53 
УДК 664.012 
 
ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВАКУУМ-ВЫПАРНЫХ УСТАНОВОК 
ДЛЯ МОЛОЧНОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ 
 
Канд. техн. наук, доц. АЙРАПЕТЬЯНЦ Г. М., канд. техн. наук КОЖЕВНИКОВ М. М. 
 
Могилевский государственный университет продовольствия 
 
В молочной промышленности молоко консервируют, вырабатывая 
сгущенные молочные консервы и сухие молочные продукты. Основной 
технологической операцией при этом является сгущение молока методом 
выпаривания до определенного содержания сухих веществ. Выпаривание 
производится в выпарных аппаратах при разрежении, что позволяет вести 
процесс на пониженных температурах. При пониженной температуре ки-
пения продукта в условиях вакуума достигается значительно большая раз-
ность температур между греющим паром и кипящей жидкостью. Процесс 
сгущения при этом протекает более интенсивно, а съем пара с единицы 
поверхности нагрева намного выше по сравнению с атмосферным выпари-
ванием. 
Для автоматического регулирования температуры и глубины вакуума  
в вакуум-выпарных установках, используемых на предприятиях молочной 
промышленности, широкое распространение получили системы управле-
ния, разработанные производителями этих установок Wiegand, Alfa-Laval, 
Ebbot Laboratories и другие, а также Всероссийским научно-исследователь- 
ским институтом молочной промышленности (ГНУ ВНИМИ) [1−4]. Такие 
системы включают в себя локальные контуры регулирования температуры, 
вакуумметрического давления и концентрации сухих веществ в сгущенном 
молоке на выходе из установки [3]. В качестве устройств управления при-
меняются цифровые ПИД-регуляторы, параметры настройки которых 
определяются по упрощенным динамическим моделям выпарного аппарата  
и конденсатора [5−7]. 
Необходимо отметить, что основным недостатком такой типовой лине-
аризованной динамической модели является то, что она не учитывает воз-
можность изменения расхода и температуры продукта на входе в вакуум-
выпарной аппарат, а также изменение вакуумметрического давления. Это 
приводит к тому, что при колебаниях нагрузки выпарного аппарата для 
поддержания необходимой температуры кипения молока на заданном 
уровне необходимо корректировать параметры настройки автоматических 
регуляторов температуры и вакуума. Корректировка параметров осуществ-
ляется технологическим персоналом методом проб и ошибок. Такой под-
ход приводит к повышенным тепловым нагрузкам при форсировании теп-
ловых процессов и как следствие – к неэффективному использованию теп-
лоносителей [5, 8, 9]. 
В данной работе однокорпусная вакуум-выпарная установка рассмот-
рена как многомерный объект автоматического управления и предложены 
новые модификации линеаризованных динамических моделей этой уста-
новки. В отличие от известных предложенные модели позволяют учесть 
колебания расхода и температуры продукта на входе в вакуум-выпарной 
 54 
аппарат, а также изменение вакуумметрического давления. Определены 
возмущающие воздействия на канал регулирования температуры и полу-
чены передаточные функции по этим воздействиям. Такие передаточные 
функции позволяют решить задачу синтеза комбинированных систем регу-
лирования температуры и вакуума, а также вычислить оптимальные 
настройки автоматических регуляторов [10, 11]. Применение таких систем  
в практике регулирования позволит повысить эффективность использова-
ния теплоносителей в вакуум-выпарной установке [8, 12–14]. 
 
Острый пар
Сгущенное 
молоко 
Соковый пар
Молоко
Вода
1
2
4
6
7
8
Конденсат
5
D1, i1 Dк, iк
Sм, с0, θм0
W, i
3
Scм, с, θ
Dж, tж
Воздух
Dв1 
Dж1, tж1
 
 
Рис. 1. Схема однокорпусной вакуум-выпарной установки 
 
Упрощенная схема однокорпусной вакуум-выпарной установки [15] 
приведена на рис. 1. Установка состоит из выпарного аппарата 1, в кото-
рый подается молоко с температурой не ниже 75−80 °С. Молоко поступает 
в широкую трубу греющей камеры 2, в пространство под нижней трубной 
решеткой, где моментально закипает и устремляется в кипятильные трубы. 
Парожидкостная смесь из кипятильных труб поступает в сборник над 
верхней трубной решеткой и направляется с большой скоростью по верх-
ней циркуляционной трубе 3 в пароотделитель (сепаратор) 4, приобретая 
вращательное движение. Благодаря возникающей при этом центробежной 
силе происходит разделение капелек жидкости и вторичного пара. Молоко 
по нижней циркуляционной трубе 5 возвращается в греющую камеру,  
а соковый (вторичный) пар отводится в конденсатор смешения 7. Часть 
вторичного пара через термокомпрессорный блок 6 используют в качестве 
греющего пара. Воздух и другие неконденсируемые газы удаляются из ва-
куум-выпарной установки пароэжекторным агрегатом 8. В выпарной уста-
новке протекают следующие основные процессы [16]: конденсация пара  
в греющей камере, передача теплоты от пара через поверхность нагрева  
и слои загрязнений к кипящему молоку, кипение молока, отделение паров 
чистого растворителя от жидкости и сепарация пара. 
Представим греющую камеру как совокупность следующих элементов: 
пара в камере, пленки конденсата на поверхности нагрева, неконденсиру-
8 
7 
 
1 
 
 
5 
4 
 55 
ющихся газов, конденсата, накапливающегося в греющей камере, металла 
корпуса и изоляция [16, 17]. Для построения модели греющей камеры при-
мем следующие допущения: объем пара в греющей камере равен объему 
этой камеры, скорости изменения температур пара и пленки конденсата 
равны, стенка греющей камеры и изоляция рассматриваются как сосредо-
точенные емкости ввиду их небольшой аккумулирующей способности,  
в переходном процессе скорости изменения температуры пара и средней 
температуры металла корпуса равны, теплоемкости металла и изоляции не 
зависят от температуры, температура изоляции ( ) 2оми θ+θ=θ , где θм − 
температура металла корпуса; θо − температура окружающей среды. С уче-
том этих допущений уравнения материального и теплового балансов гре-
ющей камеры могут быть записаны в следующем виде: 
 
( )п к к 1 к 1;p V V D D D′ρ + ρ = − −                                   (1) 
 
( ) ( ) ( )п п к к к к мт мт и и п 1 1 1 к к 10,5 ,p V u V c t c G с G pt D D i D i Q Q′ ′ρ + ρ + + = − − − −  (2) 
 
где p = d/dτ − оператор дифференцирования по времени; τ − время; V − 
объем греющей камеры; ρп − плотность греющего пара; Vк − объем пленки 
конденсата; ρк − плотность конденсата; D1 − расход греющего пара; Dк − 
расход конденсата; 1D′  − расход пара на оттяжку неконденсирующихся га-
зов; uп  − внутренняя энергия пара в греющей камере; ск − теплоемкость 
конденсата; tк − температура конденсата; смт − теплоемкость металла кор-
пуса греющей камеры; Gмт − масса металла корпуса греющей камеры; tп − 
температура пара в греющей камере; си− теплоемкость изоляции греющей 
камеры; Gи − масса изоляции греющей камеры; i1  − энтальпия греющего 
пара; iк − энтальпия конденсата; Q′ − поток теплоты в окружающую среду; 
Q1 − то же, передаваемый поверхности нагрева. Величина Q1 определяется 
в соответствии с уравнением теплопередачи 
 
( ) ( )1 1 п c 1 c c1 2 ,Q F t t′= − α + δ λ                                 (3) 
 
где 1F ′  − площадь поверхности нагрева со стороны конденсирующегося 
пара; α1 − коэффициент теплоотдачи при конденсации; δс − толщина стен-
ки поверхности нагрева; λс − теплопроводность стенки поверхности нагре-
ва; tc − температура поверхности нагрева. 
Рассматривая совместно выражения (1)−(3), получим следующее урав-
нение, описывающее динамику изменения температуры пара в греющей 
камере: 
( )1 п 2 п 3 c 4 1 1 5 ,a pt a t a t a D D a′= − + + − +                             (4) 
 
где  
( )( ) ( )1 п п п п к п п к к к к к п мт мт и и0,5 ;a V u t u i t V с t c t с G c G= ρ ∂ ∂ + − ∂ρ ∂ + ρ + ∂ ∂ + +  
4 1 к ;a i i= −  ( )( )2 3 1 1 п c c c1 , 2 ;a a F t t′= = α + δ λ  a5 = −Q′. 
 
Динамика изменения температуры поверхности нагрева tс может быть 
описана следующей формулой [16]: 
 56 
1 c 2 c 2 п 3 ,c pt c t a t с= − + + θ                                        (5) 
 
где с1 = смтG3, G3 − масса металла, охватывающего парожидкостное про-
странство; с2 = а2 + с3; ( ) ( )( )3 1 2 c c c и1 , θ, 2 ;c F t b R′′= α + δ λ + τ  θ − темпе-
ратура кипения молока; 1F ′′ − площадь поверхности нагрева со стороны ки-
пящего молока; α2 − коэффициент теплоотдачи при кипении; b − концен-
трация сухих веществ в молоке; Rи( τ ) − термическое сопротивление 
накипи; τ  − продолжительность работы выпарного аппарата после очист-
ки поверхности нагрева.  
Использование (5) предполагает выполнение следующих условий: тру-
бы испарителя имеют одинаковые геометрические размеры и выполнены 
из материала с одинаковыми теплофизическими свойствами, тепловой по-
ток вдоль оси трубы отсутствует, все трубы испарителя воспринимают 
одинаковые количества теплоты, поверхность нагрева рассматривается как 
сосредоточенная емкость [16]. 
Выполним линеаризацию уравнений (4), (5) и перейдем от абсолютных 
значений переменных состояния к их приращениям в безразмерной форме. 
Безразмерные приращения переменных состояния зададим путем деления 
отклонений этих переменных на их значения в равновесном состоянии  
и применим к ним преобразование Лапласа: ( )*п п п0 ;t L t t= ∆  ( )*с с с0 ;t L t t= ∆  
( )*1 1 10 ;D L D D= ∆  ( )*1 1 10 ;D L D D′ ′ ′= ∆  ( )* 0 ;Q L Q Q′ ′ ′= ∆  ( )* 0 ;Lθ = ∆θ θ  b* = 
( )0 ;L b b= ∆  ( )*и и и0R L R R= ∆  (здесь и далее символ L обозначает преобра-
зование Лапласа, ∆ – отклонение, а дополнительный индекс 0 имеют зна-
чения соответствующих переменных в равновесном состоянии).  
Тогда при нулевых начальных условиях линеаризованная модель дина-
мики греющей камеры может быть представлена в операторной форме: 
 
* * * * *
п 11 c 12 1 13 1 14( ) ( ) ( ) ( ) ;t W s t W s D W s D W s Q′ ′= + + +                    (6) 
 
* * * * *
c 21 п 22 23 24 и( ) ( ) ( ) ( ) ,t W s t W s W s b W s R= + θ + +                      (7) 
 
где ( ) 1ij ij iW s k T s= +  – передаточные функции греющей камеры по кана-
лам нанесения внешних воздействий; kij − коэффициенты передачи грею-
щей камеры; Ti – постоянные времени греющей камеры; i = 1, 2; j = 1:4;  
s − комплексная переменная.  
Коэффициенты передачи и постоянные времени определяются по сле-
дующим формулам: 
 
k11 = −l12tc0/l11tп0;  k12 = −l13D10/l11tп0;  k13 = −l14 10D′ /l11tп0; 
 
k14 = −l15 0Q′ /l11tп0;  T1 = −1/l11; 
 
3 c 4 1 1 5 2 п
11
п 1 0
( )
;
а t a D D a a tl
t а
′ + − + −∂
=  ∂  
  3 c 2 п12
c 1 0
;
а t a tl
t а
 −∂
=  ∂  
 
 57 
4 1
13
1 1 0
;
a Dl
D a
 ∂
=  ∂  
    4 114
1 1 0
;
a Dl
D a
′ −∂
=  ′∂  
    515
1 0
;
al
Q a
 ∂
=  ′∂  
 
 
k21 = −l22tп0/l21tc0;  k22 = −l23θ0/l21tc0;  k23 = −l24b0/l21tc0; 
 
k24 = −l25Rи0/l21tc0;  T2 = −1/l21; 
 
2 п 3 2 с
21
c 1 0
;
a t с с tl
t с
 + θ −∂
=  ∂  
 2 п 2 с22
п 1 0
;
a t с tl
t с
 −∂
=  ∂  
 3 2 с23
1 0
;
c с tl
с
 θ −∂
=  ∂θ  
 
 
3 2 с
24
1 0
;
с с tl
b с
 θ −∂
=  ∂  
    3 2 с25
и 1 0
с с tl
R с
 ∂ θ −
=  ∂  
, 
 
где символом 0 обозначена подстановка в формулы вектора (tп0, tс0, D10, 
10D′ , 0Q′ , θ0, b0, Rи0) после вычисления производных. 
Для построения математической модели парожидкостного простран-
ства примем следующие допущения: температура кипения молока в грею-
щей камере θ является сосредоточенным параметром и равна температуре 
сокового пара t, масса пара в парожидкостном пространстве значительно 
меньше массы молока (Gп << G), возмущения по расходу молока не пре-
вышают ±30 %, объем молока в аппарате V = 0V ′  + ηh, где 0V ′  − объем мо-
лока, ограниченный плоскостью, от которой отсчитывается уровень; η − 
площадь поперечного сечения аппарата; h − уровень молока в аппарате.  
Представим парожидкостное пространство как совокупность следую-
щих элементов [16, 17]: молока, пара под зеркалом испарения, сокового 
пара, металла корпуса и исходя из этого запишем уравнения материального 
и теплового балансов: 
 
( ) ( )( )п 0 п м см ;pV V V t pt S S Wρ −ρ + − ∂ρ ∂ = − −                    (8) 
 
( )( )0 п мт мт 2 м 0 м0 смθ ρ ,p V c V V u c G Q S c S c Wi Q′ ′′ρ + − + θ = + θ − θ − −      (9) 
 
где ρ − плотность молока в аппарате; V0 − объем парожидкостного про-
странства; Sм − расход молока на входе в выпарной аппарат; Sсм − то же 
сгущенного молока на выходе из выпарного аппарата; W − то же сокового 
пара; i − энтальпия сокового пара; с − теплоемкость молока в аппарате; u − 
внутренняя энергия сокового пара; мтG′ − масса металла, охватывающего 
парожидкостное пространство; с0 − теплоемкость молока на входе в аппа-
рат; θм0 − температура молока на входе в аппарат; Q′′ − суммарные потери 
теплоты в окружающую среду через корпус парожидкостного простран-
ства; Q2 − количественная характеристика теплоты от поверхности тепло-
обмена. Величина Q2 определяется из уравнения теплопередачи 
 
2 3 c( ).Q c t= − θ                                             (10) 
 58 
Рассматривая совместно (8)−(10), а также пренебрегая в первом при-
ближении изменением количества молока при фазовых переходах и изме-
нением его внутренней энергии при подводе и отводе массы, получим сле-
дующую систему уравнений, описывающую динамику изменения темпера-
туры молока и уровня в аппарате: 
 
1 2 3 c 3 4 ;d p d c t d W dθ = − θ + − +                               (11) 
 
1 м см ,e ph S S W= − −                                          (12) 
 
где ( ) ( )1 0 п 0 п мт мт ;d V c V V u t u V V t c G′= ρ + − ρ ∂ ∂ + − ∂ρ ∂ +  d2 = c3 + Sсмc;  
d3 = i; 4 м 0 м0 ;d S c Q′′= θ −  e1 = (ρ − ρп)η. 
Выполним линеаризацию уравнения (11) и перейдем от абсолютных 
значений переменных состояния к их приращениям в безразмерной форме. 
Тогда при нулевых начальных условиях получим: 
 
* * * * * * *
31 c 32 33 и 34 см 35 м 36 м0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;W s t W s b W s R W s S W s S W sθ = + + + + + θ  (13) 
 
* * * *
41 м 42 см 43( ) ( ) ( ) ,h W s S W s S W s W= − −                           (14) 
 
где 3 3 3( ) 1;i iW s k T s= +  4 4 4( )j jW s k T s=  – передаточные функции парожид-
костного пространства по каналам нанесения внешних воздействий (i = 1:6; 
j = 1:3); k3i, k4j − коэффициенты передачи парожидкостного пространства; 
T3, T4 – постоянные времени парожидкостного пространства.  
Коэффициенты передачи и постоянные времени определяются по сле-
дующим формулам: 
 
k31 = −l32tc0/l31θ0;  k32 = −l33b0/l31θ0;  k33 = −l34Rи0/l31θ0;  k34 = −l35Sсм0/l31θ0; 
 
k35 = −l36Sм0/l31θ0;  k36 = −l37θм00/l31θ0;  T3 = −1/l31;  k41 = 1;  k42 = Sсм0/Sм0;  
k43 = W0/Sм0;  T4 = e1h0/Sм0; 
 
3 c 3 4 2
31
1 0
;
c t d W d dl
d
 − + − θ∂
=  ∂θ  
  3 c 232
c 1 0
;
c t dl
t d
 − θ∂
=  ∂  
  
 
3 c 3 4 2
33
1 0
;
c t d W d dl
b d
 − + − θ∂
=  ∂  
  3 c 234
и 1 0
;
c t dl
R d
 − θ∂
=  ∂  
  
 
2
35
см 1 0
;
dl
S d
 − θ∂
=  ∂  
  436
м 1 0
;
dl
S d
 ∂
=  ∂  
  437
м0 1 0
,
dl
d
 ∂
=  ∂θ  
 
 
где символом 0 обозначена подстановка в формулы вектора (θ0, tс0, b0, 
Rи0, Sм0, θм00) после вычисления производных. 
Для построения математической модели, описывающей динамику из-
менения концентрации сухих веществ в молоке, примем следующие допу-
щения: плотность молока при колебаниях температуры и концентрации 
принимается постоянной, концентрация сухих веществ в молоке является 
 59 
сосредоточенным параметром и равна концентрации на выходе из аппара-
та, т. е. предполагается, что поступающее в аппарат молоко мгновенно пе-
ремешивается с остальной жидкостью, уносом жидкости с паром прене-
брегаем. С учетом этих допущений уравнение материального баланса су-
хих веществ может быть записано в следующем виде: 
 
( )0 м м смρη ρη ,
db dhG h b b S bS
dτ dτ
′ + + = −                            (15) 
 
где 0G′  − масса молока в объеме, ограниченном плоскостью, от которой  
отсчитывается уровень; bм − начальная концентрация сухих веществ в мо-
локе. 
Рассматривая совместно выражения (15), (12) и учитывая, что ρ >> ρп, 
получим следующее уравнение, описывающее динамику изменения кон-
центрации 
 ( )1 м м см ,
dbf b S b S W
dτ
= − −                                    (16) 
где ρη01 hGf +′= . 
Выполним линеаризацию уравнения (16) и перейдем от абсолютных 
значений переменных состояния к их приращениям в безразмерной форме. 
Тогда при нулевых начальных условиях линеаризованная модель динамики 
изменения концентрации сухих веществ может быть представлена в опера-
торной форме 
 
* * * * * *
51 м 52 м 53 54 см 55( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,b W s S W s b W s h W s S W s W= + + + +         (17) 
 
где 5 5 5( ) 1i iW s k T s= +  – передаточные функции парожидкостного про-
странства по каналам нанесения внешних воздействий (i = 1:5); k5i − коэф-
фициенты передачи; T5 – постоянная времени; ( )м0м*м bbLb ∆= . Коэффи-
циенты передачи и постоянная времени определяются по следующим фор-
мулам: 
 
k51 = −l42Sм0/l41b0;  k52 = −l43bм0/l41b0;  k53 = −l44h0/l41b0;  
 
k54 = −l45Sсм0/l41b0;  k55 = −l46W0/l41b0;  T5 = −1/l41; 
 
м м см
41
1 0
;
b S bS bWl
b f
 − +∂
=  ∂  
  м м42
м 1 0
;
b Sl
S f
 ∂
=  ∂  
  м м43
м 1 0
;
b Sl
b f
 ∂
=  ∂  
 
 
м м см
44
1 0
;
b S bS bWl
h f
 − +∂
=  ∂  
  см45
см 1 0
;
bW bSl
S f
 −∂
=  ∂  
 
 
см
46
1 0
.
bW bSl
W f
 −∂
=  ∂  
 
 
Для построения математической модели, описывающей динамику кана-
ла вакуумметрического давления, представим конденсатор смешения 7 
(рис. 1) совокупностью следующих элементов: паровоздушного простран-
ства, жидкости на полках и в струях, металла корпуса и полок [16, 17]. 
 60 
Примем следующие допущения: температуры пара, металла и давление 
являются сосредоточенными параметрами, пар в конденсаторе − сухой 
насыщенный, температура пара и температура неконденсирующихся газов 
равны, состав неконденсирующихся газов близок к составу воздуха, физи-
ческие параметры жидкости и металла не зависят от температуры и дав- 
ления, давление в установке равно сумме парциальных давлений пара и 
воздуха q = qп + qв, в конденсатор поступает соковый пар с расходом W. 
Обозначим остальные переменные состояния конденсатора смешения сле-
дующим образом: кt′′  − температура сокового пара в конденсаторе; tж − то 
же охлаждающей воды на входе в конденсатор; tж1 − то же воды на выходе 
из конденсатора; Dж − расход воды на входе в конденсатор; Dж1 − то же на 
выходе из конденсатора; Dв − то же на входе в конденсатор; Dв1 − то же на 
выходе из конденсатора; Gв − масса воздуха в конденсаторе; Gж − то же 
воды в конденсаторе, ε = Gв/Gж; Qп − потери теплоты в окружающую среду.  
Тогда с учетом принятых допущений динамику изменения давления q 
можно описать следующим уравнением [16]: 
 
1 2 к 3 ж1 4 ж 5 6 ,g pq g t g t g t g g′′= + + + +                             (18) 
 
где gi − нелинейные функции от переменных состояния конденсатора 
смешения пв1вж1жк ,,,,,,, QWDDDDt ε′′ , конструктивных параметров и теп-
лофизических свойств теплоносителей, i = 1:6. Выражения, определяющие 
вид функций gi, приведены в [16]. С их учетом выполним линеаризацию 
уравнения (18) и перейдем от абсолютных значений переменных состояния  
к их приращениям в безразмерной форме. Определим безразмерные при-
ращения переменных состояния и применим к ним преобразование Лапла-
са: ( )*к к к0 ;t L t t′′ ′′ ′′= ∆  ( )*ж ж ж0 ;D L D D= ∆  ( )*ж1 ж1 ж10 ;D L D D= ∆  ( )*в в в0 ;D L D D= ∆  
( )*в1 в1 в10 ;D L D D= ∆  ( )* 0 ;Lε = ∆ε ε  ( )*п п п0 .Q L Q Q= ∆  Тогда при нулевых 
начальных условиях линеаризованная модель динамики изменения ваку-
умметрического давления может быть представлена в операторной форме 
              
* * * * * *
61 к 62 ж 63 ж1 64 в 65 в1
* * *
66 67 68 п
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ,
q W s t W s D W s D W s D W s D
W s W s W W s Q
′′= + + + + +
+ ε + +
      (19) 
 
где sksW ii 66 )( =  – передаточные функции парожидкостного простран-
ства по каналам нанесения внешних воздействий (i = 1:8); k6i − коэффици-
енты передачи, определяемые по следующим формулам: 
 
k61 = l51 к0t ′′ /q0;  k62 = l52Dж0/q0;  k63 = l53Dж10/q0;  k64 = l54Dв0/q0;  k65 = 
l55Dв10/q0; 
 
 
k66 = l56ε0/q0;  k67 = l57W0/q0;  k68 = l58Qп0/q0; 
 
2 к 3 ж1 4 ж 5 6
51
к 1 0
;
g t g t g t g gl
t g
′′ + + + +∂
=  ′′∂  
  
 
 61 
2 к 3 ж1 4 ж 5 6
52
ж 1 0
;
g t g t g t g gl
D g
′′ + + + +∂
=  ∂  
 
2 к 3 ж1 5 6
53
ж1 1 0
;
g t g t g gl
D g
′′ + + +∂
=  ∂  
 2 к 5 654
в 1 0
;
g t g gl
D g
′′ + +∂
=  ∂  
 
 
2 к 5 6
55
в1 1 0
;
g t g gl
D g
′′ + +∂
=  ∂  
 2 к 3 ж1 4 ж 5 656
1 0
;
g t g t g t g gl
g
′′ + + + +∂
=  ∂ε  
 
 
3 ж1 6
57
1 0
;
g t gl
W g
 +∂
=  ∂  
 658
п 1 0
,
gl
Q g
 ∂
=  ∂  
 
 
где символом 0 обозначена подстановка в формулы вектора ( к0t′′ , Dж0, 
Dж10, Dв0, Dв10, W0, ε0, Qп0) после вычисления производных. 
Таким образом, полученная линеаризованная система уравнений (6), 
(7), (13), (14), (17), (19) описывает динамику вакуум-выпарной установки 
по управляющим и возмущающим воздействиям. Структурная схема моде-
ли, построенная на основе этой системы, приведена на рис. 2.  
 
W12(s)
D1*′
D1* tп
*
W13(s) W14(s)
W21(s)
W11(s)
tс* W31(s)
W36(s)
θ*
Rи*
W24(s)
W23(s) W22(s)
W33(s)
θм0*
W54(s)
W51(s)
W55(s)
b*
W32(s) W34(s)W35(s)
Sм*
Sсм* W42(s)
W41(s)
W43(s)
−
−
W *
W53(s) h*
Q *′
W52(s)
bм*
q *
W62(s)
W61(s)
Dж*
Dж1*
W63(s) W64(s) W65(s)
Dв* Dв1*
W66(s) W68(s)
Qп*
W67(s)
ε*tк"*
 
 
Рис. 2. Структурная схема линеаризованной модели вакуум-выпарной установки 
 
Выходными переменными модели являются: температура молока в вы-
парном аппарате θ, уровень в аппарате h, концентрация сухих веществ  
 62 
в молоке b и глубина вакуума q. В качестве управляющих воздействий 
можно рассматривать расходы: греющего пара D1, молока Sм, сгущенного 
молока Sсм и воды на конденсацию сокового пара Dж. 
В Ы В О Д Ы 
 
Анализ вакуум-выпарной установки как объекта управления на основе 
предложенной линеаризованной динамической модели с целью повышения 
эффективности использования теплоносителей позволяет сделать следую-
щие выводы: 
1) улучшение качества регулирования концентрации сухих веществ  
b по основному каналу «расход сгущенного молока Sсм − концентрация b» 
может быть достигнуто путем введения дополнительных корректирующих 
контуров по каналам «расход молока Sм − концентрация b» и «расход со-
кового пара − концентрация b»; 
2) улучшение качества регулирования температуры молока θ по основ-
ному каналу «расход греющего пара D1 − температура θ» может быть до-
стигнуто путем введения дополнительных корректирующих контуров по 
каналам «расход молока Sм − температура θ» и «расход сгущенного молока 
Sсм − температура θ»; 
3) улучшение качества регулирования вакуумметрического давления  
q по основному каналу «расход охлаждающей воды Dж − давление q» мо-
жет быть достигнуто путем введения дополнительных корректирующих 
контуров по каналам «температура сокового пара в конденсаторе кt ′′ − дав-
ление q», «расход откачиваемого кислорода Dв1 − давление q». 
Предложенные модели применимы для синтеза систем управления ва-
куум-выпарными установками химических производств. 
 
Л И Т Е Р А Т У Р А 
 
1. Б р у с и л о в с к и й, Л. П.  АСУТП цельномолочных и молочных производств / Л. П. Бру-
силовский, А. Я. Вайнберг. − М.: Колос, 1993. − 363 с. 
2. Х о м я к о в, А. П.  Усовершенствование выпарных установок «Виганд» для сгуще-
ния молока / А. П. Хомяков, Л. К. Трофимов, В. Д. Харитонов // Молочная промышлен-
ность. − 1999. − № 2. − С. 17−19. 
3. Б р у с и л о в с к и й, Л. П.  Новое в автоматизации технологических процессов сгу-
щения и сушки молока и молочных продуктов / Л. П. Брусиловский, А. Я. Вайнберг, В. П. Мо-
лотков. − М.: ЦНИИТЭИмясомолпром, 1983. − 56 с. 
4. Х о м я к о в, А. П. Отечественное оборудование для сгущения молока и молочных 
продуктов / А. П. Хомяков, Л. К. Трофимов // Молочная промышленность. − 1999. − № 1. − 
С. 22−23. 
5. О п ы т  эксплуатации выпарного и сушильного оборудования на Лианозовском ком-
бинате / Ю. И. Меркулов [и др.] // Молочная промышленность. − 1993. − № 1. − С. 21−24. 
6. Т р у м п и, А. Б.  Изучение динамических характеристик работы двухкорпусной ва-
куум-выпарной установки / А. Б. Трумпи // Молочная промышленность. − 1977. − № 3. −  
С. 17−18. 
7. Б р у с и л о в с к и й, Л. П.  Приборы технологического контроля в молочной про-
мышленности / Л. П. Брусиловский, А. Я. Вайнберг. − М.: Агропромиздат, 1990. − 288 с. 
8. А й р а п е т ь я н ц, Г. М.  Объекты регулирования / Г. М. Айрапетьянц, И. Д. Ива- 
нова // Техника и технология пищевых производств: материалы V междунар. науч.-техн. 
конф. − Могилев, 2005. − С. 85−89. 
 63 
9. Б р у с и л о в с к и й, Л. П.  Научно-технические решения для создания автоматизи-
рованных биотехнологических комплексов цельномолочного производства / Л. П. Бруси-
ловский, В. Д. Харитонов. − М.: ГНУ ВНИМИ, 1999. − 57 с. 
10. К а ф а р о в, В. В.  Методы кибернетики в химии и химической технологии / В. В. Ка-
фаров. − М.: Химия, 1985. − 448 с. 
11. С о к о л о в, В. А.  Автоматизация технологических процессов в пищевой промыш-
ленности. − М.: Агропромиздат, 1991. − 445 с. 
12. Б р у с и л о в с к и й, Л. П.  Синтез структуры интегрированной автоматизирован-
ной системы управления / Л. П. Брусиловский, В. Д. Харитонов // Молочная промышлен-
ность. − 1996. − № 3. − С. 4−7. 
13. Б р у с и л о в с к и й, Л. П.  Автоматизированная система для учета и контроля сы-
рья / Л. П. Брусиловский, А. С. Левин // Молочная промышленность. − 2000. − № 7. −  
С. 37−38. 
14. С и с т е м а  автоматического регулирования температуры нагрева: а. с. 1392157 
СССР, МКИ2, D 01H13/28 G 05D23/19/ Г. М. Айрапетьянц, А. И. Васильев, Г. К. Ковалев,  
Г. А. Корсунский; Могилевский филиал научно-производственного объединения «Хим- 
автоматика». − № 4049884; заявл. 17.03.86; опубл. 30.04.88 // Открытия. Изобретения. − 
1988. − № 16. − 4 с. 
15. С т р а х о в, В. В.  Вакуум-выпарные установки молочной промышленности и их 
эксплуатация / В. В. Страхов. − М.: Пищевая промышленность, 1970. − 144 с. 
16. Т а у б м а н, Е. И.  Выпаривание / Е. И. Таубман. − М.: Химия, 1982. − 328 с. 
17. К а ф а р о в, В. В.  Математическое моделирование основных процессов химиче-
ских производств / В. В. Кафаров, М. Б. Глебов. − М.: Высш. шк., 1991. − 400 с. 
 
   Представлена кафедрой автоматизации 
технологических процессов и производств                                                Поступила 03.03.2009 
 
 
 
 
 
 
УДК 62-503 
 
ОПТИМИЗАЦИЯ ТЕХНОЛОГИИ РАБОТЫ КАМЕРНОЙ ПЕЧИ 
 
Докт. техн. наук, проф. КОВАЛЕВСКИЙ В. Б., инж. РАДЖУХ М. 
 
Белорусский национальный технический университет 
 
При функционировании нагревательных устройств возникает задача 
выбора наивыгоднейших условий их работы [1]. Применительно к камер-
ным печам решены задачи: минимизации теплоты, использованной на 
нагрев [2]; минимизации величины окалины [3, 4]. 
Предполагается, что в печи нагреваются «тонкие» в теплотехническом 
смысле тела и двусторонние ограничения на температуру дымовых газов 
отсутствуют. Однако важным для практики является учет двусторонних 
ограничений на температуру дымовых газов. Дальнейшее изложение и по-
священо решению такого рода проблемы. 
Постановка задачи. Рассмотрим следующую задачу оптимизации: 
 
( , , );
dx f x u t
dt
=                                                (1)