24 
УДК 621.313.333 
 
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АД С ВСТРАИВАЕМЫМ 
КОМБИНИРОВАННЫМ ТОРМОЗНЫМ УСТРОЙСТВОМ 
 
Кандидаты техн. наук, доценты СОЛЕНКОВ В. В., БРЕЛЬ В. В. 
 
Гомельский государственный технический университет имени П. О. Сухого 
 
Как известно, точное аналитическое исследование картины электроме-
ханического преобразования энергии в реальной электрической машине 
практически не удается. Этому препятствуют сложность и многообразие 
процессов и связей в ней. Поэтому на практике рассматривают так называ-
емую идеализированную электрическую машину, для которой обычно 
принимаются следующие допущения [1]: 
1) магнитная цепь ненасыщена, энергия магнитного поля сосредоточена 
в воздушном зазоре; 
2) механические потери и потери в стали пренебрежимо малы (не учи-
тываются потери трения в подшипниках, явления гистерезиса и вихревых 
токов); 
3) распределение МДС и индукции в пространстве синусоидально (не 
учитываются высшие гармоники, создаваемые обмотками реальной ма- 
шины); 
4) воздушный зазор равномерен; 
5) энергия электростатического поля невелика (не учитывается влияние 
емкостей внутри обмоток и между ними); 
6) активные сопротивления и индуктивности рассеяния обмоток стато-
ра, а также максимальные значения взаимоиндуктивностей между любыми 
обмотками статора и ротора неизменны в течение исследуемых процессов. 
Несмотря на определенные упрощения, такой подход позволяет с до-
статочной для инженерной практики точностью описать поведение элек-
тромеханических устройств в различных режимах работы. 
Основная часть исследования. Учитывая изложенное выше, перечис-
ленные допущения использовали при математическом описании переход-
ных процессов в асинхронных двигателях с встраиваемыми комбини- 
рованными тормозными устройствами (АД с ВКТУ) [2, 3]. Исследуемая 
модель АД с ВКТУ, выполненная на базе трехфазного АД с коротко- 
замкнутым ротором, приведена на рис. 1. Пунктиром условно показано по-
следовательное включение обмотки силового растормаживающего элек-
тромагнита с одной из фазных обмоток базового двигателя (в данном слу-
чае – с обмоткой фазы А). Последовательное включение обмотки электро-
магнита используется для исследования переходных процессов при 
несимметричных схемах управления силовым электромагнитом. 
Короткозамкнутая обмотка ротора представлена двумя сосредоточен-
ными обмотками, магнитные оси которых совпадают с ортогональными 
осями d и q, жестко связанными с ротором. Подобная замена, согласно [4], 
не вызывает затруднений при определении связи между расчетными пара-
метрами, используемыми в теории установившегося режима, и параметра-
ми, применяемыми при исследовании переходных процессов. 
 25 
 
U
э
A
γ
d
q
B
C
w
a
w
c
w
b
w
q
w
d
 
 
Рис. 1. Модель АД с ВКТУ в непреобразованной системе координат 
 
Дополнительно было принято, что: 
 фазные обмотки статора базового двигателя симметричны, т. е. имеют 
одинаковое число витков, одинаковые активные сопротивления, cамоин-
дуктивности и взаимный сдвиг магнитных осей; 
 питание осуществляется от сети бесконечно большой мощности (при 
этом процессы, происходящие в тормозном электродвигателе, не оказыва-
ют влияния на сеть); 
 напряжения фаз А, B и С сети синусоидальны и симметричны, т. е. 
 
o o
o o
o o
cos( );
cos( 120 );
cos( 120 ),
A m
B m
C m
u U t
u U t
u U t
                               (1) 
 
где Um – амплитудное значение фазных напряжений; o – угловaя частота 
сети; o – начальная фаза напряжения uA. 
С учетом принятых допущений переходные процессы в АД с ВКТУ мо-
гут быть описаны системой дифференциальных уравнений, содержащей в 
общем случае три типа уравнений: уравнения электрического равновесия, 
составленные для контуров каждой из обмоток по второму закону Кирхго-
фа; уравнения моментов (его называют также уравнением движения ротора 
или уравнением механического равновесия) и уравнения преобразования 
электромагнитной энергии в механическую. 
Уравнения электрического равновесия для фаз А, B и С статора иссле-
дуемого АД с ВКТУ имеют вид: 
 
1 э
1
1
;
;
.
А
A А
В
B В
С
C С
d
u r i u
dt
d
u r i
dt
d
u r i
dt
                                         (2) 
 26 
Соответственно для эквивалентных обмоток ротора d  и q  можно за-
писать: 
2
2
0 ;
0 .
d
d
q
q
d
r i
dt
d
r i
dt
                                               (3) 
 
При этом потокосцепления фазных обмоток статора ,А  ,В  С  и эк-
вивалентных обмоток ротора d  и q  определяются по соотношениям: 
 
1 1 12 12
1 1 12 12
1 1 12 12
2 12
2 12
( ) cos sin ;
( ) cos( 120 ) sin( 120 );
( ) cos( 120 ) sin( 120 );
cos cos( 120 ) cos( 120 ) ;
sin sin
А А d q
В В d q
С С d q
d d А В С
q q А В
L M i M i M i
L M i M i M i
L M i M i M i
L i M i i i
L i M i i ( 120 ) sin( 120 ) .Сi
        (4) 
 
В выражениях (2)–(4) использованы следующие обозначения: СВА rrrr1   
СВА rrrr1  – активное сопротивление фазы статора; qd rrr2  – активное 
сопротивление одной из эквивалентных обмоток ротора; СВА LLLL1  – 
полная индуктивность фазы статора; qd LLL2  – полная индуктивность 
одной из эквивалентных обмоток ротора; САВСАВ MMMM1  – взаи-
моиндуктивности между любыми двумя обмотками статора; ...MMM ВdАd12  
...MMM ВdАd12  – максимальная величина взаимоиндуктивности между любой 
обмоткой статора и любой эквивалентной обмоткой ротора; эu  – мгновен-
ное значение напряжения на зажимах электромагнита; i  – ток в фазной 
обмотке статора или в эквивалентной обмотке ротора; γ  – угол поворота 
между магнитными осями обмоток статора и ротора (рис. 1). 
Отметим, что в рассматриваемом случае включения растормаживающе-
го электромагнита последовательно с одной из обмоток статора фазные 
напряжения, токи и потокосцепления обмоток базового электродвигателя 
становятся несимметричными. Однако линейные напряжения при условии 
сети бесконечно большой мощности остаются по-прежнему симметричны-
ми. Учитывая это, а также соотношения (2), уравнения равновесия относи-
тельно линейных напряжений иАВ, иВС и иСА можно записать следующим 
образом: 
 
1 э
1
1 э
( )
( ) ;
( )
( );
( )
( ) ,
А В
АВ А В
В С
ВС В С
С А
СА С А
d
u r i i u
dt
d
u r i i
dt
d
u r i i u
dt
                             (5) 
 27 
где с учетом (1): 
 
o o
o o
o o
3sin( 120 );
3sin( );
3sin( 120 ).
АВ m
ВC m
CA m
u U t
u U t
u U t
                               (6) 
 
Уравнение моментов в соответствии с законом сохранения энергии 
имеет вид 
p
с т м p( ),
dJ
M M M M
p dt
                             (7) 
 
где M  – электромагнитный момент, развиваемый электродвигателем; J  – 
суммарный момент инерции вращающихся масс, приведенный к оси вра-
щения электродвигателя; p  – число пар полюсов электродвигателя; p  – 
угловая скорость ротора, эл. рад./с; сM  – статический момент сопротивле-
ния; тM  – тормозной момент, возникающий в результате трения фрикци-
онных накладок тормозного устройства (электромеханический тормоз); 
м p( )M  – тормозной момент электромагнитной муфты скольжения (элек-
тромагнитный тормоз). 
Характер и длительность действия тормозного момента электромехани-
ческого тормоза можно определить из следующих соображений. В отклю-
ченном состоянии, когда напряжение на обмотках электродвигателя и 
электромагнита отсутствует, тормозной момент согласно [5] равен 
 
то пр ср ,M F R z                                               (8) 
 
где прF  – усилие возвратной пружины;  – коэффициент трения материала 
фрикционных накладок; срR  – средний радиус поверхности трения; z  – 
коэффициент, учитывающий конструктивные особенности тормозного 
устройства. 
После подачи напряжения на якорь растормаживающего силового элек-
тромагнита начинает действовать тяговое усилие тяг,F  увеличивающееся 
во времени и направленное против усилия пружины. При этом величи- 
на Мт, пропорциональная разности пр тяг,F F  будет уменьшаться и станет 
равной нулю в момент трогания якоря, когда пр тяг .F F  С этого момента 
якорь притягивается к сердечнику электромагнита, размыкая тем самым 
фрикционные накладки тормоза. Следовательно, длительность действия 
тормозного момента на вал электродвигателя равна времени трогания tтр 
растормаживающего электромагнита. Учитывая это, а также приняв для 
определенности, что со стороны нагрузки на вал действует момент сопро-
тивления реактивного типа (типа «сухого» трения), уравнение (7) перепи-
шем следующим образом: 
 28 
p
с т тр м p p1 ( ) sign ,( )
dJ
M M M t M
p dt
                    (9) 
 
где тр1t  и psign  – функции, определяемые соотношениями: 
тр
тр
тр
1  при  ;
1
0  при  ;
t t
t
t t
                                       (10) 
 
p
p
p
1  при  0;
sign 
1  при  0. 
                                  (11) 
 
Наконец, электромагнитный момент АД с ВКТУ в соответствии с [1] 
определяется по формуле 
 
эм ,
dW
M p
d
                                             (12) 
где эмW  – полная электромагнитная энергия тормозного двигателя, 
 
эм
1
.
2
А А В В С С d d q qW i i i i i                      (13) 
 
Подставляя (13) в (12) и учитывая при этом соотношения (4), оконча-
тельно получим: 
12 sin cos
sin 120 cos 120
sin 120 cos 120 .
А d q
В d q
С d q
M M p i i i
i i i
i i i
                        (14) 
 
Таким образом, уравнения (4)–(6), (9) и (14) образуют систему, описы-
вающую электромеханические переходные процессы в тормозных элек-
тродвигателях в реальных фазных координатах. Используя решение систе-
мы относительно токов в обмотках, нетрудно найти потери энергии в ста-
торе и роторе конкретного электродвигателя по соотношениям: 
 
2 2 2
1
0
2 2
2
0
;
,
t
s А В С
t
r d q
W r i i i dt
W r i i dt
                                    (15) 
 
где ,s rW W  – потери энергии в статоре, роторе. 
Наличие периодических коэффициентов в уравнениях (4), (5) и (14) 
значительно усложняет решение полученной системы. Поэтому с помощью 
известных преобразований и формул [1, 4] перейдем к уравнениям в орто-
гональной системе координат , , неподвижной относительно несиммет-
ричной части АД с ВКТУ (рис. 2): 
 29 
 
А
γ
d
q
В С
3
2
3
2
α
β
 
 
Рис. 2. Ортогональная система координат ,  
 
1 э
1
2
;
3
;
s
s s
s
s s
d
u r i u
dt
d
u r i
dt
        (16)        
2 p
2 p
0 ;
0 ;
r
r r
r
r r
d
r i
dt
d
r i
dt
        (17) 
 
12
3
,
2
r s s rM M p i i i i                                    (18) 
где 
 
o o
o o
cos( );
sin( );
s m
s m
u U t
u U t
       (19)               
1 1 12
1 1 12
( ) ;
( ) ;
s s r
s s r
L M i M i
L M i M i
      (20) 
 
2 12
2 12
3
;
2
3
.
2
r r s
r r s
L i M i
L i M i
                                      (21) 
 
При этом величины реальных токов в обмотках электродвигателя опре-
деляются по формулам обратных преобразований и имеют вид: 
 
;
1 3
;
2 2
1 3
;
2 2
А s
В s s
С s s
i i
i i i
i i i
          (22)                         
cos sin ;
cos sin .
d r r
q r r
i i i
i i i
        (23) 
 
С учетом (22) и (23) выражения для потерь энергии (15) перепишем 
следующим образом: 
 
2 2
1
0
2 2
2
0
3
;
2
.
t
s s s
t
r r r
W r i i dt
W r i i dt
                                      (24) 
2  
 3 
2  
 3 
 30 
Далее, заменив токи роторных обмоток в (16)–(18), (20), (21) и (24) их 
приведенными величинами подобно [6] и введя в уравнения параметры  
Т-образной схемы замещения асинхронного двигателя, получим: 
 
1 э
1
2 p
2 p
2
;
3
;
0 ;
0 ;
s
s s
s
s s
r
r r
r
r r
d
u r i u
dt
d
u r i
dt
d
r i
dt
d
r i
dt
                                   (25) 
 
o
3
;
2
m
r s s r
x
M p i i i i                                    (26) 
 
2 2
1
0
2 2
2
0
3
;
2
,
t
s s s
t
r r r
W r i i dt
W r i i dt
                                      (27) 
где 
1
o
1
o
1
o
1
o
;
;
;
,
s s s m r
s s s m r
r r r m s
r r r m s
x i x i
x i x i
x i x i
x i x i
                                    (28) 
 
ms xxx 1  – полное индуктивное сопротивление обмотки статора; 
mr xxx 2  – полное индуктивное сопротивление приведенной обмотки 
ротора; 1x  и 2x  – индуктивные сопротивления рассеяния статорной и при-
веденной роторной обмоток; mx  – индуктивное сопротивление взаимоин-
дукции. 
В результате преобразований получены системы уравнений (25), (26)  
и (28) с постоянными коэффициентами, описывающие совместно с уравне-
нием (9) электромеханические переходные процессы в идеализированных 
асинхронных двигателях с тормозными устройствами. Отличие этой си-
стемы от известных [1, 6] заключается в наличии дополнительного слагае-
мого э
2
3
u  в уравнении равновесия напряжений для эквивалентной обмотки 
статора по оси  и дополнительных слагаемых Мт1tтр и Мм( р) в уравне-
нии моментов. Число уравнений в системе (десять), на первый взгляд, 
меньше числа неизвестных (тринадцать). В действительности же новые 
неизвестные uэ, Мт и Мм( р) могут быть выражены через токи (потокосцеп-
ления) и параметры, входящие в эти уравнения. 
В частном случае, когда uэ = 0, системы уравнений (9), (25), (26) и (28) 
позволяют исследовать переходные процессы в тормозных электродвига-
телях с симметричными схемами управления. 
 31 
При uэ = 0; Мт = 0 и Мм( р) = 0 уравнения (9), (25), (26) и (28) совпадают 
с уже известными уравнениями электромеханического преобразования 
энергии в асинхронных двигателях общепромышленного исполнения [1, 6]. 
Последнее обстоятельство подтверждает достоверность преобразований и 
выводов, проведенных выше. 
Из ряда факторов, оказывающих наибольшее влияние на изменение па-
раметров АД в переходных режимах, следует отметить насыщение магнит-
ной цепи. При этом различают насыщение по пути основного магнитного 
потока и по пути потоков рассеяния. В зависимости от величины основно-
го магнитного потока, а следовательно, и индукции изменяется магнитная 
проводимость по пути основного магнитного потока. Это проявляется  
в основном как изменение сопротивления взаимоиндукции обмоток стато-
ра и ротора .mx  Влияние величины основного магнитного потока на про-
водимость рассеяния незначительно, и им пренебрегают [1]. Величина ос-
новного магнитного потока связана с ЭДС воздушного зазора, т. е. зависит 
от напряжения питания асинхронного двигателя. 
Насыщение магнитной цепи по пути потоков рассеяния зависит от ве-
личин токов в обмотках, с увеличением которых, например при пуске 
асинхронного двигателя, сопротивление рассеяния уменьшается, что обу-
словлено увеличением потоков рассеяния вокруг пазов. Однако для широ-
кого ряда общепромышленных двигателей малой и средней мощности экс-
периментальные исследования показали, что уравнения (9), (25), (26) и (28) 
для идеализированной машины справедливы и для реальной насыщенной 
асинхронной машины [1]. Отсюда следует, что изменение взаимоиндук- 
ции mx  при несимметрии одной из фаз статора является незначительным 
для упомянутых машин. 
 
В Ы В О Д 
 
Из рассмотренного следует, что приведенная система уравнений для 
АД с ВКТУ является адекватной и позволяет математически описывать 
переходные процессы в различных АД с ВКТУ на базе электромеханиче-
ского тормоза и электромагнитной муфты скольжения. 
 
Л И Т Е Р А Т У Р А 
 
1. С и п а й л о в, Г. А.  Математическое моделирование электрических машин / А. В. Си-
пайлов, А. В. Лоос. – М.: Высш. шк., 1980. – 176 с. 
2. С о л е н к о в, В. В.  Асинхронный электродвигатель со встроенным комбинирован-
ным тормозным устройством на базе электромеханического тормоза и электромагнитной 
муфты / В. В. Соленков, В. В. Брель // Энергетика… (Изв. высш. учеб. заведений и энерг. 
объединений СНГ). – 2011. – № 6. – С. 20–26. 
3. С о л е н к о в, В. В.  Бесконтактные схемы форсировки в тормозных устройствах 
асинхронных двигателей / В. В. Соленков, В. В. Брель // Энергетика… (Изв. высш. учеб. 
заведений и энерг. объединений СНГ). – 2009. – № 4. – С. 31–36. 
4. К о н о н е н к о, Е. В.  Замена короткозамкнутой обмотки ротора асинхронного дви-
гателя эквивалентной двухфазной / Е. В. Кононенко // Известия Томского политехнического 
института. – 1974. – Т. 200. – С. 3–5. 
5. А л е к с а н д р о в, М. П.  Тормозные устройства / М. П. Александров, А. Г. Лыся- 
ков. – М.: Машиностроение, 1985. – 312 с. 
6. К о н о н е н к о, Е. В.  Электрические машины: специальный курс / Е. В. Кононенко,  
Г. А. Сипайлов, К. А. Хорьков. – М.: Высш. шк., 1975. – 279 с. 
 
            Представлена кафедрой 
автоматизированного электропривода                                                       Поступила 01.07.2013