Естественные и точные науки 
 
Вестник БНТУ, № 6, 2011 66 
 
 
 
УДК 629.3–047.58 
 
АНАЛИЗ КОЛЕБАНИЙ ВИБРОЗАЩИТНОЙ СИСТЕМЫ  
ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ 
И ПОЛИГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЗБУЖДЕНИЯХ 
 
Инж. МИКУЛИК Т. Н. 
 
Белорусский национальный технический университет 
 
Исследование вибронагруженности системы 
«сиденье–водитель» в реальных условиях экс-
плуатации является важным этапом в комплексе 
работ по совершенствованию конструкции и по-
вышению эффективности ее функционирования. 
В результате исследований инженер-конструктор 
получает набор статистических данных относи-
тельно виброизоляции системы, которые могут 
быть использованы как для прогнозирования 
вибронагруженности системы при названных 
возмущениях, так и определения степени ее вли-
яния на оператора (водителя) и, как следствие, на 
управление транспортным средством. 
Гармонические возбуждения, характеризуе-
мые коэффициентом передачи силы, в отсут-
ствие виброизолятора приводят к колебаниям в 
системе. Полигармонические колебания в этом 
случае вызывают вибрации большой частоты, 
оказывающие вредное воздействие на систему, 
а особенно – на здоровье водителя (оператора). 
При моделировании технических объектов 
(виброзащитных систем) на макроуровне рас-
сматриваются динамические системы с сосре-
доточенными массами. Процессы функциони-
рования таких объектов описываются система-
ми дифференциальных уравнений. Возмущаю- 
Естественные и точные науки 
 
 
Вестник БНТУ, № 6, 2011 67 
щие воздействия, возникающие при работе си-
стемы (машины), не только гармонические, но  
и полигармонические, а в большинстве случа- 
ев – и те и другие. 
Реакция виброзащитной системы «сиденье–
водитель» на гармонические и полигармониче-
ские возбуждения, вызываемые как дорожны- 
ми неровностями, так и силовой передачей, 
описывается дифференциальным уравнением 
вида [1] 
),()( 21 tftfczzkzm +=++                (1) 
 
где qtAtf sin)(1 =  – гармоническое возбужде-
ние; 02 дв дв( ) ( cos sin )
2
n n
af t a n t b n t= + ω + ω∑  – 
полигармоническое возбуждение; m – масса 
сиденья вместе с водителем; k – демпфирова-
ние системы; c – жесткость системы; ωдв – уг-
ловая частота оборотов двигателя. 
Решением уравнения (1) является выраже-
ние 
,)( 211 zzztz ++=  
 
где z1 – решение линейного однородного диф-
ференциального уравнения; 21, zz  – решение 
линейного неоднородного дифференциального 
уравнения для )(1 tf  и )(2 tf  соответственно. 
Для характеристики демпфирования коле-
баний  виброзащитной  системы  наглядным яв- 
ляется использование коэффициента динамич-
ности [1, 2]: 
 
0
2 2 2
1
;
(1 ) (2 )
z
z
A
A h
β = =
− η + η
          (2) 
 
2
2
arctg ,
1
hηϕ =
−η
                      (3) 
где 
0ω
=η
q  – относительная частота; 
cm
kh
2
=  – 
коэффициент демпфирования; .
0
z
z c
AA =  
Амплитудно-частотные и фазочастотные ха- 
рактеристики колебаний виброзащитной си-
стемы, включающей сиденье, построенные по 
зависимостям (2) и (3), приведены на рис. 1 и 2. 
Из анализа характеристик, приведенных на 
рис. 1 и 2, находим, что при резонансе (η = 1) 
коэффициент динамичности β виброизоляции 
системы зависит от коэффициента затухания h, 
а изменение фазового угла ϕ и частоты возму-
щения – от демпфирования в системе. 
При гармоническом воздействии на систему 
сила, передаваемая сиденью, а также оценка 
эффективности виброизоляции в виде коэффи-
циента передачи П и величины U, дБ, имеют 
вид: 
а) коэффициент передачи силы 
 
2
2
2 2 2
1 (2 )
П 1 (2 ) ;
(1 ) (2 )
hh
h
+ η
= β + η =
−η + η
 
 
б) виброизоляция характеризуется величи-
ной 
20lgП,U =   дБ. 
 
Анализ кривых, приведенных на рис. 1 и 2, 
показывает, что с увеличением частоты возму-
щения в два раза (на октаву) виброизоляция 
возрастает на 6 дБ. При малом демпфировании 
или его отсутствии увеличение частоты возму-
щения демпфирования на октаву сопровожда-
ется возрастанием виброизоляции на 12 дБ. 
 
 
 
                               0,5             1,0   2    1,5     2,0           2,5   η    3,0 
 
 
 
Рис. 1. Зависимости коэффициента передачи 
силы от изменения частот возмущения 
Рис. 2.  Зависимости  виброизоляции 
от изменения относительной частоты 
 
1,5       2,0        2,5   η   3,0 
20 
U, дБ 
15 
 
10 
 
5 
 
0 
 
–5 
 
–10 
 
–15 
 
–20 
6 
П 
5 
 
4 
 
3 
 
2 
 
1 
 
0 
 
1,0 0,5 
 0,27 
h = 0,27 
 0 
     0,06 
 0,03 
h = 0 
 0,06 
 0,09 
Естественные и точные науки 
 
 
Вестник БНТУ, № 6, 2011 68 
Возникающие при работе силовой передачи 
полигармонические колебания описаны с по-
мощью ряда Фурье 
 
0
дв дв
1
( cos sin ).
2
n
n n
amz kz cz a n t b n t+ + = + ω + ω∑   
 
В результате решения этого уравнения по-
лучим 
0 дв дв
2
2 2 2 2
1
cos( ) sin( )
,
2 (1 ) (2 )
n
n n n n
i
a a n t b n tz
c с n hn=
ω − ϕ + ω −ϕ
= +
− η + η
∑
 
где коэффициенты 
0
0
2
( ) ;
T
а f t dt
T
= ∫   
дв
0
2
( )cos ;
T
nа f t n tdtT
= ω∫  
 
дв
0
2
( )sin ;
T
nb f t n tdtT
= ω∫  
2 2
2
arctg .
1
n
hn
n
 η
ϕ =  
− η 
 
 
Если возбуждающая сила имеет вид, пред-
ставленный на рис. 3, то так как функция f(t) – 
нечетная, а0 = аn = 0: 
 
дв дв
дв0
2 2
( )sin (cos 1).
T
n
F
b f t n tdt n T
T Tn
= ω = − − ω −
ω∫  
 
 
 
Рис. 3. Периодическая функция 
 
Раскладывая представленную на рис. 3 пери-
одическую функцию f(t) в ряд на сумму гармони-
ческих составляющих (n = 4), получим сумму 
реакций, действующих на систему, представлен-
ную в виде кривых, приведенных на рис. 4. 
 
 
 
Рис. 4. Сумма амплитуд первых четырех гармонических 
составляющих, действующих на виброзащитную систему 
Результаты анализа воздействий полигар-
монических возбуждений на систему представ-
лены на рис. 5. Исходные данные представлены 
в табл. 1. 
 
   
 
Рис. 5. Колебания, вызванные полигармоническим  
возбуждением 
 
Таблица 1 
Исходные данные 
 
В Ы В О Д 
 
Анализ кривых, приведенных на рис. 1 и 2, 
показывает, что с увеличением частоты возмуще-
ния в два раза виброизоляция возрастает. При 
малом демпфировании или его отсутствии увели-
чение частоты возмущения на октаву сопровож-
дается возрастанием виброизоляции на 12 дБ. 
Выполненный анализ позволит рассчитать 
упругодемпфирующие характеристики системы 
и оценить вибронагруженность на водителя. 
 
Л И Т Е Р А Т У Р А 
 
1. Радкевич, С. Г. О моделировании колебаний 
виброзащитной системы при гармонических и полигармо-
нических возбуждениях / С. Г. Радкевич, Т. Н. Микулик // 
Новые математические методы и компьютерные техноло-
гии в проектировании и научных исследованиях: материа-
лы XII Респ. науч. конф. студ. и аспирантов: в 2 ч.; Го-
мель, 16–18 марта 2009 г. – Гомель: УО «Гомел. гос. ун-т 
им. Ф. Скорины», 2009. – Ч. 1. – С. 130–131. 
2. Пановко, Я. Г. Введение в теорию механических 
колебаний: учеб. пособие / Я. Г. Пановко. – М.: Наука, 
1971. – 240 с. 
 
Поступила 07.09.2011 
 
 
 
m, кг h, Нс/м с, Н/м ω, рад/с z, м 
100 0 3000 5,477226 0 
 33   0,030125 
 66   0,060249 
 99   0,090374 
 132   0,120499 
 165   0,150624 
 198   0,180748 
 231   0,210873 
 264   0,240998 
 297   0,271123 
     
    
  0,0003 
       z, м 
  0,0002 
 
  0,0001 
 
           0 
 
–0,0001 
 
–0,0002 
 
–0,0003 
 
2
Т   
 T  
 f(t)  
 
 
F 
 
0 
 
–F 
t, с 
t, с 
0,15 
z, см 
0,10 
 
0,05 
 
0 
 
–0,05 
 
–0,10 
 
–0,15 
t, с 
T, с 
F, H 
 w, рад/с