УДК 620.174 (075.8) МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРОГИБА ДВУХОПОРНОЙ БАЛКИ студент гр.103131 Ярош В.И. студент гр.10107114 Крупкевич С.Н. Научный руководитель – доц. Реут Л.Е. Белорусский национальный технический университет Минск, Беларусь Надежность элементов конструкций, работающих на изгиб, зависит от выполнения условий прочности и жесткости. Первое условие определяется максимальными напряжениями, которые могут безопасно выдержать элементы конструкции, второе – деформациями элементов. Рассмотрим задачу определения деформаций, а именно максимального прогиба сечения, на примере двухопорной балки, нагруженной сосредоточенной силой. Помимо величины максимального прогиба важно так же знать и его положение, что и будет определено далее. Расчетная схема балки приведена на рис.1. Реакции опор на балке равны: ; l lA BR Fb / R Fa / . (1) Балка имеет два участка, поэтому интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки " z xy M / EI (2) производим по обоим участкам: Сечение 1: 10  z a . Для данного сечения:   1 1 1   lAzM R z Fb / z . (3) Производим двойное интегрирование уравнения (2) и получаем уравнения углов поворота и прогибов: 1 1 2 1 1 1 d 2 '      lx x z z Fb z y M z C . EI EI (4) 1 1 3 1 1 1 1d 6      l x z z Fb z y z C z D . EI (5) Выполняем аналогичные операции для сечения на правом участке: Сечение 2: 1  la z .     2 2 2 2 2 ;      l Az Fb M R z F z a z F z a (6)   2 2 22 22 2 1 d ; 2 2 '        lx x x z z F z aFb z y M z C EI EI EI (7)   2 33 22 2 2 2d 6 6        l x x z F z aFb z y z C z D . EI EI (8) Постоянные интегрирования определяем из кинематических условий на балке 1 2 1 2C ,C , D , D : а) из граничного условия на опоре A согласно выражению (5): 1 1 0 0   Az z/y y 1 0;D б) из условия сопряжения смежных сечений на основании соответствующих выражений (4), (7) и (5), (8): 1 1 2 2    a az z z z/ /   22 2 1 2 1 2 ; 2 2 2        l lx x x F a aFba Fba C C С С EI EI EI 1 1 2 2   a az z z z/ /y y   33 3 1 1 2 2 1 2 ; 6 6 6          l lx x x F a aFba Fba C a D C a D D D EI EI EI в) Из граничного условия на опоре B согласно выражению (8): 2 2 0  lz z/y     32 2 2 2 2 6 6 6 0        ll l l lx x x F aFb Fb C b . EI EI EI C Учитывая, что 1 2 1 2и C C D D , получаем окончательные уравнения углов поворота и прогибов для данной балки: Участок 1:   1 2 2 213 ;6   ll xz Fb z b EI (9)   1 3 2 21 16  ll xz Fb y z z b . EI (10) Участок 2:     1 22 2 2 2 23 3 ; 6      l l l x z F bz z a b b EI (11)     2 33 2 2 2 2 2 6     l l l x z F y bz z a bz b . EI (12) Как видно из решения, уравнение углов поворота и упругой линии балки на каждом участке имеют свое аналитическое выражение. Определим на балке величину и положение наибольшего прогиба. Известно, что при изгибе угол поворота сечения является производной функции прогибов, т.е. d d  y / z , поэтому чтобы исследовать функцию на экстремум, ее производную следует приравнять к нулю. Приравниваем для соответствующих участков уравнения (9) и (11) к нулю и для полученной точки экстремума 0z по выражениям (10) и (12) находим максимальный прогиб f : Участок 1   0 2 2 2 2 2 0 03 =0 6 3        l l l x z Fb b z b z . EI (13)  2 2 2 2 9 3    l l l x Fb b b f . EI (14) Участок 2     0 22 2 2 0 03 3 =0 6       l l l x z F bz z a b b EI    22 2 20 03 3 =0.   l lbz z a b b Приведем последнее выражение к виду квадратного уравнения    2 2 2 30 03 3 6 3 0     l l l lz b a z a b b , решение которого дает два корня:     1 2 2 2 2 2 3 2 6 36 12 3 6         l l l l l l, a a b a b b z . b (15) Учитывая, что  l b a (см. рис. 1), значения корней (15) после преобразования принимают вид:   1 22 2 3    l l , b b z . (16) Анализ выражений (16) показывает, что ни один из корней не удовлетворяет участку 2:  2 2 3   l l lz b b / , т.е. сечение выходит за пределы балки;  2 2 3   l lz b b / a , что также не соответствует действительности, т.к. 2z находится в пределах участка b (см. рис. 1). Следовательно, точки экстремума на участке 2 не существует. Полученный расчет показывает, что наибольший прогиб будет возникать на первом участке и его положение и величина будут определяться выражениями (13) и (14). Математический анализ проведенных расчетов также доказывает, что при нагружении двухопорной балки сосредоточенной силой независимо от места ее приложения наибольший прогиб всегда будет возникать на участке большей длины. В частном случае, когда сила F приложена посередине пролета, здесь же будет возникать максимальный прогиб, который можно определить, подставив в выражение (14) 2 lb / : 3 48  l x F f EI . (17) Следует заметить, что максимальный прогиб при любом расположении груза на балке всегда возникает вблизи середины пролета. Если силу F перемещать к правой опоре (см. рис. 1), уменьшая, тем самым, участок b , то в пределе при 0b , точка экстремума займет положение 0 577l, от левой опоры, т.е. очень близко к середине балки. Столь незначительное изменение координаты максимального прогиба — от 0 5l, до 0 577l, , и естественно, незначительная разница в его величине позволяет в практических расчетах рассматривать только прогиб в середине пролета, и принимать его значение, вычисленное по формуле (17). Литература 1. Татур, Г.К. Общий курс сопротивления материалов / Г.К. Татур. – Минск: Вышейшая школа, 1974. – 462 с. 2. Биргер, И.А. Сопротивление материалов / И.А. Биргер, Р.Р. Мавлютов. – М.: Наука, 1986. – 560 с.