогда для вы-
полнения системы неравенств (12) достаточно, чтобы: 
 
( )( )22 min 1 , ;λµ < κ κ κ − εκ                                    (13) 
 
( )
2
2
2 2
1 .κµ ≤ µ ≤
κ κ − κ κκ
                                        (14) 
 
Условие (13) непосредственно следует из первого неравенства (12),  
а также из условия ( )κε<µλ 22  малости составляющей 22.λµ  Здесь ε  – ма-
лая величина, определяемая необходимой точностью расчетов, например 
можно принять 05,0=ε . Условие (13) можно также записать в виде 
 
( ) ( )( )222 min 1 , , .λµ < κ κ κ − λ κ − κ κ εκ                         (15) 
 
Заданными являются величины: , , , ,λ κ κ ε  2 0, ,ν ν  а определить тре-
буется значения: 2, , .µ µ κ  Как правило, в (15) правая часть равна κε , а из 
 32 
(14) с учетом κ>κ  следует 1 8.µ <  Сначала из (15) определяется 
2
2 .µ = εκ λ  Затем с помощью полученного значения 
2
2µ  находим 
 
2 .κ ≥ κ + εκ κ λ                                             (16) 
 
После этого можно определить µ  из (14). Затем, учитывая обозначения 
0 01 ;µ = ν ν  2 2 01 ,µ = ν ν  можно рассчитать характеристическую частоту 
01,ν  определяющую быстродействие электропривода, а затем и параметры 
регуляторов на основании выражений (3), (7). 
В случае П-регулятора скорости условия примут вид: 
 
( )( )22 min 1 , ;λµ < κ κ κ − εκ     2
1 .µ ≤
κκ
 
 
При ,κ = κ  2, 4, 0,05κ = κ = ε =  получим: 
2
2 4 0,2;λµ < ε =     
1 .
8
µ ≤  
 
На рис. 1 представлена структура системы управления при наличии об-
ратных связей по скорости и ускорению электродвигателя, с ПИД-регу- 
лятором Кр1 скорости 2ω  рабочего органа. На рисунке приняты обозна- 
чения: 
( )1 01 ;P DK b b p K= + +   ( )
;
1
M
T
p
kK
R T
=
+
  
1
1 ;MK J p
=    
2 2 2 2
2
1 2 2 2
2 2
;M
b J p b pK
J p c p
= =
+ + ν
  4 4 02 3 3 02; / ; / .1D
JpK b k k b k k
Tp
= = =
+
 
 
 
Рис. 1. Структура системы управления 
 
Пример расчета для модели (1) выполнен при значениях параметров:  
J1 = 0,2 кг⋅м2, J2 = 20 кг⋅м2, c = 2,104 сДж/рад, b = 0,1, T = 0,02 с, R = 0,4 Ом,  
k = 2,44, kМ = 4,5, kОС = 1. Показатель затухания κ  ограничен пределами: 
2=κ , 4=κ . Тогда 2=λ , собственная частота упругих колебаний 
1
2 10 c
−ν = . Из (15) определяем 22 0,02 4 0,08λµ ≤ εκ = ⋅ = . Если принять 
0025,022 =µ , то из (16) получим 16,2
2 =λκκε+κ≥κ . Из (14) получается, 
что 1,001,0 ≤µ≤ . 
KP1 
 
βП KT 
 
KM 
 
KM1 
 
k 
kOC 
u M 
bM1 
ω1 
k02 
b3 
b4р 
ω2 u3 
 33 
 
На рис. 2 представлены процессы в системе с ПИД-регулятором скоро-
сти при плавном задающем воздействии. 
 
 
 
                          0                    0,2                    0,4                   0,6                   0,8      t, с         1,0 
 
Рис. 2. Процесс разгона электропривода 
 
В Ы В О Д 
 
Метод синтеза позволяет оценить быстродействие контура скорости, 
которое требуется для демпфирования упругих колебаний в механической 
части. Синтезированная система обладает свойством робастности. 
Областью применения предложенного метода синтеза являются систе-
мы, в которых собственная частота упругих колебаний сравнима с харак-
теристической частотой замкнутой системы. 
Л И Т Е Р А Т У Р А 
 
1. К о в ч и н, С. А.  Теория электропривода: учеб. для вузов / С. А. Ковчин, Ю. А. Са-
бинин. – СПб.: Энергоатомиздат, 2000. – 496 с. 
2. Ф и р а г о, Б. И.  Теория электропривода: учеб. пособие / Б. И. Фираго, Л. Б. Павля-
чик. – Минск: ЗАО «Техноперспектива», 2004. – 527 с. 
3. Б а ш а р и н, А. В.  Управление электроприводами / А. В. Башарин, В. А. Новиков,  
Г. Г. Соколовский. – Л.: Энергоиздат, 1982. – 392 с. 
4. Б о р ц о в, Ю. А.  Автоматизированный электропривод с упругими связями / Ю. А. Бор-
цов, Г. Г. Соколовский. – 2-е изд., перераб. и доп. – СПб.: Энергоатомиздат, 1992. – 288 с. 
5. Б о р ц о в, Ю. А.  Электромеханические системы с адаптивным и модальным управ-
лением / Ю. А. Борцов, Н. Д. Поляхов, В. В. Путов. – Л.: Энергоатомиздат, 1984. – 216 с. 
6. И ш м а т о в, З. Ш.  Синтез методом полиномиальных уравнений систем электро- 
привода, инвариантных к параметрическим и внешним возмущениям / З. Ш. Ишматов,  
М. А. Волков, Е. А. Гурентьев // Электротехника. – 2007. – № 11. – С. 30–37. 
7. В о л к о в, М. А.  Синтез систем управления электроприводом с использованием ко-
эффициентных оценок качества / М. А. Волков, З. Ш. Ишматов // Электротехника. – 2007. – 
№ 11. – С. 38–42. 
8. A n h i m i u k, V. L.  Prace Naukowe Institutu Maszyn, Napędów I pomiarów 
Elektrycznych Politechniki Wrocławskiey / V. L. Anhimiuk, O. F. Opeiko // Studia i Materialy. – 
2003. – № 23. – Р. 241–248. 
9. N a s l i n, P.  Polinômes normaux  et critère algebrique d’ amortissement (I) / P. Naslin // 
Automotisme. – 1963. – T. 8, № 6. – P. 215–223. 
10. С и с т е м ы  автоматического управления объектами с переменными параметра- 
ми. Инженерные методы анализа и синтеза / Б. Н. Петров [и др.]. – M.: Машиностроение, 
1986. – 256 с. 
11. M o i s e e v, N. N.  Asymptotic Methods in the Theory of Optimal Control / N. N. Moiseev,  
F. L. Chernousko // IEEE Trans. on Autom. Contr. – 1981. – Vol. AC-26, № 5. – P. 993–1000. 
   M1 2ω  
1ω  
M
, H
м
,  
 ω
, р
ад
/с
 
20 
 
15 
 
 
10 
 
 
  5 
 
 
  0 
 
 
–5 
   M2 
 34 
12. C h o w, J. N.  A Decomposition of Near-Optimum Regulators for Systems with Slow and 
Fast Modes / J. N. Chow, P. V. Kokotovic // IEEE Trans. on Autom. Contr. – 1976. – Vol. AC-21, 
№ 5. – P. 701–705. 
13. О п е й к о, О. Ф.  Синтез линейной системы на основании упрощенной модели объ-
екта / О. Ф. Опейко // АиТ.– 2005. – № 1. – С. 29–35. 
14. О п е й к о, О. Ф.  Синтез робастной системы управления двухмассовым электромехани-
ческим объектом / О. Ф. Опейко // Энергетика… (Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объедине-
ний СНГ). – 2009. – № 1. – С. 14–21. 
 
   Представлена кафедрой электропривода 
и автоматизации промышленных установок 
и технологических комплексов                                                          Поступила 14.04.2008