УДК 629.734/.73.5.03 
РАСШИРЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЭЙЛЕРА ДЛЯ ПРАКТИКИ 
РАСЧЕТОВ НА ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ 
студент гр.10111114 Смарчков В.А. 
Научный руководитель – к.т.н.,доц. Якубовский Ч.А. 
Белорусский национальный технический университет 
Минск, Беларусь 
 
Данное сообщение можно рассматривать как развитие расчета на 
устойчивость сжатых стержней и расширение решения Эйлера для 
определения критической силы. Полученные результаты могут 
успешно применяться на практике при расчетах на продольный и 
поперечный изгиб. 
Рассмотрим стержень (балку) с шарнирными закреплениями, 
представленную на рисунке 1, с приложенной к нему продольной 
сжимающей силой 𝐹. Под действием этой силы ось балки 
искривляется. 
 
 
 
Рисунок 1 –  Стержень (балка) с шарнирными закреплениями,  
с приложенной к нему продольной сжимающей силой 𝐹 
 
При увеличении силы 𝐹 наступает такое состояние балки, при 
котором первоначальная прямолинейная форма равновесия 
достигает безразличного состояния. Это состояние возникает не при 
фиксированном значении силы 𝐹кр, как в решении Эйлера, а в 
некотором диапазоне сил, определяемом размерами поперечного 
сечения, и обусловлено принципом Сен-Венана. Изгибающий 
момент в любом сечении балки будет равен: 
𝑀 = 𝐹𝑦. 
Тогда сила, удерживающая балку в состоянии безразличного 
равновесия, определяется по формуле: 
𝐹кр =
𝑀𝑚𝑎𝑥
𝑦𝑚𝑎𝑥
. (1) 
Рассмотрим далее такую же балку, но нагруженную посередине 
пролета сосредоточенной силой 𝐹. 
 
Рисунок 2 –  Стержень (балка) с шарнирными закреплениями,  
нагруженная посередине пролета сосредоточенной силой 𝐹 
 
 Запишем известные формулы для определения 𝑀𝑚𝑎𝑥 и 𝑦𝑚𝑎𝑥: 
𝑀𝑚𝑎𝑥 =
𝐹𝑙
4
, 𝑦𝑚𝑎𝑥 =
𝐹𝑙3
48𝐸𝐽
. 
Подставляя эти формулы в уравнение (1), получим: 
  𝐹кр =
𝐹𝑙
4
𝐹𝑙3
48𝐸𝐽
=
12𝐸𝐽
𝑙2
. (2) 
В начале координат (на левой опоре) имеем: 𝑀 = 0 и 𝑦 = 0 и 
формула (1) дает неопределенность. Раскрывая ее по правилу 
Лапиталя, получим:  
𝑀
𝑦
=
𝑑𝑀
𝑑𝑧
𝑑𝑦
𝑑𝑧
=
𝑄
𝜃
. 
В начале координат имеем: 𝑄 =
𝐹
2
,   |𝜃| =
𝐹𝑙2
16𝐸𝐽
. 
Подставляя в уравнение (1), получим: 
Как известно, формула Эйлера для определения критической 
силы имеет вид: 
 
Найдем сечение балки, в котором точно выполняется равенство 
(4). Запишем прогиб произвольного сечения балки (рис. 2) по 
методу начальных параметров: 
𝐸𝐽𝑦 = 𝐸𝐽𝜃0𝑧 +
𝐹
2 𝑧
3
6
, 
где  𝐸𝐽𝜃0 = −
𝐹𝑙2
16
. 
Тогда: 
𝑦 = −
𝐹𝑙2
16
𝑧 +
𝐹𝑧3
12𝐸𝐽
=
4𝐹𝑧3 − 3𝐹𝑙2𝑧
48𝐸𝐽
. 
В этом сечении изгибающий момент равен: 
𝑀 =
𝐹
2
𝑧. 
Подставляя в формулу (1), получим: 
𝐹кр =
𝑀
𝑦
=
𝐹𝑧
2
4𝐹𝑧3 − 3𝐹𝑙2𝑧
48𝐸𝐽
=
24𝐸𝐽
4𝑧2 − 3𝑙2
, (0 ≤ 𝑧 ≤
𝑙
2
). (5) 
Или: 
𝐹кр =
24𝐸𝐽
3𝑙2 − 4𝑧2
;  
При 𝑧 = 0   |𝐹кр| =
8𝐸𝐽
𝑙2
. 
При 𝑧 =
𝑙
2
    |𝐹кр| =
12𝐸𝐽
𝑙2
, т.е. получаем равенства (2) и (3). 
Сравнивая далее формулы (4) и (5) запишем: 
𝐹кр =
𝐹
2
𝐹𝑙2
16𝐸𝑙
=
8𝐸𝐽
𝑙2
. (3) 
𝐹кр =
𝜋2𝐸𝐽
𝑙2
. (4) 
𝜋2
𝑙2
=
24
−4𝑧2 + 3𝑙2
. 
Отсюда находим  𝑧: 
−4𝜋2𝑧2 + 3𝜋2𝑙2 − 24𝑙2 = 0, 
𝑧 =
𝑙
2𝜋
√3𝜋2 − 24 = 0,376𝑙. 
При продольно-поперечном изгибе имеем (рисунок 3):  
где  𝑀 − полный изгибающий момент в сечении  𝑧, 
𝑀п − изгибающий момент в этом сечении от действия    
поперечной  нагрузки. 
 
Рисунок 3 –  Стержень (балка) с шарнирными закреплениями,  
при продольно-поперечном изгибе 
 
С другой стороны запишем: 
𝑀п
𝑀
=
𝑦п
𝑦
,  или   𝑀п𝑦 = 𝑦п𝑀. (7) 
Решая совместно уравнения (6) и (7), получим: 
𝑀 =
𝑀п
2
𝑀п − 𝐹𝑦п
,   𝑦 =
𝑀п𝑦п
𝑀п − 𝐹𝑦п
. 
 
Или: 𝑀 =
𝑀п
1 −
𝐹𝑦п
𝑀п
=
𝑀п
1 −
𝐹
𝐹э
, 
(8) 
 
𝑦 =
𝑦п
1 −
𝐹𝑦п
𝑀п
=
𝑦п
1 −
𝐹
𝐹э
, (9) 
𝑀п + 𝐹𝑦 = 𝑀, (6) 
 где  𝐹э =
𝑀п
𝑦п
=
𝑀
𝑦
, (см. формулу (1)). 
Вывод. 
Полученные формулы являются более точными и более общими 
по сравнению с известным решением продольно-поперечного 
изгиба. Данное решение может служить в качестве тестового  при 
рассмотрении задач продольно-поперечного изгиба любых 
стержней сложных поперечных сечений 
 
Литература 
 
1.   Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1986. 
512с. 
2. Старавойтов Э.И. Сопротивление материалов. Гомель: 
БелГУТ, 2004. 376с.