/ 63 4 (77), 2014 УДК 621 .74 Поступила 08.10.2014 Ю. В. ЯЦКЕВИЧ, А. Н. ЧИЧКО, С. Г. ЛИХОУЗОВ, О. А. САЧЕК, В. Ф. СОБОЛЕВ, Т. В. МАТЮШИНЕЦ, О. И. ЧИЧКО, БНТУ ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ «АЭРОПРО-1» ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК Представлено краткое описание математического аппарата для компьютерной системы «АэроПро-1», разраба- тываемой для расчета аэродинамических характеристик объектов, движущихся в воздушных средах. The short description of mathematical apparatus for the computer system AeroPro-1 developed for calculation of aerodynamic characteristics of the objects moving in air environments is presented. При проектировании беспилотных авиацион- ных комплексов важнейшей задачей является раз- работка наилучшей геометрии планера с целью повышения его аэродинамических характеристик . Известно, что при проектировании планеров осо- бое место отводится методам моделирования аэро- динамической среды, обтекающей 3d-модель пла- нера при его движении . Моделирование аэродина- мической среды, обтекающей 3d-модель планера, позволяет получать большое количество информа- ции, на основе которой снижаются сроки проекти- рования планера и повышается качество решения по выбору геометрии планера . Отечественных программных продуктов для решения задач аэро- динамики планеров нет . В то же время известные импортные продукты по аэродинамике не всегда удовлетворяют пользователя по возможностям расчета аэродинамических характеристик и не всегда позволяют решать специальные задачи, сто- ящие перед конструктором планера . Цель работы – разработка специального про- граммного обеспечения (ПО) «АэроПро-1» для моде- лирования аэродинамических свойств среды для ре- шения задач проектирования геометрии планеров . Программа «АэроПро-1» разрабатывается со- трудниками Белорусского национального техниче- ского университета, имеющих опыт создания ПО «ПроЛит-1», «ПроТерм-1» и «ПроНРС-1» . В осно- ву разрабатываемого программного обеспечения «АэроПро-1» положена математическая модель кле- точно-автоматного типа [1–4] . Для точной аппрок- симации геометрии крыла разработаны клеточно- автоматные правила, позволяющие учесть аэроди- намические особенности различных скоростных потоков, вызывающих турбулентность . Современный уровень проектирования лета- тельных аппаратов подразумевает использование методов компьютерного моделирования аэродина- мической среды, обтекающей 3d- модель планера при его движении . Поиск приемлемых для практи- ки форм математического описания турбулентных течений или моделей турбулентности идет уже на протяжении более 100 лет начиная с классических работ О . Рейнольдса . Это объясняется исключи- тельной сложностью турбулентности как физиче- ского явления . Турбулентные течения, согласно современным представлениям, подчиняются классическим урав- нениям Навье-Стокса, и в этом смысле проблема может считаться давно решенной . Однако, несмо- тря на фантастический прогресс вычислительной техники, наблюдаемый в последние десятилетия, ее возможности все еще недостаточны для реше- ния этих уравнений при представляющих практи- ческий интерес высоких числах Рейнольдса . Даже по самым оптимистичным прогнозам будут оста- ваться таковыми вплоть до второй половины, а то и до конца XXI в . [5] . В связи с этим, как и ранее, ключевым вопросом в рассматриваемой области является поиск приемлемого компромисса между физической адекватностью модели и приемлемым для практического применения уровнем ее слож- ности . Естественно, что определение «приемлемо- сти» существенным образом зависит от возможно- стей вычислительной техники, с одной стороны, и от потребностей конструктора летательного ап- 64 / 4 (77), 2014 парата, с другой . Поскольку и те, и другие доста- точно быстро растут, представление о приемлемо- сти компромисса быстро эволюционирует, что, в свою очередь, требует проведения новых исследований, направленных на определение границ их примени- мости . Таким образом, несмотря на свою более чем вековую историю, математическое моделиро- вание турбулентных течений по-прежнему остает- ся исключительно актуальной и развивающейся областью . В данной статье приводится описание относи- тельно простой полуэмпирической модели обтека- ния воздушным потоком летательного аппарата, использованной при построении собственного программного обеспечения . Эта модель и ПО по- зволяют исследовать аэродинамические характе- ристики летательных аппаратов . Результаты чис- ленных расчетов достаточно хорошо (для практи- ческих нужд) согласуются с экспериментальными исследованиями . Разработанная математическая модель клеточно- автоматного типа состоит из классической части (на основе уравнений Навье-Стокса, уравнения нераз- рывности, уравнения Менделеева-Клапейрона) и ори- гинальной части, называемой моделью погранично- го слоя . Расчет распределения скорости V(x, y, z,τ) по трехмерному пространству моделируемой сре- ды производится на основе уравнения Навье-Стокса: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) , 1 ( ) , 1 ( ) x x x x x y z x x x y y y y x y z y y y z z z z x y z z V V V VV V V t x y z V V VP T x x y z V V V V V V V t x y z V V VP T y x y z V V V VV V V t x y z VP T z x ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂  ∂ ∂ ∂∂ η = − + + + ρ ∂ ρ ∂ ∂ ∂  ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂  ∂ ∂ ∂∂ η = − + + +  ρ ∂ ρ ∂ ∂ ∂  ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ η = − + ρ ∂ ρ ∂ 2 2 2 2 2 ,z z V V y z                   ∂ ∂  + + ∂ ∂   (1) где t – время; x, y, z – декартовы координаты (ось Y направлена вертикально); Vx, Vy, Vz – проекции ско- рости воздуха на координатные оси X, Y, Z соответ- ственно; P – давление воздуха; ρ – плотность воз- духа; η(T) – динамическая вязкость воздуха; Т – температура воздуха . Расчет распределения плотности ρ(x, y, z,τ) на основании трехмерного поля скоростей V(x, y, z,τ) производится по уравнению неразрывности: 0yx z VV V t x y z ∂∂ ∂∂ρ  + + + ρ=∂ ∂ ∂ ∂  . (2) Пересчет распределения плотности ρ(x, y, z,τ) в поле давлений P(x, y, z,τ) производится по урав- нению Менделеева-Клапейрона: P RT M ρ = , (3) где Т – температура воздуха; М = 0,029 кг/моль – молярная масса воздуха; R = 8,3144 Дж/(моль⋅К) – универсальная газовая постоянная . В конечно-разностной форме уравнения (1) и (2) имеют вид 2 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( ( , , , )) ( , , , )2 ( , , , ) ( , , , ) 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , x x x x x x x x x V x y z t t V x y z t t P x x y z t P x x y z t T x y z t x y z t x x y z t V x x y z t V x y z t V x x y z t x V x y y z t V x y z t V x y y z t y V x y + ∆ − = ∆ + ∆ − + ∆ η = − + × ρ ∆ ρ + ∆ − + − ∆× + ∆ + ∆ − + − ∆ + + ∆ + 2 , , ) 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 2 ( , , , ) ( , , , ) 2 ( , , , ) ( , , , ) , 2 x x x x x x x y x x z z z t V x y z t V x y z z t x V x x y z t V x x y z tV x V x x y z t V x x y z tV y V x x y z t V x x y z tV z + ∆ − + − ∆  −∆  + ∆ − − ∆ − − ∆ + ∆ − − ∆ − − ∆ + ∆ − − ∆ − ∆ 2 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )2 ( ( , , , )) ( , , , ) ( , , , ) 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 2 ( , , , ) ( , , , ) ( y y y y y y y y y V x y z t t V x y z t t P x y y z t P x y y z t x y z t y T x y z tg x y z t V x x y z t V x y z t V x x y z t x V x y y z t V x y z t V x y y z t y V + ∆ − = ∆ + ∆ − − ∆ = − − ρ ∆ η − + × ρ + ∆ − + − ∆ × + ∆ + ∆ − + − ∆ + + ∆ + 2 , , , ) 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 2 ( , , , ) ( , , , ) 2 ( , , , ) ( , , , ) , 2 y y y y x y y y y y z x y z z t V x y z t V x y z z t x V x x y z t V x x y z t V x V x x y z t V x x y z t V y V x x y z t V x x y z t V z + ∆ − + − ∆  −∆  + ∆ − − ∆ − − ∆ + ∆ − − ∆ − − ∆ + ∆ − − ∆ − ∆ (4) (5) / 65 4 (77), 2014 2 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 2 ( , , , ) ( ( , , , )) ( , , , ) ( , , , ) 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , z z z z z z z z z V x y z t t V x y z t t P x y z z t P x y z z t x y z t z T x y z t x y z t V x x y z t V x y z t V x x y z t x V x y y z t V x y z t V x y y z t y V x + ∆ − = ∆ + ∆ − + ∆ = − + ρ ∆ η + × ρ + ∆ − + − ∆× + ∆ + ∆ − + − ∆ + + ∆ + 2 , , ) 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 2 ( , , , ) ( , , , ) 2 ( , , , ) ( , , , ) , 2 z z z z x z z y z z z y z z t V x y z t V x y z z t x V x x y z t V x x y z tV x V x x y z t V x x y z tV y V x x y z t V x x y z tV z + ∆ − + − ∆  −∆  + ∆ − − ∆ − − ∆ + ∆ − − ∆ − − ∆ + ∆ − − ∆ − ∆ ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 2 ( , , , ) ( , , , ) 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ), 2 x x y y z z x y z t t x y z t V x › y z t V x › y z t x V x y y z t V x y y z t y V x y z z t V x y z z t x y z t z ρ + ∆ −ρ = ∆τ − ∆ − + ∆= + ∆ − ∆ − + ∆ + + ∆ − ∆ − + ∆ + ρ∆  (7) где Vx(x, y, z,τ), Vy(x, y, z,τ), Vz(x, y, z,τ) – проекции скорости воздуха в момент времени τ в точке с ко- ординатами (x, y, z) на оси X, Y, Z соответственно; P(x, y, z,τ) – давление воздуха в точке с координата- ми (x, y, z); ρ(x, y, z,τ) – плотность воздуха в точке с координатами (x, y, z) . При разработке программного обеспечения ис- пользована модель пограничного слоя, возникаю- щего при обтекании планера . В данном случае под пограничным слоем понимается тонкий по сравне- нию с характерным линейным размером тела слой газа, прилегающий к твердой поверхности, в ко- тором градиенты газодинамических переменных в нормальном к стенке направлении столь велики, что инерционные силы и силы трения имеют здесь один и тот же порядок . Течение в этом слое при больших числах Рейнольдса становится турбулент- ным . Понятие пограничного слоя для анализа дви- жения жидкости при больших числах Рейнольдса было предложено Л . Прандтлем (1904) . Согласно аналитическим расчетам, для обтекания простых поверхностей (пластины) толщина этого слоя мала и растет очень медленно вдоль обтекаемой поверх- ности по направлению набегающего потока . В рас- сматриваемых в данной работе случаях она дости- гает 3–5 мм . В то время как шаг дискретизации по пространству, который может позволить современ- ный персональный компьютер, лежит в диапазоне 1–5 см (в зависимости от величины летательного аппарата) . Поэтому прямой расчет турбулентных процессов на основе уравнений Навье-Стокса в по- граничном слое невозможен . Для учета турбулентных процессов в погранич- ном слое используется «подсеточная» полуэмпи- рическая модель, которая работает только в тех узлах расчетной сетки (или элементах простран- ства), которые соседствуют с поверхностью обте- каемого тела . В настоящей работе рассматривается модель, в которой весь пограничный слой носит турбулентный характер, т . е . она пригодна для до- статочно больших чисел Рейнольдса . Модель основывается (по аналогии с известной k-e моделью [6]) на представлении о том, что кине- тическая энергия движущегося тела переходит не в поступательное движение прилегающего воздуха (как при ламинарном течении), а во вращательное движение относительно устойчивых фрагментов (вихрей), которые порождают каскады более мел- ких, передавая им свою энергию . Постепенно вся энергия вращения переходит в тепло, т . е . имеет место процесс накопления турбулентной энергии в пограничном слое со стороны твердого тела и процесс рассеяния (диссипации) ее в отдаленные массы воздуха . При этом аэродинамические свой- ства воздуха внутри слоя зависят от количества (и спектра) турбулентной энергии, именно: возрас- тает вязкость воздуха, что приводит к увеличению поверхностного сопротивления для летательного аппарата (такой эффект наблюдается при увеличе- нии температуры); уменьшается осредненная плот- ность воздуха, что приводит к уменьшению его инертности (этот эффект также наблюдается при увеличении температуры) . Поэтому изменение свойств воздуха внутри пограничного слоя моделируется путем введения модельной температуры, т . е . температура воздуха внутри слоя равна сумме температур набегающего потока T∞, и «турбулентной» температуры Tt, зави- сящей от энергии турбулентности: t t ET T T T c V∞ ∞ = + = + ρ∆ , (8) где Et – турбулентная энергия воздуха в рассматри- ваемом объеме ∆V; с – теплоемкость воздуха; ρ – плотность воздуха в рассматриваемом объеме . (6) 66 / 4 (77), 2014 На рис . 1 показано реализованное модельное представление пограничного слоя . Предполагает- ся, что пограничный слой состоит из движущихся цилиндрических вихревых областей (вихрей), диа- метр которых равен толщине слоя δ . Линейная ско- рость воздуха, прилегающего к твердой поверхно- сти, равна 0 . Воздух на внешнем крае погранично- го слоя имеет скорость ламинарного потока υx, вы- численную по сеточной модели (Навье-Стокса) . Та- ким образом, центр вращения вихря (и сам вихрь) перемещается со скоростью υx/2 в направлении воздушного потока и вращается с угловой скоростью: / 2 / 2 x xυ υω = = δ δ . (9) Согласно экспериментальным исследованиям [6], касательное напряжение турбулентного потока у стенки: 1/ 4 3 7 2 4 0 1 0,0225 0,0225 Re x x δ   ηρ υ τ = ρυ =  δ  , (10) где ρ – плотность воздуха; υx – скорость набегаю- щего воздушного потока; δ – толщина погранично- го слоя; η – динамическая вязкость воздуха; Reδ = ρυxδ/η – число Рейнольдса . Механическая мощность этого взаимодействия затрачивается на поддержание вращательного дви- жения вихря: tP M= ω , где 0 02/ 2 z M z τ δ∆ = = τ ∆ δ – вращающий момент, дей- ствующий на вихрь со стороны поверхности тела; ω – угловая скорость вращения вихря: 3 11 0 4 5 2 0,045x xt z P z τ ∆ υ ηρ υ = = ∆ δ δ . (11) Предполагается, что эта механическая энергия затрачивается на поддержание вращения вихря с линейной скоростью наружного края, равной υx/2 . Рассеивание энергии вихря сопровождается ростом его радиуса, что эквивалентно увеличению толщины пограничного слоя . Кинетическая энергия вращающегося вихря: 2 2t J E ω = , (12) где 2 2 2( / 2)J mR z= = ρδ ∆ δ – момент инерции вих- ря; ω – угловая скорость вращения вихря: 2 2 8 x t z E ρδ ∆ υ = . (13) Откуда следует формула для определения толщи- ны пограничного слоя: 2 8 t x E z δ = ρ∆ υ . (14) Кинетическая энергия вихря возрастает при увеличении его радиуса и источником энергии для этого роста является механическая энергия взаи- модействия с твердой поверхностью, выделяюща- яся с мощностью Pt . Кроме того, происходит пере- нос энергии по пространству вдоль слоя (вихри перемещаются) . Таким образом, процесс измене- ния турбулентной энергии во времени выражается дифференциальным уравнением: 2 t t x t E E P t x ∂ ∂ υ = + ∂ ∂ . (15) Уравнение (15) записано для одномерного слу- чая . Его обобщение для двумерного случая: 2 2 t t x t z t E E E P t x z ∂ ∂ υ ∂ υ = + + ∂ ∂ ∂ . (16) Полученное в результате моделирования трех- мерное поле давлений использовали для расчета различных интегральных аэродинамических ха- рактеристик летательных аппаратов . В частности, силы давления, действующие с разных сторон на аппарат: , (17) , (18) , (19) Рис . 1 . Модель турбулентного пограничного слоя / 67 4 (77), 2014 , (20) где Fп, Fз, Fв, Fн – соответственно сила давления, действующая на аппарат спереди, сзади, сверху, снизу; P(x, y, z) – давление в конечно-разностном элементе с координатами (x, y, z); P0 = 105005 Па – нормальное давление воздуха; ∆x, ∆y, ∆z – шаг конечно-разностной сетки . Силы трения, действующие с разных сторон на аппарат: , (21) , (22) , (23) , (24) , (25) , (26) , (27) , (28) где Yп – сила трения, действующая на аппарат спе- реди, Yз – сзади, Xв – сверху, Xн – снизу, Yпр – спра- ва вверх, Yл – слева вверх, Xпр – справа назад, Xл – слева назад . Лобовое сопротивление: . (29) Подъемная сила: . (30) Коэффициент лобового сопротивления: (31) Коэффициент подъемной силы: , (32) где Sн – несущая поверхность; ρ0 = 1,25 кг/м3 – плотность воздуха на бесконечном удалении от ап- парата; V0 = 30 м/с – скорость воздуха на бесконеч- ном удалении от аппарата . Рис . 2 . Распределение давлений вокруг крыльев с профилями серий А12, А15 и А18 при углах атаки набегающего потока 0, 4 и 12º 68 / 4 (77), 2014 Для определения степени адекватности разра- ботанной модели было проведено моделирование обтекания воздухом различных крыльев типовых профилей при разных углах атаки набегающего потока . На основе полученных трехмерных полей давлений были рассчитаны основные аэродинами- ческие характеристики крыльев (лобовое сопро- тивление и подъемная сила), которые были сопо- ставлены с известными данными [8] по результа- там продувки этих крыльев в аэродинамических трубах . На рис . 2 показано графическое отображение полей давлений воздуха вокруг крыльев различ- ных профилей при разных углах атаки набегающе- го потока . На рис . 3 приведены вычисленные аэродина- мические характеристики соответствующих кры- льев в виде поляр, а также поляры, построенные на основании натурных экспериментов . При реализации математической модели исполь- зованы конечно-разностные уравнения, которые ре- шаются с учетом начальных и граничных условий в зависимости от решаемой задачи моделирования (направления и скорости воздушного потока) . В настоящее время разработан математический аппарат, включающий в себя численные уравнения для вычисления трехмерных полей давлений, ско- ростей . Эти данные используются программой для расчета сил давления и трения, действующих с раз- ных сторон на планер, а также ряда его аэродина- мических характеристик: коэффициента лобового сопротивления (Сх), коэффициента подъемной си- лы (Сy) и аэродинамическое качество (K) . Процесс моделирования аэродинамических ха- рактеристик состоит из следующих этапов: Э т а п 1 . Построение 3d-модели прототипа летательного аппарата (файл планер . stl с помо- щью SolidWorks) . Э т а п 2 . Импортирование файла планер . stl в программу «АэроПро-1» и создание сеточной модели . Э т а п 3 . Задание скорости движения лета- тельного аппарата (υо), угла атаки (α), угла сколь- жения . Э т а п 4 . Моделирование функций распреде- ления давлений и скорости аэродинамической сре- ды P = f(x, y, z, τ), υ = f(x, y, z, τ) . Э т а п 5 . Расчет приложенных к аппарату си- ловых нагрузок и аэродинамических характери- стик Сx, Сy, K . Программа «АэроПро-1» обладает следующи- ми функциональными возможностями: • расчет распределения скоростей воздуха в аэро- динамической среде; • расчет распределения давлений воздуха в аэ- родинамической среде; • получение цифровой информации о значении скорости воздуха в выделенной точке простран- ства аэродинамической среды для заданного мо- мента времени; • получение цифровой информации о значении давления воздуха в выделенной точке простран- Рис . 3 . Сравнение аэродинамических характеристик крыльев серий А12, А15 и А18, полученных модельным и натурным способами / 69 4 (77), 2014 ства аэродинамической среды для заданного мо- мента времени; • построение графика скорости воздуха в выде- ленной точке пространства от времени v = f(X, Y, τ); • построение графика давления воздуха в выде- ленной точке пространства от времени P = f(X, Y, τ); • визуализация распределения скорости возду- ха по сечениям моделируемого пространства; • визуализация распределения давления возду- ха по сечениям моделируемого пространства; • визуализация распределения скорости возду- ха на трехмерной поверхности летательного аппа- рата; • визуализация распределения давления возду- ха на трехмерной поверхности летательного аппа- рата; • трехмерная визуализация скоростных пото- ков воздуха в аэродинамической среде; • трехмерная визуализация областей повышен- ного и пониженного давления воздуха в аэродина- мической среде; • расчет силовых характеристик и моментов движущегося планера в зависимости от времени . По разрабатываемой программе выполнены численные расчеты по моделированию полей ско- ростей и давлений аэродинамической среды дви- жущегося планера . При моделировании использо- вана 3d-модель реального планера, аэродинамиче- ская среда которого исследована для двух различ- ных углов атаки и заданной скорости . В настоящее время разработан математический аппарат для вы- числения дополнительных аэродинамических ха- рактеристик, необходимых для конструктора пла- неров, таких, как моменты крена, тангажа и рыска- ния (при различных отклонениях руля направле- ния, высоты, элеронов и закрылков) . На основе этих данных проведено моделирование и расчет группы аэродинамических характеристик, которые позволяют оценить аэродинамические характери- стики разрабатываемого планера на этапе проек- тирования . Развитие этой работы представляет интерес для конструкторов, занимающихся разра- боткой беспилотных авиационных комплексов . Следует отметить, что программа «АэроПро-1» создается на основе собственных математических моделей, которые могут динамично изменяться в зависимости от желаний пользователей . Разрабатываемый инструмент для проектиро- вания планеров позволит существенно снизить время проектирования и помочь конструктору из- бежать возможных ошибок при проектировании . «АэроПро-1» может быть использовано для оцен- ки различных вариантов геометрии планера при предпроектной подготовке и выборе лучших тех- нических решений при создании беспилотных ле- тательных комплексов . Литература 1 . Ч и ч к о, А . Н . Клеточно-автоматное моделирование процесса течения расплава в форме / А . Н . Чичко, С . Г . Лихоузов // Докл . НАН Беларуси . 2001 . Т . 45 . № 4 . С . 110–114 . 2 . Ч и ч к о, А . Н . Комплекс программных средств «ПРОЛИТ» для моделирования процессов течения и охлаждения рас- плавов / А . Н . Чичко, В . Ф . Соболев, С . Г . Лихоузов // Программные продукты и системы . 2002 . № 4 . С . 47–48 . 3 . Ч и ч к о, А . Н . Компьютерные системы моделирования физических процессов / А . Н . Чичко // Вестник . 2003 . № 2 . С . 42–48 . 4 . Ч и ч к о, А . Н . Программное обеспечение под суперкомпьютер «СКИФ» «ПроЛит-1с» и «ПроНРС-1с» для литейного и металлургического производства / А . Н . Чичко, Д . М . Кукуй, В . Ф . Соболев, С . Г . Лихоузов, Ю . В . Яцкевич, О . И . Чичко // Ли- тье и металлургия . 2008 . № 3 . С . 131–139 . 5 . Г а р б а р у к, А . В . Моделирование турбулентности в расчетах сложных течений: учеб . пособ . / А . В . Гарбарук, М . Х . Стрелец, М . Л . Шур . СПб: Изд-во Политехн . ун-та, 2012 . 6 . Л о й ц я н с к и й Л . Г . Механика жидкости и газа, М ., 6-е изд . 1987 . 7 . Ш л и х т и н г Г . Теория пограничного слоя / Пер . с нем . М ., 1974 . 8 . К р а в е ц А . С . Характеристики авиационных профилей . М .: Оборонгиз, 1939 .