Приборостроение. Информатика Вестник БНТУ, № 6, 2009 47 УДК 531.3; 796.01 ИССЛЕДОВАНИЕ КИНЕМАТИКИ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СПОРТИВНОГО СНАРЯДА ПОКАТИЛОВ А. Е., докт. пед. наук, доц. ЗАГРЕВСКИЙ В. И., ЛАВШУК Д. А. Могилевский государственный университет продовольствия, Приборостроение. Информатика Вестник БНТУ, № 6, 2009 53 Могилевский государственный университет имени А. А. Кулешова Современные методы научного поиска поз- воляют расширить исследования в области биомеханики двигательных действий человека. Связано это с такими факторами, как состояние вычислительной техники и программного обес- печения, развитие методов и технических средств биомеханических исследований, а так- же полученными теоретическими моделями в области механики управляемого тела. Укажем, что одним из важнейших инстру- ментов анализа является компьютерное моде- лирование [1–3]. Именно эта технология иссле- дования дает возможность изучить влияние упругой опоры на движение человека. Резуль- таты представляют интерес для тех видов спор- та, в которых спортсмен выполняет упражнения со снарядом, являющимся опорой, которая прояв- ляет упругие свойства. При исследовании целенаправленного дви- жения спортсмена широкое применение нашел метод оптической регистрации двигательных действий человека. Расшифровка данных ви- деосъемки дает исходные данные для последу- ющего компьютерного моделирования. По ре- зультатам промеров на видеокадрах положения спортсмена получают обобщенные координаты опорно-двигательного аппарата человека. Дальнейшие исходные данные в виде обобщен- ных скоростей и ускорений получают методом численного дифференцирования [4]. Сегодня существуют достаточно развитые комплексы символьной математики, оформлен- ные в виде различных математических паке- тов. Они представляют собой мощные средства для работы с векторами, матрицами и тензора- ми, а также имеют широкие возможности про- ведения математических операций над функци- ями. Тем не менее конкретные задачи не всегда поддаются решению с помощью стандарт- ных пакетов: на практике зачастую требуются дополнительные усилия для анализа стоящих перед исследователем проблем, что актуально и в данной теме, так как обусловлено методикой получения и обработки экспериментальных данных, представленных в виде таблиц (масси- вов данных), а не функциональных зависимо- стей. Для получения параметров кинематики исходные данные в табличной форме диффе- ренцируют несколько раз с помощью числен- ных методов. Но так как подобные формулы давно известны и широко используются в научных исследованиях, проблемы дифферен- цирования таблиц в математических редакто- рах не существует даже без наличия дополни- тельных модулей. Сочетание возможностей таких современных интегрированных систем компьютерной алгебры, как MathCad для Win- dows, Derive, Maple V, Mathematica, языка про- граммирования символьных вычислений Re- duce и ряда численных методов позволяет быстро создавать мощные и объемные программы для компьютерного моделирования движения чело- века [5]. Исследование большого оборота назад на перекладине. За обобщенные координаты спортивного снаряда можно принять его ли- нейные перемещения в горизонтальном и вер- тикальном направлениях или угол наклона про- гиба снаряда к горизонтальной координатной оси, а также величину такого прогиба. На рис. 1 показан большой оборот назад на перекладине в исполнении мастера спорта Республики Бела- русь. Съемка выполнялась двумя видеокамера- ми с синхронизацией кадров светодиодами. Камера № 1 фиксировала движение человека (рис. 1), а камера № 2 – перемещение опоры. Рис. 1. Большой оборот назад на перекладине Траектория спортивного снаряда (рис. 2) получена по результатам видеосъемки камерой № 2. Траектория имеет форму улитки Паскаля Приборостроение. Информатика Вестник БНТУ, № 6, 2009 48 [6, 7]. Данные для графика сглажены при по- мощи локального адаптивного алгоритма, ос- нованного на анализе ближайших соседей каж- дой пары данных. –100 –50 0 50 100 Перемещение по ОХ, мм Рис. 2. Обобщенные координаты упругой опоры (сглажен- ные): 0 – кадр № 0, начало движения; 71 – кадр № 71, окончание движения Кинематические характеристики переме- щения спортивного снаряда. Каждому номе- ру кинокадра соответствует определенное зна- чение времени и обобщенных координат. Сле- довательно, обобщенные координаты биомеха- нической системы в процессе выполнения спортивных упражнений изменяются по опре- деленному закону, но эта зависимость задана в табличном виде. В этом случае для расчета средней скорости изменения функции на неко- тором интервале времени можно воспользо- ваться любым из методов численного диффе- ренцирования [8–10]. Метод конечных разностей по трем ордина- там – один из наиболее легко алгоритмизируе- мых вариантов численного дифференцирования и привлекает своей простотой и доступностью для программирования на ЭВМ. Технология использования этого метода в биомеханических исследованиях кинематики спортивных упраж- нений с применением ЭВМ заключается в сле- дующем: в результате выполнения промера исследуемого упражнения и считывания обоб- щенных координат составляется таблица значе- ний углов наклона звеньев тела к оси абсцисс. То же самое выполняют и для спортивного сна- ряда. В качестве аргумента функций обобщен- ных координат рассматривается время, которое вычисляется по данным частоты видеосъемки. Допустим, видеосъемка проводилась с частотой К кадров в секунду. Тогда временной интервал между двумя ближайшими видеокадрами 1 .t K ∆ = (1) Для рассматриваемых табулируемых вели- чин функции значения аргумента в таблице об- разуют арифметическую прогрессию, разность которой называется шагом таблицы: 1i ih t t t+= ∆ = − (i = 0, 1, …, n – 1), (2) где n – количество кадров видеосъемки; n – 1 – номер последнего видеокадра. Первая и вторая производные обобщенных координат по времени, заданных в табличном виде, определим из симметричных конечно- разностных отношений. Выполним расчет обобщенных кинематиче- ских характеристик для варианта, когда опора представлена двумя поступательно движущи- мися пружинами, моделирующими движение спортивного снаряда по горизонтали и верти- кали. Первую и вторую производные обобщенных координат по времени, заданные в табличном виде, рассчитаем из симметричных конечно- разностных отношений: 1 1 ; 2 i i i Q QQ h + −−= (3) 1 1 2 2 ,i i ii Q Q QQ h + −− += (4) где ,i iQ Q  – приближенные значения первой и второй производных обобщенных координат по времени в момент t = ti. Так как по рассмотренным уравнениям для первого и последнего кадров, т. е. при i = 0 и i = = n – 1, значения Qi не определяются, для угло- вых кинематических характеристик их можно найти с помощью следующих разностей [4]: • правые разности 2 1 0 0 4 3 ; 2 Q Q QQ h − + − = 2 1 0 0 2 2 ; Q Q QQ h − + = (5) • левые разности П ер ем ещ ен ие п о О Y, м м 0 В А 71 20 0 –20 –40 –60 –80 –100 Направление движения Приборостроение. Информатика Вестник БНТУ, № 6, 2009 49 ( ) ( )1 1 1 1 2 1 3 4 ; 2 n n n n Q Q Q Q h − − − − − − − + = ( ) ( )1 1 1 1 2 1 2 2 . n n n n Q Q Q Q h − − − − − − − + = (6) Во всех случаях моделирования снаряда в виде пружин обобщенные характеристики звеньев биомеханической системы являются угловыми характеристиками, поэтому каждое уравнение необходимо умножить на π/180°. А вот для самой опоры возможны следующие варианты: • при моделировании опоры вращающейся пружиной дифференцирование угла Q0 дает угловые скорость 0Q и ускорение 0 ,Q а диф- ференцирование длины пружины 0L – линей- ные скорость 0L и ускорение 0L (скорость и ускорение сжатия или удлинения вращаю- щейся пружины); • при моделировании опоры двумя поступа- тельно движущимися пружинами дифференци- рование дает только линейные характеристики: для горизонтальной пружины г0 L – это ско- рость г0 L и ускорение г0 ,L а для вертикальной пружины в0 L – соответственно в0 L и в0 .L а 0 20 40 Номер кадра б 0 20 40 Номер кадра Рис. 3. Обобщенные кинематические параметры опоры при ее моделировании двумя пружинами: а – изменение скорости; б – то же ускорения; 1 – проекция на горизон- тальную ось OX; 2 – то же на вертикальную ось OY По результатам вычислительного экспери- мента на рис. 3а, б построены графики измене- ния во времени проекций скоростей (рис. 3а) и проекций ускорений (рис. 3б) спортивного снаряда. Максимальные значения по модулю для скорости в горизонтальном направлении наблюдаются для кадра № 25, а в вертикаль- ном – для кадра № 20. Максимальные значения ускорений в горизон- тальном и вертикальном направлениях (рис. 3б) наблюдаются в другие моменты времени, чем достигают максимальных величин скорости в этих же плоскостях (рис. 3а). а –0,2 0 0,2 0,4 Скорость по ОХ, м/с б –2 0 2 4 Ускорение по ОХ, м/с2 Рис. 4. Обобщенные скорости и ускорения опоры: а – годограф скорости; б – то же ускорения Представляют интерес абсолютные скоро- сти и ускорения опоры в своих максимальных значениях, причем с учетом направления. Для этой цели удобно использовать годографы [11], дающие знание не только максимальных значе- ний и направлений изучаемых характеристик кинематики, но и показывающие картину в це- лом. На рис. 4а изображен годограф скорости опорного шарнира, а на рис. 4б – годограф его ускорения. Анализ рис. 4а, б показывает, что ни одно из направлений в пространстве не имеет приори- тета с точки зрения максимальных значений, что по рис. 3а, б явно не просматривается. 0,6 0,4 0,2 0 –0,2 –0,4 Л ин ей на я ск ор ос ть , м /с 6 4 2 0 –2 –4 Л ин ей но е ус ко ре ни е, м /с 2 0,4 0,2 0 –0,2 –0,4 С ко ро ст ь по О Y, м /с 3 2 1 0 –1 –2 У ск ор ен ие п о О Y, м /с 2 1 2 1 2 Приборостроение. Информатика Вестник БНТУ, № 6, 2009 50 Ранее показано [12], что колебания спор- тивного снаряда можно рассматривать незави- симо друг от друга в двух ортогональных плос- костях [13]. В нашем случае удобно использо- вать плоскости OX и OY. Фазовая горизонталь- ная плоскость представлена на рис. 5, вертикаль- ная плоскость – на рис. 6. –0,05 0 0,05 Обобщенная координата по ОХ, м Рис. 5. Фазовая горизонтальная плоскость –0,08 –0,06 –0,04 –0,02 0 Обобщенная координата по ОY, м Рис. 6. Фазовая вертикальная плоскость Движение в каждой плоскости в любой мо- мент времени определяется значениями обоб- щенных координаты и скорости [13, 14]. В Ы В О Д Ы Взаимодействие спортсмена со снарядом, являющимся упругой опорой, оказывает суще- ственное влияние на выполнение упражнения как на этапе его разучивания, так и в соревно- вательной практике. Для учета такого влияния необходимо знание обобщенных координат опоры, ее обобщенных скоростей и ускорений. Обобщенные координаты получают путем рас- шифровки кадров видеосъемки, а скорости и ускорения можно найти с помощью методов вычислительной математики. Анализ результатов вычислительного экс- перимента, проведенного при исследовании большого оборота назад на перекладине, пока- зал сложный характер изменения кинематиче- ских характеристик движения спортивного сна- ряда за время выполнения упражнения, одна из причин которого – сложная форма траектории движения опорного шарнира биомеханической системы. Резкие изменения направления упру- гой деформации всей сборной конструкции, каковой является спортивный снаряд, опреде- ляют и соответствующие резкие изменения ве- личин и направлений кинематических характе- ристик движения опоры. Знание обобщенных скоростей и ускорений необходимо для последующего выполнения ди- намического анализа, и в частности для анализа динамических уравнений движения биомеха- нической системы в условиях упругой опоры. Л И Т Е Р А Т У Р А 1. Технология системного моделирования / Е. Ф. Ав- рамчук [и др.]. – М.: Машиностроение; Берлин: Техник, 1988. – 520 с. 2. Васильков, Ю. В. Компьютерные технологии вы- числений в математическом моделировании / Ю. В. Ва- сильков, Н. Н. Василькова. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 256 с. 3. Загревский, В. И. Построение оптимальной техни- ки спортивных упражнений в вычислительном экспери- менте на ПЭВМ / В. И. Загревский, Д. А. Лавшук, О. И. Заг- ревский. – Могилев–Томск, 2000. – 190 с. 4. Загревский, В. И. Расчетные модели кинематики и динамики биомеханических систем / В. И. Загревский. – Томск–Могилев, 1999. – 156 с. 5. Кирьянов, Д. В. Самоучитель MathCad 11 / Д. В. Ки- рьянов. – СПб.: БХВ-Петербург, 2003. – 560 с. 6. Гавердовский, Ю. К. Техника гимнастических упражнений: попул. учеб. пособие / Ю. К. Гавердовский. – М.: Терра-Спорт, 2002. – 512 с. 7. Гусак, А. А. Справочник по высшей математике / А. А. Гусак, Г. М. Гусак. – Минск: Навука i тэхнiка, 1991. – 480 с. 8. Блох, А. Ш. Вычислительная математика и про- граммирование / А. Ш. Блох, А. Т. Кузнецов. – Минск: Народная асвета, 1988. – 207 с. 9. Волков, Е. А. Численные методы / Е. А. Волков. – М.: Наука, 1982. – 256 с. 10. Демидович, Б. П. Основы вычислительной мате- матики / Б. П. Демидович, И. А. Марон. – М.: Наука, 1970. – 664 с. 11. Никитин, Н. Н. Курс теоретической механики / Н. Н. Никитин. – М.: Высш. шк., 1990. – 608 с. 0,6 0,4 0,2 0 –0,2 –0,4 О бо бщ ен на я ск ор ос ть v X, м /с 0,4 0,2 0 –0,2 –0,4 О бо бщ ен на я ск ор ос ть v Y, м /с