Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Робототехнические системы» МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ к лабораторным работам по курсу «Теория автоматического управления, ч.1» для студентов специальностей 53 01 01 – «Автоматизация техно- логических процессов и производств» и 53 01 06 – «Промышлен- ные роботы и робототехнические комплексы» Часть 1 Минск 2009 2 УДК 621-52(076.5) ББК 32.965 з 14 С о с та в и т е л и: В.П.Загорский, Ю.Н.Позник Р е ц е н з е н т ы: канд. техн. наук, доцент С.В.Харитончик канд.техн.наук,доцент А.Т.Кулаков Теория автоматического управления. Методическое пособие к лабораторным работам для студентов специальностей 53 01 01 – «Автоматизация технологических процессов и производств» и 53 01 06 – «Промышленные роботы и робототехнические комплексы» в 2 ч. / сост.: В.П.Загорский, Ю.Н.Позник. – Минск: БНТУ, 2009. – ч.1. - 95с. ISBN 978-985-525-131-7 (ч.1) В настоящее издание включены методические рекомендации к лабораторным работам по курсу «Теория автоматического управле- ния», часть первая – линейные непрерывные системы. Цель пособия – приобретение студентами практических навы- ков использования базовых теоретических методов анализа и синте- за автоматических систем. УДК 621-52(076.5) ББК 32.965 з 14 ISBN 978-985-525-131-7 (ч.1) ISBN 978-985-525-132 – 4 3 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ………………………………………………… 5 Лабораторная работа № 1 ВВЕДЕНИЕ В MATLAB. НАЧАЛО РАБОТЫ В SIMULINK …………………………. 6 Лабораторная работа № 2 ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ …………………………… 29 Лабораторная работа № 3 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК …………………….. 35 Лабораторная работа № 4 ПЕРЕХОДНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ……………………… 37 Лабораторная работа № 5 ИМПУЛЬСНЫЕ ПЕРЕХОДНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ … 44 Лабораторная работа № 6 ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ……………………….. 47 Лабораторная работа № 7 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ SIMULINK LTI-VIEWER ДЛЯ АНАЛИЗА ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ (ЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ) …………………………………… 52 Лабораторная работа № 8 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ …………. 60 Лабораторная работа № 9 ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТИПОВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ …………………………….. 68 4 Лабораторная работа № 10 ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТИПОВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ……………………………… 73 Лабораторная работа № 11 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ 77 Лабораторная работа № 12 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ С ЭЛЕМЕНТОМ ЧИСТОГО ЗАПАЗДЫВАНИЯ ………………………………………… 88 Список использованной литературы……………………… 95 5 ВВЕДЕНИЕ Теория автоматического управления и регулирования – наука, которая изучает методы анализа и синтеза различных автоматиче- ских систем на основе их математического моделирования. Данная разработка представляет собой учебно-методическую ба- зу для выполнения лабораторных работ по первой части курса «Теория автоматического управления» (ТАУ) студентами специаль- ностей «Автоматизация технологических процессов и производств» и «Промышленные роботы и робототехнические комплексы». Цель работы: развить и закрепить у студентов практические навыки анализа и синтеза систем управления. Тематика лабораторных работ охватывает базовые разделы ТАУ для линейных непрерывных систем. В процессе выполнения лабо- раторных работ студенты должны получить наглядное представле- ние о связи основных теоретических положений ТАУ и реальных характеристик систем и элементов. Для этого необходимо изучить методики: – исследования динамических, статических и частотных харак- теристик различных звеньев автоматических систем; – исследования устойчивости замкнутых систем; – определения показателей точности и быстродействия замкну- тых систем. Выполнение лабораторных работ предполагает использование пакета моделирования MatLab с расширениями Control System Toolbox и Simulink. Каждая работа содержит описание команд MatLab, которые могут быть использованы при выполнении зада- ний. При подготовке и выполнении лабораторных работ рекоменду- ется использовать классические учебные пособия по теории автома- тического управления. 6 Лабораторная работа № 1 ВВЕДЕНИЕ В MATLAB. НАЧАЛО РАБОТЫ В SIMULINK Цель работы – приобрести практические навыки работы с паке- том Matlab с расширениями Control System Toolbox и Simulink. Для достижения этой цели необходимо изучить инструменталь- ные средства Matlab и методики их использования на простейших примерах в соответствии и в последовательности нижеприведенного материала. Основные сведения Программа Simulink является приложением к пакету MATLAB. При моделировании с использованием Simulink реализуется прин- цип визуального программирования, в соответствии с которым, пользователь на экране из библиотеки стандартных блоков создает модель устройства и осуществляет расчеты. При этом, в отличие от классических способов моделирования, пользователю не нужно досконально изучать язык программирования и численные методы математики. Часть входящих в состав MATLAB пакетов имеют ин- струменты, встраиваемые в Simulink (например, LTI – Viewer при- ложения Control System Toolbox – пакета для разработки систем управления). Имеются также дополнительные библиотеки блоков для разных областей применения (Power System Blockset – модели- рование электротехнических устройств, Digital Signal Processing Blockset – набор блоков для разработки цифровых устройств и т.д). Программный пакет моделирования Simulink Программный пакет Simulink является встроенным средством моделирования технических систем и для его использования необ- ходимо предварительно запустить MATLAB. Основное окно про- граммы MATLAB показано на рис. 1.1. Там же показана подсказка появляющаяся в окне при наведении указателя мыши на ярлык Simulink в панели инструментов. 7 Рис. 1.1. Основное окно программы MATLAB Открыть Simulink можно одним из трех способов. • Нажать кнопку (Simulink)на панели инструментов ко- мандного окна MATLAB. • В командной строке главного окна MATLAB напечатать Simulink и нажать клавишу Enter на клавиатуре. • Выполнить команду Open… в меню File и открыть файл мо- дели (mdl - файл). Последний вариант удобно использовать для запуска уже гото- вой и отлаженной модели, когда требуется лишь провести расчеты и не нужно добавлять новые блоки в модель. Использование перво- го и второго способов приводит к открытию окна обозревателя раз- делов библиотеки Simulink (рис.1.2). Окно обозревателя библиотеки блоков содержит следующие элементы. 1) Заголовок, с названием окна – Simulink Library Browser. 2) Меню, с командами File, Edit, View, Help. 8 Рис. 1.2. Окно обозревателя разделов библиотеки Simulink 3) Панель инструментов, с ярлыками наиболее часто используе- мых команд. 4) Окно комментария для вывода поясняющего сообщения о вы- бранном блоке. 5) Список разделов библиотеки, реализованный в виде дерева. 6) Окно содержимого раздела библиотеки (список вложенных разделов библиотеки или блоков) 7) Строка состояния, содержащая подсказку по выполняемому действию. На рис. 1.2 выделена основная библиотека Simulink (в левой ча- сти окна) и показаны ее разделы (в правой части окна). Библиотека Simulink содержит следующие основные разделы. 1. Continuous – линейные блоки. 2. Discrete – дискретные блоки. 3. Functions & Tables – функции и таблицы. 4. Math – блоки математических операций. 9 5. Nonlinear – нелинейные блоки. 6. Signals & Systems – сигналы и системы. 7. Sinks - регистрирующие устройства. 8 Sources – источники сигналов и воздействий. 9 Subsystems – блоки подсистем. Список разделов библиотеки Simulink представлен в виде дере- ва, и правила работы с ним являются общими для списков такого вида. Пиктограмма свернутого узла дерева содержит символ «+», а пиктограмма развернутого содержит символ «-». Для того чтобы развернуть или свернуть узел дерева, достаточно щелкнуть на его пиктограмме левой клавишей мыши (ЛКМ). При выборе соответствующего раздела библиотеки в правой ча- сти окна отображается его содержимое (см. рис. 1.3). Рис. 1.3. Окно обозревателя с набором блоков раздела библиотеки Для работы с окном используются команды собранные в меню. Меню обозревателя библиотек содержит следующие пункты: • File (Файл) – Работа с файлами библиотек, • Edit (Редактирование) – Добавление блоков и их поиск (по названию), 10 • View (Вид) – Управление показом элементов интерфейса, • Help (Справка) – Вывод окна справки по обозревателю биб- лиотек. Для работы с обозревателем можно также использовать кнопки на панели инструментов (рис.1.4). Рис. 1.4. Панель инструментов обозревателя разделов библиотек Кнопки панели инструментов имеют следующее назначение: 1. Создать новую S-модель (открыть новое окно модели). 2. Открыть одну из существующих S-моделей. 3. Изменить свойства окна обозревателя. Данная кнопка поз- воляет установить режим отображения окна обозревателя "поверх всех окон”. Повторное нажатие отменяет такой режим. 4. Поиск блока по названию (по первым символам названия). После того как блок будет найден, в окне обозревателя откроется соответствующий раздел библиотеки, а блок будет выделен. Если же блок с таким названием отсутствует, то в окне комментария бу- дет выведено сообщение Not found <имя блока> (Блок не найден). Создание проекта модели Для создания проекта модели в среде SIMULINK необходимо последовательно выполнить ряд действий. 1. Создать новый файл модели с помощью команды File/New/Model, или используя кнопку на панели инструментов (здесь и далее, с помощью символа «/», указаны пункты меню про- граммы, которые необходимо последовательно выбрать для выпол- нения указанного действия). Вновь созданное окно модели показано на рис. 1.5. 11 Рис. 1.5. Пустое окно модели 2. Расположить блоки в окне модели. Для этого необходимо от- крыть соответствующий раздел библиотеки (Например, Sources – Источники). Далее, указав курсором на требуемый блок и нажав на левую клавишу «мыши» - «перетащить» блок в созданное окно. Клавишу мыши нужно держать нажатой. На рис 1.6 показано окно модели, содержащее блоки. Рис. 1.6. Окно модели, содержащее блоки Для удаления блока необходимо выбрать блок (указать курсором на его изображение и нажать левую клавишу «мыши»), а затем нажать клавишу Delete на клавиатуре. Для изменения размеров бло- ка требуется выбрать блок, установить курсор в один из углов блока и, нажав левую клавишу «мыши», изменить размер блока (курсор при этом превратится в двухстороннюю стрелку). 12 3. Если требуется, то изменить параметры блока, установленные программой «по умолчанию». Для этого необходимо дважды щелк- нуть левой клавишей «мыши», указав курсором на изображение блока. Откроется окно редактирования параметров данного блока. При задании численных параметров следует иметь в виду, что в ка- честве десятичного разделителя должна использоваться точка, а не запятая. После внесения изменений нужно закрыть окно кнопкой OK. На рис.1.7 в качестве примера показаны блок, моделирующий передаточную функцию и окно редактирования параметров данного блока. Рис. 1.7. Блок, моделирующий передаточную функцию и окно редактирования параметров блока. 4. После установки на схеме всех блоков из требуемых библио- тек нужно выполнить соединение элементов схемы. Для соединения блоков необходимо указать курсором на «выход» блока, а затем, нажать и, не отпуская левую клавишу «мыши», провести линию к входу другого блока. После чего отпустить клавишу. В случае пра- вильного соединения изображение стрелки на входе блока изменяет цвет. Для создания точки разветвления в соединительной линии нужно подвести курсор к предполагаемому узлу и, нажав правую клавишу «мыши», протянуть линию. Для удаления линии требуется выбрать линию (так же, как это выполняется для блока), а затем 13 нажать клавишу Delete на клавиатуре. Схема модели, в которой вы- полнены соединения между блоками, показана на рис. 1.8. Рис. 1.8. Пример структурной модели 5. После составления расчетной схемы необходимо сохранить ее в виде файла на диске, выбрав пункт меню File/Save As... в окне схемы и указав папку и имя файла. Следует иметь в виду, что имя файла, размером до 32 символов, должно начинаться с буквы и не может содержать символы кириллицы и спецсимволы. Это же тре- бование относится и к пути файла (к тем папкам, в которых сохра- няется файл). При последующем редактировании схемы можно пользоваться пунктом меню Fille/Save. При повторных запусках программы SIMULINK загрузка схемы осуществляется с помощью меню File/Open... в окне обозревателя библиотеки или из основного окна MATLAB. Окно проекта модели Окно проекта модели содержит следующие элементы (см. рис. 1.8). 1. Заголовок, с названием окна. Вновь созданному окну, по умолчанию, присваивается имя «Untitled» с соответствующим но- мером. 14 2. Меню с командами File, Edit, View и т.д. 3. Панель инструментов. 4. Окно для создания схемы модели. 5. Строка состояния, содержащая информацию о текущем состо- янии модели. Меню окна содержит команды для редактирования модели, ее настройки и управления процессом расчета, работы файлами и т.п. • File (Файл) – Работа с файлами моделей, • Edit (Редактирование) – Изменение модели и поиск блоков, • View (Вид) – Управление показом элементов интерфейса, • Simulation (Моделирование) – Задание настроек для моде- лирования и управление процессом расчета, • Format (Форматирование) – Изменение внешнего вида бло- ков и модели в целом, • Tools (Инструментальные средства) – Применение специ- альных средств для работы с моделью (отладчик, линейный анализ и т.п.), • Help (Справка) – Вывод окон справочной системы. Для работы с моделью можно также использовать кнопки на па- нели инструментов (рис.1.9). Рис. 1.9. Панель инструментов окна модели Кнопки панели инструментов имеют следующее назначение. 1) New Model – Открыть новое (пустое) окно модели. 2) Open Model – Открыть существующий mdl-файл. 3) Save Model – Сохранить mdl-файл на диске. 4) Print Model – Вывод на печать блок-диаграммы модели. 5) Cut – Вырезать выделенную часть модели в буфер промежуточ- ного хранения. 6) Copy – Скопировать выделенную часть модели в буфер промежу- точного хранения. 15 7) Paste – Вставить в окно модели содержимое буфера промежуточ- ного хранения. 8) Undo – Отменить предыдущую операцию редактирования. 9) Redo – Восстановить результат отмененной операции редактиро- вания. 10) Library Browser – Открыть окно обозревателя библиотек. 11) Toggle Model Browser – Открыть окно обозревателя модели. 12) Go to parent system – Переход из подсистемы в систему высшего уровня иерархии (“родительсую систему”). Команда доступна толь- ко, если открыта подсистема. 13) Debug – Запуск отладчика модели. 14) Start/Pause/Continue Simulation – Запуск модели на исполнение (команда Start); после запуска модели на изображении кнопки вы- водится символ , и ей соответствует уже команда Pause (При- остановить моделирование); для возобновления моделирования следует щелкнуть по той же кнопке, поскольку в режиме паузы ей соответствует команда Continue (Продолжить). 15) Stop – Закончить моделирование. Кнопка становится доступной после начала моделирования, а также после выполнения команды Pause. 16) Normal/Accelerator – Обычный/Ускоренный режим расчета. Ин- струмент доступен, если установлено приложение Simulink Performance Tool. В нижней части окна модели находится строка состояния, в ко- торой отображаются краткие комментарии к кнопкам панели ин- струментов, а также к пунктам меню, когда указатель мыши нахо- дится над соответствующим элементом интерфейса. Это же тексто- вое поле используется и для индикации состояния Simulink: Ready (Готов) или Running (Выполнение). В строке состояния отобража- ются также: • масштаб отображения блок-диаграммы (в процентах, исход- ное значение равно 100 %), • индикатор степени завершенности сеанса моделирования (появляется после запуска модели), • текущее значение модельного времени (выводится также только после запуска модели), 16 • используемый алгоритм расчета состояний модели (метод решения). Редактирование проекта модели Добавление текстовых надписей Для повышения наглядности модели удобно использовать тек- стовые надписи. Для создания надписи нужно указать мышью ме- сто надписи и дважды щелкнуть левой клавишей мыши. После это- го появится прямоугольная рамка с курсором ввода. Аналогичным образом можно изменить и подписи к блоками моделей.. На рис. 1.10 показаны текстовая надпись и изменение надписи в блоке передаточной функции. Следует иметь в виду, что рассматриваемая версия программы (Simulink 4) не адаптирована к использованию кириллических шрифтов, и применение их может иметь самые раз- ные последствия: - отображение надписей в нечитаемом виде, обре- зание надписей, сообщения об ошибках, а также невозможность открыть модель после ее сохранения. Поэтому, применение надпи- сей на русском языке для текущей версии Simulink крайне не жела- тельно. Рис. 1.10. Текстовая надпись и изменение надписи в Transfer Function 17 Выделение объектов Для выполнения какого-либо действия с элементом модели (бло- ком, соединительной линией, надписью) этот элемент необходимо сначала выделить. Выделение объектов проще всего осуществляет- ся мышью. Для этого необходимо установить курсор мыши на нуж- ном объекте и щелкнуть левой клавишей мыши. Произойдет выде- ление объекта. Об этом будут свидетельствовать маркеры по углам объекта (см. рис. 1.10). Можно также выделить несколько объектов. Для этого надо установить курсор мыши вблизи группы объектов, нажать левую клавишу мыши и, не отпуская ее, начать перемещать мышь. Появится пунктирная рамка, размеры которой будут изме- няться при перемещении мыши. Все охваченные рамкой объекты становятся выделенными. Выделить все объекты также можно, ис- пользуя команду Edit/Select All. После выделения объекта его мож- но копировать или перемещать в буфер промежуточного хранения, извлекать из буфера, а также удалять, используя стандартные прие- мы работы в Windows-программах. Копирование и перемещение объектов в буфер промежуточного хранения Для копирования объекта в буфер его необходимо предвари- тельно выделить, а затем выполнить команду Edit/Copy или вос- пользоваться инструментом на панели инструментов. Для выре- зания объекта в буфер его необходимо предварительно выделить, а затем выполнить команду Edit/Cut или воспользоваться инструмен- том на панели инструментов. При выполнении данных операций следует иметь в виду, что объекты помещаются в собственный бу- фер MATLAB и недоступны из других приложений. Использование команды Edit/Copy model to Clipboard позволяет поместить графи- ческое изображение модели в буфер Windows и, соответственно, делает его доступным для остальных программ. Копирование мож- но выполнить и таким образом: нажать правую клавишу мыши, и не отпуская ее, переместить объект. При этом будет создана копия объекта, которую можно переместить в необходимое место. 18 Вставка объектов из буфера промежуточного хранения Для вставки объекта из буфера необходимо предварительно ука- зать место вставки, щелкнув левой клавишей мыши в предполагае- мом месте вставки, а затем выполнить команду Edit/Paste или вос- пользоваться инструментом на панели инструментов. Удаление объектов Для удаления объекта его необходимо предварительно выделить, а затем выполнить команду Edit/Clear или воспользоваться клави- шей Delete на клавиатуре. Следует учесть, что команда Clear удаля- ет блок без помещения его в буфер обмена. Однако эту операцию можно отменить командой меню File/Undo. Соединение блоков Для соединения блоков необходимо сначала установить курсор мыши на выходной порт одного из блоков. Курсор при этом пре- вратится в большой крест из тонких линий (рис. 1.11). Рис. 1.11. Начало создания соединения Держа нажатой левую кнопку мыши, нужно переместить курсор к входному порту нужного блока. Курсор мыши примет вид креста из тонких сдвоенных линий (рис. 1.12). Свидетельством того, что соединение создано, будет жирная стрелка у входного порта блока. Выделение линии производится точно также как и выделение блока 19 одинарным щелчком левой клавиши мыши. Черные маркеры, рас- положенные в узлах соединительной линии будут говорить о том, что линия выделена. Рис. 1.12. Завершение создания соединения Создание петли линии соединения выполняется также как пере- мещение блока. Линия соединения выделяется, и затем нужная часть линии перемещается. Рис 1.13 поясняет этот процесс. Рис. 1.13. Создание петли в соединительной линии Удаление соединений выполняется также как и любых других объектов (см. п. 5). 20 Изменение размеров блоков Для изменения размера блока он выделяется, после чего курсор мыши надо установить на один из маркеров по углам блока. После превращения курсора в двустороннюю стрелку, необходимо нажать левую клавишу мыши и растянуть (или сжать) изображения блока. На рис. 1.14 показан этот процесс. Размеры надписей блока при этом не изменяются. Рис. 1.14. Изменение размера блока Перемещение блоков Любой блок модели можно переместить, выделив его, и пере- двинув, держа нажатой левую клавишу мыши. Если к входам и вы- ходам блока подведены соединительные линии, то они не разрыва- ются, а лишь сокращаются или увеличиваются в длине. В соедине- ние можно также вставить блок, имеющий один вход и один выход. Для этого его нужно расположить в требуемом месте соединитель- ной линии. Использование команд Undo и Redo В процессе освоения программы пользователь может совершать действия кажущиеся ему необратимыми (например, случайное уда- ление части модели, копирование и т.д.). В этом случае следует воспользоваться командой Undo — отмена последней операции. Команду можно вызвать с помощью кнопки в панели инстру- 21 ментов окна модели или из меню Edit. Для восстановления отме- ненной операции служит команда Redo (инструмент ). Форматирование объектов В меню Format (также как и в контекстном меню, вызываемом нажатием правой клавиши мыши на объекте) находится набор ко- манд форматирования блоков. Команды форматирования разделя- ются на несколько групп. 1. Изменение отображения надписей: Font – форматирование шрифта надписей и текстовых блоков, Text alignment – выравнивание текста в текстовых надписях, Flip name – перемещение подписи блока, Show/Hide name – отображение или скрытие подписи блока. 2.Изменение цветов отображения блоков: Foreground color – выбор цвета линий для выделенных блоков, Background color – выбор цвета фона выделенных блоков, Screen color – выбор цвета фона для всего окна модели. 3. Изменение положения блока и его вида: Flip block – зеркальное отображение относительно вертикальной оси симметрии, Rotate block – поворот блока на 900 по часовой стрелке, Show drop shadow – показ тени от блока, Show port labels – показ меток портов. Прочие установки: Library link display – показ связей с библиотеками, Sample time colors – выбор цвета блока индикации времени, Wide nonscalar lines – увеличение/уменьшение ширины неска- лярных линий, Signal dimensions – показ размерности сигналов, Port data types – показ данных о типе портов, 22 Storage class – класс памяти. Параметр, устанавливаемый при работе Real-Time Workshop, Execution order – вывод порядкового номера блока в последова- тельности исполнения. Параметры и выполнение расчетов Перед выполнением расчетов необходимо предварительно задать параметры расчета. Задание параметров расчета выполняется в па- нели управления меню Simulation/Parameters. Вид панели управле- ния приведен на рис.1.15. Рис. 1.15. Панель управления расчетами Окно настройки параметров расчета имеет 4 вкладки. • Solver (Расчет) – установка параметров расчета модели. 23 • Workspace I/O (Ввод/вывод данных в рабочую область) – установка параметров обмена данными с рабочей областью MATLAB. • Diagnostics (Диагностика) – выбор параметров диагностиче- ского режима. • Advanced (Дополнительно) – установка дополнительных па- раметров. Установка параметров расчета модели выполняется с помощью элементов управления, размещенных на вкладке Solver. Эти эле- менты разделены на три группы (рис. 1.16): Simulation time (Интер- вал моделирования или, иными словами, время расчета), Solver options (Параметры расчета), Output options (Параметры вывода). Рис. 1.16. Вкладка Solver при выборе фиксированного шага расчета Установка параметров расчета модели Simulation time (Интервал моделирования или время расчета) Время расчета задается указанием начального (Start time) и ко- нечного (Stop time) значений времени расчета. Начальное время, как 24 правило, задается равным нулю. Величина конечного времени зада- ется пользователем исходя из условий решаемой задачи. Solver options (Параметры расчета) При выборе параметров расчета необходимо указать способ мо- делирования (Type) и метод расчета нового состояния системы. Для параметра Type доступны два варианта – c фиксированным (Fixed- step) или с переменным (Variable-step) шагом. Как правило, Variable-step используется для моделирования непрерывных систем, a Fixed-step – для дискретных. Список методов расчета нового со- стояния системы содержит несколько вариантов. Первый вариант (discrete) используется для расчета дискретных систем. Остальные методы используются для расчета непрерывных систем. Эти мето- ды различны для переменного (Variable-step) и для фиксированного (Fixed-step) шага времени, но, по сути, представляют собой проце- дуры решения систем дифференциальных уравнений. Подробное описание каждого из методов расчета состояний системы приведено во встроенной справочной системе MATLAB. Ниже двух раскры- вающихся списков Type находится область, содержимое которой меняется зависимости от выбранного способа изменения модельно- го времени. При выборе Fixed-step в данной области появляется текстовое поле Fixed-step size (величина фиксированного шага) поз- воляющее указывать величину шага моделирования (см. рис. 1.16). Величина шага моделирования по умолчанию устанавливается си- стемой автоматически (auto). Требуемая величина шага может быть введена вместо значения auto либо в форме числа, либо в виде вы- числяемого выражения (то же самое относится и ко всем парамет- рам устанавливаемым системой автоматически). При выборе Fixed-step необходимо также задать режим расчета (Mode). Для параметра Mode доступны три варианта. • MultiTasking (Многозадачный) – необходимо использовать, если в модели присутствуют параллельно работающие подсистемы, и результат работы модели зависит от временных параметров этих подсистем. Режим позволяет выявить несоответствие скорости и дискретности сигналов, пересылаемых блоками друг другу. • SingleTasking (Однозадачный) – используется для тех моде- лей, в которых недостаточно строгая синхронизация работы эле- ментов не влияет на конечный результат. 25 • Auto (Автоматический выбор режима) – позволяет Simulink автоматически устанавливать режим MultiTasking для тех моделей, в которых используются блоки с различными скоростями передачи сигналов и режим SingleTasking для моделей, в которых содержатся блоки, оперирующие одинаковыми скоростями. При выборе Variable-step в области появляются поля для уста- новки трех параметров. • Мах step size – максимальный шаг расчета. По умолчанию он устанавливается автоматически (auto) и его значение в этом слу- чае равно (SfopTime – StartTime)/50. Довольно часто это значение оказывается слишком большим, и наблюдаемые графики представ- ляют собой ломаные (а не плавные) линии. В этом случае величину максимального шага расчета необходимо задавать явным образом: • Мin step size – минимальный шаг расчета, • Initial step size – начальное значение шага моделирования. При моделировании непрерывных систем с использованием пе- ременного шага необходимо указать точность вычислений: относи- тельную (Relative tolerance) и абсолютную (Absolute tolerance). По умолчанию они равны соответственно 10-3 и auto. Output options (Параметры вывода) – задают настройки парамет- ров вывода выходных сигналов моделируемой системы (Output options). Для данного параметра возможен выбор одного из трех вариантов. • Refine output (Скорректированный вывод) – позволяет изме- нять дискретность регистрации модельного времени и тех сигналов, которые сохраняются в рабочей области MATLAB с помощью бло- ка То Workspace. Установка величины дискретности выполняется в строке редактирования Refine factor, расположенной справа. По умолчанию зна чение Refine factor равно 1, это означает, что реги- страция производится с шагом D t = 1 (то есть для каждого значения модельного времени:). Если задать Refine factor равеным 2, это означает, что будет регистрироваться каждое второе значение сиг- налов, 3 - каждое третье т. д. Параметр Refine factor может прини- мать только целые положительные значения • Produce additional output (Дополнительный вывод) – обеспе- чивает дополнительную регистрацию параметров модели в задан- ные моменты времени; их значения вводятся в строке редактирова- ния (в этом случае она называется Output times) в виде списка, за- 26 ключенного в квадратные скобки. При использовании этого вариан- та базовый шаг регистрации (D t) равен 1. Значения времени в спис- ке Output times могут быть дробными числами и иметь любую точ- ность. • Produce specified output only (Формировать только заданный вывод) – устанавливает вывод параметров модели только в задан- ные моменты времени, которые указываются в поле Output times (Моменты времени вывода). Установка параметров обмена с рабочей областью Элементы, позволяющие управлять вводом и выводом в рабочую область MATLAB промежуточных данных и результатов моделиро- вания, расположены на вкладке Workspace I/O (рис. 1.17). Рис. 1.17. Вкладка Workspace I/O диалогового окна установки параметров мо- делирования Элементы вкладки разделены на 3 поля: • Load from workspace (Загрузить из рабочей области). Если флажок Input (Входные данные) установлен, то в расположенном справа текстовом поле можно ввести формат данных, которые бу- 27 дут считываться из рабочей области MATLAB. Установка флажка Initial State (Начальное состояние) позволяет ввести в связанном с ним текстовом поле имя переменной, содержащей параметры начального состояния модели. Данные, указанные в полях Input и Initial State, передаются в исполняемую модель посредством одного или более блоков In (из раздела библиотеки Sources). • Save to workspace (Записать в рабочую область) – Позволяет установить режим вывода значений сигналов в рабочую область MATLAB и задать их имена. • Save options (Параметры записи) – Задает количество строк при передаче переменных в рабочую область. Если флажок Limit rows to last установлен, то в поле ввода можно указать количество передаваемых строк (отсчет строк производится от момента завер- шения расчета). Если флажок не установлен, то передаются все данные. Параметр Decimation (Исключение) задает шаг записи пе- ременных в рабочую область (аналогично параметру Refine factor вкладки Solver). Параметр Format (формат данных) задает формат передаваемых в рабочую область данных. Доступные форматы Array (Массив), Structure (Структура), Structure With Time (Струк- тура с дополнительным полем – «время»). Установка параметров диагностирования модели Вкладка Diagnostics (рис. 1.18) позволяет изменять перечень диа- гностических сообщений, выводимых Simulink в командном окне MATLAB, а также устанавливать дополнительные параметры диа- гностики модели. Сообщения об ошибках или проблемных ситуациях, обнаружен- ных Simulink в ходе моделирования и требующих вмешательства разработчика выводятся в командном окне MATLAB. Исходный перечень таких ситуаций и вид реакции на них приведен в списке на вкладке Diagnostics. Разработчик может указать вид реакции на каждое из них, используя группу переключателей в поле Action (они становятся доступны, если в списке выбрано одно из событий): • None – игнорировать, • Warning -– выдать предупреждение и продолжить модели- рование, 28 • Error – выдать сообщение об ошибке и остановить сеанс мо- делирования. Рис. 1.18. Вкладка Diagnostics окна установки параметров моделирования Выбранный вид реакции отображается в списке рядом с наиме- нованием события. Выполнение расчета Запуск расчета выполняется с помощью выбора пункта меню Simulation/Start. или кнопкой на панели инструментов. Процесс расчета можно завершить досрочно, выбрав пункт меню Simulation/Stop или кнопку . Расчет также можно остановить (Simulation/Pause) и затем продолжить (Simulation/Continue). Завершение работы пакета MATLAB Для завершения работы необходимо сохранить модель в файле, закрыть окно модели, окно обозревателя библиотек, а также основ- ное окно пакета MATLAB. Библиотека блоков Simulink представлена в рекомендованном учебном пособии [5] 29 Выполнение лабораторной работы 1. Изучить общие правила использования пакета программ MATLAB. 2. Создать в среде Simulink новый проект, разместить в окне проекта несколько элементов из библиотеки моделей. 3. Освоить средства создания структуры модели, ее редактиро- вания, изменения параметров элементов в соответствии с приведен- ными выше рекомендациями. Лабораторная работа № 2 ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ Цель работы – приобрести практические навыки получения пе- редаточных функций и их характеристик из дифференциальных уравнений элементов или систем. Основные сведения Основной математической моделью динамических систем явля- ется дифференциальное уравнение. Если система линейная, то и дифференциальное уравнение также является линейным Описание автоматических систем существенно упрощается при использовании методов операционного исчисления. Используя пре- образование Лапласа, линейное дифференциальное уравнение при- водят к алгебраическому уравнению с комплексными переменными. Преобразованием Лапласа называют соотношение ∫ ∞ − = 0 )()( dtetxsX st которое функции x(t) вещественного переменного ставит в соответ- ствие функцию X(s) комплексного переменного s, где βα js += . Функцию x(t) называют оригиналом, a X(s) – изображением по Лапласу. Преобразование Лапласа можно применять к функции x(t), если она имеет конечное число разрывов, равна нулю при t<0 и 30 ограничена по модулю при t>0. Преобразование Лапласа можно записать в символической фор- ме X(s)=L{x(t)}, где L — оператор Лапласа. Предположим, что свойства автоматической системы описыва- ются дифференциальным уравнением вида 00 ...1 )(1 1 )(...1 )(1 1 )( bmdt txmd mbmdt txmd mbandt tynd nandt tynd na ++ − − − +=++ − − − + , где )(tx - входное воздействие, )(ty - реакция системы (выход- ной процесс), a и b – постоянные коэффициенты. Используя преобразование Лапласа к этому уравнению, полу- чаем линейное алгебраическое уравнение относительно Y(s). )(...)()( )(...)()( 0 1 1 0 1 1 sXbsXsbsXsb sYasYsasYsa m m m m n n n n +++ =+++ − − − − или )( 0... 1 1 0... 1 1)( sX ansna nsna bmsmb msmbsY ++− − + ++− − + = (2.1) Выражение )( )( ... ... )( 0 1 1 0 1 1 sX sY asasa bsbsbsW n n n n m m m m = +++ +++ = − − − − (2.2) определяет передаточную функцию автоматической системы. Передаточной функцией системы называется отношение изоб- ражения по Лапласу ее реакции к изображению по Лапласу входно- го воздействия при нулевых начальных условиях. Из (2.1) видно, что изображение реакции определяется переда- точной функцией и изображением входного воздействия: 31 Y(s) = W(s) X(s), откуда следует второе определение передаточной функции. Передаточной функцией системы называется функция, связы- вающая изображение по Лапласу ее реакции с изображением по Лапласу входного воздействия при нулевых начальных условиях. Передаточную функцию можно получить непосредственно по дифференциальному уравнению путем формальной замены опера- тора дифференцирования – комплексной переменной s, а функций времени x(t), y(t) – их изображениями X(s), Y(s). Если динамическое звено или автоматическая система имеет несколько входов, то по каждому из них составляют передаточную функцию, принимая во внимание принцип суперпозиции. Передаточные функции линейных динамических звеньев пред- ставляют собой дробно-рациональные функции комплексной пере- менной s с постоянными коэффициентами, зависящими от парамет- ров системы. Для физически реализуемых систем m ≤ n и переда- точные функции являются правильными дробно-рациональными функциями s. Многочлен, фигурирующий в знаменателе передаточной функ- ции, называется характеристическим полиномом, а уравнение вида Q(s) = 0 1 1 ... asasa n n n n +++ − − =0 называется характеристическим уравнением. Особые точки передаточной функции Полюсами передаточной функции называют те значения ком- плексной переменной s, при которых передаточная функция равна бесконечности. Для нахождения полюсов достаточно найти корни характе- ристического уравнения. 32 Нулями передаточной функции называют те значения комплексной переменной s, при которых передаточная функ- ция равна нулю. Для нахождения нулей достаточно найти корни многочлена, рас- положенного в числителе передаточной функции. Распределение нулей/полюсов обычно изображают в графи- ческом виде. Для этого строят s-плоскость с системой координат, где по горизонтальной оси откладывают значения Re s, а по верти- кальной – Im s. Пример такого графика приведен на рис. 2.1. Здесь нули показаны кружками, а полюса – крестиками. Будем называть нули и полюсы левыми (правыми), если они расположены в левой (правой) части комплексной s-плоскости и нейтральными или нулевыми, если они лежат на мнимой оси или, соответственно, в начале координат. Рис. 2.1. График распределения нулей/полюсов Введем следующие показатели передаточной функции W(s): 1) порядок n, равный степени знаменателя передаточной функции W(s); 2) степень n — m, равная разности степеней знаменателя и числителя передаточной функции W(p); 33 3) индекс апериодической нейтральности, равный числу ну- левых полюсов передаточной функции W(p); 4) индекс колебательной нейтральности, равный числу мнимых полюсов передаточной функции W(p); 5) индекс неустойчивости, равный числу правых полюсов пе- редаточной функции W(p); 6) индекс неминимально-фазовости, равный числу правых ну- лей передаточной функции W(p). Нормированная передаточная функция Выражение (2.2) можно представить в нормированной форме )( 1... 1... ... ... )( 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 sWk sTsT sTsT a b asasa bsbsb sW n n n n m m m m n n n n m m m m = +++ +++ = = +++ +++ = − − − − − − − − , где k – статический коэффициент передачи. Выполнение лабораторной работы Исходные данные по вариантам приведены в табл. 2.1. 1. Из дифференциального уравнения получить выражение для пере- даточной функции. 2. Записать передаточную функцию в нормированной форме, ука- зать значение статического коэффициента передачи. 3. Найти численные значения нулей и полюсов передаточной функ- ции и изобразить их расположение на комплексной плоскости, от- метить на графике, к какому виду относится тот, или иной полюс; 4. Записать значения показателей передаточной функции; 5. Оформить отчет по проделанной работе. 34 Таблица 2.1 № Дифференциальные уравнения системы 1 )(01.0)()(02.0)()(01.0)(05.0 2 2 2 2 tx dt tdx dt tdxty dt tdy dt tdy ++=++ 2 )(5.0)()(2)(3.0 2 2 txty dt tdy dt tdy =++ 3 )(01.0)(2)()(01.0 tx dt tdxty dt tdy +=+ 4 )(01.0)()(02.0)()(05.0 2 2 2 2 tx dt tdx dt tdxty dt tdy ++=+ 5 )(01.0)()(12)(07.0)( 2 2 2 2 tx dt tdx dt tdx dt tdy dt tdy −+=+ 6 )(5)()()(01.0)(5.0 2 2 2 2 tx dt tdxty dt tdy dt tdy +=++ 7 )(01.0)()(02.0)()()()(5 2 2 2 2 3 3 tx dt tdx dt tdxty dt tdy dt tdy dt tdy +−=+−+ 8 )(15)(5)()()(2)()(10 2 2 2 2 3 3 tx dt tdx dt tdxty dt tdy dt tdy dt tdy ++=+++ 9 )(5)()()()()(5 2 2 3 3 tx dt tdxty dt tdy dt tdy dt tdy +=+++ 10 )(01.0)(5)(15.0)(2.0)(4 2 2 3 3 txty dt tdy dt tdy dt tdy =+++ 35 Лабораторная работа № 3 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК Цель работы – с помощью пакета MatLab с расширениями Con- trol System Toolbox и Simulink построить статическую характери- стику объекта, заданного уравнением статики вида y= f(u) где y – реакция объекта, а u – его вход; Основные сведения Режим работы системы автоматического управления (САУ), в котором управляемая величина и все промежуточные величины не изменяются во времени, называется установившимся, или статиче- ским режимом. Любое звено и САУ в целом в данном режиме описывается уравнениями статики вида y = f(u), в которых отсутствует время t. Соответствующие им графики называются статическими характе- ристиками. Статическая характеристика звена с одним входом u может быть представлена кривой y = f(u). Звенья с линейными статическими характеристиками называют- ся линейными. Статические характеристики реальных звеньев, как правило, нелинейны. Такие звенья называются нелинейными. Зная статические характеристики отдельных звеньев, можно построить статическую характеристику САУ. Если все звенья САУ линейные, то САУ имеет линейную стати- ческую характеристику и называется линейной. Если хотя бы одно звено нелинейное, то и САУ – нелинейная. Порядок выполнения работы 1. Запустить MatLab Simulink и в новом окне модели собрать схему вида (рис.3.1) 2. Двойным щелчком мыши выделить блок f(u) и вставить в него выражение из табл.3.1 согласно своему варианту. 36 3.Снять показания с блока Display, изменяя значения на блоке Constant в диапазоне от -50 до 50 с шагом 5. Рис. 3.1. Окно модели 4.Полученные результаты занести в таблицу вида u y 5.Построить по точкам график y(u), представляющий из себя ста- тическую характеристику объекта, заданного функцией f(u). Таблица 3.1 № вари- анта Функция f(u) 1 (2u2 + 3)/(3u2 + 2u + 1) 2 (5u2 + 4)/(2u2 + 3u + 4) 3 (2u3 + 3u2 + 4u + 1)/(4u3 + 5u2 + 3u + 1) 4 (2u + 1)/(7u2 + 5u + 1) 5 (8u2 + 10u + 5)/(15u3 + 8u2 + 9u + 3) 6 (2u3 + 4u + 7)/(8u3 + 2u2 + 7u + 6) 7 (12u3 + 38u2 + 74u + 10)/(4u4 + 5u3 + 9u2 + 5u + 7) 8 (24u + 11)/(25u2) 9 (45u + 5)/(7u2 + 5) 10 (27u + 71)/(7u2 + 54u + 1) 37 6. Создать м-файл следующего содержания: U=[u1 u2 … un]; Y=[y1 y2 … yn]; plot(U,Y) где ui,yi – показания блоков Constant и Display соответственно. Выполнить этот м-файл в командной строке MatLab. 7. Проанализировать график и сделать выводы, к какому классу относится исследуемый объект. 8. Проверить полученные результаты, сравнив их с характери- стикой, полученной аналитически. Для этого создайте м-файл вида u=-50:5:50; y=f(u) ; (f(u) задать в явном виде по варианту) plot(u,y) и выполните его из командной строки MatLab. Если графики не совпадают, то в работе допущены ошибки, ко- торые следует устранить. 9. Оформить отчет по работе. Лабораторная работа № 4 ПЕРЕХОДНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Цель работы – с помощью пакета MatLab с расширениями Con- trol System Toolbox и Simulink построить переходную характери- стику объекта, заданного передаточной функцией. Основные сведения Для оценки динамических свойств системы и отдельных звеньев принято исследовать их реакцию на типовые входные воздействия. Это позволяет сравнивать отдельные элементы между собой с точки 38 зрения их динамических свойств, а также, зная реакцию системы на типовые воздействия, можно судить о том, как она будет вести себя при сложных изменениях входной величины. Переходная характеристика Зависимость изменения реакции системы от времени при пода- че на ее вход единичного ступенчатого воздействия 1(t) при нуле- вых начальных условиях называется переходной характеристикой и обозначается h(t). Ступенчатое воздействие 1(t) определяется в следующей форме:   ≥ < = 0 tпри ,1 0 tпри ,0 )(1 t . Рассмотрим типовую одноконтурную систему регулирования (рис.4.1). Рис. 4.1. Типовая структура СУ Примеры переходных характеристик системы, при подаче на входы 1 и 2 ступенчатых сигналов, приведены на рис.4.2 – 4.3. На графиках переходных процессов, вызванных ступенчатым изменением задающего воздействия x(t)=1(t) и возмущения f(t)=1(t), за начало отсчета для управляемой величины y(t) при- нято значение x(-0), которое было до подачи ступенчатого воздей- ствия. 39 Переходная характеристика является основой для оценок показа- телей качества систем по быстродействию и точности. Их можно получить непосредственно из переходной характеристики. hm стε )(∞h Рис. 4.2. Пример переходной характеристики системы по задающему воздей- ствию. Перерегулирование σ - величина, равная отношению первого максимального отклонения hm от ее установившегося значения h(∞) к этому установившемуся значению: %.,100 )( 100 )( |)(| 1 ⋅ ∞ =⋅ ∞ ∞− = h A h hhmσ Качество управления считается удовлетворительным, если пере- регулирование не превышает 30…40 %. Степень затухания: .1 1 3 1 31 A A A AA −= − =ψ 40 Интенсивность затухания колебаний в системе считается удовлетворительной, если ψ = 0,75…0,95. Логарифмический декремент колебаний D – характеризует ско- рость затухания колебаний и определяется по формуле 2 1ln A AD = . Длительность переходного процесса (время регулирования) tп – интервал времени от момента приложения ступенчатого воздей- ствия до момента, после которого отклонения управляемой величи- ны h(t) от ее нового установившегося значения h(∞) становятся меньше некоторого заданного числа δп, т. е. до момента, после которого выполняется условие abs [h(t) - h(∞)] ≤ δп , при t>tп. В промышленной автоматике величину δп обычно принима- ют равной 2% от установившегося значения h(∞) [δп = 0,02 h(∞) ]. Колебательность N – число переходов h(t) через ее установив- шееся значение h(∞) за время переходного процесса tп. Статическая ошибка для рассматриваемой структуры стε =abs [1(t) - h(∞)]. Для переходных процессов hf(t), вызванных возмущающим воз- действием f(t) (см. рис. 4.3) вводятся аналогичные показатели каче- ства. Перерегулирование σf - величина, равная отношению первого максимального отклонения hf.max от ее установившегося значения hf(∞) к этому установившемуся значению: %.,100 )( 100 )( )( 1max. ⋅ ∞ =⋅ ∞ ∞− = ff ff f h A h hh σ 41 Колебательность Nf – число переходов hf(t) через ее установив- шееся значение hf(∞) за время переходного процесса tп. hf(t) f(t)=1(t) hf.max )(∞fh Рис. 4.3. Переходная характеристика системы по возмущению Аналогично оцениваются остальные вышеперечисленные пока- затели и, дополнительно, коэффициент демпфирования возмущений Rd Rd = )( lg20 . ∞f fo h k , (db) Где fok . – статический коэффициент передачи объекта по воз- мущению. Три главных показателя качества – перерегулирование, дли- тельность переходного процесса и статическая ошибка – тесно свя- заны между собой. Они зависят от всех параметров системы, но наиболее сильно – от статического коэффициента k разомкнутой части системы. Причем, с увеличением этого коэффициента мак- симальное отклонение по каналу возмущения всегда уменьшается (рис. 4.4,а), максимальное отклонение по каналу задающего воз- действия обычно увеличивается (рис. 4.4,б), а статическая ошибка уменьшается. Отыскание оптимального компромисса между все- 42 ми, часто противоречивыми тенденциями, является одной из задач синтеза СУ. hf(t) h(t) Рис. 4.4. Влияние передаточного коэффициента разомкнутой части системы на показатели переходного процесса: а – по возмущающему воздействию, б – по за- дающему воздействию Порядок выполнения работы 1.Запустить MatLab Simulink и в новом окне модели собрать схему вида (рис.4.5) с учетом варианта задания. Исходные данные по вариантам для выполнения работы при- ведены в табл.4.1 Рис. 4.5. Окно модели 43 Таблица 4.1 № вари- анта W1(s) W2(s) 1 10 1/(5s2 + 3s + 1) 2 20 1/(87s2 + 5s + 1) 3 25 1/(21s2 + 17s + 1) 4 30 1/(2s2 + s + 2) 5 35 1/(7s2 + 3s + 1) 6 40 1/(5s2 + s + 1) 7 5 1/(15s2 + 30s + 1) 8 45 5/(25s2 + 7s + 5) 9 2 3/(3s2 + 2s + 1) 10 50 1/(0.5s2 + 2s + 1) 11 80 1/(0.05s2 + 0.2s + 1) 12 100 1/(0.1s2 + s + 1) 44 2.Установить возмущение равным нулю и снять переходную ха- рактеристику по задающему воздействию. По полученному графику оценить показатели качества системы. Изменить значение статиче- ского коэффициента W1(s) в 10 раз в большую и меньшую стороны и для каждого измененного значения получить переходные харак- теристики и оценки показателей качества. Результаты сравнить и сделать выводы. 3. Установить задающее воздействие равным нулю. Снять пере- ходную характеристику системы по возмущению. По полученному графику оценить показатели качества системы по возмущению. Из- менить значение статического коэффициента W1(s) в 10 раз в боль- шую и меньшую стороны и для каждого измененного значения по- лучить переходные характеристики и оценки показателей качества. Результаты сравнить и сделать выводы. 4. Оформить отчет по работе. Лабораторная работа № 5 ИМПУЛЬСНЫЕ ПЕРЕХОДНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Цель работы – с помощью пакета MatLab с расширениями Con- trol System Toolbox и Simulink построить импульсные переходные характеристики объектов, заданных передаточными функциями. Основные сведения Импульсная переходная характеристика (ИПХ) описывает реак- цию системы на импульсное воздействие в виде дельта-функции при нулевых начальных условиях. Дельта-функция представляет из себя очень узкий импульс, ширина которого стремится к нулю, а высота – к бесконечности, ограничивающий единичную площадь, т.е. ∫ = 1)( dttδ . Существует следующая связь между единичной ступенчатой функцией и дельта-функцией: 45 Переходная и импульсная переходная характеристики называют- ся временными характеристиками. Каждая из них является исчер- пывающей характеристикой системы и любого ее звена при нуле- вых начальных условиях. Формально ИПХ является оригиналом к передаточной функции, поэтому она неотъемлемая часть временных уравнений системы или элементов. Экспериментально получить ИПХ довольно затруднительно, т.к. физически реализовать входное воздействие в виде )(tδ невозмож- но. Однако, для экспериментального получения оценки ИПХ, мож- но использовать имитацию )(tδ в виде очень короткого импульса, который генерируют с помощью импульсного источника сигналов, или дифференцируя единичный ступенчатый сигнал. В результате, на практике можно говорить лишь о приближении реакции системы к ИПХ, т.е. ИХ≈ИПХ. Исходные данные для выполнения работы приведены в таб- лице 4.1 к лаб. раб. №4. Порядок выполнения работы 1. Запустить MatLab Simulink и в новом окне модели собрать схемы вида (рис.5.1) 2. Для блоков Pulse Generator установить параметры (рис.5.2), сформировав таким образом очень короткий импульс. 3. Используя исходные данные к лаб. работе №4, получить гра- фики импульсных характеристик для системы с вариантами пере- даточных функций W1(s) и W2(s), как для задающего воздействия, так и возмущения. 4. Сравнить полученные импульсные характеристики для двух методов получения входного импульса. Подобрать параметры блока Pulse Generator таким образом, чтобы графики были похожи друг на друга. )()(1 t dt td δ= 46 Рис. 5.1. Окно модели c двумя вариантами задания импульсного сигнала Рис. 5.2. Окно параметров блока Pulse Generator (Period=Time simulation) 47 5. Изменить значение статического коэффициента W1(s) в 10 раз в большую и меньшую стороны и для каждого измененного значе- ния получить импульсные характеристики. Результаты сравнить и сделать выводы. 6. Оформить отчет по работе. Лабораторная работа № 6 ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Цель работы – С помощью пакета MatLab с расширениями Con- trol System Toolbox и Simulink экспериментально определить ча- стотные характеристики объектов, заданных передаточными функ- циями. Основные сведения Реакция систем на периодические сигналы определяется различ- ными видами частотных характеристик. Частотные характеристики могут быть получены экспериментальным или аналитическим пу- тем. При аналитическом определении они могут быть получены из передаточных функций (по управлению или по возмущению), или из соответствующих дифференциальных уравнений. Если задана пере- даточная функция W(s), то путём подстановки s=jω получаем ча- стотную передаточную функцию W(jω) или комплексную частотную характеристику т.е. ω ω js sWjW = = )()( , или ( ) ( ) ( ) ( ) )( 0 1 1 0 1 1 )()()( )()( )()( ... ... )( ωϕωωω ωω ωω ωω ωω ω j imre imre n n n n m m m m eAjVU jAA jBB ajaja bjbjb jW =+= = + + = +++ +++ = − − − − 48 где: )()( )()( )()()()( 22 22 22 ωω ωω ωωωω imre imre AA BB VUjWA + + =+== - амплитудная частотная характеристика, а )( )( )( )( )( )( )( ω ω ω ω ω ω ωϕ re im re im A A arctg B B arctg U V arctg −== - фазовая частотная характеристика, Функции U(ω) и V(ω) называют соответственно вещественной и мнимой частотными характеристиками. Частотная передаточная функция W(jω) может быть представлена в графическом виде на комплексной плоскости. В этом случае для каждой из частот в диапазоне от 0 до ∞ производится определение вектора на комплексной плоскости и строится его годограф. Годо- граф будет представлять собой амплитудно-фазовую частотную ха- рактеристику (АФЧХ). Таким образом, для определенной частоты, имеем вектор на комплексной плоскости, который характеризуется модулем A и аргументом ϕ. Модуль представляет собой численное отношение амплитуды выходного гармонического сигнала к ампли- туде входного. Аргумент представляет собой сдвиг по фазе выход- ного сигнала по отношению к входному. При этом отрицательный фазовый сдвиг представляется вращением вектора на комплексной плоскости по часовой стрелке относительно вещественной положи- тельной оси, а положительный фазовый сдвиг представляется вра- щением против часовой стрелки. Для упрощения графического представления частотных характе- ристик, а также для облегчения анализа процессов в частотных об- ластях используются логарифмические частотные характеристики: логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) и логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ). При построении логарифмических характеристик используется логариф- 49 мическая шкала частот. Пример системы координат для логариф- мических характеристик представлен на рис.6.1. Рис. 6.1. Пример системы координат для логарифмических характеристик Единицей измерения частоты может служить Герц или рад/с. Для удобства построения графиков на оси частот отмечают интервалы, которые называют декадами. Декада – это интервал частот, соответ- ствующий изменению частоты в 10 раз. На оси ординат для ЛАЧХ откладываются значения L=20 lg A(ω). Единицей измерения ор- динат ЛАЧХ является децибел. На оси ординат для ЛФЧХ откладываются значения углов в ра- дианах или градусах. Частотные характеристики широко используются в инженерной практике при анализе и синтезе систем автоматического регулиро- вания. Особым их достоинством является то, что они могут быть полу- чены экспериментальным путем. Это особенно важно для систем не имеющих математических моделей из-за их сложности или недоста- точности данных об этих системах. Эксперимент по определению частотной характеристики заклю- чается в том, что на вход объекта последовательно подают гармони- 50 ческие воздействия разных частот с одновременной фиксацией ам- плитуд и фаз, получая реакции объекта на эти воздействия. Обработка записей входных и выходных гармонических колеба- ний позволяет определить значения частотных характеристик на каждой из частот ωi. Значения амплитудно-частотной характеристики А(ω), соответ- ственно, определяются как множество точек отношений А(ωi)=Авыхi/ Авхi. Затем по точкам строится график АЧХ А(ω). Для нахождения фазового сдвига определяют отрезок времени ΔТпер между моментами пересечения входным и выходным сигна- лами оси абсцисс в одном и том же направлении. Тогда значение фазочастотной характеристики на данной частоте определяется по формуле φ(ωi)= 2π*ΔТперi/Тперi. При разбросе отдельных значений АЧХ на разных частотах ее сглаживают. На практике для этого прибегают к выравниванию то- чек АЧХ от руки или осуществляют сглаживание частотных харак- теристик каким-либо аналитическим методом, например с помощью метода наименьших квадратов. Выполнение работы Провести экспериментальное определение частотных характери- стик А(ω) и φ(ω) двух динамических звеньев по вариантам (табл.6.1) на частотах ωнач – ωкон. 1) Запустить MatLab Simulink и в новом окне модели собрать схему вида (рис.6.2) для проведения эксперимента по снятию частот- ных характеристик. 51 Рис. 6.2. Схема модели в окне Simulink Таблица 6.1 № W1(s) W2(s) Нач.чатота Кон. ча- стота 1 1.2/(5s + 1) 1.5s/(7s + 1) 0.1 10 2 2.7/(8s + 1) 5s/(10s + 1) 0.01 10 3 1.6/(5.2s + 1) 1.4s/(12s + 1) 0.01 10 4 0.4/(2s + 1) 5.8s/(4.3s + 1) 0.05 50 5 3/(5.1s + 1) 53.5s/(10s + 1) 0.01 10 6 10/(12s + 1) 4.5s/(18s + 1) 0.01 5 7 23/(14.5s + 1) 2.4s/(12.7s + 1) 0.01 10 8 9/(4.5s + 1) 0.3s/(0.12s + 1) 0.1 100 9 2/(5s + 1) 6.5s/(14.2s + 1) 0.02 10 10 10/(16.4s + 1) 6.1s/(45s + 1) 0.01 10 2. Определить период колебаний Тпер соответствующий частоте ωi. Амплитуду входного сигнала принять равной единице. 3. Определить параметры блока Sine Wave, а именно установить ωi по варианту из табл.6.1 4. Из анализа графиков Хвх(t) и Хвых(t) определить Авыхi и ΔT- nepi (рис.6.3). 5.Вычислить значения А(ω) и φ(ω) на частотах ωнач – ωкон. 6. Сохранить значения А(ω) и φ(ω) в виде массивов в м-файле и построить графики, используя функцию plot. 7. Построить комплексную частотную характеристику АФЧХ на основании полученных результатов эксперимента. 52 8. Построить логарифмические частотные характеристики. 9. Оформить отчет. Рис. 6.3. Окно блока Scope c примером для одного воздействия. Лабораторная работа № 7 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ SIMULINK LTI-VIEWER ДЛЯ АНАЛИЗА ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ (ЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ) Цель работы – изучить инструмент пакета MatLab Simulink LTI- Viewer. Исходные данные для выполнения работы приведены в табл.4.1(см. лаб. раб. №4). Основные сведения Инструмент Simulink LTI-Viewer входит в состав пакета при- кладных программ Control System Toolbox и предназначен для ана- лиза линейных стационарных систем. С помощью данного инстру- мента можно легко получить полный набор характеристик. Краткий алгоритм работы с Simulink LTI-Viewer приведен ниже. 53 1. Выполнить команду Tools\Linear Analysis... окна Simulink- модели. В результате выполнения команды откроется окно Model_Inputs_and_Outputs как это показано на рис. 7.1, а также пу- стое окно Simulink LTI-Viewer . 2. Установить блок Input Point на входе и блок Output Point на выходе исследуемой системы, как это показано на рис. 7.2. 3. В окне LTI Viewer выполнить команду Simulink\Get Linearized Model. Данная команда выполняет линеаризацию модели и строит реак- цию системы на единичное ступенчатое воздействие. Пример ре- зультата выполнения данного пункта показан на рис. 7.3. Если система имеет несколько входов и выходов и для всех них установлены блоки Input Point и Output Point, то на графике будет отображено несколько окон показывающих реакцию на каждом вы- ходе при воздействии на каждый вход. Рис. 7.1. Исследуемая модель и окно Model_Inputs_and_Outputs инструмента Simulink LTI-Viewer 54 Рис. 7.2. Исследуемая модель с установленными блоками Input Point и Output Point Рис. 7.3. Пример реакции системы на единичное ступенчатое воздействие (пе- реходная характеристика) 55 4. Для получения остальных характеристик системы необходимо выполнить команду Edit\Plot Configuration... в окне LTI Viewer. В результате выполнения этой команды откроется окно Plot Configuration, показанное на рис. 7.4. Рис. 7.4. Окно Plot Configuration В открывшемся окне можно выбрать число отображаемых гра- фиков (панель Select a response plot configuration) и вид отображае- мых графиков (панель Response type). Для построения доступны следующие графики (диаграммы): • step – Реакция на единичное ступенчатое воздействие. • impulse – Реакция на единичное импульсное воздействие. • bode – Амплитудная и фазовая частотные характеристики. • bode mag – Амплитудная частотная характеристика. • nyquist – Диаграмма Найквиста. • nichols – Годограф Николса. • sigma – Сингулярные числа. • pole/zero – Нули и полюса системы. На рис.7.5 приведен пример окна Simulink LTI-Viewer с несколь- кими различными характеристиками исследуемой системы. 56 Рис. 7.5. Окно Simulink LTI-Viewer с несколькими графиками. 5. Настройку внешнего вида графиков можно выполнить с по- мощью команды Edit\Line Styles… (установка вида и цвета линий, вида маркеров). 2. Настройка Simulink LTI-Viewer С помощью команды Edit\Viewer Preferences… выполняются следующие виды настройки: 1. Установка единиц измерения (вкладка Units). Вид окна при настройке единиц измерения показан на рис. 7.6. Вкладка Units окна позволяет задать единицы измерения частоты (рад/c или Гц), уровня (dB или абсолютные единицы), фазы (граду- сы или радианы), а также установить вид шкалы частоты (логариф- мический или линейный). 2. Установка стиля графиков (рис.7.7). На данной вкладке можно выполнить настройку шрифтов окна Simulink LTI-Viewer (панель 57 Fonts), выбрать цвет осей графиков (панель Colors), а также задать нанесение линий сетки на графики (флажок Show grids). Рис. 7.6. Вкладка Units Рис. 7.7. Вкладка Style 58 3. Установка параметров расчета переходного процесса (вкладка Characteristics, рис. 7.8). Данная вкладка позволяет задать параметры установленные по умолчанию для вычисления времени нарастания и времени пере- ходного процесса. По умолчанию Simulink LTI-Viewer вычисляет время переходного процесса как время, когда переходная функция входит в 2 % зону относительно установившегося значения и боль- ше не выходит из нее (параметр Show setting time within). Изменить параметры для вычисления времени нарастания пере- ходного процесса можно в окне «Show rise time from». На данной вкладке имеется флажок Unwrap phase, установка ко- торого позволяет избежать разрывов в фазо-частотной характери- стике, связанных с областью определения функции arctg, вычисля- ющей фазовый сдвиг. 4. Установка интервалов времени и частоты (вкладка Parameters). На данной вкладке задается временной интервал для расчета пере- ходного процесса (панель Time Vector), а также интервал частот для расчета частотных характеристик (панель Frequency Vector). Внеш- ний вид вкладки Parameters показан на рис.7.9. Рис. 7.8. Вкладка Characteristics 59 Рис 7.9. Вкладка Parameters Векторы времени и частоты можно вычислять в автоматическом режиме (Generate automatically), ввести конкретное значение для времени окончания расчета (Define stop time) или диапазон значе- ний по частоте (Define range), либо задать непосредственно вектор значений времени или частоты (Define vector). Выполнение работы 1. Построить схему вида: 60 2. Вести значения коэффициентов для блоков TF и TF1 по ва- рианту из табл.4.1. 3. Запустить «Линейный анализ». 4. Установить на схеме точки входа и выхода. 5. Получить линейную модель. 6. Создать несколько окон, в разных окнах расположить все возможные варианты характеристик выбранного участка схемы. 7. Изменить параметры для вычисления времени переходного процесса. 8. Форматировать модель, изменить надписи, изменить пара- метры вида и стиль графиков. 9. Найти особые точки переходных процессов. 10. Изменить вид шкал (логарифмический или линейный) для частотных характеристик, сравнить их графики. 11. Оформить отчет. Лабораторная работа № 8 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ Цель работы – изучить правила преобразования структурных схем. Основные сведения Для наглядного представления сложной системы как совокупно- сти элементов и связей между ними используются структурные схемы. Структурной схемой называется схема САУ, изображенная в ви- де соединения составляющих ее звеньев. Структурная схема пока- зывает строение автоматической системы, наличие внешних воз- действий и точки их приложения, пути распространения воздей- ствий и выходную величину. Динамическое или статическое звено изображается прямоугольником, в котором указывается ПФ звена или другая математическая модель. 61 Воздействия на систему и влияние звеньев друг на друга (сигна- лы) изображаются стрелками. В каждом звене воздействие переда- ется только от входа звена к его выходу. На элементарное динами- ческое звено может воздействовать лишь одна входная величина, поэтому используются блоки суммирования и сравнения сигналов. Суммироваться и сравниваться могут лишь сигналы одной и той же физической природы. При составлении структурной схемы удобно начинать с изобра- жения задающего воздействия и располагать динамические звенья, составляющие прямую цепь системы, слева направо до регулируе- мой величины. Тогда основная обратная связь и местные обратные связи будут направлены справа налево. Преобразование структурной схемы должно осуществляться на основании правил. Правила преобразования структурных схем можно найти в справочной литературе, основные из них приведены в табл.8.1. При выполнении преобразований следует каждое имеющееся в схеме типовое соединение заменить эквивалентным звеном. Затем можно выполнить перенос точек разветвления и сумматоров, чтобы в преобразованной схеме образовались новые типовые соединения звеньев. Эти соединения опять заменяются эквивалентными звень- ями, затем вновь может потребоваться перенос точек разветвления и сумматоров и т. д. Пример. Пусть необходимо получить эквивалентное представление для структуры, приведенной на рис.8.1 Рис. 8.1. Исходная структура САУ 62 Таблица 8.1 63 Преобразование включает несколько этапов, показанных на рис.8.2 – 8.4. Рис. 8.2. Перенос точки съема через элемент W6 Рис. 8.3. Свертывание обратной связи и последовательного соединения Рис. 8.4. Свертывание обратной связи и параллельного соединения и получение эк- вивалентной ПФ путем свертывания последовательного соединения 64 Использование пакета MatLab В пакете MatLab имеется ряд функций, с помощью которых можно выполнять структурные преобразования: series(wl ,w2) — последовательное соединение динамических звень- ев; parallel(wl,w2) — параллельное соединение динамических звеньев; feedback(wl,w2) — включение звена w2 в контур отрицательной об- ратной связи к звену wl; feedback(wl,w2,sign) — включение звена w2 в контур обратной связи звена wl с указанием знака. Если параметр sign отсутствует, то по умолчанию считается, что за- дана отрицательная обратная связь, а если sign = 1, то обратная связь – положительная. Примеры использования перечисленных функций в командной строке MatLab или в тексте М-файла. 1) >>w=tf([1 2],[1 2 2]) Transfer function: __s+2__ s^2+2s+2 2) >>w1=tf([1 2 3],[1 2 2]) Transfer function: s^2+2s+3_ s^2+2s+2 3) >>w2=series(w,w1) Transfer function: s^3+4s^2+7s+6 s^4+4s^3+8s^2+4 4) >>w3=parallel(w,w1) 65 Transfer function: s^4+5s^3+13s^2+16s+10 s^4+4s^3+8s^2+8s+4 5) >>w4=feedback(w,w1) Transfer function: s^3+4s^2+6s+4________ s^4+5s^3+12s^2+15s+10 Для проверки правильности проведенных преобразований необхо- димо смоделировать исходную и конечную (после преобразований) структуры в MatLab Simulink. Задача считается решенной, если при подаче на вход обоих структур одинаковых тестовых воздействий наблюдаются одинаковые выходные сигналы. Задание 1. Выполнить преобразование заданного варианта структурной схе- мы рис.8.5 в эквивалентную ПФ, используя правила табл.8.1. 2. Исследовать временные характеристики исходной структу- ры и эквивалентной в процессе преобразований. Убедиться, что на каждом шаге преобразований характеристики не меняются. 3. Составить отчет по работе. Содержание отчета по лабораторной работе Описание всех этапов преобразования исходной схемы и получаю- щихся промежуточных результатов, включающее моделирование реак- ции схемы на типовое единичное ступенчатое воздействие до и после преобразования. Структуры моделей пошаговых преобразований в Simulink MatLab и протокол команд MatLab; Графики процессов при подаче на вход исходной и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий (импульсное, скачок, сину- соида). 66 а) б) в) 67 г) д) е) 68 ж) з) Рис. 8.5. Варианты исходных структурных схем Лабораторная работа № 9 ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТИПОВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ Цель работы – изучить основные виды типовых динамических звеньев и их характеристики во временной области. 69 Основные сведения К типовым звеньям систем автоматического управления и регу- лирования относят простейшие элементы с математическими моделями в виде дифференциальных уравнений не выше второго порядка. Основные типы звеньев делятся на идеальные, которые физиче- ски не реализуются, и реальные. Позиционными звеньями называются такие, в передаточной функ- ции которых многочлены числителя и знаменателя имеют свободные члены, т. е. эти звенья обладают статической характеристикой y=kx (при s = 0), определяющей их состояние равновесия (свойство позици- онности). У дифференцирующих звеньев в передаточной функции отсутству- ет свободный член числителя, а у интегрирующих – знаменателя. Знание характеристик типовых звеньев столь же необходимо для расчетов систем управления, как знание таблицы умножения. Существуют еще так называемые неминимально-фазовые звенья, к которым относят прежде всего неустойчивые звенья, у которых поли- ном знаменателя передаточной функции имеет хотя бы один корень с положительной вещественной частью. В табл. 9.1 приведены передаточные функции основных типовых динамических звеньев. Использование пакета MatLab В пакете MatLab имеется два основных варианта для исследования передаточных функций и моделирования САУ: - использование команд пакета расширения Control System Toolbox; - использование пакета Simulink. Control System Toolbox предназначен для работы с LTI-моделями (Linear Time Invariant Models – линейные модели с постоянными пара- метрами) систем управления. Команда, создающая LTI-систему с одним входом и одним выходом в виде передаточной функции, имеет следующий синтаксис: TF([bm,…,b1,b0],[an,…,a1,a0]), 70 где bm,…,b1,b0 и an,…,a1,a0 – значения коэффициентов полиномов числителя и знаменателя передаточной функции. Таблица 9.1 Название звена Передаточная функция звена Интегрирующее s KsW =)( Дифференцирующее KssW =)( Пропорциональное (усилительное бе- зинерционное) KsW =)( Апериодическое 1-го порядка 1 )( + = Ts KsW Апериодическое 2-го порядка 212211 1 2 2 , ; 1 )( TTaTTa sasa KsW =+= ++ = Колебательное 10; 12 )( 22 ≤≤++ = ξξTssT KsW , Где ξ-относительный коэффициент затухания Реальное дифференци- рующее 1 )( + = Ts KssW Форсирующее )1()( += TsKsW Запаздывания sesW ×−= τ)( Например, если требуется задать в MatLab ПФ вида W=(s+1)/(2s2+8s+5) 71 и узнать значения ее нулей и полюсов, то в командной строке нужно набрать следующую последовательность: >>w=tf([1 1],[2 8 5]) >>zero(w) >>pole(w). В результате появится окно с графиком распределения особых точек заданной передаточной функции. Получить реакцию LTI-модели на типовые входные воздействия можно с помощью команд: >>step(w) >>impulse(w) В одном окне изобразить графики нескольких реакций одновремен- но можно командой >>step(w,w1,w2) где w, w1, w2 – передаточные функции звеньев, определенные ранее в соответствии с указанным выше синтаксисом. Задание 1. С помощью пакета MatLab построить графики реакций каждого типового звена (см. табл. 9.1) на ступенчатое и импульсное входное воздействие. 2. Изменить значения параметров звеньев в большую и меньшую стороны в несколько раз и для звеньев с измененными параметрами также построить временные характеристики. 2. Оценить влияние значений параметров звеньев на вид переход- ных и импульсных переходных характеристик. Исходные параметры звеньев по вариантам приведены в табл. 9.2. 72 Содержание отчета по лабораторной работе 1. Передаточные функции и схемы моделирования исследуемых звеньев. 2. Временные характеристики звеньев с исходными параметрами и при их вариации для каждого звена. 3. Выводы, отражающие степень влияния значений параметров зве- ньев на вид временных характеристик по каждому звену. Таблица 9.2 № варианта/ тип.элем 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 пропорциональный К 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 интегрирующий К 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 дифференц. К 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 форсирующий К 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Т 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 апериодический К 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Т 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 апериодич. 2-го пор. К 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Т1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Т2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 колебательный К 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Т 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ξ *10 1 2 3 4 5 6 7 3 2 1 запаздывания τ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 К 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 реальн. диф-ий К 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Т 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Лабораторная работа № 10 ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТИПОВЫХ ДИНАМИСКИХ ЗВЕНЬЕВ Цель работы – изучить частотные характеристики типовых ди- намических звеньев. Основные сведения Частотные характеристики типовых звеньев показывают, как они преобразуют входные гармонические сигналы разных частот. Частот- ные характеристики позволяют наглядно представить динамические свойства системы, состоящей из типовых элементов. Полный набор частотных характеристик можно получить аналити- чески из известной передаточной функции Например, построим частотные характеристики апериодического звена первого порядка. Передаточная функция звена 1 )( + = Ts ksW . Комплексная частотная характеристика (АФЧХ) получится из пере- даточной функции заменой переменной s на ωj , где ω - круговая ча- стота. 221 )1( 1 )()( T Tjk Tj ksWjW js ω ω ω ω ω + − = + == = . 221 )( T kU ω ω + = , 221 )()( T TjkV ω ω ω + − = . 74 График АФЧХ строится на комплексной плоскости (Рис.10.1.), где по осям откладываются значения )(ωU и )(ωV . Рис. 10.1. АФЧХ апериодического звена Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) является модулем, а фазовая (ФЧХ) аргументом комплексной частотной характеристики, т.е. 221 )( T kA ω ω + = , Tarctg ωωϕ −=)( . Соответствующие графики показаны на рис.10.2. Особо широко в инженерной практике используются логарифмиче- ские частотные характеристики. 75 Рис.10.2. АЧХ и ФЧХ апериодического звена Для апериодического звена ЛАЧХ определяется формулой 221lg20lg20)(lg20)( TkAL ωωω +−== . График ЛАЧХ строится в полулогарифмической системе координат, как показано на рис.10.3. Рис.10.3. ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического звена. 76 Использование пакета MatLab В пакете MatLab частотные характеристики объекта, заданного с помощью ПФ, можно получить командой bode. Пример: >> w=tf([1 2],[3 4 5]) >> bode(w) Для нескольких вариантов передаточной функции можно использо- вать вариант команды вида: >> bode(w,w1,w2) Например, построим диаграмму Боде при различных параметрах колебательного звена (рис. 1): >> w=tf([1],[2 0.3 1]); >> w1=tf([1],[2 0.5 1]); >> w2=tf([1],[2 0.1 1]); >> bode(w,w1,w2) Задание. С помощью пакета MatLab построить АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ каждого типового звена (см. табл. лабораторной работы № 9). Определить влияние коэффициентов, входящих в описание каждого звена, на вид частотных характеристик, в том числе: – как меняется ширина асимптотических участков ЛАЧХ и ЛФЧХ; – как меняется положение точек пересечения осей ЛАЧХ. Содержание отчета по лабораторной работе 1. В пакете MatLab сформировать проекты, соответствующие всем физически реализуемых типовым звеньям из таблиц 9.1 и 9.2. 2. Получить полный набор частотных характеристик для всех звень- ев при вариации параметров каждого звена. 77 Лабораторная работа № 11 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ Цель работы – изучить различные критерии устойчивости и ис- следовать устойчивость замкнутой САУ. Основные сведения Устойчивость САУ является одним из основных условий ее работо- способности и включает требование затухания во времени переходных процессов. Система является устойчивой, если при ограниченном входном сиг- нале её выходной сигнал также является ограниченным. Если система устойчива, то она противостоит внешним воздействи- ям, а выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему. Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и неработоспособной. Впервые свойства устойчивости были исследованы русским ученым А. М. Ляпуновым в 1892 г. в работе «Общая задача об устойчивости движения». Необходимое и достаточное условие устойчивости заклю- чается в том, чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы передаточной функции системы) имели отрицательные вещественные части. Иначе говоря, условием устойчивости системы является распо- ложение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости. Тогда все полюсы будут давать затухающую реакцию. Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как для линейных, так и для линеаризованных систем. Однако в случае ну- левых или чисто мнимых корней характеристического уравнения во- прос об устойчивости линеаризованной системы может быть решен только на основании исследования ее нелинейных уравнений. В конце XIX и первой половине XX в. задача вычисления корней характеристического уравнения высокого порядка вызывала большие проблемы. Поэтому были предложены несколько косвенных методов оценки устойчивости, позволяющих обойтись без вычисления корней – по значениям коэффициентов характеристического уравнения. 78 Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частотные. В частности, к алгебраическим критериям относится критерий Гурвица, к частотным критериям – критерий Найквиста и критерий Михайлова. Критерий Гурвица Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и применя- ется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой си- стемы. Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой системы: Из коэффициентов характеристического уравнения составляют мат- рицу по правилу. 1) По диагонали записываются коэффициенты от 1−na до 0a . 2) Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами. 3) В случае отсутствия индекса, а также, если он меньше 0 или больше n, на его место пишется 0. Таким образом, матрица Гурвица приобретает следующий вид: Критерий устойчивости формулируется так: Чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, что- бы, при положительности всех коэффициентов характеристического 79 многочлена, все n главных миноров, получаемых из матрицы Гурвица, где n – степень характеристического многочлена, были также поло- жительны. Первые три минора матрицы Гурвица имеют следующий вид: Таким образом, критерий Гурвица позволяет судить Частотный критерий устойчивости Найквиста Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует АФЧХ разомкнутой системы с целью определения устойчивости замкнутой системы с единичной обратной связью. Пусть имеется комплексная частотная характеристика (АФЧХ) разомкнутой системы Wp(jω). Для нахождения вещественной и мнимой части АФЧХ нужно осво- бодиться от мнимости в знаменателе путем умножения числителя и знаменателя на комплексную величину, сопряженную знаменателю, а затем выполнить разделение на вещественную и мнимую частотные характеристики, т.е. Wp(jω)=Up(ω)+jVp(ω). Задаваясь различными значениями частоты, можно найти множе- ство пар: {Up(ω1); jVp(ω1)}, {Up(ω2); jVp(ω2)}, …, {Up(ωmax); jVp(ωmax)}. Затем по этим парам строится годограф вектора АФЧХ на комплексной плоскости. Если разомкнутая система не имеет в своей структуре последова- тельных интегрирующих звеньев, то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке Up(0)=K (где K – коэффициент усиления разомкнутой системы). Заканчивается АФЧХ в начале координат при ω→ ∞ (рис. 11.1, а). Если разомкнутая система имеет одно последовательное интегри- рующее звено, то ее АФЧХ начинается при ω= 0 в бесконечности на 80 отрицательной мнимой полуоси, а заканчивается в начале координат при ω → ∞ (рис. 11.1, б). Рис.11.1. Примеры АФЧХ разомкнутой системы Критерий устойчивости Найквиста формулируется в двух вариан- тах. 1) Если разомкнутая система устойчива или находится на границе устойчивости, то для того чтобы замкнутая система была устойчи- ва, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты ω от 0 до ∞ не охватывала точку с коорди- натами –1, j0. 2) Если разомкнутая система неустойчива, а ее передаточная функция имеет r полюсов справа от мнимой оси на комплексной плос- кости, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и до- статочно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении ча- стоты ω от – ∞ до + ∞ охватывала r/2 раз точку с координатами –1, j0. При использовании этого критерия нужно учитывать две особенно- сти: 81 1. Если разомкнутая система находится на границе устойчивости, то ее АФЧХ уходит в бесконечность. Для проверки критерия Найквиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно большого радиуса с положительной вещественной полуосью. 2. На практике АФЧХ может строиться только для положительных частот (0 ≤ ω < + ∞). При применении критерия Найквиста считается, что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична относительно вещественной оси. Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключается в том, что система будет неустойчива, если фаза выходного сигнала про- тивоположна фазе входного сигнала, а коэффициент усиления > 1. По- этому для анализа устойчивости можно использовать не АФЧХ, а ЛАЧХ разомкнутой системы (для минимально - фазовых систем). Си- стема устойчива, если на частоте среза значение фазы не превышает – π. Соответственно для устойчивой системы можно рассматривать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе – расстояние от значения фазы на частоте среза до уровня –π, и запас устойчивости по амплитуде – рас- стояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на частоте, где фаза становится равной –π. Критерий устойчивости Михайлова Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы го- дограф Михайлова (Рис.11.2) начинался на вещественной положитель- ной полуоси и при изменении частоты от 0 до бесконечности последо- вательно проходил в положительном направлении (против часовой стрелки) нигде не обращаясь в нуль число квадрантов комплексной плоскости равное степени характеристического полинома замкнутой системы. Для критерия Михайлова необходим характеристический поли- ном, получаемый из знаменателя передаточной функции замкнутой системы. Q(s) = 0 1 1 ... asasa n n n n +++ − − 82 Если подставить в этот полином чисто мнимое значение s=jω, то по- лучим вектор Михайлова M(jω)=an(jω)n+an-1(jω) n-1+…+a0=U(ω)+ jV(ω). Практически годограф Михайлова (рис.11.2) строится по точкам. Задавая несколько разных значений ω от 0 до ∞, по формулам для U(ω) и V(ω) вычисляют для каждого из них координаты точек годограф Ми- хайлова по осям U и V. Поэтому вдоль кривой Михайлова обычно имеются отметки конкретных значений ω. Рис. 11.2. Примеры годографа Михайлова Использование пакета MatLab 1. Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу необходимо по- строить матрицу Гурвица и найти ее детерминант (функция det). Затем, последовательно уменьшая размер матрицы, найдите значения всех диагональных миноров. Пример: >> A=[1 14 18; 2 5 2; 3 4 3] A = 83 1 14 18 2 5 2 3 4 3 >> det(A) ans = -119 >> A1=A(1:2, 1:2) A1 = 1 14 2 5 >> det(A1) ans = - 23 2. Для проверки устойчивости по Найквисту сначала нужно выяс- нить, является ли устойчивой разомкнутая система, что проще всего сделать по переходной характеристике. Пример: Пусть дана передаточная функция разомкнутой системы Получим переходную характеристику >> w=tf([2 1],[2 3 2 3 1]) >> step(w) График переходного процесса (рис.11.3) показывает, что разомкну- тая система неустойчива. Тогда, согласно критерию Найквиста, для устойчивости замкнутой системы необходимо, чтобы АФЧХ разомкну- той системы охватывала точку –1, j0 столько раз, сколько полюсов имеется справа от мнимой оси. Для построения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist >> nyquist(w) Соответствующая диаграмма Найквиста показана на рис. 11.4. 84 Рис. 11.3. Пример переходной реакции неустойчивой системы Рис. 11.4. Диаграмма Найквиста примера Как показывает рис.11.4, АФЧХ разомкнутой системы ни разу не охватывает точку –1,j0, поэтому замкнутая система будет неустойчи- вой. Частотный критерий Найквиста можно использовать и в том случае, когда рассматривается не АФЧХ, а ЛАЧХ разомкнутой системы: Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ, можно легко оценить запасы устойчиво- сти системы по амплитуде и по фазе с помощью команды >> margin(w) Пример: >> w=tf([10],[2 2 3 1]); 85 >> margin(w) Соответствующий график показан на рис. 11.5. Рис. 11.5. Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе 3. Для оценки устойчивости по критерию Михайлова необходимо иметь характеристическое уравнение замкнутой системы. Если дана ПФ разомкнутой системы, то ПФ замкнутой системы W(s) вычисляется по формуле обратного соединения W(s)=Wp(s)/(Wp(s)+1), где Wp(s) – передаточная функция соответствующей разомкнутой системы. Вектор Михайлова замкнутой системы получим из выражения для ПФ замкнутой системы, произведя подстановку s=jω 86 Пример: Wp(s)=3/(s4+3s3+2s2+6s+1) W(s)=3/(s4+3s3+2s2+6s+4) Q= (jω)4+3(jω)3+2(jω)2+6(jω)+4 Для построения вектора Михайлова можно создать М-файл вида: w=0:1:1000; m=j^4*w.^4+3*j^3*w.^3+2*j^2*w.^2+6*j*w.+4; x=real(m); y=imag(m); >>plot(x,y) При выполнении этого М-файла появится окно с графиком годогра- фа, по виду которого и делается вывод об устойчивости системы. Задание к работе Выполнить исследование устойчивости замкнутой САУ с использо- ванием различных критериев по заданной передаточной функции разо- мкнутой системы. Варианты заданий приведены в табл. 11.1. Содержание отчета по лабораторной работе – переходную характеристику разомкнутой системы; – расчет передаточной функции замкнутой системы; – расчетные выражения для обоснования устойчивости замкнутой системы по алгебраическому критерию Гурвица; – годограф Найквиста разомкнутой системы, на основании которого делается вывод об устойчивости замкнутой системы; – годограф Михайлова замкнутой системы, на основании которого делается вывод об устойчивости системы; – переходную характеристику замкнутой системы; – распределения полюсов разомкнутой и замкнутой систем; 87 – проверку полученных результатов путем компьютерного модели- рования переходных процессов разомкнутой и замкнутой системы в MatLab Simulink; – выводы по всем полученным результатам. Таблица 11.1 № Передаточная функция разомкнутой системы 1 1355 2)( 234 ++++ = ssss sW 2 11.005.0 1)( 234 ++++ = ssss sW 3 11.01.0 1)( 23 +++ = sss sW 4 1221.05 100)( 234 ++++ = ssss sW 5 1248 1)( 23 +++ = sss sW 6 1223 10)( 2345 +++++ = sssss sW 7 11.001.01.0 3)( 23 +++ = sss sW 8 122 10)( 23 +++ = sss sW 9 11.01.0 1)( 23 +++ = sss sW 10 15.05.0332 2)( 2345 +++++ = sssss sW 88 Лабораторная работа № 12 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ С ЭЛЕМЕНТОМ ЧИСТОГО ЗАПАЗДЫВАНИЯ Цель работы – исследовать устойчивость автоматической систе- мы с элементом чистого запаздывания с помощью частотного крите- рия Найквиста в программной среде MatLab Основные сведения При решении задач автоматизации технологических процессов ча- сто приходится иметь дело с инерционными статическими объектами управления (например, с электрическими двигателями), переходные характеристики h0(t) которых несколько отличаются от типовых. Например, многие объекты имеют специфическую s-образную форму переходной характеристики (рис. 12.1). Наклон, кривизна характери- стики и ее расстояние от оси ординат зависят от динамических свойств конкретного объекта. Рис 12.1. Переходные характеристики реального объекта (1) и его приближенной модели второго порядка (2) с запаздыванием 89 Для практических расчетов такими объектами каждую s- образную кривую, снятую при единичном ступенчатом воздействии, достаточно охарактеризовать следующими параметрами, определяе- мыми непосредственно по графику: • статическим коэффициентом k0; • постоянной времени T0; • полным запаздыванием 0τ , которое складывается из чистого запаздывания чτ и переходного запаздывания пτ , т. е. чп τττ +=0 . Параметры T0 и 0τ определяют проведением касательной АВ к наиболее крутому участку переходной характеристики h0(t). При расчете настроечных параметров системы с объектами, имеющими s-образные переходные характеристики, ориентируются либо непосредственно на указанные параметры, характеризуют стати- ку и динамику реального объекта, либо используют упрощенные мо- дели объекта, коэффициенты которых однозначно выражаются через указанные экспериментальные параметры. Достаточно хорошее приближение к s-образным переходным ха- рактеристикам дает модель второго порядка с запаздыванием и одина- ковыми постоянными времени. , )1( 1)( 2' 0 00 ' 0 + = − pT ekpW pτ 00 ' 00 ' 0 107,0;368,0 TTTгде −== ττ . Наиболее простой, но и менее точной является модель первого по- рядка , 1 1)( ' 0 00 ' 0 + = − pT ekpW pτ 00 ' 00 ' 0 11,0;64,0 TTTгде −== ττ . Существуют и более сложные модели, например, модель второго порядка с запаздыванием и разными постоянными времени 90 , )1)(1( 1)( 21 00 ' 0 ++ = − TpT ekpW pτ Здесь параметры Т1 и Т2 определяются не через параметры Т0 и τ0, а по некоторым координатам характерных точек переходной характери- стики. Для систем с запаздыванием всегда существует некоторая ве- личина запаздывания грτ , которая выводит систему на границу устой- чивости. Пример: Рассмотрим систему со следующими параметрами: Начальное значение k k2 T1 T2 1 10 1 1 Т.е. 1 10)(;)( 221 ++ == pp pWkpW . Т.к. для разомкнутой части исходной системы соединение элемен- тов последовательное, то ее эквивалентная передаточная функция: 1 10)()()( 221 ++ =⋅= pp kpWpWpWp и для замкнутой (рис.12.2) 110 10)( 2 +++ = kpp kpW . 91 Рис. 12.2. Схема математической модели исходной замкнутой системы для линей- ного анализа Исходная замкнутая система является системой второго порядка, следовательно – абсолютно устойчива при любых значениях k. В под- тверждение этому – ее переходная характеристика, изображенная на рис. 12.3. Рис. 12.3. Переходная характеристика исходной замкнутой системы при k =1 Для исследования устойчивости по критерию Найквиста система была дополнена звеном чистого запаздывания (рис. 12.4). Рис. 12.4. Схема математической модели разомкнутой части системы с элементом чистого запаздывания 92 При исследовании годографа АФЧХ разомкнутой системы было установлено, что с увеличением чτ устойчивость всей системы с эле- ментом чистого запаздывания падает. Например, при чτ = 0,01 оценка запасов устойчивости составила по амплитуде На =20дБ и по фазе Нφ=17° (рис. 12.5). Рис. 12.5. Годограф частотного вектора для разомкнутой части системы с элементом чистого запаздывания при τ = 0.01 При увеличении чτ граничное значение грτ , при котором система выходит на границу устойчивости, составило 0,099 (рис. 12.6). Полу- ченный результат зависит от значения k. Для рассматриваемого приме- ра можно считать, что при чτ = грτ = 0,099, 1== грkk . Изменяя один из указанных параметров, можно добиваться опреде- ленного значения другого при сохранении устойчивости, что важно при физической реализации систем исследуемого типа. Например, уменьшая коэффициент передачи k в меньшую сторону от грkk = , можно обеспечить устойчивость замкнутой системы с тре- буемыми запасами устойчивости по амплитуде На и по фазе Нφ. 93 Рис. 12.6. Годограф частотного вектора для разомкнутой части системы с элементом чистого запаздывания при τ = 0.099 Выполнение работы Дана замкнутая система с единичной отрицательной обратной свя- зью, элементы которой соединены последовательно и имеют следую- щие передаточные функции с параметрами по вариантам табл. 12.1. 1 )(;)( 2 2 1 2 21 ++ == pTpT KpWkpW 1) Смоделировать структуру исходной системы в соответствии с рис. 12.2. 2) Исследовать характеристики и устойчивость исходной структуры. 3) Ввести в разомкнутую часть исходной системы элемент чистого запаздывания (Switched Transport Delay), как это показано на рис. 12.4. 94 4) Варьируя параметром τ, оценить устойчивость полученной си- стемы по критерию Найквиста. Определить граничное значение грτ , при котором полученная система выходит на границу устойчивости. 5) При τ = грτ изменить коэффициент k в большую и меньшую стороны. Оценить его влияние на устойчивость и запасы устойчивости. 6) Составить отчет по лабораторной работе с указанием варианта, переходных характеристик замкнутых систем (исходной и с элементом запаздывания), результатов оценок устойчивости и выводов по всем этапам. Таблица 12.1 № вари- анта Начальное значение k K2 T1 T2 1 1 12 1.0 2.0 2 1 21 2.1 4.2 3 1 23 3.5 7 4 1 43 2.1 4.3 5 2 2 2.4 4.9 6 2 11 3.1 6.2 7 2 12 3.2 6.5 8 1 7 3.3 6.8 9 1 3 2.6 5.7 10 1 14 2.4 5.0 95 Список использованной литературы 1. Макаров, И.М. Линейные автоматические системы (элементы теории, методы расчета и справочный материал) / И.М. Макаров, Б.М. Менский. – М.: Машиностроение, 1982. 2. Ксеневич, И.Л. Теория и проектирование автоматических си- стем / И.Л. Ксеневич, В.П. Тарасик. – М.: Машиностроение, 1996. 3. Цыпкин, Я.З. Основы теории автоматических систем / Я.З. Цып- кин. – М.: Наука, 1977. 4. Кулаков, Г.Т. Инженерные экспресс-методы расчета промыш- ленных систем регулирования / Г.Т. Кулаков. – Минск: Вышэйшая школа, 1984. 5. Наладка средств автоматизации и автоматических систем ре- гулирования: справочное пособие / под ред. А. С. Клюева. – М.: Энергоатомиздат, 1989. 6. Справочник по теории автоматического управления / под ред. А. А. Красовского. – М.: Наука, 1987. Компьютерные программы и другие научно-методические материалы Пакет программ для математических расчетов MATLAB.