63 
 
 
 
 
УДК 62-503 
 
ОПТИМИЗАЦИЯ ТЕХНОЛОГИИ РАБОТЫ КАМЕРНОЙ ПЕЧИ 
 
Докт. техн. наук, проф. КОВАЛЕВСКИЙ В. Б., инж. РАДЖУХ М. 
 
Белорусский национальный технический университет 
 
При функционировании нагревательных устройств возникает задача 
выбора наивыгоднейших условий их работы [1]. Применительно к камер-
ным печам решены задачи: минимизации теплоты, использованной на 
нагрев [2]; минимизации величины окалины [3, 4]. 
Предполагается, что в печи нагреваются «тонкие» в теплотехническом 
смысле тела и двусторонние ограничения на температуру дымовых газов 
отсутствуют. Однако важным для практики является учет двусторонних 
ограничений на температуру дымовых газов. Дальнейшее изложение и по-
священо решению такого рода проблемы. 
Постановка задачи. Рассмотрим следующую задачу оптимизации: 
 
( , , );
dx f x u t
dt
=                                                (1) 
 
 64 
1( (0)) 0;g x =   2 ( ( )) 0;g x T =                                       (2) 
 
0
( , , ) min.
T
u U
F x u t dt
∈
→∫                                           (3) 
 64 
Здесь Т – фиксированное число; f : Rn × Rm × [0, T] → Rn; : ,iknig R R→   
i = 1, 2; F : Rn × Rm × [0, T] → R1 – функции непрерывные вместе с частны-
ми производными ;
f
x
∂
∂
 ;F
x
∂
∂
 1 ,g
x
∂
∂
 i = 1, 2. Допустимыми управлениями яв-
ляются кусочно-непрерывные функции со значениями в компактном мно-
жестве U ∈ Rm. 
Рассмотрим систему (1) с критерием качества (3), кусочно-непрерывное 
управление u0(t) ∈ U и соответствующую ему траекторию х0(t) при t ≥ 0, 
которые удовлетворяют условиям: 
 
а) 0 0 0min ( ( ), , ) ( ( ), ( ), );
u U
F x t u t F x t u t t
∈
=                             (4) 
 
б) для любого допустимого процесса х(t), u(t) задачи (1)–(3), любых t1, 
t2, 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ Т: 
2 2
1 1
0 0( ( ), ( ), ) ( ( ), ( ), ) .
t t
t t
F x t u t t dt F x t u t t dt≤∫ ∫                            (5) 
 
Отметим, что для х0(t) равенства (2) могут и не выполняться. 
Определение [5]. Задачу непрерывной оптимизации 
 
( , , ),
dx f x u t
dt
=   1( (0)) 0,g x =   
0
1 1( ) ( );x T x T=                        (6) 
 
1
0 0
0
( , , ) ( ( ), ( ), min,
T
u U
F x u t F x t u t t dt
∈
 − → ∫                            (7) 
 
где Т1 не фиксировано, назовем задачей 1. Аналогично, задача вида 
 
( , , ),
dx f x u t
dt
=   2 ( ( )) 0,g x T =   
0
2 2( ) ( );x T x T=                      (8) 
 
2
0 0( , , ) ( ( ), ( ), min
T
u U
T
F x u t F x t u t t dt
∈
 − → ∫                            (9) 
 
называется задачей 2. 
Пусть 0 ≤ Т1 ≤ Т2 ≤ Т – произвольные моменты времени х1(t), х2(t) – оп- 
тимальные решения задач 1 и 2, u1(t), u2(t), ψ1(t), ψ2(t) – соответствующие  
им управления и сопряженные функции. Определим функции переменной  
ψ ∈ Rn: 
0 0 0
0 0 0
( ) max[ ( ( ( ), , ) ( ( ), ( ), ))
( ( ), ( ), ) ( ( ), , )];
i i i i i iu U
i i i i i
G f x T u T f x T u T T
F x T u T T F x T u T
∈
ψ = ψ − +
+ −
 
 
0 0
0 0
( ) max[ ( ( ( ), , ) ( ( ), ( ), ))
( ( ), ( ), ) ( ( ), , )], 1,2.
i
i i i i i iu U
i
i i i i i
P f x T u T f x T u T T
F x T u T T F x T u T i
∈
ψ = ψ − +
+ − =
 
 
Т е о р е м а.  Пусть выполнены следующие условия: 
 65 
(I) x1 : [0, Т1] → Rn, x2 : [Т2, Т] → Rn – регулярные [5] экстремали соот-
ветственно первой и второй вспомогательных задач 0 ≤ Т1 ≤ Т2 ≤ Т; 
(II) уравнения G1(ψ) = P1(ψ) = 0, G2(ψ) = P2(ψ) = 0 имеют единствен-
ные корни р1 и р2 соответственно; 
(III) х0(t) – регулярная экстремаль для задачи: 
 
( , , );
dx f x u t
dt
=   01 1( ) ( );x T x T=   
0
2 2( ) ( );x T x T=  
2
1
( , , ) min;
T
u U
T
F x u t dt
∈
→∫  
 
(IV) матрицы dg1/dx, dg2/dx имеют максимальные ранги k1 и k2; 
(V) существуют производные x0(Ti), i = 1, 2. 
Тогда траектория 
1
1
0
1 2
2
2
( ), 0 ;
( ) ( ), ;
( ),
x t t T
x t x t T t T
x t T t T
 ≤ ≤
= < <
 < <
                                     (10) 
 
является регулярной экстремалью задачи (1)–(3). Доказательство теоремы 
приведено в Приложении. 
Пример. Пусть динамика процесса нагрева «термически» тонкого тела 
в камерной печи посредством радиации и конвекции описывается урав- 
нением 
4 4( ( ) ( )),
dx k u x u x
dt
= α − + σ −                                  (11) 
 
где k, α, σ – положительные постоянные; x = x(t) – температура металла  
в момент времени t; и = и(t) – температура дымовых газов (печи). Заданы 
следующие граничные условия: 
x(0) = x0;  x(Т) = xТ,                                         (12) 
 
где х0, хТ – начальная и конечная температуры металла соответственно; Т – 
фиксированное время окончания процесса нагрева. Критерий качества 
имеет вид 
/
0
( ,0, ) .
T
xsI x T l dt
x
−β= ∫                                         (13) 
 
Здесь s, β – положительные постоянные. Отметим, что величина I опре-
деляет величину окалины, образовавшуюся за время Т [4]. 
Из условия достижимости температуры хт и других физических огра-
ничений полагаем, что: 
 
0 < х0 < A1 < хТ < A2 < β;  Т > Тmin, 
 
где A1, A2 – минимальное и максимальное значения температуры дымовых 
газов; Тmin – минимальное время нагрева металла от температуры х0 до хТ. 
Задача заключается в выборе такого режима изменения температуры 
дымовых газов во времени u(t) (0 ≤ t ≤ T), в виде кусочно-непрерывной 
 66 
функции, который на решениях уравнения (11) с граничными условиями 
(12) удовлетворяет ограничению 
 
А1 ≤ и(t) ≤ А2                                             (14) 
 
и доставляет минимум критерию качества (13). 
Определим траекторию х0(t), удовлетворяющую условиям (4), (5). Для 
этого оценим производную подынтегральной функции функционала (13) 
/( ) .x
sF x l
x
−β=  Имеем 
/
2( ) 1 0,
xsF x l
xx
−β β ′ = − > 
 
  х ∈ [х0, А2]. 
 
Поэтому при х1 ≥ х2 ≥ х0 имеем F(х1) ≥ F(х2). 
Обозначим через х0(t) траекторию, являющуюся решением уравнения 
(11) при u(t) ≡ А1 с начальным условием х(0) = х0. Для любого допустимого 
процесса задачи (11)–(14) 
 
х(t),  и(t) : х(t) ≥ х0(t),  t ∈ [0, Т], 
 
поэтому F(x(t)) ≥ F(x0(t)),  t ∈ [0, Т], 
 
2 2
1 1
0( ( ) ( ( ) ,
t t
t t
F x t dt F x t dt≥∫ ∫   0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ T. 
Таким образом, условия (4), (5) для построенной траектории x0(t) вы-
полнены. 
Задача 1 (6), (7) вырождается, и Т1 = 0. Для нахождения решения задачи 
2 (8), (9) определим максимальный момент времени Т2, для которого гра-
ничная задача 
 
4 4
2 2( ( ) ( ));
dx k A x A x
dt
= α − + σ −   Т2 < t < Т;  02 2( ) ( );x T x T=   x(T) = хТ 
 
имеет решение х2(t). Покажем теперь, что процесс х2(t), и2(t) = А2 и время 
Т2 являются оптимальным решением задачи 2. 
Предположим противное. Пусть имеется лучшее по функционалу ре-
шение задачи 2 у(t) на отрезке [Т2, Т]. Тогда в силу выбора Т2 имеем:  
у(t) ≥ х2(t), t ∈ [Т2, Т]. Откуда получим противоречивое неравенство I(y(t),  
Т2, Т) ≥ I(х2(t), Т2, Т). Так как значение подынтегральной функции функци-
онала для задачи 2 неотрицательно, то Т2 – наилучшее время. Отме- 
тим также, что х2(t) есть оптимальное решение задачи со свободным ле- 
вым концом траектории (11), x(Т) = хТ, x(Т2) не задано, 
1 2
2( , , ) min.A u A
I x T T
≤ ≤
→  
Из условия II теоремы имеем: 
1
2
( ), 0;
( )
0, 0;
G
β ψ ψ >
ψ =  ψ ≤
 
 
2
1
0, 0;
( )
( ), 0,
P
ψ ≥
ψ = β ψ ψ <
 
 67 
где β1(ψ) > 0 при ψ > 0, β2(ψ) > 0 при ψ < 0 – некоторые линейные функ-
ции параметра ψ. Откуда р2 = 0 – единственный корень уравнения G2(ψ) = 
P2(ψ) = 0. 
Легко проверить выполнение остальных условий теоремы. Таким обра-
зом, траектория (10) 
0
2
2
2
( ), 0 ;
( )
( ),
x t t T
x t
x t T t T
 ≤ ≤= 
≤ ≤
 
 
является регулярной экстремалью задачи (11)–(13). 
Так как х2(t), t ∈ [Т2, Т], – оптимальное решение соответствующей зада-
чи со свободным левым концом траектории, а х0(t) удовлетворяет условиям 
(4), (5), то х(t) – оптимальное решение задачи. 
Данная методика была использована для минимизации окалины при 
нагреве заготовок в печи на Жлобинском металлургическом заводе. 
По результатам идентификации моделей получены следующие значе-
ния коэффициентов: s = 14105; β = 3000; α = 30; σ = 3 ⋅ 10–8. При времени 
нагрева 160 мин и заводской технологии заготовка нагревалась от  
30 до 1110 °С. Величина окалины к концу процесса нагрева равна  
1,3876 кг/м2. Для оптимального режима нагрева при А1 = 680 °С; А2 =  
= 1200 °С имеем величину окалины, равную 1,14615 кг/м2. 
Обсуждение результатов. Известно, что для ряда оптимизационных 
задач оптимальная траектория при увеличении времени стремится к траек-
тории, называемой магистралью. Например, в [5, 6, 8] магистраль опреде-
ляется в результате решения специально  построенной задачи математиче-
ского программирования, что требует в свою очередь выполнения свойства 
управляемости на магистрали. В статье предложен новый способ нахожде-
ния магистрали, обобщающий известные подходы. Дана теорема, позволя-
ющая производить декомпозицию исходной задачи на три подзадачи: зада-
чу об оптимальном выходе на магистраль, спуска с нее и определения ма-
гистрали. 
На основе предложенной методики доказано, что оптимальным по мини-
муму величины окалины является двухступенчатый график нагрева металла. 
 
П Р И Л О Ж Е Н И Е 
 
Доказательство теоремы. Не ограничивая общности, считаем, что  
Т1 > 0; Т2 < Т. В соответствии с принципом максимума [7] для вспомога-
тельных задач существуют функции: ψ1 : [0, Т1] → Rn; ψ2 : [Т2, Т] → Rn, век-
торы mi ∈ Rk, i = 1, 2, такие, что выполнены следующие соотношения: 
а) функции ψ1(t) (i = 1, 2) являются решениями сопряженного диффе-
ренциального уравнения 
1
[ ( ), ( ), ],i ii
Hd x t u t t
dt x
∂ψ
=
∂
 
 
где Hi(x, u, t) = F(x0(t), u0(t), t) – F(x, u, t) + ψi(t)f(x, u, t); 
б) почти для всех t выполняется равенство 
 
 68 
max ( ( ), , ) ( ( ), ( ), );i i ii iu U
H x t u t H x t u t t
∈
=  
в) функции ψ1(t) удовлетворяют условиям трансверсальности 
 
1 1
1(0) ,
gm
x
∂
ψ =
∂
  2 22( ) ;
gT m
x
∂
ψ = −
∂
 
 
г) выполнены условия стационарности по Т1, Т2 
 
0max ( ( ), , ) ( ) ( ).i ii i i i iu U
H x T u T T x T
∈
= ψ   
 
Рассмотрим условие г при i = 1. 
Вычислим G1(ψ1(T1)). Так как x1(t) – оптимальное решение задачи 1,  
имеем 
 
1 0 0
1 1 1 1 1 1 1( ( )) max ( ( ), , ) ( ) ( ( ), ( ) 0.
i i
iu U
G T H x T u T T f x T u T
∈
ψ = −ψ =  
 
С другой стороны: 
 
1 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1
1 1 1 1 1 1
( )( ( ( ), ( ), ) ( ( ), ( ), )
( ( ), ( ), ) ( ( ), ( ), ) 0.
T f x T u T T f x T u T T
F x T u T T F x T u T T
ψ − +
+ − =
 
 
Поэтому Р1(ψ1(T1)) ≥ 0. Далее, из условия максимума г следует выпол-
нение неравенства 
 
1 0 0 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 1 0 0
1 1 1 1 1 1 1
0 1 0
1 1 1 1 1
max ( ( ), , ) ( ( ), ( ), ) ( ( ), ( ), )
( ) ( ( ), ( ), ) ( ( ), ( ), )
( ( ), , ) ( ) ( ( ), , )
u U
H x T u T F x T u T T F x T u T T
T f x T u T T F x T u T T
F x T u T T f x T u T
∈
= − +
+ ψ ≥ −
− + ψ
 
 
и для любого u ∈ U 
 
1 0 0 1
1 1 1 1 1
0 1 0
1 1 1 1 1
( )( ( ( ), , ) ( ( ), ( ), )
( ( ), ( ), ) ( ( ), , ) 0.
T f x T u T f x T u T T
F x T u T T F x T u T
ψ − +
+ − ≤
 
 
Откуда получаем, что Р1(ψ1(T1)) = 0. Требование II теоремы приводит к 
соотношению ψ1(T1) = р1. Аналогично доказывается, что ψ2(T2) = р2. 
Рассмотрим теперь траекторию х(t) (10). Так как она допустима для за-
дачи (1)–(3), то и процесс х(t), и(t), где 
 
1
1
0
1 2
2
2
( ), 0 ;
( ) ( ), ;
( ), ,
u t t T
u t u t T t T
u t T t T
 ≤ ≤
= < <
 ≤ ≤
 
 
является допустимым для задачи (1)–(3). Поэтому из (5) заключаем, что  
х0(t) – оптимальное решение задачи 
 
 69 
( , , );
dx f x u t
dt
=  
0
1 1( ) ( ),x T x T=   
0
2 2( ) ( );x T x T=  
 
2
1
( , , ) min.
T
u U
T
F x u t dt
∈
→∫  
 
По условию III х0(t) – регулярная экстремаль. Пусть ψ0(t) – соответ-
ствующая ей сопряженная функция. Так как производные 0 1( ),x T  
0
2( )x T  
существуют (V), в момент времени Т1, Т2 справедливо условие максимума 
 
0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1
0 0 0
1 1 1 1 1
( ( ), ( ), ) ( )( ( ( ), ( ), )
( ( ), , ) ( )( ( ( ), , )
F x T u T T T f x T u T T
F x T u T T f x T u T
− + ψ ≥
≥ − + ψ
 
 
для любого u ∈ U; i = 1, 2. Поэтому G1(ψ0(T1)) = 0, i = 1, 2, откуда получаем: 
 
0 1 1
1 1 1 1 1 1( ( )) ( ( )) ( ( )) 0;G T G T P Tψ = ψ = ψ =  
 
0 2 2
2 2 2 2 2 2( ( )) ( ( )) ( ( )) 0.G T G T P Tψ = ψ = ψ =  
 
Из условия II теоремы следуют соотношения: 
 
0 1 1
1 1( ) ( ) ;T T pψ = ψ =   
0 2 2
2 2( ) ( ) .T T pψ = ψ =  
 
Построим для задачи (1)–(3) сопряженную и управляющую функции 
следующим образом: 
 
1
1
0
1 2
2
2
( ), 0 ;
( ) ( ), ;
( ), ;
t t T
t t T t T
t T t T
ψ ≤ ≤
ψ = ψ < <
ψ ≤ ≤
  
1
1
0
1 2
2
2
( ), 0 ;
( ) ( ), ;
( ), .
u t t T
u t u t T t T
u t T t T
 ≤ ≤
= < <
 ≤ ≤
 
 
Тройка функций х(t), и(t), ψ(t) и векторы т1, т2 удовлетворяют услови-
ям принципа максимума для задачи (1)–(3). В самом деле, соотношения 
пункта в являются условиями трансверсальности для задачи (1)–(3). Функ-
ция ψ(t) является непрерывной. Сопряженное уравнение для задачи (1)–(3) 
выполняется на промежутках [0, Т1], [Т2, Т] с функцией Гамильтона 
 
( , , ) ( , , ) ( ) ( , , )H x u t F x u t t f x u t= − + ψ  
 
в силу пункта а. На промежутке [Т1, Т2] оно справедливо, так как х0(t) – 
регулярная экстремаль по условию III теоремы. По построению выполнено 
условие максимума функции Гамильтона 
 
max ( ( ), , ) ( ( ), ( ), ).
u U
H x t u t H x t u t t
∈
=  
 
 70 
Так как х(t), и(t) – допустимый процесс для задачи (1)–(3), траектория 
(10) является регулярной экстремалью. Теорема доказана. 
Л И Т Е Р А Т У Р А 
 
1. Б у т к о в с к и й, А. Г. Управление нагревом металла / А. Г. Бутковский, С. А. Ма-
лый, Ю. Н. Андреев. – М.: Металлургия, 1981. 
2. Б у т к о в с к и й, А. Г. Применение принципа максимума для оптимизации темпера-
турного режима печей / А. Г. Бутковский, Э. М. Гольдфарб, Э. С. Гескин // Черная метал-
лургия. Изв. вузов. – 1967. – № 3. 
3. Т е п л о о б м е н  и тепловые режимы в промышленных печах / Ю. И. Розенгарт  
[и др.]. – Киев: Вища шк., 1986. 
4. М а л ы й, С. А. Экономичный нагрев металла / С. А. Малый. – М.: Металлургия, 
1967. 
5. Г у с е в, Д. Е. Теорема о магистрали в задаче непрерывной оптимизации / Д. Е. Гу-
сев, В. А. Якубович // Вестник ЛГУ. – 1983. – № 1. 
6. П а н а с ю к, В. И. Оптимальное управление в технических системах / В. И. Панасюк,  
В. Б. Ковалевский, Э. Д. Политыко. – Минск: Наука и техника, 1990. 
7. Я к у б о в и ч, В. А. К абстрактной теории оптимального управления / В. А. Якубо-
вич // Сибирский матем. журн. – 1979. – Т. 20, № 4. 
8. Г у с е в, Д. Е. Магистральные свойства оптимальных траекторий в задаче непрерыв-
ной оптимизации / Д. Е. Гусев // Сибирский матем. журн. – 1985. – Т. 26, № 4. 
 
Представлена кафедрой ПОВТ и АС                                                          Поступила 09.09.2009 
 
 
 
 
 
 
 
УДК 614.715.621.311.22 
 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ЗОНЫ 
РЕГУЛИРУЕМОГО ХИМНЕДОЖОГА 
 
Канд. техн. наук, доц. НАЗАРОВ В. И., асп. МАЛАФЕЙ В. Г. 
 
Белорусский национальный технический университет 
 
Постоянный рост цен на энергоносители ставит перед учеными Респуб-
лики Беларусь задачи по повышению эффективности сжигания топлива  
в ТЭС. Так, около 90 % закупаемого газа в России идет на выработку теп-
ловой и электрической энергии. Не менее важна задача улучшения эколо-
гической обстановки на территории республики за счет снижения вредных 
выбросов от промышленных предприятий. Среди вредных выбросов теп-
ловых электростанций в окружающую среду одними из наиболее опасных 
веществ являются оксиды азота [1]. Поэтому для увеличения экологиче-
ской чистоты сжигания природного газа в первую очередь необходимо 
снижать эмиссию NOx. Решить поставленные задачи возможно при широ-
ком внедрении энергосберегающих и экологически чистых технологий, 
причем в первую очередь таких, которые при минимальных капитальных 
вложениях имеют относительно высокую эффективность. К ним относится 
технология сжигания топлива в котельных агрегатах при малых избытках