Приборостроение. Информатика Вестник БНТУ, № 6, 2009 50 РАСЧЕТ УПРУГИХ ПОСТОЯННЫХ МАТЕРИАЛА ПО СОБСТВЕННЫМ ЧАСТОТАМ КОЛЕБАНИЙ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНЫ Канд. техн. наук, доц. МИНЧЕНЯ В. Т., канд. техн. наук СТЕПАНЕНКО Д. А., студ. ЮРЧИК Е. Н. Белорусский национальный технический университет Одна из важнейших задач при создании но- вых материалов и контроле качества изделий – определение упругих свойств материала. Эта задача особенно актуальна при создании мно- гофазных материалов, например композитов и сплавов, так как в этом случае упругие свой- ства зависят от механических характеристик отдельно взятых фаз материала и теоретическое предсказание этой зависимости может быть затруднительным. Упругие свойства также яв- ляются важным показателем качества изделий микроэлектроники и микросистемной техники, в частности тонкопленочных структур и мик- роэлектромеханических систем (МЭМС). Все существующие методы определения упругих свойств материалов можно подразделить на статические и динамические. Статические ме- тоды основаны на экспериментальном опреде- лении зависимости между нагрузкой и дефор- мацией образца, например путем растяжения на разрывной машине. Также существуют ме- тоды определения упругих свойств, основан- ные на наноиндентировании. Динамические ме- тоды можно подразделить на трансмиссионно- волновые и резонансные. Трансмиссионно-вол- новые методы основаны на измерении скорости распространения упругих волн в образце, кото- рая является функцией упругих свойств и плот- ности материала, а в общем случае также ча- стоты волны (дисперсия) и геометрических па- раметров образца (геометрическая дисперсия). Различают импульсные резонансные методы и резонансные методы с непрерывным возбуж- дением. Резонансные импульсные методы осно- ваны на возбуждении колебаний образца с по- мощью кратковременного (импульсного) воз- действия, имеющего широкополосный ампли- тудно-частотный спектр, и регистрации откли- ка образца. Вычисление спектра отклика об- разца позволяет идентифицировать резонанс- ные частоты его колебаний. Эти частоты зави- сят от геометрических размеров и формы об- разца, граничных условий, а также плотности и упругих свойств материала. Как правило, ис- пользуются граничные условия, близкие к сво- бодным, и в связи с этим оптимальными явля- ются бесконтактное возбуждение и регистрация колебаний, позволяющие исключить влияние возбудителя и приемника на колебания образ- ца. Резонансные методы с непрерывным воз- буждением основаны на возбуждении колеба- ний образца с помощью непрерывного воздей- ствия с плавно изменяющейся частотой и ре- гистрации распределения амплитуды колеба- ний по поверхности образца. В качестве одной из разновидностей динамических методов можно рассматривать атомно-силовую акусти- ческую микроскопию, основанную на измене- нии резонансной частоты кантилевера атомно- силового микроскопа при его взаимодействии с поверхностью исследуемого образца [1]. В ка- честве образцов в резонансных методах опре- деления упругости широко используются тон- кие пластины различной формы. В частности, известен метод определения упругих свойств материала по собственным частотам колебаний прямоугольных пластин, основанный на факте, что отношение двух резонансных частот для таких пластин при заданных размерах и плот- ности зависит лишь от коэффициента Пуассона [2]. График этой зависимости может быть по- строен по результатам моделирования с ис- пользованием метода конечных элементов (МКЭ), после чего по экспериментально опре- деленному отношению частот можно найти из графика коэффициент Пуассона. При извест- ном коэффициенте Пуассона модуль Юнга мо- жет быть найден из зависимости, связывающей резонансные частоты с упругими свойствами материала. К сожалению, подобные зависимо- сти известны лишь для пластин простейшей геометрической формы (круглых и прямо- угольных) и даже для этих простейших случаев они включают в себя коэффициенты, зависи- Приборостроение. Информатика Вестник БНТУ, № 6, 2009 38 мость которых от коэффициента Пуассона необходимо исследовать численно или экспе- риментально. В случае образцов более сложной формы следует прибегать к решению обратной задачи теории колебаний, т. е. задачи опреде- ления упругих свойств материала по известным собственным частотам колебаний образца [3]. Данная задача решается итеративными метода- ми и сводится к решению последовательности прямых задач. На каждом шаге итерации зада- ется приближение упругих свойств, по кото- рому рассчитываются резонансные частоты, а также величина невязки между расчетными и экспериментальными частотами. Последова- тельность приближений строится таким обра- зом, чтобы минимизировать функцию невязки, для чего могут использоваться стандартные методы оптимизации, например метод гради- ентного спуска. Решение последовательности прямых задач может производиться вариацион- ным методом, например методом Рэлея – Рит- ца, или с помощью МКЭ. Важным достоин- ством резонансных методов по сравнению со статическими является возможность неразру- шаю- щего контроля in situ. Кроме того, существует ряд методик, позволяющих производить кон- троль бесконтактным методом, что особенно важно при контроле миниатюрных компонен- тов МЭМС. В частности, известны способы бесконтактного возбуждения колебаний, осно- ванные на использовании явления термическо- го расширения образца под действием импуль- сного лазерного излучения [4, 5], а также на воздействии на образец акустической радиаци- онной силой [6, 7]. Бесконтактная регист- рация отклика образца может производиться с помощью сканирующей лазерной доплеров- ской виброметрии [5, 8], путем измерения па- раметров звукового поля (акустической эмис- сии), создаваемого колеблющимся образцом [7, 9], и с помощью лазерного интерферометра [4]. Особенно интенсивное развитие резонанс- ные методы получили в связи с разработкой и широким внедрением коммерческого про- граммного обеспечения для расчетов с приме- нением МКЭ. Использование МКЭ позволяет исключить трудоемкие расчеты с помощью ва- риационных методов, результаты применения которых существенно зависят от выбора базис- ных функций. Несмотря на то, что вариацион- ные методы могут быть эффективно примене- ны для расчета собственных частот колебаний образцов достаточно сложной формы [10], в настоящее время доступно лишь программное обеспечение для стандартных образцов, ис- пользуемых в методе резонансной ультразвуко- вой спектроскопии и имеющих форму паралле- лепипеда [11]. В то же время расчеты с исполь- зованием широко применяемых в инженерной практике программ ANSYS и NASTRAN успешно использовались многими авторами для определения собственных частот колеба- ний сложных колебательных систем, например ком-понентов МЭМС, содержащих мембраны из нитрида кремния [12], и пластин произволь- ной формы [3]. Постановка задачи. В статье рассматрива- ется задача расчета упругих постоянных мате- риала по собственным частотам колебаний об- разца в виде круглой пластины. Образцы такой формы могут быть легко изготовлены. Кроме того, прямая задача о расчете собственных ча- стот колебаний круглой пластины допускает аналитическое решение. В качестве исходных данных для решения обратной задачи о расчете упругих постоянных материала используются значения собственных частот колебаний, найденные в результате решения прямой зада- чи. Значения упругих постоянных, использо- ванные в качестве исходных данных при реше- нии прямой задачи, применяются для оценки точности решения обратной задачи. Решение прямой задачи. При расчете соб- ственных частот колебаний были приняты сле- дующие значения параметров: 1) радиус пластины R = 0,05 м; 2) толщина пластины h = 0,005 м; 3) модуль Юнга материала пластины Е = = 2,1⋅1011 Па; 4) коэффициент Пуассона материала пла- стины µ = 0,3; 5) плотность материала пластины ρ = = 7800 кг/м3. Как известно [13, 14], собственные формы колебаний круглой пластины характеризуются наличием узловых окружностей и узловых диаметров. Если обозначить число узловых диаметров через n, а число узловых окружно- стей – через m, то собственная частота, соот- Приборостроение. Информатика Вестник БНТУ, № 6, 2009 39 ветствующая такой форме колебаний, будет определяться по формуле 2 2 , 4 3 (1 ) nm nm k h Ef = π ρ −µ (1) где nm nmk R= λ – волновое число; nmλ – m-й корень уравнения det ( , ) 0.a n λ = Элементы матрицы a для пластины со сво- бодным контуром определяются следующим образом: 2 2 11( , ) J ( ) (1 )( J ( ) J ( ));n n na n n′λ = λ λ + −µ λ λ − λ 2 2 12 ( , ) I ( ) (1 )( I ( ) I ( ));n n na n n′λ = λ λ − −µ λ λ − λ 3 2 21( , ) J ( ) (1 ) ( J ( ) J ( ));n n na n n′ ′λ = λ λ + −µ λ λ − λ 3 2 22 ( , ) I ( ) (1 ) ( I ( ) I ( )).n n na n n′ ′λ = λ λ − −µ λ λ − λ Здесь J ( )n ⋅ – функция Бесселя первого рода n-го порядка; I ( )n ⋅ – модифицированная функ- ция Бесселя первого рода n-го порядка. Собственные формы колебаний описывают- ся уравнением 11 12 ( , ) ( , ) J ( ) I ( ) cos . ( , ) nm nm n nm n nm nm a nr k r k r n a n  λ ξ ϕ = − ϕ λ  В качестве исходных данных для решения обратной задачи были использованы следую- щие значения собственных частот колебаний, рассчитанные по приведенным формулам с по- мощью программы MathCad: 21 17620 Гц;f = 40 10910 Гц.f = Собственные формы колебаний, соответ- ствующие этим частотам, изображены на рис. 1. –0,04 –0,02 0 0,02 0,04 –0,04 –0,02 0 0,02 0,04 Рис. 1. Собственные формы колебаний пластины Решение обратной задачи. Для решения обратной задачи использовался метод гради- ентного спуска. Для этого задавалось начальное приближение упругих постоянных (Е0 = 3 ⋅ 1011 Па; µ0 = 0,5), для которого определялись рас- чет- ные значения собственных частот колебаний f21р и f40р. Далее составляли функцию невязки между заданными и расчетными значениями частот 2 2 21р 21 40р 40( , ) ( ( , ) ) ( ( , ) ) .F E f E f f E fµ = µ − + µ − (2) Решение обратной задачи сводилось к по- строению последовательности приближений (Ei, µ i), минимизирующей функцию невязки. Последовательность приближений строили по правилу 1 1 1 1 grad ( , ),i i i i i i i E E s F E− − − −     = − µ   µ µ    i = 1, 2, … . Градиент функции невязки определяли по формуле 21р 21 21р 40р 40 40р grad 2( ( , ) )grad 2( ( , ) )grad , F f E f f f E f f = µ − + + µ − где градиенты расчетных собственных частот колебаний находились численным методом по формуле ( ( , ) ( , )) grad . ( ( , ) ( , )) nmр nmр nmр nmр nmр f E E f E E f f E f E + ∆ µ − µ ∆  ≈  µ + ∆µ − µ ∆µ  Расчет градиентов для начального прибли- жения упругих постоянных показал, что со- ставляющая градиента по координате E прене- брежимо мала по сравнению с составляющей по координате μ, что может быть объяснено значительно более широким диапазоном изме- нения значений модуля Юнга. Существенная разница между составляющими градиента от- рицательно влияла на сходимость последова- тельности приближений, в связи с чем функция невязки была представлена в виде функции безразмерной переменной min/ ,rE Е E= где Еmin – нижняя граница предполагаемого диапа- зона возможных значений модуля Юнга (Еmin = = 1,5 ⋅ 1011 Па). Ширина диапазона изменения этой переменной сопоставима с шириной диа- 0,04 0,02 0 –0,02 –0,04 Приборостроение. Информатика Вестник БНТУ, № 6, 2009 40 пазона изменения коэффициента Пуассона, что дает сопоставимые по величине составляющие градиента по обеим координатам. С учетом из- ложенного минимизацию функции невязки про- изводили в пространстве переменных (Еr, μ). Величину шага si принимали обратно пропор- циональной модулю градиента ( 1) 1 . grad ( , ) i r i i s F E − − λ = µ Коэффициент пропорциональности λ выби- рался из диапазона от 0 до 0,5 из условия ми- нимальности функции невязки, зависимость которой от параметра λ может быть описана выражением 2 2 21 min 212 2 2 40 min 402 ( ( )) ( ) ( ) 4 3 (1 ( ) ) ( ( )) ( ) . 4 3 (1 ( ) ) i ri i i i ri i k h E EF f k h E E f  µ λ λ λ = − +  π ρ −µ λ   µ λ λ + −  π ρ −µ λ  Зависимости k21(µ) и k40(µ) аппроксимиро- вались квадратичными функциями на основе результатов расчета величины волнового числа для значений коэффициента Пуассона от 0 до 0,5 с шагом 0,1. Сходимость метода градиентного спуска контролировали по величине относительной погрешности 22 21р 40р 21 40 ( , ) ( , ) 1 1 .ri i ri ii f E f E f f µ µ   ∆ = − + −       Итерационный процесс заканчивался при условии 0,015.i∆ ≤ Сходимость метода градиентного спуска наглядно иллюстрирует рис. 2, на котором представлены логарифм функции невязки в ви- де поверхности в пространстве упругих посто- янных и контурный график линий уровня этой поверхности. Рис. 2. Схема, иллюстрирующая сходимость метода градиентного спуска Использование логарифма позволяет полу- чить на контурном графике отчетливо иденти- фицируемый минимум. Поверхность построена на основе зависимостей (1) и (2) с использова- нием квадратичной аппроксимации функций k21(µ) и k40(µ). На контурном графике изобра- жены в виде точек, соединенных ломаной ли- нией, последовательные приближения упругих постоянных. Как видно из графика, последова- тельность приближений сходится к глобаль- ному минимуму функции невязки, соответ- ствующему реальным значениям упругих по- стоянных. В результате расчета были получены сле- дующие значения упругих постоянных: 1) модуль Юнга Е = 2,139 ⋅ 1011 Па (относи- тельная погрешность 1,9 %); 2) коэффициент Пуассона µ = 0,268 (отно- сительная погрешность 10,7 %). Таким образом, за пять шагов итеративного процесса удалось определить упругие постоян- ные с достаточно высокой точностью. Рассмотренная задача наглядно иллюстри- рует физические и математические принципы, положенные в основу резонансных методов определения упругих свойств, и может быть использована в учебном процессе при изучении дисциплин «Физические основы измерений» и «Приборы, аппараты и комплексы клиниче- ской диагностики» (раздел «Электроакустиче- ское оборудование»). В случае образцов слож- ной геометрической формы вместо аналитиче- ского решения прямых задач может применять- ся МКЭ. В частности, авторы успешно исполь- зовали для этой цели программу ANSYS. В Ы В О Д Ы Приборостроение. Информатика Вестник БНТУ, № 6, 2009 41 1. На основе анализа существующих мето- дов определения упругих свойств материалов показана перспективность применения резо- нансных методов, позволяющих производить бесконтактный неразрушающий контроль. 2. В качестве примера использования резо- нансных методов рассмотрена задача об опре- делении упругих свойств материала по соб- ственным частотам колебаний образца в виде круглой пластины. 3. Показана эффективность решения иссле- дуемой задачи с помощью метода градиентного спуска. Л И Т Е Р А Т У Р А 1. Quantitative elastic-property measurements at the na- noscale with atomic force acoustic microscopy / D. C. Hurley [et al.] // Advanced Engineering Materials. – 2005. – Vol. 7. – P. 713–718. 2. Alfano, M. A non-destructive technique for the elastic characterization of thin isotropic plates / M. Alfano, L. Pagnotta // NDT&E International. – 2007. – Vol. 40. – P. 112–120. 3. Pagnotta, L. Elastic characterization of isotropic plates of any shape via dynamic tests: Theoretical aspects and nu- merical simulations / L. Pagnotta, G. Stigliano // Mechanics Research Communications. – 2008. – Vol. 35. – P. 351–360. 4. França, D. R. All-optical measurement of in-plane and out-of-plane Young’s modulus and Poisson’s ratio in silicon wafers by means of vibration modes / D. R. França, A. Blouin // Measurement Science and Technology. – 2004. – Vol. 15. – P. 859–868. 5. Non-contact resonant ultrasound spectroscopy for elas- tic constants measurement / P. Sedlák [et al.] // 1st Interna- tional Symposium on Laser Ultrasonics: Science, Technology and Applications. Montreal, 2008. Online: http://www.ndt.net/ article/laser-ut2008/papers/Sedlak%20LU2008.pdf 6. Noncontact modal excitation of small structures using ultrasound radiation force / T. M. Huber [et al.]. Online: http://physics.gac.edu/~Huber/Presentations/sem_2007_june/ 400_hub.pdf 7. Pagnotta, L. Elastic characterization of isotropic plates of any shape via dynamic tests: Practical aspects and experi- mental applications / L. Pagnotta, G. Stigliano // Mechanics Research Communications. – 2009. – Vol. 36. – P. 154–161. 8. Resonance ultrasound spectroscopy with laser-Doppler interferometry for studying elastic properties of thin films / N. Nakamura [et al.] // Ultrasonics. – 2004. – Vol. 42. – P. 491–494. 9. Determination of object resonances by vibro-acous- tography and their associated modes / F. G. Mitri [et al.] // Ultrasonics. – 2004. – Vol. 42. – P. 537–543. 10. On the normal modes of free vibration of inhomoge- neous and anisotropic elastic objects / W. M. Visscher [et al.] // Journal of the Acoustical Society of America. – 1991. – Vol. 90. – P. 2154–2162. 11. http://www.mathworks.co.uk/matlabcentral/fileexchan- ge/11399 12. Guo, H. Die-level characterization of silicon-nitride membrane/silicon structures using resonant ultrasonic spec- troscopy / H. Guo, A. Lal // Journal of Microelectromechani- cal Systems. – 2003. – Vol. 12. – P. 53–63. 13. Kitahara, M. Boundary integral equation methods in eigenvalue problems of elastodynamics and thin plates / M. Ki- tahara. – Amsterdam, Oxford, New York, Tokyo, 1985. – 281 p. 14. Бабаков, И. М. Теория колебаний / И. М. Баба- ков. – М., 1968. – 560 с. Поступила 23.03.2009 УДК 621.396:621.391.82 ВЛИЯНИЕ ДЕКОРАТИВНЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПОКРЫТИЙ ЗДАНИЙ НА ЭЛЕКТРОМАГНИТНУЮ ОБСТАНОВКУ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНУЮ СОВМЕСТИМОСТЬ РАДИОСИСТЕМ Канд. техн. наук МОРДАЧЕВ В. И., докт. техн. наук, проф. ЮРЦЕВ О. А., ЛИТВИНКО П. А. Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники Использование декоративных металличе- ских покрытий, в частности алюминиевого ли- стового покрытия, для улучшения внешнего вида зданий и их защиты от воздействий значи- тельно изменяет их электродинамические ха- рактеристики и способно существенно влиять на электромагнитную обстановку (ЭМО) в окрестности этих зданий, а также на электро-