46 
УДК 532.526 
 
АНАЛИЗ УРАВНЕНИЙ ЛАМИНАРНОГО  
ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 
 
Докт. техн. наук, проф. ЕСЬМАН Р. И. 
 
Белорусский национальный технический университет 
 
При транспортировании жидких энергоносителей в каналах и трубопрово-
дах значительная роль отводится структуре пограничного слоя, влияющего на 
интенсивность процессов тепломассообмена. Как известно, при обтекании тел 
с достаточно большими числами Рейнольдса влияние вязкости на характер 
течения проявляется только в очень тонком слое, на- 
ходящемся в непосредственной близости от твердых стенок. В этом тон- 
ком слое скорость течения вырастает от нуля на стенке до своего значе- 
ния во внешнем потоке, в котором течение можно рассматривать в рам- 
ках идеальной жидкости. Указанный тонкий слой называют пограничным. 
 
Рис. 1. Схема пограничного слоя на плоской пластине,  
обтекаемой в продольном направлении 
 
Распределение скоростей в пограничном слое при обтекании пластины 
безграничным потоком показано на рис. 1. Пограничный слой зарождается у 
передней кромки обтекаемого тела. При удалении от передней кромки тол-
щина пограничного слоя, которую принято обозначать через δ, постепенно 
растет, так как количество заторможенной жидкости увеличивается по мере 
удаления от передней кромки. Толщину пограничного слоя δ можно оценить 
из сопоставления сил инерции и сил вязкости, которые  
в пограничном слое имеют одинаковый порядок. Пусть х – длина, отсчитыва-
емая вдоль пластины, тогда градиент скорости xu ∂∂  пропорционален ,U х  
где U – скорость внешнего течения. Сила инерции, отнесенная к единице объ-
ема, определяется значением ,u u хρ ∂ ∂  следовательно, величина ее имеет по-
рядок 2 .V хρ  Удельная сила трения определяется значением ,у∂τ ∂  а для ла-
минарного течения – величиной 2 2,u уµ∂ ∂  где у – нормальная к обтекаемой 
поверхности координата. Поскольку на толщине  
пограничного слоя δ происходит изменение скорости от 0 до U, производная 
u у∂ ∂  имеет величину порядка ,δU  а 2 2 2.u y Uµ∂ ∂ ≈ µ δ  Приравнивая полу-
ченные оценки для сил, получим соотношение 
δ 
х 
U0 U0 
 47 
,
2
2 x
UU
ρ≈
δ
µ                                                 (1) 
 
из которого следует оценка толщины пограничного слоя 
 
.
х х
U U
µ ν
δ ≈ =
ρ
                                              (2) 
 
Толщина пограничного слоя уменьшается с ростом скорости вешнего по-
тока и снижением его вязкости. Из (1) также следует, что для маловязких 
жидкостей, таких как воздух, вода, .хδ <<  В зависимости от характера обте-
кания пограничный слой бывает ламинарный и турбулентный, сжимаемый и 
несжимаемый. 
При выводе уравнения пограничного слоя ограничимся рассмотрением 
плоского двумерного течения около твердого тела (рис. 2). 
 
 
 
Рис. 2. Пограничный слой на криволинейной поверхности:  
1 – 0;
p∂
<
∂ϕ
 2 – 0;p∂ =
∂ϕ
 3 – 0
p∂
>
∂ϕ
 
 
Введем систему координат с осью х, направленной по течению вдоль по-
верхности тела, и осью у, перпендикулярной к оси х. Пусть имеет место лами-
нарный стационарный несжимаемый пограничный слой. 
Упростим уравнения Навье-Стокса с учетом структуры пограничного слоя 
[1, 2]. Прежде всего выпишем уравнение неразрывности и оценим порядок 
отдельных его членов 
0.
u
x у
∂ ∂υ
+ =
∂ ∂
                                                (3) 
 
Обозначим через L характерный линейный размер тела. Тогда u х∂ ∂ ≈ 
,U L≈  и, поскольку порядок величин u х∂ ∂  и v у∂ ∂  одинаковой, а ,у ≈ δ  
отсюда следует, что нормальная к поверхности скорость имеет порядок 
.v U
L
δ
≈  В силу малой толщины пограничного слоя можно считать, что дав-
ление по толщине слоя не меняется 0
р
у
 ∂
= ∂ 
 и распределение давления вдоль 
поверхности тела определяется характером обтекания тела внешним потоком 
(при отсутствии отрыва пограничного слоя от поверхности). Рассмотрим 
уравнение количества движения в проекции на ось х 
 
2 2
2 2
1
.
u u р u u
u v v
х у х х у
 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ = − + + 
∂ ∂ ρ ∂ ∂ ∂ 
                             (4) 
 
δ 
ϕ 
1 2 
3 
 48 
С учетом оценок величин скоростей u и v в пограничном слое можно оце-
нить порядок отдельных членов в данном уравнении: 
 
;
2
L
U
x
u
u ≈
∂
∂
  
2
;
u U U
v U
y L L
∂ δ
≈ ≈
∂ δ
 
 
;
22
2
L
U
x
u
≈
∂
∂
  .
22
2
δ
≈
∂
∂ U
y
u
 
 
Отсюда следует, что 2 2 2 2,u x u у∂ ∂ << ∂ ∂  а порядок остальных членов с 
учетом соотношения (1) одинаковый. 
Продольный градиент давления определяется из уравнения количества 
движения для внешнего идеального потока, которое вдоль линии тока, совпа-
дающей с внешней границей пограничного слоя, имеет вид 
 
1
.
U р
U
x х
∂ ∂
= −
∂ ρ ∂
 
 
С учетом сказанного уравнение количества движения (1) в пограничном 
слое преобразуется к виду 
2
2
.
u u U u
u v U v
х у х y
∂ ∂ ∂ ∂
+ = +
∂ ∂ ∂ ∂
                                    (5) 
 
Уравнения (2)–(5) являются уравнениями стационарного, несжимаемого, 
ламинарного пограничного слоя, граничными условиями для которых явля-
ются: 
и = 0; v = 0 при у = 0; и = U(x) при у = δ(x).                      (6) 
 
Запишем уравнение энергии применительно к движению жидкости в по-
граничном слое при отсутствии источников теплоты. Для этого оценим поря-
док отдельных членов дифференциального уравнения теплопроводности, ко-
торое в случаях плоского стационарного течения с учетом структуры погра-
ничного слоя примет вид 
 
Ф,
T T T
с u v
x у х у
   ∂ ∂ ∂ ∂
ρ + = λ +   ∂ ∂ ∂ ∂   
 
 
2 22
Ф 2 .
u v u v
x y y x
     ∂ ∂ ∂ ∂   = µ + + +     ∂ ∂ ∂ ∂        
                         (7) 
 
Нетрудно убедиться, что уравнение энергии в несжимаемом пограничном 
слое упрощается к виду 
 
2
.
T T T u
с u v
x y y у y
     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
ρ + = λ + µ     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     
                          (8) 
 
Граничные условия для уравнения (8) ставятся на поверхности тела  
и на бесконечности 
 
Т Тω=  при 0у =  и 0Т Т=  при т,у = δ  
 49 
где ( )Т хω  и T0 – температуры обтекаемой поверхности и внешнего потока; δт 
– толщина теплового пограничного слоя. Величина δт несколько отличается от 
толщины динамического пограничного слоя δ, и соотношение между ними 
определяется числом Прандтля рРr c .= µ λ  
Уравнение (7) определяет теплообмен твердого тела с внешним потоком. 
Поскольку температура поверхности тела Тω обычно неизвестна, необходимо 
рассматривать сопряженную задачу теплообмена, которая сводится к реше-
нию уравнения (7) совместно с уравнением теплопроводности в твердом теле 
при сопряженных граничных условиях на поверхности тела. 
Методами теории подобия рассмотрим теплообмен на границе твердое те-
ло – жидкость при граничных условиях третьего рода. В безразмерных пере-
менных эти условия перепишутся в виде: 
 
Nu;f
f
L
n
∂Θ α
= =
∂ λ
  ;ff
f
T T
T T
∞
ω ∞
−
Θ =
−
 
 
0
1 Bi 1 ,f f
T TL
n T T
∞ ∞ω
ω ω
ω
      ∂Θ α
= Θ + − = Θ + −      ∂ λ         
  ,
0
0
T
TT −
=Θω  
 
где Т0 – начальная температура твердого тела. 
Безразмерные комплексы 
f
L
λ
α
=Nu  и Вi
L
ω
α
=
λ
 называются соответственно 
числами Нуссельта и Био. Пользуясь числом Нуссельта, тепловой поток на 
границе жидкость – твердое тело можно представить в виде 
 
( )Nu .f
f
Т
q T Т
n L ω ∞
∂ λ = − λ = − ∂ 
                                (9) 
 
Число Нуссельта фактически представляет собой безразмерный коэффи-
циент теплоотдачи. Число Био характеризует относительную интенсивность 
нестационарного теплообмена (критерий краевого подобия). 
Поскольку данные критерии Re, Pr, Gr определяют динамические и тепло-
вые свойства потока, очевидно, существуют функциональные зависимости, 
определяющие поля скорости, температуры, а также числа Нуссельта. По-
следнюю зависимость можно записать в виде 
 
( )срNu Re, Pr, Gr ,f=  
 
где срNu  – средний по граничной поверхности коэффициент теплоотдачи. 
Зависимость теплоотдачи от числа Грасгофа уже при умеренных скоростях 
движения потока становится пренебрежимо малой, так как подъемные силы, 
обусловленные разностью температур, становятся малыми в сравнении с си-
лами инерции и трения. Следовательно, для такого рода течений, называемых 
внутренними конвективными течениями: 
 
( )срNu Re, Pr .f=                                           (10) 
 50 
Если движение жидкости обусловлено перепадом температуры, например 
между двумя стенками, нагретыми до разной температуры, то такое течение 
называется свободным и для него уравнение подобия имеет вид 
 
( )срNu Gr, Pr .f=                                            (11) 
 
В Ы В О Д Ы 
 
Выполнен анализ структурного течения жидкостей в ламинарном погра-
ничном слое. Предложена методика решения уравнений пограничного слоя, 
включающих уравнение количества движения, уравнение энергии, уравнения 
стационарного, несжимаемого, ламинарного пограничного слоя. 
Сущность метода состоит в разделении потока жидкости на две области: по-
граничный слой и внешний поток. Принимая ряд допущений, можно упростить 
уравнение движения Навье – Стокса и уравнение энергии. Полученные после 
упрощения уравнения представляют собой уравнение динами- 
ческого пограничного слоя и уравнение энергии теплового пограничного слоя 
[3]. Для решения этих уравнений используются численные методы. 
 
Л И Т Е Р А Т У Р А 
 
1. Е м ц е в, Б. Т. Техническая гидромеханика / Б. Т. Емцев. – М.: Машиностроение, 1987. – 
440 с. 
2. К у т а т е л а д з е, С. С. Основы теории теплообмена / С. С. Кутателадзе. – Новорос- 
сийск: Наука, Сибирское отд-е, 1986. – 432 с. 
3. Е с ь м а н, Р. И. Научные основы организации процессов горения комбинированного 
многофазного органического топлива в турбулентных потоках камер сгорания сложной геомет-
рии / Р. И. Есьман, Ю. П. Ярмольчик // Сборник научных докладов VI Международного сове-
щания по проблемам энергоаккумулирования и экологии в машиностроении, энергетике и на 
транспорте. – М.: Российская академия наук, ИМАШ РАН, 2009. – С. 226–236. 
 
Представлена кафедрой ПТЭ и Т                                                                Поступила 26.10.2011