Приборы и методы измерений, № 1, 2010 63 УДК 528.25.550.312 ОБ ОСОБЕННОСТЯХ ФОРМИРОВАНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ЗА СЧЕТ СМЕЩЕНИЯ НУЛЯ И НЕЛИНЕЙНОСТИ В СТАТИЧЕСКИХ МАЯТНИКОВЫХ ГРАВИМЕТРАХ Блажнов Б. А. 1, Джилавдари И. З. 2 1 ОАО «Концерн «ЦНИИ “Электроприбор”», Санкт-Петербург, Российская Федерация 2 Белорусский национальный технический университет, Минск, Республика Беларусь Проводится оценка погрешностей, вносимых в выходной сигнал гравиметра смещением нуля и изменением наклона нелинейной функции преобразования при неизменной функции обратного преобразования. Анализируются возможные механизмы, приводящие к этим искажениям, и способы устранения указанных погрешностей. Введение Хорошо известно, что в измерительных приборах с линейной функцией преобразования инструментальные погрешности связаны со смещением нуля и изменением наклона функ- ции преобразования. Эти погрешности незави- симы между собой и сводятся, соответственно, к аддитивной и мультипликативной погрешно- сти прибора [1]. Если функция преобразования достаточно стабильна во времени, то указанные погрешности легко обнаруживаются и устра- няются при регулярной поверке прибора мет- рологическими службами. Однако, если функция преобразования яв- ляется нелинейной и заметно меняется во времени, общая методика расчета погрешностей измерений и методы их уменьшения до сих пор не разработаны [2,3]. В лучшем случае, эти вопросы рассматриваются на частных примерах [1]. Специфической проблемой здесь является то, что смещение нуля функции преобразова- ния приводит не только к аддитивным погреш- ностям, но и к мультипликативным погрешно- стям результатов измерений. Решение проблем повышения точности измерений в этих усло- виях требуют тщательного анализа. В первую очередь это касается измерения ускорения свободного падения на подвижных основаниях, где широко используются статиче- ские маятниковые гравиметры. В качестве гра- виметрического датчика в них используется двойная упругая кварцевая система, представ- ляющая собой два идентичных горизонтальных маятника, подвешенных на тонких кварцевых нитях. При изготовлении прибора для выставки маятников в горизонтальное положение квар- цевые нити закручиваются на угол около 200 градусов. В приборе не используются обратные связи для возвращения маятников в нулевое положение при воздействии переменных уско- рений. Кварцевая система расположена в вязкой жидкости, обеспечивающей возможность работы в небольшом (несколько градусов) диа- пазоне отклонения маятника при изменении постоянного сигнала в пределах 10 Гал и при наличии высокочастотных возмущений объекта до 100 Гал (1 Гал=1 см/с2). Гравиметрические датчики такого типа обладают малым уровнем собственных шумов и высокой степенью ста- бильности функции прямого преобразования входного сигнала. Методы измерений 64 Приборы и методы измерений, № 1, 2010 Процесс преобразования сигнала в маятни- ковом гравиметре схематично показан на рисунке 1. Измеряемая величина W поступает на вход преобразователя  WF , на выходе которого эта величина выражается в отсчетных единицах m. Далее путем численных преобразований эту величину выражают в единицах измеряемого сигнала, т.е. приводят к входу. Здесь  WF – функция прямого преобразо- вания (ФПП), т.е. преобразование от W к m.  WF 1 – функция обратного преобразования (ФОП), т.е. преобразования от m к W. Функции прямого и обратного преобразований связаны между собой очевидным условием:      WWFFmFoutW  11 , (1) где  WFm  . В этих приборах функция преобразования  WF является нелинейной. Однако, при выполнении тождества (1) применение ФОП, линеаризует процесс преоб- разования полезного сигнала в гравиметре. ФОП обычно определяется в процессе эталони- рования прибора. Эталонирование проводится, как правило, на заводе изготовителе и имеет своей целью определение в отсчетном устрой- стве начального отсчета Ме, который в даль- нейшем принимают за нулевой, и соответству- ющих этому отсчету коэффициентов нелиней- ной ФОП. Как показывает практика, ФОП имеет вид:   21 ambmmFW   , (2) где коэффициенты a и b определяют эмпириче- ским путем. Из соотношения (2) может быть получено точное выражение для ФПП F(W):    baWb a WFm  4 2 1 2 . (3) При проведении расчетов этой функцией пользоваться сложно. Если пренебречь малыми членами, то с погрешностью  22 W , где 2b a  , ее можно представить в виде:    WW b W b a W b WF  1 12 3 1 . (4) Тогда, в силу приближенности (4), вместо тождества (1) имеет место равенство     kWWFFoutW   11 , (5) где 33222 WWk   – относительная по- грешность выполнения тождества (1). Для одного из гравиметров, с которым проводилась съемка с самолета, параметр а≈310-5 мГал/(о.е.)2, параметр b≈3 мГал/(о.е.) и W=103 мГал. В этом случае значение W≈3·10-3 и k2 10-4. Это означает, что погрешность выполне- ния равенства (5) соизмерима с погрешностью эталонирования. С этой точки зрения примене- ние формулы (4) в преобразовании (5) превра- щает это преобразование в тождество. Поэтому погрешностью k, а также и другими погреш- ностями, полученными ниже и пропорциональ- ными 2, при проведении оценок можно прене- бречь. Цель данной работы состоит в том, чтобы рассмотреть характерные виды смещений нуля в отсчетном устройстве гравиметра, в том числе связанные с изменением ФПП, исследо- вать их влияние на погрешности гравиметра и предложить методики уменьшения этих по- грешностей. Теоретические исследования и численные оценки Характерной особенностью маятниковых гравиметров с упругим подвесом является наличие непрерывного смещения нуля в от- счетном устройстве, порождаемое эффектами ползучести в упругой системе, причем скорость смещения нуля может меняться во времени [4, 5]. Этот дрейф не связан с искажением ФПП, и вследствие этого он эквивалентен появлению Рисунок 1 W Wout F(W) m F-1(m) Методы измерений Приборы и методы измерений, № 1, 2010 65 на входе отсчетного устройства ложного сиг- нала W на входе прибора. Как показывает практика, если не отклю- чать питание прибора, на ограниченном интер- вале времени имеется возможность достаточно точно прогнозировать смещения нуля прибора с течением времени t по простой формуле δW=c·t, (здесь с – крутизна изменения смеще- ния нуля во времени, определяемая обычно в процессе опорных измерений). Вследствие нелинейности ФПП при изме- рении различных по величине полезных сигна- лов W1 и W2, поступающих на вход грави- метра, аддитивная погрешность W, возника- ющая в приборе, приводит к различным значе- ниям M1 и M2 смещений отсчетов грави- метра, что наглядно иллюстрирует рисунок 2. Однако, при стабильной ФПП после при- менения полученной при эталонировании ФОП, смещение показаний прибора на выходе становится одинаковым для обоих измерений. Следовательно, при отсутствии искажений ФПП, разностный сигнал 1212 WWoutWoutW  , т.е. погрешность, обусловленная смещением нуля W, исключается полностью. Однако в гравиметре возможны смещения нуля, имеющие другую природу и связанные уже с искажением ФПП прибора. Рассмотрим для примера искажение ФПП (рисунок 3), проявляющее себя в виде параллельного смещения всей ФПП (кривая 2) относительно исходной эталонной ФПП (кривая 1) на величину ΔМ. Это смещение может быть обусловлено, например, темпе- ратурными поводками конструкции или погрешностями отсчетного устройства. Такое смещение ФПП может произойти, например, в случае смещения ПЗС линейки отсчетного устройства вдоль ее рабочей поверхности. Как видно из рисунка 3, где 1212 WWoutWoutW  , применение эталонной ФОП при наличии смещения ФПП приводит к тому, что изменение сигнала на входе гравиметра не совпадает с изменением сигнала на выходе гравиметра, т.е. обусловливает искажение выходного сигнала, которое зависит от величины входного сигнала. Это искажение вызывает появление не только аддитивной (одинаковой для обоих сиг- налов), но и мультипликативной (зависящей от разности входных сигналов) погрешности гра- виметра. Рисунок 2 Методы измерений 66 Приборы и методы измерений, № 1, 2010 Рисунок 3: 1 – эталонная ФПП, 2 – смещенная ФПП Схема измерения входного сигнала W при наличии смещения ФПП относительно эталон- ной ФПП представлена на рисунке 4. Пунктиром на рисунке 4 выделены про- цессы, происходящие в гравиметре и приводя- щие к появлению в отсчетном устройстве при- бора некоторого нового результирующего от- счета: Mmm  . Получим оценку погрешности, возникаю- щей на выходе гравиметра при наличии смеще- ния аддитивной погрешности W и смещения М. Исходя и формул (2) и (3), найдем выра- жение для сигнала на выходе гравиметра:      .43222 2 2 WMbWW MbMWbMbWWout     (6) Исключая из этого выражения члены, про- порциональные 3 и 2, получим, что выход- ной сигнал имеет вид:    221 MaMbMbWoutW  . (7) Из этого выражения следует, что в выход- ном сигнале гравиметра присутствуют как ад- дитивная погрешность  2MaMbàääW  , так и мультипликативная погрешность WMbìóëüòW  2 . В свою очередь, из рисунка 4 и формулы (7) можно видеть, что для полного устранения обеих составляющих погрешности достаточно перед применением ФОП вычесть из выходного отсчета значение смещения ΔМ. При проведении гравиметрической съемки с самолета, как правило, поддерживаются ста- бильные условия полета: температура в салоне, высота, а также курс и скорость полета на гал- сах. Поэтому можно считать, что в процессе каждой съемки условия работы гравиметра не меняются. Однако эти условия могут существенно отличаться от условий опорных измерений, в частности, из-за наличия вибраций и измене- ния давления. Это может привести не только к смещению ФПП на величину ΔМ, но и к изме- нению ее наклона по отношению к эталонной ФПП, т.е. к изменению коэффициента b в ФПП (рисунок 5). Рассмотрим процедуру формирования вы- ходного сигнала в гравиметре при проведении измерений на объекте. Рисунок 4 m F-1(m) M +  Wout W F(W) m Методы измерений Приборы и методы измерений, № 1, 2010 67 Рисунок 5 – Искажения ФПП: 1 – эталонная ФПП (кривая 1); 2 – ФПП, смещенная на ΔМ; 3 – ФПП, смещенная на ΔМ и с измененным коэффициентом b Поскольку рассматриваемый прибор имеет ограниченный диапазон измерения силы тяжести, то, как отмечалось выше, все измере- ния производятся относительно некоторого отсчета Me, назначаемого при проведении эта- лонирования и принимаемого за нулевой. Раз- ность между рабочим Mr и нулевым Me отсче- тами обозначим m. Этой разности отсчетов соответствует измеряемый прибором входной сигнал W, представляющий собой разность значений рабочего Wr и эталонного ускорений We, соответственно, т.е. WeWrW  . В соответствии с устоявшейся методикой проведения гравиметрической съемки, при об- работке ее результатов в выходных показаниях гравиметра вычитаются и результаты измере- ния, проведенного на предыдущем опорном гравиметрическом пункте (ОГП), для которого обычно известно абсолютное значение силы тяжести Wo. С учетом наличия аддитивной по- грешности W, входным сигналом гравиметра на ОГП является величина WeWWooutW  . Поэтому при проведении рабочих измерений входной сигнал гравиметра можно представить в виде WeWWWroutW   . Реализованная в программном обеспече- нии прибора схема вычисления выходного сигнала гравиметра, получаемого в ходе про- ведения съемки, представлена на рисунке 6. Для простоты будем полагать, что изменение дополнительного прогнозируемого смещения нуля δW и искажение ФПП в процессе самой съемки (изменившиеся после измерений на ОГП) пренебрежимо малы. В этой схеме новое обозначение ФПП – F2 означает, что в силу изменившихся условий эксплуатации ФПП изменила свой наклон по отношению к эталонной ФПП, так что коэф- фициент b получил приращение b, и, кроме того, вся ФПП получила смещение на вели- чину М. Найдем величину выходного сигнала в схеме на рисунке 6. Рисунок 6 – Схема вычисления выходного сигнала гравиметра относительно ОГП Методы измерений 68 Приборы и методы измерений, № 1, 2010 Обозначим коэффициент b в ФПП F2 че- рез b1. Тогда сигналы на выходах первых сум- маторов, для соответствующих ветвей преоб- разований будут иметь вид     ,22 31 2 1 1 2 MWWeWr b a WWeWr b M   (7)     ,21 31 1 1 1 1 MWWeWr b a WWeWr b M   (8)     .21 311 1 0 MWWeWo b a WWeWo b M   (9) На выходах вторых сумматоров имеем: 2222 aMbMW  . (10) 2111 aMbMW  . (11) На выходе последнего сумматора в ниж- ней ветви имеем сигнал W2-Wo, а на выходе последнего сумматора в верхней ветви сигнал имеет вид W1-Wo. На выходе всей схемы полу- чим:    ..211 22212 aMbM aMbMWWWout   (12) Подставим в эту формулу формулы (7) – (9) и отбросим члены, пропорциональные 3 и 2. Далее будем считать, что bbb 1 , при- чем bb  . Подставляя это выражение в по- лученную выше формулу для Wout, разлагая ее в ряд по b и оставляя члены, содержащие b в нулевой и первой степени, найдем, что:    ].2221 21[12 MbWWeWrWr b b Mb b b WrWrWout       (13) На опыте М300 о.е., ΔW1000 мГал,   b b 0,5 %. Значения параметров а и b были приведены выше. Оценки значений членов, входящих в формулу (13) позволяют отбросить еще несколько заведомо малых слагаемых, что существенно упрощает ее вид. В результате для выходного сигнала имеем:          b b M b a WoWrWout 21 . (14) Из (14) видно, что с приемлемой для про- ведения съемки точностью при данной мето- дике измерений влиянием смещения W можно пренебречь. Изменение коэффициента b для данной конкретной съемки можно вычис- лить по одной или нескольким контрольным точкам съемки, в которых самолет проходит одну и ту же точку в пространстве в восточном и западном направлении по формуле:     12      west - WeastW testWout b b M b a , (15) где Weаst и Wwest – поправки Этвеша, обуслов- ленные скоростью движения самолета, соот- ветственно, в восточном и западном направле- ниях, Wout test – значение разностного сигнала на выходе гравиметра для этих контрольных измерений. Современная приемная аппаратура спут- никовой навигационной системы позволяет обеспечить возможность прохождения одной и той же точки, а также вычислить значения раз- ности поправки Этвеша Weast – Wwest в этой точке для встречных галсах с точностью, поз- воляющей вычислить поправку к масштабному коэффициенту с погрешностью не более 0,03 % Использование новой ФОП с измененным в соответствии с (15) коэффициентом b позво- лит уменьшить погрешность съемки до той же величины 0,03 %. Выводы Показано, что существуют два механизма влияния смещения нуля и искажения парамет- ров нелинейной функции прямого преобразо- вания (ФПП) на выходной сигнал статического маятникового гравиметра: один – W – не свя- зан со смещением ФПП и другой – М – связан с этим смещением. Показано, что при суще- ствующей схеме обработки выходных отсчетов гравиметра погрешностью смещения нуля W можно пренебречь. Получены выражения для оценки погреш- ности прибора при наличии искажения ФПП прибора за счет ее смещения и изменения наклона. Показано, что в обоих случаях в Методы измерений Приборы и методы измерений, № 1, 2010 69 выходном сигнале появляется мультипли- кативная погрешность. Эта погрешность наи- более существенна при проведении аэрограви- метрической съемки. Установлено, что при использовании со- временной приемной аппаратуры спутниковой навигационной системы, можно провести оценку возникшей мультипликативной по- грешности и использовать ее для коррекции функции обратного преобразования при обра- ботке результатов измерений. Blazhnov B. A., Gilavdary I. Z. About errors which are forming in static pendulum gravimeters because of zero-point drift and non-linear behavior We report here on an error analysis which has been done in relation to zero-point drift problem in gra- vimeters and the problem of non-linear behavior of the transfer function, while the inverse transfer function does not change. Possible effects leading to these problems and some methods of canceling the corresponding errors are considered. Поступила в редакцию 21.10.2010.